代数スタックの性質

序論

代数スタックの簡潔な導入については Algebraic Stacks, Section 026L を参照し、代数スタックの基礎事項については同章の一部を読まれたい。同章ではスキーム、代数空間、代数スタックを注意深く区別しているが、本章以降では、これらの概念を互いに置き換えて用いる慣例的な用語の濫用を行う。

本章の目的は、代数スタックのいくつかの基本概念と性質を導入することである。表現可能な対角射をもつ準分離代数スタックの場合の基本文献は [LM-B] である。

規約と用語の濫用

大 fppf サイト \(\Sch_{fppf}\) を一つ選ぶ。すべてのスキームは \(\Sch_{fppf}\) に含まれるものとする。また、考察するすべての環 \(A\) は \(\Spec(A)\) がこの大サイトの対象と（同型で）あるという性質をもつものとする。

さらに基底スキーム \(S\) を固定する。上の規約により、これは \(\Sch_{fppf}\) の対象である。絶対的な場合だけに関心がある読者は \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) と取ればよい。

代数スタックに関する規約は次のとおりである。

代数スタックとは、\(S\) 上の代数スタック、すなわちグルーポイドにファイバー化された圏 \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) であって、Algebraic Stacks, Definition 026O の条件を満たすものをいう。
\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が代数スタックの射であるとは、 \(S\) 上の代数スタックの \(1\)-射、すなわち \((\Sch/S)_{fppf}\) 上でグルーポイドにファイバー化された圏の \(1\)-射であることをいう。Algebraic Stacks, Definition 03YP を参照せよ。
\(2\)-射 \(\alpha : f \to g\) とは、\(S\) 上の代数スタックの \(2\)-圏における \(2\)-射をいう。Algebraic Stacks, Definition 03YP を参照せよ。
代数スタックの射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) および \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) が与えられたとき、用語を濫用して \(2\)-ファイバー積 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) を ファイバー積と呼ぶ。
代数スタック \(\mathcal{X}\) と \(\mathcal{Y}\) の積を \(\mathcal{X} \times_S \mathcal{Y}\) と書く。
二つの代数スタック \(\mathcal{X}\) と \(\mathcal{Y}\) がこの \(2\)-圏で同値であるとき、しばしば記法を濫用して両者は同型であるという。

代数空間に関する規約は次のとおりである。

\(X\) が代数空間であるとは、\(X\) が \(S\) 上の代数空間、すなわち \(X\) は \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の前層であって、Spaces, Definition 025Y の条件を満たすことをいう。
代数空間の射 \(f :X \to Y\) とは、Spaces, Definition 0260 で定義される \(S\) 上の代数空間の射をいう。
代数空間 \(X\) と、それが定める代数スタック \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\) とを区別しない。Algebraic Stacks, Lemma 03YS を参照せよ。
特に、\(X\) から代数スタック \(\mathcal{Y}\) への射 \(f : X \to \mathcal{Y}\) とは、代数スタックの射 \(f : \mathcal{S}_X \to \mathcal{Y}\) をいう。射 \(\mathcal{Y} \to X\) についても同様である。
さらに、代数スタック \(\mathcal{X}\) が与えられたとき、 \(\mathcal{X}\) は代数空間であるというのは、\(\mathcal{X}\) が代数空間によって表現可能であることをいう。Algebraic Stacks, Definition 04SV を参照せよ。
次の記法上の規約を用いる。代数スタックをローマン体の大文字（\(X, Y, Z, A, B, \ldots\) など）で表すとき、その惰性スタックは自明であり、したがってその代数スタックは代数空間であるものとする。Algebraic Stacks, Proposition 04SZ を参照せよ。

スキームに関する規約は次のとおりである。

\(X\) がスキームであるとは、\(X\) が \(S\) 上のスキーム、すなわち \(X\) は \((\Sch/S)_{fppf}\) の対象であることをいう。
スキームの射とは、\(S\) 上のスキームの射をいう。
スキーム \(X\) と、それが定める代数スタック \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\) とを区別しない。Algebraic Stacks, Lemma 03YS を参照せよ。
特に、スキーム \(X\) から代数スタック \(\mathcal{Y}\) への射 \(f : X \to \mathcal{Y}\) とは、代数スタックの射 \(f : \mathcal{S}_X \to \mathcal{Y}\) をいう。射 \(\mathcal{Y} \to X\) についても同様である。
さらに、代数スタック \(\mathcal{X}\) が与えられたとき、 \(\mathcal{X}\) はスキームであるというのは、\(\mathcal{X}\) が表現可能であることをいう。Algebraic Stacks, Section 02ZQ を参照せよ。

代数スタックの射に関する規約は次のとおりである。

代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が 表現可能、またはスキームによって表現可能であるとは、任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\) に対してファイバー積 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) がスキームであることをいう。 Algebraic Stacks, Section 04ST を参照せよ。
代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が 代数空間によって表現可能であるとは、任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\) に対してファイバー積 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) が代数空間であることをいう。 Algebraic Stacks, Definition 02ZW を参照せよ。この場合、始域が代数空間である射 \(Z \to \mathcal{Y}\) に対して \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は代数空間である。Algebraic Stacks, Lemma 0300 を参照せよ。
記法を濫用し、代数スタックの図式が代数スタックの \(2\)-圏において \(2\)-可換であるとき、その図式は可換であるということがある。

