Compléments de cohomologie étale

Introduction

Ce chapitre est le deuxième d’une série de chapitres consacrés à la cohomologie étale des schémas. Le premier chapitre se trouve dans Cohomologie étale, section 03N2.

La séparation avec le chapitre précédent est, en gros, la suivante : tout ce qui concerne les « foncteurs image directe à support propre » (cohomologie à support propre et son adjoint à droite), ainsi que leurs applications, figure dans ce chapitre.

Prolongement des sections

Dans cette section, nous étudions des résultats du type suivant.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Soit \(\varphi : U' \to U\) un morphisme de \(X_\etale\). Soit \(Z' \subset U'\) un sous-schéma fermé tel que \(Z' \to U' \to U\) soit une immersion fermée d’image \(Z \subset U\). Il existe alors une bijection canonique \[\{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\} = \{s' \in \mathcal{F}(U') \mid \text{Supp}(s') \subset Z'\}\] qui est donnée par restriction si \(\varphi^{-1}(Z) = Z'\).

Démonstration

Considérons le sous-schéma fermé \(Z'' = \varphi^{-1}(Z)\) de \(U'\). Alors \(Z' \subset Z''\) est fermé, puisque \(Z'\) est fermé dans \(U'\). D’autre part, \(Z' \to Z''\) est un morphisme étale (comme morphisme entre schémas étales sur \(Z\)), et il est donc ouvert. Ainsi \(Z'' = Z' \amalg T\) pour un certain fermé \(T\). Le recouvrement ouvert \(U' = (U' \setminus T) \cup (U' \setminus Z')\) montre que \[\{s' \in \mathcal{F}(U') \mid \text{Supp}(s') \subset Z'\} = \{s' \in \mathcal{F}(U' \setminus T) \mid \text{Supp}(s') \subset Z'\}\] et le recouvrement étale \(\{U' \setminus T \to U, U \setminus Z \to U\}\) montre que \[\{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\} = \{s' \in \mathcal{F}(U' \setminus T) \mid \text{Supp}(s') \subset Z'\}\] Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(Z \subset X\) un sous-schéma localement fermé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Étant donnés des ouverts \(U, U' \subset X\) contenant \(Z\) comme sous-schéma fermé, il existe une bijection canonique \[\{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\} = \{s \in \mathcal{F}(U') \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] qui est donnée par restriction si \(U' \subset U\).

Démonstration

Puisque \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(U \cap U'\), il suffit de démontrer le lemme lorsque \(U' \subset U\). Il s’agit alors d’un cas particulier du lemme 0F6F.

Introduisons une notation quelque peu inhabituelle qui nous sera utile par la suite. Dans la situation du lemme 0F6G ci-dessus, posons \[H_Z(\mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] où \(U \subset X\) est un sous-schéma ouvert quelconque contenant \(Z\) comme sous-schéma fermé. Si ce manque de précision gêne le lecteur, il peut choisir \(U = X \setminus \partial Z\), où \(\partial Z = \overline{Z}\setminus Z\) est la « frontière » de \(Z\) dans \(X\). Cependant, dans plusieurs arguments ci-dessous, la possibilité de choisir différents ouverts jouera un rôle. Voici quelques propriétés de cette construction :

1. Si \(Z \subset Z'\) sont des sous-schémas localement fermés de \(X\) et si \(Z\) est fermé dans \(Z'\), il existe une application injective naturelle \[H_Z(\mathcal{F}) \to H_{Z'}(\mathcal{F}).\]

2. Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de schémas et si \(Z \subset X\) est un sous-schéma localement fermé, il existe une application naturelle d’image inverse \(f^* : H_Z(\mathcal{F}) \to H_{f^{-1}Z}(f^{-1}\mathcal{F})\).

Il sera commode d’étendre notre notation à la situation suivante : supposons donnés \(W \in X_\etale\) et un sous-schéma localement fermé \(Z \subset W\). Nous noterons alors \[H_Z(\mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\} = H_Z(\mathcal{F}|_{W_\etale})\] où \(U \subset W\) est un sous-schéma ouvert quelconque contenant \(Z\) comme sous-schéma fermé, exactement comme ci-dessus¹.

sections à support propre

Une référence pour cette section est [SGA4, Exposé XVII, section 6]. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement de type fini. Dans cette section, nous définissons un foncteur \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) en définissant \(f_!\mathcal{F} \subset f_*\mathcal{F}\) comme le sous-faisceau des sections dont le support est propre sur \(Y\) (au sens approprié).

Avertissement : le foncteur \(f_!\) est le faisceau de cohomologie de degré zéro d’un foncteur \(Rf_!\) sur la catégorie dérivée (insérer une référence future), mais \(Rf_!\) n’est pas le foncteur dérivé de \(f_!\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). La règle \[Y_\etale \longrightarrow \textit{Ab},\quad V \longmapsto \{s \in f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X_V) \mid \text{Supp}(s) \subset X_V \text{ est propre sur }V\}\] définit un sous-faisceau abélien de \(f_*\mathcal{F}\).

Avertissement : ce faisceau n’est pas le « bon » si \(f\) n’est pas séparé.

Démonstration

Rappelons que le support d’une section est fermé (Cohomologie étale, lemme 04FT) ; les résultats de Cohomologie des schémas, section 0CYK, s’appliquent donc. Le lemme ci-dessus et le lemme 0CYR de Cohomologie des schémas montrent que notre sous-ensemble de \(f_*\mathcal{F}(V)\) est un sous-groupe. D’après le lemme de Cohomologie des schémas 0CYP nous voyons que notre règle définit un sous-préfaisceau. Enfin, supposons donnés \(s \in f_*\mathcal{F}(V)\) et un recouvrement étale \(\{V_i \to V\}\) tels que le support de \(s|_{V_i}\) soit propre sur \(V_i\). Le support de \(s|_{V_i}\) est l’image réciproque du support de \(s|_V\) (utiliser la caractérisation du support au moyen des fibres et le lemme 03Q1 de Cohomologie étale). Le support de \(s\) est donc propre sur \(V\) d’après le lemme 0F4J de Descente. Notre règle satisfait ainsi la condition de faisceau.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(U_\etale\). L’image de l’application injective \(j_!\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\) du lemme de Cohomologie étale 0F4L est le sous-faisceau du lemme 0F4X.

On pourrait aussi repousser ce lemme et le démontrer à l’aide de la description des fibres des deux faisceaux.

Démonstration

La construction de \(j_!\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\) dans la démonstration du lemme de Cohomologie étale 0F4L s’obtient par la construction d’une application de préfaisceaux \(j_{p!}\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\), dont l’image est manifestement contenue dans le sous-faisceau du lemme 0F4X. Puisque \(j_!\mathcal{F}\) est le faisceau associé à \(j_{p!}\mathcal{F}\), nous en déduisons que l’image de \(j_!\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\) est contenue dans ce sous-faisceau. Réciproquement, soit \(s \in j_*\mathcal{F}(V)\) de support \(Z\) propre sur \(V\). Alors \(Z \to V\) est fini, d’image fermée \(Z' \subset V\) ; voir le lemme 02LS de Compléments sur les morphismes. La restriction de \(s\) à \(V \setminus Z'\) est nulle, et la section nulle appartient à l’image de \(j_!\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\). D’autre part, si \(v \in Z'\), nous pouvons trouver un voisinage étale \((V', v') \to (V, v)\) tel que l’on ait une décomposition \(U_{V'} = W \amalg U'_1 \amalg \ldots \amalg U'_n\) en sous-schémas ouverts et fermés, où \(U'_i \to V'\) est un isomorphisme et \(T_{V'} \subset U'_1 \amalg \ldots \amalg U'_n\) ; voir le lemme 04HM de Morphismes étales. En inversant les isomorphismes \(U'_i \to V'\), nous obtenons \(n\) morphismes \(\varphi'_i : V' \to U\) et des sections \(s'_i\) sur \(V'\), obtenues par image inverse de \(s\). La section \(\sum (\varphi'_i, s'_i)\) de \(j_{p!}\mathcal{F}\) sur \(V'\) — voir la formule de \(j_{p!}\mathcal{F}(V')\) dans la démonstration du lemme de Cohomologie étale 0F4L, a pour image la restriction de \(s\) à \(V'\) par construction. Nous concluons que, localement pour la topologie étale, \(s\) appartient à l’image de \(j_!\mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}\), ce qui achève la démonstration.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé (!) et localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Le sous-faisceau \(f_!\mathcal{F} \subset f_*\mathcal{F}\) construit au lemme 0F4X est appelé l’image directe à support propre.

Le lemme 0F4Y montre que ceci ne contredit pas la définition 03S3 de Cohomologie étale, car les deux définitions coïncident lorsqu’elles s’appliquent. Vérifions-le.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas. Alors \(f_! = f_*\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(f_!\).

Voici une observation très utile.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Soit \(X' \subset X\) un sous-schéma ouvert. Notons \(f' : X' \to Y\) la restriction de \(f\). Il existe une application injective canonique \[f'_!(\mathcal{F}|_{X'}) \longrightarrow f_!\mathcal{F}\] En effet, soit \(V \in Y_\etale\) et considérons une section \(s' \in f'_*(\mathcal{F}|_{X'})(V) = \mathcal{F}(X' \times_Y V)\) de support \(Z'\) propre sur \(V\). Alors \(Z'\) est aussi fermé dans \(X \times_Y V\) ; voir le lemme de Cohomologie des schémas 0CYQ. Il existe donc une unique section \(s \in \mathcal{F}(X \times_Y V) = f_*\mathcal{F}(V)\) dont la restriction à \(X' \times_Y V\) est \(s'\) et dont la restriction à \(X \times_Y V \setminus Z'\) est nulle ; voir le lemme 0F6G. Cette construction est compatible avec les applications de restriction et induit donc l’application voulue de faisceaux \(f'_!(\mathcal{F}|_{X'}) \to f_!\mathcal{F}\), qui est manifestement injective. Par construction, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ f'_!(\mathcal{F}|_{X'}) \ar[r] \ar[d] & f_!\mathcal{F} \ar[d] \\ f'_*(\mathcal{F}|_{X'}) & f_*\mathcal{F} \ar[l] }\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\). Il est clair que, pour \(X'' \subset X'\) ouvert et \(f'' = f|_{X''} : X'' \to Y\), la composée des applications canoniques \(f''_!\mathcal{F}|_{X''} \to f'_!\mathcal{F}|_{X'} \to f_!\mathcal{F}\) que nous venons de construire est l’application canonique \(f''_!\mathcal{F}|_{X''} \to f_!\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(Y\) un schéma. Soit \(j : X \to \overline{X}\) une immersion ouverte de schémas sur \(Y\), avec \(\overline{X}\) propre sur \(Y\). Notons \(f : X \to Y\) et \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) les morphismes structuraux. Pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), il existe un isomorphisme canonique (voir la démonstration) \[f_!\mathcal{F} \longrightarrow \overline{f}_!j_!\mathcal{F}\] Comme \(\overline{f}_! = \overline{f}_*\) d’après le lemme 0F51, nous obtenons \(\overline{f}_* \circ j_! = f_!\) comme foncteurs de \(\textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\).

Démonstration

Nous avons \((j_!\mathcal{F})|_X = \mathcal{F}\) ; voir le lemme 0F70 de Cohomologie étale. Ainsi, la flèche affichée est l’application injective \(f_!(\mathcal{G}|_X) \to \overline{f}_!\mathcal{G}\) de la remarque 0F53, pour \(\mathcal{G} = j_!\mathcal{F}\). La description explicite de cette application montre qu’il suffit de prouver ceci : si \(V \in Y_\etale\) et \(s \in \overline{f}_!\mathcal{G}(V) = \overline{f}_*\mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(\overline{X}_V)\) est une section, alors le support de \(s\) est contenu dans l’ouvert \(X_V \subset \overline{X}_V\). Cela résulte immédiatement de ce que les fibres de \(\mathcal{G}\) sont nulles aux points géométriques de \(\overline{X} \setminus X\).

Nous voulons relier les fibres de \(f_!\mathcal{F}\) aux sections à support propre sur les fibres. Nous avons besoin pour cela d’une définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma séparé localement de type fini sur un corps \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Nous définissons \(H^0_c(X, \mathcal{F}) \subset H^0(X, \mathcal{F})\) comme l’ensemble des sections dont le support est propre sur \(k\). Les éléments de \(H^0_c(X, \mathcal{F})\) sont appelés sections à support propre.

Avertissement : cette définition n’est pas la « bonne » si \(X\) n’est pas séparé sur \(k\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\). Alors \(H^0_c(X, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(H^0_c\).

Remarque

Soit \(X\) un schéma séparé localement de type fini sur un corps \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Exactement comme dans la remarque 0F53, pour tout ouvert \(X' \subset X\), il existe une application injective \[H^0_c(X', \mathcal{F}|_{X'}) \longrightarrow H^0_c(X, \mathcal{F})\] et ces applications font de \(H^0_c\) un « cofaisceau » sur le site de Zariski de \(X\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(j : X \to \overline{X}\) une immersion ouverte de schémas sur \(k\), avec \(\overline{X}\) propre sur \(k\). Pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), il existe un isomorphisme canonique (voir la démonstration) \[H^0_c(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^0_c(\overline{X}, j_!\mathcal{F}) = H^0(\overline{X}, j_!\mathcal{F})\] où l’égalité de droite résulte du lemme 0F73.

Démonstration

Nous avons \((j_!\mathcal{F})|_X = \mathcal{F}\) ; voir le lemme 0F70 de Cohomologie étale. Ainsi, la flèche affichée est l’application injective \(H^0_c(X, \mathcal{G}|_X) \to H^0_c(\overline{X}, \mathcal{G})\) de la remarque 0F74, pour \(\mathcal{G} = j_!\mathcal{F}\). La description explicite de cette application montre qu’il suffit de prouver ceci : si \(s \in H^0(\overline{X}, \mathcal{G})\) est une section, alors le support de \(s\) est contenu dans l’ouvert \(X\). Cela résulte immédiatement de ce que les fibres de \(\mathcal{G}\) sont nulles aux points géométriques de \(\overline{X} \setminus X\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Il existe alors un isomorphisme canonique \[(f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \longrightarrow H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\] pour tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\).

Démonstration

Rappelons que \((f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \colim f_*\mathcal{F}(V)\), où la limite inductive porte sur les voisinages étales \((V, \overline{v})\) de \(\overline{y}\). Si \(s \in f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X_V)\), l’image inverse de \(s\) est une section de \(\mathcal{F}\) sur \((X_V)_{\overline{v}} = X_{\overline{y}}\). Nous obtenons ainsi une application canonique \[c_{\overline{y}} : (f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} \longrightarrow H^0(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\] Nous affirmons que cette application induit une bijection entre les sous-groupes \((f_!\mathcal{F})_{\overline{y}}\) et \(H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\). Cette affirmation implique le lemme, mais elle est légèrement plus précise, car elle décrit l’identification du lemme comme étant donnée par l’image inverse des sections de \(\mathcal{F}\) sur la fibre géométrique de \(f\).

Observons que tout élément \(s \in (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \subset (f_*\mathcal{F})_{\overline{y}}\) est envoyé par \(c_{\overline{y}}\) sur un élément de \(H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) \subset H^0(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\). En effet, la formation du support d’une section commute au changement de base et la propreté est préservée par changement de base. Ceci construit déjà l’application de l’énoncé du lemme. Pour montrer que c’est un isomorphisme, nous pouvons travailler localement pour la topologie de Zariski sur \(Y\) ; nous supposons donc \(Y\) affine.

Nous utiliserons ci-dessous l’observation suivante : étant donné un sous-schéma ouvert \(X' \subset X\), si \(f' = f|_{X'}\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (f'_!(\mathcal{F}|_{X'}))_{\overline{y}} \ar[r] \ar[d] & H^0_c(X'_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}}}) \ar[d] \\ (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] & H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) }\] où les flèches horizontales sont les applications construites ci-dessus et les flèches verticales sont celles des remarques 0F53 et 0F74. En effet, étant donnés un voisinage étale \((V, \overline{v})\) de \(\overline{y}\) et une section \(s \in f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X_V)\) dont le support \(Z\) est contenu dans \(X'_V\) et propre sur \(V\), de sorte que \(s\) détermine un élément de chacun des groupes \((f'_!(\mathcal{F}|_{X'}))_{\overline{y}}\) et \((f_!\mathcal{F})_{\overline{y}}\) qui se correspondent par la flèche verticale du diagramme, les flèches horizontales envoient alors ces éléments sur l’image inverse \(s|_{X_{\overline{y}}}\) de \(s\) dans \(X_{\overline{y}}\), dont le support \(Z_{\overline{y}}\) est contenu dans \(X'_{\overline{y}}\) ; cette restriction détermine donc une paire compatible d’éléments de \(H^0_c(X'_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}}})\) et de \(H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\).

Supposons que \(s \in (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}}\) ait une image nulle dans \(H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\). Disons que \(s\) correspond à \(s \in f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X_V)\), de support \(Z\) propre sur \(V\). Nous pouvons supposer \(V\) affine, et \(Z\) est alors quasi-compact. Nous pouvons choisir un ouvert quasi-compact \(X' \subset X\) contenant l’image de \(Z\). Alors \(Z\) est contenu dans \(X'_V\) et \(s\) est donc l’image d’un élément \(s' \in f'_!(\mathcal{F}|_{X'})(V)\), où \(f' = f|_{X'}\), comme au paragraphe précédent. L’image de \(s'\) dans \(H^0_c(X'_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}}})\) est donc nulle. Pour démontrer l’injectivité, nous pouvons remplacer \(X\) par \(X'\), c’est-à-dire supposer \(X\) quasi-compact. Nous démontrerons ce cas ci-dessous.

Supposons que \(t \in H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\). Alors le support de \(t\) est contenu dans un sous-schéma ouvert quasi-compact \(W \subset X_{\overline{y}}\). Nous pouvons donc trouver un sous-schéma ouvert quasi-compact \(X' \subset X\) tel que \(X'_{\overline{y}}\) contienne \(W\). Il est alors clair que \(t\) appartient à l’image de l’application injective \(H^0_c(X'_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}}}) \to H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}})\). Pour démontrer la surjectivité, nous pouvons donc remplacer \(X\) par \(X'\), c’est-à-dire supposer \(X\) quasi-compact. Nous démontrerons ce cas ci-dessous.

Dans ce dernier paragraphe, nous démontrons le lemme lorsque \(X\) est quasi-compact et \(Y\) affine. D’après le théorème 0F41 de Compléments sur la platitude, il existe une compactification \(j : X \to \overline{X}\) sur \(Y\). Posons \(\mathcal{G} = j_!\mathcal{F}\), de sorte que \(\mathcal{F} = \mathcal{G}|_X\) d’après le lemme 0F70 de Cohomologie étale. La discussion ci-dessus donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] \ar[d] & H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) \ar[d] \\ (\overline{f}_!\mathcal{G})_{\overline{y}} \ar[r] & H^0_c(\overline{X}_{\overline{y}}, \mathcal{G}|_{\overline{X}_{\overline{y}}}) }\] D’après les lemmes 0F52 et 0F75, les applications verticales sont des isomorphismes. Nous sommes ramenés au cas du morphisme propre \(\overline{X} \to Y\). Pour un morphisme propre, notre application est un isomorphisme d’après les lemmes 0F51 et 0F73, ainsi que le changement de base propre pour les images directes ; voir le lemme de Cohomologie étale 0A3T.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas, où \(f\) est séparé et localement de type fini. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), nous avons \(f'_!(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_!\mathcal{F}\).

Démonstration

Plus généralement, il existe une application de changement de base \(g^{-1}f_*\mathcal{F} \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) ; voir Sites, section 06UM. Nous affirmons que cette application envoie \(g^{-1}f_!\mathcal{F}\) dans le sous-faisceau \(f'_!(g')^{-1}\mathcal{F}\) et induit l’isomorphisme du lemme.

Choisissons un point géométrique \(\overline{y}': \Spec(k) \to Y'\) et notons \(\overline{y} = g \circ \overline{y}'\) son image dans \(Y\). Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] \ar[d] & H^0(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) \ar[d] \\ (f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} \ar[r] & H^0(X'_{\overline{y}'}, (g')^{-1}\mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}'}}) }\] où les applications horizontales sont celles utilisées dans la démonstration du lemme 0F76, et les applications verticales sont celles de changement de base ci-dessus. Le diagramme commute, car chacune des quatre applications considérées s’obtient en prenant l’image inverse de sections locales par un morphisme de schémas, et le diagramme sous-jacent de morphismes de schémas commute. Puisque le diagramme de l’énoncé du lemme est cartésien, nous avons \(X'_{\overline{y}'} = X_{\overline{y}}\). Le lemme 0F76 et sa démonstration donnent donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[rrr] \ar[ddd] & & & H^0(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) \ar[ddd] \\ & (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar[lu] & H^0_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}|_{X_{\overline{y}}}) \ar[d] \ar[ru] \\ & (f'_!(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} \ar[r] \ar[ld] & H^0_c(X'_{\overline{y}'}, (g')^{-1}\mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}'}}) \ar[rd]\\ (f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} \ar[rrr] & & & H^0(X'_{\overline{y}'}, (g')^{-1}\mathcal{F}|_{X'_{\overline{y}'}}) }\] où les flèches horizontales du carré intérieur sont des isomorphismes et les deux flèches verticales de droite sont des égalités. En outre, les flèches sud-est, sud-ouest, nord-est et nord-ouest sont injectives. Il existe donc une unique flèche pointillée bijective complétant le diagramme. Nous en concluons que \(g^{-1}f_!\mathcal{F} \subset g^{-1}f_*\mathcal{F} \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) est envoyé dans le sous-faisceau \(f'_!(g')^{-1}\mathcal{F} \subset f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) car il en est ainsi sur les fibres ; voir le théorème 03PU de Cohomologie étale. Le même théorème implique alors que l’application induite est un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes composables de schémas, séparés et localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Alors \(g_!f_!\mathcal{F} = (g \circ f)_!\mathcal{F}\) comme sous-faisceaux de \((g \circ f)_*\mathcal{F}\).

Démonstration

Nous recommandons vivement au lecteur de le démontrer lui-même. Soient \(W \in Z_\etale\) et \(s \in (g \circ f)_*\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}(X_W)\). Notons \(T \subset X_W\) le support de \(s\) ; c’est un sous-ensemble fermé. La section \(s\) appartient à \((g \circ f)_!\mathcal{F}\) si et seulement si \(T\) est propre sur \(W\). Nous avons \(f_!\mathcal{F} \subset f_*\mathcal{F}\), et donc \(g_!f_!\mathcal{F} \subset g_!f_*\mathcal{F} \subset g_*f_*\mathcal{F}\). D’autre part, \(s\) appartient à \(g_!f_!\mathcal{F}\) si et seulement si (a) \(T\) est propre sur \(Y_W\) et (b) le support \(T'\) de \(s\), considérée comme section de \(f_!\mathcal{F}\), est propre sur \(W\). Si (a) est vérifiée, l’image de \(T\) dans \(Y_W\) est fermée et, puisque \(f_!\mathcal{F} \subset f_*\mathcal{F}\), nous voyons que \(T' \subset Y_W\) est l’image de \(T\) (détails omis ; considérer les fibres).

Il reste donc à montrer qu’un sous-ensemble fermé \(T \subset X_W\) est propre sur \(W\) si et seulement si \(T\) est propre sur \(Y_W\) et si l’image de \(T\) dans \(Y_W\) est propre sur \(W\). Munissons \(T\) de la structure réduite induite de sous-schéma fermé. Si \(T\) est propre sur \(W\), alors \(T \to Y_W\) est propre d’après le lemme 01W6 de Morphismes, et l’image de \(T\) dans \(Y_W\) est propre sur \(W\) d’après le lemme de Cohomologie des schémas 0CYQ. Réciproquement, si \(T\) est propre sur \(Y_W\) et si l’image de \(T\) dans \(Y_W\) est propre sur \(W\), alors le morphisme \(T \to W\) est propre comme composé de morphismes propres (nous munissons ici l’image fermée de \(T\) dans \(Y_W\) de sa structure réduite induite, afin de ramener la question à des morphismes de schémas) ; voir le lemme 01W3 de Morphismes.

