Teori himpunan membahas elemen, kumpulan elemen tertentu yang disebut himpunan, serta konsep keanggotaan. Untuk setiap elemen \(x\) dan setiap himpunan \(X\text{,}\)tepat satu dari dua pernyataan berikut berlaku:
Jika \(x\) merupakan elemen dan \(X\) merupakan himpunan, kita menulis \(x\in X\) apabila \(x\) merupakan anggota \(X\text{.}\) Pernyataan bahwa \(x\) termasuk dalam \(X\) memiliki arti yang persis sama dengan pernyataan bahwa \(x\) merupakan anggota \(X\text{.}\) Demikian pula, jika \(x\) bukan anggota \(X\text{,}\) kita menulis \(x\notin X\) dan mengatakan bahwa \(x\) tidak termasuk dalam \(X\text{.}\)
Himpunan tertentu akan didefinisikan secara eksplisit dengan mencantumkan elemen-elemennya. Sebagai contoh, misalkan \(X=\{a,b,d,g,m\}\text{.}\) Maka \(b\in X\) dan \(h\notin X\text{.}\) Urutan elemen dalam daftar semacam itu tidak berpengaruh, sehingga kita juga dapat menulis \(X=\{g,d,b,m,a\}\text{.}\) Dalam situasi lain, suatu himpunan akan didefinisikan dengan memberikan aturan keanggotaan. Sebagai contoh, misalkan \(\posints\) menyatakan himpunan bilangan bulat positif. Selanjutnya, misalkan \(X=\{n\in\posints:5\le n\le 9\}\text{.}\) Perhatikan bahwa \(6,8\in X\text{,}\) sedangkan \(4,10,238\notin X\text{.}\)
Jika diberikan sebuah elemen \(x\) dan sebuah himpunan \(X\text{,}\) menentukan pernyataan mana di antara \(x\in X\) dan \(x\notin X\) yang berlaku kadang-kadang dapat melelahkan, bahkan sangat sulit. Namun, jika yang kita bahas benar-benar himpunan, tepat satu di antaranya harus benar.
Perhatikan bahwa ada dua bilangan yang masing-masing dicantumkan dua kali. Bilangan apa saja? Apakah \(13232112132\) termasuk dalam \(X\text{?}\) Kesulitan yang tampak dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan ini berasal dari (1) ukuran himpunan \(X\) dan (2) besarnya bilangan-bilangan bulat yang menjadi anggota \(X\text{.}\) Dapatkah Anda memikirkan keadaan ketika sulit menentukan apakah \(x\) merupakan anggota \(X\text{,}\) sekalipun diketahui bahwa \(X\) memuat tepat satu elemen?
Misalkan \(P\) menyatakan himpunan bilangan prima. Maka \(35\notin P\) karena \(35= 5\times 7\text{.}\) Selain itu, \(19\in P\text{.}\) Sekarang tinjau bilangan
\begin{equation*}
n = 77788467064627123923601532364763319082817131766346039653933
\end{equation*}
Apakah \(n\) termasuk dalam \(P\text{?}\) Alice mengatakan ya, sedangkan Bob mengatakan tidak. Bagaimana Alice dapat membenarkan jawaban afirmatifnya? Bagaimana Bob dapat membenarkan pendapat negatifnya? Dalam kasus khusus ini, saya tahu bahwa Alice benar. Dapatkah Anda menjelaskan alasannya?