代数空間から代数スタックへの任意の射 \(X \to \mathcal{Y}\) は代数空間によって表現可能であることに注意する。Algebraic Stacks, Lemma 045G を参照せよ。以下ではこの基本的な結果を断りなく用いる。

代数空間によって表現可能な射の性質

代数スタックの（任意の）射の性質は独立した章で研究する。代数空間によって表現可能な射については、全射、滑らかな射、étale 射などの意味が既に分かっている。これは特に、代数空間から代数スタックへの射 \(X \to \mathcal{Y}\) に適用される。本節では、この仕組みを振り返り、適用できる性質を列挙し、いくつかの容易な補題を証明する。

最初の補題は、平坦、局所有限表示かつ全射な射による基底変換後に代数空間によって表現可能ならば、もとの射も代数空間によって表現可能であると述べる。

補題

代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を取る。 \(W\) を代数空間とし、\(W \to \mathcal{Y}\) は全射、局所有限表示かつ平坦であるとする。このとき次は同値である。

\(f\) は代数空間によって表現可能である。

\(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は代数空間である。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は Algebraic Stacks, Lemma 0300 である。逆に、\(W \to \mathcal{Y}\) は (2) におけるものとする。(1) を証明するには、 \(f\) がファイバー圏上忠実であることを示せば十分である。Algebraic Stacks, Lemma 04Y5 を参照せよ。仮定 (2) から、特に \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) は忠実である。したがって \(f\) の忠実性は Stacks, Lemma 06DV から従う。

\(P\) を、標的上 fppf 局所的で任意の基底変換によって保たれる代数空間の射の性質とする。\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\) に対して代数空間の射 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) が性質 \(P\) をもつとき、かつそのときに限り、\(f\) は性質 \(P\) をもつという。Algebraic Stacks, Definition 03YK を参照せよ。

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が代数空間によって表現可能で性質 \(P\) をもつならば、代数スタックの任意の射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) による基底変換 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) も性質 \(P\) をもつ。Algebraic Stacks, Lemmas 0302 および 045C を参照せよ。性質 \(P\) が合成によって保たれるならば、同じことが代数空間によって表現可能な代数スタックの射についても成り立つ。Algebraic Stacks, Lemmas 0301 および 045B を参照せよ。さらにこの場合、性質 \(\mathcal{P}\) をもつ、代数空間によって表現可能な射の積 \(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\) も性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。Algebraic Stacks, Lemma 045E を参照せよ。

最後に、\(P, P'\) を、標的上 fppf 局所的で任意の基底変換によって保たれる代数空間の射の二つの性質とし、任意の射 \(f\) に対して \(P(f) \Rightarrow P'(f)\) が成り立つとする。このとき、代数空間によって表現可能な代数スタックの射の対応する性質についても同じ含意が成り立つ。 Algebraic Stacks, Lemma 045F を参照せよ。以下および後続の各章では、この事実を断りなく用いる。

以上の議論は、代数空間の射の次の各性質に適用される。

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準コンパクト。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03HF および Descent on Spaces, Lemma 041L,
準分離。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03KL および Descent on Spaces, Lemma 041N,
普遍閉。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03IS および Descent on Spaces, Lemma 041O,
普遍開。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03Z3 および Descent on Spaces, Lemma 041P,
普遍的商写像。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 0CFR および Descent on Spaces, Lemma 0CFW,
普遍同相。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 0CFT および Descent on Spaces, Lemma 0CFX,
全射。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03MH および Descent on Spaces, Lemma 041Q,
普遍単射。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03MW および Descent on Spaces, Lemma 041R,
局所有限型。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03XH および Descent on Spaces, Lemma 041S,
局所有限表示。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03XR および Descent on Spaces, Lemma 041T,
有限型。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03XH および Descent on Spaces, Lemma 041U,
有限表示。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03XR および Descent on Spaces, Lemma 041V,
平坦。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03MO および Descent on Spaces, Lemma 041W,
開埋入。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Section 03HB および Descent on Spaces, Lemma 041X,
同型。次を参照せよ： Descent on Spaces, Lemma 041Y,
アフィン。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03WI および Descent on Spaces, Lemma 041Z,
閉埋入。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Section 03HB および Descent on Spaces, Lemma 0420,
分離。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03KL および Descent on Spaces, Lemma 0421,
固有。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 04WP および Descent on Spaces, Lemma 0422,
準アフィン。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03WO および Descent on Spaces, Lemma 0423,
整。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03ZS および Descent on Spaces, Lemma 0425,
有限。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03ZS および Descent on Spaces, Lemma 0426,
（局所）準有限。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03XL および Descent on Spaces, Lemma 0427,
syntomic。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03Z9 および Descent on Spaces, Lemma 0428,
滑らか。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03ZE および Descent on Spaces, Lemma 0429,
非分岐。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03ZJ および Descent on Spaces, Lemma 042A,
étale。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 0466 および Descent on Spaces, Lemma 042B,
有限局所自由。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03ZY および Descent on Spaces, Lemma 042C,
モノ射。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 042P および Descent on Spaces, Lemma 042D,
埋入。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Section 03HB および Descent on Spaces, Lemma 042U,
局所分離。次を参照せよ： Morphisms of Spaces, Lemma 03KL および Descent on Spaces, Lemma 042F,

