SubbabB.19Aksioma Zermelo–Fraenkel untuk Teori Himpunan
Pada bagian pertama lampiran ini, kita meletakkan sistem bilangan di atas landasan yang kukuh, tetapi dalam prosesnya kita menggunakan pemahaman intuitif tentang himpunan. Tidak mengherankan bahwa pendekatan ini penuh bahaya. Sebagaimana pertama kali disadari lebih dari 100 tahun lalu, terdapat hambatan konseptual besar dalam merumuskan sistem aksioma teori himpunan yang konsisten. Sangat mudah pula membuat pernyataan yang terdengar “jelas”, padahal tidak demikian.
Jika \(X\) merupakan himpunan hingga tak kosong dan \(Y\) merupakan himpunan hingga, kedua pernyataan ini ekuivalen. Mungkin wajar untuk menduga bahwa hal yang sama berlaku ketika \(X\) dan \(Y\) tak hingga, tetapi ternyata tidak.
Berikut sistem aksioma yang lazim dikenal sebagai ZFC, singkatan dari Zermelo–Fraenkel ditambah Aksioma Pilihan. Dalam sistem ini, gagasan himpunan dan operator keanggotaan \(\in\) tidak didefinisikan. Akan tetapi, jika \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan, tepat satu dari pernyataan berikut bernilai benar: (i) \(A\in B\)benar; (ii) \(A\in B\)salah. Jika \(A\in B\) salah, kita menulis \(A\notin B\text{.}\) Selain itu, terdapat relasi ekuivalensi \(=\) yang didefinisikan pada himpunan.
Jika \(x\) dan \(y\) merupakan himpunan, terdapat himpunan yang hanya memuat \(x\) dan \(y\) sebagai elemennya, yang kita notasikan dengan \(\{x,y\}\text{.}\) Catatan: Jika \(x=y\text{,}\) kita cukup menulis \(\{x\}\text{.}\)
Untuk setiap himpunan \(x\text{,}\) terdapat himpunan \(y\) sedemikian sehingga elemen-elemen \(y\) tepat merupakan elemen dari elemen-elemen \(x\text{.}\)
Setiap himpunan memiliki himpunan kuasa. Artinya, untuk setiap himpunan \(x\text{,}\) terdapat himpunan \(y\) sedemikian sehingga elemen-elemen \(y\) tepat merupakan himpunan bagian dari \(x\text{.}\)
Diberikan sebarang himpunan dan sebarang proposisi \(P(x)\text{,}\) terdapat himpunan bagian dari himpunan semula yang tepat memuat elemen-elemen \(x\) yang memenuhi \(P(x)\text{.}\)
Diberikan sebarang himpunan dan sebarang pemetaan, yang secara formal didefinisikan sebagai proposisi \(P(x,y)\) dengan sifat bahwa \(P(x,y_1)\) dan \(P(x,y_2)\) mengakibatkan \(y_1 = y_2\text{,}\) terdapat himpunan yang tepat memuat citra elemen-elemen himpunan semula.
Diberikan sebarang himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan tak kosong dan saling lepas, terdapat sekurang-kurangnya satu himpunan yang memiliki tepat satu elemen bersama dengan setiap himpunan tak kosong tersebut.
Salah satu sumber informasi tambahan (gratis) yang baik tentang teori himpunan ialah kumpulan artikel Wikipedia. Lakukan pencarian web dan carilah topik serta tokoh berikut:
