Descente

Introduction

Dans le chapitre consacré aux topologies sur les schémas (voir Topologies, section 020L), nous avons introduit les recouvrements de Zariski, étales, fppf, lisses, syntomiques et fpqc de schémas. Dans le présent chapitre, nous examinons les structures sur les schémas qui peuvent être descendues au moyen de tels recouvrements. Voir, par exemple, [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V] et [Gr-VI]. Il s’agit également d’introduire les notions de descente, de donnée de descente et de donnée de descente effective dans le cadre moins formel des questions de descente pour les faisceaux quasi-cohérents, les schémas, etc. La notion formelle de champ sur un site est étudiée dans le chapitre consacré aux champs (voir Champs, section 0267).

Données de descente pour les faisceaux quasi-cohérents

Dans ce chapitre, nous adoptons la convention suivant laquelle les projections \(\text{pr}_i : X \times \ldots \times X \to X\) sont numérotées à partir de \(i = 0\). Ainsi, nous avons \(\text{pr}_0, \text{pr}_1 : X \times X \to X\), \(\text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_2 : X \times X \times X \to X\), etc.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : S_i \to S\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(S\).

1. Une donnée de descente \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille donnée est constituée d’un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) sur \(S_i\) pour chaque \(i \in I\) et d’un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{S_i \times_S S_j}\)-modules quasi-cohérents \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j\) pour chaque paire \((i, j) \in I^2\), tel que, pour tout triplet d’indices \((i, j, k) \in I^3\), le diagramme \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[rd]_{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & \text{pr}_2^*\mathcal{F}_k \\ & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[ru]_{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} & }\] de \(\mathcal{O}_{S_i \times_S S_j \times_S S_k}\)-modules soit commutatif. C’est la condition de cocycle.

2. Un morphisme \(\psi : (\mathcal{F}_i, \varphi_{ij}) \to (\mathcal{F}'_i, \varphi'_{ij})\) de données de descente est une famille \(\psi = (\psi_i)_{i\in I}\) de morphismes de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules \(\psi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}'_i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\text{pr}_0^*\psi_i} & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[d]^{\text{pr}_1^*\psi_j} \\ \text{pr}_0^*\mathcal{F}'_i \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & \text{pr}_1^*\mathcal{F}'_j \\ }\] soient commutatifs.

Un bon exemple à garder à l’esprit est le suivant. Supposons que \(S = \bigcup S_i\) soit un recouvrement ouvert. Nous avons alors rencontré les données de descente pour les faisceaux d’ensembles dans Faisceaux, section 00AK, où nous les avons appelées “données de recollement pour les faisceaux d’ensembles relativement au recouvrement donné”. Nous avons en outre démontré que la catégorie des données de recollement est équivalente à la catégorie des faisceaux sur \(S\). Nous établirons l’analogue dans le cadre ci-dessus lorsque \(\{S_i \to S\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc.

Dans le cas extrême où le recouvrement \(\{S \to S\}\) est donné par \(\text{id}_S\), une donnée de descente est nécessairement de la forme \((\mathcal{F}, \text{id}_\mathcal{F})\). La condition de cocycle garantit que l’identité de \(\mathcal{F}\) est le seul morphisme admis dans ce cas. Le lemme suivant montre notamment qu’à tout faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-modules est associée une unique donnée de descente relativement à toute famille donnée.

Lemme

Soient \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) des familles de morphismes de schémas à but fixé. Soit \((g, \alpha : I \to J, (g_i)) : \mathcal{U} \to \mathcal{V}\) un morphisme de familles de morphismes à but fixé, voir Sites, définition 00VT. Soit \((\mathcal{F}_j, \varphi_{jj'})\) une donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille \(\{V_j \to V\}_{j \in J}\). Alors :

1. le système \[\left(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')}\right)\] est une donnée de descente relativement à la famille \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) ;

2. cette construction est fonctorielle en la donnée de descente \((\mathcal{F}_j, \varphi_{jj'})\) ;

3. étant donné un second morphisme \((g', \alpha' : I \to J, (g'_i))\) de familles de morphismes à but fixé tel que \(g = g'\), il existe un isomorphisme fonctoriel de données de descente \[(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')}) \cong ((g'_i)^*\mathcal{F}_{\alpha'(i)}, (g'_i \times g'_{i'})^*\varphi_{\alpha'(i)\alpha'(i')}).\]

Démonstration

Omis. Indication : les morphismes \(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)} \to (g'_i)^*\mathcal{F}_{\alpha'(i)}\) qui donnent l’isomorphisme des données de descente en (3) sont les images inverses des morphismes \(\varphi_{\alpha(i)\alpha'(i)}\) par \((g_i, g'_i) : U_i \to V_{\alpha(i)} \times_V V_{\alpha'(i)}\).

Toute famille \(\mathcal{U} = \{S_i \to S\}_{i \in I}\) raffine d’une unique manière le recouvrement trivial \(\{S \to S\}\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(S\), nous notons simplement \((\mathcal{F}|_{S_i}, can)\) la donnée de descente relativement à \(\mathcal{U}\) obtenue par le procédé ci-dessus.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(S\).

1. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Nous appelons l’unique donnée de descente sur \(\mathcal{F}\) relativement au recouvrement \(\{S \to S\}\) la donnée de descente triviale.

2. L’image inverse de la donnée de descente triviale sur \(\{S_i \to S\}\) est appelée la donnée de descente canonique. Notation : \((\mathcal{F}|_{S_i}, can)\).

3. Une donnée de descente \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) pour les faisceaux quasi-cohérents relativement au recouvrement donné est dite effective s’il existe un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\) tel que \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) soit isomorphe à \((\mathcal{F}|_{S_i}, can)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(S = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Toute donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille \(\mathcal{U} = \{U_i \to S\}\) est effective. De plus, le foncteur de la catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente relativement à \(\mathcal{U}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Faisceaux, section 00AK, et du fait que la quasi-cohérence est une propriété locale, voir Modules, définition 01BE.

Pour aller plus loin, nous devons d’abord étudier le cas des modules sur des anneaux.

Descente pour les modules

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux. D’après Simplicial, exemple 016N, il donne naissance à une \(R\)-algèbre cosimpliciale \[\xymatrix{ A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & A \otimes_R A \ar@<0ex>[l] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A \otimes_R A \otimes_R A \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] Notons-la \((A/R)_\bullet\), de sorte que \((A/R)_n\) est le produit tensoriel de \((n + 1)\) copies de \(A\) sur \(R\). Étant donné une application \(\varphi : [n] \to [m]\), le morphisme de \(R\)-algèbres \((A/R)_\bullet(\varphi)\) est l’application \[a_0 \otimes \ldots \otimes a_n \longmapsto \prod\nolimits_{\varphi(i) = 0} a_i \otimes \prod\nolimits_{\varphi(i) = 1} a_i \otimes \ldots \otimes \prod\nolimits_{\varphi(i) = m} a_i\] où, par convention, le produit vide vaut \(1\). Les premiers morphismes, avec les notations de Simplicial, section 016I, sont donc \[\begin{matrix} \delta^1_0 & : & a_0 & \mapsto & 1 \otimes a_0 \\ \delta^1_1 & : & a_0 & \mapsto & a_0 \otimes 1 \\ \sigma^0_0 & : & a_0 \otimes a_1 & \mapsto & a_0a_1 \\ \delta^2_0 & : & a_0 \otimes a_1 & \mapsto & 1 \otimes a_0 \otimes a_1 \\ \delta^2_1 & : & a_0 \otimes a_1 & \mapsto & a_0 \otimes 1 \otimes a_1 \\ \delta^2_2 & : & a_0 \otimes a_1 & \mapsto & a_0 \otimes a_1 \otimes 1 \\ \sigma^1_0 & : & a_0 \otimes a_1 \otimes a_2 & \mapsto & a_0a_1 \otimes a_2 \\ \sigma^1_1 & : & a_0 \otimes a_1 \otimes a_2 & \mapsto & a_0 \otimes a_1a_2 \end{matrix}\] et ainsi de suite.

Un \(R\)-module \(M\) donne naissance au \((A/R)_\bullet\)-module cosimplicial \((A/R)_\bullet \otimes_R M\). Autrement dit, \(M_n = (A/R)_n \otimes_R M\), et les morphismes de \(R\)-algèbres \((A/R)_n \to (A/R)_m\) servent à définir les morphismes correspondants sur \(M \otimes_R (A/R)_\bullet\).

L’analogue, pour les modules, d’une donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents est le suivant.

Définition

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux.

1. Une donnée de descente \((N, \varphi)\) pour les modules relativement à \(R \to A\) est constituée d’un \(A\)-module \(N\) et d’un isomorphisme de \(A \otimes_R A\)-modules \[\varphi : N \otimes_R A \to A \otimes_R N\] tel que la condition de cocycle soit satisfaite : le diagramme de morphismes de \(A \otimes_R A \otimes_R A\)-modules \[\xymatrix{ N \otimes_R A \otimes_R A \ar[rr]_{\varphi_{02}} \ar[rd]_{\varphi_{01}} & & A \otimes_R A \otimes_R N \\ & A \otimes_R N \otimes_R A \ar[ru]_{\varphi_{12}} & }\] est commutatif (voir ci-dessous pour les notations).

2. Un morphisme \((N, \varphi) \to (N', \varphi')\) de données de descente est un morphisme de \(A\)-modules \(\psi : N \to N'\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ N \otimes_R A \ar[r]_\varphi \ar[d]_{\psi \otimes \text{id}_A} & A \otimes_R N \ar[d]^{\text{id}_A \otimes \psi} \\ N' \otimes_R A \ar[r]^{\varphi'} & A \otimes_R N' }\] soit commutatif.

Dans cette définition, nous posons \(\varphi_{01} = \varphi \otimes \text{id}_A\), \(\varphi_{12} = \text{id}_A \otimes \varphi\), et \(\varphi_{02}(n \otimes 1 \otimes 1) = \sum a_i \otimes 1 \otimes n_i\) si \(\varphi(n \otimes 1) = \sum a_i \otimes n_i\). Ce sont trois homomorphismes de \(A \otimes_R A \otimes_R A\)-modules. De manière équivalente, nous avons \[\varphi_{ij} = \varphi \otimes_{(A/R)_1, \ (A/R)_\bullet(\tau^2_{ij})} (A/R)_2\] où \(\tau^2_{ij} : [1] \to [2]\) est l’application \(0 \mapsto i\), \(1 \mapsto j\). En effet, \((A/R)_{\bullet}(\tau^2_{02})(a_0 \otimes a_1) = a_0 \otimes 1 \otimes a_1\), et de même pour les autres¹.

Nous avons besoin de quelques notations supplémentaires pour énoncer le lemme suivant. Soit \((N, \varphi)\) une donnée de descente relativement à un morphisme d’anneaux \(R \to A\). Pour \(n \geq 0\) et \(i \in [n]\), posons \[N_{n, i} = A \otimes_R \ldots \otimes_R A \otimes_R N \otimes_R A \otimes_R \ldots \otimes_R A\] où le facteur \(N\) occupe la \(i\)-ième place. C’est un \((A/R)_n\)-module. Introduisons les applications \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\). Alors \[N_{n, i} = N \otimes_{(A/R)_0, \ (A/R)_\bullet(\tau^n_i)} (A/R)_n\] Pour \(0 \leq i \leq j \leq n\), soit \(\tau^n_{ij} : [1] \to [n]\) l’application qui envoie \(0\) sur \(i\) et \(1\) sur \(j\). Comme ci-dessus, l’homomorphisme \(\varphi\) induit des isomorphismes \[\varphi^n_{ij} = \varphi \otimes_{(A/R)_1, \ (A/R)_\bullet(\tau^n_{ij})} (A/R)_n : N_{n, i} \longrightarrow N_{n, j}\] de \((A/R)_n\)-modules lorsque \(i < j\). Si \(i = j\), nous posons \(\varphi^n_{ij} = \text{id}\). Tous ces morphismes étant des isomorphismes, ils permettent de déplacer le facteur \(N\) vers n’importe quelle place. La condition de cocycle signifie précisément que le résultat ne dépend pas de la manière dont on effectue ce déplacement (par exemple en composant deux de ces isomorphismes ou en une seule étape). Enfin, pour toute application \(\beta : [n] \to [m]\), nous définissons le morphisme \[N_{\beta, i} : N_{n, i} \to N_{m, \beta(i)}\] comme l’unique application semi-linéaire relativement à l’homomorphisme \((A/R)_\bullet(\beta)\) telle que \[N_{\beta, i}(1 \otimes \ldots \otimes n \otimes \ldots \otimes 1) = 1 \otimes \ldots \otimes n \otimes \ldots \otimes 1\] pour tout \(n \in N\). Cela suggère le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux. À toute donnée de descente \((N, \varphi)\), on peut associer un \((A/R)_\bullet\)-module cosimplicial \(N_\bullet\)² en posant \(N_n = N_{n, n}\) et, pour \(\beta : [n] \to [m]\), en définissant \[N_\bullet(\beta) = (\varphi^m_{\beta(n)m}) \circ N_{\beta, n} : N_{n, n} \longrightarrow N_{m, m}.\] Cette construction est fonctorielle en la donnée de descente.

Démonstration

Voici les premières applications, où \(\varphi(n \otimes 1) = \sum \alpha_i \otimes x_i\) : \[\begin{matrix} \delta^1_0 & : & N & \to & A \otimes N & n & \mapsto & 1 \otimes n \\ \delta^1_1 & : & N & \to & A \otimes N & n & \mapsto & \sum \alpha_i \otimes x_i\\ \sigma^0_0 & : & A \otimes N & \to & N & a_0 \otimes n & \mapsto & a_0n \\ \delta^2_0 & : & A \otimes N & \to & A \otimes A \otimes N & a_0 \otimes n & \mapsto & 1 \otimes a_0 \otimes n \\ \delta^2_1 & : & A \otimes N & \to & A \otimes A \otimes N & a_0 \otimes n & \mapsto & a_0 \otimes 1 \otimes n \\ \delta^2_2 & : & A \otimes N & \to & A \otimes A \otimes N & a_0 \otimes n & \mapsto & \sum a_0 \otimes \alpha_i \otimes x_i \\ \sigma^1_0 & : & A \otimes A \otimes N & \to & A \otimes N & a_0 \otimes a_1 \otimes n & \mapsto & a_0a_1 \otimes n \\ \sigma^1_1 & : & A \otimes A \otimes N & \to & A \otimes N & a_0 \otimes a_1 \otimes n & \mapsto & a_0 \otimes a_1n \end{matrix}\] avec les notations de Simplicial, section 016I. Vérifions d’abord les deux identités \(\sigma^0_0 \circ \delta^1_0 = \text{id}\) et \(\sigma^0_0 \circ \delta^1_1 = \text{id}\). La première, \(\sigma^0_0 \circ \delta^1_0 = \text{id}\), résulte immédiatement de la description explicite des morphismes ci-dessus. Pour démontrer la seconde, il faut utiliser la condition de cocycle (car elle n’est pas vérifiée pour un isomorphisme arbitraire \(\varphi : N \otimes_R A \to A \otimes_R N\)). Posons \(p = \sigma^0_0 \circ \delta^1_1 : N \to N\). D’après la description des applications ci-dessus, \(p\) s’identifie aussi à \[p = \varphi \otimes \text{id} : N = (N \otimes_R A) \otimes_{(A \otimes_R A)} A \longrightarrow (A \otimes_R N) \otimes_{(A \otimes_R A)} A = N\] Puisque \(\varphi\) est un isomorphisme, \(p\) en est un également. Écrivons \(\varphi(n \otimes 1) = \sum \alpha_i \otimes x_i\), avec \(\alpha_i \in A\) et \(x_i \in N\). Alors \(p(n) = \sum \alpha_ix_i\). Écrivons ensuite \(\varphi(x_i \otimes 1) = \sum \alpha_{ij} \otimes y_j\), avec \(\alpha_{ij} \in A\) et \(y_j \in N\). La condition de cocycle donne \[\sum \alpha_i \otimes \alpha_{ij} \otimes y_j = \sum \alpha_i \otimes 1 \otimes x_i.\] Cela signifie que \(p(n) = \sum \alpha_ix_i = \sum \alpha_i\alpha_{ij}y_j = \sum \alpha_i p(x_i) = p(p(n))\). Ainsi, \(p\) est un projecteur ; comme c’est un isomorphisme, c’est l’identité.

Pour achever de montrer que \(N_\bullet\) est un module cosimplicial, il faut vérifier les cinq types de relations de Simplicial, remarque 016L. Les relations qui ne font intervenir que des composées de \(\sigma\) sont évidentes. Celles qui ne font intervenir que des composées de \(\delta\) se ramènent à la condition de cocycle pour \(\varphi\). On vérifie exactement comme ci-dessus les relations \(\sigma_j \circ \delta_j = \sigma_j \circ \delta_{j + 1} = \text{id}\). Enfin, les autres relations entre composées de \(\delta\) et de \(\sigma\) sont vérifiées quel que soit \(\varphi\).

À tout \(R\)-module \(M\), on peut associer une donnée de descente canonique, à savoir \((M \otimes_R A, can)\), où \(can : (M \otimes_R A) \otimes_R A \to A \otimes_R (M \otimes_R A)\) est l’application évidente : \((m \otimes a) \otimes a' \mapsto a \otimes (m \otimes a')\).

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(R\)-module. Le \((A/R)_\bullet\)-module cosimplicial associé à la donnée de descente canonique est isomorphe au module cosimplicial \((A/R)_\bullet \otimes_R M\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Une donnée de descente \((N, \varphi)\) est dite effective s’il existe un \(R\)-module \(M\) et un isomorphisme de données de descente de \((M \otimes_R A, can)\) vers \((N, \varphi)\).

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \((N, \varphi)\) une donnée de descente. Considérons le complexe de cochaînes \(s(N_\bullet)\) associé à \(N_\bullet\) (voir Simplicial, section 019H). Il est de la forme \[N \to A \otimes_R N \to A \otimes_R A \otimes_R N \to \ldots\] On peut en décrire les différentielles. La première est l’application \[n \longmapsto 1 \otimes n - \varphi(n \otimes 1).\] La seconde est donnée, sur les tenseurs purs, par \[a \otimes n \longmapsto 1 \otimes a \otimes n - a \otimes 1 \otimes n + a \otimes \varphi(n \otimes 1).\] La règle se poursuit de manière évidente.

Dans le cas particulier où \(N = A \otimes_R M\), pour tout \(m \in M\), l’élément \(1 \otimes m\) appartient au noyau de la première différentielle du complexe de cochaînes associé au module cosimplicial \((A/R)_\bullet \otimes_R M\). On obtient donc un complexe de cochaînes augmenté [023K]\[\begin{equation} 0 \to M \to A \otimes_R M \to A \otimes_R A \otimes_R M \to \ldots \end{equation}\] On place ici \(0\) en degré \(-2\), le module \(M\) en degré \(-1\), le module \(A \otimes_R M\) en degré \(0\), et ainsi de suite. Ce complexe est de la forme \[0 \to R \to A \to A \otimes_R A \to A \otimes_R A \otimes_R A \to \ldots\] lorsque \(M = R\).

Lemme

Supposons que \(R \to A\) admette une section. Alors, pour tout \(R\)-module \(M\), le complexe de cochaînes augmenté (023K) est exact.

Démonstration

D’après Simplicial, lemme 019Z, l’application \(R \to (A/R)_\bullet\) est un homotopisme de \(R\)-algèbres cosimpliciales (où \(R\) désigne la \(R\)-algèbre cosimpliciale constante). Par suite, \(M \to (A/R)_\bullet \otimes_R M\) est un homotopisme dans la catégorie des \(R\)-modules cosimpliciaux, car \(\otimes_R M\) est un foncteur de la catégorie des \(R\)-algèbres vers celle des \(R\)-modules ; voir Simplicial, lemme 019Y. L’application induite entre les complexes associés est donc un homotopisme ; voir Simplicial, lemme 01A0. Puisque le complexe associé au \(R\)-module cosimplicial constant \(M\) est le complexe \[\xymatrix{ M \ar[r]^0 & M \ar[r]^1 & M \ar[r]^0 & M \ar[r]^1 & M \ldots }\] le résultat s’ensuit (le complexe augmenté s’obtient simplement en ajoutant un terme \(M\) au début).

Lemme

Supposons que \(R \to A\) soit fidèlement plat ; voir Algèbre, définition 00HB. Alors, pour tout \(R\)-module \(M\), le complexe de cochaînes augmenté (023K) est exact.

Démonstration

Supposons que l’on puisse trouver un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat \(R \to R'\) tel que le résultat soit vrai pour l’homomorphisme \(R' \to A' = R' \otimes_R A\). Le résultat vaut alors aussi pour \(R \to A\). En effet, pour tout \(R\)-module \(M\), le module cosimplicial \((M \otimes_R R') \otimes_{R'} (A'/R')_\bullet\) s’identifie au module cosimplicial \(R' \otimes_R (M \otimes_R (A/R)_\bullet)\). L’annulation de la cohomologie du complexe associé à \((M \otimes_R R') \otimes_{R'} (A'/R')_\bullet\) entraîne donc celle de la cohomologie du complexe associé à \(M \otimes_R (A/R)_\bullet\), par fidèle platitude de \(R \to R'\). Il en va de même pour l’annulation des groupes de cohomologie en degrés \(-1\) et \(0\) du complexe augmenté (démonstration omise).

Or une telle extension fidèlement plate existe : il suffit de prendre \(R' = A\), car l’homomorphisme d’anneaux \(R' = A \to A' = A \otimes_R A\) admet la section \(a \otimes a' \mapsto aa'\), et le lemme 023L s’applique.

Voici le lien entre ce complexe et la question de l’effectivité.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Soit \((N, \varphi)\) une donnée de descente. Alors \((N, \varphi)\) est effective si et seulement si l’application canonique \[A \otimes_R H^0(s(N_\bullet)) \longrightarrow N\] est un isomorphisme.

Démonstration

Si \((N, \varphi)\) est effective, on peut écrire \(N = A \otimes_R M\), avec \(\varphi = can\). On a alors \(H^0(s(N_\bullet)) = M\), d’après les lemmes 023I et 023M. Réciproquement, supposons que l’application du lemme soit un isomorphisme. Posons \(M = H^0(s(N_\bullet))\). C’est un \(R\)-sous-module de \(N\), à savoir \(M = \{n \in N \mid 1 \otimes n = \varphi(n \otimes 1)\}\). Il reste seulement à vérifier que, par l’isomorphisme \(A \otimes_R M \to N\), la donnée de descente canonique correspond à \(\varphi\). Nous omettons cette vérification.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat, et soit \(R \to R'\) un homomorphisme fidèlement plat. Posons \(A' = R' \otimes_R A\). Si toutes les données de descente relatives à \(R' \to A'\) sont effectives, il en est de même de toutes les données de descente relatives à \(R \to A\).

Démonstration

Soit \((N, \varphi)\) une donnée de descente relative à \(R \to A\). Posons \(N' = R' \otimes_R N = A' \otimes_A N\), et notons \(\varphi' = \text{id}_{R'} \otimes \varphi\) le changement de base de la donnée de descente \(\varphi\). Alors \((N', \varphi')\) est une donnée de descente relative à \(R' \to A'\) et \(H^0(s(N'_\bullet)) = R' \otimes_R H^0(s(N_\bullet))\). De plus, l’application \(A' \otimes_{R'} H^0(s(N'_\bullet)) \to N'\) s’identifie au changement de base de l’homomorphisme de \(A\)-modules \(A \otimes_R H^0(s(N)) \to N\) par l’homomorphisme fidèlement plat \(A \to A'\). On conclut donc par le lemme 039W.

Voici le résultat principal de cette section. Sa démonstration peut paraître un peu laborieuse ; pour une approche plus conceptuelle, voir la remarque 039Y ci-dessous.

Proposition

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Alors

1. toute donnée de descente de modules relative à \(R \to A\) est effective ;

2. le foncteur \(M \mapsto (A \otimes_R M, can)\) de la catégorie des \(R\)-modules vers celle des données de descente est une équivalence ;

3. le foncteur inverse est donné par \((N, \varphi) \mapsto H^0(s(N_\bullet))\).

Démonstration

Nous démontrons seulement (1) et omettons les démonstrations de (2) et (3). Puisque \(R \to A\) est fidèlement plat, il existe un changement de base fidèlement plat \(R \to R'\) tel que \(R' \to A' = R' \otimes_R A\) admette une section (il suffit de prendre \(R' = A\), comme dans la preuve du lemme 023M). Ainsi, par le lemme 039X, on peut supposer que \(R \to A\) admet une section, notée \(\sigma : A \to R\). Soit \((N, \varphi)\) une donnée de descente relative à \(R \to A\). Posons \[M = H^0(s(N_\bullet)) = \{n \in N \mid 1 \otimes n = \varphi(n \otimes 1)\} \subset N\] D’après le lemme 039W, il suffit de montrer que \(A \otimes_R M \to N\) est un isomorphisme.

Soit \(n \in N\). Écrivons \(\varphi(n \otimes 1) = \sum a_i \otimes x_i\), avec \(a_i \in A\) et \(x_i \in N\). D’après le lemme 023H, on a \(n = \sum a_i x_i\) dans \(N\) (puisque \(\sigma^0_0 \circ \delta^1_1 = \text{id}\) dans tout objet cosimplicial). Écrivons ensuite \(\varphi(x_i \otimes 1) = \sum a_{ij} \otimes y_j\), avec \(a_{ij} \in A\) et \(y_j \in N\). La condition de cocycle s’écrit \[\sum a_i \otimes a_{ij} \otimes y_j = \sum a_i \otimes 1 \otimes x_i\] dans \(A \otimes_R A \otimes_R N\). On en déduit deux identités :

1. en appliquant \(\sigma\) au premier facteur \(A\), on obtient \(\sum \sigma(a_i) \varphi(x_i \otimes 1) = \sum \sigma(a_i) \otimes x_i\) ;

2. en appliquant \(\sigma\) au facteur \(A\) du milieu, on obtient \(\sum_i a_i \otimes \sum_j \sigma(a_{ij}) y_j = \sum a_i \otimes x_i\).

Le point (1) montre que \(\sum \sigma(a_i) x_i \in M\). En l’appliquant à \(x_i\), on voit que \(\sum \sigma(a_{ij})y_i \in M\) pour tout \(i\). En effectuant les multiplications dans l’égalité (2), on obtient \(\sum_i a_i (\sum_j \sigma(a_{ij}) y_j) = \sum a_i x_i = n\). Ainsi, \(A \otimes_R M \to N\) est surjectif. Enfin, supposons que \(m_i \in M\) et \(\sum a_i m_i = 0\). En appliquant \(\varphi\) à \(\sum a_im_i \otimes 1\), on obtient \(\sum a_i \otimes m_i = 0\). Autrement dit, \(A \otimes_R M \to N\) est injectif, ce qui achève la preuve.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_n\in R\) des éléments engendrant l’idéal unité. L’anneau \(A = \prod_i R_{f_i}\) est une \(R\)-algèbre fidèlement plate. L’anneau cosimplicial \((A/R)_\bullet\) a pour composante de degré \(n\) l’anneau \[\prod\nolimits_{i_0, \ldots, i_n} R_{f_{i_0}\ldots f_{i_n}}\] Les résultats ci-dessus redonnent donc Algèbre, lemmes 00EJ, 00EK et 00EQ. Ils vont toutefois plus loin, grâce à l’exactitude en degrés supérieurs. Celle-ci entraîne en effet la trivialité de la cohomologie de Čech des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas affines. On obtient ainsi une seconde démonstration de Cohomologie des schémas, lemme 01X9.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A_\bullet\) une \(R\)-algèbre cosimpliciale. Dans ce cadre, une donnée de descente correspond à un \(A_\bullet\)-module cosimplicial \(M_\bullet\) tel que, pour tous \(n, m \geq 0\) et tout \(\varphi : [n] \to [m]\), l’application \(M(\varphi) : M_n \to M_m\) induise un isomorphisme \[M_n \otimes_{A_n, A(\varphi)} A_m \longrightarrow M_m.\] Appelons un tel module cosimplicial un module cartésien. Dans ce cadre, la démonstration de la proposition 023N se décompose selon les étapes suivantes :

1. Si \(R \to R'\) et \(R \to A\) sont fidèlement plats, les données de descente relatives à \(A/R\) sont effectives dès que celles relatives à \((R' \otimes_R A)/R'\) le sont.

2. Soit \(A\) une \(R\)-algèbre. Les données de descente relatives à \(A/R\) correspondent aux \((A/R)_\bullet\)-modules cartésiens.

3. Si \(R \to A\) admet une section, \((A/R)_\bullet\) est homotopiquement équivalent à \(R\), la \(R\)-algèbre cosimpliciale constante de valeur \(R\).

4. Si \(A_\bullet \to B_\bullet\) est une équivalence d’homotopie de \(R\)-algèbres cosimpliciales, le foncteur \(M_\bullet \mapsto M_\bullet \otimes_{A_\bullet} B_\bullet\) induit une équivalence entre la catégorie des \(A_\bullet\)-modules cartésiens et celle des \(B_\bullet\)-modules cartésiens.

Pour (1), voir le lemme 039X. Le point (2) utilise le lemme 023H. Le point (3) a été établi dans la preuve du lemme 023L (il repose sur Simplicial, lemme 019Z). Enfin, le point (4) est immédiat si l’on adopte le bon point de vue !

Descente pour les morphismes universellement injectifs

De nombreuses constructions en géométrie algébrique font appel aux techniques de descente : on construit des objets sur un espace donné en travaillant d’abord sur un espace un peu plus grand qui se projette sur celui-ci, ou l’on vérifie une propriété d’un espace ou d’un morphisme après changement de base par un morphisme de recouvrement. L’utilité de ces techniques dépend bien entendu de l’identification d’une classe suffisamment large de morphismes de descente effective. Dès les débuts de la géométrie algébrique moderne développée par Grothendieck, on a montré que les morphismes quasi-compacts et fidèlement plats permettent de faire descendre effectivement les objets, les morphismes et nombre de leurs propriétés.

Comme d’habitude, cet énoncé se ramène à une propriété des anneaux et des modules. Pour qu’un homomorphisme \(f: R \to S\) soit un morphisme de descente effective pour les modules, Grothendieck a montré qu’il suffit que \(f\) soit fidèlement plat. Cette condition exclut toutefois de nombreux exemples naturels : ainsi, tout homomorphisme d’anneaux scindé est un morphisme de descente effective. Un exemple naturel intervient même dans la démonstration de la descente fidèlement plate : pour tout homomorphisme d’anneaux \(f: R \to S\), l’homomorphisme \(1_S \otimes f: S \to S \otimes_R S\) admet la multiplication pour rétraction, qu’il soit plat ou non.

On peut donc chercher une condition naturelle sur un homomorphisme d’anneaux qui entraîne la descente effective des modules et englobe à la fois les homomorphismes fidèlement plats et les homomorphismes scindés. Le lecteur sera peut-être surpris (l’auteur l’a du moins été) d’apprendre qu’une réponse complète est connue depuis les environs de 1970 ! Il est facile de vérifier que, pour que \(f: R \to S\) soit un morphisme de descente effective pour les modules, il faut que \(f\) soit universellement injectif dans la catégorie des \(R\)-modules : pour tout \(R\)-module \(M\), l’application \(1_M \otimes f: M \to M \otimes_R S\) doit être injective. Or cette condition est aussi suffisante. Par exemple, si \(f\) est scindé dans la catégorie des \(R\)-modules (sans l’être nécessairement dans celle des anneaux), alors \(f\) est un morphisme de descente effective pour les modules.

L’histoire de ce résultat est assez complexe : il a d’abord été énoncé par Olivier [olivier], qui appelait purs les morphismes universellement injectifs, mais sans indication claire de démonstration. On peut le déduire des travaux de Joyal et Tierney [joyal-tierney] ; cependant, à notre connaissance, la première démonstration autonome publiée est celle de Mesablishvili [mesablishvili1]. Le premier objectif de cette section est d’exposer cette démonstration. Hormis la correction de coquilles, nous modifions peu la présentation originale, si ce n’est pour expliciter le lien entre la définition usuelle d’une donnée de descente en géométrie algébrique et celle employée dans [mesablishvili1]. La démonstration est entièrement catégorique et peut donc être formulée dans le langage des monades, ce qui permet de l’appliquer dans d’autres contextes ; voir [janelidze-tholen].

Le second objectif est de rassembler des résultats sur les propriétés des modules, des algèbres et des morphismes que l’on peut faire descendre le long d’homomorphismes d’anneaux universellement injectifs. Les cas des modules de type fini et des modules plats ont été traités par Mesablishvili [mesablishvili2].

Préliminaires de théorie des catégories

Commençons par rappeler quelques notions élémentaires de théorie des catégories qui simplifieront l’exposé. Dans cette sous-section, on fixe une catégorie ambiante.

Étant donnés deux morphismes \(g_1, g_2: B \to C\), rappelons qu’un égalisateur de \(g_1\) et \(g_2\) est un morphisme \(f: A \to B\) tel que \(g_1 \circ f = g_2 \circ f\) et universel pour cette propriété. Cela signifie que tout diagramme commutatif \[\xymatrix{A' \ar[rd]^e \ar@/^1.5pc/[rrd] \ar@{-->}[d] & & \\ A \ar[r]^f & B \ar@<1ex>[r]^{g_1} \ar@<-1ex>[r]_{g_2} & C }\] dont on a omis la flèche en pointillé peut être complété de façon unique. On dit également que le diagramme [08WG]\[\begin{equation} \xymatrix{ A \ar[r]^f & B \ar@<1ex>[r]^{g_1} \ar@<-1ex>[r]_{g_2} & C } \end{equation}\] est un égalisateur. En inversant les flèches, on obtient la définition d’un coégalisateur. Voir Catégories, sections 0027 et 0029.

La propriété d’être un égalisateur étant définie par une propriété universelle, elle n’est généralement pas préservée par l’application d’un foncteur covariant. Comme pour les monomorphismes et les épimorphismes, on peut, dans certains cas, remédier à cette difficulté en exhibant des scindages.

Définition

Un égalisateur scindé est un diagramme (08WG) tel que \(g_1 \circ f = g_2 \circ f\), pour lequel il existe des morphismes auxiliaires \(h : B \to A\) et \(i : C \to B\) vérifiant [08WI]\[\begin{equation} h \circ f = 1_A, \quad f \circ h = i \circ g_1, \quad i \circ g_2 = 1_B. \end{equation}\]

Les identités entre les flèches imposent alors que (08WG) soit un égalisateur : l’application \(e\) se factorise de façon unique par \(f\) en écrivant \(e = f \circ (h \circ e)\). Ainsi, l’image d’un égalisateur scindé par un foncteur covariant est un égalisateur scindé ; son image par un foncteur contravariant est un coégalisateur scindé, dont la définition est évidente.

Morphismes universellement injectifs

Rappelons que \(\textit{Rings}\) désigne la catégorie des anneaux commutatifs avec \(1\). Pour un objet \(R\) de \(\textit{Rings}\), on note \(\text{Mod}_R\) la catégorie des \(R\)-modules.

Remarque

Tout foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) entre catégories abéliennes qui est exact et envoie les objets non nuls sur des objets non nuls reflète les injections et les surjections. En effet, l’exactitude implique que \(F\) préserve les noyaux et les conoyaux (comparer avec Homologie, section 010M). Par exemple, si \(f : R \to S\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat, alors \(\bullet \otimes_R S: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\) possède ces propriétés.

Soit \(R\) un anneau. Rappelons qu’un morphisme \(f : M \to N\) de \(\text{Mod}_R\) est universellement injectif si, pour tout \(P \in \text{Mod}_R\), le morphisme \(f \otimes 1_P: M \otimes_R P \to N \otimes_R P\) est injectif. Voir Algèbre, définition 058I.

Définition

Un homomorphisme d’anneaux \(f: R \to S\) est universellement injectif s’il est universellement injectif comme morphisme de \(\text{Mod}_R\).

Exemple

Toute injection scindée dans \(\text{Mod}_R\) est universellement injective. En particulier, toute injection scindée dans \(\textit{Rings}\) est universellement injective.

Exemple

Pour un anneau \(R\) et des éléments \(f_1, \ldots, f_n \in R\) engendrant l’idéal unité, le morphisme \(R \to R_{f_1} \oplus \ldots \oplus R_{f_n}\) est universellement injectif. Bien que cela résulte immédiatement du lemme 08WP, il est instructif de le vérifier directement : on se ramène aussitôt au cas où \(R\) est local. L’un des \(f_i\) est alors inversible, et l’application \(R \to R_{f_i}\) est donc un isomorphisme.

Lemme

Tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat est universellement injectif.

Démonstration

C’est une reformulation de Algèbre, lemme 05CK.

L’observation essentielle de [mesablishvili1] est que l’injectivité universelle se reformule utilement en termes de scindage, grâce à la construction usuelle d’un cogénérateur injectif dans \(\text{Mod}_R\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. On définit le foncteur contravariant \(C\) \(: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) par \[C(M) = \Hom_{\textit{Ab}}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}),\] l’action de \(R\) sur \(C(M)\) étant donnée par \(rf(s) = f(rs)\).

