Espaces simpliciaux

Introduction

Ce chapitre développe une théorie des espaces topologiques simpliciaux, des espaces annelés simpliciaux, des schémas simpliciaux et des espaces algébriques simpliciaux. Cette théorie permet parfois de démontrer des principes du local au global qui paraissent difficiles à établir autrement. On trouvera quelques exemples d’applications dans les articles [faltings_finiteness], [Kiehl] et [HodgeIII].

Nous supposons dans tout ce chapitre que le lecteur connaît les notions et résultats fondamentaux du chapitre Méthodes simpliciales, voir Méthodes simpliciales, section 0163. En particulier, nous continuons à écrire \(X\), et non \(X_\bullet\), pour un objet simplicial.

Espaces topologiques simpliciaux

Un espace simplicial est un objet simplicial de la catégorie des espaces topologiques, dont les morphismes sont les applications continues. (Nous emploierons “espace algébrique simplicial” pour désigner les objets simpliciaux de la catégorie des espaces algébriques.) On peut représenter un espace simplicial \(X\) comme suit : \[\xymatrix{ X_2 \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & X_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X_0 \ar@<0ex>[l] }\] Il y a ici deux morphismes \(d^1_0, d^1_1 : X_1 \to X_0\) et un unique morphisme \(s^0_0 : X_0 \to X_1\), etc. Il importe de garder à l’esprit que \(d^n_i : X_n \to X_{n - 1}\) doit être considéré comme une “projection qui oublie la \(i\)-ième coordonnée”, et \(s^n_j : X_n \to X_{n + 1}\) comme l’application diagonale qui répète la \(j\)-ième coordonnée.

Soit \(X\) un espace simplicial. Nous lui associons un site \(X_{Zar}\)¹ à \(X\) de la manière suivante.

1. Un objet de \(X_{Zar}\) est un ouvert \(U\) de \(X_n\) pour un certain \(n\),

2. un morphisme \(U \to V\) de \(X_{Zar}\) est donné par un \(\varphi : [m] \to [n]\), où \(n, m\) sont tels que \(U \subset X_n\), \(V \subset X_m\), et où \(\varphi\) vérifie \(X(\varphi)(U) \subset V\), et

3. un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(X_{Zar}\) signifie que \(U, U_i \subset X_n\) sont ouverts, que les applications \(U_i \to U\) sont données par \(\text{id} : [n] \to [n]\), et que \(U = \bigcup U_i\).

Remarquons en particulier que, si \(U \to V\) est un morphisme de \(X_{Zar}\) donné par \(\varphi\), alors \(X(\varphi) : X_n \to X_m\) induit bien une application continue \(U \to V\) d’espaces topologiques.

Il est clair que ce qui précède est un cas particulier d’une construction qui associe un site à tout diagramme d’espaces topologiques. Énonçons le lemme obligé.

Lemme

Soit \(X\) un espace simplicial. Alors \(X_{Zar}\), tel qu’il est défini ci-dessus, est un site.

Démonstration

Omis.

Soit \(X\) un espace simplicial. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_{Zar}\). Il résulte clairement de la définition des recouvrements que la restriction de \(\mathcal{F}\) aux ouverts de \(X_n\) définit un faisceau \(\mathcal{F}_n\) sur l’espace topologique \(X_n\). Pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), les applications de restriction de \(\mathcal{F}\) pour les couples \(U \subset X_n\), \(V \subset X_m\) tels que \(X(\varphi)(U) \subset V\) définissent un \(X(\varphi)\)-morphisme \(\mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n\), voir Faisceaux, définition 008J. De plus, étant donnés \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\psi : [l] \to [m]\), on a \[\mathcal{F}(\varphi) \circ \mathcal{F}(\psi) = \mathcal{F}(\varphi \circ \psi)\] (dans le membre de gauche, on utilise la composition des \(f\)-morphismes, voir Faisceaux, définition 008L). La réciproque est manifestement vraie elle aussi : si l’on dispose d’un système \((\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}, \{\mathcal{F}(\varphi)\}_{\varphi \in \text{Flèches}(\Delta)})\) comme ci-dessus, satisfaisant les égalités affichées, on obtient alors un faisceau sur \(X_{Zar}\).

Lemme

Soit \(X\) un espace simplicial. Il existe une équivalence de catégories entre

1. \(\Sh(X_{Zar})\), et

2. la catégorie des systèmes \((\mathcal{F}_n, \mathcal{F}(\varphi))\) décrits ci-dessus.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces simpliciaux. Alors le foncteur \(u : X_{Zar} \to Y_{Zar}\) qui associe à l’ouvert \(U \subset X_n\) l’ouvert \(f_n^{-1}(U) \subset Y_n\) définit un morphisme de sites \(f_{Zar} : Y_{Zar} \to X_{Zar}\).

Démonstration

Il est clair que \(u\) est un foncteur continu. On obtient donc les foncteurs \(f_{Zar, *} = u^s\) et \(f_{Zar}^{-1} = u_s\), voir Sites, section 00X0. Pour voir que l’on obtient un morphisme de sites, il faut montrer que \(u_s\) est exact. Nous utiliserons Sites, lemme 00X5 à cette fin. Soit \(V \subset Y_n\) un ouvert. La catégorie \(\mathcal{I}_V^u\) (voir Sites, section 00VC) est formée des couples \((U, \varphi)\) où \(\varphi : [m] \to [n]\) et où \(U \subset X_m\) est un ouvert tel que \(Y(\varphi)(V) \subset f_m^{-1}(U)\). De plus, un morphisme \((U, \varphi) \to (U', \varphi')\) est donné par un \(\psi : [m'] \to [m]\) tel que \(X(\psi)(U) \subset U'\) et \(\varphi \circ \psi = \varphi'\). Il s’agit de montrer que \(\mathcal{I}_V^u\) est cofiltrante.

Vérifions les conditions de Catégories, définition 04AZ. La condition (1) est satisfaite parce que \((X_n, \text{id}_{[n]})\) est un objet. Soit \((U, \varphi)\) un objet. La condition \(Y(\varphi)(V) \subset f_m^{-1}(U)\) équivaut à \(V \subset f_n^{-1}(X(\varphi)^{-1}(U))\). On obtient donc un morphisme \((X(\varphi)^{-1}(U), \text{id}_{[n]}) \to (U, \varphi)\) en posant \(\psi = \varphi\). De plus, étant donné un couple d’objets de la forme \((U, \text{id}_{[n]})\) et \((U', \text{id}_{[n]})\), on voit qu’il existe un objet, à savoir \((U \cap U', \text{id}_{[n]})\), qui se projette sur chacun d’eux. La condition (2) est donc satisfaite. Pour vérifier la condition (3), supposons donnés deux morphismes \(a, a': (U, \varphi) \to (U', \varphi')\) définis par \(\psi, \psi' : [m'] \to [m]\). Leur précomposition par le morphisme \((X(\varphi)^{-1}(U), \text{id}_{[n]}) \to (U, \varphi)\) défini par \(\varphi\) égalise alors \(a, a'\), puisque \(\varphi \circ \psi = \varphi' = \varphi \circ \psi'\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces simpliciaux. En termes de la description des faisceaux donnée dans le lemme 09VM, le morphisme \(f_{Zar}\) du lemme 09VN se décrit comme suit.

1. Si \(\mathcal{G}\) est un faisceau sur \(Y\), alors \((f_{Zar, *}\mathcal{G})_n = f_{n, *}\mathcal{G}_n\).

2. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(X\), alors \((f_{Zar}^{-1}\mathcal{F})_n = f_n^{-1}\mathcal{F}_n\).

Démonstration

La première assertion résulte immédiatement des définitions. Pour la seconde, remarquons que, dans la démonstration du lemme 09VN, nous avons montré que, pour un ouvert \(V \subset Y_n\), la catégorie \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) contient comme sous-catégorie cofinale la catégorie des ouverts \(U \subset X_n\) tels que \(f_n^{-1}(U) \supset V\), les morphismes étant les inclusions. On voit donc que la restriction de \(u_p\mathcal{F}\) aux ouverts de \(Y_n\) est le préfaisceau \(f_{n, p}\mathcal{F}_n\) défini dans Faisceaux, lemme 008F. Puisque \(f_{Zar}^{-1}\mathcal{F} = u_s\mathcal{F}\) est le faisceau associé à \(u_p\mathcal{F}\), que sa formation ne fait intervenir que les recouvrements et que les recouvrements dans \(Y_{Zar}\) ne font intervenir que des inclusions entre ouverts d’un même \(Y_n\); le résultat découle du fait que \(f_n^{-1}\mathcal{F}_n\) est le faisceau associé à \(f_{n, p}\mathcal{F}_n\), voir Faisceaux, section 008C.

Soit \(X\) un espace topologique. Dans Sites, exemple 00VJ, nous avons noté \(X_{Zar}\) le site dont les objets sont les ouverts de \(X\), les morphismes les inclusions et les recouvrements les recouvrements ouverts. Nous identifions le topos \(\Sh(X_{Zar})\) à la catégorie des faisceaux sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace simplicial. Le foncteur \(X_{n, Zar} \to X_{Zar}\), \(U \mapsto U\), est continu et cocontinu. Le morphisme de topos associé \(g_n : \Sh(X_n) \to \Sh(X_{Zar})\) vérifie les propriétés suivantes :

1. \(g_n^{-1}\) associe au faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\) le faisceau \(\mathcal{F}_n\) sur \(X_n\),

2. \(g_n^{-1} : \Sh(X_{Zar}) \to \Sh(X_n)\) admet un adjoint à gauche \(g^{Sh}_{n!}\),

3. \(g^{Sh}_{n!}\) commute aux limites finies connexes,

4. \(g_n^{-1} : \textit{Ab}(X_{Zar}) \to \textit{Ab}(X_n)\) admet un adjoint à gauche \(g_{n!}\), et

5. \(g_{n!}\) est exact.

Démonstration

Outre les propriétés de notre foncteur mentionnées dans l’énoncé, la catégorie \(X_{n, Zar}\) possède des produits fibrés et des égalisateurs, et le foncteur commute à ceux-ci (attention, \(X_{Zar}\) ne possède pas tous les produits fibrés). Le lemme résulte donc de la discussion de Sites, sections 00XI et 00XN et Modules sur les sites, section 04BE. Plus précisément, Sites, lemmes 00XO, 00XR et 00XS, ainsi que de Modules sur les sites, lemmes 04BG et 04BH.

Lemme

Soit \(X\) un espace simplicial. Si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif sur \(X_{Zar}\), alors \(\mathcal{I}_n\) est un faisceau abélien injectif sur \(X_n\).

Démonstration

Ceci résulte de Homologie, lemme 015Z et du lemme 09W0.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces simpliciaux. Alors \[\xymatrix{ \Sh(Y_n) \ar[d] \ar[r]_{f_n} & \Sh(X_n) \ar[d] \\ \Sh(Y_{Zar}) \ar[r]^{f_{Zar}} & \Sh(X_{Zar}) }\] est un diagramme commutatif de topos.

Démonstration

Cela résulte directement de la description des foncteurs image inverse dans les lemmes 09VP et 09W0.

Lemme

Soit \(Y\) un espace simplicial et soit \(a : Y \to X\) une augmentation (Méthodes simpliciales, définition 018G). Soient \(a_n : Y_n \to X\) les morphismes d’espaces topologiques correspondants. Il existe un morphisme canonique de topos \[a : \Sh(Y_{Zar}) \to \Sh(X)\] qui possède les propriétés suivantes :

1. \(a^{-1}\mathcal{F}\) est le faisceau dont la restriction est \(a_n^{-1}\mathcal{F}\) sur \(Y_n\),

2. \(a_m \circ Y(\varphi) = a_n\) pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\),

3. \(a \circ g_n = a_n\) comme morphismes de topos, où \(g_n\) est défini au lemme 09W0,

4. \(a_*\mathcal{G}\), pour \(\mathcal{G} \in \Sh(Y_{Zar})\), est l’égalisateur des deux applications \(a_{0, *}\mathcal{G}_0 \to a_{1, *}\mathcal{G}_1\).

Démonstration

La partie (2) vaut pour les augmentations d’objets simpliciaux de toute catégorie. Ainsi, \(Y(\varphi)^{-1} a_m^{-1} \mathcal{F} = a_n^{-1}\mathcal{F}\), ce qui définit un \(Y(\varphi)\)-morphisme de \(a_m^{-1}\mathcal{F}\) vers \(a_n^{-1}\mathcal{F}\). On peut donc prendre (1) pour définition de \(a^{-1}\mathcal{F}\) (en utilisant le lemme 09VM) et (4) pour définition de \(a_*\). Si ceci définit un morphisme de topos, alors la partie (3) en résulte, car on aura \(g_n^{-1} \circ a^{-1} = a_n^{-1}\) par construction. Pour vérifier que \(a\) est un morphisme de topos, il faut montrer que \(a^{-1}\) est adjoint à gauche de \(a_*\) et que \(a^{-1}\) est exact. Ce dernier fait résulte immédiatement de l’exactitude des foncteurs \(a_n^{-1}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\Sh(X)\) et soit \(\mathcal{G}\) un objet de \(\Sh(Y_{Zar})\). Étant donné \(\beta : a^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), considérons ses composantes \(\beta_n : a_n^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}_n\). Ces applications sont adjointes aux applications \(\beta_n : \mathcal{F} \to a_{n, *}\mathcal{G}_n\). La compatibilité à la structure simpliciale montre que \(\beta_0\) se factorise par \(a_*\mathcal{G}\). Réciproquement, supposons donnée une application \(\alpha : \mathcal{F} \to a_*\mathcal{G}\). Pour tout \(n\), choisissons un \(\varphi : [0] \to [n]\). On peut alors considérer la composée \[\mathcal{F} \xrightarrow{\alpha} a_*\mathcal{G} \to a_{0, *}\mathcal{G}_0 \xrightarrow{\mathcal{G}(\varphi)} a_{n, *}\mathcal{G}_n\] Ses adjointes sont des applications \(a_n^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}_n\) qui définissent un morphisme de faisceaux \(a^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Nous omettons la vérification que les constructions ci-dessus définissent des bijections inverses l’une de l’autre \[\Mor_{\Sh(Y_{Zar})}(a^{-1}\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}, a_*\mathcal{G})\] Ceci achève la démonstration. Une observation intéressante est que ce morphisme de topos ne correspond à aucun foncteur géométrique évident entre les sites qui définissent les topos.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique simplicial. Le complexe de préfaisceaux abéliens sur \(X_{Zar}\) \[\ldots \to \mathbf{Z}_{X_2} \to \mathbf{Z}_{X_1} \to \mathbf{Z}_{X_0}\] dont le différentiel est \(\sum (-1)^i d^n_i\) est une résolution du préfaisceau constant \(\mathbf{Z}\).

Démonstration

Soit \(U \subset X_m\) un objet de \(X_{Zar}\). La valeur du complexe ci-dessus sur \(U\) est le complexe de groupes abéliens \[\ldots \to \mathbf{Z}[\Mor_\Delta([2], [m])] \to \mathbf{Z}[\Mor_\Delta([1], [m])] \to \mathbf{Z}[\Mor_\Delta([0], [m])]\] Autrement dit, c’est le complexe associé au groupe abélien libre engendré par l’ensemble simplicial \(\Delta[m]\), voir Méthodes simpliciales, exemple 0176. Puisque \(\Delta[m]\) est homotopiquement équivalent à \(\Delta[0]\), voir Méthodes simpliciales, exemple 08Q3, et puisque “prendre les groupes abéliens libres” est un foncteur, on voit que le complexe ci-dessus est homotopiquement équivalent au groupe abélien libre engendré par \(\Delta[0]\) (Méthodes simpliciales, remarque 019M et lemme 019T). Ce complexe est acyclique en degrés strictement positifs et égal à \(\mathbf{Z}\) en degré \(0\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique simplicial. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) telle que \[E_1^{p, q} = H^q(X_p, \mathcal{F}_p)\] et qui aboutit à \(H^{p + q}(X_{Zar}, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Considérons le complexe double de termes \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(X_p)\] et dont le premier différentiel est donné par la somme alternée des morphismes \(d^{p + 1}_i\) induits \(\mathcal{I}_p^q \to \mathcal{I}_{p + 1}^q\), voir le lemme 09VM. Remarquons que \[A^{p, q} = \Gamma(X_p, \mathcal{I}_p^q) = \Mor_{\textit{PSh}}(h_{X_p}, \mathcal{I}^q) = \Mor_{\textit{PAb}}(\mathbf{Z}_{X_p}, \mathcal{I}^q)\] Il résulte donc du lemme 09W5 et de Cohomologie sur les sites, lemme 03F6 que les lignes du complexe double sont exactes en degrés strictement positifs et ont pour valeur \(\Gamma(X_{Zar}, \mathcal{I}^q)\) en degré \(0\). D’autre part, puisque la restriction est exacte (lemme 09W0), l’application \[\mathcal{F}_p \to \mathcal{I}_p^\bullet\] est une résolution. Les faisceaux \(\mathcal{I}_p^q\) sont des faisceaux abéliens injectifs sur \(X_p\) (lemme 09W1). La cohomologie des colonnes calcule donc les groupes \(H^q(X_p, \mathcal{F}_p)\). On conclut en appliquant Homologie, lemmes 0132 et 0133.

Lemme

Soit \(X\) un espace simplicial et soit \(a : X \to Y\) une augmentation. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_{Zar}\). Alors \(R^na_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto H^n((X \times_Y V)_{Zar}, \mathcal{F}|_{(X \times_Y V)_{Zar}})\]

Démonstration

C’est l’analogue de Cohomologie, lemme 01E4 ou de Cohomologie sur les sites, lemme 072W, et nous conseillons vivement au lecteur d’omettre la démonstration. En choisissant une résolution injective de \(\mathcal{F}\) sur \(X_{Zar}\) et en appliquant les définitions, on voit qu’il suffit de montrer : (1) que la restriction d’un faisceau abélien injectif sur \(X_{Zar}\) à \((X \times_Y V)_{Zar}\) est un faisceau abélien injectif, et (2) que \(a_*\mathcal{F}\) est égal à la règle \[V \longmapsto H^0((X \times_Y V)_{Zar}, \mathcal{F}|_{(X \times_Y V)_{Zar}})\] La partie (2) résulte des faits suivants :

1. \(a_*\mathcal{F}\) est l’égalisateur des deux applications \(a_{0, *}\mathcal{F}_0 \to a_{1, *}\mathcal{F}_1\) d’après le lemme 09W4,

2. \(a_{0, *}\mathcal{F}_0(V) = H^0(a_0^{-1}(V), \mathcal{F}_0)\) et \(a_{1, *}\mathcal{F}_1(V) = H^0(a_1^{-1}(V), \mathcal{F}_1)\),

3. \(X_0 \times_Y V = a_0^{-1}(V)\) et \(X_1 \times_Y V = a_1^{-1}(V)\),

4. \(H^0((X \times_Y V)_{Zar}, \mathcal{F}|_{(X \times_Y V)_{Zar}})\) est l’égalisateur des deux applications \(H^0(X_0 \times_Y V, \mathcal{F}_0) \to H^0(X_1 \times_Y V, \mathcal{F}_1)\), par exemple d’après le lemme 09W6.

La partie (1) résulte de ce que l’on définit un adjoint à gauche exact \(j_! : \textit{Ab}((X \times_Y V)_{Zar}) \to \textit{Ab}(X_{Zar})\) (extension par zéro) de la restriction \(\textit{Ab}(X_{Zar}) \to \textit{Ab}((X \times_Y V)_{Zar})\), et que l’on applique Homologie, lemme 015Z.

Soit \(X\) un espace topologique. Notons \(X_\bullet\) l’espace topologique simplicial constant de valeur \(X\). D’après le lemme 09VM, se donner un faisceau sur \(X_{\bullet, Zar}\) revient à se donner un objet cosimplicial de la catégorie des faisceaux sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_\bullet\) l’espace topologique simplicial constant de valeur \(X\). Le foncteur \[X_{\bullet, Zar} \longrightarrow X_{Zar},\quad U \longmapsto U\] est continu et cocontinu et définit un morphisme de topos \(g : \Sh(X_{\bullet, Zar}) \to \Sh(X)\), ainsi qu’un adjoint à gauche \(g_!\) de \(g^{-1}\). On a

1. \(g^{-1}\) associe à un faisceau sur \(X\) le faisceau cosimplicial constant sur \(X\),

2. \(g_!\) associe à un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_{\bullet, Zar}\) le faisceau \(\mathcal{F}_0\), et

3. \(g_*\) associe à un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_{\bullet, Zar}\) l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_1\).

Démonstration

Les assertions concernant le foncteur se vérifient immédiatement. L’existence de \(g\) et de \(g_!\) résulte de Sites, lemmes 00XO et 00XR. La description de \(g^{-1}\) résulte immédiatement de Sites, lemme 00XR. La description de \(g_*\) et de \(g_!\) résulte de ce que les foncteurs indiqués sont respectivement adjoint à droite et adjoint à gauche de \(g^{-1}\).

Sites simpliciaux et topos

Il paraît naturel de définir un site simplicial comme un objet simplicial de la (grande) catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont les morphismes de sites. Voir Sites, définitions 00VH et 00X1, la composition des morphismes étant celle de Sites, lemme 03CB. Mais voici quelques variantes que l’on pourrait vouloir considérer : (a) on pourrait plutôt travailler avec des foncteurs cocontinus (voir Sites, sections 00XI et 00XN) entre sites, (b) on pourrait travailler dans une \(2\)-catégorie convenable de sites où l’on introduit la notion de \(2\)-morphisme entre morphismes de sites, (c) on pourrait travailler dans une \(2\)-catégorie construite à partir de foncteurs cocontinus. Plutôt que de choisir l’une de ces variantes comme définition, nous développerons simplement la théorie au fur et à mesure des besoins.

Un topos simplicial devrait sans doute être défini comme un pseudo-foncteur de \(\Delta^{opp}\) vers la \(2\)-catégorie des topos. Voir Catégories, définition 003N et Sites, section 00X9 et 04I9. Nous essaierons d’éviter, si possible, de travailler avec un tel objet.

Cas A. Soit \(\mathcal{C}\) un objet simplicial de la catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont les morphismes de sites. Cela signifie que, pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) de \(\Delta\), on dispose d’un morphisme de sites \(f_\varphi : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_m\). Ce morphisme est donné par un foncteur continu en sens opposé, que l’on notera \(u_\varphi : \mathcal{C}_m \to \mathcal{C}_n\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un objet simplicial de la catégorie des sites. Avec les notations ci-dessus, construisons un site \(\mathcal{C}_{total}\) comme suit.

1. Un objet de \(\mathcal{C}_{total}\) est un objet \(U\) de \(\mathcal{C}_n\) pour un certain \(n\),

2. un morphisme \((\varphi, f) : U \to V\) de \(\mathcal{C}_{total}\) est donné par une application \(\varphi : [m] \to [n]\) avec \(U \in \Ob(\mathcal{C}_n)\), \(V \in \Ob(\mathcal{C}_m)\), et un morphisme \(f : U \to u_\varphi(V)\) de \(\mathcal{C}_n\), et

3. un recouvrement \(\{(\text{id}, f_i) : U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}_{total}\) est donné par un entier \(n\) et un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}_n\).

Démonstration

La composée de \((\varphi, f) : U \to V\) et de \((\psi, g) : V \to W\) est donnée par \((\varphi \circ \psi, u_\varphi(g) \circ f)\). On utilise ici l’égalité \(u_\varphi \circ u_\psi = u_{\varphi \circ \psi}\).

Soit \(\{(\text{id}, f_i) : U_i \to U\}\) un recouvrement comme en (3), et soit \((\varphi, g) : W \to U\) un morphisme avec \(W \in \Ob(\mathcal{C}_m)\). Nous affirmons que \[W \times_{(\varphi, g), U, (\text{id}, f_i)} U_i = W \times_{g, u_\varphi(U), u_\varphi(f_i)} u_\varphi(U_i)\] dans la catégorie \(\mathcal{C}_{total}\). Cela a un sens car, d’après notre définition des morphismes de sites, les produits fibrés requis existent dans \(\mathcal{C}_m\), puisque \(u_\varphi\) transforme les recouvrements en recouvrements. Le même raisonnement démontre l’affirmation (détails omis). On voit donc que la famille des recouvrements est stable par changement de base. Les autres axiomes d’un site sont immédiats.

Cas B. Soit \(\mathcal{C}\) un objet simplicial de la catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont les foncteurs cocontinus. Cela signifie que, pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) de \(\Delta\), on dispose d’un foncteur cocontinu noté \(u_\varphi : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_m\). Le morphisme de topos associé est noté \(f_\varphi : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_m)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un objet simplicial de la catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont les foncteurs cocontinus. Avec les notations ci-dessus, supposons que les foncteurs \(u_\varphi : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_m\) possèdent la propriété \(P\) de Sites, remarque 09W7. On peut alors construire un site \(\mathcal{C}_{total}\) comme suit.

1. Un objet de \(\mathcal{C}_{total}\) est un objet \(U\) de \(\mathcal{C}_n\) pour un certain \(n\),

2. un morphisme \((\varphi, f) : U \to V\) de \(\mathcal{C}_{total}\) est donné par une application \(\varphi : [m] \to [n]\) avec \(U \in \Ob(\mathcal{C}_n)\), \(V \in \Ob(\mathcal{C}_m)\), et un morphisme \(f : u_\varphi(U) \to V\) de \(\mathcal{C}_m\), et

3. un recouvrement \(\{(\text{id}, f_i) : U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}_{total}\) est donné par un entier \(n\) et un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}_n\).

Démonstration

La composée de \((\varphi, f) : U \to V\) et de \((\psi, g) : V \to W\) est donnée par \((\varphi \circ \psi, g \circ u_\psi(f))\). On utilise ici l’égalité \(u_\psi \circ u_\varphi = u_{\varphi \circ \psi}\).

Soit \(\{(\text{id}, f_i) : U_i \to U\}\) un recouvrement comme en (3), et soit \((\varphi, g) : W \to U\) un morphisme avec \(W \in \Ob(\mathcal{C}_m)\). Nous affirmons que \[W \times_{(\varphi, g), U, (\text{id}, f_i)} U_i = W \times_{g, U, f_i} U_i\] dans la catégorie \(\mathcal{C}_{total}\), où le membre de droite est l’objet de \(\mathcal{C}_m\) défini dans Sites, remarque 09W7, qui existe d’après la propriété \(P\). La compatibilité de ce type de produit fibré avec la composition des foncteurs démontre l’affirmation (détails omis). Comme la famille \(\{W \times_{g, U, f_i} U_i \to W\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}_m\) d’après la propriété \(P\), on voit que la famille des recouvrements est stable par changement de base. Les autres axiomes d’un site sont immédiats.

Situation

On se trouve ici dans l’un des deux cas suivants :

1. \(\mathcal{C}\) est un objet simplicial de la catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont les morphismes de sites. Pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) de \(\Delta\), on dispose d’un morphisme de sites \(f_\varphi : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_m\) donné par un foncteur continu \(u_\varphi : \mathcal{C}_m \to \mathcal{C}_n\).

2. \(\mathcal{C}\) est un objet simplicial de la catégorie dont les objets sont les sites et dont les morphismes sont des foncteurs cocontinus possédant la propriété \(P\) de Sites, remarque 09W7. Pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) de \(\Delta\), on dispose d’un foncteur cocontinu \(u_\varphi : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_m\) qui induit un morphisme de topos \(f_\varphi : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_m)\).

Comme d’habitude, on notera \(f_\varphi^{-1}\) et \(f_{\varphi, *}\) les foncteurs image inverse et image directe. Notons \(\mathcal{C}_{total}\) le site défini au lemme 09WC (cas A) ou au lemme 09WD (cas B).

Soit \(\mathcal{C}\) comme dans la situation 09WE. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}_{total}\). Il résulte clairement de la définition des recouvrements que la restriction de \(\mathcal{F}\) aux objets de \(\mathcal{C}_n\) définit un faisceau \(\mathcal{F}_n\) sur le site \(\mathcal{C}_n\). Pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), les applications de restriction de \(\mathcal{F}\) le long des morphismes \((\varphi, f) : U \to V\) avec \(U \in \Ob(\mathcal{C}_n)\) et \(V \in \Ob(\mathcal{C}_m)\) définissent un élément \(\mathcal{F}(\varphi)\) de \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}_m)}(\mathcal{F}_m, f_{\varphi, *}\mathcal{F}_n) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_n)}(f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m, \mathcal{F}_n)\] De plus, étant donnés \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\psi : [l] \to [m]\), les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}_l \ar[rr]_{\mathcal{F}(\varphi \circ \psi)} \ar[rd]_{\mathcal{F}(\psi)} & & f_{\varphi \circ \psi, *} \mathcal{F}_n \\ & f_{\psi, *}\mathcal{F}_m \ar[ur]_{f_{\psi, *}\mathcal{F}(\varphi)} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ f_{\varphi \circ \psi}^{-1}\mathcal{F}_l \ar[rr]_{\mathcal{F}(\varphi \circ \psi)} \ar[rd]_{f_\varphi^{-1}\mathcal{F}(\psi)} & & \mathcal{F}_n \\ & f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m \ar[ur]_{\mathcal{F}(\varphi)} } }\] sont commutatifs. La réciproque est manifestement vraie elle aussi : si l’on a un système \((\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}, \{\mathcal{F}(\varphi)\}_{\varphi \in \text{Flèches}(\Delta)})\) satisfaisant les conditions de commutativité ci-dessus, on obtient alors un faisceau sur \(\mathcal{C}_{total}\).

Lemme

Dans la situation 09WE, il existe une équivalence de catégories entre

1. \(\Sh(\mathcal{C}_{total})\), et

2. la catégorie des systèmes \((\mathcal{F}_n, \mathcal{F}(\varphi))\) décrits ci-dessus.

En particulier, le topos \(\Sh(\mathcal{C}_{total})\) ne dépend que des topos \(\Sh(\mathcal{C}_n)\) et des morphismes de topos \(f_\varphi\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Dans la situation 09WE, le foncteur \(\mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_{total}\), \(U \mapsto U\), est continu et cocontinu. Le morphisme de topos associé \(g_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) vérifie

1. \(g_n^{-1}\) associe au faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) le faisceau \(\mathcal{F}_n\) sur \(\mathcal{C}_n\),

2. \(g_n^{-1} : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}_n)\) admet un adjoint à gauche \(g^{Sh}_{n!}\),

3. pour \(\mathcal{G}\) dans \(\Sh(\mathcal{C}_n)\), la restriction de \(g_{n!}^{Sh}\mathcal{G}\) à \(\mathcal{C}_m\) est \(\coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}\mathcal{G}\),

4. \(g_{n!}^{Sh}\) commute aux limites finies connexes,

5. \(g_n^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\) admet un adjoint à gauche \(g_{n!}\),

6. pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\), la restriction de \(g_{n!}\mathcal{G}\) à \(\mathcal{C}_m\) est \(\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}\mathcal{G}\), et

7. \(g_{n!}\) est exact.

Démonstration

Cas A. Si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_n\), alors son image \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_{total}\) par définition (lemme 09WC). Pour un morphisme \(V \to U\) de \(\mathcal{C}_n\), le produit fibré \(V \times_U U_i\) dans \(\mathcal{C}_n\) est aussi le produit fibré dans \(\mathcal{C}_{total}\) (d’après l’affirmation de la démonstration du lemme 09WC). Notre foncteur est donc continu. D’autre part, il définit une bijection entre les recouvrements de \(U\) dans \(\mathcal{C}_n\) et les recouvrements de \(U\) dans \(\mathcal{C}_{total}\). Il est donc assurément cocontinu.

Cas B. Si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_n\), alors son image \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_{total}\) par définition (lemme 09WD). Pour un morphisme \(V \to U\) de \(\mathcal{C}_n\), le produit fibré \(V \times_U U_i\) dans \(\mathcal{C}_n\) est aussi le produit fibré dans \(\mathcal{C}_{total}\) (d’après l’affirmation de la démonstration du lemme 09WD). Notre foncteur est donc continu. D’autre part, il définit une bijection entre les recouvrements de \(U\) dans \(\mathcal{C}_n\) et les recouvrements de \(U\) dans \(\mathcal{C}_{total}\). Il est donc assurément cocontinu.

À ce stade, la partie (1) et l’existence de \(g^{Sh}_{n!}\) et de \(g_{n!}\) dans les cas A et B résultent de Sites, lemmes 00XO et 00XR, ainsi que de Modules sur les sites, lemme 04BG.

Démonstration de (3). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}_n\). Considérons le faisceau \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont le terme de degré \(m\) est le faisceau \[\mathcal{H}_m = \coprod\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}\mathcal{G}\] donné dans la partie (3) de l’énoncé du lemme. Étant donnée une application \(\psi : [m] \to [m']\), l’application \(\mathcal{H}(\psi) : f_\psi^{-1}\mathcal{H}_m \to \mathcal{H}_{m'}\) est donnée sur les composantes par les identifications \[f_\psi^{-1} f_\varphi^{-1} \mathcal{G} \to f_{\psi \circ \varphi}^{-1}\mathcal{G}\] Observons qu’une application \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) de faisceaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) fournit une application \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}_n\) qui correspond à la restriction de \(\alpha_n\) à la composante \(\mathcal{G}\) de \(\mathcal{H}_n\). Réciproquement, étant donnée une application \(\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{F}_n\) de faisceaux sur \(\mathcal{C}_n\), on peut définir \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) en prenant pour \(\alpha_m\) l’application qui, sur les composantes \[f_\varphi^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}_m\] utilise les applications adjointes à \(\mathcal{F}(\varphi) \circ f_\varphi^{-1}\beta\). Nous omettons la vérification que ces deux constructions donnent des applications inverses l’une de l’autre \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}_n)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_n) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_{total})}(\mathcal{H}, \mathcal{F})\] Ainsi, \(\mathcal{H} = g^{Sh}_{n!}\mathcal{G}\), comme voulu.