Remarque

Les isomorphismes entre foncteurs construits ci-dessus possèdent les deux propriétés suivantes :

1. Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) et \(h : Z \to T\) des morphismes composables de schémas, séparés et localement de type fini. Alors le diagramme \[\xymatrix{ (h \circ g \circ f)_! \ar[r] \ar[d] & (h \circ g)_! \circ f_! \ar[d] \\ h_! \circ (g \circ f)_! \ar[r] & h_! \circ g_! \circ f_! }\] est commutatif, les flèches étant celles du lemme 0F50.

2. Supposons donné un diagramme de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_c & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[d]_{g'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^a & Z }\] dont les deux carrés sont cartésiens, et où \(f\) et \(g\) sont séparés et localement de type fini. Alors le diagramme \[\xymatrix{ a^{-1} \circ (g \circ f)_! \ar[d] \ar[rr] & & (g' \circ f')_! \circ c^{-1} \ar[d] \\ a^{-1} \circ g_! \circ f_! \ar[r] & g'_! \circ b^{-1} \circ f_! \ar[r] & g'_! \circ f'_! \circ c^{-1} }\] est commutatif, les flèches horizontales étant celles du lemme 0F55 et les autres celles du lemme 0F50.

La partie (1) est vraie parce qu’il existe un diagramme commutatif analogue pour les images directes. La partie (2) résulte de la compatibilité très générale des applications de changement de base pour les images directes (Sites, remarque 0F6X) et du fait que les isomorphismes des lemmes 0F55 et 0F50 sont construits à l’aide des applications de changement de base correspondantes pour les images directes.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement de type fini. Soit \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) un recouvrement ouvert tel que, pour tous \(i, j \in I\), il existe \(k\) avec \(X_i \cup X_j \subset X_k\). Notons \(f_i : X_i \to Y\) la restriction de \(f\). Alors \[f_!\mathcal{F} = \colim_{i \in I} f_{i, !}(\mathcal{F}|_{X_i})\] fonctoriellement en \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), où les morphismes de transition sont ceux construits dans la remarque 0F53.

Démonstration

Il suffit de montrer que l’application canonique de droite à gauche est bijective lorsqu’on l’évalue sur un objet quasi-compact \(V\) de \(Y_\etale\). La limite inductive du membre de droite est filtrante et ses morphismes de transition sont injectifs. Nous pouvons donc utiliser le lemme 0738 de Sites pour évaluer cette limite. L’énoncé se ramène ainsi à observer qu’un fermé \(Z \subset X_V\) propre sur \(V\) est quasi-compact et est donc contenu dans \(X_{i, V}\) pour un certain \(i\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement de type fini. Alors le foncteur \(f_!\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} = \bigoplus \mathcal{F}_i\). Pour montrer que l’application \(\bigoplus f_!\mathcal{F}_i \to f_!\mathcal{F}\) est un isomorphisme, il suffit de montrer que ces faisceaux ont les mêmes sections sur un objet quasi-compact \(V\) de \(Y_\etale\). En remplaçant \(Y\) par \(V\), il suffit de montrer que \(H^0(Y, f_!\mathcal{F}) \subset H^0(X, \mathcal{F})\) est égal à \(\bigoplus H^0(Y, f_!\mathcal{F}_i) \subset \bigoplus H^0(X, \mathcal{F}_i) \subset H^0(X, \bigoplus \mathcal{F}_i)\). Dans ce cas, en écrivant \(X\) comme réunion de ses ouverts quasi-compacts et en utilisant le lemme 0F54, nous nous ramenons au cas où \(X\) est également quasi-compact. Alors \(H^0(X, \mathcal{F}) = \bigoplus H^0(X, \mathcal{F}_i)\) d’après le théorème 09YQ de Cohomologie étale. Le lecteur conclura aisément en considérant les supports des sections.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement quasi-fini. Alors

1. pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\) et un point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\), nous avons \[(f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\] fonctoriellement en \(\mathcal{F}\), et

2. le foncteur \(f_!\) est exact.

Démonstration

Le foncteur \(f_!\) est exact à gauche par construction. L’exactitude à droite se vérifie sur les fibres (Cohomologie étale, théorème 03PU). Il suffit donc de démontrer la partie (1).

Soit \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) un point géométrique. L’espace topologique sous-jacent au schéma \(X_{\overline{y}}\) est discret (Morphismes, lemme 06RT), et tous les corps résiduels en ses points sont égaux à \(k\) (comme extensions finies de \(k\)). Par conséquent, \(\{\overline{x} : \Spec(k) \to X : f(\overline{x}) = \overline{y}\}\) est égal à l’ensemble des points de \(X_{\overline{y}}\). Le calcul de la fibre résulte donc du lemme plus général 0F76.

sections à support fini

Dans cette section, nous étendons la construction de la section 0F4W aux morphismes localement quasi-finis qui ne sont pas nécessairement séparés.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Pour \(V\) dans \(Y_\etale\), notons \(X_V = X \times_Y V\) le changement de base. Nous allons considérer le groupe des sommes formelles finies [0F6J]\[\begin{equation} s = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (Z_i, s_i) \end{equation}\] où \(Z_i \subset X_V\) est un sous-schéma localement fermé tel que le morphisme \(Z_i \to V\) soit fini² et où \(s_i \in H_{Z_i}(\mathcal{F})\). Ici, comme dans la section 0F71, nous posons \[H_{Z_i}(\mathcal{F}) = \{s_i \in \mathcal{F}(U_i) \mid \text{Supp}(s_i) \subset Z_i\}\] où \(U_i \subset X_V\) est un sous-schéma ouvert contenant \(Z_i\) comme sous-schéma fermé. Nous considérons ces sommes formelles modulo les relations suivantes :

1. \((Z, s) + (Z, s') = (Z, s + s')\),

2. \((Z, s) = (Z', s)\) si \(Z \subset Z'\).

La seconde relation a bien un sens : puisque \(Z \to V\) est fini et \(Z' \to V\) séparé, l’inclusion \(Z \to Z'\) est fermée et nous pouvons utiliser l’application décrite en (0F6H).

Notons \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\) le quotient du groupe abélien des sommes formelles (0F6J) par ces relations. La première relation dit que \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\) est un quotient de la somme directe des groupes abéliens \(H_Z(\mathcal{F})\), où \(Z \subset X_V\) parcourt les sous-schémas localement fermés finis sur \(V\). La seconde relation dit qu’il s’agit en réalité de la limite inductive [0F6M]\[\begin{equation} f_{p!}\mathcal{F}(V) = \colim_Z H_Z(\mathcal{F}) \end{equation}\] Cette formule donne une manière abstraite commode de considérer notre construction.

Observons ensuite que cette construction donne naturellement un préfaisceau \(f_{p!}\mathcal{F}\) de groupes abéliens sur \(Y_\etale\). En effet, un morphisme \(V' \to V\) dans \(Y_\etale\) fournit le morphisme de changement de base \(X_{V'} \to X_V\). Si \(Z \subset X_V\) est un sous-schéma localement fermé fini sur \(V\), alors l’image inverse schématique \(Z' \subset X_{V'}\) est finie sur \(V'\). En outre, si \(U \subset X_V\) est un ouvert tel que \(Z\) soit fermé dans \(U\), alors l’image inverse \(U' \subset X_{V'}\) est un ouvert tel que \(Z'\) soit fermé dans \(U'\). L’application de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) de \(\mathcal{F}\) envoie donc \(H_Z(\mathcal{F})\) dans \(H_{Z'}(\mathcal{F})\) ; c’est un cas particulier de la fonctorialité décrite en (0F6I) ci-dessus. Ces applications sont manifestement compatibles avec les inclusions \(Z_1 \subset Z_2\) de tels sous-schémas localement fermés de \(X_V\), et nous obtenons une application \[f_{p!}\mathcal{F}(V) = \colim_Z H_Z(\mathcal{F}) \longrightarrow \colim_{Z'} H_{Z'}(\mathcal{F}) = f_{p!}\mathcal{F}(V')\] Ces applications font bien de \(f_{p!}\mathcal{F}\) un préfaisceau de groupes abéliens sur \(Y_\etale\). Nous omettons les détails.

Enfin, observons que la construction de \(f_{p!}\mathcal{F}\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\). Ainsi, à tout morphisme localement quasi-fini \(f : X \to Y\), nous avons associé un foncteur \[f_{p!} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PAb}(Y_\etale)\] de la catégorie des faisceaux abéliens sur \(X_\etale\) vers celle des préfaisceaux abéliens sur \(Y_\etale\). Avant de définir \(f_!\) par passage au faisceau associé à ce foncteur, vérifions qu’il coïncide avec la construction de la section 0F4W et avec celle de la section 03S2 de Cohomologie étale lorsqu’elles s’appliquent toutes deux.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement quasi-fini. Fonctoriellement en \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), il existe un isomorphisme canonique (!) \[f_{p!}\mathcal{F} \longrightarrow f_!\mathcal{F}\] de préfaisceaux abéliens qui identifie le faisceau \(f_!\mathcal{F}\) de la définition 0F4Z au préfaisceau \(f_{p!}\mathcal{F}\) construit ci-dessus.

Démonstration

Soit \(V\) un objet de \(Y_\etale\). Si \(Z \subset X_V\) est localement fermé et fini sur \(V\), alors, puisque \(f\) est séparé, le morphisme \(Z \to X_V\) est une immersion fermée. De plus, si \(Z_i\), \(i = 1, \ldots, n\), sont des sous-schémas fermés de \(X_V\) finis sur \(V\), alors \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) (réunion schématique) est un sous-schéma fermé fini sur \(V\). Dans ce cas, la limite inductive (0F6M) qui définit \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\) est donc filtrante, et \(f_{!p}\mathcal{F}(V)\) est simplement égal à l’ensemble des sections de \(\mathcal{F}(X_V)\) dont le support est fini sur \(V\). Tout fermé de \(X_V\) propre sur \(V\) étant en fait fini sur \(V\) (car \(f\) est localement quasi-fini), nous concluons que cet ensemble est égal à \(f_!\mathcal{F}(V)\) par définition.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) un point géométrique. Fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\), nous avons \[(f_{p!}\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\]

Démonstration

Rappelons que la fibre en \(\overline{y}\) d’un préfaisceau est définie par la limite inductive usuelle sur les voisinages étales \((V, \overline{v})\) de \(\overline{y}\) ; voir la définition 040R de Cohomologie étale. Supposons donc que \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z_i, s_i)\), comme dans (0F6J), soit un élément de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\), où \((V, \overline{v})\) est un voisinage étale de \(\overline{y}\). Alors, puisque \[X_{\overline{y}} = (X_V)_{\overline{v}} \supset Z_{i, \overline{v}}\] et puisque \(s_i\) est une section de \(\mathcal{F}\) sur un voisinage ouvert de \(Z_i\) dans \(X_V\), nous pouvons envoyer \(s\) sur \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \sum\nolimits_{\overline{x} \in Z_{i, \overline{v}}} \left(\text{classe de }s_i\text{ dans }\mathcal{F}_{\overline{x}}\right) \quad\in\quad \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\] Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction et le fait que les relations (0F6K) \((Z, s) + (Z, s') - (Z, s + s')\) et (0F6L) \((Z, s) - (Z', s)\) si \(Z \subset Z'\) sont envoyées sur zéro. Nous obtenons ainsi une application \[(f_{p!}\mathcal{F})_{\overline{y}} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\]

Montrons que cette flèche est surjective. Il suffit de choisir \(\overline{x}\) tel que \(f(\overline{x}) = \overline{y}\) et de montrer qu’un élément \(s\) du facteur direct \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) appartient à l’image. Supposons que \(s\) soit représenté par \(s \in \mathcal{F}(U)\), où \((U, \overline{u})\) est un voisinage étale de \(\overline{x}\). Puisque \(f\) est localement quasi-fini, le morphisme \(U \to Y\) l’est également. D’après le lemme de Compléments sur les morphismes 02LM nous pouvons trouver un voisinage étale \((V, \overline{v})\) de \(\overline{y}\), un sous-schéma ouvert \[W \subset U \times_Y V,\] et un point géométrique \(\overline{w}\) s’envoyant sur \(\overline{u}\) et \(\overline{v}\), tels que \(W \to V\) soit fini et que \(\overline{w}\) soit l’unique point géométrique de \(W\) s’envoyant sur \(\overline{v}\). (Nous omettons le passage du langage des points géométriques employé ici à celui des points et des extensions de corps résiduels utilisé dans l’énoncé du lemme.) Le morphisme \(W \to X_V = X \times_Y V\) est étale. Choisissons un voisinage ouvert affine \(W' \subset X_V\) de l’image \(\overline{w}'\) de \(\overline{w}\). Puisque \(\overline{w}\) est l’unique point de \(W\) au-dessus de \(\overline{v}\) et que \(W \to V\) est fermé, nous pouvons, après avoir remplacé \(V\) par un voisinage ouvert de \(\overline{v}\), supposer que \(W \to X_V\) se factorise par \(W'\). Alors \(W \to W'\) est fini et étale, et il existe un unique point géométrique \(\overline{w}\) de \(W\) au-dessus de \(\overline{w}'\). Il s’ensuit que \(W \to W'\) est une immersion ouverte au-dessus d’un voisinage ouvert de \(\overline{w}'\) dans \(W'\) ; voir le lemme 04DH de Morphismes étales. En rétrécissant \(V\) et \(W'\), nous pouvons supposer que \(W \to W'\) est un isomorphisme. Ainsi, \(s\) peut être regardée comme une section \(s'\) de \(\mathcal{F}\) sur le sous-schéma ouvert \(W' \subset X_V\), qui est fini sur \(V\). Par définition, \((W', s')\) définit donc un élément de \(j_{p!}\mathcal{F}(V)\) dont l’image est \(s\), comme souhaité.

Montrons que la flèche est injective. Pour cela, soit \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z_i, s_i)\), comme dans (0F6J), un élément de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\), où \((V, \overline{v})\) est un voisinage étale de \(\overline{y}\). Supposons que l’image de \(s\) soit nulle par l’application construite ci-dessus. Après avoir tout d’abord remplacé \((V, \overline{v})\) par un voisinage étale de lui-même, nous pouvons supposer qu’il existe des décompositions \(Z_i = Z_{i, 1} \amalg \ldots \amalg Z_{i, m_i}\) en sous-schémas ouverts et fermés, telles que chaque \(Z_{i, j}\) possède exactement un point géométrique au-dessus de \(\overline{v}\). Dans la décomposition évidente en somme directe \[H_{Z_i}(\mathcal{F}) = \bigoplus H_{Z_{i, j}}(\mathcal{F})\] supposons que l’élément \(s_i\) corresponde à \(\sum s_{i, j}\). Les relations (0F6K) et (0F6L) permettent de remplacer \(s\) par \(\sum_{i = 1, \ldots, n} \sum_{j = 1, \ldots, m_i} (Z_{i, j}, s_{i, j})\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(Z_i\) possède un unique point géométrique au-dessus de \(\overline{v}\). Soient \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_m\) les points géométriques de \(X\) au-dessus de \(\overline{y}\) correspondant aux points géométriques de nos \(Z_i\) au-dessus de \(\overline{v}\) ; notons que, pour un même \(j \in \{1, \ldots, m\}\), plusieurs indices \(i\) peuvent être tels que \(\overline{x}_j\) corresponde à un point de \(Z_i\). D’après le lemme de Compléments sur les morphismes 02LM appliqué à \(X_V \to V\), après avoir remplacé \((V, \overline{v})\) par un voisinage étale de lui-même, nous pouvons supposer qu’il existe des sous-schémas ouverts \[W_j \subset X \times_Y V,\quad j = 1, \ldots, m\] et un point géométrique \(\overline{w}_j\) de \(W_j\) s’envoyant sur \(\overline{x}_j\) et \(\overline{v}\), tels que \(W_j \to V\) soit fini et que \(\overline{w}_j\) soit l’unique point géométrique de \(W_j\) s’envoyant sur \(\overline{v}\). Après avoir rétréci \(V\), nous pouvons supposer que \(Z_i \subset W_j\) pour un certain \(j\), et nous disposons de l’application \(H_{Z_i}(\mathcal{F}) \to H_{W_j}(\mathcal{F})\). La relation (0F6L) montre donc que notre élément est équivalent à un élément de la forme \[\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} (W_j, t_j)\] pour certains \(t_j \in H_{W_j}(\mathcal{F})\). Il est clair que cet élément a simplement pour image la classe de \(t_j\) dans le facteur \(\mathcal{F}_{\overline{x}_j}\). Puisque l’image de \(s\) est nulle, celle de \(t_j\) dans \(\mathcal{F}_{\overline{x}_j}\) l’est aussi. Il s’ensuit que la restriction de \(t_j\) est nulle sur un voisinage ouvert de \(\overline{w}_j\) dans \(W_j\) ; voir le lemme 04FR de Cohomologie étale. En rétrécissant encore \(V\), nous obtenons \(t_j = 0\) pour tout \(j\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(f = j : U \to X\) un morphisme étale de schémas. Notons \(j_{p!}\) la construction donnée par la formule de Cohomologie étale (0F4K) et \(f_{p!}\) la construction précédente. Fonctoriellement en \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), il existe une application canonique \[j_{p!}\mathcal{F} \longrightarrow f_{p!}\mathcal{F}\] de préfaisceaux abéliens qui identifie le faisceau \(j_!\mathcal{F} = (j_{p!}\mathcal{F})^\#\) de la définition 03S3 de Cohomologie étale à \((f_{p!}\mathcal{F})^\#\).

Démonstration

On pourra lire la démonstration du lemme de Cohomologie étale 0F4L avant celle du présent lemme. Soit \(V\) un objet de \(X_\etale\). Rappelons que \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \bigoplus\nolimits_{\varphi : V \to U} \mathcal{F}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] À \(\varphi\) est associé un sous-schéma ouvert \(Z_\varphi \subset U_V = U \times_X V\), à savoir l’image du graphe de \(\varphi\). Grâce à \(\varphi\), nous obtenons un isomorphisme \(V \to Z_\varphi\) sur \(U\) et pouvons regarder un élément \[s_\varphi \in \mathcal{F}(V \xrightarrow{\varphi} U) = \mathcal{F}(Z_\varphi) = H_{Z_\varphi}(\mathcal{F})\] comme une section de \(\mathcal{F}\) sur \(Z_{\varphi}\). Puisque \(Z_\varphi \subset U_V\) est ouvert, nous avons en fait \(H_{Z_\varphi}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(Z_\varphi)\) et pouvons regarder \(s_\varphi\) comme un élément de \(H_{Z_\varphi}(\mathcal{F})\). Cela étant, notre application \(j_{p!}\mathcal{F} \to f_{p!}\mathcal{F}\) est définie par la règle \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} s_{\varphi_i} \longmapsto \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (Z_{\varphi_i}, s_{\varphi_i})\] où le membre de droite est une somme comme dans (0F6J). Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction et la fonctorialité en \(\mathcal{F}\).

Pour achever la démonstration, affirmons que, pour tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\), le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ (j_{p!}\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{j(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \ar@{=}[d] \\ (f_{p!}\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] & \bigoplus_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}} }\] où la flèche horizontale supérieure est construite dans la démonstration de la proposition de Cohomologie étale 03S5, la flèche horizontale inférieure dans celle du lemme 0F6P, la flèche verticale droite est l’égalité évidente, et la flèche verticale gauche est l’application induite sur les fibres par celle définie au paragraphe précédent. L’affirmation résulte immédiatement de la description explicite de toutes les flèches qui interviennent ici et dans les références indiquées. Puisque les flèches horizontales sont des isomorphismes, la flèche verticale gauche est elle aussi un isomorphisme. Notre application induit donc un isomorphisme après passage aux faisceaux associés, d’après le théorème 03PU de Cohomologie étale.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Nous appelons image directe à support propre le foncteur \[f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] défini par la formule \(f_!\mathcal{F} = (f_{p!}\mathcal{F})^\#\), c’est-à-dire que \(f_!\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(f_{p!}\mathcal{F}\) construit ci-dessus.

D’après le lemme 0F6N, ceci ne contredit pas la définition 0F4Z (lorsque les deux définitions s’appliquent) et, d’après le lemme 0F6Q, ceci ne contredit pas non plus la définition 03S3 de Cohomologie étale (lorsque les deux définitions s’appliquent).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Alors :

1. pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\) et tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\), on a \[(f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\] fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) ;

2. le foncteur \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est exact et commute aux sommes directes.

Démonstration

La formule pour les fibres découle immédiatement du lemme 0F6P (et lui est en fait équivalente). L’exactitude du foncteur en résulte aussitôt, puisque l’exactitude se vérifie sur les fibres ; voir le théorème 03PU de Cohomologie étale.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Soit \(X' \subset X\) un sous-schéma ouvert, et notons \(f' : X' \to Y\) la restriction de \(f\). Il existe une application canonique \[f'_!(\mathcal{F}|_{X'}) \longrightarrow f_!\mathcal{F}\] Cette application est la faisceautisation d’une application canonique \[f'_{p!}(\mathcal{F}|_{X'}) \to f_{p!}\mathcal{F}\] construite comme suit. Soit \(V \in Y_\etale\), et considérons une section \(s' = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z'_i, s'_i)\) comme dans (0F6J), définissant un élément de \(f'_{p!}(\mathcal{F}|_{X'})(V)\). Alors \(Z'_i \subset X'_V\) peut aussi être regardé comme un sous-schéma localement fermé de \(X_V\), et l’on a \(H_{Z'_i}(\mathcal{F}|_{X'}) = H_{Z'_i}(\mathcal{F})\). Nous envoyons \(s'\) sur exactement la même somme \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z'_i, s'_i)\), mais regardée maintenant comme un élément de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\). Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible avec les applications de restriction et fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Cette construction possède les propriétés suivantes :

1. Les applications \(f'_{p!}\mathcal{F}' \to f_{p!}\mathcal{F}\) et \(f'_!\mathcal{F}' \to f_!\mathcal{F}\) sont compatibles avec la description des fibres donnée dans les lemmes 0F6P et 0F5F.

2. Si \(f\) est séparé, l’application \(f'_{p!}\mathcal{F}' \to f_{p!}\mathcal{F}\) est celle construite dans la remarque 0F53 via l’isomorphisme du lemme 0F6N.

3. Si \(X'' \subset X'\) est un autre ouvert, la composée de \(f''_{p!}(\mathcal{F}|_{X''}) \to f'_{p!}(\mathcal{F}|_{X'}) \to f_{p!}\mathcal{F}\) est l’application \(f''_{p!}(\mathcal{F}|_{X''}) \to f_{p!}\mathcal{F}\) associée à l’inclusion \(X'' \subset X\). Après passage aux faisceaux associés, il en va de même de \(f''_!(\mathcal{F}|_{X''}) \to f'_!(\mathcal{F}|_{X'}) \to f_!\mathcal{F}\).

4. L’application \(f'_!\mathcal{F}' \to f_!\mathcal{F}\) est injective, car cela se vérifie sur les fibres.

Tous ces énoncés se démontrent aisément en représentant les éléments par des sommes finies comme ci-dessus et en examinant leurs images.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) un recouvrement ouvert. Il existe alors un complexe exact \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1, i_2} f_{i_0i_1i_2, !} \mathcal{F}|_{X_{i_0i_1i_2}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1} f_{i_0i_1, !} \mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0} f_{i_0, !} \mathcal{F}|_{X_{i_0}} \to f_!\mathcal{F} \to 0\] fonctoriel en \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) ; voir les détails dans la démonstration.