Ce foncteur était noté \(M \mapsto M^\vee\) dans Compléments d’algèbre, section 01D8.

Lemme

Pour tout anneau \(R\), le foncteur \(C : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) est exact et permet de reconnaître les injections et les surjections.

Démonstration

L’exactitude est établie dans Compléments d’algèbre, lemme 01DA. Les autres propriétés s’en déduisent ; voir la remarque 08WK.

Remarque

Nous utiliserons fréquemment l’adjonction usuelle entre \(\Hom\) et le produit tensoriel, sous la forme de l’isomorphisme naturel de foncteurs contravariants [08WT]\[\begin{equation} C(\bullet_1 \otimes_R \bullet_2) \cong \Hom_R(\bullet_1, C(\bullet_2)): \text{Mod}_R \times \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R \end{equation}\] qui associe à \(f: M_1 \otimes_R M_2 \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) l’application \(m_1 \mapsto (m_2 \mapsto f(m_1 \otimes m_2))\). Voir Algèbre, lemme 08YQ. Il en résulte que, si \[\xymatrix@C=9pc{ C(M) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & C(N) \ar[r] & C(P) }\] est un diagramme de coégalisateur scindé dans \(\text{Mod}_R\), il en est de même de \[\xymatrix@C=9pc{ C(M \otimes_R Q) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & C(N \otimes_R Q) \ar[r] & C(P \otimes_R Q) }\] pour tout \(Q \in \text{Mod}_R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Un morphisme \(f: M \to N\) de \(\text{Mod}_R\) est universellement injectif si et seulement si \(C(f): C(N) \to C(M)\) est une surjection scindée.

Démonstration

D’après (08WT), pour tout \(P \in \text{Mod}_R\), on a un diagramme commutatif \[\xymatrix@C=9pc{ \Hom_R( P, C(N)) \ar[r]_{\Hom_R(P,C(f))} \ar[d]^{\cong} & \Hom_R(P,C(M)) \ar[d]^{\cong} \\ C(P \otimes_R N ) \ar[r]^{C(1_{P} \otimes f)} & C(P \otimes_R M ). }\] Si \(f\) est universellement injectif, alors \(1_{C(M)} \otimes f: C(M) \otimes_R M \to C(M) \otimes_R N\) est injectif ; les deux flèches horizontales du diagramme ci-dessus sont donc surjectives pour \(P = C(M)\). On peut ainsi relever \(1_{C(M)} \in \Hom_R(C(M), C(M))\) en un élément \(g \in \Hom_R(C(N), C(M))\) qui scinde \(C(f)\). Réciproquement, si \(C(f)\) est une surjection scindée, les deux flèches horizontales du diagramme ci-dessus sont surjectives. Le lemme 08WR entraîne alors que \(1_{P} \otimes f\) est injectif.

Remarque

Soit \(f: M \to N\) un morphisme universellement injectif de \(\text{Mod}_R\). En choisissant un scindage \(g\) de \(C(f)\), on peut construire un scindage fonctoriel de \(C(1_P \otimes f)\) pour tout \(P \in \text{Mod}_R\). En effet, d’après (08WT), il suffit de scinder \(\Hom_R(P, C(f))\) fonctoriellement en \(P\), ce que réalise l’application \(g \circ \bullet\).

Descente pour les modules et leurs morphismes

Dans toute cette sous-section, on fixe un homomorphisme d’anneaux \(f: R \to S\). Comme on l’a vu dans la section 023F, les données de descente de modules peuvent se formuler dans le langage des algèbres cosimpliciales. Nous préférons ici une présentation plus élémentaire.

Pour \(i = 1, 2, 3\), notons \(S_i\) le produit tensoriel de \(i\) copies de \(S\) sur \(R\). Définissons les homomorphismes d’anneaux \(\delta_0^1, \delta_1^1: S_1 \to S_2\), \(\delta_{01}^1, \delta_{02}^1, \delta_{12}^1: S_1 \to S_3\) et \(\delta_0^2, \delta_1^2, \delta_2^2: S_2 \to S_3\) par les formules \[\begin{align*} \delta^1_0 (a_0) & = 1 \otimes a_0 \\ \delta^1_1 (a_0) & = a_0 \otimes 1 \\ \delta^2_0 (a_0 \otimes a_1) & = 1 \otimes a_0 \otimes a_1 \\ \delta^2_1 (a_0 \otimes a_1) & = a_0 \otimes 1 \otimes a_1 \\ \delta^2_2 (a_0 \otimes a_1) & = a_0 \otimes a_1 \otimes 1 \\ \delta_{01}^1(a_0) & = 1 \otimes 1 \otimes a_0 \\ \delta_{02}^1(a_0) & = 1 \otimes a_0 \otimes 1 \\ \delta_{12}^1(a_0) & = a_0 \otimes 1 \otimes 1. \end{align*}\] Autrement dit, l’indice supérieur indique l’anneau de départ, et l’indice inférieur les positions où insérer des facteurs égaux à 1. (Cette notation est compatible avec celle introduite dans la section 023F.)

Rappelons³ que, d’après la définition 023G, pour \(M \in \text{Mod}_S\), une donnée de descente sur \(M\) relative à \(f\) est un isomorphisme \[\theta : M \otimes_{S,\delta^1_0} S_2 \longrightarrow M \otimes_{S,\delta^1_1} S_2\] de \(S_2\)-modules satisfaisant la condition de cocycle [08WX]\[\begin{equation} (\theta \otimes \delta_2^2) \circ (\theta \otimes \delta_2^0) = (\theta \otimes \delta_2^1): M \otimes_{S, \delta^1_{01}} S_3 \to M \otimes_{S,\delta^1_{12}} S_3. \end{equation}\] Notons \(DD_{S/R}\) la catégorie des \(S\)-modules munis de données de descente relatives à \(f\).

Par exemple, pour \(M_0 \in \text{Mod}_R\), le choix d’un isomorphisme \(M \cong M_0 \otimes_R S\) fournit une donnée de descente en identifiant naturellement \(M \otimes_{S,\delta^1_0} S_2\) et \(M \otimes_{S,\delta^1_1} S_2\) à \(M_0 \otimes_R S_2\). Cette construction définit en particulier un foncteur \(f^*: \text{Mod}_R \to DD_{S/R}\).

Définition

Le foncteur \(f^*: \text{Mod}_R \to DD_{S/R}\) est appelé extension des scalaires par \(f\). On dit que \(f\) est un morphisme de descente pour les modules si \(f^*\) est pleinement fidèle. On dit que \(f\) est un morphisme de descente effective pour les modules si \(f^*\) est une équivalence de catégories.

Notre but est de montrer que, lorsque \(f\) est universellement injectif, on peut utiliser \(\theta\) pour retrouver \(M_0\) à l’intérieur de \(M\). Cette construction repose de manière essentielle sur certains diagrammes égalisateurs.

Lemme

Pour \((M,\theta) \in DD_{S/R}\), le diagramme [08X0]\[\begin{equation} \xymatrix@C=8pc{ M \ar[r]^{\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1)} & M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 \ar@<1ex>[r]^{(\theta \otimes \delta_2^2) \circ (1_M \otimes \delta^2_0)} \ar@<-1ex>[r]_{1_{M \otimes S_2} \otimes \delta^2_1} & M \otimes_{S, \delta_{12}^1} S_3 } \end{equation}\] est un égalisateur scindé.

Démonstration

Définissons les homomorphismes d’anneaux \(\sigma^0_0: S_2 \to S_1\) et \(\sigma_0^1, \sigma_1^1: S_3 \to S_2\) par les formules \[\begin{align*} \sigma^0_0 (a_0 \otimes a_1) & = a_0a_1 \\ \sigma^1_0 (a_0 \otimes a_1 \otimes a_2) & = a_0a_1 \otimes a_2 \\ \sigma^1_1 (a_0 \otimes a_1 \otimes a_2) & = a_0 \otimes a_1a_2. \end{align*}\] On prend pour morphismes auxiliaires \(1_M \otimes \sigma_0^0: M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 \to M\) et \(1_M \otimes \sigma_0^1: M \otimes_{S,\delta_{12}^1} S_3 \to M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2\). Parmi les compatibilités requises dans (08WI), la première s’obtient en tensorisant la condition de cocycle (08WX) par \(\sigma_1^1\) ; les autres sont immédiates.

Lemme

Pour \((M, \theta) \in DD_{S/R}\), le diagramme [08X2]\[\begin{equation} \xymatrix@C=8pc{ C(M \otimes_{S, \delta_{12}^1} S_3) \ar@<1ex>[r]^{C((\theta \otimes \delta_2^2) \circ (1_M \otimes \delta^2_0))} \ar@<-1ex>[r]_{C(1_{M \otimes S_2} \otimes \delta^2_1)} & C(M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 ) \ar[r]^{C(\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1))} & C(M). } \end{equation}\] obtenu en appliquant \(C\) à (08X0) est un coégalisateur scindé.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Le diagramme [08X4]\[\begin{equation} \xymatrix@C=8pc{ S_1 \ar[r]^{\delta^1_1} & S_2 \ar@<1ex>[r]^{\delta^2_2} \ar@<-1ex>[r]_{\delta^2_1} & S_3 } \end{equation}\] est un égalisateur scindé.

Démonstration

Dans le lemme 08WZ, prendre \((M, \theta) = f^*(S)\).

Cela suggère la définition d’un candidat au rôle de quasi-inverse de \(f^*\).

Définition

On définit le foncteur \(f_*\) \(: DD_{S/R} \to \text{Mod}_R\) en prenant pour \(f_*(M, \theta)\) le \(R\)-sous-module de \(M\) tel que le diagramme [08X6]\[\begin{equation} \xymatrix@C=8pc{f_*(M,\theta) \ar[r] & M \ar@<1ex>^{\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1)}[r] \ar@<-1ex>_{1_M \otimes \delta_1^1}[r] & M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 } \end{equation}\] soit un égalisateur.

Le lemme 08WZ et le fait que le foncteur de restriction \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\) est adjoint à droite au foncteur d’extension des scalaires \(\bullet \otimes_R S: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\) montrent que \(f_*\) est adjoint à droite à \(f^*\).

Nous pouvons maintenant démontrer le lemme clé. Dans le cas fidèlement plat, il est immédiat (voir la remarque 08X9), mais le cas général demande une démonstration.

Lemme

Si \(f\) est universellement injectif, le diagramme [08X8]\[\begin{equation} \xymatrix@C=8pc{ f_*(M, \theta) \otimes_R S \ar[r]^{\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1)} & M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 \ar@<1ex>[r]^{(\theta \otimes \delta_2^2) \circ (1_M \otimes \delta^2_0)} \ar@<-1ex>[r]_{1_{M \otimes S_2} \otimes \delta^2_1} & M \otimes_{S, \delta_{12}^1} S_3 } \end{equation}\] obtenu en tensorisant (08X6) sur \(R\) par \(S\) est un égalisateur.

Démonstration

D’après le lemme 08WU et la remarque 08WV, l’application \(C(1_N \otimes f): C(N \otimes_R S) \to C(N)\) admet une section fonctorielle en \(N\). On obtient ainsi les flèches verticales supérieures du diagramme commutatif \[\xymatrix@C=8pc{ C(M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2) \ar@<1ex>^{C(\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1))}[r] \ar@<-1ex>_{C(1_M \otimes \delta_1^1)}[r] \ar[d] & C(M) \ar[r]\ar[d] & C(f_*(M,\theta)) \ar@{-->}[d] \\ C(M \otimes_{S,\delta_{12}^1} S_3) \ar@<1ex>^{C((\theta \otimes \delta_2^2) \circ (1_M \otimes \delta^2_0))}[r] \ar@<-1ex>_{C(1_{M \otimes S_2} \otimes \delta^2_1)}[r] \ar[d] & C(M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 ) \ar[r]^{C(\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1))} \ar[d]^{C(1_M \otimes \delta_1^1)} & C(M) \ar[d] \ar@{=}[dl] \\ C(M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2) \ar@<1ex>[r]^{C(\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1))} \ar@<-1ex>[r]_{C(1_M \otimes \delta_1^1)} & C(M) \ar[r] & C(f_*(M,\theta)) }\] dans lequel les composées le long des colonnes sont les morphismes identités. La deuxième ligne est le diagramme coégalisateur (08X2), d’où la flèche en pointillés. Le carré supérieur droit fournit des morphismes auxiliaires \(C(f_*(M,\theta)) \to C(M)\) et \(C(M) \to C(M\otimes_{S,\delta_1^1} S_2)\) qui montrent que la première ligne est un diagramme coégalisateur scindé. D’après la remarque 08WS, on peut tensoriser par \(S\) à l’intérieur de \(C\) pour obtenir le diagramme coégalisateur scindé \[\xymatrix@C=8pc{ C(M \otimes_{S,\delta_2^2 \circ \delta_1^1} S_3) \ar@<1ex>^{C((\theta \otimes \delta_2^2) \circ (1_M \otimes \delta^2_0))}[r] \ar@<-1ex>_{C(1_{M \otimes S_2} \otimes \delta^2_1)}[r] & C(M \otimes_{S, \delta_1^1} S_2 ) \ar[r]^{C(\theta \circ (1_M \otimes \delta_0^1))} & C(f_*(M,\theta) \otimes_R S). }\] Le lemme 08WR montre alors que (08X8) est lui aussi un égalisateur.

Remarque

Si \(f\) est une injection scindée dans \(\text{Mod}_R\), on peut simplifier la démonstration en scindant directement \(f\), sans utiliser \(C\). Le cas où \(f\) est fidèlement plat est encore plus simple : la conclusion du lemme 08X7 est immédiate, car la tensorisation sur \(R\) par \(S\) préserve tous les égalisateurs.

Théorème

Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. Le morphisme \(f\) est un morphisme de descente pour les modules.

2. Le morphisme \(f\) est un morphisme de descente effective pour les modules.

3. Le morphisme \(f\) est universellement injectif.

Démonstration

Il est clair que (b) implique (a). Montrons que (a) implique (c). Si \(f\) n’est pas universellement injectif, il existe \(M \in \text{Mod}_R\) tel que l’application \(1_M \otimes f: M \to M \otimes_R S\) ait un noyau non nul \(N\). La projection naturelle \(M \to M/N\) n’est pas un isomorphisme, mais son image dans \(DD_{S/R}\) en est un. Ainsi, \(f^*\) n’est pas pleinement fidèle.

Montrons enfin que (c) implique (b). D’après les lemmes 08WZ et 08X7, pour \((M, \theta) \in DD_{S/R}\), l’application naturelle \(f^* f_*(M,\theta) \to M\) est un isomorphisme de \(S\)-modules. Pour \(M_0 \in \text{Mod}_R\), montrons que \(M_0 \to f_*f^*M_0\) est un isomorphisme. Par adjonction, la composée \(f^*M_0 \to f^*f_*f^*M_0 \to f^*M_0\) est l’identité, et ce qui précède montre que la deuxième flèche est un isomorphisme. Ainsi, \(f^*M_0 \to f^*f_*f^*M_0\) est un isomorphisme. Le lemme 0H9I du chapitre Algèbre montre que \(M_0 \to f_* f^* M_0\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(f_*\) et \(f^*\) sont des foncteurs quasi-inverses, ce qui achève la démonstration.

Descente des propriétés des modules

Dans toute cette sous-section, on fixe un morphisme d’anneaux universellement injectif \(f : R \to S\), un objet \(M \in \text{Mod}_R\) et un morphisme d’anneaux \(R \to A\). Nous cherchons les propriétés de \(M\) ou de \(A\) qui peuvent se vérifier après extension des scalaires par \(f\). Commençons par quelques résultats de [mesablishvili2].

Lemme

Si \(M \in \text{Mod}_R\) est plat, alors \(C(M)\) est un \(R\)-module injectif.

Démonstration

Soit \(0 \to N \to P \to Q \to 0\) une suite exacte dans \(\text{Mod}_R\). Puisque \(M\) est plat, la suite \[0 \to N \otimes_R M \to P \otimes_R M \to Q \otimes_R M \to 0\] est exacte. Le lemme 08WR montre que la suite \[0 \to C(Q \otimes_R M) \to C(P \otimes_R M) \to C(N \otimes_R M) \to 0\] est exacte. En utilisant (08WT), celle-ci s’écrit \[0 \to \Hom_R(Q, C(M)) \to \Hom_R(P, C(M)) \to \Hom_R(N, C(M)) \to 0.\] Ainsi, \(C(M)\) est un objet injectif de \(\text{Mod}_R\).

Théorème

Si \(M \otimes_R S\) possède l’une des propriétés suivantes comme \(S\)-module :

1. être de type fini ;

2. être de présentation finie ;

3. être plat ;

4. être fidèlement plat ;

5. être projectif de type fini ;

alors \(M\) possède la même propriété comme \(R\)-module, et réciproquement.

Démonstration

Pour démontrer (a), choisissons une famille finie \(\{n_i\}\) de générateurs de \(M \otimes_R S\) dans \(\text{Mod}_S\). Écrivons chaque \(n_i\) sous la forme \(\sum_j m_{ij} \otimes s_{ij}\), avec \(m_{ij} \in M\) et \(s_{ij} \in S\). Soit \(F\) le \(R\)-module libre de type fini de base \(e_{ij}\), et soit \(F \to M\) le morphisme de \(R\)-modules qui envoie \(e_{ij}\) sur \(m_{ij}\). Alors \(F \otimes_R S\to M \otimes_R S\) est surjectif, donc \(\Coker(F \to M) \otimes_R S\) est nul, d’où \(\Coker(F \to M)\) est nul. Ceci démontre (a).

Pour (b), supposons que \(M \otimes_R S\) soit de présentation finie. D’après (a), \(M\) est de type fini. Choisissons une surjection \(R^{\oplus n} \to M\) de noyau \(K\). La suite \(K \otimes_R S \to S^{\oplus r} \to M \otimes_R S \to 0\) est exacte. D’après le lemme 0519 du chapitre Algèbre, le noyau de \(S^{\oplus r} \to M \otimes_R S\) est un \(S\)-module de type fini. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(k_1, \ldots, k_t \in K\) tels que les images de \(k_i \otimes 1\) dans \(S^{\oplus r}\) engendrent le noyau de \(S^{\oplus r} \to M \otimes_R S\). Soit \(K' \subset K\) le sous-module engendré par \(k_1, \ldots, k_t\). Alors \(M' = R^{\oplus r}/K'\) est un \(R\)-module de présentation finie, muni d’un morphisme \(M' \to M\) tel que \(M' \otimes_R S \to M \otimes_R S\) soit un isomorphisme. Ainsi, \(M' \cong M\), comme voulu.

Pour démontrer (c), soit \(0 \to M' \to M'' \to M \to 0\) une suite exacte courte dans \(\text{Mod}_R\). Le foncteur \(\bullet \otimes_R S\) étant exact à droite, l’application \(M'' \otimes_R S \to M \otimes_R S\) est surjective. D’après le lemme 08WR, l’application \(C(M \otimes_R S) \to C(M'' \otimes_R S)\) est donc injective. Si \(M \otimes_R S\) est plat, le lemme 08XC montre que \(C(M \otimes_R S)\) est un objet injectif de \(\text{Mod}_S\). L’injection \(C(M \otimes_R S) \to C(M'' \otimes_R S)\) est donc scindée dans \(\text{Mod}_S\), et par suite dans \(\text{Mod}_R\). Comme \(C(M \otimes_R S) \to C(M)\) est une surjection scindée d’après le lemme 08WU, il en résulte que \(C(M) \to C(M'')\) est une injection scindée dans \(\text{Mod}_R\). Autrement dit, la suite \[0 \to C(M) \to C(M'') \to C(M') \to 0\] est exacte scindée. Pour \(N \in \text{Mod}_R\), la relation (08WT) montre que la suite \[0 \to C(M \otimes_R N) \to C(M'' \otimes_R N) \to C(M' \otimes_R N) \to 0\] est exacte scindée. D’après le lemme 08WR, la suite \[0 \to M' \otimes_R N \to M'' \otimes_R N \to M \otimes_R N \to 0\] est exacte. Il en résulte que \(M\) est plat sur \(R\). En effet, en prenant pour \(M'\) un module libre se surjectant sur \(M\), on obtient \(\text{Tor}_1^R(M, N) = 0\) pour tout module \(N\), et on applique le lemme 00M5 du chapitre Algèbre. Ceci démontre (c).

Pour déduire (d) de (c), remarquons que si \(N \in \text{Mod}_R\) et si \(M \otimes_R N\) est nul, alors \(M \otimes_R S \otimes_S (N \otimes_R S) \cong (M \otimes_R N) \otimes_R S\) est nul. Ainsi, \(N \otimes_R S\) est nul, donc \(N\) est nul.

Pour déduire (e), il suffit maintenant de rappeler que \(M\) est projectif de type fini si et seulement s’il est de présentation finie et plat. Voir le lemme 00NX du chapitre Algèbre.

Il existe une variante pour les \(R\)-algèbres.

Théorème

Si \(A \otimes_R S\) possède l’une des propriétés suivantes comme \(S\)-algèbre :

1. être de type fini ;

2. être de présentation finie ;

3. être formellement non ramifiée ;

4. être non ramifiée ;

5. être étale ;

alors \(A\) possède la même propriété comme \(R\)-algèbre, et la réciproque est bien entendu vraie.

Démonstration

Pour démontrer (a), choisissons une famille finie \(\{x_i\}\) de générateurs de \(A \otimes_R S\) sur \(S\). Écrivons chaque \(x_i\) sous la forme \(\sum_j y_{ij} \otimes s_{ij}\), avec \(y_{ij} \in A\) et \(s_{ij} \in S\). Soit \(F\) la \(R\)-algèbre de polynômes en les variables \(e_{ij}\), et soit \(F \to M\) le morphisme de \(R\)-algèbres qui envoie \(e_{ij}\) sur \(y_{ij}\). Alors \(F \otimes_R S\to A \otimes_R S\) est surjectif, donc \(\Coker(F \to A) \otimes_R S\) est nul, d’où \(\Coker(F \to A)\) est nul. Ceci démontre (a).

Pour (b), supposons que \(A \otimes_R S\) soit une \(S\)-algèbre de présentation finie. D’après (a), \(A\) est de type fini sur \(R\). Choisissons une surjection \(R[x_1, \ldots, x_n] \to A\) de noyau \(I\). La suite \(I \otimes_R S \to S[x_1, \ldots, x_n] \to A \otimes_R S \to 0\) est exacte. D’après le lemme 00R2 du chapitre Algèbre, le noyau de \(S[x_1, \ldots, x_n] \to A \otimes_R S\) est un idéal de type fini. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(y_1, \ldots, y_t \in I\) tels que les images de \(y_i \otimes 1\) dans \(S[x_1, \ldots, x_n]\) engendrent le noyau de \(S[x_1, \ldots, x_n] \to A \otimes_R S\). Soit \(I' \subset I\) l’idéal engendré par \(y_1, \ldots, y_t\). Alors \(A' = R[x_1, \ldots, x_n]/I'\) est une \(R\)-algèbre de présentation finie, munie d’un morphisme \(A' \to A\) tel que \(A' \otimes_R S \to A \otimes_R S\) soit un isomorphisme. Ainsi, \(A' \cong A\), comme voulu.

Pour démontrer (c), rappelons que \(A\) est formellement non ramifiée sur \(R\) si et seulement si le module des différentielles relatives \(\Omega_{A/R}\) est nul ; voir le lemme 00UO du chapitre Algèbre ou [EGA4, Proposition 17.2.1]. Comme \(\Omega_{(A \otimes_R S)/S} = \Omega_{A/R} \otimes_R S\), la nullité descend en vertu du théorème 08XA.

Pour déduire (d) des cas précédents, rappelons que \(A\) est non ramifiée sur \(R\) si et seulement si \(A\) est formellement non ramifiée et de type fini sur \(R\) ; voir le lemme 00UU du chapitre Algèbre.

Pour démontrer (e), rappelons que, d’après le lemme 08WD du chapitre Algèbre ou [EGA4, Théorème 17.6.1], l’algèbre \(A\) est étale sur \(R\) si et seulement si \(A\) est plate, non ramifiée et de présentation finie sur \(R\).

Remarque

La situation serait plus simple si l’on disposait d’un morphisme d’anneaux fidèlement plat \(g: R \to T\) tel que \(T \to S \otimes_R T\) possède une structure supplémentaire. Par exemple, si l’on pouvait faire en sorte que \(T \to S \otimes_R T\) soit scindé dans \(\textit{Rings}\), toute propriété d’un module ou d’une algèbre qui est stable par extension des scalaires et que l’on peut faire descendre le long de morphismes fidèlement plats pourrait aussi être descendue le long de morphismes universellement injectifs. On pourrait naturellement chercher \(g\) tel que \(T\) soit non seulement fidèlement plat, mais encore injectif dans \(\text{Mod}_R\). Cependant, même pour \(R = \mathbf{Z}\), un tel morphisme ne peut exister.

Descente fpqc des faisceaux quasi-cohérents

La principale application de la descente plate pour les modules est l’énoncé correspondant de descente des faisceaux quasi-cohérents relativement aux recouvrements fpqc.

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to S\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement fpqc standard de \(S\) ; voir la définition 022F du chapitre Topologies. Toute donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\mathcal{U} = \{U_i \to S\}\) est effective. De plus, le foncteur de la catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente relativement à \(\mathcal{U}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Il s’agit de la proposition 023N, reformulée en termes de schémas. Remarquons d’abord qu’une donnée de descente \(\xi\) sur des faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\mathcal{U}\) revient exactement à une donnée de descente \(\xi'\) sur des faisceaux quasi-cohérents relativement au recouvrement \(\mathcal{U}' = \{\coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i \to S\}\). De plus, l’effectivité de \(\xi\) équivaut à celle de \(\xi'\). On peut donc supposer \(n = 1\), c’est-à-dire \(\mathcal{U} = \{U \to S\}\), où \(U\) et \(S\) sont affines. Dans ce cas, les données de descente correspondent aux données de descente sur les modules relativement au morphisme d’anneaux \[\Gamma(S, \mathcal{O}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{O}).\] Comme \(U \to S\) est surjectif et plat, ce morphisme d’anneaux est fidèlement plat. La proposition 023N s’applique donc et donne le résultat.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to S\}\) un recouvrement fpqc ; voir la définition 022B du chapitre Topologies. Toute donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\mathcal{U} = \{U_i \to S\}\) est effective. De plus, le foncteur de la catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente relativement à \(\mathcal{U}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soit \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) un recouvrement par des ouverts affines. Pour \(j, j' \in J\), notons \(V_{jj'} = V_j \cap V_{j'}\) l’intersection, qui n’est pas nécessairement affine. Pour un ouvert \(V \subset S\), notons \(\mathcal{U}_V = \{V \times_S U_i \to V\}_{i \in I}\) ; c’est un recouvrement fpqc d’après le lemme 022D du chapitre Topologies. Par définition d’un recouvrement fpqc, il existe, pour chaque \(j \in J\), un ensemble fini \(K_j\), une application \(\underline{i} : K_j \to I\) et des ouverts affines \(U_{\underline{i}(k), k} \subset U_{\underline{i}(k)}\), \(k \in K_j\), tels que \(\mathcal{V}_j = \{U_{\underline{i}(k), k} \to V_j\}_{k \in K_j}\) soit un recouvrement fpqc standard de \(V_j\). De plus, \(\mathcal{V}_j\) est un raffinement de \(\mathcal{U}_{V_j}\). On a le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{V}_j \ar[r] \ar@{~>}[d] & \mathcal{U}_{V_j} \ar[r] \ar@{~>}[d] & \mathcal{U} \ar@{~>}[d] \\ V_j \ar@{=}[r] & V_j \ar[r] & S }\] où les flèches horizontales supérieures sont des morphismes de familles de morphismes de but fixé ; voir la définition 00VT du chapitre Sites.

Pour démontrer la proposition, nous établissons successivement la fidélité, la plénitude et la surjectivité essentielle du foncteur des faisceaux quasi-cohérents vers les données de descente.

Fidélité. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux quasi-cohérents sur \(S\), et soient \(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) des morphismes de \(\mathcal{O}_S\)-modules. Supposons que \(\varphi_i^*(a) = \varphi_i^*(b)\) pour tout \(i\). Soit \(s \in S\). On a \(s = \varphi_i(u)\) pour certains \(i \in I\) et \(u \in U_i\). Puisque \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{U_i, u}\) est plat, donc fidèlement plat par le lemme 00HR du chapitre Algèbre, on a \(a_s = b_s : \mathcal{F}_s \to \mathcal{G}_s\). Ainsi, \(a = b\).

Pleine fidélité. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux quasi-cohérents sur \(S\), et soient \(a_i : \varphi_i^*\mathcal{F} \to \varphi_i^*\mathcal{G}\) des morphismes de \(\mathcal{O}_{U_i}\)-modules tels que \(\text{pr}_0^*a_i = \text{pr}_1^*a_j\) sur \(U_i \times_U U_j\). Par image inverse, on obtient des morphismes \[a_k : \varphi_{i(k)}^*\mathcal{F}|_{U_{\underline{i}(k), k}} \longrightarrow \varphi_{i(k)}^*\mathcal{G}|_{U_{\underline{i}(k), k}}\] pour \(k \in K_j\), avec les notations précédentes. Le lemme 023C montre qu’ils définissent un morphisme entre les données de descente canoniques sur \(\mathcal{V}_j\). Le lemme 023S fournit donc d’uniques morphismes \(a_j : \mathcal{F}|_{V_j} \to \mathcal{G}|_{V_j}\) correspondants. Pour montrer que \(a_j|_{V_{jj'}} = a_{j'}|_{V_{jj'}}\), on remarque que \(a_j\) et \(a_{j'}\) correspondent tous deux à l’image inverse du morphisme \((a_i)_{i \in I}\) de données de descente canoniques sur tout recouvrement raffinant à la fois \(\mathcal{V}_{j, V_{jj'}}\) et \(\mathcal{V}_{j', V_{jj'}}\), puis on utilise la fidélité déjà démontrée. On peut prendre, par exemple, le recouvrement \(\mathcal{V}_{jj'} = \{V_k \times_S V_{k'} \to V_{jj'}\}_{k \in K_j, k' \in K_{j'}}\).

Surjectivité essentielle. Soit \(\xi = (\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents relativement au recouvrement \(\mathcal{U}\). Par image inverse, elle donne des données de descente \(\xi_j\) sur des faisceaux quasi-cohérents relativement aux recouvrements \(\mathcal{V}_j\) des \(V_j\). Le lemme 023S fournit des faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{F}_j\) sur \(V_j\) dont la donnée de descente canonique associée est isomorphe à \(\xi_j\). La pleine fidélité démontrée ci-dessus fournit des isomorphismes \[\phi_{jj'} : \mathcal{F}_j|_{V_{jj'}} \longrightarrow \mathcal{F}_{j'}|_{V_{jj'}}\] correspondant à l’isomorphisme entre les images inverses de \(\xi_j\) et de \(\xi_{j'}\) sur \(\mathcal{V}_{jj'}\). Pour vérifier que les applications \(\phi_{jj'}\) satisfont la condition de cocycle, on utilise la fidélité déjà démontrée sur les intersections triples \(V_{jj'j''}\). Le lemme 023E montre alors que les faisceaux \(\mathcal{F}_j\) se recollent en un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), comme voulu. Il reste à vérifier que la donnée de descente canonique relative à \(\mathcal{U}\) associée à \(\mathcal{F}\) est isomorphe à la donnée de descente initiale. Cette vérification est omise.

Descente galoisienne des faisceaux quasi-cohérents

La descente galoisienne des faisceaux quasi-cohérents est un cas particulier de leur descente fpqc. Dans cette section, nous expliquons comment reformuler une donnée de descente galoisienne en une donnée de descente fpqc, puis nous appliquons les résultats précédents.

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Alors \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\) est un recouvrement fpqc. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Pour une \(k\)-algèbre \(A\), posons \(X_A = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A)\). Le lemme 022D du chapitre Topologies montre que \(\{X_{k'} \to X\}\) est un recouvrement fpqc. On a \[X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k'} \quad\text{et}\quad X_{k'} \times_X X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\] Une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\{X_{k'} \to X\}\) consiste donc en un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X_{k'}\) et en un isomorphisme \(\varphi : \text{pr}_0^*\mathcal{F} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}\) sur \(X_{k' \otimes_k k'}\) satisfaisant la condition de cocycle évidente sur \(X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\). Précisons ce que cela signifie dans le cas d’une extension galoisienne.

Soit \(k'/k\) une extension galoisienne finie de groupe de Galois \(G = \text{Gal}(k'/k)\). On a des isomorphismes de \(k\)-algèbres \[k' \otimes_k k' \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in G} k',\quad a \otimes b \longrightarrow \prod a\sigma(b)\] et \[k' \otimes_k k' \otimes_k k' \longrightarrow \prod\nolimits_{(\sigma, \tau) \in G \times G} k',\quad a \otimes b \otimes c \longrightarrow \prod a\sigma(b)\sigma(\tau(c))\] Nous choisissons ici \(a\sigma(b)\sigma(\tau(c))\), et non \(a\sigma(b)\tau(c)\), afin de simplifier les formules qui suivent, bien que ce choix ne soit pas indispensable. Pour \(\sigma \in G\), notons \[f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \longrightarrow X_{k'}\] Puisque \(\Spec(-)\) est contravariant, on a \(f_{\sigma \tau} = f_\tau \circ f_\sigma\), et non la composée dans l’autre ordre. Le premier isomorphisme ci-dessus fournit une identification \[X_{k' \otimes_k k'} = \coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'}\] par laquelle \(\text{pr}_0\) correspond à l’application \[\coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'} \xrightarrow{\coprod \text{id}} X_{k'}\] et \(\text{pr}_1\) à l’application \[\coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'} \xrightarrow{\coprod f_\sigma} X_{k'}\] Une donnée de descente \(\varphi\) sur \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(X_{k'}\) correspond donc à une famille d’isomorphismes \(\varphi_\sigma : \mathcal{F} \to f_\sigma^*\mathcal{F}\). Pour expliciter la condition de cocycle, utilisons l’identification fournie par le second isomorphisme d’algèbres ci-dessus : \[X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'} = \coprod\nolimits_{(\sigma, \tau) \in G \times G} X_{k'}.\] Par cette identification, \(\text{pr}_{01}\) correspond à l’application \[\coprod\nolimits_{(\sigma, \tau) \in G \times G} X_{k'} \longrightarrow \coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'}\] qui envoie la composante d’indice \((\sigma, \tau)\) sur celle d’indice \(\sigma\) par le morphisme identité. L’application \(\text{pr}_{12}\) correspond à l’application \[\coprod\nolimits_{(\sigma, \tau) \in G \times G} X_{k'} \longrightarrow \coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'}\] qui envoie la composante d’indice \((\sigma, \tau)\) sur celle d’indice \(\tau\) par le morphisme \(f_\sigma\). Enfin, \(\text{pr}_{02}\) correspond à l’application \[\coprod\nolimits_{(\sigma, \tau) \in G \times G} X_{k'} \longrightarrow \coprod\nolimits_{\sigma \in G} X_{k'}\] qui envoie la composante d’indice \((\sigma, \tau)\) sur celle d’indice \(\sigma\tau\) par le morphisme identité. La condition de cocycle \[\text{pr}_{02}^*\varphi = \text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi\] se traduit donc par une condition pour chaque couple \((\sigma, \tau)\), à savoir \[\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\] comme applications \(\mathcal{F} \to f_{\sigma\tau}^*\mathcal{F}\). (Les sources et les buts coïncident : par exemple, le but de \(\varphi_\sigma\) est \(f_\sigma^*\mathcal{F}\), et la source de \(f_\sigma^*\varphi_\tau\) est également \(f_\sigma^*\mathcal{F}\).)

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension galoisienne (finie) de groupe de Galois \(G\). Soit \(X\) un schéma sur \(k\). La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents est équivalente à la catégorie des systèmes \((\mathcal{F}, (\varphi_\sigma)_{\sigma \in G})\) où

1. \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(X_{k'}\) ;

2. \(\varphi_\sigma : \mathcal{F} \to f_\sigma^*\mathcal{F}\) est un isomorphisme de modules ;

3. \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) pour tous \(\sigma, \tau \in G\).

Ici, \(f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \to X_{k'}\).

Démonstration

Comme nous l’avons vu, une donnée \((\mathcal{F}, (\varphi_\sigma)_{\sigma \in G})\) comme dans l’énoncé revient à une donnée de descente relativement au recouvrement fpqc \(\{X_{k'} \to X\}\). Le lemme résulte donc de la proposition 023T.

Voici une légère généralisation. Supposons que l’on dispose d’un morphisme fini étale surjectif \(X \to Y\), d’un groupe fini \(G\) et d’un morphisme de groupes \(G^{opp} \to \text{Aut}_Y(X), \sigma \mapsto f_\sigma\) tel que l’application \[G \times X \longrightarrow X \times_Y X,\quad (\sigma, x) \longmapsto (x, f_\sigma(x))\] soit un isomorphisme. Le même résultat s’applique.

