Subbab B.2 Irisan dan Gabungan
Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan himpunan, irisan dari \(X\) dan \(Y\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(X\cap Y\), didefinisikan oleh
\begin{equation*}
X\cap Y = \{x: x\in X, x\in Y\}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa notasi ini menggunakan konvensi yang diikuti banyak bahasa pemrograman. Tepatnya, “koma” dalam definisi tersebut berarti bahwa kedua syarat keanggotaan harus dipenuhi. Sebagai contoh, jika \(X=\{b,c,e,g,m\}\) dan \(Y=\{a,c,d,h,m,n,p\}\text{,}\) maka \(X\cap Y=\{c,m\}\text{.}\)
Subbagian B.2.1 Arti Kata yang Terdiri atas \(2\) Huruf
Belum terlalu lama berselang, media massa ramai memperdebatkan arti kata bahasa Inggris yang terdiri atas \(2\) huruf, is. Bagi matematikawan dan ilmuwan komputer, pembahasan kata lain yang terdiri atas \(2\) huruf, or, jauh lebih penting. Masalahnya, bahasa Inggris menggunakan or dalam dua cara yang secara mendasar berbeda. Perhatikan kalimat-kalimat berikut:
-
Sebuah restoran di dekat sini menawarkan menu makan malam khusus dengan dua pilihan pencuci mulut: flan de casa atau tiramisu.
-
Sebuah universitas negeri menerima semua siswa yang lulus dari sekolah menengah di negara bagian tersebut dan memperoleh skor SAT di atas \(1000\) atau memiliki nilai rata-rata di atas \(3.0\text{.}\)
-
Sebuah surat kabar setempat menawarkan kepada pelanggannya pilihan untuk membayar tagihan surat kabar secara bulanan atau setengah tahunan.
Dalam pernyataan pertama dan ketiga, jelas terdapat dua pilihan, tetapi hanya satu yang diperbolehkan. Namun, pada pernyataan kedua, penafsirannya ialah bahwa siswa akan diterima jika memenuhi sekurang-kurangnya satu dari kedua syarat tersebut. Kedua penafsiran kata atau ini masing-masing disebut versi eksklusif dan inklusif. Dalam mata kuliah ini, setiap penggunaan kata “atau” akan dianggap bermakna inklusif—kecuali dinyatakan lain.
Sebagai contoh, jika \(X\) dan \(Y\) merupakan himpunan, gabungan dari \(X\) dan \(Y\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(X\cup Y\text{,}\) didefinisikan oleh
\begin{equation*}
X\cup Y = \{x: x\in X \text{ atau } x\in Y\}.
\end{equation*}
Sebagai contoh, jika \(X=\{b,c,e,g,m\}\) dan \(Y=\{a,c,d,h,m,n,p\}\text{,}\) maka
\begin{equation*}
X\cup Y=\{a,b,c,d,e,g,h,m,n,p\}.
\end{equation*}
Perhatikan bahwa \(\cap\) dan \(\cup\) merupakan operasi biner yang komutatif dan asosiatif, sebagaimana penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat positif \(\posints\text{,}\) i.e., jika \(X\text{,}\) \(Y\text{,}\) dan \(Z\) merupakan himpunan, maka
\begin{equation*}
X\cap Y = Y\cap X \quad\text{ dan } \quad X\cup Y = Y\cup X.
\end{equation*}
Selain itu,
\begin{equation*}
X\cap(Y\cap Z)= (X\cap Y)\cap Z\quad\text{ dan } \quad
X\cup(Y\cup Z)= (X\cup Y)\cup Z.
\end{equation*}
Perhatikan pula bahwa masing-masing operasi \(\cap\) dan \(\cup\) bersifat distributif terhadap operasi lainnya, i.e.,
\begin{equation*}
X\cap(Y\cup Z)= (X\cap Y)\cup (X\cap Z)\quad\text{ dan } \quad
X\cup(Y\cap Z)= (X\cup Y)\cap (X\cup Z)
\end{equation*}
Sebaliknya, pada \(\posints\text{,}\) perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan, tetapi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap perkalian.
Subbagian B.2.2 Himpunan Kosong: Banyak Membahas Ketiadaan
Himpunan kosong, yang dinotasikan dengan \(\emptyset\), adalah himpunan yang memenuhi \(x\notin \emptyset\) untuk setiap unsur \(x\text{.}\) Perhatikan bahwa \(X\cap \emptyset =\emptyset\) dan \(X\cup \emptyset=X\) untuk setiap himpunan \(X\text{.}\)
Himpunan kosong bersifat tunggal: jika \(x\notin X\) untuk setiap unsur \(x\text{,}\) maka \(X=\emptyset\text{.}\)
Subbagian B.2.3 Bilangan-Bilangan Bulat Positif Pertama
Dalam buku ini, kita menggunakan simbol \(\posints\text{,}\) \(\ints\text{,}\) \(\rats\text{,}\) dan \(\reals\) untuk masing-masing menyatakan himpunan bilangan bulat positif, himpunan semua bilangan bulat (positif, negatif, dan nol), himpunan bilangan rasional (pecahan), serta himpunan bilangan real (rasional dan irasional). Sesekali, kita akan membahas himpunan \(\nonnegints\) yang terdiri atas bilangan bulat tak negatif. Jika \(n\) merupakan bilangan bulat positif, kita menggunakan singkatan \([n]\) bagi himpunan \(\{1,2,\dots,n\}\) yang terdiri atas \(n\) bilangan bulat positif pertama. Sebagai contoh, \([5]=\{1,2,3,4,5\}\text{.}\) Untuk alasan yang mungkin belum jelas sekarang, tetapi semoga akan menjadi jelas pada saat yang tepat, kita menggunakan notasi \(\bfn\) bagi himpunan berunsur \(n\text{,}\) yaitu \(\{0,1,2,\dots,n-1\}\text{.}\) Tentu saja, \(\bfn\) tidak lain adalah himpunan \(n\) bilangan bulat tak negatif pertama. Sebagai contoh, \(\mathbf{5}=\{0,1,2,3,4\}\text{.}\)
Subbagian B.2.4 Himpunan Bagian, Himpunan Bagian Sejati, dan Kesamaan Himpunan
Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan himpunan, kita mengatakan bahwa \(X\) adalah himpunan bagian dari \(Y\) dan menulis \(X\subseteq Y\) jika \(x\in Y\) untuk setiap \(x\in X\text{.}\) Jika \(X\) merupakan himpunan bagian dari \(Y\) dan terdapat sekurang-kurangnya satu unsur \(y\in Y\) yang memenuhi \(y\notin X\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(X\) adalah himpunan bagian sejati dari \(Y\) dan menulis \(X\subsetneq Y\). Sebagai contoh, himpunan bilangan prima \(P\) merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan bulat positif \(\posints\text{.}\)
Cukup sering kita menjumpai situasi ketika himpunan \(X\) dan \(Y\) mempunyai aturan keanggotaan yang berbeda, tetapi sebenarnya merupakan himpunan yang sama. Sebagai contoh, misalkan \(X=\{0,2\}\) dan \(Y=\{z\in\ints: z+z=z\times z\}\text{.}\) Maka \(X=Y\text{.}\) Karena itu, kriteria untuk menentukan kesamaan dua himpunan sangat berguna. Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan himpunan, maka
\begin{equation*}
X = Y \quad\text{ jika dan hanya jika } \quad X\subseteq Y \text{ dan } Y\subseteq X.
\end{equation*}