補題

上のような代数空間の射の性質 \(P\) を取る。\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。このとき次は同値である。

\(f\) は \(P\) をもつ。

任意の代数空間 \(Z\) と射 \(Z \to \mathcal{Y}\) に対して、射 \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) は \(P\) をもつ。

証明

(2) \(\Rightarrow\) (1) は直ちに従う。(1) を仮定する。 \(Z \to \mathcal{Y}\) は (2) におけるものとする。スキーム \(U\) と全射 étale 射 \(U \to Z\) を選ぶ。仮定により、射 \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to U\) は \(P\) をもつ。一方、図式 \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ U \ar[r] & Z }\] は Cartesian であり、\(\{U \to Z\}\) は fppf 被覆なので、右の垂直射は \(P\) をもつ。

次の補題は、全射、平坦かつ局所有限表示な射による基底変換後に \(P\) を確認すれば十分であると述べる。

補題

上のような代数空間の射の性質 \(P\) を取る。\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。\(W\) を代数空間とし、 \(W \to \mathcal{Y}\) は全射、局所有限表示かつ平坦であるとする。 \(V = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) と置く。このとき \[(f\text{ has }P) \Leftrightarrow (\text{the projection }V \to W\text{ has }P).\]

証明

左から右への含意は Lemma 04XC から従う。 \(V \to W\) が \(P\) をもつと仮定する。\(T\) をスキームとし、 \(T \to \mathcal{Y}\) を射とする。代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] & T \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V \ar[d] \\ T & T \times_\mathcal{Y} W \ar[l] \ar[r] & W }\] を考える。各正方形は Cartesian である。左下の射は全射、平坦かつ局所有限表示なので、\(\{T \times_\mathcal{Y} V \to T\}\) は fppf 被覆である。したがって、右の垂直射が性質 \(P\) をもつことから、左の垂直射も性質 \(P\) をもつ。

補題

上のような代数空間の射の性質 \(P\) を取る。\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) を、代数空間によって表現可能、全射、平坦かつ局所有限表示な代数スタックの射とする。 \(\mathcal{W} = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) と置く。このとき \[(f\text{ has }P) \Leftrightarrow (\text{the projection }\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\text{ has }P).\]

証明

代数空間 \(W\) と、全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(W \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。上の議論により、合成 \(W \to \mathcal{Y}\) も全射、平坦かつ局所有限表示である。 \(V = W \times_\mathcal{Z} \mathcal{W} = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) と表す。Lemma 04XD により、\(f\) が \(\mathcal{P}\) をもつことと \(V \to W\) がもつことは同値であり、また \(\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\) が \(\mathcal{P}\) をもつことと \(V \to W\) がもつことも同値である。ゆえに補題が従う。

補題

上のような代数空間の射の性質 \(P\) を取る。

\(\tau \in \{\etale, smooth, syntomic, fppf\}\) とする。 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) および \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) を、代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。次を仮定する。

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) は全射であり、étale、滑らか、 syntomic、または平坦かつ局所有限表示である。

合成は \(P\) をもつ。

\(P\) は \(\tau\) 位相において始域上局所的である。

このとき \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) は性質 \(P\) をもつ。

証明

\(Z\) をスキームとし、\(Z \to \mathcal{Z}\) を射とする。 \(X = \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} Z\)、 \(Y = \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} Z\) と置く。(1) により \(\{X \to Y\}\) は代数空間の \(\tau\) 被覆であり、(2) により \(X \to Z\) は性質 \(P\) をもつ。(3) から \(Y \to Z\) も性質 \(P\) をもち、証明が完了する。

補題

\(g : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。\([U/R] \to \mathcal{X}\) を表示とする。 \(U' = U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\) および \(R' = R \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\) と置く。このとき、 \((U', R', s', t', c')\) の形の代数空間におけるグルーポイドと、表示 \([U'/R'] \to \mathcal{X}'\) が存在し、図式 \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[d]_{[\text{pr}]} \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[d]^g \\ [U/R] \ar[r] & \mathcal{X} }\] は \(2\)-可換である。ここで射 \([\text{pr}]\) はグルーポイドの射 \(\text{pr} : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) から得られる。

証明

\(U \to \mathcal{Y}\) は全射かつ滑らかなので（Algebraic Stacks, Lemma 04X0 を参照）、その基底変換 \(U' \to \mathcal{X}'\) も全射かつ滑らかである。したがって Algebraic Stacks, Lemma 04T5 により、滑らかなグルーポイド \((U', R', s', t', c')\) と表示 \([U'/R'] \to \mathcal{X}'\) を得るには \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) を示せば十分である。 \(R = V \times_\mathcal{Y} V\) であること（Groupoids in Spaces, Lemma 04M9 を参照）を用いると、これは \[R' = U \times_\mathcal{X} U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}' = (U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}') \times_{\mathcal{X}'} (U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}')\] から従う。Categories, Lemmas 02XC および 02XD を参照せよ。射影 \(U' \to U\) と \(R' \to R\) が所望のグルーポイドの射 \(\text{pr} : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) を与えることは明らかである。したがって Groupoids in Spaces, Lemma 046Q により、商スタックの射 \([\text{pr}]\) を得る。