Démonstration de (4). Si \(\mathcal{G}\) est un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_n\), on procède exactement de la même manière que ci-dessus, à ceci près que l’on définit \(\mathcal{H}\) comme le faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont le terme de degré \(m\) est le faisceau \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}\mathcal{G}\] avec des applications de transition définies exactement comme ci-dessus. La bijection \[\Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C}_n)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_n) = \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})}(\mathcal{H}, \mathcal{F})\] se démontre exactement comme ci-dessus. Ainsi, \(\mathcal{H} = g_{n!}\mathcal{G}\), comme voulu.

Les propriétés d’exactitude de \(g^{Sh}_{n!}\) et de \(g_{n!}\) résultent des formules données pour ces foncteurs.

Lemme

Dans la situation 09WE, si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\), alors \(\mathcal{I}_n\) est injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\). Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\), alors \(\mathcal{I}_n^\bullet\) est K-injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\).

Démonstration

La première assertion résulte de Homologie, lemme 015Z et du lemme 09WG. La seconde résulte de Catégories dérivées, lemme 08BJ et du lemme 09WG.

Augmentations de sites simpliciaux

Nous poursuivons selon la méthode décrite dans la section 09WB, en explicitant le sens des augmentations dans les cas A et B traités dans cette section.

Remarque

Dans la situation 09WE, une augmentation \(a_0\) vers un site \(\mathcal{D}\) désignera

1. un morphisme de sites \(a_0 : \mathcal{C}_0 \to \mathcal{D}\) donné par un foncteur continu \(u_0 : \mathcal{D} \to \mathcal{C}_0\) tel que, pour tous \(\varphi, \psi : [0] \to [n]\), on ait \(u_\varphi \circ u_0 = u_\psi \circ u_0\).

2. un morphisme \(a_0 : \Sh(\mathcal{C}_0) \to \Sh(\mathcal{D})\) de topos donné par un foncteur cocontinu \(u_0 : \mathcal{C}_0 \to \mathcal{D}\) tel que, pour tous \(\varphi, \psi : [0] \to [n]\), on ait \(u_0 \circ u_\varphi = u_0 \circ u_\psi\).

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) au sens de la remarque 0D6Z. Alors \(a_0\) induit

1. un morphisme de topos \(a_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{D})\) pour tout \(n \geq 0\),

2. un morphisme de topos \(a : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{D})\)

tel que

1. pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), on ait \(a_m \circ f_\varphi = a_n\),

2. si \(g_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) est défini comme au lemme 09WG, alors \(a \circ g_n = a_n\), et

3. \(a_*\mathcal{F}\), pour \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C}_{total})\), est l’égalisateur des deux applications \(a_{0, *}\mathcal{F}_0 \to a_{1, *}\mathcal{F}_1\).

Démonstration

Cas A. Soit \(u_n : \mathcal{D} \to \mathcal{C}_n\) la valeur commune des foncteurs \(u_\varphi \circ u_0\) pour \(\varphi : [0] \to [n]\). Alors \(u_n\) correspond à un morphisme de sites \(a_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{D}\), voir Sites, lemme 03CB. Le même lemme montre que, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), on a \(a_m \circ f_\varphi = a_n\).

Cas B. Soit \(u_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{D}\) la valeur commune des foncteurs \(u_0 \circ u_\varphi\) pour \(\varphi : [0] \to [n]\). Alors \(u_n\) est cocontinu et définit donc un morphisme de topos \(a_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{D)}\), voir Sites, lemme 03L5. Le même lemme montre que, pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), on a \(a_m \circ f_\varphi = a_n\).

Considérons le foncteur \(a^{-1} : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) qui, à un faisceau d’ensembles \(\mathcal{G}\), associe le faisceau \(\mathcal{F} = a^{-1}\mathcal{G}\) dont les composantes sont \(a_n^{-1}\mathcal{G}\) et dont les applications de transition \(\mathcal{F}(\varphi)\) sont les identifications \[f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m = f_\varphi^{-1} a_m^{-1}\mathcal{G} = a_n^{-1}\mathcal{G} = \mathcal{F}_n\] pour \(\varphi : [m] \to [n]\), voir la description de \(\Sh(\mathcal{C}_{total})\) dans le lemme 09WF. Puisque les foncteurs \(a_n^{-1}\) sont exacts, \(a^{-1}\) est un foncteur exact. Enfin, pour \(a_* : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{D})\), on prend le foncteur qui, à un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh(\mathcal{D})\), associe \[\xymatrix{ a_*\mathcal{F} \ar@{=}[r] & \text{Égalisateur}(a_{0, *}\mathcal{F}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{1, *}\mathcal{F}_1) }\] Les deux applications proviennent ici des deux applications \(\varphi : [0] \to [1]\) par \[a_{0, *}\mathcal{F}_0 \to a_{0, *}f_{\varphi, *} f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_0 \xrightarrow{\mathcal{F}(\varphi)} a_{0, *}f_{\varphi, *} \mathcal{F}_1 = a_{1, *}\mathcal{F}_1\] où la première flèche provient de \(1 \to f_{\varphi, *} f_\varphi^{-1}\). Notons \(\mathcal{G}_\bullet\) le faisceau cosimplicial constant de valeur \(\mathcal{G}\), et \(a_{\bullet, *}\mathcal{F}\) le faisceau cosimplicial ayant \(a_{n, *}\mathcal{F}_n\) en degré \(n\). Par l’adjonction usuelle pour les morphismes de topos \(a_n\), on voit qu’une application \(a^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) revient à se donner une application \[\mathcal{G}_\bullet \longrightarrow a_{\bullet, *}\mathcal{F}\] de faisceaux cosimpliciaux. Par dualité avec Méthodes simpliciales, lemme 018H, cela revient à se donner une application \(\mathcal{G} \to a_*\mathcal{F}\). Ainsi, \(a^{-1}\) et \(a_*\) sont des foncteurs adjoints, et l’on obtient notre morphisme de topos \(a\)². Les égalités \(a \circ g_n = f_n\) résultent immédiatement des définitions.

Morphismes de sites simpliciaux

Nous poursuivons de la manière décrite dans la section 09WB, en explicitant ce que signifient les morphismes de sites simpliciaux dans les cas A et B traités dans cette section.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi\) et \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi\) comme dans la situation 09WE. Par morphisme \(h\) entre sites simpliciaux, on entendra

1. Des morphismes de sites \(h_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}'_n\) tels que \(f'_\varphi \circ h_n = h_m \circ f_\varphi\) comme morphismes de sites pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

2. Des foncteurs cocontinus \(v_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}'_n\) induisant des morphismes de topos \(h_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}'_n)\) tels que \(u'_\varphi \circ v_n = v_m \circ u_\varphi\) comme foncteurs pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

Dans les deux cas, on a \(f'_\varphi \circ h_n = h_m \circ f_\varphi\) comme morphismes de topos ; voir Sites, lemme 03L5 pour le cas B et Sites, définition 03CC pour le cas A.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi\) et \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi\) comme dans la situation 09WE. Soit \(h\) un morphisme entre sites simpliciaux comme dans la remarque 0D95. Alors on obtient un morphisme de topos \[h_{total} : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}'_{total})\] et des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_n) \ar[d]_{g_n} \ar[r]_{h_n} & \Sh(\mathcal{C}'_n) \ar[d]^{g'_n} \\ \Sh(\mathcal{C}_{total}) \ar[r]^{h_{total}} & \Sh(\mathcal{C}'_{total}) }\] De plus, on a \((g'_n)^{-1} \circ h_{total, *} = h_{n, *} \circ g_n^{-1}\).

Démonstration

Cas A. Disons que \(h_n\) correspond au foncteur continu \(v_n : \mathcal{C}'_n \to \mathcal{C}_n\). On peut alors définir un foncteur \(v_{total} : \mathcal{C}'_{total} \to \mathcal{C}_{total}\) en utilisant \(v_n\) en degré \(n\). Il s’agit clairement d’un foncteur continu (voir la définition des recouvrements dans le lemme 09WC). Soient \(h_{total}^{-1} = v_{total, s} : \Sh(\mathcal{C}'_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) et \(h_{total, *} = v_{total}^s = v_{total}^p : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}'_{total})\) le couple de foncteurs adjoints construit et étudié dans Sites, sections 00WU et 00X0. Pour voir que \(h_{total}\) est un morphisme de topos, il reste à vérifier que \(h_{total}^{-1}\) est exact. On observe d’abord que \((g'_n)^{-1} \circ h_{total, *} = h_{n, *} \circ g_n^{-1}\) ; cela résulte immédiatement du calcul des sections sur un objet \(U\) de \(\mathcal{C}'_n\). Ainsi, si l’on considère un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) comme un système \((\mathcal{F}_n, \mathcal{F}(\varphi))\) comme dans le lemme 09WF, alors \(h_{total, *}\mathcal{F}\) correspond au système \((h_{n, *}\mathcal{F}_n, h_{n, *}\mathcal{F}(\varphi))\). Manifestement, le foncteur \((\mathcal{F}'_n, \mathcal{F}'(\varphi)) \to (h_n^{-1}\mathcal{F}'_n, h_n^{-1}\mathcal{F}'(\varphi))\) est son adjoint à gauche. Par unicité des adjoints, on conclut que \(h_{total}^{-1}\) est donné sur les systèmes par cette règle. En particulier, \(h_{total}^{-1}\) est exact (d’après la description des faisceaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) donnée dans le lemme et l’exactitude des foncteurs \(h_n^{-1}\)), et l’on obtient notre morphisme de topos. Enfin, on obtient également \(g_n^{-1} \circ h_{total}^{-1} = h_n^{-1} \circ (g'_n)^{-1}\), ce qui prouve que le diagramme affiché dans le lemme est commutatif.

Cas B. On dispose ici d’un foncteur \(v_{total} : \mathcal{C}_{total} \to \mathcal{C}'_{total}\) obtenu en utilisant \(v_n\) en degré \(n\). Il s’agit clairement d’un foncteur cocontinu (voir la définition des recouvrements dans le lemme 09WD). Soit \(h_{total}\) le morphisme de topos associé à \(v_{total}\). La commutativité du diagramme affiché dans le lemme résulte immédiatement de Sites, lemme 03L5. En prenant les adjoints à gauche, la dernière égalité du lemme devient \[h_{total}^{-1} \circ (g'_n)^{Sh}_! = g^{Sh}_{n!} \circ h_n^{-1}\] Cela résulte immédiatement de la description explicite des foncteurs \((g'_n)^{Sh}_!\) et \(g^{Sh}_{n!}\) donnée dans le lemme 09WG, du fait que \(h_n^{-1} \circ (f'_\varphi)^{-1} = f_\varphi^{-1} \circ h_m^{-1}\) pour \(\varphi : [m] \to [n]\), et du fait que l’on sait déjà que \(h_{total}^{-1}\) commute aux restrictions aux composantes de degré \(n\) des sites simpliciaux.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses du lemme 0D96, pour \(K \in D(\mathcal{C}_{total})\), on a \((g'_n)^{-1}Rh_{total, *}K = Rh_{n, *}g_n^{-1}K\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif sur \(\mathcal{C}_{total}\) représentant \(K\). Alors \(g_n^{-1}K\) est représenté par \(g_n^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}_n^\bullet\), qui est K-injectif d’après le lemme 09WH. On a \((g'_n)^{-1}h_{total, *}\mathcal{I}^\bullet = h_{n, *}g_n^{-1}\mathcal{I}_n^\bullet\) d’après le lemme 0D96, ce qui donne l’égalité voulue.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi\) et \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi\) comme dans la situation 09WE. Soit \(a_0\), resp. \(a'_0\), une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\), resp. \(\mathcal{D}'\), comme dans la remarque 0D6Z. Soit \(h\) un morphisme entre sites simpliciaux comme dans la remarque 0D95. On dit qu’un morphisme de topos \(h_{-1} : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{D}')\) est compatible avec \(h\), \(a_0\), \(a'_0\) si

1. \(h_{-1}\) provient d’un morphisme de sites \(h_{-1} : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) tel que \(a'_0 \circ h_0 = h_{-1} \circ a_0\) comme morphismes de sites.

2. \(h_{-1}\) provient d’un foncteur cocontinu \(v_{-1} : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) tel que \(u'_0 \circ v_0 = v_{-1} \circ u_0\) comme foncteurs.

Dans les deux cas, on a \(a'_0 \circ h_0 = h_{-1} \circ a_0\) comme morphismes de topos ; voir Sites, lemme 03L5 pour le cas B et Sites, définition 03CC pour le cas A.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi, \mathcal{D}, a_0\), \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi, \mathcal{D}', a'_0\), et \(h_n\), \(n \geq -1\), comme dans la remarque 0D98. On obtient alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_{total}) \ar[d]_a \ar[r]_{h_{total}} & \Sh(\mathcal{C}'_{total}) \ar[d]^{a'} \\ \Sh(\mathcal{D}) \ar[r]^{h_{-1}} & \Sh(\mathcal{D}') }\]

Démonstration

Le morphisme \(h\) est défini dans le lemme 0D96. Les morphismes \(a\) et \(a'\) sont définis dans le lemme 0D70. Il reste donc seulement à prouver la commutativité du diagramme. Pour cela, on prouve que \(a^{-1} \circ h_{-1}^{-1} = h_{total}^{-1} \circ (a')^{-1}\). D’après les diagrammes commutatifs du lemme 0D96 et la description de \(\Sh(\mathcal{C}_{total})\) et \(\Sh(\mathcal{C}'_{total})\) en termes de composantes donnée dans le lemme 09WF, il suffit de montrer que \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_n) \ar[d]_{a_n} \ar[r]_{h_n} & \Sh(\mathcal{C}'_n) \ar[d]^{a'_n} \\ \Sh(\mathcal{D}) \ar[r]^{h_{-1}} & \Sh(\mathcal{D}') }\] est commutatif pour tout \(n\). Cela résulte du cas \(n = 0\) (qui est une hypothèse de la remarque 0D98) ; pour \(n > 0\), on choisit \(\varphi : [0] \to [n]\), et la commutativité requise résulte alors du cas \(n = 0\), des relations \(a_n = a_0 \circ f_\varphi\) et \(a'_n = a'_0 \circ f'_\varphi\), ainsi que des relations de commutation \(f'_\varphi \circ h_n = h_0 \circ f_\varphi\).

Sites simpliciaux annelés

Munissons notre topos simplicial d’un faisceau d’anneaux.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Il existe un morphisme canonique de topos annelés \(g_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O})\) qui coïncide, sur les topos sous-jacents, avec le morphisme \(g_n\) du lemme 09WG. Le foncteur \(g_n^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_n)\) admet un adjoint à gauche \(g_{n!}\). Pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_n)\), la restriction de \(g_{n!}\mathcal{G}\) à \(\mathcal{C}_m\) est \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*\mathcal{G}\] où \(f_\varphi : (\Sh(\mathcal{C}_m), \mathcal{O}_m) \to (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n)\) est le morphisme de topos annelés qui coïncide sur les topos avec le morphisme \(f_\varphi\) défini précédemment et qui utilise l’application \(\mathcal{O}(\varphi) : f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) sur les faisceaux d’anneaux.

Démonstration

D’après le lemme 09WG, on a \(g_n^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_n\), d’où notre morphisme de topos annelés. D’après Modules sur les sites, lemme 0797, on obtient l’adjoint \(g_{n!}\). Pour prouver la formule donnant \(g_{n!}\), on définit d’abord un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont la composante de degré \(m\) est le \(\mathcal{O}_m\)-module \[\mathcal{H}_m = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*\mathcal{G}\] Étant donnée une application \(\psi : [m] \to [m']\), l’application \(\mathcal{H}(\psi) : f_\psi^{-1}\mathcal{H}_m \to \mathcal{H}_{m'}\) est donnée sur les composantes par \[f_\psi^{-1} f_\varphi^*\mathcal{G} \to f_\psi^* f_\varphi^*\mathcal{G} \to f_{\psi \circ \varphi}^*\mathcal{G}\] Puisque cette application \(f_\psi^{-1}\mathcal{H}_m \to \mathcal{H}_{m'}\) est semi-linéaire relativement à \(\mathcal{O}(\psi) : f_\psi^{-1}\mathcal{O}_m \to \mathcal{O}_{m'}\), elle définit bien un \(\mathcal{O}\)-module (utiliser le lemme 09WF). On prouve alors directement que \[\Mor_{\mathcal{O}_n}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_n) = \Mor_{\mathcal{O}}(\mathcal{H}, \mathcal{F})\] en procédant comme dans la preuve du lemme 09WG. Ainsi, \(\mathcal{H} = g_{n!}\mathcal{G}\), comme voulu.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), alors \(\mathcal{I}_n\) est un faisceau totalement acyclique sur \(\mathcal{C}_n\).

Démonstration

Cela résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 0D6Y, appliqué au foncteur d’inclusion \(\mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_{total}\) et aux propriétés de celui-ci prouvées dans le lemme 09WG.

Lemme

Sous les hypothèses du lemme 0D72, le foncteur \(g_{n!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_n) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) est exact si les applications \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) sont plates pour tout \(\varphi : [n] \to [m]\).

Démonstration

Rappelons que \(g_{n!}\mathcal{G}\) est le \(\mathcal{O}\)-module dont la composante de degré \(m\) est le \(\mathcal{O}_m\)-module \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*\mathcal{G}\] Ici, le morphisme de topos annelés \(f_\varphi : (\Sh(\mathcal{C}_m), \mathcal{O}_m) \to (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n)\) utilise l’application \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) de l’ énoncé du lemme. Si ces applications sont plates, alors \(f_\varphi^*\) est exact (Modules sur les sites, lemme 04JC). Par définition du site \(\mathcal{C}_{total}\), on voit que ces foncteurs possèdent les propriétés d’exactitude voulues, et l’on conclut.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) tel que \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) soit plat pour tout \(\varphi : [n] \to [m]\). Si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), alors \(\mathcal{I}_n\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_n)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 015Z de Homologie et du lemme 0D74.

Morphismes de sites simpliciaux annelés

Nous poursuivons la discussion de la section 0D94.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi\) et \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi\) comme dans la situation 09WE. Soient \(\mathcal{O}\) et \(\mathcal{O}'\) des faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) et \(\mathcal{C}'_{total}\), respectivement. On dira que \((h, h^\sharp)\) est un morphisme entre sites simpliciaux annelés si \(h\) est un morphisme entre sites simpliciaux comme dans la remarque 0D95 et si \(h^\sharp : h_{total}^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\), ou, de manière équivalente, \(h^\sharp : \mathcal{O}' \to h_{total, *}\mathcal{O}\), est un homomorphisme de faisceaux d’anneaux.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}_n, f_\varphi, u_\varphi\) et \(\mathcal{C}'_n, f'_\varphi, u'_\varphi\) comme dans la situation 09WE. Soient \(\mathcal{O}\) et \(\mathcal{O}'\) des faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) et \(\mathcal{C}'_{total}\), respectivement. Soit \((h, h^\sharp)\) un morphisme entre sites simpliciaux annelés comme dans la remarque 0DGZ. Alors on obtient un morphisme de topos annelés \[h_{total} : (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'_{total}), \mathcal{O}')\] et des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \ar[d]_{g_n} \ar[r]_{h_n} & (\Sh(\mathcal{C}'_n), \mathcal{O}'_n) \ar[d]^{g'_n} \\ (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O}) \ar[r]^{h_{total}} & (\Sh(\mathcal{C}'_{total}), \mathcal{O}') }\] de topos annelés, où \(g_n\) et \(g'_n\) sont comme dans le lemme 0D72. De plus, on a \((g'_n)^* \circ h_{total, *} = h_{n, *} \circ g_n^*\) comme foncteurs \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}'_n)\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0D96 et 0D72, en tenant compte des faisceaux d’anneaux. Un petit point est que, pour définir \(h_n\) comme morphisme de topos annelés, on pose \(h_n^\sharp = g_n^{-1}h^\sharp : g_n^{-1}h_{total}^{-1}\mathcal{O}' \to g_n^{-1}\mathcal{O}\), ce qui a un sens puisque \(g_n^{-1}h_{total}^{-1}\mathcal{O}' = h_n^{-1}(g'_n)^{-1}\mathcal{O}' = h_n^{-1}\mathcal{O}'_n\) et \(g_n^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_n\). Notons que \(g_n^*\mathcal{F} = g_n^{-1}\mathcal{F}\) pour un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), et de même pour \(g'_n\) ; cela aide à comprendre pourquoi \((g'_n)^* \circ h_{total, *} = h_{n, *} \circ g_n^*\) résulte de l’énoncé correspondant du lemme 0D96.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses du lemme 0DH0, pour \(K \in D(\mathcal{O})\), on a \((g'_n)^*Rh_{total, *}K = Rh_{n, *}g_n^*K\).

Démonstration

Rappelons que \(g_n^* = g_n^{-1}\) parce que \(g_n^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_n\) par la construction du lemme 0D72. En particulier, \(g_n^*\) est exact, et \(Lg_n^*\) s’obtient en appliquant \(g_n^*\) à n’importe quel complexe de modules représentant l’objet considéré. De même pour \(g'_n\). Il existe un morphisme canonique de changement de base \((g'_n)^*Rh_{total, *}K \to Rh_{n, *}g_n^*K\) ; voir Cohomologie sur les sites, remarque 07A7. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 0D6J, l’image de ce morphisme dans \(D(\mathcal{C}'_n)\) est le morphisme \((g'_n)^{-1}Rh_{total, *}K_{ab} \to Rh_{n, *}g_n^{-1}K_{ab}\), où \(K_{ab}\) est l’image de \(K\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\). On a prouvé que celui-ci est un isomorphisme dans le lemme 0D97, et le résultat en découle.

Cohomologie sur les sites simpliciaux

Soit \(\mathcal{C}\) comme dans la situation 09WE. Dans l’énoncé des lemmes suivants, on notera \(g_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) le morphisme de topos du lemme 09WG. Si \(\varphi : [m] \to [n]\) est un morphisme de \(\Delta\), alors le diagramme de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_n) \ar[rd]_{g_n} \ar[rr]_{f_\varphi} & & \Sh(\mathcal{C}_m) \ar[ld]^{g_m} \\ & \Sh(\mathcal{C}_{total}) }\] n’est pas commutatif, mais il existe un \(2\)-morphisme \(g_n \to g_m \circ f_\varphi\) provenant des applications \(\mathcal{F}(\varphi) : f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n\). Voir Sites, section 04I9.

Lemme

Dans la situation 09WE et avec les notations ci-dessus, il existe un complexe \[\ldots \to g_{2!}\mathbf{Z} \to g_{1!}\mathbf{Z} \to g_{0!}\mathbf{Z}\] de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}_{total}\) qui constitue une résolution du faisceau constant de valeur \(\mathbf{Z}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\).

Démonstration

On utilisera sans autre mention la description des foncteurs \(g_{n!}\) donnée dans le lemme 09WG. Comme applications du complexe, on prend \(\sum (-1)^i d^n_i\), où \(d^n_i : g_{n!}\mathbf{Z} \to g_{n - 1!}\mathbf{Z}\) est l’ adjoint de l’application \(\mathbf{Z} \to \bigoplus_{[n - 1] \to [n]} \mathbf{Z} = g_n^{-1}g_{n - 1!}\mathbf{Z}\) correspondant au facteur étiqueté par \(\delta^n_i : [n - 1] \to [n]\). En appliquant \(g_m^{-1}\) au complexe, on obtient le complexe \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([2], [m])]} \mathbf{Z} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([1], [m])]} \mathbf{Z} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([0], [m])]} \mathbf{Z}\] sur \(\mathcal{C}_m\). Autrement dit, c’est le complexe associé au faisceau abélien libre sur l’ensemble simplicial \(\Delta[m]\) ; voir Méthodes simpliciales, exemple 0176. Puisque \(\Delta[m]\) est homotopiquement équivalent à \(\Delta[0]\) ; voir Méthodes simpliciales, exemple 08Q3, et puisque « prendre le faisceau abélien libre sur » est un foncteur, on voit que le complexe ci-dessus est homotopiquement équivalent au faisceau abélien libre sur \(\Delta[0]\) (Méthodes simpliciales, remarque 019M et lemme 019T). Ce complexe est acyclique en degrés strictement positifs et égal à \(\mathbf{Z}\) en degré \(0\).

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_{total}\). Il existe un complexe canonique \[0 \to \Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{C}_0, \mathcal{F}_0) \to \Gamma(\mathcal{C}_1, \mathcal{F}_1) \to \Gamma(\mathcal{C}_2, \mathcal{F}_2) \to \ldots\] qui est exact en degrés \(-1, 0\) et partout exact si \(\mathcal{F}\) est injectif.

Démonstration

Observons que \(\Hom(\mathbf{Z}, \mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{F})\) et que \(\Hom(g_{n!}\mathbf{Z}, \mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{C}_n, \mathcal{F}_n)\). Ce lemme résulte donc immédiatement du lemme 09WI et du fait que \(\Hom(-, \mathcal{F})\) est exact si \(\mathcal{F}\) est injectif.

Lemme

Dans la situation 09WE, pour \(K\) dans \(D^+(\mathcal{C}_{total})\), il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_1^{p, q} = H^q(\mathcal{C}_p, K_p),\quad d_1^{p, q} : E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\] qui aboutit à \(H^{p + q}(\mathcal{C}_{total}, K)\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(K\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’injectifs représentant \(K\). Considérons le complexe double dont les termes sont \[A^{p, q} = \Gamma(\mathcal{C}_p, \mathcal{I}^q_p)\] où les flèches horizontales proviennent du lemme 0D77 et les flèches verticales des différentielles du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Les lignes du complexe double sont exactes en degrés strictement positifs et valent \(\Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{I}^q)\) en degré \(0\). D’autre part, puisque la restriction à \(\mathcal{C}_p\) est exacte (lemme 09WG), le complexe \(\mathcal{I}_p^\bullet\) représente \(K_p\) dans \(D(\mathcal{C}_p)\). Les faisceaux \(\mathcal{I}_p^q\) sont des faisceaux abéliens injectifs sur \(\mathcal{C}_p\) (lemme 09WH). La cohomologie des colonnes calcule donc les groupes \(H^q(\mathcal{C}_p, K_p)\). On conclut en appliquant les lemmes 0132 et 0133 de Homologie.

Remarque

On fait les mêmes hypothèses et on emploie les mêmes notations que dans le lemme 09WJ, sauf que l’on ne suppose pas que \(K\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\) soit borné inférieurement. On affirme qu’il existe également dans ce cas une suite spectrale naturelle. En effet, supposons que \(\mathcal{I}^\bullet\) soit un complexe K-injectif de faisceaux sur \(\mathcal{C}_{total}\), à termes injectifs, qui représente \(K\). On a \[\begin{align*} R\Gamma(\mathcal{C}_{total}, K) & = R\Hom(\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom( \ldots \to g_{2!}\mathbf{Z} \to g_{1!}\mathbf{Z} \to g_{0!}\mathbf{Z}, K) \\ & = \Gamma(\mathcal{C}_{total}, \SheafHom^\bullet( \ldots \to g_{2!}\mathbf{Z} \to g_{1!}\mathbf{Z} \to g_{0!}\mathbf{Z}, \mathcal{I}^\bullet)) \\ & = \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet}) \end{align*}\] où \(A^{\bullet, \bullet}\) est le complexe double dont les termes sont \(A^{p, q} = \Gamma(\mathcal{C}_p, \mathcal{I}^q_p)\), et où \(\text{Tot}_\pi\) désigne la totalisation par produits de ce complexe double. En effet, la première égalité vaut dans tout site. La deuxième égalité résulte du lemme 09WI. La troisième égalité vaut parce que \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif ; voir Cohomologie sur les sites, sections 0A8X et 08J7. La dernière égalité résulte de la construction de \(\SheafHom^\bullet\) et du fait que \(\Hom(g_{p!}\mathbf{Z}, \mathcal{I}^q) = \Gamma(\mathcal{C}_p, \mathcal{I}^q_p)\). On obtient alors notre suite spectrale en considérant \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) comme un complexe filtré avec \(F^i\text{Tot}^n_\pi(A^{\bullet, \bullet}) = \prod_{p + q = n,\ p \geq i} A^{p, q}\). La suite spectrale ainsi obtenue se comporte comme la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) de Homologie, section 012X (où est traité le cas de la totalisation par sommes directes), si ce n’est pour les questions de régularité, de bornitude, de convergence et d’aboutissement. En particulier, on obtient \(E_1^{p, q} = H^q(\mathcal{C}_p, K_p)\) comme dans le lemme 09WJ.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{C}_{total})\).

1. Si \(H^{-p}(\mathcal{C}_p, K_p) = 0\) pour tout \(p \geq 0\), alors \(H^0(\mathcal{C}_{total}, K) = 0\).

2. Si \(R\Gamma(\mathcal{C}_p, K_p) = 0\) pour tout \(p \geq 0\), alors \(R\Gamma(\mathcal{C}_{total}, K) = 0\).

Démonstration

Avec les notations de la remarque 0H0V, on voit que \(R\Gamma(\mathcal{C}_{total}, K)\) est représenté par \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\). L’hypothèse de (1) nous dit que \(H^{-p}(A^{p, \bullet}) = 0\). L’annulation de (1) résulte donc du lemme 0H0Q de Compléments d’algèbre. L’assertion (2) résulte de l’assertion (1) en prenant des décalés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) comme dans la situation 09WE. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C}_n)\). Soit \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\). Alors \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, g_n^{-1}\mathcal{F})\), où, dans le membre de gauche, \(U\) est considéré comme un objet de \(\mathcal{C}_{total}\).

Démonstration

Notons que l’expression « \(U\) considéré comme objet de \(\mathcal{C}_{total}\) » est expliquée par la construction de \(\mathcal{C}_{total}\) dans le lemme 09WC dans le cas (A) et le lemme 09WD dans le cas (B). L’égalité résulte alors du lemme 09WH et de la définition de la cohomologie.

Cohomologie et augmentations de sites simpliciaux

Considérons un site simplicial \(\mathcal{C}\) comme dans la situation 09WE. Soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z. Par le lemme 0D70, on obtient un morphisme de topoi \[a : \Sh(\mathcal{C}_{total}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{D})\] ainsi que des morphismes de topoi \(g_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_{total})\) comme dans le lemme 09WG. Les compositions \(a \circ g_n\) sont notées \(a_n : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{D})\). De plus, la structure simpliciale donne des morphismes de topoi \(f_\varphi : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_m)\) tels que \(a_n \circ f_\varphi = a_m\) pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\), il existe un complexe exact \[\ldots \to g_{2!}(a_2^{-1}\mathcal{G}) \to g_{1!}(a_1^{-1}\mathcal{G}) \to g_{0!}(a_0^{-1}\mathcal{G}) \to a^{-1}\mathcal{G} \to 0\] de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}_{total}\).

Démonstration

Nous conseillons au lecteur de lire d’abord la preuve du lemme 09WI. Nous utiliserons le lemme 0D70 et la description des foncteurs \(g_{n!}\) donnée dans le lemme 09WG, sans autre mention. En particulier, \(g_{n!}(a_n^{-1}\mathcal{G})\) est le faisceau sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont la restriction à \(\mathcal{C}_m\) est le faisceau \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}a_n^{-1}\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} a_m^{-1}\mathcal{G}\] Comme morphismes du complexe, prenons \(\sum (-1)^i d^n_i\), où \(d^n_i : g_{n!}(a_n^{-1}\mathcal{G}) \to g_{n - 1!}(a_{n - 1}^{-1}\mathcal{G})\) est adjoint au morphisme \(a_n^{-1}\mathcal{G} \to \bigoplus_{[n - 1] \to [n]} a_n^{-1}\mathcal{G} = g_n^{-1}g_{n - 1!}(a_{n - 1}^{-1}\mathcal{G})\) correspondant au facteur étiqueté \(\delta^n_i : [n - 1] \to [n]\). Le morphisme \(g_{0!}(a_0^{-1}\mathcal{G}) \to a^{-1}\mathcal{G}\) est adjoint au morphisme identité de \(a_0^{-1}\mathcal{G}\). L’application de \(g_m^{-1}\) au complexe de chaînes en degrés \(\ldots, 2, 1, 0\) donne le complexe \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([2], [m])]} a_m^{-1}\mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([1], [m])]} a_m^{-1}\mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([0], [m])]} a_m^{-1}\mathcal{G}\] sur \(\mathcal{C}_m\). Il est égal à \(a_m^{-1}\mathcal{G}\) tensorisé sur le faisceau constant \(\mathbf{Z}\) avec le complexe \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([2], [m])]} \mathbf{Z} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([1], [m])]} \mathbf{Z} \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([0], [m])]} \mathbf{Z}\] discuté dans la preuve du lemme 09WI. Nous y avons vu que ce complexe est homotopiquement équivalent à \(\mathbf{Z}\) placé en degré \(0\), ce qui termine la preuve.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z. Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) il existe un complexe canonique \[0 \to a_*\mathcal{F} \to a_{0, *}\mathcal{F}_0 \to a_{1, *}\mathcal{F}_1 \to a_{2, *}\mathcal{F}_2 \to \ldots\] sur \(\mathcal{D}\) qui est exact en degrés \(-1, 0\) et exact partout si \(\mathcal{F}\) est injectif.

Démonstration

Pour construire le complexe, il suffit, par le lemme de Yoneda, de construire pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\) un complexe \[0 \to \Hom(\mathcal{G}, a_*\mathcal{F}) \to \Hom(\mathcal{G}, a_{0, *}\mathcal{F}_0) \to \Hom(\mathcal{G}, a_{1, *}\mathcal{F}_1) \to \ldots\] fonctoriellement en \(\mathcal{G}\). Pour cela, appliquons \(\Hom(-, \mathcal{F})\) au complexe exact du lemme 0D78 et utilisons l’adjonction entre image inverse et image directe. Les propriétés d’exactitude en degrés \(-1, 0\) découlent de la construction, puisque \(\Hom(-, \mathcal{F})\) est exact à gauche. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien injectif, alors le complexe est exact car \(\Hom(-, \mathcal{F})\) est exact.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z. Pour tout \(K\) dans \(D^+(\mathcal{C}_{total})\), il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_1^{p, q} = R^qa_{p, *} K_p,\quad d_1^{p, q} : E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\] qui aboutit à \(R^{p + q}a_*K\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(K\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’injectifs représentant \(K\). Considérons le complexe double dont les termes sont \[A^{p, q} = a_{p, *}\mathcal{I}^q_p\] où les flèches horizontales proviennent du lemme 0D79 et les flèches verticales des différentiels du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Les lignes du double complexe sont exactes en degrés positifs et s’évaluent à \(a_*\mathcal{I}^q\) en degré \(0\). D’autre part, puisque la restriction à \(\mathcal{C}_p\) est exacte (lemme 09WG) le complexe \(\mathcal{I}_p^\bullet\) représente \(K_p\) dans \(D(\mathcal{C}_p)\). Les faisceaux \(\mathcal{I}_p^q\) sont des faisceaux abéliens injectifs sur \(\mathcal{C}_p\) (lemme 09WH). La cohomologie des colonnes calcule donc \(R^qa_{p, *}K_p\). On conclut en appliquant les lemmes 0132 et 0133.