Lemme

Soient \(X \to Y\), \(G\) et \(f_\sigma : X \to X\) comme ci-dessus. La catégorie des \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents est équivalente à la catégorie des systèmes \((\mathcal{F}, (\varphi_\sigma)_{\sigma \in G})\) où

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent ;

2. \(\varphi_\sigma : \mathcal{F} \to f_\sigma^*\mathcal{F}\) est un isomorphisme de modules ;

3. \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) pour tous \(\sigma, \tau \in G\).

Démonstration

Puisque \(X \to Y\) est fini étale surjectif, \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement fpqc. Comme \(G \times X \to X \times_Y X\), \((\sigma, x) \mapsto (x, f_\sigma(x))\) est un isomorphisme, l’application \(G \times G \times X \to X \times_Y X \times_Y X\), \((\sigma, \tau, x) \mapsto (x, f_\sigma(x), f_{\sigma\tau}(x))\) en est un également. Ces identifications montrent que la catégorie des données de l’énoncé s’identifie à celle des données de descente sur les faisceaux quasi-cohérents relativement au recouvrement \(\{x \to Y\}\). Le lemme résulte donc de la proposition 023T.

Descente des propriétés de finitude des modules

Dans cette section, nous montrons que certaines conditions de finitude sur un module quasi-cohérent peuvent se vérifier sur les membres d’un recouvrement.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de type fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Démonstration

Démonstration omise. Pour le cas affine, voir Algèbre, lemme 03C4.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces localement annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Si

1. l’application continue sous-jacente à \(f\) est ouverte,

2. \(f\) est surjectif et plat, et

3. \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini,

alors \(\mathcal{F}\) est de type fini.

Démonstration

Soit \(y \in Y\) un point. Choisissons un point \(x \in X\) d’image \(y\). Choisissons un ouvert \(x \in U \subset X\) et des éléments \(s_1, \ldots, s_n\) de \(f^*\mathcal{F}(U)\) qui engendrent \(f^*\mathcal{F}\) sur \(U\). Puisque \(f^*\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X\), nous pouvons, quitte à restreindre \(U\), supposer que \(s_i = \sum t_{ij} \otimes a_{ij}\) avec \(t_{ij} \in f^{-1}\mathcal{F}(U)\) et \(a_{ij} \in \mathcal{O}_X(U)\). En restreignant encore \(U\), nous pouvons supposer que \(t_{ij}\) provient d’une section \(s_{ij} \in \mathcal{F}(V)\) pour un ouvert \(V \subset Y\) tel que \(f(U) \subset V\). Soit \(N\) le nombre de sections \(s_{ij}\) et considérons l’application \[\sigma = (s_{ij}) : \mathcal{O}_V^{\oplus N} \to \mathcal{F}|_V\] Le choix des sections montre que \(f^*\sigma|_U\) est surjective. Ainsi, pour tout \(u \in U\), l’application \[\sigma_{f(u)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(u)}} \mathcal{O}_{X, u} : \mathcal{O}_{X, u}^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{F}_{f(u)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(u)}} \mathcal{O}_{X, u}\] est surjective. Comme \(f\) est plat, l’homomorphisme local d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, f(u)} \to \mathcal{O}_{X, u}\) est plat, donc fidèlement plat (Algèbre, lemme 00HR). Par conséquent, \(\sigma_{f(u)}\) est surjective. Puisque \(f\) est ouvert, \(f(U)\) est un voisinage ouvert de \(y\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de présentation finie. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

Démonstration omise. Pour le cas affine, voir Algèbre, lemme 03C4.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit localement engendré par \(r\) sections comme \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module. Alors \(\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections comme \(\mathcal{O}_X\)-module.

Démonstration

D’après le lemme 05AZ, le module \(\mathcal{F}\) est de type fini. Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) implique donc que \(\mathcal{F}\) est engendré par \(r\) sections au voisinage d’un point \(x \in X\) si et seulement si \(\dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) \leq r\). Choisissons un \(i\) et un point \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Alors \(\dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) = \dim_{\kappa(x_i)} (f_i^*\mathcal{F})_{x_i} \otimes \kappa(x_i)\), et cette dimension est \(\leq r\), puisque \(f_i^*\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module plat. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat.

Démonstration

Démonstration omise. Pour le cas affine, voir Algèbre, lemme 03C4.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre de type fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini.

Démonstration

Cela résulte du fait qu’un faisceau quasi-cohérent est localement libre de type fini si et seulement s’il est de présentation finie et plat, voir Algèbre, lemme 00NX. En effet, si chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) est plat et de présentation finie, il en est de même de \(\mathcal{F}\) d’après les lemmes 05B1 et 05B0.

La définition d’un faisceau quasi-cohérent localement projectif figure dans Propriétés, section 05JN.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement projectif. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement projectif.

Démonstration

Démonstration omise. Pour les recouvrements de Zariski, c’est Propriétés, lemme 05JQ. Pour le cas affine, c’est Algèbre, théorème 05A9.

Remarque

Être localement libre est une propriété des modules quasi-cohérents qui ne descend pas pour la topologie fpqc. En effet, supposons que \(R\) soit un anneau et que \(M\) soit un \(R\)-module projectif qui est une somme directe dénombrable \(M = \bigoplus L_n\) de modules localement libres de rang 1, sans être lui-même localement libre, voir Exemples, lemme 05WL. Alors \(M\) devient libre après le changement de base fidèlement plat \[R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{m \geq 1} \bigoplus\nolimits_{(i_1, \ldots, i_m) \in \mathbf{Z}^{\oplus m}} L_1^{\otimes i_1} \otimes_R \ldots \otimes_R L_m^{\otimes i_m}\] Mais nous ne savons pas ce qu’il en est pour les recouvrements fppf. Autrement dit, nous ne connaissons pas la réponse à la question suivante : supposons que \(A \to B\) soit un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et de présentation finie. Soit \(M\) un \(A\)-module tel que \(M \otimes_A B\) soit libre. Est-ce que \(M\) est un \(A\)-module localement libre ? Lorsque \(A\) est noethérien, la réponse est affirmative. Cela résulte des résultats de [Bass]. Mais, en général, nous ne connaissons pas la réponse. Si vous la connaissez, ou si vous disposez d’une référence, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Nous ajoutons ici deux résultats liés aux précédents, mais de nature légèrement différente.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(f\) soit un morphisme fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini si et seulement si \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de type fini.

Démonstration

Comme \(f\) est fini, il est affine. On se ramène donc au cas où \(f\) est le morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) défini par un homomorphisme fini d’anneaux \(A \to B\). Alors \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) est le faisceau de modules associé au \(B\)-module \(M\). Notons que \(M\) est de type fini comme \(B\)-module si et seulement si \(M\) est de type fini comme \(A\)-module, voir Algèbre, lemme 00GJ. En combinant cela avec Propriétés, lemme 01PB, on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(f\) soit fini et de présentation finie. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie si et seulement si \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de présentation finie.

Démonstration

Comme \(f\) est fini, il est affine. On se ramène donc au cas où \(f\) est le morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) défini par un homomorphisme d’anneaux fini et de présentation finie \(A \to B\). Alors \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) est le faisceau de modules associé au \(B\)-module \(M\). Notons que \(M\) est de présentation finie comme \(B\)-module si et seulement si \(M\) est de présentation finie comme \(A\)-module, voir Algèbre, lemme 0564. En combinant cela avec Propriétés, lemme 01PC, on obtient le résultat.

Faisceaux quasi-cohérents et topologies, I

Les résultats de cette section donnent une équivalence naturelle entre la catégorie des modules quasi-cohérents sur un schéma \(S\) et la catégorie des modules quasi-cohérents sur de nombreux sites associés à \(S\) dans le chapitre consacré aux topologies.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Considérons le foncteur [03DS]\[\begin{equation} (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab}, \quad (f : T \to S) \longmapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F}). \end{equation}\]

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] fpqc\}\). Le foncteur défini dans (03DS) satisfait la condition de faisceau relativement à tout recouvrement pour la topologie \(\tau\) \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) d’un schéma \(T\) sur \(S\).

Démonstration

Pour \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\), un recouvrement pour la topologie \(\tau\) est aussi un recouvrement fpqc, voir Topologies, lemmes 0216, 0220, 0226, 021N et 022C. Il suffit donc de démontrer le théorème pour un recouvrement fpqc. Supposons que \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fpqc, avec \(f : T \to S\) donné. Supposons donnée une famille de sections \(s_i \in \Gamma(T_i , f_i^*f^*\mathcal{F})\) telle que \(s_i|_{T_i \times_T T_j} = s_j|_{T_i \times_T T_j}\). Il faut trouver la section correspondante \(s \in \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\). On peut interpréter les \(s_i\) comme une famille de morphismes \(\varphi_i : f_i^*\mathcal{O}_T = \mathcal{O}_{T_i} \to f_i^*f^*\mathcal{F}\) compatibles avec les données de descente canoniques associées aux faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{O}_T\) et \(f^*\mathcal{F}\) sur \(T\). D’après la proposition 023T, on peut donc les faire descendre, de manière unique, en une application \(\mathcal{O}_T \to f^*\mathcal{F}\), qui fournit la section \(s\) cherchée.

On peut en particulier donner la définition suivante.

Définition

Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\tau\) un grand site contenant \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent.

1. Le faisceau structural du grand site \((\Sch/S)_\tau\) est le faisceau d’anneaux \(T/S \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\), noté \(\mathcal{O}\) ou \(\mathcal{O}_S\).

2. Si \(\tau = Zariski\) ou \(\tau = \etale\), le faisceau structural du petit site \(S_{Zar}\) ou \(S_\etale\) est le faisceau d’anneaux \(T/S \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\), noté \(\mathcal{O}\) ou \(\mathcal{O}_S\).

3. Le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules associé à \(\mathcal{F}\) sur le grand site \((\Sch/S)_\tau\) est le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \((f : T \to S) \mapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\), noté \(\mathcal{F}^a\) (et souvent simplement \(\mathcal{F}\)).

4. Si \(\tau = Zariski\) ou \(\tau = \etale\), le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules associé à \(\mathcal{F}\) sur le petit site \(S_{Zar}\) ou \(S_\etale\) est le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \((f : T \to S) \mapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\), noté \(\mathcal{F}^a\) (et souvent simplement \(\mathcal{F}\)).

Nous employons donc la même notation \(\mathcal{F}^a\) dans chaque cas. Cela ne crée pas de confusion, puisque, par définition, la règle qui définit le faisceau \(\mathcal{F}^a\) est indépendante du site considéré.

Remarque

Dans Topologies, lemme 020X, nous avons vu que le petit site de Zariski d’un schéma \(S\) est équivalent à \(S\) vu comme espace topologique, au sens où leurs catégories de faisceaux sont naturellement équivalentes. Maintenant que \(S_{Zar}\) est aussi muni d’un faisceau structural \(\mathcal{O}\), les faisceaux de modules sur le site annelé \((S_{Zar}, \mathcal{O})\) s’identifient aux faisceaux de modules sur l’espace annelé \((S, \mathcal{O}_S)\).

Remarque

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Chacun des morphismes de sites \(f_{sites}\) énumérés dans Topologies, section 03FE, devient un morphisme de sites annelés. En effet, chacun de ces morphismes de sites \(f_{sites} : (\Sch/T)_\tau \to (\Sch/S)_{\tau'}\), ou \(f_{sites} : (\Sch/S)_\tau \to S_{\tau'}\), est défini par le foncteur continu \(S'/S \mapsto T \times_S S'/S\). Ainsi, pour \(S'/S\) donné, on prend pour \[f_{sites}^\sharp : \mathcal{O}(S'/S) \longrightarrow f_{sites, *}\mathcal{O}(S'/S) = \mathcal{O}(T \times_S S'/T)\] l’homomorphisme usuel \(\text{pr}_{S'}^\sharp : \mathcal{O}(S') \to \mathcal{O}(T \times_S S')\). De même, le morphisme \(i_f : \Sh(T_\tau) \to \Sh((\Sch/S)_\tau)\), pour \(\tau \in \{Zar, \etale\}\), voir Topologies, lemmes 020Y et 021F, devient un morphisme de topos annelés, puisque \(i_f^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}\). Voici quelques cas particuliers :

1. Le morphisme de grands sites \(f_{big} : (\Sch/X)_{fppf} \to (\Sch/Y)_{fppf}\) devient un morphisme de sites annelés \[(f_{big}, f_{big}^\sharp) : ((\Sch/X)_{fppf}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow ((\Sch/Y)_{fppf}, \mathcal{O}_Y)\] au sens de Modules sur les sites, définition 03AD. Il en va de même pour les grands sites syntomique, lisse, étale et de Zariski.

2. Le morphisme de petits sites \(f_{small} : X_\etale \to Y_\etale\) devient un morphisme de sites annelés \[(f_{small}, f_{small}^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\] au sens de Modules sur les sites, définition 03AD. Il en va de même pour le petit site de Zariski.

Soit \(S\) un schéma. Étant donné un \(\mathcal{O}\)-module sur, par exemple, \((\Sch/S)_{Zar}\), son image inverse sur, par exemple, \((\Sch/S)_{fppf}\) est simplement le faisceau associé pour la topologie fppf. Pour comparer les grands et les petits sites, on dispose du résultat suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Notons \[\begin{matrix} \text{id}_{\tau, Zar} & : & (\Sch/S)_\tau \to S_{Zar}, & \tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\} \\ \text{id}_{\tau, \etale} & : & (\Sch/S)_\tau \to S_\etale, & \tau \in \{\etale, smooth, syntomic, fppf\} \\ \text{id}_{small, \etale, Zar} & : & S_\etale \to S_{Zar}, \end{matrix}\] les morphismes de sites annelés de la remarque 070R. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_S\)-modules, que l’on considère comme un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(S_{Zar}\). Alors

1. \((\text{id}_{\tau, Zar})^*\mathcal{F}\) est le faisceau associé pour la topologie \(\tau\) au faisceau de Zariski \[(f : T \to S) \longmapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\] sur \((\Sch/S)_\tau\), et

2. \((\text{id}_{small, \etale, Zar})^*\mathcal{F}\) est le faisceau associé pour la topologie étale au faisceau de Zariski \[(f : T \to S) \longmapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\] sur \(S_\etale\).

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(S_\etale\). Alors

1. \((\text{id}_{\tau, \etale})^*\mathcal{G}\) est le faisceau associé pour la topologie \(\tau\) au faisceau pour la topologie étale \[(f : T \to S) \longmapsto \Gamma(T, f_{small}^*\mathcal{G})\] où \(f_{small} : T_\etale \to S_\etale\) est le morphisme de petits sites annelés pour la topologie étale de la remarque 070R.

Démonstration

Démonstration de (1). Remarquons d’abord que le résultat est vrai pour \(\tau = Zar\), car on dispose alors du morphisme de topos \(i_f : \Sh(T_{Zar}) \to \Sh((\Sch/S)_{Zar})\) tel que \(\text{id}_{\tau, Zar} \circ i_f = f_{small}\) comme morphismes \(T_{Zar} \to S_{Zar}\), voir Topologies, lemmes 020Y et 0211. Par transitivité de l’image inverse (voir Modules sur les sites, lemme 03D8), on obtient \(i_f^*(\text{id}_{\tau, Zar})^*\mathcal{F} = f_{small}^*\mathcal{F}\), comme souhaité. D’après la remarque précédant ce lemme, \((\text{id}_{\tau, Zar})^*\mathcal{F}\) est donc le faisceau associé pour la topologie \(\tau\) au préfaisceau \(T \mapsto \Gamma(T, f^*\mathcal{F})\).

La démonstration de (3) est identique à celle de (1), à ceci près qu’elle utilise Topologies, lemmes 021F et 021I. Nous omettons la démonstration de (2).

Remarque

La remarque 070R et le lemme 070S ont les applications suivantes :

1. Soit \(S\) un schéma. La construction \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) est l’image inverse par le morphisme de sites annelés \(\text{id}_{\tau, Zar} : ((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O})\) ou par le morphisme \(\text{id}_{small, \etale, Zar} : (S_\etale, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O})\).

2. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Pour chacun des morphismes \(f_{sites}\) de sites annelés de la remarque 070R, on a \[(f^*\mathcal{F})^a = f_{sites}^*\mathcal{F}^a.\] Cela résulte de (1) et de la compatibilité de l’image inverse avec la composition des morphismes de sites annelés, voir Modules sur les sites, lemme 03D8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\).

1. Le faisceau \(\mathcal{F}^a\) est un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \((\Sch/S)_\tau\), au sens de Modules sur les sites, définition 03DL.

2. Si \(\tau = Zariski\) ou \(\tau = \etale\), alors le faisceau \(\mathcal{F}^a\) est un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \(S_{Zar}\) ou \(S_\etale\), au sens de Modules sur les sites, définition 03DL.

Démonstration

Soit \(\{S_i \to S\}\) un recouvrement de Zariski tel que l’on ait des suites exactes \[\bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{S_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{S_i} \longrightarrow \mathcal{F}|_{S_i} \longrightarrow 0\] pour certains ensembles d’indices \(K_i\) et \(J_i\). Cela est possible par la définition d’un faisceau quasi-cohérent sur un espace annelé (voir Modules, définition 01BE).

Preuve de (1). Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\). Il est clair que \(\mathcal{F}^a|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) s’insère aussi dans une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow \mathcal{F}^a|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow 0\] Ainsi \(\mathcal{F}^a\) est quasi-cohérent par Modules sur les sites, lemme 03DN.

Preuve de (2). Soit \(\tau = \etale\). Il est clair que \(\mathcal{F}^a|_{(S_i)_\etale}\) s’insère aussi dans une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}|_{(S_i)_\etale} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}|_{(S_i)_\etale} \longrightarrow \mathcal{F}^a|_{(S_i)_\etale} \longrightarrow 0\] Ainsi \(\mathcal{F}^a\) est quasi-cohérent par Modules sur les sites, lemme 03DN. Le cas \(\tau = Zariski\) est analogue (il est même tautologique, puisque les topos annelés correspondants coïncident).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Chacun des foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) de la définition 03DU \[\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \quad\text{ou}\quad \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \QCoh(S_\tau, \mathcal{O})\] est pleinement fidèle.

Démonstration

Le lemme 03DV montre que l’on obtient bien les foncteurs indiqués. On identifie les \(\mathcal{O}_S\)-modules sur \(S\) aux modules sur \((S_{Zar}, \mathcal{O}_S)\). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\), défini sur les modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), est l’image inverse par un morphisme \(f\) de sites annelés; voir la remarque 03FH. Dans chaque cas, le foncteur \(f_*\) est la restriction suivant le foncteur d’inclusion \(S_{Zar} \to S_\tau\) ou \(S_{Zar} \to (\Sch/S)_\tau\) (voir, dans Topologies, section 03FE, la construction de ces morphismes de sites). En combinant cela avec la description de \(f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}^a\), on obtient \(f_*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) lorsque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Par conséquent, \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^a, \mathcal{G}^a) = \Hom_\mathcal{O}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, f_*f^*\mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] ce qu’il fallait démontrer.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\).

1. Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) définit une équivalence de catégories \[\QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\] entre la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(S\) et celle des \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents sur le grand site de \(S\) pour la topologie \(\tau\).

2. Si \(\tau = Zariski\) ou \(\tau = \etale\), le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) définit une équivalence de catégories \[\QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \QCoh(S_\tau, \mathcal{O})\] entre la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(S\) et celle des \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents sur le petit site de \(S\) pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Le lemme 03DV montre que le foncteur est bien défini. Il est pleinement fidèle par le lemme 0GN7. Pour achever la preuve, nous allons montrer qu’un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \((\Sch/S)_\tau\) fournit une donnée de descente pour des faisceaux quasi-cohérents relativement à un recouvrement de \(S\) pour la topologie \(\tau\). Une fois cette donnée construite, la proposition 023T donnera le faisceau quasi-cohérent correspondant sur \(S\).

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur le grand site de \(S\) pour la topologie \(\tau\). D’après Modules sur les sites, définition 03DL, il existe un recouvrement \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) de \(S\) pour la topologie \(\tau\), tel que chacune des restrictions \(\mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) admette une présentation globale \[\bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow \mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow 0\] pour certains ensembles d’indices \(J_i\) et \(K_i\). Nous affirmons qu’il en résulte que \(\mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) est de la forme \(\mathcal{F}_i^a\) pour un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) sur \(S_i\). Cela est clair pour les sommes directes \(\bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) et \(\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\). Ainsi \(\mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) est le conoyau d’un morphisme \(\varphi : \mathcal{K}_i^a \to \mathcal{L}_i^a\), où \(\mathcal{K}_i\) et \(\mathcal{L}_i\) sont des faisceaux quasi-cohérents sur \(S_i\). Par la pleine fidélité de \((\ )^a\), on a \(\varphi = \phi^a\) pour un morphisme de faisceaux quasi-cohérents \(\phi : \mathcal{K}_i \to \mathcal{L}_i\) sur \(S_i\). On a donc bien \(\mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau} \cong \Coker(\phi)^a\).

Comme \(\mathcal{G}\) est défini sur toute la catégorie \((\Sch/S)_\tau\), on a \[(\text{pr}_0^*\mathcal{F}_i)^a \cong \mathcal{G}|_{(\Sch/(S_i \times_S S_j))_\tau} \cong (\text{pr}_1^*\mathcal{F})^a\] comme \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/(S_i \times_S S_j))_\tau\). La pleine fidélité donne alors des isomorphismes canoniques \[\phi_{ij} : \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j\] de modules quasi-cohérents sur \(S_i \times_S S_j\). Nous omettons la vérification de la condition de cocycle. Cette condition étant satisfaite, l’effectivité de la descente des faisceaux quasi-cohérents pour le recouvrement \(\{S_i \to S\}\) (proposition 023T) fournit un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\), muni d’isomorphismes \(\mathcal{F}|_{S_i} \cong \mathcal{F}_i\) compatibles avec la donnée de descente. Autrement dit, on dispose d’isomorphismes de \(\mathcal{O}\)-modules \[\phi_i : \mathcal{F}^a|_{(\Sch/S_i)_\tau} \longrightarrow \mathcal{G}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\] qui coïncident sur \(S_i \times_S S_j\). Comme \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^a, \mathcal{G})\) est un faisceau (Modules sur les sites, lemme 03EM), ces isomorphismes se recollent en un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}^a \to \mathcal{G}\) qui redonne les isomorphismes \(\phi_i\) ci-dessus. Ce morphisme est un isomorphisme, ce qui achève la preuve.

Le cas des sites \(S_\etale\) et \(S_{Zar}\) se démontre exactement de la même manière.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Soit \(\mathcal{P}\) l’une des propriétés de modules⁴ définies dans Modules sur les sites, définitions 03DE, 03DL et 03ER. Les équivalences de catégories \[\QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \quad\text{et}\quad \QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \QCoh(S_\tau, \mathcal{O})\] définies par \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) dans la proposition 03DX vérifient \[\mathcal{F}\text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{F}^a\text{ vérifie }\mathcal{P}\text{ comme }\mathcal{O}\text{-module}\] sauf, peut-être, lorsque \(\mathcal{P}\) est “localement libre” ou “cohérent”. Si \(\mathcal{P}=\)“cohérent”, l’équivalence vaut pour \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \QCoh(S_\tau, \mathcal{O})\) lorsque \(S\) est localement noethérien et que \(\tau\) est Zariski ou étale.

Démonstration

C’est immédiat pour les propriétés globales, c’est-à-dire celles de Modules sur les sites, définition 03DE. Pour les propriétés locales, le lemme 03DN de Modules sur les sites permet de traduire “\(\mathcal{F}^a\) vérifie \(\mathcal{P}\)” en une propriété portant sur les membres d’un recouvrement de \(X\). Le résultat découle alors des lemmes 05AZ, 05B0, 082U, 05B1 et 05B2. Pour un module quasi-cohérent, être cohérent revient à être de type fini sur un schéma localement noethérien (voir Cohomologie des schémas, lemme 01XZ); on se ramène donc au cas des modules de type fini (détails omis).

Cohomologie des modules quasi-cohérents et topologies

Dans cette section, nous montrons que la cohomologie des modules quasi-cohérents est indépendante du choix de la topologie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Supposons que

1. \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\) et \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\), ou que

2. \(\tau = \etale\) et \(\mathcal{C} = S_\etale\), ou que

3. \(\tau = Zariski\) et \(\mathcal{C} = S_{Zar}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) affine. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement affine standard pour la topologie \(\tau\) dans \(\mathcal{C}\). Alors

1. \(\mathcal{V} = \{\coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(U\) pour la topologie \(\tau\),

2. \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{V}\), et

3. l’application induite entre les complexes de Čech (Cohomologie sur les sites, équation (03F4)) \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est un isomorphisme de complexes.

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \[(\coprod\nolimits_{i_0 = 1, \ldots, n} U_{i_0}) \times_U \ldots \times_U (\coprod\nolimits_{i_p = 1, \ldots, n} U_{i_p}) = \coprod\nolimits_{i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}} U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\] et du fait que \(\mathcal{F}(\coprod_a V_a) = \prod_a \mathcal{F}(V_a)\), puisque les réunions disjointes sont des recouvrements pour la topologie \(\tau\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Soient \(\tau\), \(\mathcal{C}\), \(U\) et \(\mathcal{U}\) comme dans le lemme 03FI. Il existe alors un isomorphisme de complexes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) \cong s((A/R)_\bullet \otimes_R M)\] (voir la section 023F), où \(R = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\), \(M = \Gamma(U, \mathcal{F}^a)\) et \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. En particulier, \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = 0\] pour tout \(p \geq 1\).

Démonstration

Le lemme 03FI montre que \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\) est isomorphe à \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}^a)\), où \(\mathcal{V} = \{V \to U\}\) et \(V = \coprod_{i = 1, \ldots n} U_i\) est encore affine. Posons \(A = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). Puisque \(\{V \to U\}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\), l’homomorphisme \(R \to A\) est fidèlement plat. D’autre part, la définition de \(\mathcal{F}^a\) donne pour terme de degré \(p\) du complexe \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, \mathcal{F}^a)\) : \[\Gamma(V \times_U \ldots \times_U V, \mathcal{F}^a) = \Gamma(\Spec(A \otimes_R \ldots \otimes_R A), \mathcal{F}^a) = A \otimes_R \ldots \otimes_R A \otimes_R M\] Nous omettons la vérification que les applications du complexe de Čech coïncident avec celles du complexe \(s((A/R)_\bullet \otimes_R M)\). L’annulation de la cohomologie est le lemme 023M.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\).

1. Il existe un isomorphisme canonique \[H^q(S, \mathcal{F}) = H^q((\Sch/S)_\tau, \mathcal{F}^a).\]

2. Il existe des isomorphismes canoniques \[H^q(S, \mathcal{F}) = H^q(S_{Zar}, \mathcal{F}^a) = H^q(S_\etale, \mathcal{F}^a).\]

Démonstration

Pour \(q = 0\), le résultat est immédiat d’après la définition de \(\mathcal{F}^a\). Soit \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\), ou \(\mathcal{C} = S_\etale\), ou \(\mathcal{C} = S_{Zar}\).

Nous allons appliquer le lemme 03F9 de Cohomologie sur les sites avec \(\mathcal{F} = \mathcal{F}^a\), en prenant pour \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) l’ensemble des schémas affines de \(\mathcal{C}\), et pour \(\text{Cov} \subset \text{Cov}_\mathcal{C}\) l’ensemble des recouvrements affines standards pour la topologie \(\tau\). L’hypothèse (3) de ce lemme est satisfaite par le lemme 03FJ. On en conclut que \(H^p(U, \mathcal{F}^a) = 0\) pour tout objet affine \(U\) de \(\mathcal{C}\).

Soit maintenant \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet séparé. Notons \(f : U \to S\) le morphisme structural. Soit \(U = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine. On peut aussi le considérer comme le recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) de \(U\) pour la topologie \(\tau\) dans \(\mathcal{C}\). Remarquons que \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) est affine, puisque \(U\) est supposé séparé. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 03F7, et le résultat précédent, on a \[H^p(U, \mathcal{F}^a) = \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = H^p(U, f^*\mathcal{F})\] la dernière égalité provenant de Cohomologie des schémas, lemme 01XD. En particulier, si \(S\) est séparé, on peut prendre \(U = S\) et \(f = \text{id}_S\), ce qui démontre la proposition. Nous suggérons au lecteur de passer le reste de la preuve (ou de le réécrire afin d’en rendre l’exposé plus clair).

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) sur \(S\). Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F}^a \to \mathcal{J}^\bullet\) sur \(\mathcal{C}\). Notons \(\mathcal{J}^n|_S\) la restriction de \(\mathcal{J}^n\) aux ouverts de \(S\); c’est un faisceau sur l’espace topologique \(S\), car les recouvrements ouverts sont des recouvrements pour la topologie \(\tau\). On obtient un complexe \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{J}^0|_S \to \mathcal{J}^1|_S \to \ldots\] qui est exact, puisque ses sections sur tout ouvert affine \(U \subset S\) forment une suite exacte (par l’annulation de \(H^p(U, \mathcal{F}^a)\) pour \(p > 0\) obtenue ci-dessus). Par Catégories dérivées, lemme 013P, il existe donc un morphisme de complexes \(\mathcal{J}^\bullet|_S \to \mathcal{I}^\bullet\) qui induit notamment un morphisme \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) = \Gamma(S, \mathcal{J}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(S, \mathcal{I}^\bullet) = R\Gamma(S, \mathcal{F}).\] En cohomologie, on obtient le morphisme \(H^n(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) \to H^n(S, \mathcal{F})\), dont il faut montrer qu’elle est un isomorphisme. Soit \(\mathcal{U} : S = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine, que l’on peut aussi voir comme un recouvrement pour la topologie \(\tau\). Ce qui précède fournit un morphisme de complexes doubles \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{J}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{J}|_S) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] Il induit un morphisme de suites spectrales \[{}^\tau\! E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^a)) \longrightarrow E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] La première suite spectrale converge vers \(H^{p + q}(\mathcal{C}, \mathcal{F})\), et la seconde vers \(H^{p + q}(S, \mathcal{F})\). D’autre part, nous avons vu que les morphismes induits \({}^\tau\! E_2^{p, q} \to E_2^{p, q}\) sont bijectives (toutes les intersections sont séparées, car ce sont des ouverts d’affines). Les morphismes \(H^n(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) \to H^n(S, \mathcal{F})\) sont donc elles aussi des isomorphismes, ce qui achève la preuve.

Proposition

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas.

1. Les équivalences de catégories de la proposition 03DX sont compatibles avec l’image inverse. Plus précisément, on a \(f^*(\mathcal{G}^a) = (f^*\mathcal{G})^a\) pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(S\).

2. Les équivalences de catégories de la proposition 03DX, partie (1), ne sont en général pas compatibles avec l’image directe.

3. Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, et si \(\tau \in \{Zariski, \etale\}\), alors \(f_*\) et \(f_{small, *}\) préservent les faisceaux quasi-cohérents et le diagramme \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_T) \ar[rr]_{f_*} \ar[d]_{\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a} & & \QCoh(\mathcal{O}_S) \ar[d]^{\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}^a} \\ \QCoh(T_\tau, \mathcal{O}) \ar[rr]^{f_{small, *}} & & \QCoh(S_\tau, \mathcal{O}) }\] est commutatif, c’est-à-dire que \(f_{small, *}(\mathcal{F}^a) = (f_*\mathcal{F})^a\).

Démonstration

La partie (1) résulte de la discussion de la Remarque 03FH. La partie (2) constitue simplement un avertissement, que l’on peut expliquer comme suit. Tout d’abord, l’énoncé ne peut pas être formulé précisément, car \(f_*\) ne transforme pas en général les faisceaux quasi-cohérents en faisceaux quasi-cohérents. Même lorsque c’est le cas pour \(f\) (et pour tout changement de base de \(f\)), la compatibilité sur les grands sites signifierait que la formation de \(f_*\mathcal{F}\) commute à tout changement de base, ce qui n’est pas vrai en général. Un exemple explicite est l’immersion ouverte quasi-compacte \(j : X = \mathbf{A}^2_k \setminus \{0\} \to \mathbf{A}^2_k = Y\), où \(k\) est un corps. On a \(j_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\), mais, après le changement de base vers \(\Spec(k)\) par le morphisme \(0\), on constate que l’image directe est nulle.

Démontrons (3) dans le cas \(\tau = \etale\). Le morphisme \(f\), ainsi que tout changement de base de \(f\), envoie les faisceaux quasi-cohérents en faisceaux quasi-cohérents ; voir Schémas, lemme 01LC. L’égalité \(f_{small, *}(\mathcal{F}^a) = (f_*\mathcal{F})^a\) signifie que, pour tout morphisme étale \(g : U \to S\), on a \(\Gamma(U, g^*f_*\mathcal{F}) = \Gamma(U \times_S T, (g')^*\mathcal{F})\), où \(g' : U \times_S T \to T\) est la projection. Cela résulte du Lemme 02KH de Cohomologie des schémas.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(T\). Pour la topologie étale comme pour la topologie de Zariski, il existe des isomorphismes canoniques \(R^if_{small, *}(\mathcal{F}^a) = (R^if_*\mathcal{F})^a\).

Démonstration

Nous le démontrons pour la topologie étale ; nous omettons la démonstration pour la topologie de Zariski. D’après Cohomologie des schémas, lemme 01XJ, les faisceaux \(R^if_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents, de sorte que l’énoncé a un sens. Le faisceau \(R^if_{small, *}\mathcal{F}^a\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto H^i(U \times_S T, \mathcal{F}^a)\] où \(g : U \to S\) est un objet de \(S_\etale\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 072W. Suivant nos conventions, le membre de droite est la cohomologie étale de la restriction de \(\mathcal{F}^a\) au site localisé \(T_\etale/U \times_S T\), lequel est égal à \((U \times_S T)_\etale\). D’après la proposition 03DW, ce préfaisceau est identique au préfaisceau \[U \longmapsto H^i(U \times_S T, (g')^*\mathcal{F}),\] où \(g' : U \times_S T \to T\) est la projection. Si \(U\) est affine, ce groupe est égal à \(H^0(U, R^if'_*(g')^*\mathcal{F})\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XK. D’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH, ce dernier groupe est égal à \(H^0(U, g^*R^if_*\mathcal{F})\), qui est la valeur de \((R^if_*\mathcal{F})^a\) en \(U\). Ainsi, les valeurs des faisceaux de modules \(R^if_{small, *}(\mathcal{F}^a)\) et \((R^if_*\mathcal{F})^a\) sur tout objet affine de \(S_\etale\) sont canoniquement isomorphes ; il s’ensuit que ces faisceaux sont canoniquement isomorphes.

Faisceaux quasi-cohérents et topologies, II

Nous poursuivons la comparaison entre les modules quasi-cohérents sur un schéma \(S\) et les modules quasi-cohérents sur chacun des sites associés à \(S\) dans le chapitre sur les topologies.

Lemme

Dans le lemme 070S, le morphisme de sites annelés \(\text{id}_{small, \etale, Zar} : S_\etale \to S_{Zar}\) est plat.

Démonstration

Notons \(\epsilon = \text{id}_{small, \etale, Zar}\), et notons \(\mathcal{O}_\etale\) et \(\mathcal{O}_{Zar}\) les faisceaux structuraux sur \(S_\etale\) et \(S_{Zar}\). Il faut montrer que \(\mathcal{O}_\etale\) est un \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{Zar}\)-module plat. Rappelons qu’un morphisme étale est ouvert ; voir Morphismes, lemme 03WT. Il résulte de la construction de l’image inverse des faisceaux que \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{Zar}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(\mathcal{O}'\) sur \(S_\etale\) qui associe à un morphisme étale \(f : V \to S\) l’anneau \(\mathcal{O}_S(f(V))\). Si \(V\) et \(U = f(V) \subset S\) sont tous deux affines, alors \(V \to U\) est un morphisme étale entre schémas affines et correspond donc à un homomorphisme d’anneaux étale. Comme tout homomorphisme d’anneaux étale est plat, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_S(U) = \mathcal{O}'(V) \to \mathcal{O}_\etale(V) = \mathcal{O}_V(V)\) est plat. Enfin, pour tout morphisme étale \(f : V \to S\), c’est-à-dire pour tout objet de \(S_\etale\), il existe un recouvrement ouvert affine \(V = \bigcup V_i\) tel que \(f(V_i)\) soit un ouvert affine de \(S\) pour tout \(i\)⁵. Le résultat découle alors de Modules sur les sites, lemme 0GN1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Les foncteurs \[\QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \quad\text{et}\quad \QCoh(\mathcal{O}_S) \longrightarrow \textit{Mod}(S_\tau, \mathcal{O})\] définis par la règle \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) de la proposition 03DX ont les propriétés suivantes :

1. ils sont pleinement fidèles ;

2. ils commutent aux sommes directes ;

3. ils commutent aux colimites ;

4. ils sont exacts à droite ;

5. ils sont exacts comme foncteurs \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}(S_\etale, \mathcal{O})\) ;

6. ils ne sont en général pas exacts comme foncteurs \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) ;

7. pour deux \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), on a \((\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{G})^a = \mathcal{F}^a \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}^a\) ;

8. si \(\tau = \etale\) ou \(\tau = Zariski\), et si deux \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont donnés, tels que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, on a \((\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))^a = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^a, \mathcal{G}^a)\) dans \(\textit{Mod}(S_\tau, \mathcal{O})\) ;

9. pour deux \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), on n’a en général pas \((\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))^a = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^a, \mathcal{G}^a)\) dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), même si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie ;

10. pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1^a \to \mathcal{E} \to \mathcal{F}_2^a \to 0\) de \(\mathcal{O}\)-modules, le module \(\mathcal{E}\) est quasi-cohérent⁶, c’est-à-dire que \(\mathcal{E}\) appartient à l’image essentielle du foncteur.