図式が \(2\)-可換であることをさらに示す必要がある。図式 \[\xymatrix{ U' \ar[d]_{\text{pr}_U} \ar[r]_{f'} & \mathcal{X}' \ar[d]^g \\ U \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] は \(2\)-可換であることは明らかである。ここで \(\text{pr}_U : U' \to U\) は射影である。\(R = U \times_\mathcal{X} U\)、 \(t = \text{pr}_0\)、\(s = \text{pr}_1\) から得られる標準的な \(2\)-矢印 \(\tau : f \circ t \to f \circ s\) が \(\Mor(R, \mathcal{X})\) に存在する。同型 \(R' \to U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) を用いると、同様に同型 \(\tau' : f' \circ t' \to f' \circ s'\) を得る。ここで \(g \circ f' \circ t' = f \circ t \circ \text{pr}_R\) および \(g \circ f' \circ s' = f \circ s \circ \text{pr}_R\) であり、ここで \(\text{pr}_R : R' \to R\) は射影である。したがって [04Y7]\[\begin{equation} \tau \star \text{id}_{\text{pr}_R} = \text{id}_g \star \tau'. \end{equation}\] が成り立つかを問うことができる。ここで二つの主張を立てる：(1) Equation (04Y7) が成り立てば図式は \(2\)-可換であり、(2) Equation (04Y7) は実際に成り立つ。両主張の証明は省略する。ヒント： (1) は Algebraic Stacks, Lemma 04T4 における \(f = f_{can}\) と \(f' = f'_{can}\) の構成から従う。(2) は定義を注意深く追うことで従う。

注意

\(\mathcal{Y}\) を代数スタックとする。次の \(2\)-圏を考える。

対象は、代数空間によって表現可能な射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) である。

\(1\)-射 \((g, \beta) : (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}) \to (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y})\) は、射 \(g : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{X}_2\) と \(2\)-射 \(\beta : f_1 \to f_2 \circ g\) からなる。

\((g, \beta), (g', \beta') : (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}) \to (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y})\) の間の \(2\)-射は、条件 \((\text{id}_{f_2} \star \alpha) \circ \beta = \beta'\) を満たす \(2\)-射 \(\alpha : g \to g'\) である。

Topologies on Spaces, Section 03Y6 の記法との類比により、この \(2\)-圏を \(\textit{Spaces}/\mathcal{Y}\) と表す。この \(2\)-圏における射の圏 \[\Mor_{\textit{Spaces}/\mathcal{Y}}( (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}), (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}))\] はすべて setoid である。実際、\(2\)-射 \(\alpha\) は、\(\mathcal{X}_1\) の各対象 \(x_1\) に対して、\(\mathcal{X}_2\) の対応するファイバー圏における同型 \(\alpha_{x_1} : g(x_1) \longrightarrow g'(x_1)\) を割り当て、図式 \[\xymatrix{ & f_2(x_1) \ar[ld]_{\beta_{x_1}} \ar[rd]^{\beta'_{x_1}} \\ f_2(g(x_1)) \ar[rr]^{f_2(\alpha_{x_1})} & & f_2(g'(x_1)) }\] を可換にする規則である。しかし \(f_2\) は忠実なので（Algebraic Stacks, Lemma 04Y5 を参照）、\(\alpha_{x_1}\) が存在するならば一意である。言い換えると、\(2\)-圏 \(\textit{Spaces}/\mathcal{Y}\) は圏に非常に近い。すなわち \(1\)-射を \(1\)-射の同型類で置き換えれば圏を得る。以下では、この置換を断りなく行うことがある。

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代数スタックの点

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(K, L\) を二つの体とし、 \(p : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) および \(q : \Spec(L) \to \mathcal{X}\) を射とする。体 \(\Omega\) と \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r] \ar[d] & \Spec(L) \ar[d]^q \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X}. }\] が存在するとき、\(p\) と \(q\) は同値であるという。