Cohomologie sur les sites simpliciaux annelés

Cette section est l’analogue de la section 0D76 pour les faisceaux de modules.

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Dans les énoncés des lemmes suivants, nous noterons \(g_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O})\) le morphisme de topos annelés du lemme 0D72. Si \(\varphi : [m] \to [n]\) est un morphisme de \(\Delta\), alors le diagramme de topoi annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \ar[rd]_{g_n} \ar[rr]_{f_\varphi} & & (\Sh(\mathcal{C}_m), \mathcal{O}_m) \ar[ld]^{g_m} \\ & (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O}) }\] n’est pas commutatif, mais il existe un \(2\)-morphisme \(g_n \to g_m \circ f_\varphi\) provenant des morphismes \(\mathcal{F}(\varphi) : f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n\). Voir Sites, section 04I9.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Il existe un complexe \[\ldots \to g_{2!}\mathcal{O}_2 \to g_{1!}\mathcal{O}_1 \to g_{0!}\mathcal{O}_0\] de \(\mathcal{O}\)-modules qui est une résolution de \(\mathcal{O}\). Ici, \(g_{n!}\) est comme dans le lemme 0D72.

Démonstration

Nous utiliserons la description de \(g_{n!}\) donnée dans le lemme 09WG. Comme morphismes du complexe, prenons \(\sum (-1)^i d^n_i\), où \(d^n_i : g_{n!}\mathcal{O}_n \to g_{n - 1!}\mathcal{O}_{n - 1}\) est adjoint au morphisme \(\mathcal{O}_n \to \bigoplus_{[n - 1] \to [n]} \mathcal{O}_n = g_n^*g_{n - 1!}\mathcal{O}_{n - 1}\) correspondant au facteur étiqueté \(\delta^n_i : [n - 1] \to [n]\). Alors \(g_m^{-1}\) appliqué au complexe donne le complexe \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([2], [m])]} \mathcal{O}_m \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([1], [m])]} \mathcal{O}_m \to \bigoplus\nolimits_{\alpha \in \Mor_\Delta([0], [m])]} \mathcal{O}_m\] sur \(\mathcal{C}_m\). Autrement dit, il s’agit du complexe associé au \(\mathcal{O}_m\)-module libre engendré par l’ensemble simplicial \(\Delta[m]\); voir Simplicial, exemple 0176. Puisque \(\Delta[m]\) est homotopiquement équivalent à \(\Delta[0]\), voir Simplicial, exemple 08Q3, et puisque « prendre le faisceau abélien libre engendré par » est un foncteur, on voit que le complexe ci-dessus est homotopiquement équivalent au faisceau abélien libre engendré par \(\Delta[0]\) (Simplicial, remarque 019M et lemme 019T). Ce complexe est acyclique en degrés positifs et égal à \(\mathcal{O}_m\) en degré \(0\).

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un complexe canonique \[0 \to \Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{C}_0, \mathcal{F}_0) \to \Gamma(\mathcal{C}_1, \mathcal{F}_1) \to \Gamma(\mathcal{C}_2, \mathcal{F}_2) \to \ldots\] qui est exact en degrés \(-1, 0\) et exact partout si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif.

Démonstration

Observons que \(\Hom(\mathcal{O}, \mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{F})\) et \(\Hom(g_{n!}\mathcal{O}_n, \mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{C}_n, \mathcal{F}_n)\). Ce lemme est donc une conséquence immédiate du lemme 0D9B et du fait que \(\Hom(-, \mathcal{F})\) est exact si \(\mathcal{F}\) est injectif.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Pour \(K\) dans \(D^+(\mathcal{O})\) il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) telle que \[E_1^{p, q} = H^q(\mathcal{C}_p, K_p),\quad d_1^{p, q} : E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\] qui aboutit à \(H^{p + q}(\mathcal{C}_{total}, K)\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(K\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}\)-modules injectifs représentant \(K\). Considérons le complexe double de termes \[A^{p, q} = \Gamma(\mathcal{C}_p, \mathcal{I}^q_p)\] où les flèches horizontales proviennent du lemme 0D9C et les flèches verticales des différentiels du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Notons que \(\Gamma(\mathcal{D}, -) = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{O}_\mathcal{D}, -)\) sur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D})\). Le lemme affirme donc que les lignes du complexe double sont exactes en degrés positifs et donnent \(\Gamma(\mathcal{C}_{total}, \mathcal{I}^q)\) en degré \(0\). Ainsi le complexe total associé au double complexe calcule \(R\Gamma(\mathcal{C}_{total}, K)\) d’après Homologie, lemme 0133. D’un autre côté, puisque la restriction à \(\mathcal{C}_p\) est exacte, (lemme 09WG) le complexe \(\mathcal{I}_p^\bullet\) représente \(K_p\) dans \(D(\mathcal{C}_p)\). Les faisceaux \(\mathcal{I}_p^q\) sont totalement acycliques sur \(\mathcal{C}_p\) (lemme 0D73). La cohomologie des colonnes calcule donc les groupes \(H^q(\mathcal{C}_p, K_p)\) par le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) et Cohomologie sur les sites, lemme 0731. On conclut en appliquant Homologie, lemme 0132.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Soient \(U \in \Ob(\mathcal{C}_n)\) et \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O})\). Alors \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, g_n^*\mathcal{F})\) où, au membre de gauche, \(U\) est considéré comme un objet de \(\mathcal{C}_{total}\).

Démonstration

Observons que « \(U\) considéré comme objet de \(\mathcal{C}_{total}\) » est expliqué par la construction de \(\mathcal{C}_{total}\) dans le lemme 09WC dans le cas (A), et dans le lemme 09WD dans le cas (B). Dans les deux cas, le foncteur \(\mathcal{C}_n \to \mathcal{C}\) est continu et cocontinu, voir le lemme 09WG, et \(g_n^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_n\) par définition. Le résultat est donc un cas particulier du lemme de Cohomologie sur les sites 0DD8.

Cohomologie et augmentations des sites simpliciaux annelés

Cette section est l’analogue de la section 0D9A pour les faisceaux de modules.

Considérons un site simplicial \(\mathcal{C}\) comme dans la situation 09WE. Soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\). Supposons qu’on nous donne un morphisme \[a^\sharp : \mathcal{O}_\mathcal{D} \longrightarrow a_*\mathcal{O}\] où \(a\) est comme dans le lemme 0D70. Par conséquent, on obtient un morphisme de topoi annelés \[a : (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\] Considérons le morphisme de topos annelés \(g_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O})\) du lemme 0D72. En formant la composition \(a_n = a \circ g_n\) (lemme 0D70) dans la catégorie des topoi annelés, on obtient \[a_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\] À l’aide des morphismes de transition \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_m \to \mathcal{O}_n\) on obtient des morphismes de topoi annelés \[f_\varphi : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_m), \mathcal{O}_m)\] tels que \(a_m \circ f_\varphi = a_n\) comme morphismes de topoi annelés pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

Lemme

Avec les notations ci-dessus, le morphisme \(a : (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) est plat si et seulement si \(a_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) est plat pour \(n \geq 0\).

Démonstration

Puisque \(g_n : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{total}), \mathcal{O})\) est plat, on voit que, si \(a\) est plat, alors \(a_n = a \circ g_n\) est plat comme composé. Réciproquement, supposons \(a_n\) plat pour tout \(n\). Il faut vérifier que \(\mathcal{O}\) est plat comme faisceau de \(a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme injectif de \(a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Nous devons montrer que \[\mathcal{F} \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{O} \to \mathcal{G} \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{O}\] est injectif. On peut le vérifier sur \(\mathcal{C}_n\), c’est-à-dire après application de \(g_n^{-1}\). Puisque \(g_n^* = g_n^{-1}\) et que \(g_n^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_n\), on obtient \[g_n^{-1}\mathcal{F} \otimes_{g_n^{-1}a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{O}_n \to g_n^{-1}\mathcal{G} \otimes_{g_n^{-1}a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{O}_n\] qui est injectif car \(g_n^{-1}a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D} = a_n^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\) et, par hypothèse, \(a_n\) est plat.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{G}\), il existe un complexe exact \[\ldots \to g_{2!}(a_2^*\mathcal{G}) \to g_{1!}(a_1^*\mathcal{G}) \to g_{0!}(a_0^*\mathcal{G}) \to a^*\mathcal{G} \to 0\] de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{C}_{total}\). Ici, \(g_{n!}\) est comme dans le lemme 0D72.

Démonstration

Observons que \(a^*\mathcal{G}\) est le \(\mathcal{O}\)-module sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont la restriction à \(\mathcal{C}_m\) est le \(\mathcal{O}_m\)-module \(a_m^*\mathcal{G}\). La description des foncteurs \(g_{n!}\) sur les modules dans le lemme 0D72 montre que \(g_{n!}(a_n^*\mathcal{G})\) est le \(\mathcal{O}\)-module sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont la restriction à \(\mathcal{C}_m\) est le \(\mathcal{O}_m\)-module \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*a_n^*\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} a_m^*\mathcal{G}\] Le reste de la démonstration est identique à celui du lemme 0D78, après remplacement de \(a_m^{-1}\mathcal{G}\) par \(a_m^*\mathcal{G}\).

Lemme

Avec les notations ci-dessus. Pour un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) il existe un complexe canonique \[0 \to a_*\mathcal{F} \to a_{0, *}\mathcal{F}_0 \to a_{1, *}\mathcal{F}_1 \to a_{2, *}\mathcal{F}_2 \to \ldots\] de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules, exact en degrés \(-1, 0\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif, alors le complexe est exact à tous les degrés et reste exact en appliquant le foncteur \(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, -)\) pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Pour construire le complexe, il suffit, par le lemme de Yoneda, de construire pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{D}\) un complexe \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, a_*\mathcal{F}) \to \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, a_{0, *}\mathcal{F}_0) \to \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, a_{1, *}\mathcal{F}_1) \to \ldots\] fonctoriellement en \(\mathcal{G}\). Pour cela, appliquons \(\Hom_\mathcal{O}(-, \mathcal{F})\) au complexe exact du lemme 0D7C et utilisons l’adjonction entre image inverse et image directe. Les propriétés d’exactitude en degrés \(-1, 0\) découlent de la construction, puisque \(\Hom_\mathcal{O}(-, \mathcal{F})\) est exact à gauche. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif, alors le complexe est exact car \(\Hom_\mathcal{O}(-, \mathcal{F})\) est exact.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, pour tout \(K\) dans \(D^+(\mathcal{O})\), il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) avec \[E_1^{p, q} = R^qa_{p, *} K_p\] qui aboutit à \(R^{p + q}a_*K\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(K\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}\)-modules injectifs représentant \(K\). Considérons le complexe double de termes \[A^{p, q} = a_{p, *}\mathcal{I}^q_p\] où les flèches horizontales proviennent du lemme 0D7D et les flèches verticales des différentiels du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Le lemme affirme que les lignes du complexe double sont exactes en degrés positifs et donnent \(a_*\mathcal{I}^q\) en degré \(0\). Ainsi le complexe total associé au double complexe calcule \(Ra_*K\) d’après Homologie, lemme 0133. D’autre part, puisque la restriction à \(\mathcal{C}_p\) est exacte (lemme 09WG) le complexe \(\mathcal{I}_p^\bullet\) représente \(K_p\) dans \(D(\mathcal{C}_p)\). Les faisceaux \(\mathcal{I}_p^q\) sont totalement acycliques sur \(\mathcal{C}_p\) (lemme 0D73). La cohomologie des colonnes est donc donnée par les faisceaux \(R^qa_{p, *}K_p\) par le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) et Cohomologie sur les sites, lemme 0731. On conclut en appliquant Homologie, lemme 0132.

Faisceaux et modules cartésiens

Voici la définition.

Définition

Dans la situation 09WE.

1. Un faisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles ou de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}_{total}\) est cartésien si les morphismes \(\mathcal{F}(\varphi) : f_\varphi^{-1}\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

2. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\), alors un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules est cartésien si les morphismes \(f_\varphi^*\mathcal{F}_m \to \mathcal{F}_n\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

3. Un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C}_{total})\) est cartésien si les morphismes \(f_\varphi^{-1}K_m \to K_n\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

4. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\), alors un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\) est cartésien si les morphismes \(Lf_\varphi^*K_m \to K_n\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\).

Bien entendu, il existe une notion générale de section cartésienne d’une catégorie fibrée, dont les notions ci-dessus ne sont que des exemples. La propriété sur les images inverses doit uniquement être vérifiée pour les dégénérescences.

Lemme

Dans la situation 09WE.

1. Un faisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles ou de groupes abéliens est cartésien si et seulement si les morphismes \((f_{\delta^n_j})^{-1}\mathcal{F}_{n - 1} \to \mathcal{F}_n\) sont des isomorphismes.

2. Un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C}_{total})\) est cartésien si et seulement si les morphismes \((f_{\delta^n_j})^{-1}K_{n - 1} \to K_n\) sont des isomorphismes.

3. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\), un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules est cartésien si et seulement si les morphismes \((f_{\delta^n_j})^*\mathcal{F}_{n - 1} \to \mathcal{F}_n\) sont des isomorphismes.

4. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\), un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\) est cartésien si et seulement si les morphismes \(L(f_{\delta^n_j})^*K_{n - 1} \to K_n\) sont des isomorphismes.

5. Ajouter d’autres cas ici.

Démonstration

Dans chaque cas, le point essentiel est que les foncteurs image inverse se composent en un foncteur du même type; pour la partie (4), voir Cohomologie sur les sites, lemme 0D6D. Nous montrons comment fonctionne l’argument dans le cas (1) et omettons la preuve dans les autres cas. La catégorie \(\Delta\) est engendrée par les morphismes \(\delta^n_j\) et \(\sigma^n_j\); voir Simplicial, lemme 0166. Il suffit donc de vérifier que les morphismes \((f_{\delta^n_j})^{-1}\mathcal{F}_{n - 1} \to \mathcal{F}_n\) et \((f_{\sigma^n_j})^{-1}\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) sont des isomorphismes; voir Simplicial, lemme 016B pour les notations. Puisque \(\sigma^n_j \circ \delta_j^{n + 1} = \text{id}_{[n]}\) la composition \[\mathcal{F}_n = (f_{\sigma^n_j})^{-1} (f_{\delta_j^{n + 1}})^{-1} \mathcal{F}_n \to (f_{\sigma^n_j})^{-1} \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\] est l’identité. Ainsi, le résultat pour \(\delta^{n + 1}_j\) implique le résultat pour \(\sigma^n_j\).

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\) comme dans la remarque 0D6Z.

1. L’image inverse \(a^{-1}\mathcal{G}\) d’un faisceau d’ensembles ou de groupes abéliens sur \(\mathcal{D}\) est cartésienne.

2. L’image inverse \(a^{-1}K\) d’un objet \(K\) de \(D(\mathcal{D})\) est cartésienne.

Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) et \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\) et \(a^\sharp : \mathcal{O}_\mathcal{D} \to a_*\mathcal{O}\) un morphisme comme dans la section 0D9D.

1. L’image inverse \(a^*\mathcal{F}\) d’un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules est cartésienne.

2. L’image inverse dérivée \(La^*K\) d’un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) est cartésienne.

Démonstration

Cela découle immédiatement des identités \(a_m \circ f_\varphi = a_n\) pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\). Voir le lemme 0D70 et la discussion dans la section 0D9D.

Lemme

Dans la situation 09WE. La catégorie des faisceaux cartésiens d’ensembles (resp. de groupes abéliens) est équivalente à la catégorie des couples \((\mathcal{F}, \alpha)\) où \(\mathcal{F}\) est un faisceau d’ensembles (resp. de groupes abéliens) sur \(\mathcal{C}_0\) et \[\alpha : (f_{\delta_1^1})^{-1}\mathcal{F} \longrightarrow (f_{\delta_0^1})^{-1}\mathcal{F}\] est un isomorphisme de faisceaux d’ensembles (resp. de groupes abéliens) sur \(\mathcal{C}_1\) tel que \((f_{\delta^2_1})^{-1}\alpha = (f_{\delta^2_0})^{-1}\alpha \circ (f_{\delta^2_2})^{-1}\alpha\) comme morphismes de faisceaux sur \(\mathcal{C}_2\).

Démonstration

Nous abrégeons \(d^n_j = f_{\delta^n_j} : \Sh(\mathcal{C}_n) \to \Sh(\mathcal{C}_{n - 1})\). La condition imposée à \(\alpha\) dans l’énoncé du lemme est bien définie, car \[d^1_1 \circ d^2_2 = d^1_1 \circ d^2_1, \quad d^1_1 \circ d^2_0 = d^1_0 \circ d^2_2, \quad d^1_0 \circ d^2_0 = d^1_0 \circ d^2_1\] comme morphismes de topoi \(\Sh(\mathcal{C}_2) \to \Sh(\mathcal{C}_0)\), voir Simplicial, remarque 016C. On peut donc représenter ces morphismes comme suit \[\xymatrix{ & (d^2_0)^{-1}(d^1_1)^{-1}\mathcal{F} \ar[r]_-{(d^2_0)^{-1}\alpha} & (d^2_0)^{-1}(d^1_0)^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ (d^2_2)^{-1}(d^1_0)^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & (d^2_1)^{-1}(d^1_0)^{-1}\mathcal{F} \\ & (d^2_2)^{-1}(d^1_1)^{-1}\mathcal{F} \ar[lu]^{(d^2_2)^{-1}\alpha} \ar@{=}[r] & (d^2_1)^{-1}(d^1_1)^{-1}\mathcal{F} \ar[ru]_{(d^2_1)^{-1}\alpha} }\] et la condition signifie que le diagramme est commutatif. Or, étant donné un faisceau cartésien \(\mathcal{G}\) d’ensembles (resp. de groupes abéliens) sur \(\mathcal{C}_{total}\), on peut poser \(\mathcal{F} = \mathcal{G}_0\) et prendre pour \(\alpha\) le composé \[(d_1^1)^{-1}\mathcal{G}_0 \to \mathcal{G}_1 \leftarrow (d_1^0)^{-1}\mathcal{G}_0\] où les flèches sont inversibles puisque \(\mathcal{G}\) est cartésien. Pour prouver que ce foncteur est une équivalence, construisons-en un quasi-inverse. La construction du quasi-inverse est analogue à celle décrite dans Descente, section 023F, à laquelle nous empruntons les notations \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et \(\tau^n_{ij} : [1] \to [n]\), \(0 \mapsto i\), \(1 \mapsto j\). Plus précisément, pour un couple \((\mathcal{F}, \alpha)\) comme dans le lemme, posons \(\mathcal{G}_n = (f_{\tau^n_n})^{-1}\mathcal{F}\). Pour \(\varphi : [n] \to [m]\), définissons \(\mathcal{G}(\varphi) : (f_\varphi)^{-1}\mathcal{G}_n \to \mathcal{G}_m\) en utilisant \[\xymatrix{ (f_\varphi)^{-1}\mathcal{G}_n \ar@{=}[r] & (f_\varphi)^{-1}(f_{\tau^n_n})^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[r] & (f_{\tau^m_{\varphi(n)}})^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[r] & (f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^{-1}(d^1_1)^{-1}\mathcal{F} \ar[d]^{(f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^{-1}\alpha} \\ & \mathcal{G}_m \ar@{=}[r] & (f_{\tau^m_m})^{-1}\mathcal{F} \ar@{=}[r] & (f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^{-1}(d^1_0)^{-1}\mathcal{F} }\] Nous laissons au lecteur la vérification que la commutativité du diagramme ci-dessus entraîne la compatibilité des morphismes avec la composition et définit donc un faisceau sur \(\mathcal{C}_{total}\); voir le lemme 09WF. Nous laissons également au lecteur le soin de vérifier que les deux foncteurs sont quasi inverses l’un de l’autre.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens est équivalente à la catégorie des couples \((\mathcal{F}, \alpha)\) où \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_0\)-module et \[\alpha : (f_{\delta_1^1})^*\mathcal{F} \longrightarrow (f_{\delta_0^1})^*\mathcal{F}\] est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_1\)-modules tel que \((f_{\delta^2_1})^*\alpha = (f_{\delta^2_0})^*\alpha \circ (f_{\delta^2_2})^*\alpha\) comme morphismes de \(\mathcal{O}_2\)-modules.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0D7I, l’image inverse des faisceaux de groupes abéliens étant remplacée par l’image inverse des modules.

Lemme

Dans la situation 09WE.

1. La sous-catégorie pleine des faisceaux abéliens cartésiens est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\). Les colimites de systèmes de faisceaux abéliens cartésiens sont cartésiennes.

2. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) tel que les morphismes \[f_{\delta^n_j} : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{n - 1}), \mathcal{O}_{n - 1})\] sont plats. La sous-catégorie pleine des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Les colimites de systèmes de \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens sont cartésiennes.

Démonstration

Pour voir qu’on obtient en (1) une sous-catégorie de Serre faible, vérifions les conditions énumérées dans Homologie, lemme 0754. D’abord, si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme entre faisceaux abéliens cartésiens, alors \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) sont également cartésiens car les foncteurs de restriction \(\Sh(\mathcal{C}_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}_n)\) et les foncteurs \(f_\varphi^{-1}\) sont exacts. De même, si \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{H} \to \mathcal{G} \to 0\] est une suite exacte courte de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}_{total}\) avec \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) cartésiens, il s’ensuit que \(\mathcal{H}\) est cartésien par le lemme des cinq. Pour les colimites, utilisons le fait qu’elles commutent aux images inverses, puisque les foncteurs image inverse sont adjoints à gauche. Dans le cas des modules, on raisonne de même en utilisant l’exactitude de l’image inverse par un morphisme plat (Modules sur les sites, lemme 04JC) et le fait qu’il suffit de vérifier la condition pour \(f_{\delta^n_j}\); voir le lemme 07TG.

Remarque

Malgré le lemme 0D7J, il peut arriver que la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens soit abélienne sans être une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Plus précisément, supposons que nous sachions seulement que \(f_{\delta_1^1}\) et \(f_{\delta_0^1}\) sont plats. Il résulte alors facilement du lemme 07TH que la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens est abélienne. Mais si \(f_{\delta_0^2}\) n’est pas plat (par exemple), il n’y a aucune raison pour que le foncteur d’inclusion de la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens dans la catégorie de tous les \(\mathcal{O}\)-modules soit exact.

Lemme

Dans la situation 09WE.

1. Un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C}_{total})\) est cartésien si et seulement si \(H^q(K)\) est un faisceau abélien cartésien pour tout \(q\).

2. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) tel que les morphismes \(f_{\delta^n_j} : (\Sh(\mathcal{C}_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}_{n - 1}), \mathcal{O}_{n - 1})\) sont plats. Alors un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\) est cartésien si et seulement si \(H^q(K)\) est un \(\mathcal{O}\)-module cartésien pour tout \(q\).

Démonstration

La partie (1) résulte de ce que les foncteurs image inverse \((f_\varphi)^{-1}\) sont exacts. La partie (2) découle de la caractérisation dans le lemme 07TG et du fait que \(L(f_{\delta^n_j})^* = (f_{\delta^n_j})^*\) par planéité.

Lemme

Dans la situation 09WE.

1. Un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C}_{total})\) est cartésien si et seulement le morphisme canonique \[g_{n!}K_n \longrightarrow g_{n!}\mathbf{Z} \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K\] est un isomorphisme pour tout \(n\).

2. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\) tel que les morphismes \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) sont plats pour tout \(\varphi : [n] \to [m]\). Alors un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\) est cartésien si et seulement si le morphisme canonique \[g_{n!}K_n \longrightarrow g_{n!}\mathcal{O}_n \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K\] est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

Pour (1). Puisque \(g_{n!}\) est exact, il induit un foncteur sur les catégories dérivées adjoint à \(g_n^{-1}\). Le morphisme est adjoint au morphisme \(K_n \to (g_n^{-1}g_{n!}\mathbf{Z}) \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K_n\) correspondant à \(\mathbf{Z} \to g_n^{-1}g_{n!}\mathbf{Z}\) qui à son tour est adjoint à \(\text{id} : g_{n!}\mathbf{Z} \to g_{n!}\mathbf{Z}\). En utilisant la description de \(g_{n!}\) donnée dans le lemme 09WG on voit que la restriction à \(\mathcal{C}_m\) de ce morphisme est \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}K_n \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} K_m\] L’assertion est donc claire.

Pour (2). Puisque \(g_{n!}\) est exact (lemme 0D74), il induit un foncteur sur les catégories dérivées adjoint à \(g_n^*\) (également exact). Le morphisme est adjoint au morphisme \(K_n \to (g_n^*g_{n!}\mathcal{O}_n) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_n} K_n\) correspondant à \(\mathcal{O}_n \to g_n^*g_{n!}\mathcal{O}_n\) qui à son tour est adjoint à \(\text{id} : g_{n!}\mathcal{O}_n \to g_{n!}\mathcal{O}_n\). En utilisant la description de \(g_{n!}\) donnée dans le lemme 0D72 on voit que la restriction à \(\mathcal{C}_m\) de ce morphisme est \[\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*K_n \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^*\mathcal{O}_n \otimes_{\mathcal{O}_m} K_m = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} K_m\] L’assertion est donc claire.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent au sens de Modules sur les sites, définition 03DL, si et seulement si \(\mathcal{F}\) est cartésien et si \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_n\)-module quasi-cohérent pour tout \(n\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit quasi-cohérent. Puisque les images inverses des modules quasi-cohérents sont quasi-cohérents (Modules sur les sites, lemme 03DO), nous voyons que \(\mathcal{F}_n\) est un module \(\mathcal{O}_n\) quasi-cohérent pour tout \(n\). Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est cartésien, soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}_n\) pour un certain \(n\). Regardons \(U\) comme un objet de \(\mathcal{C}_{total}\). Comme \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et pour chaque \(i\) une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to \bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to 0\] Notons que \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}_n\) par la construction du site \(\mathcal{C}_{total}\). Soit ensuite \(V\) un objet de \(\mathcal{C}_m\) pour un certain \(m\), et soit \(V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}_{total}\) au-dessus de \(\varphi : [n] \to [m]\). Les produits fibrés \(V_i = V \times_U U_i\) existent et donnent un recouvrement induit \(\{V_i \to V\}\) dans \(\mathcal{C}_m\). En restreignant la présentation ci-dessus aux sites \(\mathcal{C}_n/U_i\) et \(\mathcal{C}_m/V_i\), on obtient les présentations \[\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/U_i} \to \bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/U_i} \to \mathcal{F}_n|_{\mathcal{C}_n/U_i} \to 0\] et \[\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/V_i} \to \bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/V_i} \to \mathcal{F}_m|_{\mathcal{C}_m/V_i} \to 0\] Ces présentations sont compatibles avec le morphisme \(\mathcal{F}(\varphi) : f_\varphi^*\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_m\) (car ce morphisme est défini à l’aide des morphismes de restriction de \(\mathcal{F}\) le long des morphismes de \(\mathcal{C}_{total}\) recouvrant \(\varphi\)). On en déduit que \(\mathcal{F}(\varphi)|_{\mathcal{C}_m/V_i}\) est un isomorphisme. Comme \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement, \(\mathcal{F}(\varphi)|_{\mathcal{C}_m/V}\) est donc un isomorphisme. L’arbitraire de \(V\) et de \(U\) montre que \(\mathcal{F}\) est cartésien. (Dans le cas (A), on utilise Sites, lemme 08H2.)

Réciproquement, supposons \(\mathcal{F}_n\) quasi-cohérent pour tout \(n\) et que \(\mathcal{F}\) est cartésien. Alors, pour tout \(n\) et tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}_n\), nous pouvons choisir un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}_n\) et pour chacun \(i\) une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/U_i} \to \bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_m/U_i} \to \mathcal{F}_n|_{\mathcal{C}_n/U_i} \to 0\] En prenant l’image inverse sur \(\mathcal{C}_{total}/U_i\), on obtient les complexes \[\bigoplus\nolimits_{j \in J_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to \bigoplus\nolimits_{k \in K_i} \mathcal{O}_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}_{total}/U_i} \to 0\] de modules sur \(\mathcal{C}_{total}/U_i\). La cartésianité de \(\mathcal{F}\) implique alors l’exactitude de ce complexe. Nous omettons les détails.

Systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée

Dans cette section, nous allons prouver un cas particulier de [BBD, Proposition 3.2.9] dans le cadre des catégories dérivées de faisceaux abéliens. Le cas des modules est abordé dans la section 0D9M.

Définition

Dans la situation 09WE. Un système simplicial de la catégorie dérivée se compose des données suivantes

1. pour tout \(n\), un objet \(K_n\) de \(D(\mathcal{C}_n)\),

2. pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), un morphisme \(K_\varphi : f_\varphi^{-1}K_m \to K_n\) dans \(D(\mathcal{C}_n)\)

soumises à la condition \[K_{\varphi \circ \psi} = K_\varphi \circ f_\varphi^{-1}K_\psi : f_{\varphi \circ \psi}^{-1}K_l = f_\varphi^{-1} f_\psi^{-1}K_l \longrightarrow K_n\] pour tout couple de morphismes \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\psi : [l] \to [m]\) de \(\Delta\). On dit que le système simplicial est cartésien si les morphismes \(K_\varphi\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi\). Étant donné deux systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée, il existe une notion évidente de morphisme de systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée.

Nous avons intentionnellement donné à cette notion un nom ridiculement long. Le but est de montrer qu’un système simplicial de la catégorie dérivée provient d’un objet de \(D(\mathcal{C}_{total})\) sous certaines hypothèses.

Lemme

Dans la situation 09WE. Si \(K \in D(\mathcal{C}_{total})\) est un objet, alors \((K_n, K(\varphi))\) est un système simplicial de la catégorie dérivée. Si \(K\) est cartésien, le système l’est également.

Démonstration

C’est évident.

Lemme

Dans la situation 09WE, supposons donnés \(K_0 \in D(\mathcal{C}_0)\) et un isomorphisme \[\alpha : f_{\delta_1^1}^{-1}K_0 \longrightarrow f_{\delta_0^1}^{-1}K_0\] satisfaisant à la condition de cocycle. Posons \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et puis posons \(K_n = f_{\tau^n_n}^{-1}K_0\). Les \(K_n\) forment un système simplicial cartésien de la catégorie dérivée.

Démonstration

Comparer avec le lemme 0D7I et sa preuve (où la condition de cocycle est aussi explicitée). La construction est analogue à celle décrite dans Descente, section 023F, à laquelle nous empruntons les notations \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et \(\tau^n_{ij} : [1] \to [n]\), \(0 \mapsto i\), \(1 \mapsto j\). Pour \(\varphi : [n] \to [m]\), définissons \(K_\varphi : f_\varphi^{-1}K_n \to K_m\) en utilisant \[\xymatrix{ f_\varphi^{-1}K_n \ar@{=}[r] & f_\varphi^{-1} f_{\tau^n_n}^{-1}K_0 \ar@{=}[r] & f_{\tau^m_{\varphi(n)}}^{-1}K_0 \ar@{=}[r] & f_{\tau^m_{\varphi(n)m}}^{-1}f_{\delta^1_1}^{-1}K_0 \ar[d]_{f_{\tau^m_{\varphi(n)m}}^{-1}\alpha} \\ & K_m \ar@{=}[r] & f_{\tau^m_m}^{-1}K_0 \ar@{=}[r] & f_{\tau^m_{\varphi(n)m}}^{-1}f_{\delta^1_0}^{-1}K_0 }\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la condition de cocycle entraîne la compatibilité des morphismes avec la composition (dans leurs catégories dérivées respectives) et définit donc un système simplicial dans la catégorie dérivée.

Lemme

Dans la situation 09WE. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{C}_{total})\). Posons \[X_n = (g_{n!}\mathbf{Z}) \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K \quad\text{et}\quad Y_n = (g_{n!}\mathbf{Z} \to \ldots \to g_{0!}\mathbf{Z})[-n] \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K\] comme objets de \(D(\mathcal{C}_{total})\), les morphismes étant comme dans le lemme 09WI. Avec les morphismes canoniques évidents \(Y_n \to X_n\) et \(Y_0 \to Y_1[1] \to Y_2[2] \to \ldots\), on a

1. les triangles distingués \(Y_n \to X_n \to Y_{n - 1} \to Y_n[1]\) définissent un système de Postnikov (Catégories dérivées, définition 0D7Z) pour \(\ldots \to X_2 \to X_1 \to X_0\),

2. \(K = \text{hocolim} Y_n[n]\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\).

Démonstration

D’abord, si \(K = \mathbf{Z}\), c’est la construction de Catégories dérivées, exemple 0D8Z, appliquée au complexe \[\ldots \to g_{2!}\mathbf{Z} \to g_{1!}\mathbf{Z} \to g_{0!}\mathbf{Z}\] dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\), compte tenu du fait que ce complexe représente \(K = \mathbf{Z}\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\) par le lemme 09WI. Le cas général en découle, puisque le foncteur exact \(- \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K\) transforme les systèmes de Postnikov en systèmes de Postnikov et que \(- \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K\) commute aux colimites homotopiques.

Lemme

Dans la situation 09WE. Soient \(K, K' \in D(\mathcal{C}_{total})\). Supposons que

1. \(K\) est cartésien,

2. \(\Hom(K_i[i], K'_i) = 0\) pour \(i > 0\) et

3. \(\Hom(K_i[i + 1], K'_i) = 0\) pour \(i \geq 0\).

