Misalkan kita mempunyai stoples berisi \(7\) kelereng, empat merah dan tiga biru. Sebuah kelereng diambil secara acak, lalu kita mencatat apakah warnanya merah atau biru. Probabilitas \(p\) memperoleh kelereng merah ialah \(4/7\text{;}\) sedangkan probabilitas memperoleh kelereng biru ialah \(1-p=3/7\text{.}\)
Sekarang misalkan kelereng tersebut dikembalikan ke dalam stoples, semua kelereng diaduk, lalu percobaannya diulangi. Probabilitas memperoleh kelereng merah pada percobaan kedua kembali sebesar \(4/7\text{,}\) dan pola ini berlaku berapa kali pun percobaan tersebut diulangi.
Situasi ini lazim disebut rangkaian percobaan Bernoulli. Secara lebih formal, kita mempunyai percobaan dengan tepat dua hasil: keberhasilan dan kegagalan. Probabilitas keberhasilan ialah \(p\) dan probabilitas kegagalan ialah \(1-p\text{.}\) Yang terpenting, ketika percobaan diulangi, setiap percobaan saling bebas dan probabilitas keberhasilan pada masing-masing percobaan tetap tepat sebesar \(p\text{.}\)
Kita tetapkan suatu bilangan bulat positif \(n\) dan meninjau kasus ketika percobaan diulangi \(n\) kali. Hasilnya berupa untai biner sepanjang \(n\) dari alfabet dua huruf \(\{S,F\}\text{,}\) yang masing-masing menyatakan keberhasilan (mengikuti istilah Inggris success) dan kegagalan (failure). Jika \(x\) merupakan untai dengan \(i\) keberhasilan dan \(n-i\) kegagalan, maka \(P(x)=p ^i(1-p)^{n-i}\text{.}\) Tentu saja, dalam penerapan, keberhasilan dan kegagalan dapat diganti dengan: angka/gambar, atas/bawah, baik/buruk, maju/mundur, merah/biru, etc.
Ketika sebuah dadu dilempar, sebut hasilnya suatu keberhasilan jika yang muncul adalah dua atau lima. Probabilitas keberhasilan \(p\) ialah \(2/6=1/3\) dan probabilitas kegagalan ialah \(2/3\text{.}\) Jika dadu dilempar sepuluh kali berturut-turut, probabilitas memperoleh tepat empat keberhasilan ialah \(C(10,4)(1/3)^4 (2/3)^{6}\text{.}\)
Sebuah koin seimbang dilempar \(100\) kali dan hasilnya (sisi angka atau gambar) dicatat. Probabilitas memperoleh sisi angka sebanyak \(40\) kali dan sisi gambar pada \(60\) lemparan lainnya ialah
Bob mengatakan bahwa jika sebuah koin seimbang dilempar \(100\) kali, kemungkinan besar akan diperoleh tepat \(50\) sisi angka dan \(50\) sisi gambar. Dave tidak begitu yakin bahwa pernyataan itu benar. Carlos menyalakan komputernya dan beberapa detik kemudian melaporkan bahwa probabilitas memperoleh tepat \(50\) sisi angka ketika sebuah koin seimbang dilempar \(100\) kali ialah
yang bernilai \(.079589\) hingga enam tempat desimal. Dengan kata lain, hal itu sama sekali tidak terlalu mungkin. Xing melakukan perhitungan yang sedikit lebih rumit dan melaporkan bahwa terdapat peluang \(99\)% bahwa banyak sisi angka sedikitnya \(20\) dan paling banyak \(80\text{.}\) Carlos menambahkan bahwa apabila \(n\) sangat besar, semakin dapat dipastikan bahwa banyak sisi angka dalam \(n\) lemparan akan mendekati \(n/2\text{.}\) Dave bertanya apa yang dimaksud dengan “mendekati” dan apa yang dimaksud dengan “sangat besar”.