補題

上の概念は、体のスペクトルから代数スタック \(\mathcal{X}\) への射の上に実際に同値関係を定める。

証明

この関係が反射的かつ対称的であることは明らかである。したがって推移的であることを証明すればよい。これは次に帰着する。図式 \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r]_b \ar[d]_a & \Spec(L) \ar[d]^q & \Spec(\Omega') \ar[l]^{b'} \ar[d]^{a'} \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X} & \Spec(K') \ar[l]_{p'} }\] が与えられ、両正方形が \(2\)-可換であるとき、\(p\) と \(p'\) が同値であることを示す必要がある。\(2\)-Yoneda 補題（Algebraic Stacks, Section 04SS を参照）により、射 \(p\)、\(p'\)、\(q\) は、それぞれ \(\Spec(K)\)、\(\Spec(K')\)、\(\Spec(L)\) 上の \(\mathcal{X}\) のファイバー圏における対象 \(x\)、\(x'\)、\(y\) によって与えられる。正方形の \(2\)-可換性は、\(\Spec(\Omega)\) と \(\Spec(\Omega')\) 上の \(\mathcal{X}\) のファイバー圏に同型 \(\alpha : a^*x \to b^*y\) および \(\alpha' : (a')^*x' \to (b')^*y\) が存在することを意味する。任意の体 \(\Omega''\) と、\(L\) 上で一致する埋め込み \(\Omega \to \Omega''\) および \(\Omega' \to \Omega''\) を選ぶ。このとき上の図式を \[\xymatrix{ & \Spec(\Omega'') \ar[ld]_c \ar[d]^{q'} \ar[rd]^{c'} \\ \Spec(\Omega) \ar[r]_b \ar[d]_a & \Spec(L) \ar[d]^q & \Spec(\Omega') \ar[l]^{b'} \ar[d]^{a'} \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X} & \Spec(K') \ar[l]_{p'} }\] へ拡張でき、各三角形は可換であり、 \[(q')^*(\alpha')^{-1} \circ (q')^*\alpha : (a \circ c)^*x \longrightarrow (a' \circ c')^*x'\] は \(\Spec(\Omega'')\) 上のファイバー圏における同型である。したがって所望のとおり \(p\) と \(p'\) は同値である。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X}\) の点とは、体のスペクトルから \(\mathcal{X}\) への射の同値類である。\(\mathcal{X}\) の点の集合を \(|\mathcal{X}|\) と表す。

これは代数空間の点の定義と一致する。Properties of Spaces, Definition 03BU を参照せよ。さらにスキームに対しては通常の点の概念を回復する。Properties of Spaces, Lemma 03BV を参照せよ。 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とすると、誘導される写像 \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) があり、代表元 \(x : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) を代表元 \(f \circ x : \Spec(K) \to \mathcal{Y}\) に送る。これは良定義である。実際、 \(2\)-同型な \(1\)-射は、\(1\)-射との前合成または後合成後も \(2\)-同型なままである。これは、与えられた \(1\)-射の恒等射を水平方向に前合成または後合成できるためである。これは任意の（狭義）\((2, 1)\)-圏で成り立つ。代数スタックの \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[d] \\ \mathcal{W} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] が与えられると、集合の図式 \[\xymatrix{ |\mathcal{X}| \ar[d] \ar[r] & |\mathcal{Y}| \ar[d] \\ |\mathcal{W}| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] は可換である。特に、\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が同値ならば \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) は全単射である。

補題

代数スタックのファイバー積 \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] が与えられたとする。このとき点集合の写像 \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |\mathcal{Z}| \times_{|\mathcal{Y}|} |\mathcal{X}|\] は全射である。

証明

体 \(K\)、\(L\) と射 \(\Spec(K) \to \mathcal{X}\)、 \(\Spec(L) \to \mathcal{Z}\) が与えられたとする。これらが \(|\mathcal{Y}|\) の元として一致するという仮定は、共通拡大 \(M/K\) と \(M/L\) が存在し、 \(\Spec(M) \to \Spec(K) \to \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) と \(\Spec(M) \to \Spec(L) \to \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) が \(2\)-同型であることを意味する。これはまさに射 \(\Spec(M) \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) が得られるための条件である。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。このとき次は同値である。

\(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) は全射である。

\(f\) は全射である（Section 04XB の意味で）。

証明

(1) を仮定する。\(T \to \mathcal{Y}\) を、始域がスキームである射とする。 (2) を証明するには、代数空間の射 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) が全射であることを示す必要がある。 Morphisms of Spaces, Definition 03ME により、これは \(|T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |T|\) が全射であることを示すという意味である。Lemma 04XH を適用すれば、これは (1) から従う。

逆に (2) を仮定する。\(y : \Spec(K) \to \mathcal{Y}\) を、体のスペクトルから \(\mathcal{Y}\) への射とする。仮定により、代数空間の射 \(\Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \to \Spec(K)\) は全射である。Morphisms of Spaces, Definition 03ME により、体拡大 \(K'/K\) と射 \(\Spec(K') \to \Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) が存在し、図式 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(K) \ar@{=}[r] & \Spec(K) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] の左の正方形は可換である。これは \(|X| \to |\mathcal{Y}|\) が全射であることを示す。

表示を用いて点集合を計算する方法を説明する補題を述べる。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X} = [U/R]\) を \(\mathcal{X}\) の表示とする。Algebraic Stacks, Definition 04TI を参照せよ。このとき \(|R| \to |U| \times |U|\) の像は同値関係であり、\(|\mathcal{X}|\) はこの同値関係による \(|U|\) の商である。