Alors tout morphisme \(K \to K'\) induisant le morphisme nul \(K_0 \to K'_0\) est nul.

Démonstration

Considérons les objets \(X_n\) et le système de Postnikov \(Y_n\) associé à \(K\) dans le lemme 0D9I. Comme \(K = \text{hocolim} Y_n[n]\), le morphisme \(K \to K'\) fournit une famille compatible de morphismes \(Y_n[n] \to K'\). D’après (1) et le lemme 0D9E, on a \(X_n = g_{n!}K_n\). Puisque \(Y_0 = X_0\), la nullité de \(K_0 \to K'_0\) entraîne celle de \(Y_0 \to K'\). Supposons par récurrence que le morphisme \(Y_n[n] \to K'\) soit nul pour un certain \(n \geq 0\). Le triangle distingué \[Y_n[n] \to Y_{n + 1}[n + 1] \to X_{n + 1}[n + 1] \to Y_n[n + 1]\] on déduit une suite exacte \[\Hom(X_{n + 1}[n + 1], K') \to \Hom(Y_{n + 1}[n + 1], K') \to \Hom(Y_n[n], K')\] Comme \(X_{n + 1}[n + 1] = g_{n + 1!}K_{n + 1}[n + 1]\), le premier groupe est égal à \[\Hom(K_{n + 1}[n + 1], K'_{n + 1})\] qui est nul par l’hypothèse (2). Par récurrence, tous les morphismes \(Y_n[n] \to K'\) sont nuls. Considérons le triangle distingué qui définit \[\bigoplus Y_n[n] \to \bigoplus Y_n[n] \to K \to (\bigoplus Y_n[n])[1]\] la colimite homotopique. En raisonnant comme ci-dessus, on voit qu’il suffit de montrer que \[\Hom((\bigoplus Y_n[n])[1], K') = \prod \Hom(Y_n[n + 1], K')\] soit nul pour tout \(n \geq 0\). Pour le vérifier, en raisonnant comme ci-dessus, il suffit de montrer que \[\Hom(K_n[n + 1], K'_n) = 0\] pour tout \(n \geq 0\), ce qui découle de la condition (3).

Lemme

Dans la situation 09WE, soient \(K, K' \in D(\mathcal{C}_{total})\). Supposons que

1. \(K\) est cartésien,

2. \(\Hom(K_i[i - 1], K'_i) = 0\) pour \(i > 1\).

Alors tout morphisme \(\{K_n \to K'_n\}\) entre les systèmes simpliciaux associés à \(K\) et \(K'\) provient d’un morphisme \(K \to K'\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\).

Démonstration

Soit \(\{K_n \to K'_n\}_{n \geq 0}\) un morphisme de systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée. Considérons les objets \(X_n\) et le système de Postnikov \(Y_n\) associés au \(K\) du lemme 0D9I. D’après (1) et le lemme 0D9E, on a \(X_n = g_{n!}K_n\). En particulier, le morphisme \(K_0 \to K'_0\) induit un morphisme \(X_0 \to K'\). Puisque \(\{K_n \to K'_n\}\) est un morphisme de systèmes, un calcul (omis) montre que la composition \[X_1 \to X_0 \to K'\] est nulle. Comme \(Y_0 = X_0\) et que \(Y_1\) s’insère dans un triangle distingué \[Y_1 \to X_1 \to Y_0 \to Y_1[1]\] on en déduit l’existence d’un morphisme \(Y_1[1] \to K'\) dont la composition avec \(X_0 = Y_0 \to Y_1[1]\) est le morphisme \(X_0 \to K'\) ci-dessus. Supposons donné un morphisme \(Y_n[n] \to K'\) pour \(n \geq 1\). À partir du triangle distingué \[X_{n + 1}[n] \to Y_n[n] \to Y_{n + 1}[n + 1] \to X_{n + 1}[n + 1]\] on obtient une suite exacte \[\Hom(Y_{n + 1}[n + 1], K') \to \Hom(Y_n[n], K') \to \Hom(X_{n + 1}[n], K')\] Comme \(X_{n + 1}[n] = g_{n + 1!}K_{n + 1}[n]\), le dernier groupe est égal à \[\Hom(K_{n + 1}[n], K'_{n + 1})\] qui est nul par l’hypothèse (2). Par récurrence, on construit un système de morphismes \(Y_n[n] \to K'\) compatible avec les morphismes de transition et se réduisant au morphisme donné sur \(Y_0\). Cela fournit un morphisme \[\gamma : K = \text{hocolim} Y_n[n] \longrightarrow K'\] Ce morphisme rend en particulier commutatif le diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] \ar[r] & K \ar[d]^\gamma \\ & K' }\] est commutatif. Par restriction à \(\mathcal{C}_0\), on en déduit que le morphisme \(\gamma_0 : K_0 \to K'_0\) est le même que le premier morphisme \(K_0 \to K'_0\) du morphisme de systèmes simpliciaux. Comme \(K\) est cartésien, on en déduit aisément que \(\{\gamma_n\}\) est le morphisme de systèmes simpliciaux dont on était parti.

Lemme

Dans la situation 09WE. Soit \((K_n, K_\varphi)\) un système simplicial de la catégorie dérivée. Supposons que

1. \((K_n, K_\varphi)\) est cartésien,

2. \(\Hom(K_i[t], K_i) = 0\) pour \(i \geq 0\) et \(t > 0\).

Il existe alors un objet cartésien \(K\) de \(D(\mathcal{C}_{total})\) dont le système simplicial associé est isomorphe à \((K_n, K_\varphi)\).

Démonstration

Posons \(X_n = g_{n!}K_n\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\). Pour tout \(n \geq 1\), on a \[\Hom(X_n, X_{n - 1}) = \Hom(K_n, g_n^{-1}g_{n - 1!}K_{n - 1}) = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n - 1] \to [n]} \Hom(K_n, f_\varphi^{-1}K_{n - 1})\] On obtient ainsi un morphisme \(X_n \to X_{n - 1}\) correspondant à la somme alternée des morphismes \(K_\varphi^{-1} : K_n \to f_\varphi^{-1}K_{n - 1}\) où \(\varphi\) parcourt \(\delta^n_0, \ldots, \delta^n_n\). Nous pouvons le faire car \(K_\varphi\) est inversible par l’hypothèse (1). Comparer avec la définition des morphismes dans la preuve du lemme 09WI. On obtient un complexe \[\ldots \to X_2 \to X_1 \to X_0\] dans \(D(\mathcal{C}_{total})\). Nous omettons le calcul qui montre que les composés sont nuls. D’après Catégories dérivées, lemme 0D83, si l’on a \[\Hom(X_i[i - j - 2], X_j) = 0\text{ pour }i > j + 2\] on peut prolonger ce complexe en un système de Postnikov. Le groupe est égal à \[\Hom(K_i[i - j - 2], g_i^{-1}g_{j!}K_j)\] En utilisant à nouveau la cartésianité de \((K_n, K_\varphi)\), on voit que \(g_i^{-1}g_{j!}K_j\) est isomorphe à une somme directe finie de copies de \(K_i\). Ce groupe s’annule donc par l’hypothèse (2). Prenons le système de Postnikov défini par \(Y_0 = X_0\) et les triangles distingués \(Y_n \to X_n \to Y_{n - 1} \to Y_n[1]\) pour \(n \geq 1\). Nous définissons \[K = \text{hocolim} Y_n[n]\] Pour terminer la preuve, nous devons montrer que \(g_m^{-1}K\) est isomorphe à \(K_m\) pour tout \(m\), de façon compatible avec les morphismes \(K_\varphi\). Notons que \[g_m^{-1} K = \text{hocolim} g_m^{-1}Y_n[n]\] et que \(g_m^{-1}Y_n[n]\) est un système Postnikov pour \(g_m^{-1}X_n\). Considérons les isomorphismes \[g_m^{-1}X_n = \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} f_\varphi^{-1}K_n \xrightarrow{\bigoplus K_\varphi} \bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} K_m\] Ces morphismes définissent un isomorphisme de complexes \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & g_m^{-1}X_2 \ar[r] \ar[d] & g_m^{-1}X_1 \ar[r] \ar[d] & g_m^{-1}X_0 \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{\varphi : [2] \to [m]} K_m \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{\varphi : [1] \to [m]} K_m \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{\varphi : [0] \to [m]} K_m }\] dans \(D(\mathcal{C}_m)\); les flèches de la rangée inférieure sont celles de dans la preuve du lemme 09WI. Les carrés sont commutatifs par le choix des flèches du complexe \(\ldots \to X_2 \to X_1 \to X_0\) ; nous omettons le calcul. Le complexe formé par la rangée inférieure admet la tour de Postnikov \[Y'_{m, n} = \left(\bigoplus\nolimits_{\varphi : [n] \to [m]} \mathbf{Z} \to \ldots \to \bigoplus\nolimits_{\varphi : [0] \to [m]} \mathbf{Z}\right)[-n] \otimes^\mathbf{L}_\mathbf{Z} K_m\] et l’on a \(\text{hocolim} Y'_{m, n} = K_m\) (comparer avec la preuve du lemme 0D9I et Catégories dérivées, exemple 0D8Z). La seconde partie de Catégories dérivées, lemme 0D83, permet de prolonger les morphismes verticaux du grand diagramme en un isomorphisme de systèmes de Postnikov, pourvu que l’on ait \[\Hom(g_m^{-1}X_i[i - j - 1], \bigoplus\nolimits_{\varphi : [j] \to [m]} K_m) = 0\text{ pour }i > j + 1\] Cette annulation découle de \(\Hom(K_m[i - j - 1], K_m) = 0\) pour \(i > j + 1\), par l’hypothèse (2). Choisissons un isomorphisme de systèmes de Postnikov \(\gamma_{m, n} : g_m^{-1}Y_n \to Y'_{m, n}\) dans \(D(\mathcal{C}_m)\). Par unicité des colimites homotopiques, il existe un isomorphisme \[g_m^{-1} K = \text{hocolim} g_m^{-1}Y_n[n] \xrightarrow{\gamma_m} \text{hocolim} Y'_{m, n} = K_m\] compatible avec \(\gamma_{m, n}\).

Il reste à montrer que les morphismes \(\gamma_m\) s’inscrivent dans les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ f_\varphi^{-1}g_m^{-1}K \ar[d]_{f_\varphi^{-1}\gamma_m} \ar[r]_{K(\varphi)} & g_n^{-1}K \ar[d]^{\gamma_n} \\ f_\varphi^{-1}K_m \ar[r]^{K_\varphi} & K_n }\] pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ f_\varphi^{-1}(\bigoplus_{\psi : [0] \to [m]} f_\psi^{-1}K_0) \ar@{=}[r] \ar[d]_{f_\varphi^{-1}(\bigoplus K_\psi)} & f_\varphi^{-1}g_m^{-1}X_0 \ar[d] \ar[r]_{X_0(\varphi)} & g_n^{-1}X_0 \ar[d] & \bigoplus_{\chi : [0] \to [n]} f_\chi^{-1}K_0 \ar@{=}[l] \ar[d]^{\bigoplus K_\chi} \\ f_\varphi^{-1}(\bigoplus_{\psi : [0] \to [m]} K_m) \ar@{=}[d] & f_\varphi^{-1}g_m^{-1}K \ar[d]_{f_\varphi^{-1}\gamma_m} \ar[r]_{K(\varphi)} & g_n^{-1}K \ar[d]^{\gamma_n} & \bigoplus_{\chi : [0] \to [n]} K_n \ar@{=}[d] \\ f_\varphi^{-1}Y'_{0, m} \ar[r] & f_\varphi^{-1}K_m \ar[r]^{K_\varphi} & K_n & Y'_{0, n} \ar[l] }\] Le carré du milieu supérieur est commutatif car \(X_0 \to K\) est un morphisme d’objets simpliciaux. Les rectangles de gauche et de droite sont commutatifs, car \(\gamma_m\) et \(\gamma_n\) sont respectivement compatibles avec \(\gamma_{0, m}\) et \(\gamma_{0, n}\), qui sont les flèches \(\bigoplus K_\psi\) et \(\bigoplus K_\chi\) dans le diagramme. Le rectangle extérieur du diagramme est commutatif, car \((K_n, K_\varphi)\) est un système simplicial et le morphisme \(X_0(\varphi)\) est donné par les identifications évidentes \(f_\varphi^{-1}f_\psi^{-1}K_0 = f_{\varphi \circ \psi}^{-1}K_0\). Notons que la flèche \(\bigoplus_\psi K_m \to Y'_{0, m} \to K_m\) induit un isomorphisme sur chacun des facteurs directs (en raison de notre construction explicite des systèmes de Postnikov \(Y'_{i, j}\) ci-dessus). Ainsi, si l’on prend un facteur direct du coin supérieur gauche, celui-ci s’envoie isomorphiquement sur \(f_\varphi^{-1}g_m^{-1}K\) car \(\gamma_m\) est un isomorphisme. En explicitant ce qui précède et en ne considérant que ce facteur direct, on conclut que le carré central inférieur est lui aussi commutatif. Cela termine la preuve.

Systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée : modules

Dans cette section, nous allons prouver un cas particulier de [BBD, Proposition 3.2.9] dans le cadre des catégories dérivées de \(\mathcal{O}\)-modules. Le cas (un peu) plus simple des faisceaux abéliens est discuté dans la section 0D9F.

Définition

Dans la situation 09WE. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Un système simplicial de la catégorie dérivée de modules se compose des données suivantes

1. pour tout \(n\), un objet \(K_n\) de \(D(\mathcal{O}_n)\),

2. pour tout \(\varphi : [m] \to [n]\), un morphisme \(K_\varphi : Lf_\varphi^*K_m \to K_n\) dans \(D(\mathcal{O}_n)\)

soumises à la condition \[K_{\varphi \circ \psi} = K_\varphi \circ Lf_\varphi^*K_\psi : Lf_{\varphi \circ \psi}^*K_l = Lf_\varphi^* Lf_\psi^*K_l \longrightarrow K_n\] pour tout couple de morphismes \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(\psi : [l] \to [m]\) de \(\Delta\). On dit que le système simplicial est cartésien si les morphismes \(K_\varphi\) sont des isomorphismes pour tout \(\varphi\). Étant donnés deux systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée, il existe une notion évidente de morphisme de systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée de modules.

Nous avons intentionnellement donné à cette notion un nom ridiculement long. Le but est de montrer qu’un système simplicial de la catégorie dérivée de modules provient d’un objet de \(D(\mathcal{O})\) sous certaines hypothèses.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Si \(K \in D(\mathcal{O})\) est un objet, alors \((K_n, K(\varphi))\) est un système simplicial de la catégorie dérivée de modules. Si \(K\) est cartésien, le système l’est également.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Supposons donnés \(K_0 \in D(\mathcal{O}_0)\) et un isomorphisme \[\alpha : L(f_{\delta_1^1})^*K_0 \longrightarrow L(f_{\delta_0^1})^*K_0\] satisfaisant à la condition de cocycle. Posons \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et posons \(K_n = Lf_{\tau^n_n}^*K_0\). Les objets \(K_n\) sont les termes d’un système simplicial cartésien de la catégorie dérivée de modules.

Démonstration

Comparer avec les lemmes 0GME et 0D7I et sa preuve (également pour voir la condition du cocycle énoncée). La construction est analogue à la construction discutée dans Descente, section 023F, à laquelle nous empruntons la notation \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et \(\tau^n_{ij} : [1] \to [n]\), \(0 \mapsto i\), \(1 \mapsto j\). Pour \(\varphi : [n] \to [m]\), définissons \(K_\varphi : L(f_\varphi)^*K_n \to K_m\) à l’aide du diagramme \[\xymatrix{ L(f_\varphi)^*K_n \ar@{=}[r] & L(f_\varphi)^* L(f_{\tau^n_n})^*K_0 \ar@{=}[r] & L(f_{\tau^m_{\varphi(n)}})^*K_0 \ar@{=}[r] & L(f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^* L(f_{\delta^1_1})^*K_0 \ar[d]_{L(f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^*\alpha} \\ & K_m \ar@{=}[r] & L(f_{\tau^m_m})^*K_0 \ar@{=}[r] & L(f_{\tau^m_{\varphi(n)m}})^* L(f_{\delta^1_0})^*K_0 }\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la condition de cocycle entraîne la compatibilité des morphismes avec la composition (dans leurs catégories dérivées respectives) et définit donc un système simplicial de la catégorie dérivée de modules.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{C}_{total})\). Posons \[X_n = (g_{n!}\mathcal{O}_n) \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K \quad\text{et}\quad Y_n = (g_{n!}\mathcal{O}_n \to \ldots \to g_{0!}\mathcal{O}_0)[-n] \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K\] comme objets de \(D(\mathcal{O})\), les morphismes étant comme dans le lemme 09WI. Avec les morphismes canoniques évidents \(Y_n \to X_n\) et \(Y_0 \to Y_1[1] \to Y_2[2] \to \ldots\), on a

1. les triangles distingués \(Y_n \to X_n \to Y_{n - 1} \to Y_n[1]\) définissent un système de Postnikov (Catégories dérivées, définition 0D7Z) pour \(\ldots \to X_2 \to X_1 \to X_0\),

2. \(K = \text{hocolim} Y_n[n]\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

D’abord, si \(K = \mathcal{O}\), c’est la construction de Catégories dérivées, exemple 0D8Z, appliquée au complexe \[\ldots \to g_{2!}\mathcal{O}_2 \to g_{1!}\mathcal{O}_1 \to g_{0!}\mathcal{O}_0\] dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\) combiné au fait que ce complexe représente \(K = \mathcal{O}\) dans \(D(\mathcal{C}_{total})\) par le lemme 0D9B. Le cas général en découle, puisque le foncteur exact \(- \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K\) transforme les systèmes de Postnikov en systèmes de Postnikov et que \(- \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} K\) commute aux colimites homotopiques.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soient \(K, K' \in D(\mathcal{O})\). Supposons que

1. \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) est plat pour \(\varphi : [m] \to [n]\),

2. \(K\) est cartésien,

3. \(\Hom(K_i[i], K'_i) = 0\) pour \(i > 0\) et

4. \(\Hom(K_i[i + 1], K'_i) = 0\) pour \(i \geq 0\).

Alors tout morphisme \(K \to K'\) induisant le morphisme nul \(K_0 \to K'_0\) est nul.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0D9J, à ceci près qu’elle utilise le lemme 0D9Q au lieu du lemme 0D9I.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soient \(K, K' \in D(\mathcal{O})\). Supposons que

1. \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) est plat pour \(\varphi : [m] \to [n]\),

2. \(K\) est cartésien,

3. \(\Hom(K_i[i - 1], K'_i) = 0\) pour \(i > 1\).

Alors tout morphisme \(\{K_n \to K'_n\}\) entre les systèmes simpliciaux associés à \(K\) et \(K'\) provient d’un morphisme \(K \to K'\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0D9K, à ceci près qu’elle utilise le lemme 0D9Q au lieu du lemme 0D9I.

Lemme

Dans la situation 09WE, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}_{total}\). Soit \((K_n, K_\varphi)\) un système simplicial de la catégorie dérivée de modules. Supposons que

1. \(f_\varphi^{-1}\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_m\) est plat pour \(\varphi : [m] \to [n]\),

2. \((K_n, K_\varphi)\) est cartésien,

3. \(\Hom(K_i[t], K_i) = 0\) pour \(i \geq 0\) et \(t > 0\).

Il existe alors un objet cartésien \(K\) de \(D(\mathcal{O})\) dont le système simplicial associé est isomorphe à \((K_n, K_\varphi)\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0D9L, avec les modifications suivantes

1. utiliser \(g_n^* = Lg_n^*\) partout au lieu de \(g_n^{-1}\),

2. utiliser \(f_\varphi^* = Lf_\varphi^*\) partout au lieu de \(f_\varphi^{-1}\),

3. se référer au lemme 0D9B au lieu du lemme 09WI,

4. dans la construction de \(Y'_{m, n}\) utiliser \(\mathcal{O}_m\) au lieu de \(\mathbf{Z}\),

5. comparer avec la preuve du lemme 0D9Q plutôt que la preuve du lemme 0D9I.

Ceci termine la preuve.

Le site associé à un objet semi-représentable

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Rappelons qu’un objet semi-représentable de \(\mathcal{C}\) est simplement une famille \(\{U_i\}_{i \in I}\) d’objets de \(\mathcal{C}\). Un morphisme \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) d’objets semi-représentables est donné par une application \(\alpha : I \to J\) et pour tout \(i \in I\) un morphisme \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) de \(\mathcal{C}\). La catégorie d’objets semi-représentables de \(\mathcal{C}\) est notée \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Voir Hyperrecouvrements, définition 01G0, et la section qui la contient pour davantage de précisions.

Pour un objet semi-représentable \(K = \{U_i\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\), on pose \[\mathcal{C}/K = \coprod\nolimits_{i \in I} \mathcal{C}/U_i\] l’union disjointe des localisations de \(\mathcal{C}\) en \(U_i\). Cette catégorie porte une structure naturelle de site, dont les recouvrements sont hérités de ceux des localisations \(\mathcal{C}/U_i\). Le site \(\mathcal{C}/K\) s’appelle localisation de \(\mathcal{C}\) en \(K\). Observons qu’un faisceau sur \(\mathcal{C}/K\) est la même chose qu’ une famille de faisceaux \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathcal{C}/U_i\), c’est-à-dire \[\Sh(\mathcal{C}/K) = \prod\nolimits_{i \in I} \Sh(\mathcal{C}/U_i)\] Cette observation est parfois utile pour comprendre la situation.

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(K = \{U_i\}_{i \in I}\) un objet de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Il existe un foncteur de localisation continu et cocontinu \(j : \mathcal{C}/K \to \mathcal{C}\) qui est le produit des foncteurs de localisation \(j_i : \mathcal{C}/V_i \to \mathcal{C}\). On obtient les foncteurs \(j_!\), \(j^{-1}\), \(j_*\) exactement comme dans Sites, section 00XZ. En termes de la décomposition en produit \(\Sh(\mathcal{C}/K) = \prod\nolimits_{i \in I} \Sh(\mathcal{C}/U_i)\) nous avons \[\begin{matrix} j_! & : & (\mathcal{F}_i)_{i \in I} & \longmapsto & \coprod j_{i, !}\mathcal{F}_i \\ j^{-1} & : & \mathcal{G} & \longmapsto & (j_i^{-1}\mathcal{G})_{i \in I} \\ j_* & : & (\mathcal{F}_i)_{i \in I} & \longmapsto & \prod j_{i, *}\mathcal{F}_i \end{matrix}\] ce que le lecteur vérifie aisément.

Soit \(f : K \to L\) un morphisme de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). On obtient alors un foncteur continu et cocontinu \[v : \mathcal{C}/K \longrightarrow \mathcal{C}/L\] en appliquant aux composantes la construction de Sites, lemme 03EH. aux composantes. Plus précisément, supposons \(f = (\alpha, f_i)\) où \(K = \{U_i\}_{i \in I}\), \(L = \{V_j\}_{j \in J}\), \(\alpha : I \to J\), et \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\). Le foncteur \(v\) envoie la composante \(\mathcal{C}/U_i\) dans la composante \(\mathcal{C}/V_{\alpha(i)}\) par la construction du lemme précité. En particulier, on obtient un morphisme \[f : \Sh(\mathcal{C}/K) \to \Sh(\mathcal{C}/L)\] de topoi. En termes des décompositions en produits \(\Sh(\mathcal{C}/K) = \prod\nolimits_{i \in I} \Sh(\mathcal{C}/U_i)\) et \(\Sh(\mathcal{C}/L) = \prod\nolimits_{j \in J} \Sh(\mathcal{C}/V_j)\) le lecteur vérifiera que \[\begin{matrix} f_! & : & (\mathcal{F}_i)_{i \in I} & \longmapsto & (\coprod\nolimits_{i \in I, \alpha(i) = j} f_{i, !}\mathcal{F}_i)_{j \in J} \\ f^{-1} & : & (\mathcal{G}_j)_{j \in J} & \longmapsto & (f_i^{-1}\mathcal{G}_{\alpha(i)})_{i \in I} \\ f_* & : & (\mathcal{F}_i)_{i \in I} & \longmapsto & (\prod\nolimits_{i \in I, \alpha(i) = j} f_{i, *}\mathcal{F}_i)_{j \in J} \end{matrix}\] où \(f_i : \Sh(\mathcal{C}/U_i) \to \Sh(\mathcal{C}/V_{\alpha(i)})\) est le morphisme associé au foncteur de localisation \(\mathcal{C}/U_i \to \mathcal{C}/V_{\alpha(i)}\) correspondant à \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Pour \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), le foncteur \(j : \mathcal{C}/K \to \mathcal{C}\) est continu, cocontinu et possède la propriété P de Sites, remarque 09W7.

2. Pour \(f : K \to L\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), le foncteur \(v : \mathcal{C}/K \to \mathcal{C}/L\) (voir ci-dessus) est continu, cocontinu et possède la propriété P de Sites, remarque 09W7.

Démonstration

Pour (2). Avec les notations de la discussion précédant le lemme, les foncteurs de localisation \(\mathcal{C}/U_i \to \mathcal{C}/V_{\alpha(i)}\) sont continus et cocontinus par Sites, section 00XZ et possèdent la propriété \(P\) d’après Sites, remarque 09W8. On en déduit formellement que \(v\) est continu, cocontinu et possède la propriété \(P\). Nous laissons au lecteur les détails, ainsi que la preuve de (1).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Pour \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\), on a \[j_*j^{-1}\mathcal{F} = \SheafHom(F(K)^\#, \mathcal{F})\] où \(F\) est comme dans Hyperrecouvrements, définition 01G1.

Démonstration

Écrivons \(K = \{U_i\}_{i \in I}\). En utilisant la description des foncteurs \(j^{-1}\) et \(j_*\) donnée ci-dessus, nous voyons que \[j_*j^{-1}\mathcal{F} = \prod\nolimits_{i \in I} j_{i, *}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}) = \prod\nolimits_{i \in I} \SheafHom(h_{U_i}^\#, \mathcal{F})\] La seconde égalité résulte de Sites, lemme 0D7X. Puisque \(F(K) = \coprod h_{U_i}\) dans \(\textit{PSh}(\mathcal{C}\), nous avons \(F(K)^\# = \coprod h_{U_i}^\#\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\) et puisque \(\SheafHom(-, \mathcal{F})\) transforme les coproduits en produits (cela résulte immédiatement de la construction de Sites, section 04TP), on conclut.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Pour \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), le foncteur \(j_!\) donne une équivalence \(\Sh(\mathcal{C}/K) \to \Sh(\mathcal{C})/F(K)^\#\) où \(F\) est comme dans Hyperrecouvrements, définition 01G1.

2. Le foncteur \(j^{-1} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}/K)\) correspond, via l’identification de (1), à \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \times F(K)^\# \to F(K)^\#)\).

3. Pour \(f : K \to L\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), le foncteur \(f^{-1}\) correspond, via les identifications de (1), au foncteur \(\Sh(\mathcal{C})/F(L)^\# \to \Sh(\mathcal{C})/F(K)^\#\), \((\mathcal{G} \to F(L)^\#) \mapsto (\mathcal{G} \times_{F(L)^\#} F(K)^\# \to F(K)^\#)\).

Démonstration

Observons que, si \(K = \{U_i\}_{i \in I}\), la catégorie \(\Sh(\mathcal{C}/K)\) se décompose en produit des catégories \(\Sh(\mathcal{C}/U_i)\). Observons que \(F(K)^\# = \coprod_{i \in I} h_{U_i}^\#\) (coproduit en faisceaux). \(\Sh(\mathcal{C})/F(K)^\#\) est donc le produit des catégories \(\Sh(\mathcal{C})/h_{U_i}^\#\). Ainsi, (1) et (2) résultent des assertions correspondantes pour chaque \(i\); voir Sites, lemmes 00Y1 et 03EE. De même, si \(L = \{V_j\}_{j \in J}\) et si \(f\) est donné par \(\alpha : I \to J\) et \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\), alors on peut appliquer Sites, lemme 04IL à chacun des morphismes de relocalisation \(\mathcal{C}/U_i \to \mathcal{C}/V_{\alpha(i)}\) pour obtenir (3).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Le foncteur \(j^{-1}\) envoie les faisceaux abéliens injectifs sur des faisceaux abéliens injectifs. De même, le foncteur \(j^{-1}\) envoie les complexes K-injectifs de faisceaux abéliens sur des complexes K-injectifs de faisceaux abéliens.

Démonstration

La première assertion est la généralisation naturelle du lemme de Cohomologie sur les sites 03F3 aux objets semi-représentables. Elle découle en fait de ce lemme par la décomposition en produit de \(\Sh(\mathcal{C}/K)\) et la description du foncteur \(j^{-1}\) donnée ci-dessus. La seconde assertion est la généralisation naturelle du lemme de Cohomologie sur les sites 08FI et s’en déduit par la décomposition du topos en produit.

Autre démonstration. Puisque \(j\) induit une localisation de topos d’après la partie (1) du lemme 0D87, on le déduit aussi immédiatement de Cohomologie sur les sites, lemmes 03F3 et 08FI après agrandissement du site; comparer avec la preuve de Cohomologie sur les sites, lemme 07A0 dans le cas des faisceaux injectifs.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). La catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) des objets semi-représentables au-dessus de \(X\) est définie par la formule \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\). Voir Hyperrecouvrements, définition 01G0. Nous pouvons donc appliquer la discussion ci-dessus au site \(\mathcal{C}/X\). En résumé, les constructions ci-dessus donnent

1. un site \(\mathcal{C}/K\) pour \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\),

2. une décomposition \(\Sh(\mathcal{C}/K) = \prod \Sh(\mathcal{C}/U_i)\) si \(K = \{U_i/X\}\),

3. un foncteur de localisation \(j : \mathcal{C}/K \to \mathcal{C}/X\),

4. un morphisme \(f : \Sh(\mathcal{C}/K) \to \Sh(\mathcal{C}/L)\) pour \(f : K \to L\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\).

Tous les résultats de cette section sont valables dans cette situation en remplaçant partout \(\mathcal{C}\) par \(\mathcal{C}/X\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Alors, pour tout objet semi-représentable \(K\) de \(\mathcal{C}\), le site \(\mathcal{C}/K\) est annelé et muni du faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_K = j^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\). Les constructions ci-dessus donnent

1. un site annelé \((\mathcal{C}/K, \mathcal{O}_K)\) pour \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\),

2. une décomposition \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_K) = \prod \textit{Mod}(\mathcal{O}_{U_i})\) si \(K = \{U_i\}\),

3. un morphisme de localisation \(j : (\Sh(\mathcal{C}/K), \mathcal{O}_K) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) de topoi annelés,

4. un morphisme \(f : (\Sh(\mathcal{C}/K), \mathcal{O}_K) \to (\Sh(\mathcal{C}/L), \mathcal{O}_L)\) de topoi annelés pour \(f : K \to L\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\).

La plupart des résultats ci-dessus sont valables dans ce cadre. Par exemple, le foncteur \(j^*\) a un adjoint exact à gauche \[j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_K) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}),\] qui, en termes de la décomposition en produit donnée en (2), envoie \((\mathcal{F}_i)_{i \in I}\) à \(\bigoplus j_{i, !}\mathcal{F}_i\). De même, étant donné \(f : K \to L\) comme ci-dessus, le foncteur \(f^*\) a un adjoint exact à gauche \(f_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_K) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_L)\). Ainsi, les foncteurs \(j^*\) et \(f^*\) sont exacts, c’est-à-dire que \(j\) et \(f\) sont des morphismes plats de topos annelés (ce qui découle aussi des égalités \(\mathcal{O}_K = j^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\) et \(\mathcal{O}_K = f^{-1}\mathcal{O}_L\)).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et notons \(\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_\mathcal{C}|_{\mathcal{C}/U}\). On peut alors combiner les constructions données dans les remarques 0D89 et 0D9U pour obtenir

1. un site annelé \((\mathcal{C}/K, \mathcal{O}_K)\) pour \(K\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\),

2. une décomposition \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_K) = \prod \textit{Mod}(\mathcal{O}_{U_i})\) si \(K = \{U_i\}\),

3. un morphisme de localisation \(j : (\Sh(\mathcal{C}/K), \mathcal{O}_K) \to (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X)\) de topoi annelés,

4. un morphisme \(f : (\Sh(\mathcal{C}/K), \mathcal{O}_K) \to (\Sh(\mathcal{C}/L), \mathcal{O}_L)\) de topoi annelés pour \(f : K \to L\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\).

Bien entendu, tous les résultats mentionnés dans la remarque 0D9U sont également valables dans ce cadre.

Le site associé à un objet semi-représentable simplicial

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(K\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Comme d’habitude, posons \(K_n = K([n])\) et notons \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) le morphisme associé à \(\varphi : [m] \to [n]\). D’après la construction de la section 09WK, on obtient un objet simplicial \(n \mapsto \mathcal{C}/K_n\) dans la catégorie dont les objets sont des sites et dont les morphismes sont des foncteurs cocontinus. Autrement dit, on obtient un diagramme comme dans le cas (B) de la section 09WB. Les foncteurs satisfont la propriété P par le lemme 0D85. Nous pouvons donc appliquer le lemme 09WD pour obtenir un site \((\mathcal{C}/K)_{total}\).

Nous pouvons décrire explicitement le site \((\mathcal{C}/K)_{total}\) comme suit. Écrivons \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\). Pour \(\varphi : [m] \to [n]\) le morphisme \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) est donné par une application \(\alpha(\varphi) : I_n \to I_m\) et les morphismes \(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) pour \(i \in I_n\). On a alors

1. un objet de \((\mathcal{C}/K)_{total}\) correspond à un objet \((U/U_{n, i})\) de \(\mathcal{C}/U_{n, i}\) pour un certain \(n\) et un certain \(i \in I_n\);

2. un morphisme entre \(U/U_{n, i}\) et \(V/U_{m, j}\) est une paire \((\varphi, f)\) où \(\varphi : [m] \to [n]\), \(j = \alpha(\varphi)(i)\) et \(f : U \to V\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que \[\vcenter{ \xymatrix{ U \ar[r]_f \ar[d] & V \ar[d] \\ U_{n, i} \ar[r]^-{f_{\varphi, i}} & U_{m, j} } }\] est commutatif, et

3. les recouvrements de l’objet \(U/U_{n, i}\) sont construits à partir d’un recouvrement \(\{f_j : U_j \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\), en déclarant \(\{(\text{id}, f_j) : U_j/U_{n, i} \to U/U_{n, i}\}\) recouvrement dans \((\mathcal{C}/K)_{total}\).