Démonstration

Comme d’habitude, posons \(X_{i_0 \ldots i_p} = X_{i_0} \cap \ldots \cap X_{i_p}\) et notons \(f_{i_0 \ldots i_p}\) la restriction de \(f\) à \(X_{i_0 \ldots i_p}\). Les différentielles du complexe sont les applications construites dans la remarque 0F6S, avec les règles de signes du complexe de Čech. L’exactitude découle aisément de la description des fibres donnée au lemme 0F5F. Nous omettons les détails.

Remarque

Le lemme 0F5H donne une autre construction du foncteur \(f_!\) pour les morphismes localement quasi-finis \(f\). En effet, étant donné un morphisme de schémas localement quasi-fini \(f : X \to Y\), nous pouvons choisir un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) tel que chaque \(f_i : X_i \to Y\) soit séparé ; il suffit par exemple de choisir un recouvrement ouvert affine de \(X\). Nous pouvons alors définir \(f_!\mathcal{F}\) comme le conoyau de l’avant-dernière flèche du complexe du lemme, c’est-à-dire \[f_!\mathcal{F} = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1} f_{i_0i_1, !} \mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0} f_{i_0, !} \mathcal{F}|_{X_{i_0}} \right)\] où l’on peut utiliser les constructions de \(f_{i_0, !}\) et de \(f_{i_0i_1, !}\) de la section 0F4W, puisque les morphismes \(f_{i_0}\) et \(f_{i_0 i_1}\) sont séparés. On peut alors calculer les fibres de \(f_!\) (en se ramenant au cas séparé, c’est-à-dire au lemme 0F57) et obtenir le résultat du lemme 0F5F. Tous les autres résultats de la présente section s’en déduisent également.

Remarque

Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme de schémas. Pour tout préfaisceau abélien \(\mathcal{G}'\) sur \(Y'_\etale\), notons \(g_*\mathcal{G}'\) le préfaisceau \(V \mapsto \mathcal{G}'(Y' \times_Y V)\). Si \(\alpha : \mathcal{G} \to g_*\mathcal{G}'\) est une application de préfaisceaux abéliens sur \(Y_\etale\), il existe une unique application \(\alpha^\# : \mathcal{G}^\# \to g_*((\mathcal{G}')^\#)\) de faisceaux abéliens sur \(Y_\etale\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G} \ar[d] \ar[r]_\alpha & g_*\mathcal{G}' \ar[d] \\ \mathcal{G}^\# \ar[r]^-{\alpha^\#} & g_*((\mathcal{G}')^\#) }\] soit commutatif, les flèches verticales provenant des applications canoniques \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}^\#\) et \(\mathcal{G}' \to (\mathcal{G}')^\#\). Si \(\alpha' : g^{-1}\mathcal{G}^\# \to (\mathcal{G}')^\#\) est l’application adjointe à \(\alpha^\#\), alors, pour tout point géométrique \(\overline{y}' : \Spec(k) \to Y'\) d’image \(\overline{y} = g \circ \overline{y}'\) dans \(Y\), l’application \[\alpha'_{\overline{y}'} : \mathcal{G}_{\overline{y}} = (\mathcal{G}^\#)_{\overline{y}} = (g^{-1}\mathcal{G}^\#)_{\overline{y}'} \longrightarrow (\mathcal{G}')^\#_{\overline{y}'} = \mathcal{G}'_{\overline{y}'}\] est définie comme suit : une section \(s\) de \(\mathcal{G}\) sur un voisinage étale \((V, \overline{v})\) définit une classe dans la fibre, envoyée sur celle de la section \(\alpha(s)\) de \(g_*\mathcal{G}'(V) = \mathcal{G}'(Y' \times_Y V)\) sur le voisinage étale \((Y' \times_Y V, (\overline{y}', \overline{v}))\) dans la fibre de \(\mathcal{G}'\) en \(\overline{y}'\).

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas, où \(f\) est localement quasi-fini. Il existe un isomorphisme \(g^{-1}f_!\mathcal{F} \to f'_!(g')^{-1}\mathcal{F}\), fonctoriel en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\), qui est compatible avec la description des fibres donnée au lemme 0F5F (voir la démonstration pour l’énoncé précis).

Démonstration

Avec les conventions de la remarque 0F78, nous allons construire explicitement une application \[c : f_{p!}\mathcal{F} \longrightarrow g_*f'_{p!}(g')^{-1}\mathcal{F}\] de préfaisceaux abéliens sur \(Y_\etale\). D’après la discussion de la remarque 0F78, elle détermine une application canonique \(g^{-1}f_!\mathcal{F} \to f'_!(g')^{-1}\mathcal{F}\). Enfin, nous montrerons que cette application induit des isomorphismes sur les fibres et conclurons par le théorème 03PU de Cohomologie étale.

Construction de l’application \(c\). Soit \(V \in Y_\etale\), et considérons une section \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z_i, s_i)\) comme dans (0F6J), définissant un élément de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\). La valeur de \(g_*f'_{p!}(g')^{-1}\mathcal{F}\) en \(V\) est \(f'_{p!}(g')^{-1}\mathcal{F}(V')\), où \(V' = V \times_Y Y'\). Notons \(Z'_i \subset X'_{V'}\) le changement de base de \(Z_i\) à \(V'\). D’après (0F6I), il existe une application de changement de base \(H_{Z_i}(\mathcal{F}) \to H_{Z'_i}((g')^{-1}\mathcal{F})\). Si \(s'_i \in H_{Z'_i}((g')^{-1}\mathcal{F})\) désigne l’image de \(s_i\) par changement de base, posons \(c(s) = \sum_{i = 1, \ldots, n} (Z'_i, s'_i)\) comme dans (0F6J), ce qui définit un élément de \(f'_{p!}(g')^{-1}\mathcal{F}(V')\). Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible avec les relations (0F6K) et (0F6L), ainsi qu’avec les applications de restriction. La construction est manifestement fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Soit \(\overline{y}' : \Spec(k) \to Y'\) un point géométrique d’image \(\overline{y} = g \circ \overline{y}'\) dans \(Y\). Remarquons que \(X'_{\overline{y}'} = X_{\overline{y}}\) par transitivité des produits fibrés. Ainsi, \(g'\) induit une bijection \(\{f'(\overline{x}') = \overline{y}'\} \to \{f(\overline{x}) = \overline{y}\}\) et, si \(\overline{x}'\) s’envoie sur \(\overline{x}\), alors \(((g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}'} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) d’après le lemme 03Q1 de Cohomologie étale. Affirmons maintenant que le diagramme \[\xymatrix{ (g^{-1}f_!\mathcal{F})_{\overline{y}'} \ar@{=}[r] \ar[d] & (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] \ar[ld] & \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \ar[d] \\ (f'_!(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} \ar[rr] & & \bigoplus\nolimits_{f'(\overline{x}') = \overline{y}'} (g')^{-1}\mathcal{F}_{\overline{x}'} }\] est commutatif, les flèches horizontales étant celles de la démonstration du lemme 0F6P, tandis que la flèche verticale droite est une égalité d’après ce qui précède. La flèche sud-ouest est décrite dans la remarque 0F78 comme l’application de changement de base, c’est-à-dire qu’elle est simplement donnée par notre construction \(c\) ci-dessus. La description élémentaire de l’image d’une somme \(\sum (Z_i, z_i)\) dans la fibre en \(\overline{x}\), donnée dans la démonstration du lemme 0F6P, montre immédiatement que le diagramme commute. Ceci achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soient \(f' : X \to Y'\) et \(g : Y' \to Y\) des morphismes composables de schémas, où \(f'\) et \(f = g \circ f'\) sont localement quasi-finis, et \(g\) séparé et localement de type fini. Il existe alors un isomorphisme canonique de foncteurs \(g_! \circ f'_! = f_!\). Cet isomorphisme est compatible avec

1. la covariance par rapport aux immersions ouvertes des remarques 0F53 et 0F6S,

2. les isomorphismes de changement de base des lemmes 0F5J et 0F55 ;

3. il coïncide avec l’isomorphisme du lemme 0F50 via les identifications du lemme 0F6N lorsque \(f'\) est séparé.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Avec les conventions de la remarque 0F78, nous allons construire explicitement une application \[c : f_{p!}\mathcal{F} \longrightarrow g_*f'_{p!}\mathcal{F}\] de préfaisceaux abéliens sur \(Y_\etale\). D’après la discussion de la remarque 0F78, elle détermine une application canonique \(c^\# : f_!\mathcal{F} \to g_*f'_!\mathcal{F}\). Nous montrerons que l’image de \(c^\#\) est contenue dans le sous-faisceau \(g_!f'_!\mathcal{F}\), obtenant ainsi une application \(c' : f_!\mathcal{F} \to g_!f'_!\mathcal{F}\). Nous démontrerons ensuite (a), (b) et (c). Enfin, le point (b) permettra de montrer que \(c'\) est un isomorphisme.

Construction de l’application \(c\). Soit \(V \in Y_\etale\), et soit \(s = \sum (Z_i, s_i)\) une somme comme dans (0F6J), définissant un élément de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\). Rappelons que \(Z_i \subset X_V = X \times_Y V\) est un sous-schéma localement fermé fini sur \(V\). En posant \(V' = Y' \times_Y V\), on obtient \(X_{V'} = X \times_{Y'} V' = X_V\). Ainsi \(Z_i \subset X_{V'}\) est localement fermé, et \(Z_i\) est fini sur \(V'\) puisque \(g\) est séparé (lemme 035D de Morphismes). Nous pouvons donc poser \(c(s) = \sum (Z_i, s_i)\), mais en la regardant maintenant comme un élément de \(f'_{p!}\mathcal{F}(V') = (g_*f'_{p!}\mathcal{F})(V)\). La construction est manifestement compatible avec les relations (0F6K) et (0F6L), ainsi qu’avec les applications de restriction ; nous obtenons donc l’application \(c\).

Remarquons que, dans la discussion précédente, notre section \(c(s) = \sum (Z_i, s_i)\) de \(f'_!\mathcal{F}\) sur \(V'\) a une restriction nulle sur \(V' \setminus \Im(\coprod Z_i \to V')\). Puisque \(\Im(\coprod Z_i \to V')\) est propre sur \(V\) (par exemple d’après le lemme de Morphismes 0AH6), nous concluons que \(c(s)\) définit une section de \(g_!f'_!\mathcal{F} \subset g_*f'_!\mathcal{F}\) sur \(V\). Puisque toute section locale de \(f_!\mathcal{F}\) provient localement d’une section locale de \(f_{p!}\mathcal{F}\), nous concluons que l’image de \(c^\#\) est contenue dans \(g_!f'_!\mathcal{F}\). Nous obtenons donc une application induite \(c' : f_!\mathcal{F} \to g_!f'_!\mathcal{F}\) par laquelle \(c^\#\) se factorise, comme annoncé au premier paragraphe de la démonstration.

Démonstration de (a). Soit \(Y'_1 \subset Y'\) un sous-schéma ouvert, et posons \(X_1 = (f')^{-1}(W')\). Nous obtenons un diagramme \[\xymatrix{ X_1 \ar[d]_{f'_1} \ar[r]_a \ar@/_2em/[dd]_{f_1} & X \ar[d]^{f'} \ar@/^2em/[dd]^f \\ Y'_1 \ar[d]_{g_1} \ar[r]_{b'} & Y' \ar[d]^g \\ Y \ar@{=}[r] & Y }\] où les flèches horizontales sont des immersions ouvertes. Nous affirmons alors que le diagramme \[\xymatrix{ f_{1, !}\mathcal{F}|_{X_1} \ar[r]_{c'_1} \ar[dd] & g_{1, !}f'_{1, !}\mathcal{F}|_{X_1} \ar@{=}[d] \\ & g_{1, !}(f'_!\mathcal{F})|_{Y'_1} \ar[d] \\ f_!\mathcal{F} \ar[r]^{c'} & g_!f'_!\mathcal{F} \ar[r] & g_*f'_!\mathcal{F} }\] commute, la flèche verticale gauche étant celle de la remarque 0F6S, et la flèche verticale droite celle de la remarque 0F53. Le signe d’égalité du diagramme vient de ce que \(f'_1\) est la restriction de \(f'\) à \(Y'_1\) et que notre construction de \(f'_!\) est locale sur la base. Enfin, pour démontrer la commutativité, choisissons un objet \(V\) de \(Y_\etale\) et une somme formelle \(s_1 = \sum (Z_{1, i}, s_{1, i})\) comme dans (0F6J), définissant un élément de \(f_{1, p!}\mathcal{F}|_{X_1}(V)\). Cela signifie que \(Z_{1, i} \subset X_1 \times_Y V\) est localement fermé et fini sur \(V\), et que \(s_{1, i} \in H_{Z_{1, i}}(\mathcal{F})\). Suivons cette section le long des applications qui interviennent : il suffit de montrer que nous obtenons le même élément de \(g_*f'_!\mathcal{F}(V) = f'_!\mathcal{F}(Y' \times_Y V)\). En parcourant chacun des deux côtés du diagramme, on voit immédiatement que l’on obtient l’élément \(\sum (Z_{1, i}, s_{1, i})\), où \(Z_{1, i}\) est maintenant regardé comme un sous-schéma localement fermé de \(X \times_{Y'} (Y' \times_Y V) = X \times_Y V\), fini sur \(Y' \times_Y V\).

Démonstration de (b). Soit \(b : Y_1 \to Y\) un morphisme de schémas. Formons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[d]_{f'_1} \ar[r]_a \ar@/_2em/[dd]_{f_1} & X \ar[d]^{f'} \ar@/^2em/[dd]^f \\ Y'_1 \ar[d]_{g_1} \ar[r]_{b'} & Y' \ar[d]^g \\ Y_1 \ar[r]^b & Y }\] dont les carrés sont cartésiens. Nous affirmons que notre construction est compatible avec les applications de changement de base des lemmes 0F5J et 0F55, c’est-à-dire que le rectangle supérieur du diagramme \[\xymatrix{ b^{-1}f_!\mathcal{F} \ar[rr] \ar[d]_{b^{-1}c'} & & f_{1, !}a^{-1}\mathcal{F} \ar[d]^{c_1'} \\ b^{-1}g_!f'_!\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & g_{1, !}(b')^{-1}f'_!\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & g_{1, !}f'_{1, !}a^{-1}\mathcal{F} \ar[d] \\ b^{-1}g_*f'_!\mathcal{F} \ar[r] & g_{1, *}(b')^{-1}f'_!\mathcal{F} \ar[r] & g_{1, *}f'_{1, !}a^{-1}\mathcal{F} }\] commute. Cette vérification est élémentaire, et nous invitons le lecteur à l’omettre. Comme les flèches de la ligne médiane vers la ligne inférieure sont injectives, il suffit de montrer que le contour extérieur du diagramme commute. Pour cela, il suffit de prendre une section locale de \(b^{-1}f_!\mathcal{F}\) et de montrer que les deux chemins donnent la même section locale de \(g_{1, *}f'_{1, !}a^{-1}\mathcal{F}\). Il suffit même de le vérifier pour les sections locales qui sont les images inverses par \(b\) d’une section \(s = \sum (Z_i, s_i)\) de \(f_{p!}\mathcal{F}(V)\) comme ci-dessus (puisque de telles images inverses engendrent le faisceau abélien \(b^{-1}f_!\mathcal{F}\)). Notons \(V_1\), \(V'_1\) et \(Z_{1, i}\) les changements de base de \(V\), \(V' = Y' \times_Y V\) et \(Z_i\) par \(Y_1 \to Y\). Rappelons que \(Z_i\) est un sous-schéma localement fermé de \(X_V = X_{V'}\) ; ainsi \(Z_{1, i}\) est un sous-schéma localement fermé de \((X_1)_{V_1} = (X_1)_{V'_1}\). Alors \(b^{-1}c'\) envoie l’image inverse de \(s\) sur l’image inverse de la section locale \(c(s) \sum (Z_i, s_i)\), regardée comme un élément de \(f'_{p!}\mathcal{F}(V') = (g_*f'_{p!}\mathcal{F})(V)\). La composée des deux applications de changement de base inférieures l’envoie simplement sur \(\sum (Z_{i, 1}, s_{1, i})\), regardé comme un élément de \(f'_{1, p!}a^{-1}\mathcal{F}(V'_1) = g_{1, *}f'_{1, p!}a^{-1}\mathcal{F}(V_1)\). D’autre part, l’application de changement de base en haut du diagramme envoie l’image inverse de \(s\) sur \(\sum (Z_{1, i}, s_{1, i})\), regardé comme un élément de \(f_{1, !}a^{-1}\mathcal{F}(V_1)\). Enfin, par sa construction même, \(c'_1\) envoie bien cet élément sur \(\sum (Z_{i, 1}, s_{1, i})\), regardé comme un élément de \(f'_{1, p!}a^{-1}\mathcal{F}(V'_1) = g_{1, *}f'_{1, p!}a^{-1}\mathcal{F}(V_1)\) ; la commutativité est ainsi vérifiée.

Démonstration de (c). Elle résulte de la comparaison des définitions des deux applications ; nous omettons les détails.

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que l’image inverse de \(c'\) par tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) est un isomorphisme. En effet, prendre l’image inverse par \(\overline{y}\) revient à prendre la fibre en \(\overline{y}\) (remarque 04JN de Cohomologie étale), et nous pouvons donc invoquer le théorème 03PU de Cohomologie étale. Grâce à la compatibilité (b) que nous venons d’établir, nous concluons que nous pouvons supposer que \(Y\) est le spectre de \(k\), et il reste à montrer que \(c'\) est un isomorphisme. Il suffit pour cela de montrer que l’application induite \[\bigoplus\nolimits_{x \in X} \mathcal{F}_x = H^0(Y, f_!\mathcal{F}) \longrightarrow H^0(Y, g_!f'_!\mathcal{F}) = H^0_c(Y', f'_!\mathcal{F})\] est un isomorphisme. Les égalités résultent des lemmes 0F5F et 0F76. Rappelons que \(X\) est une somme disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens de corps résiduel \(k\) ; voir le lemme 06LH de Variétés. Comme les deux membres commutent aux sommes directes (nous omettons les détails), nous pouvons supposer que \(\mathcal{F}\) est un faisceau gratte-ciel \(x_*A\) concentré en un certain point \(x \in X\). Alors \(f'_!\mathcal{F}\) est le faisceau gratte-ciel au point \(y'\), image de \(x\) dans \(Y\), d’après le lemme 0F5F. Dans ce cas, il est manifeste que notre construction donne l’application identité \(A \to H^0_c(Y', y'_*A) = A\), comme souhaité.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas localement quasi-finis et composables. Il existe alors un isomorphisme canonique de foncteurs \[(g \circ f)_! \longrightarrow g_! \circ f_!\] Ces isomorphismes vérifient les propriétés suivantes :

1. Si \(f\) et \(g\) sont séparés, l’isomorphisme coïncide avec celui du lemme 0F50.

2. Si \(g\) est séparé, l’isomorphisme coïncide avec celui du lemme 0F79.

3. Pour tout point géométrique \(\overline{z} : \Spec(k) \to Z\), le diagramme \[\xymatrix{ ((g \circ f)_!\mathcal{F})_{\overline{z}} \ar[d] \ar[rr] & & \bigoplus\nolimits_{g(f(\overline{x})) = \overline{z}} \mathcal{F}_{\overline{x}} \ar@{=}[d] \\ (g_!f_!\mathcal{F})_{\overline{z}} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{g(\overline{y}) = \overline{z}} (f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{g(f(\overline{x})) = \overline{z}} \mathcal{F}_{\overline{x}} }\] est commutatif, les flèches horizontales étant données par le lemme 0F5F.

4. Soit \(h : Z \to T\) un troisième morphisme de schémas localement quasi-fini. Alors le diagramme \[\xymatrix{ (h \circ g \circ f)_! \ar[r] \ar[d] & (h \circ g)_! \circ f_! \ar[d] \\ h_! \circ (g \circ f)_! \ar[r] & h_! \circ g_! \circ f_! }\] est commutatif.

5. Supposons donné un diagramme de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_c & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[d]_{g'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^a & Z }\] dont les deux carrés sont cartésiens et où \(f\) et \(g\) sont localement quasi-finis. Alors le diagramme \[\xymatrix{ a^{-1} \circ (g \circ f)_! \ar[d] \ar[rr] & & (g' \circ f')_! \circ c^{-1} \ar[d] \\ a^{-1} \circ g_! \circ f_! \ar[r] & g'_! \circ b^{-1} \circ f_! \ar[r] & g'_! \circ f'_! \circ c^{-1} }\] est commutatif, les flèches horizontales étant celles du lemme 0F5J.

Démonstration

Si \(f\) et \(g\) sont séparés, il s’agit d’un cas particulier du lemme 0F50. Si \(g\) est séparé, il s’agit d’un cas particulier du lemme 0F79, qui coïncide en outre avec le cas où \(f\) et \(g\) sont séparés.

Construction dans le cas général. Choisissons un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\) tel que la restriction \(g_i : Y_i \to Z\) de \(g\) soit séparée. Posons \(X_i = f^{-1}(Y_i)\) et notons \(f_i : X_i \to Y_i\) la restriction de \(f\). Notons aussi \(h = g \circ f\) et \(h_i : X_i \to Z\) la restriction de \(h\). Considérons le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1} h_{i_0i_1, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}} \ar[r] \ar[d] & \bigoplus\nolimits_{i_0} h_{i_0, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0}} \ar[r] \ar[d] & h_!\mathcal{F} \ar[r] \ar@{..>}[dd] & 0 \\ \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1} g_{i_0i_1, !} f_{i_0i_1, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}} \ar[r] \ar[d] & \bigoplus\nolimits_{i_0} g_{i_0, !} f_{i_0, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0}} \ar[d] \\ \bigoplus\nolimits_{i_0, i_1} g_{i_0i_1, !} (f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0i_1}} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{i_0} g_{i_0, !} (f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0}} \ar[r] & g_!f_!\mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] D’après le lemme 0F5H, les lignes supérieure et inférieure du diagramme sont exactes. D’après le lemme 0F79, le carré supérieur gauche commute. Les flèches verticales du carré inférieur gauche proviennent des égalités \((f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0i_1}} = f_{i_0i_1, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}}\) et \((f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0}} = f_{i_0, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0}}\) puisque la construction de \(f_!\) est locale sur la base. De plus, ces égalités sont bien entendu compatibles avec les identifications \(((f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0}})|_{Y_{i_0i_1}} = (f_!\mathcal{F})|_{Y_{i_0i_1}}\) et \((f_{i_0, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0}})|_{Y_{i_0i_1}} = f_{i_0i_1, !}\mathcal{F}|_{X_{i_0i_1}}\) qui servent (avec la covariance par rapport aux immersions ouvertes pour \(Y_{i_0i_1} \subset Y_{i_0}\)) à définir les flèches horizontales du carré inférieur gauche. Ce carré commute donc lui aussi. Nous en concluons qu’il existe une unique flèche pointillée comme indiqué dans le diagramme et que cette flèche est en outre un isomorphisme.

Démonstration des propriétés (1) – (5). Fixons le recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\). Remarquons que, si \(Y \to Z\) est séparé, nous obtenons une flèche pointillée s’insérant dans le grand diagramme ci-dessus grâce à l’application du lemme 0F79 (par les propriétés mêmes de ce lemme). Ceci démontre (2), puis (1) par compatibilité des applications du lemme 0F79 et du lemme 0F50. Ensuite, pour tout schéma \(Z'\) sur \(Z\), nous obtenons la compatibilité de (5) pour l’application \((g' \circ f')_! \to g'_! \circ f'_!\) construite au moyen du recouvrement ouvert \(Y' = \bigcup b^{-1}(Y_i)\). Cela résulte clairement de la compatibilité correspondante des applications construites au lemme 0F79. En particulier, nous pouvons considérer un point géométrique \(\overline{z} : \Spec(k) \to Z\). Comme les applications \(X_{\overline{z}} \to Y_{\overline{z}} \to \Spec(k)\) sont séparées, le changement de base de \((g \circ f)_!\mathcal{F} \to g_! f_! \mathcal{F}\) par \(\overline{z}\) coïncide avec l’application du lemme 0F50. Le lecteur voit alors immédiatement que l’on obtient la propriété (3). La propriété (3) garantit bien sûr que notre transformation de foncteurs \((g \circ f)_! \to g_! \circ f_!\), construite au moyen du recouvrement ouvert \(Y = \bigcup Y_i\), ne dépend pas du choix de ce recouvrement. Enfin, la propriété (4) se déduit de la propriété (3), déjà démontrée, en examinant ce qui se passe sur les fibres.