証明

仮定は、代数空間における滑らかなグルーポイド \((U, R, s, t, c)\) と同値 \(f : [U/R] \to \mathcal{X}\) があることを意味する。 \(\mathcal{X} = [U/R]\) と仮定してよい。誘導される射 \(p : U \to \mathcal{X}\) は滑らかかつ全射である。Algebraic Stacks, Lemma 04X0 を参照せよ。したがって Lemma 04XI により \(|U| \to |\mathcal{X}|\) は全射である。また \(R = U \times_\mathcal{X} U\) であることに注意する。Groupoids in Spaces, Lemma 04M9 を参照せよ。ゆえに Lemma 04XH により写像 \[|R| \longrightarrow |U| \times_{|\mathcal{X}|} |U|\] は全射である。したがって \(|R| \to |U| \times |U|\) の像は、\(u_1\) と \(u_2\) が \(|\mathcal{X}|\) において同じ像をもつような対 \((u_1, u_2) \in |U| \times |U|\) 全体にちょうど等しい。この二つの主張を合わせると補題の結論を得る。

注意

Lemma 04XJ の結果は次のように一般化できる。 \(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(U\) を代数空間とし、 \(f : U \to \mathcal{X}\) を全射な射とする（これは Section 04XB により意味をもつ）。 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) と置き、\((U, R, s, t, c)\) を代数空間におけるグルーポイドとし、\(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) を Algebraic Stacks, Lemma 04T4 で構成された標準射とする。このとき \(|R| \to |U| \times |U|\) の像は同値関係であり、\(|\mathcal{X}| = |U|/|R|\) である。 Lemma 04XJ の証明はそのまま通用する。（もちろん一般には \([U/R]\) は代数スタックではなく、また一般には \(f_{can}\) は同型ではない。）

補題

代数スタックの点集合上に、次の性質をもつ位相が一意に存在する。

代数スタックの任意の射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) に対して、写像 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) は連続である。

\(U\) が代数空間で、射 \(U \to \mathcal{X}\) が平坦かつ局所有限表示であるならば、位相空間の写像 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) は連続かつ開である。

証明

\(U\) が代数空間で、全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(p : U \to \mathcal{X}\) を選ぶ。代数スタックの定義によりそのような射は存在する。実際、滑らかな射は平坦かつ局所有限表示である（Morphisms of Spaces, Lemmas 04AJ および 04TA を参照）。 \(|\mathcal{X}|\) 上の位相を次の規則で定める。すなわち、 \(W \subset |\mathcal{X}|\) が開であることと \(|p|^{-1}(W)\) が \(|U|\) で開であることは同値とする。これが \(p\) の選択に依存しないことを示すため、代数空間から \(\mathcal{X}\) への別の全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(p' : U' \to \mathcal{X}\) を取る。\(U'' = U \times_\mathcal{X} U'\) と置けば、 \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] を得る。\(U \to \mathcal{X}\) と \(U' \to \mathcal{X}\) は全射、平坦かつ局所有限表示なので、Lemma 04XC により \(U'' \to U'\) と \(U'' \to U\) も全射、平坦かつ局所有限表示である。したがって写像 \(|U''| \to |U'|\) と \(|U''| \to |U|\) は連続、開かつ全射である。Morphisms of Spaces, Definition 03ME および Lemma 042S を参照せよ。これより、上の定義が \(p : U \to \mathcal{X}\) の選択に依存しないことは明らかである。

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。 Algebraic Stacks, Lemma 04T1 により、垂直射が全射かつ滑らかな \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_x \ar[r]_a & V \ar[d]^y \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] を取ることができる。付随する集合の可換図式 \[\xymatrix{ |U| \ar[d]_{|x|} \ar[r]_{|a|} & |V| \ar[d]^{|y|} \\ |\mathcal{X}| \ar[r]^{|f|} & |\mathcal{Y}| }\] を考える。\(W \subset |\mathcal{Y}|\) が開ならば、上の定義により、これは \(|y|^{-1}(W)\) が \(|V|\) で開であることにほかならない。\(|a|\) は連続なので、 \(|a|^{-1}|y|^{-1}(W) = |x|^{-1}|f|^{-1}(W)\) は \(|W|\) で開である。これは定義により \(|f|^{-1}(W)\) が \(|\mathcal{X}|\) で開であることを意味する。したがって \(|f|\) は連続である。

最後に、\(U\) が代数空間で \(U \to \mathcal{X}\) が平坦かつ局所有限表示ならば、 \(|U| \to |\mathcal{X}|\) が開であることを示さなければならない。 \(V\) を代数空間とし、\(V \to \mathcal{X}\) を全射、平坦かつ局所有限表示とする。可換図式 \[\xymatrix{ |U \times_\mathcal{X} V| \ar[r]_e \ar[rd]_f & |U| \times_{|\mathcal{X}|} |V| \ar[d]_c \ar[r]_d & |V| \ar[d]^b \\ & |U| \ar[r]^a & |\mathcal{X}| }\] を考える。射 \(U \times_\mathcal{X} V \to U\) は全射、すなわち \(f : |U \times_\mathcal{X} V| \to |U|\) は全射である。左上の水平射も全射である。Lemma 04XH を参照せよ。射 \(U \times_\mathcal{X} V \to V\) は平坦かつ局所有限表示なので、 \(d \circ e : |U \times_\mathcal{X} V| \to |V|\) は開である。Morphisms of Spaces, Lemma 042S を参照せよ。開集合 \(W \subset |U|\) を取る。上の性質から \(b^{-1}(a(W)) = (d \circ e)(f^{-1}(W))\) は開である。構成により、これは \(a(W)\) が開であることを意味し、所望の結論を得る。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X}\) の台位相空間とは、点集合 \(|\mathcal{X}|\) に Lemma 04XL で構成した位相を入れたものをいう。