Démonstration

La partie (1) a été établie dans la proposition 03DX.

Nous avons vu dans Schémas, section 01LA, qu’une colimite de faisceaux quasi-cohérents sur un schéma est encore un faisceau quasi-cohérent. En outre, dans la remarque 03FH, nous avons vu que \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) est le foncteur d’image inverse d’un morphisme de sites annelés ; il commute donc à toutes les colimites, par Modules sur les sites, lemme 03DC. Cela prouve (3), ainsi que son cas particulier (2).

Cela montre aussi que le foncteur est exact à droite, c’est-à-dire qu’il commute aux colimites finies, ce qui prouve (4).

Le foncteur \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}(S_\etale, \mathcal{O})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\), est exact à gauche parce qu’un morphisme étale est plat ; voir Morphismes, lemme 02GS. Cela prouve (5).

Pour établir (6), supposons que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Alors \(2 : \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S\) est injectif, mais le morphisme associé de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\) ne l’est pas, car \(2 : \mathbf{F}_2 \to \mathbf{F}_2\) n’est pas injectif et \(\Spec(\mathbf{F}_2)\) est un objet de \((\Sch/S)_\tau\).

La partie (7) est vraie parce que, comme indiqué ci-dessus, le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) est le foncteur d’image inverse d’un morphisme de sites annelés, et qu’un tel foncteur commute aux produits tensoriels par Modules sur les sites, lemme 03EL.

La partie (8) est évidente si \(\tau = Zariski\), car la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules sur \(S_{Zar}\) est la même que celle des \(\mathcal{O}_S\)-modules sur l’espace topologique \(S\). Si \(\tau = \etale\), la partie (8) résulte du fait que, comme indiqué ci-dessus, le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) est le foncteur d’image inverse associé au morphisme plat de sites annelés \((S_\etale, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O}_S)\) ; voir le lemme 0GNA. L’image inverse par un morphisme plat de sites annelés commute à la formation du Hom interne dont le premier argument est un module de présentation finie, par Modules sur les sites, lemme 0GN2.

Pour établir (9), supposons que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Posons \(\mathcal{F} = \Coker(2 : \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S)\) et \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_S\). Alors \(\mathcal{F}^a = \Coker(2 : \mathcal{O} \to \mathcal{O})\) et \(\mathcal{G}^a = \mathcal{O}\). Par conséquent, \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^a, \mathcal{G}^a) = \mathcal{O}[2]\) est le sous-faisceau de \(2\)-torsion de \(\mathcal{O}\), qui n’est pas nul ; voir la preuve de (6). En revanche, le module \(\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est nul.

Preuve de (10). Soit \(0 \to \mathcal{F}_1^a \to \mathcal{E} \to \mathcal{F}_2^a \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules, où \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_2\) sont quasi-cohérents sur \(S\). Considérons sa restriction \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{E}|_{S_{Zar}} \to \mathcal{F}_2\] à \(S_{Zar}\). D’après la proposition 03DW, on a, pour tout ouvert affine \(U \subset S\), \(H^1(U, \mathcal{F}_1^a) = H^1(U, \mathcal{F}_1) = 0\). La suite ci-dessus est donc également exacte à droite. D’après Schémas, section 01LA, on en déduit que \(\mathcal{F} = \mathcal{E}|_{S_{Zar}}\) est quasi-cohérent. On obtient ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & \mathcal{F}_1^a \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^a \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_2^a \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_1^a \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{F}_2^a \ar[r] & 0 }\] Pour achever la preuve, il suffit de montrer que la ligne supérieure est également exacte à droite. Notons de nouveau \(U = \Spec(A) \subset S\) un ouvert affine de \(S\). Nous avons vu plus haut que \(0 \to \mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{E}(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to 0\) est exacte. Pour tout schéma affine \(V/U\), avec \(V = \Spec(B)\), le morphisme \(\mathcal{F}_1^a(V) \to \mathcal{E}(V)\) est injectif. Par définition, on a \(\mathcal{F}_1^a(V) = \mathcal{F}_1(U) \otimes_A B\). L’injection \(\mathcal{F}_1^a(V) \to \mathcal{E}(V)\) se factorise en \[\mathcal{F}_1(U) \otimes_A B \to \mathcal{E}(U) \otimes_A B \to \mathcal{E}(V)\] En considérant les \(A\)-algèbres \(B\) de la forme \(B = A \oplus M\), on voit que \(\mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{E}(U)\) est universellement injectif (voir Algèbre, Définition 058I). Comme \(\mathcal{E}(U) = \mathcal{F}(U)\), on en déduit que \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}\) reste injectif après tout changement de base, ou, de manière équivalente, que \(\mathcal{F}_1^a \to \mathcal{F}^a\) est injectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La catégorie \(\QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\) des modules quasi-cohérents sur \(S_\etale\) possède les propriétés suivantes :

1. Toute somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

2. Toute colimite de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

3. Le noyau et le conoyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérents.

4. Étant donnée une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), si deux de ces trois modules sont quasi-cohérents, le troisième l’est aussi.

5. Le produit tensoriel de deux \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents est quasi-cohérent.

6. Étant donnés deux \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, le Hom interne \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent.

Démonstration

Les faits correspondants sont vrais pour les modules quasi-cohérents sur le schéma \(S\) ; voir Schémas, section 01LA. La preuve consiste à utiliser le lemme 06VE pour les transporter à \(S_\etale\).

Preuve de (1). Soient \(\mathcal{F}_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(\QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\). Écrivons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{G}_i^a\), où les \(\mathcal{G}_i\) sont des modules quasi-cohérents sur \(S\). Alors \(\bigoplus \mathcal{F}_i = (\bigoplus \mathcal{G}_i)^a\) par le lemme cité, ce qui donne la conclusion.

Preuve de (2). Soit \(\mathcal{I} \to \QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Écrivons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{G}_i^a\) ; on obtient ainsi un diagramme \(\mathcal{I} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Alors \(\colim \mathcal{F}_i = (\colim \mathcal{G}_i)^a\) par le lemme cité, ce qui donne la conclusion.

Preuve de (3). Soit \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) une flèche de \(\QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\). Écrivons \(a = b^a\) pour un morphisme \(b : \mathcal{G} \to \mathcal{G}'\) de modules quasi-cohérents sur \(S\). Par le lemme cité, on a \(\Ker(a) = \Ker(b)^a\) et \(\Coker(a) = \Coker(b)^a\), d’où le résultat.

Preuve de (4). Cela résulte de (3), sauf dans le cas où l’on sait que \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont quasi-cohérents. Dans ce cas, écrivons \(\mathcal{F}_1 = \mathcal{G}_1^a\) et \(\mathcal{F}_3 = \mathcal{G}_3^a\), avec \(\mathcal{G}_i\) quasi-cohérent sur \(S\). On conclut par le lemme 06VE, partie (10).

Preuve de (5). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) dans \(\QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\). Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{G}^a\) et \(\mathcal{F}' = (\mathcal{G}')^a\), avec \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{G}'\) quasi-cohérents sur \(S\). Par le lemme cité, on a \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}' = (\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{G}')^a\), d’où la conclusion.

Preuve de (6). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(S_\etale, \mathcal{O})\), avec \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{H}^a\) et \(\mathcal{G} = (\mathcal{I})^a\), avec \(\mathcal{H}\) et \(\mathcal{I}\) quasi-cohérents sur \(S\). Par le lemme 05VG, le module \(\mathcal{H}\) est de présentation finie. Par le lemme 06VE, partie (8), on a \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = (\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{H}, \mathcal{I}))^a\), d’où la conclusion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). La catégorie \(\QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) des modules quasi-cohérents sur \((\Sch/S)_\tau\) possède les propriétés suivantes :

1. Toute somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

2. Toute colimite de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

3. Le conoyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérent.

4. Étant donnée une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont quasi-cohérents, alors \(\mathcal{F}_2\) l’est aussi.

5. Le produit tensoriel de deux \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents est quasi-cohérent.

6. Étant donnés deux \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{F}\) soit localement libre de rang fini, le Hom interne \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent.

Démonstration

Les faits correspondants sont vrais pour les modules quasi-cohérents sur le schéma \(S\) ; voir Schémas, section 01LA. La preuve consiste à utiliser le lemme 06VE pour les transporter à \((\Sch/S)_\tau\).

Preuve de (1). Soient \(\mathcal{F}_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(\QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Écrivons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{G}_i^a\), où les \(\mathcal{G}_i\) sont des modules quasi-cohérents sur \(S\). Alors \(\bigoplus \mathcal{F}_i = (\bigoplus \mathcal{G}_i)^a\) par le lemme cité, ce qui donne la conclusion.

Preuve de (2). Soit \(\mathcal{I} \to \QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Écrivons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{G}_i^a\) ; on obtient ainsi un diagramme \(\mathcal{I} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Alors \(\colim \mathcal{F}_i = (\colim \mathcal{G}_i)^a\) par le lemme cité, ce qui donne la conclusion.

Preuve de (3). Soit \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) une flèche de \(\QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Écrivons \(a = b^a\) pour un morphisme \(b : \mathcal{G} \to \mathcal{G}'\) de modules quasi-cohérents sur \(S\). Par le lemme cité, on a \(\Coker(a) = \Coker(b)^a\) (car un conoyau est une colimite), d’où le résultat.

Preuve de (4). Écrivons \(\mathcal{F}_1 = \mathcal{G}_1^a\) et \(\mathcal{F}_3 = \mathcal{G}_3^a\), avec \(\mathcal{G}_i\) quasi-cohérent sur \(S\). On conclut par le Lemme 06VE, partie (10).

Preuve de (5). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) dans \(\QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{G}^a\) et \(\mathcal{F}' = (\mathcal{G}')^a\), avec \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{G}'\) quasi-cohérents sur \(S\). Par le lemme cité, on a \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}' = (\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{G}')^a\), d’où la conclusion.

Preuve de (6). Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{H}^a\) pour un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. D’après le lemme 05VG, le module \(\mathcal{H}\) est localement libre de rang fini. La question est locale sur \(S\) pour la topologie de Zariski (détails omis), de sorte que l’on peut supposer \(\mathcal{H} = \mathcal{O}_S^{\oplus n}\) libre de rang fini. Alors \(\mathcal{F} = \mathcal{O}^{\oplus n}\) et \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \mathcal{G}^{\oplus n}\) est quasi-cohérent.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des modules quasi-cohérents sur \((\Sch/S)_\tau\), pour l’une des topologies \(\tau\) considérées dans le lemme 0GNC. En général, \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) n’est pas quasi-cohérent, même si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie. Prenons en effet \(S = \Spec(\mathbf{Z})\), \(\mathcal{F} = \Coker(2 : \mathcal{O} \to \mathcal{O})\) et \(\mathcal{G} = \mathcal{O}\). Alors \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \mathcal{O}[2]\) est le sous-faisceau de \(2\)-torsion de \(\mathcal{O}\), qui n’est pas quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma.

1. La catégorie \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\) admet des colimites, et celles-ci coïncident avec les colimites dans les catégories \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{Zar}, \mathcal{O})\), \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\etale, \mathcal{O})\) et \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\).

2. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\), les produits tensoriels \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) calculés dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{Zar}, \mathcal{O})\), \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\etale, \mathcal{O})\) ou \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\) coïncident, et leur valeur commune est un objet de \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\).

3. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\), avec \(\mathcal{F}\) localement libre de rang fini (pour la topologie fppf, ou, de manière équivalente, pour la topologie étale, ou encore pour la topologie de Zariski), les Hom internes \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) calculés dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{Zar}, \mathcal{O})\), \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\etale, \mathcal{O})\) ou \(\textit{Mod}((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\) coïncident, et leur valeur commune est un objet de \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\).

Démonstration

Ce lemme rassemble les résultats précédents sous une forme légèrement différente. Tout d’abord, le Lemme 0GNC montre déjà que le résultat de chacune des constructions (1), (2) et (3) appartient à \(\QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Il reste, dans chaque cas, à montrer que ce résultat ne dépend pas de la topologie utilisée. Le point essentiel est que l’équivalence \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \QCoh((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\), de la proposition 03DX, est donnée par la même formule, indépendamment du choix de la topologie \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf\}\).

Preuve de (1). Soit \(\mathcal{I} \to \QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Écrivons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{G}_i^a\) ; on obtient ainsi un diagramme \(\mathcal{I} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Alors \(\colim \mathcal{F}_i = (\colim \mathcal{G}_i)^a\) dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf\}\), par le lemme 06VE. Cela prouve (1).

Preuve de (2). Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{H}^a\) et \(\mathcal{G} = (\mathcal{I})^a\), avec \(\mathcal{H}\) et \(\mathcal{I}\) quasi-cohérents sur \(S\). Alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} = (\mathcal{H} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I})^a\) dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf\}\), par le lemme 06VE. Cela prouve (2).

Preuve de (3). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh((\Sch/S)_{fppf}, \mathcal{O})\). Écrivons \(\mathcal{F} = \mathcal{H}^a\), avec \(\mathcal{H}\) quasi-cohérent sur \(S\). D’après le lemme 05VG, on a \[\begin{align*} &\mathcal{F}\text{ est localement libre de rang fini} \\ &\qquad\text{pour la topologie fppf} \\ & \Leftrightarrow \mathcal{H}\text{ est localement libre de rang fini sur }S \\ & \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{ est localement libre de rang fini} \\ &\qquad\text{pour la topologie \'etale} \\ & \Leftrightarrow \mathcal{H}\text{ est localement libre de rang fini sur }S \\ & \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{ est localement libre de rang fini} \\ &\qquad\text{pour la topologie de Zariski} \end{align*}\] Cela explique la parenthèse de la partie (3). Si ces conditions équivalentes sont satisfaites, alors \(\mathcal{H}\) est localement libre de rang fini. La construction de \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) dans Modules sur les sites, section 04TT, ne dépend que de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme préfaisceaux de modules ; seul le fait que le résultat \(\SheafHom\) soit un faisceau dépend du fait que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient eux-mêmes des faisceaux.

Modules quasi-cohérents et schémas affines

Soit \(S\) un schéma⁷. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Rappelons que \((\textit{Aff}/S)_\tau\) est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\tau\) formée des objets affines, munie de la structure de site pour laquelle les recouvrements sont les recouvrements \(\tau\) standards. D’après les lemmes 020W, 021E, 06VC, 06VD et 021V de Topologies, il existe une équivalence de topos \(g : \Sh((\textit{Aff}/S)_\tau) \to \Sh((\Sch/S)_\tau)\) dont le foncteur d’image inverse est donné par restriction. Rappelons que \(\mathcal{O}\) désigne le faisceau structural sur \((\Sch/S)_\tau\) et notons, provisoirement et avec toute la précision voulue, \(\mathcal{O}_{\textit{Aff}}\) la restriction de \(\mathcal{O}\) à \((\textit{Aff}/S)_\tau\). On obtient alors une équivalence [0GZU]\[\begin{equation} (\Sh((\textit{Aff}/S)_\tau), \mathcal{O}_{\textit{Aff}}) \longrightarrow (\Sh((\Sch/S)_\tau), \mathcal{O}) \end{equation}\] de topos annelés. Cela permet également de comparer les modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_{\textit{Aff}}\)-modules sur \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme \(U \to U'\) de \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\), l’application \(\mathcal{F}(U') \otimes_{\mathcal{O}(U')} \mathcal{O}(U) \to \mathcal{F}(U)\) est un isomorphisme ;

2. \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) et un module quasi-cohérent sur le site annelé \(((\textit{Aff}/S)_{Zar}, \mathcal{O}_{\textit{Aff}})\) au sens de Modules sur les sites, définition 03DL ;

3. la même condition que (2) pour la topologie étale ;

4. la même condition que (2) pour la topologie lisse ;

5. la même condition que (2) pour la topologie syntomique ;

6. la même condition que (2) pour la topologie fppf ;

7. \(\mathcal{F}\) correspond à un module quasi-cohérent sur \((\Sch/S)_{Zar}\), \((\Sch/S)_\etale\), \((\Sch/S)_{smooth}\), \((\Sch/S)_{syntomic}\) ou \((\Sch/S)_{fppf}\) par l’équivalence (0GZU) ;

8. \(\mathcal{F}\) provient d’un unique \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) par le procédé décrit à la section 03DR.

Démonstration

La notion de module quasi-cohérent étant intrinsèque (Modules sur les sites, lemme 03DM), l’équivalence (0GZU) induit une équivalence entre les catégories de modules quasi-cohérents. La proposition 03DX affirme que la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(\Sch/S\) est indépendante de la topologie choisie, et que (8) équivaut à (7). Les conditions (2)–(8) sont donc toutes équivalentes.

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (2)–(8), et soit \(\mathcal{G}\) comme en (8). Soit \(h : U \to U' \to S\) un morphisme de \(\textit{Aff}/S\). Notons \(f : U \to S\) et \(f' : U' \to S\) les morphismes structuraux, de sorte que \(f = f' \circ h\). On a \(\mathcal{F}(U') = \Gamma(U', (f')^*\mathcal{G})\) et \(\mathcal{F}(U) = \Gamma(U, f^*\mathcal{G}) = \Gamma(U, h^*(f')^*\mathcal{G})\). La condition (1) résulte donc du lemme 01I9 de Schémas.

Supposons (1). Pour achever la preuve, il suffit d’établir (2). Soit \(U\) un objet de \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\). Écrivons \(U = \Spec(R)\). Un recouvrement ouvert standard \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) est donné par \(U_i = D(f_i)\), où les éléments \(f_1, \ldots, f_n \in R\) engendrent l’idéal unité de \(R\). La propriété (1) donne \[\mathcal{F}(U_i) = \mathcal{F}(U) \otimes_R R_{f_i} = \mathcal{F}(U)_{f_i}\] et \[\mathcal{F}(U_i \cap U_j) = \mathcal{F}(U) \otimes_R R_{f_if_j} = \mathcal{F}(U)_{f_if_j}\] Le lemme 00EK d’Algèbre montre alors que \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\). Choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} R \longrightarrow \mathcal{F}(U) \longrightarrow 0\] par des \(R\)-modules libres. La propriété (1) et l’exactitude à droite du produit tensoriel montrent que, pour tout morphisme \(U' \to U\) dans \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), on obtient une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}_{Aff}(U') \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}_{Aff}(U') \longrightarrow \mathcal{F}(U') \longrightarrow 0\] Autrement dit, la restriction de \(\mathcal{F}\) à la catégorie localisée \((\textit{Aff}/S)_{Zar}/U\) admet une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}_{Aff}|_{(\textit{Aff}/S)_{Zar}/U} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}_{Aff}|_{(\textit{Aff}/S)_{Zar}/U} \longrightarrow \mathcal{F}|_{(\textit{Aff}/S)_{Zar}/U} \longrightarrow 0\] Malgré cette notation peu élégante, cela achève la preuve.

Poursuivons la discussion commencée dans l’introduction de cette section. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale\}\). Rappelons que \(S_{affine, \tau}\) est la sous-catégorie pleine de \(S_\tau\) formée des objets affines, munie de la structure de site pour laquelle les recouvrements sont les recouvrements \(\tau\) standards. Voir les définitions 020T et 021B de Topologies. D’après les lemmes 0F1B, respectivement 04HR de Topologies, il existe une équivalence de topos \(g : \Sh(S_{affine, \tau}) \to \Sh(S_\tau)\), dont le foncteur d’image inverse est donné par restriction. Rappelons que \(\mathcal{O}\) désigne le faisceau structural sur \(S_\tau\) et notons, provisoirement et avec toute la précision voulue, \(\mathcal{O}_{affine}\) la restriction de \(\mathcal{O}\) à \(S_{affine, \tau}\). On obtient alors une équivalence [0GZW]\[\begin{equation} (\Sh(S_{affine, \tau}), \mathcal{O}_{affine}) \longrightarrow (\Sh(S_\tau), \mathcal{O}) \end{equation}\] de topos annelés. Cela permet également de comparer les modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale\}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_{affine}\)-modules sur \(S_{affine, \tau}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme \(U \to U'\) de \(S_{affine, \tau}\), l’application \(\mathcal{F}(U') \otimes_{\mathcal{O}(U')} \mathcal{O}(U) \to \mathcal{F}(U)\) est un isomorphisme ;

2. \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(S_{affine, \tau}\) et un module quasi-cohérent sur le site annelé \((S_{affine, \tau}, \mathcal{O}_{affine})\) au sens de Modules sur les sites, définition 03DL ;

3. \(\mathcal{F}\) correspond à un module quasi-cohérent sur \(S_\tau\) par l’équivalence (0GZW) ;

4. \(\mathcal{F}\) provient d’un unique \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) par le procédé décrit à la section 03DR.

Démonstration

Démontrons l’énoncé dans le cas de la topologie étale.

Supposons (1). Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un faisceau, soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement de \(S_{affine, \etale}\). La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{U}\), compte tenu de notre hypothèse sur \(\mathcal{F}\), se ramène à montrer que \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{O}(U_i) \to \prod \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{O}(U_i \times_U U_j)\] est exacte. En effet, \(\mathcal{O}(U) \to \prod \mathcal{O}(U_i)\) est fidèlement plat, par le lemme 03FI et parce que les recouvrements de \(S_{affine, \etale}\) sont, par définition, les recouvrements étales standards ; on peut donc appliquer le lemme 023M. Montrons ensuite que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(S_{affine, \etale}\). Pour \(U\) dans \(S_{affine, \etale}\), posons \(R = \mathcal{O}(U)\) et choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} R \longrightarrow \mathcal{F}(U) \longrightarrow 0\] par des \(R\)-modules libres. La propriété (1) et l’exactitude à droite du produit tensoriel montrent que, pour tout morphisme \(U' \to U\) dans \(S_{affine, \etale}\), on obtient une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}(U') \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}(U') \longrightarrow \mathcal{F}(U') \longrightarrow 0\] Autrement dit, la restriction de \(\mathcal{F}\) à la catégorie localisée \(S_{affine, \etale}/U\) admet une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}_{affine}|_{S_{affine, \etale}/U} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}_{affine}|_{S_{affine, \etale}/U} \longrightarrow \mathcal{F}|_{S_{affine, \etale}/U} \longrightarrow 0\] comme il le faut pour montrer que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Malgré cette notation peu élégante, nous avons ainsi démontré que (1) implique (2).

La notion de module quasi-cohérent étant intrinsèque (Modules sur les sites, lemme 03DM), l’équivalence (0GZW) induit une équivalence entre les catégories de modules quasi-cohérents. Les conditions (2) et (3) sont donc équivalentes.

L’équivalence de (3) et (4) résulte de la proposition 03DX.

Supposons (4) et démontrons (1). Soit \(\mathcal{G}\) comme en (4). Soit \(h : U \to U' \to S\) un morphisme de \(S_{affine, \etale}\). Notons \(f : U \to S\) et \(f' : U' \to S\) les morphismes structuraux, de sorte que \(f = f' \circ h\). On a \(\mathcal{F}(U') = \Gamma(U', (f')^*\mathcal{G})\) et \(\mathcal{F}(U) = \Gamma(U, f^*\mathcal{G}) = \Gamma(U, h^*(f')^*\mathcal{G})\). La condition (1) résulte donc du lemme 01I9 de Schémas.

Nous omettons la démonstration dans le cas de la topologie de Zariski.

Modules parasites

Les modules parasites sont ceux qui deviennent nuls lorsqu’on les restreint aux schémas plats sur le schéma de base. Voici la définition précise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\).

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est parasite⁸ si, pour tout morphisme plat \(U \to S\), on a \(\mathcal{F}(U) = 0\).

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est parasite pour la topologie \(\tau\) si, pour tout recouvrement \(\tau\), \(\{U_i \to S\}_{i \in I}\), on a \(\mathcal{F}(U_i) = 0\) pour tout \(i\).

Si \(\tau = fppf\), cela signifie que \(\mathcal{F}|_{U_{Zar}} = 0\) chaque fois que \(U \to S\) est plat et localement de présentation finie ; les autres cas sont analogues.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\).

1. Si \(\mathcal{G}\) est parasite pour la topologie \(\tau\), alors \(H^p_\tau(U, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(U\) ouvert dans \(S\), resp. étale sur \(S\), resp. lisse sur \(S\), resp. syntomique sur \(S\), resp. plat et localement de présentation finie sur \(S\).

2. Si \(\mathcal{G}\) est parasite, alors \(H^p_\tau(U, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(U\) plat sur \(S\).

Démonstration

Démontrons-le lorsque \(\tau = fppf\) ; les autres cas se démontrent exactement de la même manière. L’hypothèse signifie que \(\mathcal{G}(U) = 0\) pour tout \(U \to S\) plat et localement de présentation finie. Appliquons le lemme 03F9 de Cohomologie sur les sites au sous-ensemble \(\mathcal{B} \subset \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) formé des \(U \to S\) plats et localement de présentation finie, et à la collection \(\text{Cov}\) de tous les recouvrements fppf des éléments de \(\mathcal{B}\).

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Pour tout \(\mathcal{O}\)-module parasite sur \((\Sch/T)_\tau\), l’image directe \(f_*\mathcal{F}\) et les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules parasites sur \((\Sch/S)_\tau\).

Démonstration

Rappelons que \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \mapsto H^i((\Sch/U \times_S T)_\tau, \mathcal{F})\] voir le lemme 072W de Cohomologie sur les sites. Si \(U \to S\) est plat, alors \(U \times_S T \to T\) est plat par changement de base. Le groupe affiché est donc nul par le lemme 0755. Si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement \(\tau\), alors \(U_i \times_S T \to T\) est également plat. Il est par conséquent clair que le faisceau associé au préfaisceau affiché est nul sur les schémas \(U\) plats sur \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale\}\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_{fppf}\) tel que

1. \(\mathcal{G}|_{S_\tau}\) est quasi-cohérent ;

2. pour tout morphisme plat et localement de présentation finie \(g : U \to S\), l’application canonique \(g_{\tau, small}^*(\mathcal{G}|_{S_\tau}) \to \mathcal{G}|_{U_\tau}\) est un isomorphisme.

Alors \(H^p(U, \mathcal{G}) = H^p(U, \mathcal{G}|_{U_\tau})\) pour tout \(U\) plat et localement de présentation finie sur \(S\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) l’image inverse de \(\mathcal{G}|_{S_\tau}\) sur le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\). Remarquons que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Il existe une application de comparaison canonique \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) qui, en vertu des hypothèses (1) et (2), induit un isomorphisme \(\mathcal{F}|_{U_\tau} \to \mathcal{G}|_{U_\tau}\) pour tout \(g : U \to S\) plat et localement de présentation finie. Ainsi, dans les suites exactes courtes \[0 \to \Ker(\varphi) \to \mathcal{F} \to \Im(\varphi) \to 0\] et \[0 \to \Im(\varphi) \to \mathcal{G} \to \Coker(\varphi) \to 0\] les faisceaux \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) sont parasites pour la topologie fppf. Le lemme 0755 montre donc que \(H^p(U, \mathcal{F}) \to H^p(U, \mathcal{G})\) est un isomorphisme lorsque \(g : U \to S\) est plat et localement de présentation finie. Le résultat étant vrai pour \(\mathcal{F}\) d’après la proposition 03DW, la preuve est achevée.

Les recouvrements fpqc sont des épimorphismes effectifs universels

Nous appliquons les résultats précédents pour démontrer un résultat intéressant, à savoir le lemme 023Q. D’après Sites, section 00WO, ce lemme implique que les préfaisceaux représentables sur chacun des sites \((\Sch/S)_\tau\) sont des faisceaux pour \(\tau \in \{Zariski, fppf, \etale, smooth, syntomic\}\). Commençons par démontrer un lemme auxiliaire.

Lemme

Pour un schéma \(X\), notons \(|X|\) son ensemble sous-jacent. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \[|X \times_S X| \to |X| \times_{|S|} |X|\] est surjectif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la description des points du produit fibré donnée dans Schémas, lemme 01JT.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas affines. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \[\Gamma(X, \mathcal{F}) = \text{Égalisateur}\left( \xymatrix{ \prod\nolimits_{i \in I} \Gamma(X_i, f_i^*\mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{i, j \in I} \Gamma(X_i \times_X X_j, (f_i \times f_j)^*\mathcal{F}) } \right)\]

2. \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) est un épimorphisme effectif universel (Sites, définition 00WP) dans la catégorie des schémas affines.

Démonstration

Supposons (2) et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons le schéma (Constructions, section 01LQ) \[X' = \underline{\Spec}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F})\] où \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\) est la \(\mathcal{O}_X\)-algèbre dont la multiplication est \((f, s)(f', s') = (ff', fs' + f's)\). Si \(s_i \in \Gamma(X_i, f_i^*\mathcal{F})\) est une section, alors \(s_i\) détermine un unique élément de \[\Gamma(X' \times_X X_i, \mathcal{O}_{X' \times_X X_i}) = \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i}) \oplus \Gamma(X_i, f_i^*\mathcal{F})\] Nous omettons la démonstration de cette égalité. Si \((s_i)_{i \in I}\) appartient à l’égalisateur de (1), alors, en utilisant l’égalité \[\Mor(T, \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] valable pour tout schéma \(T\), on voit que ces sections définissent une famille de morphismes \(h_i : X' \times_X X_i \to \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\) telle que \(h_i \circ \text{pr}_1 = h_j \circ \text{pr}_2\) comme morphismes \((X' \times_X X_i) \times_{X'} (X' \times_X X_j) \to \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\). Puisque nous supposons (2), nous obtenons un morphisme \(h : X' \to \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\) compatible avec les morphismes \(h_i\), qui détermine à son tour un élément \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\). Nous omettons la vérification que \(s\) s’envoie sur \(s_i\) dans \(\Gamma(X_i, f_i^*\mathcal{F})\).

Supposons (1). Soient \(T\) un schéma affine et \(h_i : X_i \to T\) une famille de morphismes telle que \(h_i \circ \text{pr}_1 = h_j \circ \text{pr}_2\) sur \(X_i \times_X X_j\) pour tous \(i, j \in I\). Alors \[\prod h_i^\sharp : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \prod \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\] prend ses valeurs dans l’égalisateur et l’on obtient un homomorphisme d’anneaux \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) en appliquant l’hypothèse du lemme à \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\). Cet homomorphisme d’anneaux correspond à un morphisme \(h : X \to T\) tel que \(h_i = h \circ f_i\). Notre famille est donc un épimorphisme effectif.

Soit \(p : Y \to X\) un morphisme de schémas affines. Nous allons montrer que les changements de base \(g_i : Y_i \to Y\) des \(f_i\) forment un épimorphisme effectif, en appliquant le résultat du paragraphe précédent. En effet, si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent, alors \[\Gamma(Y, \mathcal{G}) = \Gamma(X, p_*\mathcal{G}),\quad \Gamma(Y_i, g_i^*\mathcal{G}) = \Gamma(X, f_i^*p_*\mathcal{G}),\] et \[\Gamma(Y_i \times_Y Y_j, (g_i \times g_j)^*\mathcal{G}) = \Gamma(X, (f_i \times f_j)^*p_*\mathcal{G})\] par la formule triviale de changement de base (Cohomologie des schémas, lemme 02KG). Ainsi, l’assertion (1) du lemme vaut pour la famille \(g_i\).

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas.

1. Si la famille est un épimorphisme effectif universel dans la catégorie des schémas, alors \(\coprod f_i\) est surjectif.

2. Si \(X\) et les \(X_i\) sont affines et si la famille est un épimorphisme effectif universel dans la catégorie des schémas affines, alors \(\coprod f_i\) est surjectif.

Démonstration

Omis. Indication : effectuer le changement de base par \(\Spec(\kappa(x)) \to X\) pour voir que tout \(x \in X\) doit appartenir à l’image.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas. Si, pour tout morphisme \(Y \to X\) avec \(Y\) affine, la famille des changements de base \(g_i : Y_i \to Y\) forme un épimorphisme effectif, alors la famille des \(f_i\) est un épimorphisme effectif universel dans la catégorie des schémas.

Démonstration

Soit \(Y \to X\) un morphisme de schémas. Il faut montrer que les changements de base \(g_i : Y_i \to Y\) forment un épimorphisme effectif. Pour cela, supposons donnés un schéma \(T\) et des morphismes \(h_i : Y_i \to T\) tels que \(h_i \circ \text{pr}_1 = h_j \circ \text{pr}_2\) sur \(Y_i \times_Y Y_j\). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup V_\alpha\). Notons \(V_{\alpha, i}\) l’image inverse de \(V_\alpha\) dans \(Y_i\). Alors \(V_{\alpha, i} \to V_\alpha\) est le changement de base de \(f_i\) par \(V_\alpha \to X\). Par hypothèse, la famille des restrictions \(h_i|_{V_{\alpha, i}}\) provient donc d’un morphisme de schémas \(h_\alpha : V_\alpha \to T\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que ces morphismes coïncident sur les intersections et définissent le morphisme voulu \(Y \to T\). Voir la discussion de Schémas, section 01JA.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas affines. Supposons que l’hypothèse équivalente du lemme 0EUA soit satisfaite et que, de plus, pour tout morphisme de schémas affines \(Y \to X\), l’application \[\coprod X_i \times_X Y \longrightarrow Y\] soit une application submersive d’espaces topologiques (Topologie, définition 0406). Alors notre famille de morphismes est un épimorphisme effectif universel dans la catégorie des schémas.

Démonstration

D’après le lemme 0EUC, il suffit d’effectuer sur notre famille le changement de base par \(Y \to X\), avec \(Y\) affine. Posons \(Y_i = X_i \times_X Y\). Soient \(T\) un schéma et \(h_i : Y_i \to T\) une famille de morphismes tels que \(h_i \circ \text{pr}_1 = h_j \circ \text{pr}_2\) sur \(Y_i \times_Y Y_j\). Remarquons que l’ensemble \(Y\) est le coégalisateur des deux applications de \(\coprod Y_i \times_Y Y_j\) vers \(\coprod Y_i\). La surjectivité résulte du cas affine du lemme 0EUB, et l’injectivité du lemme 02KI. Il existe donc une application entre ensembles sous-jacents \(h : Y \to T\) compatible avec les applications \(h_i\). La seconde condition du lemme montre que \(h\) est continue. Ainsi, si \(y \in Y\) et si \(U \subset T\) est un voisinage ouvert affine de \(h(y)\), on peut trouver un ouvert affine \(V \subset Y\) tel que \(h(V) \subset U\). En posant \(V_i = Y_i \times_Y V = X_i \times_X V\), on peut appliquer le résultat démontré au lemme 0EUA pour voir que \(h|_V : V \to U \subset T\) provient d’un unique morphisme de schémas affines \(h_V : V \to U\) qui coïncide avec \(h_i|_{V_i}\) comme morphisme de schémas pour tout \(i\). En recollant ces \(h_V\) (voir Schémas, section 01JA), on obtient le morphisme voulu \(Y \to T\).

Lemme

Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. Supposons que, pour chaque \(i\), on dispose d’un ouvert \(W_i \subset T_i\) tel que, pour tous \(i, j \in I\), \(\text{pr}_0^{-1}(W_i) = \text{pr}_1^{-1}(W_j)\) comme ouverts de \(T_i \times_T T_j\). Alors il existe un unique ouvert \(W \subset T\) tel que \(W_i = f_i^{-1}(W)\) pour tout \(i\).

Démonstration

Appliquons le lemme 02KI à l’application \(\coprod_{i \in I} T_i \to T\). Il en résulte qu’il existe une partie \(W \subset T\) telle que \(W_i = f_i^{-1}(W)\) pour tout \(i\), à savoir \(W = \bigcup f_i(W_i)\). Pour voir que \(W\) est ouvert, on peut travailler localement pour la topologie de Zariski sur \(T\). On peut donc supposer que \(T\) est affine. D’après Topologies, définition 022B, on peut choisir un recouvrement fpqc standard \(\{g_j : V_j \to T\}_{j \in J}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\). Soient \(\alpha : J \to I\) et \(h_j : V_j \to T_{\alpha(j)}\) comme dans Sites, définition 00VT. Alors \(g_j^{-1}(W) = h_j^{-1}(W_{\alpha(j)})\). On peut donc supposer que \(\{f_i : T_i \to T\}\) est un recouvrement fpqc standard. Dans ce cas, on applique Morphismes, lemme 02JY, au morphisme \(\coprod T_i \to T\) pour conclure que \(W\) est ouvert.