Pondérations et morphismes trace pour les morphismes localement quasi-finis

Une référence pour cette section est [SGA4, Exposé XVII, Proposition 6.2.5].

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(w : X \to \mathbf{Z}\) une pondération de \(f\) ; voir la définition 0F3A de Compléments sur les morphismes. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(Y_\etale\). Dans cette section, nous montrerons qu’il existe un morphisme \[\text{Tr}_{f, w, \mathcal{F}} : f_!f^{-1}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] de faisceaux abéliens sur \(Y_\etale\), caractérisé par la propriété suivante : sur les fibres en un point géométrique \(\overline{y}\) de \(Y\), on obtient l’application \[\bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} w(\overline{x}) : (f_!f^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{y}} \longrightarrow \mathcal{F}_{\overline{y}}\] Comme indiqué, la flèche est donnée par multiplication par l’entier \(w(\overline{x})\) sur le facteur correspondant à \(\overline{x}\). L’égalité située à gauche de la flèche résulte du lemme 0F5F, combiné au lemme 03Q1 de Cohomologie étale.

Si le morphisme \(f : X \to Y\) est plat, localement quasi-fini et localement de présentation finie, il existe une pondération canonique, et l’on obtient un morphisme trace canonique dont la formation est compatible au changement de base ; voir l’exemple 0GKI. Si \(Y\) est un schéma localement noethérien unibranche et si \(f : X \to Y\) est localement quasi-fini, on peut également définir une pondération (naturelle) de \(f\) et l’on dispose aussi de morphismes trace dans ce cas ; voir l’exemple 0GKJ.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(Y_\etale\). Il existe un isomorphisme canonique \[can : f_!\mathcal{F} \otimes_\Lambda \mathcal{G} \longrightarrow f_!(\mathcal{F} \otimes_\Lambda f^{-1}\mathcal{G})\] de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(Y_\etale\).

Démonstration

Rappelons que \(f_!\mathcal{F} = (f_{p!}\mathcal{F})^\#\) d’après la définition 0F6R, où \(f_{p!}\mathcal{F}\) est le préfaisceau construit à la section 0F6E. Pour construire la flèche, il suffit donc de construire une application \[f_{p!}\mathcal{F} \otimes_{p, \Lambda} \mathcal{G} \longrightarrow f_{p!}(\mathcal{F} \otimes_\Lambda f^{-1}\mathcal{G})\] de préfaisceaux sur \(Y_\etale\). Ici, le symbole \(\otimes_{p, \Lambda}\) désigne le produit tensoriel de préfaisceaux ; voir la section 03EK de Modules sur les sites. Soit \(V\) un objet de \(Y_\etale\). Rappelons que \[f_{p!}\mathcal{F}(V) = \colim_Z H_Z(\mathcal{F}) \quad\text{et}\quad f_{p!}(\mathcal{F} \otimes_\Lambda f^{-1}\mathcal{G})(V) = \colim_Z H_Z(\mathcal{F} \otimes_\Lambda f^{-1}\mathcal{G})\] Voir la section 0F6E. Notre application est définie sur les tenseurs purs par la règle \[(Z, s) \otimes t \longmapsto (Z, s \otimes f^{-1}t)\] (voir ci-dessous pour les notations), puis prolongée par linéarité à tout \((f_{p!}\mathcal{F} \otimes_{p, \Lambda} \mathcal{G})(V) = f_{p!}\mathcal{F}(V) \otimes_\Lambda \mathcal{G}(V)\). Les notations employées ici sont les suivantes :

1. \(Z \subset X_V\) est un sous-schéma localement fermé fini sur \(V\) ;

2. \(s \in H_Z(\mathcal{F})\), ce qui signifie que \(s \in \mathcal{F}(U)\) avec \(\text{Supp}(s) \subset Z\) pour un ouvert \(U \subset X_V\) tel que \(Z \subset U\) soit fermé ;

3. \(t \in \mathcal{G}(V)\), d’image \(f^{-1}t \in f^{-1}\mathcal{G}(U)\).

Puisque le support de \(s \in \mathcal{F}(U)\) est contenu dans \(Z\), il est clair que le support de \(s \otimes f^{-1}t\) est lui aussi contenu dans \(Z\). Le couple \((Z, s \otimes f^{-1}t)\) a donc bien un sens. Il est immédiat que la construction commute aux applications de transition de la limite inductive \(\colim_Z H_Z(\mathcal{F})\) et qu’elle est compatible avec les applications de restriction. Enfin, il est tout aussi clair que la construction est compatible avec les identifications des fibres de \(f_!\) données au lemme 0F5F. Autrement dit, l’application \(can\) que nous avons construite sur les fibres en un point géométrique \(\overline{y}\) s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ (f_!\mathcal{F} \otimes_\Lambda \mathcal{G})_{\overline{y}} \ar[r]_-{can_{\overline{y}}} \ar[d] & f_!(\mathcal{F} \otimes_\Lambda f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{y}} \ar[d] \\ (\bigoplus \mathcal{F}_{\overline{x}}) \otimes_\Lambda \mathcal{G}_{\overline{y}} \ar[r] & \bigoplus (\mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_\Lambda \mathcal{G}_{\overline{y}}) }\] où les sommes directes portent sur les points géométriques \(\overline{x}\) au-dessus de \(\overline{y}\), les flèches verticales sont les identifications du lemme 0F5F, et la flèche horizontale inférieure est l’isomorphisme évident. Nous concluons que \(can\) est un isomorphisme, comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(w : X \to \mathbf{Z}\) une pondération de \(f\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(Y\), il existe un unique morphisme trace \(\text{Tr}_{f, w, \mathcal{F}} : f_!f^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) ayant le comportement prescrit sur les fibres.

Démonstration

D’après le lemme 0GKF, nous avons une identification \(f_!f^{-1}\mathcal{F} = f_!\underline{\mathbf{Z}} \otimes \mathcal{F}\) compatible avec la description des fibres de ces faisceaux aux points géométriques. Il suffit donc de construire le morphisme \[\text{Tr}_{f, w, \underline{\mathbf{Z}}} : f_!\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] ayant le comportement prescrit sur les fibres. D’après la définition 0F6R, on a \(f_!\underline{\mathbf{Z}} = (f_{p!}\underline{\mathbf{Z}})^\#\), où \(f_{p!}\underline{\mathbf{Z}}\) est le préfaisceau construit à la section 0F6E. Il suffit donc de construire une application \[f_{p!}\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] de préfaisceaux sur \(Y_\etale\). Soit \(V\) un objet de \(Y_\etale\). Rappelons, d’après la section 0F6E, que \[f_{p!}\underline{\mathbf{Z}}(V) = \colim_Z H_Z(\underline{\mathbf{Z}})\] Ici, la limite inductive est prise sur l’ensemble ordonné des sous-schémas localement fermés \(Z \subset X_V\) qui sont finis sur \(V\). Pour chaque tel \(Z\), nous allons définir une application \[H_Z(\underline{\mathbf{Z}}) \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}(V)\] compatible avec les applications qui définissent la limite inductive.

Soit \(Z \subset X_V\) localement fermé et fini sur \(V\). Choisissons un ouvert \(U \subset X_V\) contenant \(Z\) comme partie fermée. Un élément \(s\) de \(H_Z(\underline{\mathbf{Z}})\) est une section \(s \in \underline{\mathbf{Z}}(U)\) dont le support est contenu dans \(Z\). Soit \(U_n \subset U\) la partie ouverte et fermée où la valeur de \(s\) est \(n \in \mathbf{Z}\). La condition sur le support donne \(Z \cap U_n = U_n\) pour \(n \not = 0\). Ainsi, pour \(n \not = 0\), l’ouvert \(U_n\) est aussi fermé dans \(Z\) (comme complémentaire de tous les autres), et \(U_n \to V\) est donc fini puisque \(Z\) est fini sur \(V\). Par définition même d’une pondération, la fonction \(\int_{U_n \to V} w|_{U_n}\) est alors localement constante sur \(V\), et nous pouvons la regarder comme un élément de \(\underline{\mathbf{Z}}(V)\). Notre construction envoie \((Z, s)\) sur l’élément \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z},\ n \not = 0} n \left(\int_{U_n \to V} w|_{U_n}\right) \quad \in \quad \underline{\mathbf{Z}}(V)\] La somme est localement finie sur \(V\), donc bien définie ; nous omettons les détails (dans toute la discussion, le lecteur peut commencer par choisir des ouverts affines et s’assurer que tous les schémas qui interviennent dans l’argument sont quasi-compacts, afin que la somme soit finie). Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible avec les applications de la limite inductive et avec les applications de restriction qui définissent \(f_{p!}\underline{\mathbf{Z}}\).

Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) au-dessus du point \(y \in Y\). En prenant les fibres en \(\overline{y}\), la construction précédente détermine une application \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z} = \underline{\mathbf{Z}}_{\overline{y}}\] Pour achever la démonstration, montrons que cette application est donnée par multiplication par \(w(\overline{x})\) sur le facteur correspondant à \(\overline{x}\). Choisissons en effet \(\overline{x}\) au-dessus de \(\overline{y}\). Il existe un voisinage étale \((V, \overline{v}) \to (Y, \overline{y})\) tel que \(X_V\) contienne un ouvert \(U\) fini sur \(V\), tel que \(\overline{x}\) soit le seul à appartenir à \(U\) parmi les points géométriques de \(X\) relevant \(\overline{y}\). Ceci résulte du lemme de Compléments sur les morphismes 02LM; nous omettons certains détails. Alors \((U, 1)\) définit une section de \(f_!\underline{\mathbf{Z}}\) sur \(V\), dont l’image vaut \(1\) dans le facteur correspondant à \(\overline{x}\) et zéro dans les autres facteurs (voir la démonstration du lemme 0F6P), et notre construction précédente envoie \((U, 1)\) sur \(\int_{U \to V} w|_U\), qui est constante de valeur \(w(\overline{x})\) dans un voisinage de \(\overline{v}\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(w : X \to \mathbf{Z}\) une pondération de \(f\). Les morphismes trace construits ci-dessus vérifient les propriétés suivantes :

1. \(\text{Tr}_{f, w, \mathcal{F}}\) est fonctoriel en \(\mathcal{F}\) ;

2. \(\text{Tr}_{f, w, \mathcal{F}}\) est compatible à tout changement de base ;

3. étant donnés un anneau \(\Lambda\) et \(K\) dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\), on obtient \(\text{Tr}_{f, w, K} : f_!f^{-1}K \to K\), fonctoriel en \(K\) et compatible à tout changement de base.

Démonstration

Le point (1) résulte soit de la construction du morphisme trace dans la démonstration du lemme 0GKG, soit, plus simplement, de ce que la caractérisation de l’application impose cette fonctorialité sur toutes les fibres. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien de schémas. Alors la fonction \(w' = w \circ g' : X' \to \mathbf{Z}\) est une pondération de \(f'\) d’après le lemme 0F3B de Compléments sur les morphismes. Le point (2) signifie que le diagramme \[\xymatrix{ g^{-1}f_!f^{-1}\mathcal{F} \ar[rr]_-{g^{-1}\text{Tr}_{f, w, \mathcal{F}}} \ar@{=}[d] & & g^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ f'_!(f')^{-1}g^{-1}\mathcal{F} \ar[rr]^-{\text{Tr}_{f', w', g^{-1}\mathcal{F}}} & & g^{-1}\mathcal{F} }\] est commutatif, l’égalité verticale gauche étant donnée par \[g^{-1}f_!f^{-1}\mathcal{F} = f'_!(g')^{-1}f^{-1}\mathcal{F} = f'_!(f')^{-1}g^{-1}\mathcal{F}\] où le premier signe d’égalité est donné par le lemme 0F5J (changement de base pour l’image directe à support propre). La commutativité de ce diagramme résulte de la caractérisation de l’action de nos morphismes trace sur les fibres et du fait que la flèche de changement de base du lemme 0F5J respecte la description des fibres.

Les points (1) et (2) étant acquis, le point (3) résulte de ce que les foncteurs \(f^{-1} : D(Y_\etale, \Lambda) \to D(X_\etale, \Lambda)\) et \(f_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) s’obtiennent en appliquant \(f^{-1}\) et \(f_!\) à des complexes quelconques de modules représentant les objets considérés.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes localement quasi-finis. Soit \(w_f : X \to \mathbf{Z}\) une pondération de \(f\), et soit \(w_g : Y \to \mathbf{Z}\) une pondération de \(g\). Pour \(K \in D(Z_\etale, \Lambda)\), la composée \[(g \circ f)_!(g \circ f)^{-1}K = g_! f_! f^{-1} g^{-1}K \xrightarrow{g_! \text{Tr}_{f, w_f, g^{-1}K}} g_!g^{-1}K \xrightarrow{\text{Tr}_{g, w_g, K}} K\] est égale à \(\text{Tr}_{g \circ f, w_{g \circ f}, K}\), où \(w_{g \circ f}(x) = w_f(x) w_g(f(x))\).

Démonstration

On a \((g \circ f)_! = g_! \circ f_!\) d’après le lemme 0F6T. Le lemme 0GK9 de Compléments sur les morphismes montre que \(w_{g \circ f}\) est une pondération de \(g \circ f\) ; l’énoncé a donc un sens. L’égalité se vérifie sur les fibres. Nous omettons les détails.

Exemple

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas plat, localement quasi-fini et localement de présentation finie. On obtient une pondération positive canonique \(w : X \to \mathbf{Z}\) en posant \[w(x) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, x}} (\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_{f(x)} \mathcal{O}_{X, x}) [\kappa(x) : \kappa(f(x))]_i\] Voir le lemme de Compléments sur les morphismes 0F3D. Ainsi, d’après les lemmes 0GKG et 0GKH, on obtient pour \(f\) des morphismes trace \[\text{Tr}_{f, K} : f_!f^{-1}K \longrightarrow K\] fonctoriels en \(K\) dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\) et compatibles à tout changement de base. Notons que tout changement de base \(f' : X' \to Y'\) de \(f\) possède les mêmes propriétés et que la restriction de \(w\) est la pondération canonique de \(f'\).

Remarque

Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale de schémas. Alors le morphisme trace \(\text{Tr} : j_!j^{-1}K \to K\) de l’exemple 0GKI est égal à la flèche d’adjonction associée à l’adjonction entre \(j_!\) et \(j^{-1}\). Nous avons déjà employé le terme « trace » pour cette flèche d’adjonction dans la section 03SH de Cohomologie étale.

Exemple

Soit \(Y\) un schéma géométriquement unibranche et localement noethérien ; par exemple, \(Y\) peut être une variété normale. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Il existe alors une pondération positive \(w : X \to \mathbf{Z}\) de \(f\), définie approximativement en associant à \(x\) le « degré séparable générique » de \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) sur \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}^{sh}\). Voir le lemme de Compléments sur les morphismes 0F3E. Ainsi, d’après les lemmes 0GKG et 0GKH, on obtient pour \(f\) et \(w\) des morphismes trace \[\text{Tr}_{f, w, K} : f_!f^{-1}K \longrightarrow K\] fonctoriels en \(K\) dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\) et compatibles à tout changement de base. Toutefois, dans ce cas, pour un changement de base \(f' : X' \to Y'\) de \(f\), la restriction de \(w\) à \(X'\) ne possède pas en général d’interprétation « naturelle » en termes du morphisme \(f'\).

Image inverse extraordinaire pour les morphismes localement quasi-finis

Pour tout morphisme de schémas localement quasi-fini \(f : X \to Y\), le foncteur \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) commute aux sommes directes et est exact ; voir le lemme 0F5F. Ceci suggère qu’il admet un adjoint à droite, que nous noterons \(f^!\).

Avertissement : ce foncteur est la version non dérivée !

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini.

1. Le foncteur \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) admet un adjoint à droite \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\).

2. On a \(f^!(\overline{y}_*A) = \prod_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\).

3. Si \(\Lambda\) est un anneau, le foncteur \(f_! : \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(Y_\etale, \Lambda)\) admet un adjoint à droite \(f^! : \textit{Mod}(Y_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda)\) qui coïncide avec \(f^!\) sur les faisceaux abéliens sous-jacents.

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(E \subset \Ob(\textit{Ab}(Y_\etale))\) la classe formée des produits de faisceaux gratte-ciel. Nous affirmons ce qui suit :

1. tout \(\mathcal{G}\) de \(\textit{Ab}(Y_\etale)\) est un sous-faisceau d’un élément de \(E\) ;

2. pour tout \(\mathcal{G} \in E\), il existe un objet \(\mathcal{H}\) de \(\textit{Ab}(X_\etale)\) tel que \(\Hom(f_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom(\mathcal{F}, \mathcal{H})\) fonctoriellement en \(\mathcal{F}\).

Une fois cette affirmation vérifiée, le dual du lemme 0793 d’Homologie fournit le foncteur adjoint \(f^!\).

Le point (a) est vrai, car on peut envoyer \(\mathcal{G}\) dans le faisceau \(\prod \overline{y}_*\mathcal{G}_{\overline{y}}\), où le produit porte sur tous les points géométriques de \(Y\). C’est une injection d’après le théorème 03PU de Cohomologie étale. (Il s’agit de la première étape de la résolution de Godement lorsque l’on travaille avec des faisceaux abéliens sur des espaces topologiques.)

Le point (b) et le point (2) du lemme s’établissent comme suit. Supposons que \(\mathcal{G} = \prod \overline{y}_*A_{\overline{y}}\) pour certains groupes abéliens \(A_{\overline{y}}\). Alors \[\Hom(f_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \prod \Hom(f_!\mathcal{F}, \overline{y}_*A_{\overline{y}})\] Il suffit donc de trouver des faisceaux abéliens \(\mathcal{H}_{\overline{y}}\) sur \(X_\etale\) qui représentent les foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \Hom(f_!\mathcal{F}, \overline{y}_*A_{\overline{y}})\) et de prendre \(\mathcal{H} = \prod \mathcal{H}_{\overline{y}}\). Nous sommes ainsi ramenés au cas \(\mathcal{H} = \overline{y}_*A\) pour un point géométrique fixé \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) et un groupe abélien fixé \(A\). Nous affirmons que, dans ce cas, \(\mathcal{H} = \prod_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\) convient. Ceci achèvera la démonstration des points (1) et (2) du lemme. En effet, on a \[\Hom(f_!\mathcal{F}, \overline{y}_*A) = \Hom_{\textit{Ab}}((f_!\mathcal{F})_{\overline{y}}, A) = \Hom_{\textit{Ab}}(\bigoplus\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}, A)\] d’une part, d’après la description des fibres donnée au lemme 0F5F, et, d’autre part, on a \[\Hom(\mathcal{F}, \mathcal{H}) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \Hom(\mathcal{F}, \overline{x}_*A) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \Hom_{\textit{Ab}}(\mathcal{F}_{\overline{x}}, A)\] Nous laissons au lecteur le soin d’identifier ces deux expressions comme foncteurs en \(\mathcal{F}\).

Démonstration du point (3). Remarquons qu’un objet de \(\textit{Mod}(X_\etale, \Lambda)\) n’est autre qu’un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Ab}(X_\etale)\) muni d’une application \(\Lambda \to \text{End}(\mathcal{F})\). Les foncteurs \(f_!\) et \(f^!\) de (1) définissent les foncteurs \(f_!\) et \(f^!\) comme en (3). Un calcul immédiat montre qu’ils sont adjoints.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale. Alors \(j^! = j^{-1}\).

Démonstration

Cela résulte du fait que le foncteur \(j_!\) défini à la section 0F6E coïncide avec \(j_!\) tel qu’il est défini dans Cohomologie étale, à la section 03S2 ; voir le lemme 0F6Q. Enfin, dans la section 03S2 de Cohomologie étale, le foncteur \(j_!\) est défini comme l’adjoint à gauche de \(j^{-1}\) ; on conclut donc par unicité des foncteurs adjoints.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes séparés et localement quasi-finis. Il existe un isomorphisme canonique \((g \circ f)^! \to f^! \circ g^!\). Étant donné un troisième morphisme localement quasi-fini \(h : Z \to T\), le diagramme \[\xymatrix{ (h \circ g \circ f)^! \ar[r] \ar[d] & f^! \circ (h \circ g)^! \ar[d] \\ (g \circ f)^! \circ h^! \ar[r] & f^! \circ g^! \circ h^! }\] est commutatif.

Démonstration

Par unicité des foncteurs adjoints, ceci se traduit immédiatement par l’énoncé (dual) correspondant pour les foncteurs \(f_!\). Voir le lemme 0F6T.

Lemme

Soient \(j : U \to X\) et \(j' : V \to U\) des morphismes étales. L’isomorphisme \((j \circ j')^{-1} = (j')^{-1} \circ j^{-1}\) et l’isomorphisme \((j \circ j')^! = (j')^! \circ j^!\) du lemme 0F5B coïncident via l’isomorphisme du lemme 0F5A.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas, où \(f\) est localement quasi-fini. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(Y'_\etale\), on a \((g')_*(f')^!\mathcal{F} = f^!g_*\mathcal{F}\).

Démonstration

Par unicité des foncteurs adjoints, ceci résulte de l’énoncé (dual) correspondant pour les foncteurs \(f_!\). Voir le lemme 0F5J.

Remarque

Les résultats de cette section se généralisent aux faisceaux d’ensembles pointés. En effet, pour un site \(\mathcal{C}\), notons \(\Sh^*(\mathcal{C})\) la catégorie des faisceaux d’ensembles pointés. Les constructions de la présente section et de la précédente s’appliquent, mutatis mutandis, aux faisceaux d’ensembles pointés. Ainsi, étant donné un morphisme de schémas localement quasi-fini \(f : X \to Y\), on obtient un couple de foncteurs adjoints \[f_! : \Sh^*(X_\etale) \longrightarrow \Sh^*(Y_\etale) \quad\text{et}\quad f^! : \Sh^*(Y_\etale) \longrightarrow \Sh^*(X_\etale)\] tel que, pour tout point géométrique \(\overline{y}\) de \(Y\), il existe des isomorphismes \[(f_!\mathcal{F})_{\overline{y}} = \coprod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}\] (le coproduit étant pris dans la catégorie des ensembles pointés) fonctoriels en \(\mathcal{F} \in \Sh^*(X_\etale)\) et des isomorphismes \[f^!(\overline{y}_*S) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*S\] fonctoriels par rapport à l’ensemble pointé \(S\). Si \(F : \textit{Ab}(X_\etale) \to \Sh^*(X_\etale)\) et \(F : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \Sh^*(Y_\etale)\) désignent les foncteurs d’oubli, la compatibilité des constructions garantit l’existence d’applications canoniques \[f_!F(\mathcal{F}) \longrightarrow F(f_!\mathcal{F})\] fonctorielles en \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) et \[F(f^!\mathcal{G}) \longrightarrow f^!F(\mathcal{G})\] fonctorielles en \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\), qui induisent les applications évidentes sur les fibres, resp. les faisceaux gratte-ciel. En fait, la transformation \(F \circ f^! \to f^! \circ F\) est un isomorphisme (car \(f^!\) commute aux produits).