\(\mathcal{X}\) が代数空間であるとき、この定義は \(|\mathcal{X}|\) 上の既存の位相と矛盾しない。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(|\mathcal{X}|\) の各点は準コンパクトな開近傍の基本系をもつ。特に \(|\mathcal{X}|\) は Topology, Definition 0068 の意味で局所準コンパクトである。

証明

これは、あるスキーム \(U\) と位相空間の全射、開かつ連続な写像 \(U \to |\mathcal{X}|\) が存在することから形式的に従う。実際、 \(U \to \mathcal{X}\) が全射かつ滑らかならば、Lemma 04XL により \(|U| \to |\mathcal{X}|\) は連続、全射かつ開である。

全射な射

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を、代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする。Section 04XB では、\(f\) が全射であることの意味をすでに定義した。Lemma 04XI で、これは \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) が全射であることと同値だとわかった。これにより、次の定義が可能となる。

定義

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。付随する位相空間の写像 \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) が全射であるとき、\(f\) は全射であるという。

いくつかの補題を挙げる。

補題

全射な射の合成は全射である。

証明

省略する。

補題

全射な射の基底変換は全射である。

証明

省略する。ヒント：Lemma 04XH を用いよ。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とし、 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの全射な射とする。\(f\) の基底変換 \(f' : \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) が全射ならば、\(f\) は全射である。

証明

Lemma 04XH から直ちに従う。

補題

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) を代数スタックの射とする。 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) が全射ならば、\(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) も全射である。

証明

直ちに従う。

準コンパクトな代数スタック

次の定義は Properties of Spaces, Lemma 03E4 により、代数空間に対する定義と同値である。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(|\mathcal{X}|\) が準コンパクトであるとき、かつそのときに限り、\(\mathcal{X}\) は準コンパクトであるという。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。次は同値である。

\(\mathcal{X}\) は準コンパクトである。

\(U\) がアフィンスキームであるような全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) が存在する。

\(U\) が準コンパクトなスキームであるような全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) が存在する。

\(U\) が準コンパクトな代数空間であるような全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) が存在する。

\(\mathcal{U}\) が準コンパクトであるような代数スタックの全射な射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) が存在する。

証明

Lemma 04XI を用いる。\(\mathcal{U}\) と \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) が (5) のとおりであると仮定する。 \(|\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) は全射かつ連続なので、 \(|\mathcal{X}|\) は準コンパクトである。よって (5) から (1) が従う。 (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5) は直ちに従う。 (1)、すなわち \(\mathcal{X}\) が準コンパクト、同じく \(|\mathcal{X}|\) が準コンパクトであると仮定する。スキーム \(U\) と全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ。\(|U| \to |\mathcal{X}|\) は開なので、 \(|U'| \to |X|\) が全射（かつ引き続き滑らか）となるような準コンパクト開集合 \(U' \subset U\) が存在する。有限アフィン開被覆 \(U' = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) を選ぶ。このとき \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \to \mathcal{X}\) は、始域がアフィンスキームである全射で滑らかな射である（Schemes, Lemma 01I5）。したがって (2) が成り立つ。

補題

準コンパクトな代数スタックの有限非交和は準コンパクトな代数スタックである。

証明

対応する位相的事実から明らかである。

スキームの性質によって定義される代数スタックの性質

スキームの滑らか位相で局所的な任意の性質は、次の補題を通して代数スタックの対応する性質を与える。任意のエタール被覆は滑らかな被覆でもあるから、スキームの滑らか位相で局所的な性質はエタール位相でも局所的であることに注意する。したがって、スキームの滑らか位相で局所的な性質 \(P\) に対し、代数空間が \(P\) をもつことの意味は既知である。Properties of Spaces, Section 03E5 を参照せよ。

補題

\(\mathcal{P}\) を、滑らか位相で局所的なスキームの性質とする。Descent, Definition 0348 を参照せよ。 \(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。次は同値である。

あるスキーム \(U\) とある全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) に対して、スキーム \(U\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

任意のスキーム \(U\) と任意の滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) に対して、スキーム \(U\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

ある代数空間 \(U\) とある全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) に対して、代数空間 \(U\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

任意の代数空間 \(U\) と任意の滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) に対して、代数空間 \(U\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

\(\mathcal{X}\) がスキーム \(U\) ならば、これは \(\mathcal{P}(U)\) と同値である。 \(\mathcal{X}\) が代数空間 \(X\) ならば、これは \(X\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつことと同値である。