Toute la théorie générale développée pour les sites simpliciaux s’applique à \((\mathcal{C}/K)_{total}\). Observons que le foncteur oublieux évident \[j_{total} : (\mathcal{C}/K)_{total} \longrightarrow \mathcal{C}\] est continu et cocontinu. Le morphisme de topoi associé provient d’une augmentation évidente.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(K\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Le foncteur de localisation \(j_0 : \mathcal{C}/K_0 \to \mathcal{C}\) définit une augmentation \(a_0 : \Sh(\mathcal{C}/K_0) \to \Sh(\mathcal{C})\), comme dans le cas (B) de la remarque 0D6Z. Les morphismes de topoi correspondants \[a_n : \Sh(\mathcal{C}/K_n) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}),\quad a : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] du lemme 0D70 sont égaux aux morphismes de topos associés aux foncteurs de localisation continus et cocontinus \(j_n : \mathcal{C}/K_n \to \mathcal{C}\) et \(j_{total} : (\mathcal{C}/K)_{total} \to \mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions. Voir notamment la note de bas de page dans la preuve du lemme 0D70 pour la relation entre \(a\) et \(j_{total}\).

Lemme

Avec les hypothèses et notations du lemme 0D8B, nous avons les propriétés suivantes :

1. il existe un foncteur \(a^{Sh}_! : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C})\) adjoint à gauche de \(a^{-1} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh((\mathcal{C}/K)_{total})\);

2. il existe un foncteur \(a_! : \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) adjoint à gauche de \(a^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\),

3. le foncteur \(a^{-1}\) associe à un faisceau \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\) le faisceau sur \((\mathcal{C}/K)_{total}\) qui en degré \(n\) est égal à \(a_n^{-1}\mathcal{F}\),

4. le foncteur \(a_*\) associe à un faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(\textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\) l’égaliseur des deux morphismes \(j_{0, *}\mathcal{G}_0 \to j_{1, *}\mathcal{G}_1\),

Démonstration

Les parties (3) et (4) valent pour toute augmentation d’un site simplicial; voir le lemme 0D70. Les parties (1) et (2) suivent de ce que \(j_{total}\) est continu et cocontinu. Le foncteur \(a^{Sh}_!\) est construit dans Sites, lemme 00XR, et le foncteur \(a_!\) est construit dans Modules sur les sites, lemme 04BG.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(K\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Soit \(U/U_{n, i}\) un objet de \(\mathcal{C}/K_n\). Soit \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\). Alors \[H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F}_{n, i})\] où

1. au membre de gauche, \(U\) est considéré comme un objet de \(\mathcal{C}_{total}\) et

2. au membre de droite, \(\mathcal{F}_{n, i}\) est la \(i\)-ième composante du faisceau \(\mathcal{F}_n\) sur \(\mathcal{C}/K_n\) dans la décomposition \(\Sh(\mathcal{C}/K_n) = \prod \Sh(\mathcal{C}/U_{n, i})\) de la section 09WK.

Démonstration

Cela découle immédiatement du lemme 0DBZ et des décompositions en produits de la section 09WK.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Rappelons que nous avons une catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\) d’objets semi-représentables au-dessus de \(X\); voir la remarque 0D89. Nous pouvons appliquer la discussion ci-dessus au site \(\mathcal{C}/X\). En bref, les constructions ci-dessus donnent

1. un site \((\mathcal{C}/K)_{total}\) pour un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\),

2. un foncteur de localisation \(j_{total} : (\mathcal{C}/K)_{total} \to \mathcal{C}/X\),

3. des foncteurs de localisation \(j_n : \mathcal{C}/K_n \to \mathcal{C}/X\),

4. un morphisme de topoi \(a : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}/X)\),

5. des morphismes de topoi \(a_n : \Sh(\mathcal{C}/K_n) \to \Sh(\mathcal{C}/X)\),

6. un foncteur \(a^{Sh}_! : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}/X)\) adjoint à gauche de \(a^{-1}\), et

7. un foncteur \(a_! : \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C}/X)\) adjoint à gauche de \(a^{-1}\).

Tous les résultats de cette section valent dans ce cadre. Pour le démontrer, on remplace partout le site \(\mathcal{C}\) par \(\mathcal{C}/X\).

Remarque

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Étant donné un objet semi-représentable simplicial \(K\) de \(\mathcal{C}\), nous définissons \(\mathcal{O} = a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\), où \(a\) est comme dans les lemmes 0D8B et 09WM. Les constructions ci-dessus, en tenant compte des faisceaux d’anneaux comme dans la remarque 0D9U, donnent

1. un site annelé \(((\mathcal{C}/K)_{total}, \mathcal{O})\) pour un objet \(K\) simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\),

2. un morphisme de topoi annelés \(a : (\Sh((\mathcal{C}/K)_{total}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\),

3. des morphismes de topoi annelés \(a_n : (\Sh(\mathcal{C}/K_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\),

4. un foncteur \(a_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) adjoint à gauche de \(a^*\).

Le foncteur \(a_!\) existe (mais en général il n’est pas exact) car \(a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} = \mathcal{O}\) et l’on peut remplacer l’emploi du lemme 04BG de Modules sur les sites dans la preuve du lemme 09WM par Modules sur les sites, lemme 0797. Comme indiqué dans la remarque 0D9U il existe des foncteurs exacts \(a_{n!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_n) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) adjoints à gauche de \(a_n^*\). Par conséquent, les morphismes \(a\) et \(a_n\) sont plats. La remarque 0D9U implique que le morphisme de topoi annelés \(f_\varphi : (\Sh(\mathcal{C}/K_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}/K_m), \mathcal{O}_m)\) pour \(\varphi : [m] \to [n]\) est plat, et il existe un foncteur exact \(f_{\varphi !} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_n) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_m)\) adjoint à gauche de \(f_\varphi^*\). Il en résulte que, pour le morphisme plat de topos annelés \(g_n : (\Sh(\mathcal{C}/K_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh((\mathcal{C}/K)_{total}), \mathcal{O})\) le foncteur \(g_{n!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_n) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\), adjoint à gauche de \(g_n^*\), est exact; voir le lemme 0D74.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et désignons \(\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_\mathcal{C}|_{\mathcal{C}/X}\). On peut alors combiner les constructions données dans les remarques 0D8C et 0D9W pour obtenir

1. un site annelé \(((\mathcal{C}/K)_{total}, \mathcal{O})\) pour un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\),

2. un morphisme de topoi annelés \(a : (\Sh((\mathcal{C}/K)_{total}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X)\),

3. des morphismes de topoi annelés \(a_n : (\Sh(\mathcal{C}/K_n), \mathcal{O}_n) \to (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X)\),

4. un foncteur \(a_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) adjoint à gauche de \(a^*\).

Bien entendu, tous les résultats mentionnés dans la remarque 0D9W valent aussi dans ce cadre.

Descente cohomologique pour les hyperrecouvrements

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Dans cette section, nous supposons que \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement au sens d’Hyperrecouvrements, définition 09VU. Nous étudierons l’augmentation \[a : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] de la section 0D8A.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Alors

1. \(a^{-1} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh((\mathcal{C}/K)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens d’ensembles,

2. \(a^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens de groupes abéliens.

Dans les deux cas, \(a_*\) est un foncteur quasi-inverse.

Démonstration

Le cas des faisceaux abéliens découle immédiatement du cas de faisceaux d’ensembles, puisque le foncteur \(a^{-1}\) commute aux produits. Dans la suite de la preuve, nous travaillons avec des faisceaux d’ensembles. Observons que \(a^{-1}\mathcal{F}\) est cartésien pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\), d’après le lemme 0D7H. Il suffit de montrer que le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to a_*a^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\) et que, pour tout faisceau cartésien \(\mathcal{G}\) sur \((\mathcal{C}/K)_{total}\), le morphisme d’adjonction \(a^{-1}a_*\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Rappelons que \(a_*a^{-1}\mathcal{F}\) est l’égaliseur des deux morphismes \(a_{0, *}a_0^{-1}\mathcal{F} \to a_{1, *}a_1^{-1}\mathcal{F}\); voir le lemme 09WM. D’après le lemme 0D86, \[a_{0, *}a_0^{-1}\mathcal{F} = \SheafHom(F(K_0)^\#, \mathcal{F}) \quad\text{et}\quad a_{1, *}a_1^{-1}\mathcal{F} = \SheafHom(F(K_1)^\#, \mathcal{F})\] D’autre part, on sait que \[\xymatrix{ F(K_1)^\# \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(K_0)^\# \ar[r] & \text{objet final }*\text{ de }\Sh(\mathcal{C}) }\] est un diagramme coégalisateur dans les faisceaux d’ensembles, par définition d’ un hyperrecouvrement. Il suffit donc de prouver que \(\SheafHom(-, \mathcal{F})\) transforme les coégaliseurs en égaliseurs, ce qui résulte immédiatement de la construction dans Sites, section 04TP.

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau cartésien sur \((\mathcal{C}/K)_{total}\). Montrons que \(\mathcal{G} = a^{-1}\mathcal{F}\) pour un certain faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\). Cela achèvera la preuve, car on aura alors \(a^{-1}a_*\mathcal{G} = a^{-1}a_*a^{-1}\mathcal{F} = a^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}\) par le résultat du paragraphe précédent. Posons \(\mathcal{K}_n = F(K_n)^\#\) pour \(n \geq 0\). On dispose alors de morphismes de faisceaux \[\xymatrix{ \mathcal{K}_2 \ar@<1ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{K}_1 \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r] & \mathcal{K}_0 }\] provenant du fait que \(K\) est un objet semi-représentable simplicial. Le fait que \(K\) soit un hyperrecouvrement signifie que \[\mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_0 \times \mathcal{K}_0 \quad\text{et}\quad \mathcal{K}_2 \to \left(\text{cosk}_1( \xymatrix{ \mathcal{K}_1 \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r] & \mathcal{K}_0 \ar[l] })\right)_2\] sont des morphismes surjectifs de faisceaux. En utilisant la description des faisceaux cartésiens sur \((\mathcal{C}/K)_{total}\) donnée dans le lemme 0D7I et en utilisant la description de \(\Sh(\mathcal{C}/K_n)\) dans le lemme 0D87, on voit que notre problème peut se formuler entièrement³ en termes de

1. le topos \(\Sh(\mathcal{C})\), et

2. l’objet simplicial \(\mathcal{K}\) de \(\Sh(\mathcal{C})\) dont les termes sont \(\mathcal{K}_n\).

Ainsi, après avoir remplacé \(\mathcal{C}\) par un autre site \(\mathcal{C}'\) comme dans Sites, lemme 03CI, on peut supposer \(\mathcal{C}\) admet toutes les limites finies, la topologie sur \(\mathcal{C}\) est sous-canonique, une famille \(\{V_j \to V\}\) de morphismes de \(\mathcal{C}\) est un recouvrement si et seulement si \(\coprod h_{V_j} \to V\) est surjectif, et il existe un objet simplicial \(U\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{K}_n = h_{U_n}\) comme faisceaux simpliciaux. En transportant la situation par ces équivalences, on peut supposer \(K_n = \{U_n\}\) pour tout \(n\).

Soit \(X\) l’objet final de \(\mathcal{C}\). Alors \(\{U_0 \to X\}\) est un recouvrement, \(\{U_1 \to U_0 \times U_0\}\) est un recouvrement et \(\{U_2 \to (\text{cosk}_1 \text{sk}_1 U)_2\}\) est un recouvrement. Notons \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\) et \(s^n_j : U_n \to U_{n + 1}\) les morphismes correspondant à \(\delta^n_i\) et \(\sigma^n_j\), comme dans Simplicial, définition 0165. Par abus de notation, pour un morphisme \(c : V \to W\) de \(\mathcal{C}\), on note le morphisme de topos \(c : \Sh(\mathcal{C}/V) \to \Sh(\mathcal{C}/W)\) de la même lettre. Le faisceau \(\mathcal{G}\) est alors déterminé par un faisceau \(\mathcal{G}_0\) sur \(\mathcal{C}/U_0\) et un isomorphisme \(\alpha : (d^1_1)^{-1}\mathcal{G}_0 \to (d^1_0)^{-1}\mathcal{G}_0\) satisfaisant à la condition de cocycle sur \(\mathcal{C}/U_2\) formulée dans le lemme 0D7I. Puisque \(\{U_2 \to (\text{cosk}_1 \text{sk}_1 U)_2\}\) est un recouvrement, le foncteur image inverse correspondant sur les faisceaux est fidèle (nous omettons cette vérification élémentaire). On peut donc remplacer \(U\) par \(\text{cosk}_1 \text{sk}_1 U\), car cela remplace \(U_2\) par \((\text{cosk}_1 \text{sk}_1 U)_2\) sans modifier \(U_1\) ni \(U_0\). Alors \[(d^2_0, d^2_1, d^2_2) : U_2 \to U_1 \times U_1 \times U_1\] est un monomorphisme dont l’image sur les points à valeurs dans \(T\) est décrite dans Simplicial, lemme 0187. En particulier, il existe un morphisme \(c\) tel que le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ U_1 \times_{(d^1_1, d^1_0), U_0 \times U_0, (d^1_1, d^1_0)} U_1 \ar[d] \ar[rr]_c & & U_2 \ar[d] \\ U_1 \times U_1 \ar[rr]^{(\text{pr}_1, \text{pr}_2, s^0_0 \circ d^1_1 \circ \text{pr}_1)} & & U_1 \times U_1 \times U_1 }\] car le parcours dans l’autre sens définit un point de \(U_2\). L’image inverse de la condition de cocycle vérifiée par \(\alpha\) sur \(U_2\) exprime que les images inverses de \(\alpha\) par les deux projections sur \(U_1 \times_{(d^1_1, d^1_0), U_0 \times U_0, (d^1_1, d^1_0)} U_1\) coïncident, tandis que l’image inverse de \(\alpha\) par \(s^0_0 \circ d^1_1 \circ \text{pr}_1\) est le morphisme identité (en effet, l’image inverse de \(\alpha\) par \(s^0_0\) est l’identité). D’après Sites, lemme 04TQ, on en déduit que \(\alpha\) provient d’un isomorphisme \[\alpha' : \text{pr}_1^{-1}\mathcal{G}_0 \to \text{pr}_2^{-1}\mathcal{G}_0\] de faisceaux sur \(\mathcal{C}/U_0 \times U_0\). Enfin, le morphisme \(U_2 \to U_0 \times U_0 \times U_0\) est surjectif sur les faisceaux associés, comme on le voit en utilisant la surjectivité de \(U_1 \to U_0 \times U_0\) et la description de \(U_2\) indiquée ci-dessus. Par conséquent, \(\alpha'\) satisfait la condition de cocycle sur \(U_0 \times U_0 \times U_0\). La preuve s’achève en appliquant Sites, lemme 04TS au recouvrement \(\{U_0 \to X\}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Le complexe de Čech du lemme 0D79, associé à \(a^{-1}\mathcal{F}\) \[a_{0, *}a_0^{-1}\mathcal{F} \to a_{1, *}a_1^{-1}\mathcal{F} \to a_{2, *}a_2^{-1}\mathcal{F} \to \ldots\] s’identifie au complexe \(\SheafHom(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F})\). Ici, \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) est le complexe défini dans Hyperrecouvrements, définition 01GB.

Démonstration

D’après le lemme 0D86, on a \[a_{n, *}a_n^{-1}\mathcal{F} = \SheafHom'(F(K_n)^\#, \mathcal{F})\] où \(\SheafHom'\) est comme dans Sites, section 04TP. Les morphismes de bord du complexe du lemme 0D79 proviennent de la structure simpliciale. L’égalité des complexes résulte donc des identifications canoniques \(\SheafHom'(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \SheafHom(\mathbf{Z}_\mathcal{G}, \mathcal{F})\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\Sh(\mathcal{C})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Pour \(E \in D(\mathcal{C})\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*a^{-1}E\] est un isomorphisme.

Démonstration

D’abord, soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(\mathcal{C}\). La suite spectrale du lemme 0D7A, appliquée au faisceau \(a^{-1}\mathcal{I}\), dégénère puisque \((a^{-1}\mathcal{I})_p = a_p^{-1}\mathcal{I}\) est injectif par le lemme 0D88. Ainsi le complexe \[a_{0, *}a_0^{-1}\mathcal{I} \to a_{1, *}a_1^{-1}\mathcal{I} \to a_{2, *}a_2^{-1}\mathcal{I} \to\ldots\] calcule \(Ra_*a^{-1}\mathcal{I}\). Par le lemme 0D8F, ce complexe s’identifie à \(\SheafHom(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{I})\). Puisque \(K\) est un hyperrecouvrement, \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) est exact en degrés \(> 0\) par Hyperrecouvrements, lemme 01GE appliqué au préfaisceau simplicial \(F(K)\). Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif, le foncteur \(\SheafHom(-, \mathcal{I})\) est exact; on en déduit que \(\SheafHom(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{I})\) est exact en degrés positifs. Ainsi, \(R^pa_*a^{-1}\mathcal{I} = 0\) pour \(p > 0\). D’autre part, \(\mathcal{I} = a_*a^{-1}\mathcal{I}\) d’après le du lemme 0D8E.

Cas borné. Soit \(E \in D^+(\mathcal{C})\). Choisissons un complexe borné inférieurement \(\mathcal{I}^\bullet\) d’injectifs représentant \(E\). D’après le premier paragraphe et le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E), \(Ra_*a^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est calculé par le complexe \(a_*a^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}^\bullet\) ce qui prouve le lemme dans ce cas.

Cas non borné. Nous invitons le lecteur à sauter ce passage, puisque l’argument est le même que ci-dessus, sauf que nous utilisons la représentation explicite par doubles complexes pour contourner les problèmes de convergence. Soit \(E \in D(\mathcal{C})\). Pour montrer que \(E \to Ra_*a^{-1}E\) est un isomorphisme, il suffit de montrer, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), que \[R\Gamma(U, E) = R\Gamma(U, Ra_*a^{-1}E)\] Calculons les deux membres et montrons que le morphisme \(E \to Ra_*a^{-1}E\) induit un isomorphisme. Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\), puis un quasi-isomorphisme \(a^{-1}\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) pour un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) sur \((\mathcal{C}/K)_{total}\). Nous avons \[R\Gamma(U, E) = R\Hom(\mathbf{Z}_U^\#, E)\] et \[R\Gamma(U, Ra_*a^{-1}E) = R\Hom(\mathbf{Z}_U^\#, Ra_*a^{-1}E) = R\Hom(a^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a^{-1}E)\] D’après le lemme 0D78, nous avons un quasi-isomorphisme \[\Big(\ldots \to g_{2!}(a_2^{-1}\mathbf{Z}_U^\#) \to g_{1!}(a_1^{-1}\mathbf{Z}_U^\#) \to g_{0!}(a_0^{-1}\mathbf{Z}_U^\#)\Big) \longrightarrow a^{-1}\mathbf{Z}_U^\#\] Par conséquent, \(R\Hom(a^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a^{-1}E)\) est égal à \[R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, R\SheafHom( \ldots \to g_{2!}(a_2^{-1}\mathbf{Z}_U^\#) \to g_{1!}(a_1^{-1}\mathbf{Z}_U^\#) \to g_{0!}(a_0^{-1}\mathbf{Z}_U^\#), \mathcal{J}^\bullet))\] D’après la construction de Cohomologie sur les sites, section 08J7 et puisque \(\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif, on voit que l’objet précédent est représenté par le complexe de groupes abéliens dont les termes sont \[\prod\nolimits_{p + q = n} \Hom(g_{p!}(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#), \mathcal{J}^q) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, g_p^{-1}\mathcal{J}^q)\] Voir Cohomologie sur les sites, lemmes 0A94 et 08JA pour plus d’informations. Ainsi, \(R\Gamma(U, Ra_*a^{-1}E)\) est calculé par le complexe total produit \(\text{Tot}_\pi(B^{\bullet, \bullet})\) avec \(B^{p, q} = \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, g_p^{-1}\mathcal{J}^q)\). Pour l’autre membre, raisonnons de la même manière. Observons d’abord que \[s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#) \longrightarrow \mathbf{Z}\] est un quasi-isomorphisme de complexes sur \(\mathcal{C}\) d’après Hyperrecouvrements, lemme 01GE. Puisque \(\mathbf{Z}_U^\#\) est un faisceau plat de \(\mathbf{Z}\)-modules, on voit que \[s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#) \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_U^\# \longrightarrow \mathbf{Z}_U^\#\] est un quasi-isomorphisme. Par conséquent, \(R\Hom(\mathbf{Z}_U^\#, E)\) est égal à \[R\Gamma(\mathcal{C}, R\SheafHom( s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#) \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_U^\#, \mathcal{I}^\bullet))\] Par construction de \(R\SheafHom\), et puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif, l’objet précédent est représenté par le complexe de groupes abéliens dont les termes sont \[\prod\nolimits_{p + q = n} \Hom(\mathbf{Z}^\#_{K_p} \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_U^\#, \mathcal{I}^q) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a_p^{-1}\mathcal{I}^q)\] L’égalité des termes découle du fait que \(\mathbf{Z}^\#_{K_p} \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_U^\# = a_{p!}a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#\) d’après Modules sur les sites, remarque 0EYY. Ainsi, \(R\Gamma(U, E)\) est calculé par le complexe total produit \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) avec \(A^{p, q} = \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a_p^{-1}\mathcal{I}^q)\).

Puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif, nous voyons que \(a_p^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif, voir le lemme 0D88. Puisque \(\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif, nous voyons que \(g_p^{-1}\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif, voir le lemme 09WH. Ces deux complexes représentent l’objet \(a_p^{-1}E\). Ainsi, pour tout \(p \geq 0\), le morphisme de complexes \[A^{p, \bullet} = \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a_p^{-1}\mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, g_p^{-1}\mathcal{J}^\bullet) = B^{p, \bullet}\] obtenu en appliquant \(g_p^{-1}\) au morphisme donné \(a^{-1}\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, puisque ces deux complexes calculent \[R\Hom(a_p^{-1}\mathbf{Z}_U^\#, a_p^{-1}E)\] D’après Compléments d’algèbre, lemme 0EYX, nous concluons que la flèche verticale droite dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R\Gamma(U, E) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet}) \ar[d] \\ R\Gamma(U, Ra_*a^{-1}E) \ar[r] & \text{Tot}_\pi(B^{\bullet, \bullet}) }\] est un quasi-isomorphisme. Puisque nous avons vu plus haut que les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes, la flèche verticale gauche l’est également.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(\mathcal{C}, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, a^{-1}E)\] pour \(E \in D(\mathcal{C})\).

Démonstration

Cela découle du lemme 0D8G car \(R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, -) = R\Gamma(\mathcal{C}, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{C}) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+((\mathcal{C}/K)_{total})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

Observons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J. L’équivalence est une conséquence formelle des résultats obtenus jusqu’ici. On utilise les lemmes 0D8E et 0D8G, ainsi que Cohomologie sur les sites, lemme 0D7U.

Nous invitons le lecteur à ignorer la remarque suivante.

Remarque

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés, nous avons défini la notion d’hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\) dans Hyperrecouvrements, définition 09VU. Tous les résultats de cette section se transposent à ce cadre. Pour le voir, considérons la localisation \(\mathcal{C}/\mathcal{G}\) de \(\mathcal{C}\) en \(\mathcal{G}\), définie exactement comme dans Sites, lemme 0791 (qui n’est énoncé que pour les faisceaux; le topos \(\Sh(\mathcal{C}/\mathcal{G})\) est égal à la localisation du topos \(\Sh(\mathcal{C})\) au faisceau \(\mathcal{G}^\#\)). Le lecteur vérifie alors aisément que le site \(\mathcal{C}/\mathcal{G}\) admet des produits fibrés et des égalisateurs, et qu’un hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\) dans \(\mathcal{C}\) équivaut à un hyperrecouvrement pour le site \(\mathcal{C}/\mathcal{G}\). Ainsi, en remplaçant le site \(\mathcal{C}\) par \(\mathcal{C}/\mathcal{G}\) dans les lemmes ci-dessus sur les hyperrecouvrements, on obtient les démonstrations des résultats correspondants pour les hyperrecouvrements de \(\mathcal{G}\). Exemple : pour un hyperrecouvrement \(K\) de \(\mathcal{G}\), on a \[R\Gamma(\mathcal{C}/\mathcal{G}, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, a^{-1}E)\] pour \(E \in D^+(\mathcal{C}/\mathcal{G})\), où \(a : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{G})\) est l’augmentation canonique. C’est un cas particulier du lemme 0D8H. Notons \(R\Gamma(\mathcal{G}, -) : D(\mathcal{C}) \to D(\textit{Ab})\) le foncteur défini comme le foncteur dérivé du foncteur \(H^0(\mathcal{G}, -) = H^0(\mathcal{G}^\#, -)\) étudié dans Hyperrecouvrements, section 09VT, et dans Cohomologie sur les sites, section 079X. Nous avons \[R\Gamma(\mathcal{G}, E) = R\Gamma(\mathcal{C}/\mathcal{G}, j^{-1}E)\] d’après l’analogue du lemme de Cohomologie sur les sites 03F3 pour le foncteur de localisation \(j : \mathcal{C}/\mathcal{G} \to \mathcal{C}\). En combinant ces égalités, on obtient \[R\Gamma(\mathcal{G}, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, a^{-1}j^{-1}E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, g^{-1}E)\] pour \(E \in D^+(\mathcal{C})\), où \(g : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C})\) est la composition de \(a\) et \(j\).

Descente cohomologique pour les hyperrecouvrements : modules

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des égalisateurs et des produits fibrés, et soit \(K\) un hyperrecouvrement au sens d’Hyperrecouvrements, définition 09VU. Nous étudierons la descente cohomologique pour l’augmentation \[a : (\Sh((\mathcal{C}/K)_{total}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\] de la remarque 0D9W.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Avec les notations ci-dessus, \[a^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] est pleinement fidèle, d’image essentielle les \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Le foncteur \(a_*\) est un quasi-inverse.

Démonstration

Puisque \(a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} = \mathcal{O}\), on a \(a^* = a^{-1}\). Le lemme résulte donc immédiatement du lemme 0D8E.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Pour \(E \in D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*La^*E\] est un isomorphisme.

Démonstration

Puisque \(a^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} = \mathcal{O}\), on a \(La^* = a^* = a^{-1}\). De plus, \(Ra_*\) coïncide avec \(Ra_*\) sur les faisceaux abéliens; voir Cohomologie sur les sites, lemme 0D6J. Le lemme en résulte immédiatement, du lemme 0D8G.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(\mathcal{C}, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, La^*E)\] pour \(E \in D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Cela découle du lemme 0DA0 car \(R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, -) = R\Gamma(\mathcal{C}, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6, ou par Cohomologie sur les sites, lemme 0D6H.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie de Serre faible des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Alors le foncteur \(La^*\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

Observons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J (les hypothèses requises découlent de la discussion de la remarque 0D9W). L’équivalence est une conséquence formelle des résultats obtenus jusqu’ici. On utilise les lemmes 0D9Z, 0DA0, ainsi que Cohomologie sur les sites, lemme 0D7U.

Descente cohomologique pour les hyperrecouvrements d’un objet

Dans cette section, nous supposons que \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et nous fixons \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\) au sens de Hyperrecouvrements, définition 01G5. Nous étudierons l’augmentation \[a : \Sh((\mathcal{C}/K)_{total}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}/X)\] de la remarque 0D8C. Observons que \(\mathcal{C}/X\) est un site qui admet des égalisateurs et des produits fibrés, et que \(K\) est un hyperrecouvrement du site \(\mathcal{C}/X\)⁴ voir Hyperrecouvrements, lemme 01G9. Ainsi, tout résultat démontré pour les hyperrecouvrements dans la section 0D8D se transpose immédiatement à la situation de la présente section.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site avec des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Alors

1. \(a^{-1} : \Sh(\mathcal{C}/X) \to \Sh((\mathcal{C}/K)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens d’ensembles,

2. \(a^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}/X) \to \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens de groupes abéliens.

Dans les deux cas, \(a_*\) est un foncteur quasi-inverse.

Démonstration

D’après les remarques 0D89 et 0D8C, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0D8E.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Pour \(E \in D(\mathcal{C}/X)\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*a^{-1}E\] est un isomorphisme.

Démonstration

D’après les remarques 0D89 et 0D8C, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0D8G.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site avec des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(X, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, a^{-1}E)\] pour \(E \in D(\mathcal{C}/X)\).

Démonstration

D’après les remarques 0D89 et 0D8C, le résultat découle du lemme 0D8H.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site avec des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}((\mathcal{C}/K)_{total})\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{C}/X) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+((\mathcal{C}/K)_{total})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

D’après les remarques 0D89 et 0D8C, le résultat découle du lemme 0D8I.

Descente cohomologique pour les hyperrecouvrements d’un objet : modules

Dans cette section, nous supposons que \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et nous fixons \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\) au sens de Hyperrecouvrements, définition 01G5. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Posons \(\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_\mathcal{C}|_{\mathcal{C}/X}\). Nous étudierons l’augmentation \[a : (\Sh((\mathcal{C}/K)_{total}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X)\] de la remarque 0D9X. Observons que \(\mathcal{C}/X\) est un site qui admet des égalisateurs et des produits fibrés, et que \(K\) est un hyperrecouvrement du site \(\mathcal{C}/X\). Par conséquent, les résultats de cette section découlent immédiatement des résultats correspondants dans la section 0D9Y.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Avec les notations ci-dessus, \[a^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] est pleinement fidèle, d’image essentielle les \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Le foncteur \(a_*\) est un quasi-inverse.

Démonstration

D’après les remarques 0D9V et 0D9X, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0D9Z.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Pour \(E \in D(\mathcal{O}_X)\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*La^*E\] est un isomorphisme.

Démonstration

D’après les remarques 0D9V et 0D9X, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0DA0.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(X, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/K)_{total}, La^*E)\] pour \(E \in D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

D’après les remarques 0D9V et 0D9X, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0DA1.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie de Serre faible des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Alors le foncteur \(La^*\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

D’après les remarques 0D9V et 0D9X, ainsi que la discussion de l’introduction de cette section, le résultat découle du lemme 0DA2.

Hyperrecouvrement par un objet simplicial du site

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Dans cette section, nous expliquons les résultats de la section 0D8J dans le cas où notre hyperrecouvrement est donné par un objet simplicial du site. Soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Comme d’habitude, on note \(U_n = U([n])\) et \(f_\varphi : U_n \to U_m\) le morphisme \(f_\varphi = U(\varphi)\) correspondant à \(\varphi : [m] \to [n]\). Supposons que nous ayons une augmentation \[a : U \to X\] On en déduit un site simplicial \((\mathcal{C}/U)_{total}\) et un morphisme d’augmentation \[a : \Sh((\mathcal{C}/U)_{total}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}/X)\] Plus précisément, \(U\) détermine un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) dont le terme de degré \(n\) est \(K_n = \{U_n \to X\}\); on peut donc appliquer les constructions de la remarque 0D8C. Plus précisément, un objet du site \((\mathcal{C}/U)_{total}\) est de la forme \(V/U_n\), et un morphisme \((\varphi, f) : V/U_n \to W/U_m\) est donné par un morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) dans \(\Delta\) et un morphisme \(f : V \to W\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ V \ar[r]_f \ar[d] & W \ar[d] \\ U_n \ar[r]^{f_\varphi} & U_m }\] est commutatif. Le morphisme de topoi \(a\) est défini par le foncteur cocontinu \(V/U_n \mapsto V/X\). Voilà toute la construction.

Dans cette section, nous dirons que l’augmentation \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\) si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\{U_0 \to X\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\),

2. \(\{U_1 \to U_0 \times_X U_0\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\),

3. \(\{U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) pour \(n \geq 1\).

Cela équivaut à dire que \(K\) (comme ci-dessus) est un hyperrecouvrement de \(X\); voir Hyperrecouvrements, exemple 0GM9.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\) comme défini ci-dessus. Alors

1. \(a^{-1} : \Sh(\mathcal{C}/X) \to \Sh((\mathcal{C}/U)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens d’ensembles,

2. \(a^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}/X) \to \textit{Ab}((\mathcal{C}/U)_{total})\) est pleinement fidèle, d’image essentielle les faisceaux cartésiens de groupes abéliens.

Dans les deux cas, \(a_*\) est un foncteur quasi-inverse.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0D8K.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\) comme défini ci-dessus. Pour \(E \in D(\mathcal{C}/X)\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*a^{-1}E\] est un isomorphisme.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0D8L.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\) comme défini ci-dessus. Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(X, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/U)_{total}, a^{-1}E)\] pour \(E \in D(\mathcal{C}/X)\).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 09X7.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\) comme défini ci-dessus. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}((\mathcal{C}/U)_{total})\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{C}/X) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+((\mathcal{C}/U)_{total})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0D8M.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial d’un site \(\mathcal{C}\) admettant des produits fibrés.

1. \(\mathcal{C}/U\) définit un objet simplicial dans la catégorie dont les objets sont des sites et dont les morphismes sont des morphismes de sites,

2. la construction du lemme 09WC appliquée à la structure de (1) reproduit le site \((\mathcal{C}/U)_{total}\) ci-dessus,

3. si \(a : U \to X\) est une augmentation, alors \(a_0 : \mathcal{C}/U_0 \to \mathcal{C}/X\) est une augmentation comme dans la partie (A) de la remarque 0D6Z et donne le même morphisme de topoi \(a : \Sh((\mathcal{C}/U)_{total}) \to \Sh(\mathcal{C}/X)\) identique à celui défini ci-dessus.