Image inverse extraordinaire dérivée pour les morphismes localement quasi-finis

On peut passer aux foncteurs dérivés dans la section 0F58, et obtenir l’énoncé suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\Lambda\) un anneau. Les foncteurs \(f_!\) et \(f^!\) de la définition 0F6R et du lemme 0F59 induisent des foncteurs adjoints \(f_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) et \(Rf^! : D(Y_\etale, \Lambda) \to D(X_\etale, \Lambda)\) sur les catégories dérivées.

Dans le cas séparé, le foncteur \(f_!\) est défini à la section 0F4W.

Démonstration

Ceci résulte immédiatement du lemme 09T5 de Catégories dérivées, du fait que \(f_!\) est exact (lemme 0F5F) et donc que \(Lf_! = f_!\), et du fait que l’on dispose d’assez de complexes K-injectifs de \(\Lambda\)-modules sur \(Y_\etale\) pour que \(Rf^!\) soit défini.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Soit \(\Lambda\) un anneau. Le foncteur \(f_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) du lemme 0F5N envoie les complexes dont les faisceaux de cohomologie sont de torsion sur des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont de torsion. Ceci résulte immédiatement de la description des fibres de \(f_!\) ; voir le lemme 0F5F.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X = U \cup V\), avec \(U\) et \(V\) ouverts. Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(K \in D(X_\etale, \Lambda)\). Il existe un triangle distingué \[j_{U \cap V!}K|_{U \cap V} \to j_{U!}K|_U \oplus j_{V!}K|_V \to K \to j_{U \cap V!}K|_{U \cap V}[1]\] dans \(D(X_\etale, \Lambda)\), avec les notations évidentes.

Démonstration

Comme les foncteurs de restriction et d’image directe à support propre employés sont exacts, il suffit de montrer que, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), la suite \[0 \to j_{U \cap V!}\mathcal{F}|_{U \cap V} \to j_{U!}\mathcal{F}|_U \oplus j_{V!}\mathcal{F}|_V \to \mathcal{F} \to 0\] est exacte. Il suffit de le vérifier sur les fibres.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé, et soit \(U \subset X\) son complémentaire. Notons \(i : Z \to X\) et \(j : U \to X\) les morphismes d’inclusion. Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(K \in D(X_\etale, \Lambda)\). Il existe un triangle distingué \[j_!j^{-1}K \to K \to i_*i^{-1}K \to j_!j^{-1}K[1]\] dans \(D(X_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme de Cohomologie étale 095L et du fait que les foncteurs \(j_!\), \(j^{-1}\), \(i_*\), \(i^{-1}\) sont exacts ; leurs versions dérivées se calculent donc en appliquant ces foncteurs à tout complexe de faisceaux représentant \(K\).

Préliminaires à l’image directe dérivée à support propre par compactification

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes sur l’existence de certains isomorphismes naturels de foncteurs qui résultent immédiatement du changement de base propre.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] où \(f\) et \(f'\) sont propres, et \(g\) et \(g'\) séparés et localement quasi-finis. Soit \(\Lambda\) un anneau. Fonctoriellement en \(K \in D(X'_\etale, \Lambda)\), il existe un morphisme canonique \[g_!Rf'_*K \longrightarrow Rf_*(g'_!K)\] dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\). Cette application est un isomorphisme si (a) \(K\) est borné inférieurement et ses faisceaux de cohomologie sont de torsion, ou si (b) \(\Lambda\) est un anneau de torsion.

Démonstration

Représentons \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X'_\etale\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(g'_!\mathcal{J}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). Nous pouvons alors considérer l’application \[g_!f'_*\mathcal{J}^\bullet = g_!f'_!\mathcal{J}^\bullet = f_!g'_!\mathcal{J}^\bullet = f_*g'_!\mathcal{J}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\] où la première et la troisième égalité résultent du lemme 0F51, et la deuxième du lemme 0F50, qui affirme que \(g_! \circ f'_!\) et \(f_! \circ g'_!\) sont tous deux égaux à \((g \circ f')_! = (f \circ g')_!\) comme sous-faisceaux de \((g \circ f')_* = (f \circ g')_*\).

Supposons que \(\Lambda\) soit de torsion, c’est-à-dire que nous soyons dans le cas (b). Avec les notations précédentes, il suffit de montrer que \(f_*g'_!\mathcal{J}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\) est un isomorphisme. La question est locale sur \(Y\). Nous pouvons donc supposer que la dimension des fibres de \(f\) est bornée ; voir le lemme de Morphismes 0A3V. Alors \(Rf_*\) est de dimension cohomologique finie ; voir le lemme de Cohomologie étale 095U. Ainsi, d’après le lemme 07K7 de Catégories dérivées, il suffit de montrer que \(R^qf_*(g'_!\mathcal{J}) = 0\) pour \(q > 0\) et pour tout faisceau injectif de \(\Lambda\)-modules \(\mathcal{J}\) sur \(X'_\etale\).

La fibre de \(R^qf_*(g'_!\mathcal{J})\) en un point géométrique \(\overline{y}\) est égale à \(H^q(X_{\overline{y}}, (g'_!\mathcal{J})|_{X_{\overline{y}}})\) d’après le lemme de Cohomologie étale 0DDF. Puisque la formation de \(g'_!\) commute au changement de base (lemme 0F55), ce groupe est égal à \[H^q(X_{\overline{y}}, g'_{\overline{y}, !}(\mathcal{J}|_{X'_{\overline{y}}}))\] où \(g'_{\overline{y}} : X'_{\overline{y}} \to X_{\overline{y}}\) est le morphisme induit entre les fibres géométriques. Puisque \(Y' \to Y\) est localement quasi-fini, \(X'_{\overline{y}}\) est la somme disjointe des fibres \(X'_{\overline{y}'}\) aux points géométriques \(\overline{y}'\) de \(Y'\) au-dessus de \(\overline{y}\). Notons \(g'_{\overline{y}'} : X'_{\overline{y}'} \to X_{\overline{y}}\) la restriction de \(g'_{\overline{y}}\) à \(X'_{\overline{y}'}\). Le groupe de cohomologie précédent est donc égal à \[H^q(X_{\overline{y}}, \bigoplus\nolimits_{\overline{y}'/\overline{y}} g'_{\overline{y}', !}(\mathcal{J}|_{X'_{\overline{y}'}}))\] par exemple d’après le lemme 0F54 (mais cela résulte aussi immédiatement de la définition de \(g'_{\overline{y}, !}\) à la section 0F4W). Comme la cohomologie étale sur \(X_{\overline{y}}\) commute aux sommes directes (théorème 09YQ de Cohomologie étale), il suffit de montrer que \[H^q(X_{\overline{y}}, g'_{\overline{y}', !}(\mathcal{J}|_{X'_{\overline{y}'}}))\] est nul. Remarquons que \(g_{\overline{y}'} : X'_{\overline{y}'} \to X_{\overline{y}}\) est un morphisme entre schémas propres sur \(\overline{y}\) et est donc lui-même propre. Comme il est aussi localement quasi-fini, on en conclut que \(g_{\overline{y}'}\) est fini. Par conséquent, \(g'_{\overline{y}', !} = g'_{\overline{y}', *} = Rg'_{\overline{y}', *}\). La suite spectrale de Leray nous ramène à montrer que \[H^q(X'_{\overline{y}'}, \mathcal{J}|_{X'_{\overline{y}'}})\] est nul. Comme \(\Lambda\) est de torsion, cela résulte du changement de base propre (lemme de Cohomologie étale 0DDF) puisque les images directes supérieures de \(\mathcal{J}\) par \(f'\) sont nulles.

Démonstration dans le cas (a). Nous allons le déduire du cas (b) par des arguments standards. Nous montrerons que l’application induite \(g_! R^pf'_* K \to R^pf_*(g'_!K)\) est un isomorphisme pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Fixons un entier \(p_0 \in \mathbf{Z}\). Soit \(a\) un entier tel que \(H^j(K) = 0\) pour \(j < a\). Nous allons démontrer que \(g_! R^pf'_* K \to R^pf_*(g'_!K)\) est un isomorphisme pour \(p \leq p_0\), par récurrence descendante sur \(a\). Si \(a > p_0\), les deux membres de l’application sont nuls pour \(p \leq p_0\) par annulation triviale ; voir le lemme 05TC de Catégories dérivées (et utiliser que \(g_!\) et \(g'_!\) sont des foncteurs exacts). Supposons \(a \leq p_0\). Considérons le triangle distingué \[H^a(K)[-a] \to K \to \tau_{\geq a + 1}K\] Par récurrence, le résultat vaut pour \(\tau_{\geq a + 1}K\). Au paragraphe suivant, nous le démontrerons pour \(H^a(K)[-a]\). Le lemme des cinq, appliqué au morphisme entre les suites exactes longues de faisceaux de cohomologie associées au morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ g_! Rf'_*(H^a(K)[-a]) \ar[d] \ar[r] & g_! Rf'_* K \ar[r] \ar[d] & g_! Rf'_* \tau_{\geq a + 1} K \ar[d] \\ Rf_*(g'_!(H^a(K)[-a])) \ar[r] & Rf_*(g'_!K) \ar[r] & Rf_*(g'_!\tau_{|geq a + 1}K) }\] donne alors le résultat pour \(K\). Nous omettons certains détails.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien de torsion sur \(X'_\etale\). Pour achever la démonstration, montrons que \(g_! Rf'_*\mathcal{F} \to R^pf_*(g'_!\mathcal{F})\) est un isomorphisme pour tout \(p\). On peut écrire \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}[n]\), où \(\mathcal{F}[n] = \Ker(n : \mathcal{F} \to \mathcal{F})\). Nous avons l’isomorphisme pour \(\mathcal{F}[n]\) d’après le cas (b). Puisque les foncteurs \(g_!\), \(g'_!\), \(R^pf_*\), \(R^pf'_*\) commutent aux limites inductives filtrantes (cela résulte du lemme 0F57 et du lemme de Cohomologie étale 0EYM) la démonstration est achevée.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]_l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] où \(f\), \(f'\), \(g\) et \(g'\) sont propres, et \(k\), \(l\) et \(m\) séparés et localement quasi-finis. Alors les isomorphismes du lemme 0F7B associés aux deux carrés se composent pour donner l’isomorphisme associé au rectangle extérieur (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie que, si l’on écrit \(R(g \circ f)_* = Rg_* \circ Rf_*\) et \(R(g' \circ f')_* = Rg'_* \circ Rf'_*\), alors l’isomorphisme \(m_! \circ Rg'_* \circ Rf'_* \to Rg_* \circ Rf_* \circ k_!\) associé au rectangle extérieur est égal à la composée \[m_! \circ Rg'_* \circ Rf'_* \to Rg_* \circ l_! \circ Rf'_* \to Rg_* \circ Rf_* \circ k_!\] des deux morphismes associés aux carrés du diagramme. Pour le montrer, choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X'_\etale\) et un quasi-isomorphisme \(k_!\mathcal{J}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). La démonstration du lemme 0F7B montre que le morphisme canonique \[a : l_!f'_*\mathcal{J}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\] est un quasi-isomorphisme, lequel fournit la deuxième flèche après application de \(Rg_*\). D’après le lemme 093Y de Cohomologie sur les sites, le complexe \(f_*\mathcal{I}^\bullet\), resp. \(f'_*\mathcal{J}^\bullet\), est un complexe K-injectif de \(\Lambda\)-modules sur \(Y_\etale\), resp. \(Y'_\etale\). (Ce recours est un peu abusif et pourrait être évité.) En particulier, le même raisonnement montre que le morphisme canonique \[b : m_!g'_*f'_*\mathcal{J}^\bullet \to g_*f_*\mathcal{I}^\bullet\] est un quasi-isomorphisme, et ce quasi-isomorphisme représente la première flèche. Enfin, la démonstration du lemme 0F7B montre que \(g_*l_!f'_!\mathcal{J}^\bullet\) représente \(Rg_*(l_!f'_*\mathcal{J}^\bullet)\), car \(f'_*\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif. Ainsi \(Rg_*(a) = g_*(a)\), et la composée \(g_*(a) \circ b\) est la flèche du lemme 0F7B associée au rectangle.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] où \(f\), \(f'\) et \(f''\) sont propres, et \(g\), \(g'\), \(h\) et \(h'\) séparés et localement quasi-finis. Alors les isomorphismes du lemme 0F7B associés aux deux carrés se composent pour donner l’isomorphisme associé au rectangle extérieur (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie que, si l’on écrit \((h \circ h')_! = h_! \circ h'_!\) et \((g \circ g')_! = g_! \circ g'_!\) au moyen des égalités du lemme 0F50, alors l’isomorphisme \(h_! \circ h'_! \circ Rf''_* \to Rf_* \circ g_! \circ g'_!\) associé au rectangle extérieur est égal à la composée \[h_! \circ h'_! \circ Rf''_* \to h_! \circ Rf'_* \circ g'_! \to Rf_* \circ g_! \circ g'_!\] des deux morphismes associés aux carrés du diagramme. Pour le montrer, choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X''_\etale\) et un quasi-isomorphisme \(g'_!\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X'_\etale\). Choisissons ensuite un quasi-isomorphisme \(g_!\mathcal{J}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). La démonstration du lemme 0F7B montre que les morphismes canoniques \[h'_!f''_*\mathcal{I}^\bullet \to f'_*\mathcal{J}^\bullet \quad\text{et}\quad h_!f'_*\mathcal{J}^\bullet \to f_*\mathcal{K}^\bullet\] sont des quasi-isomorphismes, qui définissent respectivement la première et la deuxième flèche ci-dessus. Puisque \(g_!\) est un foncteur exact (lemme 0F57), on voit que \(g_!g'_!\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme ; par conséquent, le morphisme canonique \[h_!h'_!f''_*\mathcal{I}^\bullet \to f_*\mathcal{K}^\bullet\] est un quasi-isomorphisme et représente le morphisme associé au rectangle extérieur dans la catégorie dérivée. Il est clair que ce morphisme est la composée des deux autres, ce qui achève la démonstration.

Remarque

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{k'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{l'} \ar[d]_{g''} & Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z'' \ar[r]^{m'} & Z' \ar[r]^m & Z }\] de schémas dont les flèches verticales sont propres et les flèches horizontales séparées et localement quasi-finies. Étiquetons les carrés du diagramme \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) comme suit : \[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\] Les morphismes du lemme 0F7B associés aux carrés sont alors (où l’on utilise \(Rf_* = f_*\), etc.) \[\begin{matrix} \gamma_A : l'_! \circ f''_* \to f'_* \circ k'_! & \gamma_B : l_! \circ f'_* \to f_* \circ k_! \\ \gamma_C : m'_! \circ g''_* \to g'_* \circ l'_! & \gamma_D : m_! \circ g'_* \to g_* \circ l_! \end{matrix}\] Pour les rectangles \(2 \times 1\) et \(1 \times 2\), nous disposons de quatre autres morphismes \[\begin{matrix} \gamma_{A + B} : (l \circ l')_! \circ f''_* \to f_* \circ (k \circ k')_* \\ \gamma_{C + D} : (m \circ m')_! \circ g''_* \to g_* \circ (l \circ l')_! \\ \gamma_{A + C} : m'_! \circ (g'' \circ f'')_* \to (g' \circ f')_* \circ k'_! \\ \gamma_{B + D} : m_! \circ (g' \circ f')_* \to (g \circ f)_* \circ k_! \end{matrix}\] D’après le lemme 0F7D, on a \[\gamma_{A + B} = \gamma_B \circ \gamma_A, \quad \gamma_{C + D} = \gamma_D \circ \gamma_C\] et, d’après le lemme 0F7C, on a \[\gamma_{A + C} = \gamma_A \circ \gamma_C, \quad \gamma_{B + D} = \gamma_B \circ \gamma_D\] Il serait ici plus exact d’écrire \(\gamma_{A + B} = (\gamma_B \star \text{id}_{k'_!}) \circ (\text{id}_{l_!} \star \gamma_A)\) avec les notations de la section 003D de Catégories et de même pour les autres. Cela étant, nous obtenons a priori deux transformations \[m_! \circ m'_! \circ g''_* \circ f''_* \longrightarrow g_* \circ f_* \circ k_! \circ k'_!\] à savoir \[\gamma_B \circ \gamma_D \circ \gamma_A \circ \gamma_C = \gamma_{B + D} \circ \gamma_{A + C}\] et \[\gamma_B \circ \gamma_A \circ \gamma_D \circ \gamma_C = \gamma_{A + B} \circ \gamma_{C + D}\] Le but de cette remarque est de signaler que ces transformations sont égales. Pour le voir, il suffit en effet de montrer que \[\xymatrix{ m_! \circ g'_* \circ l'_! \circ f''_* \ar[r]_{\gamma_D} \ar[d]_{\gamma_A} & g_* \circ l_! \circ l'_! \circ f''_* \ar[d]^{\gamma_A} \\ m_! \circ g'_* \circ f'_* \circ k'_! \ar[r]^{\gamma_D} & g_* \circ l_! \circ f'_* \circ k'_! }\] commute. Cela résulte du fait que les carrés \(A\) et \(D\) ne se rencontrent qu’en un point ; plus précisément, cela résulte du lemme 003F de Catégories, ou, plus simplement, de la discussion qui précède la définition 003E de Catégories.

Lemme

Soit \(b : Y_1 \to Y\) un morphisme de schémas. Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y } } \quad\text{et soit}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_1 \ar[r]_{g'_1} \ar[d]_{f'_1} & X_1 \ar[d]^{f_1} \\ Y'_1 \ar[r]^{g_1} & Y_1 } }\] son changement de base par \(b\). Supposons \(f\) et \(f'\) propres, et \(g\) et \(g'\) séparés et localement quasi-finis. Pour un anneau \(\Lambda\) et \(K\) dans \(D(X'_\etale, \Lambda)\), le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ b^{-1}g_!Rf'_*K \ar[d] \ar[r] & g_{1, !}(b')^{-1}Rf'_*K \ar[r] & g_{1, !}Rf'_{1, *}(a')^{-1}K \ar[d] \\ b^{-1}Rf_*g'_!K \ar[r] & Rf_{1, *}a^{-1}g'_!K \ar[r] & Rf_{1, *}g'_{1, !}(a')^{-1}K }\] dans \(D(Y_{1, \etale}, \Lambda)\), où \(a : X_1 \to X\), \(a' : X'_1 \to X'\), \(b' : Y'_1 \to Y'\) sont les projections, les flèches verticales sont celles du lemme 0F7B, et les flèches horizontales sont la flèche de changement de base (de la section 0EZQ de Cohomologie étale) et la flèche de changement de base du lemme 0F55.

Démonstration

Représentons \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X'_\etale\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(g'_!\mathcal{J}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). La démonstration du lemme 0F7B construit \(g_!Rf'_*K \to Rf_*g'_!K\) sous la forme \[g_!f'_*\mathcal{J}^\bullet = g_!f'_!\mathcal{J}^\bullet = f_!g'_!\mathcal{J}^\bullet = f_*g'_!\mathcal{J}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\] Choisissons un quasi-isomorphisme \((a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \to \mathcal{J}_1^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{J}_1^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X'_{1, \etale}\). On peut alors choisir un diagramme de complexes \[\xymatrix{ g'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet \ar[rr] & & \mathcal{I}_1^\bullet \\ g'_{1, !}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \ar[u] \ar@{=}[r] & a^{-1}g'_!\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & a^{-1}\mathcal{I}^\bullet \ar[u] }\] commutatif à homotopie près, où toutes les flèches sont des quasi-isomorphismes ; l’égalité résulte du lemme 0F51, et \(\mathcal{I}_1^\bullet\) est un complexe K-injectif de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_{1, \etale}\). Le morphisme \(g_{1, !}Rf'_{1, *}(a')^{-1}K \to Rf_{1, *}g'_{1, !}(a')^{-1}K\) est donné par \[g_{1, !}f'_{1, *}\mathcal{J}_1^\bullet = g_{1, !}f'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet = f_{1, !}g'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet = f_{1, *}g'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet \to f_{1, *}\mathcal{I}_1^\bullet\] Les identifications correspondant aux \(3\) signes d’égalité dans les deux flèches sont compatibles avec les morphismes de changement de base, c’est-à-dire que le diagramme \[\xymatrix{ b^{-1}g_!f'_*\mathcal{J}^\bullet \ar@{=}[d] \ar[r] & g_{1, !}(b')^{-1}f'_*\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & g_{1, !}f'_{1, *}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \ar@{=}[d] \\ b^{-1}f_*g'_!\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & f_{1, *}a^{-1}g'_!\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & f_{1, *}g'_{1, !}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet }\] de complexes de faisceaux abéliens commute. Pour le montrer, il suffit de vérifier la commutativité du diagramme après avoir remplacé \(g_!, g_{1, !}, g'_!, g'_{1, !}\) par \(g_*, g_{1, *}, g'_*, g'_{1, *}\) (car les foncteurs d’image directe à support propre sont définis comme des sous-foncteurs des foncteurs \(*\) et les morphismes de changement de base sont définis de manière compatible avec cette inclusion ; voir la démonstration du lemme 0F55). Pour ce nouveau diagramme, la commutativité résulte de la compatibilité des morphismes de changement de base avec la composition horizontale et verticale des diagrammes ; voir les remarques 0F6X et 0F6Y de Sites, de sorte que chacun des deux parcours du diagramme donne le morphisme de changement de base de \(f \circ g' = g \circ f'\) par \(b\). Puisque, bien sûr, \[\xymatrix{ g_{1, !}f'_{1, *}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \ar@{=}[d] \ar[r] & g_{1, !}f'_{1, *}\mathcal{J}_1^\bullet \ar@{=}[d] \\ f_{1, *}g'_{1, !}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & f_{1, *}g'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet }\] commute, il suffit, pour achever la démonstration, de montrer que \[\xymatrix{ b^{-1}f_*g'_!\mathcal{J}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_{1, *}a^{-1}g'_!\mathcal{J}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_{1, *}g'_{1, !}(a')^{-1}\mathcal{J}^\bullet \ar[r] & f_{1, *}g'_{1, !}\mathcal{J}_1^\bullet \ar[d] \\ b^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[r] & f_{1, *}a^{-1}\mathcal{I}^\bullet \ar[rr] & & f_{1, *}\mathcal{I}_1^\bullet }\] commute dans la catégorie dérivée, ce qui résulte du choix des morphismes effectué plus haut.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[rd]_g & Y \ar[d]^h \\ & Z }\] où \(f\) et \(g\) sont localement quasi-finis et \(h\) propre. Soit \(\Lambda\) un anneau. Fonctoriellement en \(K \in D(X_\etale, \Lambda)\), il existe un morphisme canonique \[g_!K \longrightarrow Rh_*(f_!K)\] dans \(D(Z_\etale, \Lambda)\). Ce morphisme est un isomorphisme si (a) \(K\) est borné inférieurement et ses faisceaux de cohomologie sont de torsion, ou si (b) \(\Lambda\) est un anneau de torsion.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0F7B si \(f\) et \(g\) sont séparés. Nous recommandons au lecteur de ne pas lire la démonstration dans le cas général, car nous utiliserons principalement le cas où \(f\) et \(g\) sont séparés.

Représentons \(K\) par un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(f_!\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(Y_\etale\). Considérons le morphisme \[g_!\mathcal{K}^\bullet = h_!f_!\mathcal{K}^\bullet = h_*f_!\mathcal{K}^\bullet \longrightarrow h_*\mathcal{I}^\bullet\] où les égalités résultent des lemmes 0F79 et 0F51. Ce morphisme de complexes détermine le morphisme \(g_!K \to Rh_*(f_!K)\) de l’énoncé du lemme.

Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau de torsion, c’est-à-dire que nous sommes dans le cas (b). Pour vérifier que le morphisme est un isomorphisme, nous pouvons travailler localement sur \(Z\). Nous pouvons donc supposer que la dimension des fibres de \(h\) est bornée ; voir le lemme de Morphismes 0A3V. Alors \(Rh_*\) est de dimension cohomologique finie ; voir le lemme de Cohomologie étale 095U. Ainsi, d’après le lemme 07K7 de Catégories dérivées, si nous montrons que \(R^qh_*(f_!\mathcal{F}) = 0\) pour \(q > 0\) et pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\), alors \(h_*f_!\mathcal{K}^\bullet \to h_*\mathcal{I}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Remarquons que \(\mathcal{G} = f_!\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(Y\) dont les fibres ne sont non nulles qu’aux points \(y \in Y\) tels que \(\kappa(y)/\kappa(h(y))\) soit une extension finie. Cela résulte de la description des fibres de \(f_!\mathcal{F}\) au lemme 0F5F et du fait que \(f\) et \(g\) sont tous deux localement quasi-finis. Ainsi, d’après le théorème de changement de base propre (lemme de Cohomologie étale 0DDF) il suffit de montrer que \(H^q(Y_{\overline{z}}, \mathcal{H}) = 0\), où \(\mathcal{H}\) est un faisceau sur le schéma propre \(Y_{\overline{z}}\) sur \(\kappa(\overline{z})\), dont le support est contenu dans l’ensemble des points fermés. L’annulation voulue résulte donc du lemme de Cohomologie étale 0F1F.

Le cas (a) se déduit du cas (b) par exactement le même argument que celui employé dans la démonstration du lemme 0F7B (en utilisant le lemme 0F5F à la place du lemme 0F57).

Image directe dérivée à support propre au moyen de compactifications

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et de type fini, où \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé. Choisissons une compactification \(j : X \to \overline{X}\) sur \(Y\) ; voir le théorème 0F41 de Compléments sur la platitude. Soit \(\Lambda\) un anneau. Notons \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\) la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(X_\etale, \Lambda)\) formée des objets \(K\) bornés inférieurement et dont les faisceaux de cohomologie sont de torsion. Nous considérerons le foncteur \[Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_! : D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D^+_{tors}(Y_\etale, \Lambda)\] où \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) est le morphisme structural. Cette définition a un sens : le foncteur \(j_!\) envoie \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\) dans \(D^+_{tors}(\overline{X}_\etale, \Lambda)\) d’après la remarque 0GJX, et \(R\overline{f}_*\) envoie \(D^+_{tors}(\overline{X}_\etale, \Lambda)\) dans \(D^+_{tors}(Y_\etale, \Lambda)\) d’après le lemme 0DDD de Cohomologie étale. Si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, nous définissons alors \[Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_! : D(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D(Y_\etale, \Lambda)\] Voici le lemme indispensable.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Les foncteurs \(Rf_!\) construits ci-dessus sont, à isomorphisme canonique près, indépendants du choix de la compactification.

Démonstration

Nous le démontrerons pour le foncteur \(Rf_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) quand \(\Lambda\) est un anneau de torsion ; le cas du foncteur \(Rf_! : D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda) \to D^+_{tors}(Y_\etale, \Lambda)\) se démontre exactement de la même manière.

Considérons la catégorie des compactifications de \(X\) sur \(Y\), qui est cofiltrante d’après le théorème 0F41 et les lemmes 0ATU et 0A9Z de Compléments sur la platitude. À toute compactification \[j : X \to \overline{X},\quad \overline{f} : \overline{X} \to Y\] la construction précédente associe le foncteur \(R\overline{f}_* \circ j_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\). Précisons un peu. Étant donné un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\), choisissons un quasi-isomorphisme \(j_!\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(\overline{X}_\etale\). Notre foncteur envoie alors \(\mathcal{K}^\bullet\) sur \(\overline{f}_*\mathcal{I}^\bullet\).

Supposons donné un morphisme \(g : \overline{X}_1 \to \overline{X}_2\) entre les compactifications \(j_i : X \to \overline{X}_i\) sur \(Y\). On obtient alors un isomorphisme \[R\overline{f}_{2, *} \circ j_{2, !} = R\overline{f}_{2, *} \circ Rg_* \circ j_{1, !} = R\overline{f}_{1, *} \circ j_{1, !}\] en utilisant le lemme 0F7G pour la première égalité.

Pour achever la démonstration, puisque la catégorie des compactifications de \(X\) sur \(Y\) est cofiltrante, il suffit de montrer que la composition des morphismes de compactifications de \(X\) sur \(Y\) correspond à la composition des isomorphismes de foncteurs³. Pour cela, supposons que \(j_3 : X \to \overline{X}_3\) soit une troisième compactification et que \(h : \overline{X}_2 \to \overline{X}_3\) soit un morphisme de compactifications. Il faut alors montrer que la composée \[R\overline{f}_{3, *} \circ j_{3, !} = R\overline{f}_{3, *} \circ Rh_* \circ j_{2, !} = R\overline{f}_{2, *} \circ j_{2, !} = R\overline{f}_{2, *} \circ Rg_* \circ j_{1, !} = R\overline{f}_{1, *} \circ j_{1, !}\] est égale à l’isomorphisme de foncteurs construit en utilisant seulement \(j_3\), \(g \circ h\) et \(j_1\). Un calcul montre qu’il suffit de prouver que la composée des morphismes \[j_{3, !} \to Rh_* \circ j_{2, !} \to Rh_* \circ Rg_* \circ j_{1, !}\] du lemme 0F7G coïncide avec le morphisme correspondant \(j_{3, !} \to R(h \circ g)_* \circ j_{1, !}\) via l’identification \(R(h \circ g)_* = Rh_* \circ Rg_*\). Comme le morphisme du lemme 0F7G est un cas particulier de celui du lemme 0F7B (puisque \(j_1\) et \(j_2\) sont séparés), cela résulte immédiatement du lemme 0F7C.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes séparés de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Il existe alors un isomorphisme canonique \(Rg_! \circ Rf_! \to R(g \circ f)_!\).

Démonstration

Choisissons une compactification \(i : Y \to \overline{Y}\) de \(Y\) sur \(Z\). Choisissons une compactification \(X \to \overline{X}\) de \(X\) sur \(\overline{Y}\). On applique deux fois le théorème 0F41 et le lemme 0A9Z de Compléments sur la platitude. Soit \(U\) l’image inverse de \(Y\) dans \(\overline{X}\) ; on obtient ainsi le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r]_j \ar[d]_f & U \ar[dl]^{f'} \ar[r]_{j'} & \overline{X} \ar[dl]^{\overline{f}} \\ Y \ar[r]_i \ar[d]_g & \overline{Y} \ar[dl]^{\overline{g}} \\ Z }\] On a alors \[\begin{align*} R(g \circ f)_! & = R(\overline{g} \circ \overline{f})_* \circ (j' \circ j)_! \\ & = R\overline{g}_* \circ R\overline{f}_* \circ j'_! \circ j_! \\ & = R\overline{g}_* \circ i_! \circ Rf'_* \circ j_! \\ & = Rg_! \circ Rf_! \end{align*}\] La première égalité est la définition de \(R(g \circ f)_!\). La deuxième utilise les identifications \(R(\overline{g} \circ \overline{f})_* = R\overline{g}_* \circ R\overline{f}_*\) et \((j' \circ j)_! = j'_! \circ j_!\) du lemme 0F50. L’identification \(i_! \circ Rf'_* \to R\overline{f}_* \circ j_!\) employée dans la troisième égalité est celle du lemme 0F7B. La quatrième et dernière égalité est la définition de \(Rg_!\) et \(Rf_!\). Pour achever la démonstration, montrons que cet isomorphisme est indépendant des choix effectués.

Supposons donnés deux diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{j_1} \ar[d] & U_1 \ar[dl]^{f_1} \ar[r]_{j'_1} & \overline{X}_1 \ar[dl]^{\overline{f}_1} \\ Y \ar[r]_{i_1} \ar[d] & \overline{Y}_1 \ar[dl]^{\overline{g}_1} \\ Z } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{j_2} \ar[d] & U_2 \ar[dl]^{f_2} \ar[r]_{j'_2} & \overline{X}_2 \ar[dl]^{\overline{f}_2} \\ Y \ar[r]_{i_2} \ar[d] & \overline{Y}_2 \ar[dl]^{\overline{g}_2} \\ Z } }\] Nous pouvons d’abord choisir une compactification \(i : Y \to \overline{Y}\) de \(Y\) sur \(Z\) qui domine à la fois \(\overline{Y}_1\) et \(\overline{Y}_2\) ; voir le lemme 0ATU de Compléments sur la platitude. D’après le lemme 0ATV de Compléments sur la platitude et les lemmes 04VI et 04VJ de Catégories, nous pouvons choisir une compactification \(X \to \overline{X}\) de \(X\) sur \(\overline{Y}\), avec des morphismes \(\overline{X} \to \overline{X}_1\) et \(\overline{X} \to \overline{X}_2\), telle que la composée \(\overline{X} \to \overline{Y} \to \overline{Y}_1\) soit égale à la composée \(\overline{X} \to \overline{X}_1 \to \overline{Y}_1\) et que la composée \(\overline{X} \to \overline{Y} \to \overline{Y}_2\) soit égale à la composée \(\overline{X} \to \overline{X}_2 \to \overline{Y}_2\). Il suffit donc de comparer les morphismes déterminés par nos diagrammes lorsque l’on dispose d’un diagramme commutatif de la forme suivante : \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{j_1} \ar@{=}[d] & & U_1 \ar[d]^{h'} \ar[ddll] \ar[rr]_{j'_1} & & \overline{X}_1 \ar[d]^h \ar[ddll] \\ X \ar'[r][rr]^-{j_2} \ar[d] & & U_2 \ar'[dl][ddll] \ar'[r][rr]^-{j'_2} & & \overline{X}_2 \ar[ddll] \\ Y \ar[rr]^{i_1} \ar@{=}[d] & & \overline{Y}_1 \ar[d]^k \\ Y \ar[rr]^{i_2} \ar[d] & & \overline{Y}_2 \ar[dll] \\ Z }\] Chacun des carrés \[\xymatrix{ X \ar[r]_{j_1} \ar[d]_{\text{id}} \ar@{}[dr]|A & U_1 \ar[d]^{h'} \\ X \ar[r]^{j_2} & U_2 } \quad \xymatrix{ U_2 \ar[r]_{j_2'} \ar[d]_{f_2} \ar@{}[dr]|B & \overline{X}_2 \ar[d]^{\overline{f}_2} \\ Y \ar[r]^{i_2} & \overline{Y}_2 } \quad \xymatrix{ U_1 \ar[r]_{j_1'} \ar[d]_{f_1} \ar@{}[dr]|C & \overline{X}_1 \ar[d]^{\overline{f}_1} \\ Y \ar[r]^{i_1} & \overline{Y}_1 } \quad \xymatrix{ Y \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{\text{id}} \ar@{}[dr]|D & \overline{Y}_1 \ar[d]^k \\ Y \ar[r]^{i_2} & \overline{Y}_2 } \quad \xymatrix{ X \ar[r]_{j_1' \circ j_1} \ar[d]_{\text{id}} \ar@{}[dr]|E & \overline{X}_1 \ar[d]^h \\ X \ar[r]^{j_2} & \overline{X}_2 }\] donne lieu à un isomorphisme comme suit : \[\begin{align*} \gamma_A & : j_{2, !} \to Rh'_* \circ j_{1, !} \\ \gamma_B & : i_{2, !} \circ Rf_{2, *} \to R\overline{f}_{2, *} \circ j'_{2, !} \\ \gamma_C & : i_{1, !} \circ Rf_{1, *} \to R\overline{f}_{1, *} \circ j'_{1, !} \\ \gamma_D & : i_{2, !} \to Rk_* \circ i_{1, !} \\ \gamma_E & : j_{2, !} \to Rh_* \circ (j'_1 \circ j_1)_! \end{align*}\] en appliquant la flèche du lemme 0F7B (qui est la même que celle du lemme 0F7G lorsque la flèche verticale gauche est l’identité). Posons \[\begin{align*} F_1 & = Rf_{1, *} \circ j_{1, !} \\ F_2 & = Rf_{2, *} \circ j_{2, !} \\ G_1 & = R\overline{g}_{1, *} \circ i_{1, !} \\ G_2 & = R\overline{g}_{2, *} \circ i_{2, !} \\ C_1 & = R(\overline{g}_1 \circ \overline{f}_1)_* \circ (j'_1 \circ j_1)_! \\ C_2 & = R(\overline{g}_2 \circ \overline{f}_2)_* \circ (j'_2 \circ j_2)_! \end{align*}\] La construction donnée dans le premier paragraphe de la démonstration et dans le lemme 0F7I utilise

1. \(\gamma_C\) pour la flèche \(G_1 \circ F_1 \to C_1\),

2. \(\gamma_B\) pour la flèche \(G_2 \circ F_2 \to C_2\),

3. \(\gamma_A\) pour la flèche \(F_2 \to F_1\),

4. \(\gamma_D\) pour la flèche \(G_2 \to G_1\), et

5. \(\gamma_E\) pour la flèche \(C_2 \to C_1\).

Il faut donc montrer que le diagramme \[\xymatrix{ C_2 \ar[rr]_{\gamma_E} & & C_1 \\ G_2 \circ F_2 \ar[rr]^{\gamma_D \circ \gamma_A} \ar[u]^{\gamma_B} & & G_1 \circ F_1 \ar[u]_{\gamma_C} }\] est commutatif. Nous utiliserons les lemmes 0F7C et 0F7D et reprendrons, avec le même léger abus, les notations de la remarque 0F7E (en omettant notamment, dans la notation, les produits \(\star\) par des transformations identiques). On peut écrire \(\gamma_E = \gamma_F \circ \gamma_A\), où \[\xymatrix{ U_1 \ar[r]_{j'_1} \ar[d]_{h'} \ar@{}[rd]|F & \overline{X}_1 \ar[d]^h \\ U_2 \ar[r]^{j'_2} & \overline{X}_2 }\] On a donc \[\gamma_E \circ \gamma_B = \gamma_F \circ \gamma_A \circ \gamma_B = \gamma_F \circ \gamma_B \circ \gamma_A\] la dernière égalité venant de ce que les deux carrés \(A\) et \(B\) ne se rencontrent qu’en un point (comme dans le dernier argument de la remarque 0F7E). Il suffit donc de prouver que \(\gamma_C \circ \gamma_D = \gamma_F \circ \gamma_B\). Comme chacune de ces deux flèches est égale à celle associée au carré \[\xymatrix{ U_1 \ar[r] \ar[d] & \overline{X}_1 \ar[d] \\ Y \ar[r] & \overline{Y}_2 }\] on conclut.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), \(h : Z \to T\) des morphismes séparés de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Alors le diagramme \[\xymatrix{ Rh_! \circ Rg_! \circ Rf_! \ar[r]_{\gamma_C} \ar[d]^{\gamma_A} & R(h \circ g)_! \circ Rf_! \ar[d]_{\gamma_{A + B}} \\ Rh_! \circ R(g \circ f)_! \ar[r]^{\gamma_{B + C}} & R(h \circ g \circ f)_! }\] d’isomorphismes du lemme 0F7J est commutatif (pour la signification des \(\gamma\), voir la démonstration).

Démonstration

Pour cela, choisissons une compactification \(\overline{Z}\) de \(Z\) sur \(T\), puis une compactification \(\overline{Y}\) de \(Y\) sur \(\overline{Z}\), et enfin une compactification \(\overline{X}\) de \(X\) sur \(\overline{Y}\). On utilise le théorème 0F41 et le lemme 0A9Z de Compléments sur la platitude. Soit \(W \subset \overline{Y}\) l’image inverse de \(Z\) par \(\overline{Y} \to \overline{Z}\), et soient \(U \subset V \subset \overline{X}\) les images inverses respectives des deux sous-schémas \(Y \subset W\) par \(\overline{X} \to \overline{Y}\). On obtient le diagramme suivant : \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r] & U \ar[r] \ar[d] \ar@{}[dr]|A & V \ar[d] \ar[r] \ar@{}[rd]|B & \overline{X} \ar[d] \\ Y \ar[d]_g \ar[r] & Y \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] \ar@{}[rd]|C & \overline{Y} \ar[d] \\ Z \ar[d]_h \ar[r] & Z \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d] \ar[r] & \overline{Z} \ar[d] \\ T \ar[r] & T \ar[r] & T \ar[r] & T }\] Sans multiplier les notations, mais en raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0F7J, on voit que les flèches du premier diagramme affiché utilisent les flèches du lemme 0F7B pour les rectangles \(A + B\), \(B + C\), \(A\) et \(C\), comme l’indique le diagramme de l’énoncé du lemme. D’après les lemmes 0F7C et 0F7D on a \(\gamma_{A + B} = \gamma_B \circ \gamma_A\) et \(\gamma_{B + C} = \gamma_B \circ \gamma_C\) ; on en conclut que l’égalité voulue est vraie pourvu que \(\gamma_A \circ \gamma_C = \gamma_C \circ \gamma_A\). C’est bien le cas, car les deux carrés \(A\) et \(C\) ne se rencontrent qu’en un point (comme dans le dernier argument de la remarque 0F7E).

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas quasi-compacts et quasi-séparés, où \(f\) est séparé et de type fini. Il existe alors un isomorphisme canonique \[g^{-1} \circ Rf_! \to Rf'_! \circ (g')^{-1}\] De plus, ces isomorphismes sont compatibles avec ceux du lemme 0F7J.

Démonstration

Choisissons une compactification \(j : X \to \overline{X}\) sur \(Y\) et notons \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) le morphisme structural. Notons \(j' : X' \to \overline{X}'\) et \(\overline{f}' : \overline{X}' \to Y'\) les morphismes déduits de \(j\) et de \(\overline{f}\) par changement de base. Puisque \(Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_!\) et \(Rf'_! = R\overline{f}'_* \circ j'_!\), l’isomorphisme se construit au moyen de \[g^{-1} \circ R\overline{f}_* \circ j_! \to R\overline{f}'_* \circ (\overline{g}')^{-1} \circ j_! \to R\overline{f}'_* \circ j'_! \circ (g')^{-1}\] où la première flèche est l’isomorphisme fourni par le théorème de changement de base propre (lemme de Cohomologie étale 0DDE dans le cas borné inférieurement à cohomologie de torsion, et le lemme de Cohomologie étale 0F0C dans le cas où \(\Lambda\) est un anneau de torsion), tandis que la deuxième est l’isomorphisme du lemme 0F55.

Pour achever la démonstration, il faut établir deux points : d’abord que l’isomorphisme de foncteurs ainsi obtenu ne dépend pas du choix de la compactification ; ensuite que, si l’on empile verticalement deux diagrammes de changement de base comme dans le lemme, les isomorphismes de changement de base sont compatibles avec ceux du lemme 0F7J. Un argument direct, que nous omettons, montre que ces deux points découlent de la compatibilité au changement de base des isomorphismes

1. \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\) pour \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) propres,

2. \(g_! \circ f_! = (g \circ f)_!\) pour \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) séparés et quasi-finis, et

3. \(g_! \circ Rf'_* = Rf_* \circ g'_!\) pour \(f : X \to Y\) et \(f' : X' \to Y'\) propres, et \(g : Y' \to Y\) et \(g' : X' \to X\) séparés et quasi-finis, avec \(f \circ g' = g \circ f'\),

sont compatibles au changement de base. Cela vaut pour (1) d’après la remarque 0E46 de Cohomologie sur les sites, pour (2) d’après la remarque 0F77, et pour (3) d’après le lemme 0F7F.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et de type fini, où \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé. Nous construirons plus loin un morphisme \[Rf_!K \longrightarrow Rf_*K\] fonctoriel en \(K\) dans \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\), ou dans \(D(X_\etale, \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion. Dans les deux cas, cette transformation de foncteurs est compatible avec

1. l’isomorphisme \(Rg_! \circ Rf_! \to R(g \circ f)_!\) du lemme 0F7J et l’isomorphisme \(Rg_* \circ Rf_* \to R(g \circ f)_*\) du lemme de Cohomologie sur les sites 0D6E ;

2. l’isomorphisme \(g^{-1} \circ Rf_! \to Rf'_! \circ (g')^{-1}\) du lemme 0F7L et la flèche de changement de base de la remarque 07A7 de Cohomologie sur les sites.

En effet, choisissons une compactification \(j : X \to \overline{X}\) sur \(Y\) et notons \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) le morphisme structural. Puisque \(Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_!\) et \(Rf_* = R\overline{f}_* \circ Rj_*\), il suffit de construire une transformation de foncteurs \(j_! \to Rj_*\). Nous utilisons pour cela la transformation canonique \(j_! \to j_*\) du lemme de Cohomologie étale 0F4L. Nous omettons la démonstration de l’indépendance de la transformation obtenue par rapport au choix de la compactification, ainsi que celle des compatibilités (1) et (2).

Propriétés de l’image directe dérivée à support propre

Voici quelques propriétés de l’image directe dérivée à support propre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau.

1. Considérons une famille d’objets \(K_i \in D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\), \(i \in I\). Supposons donné \(a \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^n(K_i) = 0\) pour \(n < a\) et \(i \in I\). Alors \(Rf_!(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i Rf_!K_i\).

2. Si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, le foncteur \(Rf_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Par construction, il suffit de le démontrer lorsque \(f\) est une immersion ouverte et lorsque \(f\) est un morphisme propre. Pour toute immersion ouverte \(j : U \to X\) de schémas, le foncteur \(j_! : D(U_\etale) \to D(X_\etale)\) est adjoint à gauche de l’image inverse \(j^{-1} : D(X_\etale) \to D(U_\etale)\) et commute donc aux sommes directes ; voir le lemme de Cohomologie sur les sites 08FJ. Dans le cas propre, on a \(Rf_! = Rf_*\) et le résultat découle du lemme de Cohomologie étale 0GIW dans le cas borné inférieurement, et du lemme 0F0D de Cohomologie étale lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau. Les foncteurs \(Rf_!\) construits à la section 0F7H sont bornés au sens suivant : il existe un entier \(N\) tel que, pour \(E \in D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\) ou \(E \in D(X_\etale, \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, on ait :

1. \(H^i(Rf_!(\tau_{\leq a}E) \to H^i(Rf_!(E))\) est un isomorphisme pour \(i \leq a\) ;

2. \(H^i(Rf_!(E)) \to H^i(Rf_!(\tau_{\geq b - N}E))\) est un isomorphisme pour \(i \geq b\) ;

3. si \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) avec \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), alors \(H^i(Rf_!(E)) = 0\) pour \(i \not \in [a, b + N]\).

Démonstration

Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau de torsion et considérons le foncteur \(Rf_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\). Par construction, il suffit de le démontrer lorsque \(f\) est une immersion ouverte et lorsque \(f\) est un morphisme propre. Pour toute immersion ouverte \(j : U \to X\) de schémas, le foncteur \(j_! : D(U_\etale) \to D(X_\etale)\) est exact ; l’énoncé vaut donc avec \(N = 0\) dans ce cas. Si \(f\) est propre, alors \(Rf_! = Rf_*\), c’est-à-dire qu’il s’agit d’un foncteur dérivé à droite. La borne à gauche résulte donc du lemme 05TC de Catégories dérivées. De plus, dans ce cas, \(f_* : \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(Y_\etale, \Lambda)\) est de dimension cohomologique finie d’après le lemme 0A3V de Morphismes et le lemme de Cohomologie étale 095U. On conclut donc par le lemme 07K7 de Catégories dérivées.

Supposons maintenant \(\Lambda\) quelconque et considérons le foncteur \(Rf_! : D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda) \to D^+_{tors}(Y_\etale, \Lambda)\). On se ramène encore immédiatement au cas où \(f\) est propre et \(Rf_! = Rf_*\). Le point (1) est encore immédiat. Pour démontrer le point (3), on peut raisonner par récurrence sur \(b - a\), en utilisant les triangles distingués de troncation et le lemme de Cohomologie étale 095U. Le point (2) résulte du point (3). Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-fini séparé entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Alors les foncteurs \(Rf_!\) construits à la section 0F7H coïncident avec la restriction du foncteur \(f_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) construit à la section 0F5M à leurs domaines de définition communs.