Lemme

Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fpqc, voir Topologies, définition 022B. Alors \(\{T_i \to T\}\) est un épimorphisme effectif universel dans la catégorie des schémas, voir Sites, définition 00WP. Autrement dit, tout foncteur représentable sur la catégorie des schémas vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc, voir Topologies, définition 022G.

Démonstration

Soit \(S\) un schéma. Il faut montrer l’assertion suivante : étant donnés des morphismes \(\varphi_i : T_i \to S\) tels que \(\varphi_i|_{T_i \times_T T_j} = \varphi_j|_{T_i \times_T T_j}\), il existe un unique morphisme \(T \to S\) qui se restreint à \(\varphi_i\) sur chaque \(T_i\). Autrement dit, il faut montrer que le foncteur \(h_S = \Mor_{\Sch}( - , S)\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Si \(\{T_i \to T\}\) est un recouvrement de Zariski, cela résulte de Schémas, lemme 01JB. Topologies, lemme 022H, nous ramène donc au cas d’un recouvrement \(\{X \to Y\}\) donné par un unique morphisme plat surjectif de schémas affines.

Première démonstration. Le lemme 03DT donne la condition de faisceau pour les modules quasi-cohérents relativement à \(\{X \to Y\}\). D’après le lemme 03N0, le morphisme \(X \to Y\) est universellement submersif. On peut donc appliquer le lemme 0EUD pour voir que \(\{X \to Y\}\) est un épimorphisme effectif universel.

Deuxième démonstration. Soit \(R \to A\) l’homomorphisme d’anneaux fidèlement plat correspondant à notre morphisme plat surjectif \(\pi : X \to Y\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme tel que \(f \circ \text{pr}_1 = f \circ \text{pr}_2\) comme morphismes \(X \times_Y X = \Spec(A \otimes_R A) \to S\). D’après le lemme 02KI, on voit que, comme application entre ensembles sous-jacents, \(f\) est de la forme \(f = g \circ \pi\) pour une application ensembliste \(g : \Spec(R) \to S\). D’après Morphismes, lemme 02JY, et puisque \(f\) est continue, l’application \(g\) est continue.

Fixons \(y \in Y = \Spec(R)\). Choisissons un ouvert affine \(U \subset S\) contenant \(g(y)\), disons \(U = \Spec(B)\). D’après ce qui précède, on peut choisir \(r \in R\) tel que \(y \in D(r) \subset g^{-1}(U)\). La restriction de \(f\) à \(\pi^{-1}(D(r))\), à valeurs dans \(U\), correspond à un homomorphisme d’anneaux \(B \to A_r\). Les deux homomorphismes d’anneaux induits \(B \to A_r \otimes_{R_r} A_r = (A \otimes_R A)_r\) sont égaux par hypothèse sur \(f\). Remarquons que \(R_r \to A_r\) est fidèlement plat. D’après le lemme 023M, l’égalisateur des deux flèches \(A_r \to A_r \otimes_{R_r} A_r\) est \(R_r\). On en conclut que \(B \to A_r\) se factorise de manière unique par un homomorphisme \(B \to R_r\). Celui-ci donne à son tour un morphisme de schémas \(D(r) \to U \to S\), voir Schémas, lemme 01I1.

Qu’avons-nous démontré jusqu’ici ? Nous avons montré que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), il existe un ouvert affine standard \(D(r) \subset \Spec(R)\) tel que le morphisme \(f|_{\pi^{-1}(D(r))} : \pi^{-1}(D(r)) \to S\) se factorise de manière unique par un certain morphisme de schémas \(D(r) \to S\). Nous omettons la vérification que ces morphismes se recollent pour donner le morphisme voulu \(\Spec(R) \to S\).

Lemme

Considérons des schémas \(X, Y, Z\), des morphismes \(a, b : X \to Y\) et un morphisme \(c : Y \to Z\) tel que \(c \circ a = c \circ b\). Posons \(d = c \circ a = c \circ b\). S’il existe un recouvrement fpqc \(\{Z_i \to Z\}\) tel que

1. pour tout \(i\), le morphisme \(Y \times_{c, Z} Z_i \to Z_i\) soit le coégalisateur de \((a, 1) : X \times_{d, Z} Z_i \to Y \times_{c, Z} Z_i\) et de \((b, 1) : X \times_{d, Z} Z_i \to Y \times_{c, Z} Z_i\), et

2. pour tous \(i\) et \(i'\), le morphisme \(Y \times_{c, Z} (Z_i \times_Z Z_{i'}) \to (Z_i \times_Z Z_{i'})\) soit le coégalisateur de \((a, 1) : X \times_{d, Z} (Z_i \times_Z Z_{i'}) \to Y \times_{c, Z} (Z_i \times_Z Z_{i'})\) et de \((b, 1) : X \times_{d, Z} (Z_i \times_Z Z_{i'}) \to Y \times_{c, Z} (Z_i \times_Z Z_{i'})\),

alors \(c\) est le coégalisateur de \(a\) et \(b\).

Démonstration

En effet, pour un schéma \(T\), la donnée d’un morphisme \(Z \to T\) équivaut à celle d’une famille de morphismes \(Z_i \to T\) qui coïncident sur les intersections, d’après le lemme 023Q.

Descente des propriétés de finitude et de lissité des morphismes

Dans cette section, nous montrons que plusieurs propriétés des morphismes (être lisse, être localement de présentation finie, etc.) se descendent bien par des morphismes fidèlement plats. Nous commençons par une version algébrique. (Le lecteur “noethérien” devrait consulter le lemme 0367 plutôt que le lemme suivant.)

Lemme

Soient \(R \to A \to B\) des homomorphismes d’anneaux. Supposons que \(R \to B\) soit de présentation finie et que \(A \to B\) soit fidèlement plat et de présentation finie. Alors \(R \to A\) est de présentation finie.

Démonstration

Considérons l’algèbre \(C = B \otimes_A B\) munie des deux homomorphismes \(p, q : B \to C\) donnés par \(p(b) = b \otimes 1\) et \(q(b) = 1 \otimes b\). Bien entendu, les deux composés \(A \to B \to C\) sont égaux. Comme \(p : B \to C\) est plat et de présentation finie (c’est le changement de base de \(A \to B\)), l’homomorphisme d’anneaux \(R \to C\) est de présentation finie (comme composé de \(R \to B \to C\)).

Nous allons utiliser le critère d’Algèbre, lemme 00QO, pour montrer que \(R \to A\) est de présentation finie. Soit \(S\) une \(R\)-algèbre quelconque et supposons que \(S = \colim_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda\) soit écrite comme une colimite filtrante de \(R\)-algèbres. Soit \(A \to S\) un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Il faut montrer que \(A \to S\) se factorise par l’une des \(S_\lambda\). Considérons les anneaux \(B' = S \otimes_A B\) et \(C' = S \otimes_A C = B' \otimes_S B'\). Puisque \(B\) est fidèlement plat et de présentation finie sur \(A\), l’anneau \(B'\) est lui aussi fidèlement plat et de présentation finie sur \(S\). D’après Algèbre, lemme 02JO, partie (2), appliqué au couple \((S \to B', B')\) et au système \((S_\lambda)\), il existe un \(\lambda_0 \in \Lambda\) et une \(S_{\lambda_0}\)-algèbre plate et de présentation finie \(B_{\lambda_0}\) telle que \(B' = S \otimes_{S_{\lambda_0}} B_{\lambda_0}\). Pour \(\lambda \geq \lambda_0\), posons \(B_\lambda = S_\lambda \otimes_{S_{\lambda_0}} B_{\lambda_0}\) et \(C_\lambda = B_\lambda \otimes_{S_\lambda} B_\lambda\).

Nous interrompons le fil de l’argument pour montrer que \(S_\lambda \to B_\lambda\) est fidèlement plat pour \(\lambda\) assez grand. (Cela devrait en réalité faire l’objet d’un lemme distinct ailleurs, peut-être dans le chapitre sur les limites.) Comme \(\Spec(B_{\lambda_0}) \to \Spec(S_{\lambda_0})\) est plat et de présentation finie, il est ouvert (voir Morphismes, lemme 01UA). Soit \(I \subset S_{\lambda_0}\) un idéal tel que \(V(I) \subset \Spec(S_{\lambda_0})\) soit le complémentaire de l’image. Remarquons que la formation de l’image commute au changement de base. Puisque \(\Spec(B') \to \Spec(S)\) est surjectif et que \(B' = B_{\lambda_0} \otimes_{S_{\lambda_0}} S\), on a \(IS = S\). Il existe donc \(\lambda \geq \lambda_0\) tel que \(IS_{\lambda} = S_\lambda\). Pour cet indice et tous les indices \(\lambda\) plus grands, le morphisme \(\Spec(B_\lambda) \to \Spec(S_\lambda)\) est surjectif.

Par analogie avec la notation du premier paragraphe de la démonstration, notons \(p_\lambda, q_\lambda : B_\lambda \to C_\lambda\) les deux homomorphismes canoniques. Alors \(B' = \colim_{\lambda \geq \lambda_0} B_\lambda\) et \(C' = \colim_{\lambda \geq \lambda_0} C_\lambda\). Comme \(B\) et \(C\) sont de présentation finie sur \(R\), il existe (en appliquant plusieurs fois Algèbre, lemme 00QO) un \(\lambda \geq \lambda_0\) et des homomorphismes de \(R\)-algèbres \(B \to B_\lambda\), \(C \to C_\lambda\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ C \ar[rr] & & C_\lambda \\ B \ar[rr] \ar@<1ex>[u]^-p \ar@<-1ex>[u]_-q & & B_\lambda \ar@<1ex>[u]^-{p_\lambda} \ar@<-1ex>[u]_-{q_\lambda} }\] soit commutatif. Cela signifie que \(A \to B \to B_\lambda\) prend ses valeurs dans l’égalisateur de \(p_\lambda\) et \(q_\lambda\). D’après le lemme 023M, \(S_\lambda\) est l’égalisateur de \(p_\lambda\) et \(q_\lambda\). On obtient ainsi l’homomorphisme d’anneaux voulu \(A \to S_\lambda\), ce qui conclut.

Voici une version plus simple qui traite de la propriété d’être de type fini.

Lemme

Soient \(R \to A \to B\) des homomorphismes d’anneaux. Supposons que \(R \to B\) soit de type fini et que \(A \to B\) soit fidèlement plat et de présentation finie. Alors \(R \to A\) est de type fini.

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 034Y, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar@{=}[d] & A_0 \ar[d] \ar[r] & B_0 \ar[d] \\ R \ar[r] & A \ar[r] & B }\] où \(R \to A_0\) est de présentation finie, \(A_0 \to B_0\) est fidèlement plat et de présentation finie, et \(B = A \otimes_{A_0} B_0\). Puisque \(R \to B\) est de type fini par hypothèse, on peut adjoindre quelques éléments à \(A_0\) et supposer que l’homomorphisme \(B_0 \to B\) est surjectif. Dans ce cas, comme \(A_0 \to B_0\) est fidèlement plat et que \[(A_0 \to A) \otimes_{A_0} B_0 \cong (B_0 \to B)\] est surjectif, \(A_0 \to A\) est lui aussi surjectif, ce qui conclut.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie, et que \(p\) soit localement de présentation finie (resp. localement de type fini). Alors \(q\) est localement de présentation finie (resp. localement de type fini).

Démonstration

La question est locale sur \(S\) et sur \(Y\). On peut donc supposer que \(S\) et \(Y\) sont affines. Puisque \(f\) est plat et localement de présentation finie, \(f\) est ouvert (Morphismes, lemme 01UA). Comme \(Y\) est quasi-compact, il existe donc un nombre fini d’ouverts affines \(X_i \subset X\) tels que \(Y = \bigcup f(X_i)\). On peut manifestement remplacer \(X\) par \(\coprod X_i\) et supposer ainsi que \(X\) est lui aussi affine. Dans ce cas, le lemme équivaut au lemme 02KK (resp. au lemme 0367) ci-dessus.

Nous allons nous en servir pour améliorer certains des résultats antérieurs sur les morphismes.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif et syntomique (resp. lisse, resp. étale),

2. \(p\) soit syntomique (resp. lisse, resp. étale).

Alors \(q\) est syntomique (resp. lisse, resp. étale).

Démonstration

Combiner Morphismes, lemmes 02K3, 02K5 et 02K6, avec le lemme 02KL ci-dessus.

En fait, on peut renforcer ce résultat comme suit.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie,

2. \(p\) soit lisse (resp. étale).

Alors \(q\) est lisse (resp. étale).

Démonstration

Supposons (1) et que \(p\) soit lisse. Le lemme 02KL montre que \(q\) est localement de présentation finie. Morphismes, lemme 02JZ, montre que \(q\) est plat. Il suffit donc de montrer que les fibres de \(q\) sont lisses, voir le lemme 01V8 de Morphismes. Appliquons le lemme 05AX de Variétés aux morphismes plats surjectifs \(X_s \to Y_s\), pour \(s \in S\), et concluons. Nous omettons la démonstration du cas étale.

Remarque

Sous les hypothèses (1), avec \(p\) lisse, du lemme 05B5, le morphisme \(X \to Y\) n’est pas nécessairement lisse. Un contre-exemple est donné par \(S = \Spec(k)\), \(X = \Spec(k[s])\), \(Y = \Spec(k[t])\) et \(f\) défini par \(t \mapsto s^2\). Voir cependant le lemme 05B7 pour des renseignements sur la structure de \(f\).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie,

2. \(p\) soit syntomique.

Alors \(q\) et \(f\) sont tous deux syntomiques.

Démonstration

Le lemme 02KL montre que \(q\) est de présentation finie. Le lemme 02JZ de Morphismes montre que \(q\) est plat. D’après le lemme 01UE de Morphismes, il suffit donc de montrer que les anneaux locaux des fibres de \(Y \to S\) et de \(X \to Y\) sont des anneaux locaux d’intersection complète. Pour cela, nous pouvons prendre la fibre de \(X \to Y \to S\) en un point \(s \in S\) ; autrement dit, nous pouvons supposer que \(S\) est le spectre d’un corps. Choisissons un point \(x \in X\), d’image \(y \in Y\), et considérons l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] C’est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. L’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est d’intersection complète. Nous pouvons donc appliquer le résultat d’Avramov, voir le lemme 09Q7 d’Algèbre à puissances divisées, et conclure que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) et \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) sont tous deux des anneaux d’intersection complète.

Le type de lemme suivant est parfois utile.

Lemme

Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes de schémas. Soit \(P\) l’une des propriétés suivantes des morphismes de schémas : être plat, être localement de type fini, être localement de présentation finie. Supposons que \(X \to Z\) possède la propriété \(P\) et que \(\{X \to Y\}\) puisse être raffiné par un recouvrement fppf de \(Y\). Alors \(Y \to Z\) possède la propriété \(P\).

Démonstration

Soient \(\Spec(C) \subset Z\) un ouvert affine et \(\Spec(B) \subset Y\) un ouvert affine dont l’image est contenue dans \(\Spec(C)\). L’hypothèse sur \(X \to Y\) permet de trouver un recouvrement fppf affine standard \(\{\Spec(B_j) \to \Spec(B)\}\) et des relèvements \(x_j : \Spec(B_j) \to X\). Comme \(\Spec(B_j)\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini d’ouverts affines \(\Spec(A_i) \subset X\) au-dessus de \(\Spec(B)\) tels que l’image de chaque \(x_j\) soit contenue dans la réunion \(\bigcup \Spec(A_i)\). Après avoir remplacé chaque \(\Spec(B_j)\) par un recouvrement de Zariski affine standard, nous pouvons donc supposer que nous disposons d’un recouvrement fppf affine standard \(\{\Spec(B_i) \to \Spec(B)\}\) tel que chaque morphisme \(\Spec(B_i) \to Y\) se factorise par un ouvert affine \(\Spec(A_i) \subset X\) situé au-dessus de \(\Spec(B)\). Autrement dit, nous avons des homomorphismes d’anneaux \(C \to B \to A_i \to B_i\) pour chaque \(i\). Nous pouvons aussi considérer \[C \to B \to A = \prod A_i \to B' = \prod B_i\] et l’homomorphisme d’anneaux \(B \to \prod B_i\) est fidèlement plat et de présentation finie.

Le cas \(P = \text{plat}\). Dans ce cas, nous savons que \(C \to A\) est plat et nous devons montrer que \(C \to B\) est plat. Soit \(N \to N' \to N''\) une suite exacte de \(C\)-modules. Nous voulons montrer que la suite \(N \otimes_C B \to N' \otimes_C B \to N'' \otimes_C B\) est exacte. Notons \(H\) sa cohomologie et \(H'\) celle de la suite \(N \otimes_C B' \to N' \otimes_C B' \to N'' \otimes_C B'\). Comme \(B \to B'\) est plat, nous avons \(H' = H \otimes_B B'\). D’autre part, la suite \(N \otimes_C A \to N' \otimes_C A \to N'' \otimes_C A\) est exacte, donc de cohomologie nulle. Le morphisme \(H \to H'\) est par conséquent nul, puisqu’il se factorise par le module nul. Ainsi \(H' = 0\). Puisque \(B \to B'\) est fidèlement plat, nous concluons que \(H = 0\), comme souhaité.

Le cas \(P = \text{localement de type fini}\). Dans ce cas, nous savons que \(C \to A\) est de type fini et nous devons montrer que \(C \to B\) est de type fini. Puisque \(B \to B'\) est de présentation finie (donc de type fini), l’homomorphisme \(A \to B'\) est de type fini ; voir le lemme 00F4 d’Algèbre. Par conséquent, \(C \to B'\) est de type fini, et nous concluons par le Lemme 0367.

Le cas \(P = \text{localement de présentation finie}\). Dans ce cas, nous savons que \(C \to A\) est de présentation finie et nous devons montrer que \(C \to B\) est de présentation finie. Puisque \(B \to B'\) est de présentation finie et que \(B \to A\) est de type fini, l’homomorphisme \(A \to B'\) est de présentation finie ; voir le lemme 00F4 d’Algèbre. Par conséquent, \(C \to B'\) est de présentation finie, et nous concluons par le Lemme 02KK.

Propriétés locales des schémas

Il arrive souvent que l’on puisse établir qu’une certaine propriété est vérifiée par les membres d’un recouvrement d’un schéma. Dans bien des cas, le schéma possède alors lui aussi cette propriété. Par exemple, si \(S\) est un schéma et si \(f : S' \to S\) est un morphisme plat surjectif tel que \(S'\) soit réduit, alors \(S\) est réduit. On peut le démontrer en considérant les anneaux locaux et en appliquant le lemme 033F d’Algèbre. On dit que la propriété d’être réduit se descend par les morphismes plats surjectifs. Des résultats de ce type sont réunis dans Algèbre, section 033D, et, pour les schémas, dans la section 06QL. Des résultats analogues sur la descente des propriétés de morphismes figurent dans la section 02KJ.

En revanche, il existe des morphismes plats surjectifs \(f : S' \to S\) pour lesquels \(S\) est réduit mais \(S'\) ne l’est pas, par exemple \(\Spec(k[x]/(x^2)) \to \Spec(k)\). La propriété d’être réduit n’est donc pas préservée par les morphismes plats. La propriété d’avoir des corps résiduels infinis est préservée par les morphismes plats (mais ne se descend évidemment pas par les morphismes plats surjectifs). Des résultats de ce type sont réunis dans Algèbre, section 0336.

Enfin, on dit qu’une propriété est locale pour la topologie plate si elle est préservée par les morphismes plats et se descend par les morphismes plats surjectifs. Un exemple assez élémentaire est la propriété d’avoir des corps résiduels d’une caractéristique donnée. Afin de préciser cette notion et de la relier aux diverses topologies sur les schémas, posons la définition formelle suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des schémas. Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] Zariski\}\). On dit que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie \(\tau\) si, pour tout recouvrement pour la topologie \(\tau\), \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) (voir Topologies, section 020M), on a \[S \text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \text{chaque }S_i \text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Bien entendu, puisque les isomorphismes sont toujours des recouvrements, on constate (ou l’on exige) que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(S\) si et seulement si elle est vérifiée par tout schéma \(S'\) isomorphe à \(S\). En fait, si \(\tau = fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] \etale\) ou \(Zariski\), si \(S\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(S' \to S\) est respectivement plat, plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse, étale, ou une immersion ouverte, alors \(S'\) vérifie \(\mathcal{P}\). En effet, on peut toujours compléter \(\{S' \to S\}\) en un recouvrement pour la topologie \(\tau\).

Nous avons les implications suivantes : \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie fpqc \(\Rightarrow\) \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie fppf \(\Rightarrow\) \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie syntomique \(\Rightarrow\) \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse \(\Rightarrow\) \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale \(\Rightarrow\) \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte des lemmes 0216, 0220, 0226, 021N et 022C de Topologies.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des schémas. Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\). Supposons que

1. la propriété soit locale pour la topologie de Zariski,

2. pour tout morphisme de schémas affines \(S' \to S\) qui est plat, plat de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) vaut fpqc, fppf, étale, smooth ou syntomic, la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(S'\) si la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(S\), et

3. pour tout morphisme surjectif de schémas affines \(S' \to S\) qui est plat, plat de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) vaut fpqc, fppf, étale, smooth ou syntomic, la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(S\) si la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(S'\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale sur la base pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Cela résulte presque immédiatement de la définition d’un recouvrement pour la topologie \(\tau\) ; voir les définitions 022B, 021M, 0215, 021Z ou 0225 de Topologies, et les lemmes 022E, 021P, 0218, 0222 ou 0228 de Topologies. Nous omettons les détails.

Remarque

Dans le lemme 0349, si \(\tau = smooth\), on peut supposer, dans la condition (3), que le morphisme est un morphisme lisse standard (surjectif). Il en va de même lorsque \(\tau = syntomic\) ou \(\tau = \etale\).

Propriétés des schémas locales pour la topologie fppf

Dans cette section, nous donnons quelques propriétés de schémas qui sont locales sur la base pour la topologie fppf.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est localement noethérien” est locale pour la topologie fppf.

Démonstration

Nous allons appliquer le lemme 0349. Tout d’abord, la propriété “être localement noethérien” est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte immédiatement de la définition ; voir Propriétés, définition 01OV. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme plat de présentation finie entre schémas affines et si \(S\) est localement noethérien, alors \(S'\) est localement noethérien ; c’est le lemme 01T6 de Morphismes. Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme plat, surjectif et de présentation finie entre schémas affines et si \(S'\) est localement noethérien, alors \(S\) est localement noethérien ; cela résulte du lemme 033E d’Algèbre. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est jacobsonien” est locale pour la topologie fppf.

Démonstration

Nous allons appliquer le Lemme 0349. Tout d’abord, la propriété “être jacobsonien” est locale pour la topologie de Zariski ; c’est Propriétés, Lemme 01P4. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme plat de présentation finie entre schémas affines et si \(S\) est jacobsonien, alors \(S'\) est jacobsonien ; c’est Morphismes, Lemme 02J5. Enfin, supposons que \(f : S' \to S\) soit un morphisme plat, surjectif et de présentation finie entre schémas affines, et que \(S'\) soit jacobsonien ; nous devons montrer que \(S\) est jacobsonien. Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(S' = \Spec(B)\), le morphisme \(S' \to S\) étant donné par \(A \to B\). Alors \(A \to B\) est de présentation finie et fidèlement plat. De plus, l’anneau \(B\) est jacobsonien ; voir Propriétés, Lemme 01P4.

D’après Algèbre, Lemme 034Z, il existe un diagramme \[\xymatrix{ B \ar[rr] & & B' \\ & A \ar[ru] \ar[lu] & }\] tel que \(A \to B'\) soit de présentation finie, fidèlement plat et quasi-fini. En particulier, \(B \to B'\) est de type fini et Algèbre, Proposition 00GB, montre que \(B'\) est jacobsonien. Nous pouvons donc supposer que \(A \to B\) est quasi-fini, en plus d’être fidèlement plat et de présentation finie.

Supposons que \(A\) ne soit pas jacobsonien et cherchons une contradiction. D’après Algèbre, Lemme 034J, il existe un idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset A\) et un élément \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), tels que \(V(\mathfrak p) \cap D(f) = \{\mathfrak p\}\).

On obtient une contradiction comme suit. Choisissons d’abord un idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\) contenant \(\mathfrak p\). Choisissons un idéal premier \(\mathfrak m' \subset B\) au-dessus de \(\mathfrak m\) (il en existe un parce que \(A \to B\) est fidèlement plat ; voir Algèbre, Lemme 00HQ). Comme \(A \to B\) est plat, le théorème de descente, voir Algèbre, Lemme 00HS, fournit un idéal premier \(\mathfrak q \subset \mathfrak m'\) au-dessus de \(\mathfrak p\). En particulier, \(\mathfrak q\) n’est pas maximal. Une nouvelle application d’Algèbre, Lemme 034J, montre donc que l’ensemble \(V(\mathfrak q) \cap D(f)\) est infini (c’est ici que nous utilisons enfin le fait que \(B\) est jacobsonien). Tous les points de \(V(\mathfrak q) \cap D(f)\) ont pour image \(V(\mathfrak p) \cap D(f) = \{\mathfrak p\}\). La fibre au-dessus de \(\mathfrak p\) est donc infinie. Cela contredit le fait que \(A \to B\) est quasi-fini ; voir Algèbre, Lemme 00PM, ou, plus explicitement, Morphismes, Lemme 02NH. Le lemme est ainsi démontré.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“tout ouvert quasi-compact de \(S\) possède un nombre fini de composantes irréductibles” est locale pour la topologie fppf.

Démonstration

Nous allons appliquer le lemme 0349. Tout d’abord, \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie de Zariski. Ensuite, supposons que \(T \to S\) soit un morphisme plat de présentation finie entre schémas affines et que \(S\) possède un nombre fini de composantes irréductibles ; il en va alors de même de \(T\). En effet, comme \(T \to S\) est plat, les points génériques de \(T\) s’envoient sur les points génériques de \(S\) ; voir Morphismes, Lemme 03HV. Il suffit donc de montrer que, pour \(s \in S\), la fibre \(T_s\) possède un nombre fini de points génériques. Or \(T_s\) est un schéma affine de type fini sur \(\kappa(s)\) ; voir Morphismes, Lemme 01T4. Ainsi, \(T_s\) est noethérien et possède un nombre fini de composantes irréductibles (Morphismes, Lemme 01T6, et Propriétés, Lemme 0BA8). Enfin, si \(T \to S\) est un morphisme plat, surjectif et de présentation finie entre schémas affines et si \(T\) possède un nombre fini de composantes irréductibles, il en va de même de \(S\). Cela résulte de Topologie, Lemme 0GM2. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Propriétés des schémas locales pour la topologie syntomique

Dans cette section, nous donnons quelques propriétés de schémas qui sont locales sur la base pour la topologie syntomique.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est localement noethérien et vérifie \((S_k)\)” est locale pour la topologie syntomique.

Démonstration

Nous allons vérifier les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349. Comme un morphisme syntomique est plat de présentation finie (Morphismes, Lemmes 01UL et 01UK), la propriété “être localement noethérien” a déjà été traitée dans la preuve du lemme 034C. Nous l’utiliserons sans autre mention. Tout d’abord, \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte immédiatement de la définition ; voir Cohomologie des schémas, Définition 0341. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme syntomique entre schémas affines, si \(S\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(S'\) vérifie \(\mathcal{P}\). C’est Algèbre, Lemme 0339 (appliquer Morphismes, Lemme 01UD, ainsi qu’Algèbre, Définition 00SL et Lemme 00SB). Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme syntomique surjectif entre schémas affines et si \(S'\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(S\) vérifie \(\mathcal{P}\) ; c’est Algèbre, Lemme 0352. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est de Cohen-Macaulay” est locale pour la topologie syntomique.

Démonstration

Cela résulte du lemme 036A, puisqu’un schéma est de Cohen-Macaulay si et seulement s’il est localement noethérien et vérifie \((S_k)\) pour tout \(k \geq 0\) ; voir Propriétés, Lemme 0342.

Propriétés des schémas locales pour la topologie lisse

Dans cette section, nous donnons quelques propriétés de schémas qui sont locales sur la base pour la topologie lisse.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est réduit” est locale pour la topologie lisse.

Démonstration

Nous allons appliquer le lemme 0349. Tout d’abord, la propriété “être réduit” est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte immédiatement de la définition ; voir Schémas, Définition 01J0. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse entre schémas affines et si \(S\) est réduit, alors \(S'\) est réduit ; c’est Algèbre, Lemme 033B. Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse surjectif entre schémas affines et si \(S'\) est réduit, alors \(S\) est réduit ; c’est Algèbre, Lemme 033F. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est normal” est locale pour la topologie lisse.

Démonstration

Nous allons appliquer le lemme 0349. Tout d’abord, la propriété “être normal” est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte immédiatement de la définition ; voir Propriétés, Définition 033I. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse entre schémas affines et si \(S\) est normal, alors \(S'\) est normal ; c’est Algèbre, Lemme 033C. Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse surjectif entre schémas affines et si \(S'\) est normal, alors \(S\) est normal ; c’est Algèbre, Lemme 033G. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est localement noethérien et vérifie \((R_k)\)” est locale pour la topologie lisse.

Démonstration

Nous allons vérifier les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349. Comme un morphisme lisse est plat et de présentation finie (voir les lemmes 01VF et 01VE de Morphismes), la propriété “être localement noethérien” a déjà été traitée dans la preuve du lemme 034C. Nous l’utiliserons sans autre mention. Tout d’abord, \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie de Zariski. Cela résulte immédiatement de la définition 033Q de Propriétés. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse entre schémas affines et si \(S\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(S'\) vérifie \(\mathcal{P}\). Cela résulte du lemme 033A d’Algèbre (où l’on utilise le lemme 01V6 de Morphismes, ainsi que les lemmes 00T4 et 00TT d’Algèbre). Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse surjectif entre schémas affines et si \(S'\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(S\) vérifie \(\mathcal{P}\) ; c’est Algèbre, Lemme 0353. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est régulier” est locale pour la topologie lisse.

Démonstration

Cela résulte du lemme 036C, puisqu’un schéma localement noethérien est régulier si et seulement s’il est localement noethérien et vérifie \((R_k)\) pour tout \(k \geq 0\).

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(S) =\)“\(S\) est un schéma de Nagata” est locale pour la topologie lisse.

Démonstration

Nous allons vérifier les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349. Tout d’abord, la propriété d’être un schéma de Nagata est locale pour la topologie de Zariski ; c’est le lemme 033X de Propriétés. Ensuite, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse entre schémas affines et si \(S\) est un schéma de Nagata, alors \(S'\) est un schéma de Nagata ; c’est le lemme 035A de Morphismes. Enfin, si \(S' \to S\) est un morphisme lisse surjectif entre schémas affines et si \(S'\) est un schéma de Nagata, alors \(S\) est un schéma de Nagata ; c’est le lemme 0354 d’Algèbre. Les conditions (1), (2) et (3) du lemme 0349 sont donc satisfaites, ce qui conclut.

Variantes sur la descente des propriétés

Il est parfois possible de faire descendre des propriétés qui ne sont pas locales. Nous réunissons dans cette section des résultats de ce type. Voir aussi la section 02KJ, consacrée à la descente de propriétés de morphismes, comme la lissité.

Lemme

Si \(f : X \to Y\) est un morphisme plat surjectif de schémas et si \(X\) est réduit, alors \(Y\) est réduit.

Démonstration

Le résultat s’obtient en considérant les anneaux locaux (voir la définition 01J0 de Schémas) et en appliquant le lemme 033F d’Algèbre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Si \(f\) est localement de présentation finie, plat et surjectif, et si \(X\) est régulier, alors \(Y\) est régulier.

Démonstration

Ce lemme se ramène à l’énoncé algébrique suivant : si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et de présentation finie, et si \(B\) est noethérien et régulier, alors \(A\) est noethérien et régulier. Nous voyons que \(A\) est noethérien d’après le lemme 033E d’Algèbre, et régulier d’après le lemme 00OF d’Algèbre.

Germes de schémas

Définition

Germes de schémas.

1. Un couple \((X, x)\) formé d’un schéma \(X\) et d’un point \(x \in X\) est appelé le germe de \(X\) en \(x\).

2. Un morphisme de germes \(f : (X, x) \to (S, s)\) est une classe d’équivalence de morphismes de schémas \(f : U \to S\) tels que \(f(x) = s\), où \(U \subset X\) est un voisinage ouvert de \(x\). Deux tels morphismes \(f\), \(f'\) sont dits équivalents si et seulement si \(f\) et \(f'\) coïncident sur un voisinage ouvert de \(x\).

3. On définit la composition des morphismes de germes en composant des représentants (cette opération est bien définie).

Avant de poursuivre, il nous faut encore une définition.

Définition

Soit \(f : (X, x) \to (S, s)\) un morphisme de germes. On dit que \(f\) est étale (resp. lisse) s’il existe un représentant \(f : U \to S\) de \(f\) qui soit un morphisme étale (resp. un morphisme lisse) de schémas.

Propriétés locales des germes

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des germes de schémas. On dit que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale (resp. locale pour la topologie lisse) si, pour tout morphisme de germes étale (resp. lisse) \((U', u') \to (U, u)\), on a \(\mathcal{P}(U, u) \Leftrightarrow \mathcal{P}(U', u')\).

Soit \((X, x)\) un germe de schéma. La dimension de \(X\) en \(x\) est le minimum des dimensions des voisinages ouverts de \(x\) dans \(X\), et tout voisinage ouvert suffisamment petit possède cette dimension. C’est donc un invariant de la classe d’isomorphisme du germe. On la note simplement \(\dim_x(X)\). Le lemme suivant affirme que la relation \(\dim_x(X) = d\) est une propriété locale des germes pour la topologie étale.

Lemme

Soit \(f : U \to V\) un morphisme étale de schémas. Soient \(u \in U\) et \(v = f(u)\). Alors \(\dim_u(U) = \dim_v(V)\).

Démonstration

Dans l’énoncé, \(\dim_u(U)\) désigne la dimension de \(U\) en \(u\), définie dans la définition 0055 de Topologie, comme le minimum des dimensions de Krull des voisinages ouverts de \(u\) dans \(U\). Il en va de même pour \(\dim_v(V)\).

Montrons que \(\dim_v(V) \geq \dim_u(U)\). Soit \(V'\) un voisinage ouvert de \(v\) dans \(V\). Il existe un voisinage ouvert \(U'\) de \(u\) dans \(U\), contenu dans \(f^{-1}(V')\), tel que \(\dim_u(U) = \dim(U')\). Soit \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n\) une chaîne de sous-schémas fermés irréductibles de \(U'\). Si \(\xi_i \in Z_i\) est le point générique, nous avons les spécialisations \(\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\). Elles donnent les spécialisations \(f(\xi_n) \leadsto f(\xi_{n - 1}) \leadsto \ldots \leadsto f(\xi_0)\) dans \(V'\). De plus, \(f(\xi_j) \not = f(\xi_i)\) si \(i \not = j\), car les fibres de \(f\) sont discrètes (voir le lemme 02GL de Morphismes). Ainsi, \(\dim(V') \geq n\). L’inégalité \(\dim_v(V) \geq \dim_u(U)\) en résulte formellement.

Montrons que \(\dim_u(U) \geq \dim_v(V)\). Soit \(U'\) un voisinage ouvert de \(u\) dans \(U\). L’ensemble \(V' = f(U')\) est un voisinage ouvert de \(v\) d’après le lemme 01UA de Morphismes. Ainsi, \(\dim(V') \geq \dim_v(V)\). Choisissons une chaîne \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n\) de sous-schémas fermés irréductibles de \(V'\). Si \(\xi_i \in Z_i\) est le point générique, nous avons les spécialisations \(\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\). Comme \(\xi_0 \in f(U')\), il existe un point \(\eta_0 \in U'\) tel que \(f(\eta_0) = \xi_0\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux locaux \[\mathcal{O}_{V', \xi_0} \longrightarrow \mathcal{O}_{U', \eta_0}\] qui est plat et local d’après le lemme 02GS de Morphismes. Les points \(\xi_i\) correspondent aux idéaux premiers de l’anneau de gauche d’après le lemme 01J7 de Schémas. Le théorème de descente (voir la section 00HU d’Algèbre) appliqué à l’homomorphisme affiché fournit une suite de spécialisations \(\eta_n \leadsto \eta_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \eta_0\) dans \(U'\), qui s’envoie sur la suite \(\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\) par \(f\). Il s’ensuit que \(\dim_u(U) \geq \dim_v(V)\).

Soit \((X, x)\) un germe de schéma. La classe d’isomorphisme de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un invariant du germe. Le lemme suivant affirme que la propriété \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = d\) est locale pour la topologie étale sur les germes.

Lemme

Soit \(f : U \to V\) un morphisme étale de schémas. Soient \(u \in U\) et \(v = f(u)\). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = \dim(\mathcal{O}_{V, v})\).

Démonstration

L’énoncé algébrique à démontrer est le suivant : si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux étale, si \(\mathfrak q\) est un idéal premier de \(B\) situé au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), alors \(\dim(A_{\mathfrak p}) = \dim(B_{\mathfrak q})\). C’est le lemme 07QP de Compléments d’algèbre.

