Pada tahap ini, Anda mungkin tidak terkejut mengetahui bahwa terdapat bentuk Teorema Ramsey yang sangat umum. Kita mempunyai sejumlah berhingga wadah atau warna dan menempatkan himpunan-himpunan bagian berukuran tetap ke dalam kategori-kategori tersebut. Kesimpulannya ialah bahwa terdapat suatu himpunan besar yang diperlakukan secara seragam.
Misalkan \(r\) dan \(s\) merupakan bilangan bulat positif, serta misalkan \(\mathbf{h}=(h_1,h_2,\dots,h_r)\) merupakan untai bilangan bulat dengan \(h_i\ge s\) untuk setiap \(i=1,2,\dots,r\text{.}\) Maka terdapat bilangan bulat positif terkecil \(R(s:h_1,h_2,\dots,h_r)\) sedemikian sehingga jika \(n\ge R(s:h_1,h_2,\dots,h_r)\) dan \(\phi:C([n],s)\longrightarrow [r]\) merupakan sebarang fungsi, maka terdapat bilangan bulat \(\alpha\in[r]\) dan himpunan bagian \(H_\alpha\subseteq [n]\) dengan \(|H_\alpha|=h_\alpha\) sedemikian sehingga \(\phi(S)=\alpha\) untuk setiap \(S\in C(H_\alpha, s)\text{.}\)
Kita tidak menyertakan bukti pernyataan umum ini, tetapi mahasiswa yang lebih berambisi dapat mencoba membuktikannya sendiri. Perhatikan bahwa kasus \(s=1\) hanyalah Prinsip Sarang Merpati, sedangkan kasus \(s=r=2\) hanyalah Teorema Ramsey untuk Graf. Bukti untuk kasus umum memerlukan argumen induksi ganda. Induksi pertama dilakukan pada \(r\) dan induksi kedua pada \(s\text{.}\)