Démonstration

Par le théorème principal de Zariski (lemme de Compléments sur les morphismes 05K0) on peut trouver une immersion ouverte \(j : X \to \overline{X}\) et un morphisme fini \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) tels que \(f = \overline{f} \circ j\). Par construction, on a \(Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_!\). Comme \(\overline{f}\) est fini, on a \(R\overline{f}_* = \overline{f}_*\) d’après la proposition de Cohomologie étale 03QP. Le lemme en résulte, car \(\overline{f}_* \circ j_! = f_!\), par exemple d’après le lemme 0F52.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soient \(U\) et \(V\) des ouverts quasi-compacts de \(X\) tels que \(X = U \cup V\). Notons \(a : U \to Y\), \(b : V \to Y\) et \(c : U \cap V \to Y\) les restrictions de \(f\). Soit \(\Lambda\) un anneau. Pour \(K\) dans \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\), ou \(K \in D(X_\etale, \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, on a un triangle distingué \[Rc_!(K|_{U \cap V}) \to Ra_!(K|_U) \oplus Rb_!(K|_V) \to Rf_!K \to Rc_!(K|_{U \cap V})[1]\] dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0GKK, de l’égalité \(Rf_! \circ Rj_{U!} = Ra_!\) donnée par le lemme 0F7J, et de l’égalité \(Rj_{U!} = j_{U!}\) donnée par le lemme 0GKM.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(U\) un ouvert quasi-compact de \(X\) dont le complémentaire est \(Z \subset X\). Notons \(g : U \to Y\) et \(h : Z \to Y\) les restrictions de \(f\). Soit \(\Lambda\) un anneau. Pour \(K\) dans \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\), ou \(K \in D(X_\etale, \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, on a un triangle distingué \[Rg_!(K|_U) \to Rf_!K \to Rh_!(K|_Z) \to Rg_!(K|_U)[1]\] dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0GKL, des égalités \(Rf_! \circ Rj_! = Rg_!\) et \(Rf_! \circ Ri_!\) données par le lemme 0F7J, ainsi que des égalités \(Rj_! = j_!\) et \(Ri_! = i_! = i_*\) données par le lemme 0GKM.

Lemme

Soit \(f' : X' \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(i : X \to X'\) un épaississement et notons \(f = f' \circ i\). Soit \(\Lambda\) un anneau. Pour \(K'\) dans \(D^+_{tors}(X'_\etale, \Lambda)\), ou \(K' \in D(X'_\etale, \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, on a \(Rf_!i^{-1}K' = Rf'_!K'\).

Démonstration

Cela résulte de ce que \(i^{-1}\) et \(i_* = i_!\) sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre par invariance topologique du petit topos étale (théorème de Cohomologie étale 04DZ), ainsi que du lemme 0F7J.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Soient \(E \in D(X_\etale, \Lambda)\) et \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\). Alors \[Rf_!E \otimes_\Lambda^\mathbf{L} K = Rf_!(E \otimes_\Lambda^\mathbf{L} f^{-1}K)\] dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Choisissons \(j : X \to \overline{X}\) et \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) comme dans la construction de \(Rf_!\). On a \(j_!E \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \overline{f}^{-1}K = j_!(E \otimes_\Lambda^\mathbf{L} f^{-1}K)\) d’après le lemme 0GL1 de Cohomologie sur les sites. On obtient alors le résultat en appliquant le lemme de Cohomologie étale 0F0G et en utilisant \(f^{-1} = j^{-1} \circ \overline{f}^{-1}\) et \(Rf_! = R\overline{f}_*j_!\).

Remarque

Soit \(\Lambda_1 \to \Lambda_2\) un homomorphisme d’anneaux de torsion. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Le diagramme \[\xymatrix{ D(X_\etale, \Lambda_2) \ar[r]_{res} \ar[d]_{Rf_!} & D(X_\etale, \Lambda_1) \ar[d]^{Rf_!} \\ D(Y_\etale, \Lambda_2) \ar[r]^{res} & D(Y_\etale, \Lambda_1) }\] est commutatif, où \(res\) est le foncteur de restriction des scalaires qui considère un \(\Lambda_2\)-module comme un \(\Lambda_1\)-module au moyen du morphisme d’anneaux donné. Écrivons \(Rf_! = R\overline{f}_* \circ j_!\) pour une factorisation \(f = \overline{f} \circ j\) comme dans la section 0F7H. On voit que le résultat se vérifie directement pour \(j_!\) et résulte, pour \(R\overline{f}_*\), du lemme de Cohomologie sur les sites 0D6J. D’autre part, le diagramme \[\xymatrix{ D(X_\etale, \Lambda_1) \ar[r]_{- \otimes_{\Lambda_1}^\mathbf{L} \Lambda_2} \ar[d]_{Rf_!} & D(X_\etale, \Lambda_2) \ar[d]^{Rf_!} \\ D(Y_\etale, \Lambda_1) \ar[r]^{- \otimes_{\Lambda_1}^\mathbf{L} \Lambda_2} & D(Y_\etale, \Lambda_2) }\] est également commutatif d’après le lemme 0GL5.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Soient \(K\) et \(L\) des objets de \(D(X_\etale, \Lambda)\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme canonique \[\alpha : Rf_*R\SheafHom_\Lambda(K, L) \longrightarrow R\SheafHom_\Lambda(Rf_!K, Rf_!L)\] fonctoriel en \(K\) et \(L\). Choisissons en effet \(j : X \to \overline{X}\) et \(\overline{f} : \overline{X} \to Y\) comme dans la construction de \(Rf_!\). Définissons d’abord un morphisme \[\beta : Rj_*R\SheafHom_\Lambda(K, L) \longrightarrow R\SheafHom_\Lambda(j_!K, j_!L)\] Par la construction du Hom interne dans la catégorie dérivée, cela revient à définir un morphisme \[\beta' : Rj_*R\SheafHom_\Lambda(K, L) \otimes_\Lambda^\mathbf{L} j_!K \longrightarrow j_!L\] Voir Cohomologie sur les sites, section 08J7. La source de \(\beta'\) est égale à \[j_!\left(R\SheafHom_\Lambda(K, L) \otimes_\Lambda^\mathbf{L} K\right)\] par le lemme 0GL1 de Cohomologie sur les sites. On peut donc poser \(\beta' = j_!\beta''\), où \(\beta'' : R\SheafHom_\Lambda(K, L) \otimes_\Lambda^\mathbf{L} K \to L\) correspond à l’identité de \(R\SheafHom_\Lambda(K, L)\) par la propriété universelle du Hom interne mentionnée ci-dessus. D’après la remarque de Cohomologie sur les sites 0B6D on a un morphisme canonique \[\gamma : R\overline{f}_*R\SheafHom_\Lambda(j_!K, j_!L) \longrightarrow R\SheafHom_\Lambda(R\overline{f}_*j_!K, R\overline{f}_*j_!L)\] Comme \(Rf_! = R\overline{f}_*j_!\) et \(Rf_* = R\overline{f}_* Rj_*\) (par Leray), on obtient le morphisme recherché \(\alpha = \gamma \circ R\overline{f}_*\beta\).

Image inverse extraordinaire dérivée

Nous obtenons \(Rf^!\) au moyen d’un théorème de représentabilité de Brown.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Le foncteur \(Rf_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) admet un adjoint à droite \(Rf^! : D(Y_\etale, \Lambda) \to D(X_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Cela résulte de la proposition 0F5Y d’Injectifs et du lemme 0G29 ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-fini séparé entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Le foncteur \(Rf^! : D(Y_\etale, \Lambda) \to D(X_\etale, \Lambda)\) du lemme 0G2C s’identifie au foncteur \(Rf^!\) du lemme 0F5N.

Démonstration

Cela résulte de l’unicité des adjoints, puisque \(Rf_! = f_!\) d’après le lemme 0GKM.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) un morphisme étale séparé entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Le foncteur \(Rj^! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(U_\etale, \Lambda)\) s’identifie à \(j^{-1}\).

Démonstration

En effet, \(Rj^!\) et \(j^{-1}\) sont tous deux adjoints à droite du foncteur \(Rj_! = j_!\). Voir par exemple les lemmes 0GL8 et 0F5A.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Le foncteur \(Rf^!\) envoie \(D^+(Y_\etale, \Lambda)\) dans \(D^+(X_\etale, \Lambda)\). Plus précisément, il existe un entier \(N \geq 0\) tel que, si \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\) vérifie \(H^i(K) = 0\) pour \(i < a\), alors \(H^i(Rf^!K) = 0\) pour \(i < a - N\).

Démonstration

Soit \(N\) l’entier fourni par le lemme 0G2A. Par construction, pour \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\) et \(L \in \in D(X_\etale, \Lambda)\), on a \(\Hom_X(L, Rf^!K) = \Hom_Y(Rf_!L, K)\). Supposons \(H^i(K) = 0\) pour \(i < a\). Prenons alors \(L = \tau_{\leq a - N - 1}Rf^!K\). D’après le lemme 0G2A, le complexe \(Rf_!L\) a ses faisceaux de cohomologie nuls aux degrés \(\leq a - 1\). Ainsi, \(\Hom_Y(Rf_!L, K) = 0\) d’après le lemme 06XS de Catégories dérivées. Le morphisme canonique \(\tau_{\leq a - N - 1}Rf^!K \to Rf^!K\) est donc nul, ce qui entraîne \(H^i(Rf^!K) = 0\) pour \(i \leq a - N - 1\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-séparés et quasi-compacts. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Pour tous \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\) et \(L \in D(X_\etale, \Lambda)\), on obtient un morphisme canonique [0GLB]\[\begin{equation} Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K) \longrightarrow R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K) \end{equation}\] Ce morphisme est construit comme la composée \[Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K) \to R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, Rf_!Rf^!K) \to R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K)\] où la première flèche est celle de la remarque 0GL7 et la seconde est le morphisme d’adjonction \(Rf_!Rf^!K \to K\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Pour tous \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\) et \(L \in D(X_\etale, \Lambda)\), le morphisme (0GLB) \[Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K) \longrightarrow R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K)\] est un isomorphisme.

Démonstration

Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que, pour tout \(M \in D(Y_\etale, \Lambda)\), le morphisme (0GLB) induit une bijection \[\Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K)) \longrightarrow \Hom_Y(M, R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K))\] Pour le voir, utilisons la suite d’égalités suivante : \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K)) & = \Hom_X(f^{-1}M, R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K)) \\ & = \Hom_X(f^{-1}M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L, Rf^!K) \\ & = \Hom_Y(Rf_!(f^{-1}M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L), K) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} Rf_!L, K) \\ & = \Hom_Y(M, R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K)) \end{align*}\] La première égalité résulte du lemme 07A6 de Cohomologie sur les sites. La deuxième résulte du lemme 08J9 de Cohomologie sur les sites. La troisième résulte de la construction de \(Rf^!\). La quatrième résulte du lemme 0GL5 (c’est l’étape essentielle). La cinquième résulte du lemme 08J9 de Cohomologie sur les sites.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-séparés et quasi-compacts. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Pour tous \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\) et \(L \in D(X_\etale, \Lambda)\), le morphisme (0GLB) induit un isomorphisme \[R\Hom_X(L, Rf^!K) \longrightarrow R\Hom_Y(Rf_!L, K)\] entre les Hom dérivés globaux.

Démonstration

Par la construction donnée dans la section 0B6E de Cohomologie sur les sites, on a \[R\Hom_X(L, Rf^!K) = R\Gamma(X, R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K)) = R\Gamma(Y, Rf_*R\SheafHom_\Lambda(L, Rf^!K))\] (la seconde égalité résultant de Leray) et \[R\Hom_Y(Rf_!L, K) = R\Gamma(Y, R\SheafHom_\Lambda(Rf_!L, K))\] Le lemme résulte donc du lemme 0GLC.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas quasi-compacts et quasi-séparés, où \(f\) est séparé et de type fini. Alors \(Rf^! \circ Rg_* = Rg'_* \circ R(f')^!\).

Démonstration

Par unicité des foncteurs adjoints, cela résulte du changement de base pour l’image directe dérivée à support propre : on a \(g^{-1} \circ Rf_! = Rf'_! \circ (g')^{-1}\) d’après le lemme 0F7L.

Remarque

Soit \(\Lambda_1 \to \Lambda_2\) un homomorphisme d’anneaux de torsion. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Le diagramme \[\xymatrix{ D(X_\etale, \Lambda_2) \ar[r]_{res} & D(X_\etale, \Lambda_1) \\ D(Y_\etale, \Lambda_2) \ar[r]^{res} \ar[u]^{Rf^!} & D(Y_\etale, \Lambda_1) \ar[u]_{Rf^!} }\] est commutatif, où \(res\) est le foncteur de restriction des scalaires qui considère un \(\Lambda_2\)-module comme un \(\Lambda_1\)-module au moyen du morphisme d’anneaux donné. Cela résulte de l’unicité des adjoints, du second diagramme commutatif de la remarque 0GL6, et du fait que \[\Hom_{\Lambda_2}(K_1 \otimes_{\Lambda_1}^\mathbf{L} \Lambda_2, K_2) = \Hom_{\Lambda_1}(K_1, res(K_2))\] Cette égalité, tant pour les objets sur \(X_\etale\) que pour ceux sur \(Y_\etale\), est un cas très particulier du lemme 07A6 de Cohomologie sur les sites.

Cohomologie à support propre

Soit \(k\) un corps. Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur \(k\), de morphisme structural \(f : X \to \Spec(k)\). À la section 0F7H, nous avons défini le foncteur \(Rf_! : D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda) \to D^+_{tors}(\Spec(k), \Lambda)\) et le foncteur \(Rf_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(\Spec(k), \Lambda)\) si \(\Lambda\) est un anneau de torsion. En composant avec le foncteur des sections globales sur \(\Spec(k)\), on obtient ce que nous appellerons la cohomologie à support propre.

Définition

Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur un corps \(k\). Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(K\) un objet de \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\) ou de \(D(X_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion. La cohomologie de \(K\) à support propre, ou la cohomologie à support propre de \(K\), est \[R\Gamma_c(X, K) = R\Gamma(\Spec(k), Rf_!K)\] où \(f : X \to \Spec(k)\) est le morphisme structural. Nous écrirons \(H^i_c(X, K) = H^i(R\Gamma_c(X, K))\).

Nous vérifierons que cette définition est compatible avec la définition 0F72 grâce au lemme 0GK1. L’intérêt de cette définition réside dans le résultat suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas, où \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K\) un objet de \(D^+_{tors}(X_\etale, \Lambda)\) ou de \(D(X_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion. Il existe alors un isomorphisme canonique \[(Rf_!K)_{\overline{y}} \longrightarrow R\Gamma_c(X_{\overline{y}}, K|_{X_{\overline{y}}})\] dans \(D(\Lambda)\) pour tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du lemme 0F7L et des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur un corps \(k\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien de torsion, alors le groupe abélien \(H^0_c(X, \mathcal{F})\) défini dans la définition 0F72 coïncide avec le groupe abélien \(H^0_c(X, \mathcal{F})\) défini dans la définition 0GJZ.

Démonstration

Choisissons une compactification \(j : X \to \overline{X}\) sur \(k\). Dans les deux cas, le groupe est défini comme \(H^0(\overline{X}, j_!\mathcal{F})\). Pour la première version, cela résulte du lemme 0F75 ; pour la seconde, cela résulte de la construction.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur \(k\), de dimension \(\leq 1\). Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(X\), supposé de torsion. Alors \(H^q_c(X, \mathcal{F})\) est un \(\Lambda\)-module de type fini.

Démonstration

Cela résulte du théorème de Cohomologie étale 0GJI. Choisissons en effet une compactification \(j : X \to \overline{X}\). Après avoir remplacé \(\overline{X}\) par l’adhérence schématique de \(X\), on voit que l’on peut supposer \(\dim(\overline{X}) \leq 1\). Alors \(H^q_c(X, \mathcal{F}) = H^q(\overline{X}, j_!\mathcal{F})\) et le théorème s’applique.

Remarque

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparés de type fini sur \(k\). Si \(X\), \(Y\) et \(f\) vérifient l’une des conditions suivantes :

1. \(f\) est étale ;

2. \(f\) est plat et quasi-fini ;

3. \(f\) est quasi-fini et \(Y\) est géométriquement unibranche ;

4. \(f\) est quasi-fini et il existe une pondération \(w : X \to \mathbf{Z}\) de \(f\),

alors la cohomologie à support propre est covariante vis-à-vis de \(f\). Plus précisément, soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(K\) un objet de \(D^+_{tors}(Y_\etale, \Lambda)\) ou de \(D(Y_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion. Sous l’une des hypothèses (1) – (4), il existe un morphisme canonique \[\text{Tr}_{f, w, K} : f_!f^{-1}K \longrightarrow K\] Voir la section 0GKE pour l’existence du morphisme trace, et les exemples 0GKI et 0GKJ pour les cas (2) et (3). Si \(p : X \to \Spec(k)\) et \(q : Y \to \Spec(k)\) désignent les morphismes structuraux, alors \(Rq_! \circ f_! = Rp_!\) d’après le lemme 0F7J et l’égalité \(Rf_! = f_!\) pour le morphisme quasi-fini séparé \(f\), donnée par le lemme 0GKM. On peut donc considérer le morphisme \[\begin{align*} R\Gamma_c(X, f^{-1}K) & = R\Gamma(\Spec(k), Rp_!f^{-1}K) \\ & = R\Gamma(\Spec(k), Rq_!f_!f^{-1}K) \\ & \xrightarrow{Rq_!\text{Tr}_{f, w, K}} R\Gamma(\Spec(k), Rq_!K) \\ & = R\Gamma_c(Y, K) \end{align*}\] En particulier, si \(\Lambda\) est un anneau de torsion, on obtient une flèche \[\text{Tr}_f : R\Gamma_c(X, \Lambda) \longrightarrow R\Gamma_c(Y, \Lambda)\] Ce morphisme vérifie de nombreuses propriétés supplémentaires ; il est notamment compatible avec tout changement de corps de base.

Un résultat de constructibilité

Nous « calculons » la cohomologie d’une famille projective lisse de courbes à coefficients constants.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(S\) un schéma sur \(\mathbf{F}_p\). Soit \(\mathcal{E}\) un module localement libre de type fini sur \(\mathcal{O}_S\), vu comme \(\mathcal{O}_S\)-module sur \(S_\etale\). Soit \(F : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\) un homomorphisme de faisceaux abéliens sur \(S_\etale\) tel que \(F(a e) = a^pF(e)\) pour toutes sections locales \(a\), \(e\) respectivement de \(\mathcal{O}_S\) et \(\mathcal{E}\) sur \(S_\etale\). Alors \[\Coker(F - 1 : \mathcal{E} \to \mathcal{E})\] est nul, et \[\Ker(F - 1 : \mathcal{E} \to \mathcal{E})\] est un faisceau abélien constructible sur \(S_\etale\).

Ce lemme généralise le lemme de Cohomologie étale 0A3L.

Démonstration

Nous pouvons supposer \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est une \(\mathbf{F}_p\)-algèbre, et que \(\mathcal{E}\) est le module quasi-cohérent associé au \(A\)-module libre \(Ae_1 \oplus \ldots \oplus Ae_n\). Écrivons \(F(e_i) = \sum a_{ij} e_j\).

Surjectivité de \(F - 1\). Il suffit de montrer que tout élément \(\sum a_i e_i\), \(a_i \in A\), appartient à l’image de \(F - 1\) après remplacement de \(A\) par une extension étale fidèlement plate. Remarquons que \[F(\sum x_ie_i) - \sum x_i e_i = \sum x_i^p a_{ij} e_j - \sum x_i e_i\] Considérons la \(A\)-algèbre \[A' = A[x_1, \ldots, x_n]/(a_i + x_i - \sum\nolimits_j a_{ji} x_j^p)\] Un calcul montre que \(\text{d}x_i\) est nul dans \(\Omega_{A'/A}\), donc que \(\Omega_{A'/A} = 0\). Comme \(A'\) est de type fini sur \(A\), il en résulte que \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) est non ramifié, donc quasi-fini. Comme \(A'\) est engendré par \(n\) éléments et défini par \(n\) équations, on conclut que \(A'\) est une intersection complète relative globale sur \(A\). Ainsi, \(A'\) est plat sur \(A\), et \(A \to A'\) est étale (comme morphisme d’anneaux plat et non ramifié). Enfin, le lecteur peut montrer que \(A \to A'\) est fidèlement plat en vérifiant directement que toutes les fibres géométriques de \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) sont non vides ; cela résulte aussi du lemme de Cohomologie étale 0A3L. Enfin, l’élément \(\sum x_i e_i \in A'e_1 \oplus \ldots \oplus A'e_n\) a pour image \(\sum a_i e_i\) par \(F - 1\).

Constructibilité du noyau. Les calculs ci-dessus montrent que \(\Ker(F - 1)\) est représenté par le schéma \[\Spec(A[x_1, \ldots, x_n]/(x_i - \sum\nolimits_j a_{ji} x_j^p))\] sur \(S = \Spec(A)\). Comme il s’agit d’un schéma affine et étale sur \(S\), le résultat découle du lemme 03S8 de Cohomologie étale.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse de schémas, à fibres géométriquement connexes de dimension \(1\). Soit \(\ell\) un nombre premier. Alors \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) est constructible.

Démonstration

Nous pouvons supposer \(S\) affine, disons \(S = \Spec(A)\). Si l’on écrit \(A = \bigcup A_i\) comme réunion de ses sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini, on peut trouver un \(i\) et un morphisme \(f_i : X_i \to S_i = \Spec(A_i)\) de type fini dont le changement de base à \(S\) est \(f : X \to S\) ; voir le lemme 01ZM de Limites. Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer \(f_i : X_i \to S_i\) lisse, propre et de dimension relative \(1\) ; voir les lemmes de Limites 081F, 0C0C, et 0EY2. D’après le lemme 0E0N de Compléments sur les morphismes, on obtient un sous-schéma ouvert \(U_i \subset S_i\) tel que les fibres de \(f_i : X_i \to S_i\) au-dessus de \(U_i\) soient géométriquement connexes. Alors \(S \to S_i\) se factorise par \(U_i\). On peut remplacer \(X \to S\) par \(f_i : f_i^{-1}(U_i) \to U_i\) pour se ramener au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(S\) noethérien. On peut écrire \(S = U \cup Z\), où \(U\) est le sous-schéma ouvert défini par la non-annulation de \(\ell\) et \(Z = V(\ell) \subset S\). Comme la formation de \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) commute à tout changement de base (théorème de Cohomologie étale 095T), il suffit de démontrer le résultat sur \(U\) et sur \(Z\). On se ramène ainsi aux deux cas suivants : (a) \(\ell\) est inversible sur \(S\) ; (b) \(\ell\) est nul sur \(S\).

Cas (a). Nous affirmons que, dans ce cas, les faisceaux \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) sont localement constants à fibres finies sur \(S\). D’abord, par changement de base propre (sous la forme du lemme de Cohomologie étale 0DDF) et par finitude (théorème de Cohomologie étale 03SC) on voit que les fibres de \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) sont finies. D’après le lemme de Cohomologie étale 0GKD tous les morphismes de spécialisation sont des isomorphismes. On conclut grâce au lemme de Cohomologie étale 0GKC.