Soit \((X, x)\) un germe de schéma. La classe d’isomorphisme de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un invariant du germe. Le lemme suivant affirme que la propriété “\(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier” est locale pour la topologie étale sur les germes.

Lemme

Soit \(f : U \to V\) un morphisme étale de schémas. Soient \(u \in U\) et \(v = f(u)\). Alors \(\mathcal{O}_{U, u}\) est un anneau local régulier si et seulement si \(\mathcal{O}_{V, v}\) est un anneau local régulier.

Démonstration

L’énoncé algébrique à démontrer est le suivant : si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux étale, si \(\mathfrak q\) est un idéal premier de \(B\) situé au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), alors \(A_{\mathfrak p}\) est régulier si et seulement si \(B_{\mathfrak q}\) est régulier. C’est le lemme 0AH0 de Compléments d’algèbre.

Propriétés des morphismes locales sur la cible

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme de schémas. Notons \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) par \(g\) : \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas. On peut se demander si (a) \(\mathcal{P}(f) \Rightarrow \mathcal{P}(f')\) et si, réciproquement, (b) \(\mathcal{P}(f') \Rightarrow \mathcal{P}(f)\). Si (a) est vérifiée chaque fois que \(g\) est plat, on dit que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base plat. Si (b) est vérifiée chaque fois que \(g\) est plat et surjectif, on dit que \(\mathcal{P}\) se descend par les changements de base plats surjectifs. Si \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base plat et se descend par les changements de base plats surjectifs, on dit que \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie plate. Comparer avec la discussion de la section 0347. Cette notion est très importante ; nous la formalisons dans la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas au-dessus d’une base. Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). On dit que \(\mathcal{P}\) est locale sur la base pour \(\tau\), ou locale sur la cible pour \(\tau\), ou encore locale sur la base pour la topologie \(\tau\), si, pour tout recouvrement pour la topologie \(\tau\), \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) (voir la section 020M de Topologies), et pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\) au-dessus de \(S\), on a \[f \text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \text{chaque }Y_i \times_Y X \to Y_i\text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Bien entendu, puisque les isomorphismes sont toujours des recouvrements, on constate (ou l’on exige) que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(X \to Y\) si et seulement si elle est vérifiée par toute flèche \(X' \to Y'\) isomorphe à \(X \to Y\). Si une propriété est locale sur la cible pour \(\tau\), elle est stable par changement de base par les morphismes qui interviennent dans les recouvrements pour \(\tau\). Voici un énoncé formel.

Lemme

Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes locale sur la cible pour \(\tau\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme vérifiant \(\mathcal{P}\). Pour tout morphisme \(Y' \to Y\) qui est plat, resp. plat et localement de présentation finie, resp. syntomique, resp. étale, resp. une immersion ouverte, le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) de \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela tient au fait que l’on peut compléter \(Y' \to Y\) en une famille de morphismes qui forme un recouvrement pour la topologie \(\tau\).

Une conséquence simple et souvent utilisée est la suivante. Si \(f : X \to Y\) vérifie une propriété \(\mathcal{P}\) locale sur la cible pour \(\tau\), et si \(f(X) \subset V\) pour un sous-schéma ouvert \(V \subset Y\), alors le morphisme induit \(X \to V\) vérifie lui aussi \(\mathcal{P}\). En effet, le changement de base de \(f\) par \(V \to Y\) est \(X \to V\).

Lemme

Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes locale sur la cible pour \(\tau\). Pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\), il existe un plus grand ouvert \(W(f) \subset Y\) tel que la restriction \(X_{W(f)} \to W(f)\) vérifie \(\mathcal{P}\). En outre,

1. si \(g : Y' \to Y\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et si le changement de base \(f' : X_{Y'} \to Y'\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(g(Y') \subset W(f)\),

2. si \(g : Y' \to Y\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, alors \(W(f') = g^{-1}(W(f))\), et

3. si \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\), alors \(g_i^{-1}(W(f)) = W(f_i)\), où \(f_i\) est le changement de base de \(f\) par \(Y_i \to Y\).

Démonstration

Considérons la réunion \(W\) des images \(g(Y') \subset Y\) des morphismes \(g : Y' \to Y\) ayant les propriétés suivantes :

1. \(g\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et

2. le changement de base \(Y' \times_{g, Y} X \to Y'\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Un tel morphisme \(g\) étant ouvert (voir le lemme 01UA de Morphismes), \(W \subset Y\) est un ouvert de \(Y\). Puisque \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie \(\tau\), la restriction \(X_W \to W\) vérifie \(\mathcal{P}\) : on dispose en effet d’un recouvrement \(\{Y' \to W\}\) de \(W\) dont les changements de base vérifient \(\mathcal{P}\). Cela prouve l’existence et montre que \(W(f)\) possède la propriété (1). Pour (2), on a \(W(f') \supset g^{-1}(W(f))\), car \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale ; voir le lemme 04QU. D’autre part, si \(Y'' \subset Y'\) est un ouvert tel que \(X_{Y''} \to Y''\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(Y'' \to Y\) se factorise par \(W\) par construction, c’est-à-dire \(Y'' \subset g^{-1}(W(f))\). Cela prouve (2). L’assertion (3) résulte de (2), puisque chaque morphisme \(Y_i \to Y\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, par définition d’un recouvrement pour la topologie \(\tau\).

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas au-dessus d’une base. Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, \etale, lisse, syntomique\}\). Supposons que

1. la propriété soit stable par changement de base plat, plat et localement de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) vaut fpqc, fppf, étale, lisse ou syntomique (comparer avec la définition 01JZ de Schémas),

2. la propriété soit locale sur la base pour la topologie de Zariski,

3. pour tout morphisme surjectif de schémas affines \(S' \to S\) qui est plat, plat de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) vaut fpqc, fppf, étale, lisse ou syntomique, et pour tout morphisme de schémas \(f : X \to S\), la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(f\) si la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par le changement de base \(f' : X' = S' \times_S X \to S'\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale sur la base pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Cela résulte presque immédiatement de la définition d’un recouvrement pour la topologie \(\tau\) ; voir les définitions 022B, 021M, 0215, 021Z ou 0225 de Topologies, et les lemmes 022E, 021P, 0218, 0222 ou 0228 de Topologies. Nous omettons les détails.

Remarque

(Il s’agit d’une répétition de la remarque 034A.) Dans le lemme 02KP, si \(\tau = smooth\), on peut supposer, dans la condition (3), que le morphisme est un morphisme lisse standard (surjectif). Il en va de même lorsque \(\tau = syntomic\) ou \(\tau = \etale\).

Propriétés des morphismes locales sur la cible pour la topologie fpqc

Dans cette section, nous donnons un grand nombre de propriétés de morphismes de schémas qui sont locales sur la base pour la topologie fpqc. En revanche, nous montrerons dans la section 08J0 d’Exemples que les propriétés “projectif” et “quasi-projectif” ne sont pas locales sur la base, même pour la topologie de Zariski.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-compact” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme quasi-compact est quasi-compact ; voir le lemme 01K5 de Schémas. La quasi-compacité est locale sur la base pour la topologie de Zariski ; voir le lemme 01K4 de Schémas. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit quasi-compact. Alors \(X'\) est quasi-compact et \(X' \to X\) est surjectif. Par conséquent, \(X\) est quasi-compact, donc \(f\) est quasi-compact. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-séparé” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme quasi-séparé est quasi-séparé ; voir le lemme 01KU de Schémas. La quasi-séparation est locale sur la base pour la topologie de Zariski (cela résulte de la définition ou du lemme 01KO de Schémas). Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit quasi-séparé. Cela signifie que \(\Delta' : X' \to X'\times_{S'} X'\) est quasi-compact. Or \(\Delta'\) est le changement de base de \(\Delta : X \to X \times_S X\) par \(S' \to S\). Le lemme 02KQ montre donc que \(\Delta\) est quasi-compact et, par suite, que \(f\) est quasi-séparé. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement fermé” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Par définition, tout changement de base d’un morphisme universellement fermé est universellement fermé. Cette propriété est locale sur la base pour la topologie de Zariski (par définition ou d’après le lemme 02K7 de Morphismes). Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit universellement fermé. Soit \(T \to S\) un morphisme quelconque. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[d] & S' \times_S T \times_S X \ar[d] \ar[r] \ar[l] & T \times_S X \ar[d] \\ S' & S' \times_S T \ar[r] \ar[l] & T }\] dont les deux carrés sont cartésiens. L’hypothèse implique que la flèche verticale médiane est fermée. Les flèches horizontales de droite sont plates, quasi-compactes et surjectives, puisqu’elles s’obtiennent par changement de base de \(S' \to S\). Un sous-ensemble de \(T\) est fermé si et seulement si son image inverse dans \(S' \times_S T\) est fermée ; voir le lemme 02JY de Morphismes. Une chasse au diagramme immédiate montre que la flèche verticale de droite est également fermée ; on en conclut que \(X \to S\) est universellement fermé. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement ouvert” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 02KS.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement submersif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 02KS, en utilisant qu’un morphisme plat, quasi-compact et surjectif est universellement submersif d’après le lemme 02JY de Morphismes.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est séparé” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme séparé est séparé ; voir le lemme 01KU de Schémas. La séparation est locale sur la base pour la topologie de Zariski (par définition ou d’après le lemme 01KP de Schémas). Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit séparé. Cela signifie que \(\Delta' : X' \to X'\times_{S'} X'\) est une immersion fermée, donc universellement fermée. Or \(\Delta'\) est le changement de base de \(\Delta : X \to X \times_S X\) par \(S' \to S\). Le lemme 02KS montre donc que \(\Delta\) est universellement fermé. Comme c’est une immersion (Schémas, lemme 01KJ de Schémas), \(\Delta\) est une immersion fermée. Ainsi \(f\) est séparé. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est surjectif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

C’est immédiat.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-compact et dominant” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

D’après le lemme 0H3F de Morphismes, les morphismes quasi-compacts dominants sont stables par changement de base plat. La réciproque est plus facile. En effet, la quasi-compacité est locale sur la base pour la topologie fpqc d’après le lemme 02KQ. La dominance est manifestement locale sur la base pour la topologie de Zariski. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme surjectif de schémas (non nécessairement plat), et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit dominant. Alors \(X' \to S'\to S\) est le composé de deux morphismes dominants, donc est dominant. Comme il s’agit aussi du composé \(X' \to X \to S\), il s’ensuit que \(X\to S\) est dominant.

Les morphismes dominants ne sont pas stables par changement de base plat en toute généralité, mais le cas particulier suivant mérite d’être signalé. Voir aussi le lemme 0H8J.

Lemme

Soit \(E/k\) une extension de corps. Un morphisme \(X \to Y\) au-dessus de \(k\) est alors dominant si et seulement si le changement de base \(X_E \to Y_E\) est dominant.

Démonstration

D’après le lemme 0383 de Morphismes, le morphisme \(\Spec(E) \to \Spec(k)\) est universellement ouvert. Ainsi \(Y_E \to Y\) est ouvert. Par conséquent, si \(X \to Y\) est dominant, le lemme 0H8F de Morphismes montre que \(X_E \to Y_E\) est dominant. Réciproquement, supposons que \(X_E \to Y_E\) soit dominant. Le morphisme \(Y_E \to Y\) est surjectif d’après le lemme 01S1 de Morphismes ; le composé \(X_E \to Y_E \to Y\) est donc dominant. Mais ce composé est aussi \(X_E \to X \to Y\) ; il s’ensuit que \(X \to Y\) est dominant.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement injectif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme universellement injectif est universellement injectif (c’est formel). Cette propriété est locale sur la base pour la topologie de Zariski, ce qui résulte immédiatement de la définition. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit universellement injectif. Soit \(K\) un corps, et soient \(a, b : \Spec(K) \to X\) deux morphismes tels que \(f \circ a = f \circ b\). Puisque \(S' \to S\) est surjectif, la discussion de la section 01J5 de Schémas fournit une extension de corps \(K'/K\) et un morphisme \(\Spec(K') \to S'\) tels que le diagramme suivant, formé de flèches pleines, soit commutatif : \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[rrd] \ar@{-->}[rd]_{a', b'} \ar[dd] \\ & X' \ar[r] \ar[d] & S' \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r]^{a, b} & X \ar[r] & S }\] Le carré étant cartésien, on obtient les deux flèches pointillées \(a'\), \(b'\) qui rendent le diagramme commutatif. Comme \(X' \to S'\) est universellement injectif, nous avons \(a' = b'\) d’après le lemme 01S4 de Morphismes. Cela impose évidemment \(a = b\) (voir la discussion de la section 01J5 de Schémas). Le lemme 02KP s’applique et conclut.

On peut aussi utiliser la caractérisation d’un morphisme universellement injectif par la surjectivité de sa diagonale ; voir le lemme 01S4 de Morphismes. Le résultat découle alors du fait que la surjectivité est locale sur la base pour la topologie fpqc ; voir le lemme 02KV. (Indication : utiliser que le changement de base de la diagonale est la diagonale du changement de base.)

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un homéomorphisme universel” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

On peut procéder exactement comme dans la démonstration du lemme 02KS. On peut aussi observer qu’une application d’espaces topologiques est un homéomorphisme si et seulement si elle est injective, surjective et ouverte. Un homéomorphisme universel équivaut donc à un morphisme surjectif, universellement injectif et universellement ouvert. Le résultat découle ainsi des lemmes 02KV, 02KW et 02KT.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement de type fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La propriété d’être localement de type fini est stable par changement de base ; voir le lemme 01T4 de Morphismes. Elle est locale sur la base pour la topologie de Zariski ; voir le lemme 01T2 de Morphismes. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit localement de type fini. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Alors \(U' = S' \times_S U\) est affine et de type fini sur \(S'\). Écrivons \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\), \(U = \Spec(A)\) et \(U' = \Spec(A')\). Nous savons que \(R \to R'\) est fidèlement plat, que \(A' = R' \otimes_R A\) et que \(R' \to A'\) est de type fini. Il faut montrer que \(R \to A\) est de type fini. C’est le lemme 00QP d’Algèbre. Il s’ensuit que \(f\) est localement de type fini. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement de présentation finie” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La propriété d’être localement de présentation finie est stable par changement de base ; voir le lemme 01TS de Morphismes. Elle est locale sur la base pour la topologie de Zariski ; voir le lemme 01TQ de Morphismes. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit localement de présentation finie. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Alors \(U' = S' \times_S U\) est affine et de type fini sur \(S'\). Écrivons \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\), \(U = \Spec(A)\) et \(U' = \Spec(A')\). Nous savons que \(R \to R'\) est fidèlement plat, que \(A' = R' \otimes_R A\) et que \(R' \to A'\) est de présentation finie. Il faut montrer que \(R \to A\) est de présentation finie. C’est le lemme 00QQ d’Algèbre. Il s’ensuit que \(f\) est localement de présentation finie. Le lemme 02KP s’applique et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est de type fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Combiner les lemmes 02KQ et 02KX.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est de présentation finie” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Combiner les lemmes 02KQ, 02KR et 02KY.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est propre” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Le lemme résulte de la combinaison des lemmes 02KS, 02KU et 02KZ.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est plat” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La platitude est préservée par tout changement de base, voir le lemme 01U9 de Morphismes. Elle est locale pour la topologie de Zariski sur la base par définition. Enfin, soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit plat. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Alors \(U' = S' \times_S U\) est affine. Écrivons \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\), \(U = \Spec(A)\) et \(U' = \Spec(A')\). Nous savons que \(R \to R'\) est fidèlement plat, que \(A' = R' \otimes_R A\) et que \(R' \to A'\) est plat. Il s’agit de montrer que \(R \to A\) est plat. Cela résulte immédiatement du lemme 00HJ d’Algèbre. Ainsi \(f\) est plat. Le lemme 02KP s’applique donc et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion ouverte” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La propriété d’être une immersion ouverte est stable par changement de base, voir le lemme 01JY de Schémas. Elle est locale pour la topologie de Zariski sur la base (cela est évident).

Soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit une immersion ouverte. Nous affirmons que \(f\) est une immersion ouverte. Alors \(f'\) est universellement ouvert et universellement injectif. Nous en déduisons que \(f\) est universellement ouvert par le lemme 02KT, et universellement injectif par le lemme 02KW. En particulier, \(f(X) \subset S\) est ouvert. S’il est possible de montrer, pour tout ouvert affine \(U \subset f(X)\), que \(f^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme, alors \(f\) est une immersion ouverte et la preuve est achevée. Si \(U' \subset S'\) désigne l’image inverse de \(U\), alors \(U' \to U\) est un morphisme fidèlement plat entre schémas affines et \((f')^{-1}(U') \to U'\) est un isomorphisme (car \(f'(X')\) contient \(U'\) par le choix de \(U\)). Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Soit \(S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, soit \(f : X \to S\) un morphisme, et supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit un isomorphisme. Il faut montrer que \(f\) est lui aussi un isomorphisme. Il est clair que \(f\) est surjectif, universellement injectif et universellement ouvert (voir les arguments ci-dessus pour les deux dernières propriétés). Ainsi \(f\) est bijectif, c’est-à-dire que \(f\) est un homéomorphisme. Le morphisme \(f\) est donc affine par le lemme 04DE de Morphismes. Comme \[\mathcal{O}(S') \to \mathcal{O}(X') = \mathcal{O}(S') \otimes_{\mathcal{O}(S)} \mathcal{O}(X)\] est un isomorphisme et que \(\mathcal{O}(S) \to \mathcal{O}(S')\) est fidèlement plat, il en résulte que \(\mathcal{O}(S) \to \mathcal{O}(X)\) est un isomorphisme. Ainsi \(f\) est un isomorphisme. Cela démontre l’affirmation ci-dessus. Le lemme 02KP s’applique donc et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un isomorphisme” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Combiner les lemmes 02KV et 02L3.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est affine” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme affine est affine, voir le lemme 01SD de Morphismes. La propriété d’être affine est locale pour la topologie de Zariski sur la base, voir le lemme 01S8 de Morphismes. Enfin, soit \(g : S' \to S\) un morphisme plat surjectif de schémas affines, et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit affine. Autrement dit, \(X'\) est affine, disons \(X' = \Spec(A')\). Écrivons aussi \(S = \Spec(R)\) et \(S' = \Spec(R')\). Il faut montrer que \(X\) est affine.

Les lemmes 02KQ et 02KU montrent que \(X \to S\) est séparé et quasi-compact. Par conséquent, \(f_*\mathcal{O}_X\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres, voir le lemme 01LC de Schémas. Ainsi \(f_*\mathcal{O}_X = \widetilde{A}\) pour une certaine \(R\)-algèbre \(A\). Bien entendu, \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). De plus, par changement de base plat (voir par exemple le lemme 02KH de Cohomologie des schémas), nous avons \(g^*f_*\mathcal{O}_X = f'_*\mathcal{O}_{X'}\). Autrement dit, \(A' = R' \otimes_R A\). Considérons le morphisme canonique \[X \longrightarrow \Spec(A)\] au-dessus de \(S\) donné par le lemme 01I1 de Schémas. D’après ce qui précède, le changement de base de ce morphisme à \(S'\) est un isomorphisme. Il s’agit donc d’un isomorphisme par le lemme 02L4. Le lemme 02KP s’applique donc et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion fermée” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{Y_i \to Y\}\) un recouvrement fpqc. Supposons que chaque \(f_i : Y_i \times_Y X \to Y_i\) soit une immersion fermée. Cela implique que chaque \(f_i\) est affine, voir le lemme 01SE de Morphismes. Le lemme 02L5 permet d’en déduire que \(f\) est affine. Il reste à montrer que \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) est surjectif. Pour tout \(y \in Y\), il existe un \(i\) et un point \(y_i \in Y_i\) d’image \(y\). Par le lemme 02KH de Cohomologie des schémas, le faisceau \(f_{i, *}(\mathcal{O}_{Y_i \times_Y X})\) est l’image inverse de \(f_*\mathcal{O}_X\). Par hypothèse, c’est un quotient de \(\mathcal{O}_{Y_i}\). Par conséquent, \[\Big( \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow (f_*\mathcal{O}_X)_y \Big) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{Y_i, y_i}\] est surjectif. Puisque \(\mathcal{O}_{Y_i, y_i}\) est fidèlement plat sur \(\mathcal{O}_{Y, y}\), il s’ensuit que \(\mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow (f_*\mathcal{O}_X)_y\) est surjectif, comme voulu.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-affine” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) un recouvrement fpqc. Supposons que chaque \(f_i : Y_i \times_Y X \to Y_i\) soit quasi-affine. Alors chaque \(f_i\) est quasi-compact et séparé. Les lemmes 02KQ et 02KU impliquent donc que \(f\) est quasi-compact et séparé. Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). Par le lemme 01LC de Schémas, c’est une \(\mathcal{O}_Y\)-algèbre quasi-cohérente. Considérons le morphisme canonique \[j : X \longrightarrow \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A})\] voir le lemme 01LY de Constructions. Par changement de base plat (voir par exemple le lemme 02KH de Cohomologie des schémas), nous avons \(g_i^*f_*\mathcal{O}_X = f_{i, *}\mathcal{O}_{X'}\), où les \(g_i : Y_i \to Y\) sont les morphismes plats donnés. Ainsi, le changement de base \(j_i\) de \(j\) par \(g_i\) est le morphisme canonique du lemme 01LY de Constructions, pour le morphisme \(f_i\). Par hypothèse et par le lemme 01SM de Morphismes, tous ces morphismes \(j_i\) sont des immersions ouvertes quasi-compactes. Les lemmes 02KQ et 02L3 montrent donc que \(j\) est une immersion ouverte quasi-compacte. Une nouvelle application du lemme 01SM de Morphismes montre alors que \(f\) est quasi-affine.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion quasi-compacte” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{Y_i \to Y\}\) un recouvrement fpqc. Notons \(X_i = Y_i \times_Y X\) et \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\). Notons aussi \(q_i : Y_i \to Y\) les morphismes plats donnés. Supposons que chaque \(f_i\) soit une immersion quasi-compacte. Par le lemme 01L7 de Schémas, chaque \(f_i\) est séparé. Les lemmes 02KQ et 02KU impliquent donc que \(f\) est quasi-compact et séparé. Soit \(X \to Z \to Y\) la factorisation de \(f\) par son image schématique. Par le lemme 01R8 de Morphismes, le sous-schéma fermé \(Z \subset Y\) est défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\), car \(f\) est quasi-compact. Par changement de base plat (voir par exemple le lemme 02KH de Cohomologie des schémas ; nous utilisons ici le fait que \(f\) est séparé), nous voyons que \(f_{i, *}\mathcal{O}_{X_i}\) est l’image inverse \(q_i^*f_*\mathcal{O}_X\). Ainsi, \(Y_i \times_Y Z\) est défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(q_i^*\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{Y_i} \to f_{i, *}\mathcal{O}_{X_i})\). Par le lemme 01RG de Morphismes, les morphismes \(X_i \to Y_i \times_Y Z\) sont des immersions ouvertes. Le lemme 02L3 montre alors que \(X \to Z\) est une immersion ouverte, et donc que \(f\) est une immersion, comme voulu (nous avons déjà vu qu’il était quasi-compact).

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est entier” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme entier est la même chose qu’un morphisme affine et universellement fermé. Voir le lemme 01WM de Morphismes. Le lemme résulte donc de la combinaison des lemmes 02KS et 02L5.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme fini est la même chose qu’un morphisme entier qui est localement de type fini. Voir le lemme 01WJ de Morphismes. Le lemme résulte donc de la combinaison des lemmes 02KX et 02L9.

Lemme

Les propriétés \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement quasi-fini” et \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-fini” sont locales sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas, et soit \(\{S_i \to S\}\) un recouvrement fpqc tel que chaque changement de base \(f_i : X_i \to S_i\) soit localement quasi-fini. Nous avons déjà vu (lemme 02KX) que la propriété “être localement de type fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc ; ainsi, \(f\) est localement de type fini. Il résulte alors du lemme 01TM de Morphismes que \(f\) est localement quasi-fini. Le cas quasi-fini en découle, puisque nous avons déjà vu que la propriété “être quasi-compact” est locale sur la base pour la topologie fpqc (lemme 02KQ).

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement de type fini de dimension relative \(d\)” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que la propriété d’être localement de type fini est locale sur la base pour la topologie fpqc, et du lemme 02FY de Morphismes.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est syntomique” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est syntomique si et seulement s’il est localement de présentation finie, plat, et si ses fibres sont localement d’intersection complète. Nous avons déjà vu que la platitude et la propriété d’être localement de présentation finie sont locales sur la base pour la topologie fpqc (lemmes 02L2 et 02KY). Le résultat pour les morphismes syntomiques découle donc du lemme 02V3 de Morphismes.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est lisse” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est lisse si et seulement s’il est localement de présentation finie, plat, et si ses fibres sont lisses. Nous avons déjà vu que la platitude et la propriété d’être localement de présentation finie sont locales sur la base pour la topologie fpqc (lemmes 02L2 et 02KY). Le résultat pour les morphismes lisses découle donc du lemme 02V4 de Morphismes.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est non ramifié” est locale sur la base pour la topologie fpqc. La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est G-non ramifié” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est non ramifié (resp. G-non ramifié) si et seulement s’il est localement de type fini (resp. de présentation finie) et si son morphisme diagonal est une immersion ouverte (voir le lemme 02GE de Morphismes). Nous avons déjà vu que les propriétés d’être localement de type fini (resp. localement de présentation finie) et d’être une immersion ouverte sont locales sur la base pour la topologie fpqc (lemmes 02KY, 02KX et 02L3). Le résultat en découle formellement.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est étale” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est étale si et seulement s’il est plat et G-non ramifié. Voir le lemme 02GV de Morphismes. Nous avons déjà vu que la platitude et la propriété d’être G-non ramifié sont locales sur la base pour la topologie fpqc (lemmes 02L2 et 02VM). Le résultat en découle.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est fini localement libre” est locale sur la base pour la topologie fpqc. Soit \(d \geq 0\). La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est fini localement libre de degré \(d\)” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La propriété d’être fini localement libre équivaut à être fini, plat et localement de présentation finie (voir le lemme 02KB de Morphismes). Cela résulte donc des lemmes 02LA, 02L2 et 02KY. Si \(f : Z \to U\) est fini localement libre, et si \(\{U_i \to U\}\) est une famille surjective de morphismes telle que chaque image inverse \(Z \times_U U_i \to U_i\) soit de degré \(d\), alors \(Z \to U\) est de degré \(d\); on peut par exemple lire le degré en un point \(u \in U\) sur la fibre \((f_*\mathcal{O}_Z)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \kappa(u)\).

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un monomorphisme” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\{S_i \to S\}\) un recouvrement fpqc, et supposons que chacun des changements de base \(f_i : X_i \to S_i\) de \(f\) soit un monomorphisme. Soient \(a, b : T \to X\) deux morphismes tels que \(f \circ a = f \circ b\). Il faut montrer que \(a = b\). Puisque \(f_i\) est un monomorphisme, nous avons \(a_i = b_i\), où \(a_i, b_i : S_i \times_S T \to X_i\) sont les changements de base. En particulier, les composés \(S_i \times_S T \to T \to X\) sont égaux. Comme \(\coprod S_i \times_S T \to T\) est un épimorphisme (voir par ex. le lemme 023Q), nous concluons que \(a = b\).

Lemme

Les propriétés

1. \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion Koszul-régulière”,

2. \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion \(H_1\)-régulière”, et

3. \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion quasi-régulière”

sont locales sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous allons utiliser le critère du lemme 02KP. Par la définition 063J de Diviseurs, la propriété d’être une immersion Koszul-régulière (resp. \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) est locale pour la topologie de Zariski sur la base. Par le lemme 067P de Diviseurs, la propriété d’être une immersion Koszul-régulière (resp. \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) est préservée par changement de base plat. La dernière hypothèse (3) du lemme 02KP se traduit par l’énoncé algébrique suivant : soit \(A \to B\) un homomorphisme fidèlement plat d’anneaux. Soit \(I \subset A\) un idéal. Si \(IB\) est localement sur \(\Spec(B)\) engendré par une suite Koszul-régulière (resp. \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) de \(B\), alors \(I \subset A\) est localement sur \(\Spec(A)\) engendré par une suite Koszul-régulière (resp. \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) de \(A\). C’est le lemme 068N de Compléments d’algèbre.

Propriétés des morphismes locales sur la cible pour la topologie fppf

Dans cette section, nous déterminons certaines propriétés des morphismes de schémas dont nous n’avons pas (encore) pu montrer qu’elles sont locales sur la base pour la topologie fpqc, mais qui le sont pour la topologie fppf.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion” est locale sur la base pour la topologie fppf.

Démonstration

La propriété d’être une immersion est stable par changement de base, voir le lemme 01JY de Schémas. Elle est locale pour la topologie de Zariski sur la base. Enfin, soit \(\pi : S' \to S\) un morphisme surjectif de schémas affines, plat et localement de présentation finie. Notons que \(\pi : S' \to S\) est ouvert par le lemme 01UA de Morphismes. Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit une immersion. En particulier, \(f'(X') = \pi^{-1}(f(X))\) est localement fermé. Par le lemme 02YB de Topologie, il s’ensuit que \(f(X) \subset S\) est localement fermé. Soit \(Z \subset S\) le fermé \(Z = \overline{f(X)} \setminus f(X)\). Une nouvelle application du lemme 02YB de Topologie montre que \(f'(X')\) est fermé dans \(S' \setminus Z'\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 02L6 au recouvrement fpqc \(\{S' \setminus Z' \to S \setminus Z\}\) et conclure que \(f : X \to S \setminus Z\) est une immersion fermée. Autrement dit, \(f\) est une immersion. Le lemme 02KP s’applique donc et conclut.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est dominant” est locale sur la base pour la topologie fppf.

Démonstration

Par le lemme 0H8F de Morphismes, les morphismes dominants sont préservés par changement de base par des morphismes ouverts, donc par des morphismes plats localement de présentation finie (voir le lemme 01UA de Morphismes). La réciproque est plus facile. En effet, la propriété d’être dominant est manifestement locale pour la topologie de Zariski sur la base. Soit ensuite \(S' \to S\) un morphisme surjectif de schémas (pas nécessairement plat ni localement de présentation finie), et soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que le changement de base \(f' : X' \to S'\) soit dominant. Alors \(X' \to S'\to S\) est un composé de deux morphismes dominants, donc est dominant. Comme il s’agit aussi du composé \(X' \to X \to S\), il s’ensuit que \(X\to S\) est dominant.

Application de la descente fpqc des propriétés des morphismes

Le lemme suivant peut sembler quelque peu anodin, mais il constitue un outil utile pour étudier les propriétés, pour un morphisme, d’être étale ou non ramifié.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme plat, quasi-compact et surjectif. Alors ce morphisme est un isomorphisme.

Démonstration

Puisque \(f\) est un morphisme plat, quasi-compact et surjectif, \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement fpqc de \(Y\). La diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est un isomorphisme (voir le lemme 01L3 de Schémas). Il s’ensuit que le changement de base de \(f\) par \(f\) est un isomorphisme. Ainsi, \(f\) est un isomorphisme par le lemme 02L4.

Ce lemme permet de démontrer le résultat important suivant ; nous donnons aussi une démonstration qui évite la descente fpqc. Nous discuterons plus en détail de ce résultat et de résultats connexes dans la section 025F du chapitre Morphismes étales.

Lemme

Tout morphisme universellement injectif et étale est une immersion ouverte.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale universellement injectif. Alors \(f\) est ouvert (voir le lemme 03WT de Morphismes) ; nous pouvons donc remplacer \(Y\) par \(f(X)\) et supposer \(f\) surjectif. Le morphisme \(f\) est alors bijectif et ouvert, donc est un homéomorphisme. En particulier, \(f\) est quasi-compact. Par le lemme 06NC, il suffit donc de montrer que \(f\) est un monomorphisme. Comme \(X \to Y\) est étale, le morphisme \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) est une immersion ouverte par le lemme 02GE de Morphismes (et le lemme 02GV de Morphismes). Comme \(f\) est universellement injectif, \(\Delta_{X/Y}\) est aussi surjectif, voir le lemme 01S4 de Morphismes. Ainsi, \(\Delta_{X/Y}\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(X \to Y\) est un monomorphisme.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale universellement injectif. Alors \(f\) est ouvert (voir le lemme 03WT de Morphismes) ; nous pouvons donc remplacer \(Y\) par \(f(X)\) et supposer \(f\) surjectif. Les hypothèses restant satisfaites après tout changement de base, nous en concluons que \(f\) est un homéomorphisme universel. Par conséquent, \(f\) est entier, voir le lemme 04DF de Morphismes. Il s’ensuit que \(f\) est fini par le lemme 01WJ de Morphismes. Il s’ensuit que \(f\) est fini localement libre par le lemme 02KB de Morphismes. Pour achever la démonstration, il suffit de voir que \(f\) est fini localement libre de degré \(1\) (un morphisme fini localement libre de degré \(1\) est un isomorphisme). Il existe une décomposition de \(Y\) en sous-schémas ouverts et fermés \(V_d\) telle que \(f^{-1}(V_d) \to V_d\) soit fini localement libre de degré \(d\), voir le lemme 04MH de Morphismes. Si \(V_d\) est non vide, nous pouvons choisir un morphisme \(\Spec(k) \to V_d \subset Y\), où \(k\) est un corps algébriquement clos (il suffit de prendre la clôture algébrique du corps résiduel d’un point de \(V_d\)). Alors \(\Spec(k) \times_Y X \to \Spec(k)\) est une réunion disjointe de copies de \(\Spec(k)\), par le lemme 02GL de Morphismes, et parce que \(k\) est algébriquement clos. Mais, comme \(f\) est universellement injectif, il ne peut y avoir qu’une seule copie; ainsi \(d = 1\), comme voulu.

La caractérisation suivante des morphismes plats universellement injectifs permet de reformuler légèrement les hypothèses du lemme précédent.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Notons \(X^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Si

1. \(f\) est plat et séparé,

2. pour \(\xi \in X^0\), nous avons \(\kappa(f(\xi)) = \kappa(\xi)\), et

3. si \(\xi, \xi' \in X^0\), \(\xi \not = \xi'\), alors \(f(\xi) \not = f(\xi')\),

alors \(f\) est universellement injectif.

Démonstration

Il faut montrer que \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est surjectif, voir le lemme 01S4 de Morphismes. Comme \(X \to Y\) est séparé, l’image de \(\Delta\) est fermée. Ainsi, si \(\Delta\) n’est pas surjectif, il existe un point générique \(\eta \in X \times_S X\) d’une composante irréductible de \(X \times_S X\) qui n’appartient pas à l’image de \(\Delta\). La projection \(\text{pr}_1 : X \times_Y X \to X\) est plate, car elle se déduit du morphisme plat \(X \to Y\) par changement de base, voir le lemme 01U9 de Morphismes. Les générisations se relèvent donc le long de \(\text{pr}_1\), voir le lemme 03HV de Morphismes. Nous en concluons que \(\xi = \text{pr}_1(\eta) \in X^0\). Cependant, les hypothèses (2) et (3) garantissent que le schéma \((X \times_Y X)_{f(\xi)}\) possède au plus un point pour tout \(\xi \in X^0\). Autrement dit, \(\Delta(\xi) = \eta\), contradiction.

Nous pouvons donc reformuler le lemme 02LC comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Notons \(X^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Si

1. \(f\) est étale et séparé,

2. pour \(\xi \in X^0\), nous avons \(\kappa(f(\xi)) = \kappa(\xi)\), et

3. si \(\xi, \xi' \in X^0\), \(\xi \not = \xi'\), alors \(f(\xi) \not = f(\xi')\),

alors \(f\) est une immersion ouverte.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 09NP et 02LC.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(Z\) un fermé de \(X\). S’il existe un recouvrement fpqc \(\{Y_i \to Y\}\) tel que l’image inverse \(Z_i \subset Y_i \times_Y X\) soit propre sur \(Y_i\) (voir la définition 0CYM de Cohomologie des schémas), alors \(Z\) est propre sur \(Y\).

Démonstration

Munissons \(Z\) de la structure réduite induite de sous-schéma fermé, voir la définition 01J4 de Schémas. Pour tout \(i\), le changement de base \(Y_i \times_Y Z\) est un sous-schéma fermé de \(Y_i \times_Y X\) dont le fermé sous-jacent est \(Z_i\). Par définition (au moyen du lemme 0CYL de Cohomologie des schémas), nous en concluons que les projections \(Y_i \times_Y Z \to Y_i\) sont des morphismes propres. Le morphisme \(Z \to Y\) est donc propre par le lemme 02L1. Ainsi, \(Z\) est propre sur \(Y\) par définition.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(\{g_i : S_i \to S\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. Soit \(f_i : X_i \to S_i\) le changement de base de \(f\), et soit \(\mathcal{L}_i\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(X_i\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/S\), et

2. \(\mathcal{L}_i\) est ample sur \(X_i/S_i\) pour tout \(i \in I\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 0893 de Morphismes. Supposons que \(\mathcal{L}_i\) soit ample sur \(X_i/S_i\) pour tout \(i \in I\). Par la définition 01VH de Morphismes, cela implique que \(X_i \to S_i\) est quasi-compact et, par le lemme 01VI de Morphismes, que \(X_i \to S\) est séparé. Ainsi, \(f\) est quasi-compact et séparé par les lemmes 02KQ et 02KU.