Démonstration

Pour un morphisme d’objets \(V \to W\) de \(\mathcal{C}\), le morphisme de localisation \(j : \mathcal{C}/V \to \mathcal{C}/W\) est adjoint à gauche au foncteur de changement de base \(\mathcal{C}/W \to \mathcal{C}/V\). Le foncteur de changement de base est continu et induit le même morphisme de topoi que \(j\). Voir Sites, lemme 09W9. Cela prouve (1).

La partie (2) résulte de ce qu’un morphisme \(V/U_n \to W/U_m\) de la catégorie construite dans le lemme 09WC est un morphisme \(V \to W \times_{U_m, f_\varphi} U_n\) sur \(U_n\) équivaut à un morphisme \(f : V \to W\) sur le morphisme \(f_\varphi : U_n \to U_m\), c’est-à-dire la même chose qu’un morphisme dans la catégorie \((\mathcal{C}/U)_{total}\) défini ci-dessus. L’égalité des ensembles de recouvrements résulte immédiatement de la définition.

Nous omettons la preuve de (3).

Hyperrecouvrement par un objet simplicial du site : modules

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(U \to X\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\), au sens de la section 09X8. Nous étudions ici l’augmentation suivante : \[a : (\Sh((\mathcal{C}/U)_{total}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X)\] que l’on obtient en considérant \(U\) comme un objet semi-représentable simplicial de \(\mathcal{C}/X\), dont le terme de degré \(n\) est le singleton \(\{U_n/X\}\), puis en appliquant les constructions de la remarque 0D9X. Ainsi tous les résultats de cette section sont des conséquences immédiates des résultats correspondants dans la section 0DA3.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(U\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\). Avec les notations ci-dessus, \[a^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] est pleinement fidèle, d’image essentielle les \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Le foncteur \(a_*\) est un quasi-inverse.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0DA4.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(U\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\). Pour \(E \in D(\mathcal{O}_X)\), le morphisme \[E \longrightarrow Ra_*La^*E\] est un isomorphisme.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0DA5.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(U\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\). Nous avons alors un isomorphisme canonique \[R\Gamma(X, E) = R\Gamma((\mathcal{C}/U)_{total}, La^*E)\] pour \(E \in D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0DA6.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(U\) un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie de Serre faible des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens. Alors le foncteur \(La^*\) définit une équivalence \[D^+(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0DA7.

Descente cohomologique non bornée pour les hyperrecouvrements

Dans cette section, nous étudions la descente cohomologique non bornée. Les résultats eux-mêmes seront des conséquences immédiates de nos résultats sur la descente cohomologique bornée dans les sections précédentes et des lemmes de Cohomologie sur les sites 0D7V et/ou 0D7W ; le vrai travail réside dans la mise en place de la notation et le choix des hypothèses appropriées. Cette discussion est motivée par celle de [six-I], bien que les détails diffèrent sensiblement.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. Supposons donnée, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), une sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{A}_U \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) satisfaisant aux propriétés suivantes :

1. pour tout morphisme \(U \to V\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur de restriction \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_V) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) envoie \(\mathcal{A}_V\) dans \(\mathcal{A}_U\),

2. pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\), un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) appartient à \(\mathcal{A}_U\) si et seulement si la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/U_i\) appartient à \(\mathcal{A}_{U_i}\) pour tout \(i \in I\).

3. il existe un sous-ensemble \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) tel que

   1. tout objet de \(\mathcal{C}\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\), et

   2. pour tout \(V \in \mathcal{B}\), il existe un entier \(d_V\) et un système cofinal \(\text{Cov}_V\) de recouvrements de \(V\) tel que \[H^p(V_i, \mathcal{F}) = 0 \text{ pour } \{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V,\ p > d_V, \text{ et } \mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A}_V)\]

Remarquons que cette propriété doit être satisfaite pour \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}_V\) et pas seulement pour les objets « globaux » (elle est donc plus forte que la condition de Cohomologie sur les sites, situation 0D6R). Dans cette situation, il existe une sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) constituée des objets dont la restriction à \(\mathcal{C}/U\) appartient à \(\mathcal{A}_U\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). De plus, il existe des catégories dérivées \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) et \(D_{\mathcal{A}_U}(\mathcal{O}_U)\), et les foncteurs de restriction envoient ces catégories les unes dans les autres.

Exemple

Soit \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{C} = X_{spaces, \etale}\) le site étale sur la catégorie des espaces algébriques étales sur \(X\); voir Propriétés des espaces, définition 03G0. Notons \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) le faisceau structural, c’est-à-dire le faisceau donné par la règle \(U \mapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). Notons \(\mathcal{A}_U\) la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents. Soit \(\mathcal{B} = \Ob(\mathcal{C})\) et, pour \(V \in \mathcal{B}\), posons \(d_V = 0\) et notons \(\text{Cov}_V\) l’ensemble des recouvrements \(\{V_i \to V\}\) tels que \(V_i\) soit affine pour tout \(i\). Alors les hypothèses (1), (2) et (3) sont satisfaites. Voir Propriétés des espaces, lemmes 03GA et 03M1 pour les propriétés (1) et (2); l’annulation en (3) découle de Cohomologie des schémas, lemme 01XB et de la discussion de Cohomologie des espaces, section 071Y.

Exemple

Soit \(S\) l’un des types de schémas suivants :

1. le spectre d’un corps fini,

2. le spectre d’un corps séparablement clos,

3. le spectre d’un anneau local noethérien strictement hensélien,

4. le spectre d’un anneau local noethérien hensélien à corps résiduel fini,

5. ajouter d’autres exemples ici.

Soit \(\Lambda\) un anneau fini dont l’ordre est inversible sur \(S\). Soit \(\mathcal{C} \subset (\Sch/S)_\etale\) la sous-catégorie pleine formée des schémas localement de type fini sur \(S\), munis de la topologie étale. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = \underline{\Lambda}\) le faisceau constant. Posons \(\mathcal{A}_U = \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\); autrement dit, on considère tous les faisceaux étales de \(\Lambda\)-modules. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) l’ensemble des objets quasi-compacts. Pour \(V \in \mathcal{B}\), posons \[d_V = 1 + 2\dim(S) + \sup\nolimits_{v \in V}(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(v)) + 2 \dim \mathcal{O}_{V, v})\] et notons \(\text{Cov}_V\) l’ensemble des recouvrements étales \(\{V_i \to V\}\) tels que \(V_i\) soit quasi-compact pour tout \(i\). Le choix de la borne \(d_V\) provient du théorème de Gabber sur la dimension cohomologique. Pour vérifier que la condition (3) est satisfaite avec ce choix, on utilise [Traveaux, Exposé VIII-A, corollaire 1.2 et lemme 2.2] ainsi que des arguments élémentaires sur les dimensions cohomologiques des corps. Nous ajoutons \(1\) dans la formule parce que notre liste contient des cas où \(S\) peut avoir un corps résiduel fini. Nous reviendrons sur cet exemple plus tard (insérer la référence future).

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. Supposons données des sous-catégories de Serre faibles \(\mathcal{A}_U \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) satisfassent à la condition (0DC2). Alors

1. pour tout objet semi-représentable \(K = \{U_i\}_{i \in I}\), nous obtenons une sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{A}_K \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_K)\) en prenant \(\prod \mathcal{A}_{U_i} \subset \prod \textit{Mod}(\mathcal{O}_{U_i}) = \textit{Mod}(\mathcal{O}_K)\), et

2. étant donné un morphisme d’objets semi-représentables \(f : K \to L\), le foncteur image inverse \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_L) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_L)\) envoie \(\mathcal{A}_L\) dans \(\mathcal{A}_K\).

Voir la remarque 0D9U pour les notations et les explications. En particulier, pour un objet semi-représentable simplicial \(K\), l’expression « un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), au sens de la remarque 0D9W, dont les restrictions \(\mathcal{F}_n\) appartiennent à \(\mathcal{A}_{K_n}\) pour tout \(n\) » est sans ambiguïté.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. Supposons données des sous-catégories de Serre faibles \(\mathcal{A}_U \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) satisfaisant aux conditions (0DC2), (0DC3) et (0DC4) ci-dessus. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des égalisateurs et des produits fibrés, et soit \(K\) un hyperrecouvrement. Considérons \(((\mathcal{C}/K)_{total}, \mathcal{O})\) comme dans la remarque 0D9W. Soit \(\mathcal{A}_{total} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie de Serre faible formée des \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens \(\mathcal{F}\) tels que la restriction \(\mathcal{F}_n\) appartienne à \(\mathcal{A}_{K_n}\) pour tout \(n\) (au sens défini ci-dessus). Alors le foncteur \(La^*\) définit une équivalence \[D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{O})\] de quasi-inverse \(Ra_*\).

Démonstration

Les \(\mathcal{O}\)-modules cartésiens forment une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J (les hypothèses requises découlent de la discussion de la remarque 0D9W). Puisque les foncteurs de restriction \(g_n^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_n)\) sont exacts, il s’ensuit que \(\mathcal{A}_{total}\) est une sous-catégorie de Serre faible.

Montrons que \(a^* : \mathcal{A} \to \mathcal{A}_{total}\) est une équivalence de catégories, de quasi-inverse \(La_*\). On sait déjà que \(La_*a^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) par la version bornée (lemme 0DA2). Il est clair que \(a^*\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}_{total}\) pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}\). Réciproquement, soit \(\mathcal{G} \in \mathcal{A}_{total}\). Comme \(\mathcal{G}\) est cartésien, on a \(\mathcal{G} = a^*\mathcal{F}\) pour un certain \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module \(\mathcal{F}\), d’après le lemme 0D9Z. Nous voulons montrer que \(\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}\). Fixons \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Il faut montrer que la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/U\) appartient à \(\mathcal{A}_U\). Comme d’habitude, écrivons \(K_0 = \{U_{0, i}\}_{i \in I_0}\). Puisque \(K\) est un hyperrecouvrement, le morphisme \(\coprod_{i \in I_0} h_{U_{0, i}} \to *\) devient surjectif après passage au faisceau associé. Il existe donc un recouvrement \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) et une application \(\tau : J \to I_0\) et pour chaque \(j \in J\) un morphisme \(\varphi_j : U_j \to U_{0, \tau(j)}\). Puisque \(\mathcal{G}_0 = a_0^*\mathcal{F}\), on voit que la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/U_j\) est égale à la restriction de la composante \(\tau(j)\) de \(\mathcal{G}_0\) à \(\mathcal{C}/U_j\) via le morphisme \(\varphi_j : U_j \to U_{0, \tau(i)}\). Par conséquent, la condition (0DC2) donne que \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_j}\) appartient à \(\mathcal{A}_{U_j}\); la condition (0DC3) donne alors que \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\) appartient à \(\mathcal{A}_U\).

En particulier, l’énoncé du lemme est bien défini. Le lemme découle alors de Cohomologie sur les sites, lemme 0D7V. L’hypothèse (1) est claire (voir la remarque 0D9W). Les hypothèses (2) et (3) ont été démontrées au paragraphe précédent. L’hypothèse (4) découle immédiatement de (0DC4). Pour l’hypothèse (5), soit \(\mathcal{B}_{total}\) l’ensemble des objets \(U/U_{n, i}\) du site \((\mathcal{C}/K)_{total}\) tels que \(U \in \mathcal{B}\), où \(\mathcal{B}\) est comme dans (0DC4). Nous utilisons ici la description de la description du site \((\mathcal{C}/K)_{total}\) donnée dans la section 0D8A. De plus, posons \(\text{Cov}_{U/U_{n, i}}\) égal à \(\text{Cov}_U\) et \(d_{U/U_{n, i}}\) égal à \(d_U\), où \(\text{Cov}_U\) et \(d_U\) sont fournis par (0DC4). Avec ces choix, la condition (5) est satisfaite. Cela découle immédiatement du lemme 0DC0 et du fait que \(\mathcal{F} \in \mathcal{A}_{total}\) implique \(\mathcal{F}_n \in \mathcal{A}_{K_n}\) et donc \(\mathcal{F}_{n, i} \in \mathcal{A}_{U_{n, i}}\). (Le lecteur préoccupé par la différence entre la cohomologie des faisceaux abéliens et la cohomologie des faisceaux de modules peut consulter Cohomologie sur les sites, lemme 03FD.)

Recollement de complexes

Cette section prolonge Cohomologie, section 0D65. Le but est de prouver une légère généralisation de [BBD, théorème 3.2.4]. Notre méthode différera légèrement, en ce qu’elle utilise les résultats des sections 0D9F et 0D9M. Nous redémontrerons également la version non bornée en suivant la démonstration de [six-I].

Conseil au lecteur : nous suggérons de lire d’abord l’énoncé du lemme 0GMG, ainsi que sa seconde démonstration.

Voici la situation qui nous intéresse.

Situation

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. On nous donne

1. une catégorie \(\mathcal{B}\) et un foncteur \(u : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\),

2. un objet \(E_U\) dans \(D(\mathcal{O}_{u(U)})\) pour \(U \in \Ob(\mathcal{B})\),

3. un isomorphisme \(\rho_a : E_U|_{\mathcal{C}/u(V)} \to E_V\) dans \(D(\mathcal{O}_{u(V)})\) pour \(a : V \to U\) dans \(\mathcal{B}\)

avec la compatibilité suivante : pour toutes flèches composables \(b : W \to V\) et \(a : V \to U\) de \(\mathcal{B}\), on a \(\rho_{a \circ b} = \rho_b \circ \rho_a|_{\mathcal{C}/u(W)}\).

Nous ne pourrons rien démontrer dans ce cadre sans faire davantage d’hypothèses. Un cas intéressant est celui où \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie pleine telle que chaque objet de \(\mathcal{C}\) a un recouvrement dont les membres sont des objets de \(\mathcal{B}\) (c’est le cas étudié dans [BBD]). Il importe ici d’autoriser aussi les situations où ce n’est pas le cas; la principale variante est celle où l’on dispose d’un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) telle que chaque objet de \(\mathcal{D}\) admet un recouvrement dont les membres sont des objets de \(\mathcal{B}\).

Dans la situation 0DC9, une solution sera une paire \((E, \rho_U)\) où \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) et où les morphismes \(\rho_U : E|_{\mathcal{C}/u(U)} \to E_U\) pour \(U \in \Ob(\mathcal{B})\) sont des isomorphismes tels que l’on a \(\rho_a \circ \rho_U|_{\mathcal{C}/u(V)} = \rho_V\) pour \(a : V \to U\) dans \(\mathcal{B}\).

Lemme

Dans la situation 0DC9. Supposons que les auto-Ext négatifs de \(E_U\) dans \(D(\mathcal{O}_{u(U)})\) soient nuls. Soit \(L\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{B})\). Considérons l’objet simplicial \(K = u(L)\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) et considérons \(((\mathcal{C}/K)_{total}, \mathcal{O})\) comme dans la remarque 0D9W. Il existe un objet cartésien \(E\) de \(D(\mathcal{O})\) tel que, si l’on écrit \(L_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\), l’image de \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}/u(U_{n, i})})\) s’identifie de manière compatible à \(E_{U_{n, i}}\) (voir la preuve). De plus, \(E\) est unique à isomorphisme unique près.

Démonstration

Rappelons que \(\Sh(\mathcal{C}/K_n) = \prod_{i \in I_n} \Sh(\mathcal{C}/u(U_{n, i}))\) et de même pour les catégories de modules. Cette décomposition en produit se transporte également aux catégories dérivées de faisceaux de modules. De plus, cette décomposition en produit est compatible avec les morphismes de l’objet semi-représentable simplicial \(K\). Voir la section 09WK. Nous pouvons donc définir \(E_n = \prod_{i \in I_n} E_{U_{n, i}}\) (produit « formel ») dans \(D(\mathcal{O}_n)\). En prenant les produits (formels) des morphismes \(\rho_a\) de la situation 0DC9, nous obtenons des isomorphismes \(E_\varphi : f_\varphi^*E_n \to E_m\). L’hypothèse sur les composés des morphismes \(\rho_a\) implique immédiatement que \((E_n, E_\varphi)\) définit un système simplicial de la catégorie dérivée de modules comme dans la définition 0D9N. L’annulation des auto-Ext négatifs supposée dans le lemme entraîne que \(\Hom(E_n[t], E_n) = 0\) pour \(n \geq 0\) et \(t > 0\). Par le lemme 0D9T, on obtient \(E\). L’unicité jusqu’à l’isomorphisme unique découle des lemmes 0D9R et 0D9S.

Lemme

Dans la situation 0DC9. Supposons que

1. \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés,

2. il existe un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) tel que

   1. \(\mathcal{D}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés, et \(u\) commute à leur formation,

   2. \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) et \(u : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est la restriction de \(u\),

   3. tout objet de \(\mathcal{D}\) admet un recouvrement dont les membres sont des objets de \(\mathcal{B}\),

3. pour tout \(U\) dans \(\mathcal{B}\), tous les auto-Ext négatifs de \(E_U\) dans \(D(\mathcal{O}_{u(U)})\) sont nuls, et

4. il existe un \(t \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(E_U) = 0\) pour \(i < t\) et tout \(U \in \Ob(\mathcal{B})\).

Il existe alors une solution unique à isomorphisme unique près.

Démonstration

D’après Hyperrecouvrements, lemme 0DAX, il existe un hyperrecouvrement \(L\) pour le site \(\mathcal{D}\) tel que \(L_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\) avec \(U_{i, n} \in \Ob(\mathcal{B})\). Posons \(K = u(L)\). Le lemme 0DCA donne un objet cartésien \(E\) de \(D(\mathcal{O})\) sur le site \((\mathcal{C}/K)_{total}\), dont la restriction est \(E_{U_{n, i}}\) sur \(\mathcal{C}/u(U_{n, i})\), de façon compatible. L’hypothèse sur \(t\) implique que \(E \in D^+(\mathcal{O})\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 0DAY, \(K\) est lui aussi un hyperrecouvrement. Le lemme 0DA2 donne \(E = a^*F\) pour un certain \(F\) dans \(D^+(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Pour prouver que \(F\) est une solution, nous utiliserons la construction de \(L_0\) et \(L_1\) donnée dans la preuve de Hyperrecouvrements, lemme 0DAX. (C’est un peu inélégant, mais il ne semble pas y avoir de moyen tout à fait direct de l’éviter.)

Plus précisément, \(I_0 = \Ob(\mathcal{B})\) et donc \(L_0 = \{U\}_{U \in \Ob(\mathcal{B})}\). La restriction de l’isomorphisme \(a^*F \to E\) aux composantes \(\mathcal{C}/u(U)\) de \(\mathcal{C}/K_0\) définit les isomorphismes \(\rho_U : F|_{\mathcal{C}/u(U)} \to E_U\) pour \(U \in \Ob(\mathcal{B})\) par construction de \(E\).

Pour vérifier que les \(\rho_U\) satisfont à la condition de compatibilité avec les morphismes \(\rho_a\) de la situation 0DC9, on utilise le fait que \(I_1\) contient l’ensemble \[\Omega = \{(U, V, W, a, b) \mid U, V, W \in \mathcal{B}, a : U \to V, b : U \to W\}\] et que, pour \(i = (U, V, W, a, b)\) dans \(\Omega\), on a \(U_{1, i} = U\). De plus, les composantes \(f_{\delta^1_0, i}\) et \(f_{\delta^1_1, i}\) des deux morphismes \(K_1 \to K_0\) sont les morphismes \[a : U \to V \quad\text{et}\quad b : U \to V\] La compatibilité du lemme 0DCA donne donc \[\rho_a \circ \rho_V|_{\mathcal{C}/u(U)} = \rho_U \quad\text{et}\quad \rho_b \circ \rho_W|_{\mathcal{C}/u(U)} = \rho_U\] En prenant par exemple \(i = (U, V, U, a, \text{id}_U) \in \Omega\), on obtient la compatibilité voulue. L’unicité de \(F\) découle de celle de \(E\) dans le lemme précédent (nous omettons ce détail).

Lemme

Dans la situation 0DC9. Supposons que

1. \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés,

2. il existe un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) tel que

   1. \(\mathcal{D}\) admet des égalisateurs et des produits fibrés, et \(u\) commute à leur formation,

   2. \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) et \(u : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est la restriction de \(u\),

   3. chaque objet de \(\mathcal{D}\) possède un recouvrement dont les membres sont des objets de \(\mathcal{B}\),

3. tous les auto-Ext négatifs de \(E_U\) dans \(D(\mathcal{O}_{u(U)})\) sont nuls, et

4. il existe des sous-catégories de Serre faibles \(\mathcal{A}_U \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), satisfaisant aux conditions (0DC2), (0DC3) et (0DC4),

5. \(E_U \in D_{\mathcal{A}_U}(\mathcal{O}_U)\).

Il existe alors une solution unique à isomorphisme unique près.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0DCB. La seule différence est que \(E\) est un objet de \(D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{O})\) et l’on utilise donc le lemme 0DC7 pour obtenir \(F\) avec \(E = a^*F\) au lieu du lemme 0DA2.

Voici un exemple d’application de la théorie générale ci-dessus.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des produits fibrés. Soit \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Pour \(i \in I\), soit \(E_i\) un objet de \(D(\mathcal{O}_{U_i})\), et pour \(i, j \in I\), soit \[\rho_{ij} : E_i|_{\mathcal{C}/U_{ij}} \longrightarrow E_j|_{\mathcal{C}/U_{ij}}\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_{U_{ij}})\), où \(U_{ij} = U_i \times_X U_j\). Supposons que

1. les \(\rho_{ij}\) satisfassent à la condition de cocycle sur \(U_i \times_X U_j \times_X U_k\) pour tout \(i, j, k \in I\),

2. \(\SheafExt^p_{\mathcal{O}_{U_i}}(E_i, E_i) = 0\) pour tout \(p < 0\) et tout \(i \in I\), et

3. il existe un \(t \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^p(E_i) = 0\) pour \(p < t\) et tout \(i \in I\).

Alors il existe un unique couple \((E, \rho_i)\), où \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) et les \(\rho_i : E|_{U_i} \to E_i\) sont des isomorphismes dans \(D(\mathcal{O}_{U_i})\) compatibles avec les \(\rho_{ij}\).

Démonstration

Dans cette preuve, nous déduisons le résultat du lemme général 0DCB. Nous invitons le lecteur à consulter plutôt la seconde démonstration.

Nous pouvons remplacer \(\mathcal{C}\) par \(\mathcal{C}/X\). On peut donc supposer que \(X\) est l’objet final de \(\mathcal{C}\) et que \(\mathcal{C}\) admet toutes les limites finies.

Soit \(\mathcal{B}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{C}\) constituée des objets \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) pour lesquels il existe un \(i(U) \in I\) et un morphisme \(a_U : U \to U_{i(U)}\). Notons \(E_U = a_U^*E_{i(U)}\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\), image inverse (restriction) de \(E_i\) par \(a_U\). Pour un morphisme \(a : U \to U'\) de \(\mathcal{B}\), on obtient un morphisme \((a_{U'} \circ a, a_U) : U \to U_{i(U')} \times_X U_{i(U)} = U_{i(U')i(U)}\) et donc un isomorphisme \[\rho_a : a^*E_{U'} = a^*a_{U'}^*E_{i(U')} \xrightarrow{(a_{U'} \circ a, a_U)^*\rho_{i(U')i(U)}} a_{U}^*E_{i(U)} = E_{U}\] dans \(D(\mathcal{O}_U)\). Les données \(\mathcal{B}, E_U, \rho_a\) sont celles de la situation 0DC9; les isomorphismes \(\rho_a\) satisfont la condition de cocycle précisément grâce à la condition (1) de l’énoncé du lemme (détails omis).

Nous allons appliquer le lemme 0DCB avec \(\mathcal{B}\), \(E_U\), \(\rho_a\) comme ci-dessus et avec \(\mathcal{D} = \mathcal{C}\) et \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) le morphisme identité. Les hypothèses (1) et (2)(a) du lemme 0DCB ont été vérifiées ci-dessus. L’hypothèse (2)(b) du lemme 0DCB est claire. L’hypothèse (2)(c) du lemme 0DCB est satisfaite, car \(\{U_i \to X\}\) est un recouvrement⁵. L’hypothèse (3) du lemme 0DCB est satisfaite, car nous avons supposé l’annulation de tous les faisceaux d’Ext négatifs de \(E_i\); cela implique, pour tout objet \(U\) au-dessus de \(U_i\), que les auto-Ext négatifs de \(E_i|_U\) sont nuls. L’hypothèse (4) du lemme 0DCB est satisfaite, car nous avons supposé que les faisceaux de cohomologie de chaque \(E_i\) sont nuls en degrés strictement inférieurs à \(t\).

Nous obtenons une solution unique \((E, \rho_U)\). En posant \(\rho_i = \rho_{U_i}\), on obtient le lemme.

Démonstration

Nous esquissons une preuve plus directe. Notons \(K\) l’hyperrecouvrement de Čech de \(X\) associé au recouvrement \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\); voir Hyperrecouvrements, exemple 01G6. Ainsi par exemple \(K_0 = \{U_i \to X\}_{i \in I}\) et \(K_1 = \{U_i \times_X U_j \to X\}_{i, j \in I}\) et ainsi de suite. Considérons \(((\mathcal{C}/K)_{total}, \mathcal{O})\), \(a\) et \(a_n\) comme dans la remarque 0D9X. Les objets \(E_i\) déterminent un objet \(M_0\) dans \(D(\mathcal{O}_0) = \prod D(\mathcal{O}_{U_i})\). De même, les isomorphismes \(\rho_{ij}\) déterminent un isomorphisme \[\alpha : L(f_{\delta_1^1})^*M_0 \longrightarrow L(f_{\delta_0^1})^*M_0\] dans \(D(\mathcal{O}_1)\) satisfaisant la condition de cocycle. Par le lemme 0GMF on obtient un système simplicial cartésien \((M_n)\) de la catégorie dérivée. L’annulation supposée des faisceaux d’Ext négatifs montre que les auto-Ext négatifs des objets \(M_n\) sont nuls. On obtient donc un objet cartésien \(M\) de \(D(\mathcal{O})\) dont le système simplicial associé est isomorphe à \((M_n)\) d’après le lemme 0D9T. Puisque les faisceaux de cohomologie de \(M\) sont nuls en degrés \(< t\), le lemme 0DA7 donne \(M = La^*E\) pour un certain \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). L’isomorphisme \(La^*E \to M\) restreint à \(\mathcal{C}/U_i\) induit les isomorphismes \(\rho_i\). Nous omettons la vérification de la compatibilité avec les isomorphismes \(\rho_{ij}\).

Hyperrecouvrements propres en topologie

Travaillons dans la catégorie \(\textit{LC}\) des espaces topologiques séparés et localement quasi compacts, munie des applications continues; voir Cohomologie sur les sites, section 09WY. Soient \(X\) un objet de \(\textit{LC}\) et \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\), muni d’une augmentation \[a : U \to X\] On dit que \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\) si

1. \(U_0 \to X\) est un morphisme propre surjectif,

2. \(U_1 \to U_0 \times_X U_0\) est un morphisme propre surjectif,

3. \(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) est un morphisme propre surjectif pour \(n \geq 1\).

La catégorie \(\textit{LC}\) admet toutes les limites finies; les cosquelettes utilisés dans la formulation ci-dessus existent donc. \[\fbox{Principe : les hyperrecouvrements propres permettent de calculer la cohomologie.}\] Une idée essentielle de la démonstration consiste à munir \(\textit{LC}\) d’une topologie plus fine que la topologie usuelle, telle que : (a) tout morphisme propre surjectif définisse un recouvrement; (b) la cohomologie, pour cette topologie plus fine, des faisceaux usuels coïncide avec leur cohomologie usuelle. Les propriétés (a) et (b) sont valables pour la topologie qc, voir Cohomologie sur les sites, section 09WY. Une fois (a) et (b) établis, le principe découle des résultats précédents de ce chapitre.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\) et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh((\textit{LC}_{qc}/U)_{total}) \ar[r]_-h \ar[d]_{a_{qc}} & \Sh(U_{Zar}) \ar[d]^a \\ \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \ar[r]^-{h_{-1}} & \Sh(X) }\] où la flèche verticale gauche est définie dans la section 09X8 et la flèche verticale droite est définie dans le lemme 09W4.

Démonstration

Écrivons \(\Sh(X) = \Sh(X_{Zar})\). Observons que \((\textit{LC}_{qc}/U)_{total}\) et \(U_{Zar}\) relèvent tous deux du cas (A) de la situation 09WE. Cela résulte immédiatement de la construction de \(U_{Zar}\) dans la section 09VK et découle du lemme 09WL pour \((\textit{LC}_{qc}/U)_{total}\). Considérons alors les foncteurs \(U_{n, Zar} \to \textit{LC}_{qc}/U_n\), \(U \mapsto U/U_n\) et \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{qc}/X\), \(U \mapsto U/X\). Ces foncteurs définissent des morphismes de sites, comme on l’a vu dans Cohomologie sur les sites, section 09WY. On obtient ainsi un morphisme de sites simpliciaux compatible avec les augmentations comme dans la remarque 0D98 et on peut appliquer le lemme 0D99 pour conclure.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\), muni d’une augmentation \(a : U \to X\). Si \(a : U \to X\) définit un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors \[a^{-1} : \Sh(X) \to \Sh(U_{Zar}) \quad\text{et}\quad a^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(U_{Zar})\] sont pleinement fidèles, d’image essentielle les faisceaux cartésiens, et admettent \(a_*\) pour quasi-inverse. Ici, \(a : \Sh(U_{Zar}) \to \Sh(X)\) est comme dans le lemme 09W4.

Démonstration

Nous démontrerons l’énoncé pour les faisceaux d’ensembles. Ce sera une conséquence presque formelle des résultats déjà établis. Considérons le diagramme du lemme 0DAF. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 09X3, le foncteur \((h_{-1})^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_{-1, *}\). Il en va de même pour les composantes \(h_n\) de \(h\). Par la description des foncteurs \(h^{-1}\) et \(h_*\) du lemme 0D96 on conclut que \(h^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_*\). Observons que \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\textit{LC}_{qc}\) (au sens de la section 09X8), d’après Cohomologie sur les sites, lemme 09X5. Par le lemme 0DA8 on voit que \(a_{qc}^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(a_{qc, *}\) et d’image essentielle les faisceaux cartésiens sur \((\textit{LC}_{qc}/U)_{total}\). Une chasse formelle dans le diagramme montre alors que \(a^{-1}\) est pleinement fidèle.

Enfin, supposons que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau cartésien sur \(U_{Zar}\). Alors \(h^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau cartésien sur \(\textit{LC}_{qc}/U\). Ainsi, \(h^{-1}\mathcal{G} = a_{qc}^{-1}\mathcal{H}\) pour un certain faisceau \(\mathcal{H}\) sur \(\textit{LC}_{qc}/X\). Calculons : \[\begin{align*} (h_{-1})^{-1}(a_*\mathcal{G}) & = (h_{-1})^{-1} \text{Eq}( \xymatrix{ a_{0, *}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{1, *}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ (h_{-1})^{-1}a_{0, *}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & (h_{-1})^{-1}a_{1, *}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ a_{qc, 0, *}h_0^{-1}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{qc, 1, *}h_1^{-1}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ a_{qc, 0, *}a_{qc, 0}^{-1}\mathcal{H} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{qc, 1, *}a_{qc, 1}^{-1}\mathcal{H} } ) \\ & = a_{qc, *}a_{qc}^{-1}\mathcal{H} \\ & = \mathcal{H} \end{align*}\] La première égalité découle du lemme 09W4; la deuxième, de l’exactitude du foncteur \((h_{-1})^{-1}\); la troisième, de Cohomologie sur les sites, lemme 0D92 (ici nous utilisons que \(a_0 : U_0 \to X\) et \(a_1: U_1 \to X\) sont propres), la quatrième, de \(a_{qc}^{-1}\mathcal{H} = h^{-1}\mathcal{G}\); la cinquième, du lemme 0D70; enfin la sixième a été établie ci-dessus. Puisque \(a_{qc}^{-1}\mathcal{H} = h^{-1}\mathcal{G}\), on en déduit que \(h^{-1}\mathcal{G} \cong h^{-1}a^{-1}a_*\mathcal{G}\), ce qui termine la preuve par la pleine fidélité de \(h^{-1}\).

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\) et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors pour \(K \in D^+(X)\) \[K \to Ra_*(a^{-1}K)\] est un isomorphisme, où \(a : \Sh(U_{Zar}) \to \Sh(X)\) est comme dans le lemme 09W4.

Démonstration

Considérons le diagramme du lemme 0DAF. Observons que \(Rh_{n, *}h_n^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_n)\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0D91. Par conséquent, \(Rh_*h^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_{Zar})\) par le lemme 0D97. Nous avons \[\begin{align*} Ra_*(a^{-1}K) & = Ra_*Rh_*h^{-1}a^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}Ra_{qc, *}a_{qc}^{-1}(h_{-1})^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}(h_{-1})^{-1}K \\ & = K \end{align*}\] La première égalité découle de la discussion ci-dessus; la deuxième, de la commutativité du diagramme du lemme 0DAF; la troisième, du lemme 0D8N (\(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(\textit{LC}_{qc}\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 09X5), et la dernière, du lemme déjà utilisé de Cohomologie sur les sites 0D91.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\) et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors \[R\Gamma(X, K) = R\Gamma(U_{Zar}, a^{-1}K)\] pour \(K \in D^+(X)\), où \(a : \Sh(U_{Zar}) \to \Sh(X)\) est comme dans le lemme 09W4.

Démonstration

Cela découle du lemme 09XS car \(R\Gamma(U_{Zar}, -) = R\Gamma(X, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\) et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(U_{Zar})\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Si \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(X) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(U_{Zar})\] de quasi-inverse \(Ra_*\), où \(a : \Sh(U_{Zar}) \to \Sh(X)\) est comme dans le lemme 09W4.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J. L’équivalence est une conséquence formelle des résultats obtenus jusqu’ici. On utilise les lemmes 0DAG, 09XS, ainsi que Cohomologie sur les sites, lemme 0D7U.

Lemme

Soit \(U\) un objet simplicial de \(\textit{LC}\) et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Notons \(\mathcal{F}_n\) son image inverse sur \(U_n\). Si \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors il existe une suite spectrale canonique \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \mathcal{F}_p)\] convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Conséquence immédiate des lemmes 09XC et 09W6.