Cas (b). Ici, \(\ell = p\) est premier et \(S\) est un schéma sur \(\Spec(\mathbf{F}_p)\). Les mêmes références que ci-dessus montrent déjà que les fibres de \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\) sont finies et nulles pour \(q \geq 2\). Il résulte du lemme 0A3H de Cohomologie étale que \(f_*\underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}} = \underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\). Il reste à démontrer que \(R^1f_*\underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\) est constructible. Considérons la suite d’Artin–Schreier \[0 \to \underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}} \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{F - 1} \mathcal{O}_X \to 0\] Voir Cohomologie étale, section 0A3J. Rappelons que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) et que \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de type fini, de rang égal au genre des fibres de \(X \to S\) ; voir le lemme 0GKA de Courbes algébriques. On en déduit une suite exacte courte \[0 \to \Coker(F - 1 : \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S) \to R^1f_*\underline{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}} \to \Ker(F - 1 : R^1f_*\mathcal{O}_X \to R^1f_*\mathcal{O}_X) \to 0\] Le lemme 0GKU permet de conclure.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse de schémas, à fibres géométriquement connexes de dimension \(1\). Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(M\) un \(\Lambda\)-module de type fini annulé par un entier \(n > 0\). Alors \(R^qf_*\underline{M}\) est un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(S\).

Démonstration

Si \(n = \ell n'\) pour un nombre premier \(\ell\), on obtient une suite exacte courte \(0 \to M[\ell] \to M \to M' \to 0\) de \(\Lambda\)-modules de type fini, et \(M'\) est annulé par \(n'\). Elle donne une suite exacte courte correspondante de faisceaux constants, qui donne à son tour une suite exacte \[R^{q - 1}f_*\underline{M'} \to R^qf_*\underline{M[n]} \to R^qf_*\underline{M} \to R^qf_*\underline{M'} \to R^{q + 1}f_*\underline{M[n]}\] Ainsi, si l’on démontre le résultat lorsque \(M\) est annulé par un nombre premier, une récurrence sur \(n\) permet de conclure grâce au lemme 03RZ de Cohomologie étale.

Soit \(\ell\) un nombre premier tel que \(\ell\) annule \(M\). On peut alors remplacer \(\Lambda\) par la \(\mathbf{F}_\ell\)-algèbre \(\Lambda/\ell \Lambda\). En effet, le faisceau \(R^qf_*\underline{M}\), où \(\underline{M}\) est vu comme faisceau de \(\Lambda\)-modules, s’identifie au faisceau \(R^qf_*\underline{M}\) calculé en considérant \(\underline{M}\) comme faisceau de \(\Lambda/\ell \Lambda\)-modules ; voir le lemme de Cohomologie sur les sites 0D6J.

Supposons que \(\ell\) soit un nombre premier tel que \(\ell\) annule \(M\) et \(\Lambda\). Ramenons-nous au cas où \(M\) est un \(\Lambda\)-module libre de type fini. Choisissons pour cela une résolution \[\ldots \to \Lambda^{\oplus m_2} \to \Lambda^{\oplus m_1} \to \Lambda^{\oplus m_0} \to M \to 0\] Rappelons que \(f_*\) est de dimension cohomologique finie sur les faisceaux de \(\Lambda\)-modules ; voir le lemme de Cohomologie étale 095U et le lemme 07K7 de Catégories dérivées. On voit ainsi que \(R^qf_*\underline{M}\) est le \(q\)-ième faisceau de cohomologie de l’objet \[Rf_*(\underline{\Lambda^{\oplus m_a}} \to \ldots \to \underline{\Lambda^{\oplus m_0}})\] de \(D(S_\etale, \Lambda)\) pour un entier \(a\) assez grand. En utilisant la première suite spectrale du lemme 015J de Catégories dérivées (ou bien en utilisant un argument par troncations), on conclut qu’il suffit de démontrer que \(R^qf_*\underline{\Lambda})\) est constructible.

Nous pouvons enfin utiliser l’égalité \[(Rf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}) \otimes_{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}^\mathbf{L} \underline{\Lambda} = Rf_*\underline{\Lambda}\] du lemme de Cohomologie étale 0F0G. Comme tout module sur le corps \(\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\) est plat, on obtient \[(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}) \otimes_{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}} \underline{\Lambda} = R^qf_*\underline{\Lambda}\] Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(R^qf_*\underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) d’après le lemme 0GKB de Cohomologie étale. C’est précisément le lemme 0GKV.

Complexes à cohomologie constructible

Nous poursuivons la discussion commencée dans Cohomologie étale, section 095V. En particulier, pour un schéma \(X\) et un anneau noethérien \(\Lambda\), nous notons \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(X_\etale, \Lambda)\) formée des objets dont les faisceaux de cohomologie sont des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini et de présentation finie. Le foncteur \(f_! : D(X_\etale, \Lambda) \to D(Y_\etale, \Lambda)\) du lemme 0F5N envoie \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) dans \(D_c(Y_\etale, \Lambda)\).

Démonstration

Comme le foncteur \(f_!\) est exact, il suffit de montrer que \(f_!\mathcal{F}\) est constructible pour tout faisceau constructible \(\mathcal{F}\) de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). La question est locale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer \(Y\) affine, ce que nous faisons. Alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé ; voir la définition 01TP de Morphismes. Soit \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) un recouvrement ouvert affine fini. D’après le lemme 0F5H, il suffit de montrer que \(f_{i, !}\mathcal{F}|_{X_i}\) et \(f_{ii', !}\mathcal{F}|_{X_i \cap X_{i'}}\) sont constructibles, où \(f_i : X_i \to Y\) et \(f_{ii'} : X_i \cap X_{i'} \to Y\) sont les restrictions de \(f\). Comme \(X_i\) et \(X_i \cap X_{i'}\) sont quasi-compacts et séparés, on peut donc supposer \(f\) séparé. D’après le théorème principal de Zariski (sous la forme du lemme de Compléments sur les morphismes 0F2N) on peut choisir une factorisation \(f = g \circ j\), où \(j : X \to X'\) est une immersion ouverte et \(g : X' \to Y\) est fini et de présentation finie. Alors \(f_! = g_! \circ j_!\) d’après le lemme 0F50. D’après le lemme 03S8 de Cohomologie étale, \(j_!\mathcal{F}\) est constructible sur \(X'\). Le morphisme \(g\) est fini, donc \(g_! = g_*\) d’après le lemme 0F51. Ainsi, \(f_!\mathcal{F} = g_!j_!\mathcal{F} = g_*j_!\mathcal{F}\) est constructible d’après le lemme de Cohomologie étale 095R.

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine noethérien de dimension finie. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé, affine et lisse de dimension relative \(1\). Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien de torsion. Soit \(M\) un \(\Lambda\)-module de type fini. Alors \(Rf_!\underline{M}\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles.

Démonstration

Nous démontrerons le résultat par récurrence sur \(d = \dim(S)\).

Cas initial. Si \(d = 0\), il suffit de montrer que les fibres de \(R^qf_!\underline{M}\) sont des \(\Lambda\)-modules de type fini. Si \(\overline{s}\) est un point géométrique de \(S\), alors \((R^qf_!\underline{M})_{\overline{s}} = H^q_c(X_{\overline{s}}, \underline{M})\) d’après le lemme 0GK0. C’est un \(\Lambda\)-module de type fini d’après le lemme 0GKR.

Étape de récurrence. Il suffit de trouver un ouvert dense \(U \subset S\) tel que \(Rf_!\underline{M}|_U\) ait ses faisceaux de cohomologie constructibles. En effet, la restriction de \(Rf_!\underline{M}\) au complémentaire \(S \setminus U\) aura ses faisceaux de cohomologie constructibles par récurrence et parce que la formation de \(Rf_!\underline{M}\) commute à tout changement de base (lemme 0F7L). Plus précisément, soit \(\eta \in S\) un point générique d’une composante irréductible de \(S\). Il suffit alors de trouver un voisinage ouvert \(U\) de \(\eta\) tel que la restriction de \(Rf_!\underline{M}\) à \(U\) soit constructible. C’est l’objet du paragraphe suivant.

Étant donné un point générique \(\eta \in S\), choisissons un diagramme \[\xymatrix{ \overline{Y}_1 \amalg \ldots \amalg \overline{Y}_n \ar[rd] & Y_1 \amalg \ldots \amalg Y_n \ar[r]_-\nu \ar[d] \ar[l]^j & X_V \ar[r] \ar[d] & X_U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ & T_1 \amalg \ldots \amalg T_n \ar[r] & V \ar[r] & U \ar[r] & S }\] comme dans le lemme 0GK7 de Compléments sur les morphismes. Nous allons montrer que \(Rf_!\underline{M}|_U\) est constructible. D’abord, comme \(V \to U\) est fini et surjectif, il suffit de montrer que son image inverse sur \(V\) est constructible ; voir le lemme 095Q de Cohomologie étale. Comme la formation de \(Rf_!\) commute au changement de base, il suffit de montrer que \(R(X_V \to V)_!\underline{M}\) est constructible. Soit \(W \subset X_V\) le sous-schéma ouvert fourni par la partie (4) du lemme 0GK7 de Compléments sur les morphismes. Soit \(Z \subset X_V\) le sous-schéma induit réduit sur le complémentaire de \(W\) dans \(X_V\). Alors les fibres de \(Z \to V\) sont de dimension \(0\) (car \(W\) est dense dans les fibres), donc \(Z \to V\) est quasi-fini. Du triangle distingué \[R(W \to V)_!\underline{M} \to R(X_V \to V)_!\underline{M} \to R(Z \to V)_!\underline{M} \to \ldots\] du lemme 0GKP et du lemme 0GK3, on déduit qu’il suffit de montrer que \(R(W \to V)_!\underline{M}\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles. Ensuite, on a \[R(W \to V)_!\underline{M} = R(\nu^{-1}(W) \to V)_!\underline{M}\] parce que le morphisme \(\nu : \nu^{-1}(W) \to W\) est un épaississement et que l’on peut appliquer le lemme 0GKQ. Notons ensuite \(Z' \subset \coprod \overline{Y}_i\) le complémentaire de l’ouvert \(j(\nu^{-1}(W))\). Là encore, \(Z' \to V\) est quasi-fini. Utilisons encore le triangle distingué \[R(\nu^{-1}(W) \to V)_!\underline{M} \to R(\coprod \overline{Y}_i \to V)_!\underline{M} \to R(Z' \to V)_!\underline{M} \to \ldots\] pour conclure qu’il suffit de démontrer que \[R(\coprod \overline{Y}_i \to V)_!\underline{M} = \bigoplus\nolimits_i R(\overline{Y}_i \to V)_!\underline{M} = \bigoplus\nolimits_i R(T_i \to V)_!R(\overline{Y}_i \to T_i)_!\underline{M}\] a ses faisceaux de cohomologie constructibles (la seconde égalité résultant du lemme 0F7J). Le résultat pour \(R(\overline{Y}_i \to T_i)_!\underline{M}\) résulte du lemme 0GKW, et l’on conclut parce que \(T_i \to V\) est fini étale et que l’on peut appliquer le lemme 0GK3.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma affine noethérien de dimension finie. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien de torsion. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules localement constant et de type fini sur un sous-schéma ouvert \(U \subset \mathbf{A}^1_Y\). Alors \(Rf_!\mathcal{F}\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles, où \(f : U \to Y\) est le morphisme structural.

Démonstration

On peut décomposer \(\Lambda\) en un produit \(\Lambda = \Lambda_1 \times \ldots \times \Lambda_r\) où \(\Lambda_i\) est \(\ell_i\)-primaire pour un nombre premier \(\ell_i\). On peut donc supposer qu’il existe un nombre premier \(\ell\) et un entier \(n > 0\) tels que \(\ell^n\) annule \(\Lambda\) (et donc \(\mathcal{F}\)).

Comme \(U\) est noethérien, \(U\) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes. On peut donc supposer \(U\) connexe. Soit \(g : U' \to U\) le revêtement étale fini construit dans le lemme de Cohomologie étale 0GJ0. La discussion de la section 03SH de Cohomologie étale donne des morphismes \[\mathcal{F} \to g_*g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\] dont la composée est un isomorphisme. Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(g_*g^{-1}\mathcal{F}\). D’autre part, on a \(Rf_!g_*g^{-1}\mathcal{F} = R(f \circ g)_!g^{-1}\mathcal{F}\) d’après le lemme 0F7J. Comme \(g^{-1}\mathcal{F}\) admet une filtration finie dont les quotients sont des faisceaux constants de \(\Lambda\)-modules de la forme \(\underline{M}\) pour un \(\Lambda\)-module de type fini \(M\) (par notre choix de \(g\)), on se ramène au cas démontré au lemme 0GKX.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma affine. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules de torsion sur \(\mathbf{A}^1_Y\). Alors \(Rf_!\mathcal{F}\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles, où \(f : \mathbf{A}^1_Y \to Y\) est le morphisme structural.

Démonstration

Supposons \(\mathcal{F}\) annulé par \(n > 0\). On peut alors remplacer \(\Lambda\) par \(\Lambda/n\Lambda\) sans changer \(Rf_!\mathcal{F}\). On peut donc supposer, et supposons, que \(\Lambda\) est un anneau de torsion.

Écrivons \(Y = \Spec(R)\). Si l’on écrit \(R = \bigcup R_i\) comme réunion de ses sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini, on peut trouver un \(i\) tel que \(\mathcal{F}\) provienne par image inverse d’un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(\mathbf{A}^1_{R_i}\) ; voir le lemme 09YU de Cohomologie étale. On peut donc supposer \(Y\) noethérien et de dimension finie.

Supposons \(Y\) noethérien de dimension finie \(d = \dim(Y)\) et \(\Lambda\) un anneau de torsion. Nous démontrerons le résultat par récurrence sur \(d\).

Cas initial. Si \(d = 0\), il suffit de montrer que les fibres de \(R^qf_!\mathcal{F}\) sont des \(\Lambda\)-modules de type fini. Si \(\overline{y}\) est un point géométrique de \(Y\), alors \((R^qf_!\mathcal{F})_{\overline{y}} = H^q_c(X_{\overline{y}}, \mathcal{F})\) d’après le lemme 0GK0. C’est un \(\Lambda\)-module de type fini d’après le lemme 0GKR.

Étape de récurrence. Il suffit de trouver un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(Rf_!\mathcal{F}|_V\) ait ses faisceaux de cohomologie constructibles. En effet, la restriction de \(Rf_!\mathcal{F}\) au complémentaire \(Y \setminus V\) aura ses faisceaux de cohomologie constructibles par récurrence et parce que la formation de \(Rf_!\mathcal{F}\) commute à tout changement de base (lemme 0F7L). Par définition des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules, il existe un sous-schéma ouvert dense \(U \subset \mathbf{A}^1_Y\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit un faisceau de \(\Lambda\)-modules localement constant et de type fini. Notons \(Z \subset \mathbf{A}^1_Y\) le complémentaire (muni de sa structure de sous-schéma fermé réduit). Remarquons que \(U\) contient tous les points génériques des fibres de \(\mathbf{A}^1_Y \to Y\) au-dessus des points génériques \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) des composantes irréductibles de \(Y\). Ainsi, \(Z \to Y\) a des fibres finies au-dessus de \(\xi_1, \ldots, \xi_n\). Quitte à remplacer \(Y\) par un ouvert dense (ce qui est permis), on peut supposer \(Z \to Y\) fini ; voir le lemme 02NW de Morphismes. Le triangle distingué du lemme 0GKP et le résultat pour \(Z \to Y\) (lemme 0GK3) nous ramènent à montrer que \(R(U \to Y)_!\mathcal{F}\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles. C’est précisément le lemme 0GKY.

Théorème

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de présentation finie entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(K\) un objet de \(D^+_{tors, c}(X_\etale, \Lambda)\) ou de \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion. Alors \(Rf_!K\) a ses faisceaux de cohomologie constructibles, c’est-à-dire que \(Rf_!K\) appartient à \(D^+_{tors, c}(Y_\etale, \Lambda)\) ou à \(D_c(Y_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion.

Démonstration

La question est locale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Par le principe de récurrence et le lemme 0GKN, on se ramène au cas où \(X\) est aussi affine.

Supposons \(X\) et \(Y\) affines. Comme \(X\) est de présentation finie, on peut choisir une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{A}^n_Y\) de présentation finie. Si \(p : \mathbf{A}^n_Y \to Y\) désigne le morphisme structural, on a \(Rf_! = Rp_! \circ Ri_!\) d’après le lemme 0F7J. D’après le lemme 0GK3, le résultat vaut pour \(Ri_! = i_!\). On peut donc supposer que \(f\) est le morphisme de projection \(\mathbf{A}^n_Y \to Y\). Comme on peut écrire \(f\) comme la composée \[X = \mathbf{A}^n_Y \to \mathbf{A}^{n - 1}_Y \to \mathbf{A}^{n - 2}_S \to \ldots \to \mathbf{A}^1_Y \to Y\] on peut supposer \(n = 1\).

Supposons \(Y\) affine et \(X = \mathbf{A}^1_Y\). Comme \(Rf_!\) est de dimension cohomologique finie (lemme 0G2A), on peut supposer \(K\) borné inférieurement. En utilisant la première suite spectrale du lemme 015J de Catégories dérivées (ou bien en utilisant un argument par troncations), on se ramène au résultat du lemme 0GKZ.

Applications

Dans cette section, nous donnons quelques applications du théorème 0GL0.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur \(k\). Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(K\) un objet de \(D^+_{tors, c}(X_\etale, \Lambda)\) ou de \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) lorsque \(\Lambda\) est un anneau de torsion. Alors \(H^i_c(X, K)\) est un \(\Lambda\)-module de type fini pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du théorème 0GL0 et de la définition de la cohomologie à support propre donnée à la section 0GJY.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse entre schémas. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules localement constant et de type fini sur \(X_\etale\) tel que, pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\), la fibre \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) soit annulée par un entier \(n > 0\) premier à la caractéristique résiduelle de \(\overline{x}\). Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\Lambda\)-modules localement constant et de type fini sur \(S_\etale\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Pour un point \(x\) de \(X\), notons \(n_x \geq 1\) le plus petit entier annulant \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) pour un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\) situé au-dessus de \(x\) (et donc pour tout tel point). Comme \(X\) est quasi-compact (étant propre sur un affine), il existe un recouvrement étale fini \(\{U_j \to X\}_{j = 1, \ldots, m}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_j}\) soit constant. Comme \(U_j \to X\) est ouvert, on en déduit que la fonction \(x \mapsto n_x\) est localement constante et ne prend qu’un nombre fini de valeurs. On obtient donc une décomposition finie \(X = X_1 \amalg \ldots \amalg X_N\) en sous-schémas ouverts et fermés telle que \(n_x = n\) si et seulement si \(x \in X_n\). Il suffit alors de démontrer la proposition pour les morphismes induits \(X_n \to S\) et la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(X_n\). On peut donc supposer qu’il existe un entier \(n > 0\) tel que \(\mathcal{F}\) soit annulé par \(n\) et que \(n\) soit premier aux caractéristiques résiduelles de tous les corps résiduels de \(X\).

Comme \(f\) est lisse et propre, l’image \(f(X) \subset S\) est ouverte et fermée. On peut donc remplacer \(S\) par \(f(X)\) et supposer \(f(X) = S\). En particulier, on peut supposer \(n\) inversible dans l’anneau de définition du schéma affine \(S\).

Dans ce paragraphe, nous nous ramenons au cas où \(S\) est noethérien. Écrivons \(S = \Spec(A)\) pour une \(\mathbf{Z}[1/n]\)-algèbre \(A\). Écrivons \(A = \bigcup A_i\) comme réunion de ses sous-algèbres de type fini sur \(\mathbf{Z}[1/n]\). On peut trouver un \(i\) et un morphisme \(f_i : X_i \to S_i = \Spec(A_i)\) de type fini dont le changement de base à \(S\) est \(f : X \to S\) ; voir le lemme 01ZM de Limites. Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer \(f_i : X_i \to S_i\) lisse et propre ; voir les lemmes de Limites 081F, 0C0C et 0EY2. D’après le lemme de Cohomologie étale 0GL2 il existe un \(i\) et un faisceau de \(\Lambda\)-modules localement constant et de type fini \(\mathcal{F}_i\) dont l’image inverse sur \(X\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\). Comme \(\mathcal{F}\) est annulé par \(n\), on peut remplacer \(\mathcal{F}_i\) par \(\Ker(n : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i)\) et supposer qu’il en va de même pour \(\mathcal{F}_i\). On se ramène ainsi au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons donnés un entier \(n \geq 1\), un schéma de base noethérien \(S\) sur \(\mathbf{Z}[1/n]\), et un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(n\)-torsion. D’après le théorème 0GL0, les faisceaux \(R^if_*\mathcal{F}\) sont des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules. D’après le lemme de Cohomologie étale 0GJW les morphismes de spécialisation de \(R^if_*\mathcal{F}\) sont toujours des isomorphismes. On conclut par le lemme de Cohomologie étale 0GKC.

Compléments sur l’image inverse extraordinaire dérivée

Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rr]_j \ar[rd]_g & & U' \ar[ld]^{g'} \\ & Y }\] de schémas quasi-compacts et quasi-séparés, où \(g\) et \(g'\) sont séparés et de type fini, et où \(j\) est étale. Il induit un morphisme canonique \[Rg_!\Lambda \longrightarrow Rg'_!\Lambda\] dans \(D(Y_\etale, \Lambda)\). En effet, d’après les lemmes 0F7J et 0GKM, on a \(Rg_! = Rg'_! \circ j_!\). D’autre part, comme \(j_!\) est adjoint à gauche de \(j^{-1}\), on dispose du morphisme d’adjonction \(\text{Tr}_j : j_!\Lambda = j_!j^{-1}\Lambda \to \Lambda\) ; nous l’appelons aussi le morphisme trace de \(j\) ; voir la remarque 0GL4. Le morphisme ci-dessus est la composée \[Rg_!\Lambda = Rg'_!j_!\Lambda \xrightarrow{Rg'_! \text{Tr}_j} Rg'_!\Lambda\] Étant donné un second morphisme étale \(j' : U' \to U''\) et un morphisme séparé de type fini \(g'' : U'' \to Y\), la composée \[Rg_!\Lambda \longrightarrow Rg'_!\Lambda \longrightarrow Rg''_!\Lambda\] des morphismes associés à \(j\) et \(j'\) est égale au morphisme \(Rg_!\Lambda \longrightarrow Rg''_!\Lambda\) construit pour \(j' \circ j\). Cela résulte de l’énoncé correspondant pour les morphismes trace ; voir le lemme 0GL3 pour un cas plus général.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. On obtient alors un foncteur \[X_{affine, \etale} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{schémas séparés de type fini sur }Y\\ \text{et morphismes étales entre eux} \end{matrix} \right\}\] La construction ci-dessus détermine donc un foncteur \(X_{affine, \etale}^{opp} \to D(Y_\etale, \Lambda)\) qui envoie \(U\) sur \(R(U \to Y)_!\Lambda\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini entre schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(\Lambda\) un anneau de torsion. Soit \(K \in D(Y_\etale, \Lambda)\). Pour \(n \in \mathbf{Z}\), le faisceau de cohomologie \(H^n(Rf^!K)\) restreint à \(X_{affine, \etale}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \Hom_Y(R(U \to Y)_!\Lambda, K[n])\] Voir la discussion ci-dessus pour la fonctorialité de \(R(U \to Y)_!\Lambda\).

Démonstration

Soit \(j : U \to X\) un objet de \(X_{affine, \etale}\), et posons \(g = f \circ j\). Rappelons que \(\Hom_X(j_!\Lambda, M[n]) = H^n(U, M)\) pour tout objet \(M\) de \(D(X_\etale, \Lambda)\). Alors \(H^n(Rf^!K)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \mapsto H^n(U, Rf^!K) = \Hom_X(j_!\Lambda, Rf^!K[n]) = \Hom_Y(Rf_!j_!\Lambda, K[n] = \Hom_Y(Rg_!\Lambda, K[n])\] Nous omettons de vérifier que les morphismes de transition sont induits par les morphismes de transition entre les objets \(Rg_!\Lambda = R(U \to Y)_!\Lambda\) construits ci-dessus.