Cela signifie que \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente (voir le lemme 01LC de Schémas). De plus, la formation de \(\mathcal{A}\) commute aux changements de base plats par le lemme 02KH de Cohomologie des schémas. En particulier, si nous posons \(\mathcal{A}_i = \bigoplus_{d \geq 0} f_{i, *}\mathcal{L}_i^{\otimes d}\), alors \(\mathcal{A}_i = g_i^*\mathcal{A}\). Il s’ensuit que les morphismes naturels \(\psi_d : f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules donnent par image inverse les morphismes naturels \(\psi_{i, d} : f_i^*(\mathcal{A}_i)_d \to \mathcal{L}_i^{\otimes d}\) de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules. Comme \(\mathcal{L}_i\) est ample sur \(X_i/S_i\), pour tout point \(x_i \in X_i\), il existe un \(d \geq 1\) tel que \(f_i^*(\mathcal{A}_i)_d \to \mathcal{L}_i^{\otimes d}\) soit surjectif sur les germes en \(x_i\). Cela résulte soit directement de la définition d’un module relativement ample, soit de le lemme 01VJ de Morphismes. Si \(x \in X\), nous pouvons choisir un \(i\) et un \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Comme \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) est plat, donc fidèlement plat, nous en concluons que pour tout \(x \in X\), il existe un \(d \geq 1\) tel que \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d}\) soit surjectif sur les germes en \(x\). Cela implique que l’ouvert \(U(\psi) \subset X\) du lemme 01O9 de Constructions, associé au morphisme \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\), est égal à \(X\). Considérons le morphisme correspondant \[r_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] Il résulte clairement de ce qui précède que le changement de base de \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) à \(S_i\) est le morphisme \(r_{\mathcal{L}_i, \psi_i}\), qui est une immersion ouverte par le lemme 01VJ de Morphismes. Ainsi, \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) est une immersion ouverte par le lemme 02L3, et nous concluons que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/S\) par le lemme 01VJ de Morphismes.

Propriétés des morphismes locales sur la source

Il arrive souvent que l’on puisse établir qu’un morphisme possède une certaine propriété après l’avoir précomposé par un autre morphisme. Dans de nombreux cas, cela implique que le morphisme initial possède lui aussi cette propriété. Nous formalisons cette situation dans la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\). On dit que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour \(\tau\), ou locale sur la source pour la topologie \(\tau\), si pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\) au-dessus de \(S\), et pour tout recouvrement pour la topologie \(\tau\), \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\), on a \[f \text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \text{chaque }X_i \to Y\text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Bien entendu, puisque les isomorphismes sont toujours des recouvrements, nous constatons (ou exigeons) que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(X \to Y\) si et seulement si elle l’est par toute flèche \(X' \to Y'\) isomorphe à \(X \to Y\). Si une propriété est locale sur la source pour \(\tau\), elle est préservée par précomposition avec les morphismes qui interviennent dans les recouvrements pour la topologie \(\tau\). Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes locale sur la source pour \(\tau\). Soit \(f : X \to Y\) vérifiant la propriété \(\mathcal{P}\). Pour tout morphisme \(a : X' \to X\) qui est plat, resp. plat et localement de présentation finie, resp. syntomique, resp. étale, resp. une immersion ouverte, le composé \(f \circ a : X' \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela résulte du fait que l’on peut compléter \(X' \to X\) en une famille de morphismes qui forme un \(\tau\)-recouvrement.

Lemme

Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes locale sur la source pour \(\tau\). Pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\), il existe un plus grand ouvert \(W(f) \subset X\) tel que la restriction \(f|_{W(f)} : W(f) \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\). De plus, si \(g : X' \to X\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et si \(f' = f \circ g : X' \to Y\), alors \(g^{-1}(W(f)) = W(f')\).

Démonstration

Considérons la réunion \(W\) des images \(g(X') \subset X\) des morphismes \(g : X' \to X\) qui vérifient les propriétés suivantes :

1. \(g\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et

2. le composé \(X' \to X \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Comme tout tel morphisme \(g\) est ouvert (voir le lemme 01UA de Morphismes), \(W \subset X\) est un ouvert de \(X\). Puisque \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie \(\tau\), la restriction \(f|_W : W \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\) : nous disposons en effet d’un recouvrement pour la topologie \(\tau\), \(\{X' \to W\}\) de \(W\) dont les images inverses vérifient \(\mathcal{P}\). Cela démontre l’existence de \(W(f)\). La compatibilité énoncée dans la dernière phrase résulte immédiatement de la construction de \(W(f)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\). Supposons que

1. la propriété soit préservée par précomposition avec un morphisme plat, plat localement de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) est fpqc, fppf, étale, lisse ou syntomique,

2. la propriété soit locale sur la source pour la topologie de Zariski,

3. la propriété soit locale sur la cible pour la topologie de Zariski,

4. pour tout morphisme de schémas affines \(f : X \to Y\), et pour tout morphisme surjectif de schémas affines \(X' \to X\) qui est plat, plat de présentation finie, étale, lisse ou syntomique selon que \(\tau\) est fpqc, fppf, étale, lisse ou syntomique, la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(f\) si la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par le composé \(f' : X' \to Y\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Cela résulte presque immédiatement de la définition d’un recouvrement pour la topologie \(\tau\) ; voir les définitions 022B 021M 0215 021Z, ou 0225 de Topologies, et les lemmes 022E, 021P, 0218, 0222, ou 0228 de Topologies. Détails omis. (Indication : utiliser la localité sur la source et sur le but pour ramener la vérification de la propriété \(\mathcal{P}\) au cas d’un morphisme entre schémas affines. Appliquer ensuite (1) et (4).)

Remarque

(Cette remarque reprend les remarques 034A et 034G ci-dessus.) Dans le lemme 036H, si \(\tau = smooth\), on peut supposer, dans la condition (4), que le morphisme est un morphisme lisse standard (surjectif). De même lorsque \(\tau = syntomic\) ou \(\tau = \etale\).

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie fpqc

Voici quelques propriétés de morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie fpqc.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est plat” est locale sur la source pour la topologie fpqc.

Démonstration

Puisque la platitude se définit au moyen des homomorphismes d’anneaux locaux (voir la définition 01U3 de Morphismes), il faut établir le fait algébrique suivant : supposons que \(A \to B \to C\) soient des homomorphismes locaux d’anneaux locaux, et que \(B \to C\) soit plat. Alors \(A \to B\) est plat si et seulement si \(A \to C\) est plat. Si \(A \to B\) est plat, alors \(A \to C\) est plat par le lemme 00HC d’Algèbre. Réciproquement, supposons \(A \to C\) plat. Notons que \(B \to C\) est fidèlement plat, voir le lemme 00HR d’Algèbre. Ainsi, \(A \to B\) est plat par le lemme 039V d’Algèbre. (Voir aussi le lemme 02JZ de Morphismes pour une démonstration directe.)

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f : X \to Y)=\)“pour tout \(x \in X\), l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est injectif” est locale sur la source pour la topologie fpqc.

Démonstration

Omis. Il s’agit seulement d’une tentative (probablement malavisée) de badiner.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie fppf

Voici quelques propriétés de morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie fppf.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement de présentation finie” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

La propriété d’être localement de présentation finie est locale sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski, voir le lemme 01TQ de Morphismes. Elle est préservée par composition, voir le lemme 01TR de Morphismes. Cela démontre (1), (2) et (3) du lemme 036H. La dernière condition (4) est le lemme 02KK. Le résultat en découle.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement de type fini” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

La propriété d’être localement de type fini est locale sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski, voir le lemme 01T2 de Morphismes. Elle est préservée par composition, voir le lemme 01T3 de Morphismes, et tout morphisme plat localement de présentation finie est localement de type fini, voir le lemme 01TW de Morphismes. Cela démontre (1), (2) et (3) du lemme 036H. La dernière condition (4) est le lemme 0367. Le résultat en découle.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est ouvert” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

La propriété d’être un morphisme ouvert est manifestement locale sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski. Elle est préservée par composition, voir le lemme 02V2 de Morphismes, et tout morphisme plat de présentation finie est ouvert, voir le lemme 01UA de Morphismes. Cela démontre (1), (2) et (3) du lemme 036H. La dernière condition (4) résulte de lemme 02JY de Morphismes. Le résultat en découle.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est universellement ouvert” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf. Notons \(f_i : X_i \to X\) les composés. Il faut montrer que \(f\) est universellement ouvert si et seulement si chaque \(f_i\) l’est. Si \(f\) est universellement ouvert, alors chaque \(f_i\) l’est aussi, puisque les morphismes \(X_i \to X\) sont universellement ouverts et que les composés de morphismes universellement ouverts sont universellement ouverts (voir les lemmes 01UA et 02V2 de Morphismes). Réciproquement, supposons chaque \(f_i\) universellement ouvert. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme de schémas. Notons \(X' = Y' \times_Y X\) et \(X'_i = Y' \times_Y X_i\). Le système \(\{X_i' \to X'\}_{i \in I}\) est encore un recouvrement fppf. Les morphismes \(f'_i : X_i' \to Y'\) sont ouverts par hypothèse. Le lemme 036P montre donc que \(f' : X' \to Y'\) est ouvert, comme voulu.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie syntomique

Voici quelques propriétés de morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie syntomique.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est syntomique” est locale sur la source pour la topologie syntomique.

Démonstration

Combiner le lemme 036H avec le lemme 01UD de Morphismes (localité sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski), le lemme 01UH de Morphismes (précomposition), et le lemme 02KM (partie (4)).

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie lisse

Voici quelques propriétés de morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie lisse. Notons aussi le résultat (à certains égards plus fort) sur la descente de la lissité le long de morphismes plats, lemme 05B5.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est lisse” est locale sur la source pour la topologie lisse.

Démonstration

Combiner le lemme 036H avec le lemme 01V6 de Morphismes (localité sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski), le lemme 01VA de Morphismes (précomposition), et le lemme 02KM (partie (4)).

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie étale

Voici quelques propriétés de morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie étale.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est étale” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

Combiner le lemme 036H avec le lemme 02GJ de Morphismes (localité sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski), le lemme 02GN de Morphismes (précomposition), et le lemme 02KM (partie (4)).

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement quasi-fini” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 036H. Par le lemme 01TK de Morphismes, la propriété d’être localement quasi-fini est locale sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski. Par les lemmes 01TL et 03WS de Morphismes, la précomposition d’un morphisme localement quasi-fini par un morphisme étale est localement quasi-finie. Enfin, supposons que \(X \to Y\) soit un morphisme de schémas affines et que \(X' \to X\) soit un morphisme surjectif étale de schémas affines tel que \(X' \to Y\) soit localement quasi-fini. Alors \(X' \to Y\) est de type fini, et le lemme 0367 montre que \(X \to Y\) est lui aussi de type fini. De plus, par hypothèse, \(X' \to Y\) a des fibres finies ; il en va donc de même de \(X \to Y\). Nous concluons que \(X \to Y\) est quasi-fini par le lemme 02NH de Morphismes. Cela démontre la dernière hypothèse du lemme 036H et achève la démonstration.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est non ramifié” est locale sur la source pour la topologie étale. La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est G-non ramifié” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 036H. Par le lemme 02G6 de Morphismes, la propriété d’être non ramifié (resp. G-non ramifié) est locale sur la source et sur la cible pour la topologie de Zariski. Par les lemmes 02G9 et 02GK de Morphismes, la précomposition d’un morphisme non ramifié (resp. G-non ramifié) par un morphisme étale donne un morphisme non ramifié (resp. G-non ramifié). Enfin, supposons que \(X \to Y\) soit un morphisme de schémas affines et que \(f : X' \to X\) soit un morphisme surjectif étale de schémas affines tel que \(X' \to Y\) soit non ramifié (resp. G-non ramifié). Alors \(X' \to Y\) est de type fini (resp. de présentation finie), et le lemme 0367 (resp. le lemme 02KK) montre que \(X \to Y\) est lui aussi de type fini (resp. de présentation finie). Par le lemme 02K4 de Morphismes, nous avons une suite exacte courte \[0 \to f^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X'/Y} \to \Omega_{X'/X} \to 0.\] Comme \(X' \to Y\) est non ramifié, le terme du milieu est nul. Puisque \(f\) est fidèlement plat, il s’ensuit que \(\Omega_{X/Y} = 0\). Ainsi, \(X \to Y\) est non ramifié (resp. G-non ramifié), voir le lemme 02G5 de Morphismes. Cela démontre la dernière hypothèse du lemme 036H et achève la démonstration.

Propriétés des morphismes locales sur la source-et-cible pour la topologie étale

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. La phrase “\(\mathcal{P}\) est locale sur la source et la cible pour la topologie étale” a un sens intuitif. Il s’avère toutefois que cette notion ne revient pas à demander que \(\mathcal{P}\) soit à la fois locale sur la source et locale sur la cible pour la topologie étale. Avant d’approfondir cette question, donnons deux exemples volontairement élémentaires.

Exemple

Considérons la propriété \(\mathcal{P}\) des morphismes de schémas définie par la règle \(\mathcal{P}(X \to Y) =\)“\(Y\) est localement noethérien”. Le lecteur vérifiera qu’elle est locale sur la source et locale sur la cible pour la topologie étale (démonstration omise, voir le lemme 034C). Mais il n’est pas vrai que, si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(g : Y \to Z\) est étale, alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\). En effet, \(f\) pourrait être l’identité de \(Y\) et \(g\) une immersion ouverte d’un schéma localement noethérien \(Y\) dans un schéma non localement noethérien \(Z\).

L’exemple suivant est, en un sens, encore pire.

Exemple

Considérons la propriété \(\mathcal{P}\) des morphismes de schémas définie par la règle \(\mathcal{P}(f : X \to Y) =\)“pour tout \(y \in Y\) qui est une spécialisation d’un certain \(f(x)\), \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est noethérien”. Vérifions qu’elle est locale sur la source et sur la cible pour la topologie étale. Nous utiliserons librement le lemme 01J7 de Schémas.

Localité sur la cible : soit \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) un recouvrement pour la topologie étale. Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\), et notons \(h_i : X_i \to X\) la projection. Supposons \(\mathcal{P}(f)\). Soit \(f(x_i) \leadsto y_i\) une spécialisation. Alors \(f(h_i(x_i)) \leadsto g_i(y_i)\); ainsi, \(\mathcal{P}(f)\) implique que \(\mathcal{O}_{Y, g_i(y_i)}\) est noethérien. De plus, \(\mathcal{O}_{Y, g_i(y_i)} \to \mathcal{O}_{Y_i, y_i}\) est une localisation d’un homomorphisme étale d’anneaux. Par conséquent, \(\mathcal{O}_{Y_i, y_i}\) est noethérien par le lemme 00FN d’Algèbre. Réciproquement, supposons \(\mathcal{P}(f_i)\) pour tout \(i\). Soit \(f(x) \leadsto y\) une spécialisation. Choisissons un \(i\) et un \(y_i \in Y_i\) d’image \(y\). Comme \(x\) peut être considéré comme un point de \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \times_Y X\) et que \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y_i, y_i}\) est fidèlement plat, il existe un point \(x_i \in \Spec(\mathcal{O}_{Y_i, y_i}) \times_Y X\) d’image \(x\). Alors \(x_i \in X_i\), et \(f_i(x_i)\) se spécialise en \(y_i\). Ainsi, nous voyons que \(\mathcal{O}_{Y_i, y_i}\) est noethérien par \(\mathcal{P}(f_i)\), ce qui implique que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est noethérien par le lemme 033E d’Algèbre.

Localité sur la source : soit \(\{h_i : X_i \to X\}\) un recouvrement pour la topologie étale. Soit \(f_i : X_i \to Y\) le composé \(f \circ h_i\). Supposons \(\mathcal{P}(f)\). Soit \(f(x_i) \leadsto y\) une spécialisation. Alors \(f(h_i(x_i)) \leadsto y\); ainsi, \(\mathcal{P}(f)\) implique que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est noethérien. Par conséquent, \(\mathcal{P}(f_i)\) est vérifiée. Réciproquement, supposons \(\mathcal{P}(f_i)\) pour tout \(i\). Soit \(f(x) \leadsto y\) une spécialisation. Choisissons un \(i\) et un \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Alors \(y\) est une spécialisation de \(f_i(x_i) = f(x)\). Par conséquent, \(\mathcal{P}(f_i)\) implique que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est noethérien, comme voulu.

Nous affirmons qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] dont les flèches verticales sont surjectives, chacune étant étale, tel que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\) et que \(f\) ne vérifie pas \(\mathcal{P}\). En effet, posons \[Y = \Spec\Big( \mathbf{C}[x_n; n \in \mathbf{Z}]/(x_n x_m; n \not = m) \Big)\] et prenons pour \(X \subset Y\) le sous-schéma ouvert complémentaire du point dont toutes les coordonnées \(x_n = 0\). Posons \(U = X\) et \(V = X \amalg Y\); soient \(a, b\) les morphismes évidents, et soit \(h : U \to V\) l’inclusion de \(U = X\) dans la première composante de \(V\). L’affirmation précédente est vraie parce que \(U\) est localement noethérien, mais que \(Y\) ne l’est pas.

Quelle devrait être la bonne notion pour une propriété locale sur la source-et-cible pour la topologie étale ? Par analogie avec la définition 01SR de Morphismes, nous pensons que ce devrait être la suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. Nous disons que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale si

1. (stabilité par précomposition avec des morphismes étales) si \(f : X \to Y\) est étale et si \(g : Y \to Z\) possède \(\mathcal{P}\), alors \(g \circ f\) possède \(\mathcal{P}\),

2. (stabilité par changement de base étale) si \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et si \(Y' \to Y\) est étale, alors le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) possède \(\mathcal{P}\), et

3. (localité) pour un morphisme \(f : X \to Y\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) possède \(\mathcal{P}\),

   2. pour tout \(x \in X\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] dont les flèches verticales sont étales et un \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), de sorte que \(h\) possède \(\mathcal{P}\).

Cette définition exclut en fait le comportement observé dans les exemples 04QX et 04QY. Nous la comparerons à celle de l’article [DM] de Deligne et Mumford dans la remarque 04R4. En outre, une propriété locale sur la source-et-cible pour la topologie étale est locale sur la source et locale sur la cible pour cette topologie. Enfin, la réciproque est presque vraie, comme nous le verrons dans le lemme 04R2.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Alors

1. \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale,

2. \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie étale,

3. \(\mathcal{P}\) est stable par postcomposition avec des morphismes étale : si \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et si \(g : Y \to Z\) est étale, alors \(g \circ f\) possède \(\mathcal{P}\), et

4. \(\mathcal{P}\) possède la propriété de permanence suivante : étant donnés \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) de type étale tels que \(g \circ f\) possède \(\mathcal{P}\), le morphisme \(f\) possède \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Donnons tous les détails.

Preuve de (1). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(X\) pour la topologie étale. Si chaque composé \(h_i : X_i \to Y\) possède \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(x \in X\), on peut trouver un \(i \in I\) et un point \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Le morphisme de germes \((X_i, x_i) \to (X, x)\) est alors étale, le morphisme \(\text{id}_Y : Y \to Y\) est étale, et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 04QZ. Nous voyons donc que \(f\) possède \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) possède \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 04QZ.

Preuve de (2). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(Y\) pour la topologie étale. Écrivons \(X_i = Y_i \times_Y X\) et notons \(h_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\). Si chaque \(h_i : X_i \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(x \in X\), choisissons un \(i \in I\) et un point \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Le morphisme de germes \((X_i, x_i) \to (X, x)\) est alors étale, le morphisme \(Y_i \to Y\) est étale, et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 04QZ. Nous voyons donc que \(f\) possède \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) possède \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (2) de la définition 04QZ.

Preuve de (3). Supposons que \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et que \(g : Y \to Z\) soit étale. Pour tout \(x \in X\), on peut considérer \((X, x) \to (X, x)\) comme un morphisme de germes étale, tandis que \(Y \to Z\) est un morphisme étale et que \(h = f\) est comme dans la partie (3) de la définition 04QZ. Nous voyons donc que \(g \circ f\) possède \(\mathcal{P}\).

Preuve de (4). Soient \(f : X \to Y\) un morphisme et \(g : Y \to Z\) un morphisme étale tels que \(g \circ f\) possède \(\mathcal{P}\). La partie (2) de la définition 04QZ montre alors que \(\text{pr}_Y : Y \times_Z X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\). Or le morphisme \((f, 1) : X \to Y \times_Z X\) est étale, car c’est une section de la projection étale \(\text{pr}_X : Y \times_Z X \to X\) ; voir le lemme 02GW de Morphismes. Par conséquent, \(f = \text{pr}_Y \circ (f, 1)\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 04QZ.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 01SU de Morphismes.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),

2. pour tout \(x \in X\), il existe un morphisme de germes étale \(a : (U, u) \to (X, x)\), un morphisme étale \(b : V \to Y\) et un morphisme \(h : U \to V\) tels que \(f \circ a = b \circ h\) et que \(h\) possède \(\mathcal{P}\),

3. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] avec \(a\), \(b\) étales, le morphisme \(h\) possède \(\mathcal{P}\),

4. pour un diagramme comme en (c) dans lequel \(a : U \to X\) est surjectif, le morphisme \(h\) possède \(\mathcal{P}\),

5. il existe un recouvrement pour la topologie étale \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) tel que chaque changement de base \(Y_i \times_Y X \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\),

6. il existe un recouvrement pour la topologie étale \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) tel que chaque composé \(X_i \to Y\) possède \(\mathcal{P}\),

7. il existe un recouvrement pour la topologie étale \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) et, pour tout \(i \in I\), un recouvrement pour la topologie étale \(\{X_{ij} \to Y_i \times_Y X\}_{j \in J_i}\) tels que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’équivalence de (a) et (b) fait partie de la définition 04QZ. L’équivalence de (a) et (e) est la partie (2) du lemme 04R0. L’équivalence de (a) et (f) est la partie (1) du lemme 04R0. Comme (a) est désormais équivalente à (e) et à (f), il s’ensuit que (a) est équivalente à (g).

Il est clair que (c) implique (a). Si (a) est vérifiée, alors, pour tout diagramme comme en (c), le morphisme \(f \circ a\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 04QZ ; le morphisme \(h\) possède alors \(\mathcal{P}\) d’après la partie (4) du lemme 04R0. Ainsi, (a) et (c) sont équivalentes. Il est clair que (c) implique (d). Pour voir que (d) implique (a), supposons donné un diagramme comme en (c), avec \(a : U \to X\) surjectif et \(h\) possédant \(\mathcal{P}\). Alors \(b \circ h\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (3) du lemme 04R0. Puisque \(\{a : U \to X\}\) est un recouvrement pour la topologie étale, nous concluons que \(f\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) du lemme 04R0.

Il semble que le résultat du lemme suivant ne soit pas une pure formalité : il utilise effectivement la géométrie des morphismes étale.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(\mathcal{P}\) soit locale sur la source pour la topologie étale,

2. \(\mathcal{P}\) soit locale sur la cible pour la topologie étale, et

3. \(\mathcal{P}\) soit stable par postcomposition avec les immersions ouvertes : si \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et si \(Y \subset Z\) est un sous-schéma ouvert, alors \(X \to Z\) possède \(\mathcal{P}\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas satisfaisant les conditions (1), (2) et (3) du lemme. Le lemme 04QV montre que \(\mathcal{P}\) est stable par précomposition avec les morphismes étales. Le lemme 04QU montre que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base étale. Il suffit donc de prouver la partie (3) de la définition 04QZ.

Plus précisément, supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme de schémas satisfaisant la partie (3)(b) de la définition 04QZ. Autrement dit, pour tout \(x \in X\), il existe un morphisme étale \(a_x : U_x \to X\), un point \(u_x \in U_x\) d’image \(x\), un morphisme étale \(b_x : V_x \to Y\) et un morphisme \(h_x : U_x \to V_x\) tels que \(f \circ a_x = b_x \circ h_x\) et que \(h_x\) possède \(\mathcal{P}\). La preuve du lemme sera achevée dès que nous aurons montré que \(f\) possède \(\mathcal{P}\). Posons \(U = \coprod U_x\), \(a = \coprod a_x\), \(V = \coprod V_x\), \(b = \coprod b_x\) et \(h = \coprod h_x\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(a\), \(b\) sont étales et où \(a\) est surjectif. Remarquons que \(h\) possède \(\mathcal{P}\), puisque chaque \(h_x\) la possède et que \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie étale. Comme \(a\) est surjectif et que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale, il suffit de prouver que \(b \circ h\) possède \(\mathcal{P}\). Le lemme se ramène donc à montrer que \(\mathcal{P}\) est stable par postcomposition avec un morphisme étale.

Dans la suite de la preuve, soit \(f : X \to Y\) un morphisme possédant la propriété \(\mathcal{P}\), et soit \(g : Y \to Z\) un morphisme étale. Considérons les assertions suivantes :

1. Sans hypothèse supplémentaire, \(g \circ f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

2. Lorsque \(Z\) est affine, \(g \circ f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

3. Lorsque \(X\) et \(Z\) sont affines, \(g \circ f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

4. Lorsque \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont affines, \(g \circ f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Une fois (-) prouvée, la démonstration du lemme sera achevée.

Assertion 1 : (AAA) \(\Rightarrow\) (AA). En effet, soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) comme ci-dessus, avec \(X\) et \(Z\) affines. Comme \(X\) est affine, donc quasi-compact, il existe un nombre fini d’ouverts affines \(Y_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} f^{-1}(Y_i)\). Posons \(X_i = f^{-1}(Y_i)\). D’après le lemme 04QU, chacun des morphismes \(X_i \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\). Par conséquent, \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i \to \coprod_{i = 1, \ldots, n} Y_i\) possède \(\mathcal{P}\), puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie étale. En appliquant (AAA) au morphisme \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i \to \coprod_{i = 1, \ldots, n} Y_i\) et au morphisme étale \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} Y_i \to Z\), nous voyons que \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i \to Z\) possède \(\mathcal{P}\). Or \(\{\coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i \to X\}\) est un recouvrement pour la topologie étale ; comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour cette topologie, nous concluons que \(X \to Z\) possède \(\mathcal{P}\), comme voulu.

Assertion 2 : (AAA) \(\Rightarrow\) (A). En effet, soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) comme ci-dessus, avec \(Z\) affine. Choisissons un recouvrement par des ouverts affines \(X = \bigcup X_i\). Puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale, chaque \(f|_{X_i} : X_i \to Y\) possède \(\mathcal{P}\). D’après (AA), qui découle de (AAA) par l’Assertion 1, chaque \(X_i \to Z\) possède \(\mathcal{P}\), pour tout \(i\). Puisque \(\{X_i \to X\}\) est un recouvrement pour la topologie étale et que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour cette topologie, nous concluons que \(X \to Z\) possède \(\mathcal{P}\).

Assertion 3 : (AAA) \(\Rightarrow\) (-). En effet, soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) comme ci-dessus. Choisissons un recouvrement par des ouverts affines \(Z = \bigcup Z_i\). Posons \(Y_i = g^{-1}(Z_i)\) et \(X_i = f^{-1}(Y_i)\). D’après le lemme 04QU, chacun des morphismes \(X_i \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\). D’après (A), qui découle de (AAA) par l’Assertion 2, chaque \(X_i \to Z_i\) possède \(\mathcal{P}\), pour tout \(i\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible et que \(X_i = (g \circ f)^{-1}(Z_i)\), nous concluons que \(X \to Z\) possède \(\mathcal{P}\).

Ainsi, pour prouver le lemme, il suffit d’établir (AAA). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) comme ci-dessus, avec \(X, Y, Z\) affines. Remarquons qu’un morphisme étale entre schémas affines a des fibres universellement bornées ; voir les lemmes 03WS et 03JA de Morphismes. Nous pouvons donc raisonner par récurrence sur l’entier \(n\) qui borne le degré des fibres de \(Y \to Z\). Voir le lemme 03WU de Morphismes pour une description de cet entier dans le cas d’un morphisme étale. Si \(n = 1\), alors \(Y \to Z\) est une immersion ouverte ; voir le lemme 02LC. Le résultat découle alors de l’hypothèse (3) du lemme. Supposons \(n > 1\).

Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ X \times_Z Y \ar[d] \ar[r]_{f_Y} & Y \times_Z Y \ar[d] \ar[r]_-{\text{pr}} & Y \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y \ar[r]^g & Z }\] Remarquons que l’on a une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés \(Y \times_Z Y = \Delta_{Y/Z}(Y) \amalg Y'\) ; voir le lemme 02GE de Morphismes. Puisqu’elle est obtenue par changement de base, la seconde projection \(\text{pr} : Y \times_Z Y \to Y\) a des fibres de degré borné par \(n\) ; voir le lemme 03J7 de Morphismes. D’autre part, \(\text{pr}|_{\Delta(Y)} : \Delta(Y) \to Y\) est un isomorphisme, et chacune de ses fibres possède exactement un point. En appliquant le lemme 03WU de Morphismes, nous concluons que les degrés des fibres de la restriction \(\text{pr}|_{Y'} : Y' \to Y\) sont bornés par \(n - 1\). Posons \(X' = f_Y^{-1}(Y')\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X \amalg X' \ar@{=}[d] \ar[r]_-{f \amalg f'} & \Delta(Y) \amalg Y' \ar@{=}[d] \ar[r] & Y \ar@{=}[d] \\ X \times_Z Y \ar[r]^{f_Y} & Y \times_Z Y \ar[r]^-{\text{pr}} & Y }\] Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie étale et donc stable par changement de base étale (voir le lemme 04QU), nous voyons que \(f_Y\) possède \(\mathcal{P}\). Puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale, \(f' = f_Y|_{X'}\) possède \(\mathcal{P}\). Par l’hypothèse de récurrence, \(X' \to Y\) possède \(\mathcal{P}\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la source et que \(\{X \to X \times_Z Y, X' \to X \times_Y Z\}\) est un recouvrement pour la topologie étale, nous concluons que \(\text{pr} \circ f_Y\) possède \(\mathcal{P}\). Remarquons que \(g \circ f\) peut être considéré comme un morphisme \(g \circ f : X \to g(Y)\). Or \(\text{pr} \circ f_Y\) est le changement de base de \(g \circ f : X \to g(Y)\) par le recouvrement pour la topologie étale \(\{Y \to g(Y)\}\) ; puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour cette topologie, nous concluons que \(g \circ f : X \to g(Y)\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Enfin, en appliquant encore une fois l’hypothèse (3) du lemme, nous concluons que \(g \circ f : X \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Remarque

En utilisant le lemme 04R2 et les résultats des sections précédentes de ce chapitre, on obtient aisément une liste de types de morphismes dont la propriété est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Dans chaque cas, nous indiquons le lemme qui établit la localité sur la source, puis celui qui établit la localité sur la cible pour cette topologie. La troisième hypothèse du lemme 04R2 se vérifie immédiatement dans chaque cas ; nous omettons cette vérification. Voici la liste :

1. plat, voir les lemmes 036K et 02L2,

2. localement de présentation finie, voir les lemmes 036N et 02KY,

3. localement de type fini, voir les lemmes 036O et 02KX,

4. universellement ouvert, voir les lemmes 036Q et 02KT,

5. syntomique, voir les lemmes 036S et 02VK,

6. lisse, voir les lemmes 036U et 02VL,

7. étale, voir les lemmes 036W et 02VN,

8. localement quasi-fini, voir les lemmes 03X4 et 02VI,

9. non ramifié, voir les lemmes 03YV et 02VM,

10. G-non ramifié, voir les lemmes 03YV et 02VM, et

11. tout autre type qu’il sera utile d’ajouter.

Remarque

À ce stade, trois définitions peuvent exprimer qu’une propriété \(\mathcal{P}\) de morphismes est “locale sur la source et la cible pour la topologie étale” :

1. \(\mathcal{P}\) est locale sur la source et locale sur la cible pour la topologie étale,

2. (définition donnée par Deligne et Mumford dans l’article [DM, p. 100]) pour tout diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] dont les flèches verticales sont surjectives et étales, on a \(\mathcal{P}(h) \Leftrightarrow \mathcal{P}(f)\), et

3. \(\mathcal{P}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Nous avons vu dans cette section que (SP) \(\Rightarrow\) (DM) \(\Rightarrow\) (ST). Les exemples 04QX et 04QY montrent qu’aucune des deux implications réciproques n’est vraie. Enfin, le lemme 04R2 montre que la différence disparaît pour les propriétés de morphismes stables par postcomposition avec les immersions ouvertes, ce qui sera toujours le cas en pratique.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Étant donné un diagramme commutatif de schémas \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d]_{g'} \ar[r]_{f'} & Y' \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & Y } } \quad\text{avec les points}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x' \ar[d] \ar[r] & y' \ar[d] \\ x \ar[r] & y } }\] tels que \(g'\) soit étale en \(x'\) et que \(g\) soit étale en \(y'\), on a \(x \in W(f) \Leftrightarrow x' \in W(f')\), où \(W(-)\) est défini dans le lemme 0CEY.

Démonstration

Le lemme 0CEY s’applique, puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale d’après le lemme 04R0.

Supposons \(x \in W(f)\). Soient \(U' \subset X'\) et \(V' \subset Y'\) des voisinages ouverts de \(x'\) et \(y'\) tels que \(f'(U') \subset V'\), \(g'(U') \subset W(f)\), et tels que \(g'|_{U'}\) et \(g|_{V'}\) soient tous deux étales. Alors \(f \circ g'|_{U'} = g \circ f'|_{U'}\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la propriété (1) de la définition 04QZ. Le morphisme \(f'|_{U'} : U' \to V'\) possède donc la propriété \(\mathcal{P}\) d’après la partie (4) du lemme 04R0. Puis, par la partie (3) du lemme 04R0, nous concluons que \(f'_{U'} : U' \to Y'\) possède \(\mathcal{P}\). Ainsi, \(U' \subset W(f')\) par définition, et donc \(x' \in W(f')\).

Supposons \(x' \in W(f')\). Soient \(U' \subset X'\) et \(V' \subset Y'\) des voisinages ouverts de \(x'\) et \(y'\) tels que \(f'(U') \subset V'\), \(U' \subset W(f')\), et tels que \(g'|_{U'}\) et \(g|_{V'}\) soient tous deux étales. Alors \(U' \to Y'\) possède \(\mathcal{P}\) par définition de \(W(f')\). Le morphisme \(U' \to V'\) possède donc \(\mathcal{P}\) d’après la partie (4) du lemme 04R0. Ensuite, \(U' \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (3) du lemme 04R0. Soit \(U \subset X\) l’image du morphisme étale, donc ouvert, \(g'|_U' : U' \to X\). Alors \(\{U' \to U\}\) est un recouvrement pour la topologie étale, et nous concluons que \(U \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) du lemme 04R0. Ainsi, \(U \subset W(f)\) par définition, et donc \(x \in W(f)\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 2\). Pour \(1 \leq i, j \leq n\) avec \(i \not = j\) et \(d \geq 0\), notons \(T_{i, j, d}\) l’automorphisme de \(\mathbf{A}^n_k\) donné en coordonnées par \[(x_1, \ldots, x_n) \longmapsto (x_1, \ldots, x_{i - 1}, x_i + x_j^d, x_{i + 1}, \ldots, x_n)\] Soit \(W \subset \mathbf{A}^n_k\) un sous-schéma ouvert non vide tel que \(T_{i, j, d}(W) = W\) pour tous \(i, j, d\) comme ci-dessus. Alors soit \(W = \mathbf{A}^n_k\), soit la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\) et \(\mathbf{A}^n_k \setminus W\) est un ensemble fini de points fermés dont les coordonnées sont algébriques sur \(\mathbf{F}_p\).

Démonstration

Pour établir le résultat, nous pouvons remplacer \(k\) par une extension quelconque. Soit \(Z\) une composante irréductible de \(\mathbf{A}^n_k \setminus W\). Supposons \(\dim(Z) \geq 1\), et cherchons une contradiction. Il existe alors une extension de corps \(k'/k\) et un point à valeurs dans \(k'\), \(\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in (k')^n\), de \(Z_{k'} \subset \mathbf{A}^n_{k'}\), tel qu’au moins l’un des \(x_1, \ldots, x_n\) soit transcendant sur le corps premier. Affirmation : l’orbite de \(\xi\) sous le groupe engendré par les transformations \(T_{i, j, d}\) est dense pour la topologie de Zariski dans \(\mathbf{A}^n_{k'}\). Cette affirmation donnera la contradiction cherchée.