Schémas simpliciaux

Un schéma simplicial est un objet simplicial dans la catégorie des schémas, voir Simplicial, définition 016A. Rappelons qu’un schéma simplicial ressemble à \[\xymatrix{ X_2 \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & X_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X_0 \ar@<0ex>[l] }\] Il y a ici deux morphismes \(d^1_0, d^1_1 : X_1 \to X_0\) et un seul morphisme \(s^0_0 : X_0 \to X_1\), etc. Ces morphismes satisfont notamment aux relations \(d^1_0 \circ s^0_0 = \text{id}_{X_0} = d^1_1 \circ s^0_0\), voir Simplicial, lemme 016B. Il est utile de considérer \(d^n_i : X_n \to X_{n - 1}\) comme la « projection qui oublie la \(i\)-ième coordonnée », et \(s^n_j : X_n \to X_{n + 1}\) comme le « morphisme diagonal qui répète la \(j\)-ième coordonnée ».

Un morphisme de schémas simpliciaux \(h : X \to Y\) est la même chose qu’un morphisme d’objets simpliciaux dans la catégorie des schémas, voir Simplicial, définition 016A. Ainsi, \(h\) est constitué de morphismes de schémas \(h_n : X_n \to Y_n\) tels que \(h_{n - 1} \circ d^n_j = d^n_j \circ h_n\) et \(h_{n + 1} \circ s^n_j = s^n_j \circ h_n\) chaque fois que ces expressions sont définies.

Une augmentation d’un schéma simplicial \(X\) est un morphisme de schémas \(a_0 : X_0 \to S\) tel que \(a_0 \circ d^1_0 = a_0 \circ d^1_1\). Voir Simplicial, section 018F.

Soit \(X\) un schéma simplicial. La construction de la section 09VK appliquée à l’espace topologique simplicial sous-jacent donne un site \(X_{Zar}\). En revanche, pour tout \(n\), nous avons le petit site de Zariski \(X_{n, Zar}\) (Topologies, définition 020T) et pour tout morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) on a un morphisme de sites \(f_\varphi = X(\varphi)_{small} : X_{n, Zar} \to X_{m, Zar}\), associé au morphisme de schémas \(X(\varphi) : X_n \to X_m\) (Topologies, lemme 0211). Cela donne un objet simplicial \(\mathcal{C}\) dans la catégorie des sites. Dans le lemme 09WC, on a construit le site associé \(\mathcal{C}_{total}\). Le foncteur qui associe son image à une immersion ouverte définit une équivalence \(\mathcal{C}_{total} \to X_{Zar}\) qui identifie les faisceaux, c’est-à-dire \(\Sh(\mathcal{C}_{total}) = \Sh(X_{Zar})\). La différence entre \(\mathcal{C}_{total}\) et \(X_{Zar}\) est similaire à la différence entre le petit site Zariski \(S_{Zar}\) et l’espace topologique sous-jacent de \(S\). Nous identifierons tacitement ces sites dans la suite.

Soit \(X_{Zar}\) le site associé à un schéma simplicial \(X\). Il existe un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(X_{Zar}\) dont la restriction à \(X_n\) est le faisceau structural \(\mathcal{O}_{X_n}\). Cela résulte du lemme 09VM ou du lemme 09WF. Nous dirons que \(\mathcal{O}\) est le faisceau structural du schéma simplicial \(X\). À ce stade, tout ce qui a été développé pour les sites simpliciaux (annelés) s’applique, voir les sections 09WB, 0D93, 0D94, 0D71, 0D76, 0D9A, 0D7B, 0D9D, 0D7G, 0D9F et 0D9M.

Soit \(X\) un schéma simplicial muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}\). Comme sur tout topos annelé, il existe une notion de \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \(X_{Zar}\); voir Modules sur les sites, définition 03DL. Cependant, un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \(X_{Zar}\) n’est autre qu’un \(\mathcal{O}\)-module cartésien \(\mathcal{F}\) dont les restrictions \(\mathcal{F}_n\) sont quasi-cohérentes sur \(X_n\); voir le lemme 0D7M.

Soit \(h : X \to Y\) un morphisme de schémas simpliciaux. Le lemme 09VN ou (la preuve du) lemme 0D96 fournit un morphisme de sites \(h_{Zar} : X_{Zar} \to Y_{Zar}\). Rappelons que \(h_{Zar}^{-1}\) et \(h_{Zar, *}\) s’expriment simplement en termes des composantes; voir le lemme 09VP ou le lemme 0D96. Notons \(\mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{O}_Y\) les faisceaux structuraux respectifs de \(X\) et de \(Y\). On définit \(h_{Zar}^\sharp : h_{Zar, *}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\) comme le morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(Y_{Zar}\) donné par \(h_n^\sharp : h_{n, *}\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}\) sur \(Y_n\). On obtient un morphisme de sites annelés \[h_{Zar} : (X_{Zar}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (Y_{Zar}, \mathcal{O}_Y)\]

Soit \(X\) un schéma simplicial muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}\). Soit \(S\) un schéma et \(a_0 : X_0 \to S\) une augmentation de \(X\). Le lemme 09W4 ou le lemme 0D70 fournit un morphisme correspondant de topoi \(a : \Sh(X_{Zar}) \to \Sh(S)\). Observons que \(a^{-1}\mathcal{G}\) est le faisceau sur \(X_{Zar}\) de composantes \(a_n^{-1}\mathcal{G}\). On peut donc utiliser les morphismes \(a_n^\sharp : a_n^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_{X_n}\) pour définir un morphisme \(a^\sharp : a^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}\) ou, de manière équivalente, par adjonction, un morphisme \(a^\sharp : \mathcal{O}_S \to a_*\mathcal{O}\) (qui, comme d’habitude, porte le même nom). Cela nous place dans la situation discutée dans la section 0D9D. On obtient donc un morphisme de topoi annelés \[a : (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(S), \mathcal{O}_S)\]

Enfin, supposons donné un morphisme \(h : X \to Y\) entre des schémas simpliciaux \(X\) et \(Y\), munis de leurs faisceaux structuraux \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_Y\), d’augmentations \(a_0 : X_0 \to X_{-1}\), \(b_0 : Y_0 \to Y_{-1}\) et un morphisme \(h_{-1} : X_{-1} \to Y_{-1}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[r]_{h_0} \ar[d]_{a_0} & Y_0 \ar[d]^{b_0} \\ X_{-1} \ar[r]^{h_{-1}} & Y_{-1} }\] soit commutatif. Les constructions décrites ci-dessus fournissent alors le diagramme commutatif suivant de morphismes de topoi annelés : \[\xymatrix{ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) \ar[r]_{h_{Zar}} \ar[d]_a & (\Sh(Y_{Zar}), \mathcal{O}_Y) \ar[d]^b \\ (\Sh(X_{-1}), \mathcal{O}_{X_{-1}}) \ar[r]^{h_{-1}} & (\Sh(Y_{-1}), \mathcal{O}_{Y_{-1}}) }\]

Descente en termes de schémas simpliciaux

Les morphismes cartésiens sont définis comme suit.

Définition

Soit \(a : Y \to X\) un morphisme de schémas simpliciaux. On dit que \(a\) est cartésien, ou que \(Y\) est cartésien au-dessus de \(X\), si pour tout morphisme \(\varphi : [n] \to [m]\) de \(\Delta\) le diagramme correspondant \[\xymatrix{ Y_m \ar[r]_a \ar[d]_{Y(\varphi)} & X_m \ar[d]^{X(\varphi)}\\ Y_n \ar[r]^{a} & X_n }\] est un carré cartésien dans la catégorie des schémas.

Les morphismes cartésiens sont liés aux données de descente. Commençons par un lemme général décrivant, pour un schéma simplicial fixé, la catégorie des schémas simpliciaux cartésiens au-dessus de celui-ci. Dans ce lemme, \(f^* : \Sch/X \to \Sch/Y\) désigne le foncteur de changement de base associé à un morphisme de schémas \(f : Y \to X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma simplicial. La catégorie des schémas simpliciaux cartésiens sur \(X\) est équivalente à la catégorie des couples \((V, \varphi)\) où \(V\) est un schéma sur \(X_0\) et \[\varphi : V \times_{X_0, d^1_1} X_1 \longrightarrow X_1 \times_{d^1_0, X_0} V\] est un isomorphisme sur \(X_1\) tel que \((s_0^0)^*\varphi = \text{id}_V\) et tel que \[(d^2_1)^*\varphi = (d^2_0)^*\varphi \circ (d^2_2)^*\varphi\] comme morphismes de schémas sur \(X_2\).

Démonstration

L’égalité affichée a un sens puisque \(d^1_1 \circ d^2_2 = d^1_1 \circ d^2_1\), \(d^1_1 \circ d^2_0 = d^1_0 \circ d^2_2\) et \(d^1_0 \circ d^2_0 = d^1_0 \circ d^2_1\) comme morphismes \(X_2 \to X_0\), voir Simplicial, remarque 016C; on peut donc représenter ces morphismes comme suit \[\xymatrix{ & X_2 \times_{d^1_1 \circ d^2_0, X_0} V \ar[r]_-{(d^2_0)^*\varphi} & X_2 \times_{d^1_0 \circ d^2_0, X_0} V \ar@{=}[rd] & \\ X_2 \times_{d^1_0 \circ d^2_2, X_0} V \ar@{=}[ru] & & & X_2 \times_{d^1_0 \circ d^2_1, X_0} V \\ & X_2 \times_{d^1_1 \circ d^2_2, X_0} V \ar[lu]^{(d^2_2)^*\varphi} \ar@{=}[r] & X_2 \times_{d^1_1 \circ d^2_1, X_0} V \ar[ru]_{(d^2_1)^*\varphi} }\] et la condition signifie que le diagramme est commutatif. Or, à tout schéma simplicial cartésien \(Y\) au-dessus de \(X\), on peut associer \(V = Y_0\) et prendre pour \(\varphi\) le composé \[V \times_{X_0, d^1_1} X_1 = Y_0 \times_{X_0, d^1_1} X_1 = Y_1 = X_1 \times_{X_0, d^1_0} Y_0 = X_1 \times_{X_0, d^1_0} V\] des identifications données par la structure cartésienne. Pour montrer que ce foncteur est une équivalence, construisons-en un quasi-inverse. La construction du quasi-inverse est analogue à celle décrite dans Descente, section 023F, à laquelle nous empruntons les notations \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et \(\tau^n_{ij} : [1] \to [n]\), \(0 \mapsto i\), \(1 \mapsto j\). Plus précisément, pour un couple \((V, \varphi)\) comme dans le lemme, posons \(Y_n = X_n \times_{X(\tau^n_n), X_0} V\). Pour \(\beta : [n] \to [m]\), définissons alors \(V(\beta) : Y_m \to Y_n\) comme le changement de base par \(X(\tau^m_{\beta(n)m})\) du morphisme \(\varphi\) composé avec la projection \(X_m \times_{X(\beta), X_n} Y_n \to Y_n\). Cette définition a un sens, car \[X_m \times_{X(\tau^m_{\beta(n)m}), X_1} X_1 \times_{d^1_1, X_0} V = X_m \times_{X(\tau^m_m), X_0} V = Y_m\] et \[X_m \times_{X(\tau^m_{\beta(n)m}), X_1} X_1 \times_{d^1_0, X_0} V = X_m \times_{X(\tau^m_{\beta(n)}), X_0} V = X_m \times_{X(\beta), X_n} Y_n.\] Nous laissons au lecteur la vérification que la commutativité du diagramme ci-dessus entraîne la compatibilité des morphismes avec la composition, ainsi que la vérification que les deux foncteurs sont quasi inverses l’un de l’autre.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Le schéma simplicial associé à \(f\), noté \((X/S)_\bullet\), est le foncteur \(\Delta^{opp} \to \Sch\), \([n] \mapsto X \times_S \ldots \times_S X\) décrit dans Simplicial, exemple 016E.

Ainsi, \((X/S)_n\) est le produit fibré de \((n + 1)\) copies de \(X\) sur \(S\). Le morphisme \(d^1_0 : X \times_S X \to X\) est la projection \((x_0, x_1) \mapsto x_1\), et le morphisme \(d^1_1\) est l’autre projection. Le morphisme \(s^0_0\) est le morphisme diagonal \(X \to X \times_S X\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\pi : Y \to (X/S)_\bullet\) un morphisme cartésien de schémas simpliciaux. Posons \(V = Y_0\) considéré comme un schéma sur \(X\). Les morphismes \(d^1_0, d^1_1 : Y_1 \to Y_0\) et le morphisme \(\pi_1 : Y_1 \to X \times_S X\) induisent des isomorphismes \[\xymatrix{ V \times_S X & & Y_1 \ar[ll]_-{(d^1_1, \text{pr}_1 \circ \pi_1)} \ar[rr]^-{(\text{pr}_0 \circ \pi_1, d^1_0)} & & X \times_S V. }\] Notons \(\varphi : V \times_S X \to X \times_S V\) l’isomorphisme ainsi obtenu. Alors le couple \((V, \varphi)\) est une donnée de descente relative à \(X \to S\).

Démonstration

C’est un cas particulier d’une des assertions du lemme 07TC, car l’équation affichée de ce lemme est équivalente à la condition de cocycle de Descente, définition 023V.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. La construction \[\begin{matrix} \text{catégorie des schémas cartésiens} \\ \text{au-dessus de } (X/S)_\bullet \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{catégorie des données de descente} \\ \text{relatives à } X/S \end{matrix}\] du lemme 024B est une équivalence de catégories.

Démonstration

Le foncteur de gauche à droite est donné dans le lemme 024B. Il s’agit donc d’un cas particulier du lemme 07TC.

Nous pouvons reformuler le changement de base du lemme 023Y de Descente comme suit. Supposons donnés un morphisme de schémas simpliciaux \(f : X' \to X\) et un morphisme cartésien de schémas simpliciaux \(Y \to X\). Alors le produit fibré (considéré comme une « image inverse ») \[f^*Y = Y \times_X X'\] est un schéma simplicial cartésien sur \(X'\). Supposons qu’on donne un diagramme commutatif de morphismes de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S. }\] On obtient ainsi un morphisme de schémas simpliciaux \[f_\bullet : (X'/S')_\bullet \longrightarrow (X/S)_\bullet.\] Nous affirmons que le « changement de base » \(f_\bullet^*\) associé au morphisme \(f_\bullet : (X'/S')_\bullet \to (X/S)_\bullet\) correspond, via le lemme 024C, au changement de base défini, en termes de données de descente, dans Descente, lemme 023Y.

Modules quasi-cohérents sur les schémas simpliciaux

Lemme

Soit \(f : V \to U\) un morphisme de schémas simpliciaux. Pour un module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(U_{Zar}\), l’image inverse \(f^*\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(V_{Zar}\).

Démonstration

Rappelons que \(\mathcal{F}\) est cartésien avec \(\mathcal{F}_n\) quasi-cohérent, voir le lemme 0D7M. D’après le lemme 09VP, nous voyons que \((f^*\mathcal{F})_n = f_n^*\mathcal{F}_n\) (quelques détails omis). \((f^*\mathcal{F})_n\) est donc quasi-cohérent. Le même fait et la propriété cartésienne pour \(\mathcal{F}\) impliquent la propriété cartésienne pour \(f^*\mathcal{F}\). Ainsi \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent par le lemme 0D7M, une fois encore.

Lemme

Soit \(f : V \to U\) un morphisme cartésien de schémas simpliciaux. Supposons que les morphismes \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) soient plats et que les morphismes \(V_n \to U_n\) soient quasi-compacts et quasi-séparés. Pour un module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(V_{Zar}\) l’image directe \(f_*\mathcal{G}\) est un module quasi-cohérent sur \(U_{Zar}\).

Démonstration

Si \(\mathcal{F} = f_* \mathcal{G}\), alors \(\mathcal{F}_n = f_{n , *}\mathcal{G}_n\) par le lemme 09VP. Les morphismes \(\mathcal{F}(\varphi)\) sont définis à l’aide des morphismes de changement de base; voir Cohomologie, section 02N6. Les faisceaux \(\mathcal{F}_n\) sont quasi-cohérents par Schémas, lemme 01LC et le fait que \(\mathcal{G}_n\) est quasi-cohérent d’après le lemme 0D7M. Les morphismes de changement de base le long des dégénérescences \(d^n_j\) sont des isomorphismes d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH et le fait que \(\mathcal{G}\) est cartésien d’après le lemme 0D7M. Ainsi, \(\mathcal{F}\) est cartésien d’après le lemme 07TG. Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent d’après le lemme 0D7M.

Lemme

Soit \(f : V \to U\) un morphisme cartésien de schémas simpliciaux. Supposons que les morphismes \(d^n_j : U_n \to U_{n - 1}\) soient plats et que les morphismes \(V_n \to U_n\) soient quasi-compacts et quasi-séparés. Alors \(f^*\) et \(f_*\) forment une paire de foncteurs adjoints entre les catégories de modules quasi-cohérents sur \(U_{Zar}\) et \(V_{Zar}\).

Démonstration

Nous avons vu dans les lemmes 07TI et 07TJ que l’assertion a un sens. La propriété d’adjonction résulte du fait que chaque \(f_n^*\) est adjoint à \(f_{n, *}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui admet une section ⁶. Soit \((X/S)_\bullet\) le schéma simplicial associé à \(X \to S\), voir définition 024A. Alors l’image inverse définit une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents et la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(((X/S)_\bullet)_{Zar}\).

Démonstration

Soit \(\sigma : S \to X\) une section de \(f\). Soit \((\mathcal{F}, \alpha)\) une paire comme dans le lemme 07TH. Posons \(\mathcal{G} = \sigma^*\mathcal{F}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r]_-{(\sigma \circ f, 1)} \ar[d]_f & X \times_S X \ar[d]^{\text{pr}_0} \ar[r]_-{\text{pr}_1} & X \\ S \ar[r]^\sigma & X }\] Notons que \(\text{pr}_0 = d^1_1\) et \(\text{pr}_1 = d^1_0\). Nous voyons donc que \((\sigma \circ f, 1)^*\alpha\) définit un isomorphisme \[f^*\mathcal{G} = (\sigma \circ f, 1)^*\text{pr}_0^*\mathcal{F} \longrightarrow (\sigma \circ f, 1)^*\text{pr}_1^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\] Nous omettons de vérifier que cet isomorphisme est compatible avec \(\alpha\) et l’isomorphisme canonique \(\text{pr}_0^*f^*\mathcal{G} \to \text{pr}_1^*f^*\mathcal{G}\).

Groupoïdes et schémas simpliciaux

Étant donné un groupoïde en schémas, nous pouvons construire un schéma simplicial. Il s’avère que la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur un groupoïde est équivalente à la catégorie des faisceaux cartésiens quasi-cohérents sur le schéma simplicial associé.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde en schémas sur \(S\). Il existe un schéma simplicial \(X\) sur \(S\) avec les propriétés suivantes

1. \(X_0 = U\), \(X_1 = R\), \(X_2 = R \times_{s, U, t} R\),

2. \(s_0^0 = e : X_0 \to X_1\),

3. \(d^1_0 = s : X_1 \to X_0\), \(d^1_1 = t : X_1 \to X_0\),

4. \(s_0^1 = (e \circ t, 1) : X_1 \to X_2\), \(s_1^1 = (1, e \circ t) : X_1 \to X_2\),

5. \(d^2_0 = \text{pr}_1 : X_2 \to X_1\), \(d^2_1 = c : X_2 \to X_1\), \(d^2_2 = \text{pr}_0\) et

6. \(X = \text{cosk}_2 \text{sk}_2 X\).

Pour tout \(n\), on a \(X_n = R \times_{s, U, t} \ldots \times_{s, U, t} R\) à \(n\) facteurs. Le morphisme \(d^n_j : X_n \to X_{n - 1}\) est donné sur les foncteurs de points par \[(r_1, \ldots, r_n) \longmapsto (r_1, \ldots, c(r_j, r_{j + 1}), \ldots, r_n)\] pour \(1 \leq j \leq n - 1\) alors que \(d^n_0(r_1, \ldots, r_n) = (r_2, \ldots, r_n)\) et \(d^n_n(r_1, \ldots, r_n) = (r_1, \ldots, r_{n - 1})\).

Démonstration

Il suffit de vérifier que les règles prescrites en (1), (2), (3), (4), (5) définissent un schéma simplicial \(2\)-tronqué \(U'\) sur \(S\), puisque (6) nous permet de définir \(X = \text{cosk}_2 U'\), voir Simplicial, lemme 0183. En utilisant l’approche du foncteur de points, il suffit de vérifier que si \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c, e, i)\) est un groupoïde, alors \[\xymatrix{ \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \ar@<8ex>[d]^{\text{pr}_0} \ar@<0ex>[d]_c \ar@<-8ex>[d]_{\text{pr}_1} \\ \text{Arrows} \ar@<4ex>[d]^t \ar@<-4ex>[d]_s \ar@<4ex>[u]^{1, e} \ar@<-4ex>[u]_{e, 1} \\ \text{Ob} \ar@<0ex>[u]_e }\] est un ensemble simplicial \(2\)-tronqué. Nous omettons les détails.

Enfin, la description de \(X_n\) pour \(n > 2\) suit par induction de la description de \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\) et Simplicial, remarque 018A, et du lemme 0187. On peut aussi montrer que l’application de \(\text{cosk}_2\) à l’ensemble simplicial \(2\)-tronqué ci-dessus donne un ensemble simplicial dont le terme de degré \(n\) est égal à \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \ldots \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) à \(n\) facteurs et les morphismes de dégénérescence décrits dans le lemme. Certains détails ont été omis.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en schémas sur \(S\). Soit \(X\) le schéma simplicial sur \(S\) construit dans le lemme 07TN. Alors la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\) est équivalente à la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(X_{Zar}\).

Démonstration

Cela ressort clairement des lemmes 0D7M et 07TH et Groupoïdes, définition 03LI.

Dans le lemme suivant, nous utiliserons la notion de morphisme cartésien \(V \to U\) de schémas simpliciaux, telle qu’elle est définie dans la définition 0249.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en schémas sur un schéma \(S\). Soit \(X\) le schéma simplicial sur \(S\) construit dans le lemme 07TN. Soit \((R/U)_\bullet\) le schéma simplicial associé à \(s : R \to U\), voir définition 024A. Il existe un morphisme cartésien \(t_\bullet : (R/U)_\bullet \to X\) de schémas simpliciaux, dont les morphismes en petits degrés sont donnés par \[\xymatrix{ R \times_{s, U, s} R \times_{s, U, s} R \ar@<3ex>[r]_-{\text{pr}_{12}} \ar@<0ex>[r]_-{\text{pr}_{02}} \ar@<-3ex>[r]_-{\text{pr}_{01}} \ar[dd]_{(r_0, r_1, r_2) \mapsto (r_0 \circ r_1^{-1}, r_1 \circ r_2^{-1})} & R \times_{s, U, s} R \ar@<1ex>[r]_-{\text{pr}_1} \ar@<-2ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[dd]_{(r_0, r_1) \mapsto r_0 \circ r_1^{-1}} & R \ar[dd]^t \\ \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<3ex>[r]_{\text{pr}_1} \ar@<0ex>[r]_c \ar@<-3ex>[r]_{\text{pr}_0} & R \ar@<1ex>[r]_s \ar@<-2ex>[r]_t & U }\]

Démonstration

Pour tout \(n\), nous définissons \((R/U)_\bullet \to X_n\) par la règle \[(r_0, \ldots, r_n) \longrightarrow (r_0 \circ r_1^{-1}, \ldots, r_{n - 1} \circ r_n^{-1})\] La compatibilité avec les morphismes de dégénérescence résulte de la description de ceux-ci dans le lemme 07TN. On omet de vérifier que les morphismes respectent les \(s^n_j\). Le lemme 03C6 de Groupoïdes (avec les rôles de \(s\) et \(t\) inversés) montre que les deux carrés de droite sont cartésiens. Exactement de la même manière, on montre que tous les autres carrés sont également cartésiens. Le morphisme est donc cartésien.

Les données de descente définissent des relations d’équivalence

Dans la section 0248, nous avons vu comment les données de descente relatives à \(X \to S\) peuvent se formuler en termes de schémas simpliciaux cartésiens au-dessus de \((X/S)_\bullet\). Nous les relions ici aux relations d’équivalence comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\pi : Y \to (X/S)_\bullet\) un morphisme cartésien de schémas simpliciaux; voir les définitions 0249 et 024A. Alors le morphisme \[j = (d^1_1, d^1_0) : Y_1 \to Y_0 \times_S Y_0\] définit une relation d’équivalence sur \(Y_0\) au-dessus de \(S\); voir Groupoïdes, définition 022P.

Démonstration

Notons que \(j\) est un monomorphisme. En effet, le composé \(Y_1 \to Y_0 \times_S Y_0 \to Y_0 \times_S X\) est un isomorphisme car \(\pi\) est cartésien.

Considérons le morphisme \[(d^2_2, d^2_0) : Y_2 \to Y_1 \times_{d^1_0, Y_0, d^1_1} Y_1.\] Ce morphisme est bien défini car \(d_0 \circ d_2 = d_1 \circ d_0\); voir Simplicial, remarque 016C. Il s’agit en outre d’un morphisme au-dessus de \((X/S)_2\). C’est un isomorphisme car \(Y \to (X/S)_\bullet\) est cartésien. Notons par exemple que le membre de droite est isomorphe à \(Y_0 \times_{\pi_0, X, \text{pr}_1} (X \times_S X \times_S X) = X \times_S Y_0 \times_S X\) car \(\pi\) est cartésien. Détails omis.

Comme dans Groupoïdes, définition 022P, on note \(t = \text{pr}_0 \circ j = d^1_1\) et \(s = \text{pr}_1 \circ j = d^1_0\). L’isomorphisme ci-dessus, combiné au morphisme \(d^2_1 : Y_2 \to Y_1\), nous donne un morphisme de composition \[c : Y_1 \times_{s, Y_0, t} Y_1 \longrightarrow Y_1\] sur \(Y_0 \times_S Y_0\). Cela implique immédiatement que pour tout schéma \(T/S\) la relation \(Y_1(T) \subset Y_0(T) \times Y_0(T)\) est transitive.

La réflexivité découle du fait que la restriction du morphisme \(j\) à la diagonale \(\Delta : X \to X \times_S X\) est un isomorphisme (utilisez à nouveau la propriété cartésienne de \(\pi\)).

Pour voir la symétrie, nous considérons le morphisme \[(d^2_2, d^2_1) : Y_2 \to Y_1 \times_{d^1_1, Y_0, d^1_1} Y_1.\] Ce morphisme est bien défini car \(d_1 \circ d_2 = d_1 \circ d_1\); voir Simplicial, remarque 016C. C’est un isomorphisme car \(Y \to (X/S)_\bullet\) est cartésien. Notons par exemple que le membre de droite est isomorphe à \(Y_0 \times_{\pi_0, X, \text{pr}_0} (X \times_S X \times_S X) = Y_0 \times_S X \times_S X\) car \(\pi\) est cartésien. Détails omis.

Soit \(T/S\) un schéma. Convenons que \(a \sim b\), pour \(a, b \in Y_0(T)\), signifie \((a, b) \in Y_1(T)\). L’isomorphisme \((d^2_2, d^2_1)\) au-dessus de implique que si \(a \sim b\) et \(a \sim c\), alors \(b \sim c\). Combiné avec la réflexivité, cela montre que \(\sim\) est une relation d’équivalence.

Un exemple

Dans cette section, on montre que les réunions disjointes de spectres d’anneaux artiniens peuvent être descendues le long d’un morphisme de schémas quasi compact, surjectif et plat.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y \to (X/S)_\bullet\) soit un morphisme cartésien de schémas simpliciaux. Pour un point \(y \in Y_0\), posons \[T_y = \{y' \in Y_0 \mid \exists\ y_1 \in Y_1: d^1_1(y_1) = y, d^1_0(y_1) = y'\}\] comme sous-ensemble de \(Y_0\). Alors \(y \in T_y\) et \(T_y \cap T_{y'} \not = \emptyset \Rightarrow T_y = T_{y'}\).

Démonstration

Il suffit de combiner le lemme 024E et le lemme de Groupoïdes 022Q.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y \to (X/S)_\bullet\) soit un morphisme cartésien de schémas simpliciaux. Soit \(y \in Y_0\) un point. Si \(X \to S\) est quasi-compact, alors \[T_y = \{y' \in Y_0 \mid \exists\ y_1 \in Y_1: d^1_1(y_1) = y, d^1_0(y_1) = y'\}\] est un sous-ensemble quasi-compact de \(Y_0\).

Démonstration

Soit \(F_y\) la fibre schématique de \(d^1_1 : Y_1 \to Y_0\) à \(y\). On voit alors que \(T_y\) est l’image du morphisme \[\xymatrix{ F_y \ar[r] \ar[d] & Y_1 \ar[r]^{d^1_0} \ar[d]^{d^1_1} & Y_0 \\ y \ar[r] & Y_0 & }\] Notons que \(F_y\) est quasi-compact. Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme plat surjectif quasi-compact. Soit \((V, \varphi)\) une donnée de descente relative à \(X \to S\). Si \(V\) est une réunion disjointe de spectres d’anneaux artiniens, alors \((V, \varphi)\) est effective.

Démonstration

Soit \(Y \to (X/S)_\bullet\) le morphisme cartésien de schémas simpliciaux correspondant à \((V, \varphi)\) par le lemme 024C. Notons que \(Y_0 = V\). Écrivons \(V = \coprod_{i \in I} \Spec(A_i)\), où chaque \(A_i\) est local artinien. Notons en outre \(v_i \in V\) l’unique point fermé de \(\Spec(A_i)\) pour tout \(i \in I\). Posons \(i \sim j\) si et seulement si \(v_i \in T_{v_j}\), avec les notations du lemme 024G ci-dessus. D’après les lemmes 024G et 024H, il s’agit d’une relation d’équivalence à classes d’équivalence finies. Posons \(\overline{I} = I/\sim\). On peut alors écrire \(V = \coprod_{\overline{i} \in \overline{I}} V_{\overline{i}}\) avec \(V_{\overline{i}} = \coprod_{i \in \overline{i}} \Spec(A_i)\). Par construction, nous voyons que \(\varphi : V \times_S X \to X \times_S V\) envoie les sous-espaces ouverts et fermés \(V_{\overline{i}} \times_S X\) dans les sous-espaces ouverts et fermés \(X \times_S V_{\overline{i}}\). Autrement dit, nous obtenons des données de descente \((V_{\overline{i}}, \varphi_{\overline{i}})\), et \((V, \varphi)\) en est le coproduit dans la catégorie des données de descente. Puisque chacun des \(V_{\overline{i}}\) est une union finie de spectres d’anneaux locaux artiniens, le morphisme \(V_{\overline{i}} \to X\) est affine, voir Morphismes, lemme 01SI. Puisque \(\{X \to S\}\) est un recouvrement fpqc, toutes les données de descente \((V_{\overline{i}}, \varphi_{\overline{i}})\) sont effectives d’après Descente, lemme 0245.

Certes, le lemme ci-dessus a un champ d’application très limité !

Espaces algébriques simpliciaux

Soit \(S\) un schéma. Un espace algébrique simplicial est un objet simplicial dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\), voir Simplicial, définition 016A. Rappelons qu’un espace algébrique simplicial ressemble à \[\xymatrix{ X_2 \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & X_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X_0 \ar@<0ex>[l] }\] Ici, il y a deux morphismes \(d^1_0, d^1_1 : X_1 \to X_0\) et un seul morphisme \(s^0_0 : X_0 \to X_1\), etc. Ces morphismes satisfont notamment aux relations \(d^1_0 \circ s^0_0 = \text{id}_{X_0} = d^1_1 \circ s^0_0\), voir Simplicial, lemme 016B. Il est utile de considérer \(d^n_i : X_n \to X_{n - 1}\) comme la « projection qui oublie la \(i\)-ième coordonnée », et \(s^n_j : X_n \to X_{n + 1}\) comme le « morphisme diagonal qui répète la \(j\)-ième coordonnée ».

Un morphisme d’espaces algébriques simpliciaux \(h : X \to Y\) est la même chose qu’un morphisme d’objets simpliciaux dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\), voir Simplicial, définition 016A. Ainsi, \(h\) est constitué de morphismes d’espaces algébriques \(h_n : X_n \to Y_n\) tels que \(h_{n - 1} \circ d^n_j = d^n_j \circ h_n\) et \(h_{n + 1} \circ s^n_j = s^n_j \circ h_n\) chaque fois que ces expressions sont définies.

Une augmentation \(a : X \to X_{-1}\) d’un espace algébrique simplicial \(X\) est donnée par un morphisme d’espaces algébriques \(a_0 : X_0 \to X_{-1}\) tel que \(a_0 \circ d^1_0 = a_0 \circ d^1_1\). Voir Simplicial, section 018F. Dans cette situation, on note toujours \(a_n : X_n \to X_{-1}\) le morphisme induit pour \(n \geq 0\).

Soit \(X\) un espace algébrique simplicial. Pour chaque \(n\), nous avons le site \(X_{n, spaces, \etale}\) (Propriétés des espaces, définition 03G0) et pour chaque morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) nous avons un morphisme de sites \[f_\varphi = X(\varphi)_{spaces, \etale} : X_{n, spaces, \etale} \to X_{m, spaces, \etale},\] associé au morphisme des espaces algébriques \(X(\varphi) : X_n \to X_m\) (Propriétés des espaces, lemme 03G2). Cela donne un objet simplicial dans la catégorie des sites. Dans le lemme 09WC, nous avons construit un site associé que nous notons \(X_{spaces, \etale}\). Un objet du site \(X_{spaces, \etale}\) est un espace algébrique \(U\) étale sur \(X_n\) pour un certain \(n\); et un morphisme \((\varphi, f) : U/X_n \to V/X_m\) est donné par un morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\) dans \(\Delta\) et un morphisme \(f : U \to V\) d’espaces algébriques tel que le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_f \ar[d] & V \ar[d] \\ X_n \ar[r]^{f_\varphi} & X_m }\] est commutatif. Considérons les sous-catégories pleines \[X_{affine, \etale} \subset X_\etale \subset X_{spaces, \etale}\] dont les objets sont \(U/X_n\) avec \(U\) affine, respectivement un schéma. Munies de leurs topologies naturelles (voir Propriétés des espaces, lemme 04JS, définition 03ED et lemme 03G1), ces catégories ont des foncteurs d’inclusion qui définissent des équivalences de topoi \[\Sh(X_{affine, \etale}) = \Sh(X_\etale) = \Sh(X_{spaces, \etale})\] Dans la suite, nous identifierons tacitement ces topos. On dira que \(X_\etale\) est le petit site étale de \(X\) et son topos est le petit topos étale de \(X\).

