Program matematika (Bahasa Indonesia)
Mathematics program (English)
Sumber asli / Authoritative original
Lewati ke konten utama
Daftar Isi Indeks
Cari di Buku
Hasil Pencarian:
Tidak ada hasil.
Bacakan Pengaturan Keterbacaan Sblm Naik Lnjt \(\newcommand{\set}[1]{\{#1\}}
\newcommand{\ints}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\posints}{\mathbb{N}}
\newcommand{\rats}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\reals}{\mathbb{R}}
\newcommand{\complexes}{\mathbb{C}}
\newcommand{\twospace}{\mathbb{R}^2}
\newcommand{\threepace}{\mathbb{R}^3}
\newcommand{\dspace}{\mathbb{R}^d}
\newcommand{\nni}{\mathbb{N}_0}
\newcommand{\nonnegints}{\mathbb{N}_0}
\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}}
\newcommand{\ran}{\operatorname{ran}}
\newcommand{\prob}{\operatorname{prob}}
\newcommand{\Prob}{\operatorname{Prob}}
\newcommand{\height}{\operatorname{height}}
\newcommand{\width}{\operatorname{width}}
\newcommand{\length}{\operatorname{length}}
\newcommand{\crit}{\operatorname{crit}}
\newcommand{\inc}{\operatorname{inc}}
\newcommand{\HP}{\mathbf{H_P}}
\newcommand{\HCP}{\mathbf{H^c_P}}
\newcommand{\GP}{\mathbf{G_P}}
\newcommand{\GQ}{\mathbf{G_Q}}
\newcommand{\AG}{\mathbf{A_G}}
\newcommand{\GCP}{\mathbf{G^c_P}}
\newcommand{\PXP}{\mathbf{P}=(X,P)}
\newcommand{\QYQ}{\mathbf{Q}=(Y,Q)}
\newcommand{\GVE}{\mathbf{G}=(V,E)}
\newcommand{\HWF}{\mathbf{H}=(W,F)}
\newcommand{\bfC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\bfG}{\mathbf{G}}
\newcommand{\bfH}{\mathbf{H}}
\newcommand{\bfF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bfI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\bfK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\bfP}{\mathbf{P}}
\newcommand{\bfQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\bfR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bfS}{\mathbf{S}}
\newcommand{\bfT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bfNP}{\mathbf{NP}}
\newcommand{\bftwo}{\mathbf{2}}
\newcommand{\cgA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cgB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cgC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cgD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cgE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cgF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cgG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cgM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cgN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cgP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cgR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cgS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\bfn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bfm}{\mathbf{m}}
\newcommand{\bfk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bfs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bijection}{\xrightarrow[\text{onto}]{\text{$1$--$1$}}}
\newcommand{\injection}{\xrightarrow[]{\text{$1$--$1$}}}
\newcommand{\surjection}{\xrightarrow[\text{onto}]{}}
\newcommand{\nin}{\not\in}
\newcommand{\prufer}{\text{prüfer}}
\DeclareMathOperator{\fix}{fix}
\DeclareMathOperator{\stab}{stab}
\DeclareMathOperator{\var}{var}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
Subbab 8.4 Sebuah Penerapan Teorema Binomial
Dalam bagian ini, kita melihat bagaimana
Teorema Binomial Newton dapat digunakan untuk menurunkan sebuah identitas berguna lainnya. Kita mulai dengan membuktikan rumus rekursif untuk
\(P(p,k)\) yang berbeda dari rumus dalam definisinya.
Lema 8.11 .
Untuk setiap
\(k\ge0\text{,}\) \(P(p,k+1)=P(p,k)(p-k)\text{.}\)
Bukti.
Ketika \(k=0\text{,}\) kedua ruas bernilai \(p\text{.}\) Sekarang anggap pernyataan tersebut benar ketika \(k=m\) untuk suatu bilangan bulat tak negatif \(m\text{.}\) Maka
\begin{align*}
P(p,m+2)\amp =pP(p-1,m+1)\\
\amp = p[P(p-1,m)(p-1-m)]\\
\amp =[pP(p-1,m)](p-1-m)\\
\amp =P(p,m+1)[p-(m+1)].
\end{align*}
Tujuan kita dalam bagian ini adalah menerapkan
Teorema Binomial Newton dengan eksponen
\(p=-1/2\text{.}\) Agar penerapan ini berguna, kita memerlukan ekspresi yang disederhanakan untuk
\(C(-1/2,k)\text{,}\) yang diberikan oleh lema berikut.
Lema 8.12 .
Untuk setiap
\(k\ge0\text{,}\) \(\displaystyle\binom{-1/2}{k}=(-1)^k\frac{\binom{2k}{k}}{2^{2k}}\text{.}\)
Bukti.
Kita menggunakan induksi pada \(k\text{.}\) Kedua ruas menyederhana menjadi \(1\) ketika \(k=0\text{.}\) Sekarang anggap pernyataan tersebut benar ketika \(k=m\) untuk suatu bilangan bulat tak negatif \(m\text{.}\) Maka
\begin{align*}
\binom{-1/2}{m+1} \amp =\frac{P(-1/2,m+1)}{(m+1)!}
=\frac{P(-1/2,m)(-1/2-m)}{(m+1)m!}\\
\amp =\frac{-1/2-m}{m+1}\binom{-1/2}{m}
=(-1)\frac{2m+1}{2(m+1)}(-1)^m\frac{\binom{2m}{m}}{2^{2m}}\\
\amp =(-1)^{m+1}\frac{1}{2^{2m}}
\frac{(2m+2)(2m+1)}{(2m+2)2(m+1)}\binom{2m}{m}=
(-1)^{m+1}\frac{\binom{2m+2}{m+1}}{2^{2m+2}}.
\end{align*}
Teorema 8.13 .
Fungsi
\(f(x)=(1-4x)^{-1/2}\) merupakan fungsi pembangkit bagi barisan
\(\{\binom{2n}{n}:n\ge0\}\text{.}\)
Bukti.
\begin{align*}
(1-4x)^{-1/2}\amp =\sum_{n=0}^\infty\binom{-1/2}{n}(-4x)^n\\
\amp =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n2^{2n}\binom{-1/2}{n}x^n\\
\amp =\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}x^n.
\end{align*}
Kita akan kembali menggunakan fungsi pembangkit ini dalam
Subbab 9.7 , tempat fungsi tersebut berperan dalam suatu masalah pencacahan yang tampak baru, tetapi sebenarnya merupakan masalah yang telah kita pelajari dalam bentuk tersamar.
Dengan mengingat kembali
Proposisi 8.3 tentang koefisien dalam hasil kali dua fungsi pembangkit, kita dapat menurunkan akibat berikut dari
Teorema 8.13 dengan menguadratkan fungsi
\(f(x) = (1-4x)^{-1/2}\text{.}\)
Akibat 8.14 .
Untuk setiap \(n\ge0\text{,}\)
\begin{equation*}
2^{2n}=\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}.
\end{equation*}