Si la caractéristique de \(k'\) est nulle, les opérateurs \(T_{i, j, 0}\) suffisent déjà, puisqu’ils transforment \(\xi\) en les points \[(\xi_1 + a_1, \ldots, \xi_n + a_n)\] pour \((a_1, \ldots, a_n) \in \mathbf{Z}_{\geq 0}^n\) arbitraire. Si la caractéristique est \(p > 0\), nous pouvons supposer, après renumérotation, que \(\xi_n\) est transcendant sur \(\mathbf{F}_p\). En appliquant successivement les opérateurs \(T_{i, n, d}\) pour \(i < n\), nous voyons que l’orbite de \(\xi\) contient les éléments \[(\xi_1 + P_1(\xi_n), \ldots, \xi_{n - 1} + P_{n - 1}(\xi_n), \xi_n)\] pour \((P_1, \ldots, P_{n - 1}) \in \mathbf{F}_p[t]\) arbitraire. La fermeture de l’orbite pour la topologie de Zariski contient donc l’hyperplan d’équation \(x_n = \xi_n\). En répétant l’argument avec une autre coordonnée, nous concluons que cette fermeture contient \(x_i = \xi_i + P(\xi_n)\) pour tout \(P \in \mathbf{F}_p[t]\) tel que \(\xi_i + P(\xi_n)\) soit transcendant sur \(\mathbf{F}_p\). Puisqu’il existe une infinité de tels \(P\), l’affirmation en résulte.

Bien entendu, l’argument du paragraphe précédent s’applique aussi lorsque \(Z = \{z\}\) est de dimension \(0\) et que les coordonnées de \(z\) dans \(\kappa(z)\) ne sont pas algébriques sur \(\mathbf{F}_p\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(\mathcal{P}\) soit locale sur la source pour la topologie étale,

2. \(\mathcal{P}\) soit locale sur la cible pour la topologie lisse,

3. \(\mathcal{P}\) soit stable par postcomposition avec les immersions ouvertes : si \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et si \(Y \subset Z\) est un sous-schéma ouvert, alors \(X \to Z\) possède \(\mathcal{P}\).

Étant donné un diagramme commutatif de schémas \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d]_{g'} \ar[r]_{f'} & Y' \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & Y } } \quad\text{avec les points}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x' \ar[d] \ar[r] & y' \ar[d] \\ x \ar[r] & y } }\] tels que \(g\) soit lisse en \(y'\) et que \(X' \to X \times_Y Y'\) soit étale en \(x'\), on a \(x \in W(f) \Leftrightarrow x' \in W(f')\), où \(W(-)\) est défini dans le lemme 0CEY.

Démonstration

Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie étale, nous voyons que \(x \in W(f)\) si et seulement si l’image de \(x\) dans \(X \times_Y Y'\) appartient à \(W(X \times_Y Y' \to Y')\). Nous pouvons donc supposer que le diagramme du lemme est cartésien.

Supposons \(x \in W(f)\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie lisse, nous voyons que \((g')^{-1}W(f) = W(f) \times_Y Y' \to Y'\) possède \(\mathcal{P}\). Ainsi, \((g')^{-1}W(f) \subset W(f')\). Nous concluons que \(x' \in W(f')\).

Supposons \(x' \in W(f')\). Pour tout voisinage ouvert \(V' \subset Y'\) de \(y'\), on peut remplacer \(Y'\) par \(V'\) et \(X'\) par \(U' = (f')^{-1}V'\), puisque \(V' \to Y'\) est lisse et que le changement de base \(W(f') \cap U' \to V'\) de \(W(f') \to Y'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Nous pouvons donc supposer qu’il existe un morphisme étale \(Y' \to \mathbf{A}^n_Y\) au-dessus de \(Y\) ; voir le lemme 054L de Morphismes. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ \mathbf{A}^n_X \ar[r]_{f_n} \ar[d] & \mathbf{A}^n_Y \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] D’après le lemme 04R2 (et puisque les recouvrements pour la topologie étale sont des recouvrements pour la topologie lisse), nous voyons que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Le lemme 0CEZ montre que \(W(f')\) est l’image inverse de l’ouvert \(W(f_n) \subset \mathbf{A}^n_X\). En particulier, \(W(f_n)\) contient un point au-dessus de \(x\). Après avoir remplacé \(X\) par l’image de \(W(f_n)\), qui est ouverte, nous pouvons supposer que \(W(f_n) \to X\) est surjectif. Affirmation : \(W(f_n) = \mathbf{A}^n_X\). Cette affirmation implique que \(f\) possède \(\mathcal{P}\), puisque \(\mathcal{P}\) est locale sur la cible pour la topologie lisse et que \(\{\mathbf{A}^n_Y \to Y\}\) est un recouvrement pour cette topologie.

Essentiellement, l’affirmation résulte du fait que \(W(f_n) \subset \mathbf{A}^n_X\) est un ouvert “invariant par translation” qui rencontre toute fibre de \(\mathbf{A}^n_X \to X\). Toutefois, pour produire un argument de cette forme, il faut effectuer une localisation étale sur \(Y\) afin de disposer d’assez de translations, ce qui devient quelque peu fastidieux. Nous utilisons plutôt les automorphismes du lemme 0CF0 et des morphismes étales d’espaces affines. Nous pouvons supposer \(n \geq 2\). En effet, si \(n = 0\), le résultat est acquis. Si \(n = 1\), considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathbf{A}^2_X \ar[r]_{f_2} \ar[d]_p & \mathbf{A}^2_Y \ar[d] \\ \mathbf{A}^1_X \ar[r]^{f_1} & \mathbf{A}^1_Y }\] Nous avons \(p^{-1}(W(f_1)) \subset W(f_2)\) ; voir le premier paragraphe de la preuve. Ainsi, \(W(f_2) \to X\) est encore surjectif, et nous pouvons travailler avec \(f_2\). Supposons \(n \geq 2\).

Pour tous \(1 \leq i, j \leq n\) avec \(i \not = j\) et \(d \geq 0\), notons \(T_{i, j, d}\) l’automorphisme de \(\mathbf{A}^n\) défini dans le lemme 0CF0. Nous obtenons alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{A}^n_X \ar[r]_{f_n} \ar[d]_{T_{i, j, d}} & \mathbf{A}^n_Y \ar[d]^{T_{i, j, d}} \\ \mathbf{A}^n_X \ar[r]^{f_n} & \mathbf{A}^n_Y }\] dont les flèches verticales sont des isomorphismes. Nous concluons que \(T_{i, j, d}(W(f_n)) = W(f_n)\). En appliquant le lemme 0CF0, nous concluons que, pour tout \(x \in X\), la fibre \(W(f_n)_x \subset \mathbf{A}^n_x\) est soit \(\mathbf{A}^n_x\), ce qui est le résultat cherché, soit telle que \(\kappa(x)\) est de caractéristique \(p > 0\) et que \(W(f_n)_x\) est le complémentaire d’un ensemble fini \(Z_x \subset \mathbf{A}^n_x\) de points fermés. La seconde possibilité ne peut pas se produire. Considérons en effet le morphisme \(T_p : \mathbf{A}^n \to \mathbf{A}^n\) donné par \[(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1 - x_1^p, \ldots, x_n - x_n^p)\] Comme ci-dessus, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{A}^n_X \ar[r]_{f_n} \ar[d]_{T_p} & \mathbf{A}^n_Y \ar[d]^{T_p} \\ \mathbf{A}^n_X \ar[r]^{f_n} & \mathbf{A}^n_Y }\] Le morphisme \(T_p : \mathbf{A}^n_X \to \mathbf{A}^n_X\) est étale en tout point au-dessus de \(x\), et le morphisme \(T_p : \mathbf{A}^n_Y \to \mathbf{A}^n_Y\) est étale en tout point au-dessus de l’image de \(x\) dans \(Y\). (Détails omis ; indication : calculer les dérivées.) Nous concluons que \[T_p^{-1}(W) \cap \mathbf{A}^n_x = W \cap \mathbf{A}^n_x\] d’après le lemme 0CEZ (nous avons déjà vu que \(\mathcal{P}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale). Puisque \(T_p : \mathbf{A}^n_x \to \mathbf{A}^n_x\) est fini étale de degré \(p^n > 1\), si \(Z_x\) n’est pas vide, il contient \(T_p^{-1}(Z_x)\), qui est strictement plus grand. Cette contradiction achève la preuve.

Propriétés des morphismes de germes locales sur la source-et-cible pour la topologie étale

Dans cette section, nous examinons l’analogue des résultats de la section 04QW pour les morphismes de germes de schémas.

Définition

Soit \(\mathcal{Q}\) une propriété des morphismes de germes de schémas. On dit que \(\mathcal{Q}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ (U', u') \ar[d]_a \ar[r]_{h'} & (V', v') \ar[d]^b \\ (U, u) \ar[r]^h & (V, v) }\] de germes dont les flèches verticales sont étales, on a \(\mathcal{Q}(h) \Leftrightarrow \mathcal{Q}(h')\).

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas qui est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Considérons la propriété \(\mathcal{Q}\) des morphismes de germes définie par \[\mathcal{Q}((X, x) \to (S, s)) \Leftrightarrow \text{il existe un représentant }U \to S \text{ qui vérifie }\mathcal{P}\] Alors \(\mathcal{Q}\) est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale au sens de la définition 04NB.

Démonstration

Si un morphisme de germes \((X, x) \to (S, s)\) vérifie \(\mathcal{Q}\), alors il existe des voisinages ouverts arbitrairement petits \(U \subset X\) de \(x\) et \(V \subset S\) de \(s\) tels qu’un représentant \(U \to V\) de \((X, x) \to (S, s)\) vérifie \(\mathcal{P}\). Cela résulte du lemme 04R0. Soit \[\xymatrix{ (U', u') \ar[r]_{h'} \ar[d]_a & (V', v') \ar[d]^b \\ (U, u) \ar[r]^h & (V, v) }\] un diagramme comme dans la définition 04NB. Choisissons \(U_1 \subset U\) et un représentant \(h_1 : U_1 \to V\) de \(h\). Choisissons \(V'_1 \subset V'\) et un représentant étale \(b_1 : V'_1 \to V\) de \(b\) (définition 04QS). Choisissons \(U'_1 \subset U'\) et des représentants \(a_1 : U'_1 \to U_1\) et \(h'_1 : U'_1 \to V'_1\) de \(a\) et \(h'\), avec \(a_1\) étale. Après avoir rétréci \(U'_1\), nous pouvons supposer que \(h_1 \circ a_1 = b_1 \circ h'_1\). D’après la remarque liminaire de la démonstration, il s’agit de montrer que \(u' \in W(h'_1) \Leftrightarrow u \in W(h_1)\), où \(W(-)\) est défini comme au lemme 0CEY. Le résultat découle donc du lemme 0CEZ.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas qui est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale. Soit \(Q\) la propriété associée des morphismes de germes, voir le lemme 04R6. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), et

2. pour tout \(x \in X\), le morphisme de germes \((X, x) \to (Y, f(x))\) vérifie la propriété \(\mathcal{Q}\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte directement des définitions. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte aussi de la partie (3) de la définition 04QZ.

Un morphisme de germes \((X, x) \to (S, s)\) détermine un homomorphisme bien défini d’anneaux locaux. Le lemme suivant a donc un sens.

Lemme

La propriété des morphismes de germes \[\mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\text{ est plat}\] est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans la définition 04NB, nous obtenons le diagramme suivant d’homomorphismes locaux d’anneaux locaux : \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U', u'} & \mathcal{O}_{V', v'} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{U, u} \ar[u] & \mathcal{O}_{V, v} \ar[l] \ar[u] }\] Les flèches verticales sont des localisations d’homomorphismes d’anneaux étales ; en particulier, elles sont essentiellement de présentation finie, plates et non ramifiées (voir la section 00U0 d’Algèbre). Ces homomorphismes verticaux sont donc fidèlement plats, voir le lemme 00HR d’Algèbre. Si la flèche horizontale supérieure est plate, la flèche horizontale inférieure est plate par application du lemme 039V d’Algèbre, avec \(R = \mathcal{O}_{V, v}\), \(S = \mathcal{O}_{U, u}\) et \(M = \mathcal{O}_{U', u'}\). Si la flèche horizontale inférieure est plate, alors l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{V', v'} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} \mathcal{O}_{U, u} \longleftarrow \mathcal{O}_{V', v'}\] est plat d’après le lemme 00HI d’Algèbre. Enfin, l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{U', u'} \longleftarrow \mathcal{O}_{V', v'} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} \mathcal{O}_{U, u}\] est la localisation d’un homomorphisme entre des extensions de type étale de \(\mathcal{O}_{U, u}\) ; il est donc plat d’après le lemme 00U7 d’Algèbre.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de morphismes de schémas \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & V' \ar[d] \\ U \ar[r] & V }\] dont les flèches verticales sont étales, et un point \(v' \in V'\) dont l’image est \(v \in V\). Alors le morphisme entre les fibres \(U'_{v'} \to U_v\) est étale.

Démonstration

Le morphisme \(U'_v \to U_v\) est étale, puisqu’il s’obtient par changement de base à partir du morphisme étale \(U' \to U\). Le schéma \(U'_v\) est un schéma sur \(V'_v\). D’après le lemme 02GL de Morphismes, le schéma \(V'_v\) est une réunion disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(\kappa(v)\). L’une de ces composantes est \(v' = \Spec(\kappa(v'))\). Par conséquent, \(U'_{v'}\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(U'_v\), et le composé \(U'_{v'} \to U'_v \to U_v\) est étale (comme composé d’une immersion ouverte et d’un morphisme étale, voir la section 02GH de Morphismes).

Étant donné un morphisme de germes de schémas \((X, x) \to (S, s)\), on peut définir sa fibre comme la classe d’isomorphisme du germe \((U_s, x)\), où \(U \to S\) est un représentant quelconque. Par abus de notation, nous écrirons souvent simplement \((X_s, x)\).

Lemme

Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). La propriété des morphismes de germes \[\mathcal{P}_d((X, x) \to (S, s)) = \text{l'anneau local } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{ de la fibre est de dimension }d\] est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans la définition 04NB, on obtient un morphisme étale entre les fibres \(U'_{v'} \to U_v\) envoyant \(u'\) sur \(u\), voir le lemme 04NI. Le résultat découle donc du lemme 04N8.

Lemme

Soit \(r \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). La propriété des morphismes de germes \[\mathcal{P}_r((X, x) \to (S, s)) \Leftrightarrow \text{trdeg}_{\kappa(s)} \kappa(x) = r\] est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans la définition 04NB, on obtient le diagramme suivant d’homomorphismes locaux d’anneaux locaux : \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U', u'} & \mathcal{O}_{V', v'} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{U, u} \ar[u] & \mathcal{O}_{V, v} \ar[l] \ar[u] }\] Les flèches verticales sont des localisations d’homomorphismes d’anneaux étales ; elles sont en particulier non ramifiées (voir la section 00U0 d’Algèbre). Par conséquent, \(\kappa(u')/\kappa(u)\) et \(\kappa(v')/\kappa(v)\) sont des extensions finies séparables. On a donc \(\text{trdeg}_{\kappa(v)} \kappa(u) = \text{trdeg}_{\kappa(v')} \kappa(u)\), ce qui démontre le lemme.

Soit \((X, x)\) un germe de schéma. La dimension de \(X\) en \(x\) est le minimum des dimensions des voisinages ouverts de \(x\) dans \(X\), et tout voisinage ouvert suffisamment petit a cette dimension. C’est donc un invariant de la classe d’isomorphisme du germe. On le note simplement \(\dim_x(X)\).

Lemme

Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). La propriété des morphismes de germes \[\mathcal{P}_d((X, x) \to (S, s)) \Leftrightarrow \dim_x (X_s) = d\] est locale sur la source-et-cible pour la topologie étale.

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans la définition 04NB, on obtient un morphisme étale entre les fibres \(U'_{v'} \to U_v\) envoyant \(u'\) sur \(u\), voir le lemme 04NI. L’égalité \(\dim_u(U_v) = \dim_{u'}(U'_{v'})\) résulte alors du lemme 04N4.

Données de descente pour les schémas au-dessus de schémas

La plupart des raisonnements de cette section sont formels et ne reposent que sur la définition d’une donnée de descente. Dans la section 0248 d’Espaces simpliciaux, nous examinerons le lien avec les schémas simpliciaux, ce qui éclairera quelque peu la situation.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

1. Soit \(V \to X\) un schéma au-dessus de \(X\). Une donnée de descente pour \(V/X/S\) est un isomorphisme \(\varphi : V \times_S X \to X \times_S V\) de schémas au-dessus de \(X \times_S X\) satisfaisant la condition de cocycle, c’est-à-dire tel que le diagramme \[\xymatrix{ V \times_S X \times_S X \ar[rd]^{\varphi_{01}} \ar[rr]_{\varphi_{02}} & & X \times_S X \times_S V\\ & X \times_S V \times_S X \ar[ru]^{\varphi_{12}} }\] soit commutatif (avec les notations évidentes).

2. On dit aussi que le couple \((V/X, \varphi)\) est une donnée de descente relativement à \(X \to S\).

3. Un morphisme \(g : (V/X, \varphi) \to (V'/X, \varphi')\) de données de descente relativement à \(X \to S\) est un morphisme \(g : V \to V'\) de schémas au-dessus de \(X\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ V \times_S X \ar[r]_{\varphi} \ar[d]_{g \times \text{id}_X} & X \times_S V \ar[d]^{\text{id}_X \times g} \\ V' \times_S X \ar[r]^{\varphi'} & X \times_S V' }\] soit commutatif.

La définition précédente donne lieu à toutes sortes d’identités “miraculeuses”. Par exemple, l’image inverse de \(\varphi\) par le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_S X\) peut être considéré comme un morphisme \(\Delta^*\varphi : V \to V\). En effet, \(X \times_{\Delta, X \times_S X} (V \times_S X) = V\) et \(X \times_{\Delta, X \times_S X} (X \times_S V) = V\). En fait, \(\Delta^*\varphi\) est l’identité. Voilà un bon exercice si cette construction ne vous est pas familière.

Remarque

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \((V/X, \varphi)\) une donnée de descente relativement à \(X \to S\). On peut voir l’isomorphisme \(\varphi\) comme un isomorphisme \[(X \times_S X) \times_{\text{pr}_0, X} V \longrightarrow (X \times_S X) \times_{\text{pr}_1, X} V\] de schémas au-dessus de \(X \times_S X\). De façon informelle, on peut donc voir \(\varphi\) comme un morphisme \(\varphi : \text{pr}_0^*V \to \text{pr}_1^*V\)⁹. La condition de cocycle affirme alors que \(\text{pr}_{02}^*\varphi = \text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi\). De ce point de vue, la situation est très analogue à celle d’une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents.

Voici la définition lorsqu’on considère une famille de morphismes de même but.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to S\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(S\).

1. Une donnée de descente \((V_i, \varphi_{ij})\) relativement à la famille \(\{X_i \to S\}\) consiste en un schéma \(V_i\) au-dessus de \(X_i\) pour chaque \(i \in I\), et en un isomorphisme \(\varphi_{ij} : V_i \times_S X_j \to X_i \times_S V_j\) de schémas au-dessus de \(X_i \times_S X_j\) pour chaque paire \((i, j) \in I^2\), tels que, pour tout triplet d’indices \((i, j, k) \in I^3\), le diagramme \[\xymatrix{ V_i \times_S X_j \times_S X_k \ar[rd]^{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & X_i \times_S X_j \times_S V_k\\ & X_i \times_S V_j \times_S X_k \ar[ru]^{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} }\] de schémas au-dessus de \(X_i \times_S X_j \times_S X_k\) soit commutatif (avec les notations évidentes).

2. Un morphisme \(\psi : (V_i, \varphi_{ij}) \to (V'_i, \varphi'_{ij})\) de données de descente consiste en une famille \(\psi = (\psi_i)_{i \in I}\) de morphismes de \(X_i\)-schémas \(\psi_i : V_i \to V'_i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ V_i \times_S X_j \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\psi_i \times \text{id}} & X_i \times_S V_j \ar[d]^{\text{id} \times \psi_j} \\ V'_i \times_S X_j \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & X_i \times_S V'_j }\] soient commutatifs.

Cette notion apparaît naturellement, par exemple, lorsqu’on se demande si la catégorie fibrée des courbes relatives est un champ pour la topologie fpqc (ce n’est pas le cas – du moins si l’on s’en tient aux schémas).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to S\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(S\). Soit \((V_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente relativement à \(\{X_i \to S\}\). On peut voir les isomorphismes \(\varphi_{ij}\) comme des isomorphismes \[(X_i \times_S X_j) \times_{\text{pr}_0, X_i} V_i \longrightarrow (X_i \times_S X_j) \times_{\text{pr}_1, X_j} V_j\] de schémas au-dessus de \(X_i \times_S X_j\). De façon informelle, on peut donc voir \(\varphi_{ij}\) comme un isomorphisme \(\text{pr}_0^*V_i \to \text{pr}_1^*V_j\) au-dessus de \(X_i \times_S X_j\). La condition de cocycle affirme alors que \(\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik} = \text{pr}_{12}^*\varphi_{jk} \circ \text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}\). De ce point de vue, la situation est très analogue à celle d’une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents.

Le lemme suivant explique pourquoi nous travaillerons généralement avec une famille réduite à un seul morphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to S\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(S\). Posons \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) et considérons-le comme un \(S\)-schéma. Il existe une équivalence canonique de catégories \[\begin{matrix} \text{catégorie des données de descente } \\ \text{relativement à la famille } \{X_i \to S\}_{i \in I} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{ catégorie des données de descente} \\ \text{ relativement à } X/S \end{matrix}\] qui envoie \((V_i, \varphi_{ij})\) sur \((V, \varphi)\), où \(V = \coprod_{i\in I} V_i\) et \(\varphi = \coprod \varphi_{ij}\).

Démonstration

On a \(X \times_S X = \coprod_{ij} X_i \times_S X_j\), et de même pour les produits fibrés d’ordre supérieur. Se donner un morphisme \(V \to X\) équivaut exactement à se donner une famille \(V_i \to X_i\). De même, se donner une donnée de descente \(\varphi\) équivaut exactement à se donner une famille \(\varphi_{ij}\).

Lemme

Changement de base des données de descente pour les schémas au-dessus de schémas.

1. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d]_{a'} & X \ar[d]^a \\ S' \ar[r]^h & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. La construction \[(V \to X, \varphi) \longmapsto f^*(V \to X, \varphi) = (V' \to X', \varphi')\] où \(V' = X' \times_X V\) et où \(\varphi'\) est défini comme le composé \[\xymatrix{ V' \times_{S'} X' \ar@{=}[r] & (X' \times_X V) \times_{S'} X' \ar@{=}[r] & (X' \times_{S'} X') \times_{X \times_S X} (V \times_S X) \ar[d]^{\text{id} \times \varphi} \\ X' \times_{S'} V' \ar@{=}[r] & X' \times_{S'} (X' \times_X V) & (X' \times_{S'} X') \times_{X \times_S X} (X \times_S V) \ar@{=}[l] }\] définit un foncteur de la catégorie des données de descente relativement à \(X \to S\) vers la catégorie des données de descente relativement à \(X' \to S'\).

2. Étant donnés deux morphismes \(f_i : X' \to X\), \(i = 0, 1\), qui rendent le diagramme commutatif, les foncteurs \(f_0^*\) et \(f_1^*\) sont canoniquement isomorphes.

Démonstration

Nous omettons la preuve de (1), mais remarquons que le morphisme \(\varphi'\) est le morphisme \((f \times f)^*\varphi\) dans les notations introduites à la remarque 02VP. Pour (2), indiquons le morphisme \(f_0^*V \to f_1^*V\) qui donne l’isomorphisme de foncteurs. Comme \(f_0\) et \(f_1\) s’insèrent tous deux dans le diagramme commutatif, il existe un unique morphisme \(r : X' \to X \times_S X\) tel que \(f_i = \text{pr}_i \circ r\). On prend alors \[\begin{eqnarray*} f_0^*V & = & X' \times_{f_0, X} V \\ & = & X' \times_{\text{pr}_0 \circ r, X} V \\ & = & X' \times_{r, X \times_S X} (X \times_S X) \times_{\text{pr}_0, X} V \\ & \xrightarrow{\varphi} & X' \times_{r, X \times_S X} (X \times_S X) \times_{\text{pr}_1, X} V \\ & = & X' \times_{\text{pr}_1 \circ r, X} V \\ & = & X' \times_{f_1, X} V \\ & = & f_1^*V \end{eqnarray*}\] Nous omettons la vérification.

Définition

Avec \(S, S', X, X', f, a, a', h\) comme dans le lemme 023Y, le foncteur \[(V, \varphi) \longmapsto f^*(V, \varphi)\] construit dans ce lemme est appelé le foncteur de changement de base sur les données de descente.

Lemme

Soient \(\mathcal{U} = \{U_i \to S'\}_{i \in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to S\}_{j \in J}\) des familles de morphismes de même but. Soient \(\alpha : I \to J\), \(h : S' \to S\) et \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) un morphisme de familles de morphismes de même but, voir la définition 00VT de Sites.

1. Soit \((Y_j, \varphi_{jj'})\) une donnée de descente relativement à la famille \(\{V_j \to S'\}\). Le système \[\left( g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')} \right)\] (avec les notations de la remarque 02VQ) est une donnée de descente relativement à \(\mathcal{V}\).

2. Cette construction définit un foncteur entre les données de descente relativement à \(\mathcal{U}\) et les données de descente relativement à \(\mathcal{V}\).

3. Étant donnés un second \(\alpha' : I \to J\), un morphisme \(h' : S' \to S\) et un morphisme de familles de morphismes de même but \(g'_i : U_i \to V_{\alpha'(i)}\), si \(h = h'\), alors les deux foncteurs ainsi obtenus entre les données de descente sont canoniquement isomorphes.

4. Ces foncteurs coïncident, via le lemme 023X, avec les foncteurs de changement de base construits au lemme 023Y.

Démonstration

Cela résulte du lemme 023Y par la correspondance du lemme 023X.

Définition

Avec \(\mathcal{U} = \{U_i \to S'\}_{i \in I}\), \(\mathcal{V} = \{V_j \to S\}_{j \in J}\), \(\alpha : I \to J\), \(h : S' \to S\) et \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) comme dans le lemme 02VS, le foncteur \[(Y_j, \varphi_{jj'}) \longmapsto (g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')})\] construit dans ce lemme est appelé le foncteur de changement de base sur les données de descente.

Si \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{V}\) ont le même but \(S\), et si \(\mathcal{U}\) raffine \(\mathcal{V}\) (voir la définition 00VT de Sites), mais qu’aucun couple explicite \((\alpha, g_i)\) n’est donné, on peut néanmoins parler du foncteur de changement de base : le lemme 02VS montre que le choix de ce couple est indifférent (à isomorphisme canonique près).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

1. Étant donné un schéma \(U\) au-dessus de \(S\), on dispose de la donnée de descente triviale de \(U\) relativement à \(\text{id} : S \to S\), à savoir le morphisme identité de \(U\).

2. Le lemme 023Y fournit une donnée de descente canonique sur \(X \times_S U\) relativement à \(X \to S\), obtenue par changement de base de la donnée de descente triviale le long de \(f\). Nous noterons souvent cette donnée \((X \times_S U, can)\).

3. Une donnée de descente \((V, \varphi)\) relativement à \(X/S\) est dite effective si \((V, \varphi)\) est isomorphe à la donnée de descente canonique \((X \times_S U, can)\) pour un certain schéma \(U\) au-dessus de \(S\).

Ainsi, être effective signifie qu’il existe un schéma \(U\) au-dessus de \(S\) et un isomorphisme \(\psi : V \to X \times_S U\) de \(X\)-schémas tel que \(\varphi\) soit égal au composé \[V \times_S X \xrightarrow{\psi \times \text{id}_X} X \times_S U \times_S X = X \times_S X \times_S U \xrightarrow{\text{id}_X \times \psi^{-1}} X \times_S V\]

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to S\}\) une famille de morphismes de but \(S\).

1. Étant donné un schéma \(U\) au-dessus de \(S\), on dispose d’une donnée de descente canonique sur la famille de schémas \(X_i \times_S U\), obtenue par changement de base de la donnée de descente triviale de \(U\) relativement à \(\{\text{id} : S \to S\}\). Nous notons cette donnée de descente \((X_i \times_S U, can)\).

2. Une donnée de descente \((V_i, \varphi_{ij})\) relativement à \(\{X_i \to S\}\) est dite effective s’il existe un schéma \(U\) au-dessus de \(S\) tel que \((V_i, \varphi_{ij})\) soit isomorphe à \((X_i \times_S U, can)\).

Pleine fidélité des foncteurs de changement de base

Le foncteur de changement de base entre données de descente pour des recouvrements fpqc est en fait pleinement fidèle. Autrement dit, les morphismes de schémas satisfont à la descente fpqc. Le but de cette section est de le démontrer. Le lecteur est plutôt invité à en chercher lui-même une preuve. L’idée essentielle consiste à utiliser le lemme 023Q.

Lemme

Tout morphisme surjectif et plat est un épimorphisme dans la catégorie des schémas.

Démonstration

Soit \(h : X' \to X\) un morphisme surjectif et plat, et soient \(a, b : X \to Y\) des morphismes tels que \(a \circ h = b \circ h\). Comme \(h\) est surjectif, les morphismes \(a\) et \(b\) coïncident sur les espaces topologiques sous-jacents. Choisissons \(x' \in X'\) et posons \(x = h(x')\) et \(y = a(x) = b(x)\). Considérons les homomorphismes d’anneaux locaux \[a^\sharp_x, b^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\] Ils deviennent égaux après composition avec l’homomorphisme local plat \(h^\sharp_{x'} : \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'}\). Comme tout homomorphisme local plat est fidèlement plat (lemme 00HR d’Algèbre), on en déduit que \(h^\sharp_{x'}\) est injectif. Ainsi \(a^\sharp_x = b^\sharp_x\), ce qui entraîne \(a = b\), comme voulu.

Lemme

Soit \(h : S' \to S\) un morphisme de schémas surjectif et plat. Le foncteur de changement de base \[\Sch/S \longrightarrow \Sch/S', \quad X \longmapsto S' \times_S X\] est fidèle.

Démonstration

Soient \(X_1\) et \(X_2\) des schémas au-dessus de \(S\). Soient \(\alpha, \beta : X_2 \to X_1\) des morphismes au-dessus de \(S\). Si les changements de base de \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux, on obtient le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_2 \ar[d]^\alpha & S' \times_S X_2 \ar[l] \ar[d] \ar[r] & X_2 \ar[d]^\beta \\ X_1 & S' \times_S X_1 \ar[l] \ar[r] & X_1 }\] Il suffit donc de montrer que \(S' \times_S X_2 \to X_2\) est un épimorphisme. Puisqu’il est obtenu par changement de base à partir d’un morphisme surjectif et plat, il est surjectif et plat (voir les lemmes 01S1 et 01U9 de Morphismes). Le résultat découle alors du lemme 02VW.

Lemme

Dans la situation du lemme 023Y, supposons que \(f : X' \to X\) soit surjectif et plat. Alors le foncteur de changement de base est fidèle.

Démonstration

Soient \((V_i, \varphi_i)\), \(i = 1, 2\), deux données de descente pour \(X \to S\). Soient \(\alpha, \beta : V_1 \to V_2\) des morphismes de données de descente. Supposons que \(f^*\alpha = f^*\beta\). Il faut montrer que \(\alpha = \beta\). Or \(\alpha\) et \(\beta\) sont des morphismes de schémas au-dessus de \(X\), et \(f^*\alpha\) et \(f^*\beta\) sont simplement les changements de base de \(\alpha\) et \(\beta\), considérés comme morphismes au-dessus de \(X'\). Le résultat découle donc du lemme 02VX.

Voici le lemme essentiel de cette section.

Lemme

Dans la situation du lemme 023Y, supposons que

1. \(\{f : X' \to X\}\) soit un recouvrement fpqc (par exemple si \(f\) est surjectif, plat et quasi-compact), et

2. \(S = S'\).

Alors le foncteur de changement de base est pleinement fidèle.

Démonstration

L’hypothèse (1) implique que \(f\) est surjectif et plat. Le foncteur de changement de base est donc fidèle d’après le lemme 0240. Soient \((V, \varphi)\) et \((W, \psi)\) deux données de descente relativement à \(X \to S\). Posons \((V', \varphi') = f^*(V, \varphi)\) et \((W', \psi') = f^*(W, \psi)\). Soit \(\alpha' : V' \to W'\) un morphisme de données de descente pour \(X'\) au-dessus de \(S\). Il faut montrer qu’il existe un morphisme \(\alpha : V \to W\) de données de descente pour \(X\) au-dessus de \(S\) dont le changement de base est \(\alpha'\).

Rappelons que \(V'\) est le changement de base de \(V\) par \(f\) et que \(\varphi'\) est le changement de base de \(\varphi\) par \(f \times f\) (voir la remarque 02VP). Par hypothèse, le diagramme \[\xymatrix{ V' \times_S X' \ar[r]_{\varphi'} \ar[d]_{\alpha' \times \text{id}} & X' \times_S V' \ar[d]^{\text{id} \times \alpha'} \\ W' \times_S X' \ar[r]^{\psi'} & X' \times_S W' }\] est commutatif. Nous affirmons que les deux composés \[\xymatrix{ V' \times_V V' \ar[r]^-{\text{pr}_i} & V' \ar[r]^{\alpha'} & W' \ar[r] & W } , \quad i = 0, 1\] sont égaux. Le lecteur gagnera à le démontrer lui-même plutôt qu’à lire la suite de ce paragraphe. (Merci de nous écrire si vous trouvez un argument simple et élégant.) Soient \(v_0, v_1\) des points de \(V'\) ayant la même image \(v \in V\). Soit \(x_i \in X'\) l’image de \(v_i\), et soit \(x\) le point de \(X\) qui est l’image de \(v\) dans \(X\). Autrement dit, \(v_i = (x_i, v)\) dans \(V' = X' \times_X V\). Écrivons \(\varphi(v, x) = (x, v')\) pour un certain point \(v'\) de \(V\). Cela est possible parce que \(\varphi\) est un morphisme au-dessus de \(X \times_S X\). Posons \(v_i' = (x_i, v')\), qui est un point de \(V'\). Un calcul utilisant la définition de \(\varphi'\) donne alors \(\varphi'(v_i, x_j) = (x_i, v'_j)\). Posons \(w_i = \alpha'(v_i)\) et \(w'_i = \alpha'(v_i')\). On peut écrire \(w_i = (x_i, u_i)\) pour un certain point \(u_i\) de \(W\), et \(w_i' = (x_i, u'_i)\) pour un certain point \(u_i'\) de \(W\). Notre assertion équivaut à \(u_0 = u_1\). Un calcul formel à partir de la définition de \(\psi'\) (voir le lemme 023Y) montre que la commutativité du diagramme précédent signifie que \[((x_i, x_j), \psi(u_i, x)) = ((x_i, x_j), (x, u'_j))\] comme points de \((X' \times_S X') \times_{X \times_S X} (X \times_S W)\) pour tous \(i, j \in \{0, 1\}\). Il en résulte que \(\psi(u_0, x) = \psi(u_1, x)\), puis que \(u_0 = u_1\) en appliquant \(\psi^{-1}\). Cela démontre l’assertion, car l’argument précédent est formel et l’on peut prendre des points à valeurs dans un schéma (autrement dit, prendre \((v_0, v_1) = \text{id}_{V' \times_V V'}\)).

Nous pouvons maintenant appliquer le lemme 023Q. En effet, \(\{V' \to V\}\) est un recouvrement fpqc, puisqu’il est obtenu par changement de base à partir du morphisme \(f : X' \to X\). Par conséquent, d’après le lemme 023Q, le morphisme \(\alpha' : V' \to W' \to W\) se factorise par un unique morphisme \(\alpha : V \to W\), dont le changement de base est nécessairement \(\alpha'\). Enfin, le diagramme \[\xymatrix{ V \times_S X \ar[r]_{\varphi} \ar[d]_{\alpha \times \text{id}} & X \times_S V \ar[d]^{\text{id} \times \alpha} \\ W \times_S X \ar[r]^{\psi} & X \times_S W }\] est commutatif, car son changement de base à \(X' \times_S X'\) l’est, et le morphisme \(X' \times_S X' \to X \times_S X\) est surjectif et plat (appliquer le lemme 02VX). Ainsi, \(\alpha\) est bien un morphisme de données de descente \((V, \varphi) \to (W, \psi)\), comme voulu.

Les deux lemmes qui suivent sont devenus superflus grâce à l’amélioration de l’exposé précédent. Ils n’en restent pas moins vrais !

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(f : X \to X\) un endomorphisme de \(X\) au-dessus de \(S\). Dans ce cas, le changement de base par \(f\) est isomorphe au foncteur identité de la catégorie des données de descente relativement à \(X \to S\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 023Y, puisque celui-ci donne \(f^* \cong \text{id}^*\).

Lemme

Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de schémas au-dessus d’un schéma de base \(S\). Supposons qu’il existe un morphisme \(g : X \to X'\) au-dessus de \(S\), par exemple si \(f\) admet une section. Alors le foncteur de changement de base du lemme 023Y définit une équivalence entre les catégories de données de descente relativement à \(X/S\) et à \(X'/S\).

Démonstration

Soit \(g : X \to X'\) un morphisme au-dessus de \(S\). Le lemme 0242 montre que les foncteurs \(f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\) et \(g^* \circ f^* = (f \circ g)^*\) sont isomorphes aux foncteurs identité correspondants, comme voulu.