Soit \(X_\etale\) le petit site étale d’un espace algébrique simplicial \(X\). Il existe un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(X_\etale\) dont la restriction à \(X_n\) est le faisceau structural \(\mathcal{O}_{X_n}\). Cela découle du lemme 09WF. Nous dirons \(\mathcal{O}\) est le faisceau structural de l’espace algébrique simplicial \(X\). À ce stade, tout ce qui a été développé pour les sites simpliciaux (annelés) s’applique, voir les sections 09WB, 0D93, 0D94, 0D71, 0D76, 0D9A, 0D7B, 0D9D, 0D7G, 0D9F et 0D9M.

Soit \(X\) un espace algébrique simplicial muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}\). Comme sur tout topos annelé, il existe une notion de \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \(X_\etale\); voir Modules sur les sites, définition 03DL. Cependant, un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \(X_\etale\) n’est autre qu’un \(\mathcal{O}\)-module cartésien \(\mathcal{F}\) dont les restrictions \(\mathcal{F}_n\) sont quasi-cohérentes sur \(X_n\); voir le lemme 0D7M.

Soit \(h : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques simpliciaux sur \(S\). D’après le lemme 0D96, appliqué aux morphismes des sites \((h_n)_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\) (Propriétés des espaces, lemme 03G2) on obtient un morphisme de petits topoi étales \(h_\etale : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\). Rappelons que \(h_\etale^{-1}\) et \(h_{\etale, *}\) se décrivent simplement en termes de leurs composantes; voir le lemme 0D96. Notons \(\mathcal{O}_X\), resp. \(\mathcal{O}_Y\), le faisceau structural de \(X\), resp. de \(Y\). On définit \(h_\etale^\sharp : h_{\etale, *}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\) comme le morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(Y_\etale\) donné par \(h_n^\sharp : h_{n, *}\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}\) sur \(Y_n\). On obtient un morphisme de topoi annelés \[h_\etale : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\]

Soit \(X\) un espace algébrique simplicial muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}\). Soit \(X_{-1}\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(a_0 : X_0 \to X_{-1}\) une augmentation de \(X\). Par le lemme 0D70, appliqué au morphisme des sites \((a_0)_{spaces, \etale} : X_{0, spaces, \etale} \to X_{-1, spaces, \etale}\) on obtient un morphisme correspondant de topoi \(a : \Sh(X_\etale) \to \Sh(X_{-1, \etale})\). Observons que \(a^{-1}\mathcal{G}\) est le faisceau sur \(X_\etale\) de composantes \(a_n^{-1}\mathcal{G}\). On peut donc utiliser les morphismes \(a_n^\sharp : a_n^{-1}\mathcal{O}_{X_{-1}} \to \mathcal{O}_{X_n}\) pour définir un morphisme \(a^\sharp : a^{-1}\mathcal{O}_{X_{-1}} \to \mathcal{O}\) ou, de manière équivalente, par adjonction, un morphisme \(a^\sharp : \mathcal{O}_{X_{-1}} \to a_*\mathcal{O}\) (qui, comme d’habitude, porte le même nom). Cela nous place dans la situation discutée dans la section 0D9D. On obtient donc un morphisme de topoi annelés \[a : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(X_{-1}), \mathcal{O}_{X_{-1}})\]

Faisons une dernière observation. Supposons donné un morphisme \(h : X \to Y\) entre des espaces algébriques simpliciaux \(X\) et \(Y\), munis de leurs faisceaux structuraux \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_Y\), d’augmentations \(a_0 : X_0 \to X_{-1}\), \(b_0 : Y_0 \to Y_{-1}\) et d’un morphisme \(h_{-1} : X_{-1} \to Y_{-1}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[r]_{h_0} \ar[d]_{a_0} & Y_0 \ar[d]^{b_0} \\ X_{-1} \ar[r]^{h_{-1}} & Y_{-1} }\] soit commutatif. Les constructions décrites ci-dessus fournissent alors le diagramme commutatif suivant de morphismes de topoi annelés : \[\xymatrix{ (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[r]_{h_\etale} \ar[d]_a & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) \ar[d]^b \\ (\Sh(X_{-1}), \mathcal{O}_{X_{-1}}) \ar[r]^{h_{-1}} & (\Sh(Y_{-1}), \mathcal{O}_{Y_{-1}}) }\]

Hyperrecouvrements fppf d’espaces algébriques

Cette section est l’analogue de la section 09XA pour le cas des espaces algébriques et des hyperrecouvrements fppf. Le lecteur qui le souhaite peut remplacer partout « espace algébrique » par « schéma » et obtenir des résultats également valables. Cela présente l’avantage de remplacer les références à Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGE par des références à Cohomologie étale, section 0DDK.

Nous fixons un schéma de base \(S\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Supposons que nous ayons une augmentation \[a : U \to X\] Voir la section 0DE7. On dit que \(U\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\) si

1. \(U_0 \to X\) est plat, localement de présentation finie, et surjectif,

2. \(U_1 \to U_0 \times_X U_0\) est plat, localement de présentation finie, et surjectif,

3. \(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) est plat, localement de présentation finie, et surjectif pour \(n \geq 1\).

La catégorie des espaces algébriques sur \(S\) admet toutes les limites finies; les cosquelettes utilisés dans la formulation ci-dessus existent donc. \[\fbox{Principe : les hyperrecouvrements fppf permettent de calculer la cohomologie étale.}\] L’idée essentielle de la démonstration consiste à comparer les topologies fppf et étale sur la catégorie \(\textit{Espaces}/S\). La topologie fppf est en effet plus fine que la topologie étale, et l’on a : (a) tout morphisme plat, localement de présentation finie et surjectif définit un recouvrement fppf, et (b) la cohomologie fppf des faisceaux provenant par image inverse du petit site étale coïncide avec la cohomologie étale, comme on l’a vu dans Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGE.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}) \ar[r]_-h \ar[d]_{a_{fppf}} & \Sh(U_\etale) \ar[d]^a \\ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \ar[r]^-{h_{-1}} & \Sh(X_\etale) }\] où la flèche verticale gauche est définie dans la section 09X8 et la flèche verticale droite est définie dans la section 0DE7.

Démonstration

La notation \((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\) indique que nous utilisons la construction de la section 09X8 pour le site \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) et l’objet simplicial \(U\) de ce site⁷. Nous emploierons les sites \(X_{spaces, \etale}\) et \(U_{spaces, \etale}\) pour les topoi du membre de droite; cela est permis, voir la discussion de la section 0DE7.

Observons que \((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\) et \(U_{spaces, \etale}\) relèvent tous deux du cas (A) de la situation 09WE. Cela résulte immédiatement de la construction de \(U_\etale\) dans la section 0DE7 et découle du lemme 09WL pour \((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\). Considérons ensuite les foncteurs \(U_{n, spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/U_n)_{fppf}\), \(U \mapsto U/U_n\) et \(X_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_{fppf}\), \(U \mapsto U/X\). Nous avons vu que ces foncteurs définissent des morphismes de sites dans Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGE où ils étaient notés \(a_{U_n} = \epsilon_{U_n} \circ \pi_{u_n}\) et \(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\). On obtient ainsi un morphisme de sites simpliciaux compatible avec les augmentations comme dans la remarque 0D98 et on peut appliquer le lemme 0D99 pour conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors \[a^{-1} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(U_\etale) \quad\text{et}\quad a^{-1} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(U_\etale)\] sont pleinement fidèles, d’image essentielle les faisceaux cartésiens et de quasi-inverse \(a_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Nous allons démontrer l’énoncé pour les faisceaux d’ensembles. Il découlera presque formellement de résultats déjà établis. Considérons le diagramme du lemme 0DH5. Dans la preuve de ce lemme nous avons vu que \(h_{-1}\) est le morphisme \(a_X\) de Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGE. Il résulte donc de Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGF que \((h_{-1})^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_{-1, *}\). Il en va de même pour les composantes \(h_n\) de \(h\). D’après la description des foncteurs \(h^{-1}\) et \(h_*\) donnée dans le lemme 0D96, on conclut que \(h^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_*\). Observons que \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) au sens de la section 09X8. Par le lemme 0DA8 on voit que \(a_{fppf}^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(a_{fppf, *}\) et d’image essentielle les faisceaux cartésiens sur \((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\). Une chasse formelle dans le diagramme montre alors que \(a^{-1}\) est pleinement fidèle.

Enfin, supposons que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau cartésien sur \(U_\etale\). Alors \(h^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau cartésien sur \((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\). Ainsi \(h^{-1}\mathcal{G} = a_{fppf}^{-1}\mathcal{H}\) pour un certain faisceau \(\mathcal{H}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\). En particulier, on obtient \(h_0^{-1}\mathcal{G}_0 = (a_{0, big, fppf})^{-1}\mathcal{H}\). Comme \(h_0 = a_{U_0}\) et que \(U_0 \to X\) est plat, localement de présentation finie et surjectif, le lemme de Compléments sur la cohomologie des espaces 0DGL montre qu’il existe un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) et un isomorphisme \(\mathcal{H} = (h_{-1})^{-1}\mathcal{F}\). Puisque \(a_{fppf}^{-1}\mathcal{H} = h^{-1}\mathcal{G}\) on en déduit que \(h^{-1}\mathcal{G} \cong h^{-1}a^{-1}\mathcal{F}\). Par la pleine fidélité de \(h^{-1}\), nous concluons que \(a^{-1}\mathcal{F} \cong \mathcal{G}\).

Fixons un isomorphisme \(\theta : a^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Pour terminer la preuve, il faut montrer \(\mathcal{G} = a^{-1}a_*\mathcal{G}\) (afin d’établir que le quasi-inverse est donné par \(a_*\); tout le reste a été prouvé ci-dessus). Puisque \(a^{-1}\) est pleinement fidèle, on a \(\text{id} \cong a_*a^{-1}\) d’après Catégories, lemme 07RB. Ainsi \(\mathcal{F} \cong a_*a^{-1}\mathcal{F}\) et \(a_*\theta : a_*a^{-1}\mathcal{F} \to a_*\mathcal{G}\) se combinent en un isomorphisme \(\mathcal{F} \to a_*\mathcal{G}\). En prenant l’image inverse par \(a\) et en précomposant par \(\theta^{-1}\), on obtient l’isomorphisme souhaité.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors pour \(K \in D^+(X_\etale)\) \[K \to Ra_*(a^{-1}K)\] est un isomorphisme. Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Considérons le diagramme du lemme 0DH5. Observons que \(Rh_{n, *}h_n^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_{n, \etale})\) d’après Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGG. Par conséquent, \(Rh_*h^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_\etale)\) par le lemme 0D97. Nous avons \[\begin{align*} Ra_*(a^{-1}K) & = Ra_*Rh_*h^{-1}a^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}Ra_{fppf, *}a_{fppf}^{-1}(h_{-1})^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}(h_{-1})^{-1}K \\ & = K \end{align*}\] La première égalité découle de la discussion ci-dessus; la deuxième, de la commutativité du diagramme du lemme 0DAF; la troisième, du lemme 0D8N puisque \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\); et la dernière, du lemme déjà utilisé de Compléments sur la cohomologie des espaces 0DGG.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(U_\etale, a^{-1}K)\] pour \(K \in D^+(X_\etale)\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Cela découle du lemme 0DH7 car \(R\Gamma(U_\etale, -) = R\Gamma(X_\etale, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(U_\etale)\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Si \(U\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(X_\etale) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(U_\etale)\] de quasi-inverse \(Ra_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J. L’équivalence est une conséquence formelle des résultats obtenus jusqu’à présent. On utilise les lemmes 0DH6 et 0DH7, ainsi que le lemme de Cohomologie sur les sites 0D7U.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Notons \(\mathcal{F}_n\) son image inverse sur \(U_{n, \etale}\). Si \(U\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors il existe une suite spectrale canonique \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(U_p, \mathcal{F}_p)\] convergeant vers \(H^{p + q}_\etale(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Conséquence immédiate des lemmes 0DH8 et 09WJ.

Hyperrecouvrements fppf d’espaces algébriques : modules

Nous poursuivons l’étude de la descente (cohomologique) pour les hyperrecouvrements fppf, entreprise dans la section 0DH4, en examinant ici le cas des faisceaux de modules. Nous nous intéressons surtout aux modules quasi-cohérents, pour lesquels une descente cohomologique non bornée est possible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh((\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}), \mathcal{O}_{big, total}) \ar[r]_-h \ar[d]_{a_{fppf}} & (\Sh(U_\etale), \mathcal{O}_U) \ar[d]^a \\ (\Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}), \mathcal{O}_{big}) \ar[r]^-{h_{-1}} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) }\] de topoi annelés, où la flèche verticale gauche est définie dans la section 0DAA et la flèche verticale droite est définie dans la section 0DE7.

Démonstration

Pour le diagramme sous-jacent de topoi, voir la discussion de la preuve du lemme 0DH5. Le faisceau \(\mathcal{O}_U\) est le faisceau structural de l’espace algébrique simplicial \(U\), tel qu’il est défini dans la section 0DE7. Le faisceau \(\mathcal{O}_X\) est le faisceau structural usuel de l’espace algébrique \(X\). Les faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_{big, total}\) et \(\mathcal{O}_{big}\) proviennent du faisceau structural sur \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) de la manière expliquée dans la section 0DAA qui construit aussi \(a_{fppf}\) comme morphisme de topoi annelés. Les morphismes sur les composantes \(h_n = a_{U_n}\) et \(h_{-1} = a_X\) sont des morphismes de topoi annelés d’après Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGM. Enfin, puisque le foncteur continu \(u : U_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/U)_{fppf, total}\) utilisé pour définir \(h\)⁸ est donné par \(V/U_n \mapsto V/U_n\), on voit que \(h_*\mathcal{O}_{big, total} = \mathcal{O}_U\); c’est ainsi que l’on munit \(h\) de la structure d’un morphisme de sites simpliciaux annelés comme dans la remarque 0DGZ. On obtient alors un morphisme de topoi annelés \(h\) par le lemme 0DH0. Notons que les morphismes \(h_n\) coïncident bien avec les morphismes \(a_{U_n}\) décrits ci-dessus. Nous omettons la vérification que le diagramme est commutatif en tant que diagramme de topoi annelés – nous savons déjà qu’il est commutatif en tant que diagramme de topoi).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\), et soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors \[a^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\] est une équivalence, de quasi-inverse \(a_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Considérons le diagramme du lemme 0DHC. Dans la preuve de ce lemme nous avons vu que \(h_{-1}\) est le morphisme \(a_X\) de Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGM. Il résulte donc de Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGN que \[(h_{-1})^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_{big})\] est une équivalence, de quasi-inverse \(h_{-1, *}\). Il en va de même pour les composantes \(h_n\) de \(h\). Rappelons que \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_{big, total})\) sont formées des modules cartésiens dont les composantes sont quasi-cohérentes; voir le lemme 0D7M. Puisque les foncteurs \(h^*\) et \(h_*\) du lemme 0DH0 coïncident avec les foncteurs \(h_n^*\) et \(h_{n, *}\) sur les composantes, nous concluons que \[h^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_{big, total})\] est une équivalence, de quasi-inverse \(h_*\). Observons que \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) au sens de la section 09X8. D’après le lemme 0DAB, \(a_{fppf}^*\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(a_{fppf, *}\), et son image essentielle est formée des \(\mathcal{O}_{fppf, total}\)-modules cartésiens. Ainsi, par la description de \(\QCoh(\mathcal{O}_{big})\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_{big, total})\) donnée par le lemme 0D7M, nous obtenons une équivalence \[a_{fppf}^* : \QCoh(\mathcal{O}_{big}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_{big, total})\] de quasi-inverse \(a_{fppf, *}\). Une chasse formelle dans le diagramme montre alors que \(a^*\) est pleinement fidèle sur \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que son image est contenue dans \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\).

Enfin, supposons que \(\mathcal{G}\) appartienne à \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Alors \(h^*\mathcal{G}\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_{big, total})\). Ainsi \(h^*\mathcal{G} = a_{fppf}^*\mathcal{H}\) avec \(\mathcal{H} = a_{fppf, *}h^*\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_{big})\) (voir ci-dessus). On voit ensuite que \(\mathcal{H} = (h_{-1})^*\mathcal{F}\) avec \(\mathcal{F} = h_{-1, *}\mathcal{H}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). En parcourant le diagramme, on en déduit que \(h^*\mathcal{G} \cong h^*a^*\mathcal{F}\). Par la pleine fidélité de \(h^*\), nous concluons que \(a^*\mathcal{F} \cong \mathcal{G}\). Puisque \(\mathcal{F} = h_{-1, *}a_{fppf, *}h^*\mathcal{G} = a_*h_*h^*\mathcal{G} = a_*\mathcal{G}\), nous obtenons également l’énoncé selon lequel le quasi-inverse est donné par \(a_*\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors, pour tout \(\mathcal{F}\) qui est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, le morphisme \[\mathcal{F} \to Ra_*(a^*\mathcal{F})\] est un isomorphisme. Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Considérons le diagramme du lemme 0DH5. Soit \(\mathcal{F}_n = a_n^*\mathcal{F}\) la composante de degré \(n\) de \(a^*\mathcal{F}\). C’est un \(\mathcal{O}_{U_n}\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}_n = Rh_{n, *}h_n^*\mathcal{F}_n\) par Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGP. Ainsi \(a^*\mathcal{F} = Rh_*h^*a^*\mathcal{F}\) d’après le lemme 0DH1. Nous avons \[\begin{align*} Ra_*(a^*\mathcal{F}) & = Ra_*Rh_*h^*a^*\mathcal{F} \\ & = Rh_{-1, *}Ra_{fppf, *}a_{fppf}^*(h_{-1})^*\mathcal{F} \\ & = Rh_{-1, *}(h_{-1})^*\mathcal{F} \\ & = \mathcal{F} \end{align*}\] La première égalité découle de la discussion ci-dessus; la deuxième, de la commutativité du diagramme du lemme 0DAF; la troisième, du lemme 0DAC puisque \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) et que \(La_{fppf}^* = a_{fppf}^*\), car \(a_{fppf}\) est plat (c’est-à-dire que \(a_{fppf}^{-1}\mathcal{O}_{big} = \mathcal{O}_{big, total}\); voir la remarque 0D9W); enfin, la dernière égalité découle du lemme déjà utilisé de Compléments sur la cohomologie des espaces 0DGP.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Supposons que \(a : U \to X\) soit un hyperrecouvrement fppf de \(X\). Alors \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) et \[a^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\] est une équivalence de catégories, de quasi-inverse \(Ra_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Observons d’abord que les morphismes \(a_n : U_n \to X\) et \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\) sont plats, localement de présentation finie et surjectifs d’après Hyperrecouvrements, remarque 0DER.

Rappelons qu’un \(\mathcal{O}_U\)-module \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement s’il est cartésien et si \(\mathcal{F}_n\) est quasi-cohérent pour tout \(n\). Voir le lemme 0D7M. Par le lemme 0D7J (et la platitude des morphismes \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\) établie ci-dessus) les modules cartésiens forment une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\). D’autre part, \(\QCoh(\mathcal{O}_{U_n}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_{U_n})\) est une sous-catégorie de Serre faible pour tout \(n\) (Propriétés des espaces, lemme 03M1). Ces faits montrent ensemble que \(\QCoh(\mathcal{O}_U) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) est une sous-catégorie de Serre faible.

Pour achever la preuve, vérifions une à une les conditions (1) – (5) du lemme de Cohomologie sur les sites 0D7V.

Pour (1). Comme \(a_n\) est plat (voir ci-dessus), \(a\) est plat par le lemme 0DH3.

Pour (2). C’est exactement l’énoncé du lemme 0DHD.

Pour (3). C’est exactement l’énoncé du lemme 0DHE.

Pour (4). Rappelons que l’on peut utiliser soit le site \(U_\etale\), soit le site \(U_{spaces, \etale}\) pour définir le petit topos étale \(\Sh(U_\etale)\); voir la section 0DE7. L’hypothèse de la situation de Cohomologie sur les sites 0D6R est satisfaite pour le triplet \((U_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_U, \QCoh(\mathcal{O}_U))\) et, par le même raisonnement, pour le triplet \((U_\etale, \mathcal{O}_U, \QCoh(\mathcal{O}_U))\). Plus précisément, prenons pour \[\mathcal{B} \subset \Ob(U_\etale) \subset \Ob(U_{spaces, \etale})\] l’ensemble des objets affines. Pour \(V/U_n \in \mathcal{B}\), prenons \(d_{V/U_n} = 0\) et pour \(\text{Cov}_{V/U_n}\) l’ensemble des recouvrements étales \(\{V_i \to V\}\) tels que les \(V_i\) soient affines. On obtient alors l’annulation voulue, car pour \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_U)\) et tout \(V/U_n \in \mathcal{B}\), nous avons \[H^p(V/U_n, \mathcal{F}) = H^p(V, \mathcal{F}_n)\] d’après le lemme 0DH2. Dans le membre de droite figure la cohomologie du faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_n\) sur \(U_n\), évaluée sur l’objet affine \(V\) de \(U_{n, \etale}\). Ce groupe s’annule pour \(p > 0\) d’après Cohomologie des espaces, section 071Y et Cohomologie des schémas, lemme 01XB.

Pour (5). Il suffit de prendre pour \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) l’ensemble des objets affines et d’utiliser les références données ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(U_\etale, a^*K)\] pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Cela découle du lemme 0DHF car \(R\Gamma(U_\etale, -) = R\Gamma(X_\etale, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Notons \(\mathcal{F}_n\) son image inverse sur \(U_{n, \etale}\). Si \(U\) est un hyperrecouvrement fppf de \(X\), alors il existe une suite spectrale canonique \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(U_p, \mathcal{F}_p)\] convergeant vers \(H^{p + q}_\etale(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Conséquence immédiate de les lemmes 0DHG et 0D7E.

Descente fppf de complexes

Dans cette section, on rassemble certains résultats établis plus haut pour les recouvrements fppf d’espaces algébriques et les catégories dérivées de modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soient \(K, E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement fppf. Supposons que, pour tout \(n \geq 0\), on ait \[\Ext_{\mathcal{O}_{U_n}}^i(La_n^*K, La_n^*E) = 0 \text{ pour } i < 0\] Alors :

1. \(\Ext_{\mathcal{O}_X}^i(K, E) = 0\) pour \(i < 0\) et

2. il existe une suite exacte \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_X}(K, E) \to \Hom_{\mathcal{O}_{U_0}}(La_0^*K, La_0^*E) \to \Hom_{\mathcal{O}_{U_1}}(La_1^*K, La_1^*E)\]

Démonstration

Posons \(K_n = La_n^*K\) et \(E_n = La_n^*E\). Ce sont alors les composantes des systèmes simpliciaux de la catégorie dérivée de modules (définition 0D9N) associés à \(La^*K\) et \(La^*E\) (lemme 0D9P), où \(a : U_\etale \to X_\etale\) est comme dans la section 0DE7. Démontrons d’abord (2). D’après le lemme 0DHF, nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(K, E) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(La^*K, La^*E)\] La suite prend donc la forme suivante : \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(La^*K, La^*E) \to \Hom_{\mathcal{O}_{U_0}}(K_0, E_0) \to \Hom_{\mathcal{O}_{U_1}}(K_1, E_1)\] La première flèche est injective par le lemme 0D9R. L’image de cette flèche est le noyau de la seconde par le lemme 0D9S. Cela termine la preuve de (2). La partie (1) résulte de la partie (2) appliquée à \(K[i]\) et \(E\) pour \(i > 0\).

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(a : U \to X\) un hyperrecouvrement fppf. Supposons que soient donnés \(K_0 \in D_\QCoh(U_0)\) et un isomorphisme \[\alpha : L(f_{\delta_1^1})^*K_0 \longrightarrow L(f_{\delta_0^1})^*K_0\] satisfaisant à la condition de cocycle sur \(U_1\). Posons \(\tau^n_i : [0] \to [n]\), \(0 \mapsto i\) et posons \(K_n = Lf_{\tau^n_n}^*K_0\). Supposons \(\Ext^i_{\mathcal{O}_{U_n}}(K_n, K_n) = 0\) pour \(i < 0\). Il existe alors un objet \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et un isomorphisme \(La_0^*K \to K\) compatible avec \(\alpha\).

Démonstration

Les objets \(K_n\) forment les termes d’un système simplicial de la catégorie dérivée de modules, d’après le lemme 0GMF. On obtient alors un objet \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{U_\etale})\) tel que \((K_n, K_\varphi)\) soit le système déduit de \(K'\); voir le lemme 0D9T. Enfin, appliquons le lemme 0DHF pour voir que \(K' = La^*K\) pour un certain \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ce qui conclut.

Hyperrecouvrements propres d’espaces algébriques

Cette section est l’analogue de la section 09XA pour le cas des espaces algébriques. Le lecteur qui le souhaite peut remplacer partout « espace algébrique » par « schéma » et obtenir des résultats également valables. Cela présente l’avantage de remplacer les références à Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGS par des références à Cohomologie étale, section 0DDV.

Nous fixons un schéma de base \(S\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Supposons que nous ayons une augmentation \[a : U \to X\] Voir la section 0DE7. On dit que \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\) si

1. \(U_0 \to X\) est propre et surjectif,

2. \(U_1 \to U_0 \times_X U_0\) est propre et surjectif,

3. \(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) est propre et surjectif pour \(n \geq 1\).

La catégorie des espaces algébriques sur \(S\) admet toutes les limites finies; les cosquelettes utilisés dans la formulation ci-dessus existent donc. \[\fbox{Principe : les hyperrecouvrements propres permettent de calculer la cohomologie étale.}\] L’idée essentielle de la démonstration consiste à comparer les topologies ph et étale sur la catégorie \(\textit{Espaces}/S\). La topologie ph est en effet plus fine que la topologie étale, et l’on a : (a) tout morphisme propre surjectif définit un recouvrement ph, et (b) la cohomologie ph des faisceaux provenant par image inverse du petit site étale coïncide avec la cohomologie étale, comme on l’a vu dans Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGS.

Tous les résultats de cette section se généralisent au cas où \(U \to X\) n’est qu’un « hyperrecouvrement ph », c’est-à-dire un hyperrecouvrement de \(X\) dans le site \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) au sens de la section 09X8. Si nous avons besoin de ce résultat, nous en donnerons ici un énoncé précis et une démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}) \ar[r]_-h \ar[d]_{a_{ph}} & \Sh(U_\etale) \ar[d]^a \\ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph}) \ar[r]^-{h_{-1}} & \Sh(X_\etale) }\] où la flèche verticale gauche est définie dans la section 09X8 et la flèche verticale droite est définie dans la section 0DE7.

Démonstration

La notation \((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}\) indique que nous utilisons la construction de la section 09X8 pour le site \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) et l’objet simplicial \(U\) de ce site⁹. Nous emploierons les sites \(X_{spaces, \etale}\) et \(U_{spaces, \etale}\) pour les topoi du membre de droite; cela est permis, voir la discussion de la section 0DE7.

Observons que \((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}\) et \(U_{spaces, \etale}\) relèvent tous deux du cas (A) de la situation 09WE. Cela résulte immédiatement de la construction de \(U_\etale\) dans la section 0DE7 et découle du lemme 09WL pour \((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}\). Considérons ensuite les foncteurs \(U_{n, spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/U_n)_{ph}\), \(U \mapsto U/U_n\) et \(X_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_{ph}\), \(U \mapsto U/X\). Nous avons vu que ces foncteurs définissent des morphismes de sites dans Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGS où ils étaient notés \(a_{U_n} = \epsilon_{U_n} \circ \pi_{u_n}\) et \(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\). On obtient ainsi un morphisme de sites simpliciaux compatible avec les augmentations comme dans la remarque 0D98 et on peut appliquer le lemme 0D99 pour conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors \[a^{-1} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(U_\etale) \quad\text{et}\quad a^{-1} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(U_\etale)\] sont pleinement fidèles, d’image essentielle les faisceaux cartésiens et de quasi-inverse \(a_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Nous allons démontrer l’énoncé pour les faisceaux d’ensembles. Il découlera presque formellement de résultats déjà établis. Considérons le diagramme du lemme 0DHJ. Dans la preuve de ce lemme nous avons vu que \(h_{-1}\) est le morphisme \(a_X\) de Compléments sur la cohomologie des espaces, section 0DGS. Il résulte donc de Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGT que \((h_{-1})^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_{-1, *}\). Il en va de même pour les composantes \(h_n\) de \(h\). D’après la description des foncteurs \(h^{-1}\) et \(h_*\) donnée dans le lemme 0D96, on conclut que \(h^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(h_*\). Observons que \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) au sens de la section 09X8, puisqu’un morphisme propre surjectif définit un recouvrement ph d’après Topologies sur les espaces, lemme 0DFI. Par le lemme 0DA8 on voit que \(a_{ph}^{-1}\) est pleinement fidèle, de quasi-inverse \(a_{ph, *}\) et d’image essentielle les faisceaux cartésiens sur \((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}\). Une chasse formelle dans le diagramme montre alors que \(a^{-1}\) est pleinement fidèle.

Enfin, supposons que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau cartésien sur \(U_\etale\). Alors \(h^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau cartésien sur \((\textit{Espaces}/U)_{ph, total}\). Ainsi \(h^{-1}\mathcal{G} = a_{ph}^{-1}\mathcal{H}\) pour un certain faisceau \(\mathcal{H}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\). Calculons, en employant des notations quelque peu pédantes : \[\begin{align*} (h_{-1})^{-1}(a_*\mathcal{G}) & = (h_{-1})^{-1} \text{Eq}( \xymatrix{ a_{0, small, *}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{1, small, *}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ (h_{-1})^{-1}a_{0, small, *}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & (h_{-1})^{-1}a_{1, small, *}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ a_{0, big, ph, *}h_0^{-1}\mathcal{G}_0 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{1, big, ph, *}h_1^{-1}\mathcal{G}_1 } ) \\ & = \text{Eq}( \xymatrix{ a_{0, big, ph, *}(a_{0, big, ph})^{-1}\mathcal{H} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & a_{1, big, ph, *}(a_{1, big, ph})^{-1}\mathcal{H} } ) \\ & = a_{ph, *}a_{ph}^{-1}\mathcal{H} \\ & = \mathcal{H} \end{align*}\] La première égalité découle du lemme 0D70; la deuxième, de l’exactitude du foncteur \((h_{-1})^{-1}\); la troisième, du lemme de Compléments sur la cohomologie des espaces 0DGX (ici nous utilisons que \(a_0 : U_0 \to X\) et \(a_1: U_1 \to X\) sont propres); la quatrième, de \(a_{ph}^{-1}\mathcal{H} = h^{-1}\mathcal{G}\); la cinquième, du lemme 0D70; enfin la sixième a été établie ci-dessus. Puisque \(a_{ph}^{-1}\mathcal{H} = h^{-1}\mathcal{G}\), on en déduit que \(h^{-1}\mathcal{G} \cong h^{-1}a^{-1}a_*\mathcal{G}\), ce qui termine la preuve par la pleine fidélité de \(h^{-1}\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors pour \(K \in D^+(X_\etale)\) \[K \to Ra_*(a^{-1}K)\] est un isomorphisme. Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Considérons le diagramme du lemme 0DHJ. Observons que \(Rh_{n, *}h_n^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_{n, \etale})\) par Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGU. Par conséquent, \(Rh_*h^{-1}\) est le foncteur identité sur \(D^+(U_\etale)\) par le lemme 0D97. Nous avons \[\begin{align*} Ra_*(a^{-1}K) & = Ra_*Rh_*h^{-1}a^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}Ra_{ph, *}a_{ph}^{-1}(h_{-1})^{-1}K \\ & = Rh_{-1, *}(h_{-1})^{-1}K \\ & = K \end{align*}\] La première égalité découle de la discussion ci-dessus; la deuxième, de la commutativité du diagramme du lemme 0DAF; la troisième, du lemme le lemme 0D8N puisque \(U\) est un hyperrecouvrement de \(X\) dans \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) d’après Topologies sur les espaces, lemme 0DFI, et la dernière, du lemme déjà utilisé de Compléments sur la cohomologie des espaces, lemme 0DGU.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Si \(a : U \to X\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(U_\etale, a^{-1}K)\] pour \(K \in D^+(X_\etale)\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Cela découle du lemme 0DHL car \(R\Gamma(U_\etale, -) = R\Gamma(X_\etale, -) \circ Ra_*\) par Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(U_\etale)\) la sous-catégorie de Serre faible des faisceaux abéliens cartésiens. Si \(U\) est un hyperrecouvrement propre de \(X\), alors le foncteur \(a^{-1}\) définit une équivalence \[D^+(X_\etale) \longrightarrow D_\mathcal{A}^+(U_\etale)\] de quasi-inverse \(Ra_*\). Ici, \(a : \Sh(U_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est comme dans la section 0DE7.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible d’après le lemme 0D7J. L’équivalence est une conséquence formelle des résultats obtenus jusqu’à présent. On utilise les lemmes 0DHK et 0DHL, ainsi que le lemme de Cohomologie sur les sites 0D7U.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique simplicial sur \(S\). Soit \(a : U \to X\) une augmentation. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Notons \(\mathcal{F}_n\) son image inverse sur \(U_{n, \etale}\). Si \(U\) est un hyperrecouvrement ph de \(X\), alors il existe une suite spectrale canonique \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(U_p, \mathcal{F}_p)\] convergeant vers \(H^{p + q}_\etale(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Conséquence immédiate des lemmes 0DHM et 09WJ.