Contoh 8.1.
Perhatikan barisan konstan \(\sigma=\{a_n:n\ge0\}\) dengan \(a_n=1\) untuk setiap \(n\ge0\text{.}\) Fungsi pembangkit \(F(x)\) dari \(\sigma\) kemudian diberikan oleh
\begin{equation*}
F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots\text{,}
\end{equation*}
yang disebut deret geometri tak hingga.
Anda mungkin ingat bahwa ungkapan terakhir ini merupakan deret Maclaurin bagi fungsi \(F(x)=1/(1-x)\) dan bahwa deret tersebut konvergen ketika \(|x|\lt 1\text{.}\) Karena kita ingin berpikir dalam kerangka deret pangkat formal, mari kita lihat bahwa ungkapan
\begin{equation*}
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n
\end{equation*}
dapat dibenarkan tanpa menggunakan teknik kalkulus. Perhatikan hasil kali
\begin{equation*}
(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots)
\end{equation*}
dan perhatikan bahwa, karena deret pangkat formal dikalikan dengan cara yang sama seperti polinom (deret pangkat pada dasarnya adalah polinom yang berlanjut tanpa akhir), hasil kali ini adalah
\begin{equation*}
(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots)-x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots)
= 1.
\end{equation*}
Dengan demikian, kita memperoleh
\begin{equation*}
(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots) = 1,
\end{equation*}
atau, dalam bentuk yang lebih berguna, setelah membagi kedua ruas dengan \(1-x\text{,}\)
\begin{equation*}
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n.
\end{equation*}
