SubbabB.17Memperoleh Bilangan Real dari Bilangan Rasional
Pembahasan lengkap mengenai hal ini akan membawa kita jauh dari mata kuliah matematika diskret, tetapi setidaknya mari kita berikan definisi dasarnya. Suatu himpunan bagian \(S\subset \rats\) dari bilangan rasional disebut potongan (juga disebut potongan Dedekind) jika memenuhi sifat-sifat berikut:
\(\emptyset\neq S\neq \rats\text{,}\) yaitu \(S\) merupakan himpunan bagian sejati yang tak kosong dari \(\rats\text{.}\)
Potongan juga disebut bilangan real, sehingga bilangan real merupakan jenis khusus himpunan bilangan rasional. Untuk setiap bilangan rasional \(q\text{,}\) himpunan \(\bar{q}= \{p\in \rats: p\lt q\}\) merupakan suatu potongan. Potongan seperti ini disebut potongan rasional. Di dalam bilangan real, potongan rasional berperilaku persis seperti bilangan rasional. Melalui pemetaan \(h(q)=\bar{q}\text{,}\) kita sekali lagi menyalahgunakan notasi (kita mulai terbiasa melakukannya) dan mengatakan bahwa bilangan rasional merupakan himpunan bagian dari bilangan real.
Namun, terdapat pula potongan yang tidak rasional. Berikut salah satunya: \(\{p\in \rats: p\le 0\}\cup \{p\in \rats: p^2\lt 2\}\text{.}\) Fakta bahwa potongan ini tidak rasional bergantung pada bukti yang sudah dikenal bahwa tidak ada bilangan rasional \(q\) yang memenuhi \(q^2=2\text{.}\)
Operasi penjumlahan pada potongan didefinisikan dengan cara yang alami. Jika \(S\) dan \(T\) merupakan potongan, tetapkan \(S+T=\{s+t:s\in S, t\in T\}\text{.}\) Urutan pada potongan didefinisikan melalui inklusi, i.e., \(S\lt T\) jika dan hanya jika \(S\subsetneq T\text{.}\) Suatu potongan disebut positif jika lebih besar daripada \(\bar{0}\text{.}\) Jika \(S\) dan \(T\) merupakan potongan positif, hasil kali \(ST\) didefinisikan oleh
Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa terdapat bilangan real \(r\) sedemikian sehingga \(r^2=\bar{2}\text{.}\) Mungkin Anda terkejut—atau mungkin juga tidak—ketika mengetahui bahwa bilangan real ini dinotasikan dengan \(\sqrt2\text{.}\)