証明

\(U\) を代数空間とし、\(U \to \mathcal{X}\) を全射かつ滑らかとする。 \(V\) を代数空間とし、\(V \to \mathcal{X}\) を滑らかな射とする。スキーム \(U'\)、\(V'\) と全射なエタール射 \(U' \to U\)、\(V' \to V\) を選ぶ。最後に、スキーム \(W\) と全射なエタール射 \(W \to V' \times_\mathcal{X} U'\) を選ぶ。このとき \(W \to V'\) と \(W \to U'\) は、代数空間のエタール射と滑らかな射の合成だから、スキームの滑らかな射である。Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX および 03ZD を参照せよ。さらに、 \(U' \to \mathcal{X}\) は全射なので \(W \to V'\) も全射である。よって \[\mathcal{P}(U) \Leftrightarrow \mathcal{P}(U') \Rightarrow \mathcal{P}(W) \Rightarrow \mathcal{P}(V') \Leftrightarrow \mathcal{P}(V)\] が成り立つ。ここで同値関係は代数空間の性質 \(\mathcal{P}\) の定義によるもので、二つの含意は Descent, Definition 0348 から得られる。これで (3) \(\Rightarrow\) (4) が証明された。

(2) \(\Rightarrow\) (1)、(1) \(\Rightarrow\) (3)、(4) \(\Rightarrow\) (2) は直ちに従う。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(\mathcal{P}\) を滑らか位相で局所的なスキームの性質とする。Lemma 04YF の同値な条件のいずれかが成り立つとき、\(\mathcal{X}\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつという。

注意

滑らか位相で局所的な性質を次に列挙する（fpqc、fppf およびシントミック位相は滑らか位相より強いことを念頭に置く）。

局所ネーター、 Descent, Lemma 034C,

Jacobson、 Descent, Lemma 0368,

局所ネーターかつ \((S_k)\)、 Descent, Lemma 036A,

Cohen–Macaulay、 Descent, Lemma 036B,

被約、 Descent, Lemma 034E,

正規、 Descent, Lemma 034F,

局所ネーターかつ \((R_k)\)、 Descent, Lemma 036C,

正則、 Descent, Lemma 036D,

Nagata、 Descent, Lemma 036E.

スキームの芽の滑らか位相で局所的な任意の性質は、代数スタックの対応する性質を与える。芽の滑らか位相で局所的な性質はエタール位相でも局所的であることに注意する。したがって、スキームの芽の滑らか位相で局所的な性質 \(P\) に対し、代数空間 \(X\) が \(x \in |X|\) において性質 \(P\) をもつことの意味は既知である。 Properties of Spaces, Section 04YE を参照せよ。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) を \(\mathcal{X}\) の点とする。\(\mathcal{P}\) を、滑らか位相で局所的なスキームの芽の性質とする。 Descent, Definition 04N1 を参照せよ。次は同値である。

\(U\) がスキームである任意の滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) と、 \(a(u) = x\) を満たす任意の \(u \in U\) に対し、\(\mathcal{P}(U, u)\) が成り立つ。

\(U\) がスキームであるある滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) と、 \(a(u) = x\) を満たすある \(u \in U\) に対し、\(\mathcal{P}(U, u)\) が成り立つ。

\(U\) が代数空間である任意の滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) と、 \(a(u) = x\) を満たす任意の \(u \in |U|\) に対し、代数空間 \(U\) は \(u\) において性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

\(U\) が代数空間であるある滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) と、 \(a(u) = x\) を満たすある \(u \in |U|\) に対し、代数空間 \(U\) は \(u\) において性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。

\(\mathcal{X}\) が表現可能ならば、これは \(\mathcal{P}(\mathcal{X}, x)\) と同値である。\(\mathcal{X}\) が代数空間ならば、これは \(\mathcal{X}\) が \(x\) において性質 \(\mathcal{P}\) をもつことと同値である。

証明

(3) のとおり \(a : U \to \mathcal{X}\) と \(u \in |U|\) を取る。また \(V\) を代数空間とする別の滑らかな射 \(b : V \to \mathcal{X}\) と、 \(b(v) = x\) を満たす \(v \in |V|\) を取る。スキーム \(U'\)、エタール射 \(U' \to U\) および \(u\) に写る \(u' \in U'\) を選ぶ。スキーム \(V'\)、エタール射 \(V' \to V\) および \(v\) に写る \(v' \in V'\) を選ぶ。Lemma 04XH により、\(u'\) と \(v'\) に写る点 \(\overline{w} \in |V' \times_\mathcal{X} U'|\) が存在する。スキーム \(W\) と全射なエタール射 \(W \to V' \times_\mathcal{X} U'\) を選ぶ。 \(\overline{w}\) に写る \(w \in |W|\) を選ぶことができる（Properties of Spaces, Lemma 03H5 を参照）。このとき \(W \to V'\) と \(W \to U'\) は、代数空間のエタール射と滑らかな射の合成だから、スキームの滑らかな射である。Morphisms of Spaces, Lemmas 04XX および 03ZD を参照せよ。したがって \[\mathcal{P}(U, u) \Leftrightarrow \mathcal{P}(U', u') \Leftrightarrow \mathcal{P}(W, w) \Leftrightarrow \mathcal{P}(V', v') \Leftrightarrow \mathcal{P}(V, v)\] 外側の二つの同値は Properties of Spaces, Definition 04RC により、残りの二つはスキームの芽の性質が滑らか位相で局所的であることの意味により成り立つ。これで (4) \(\Rightarrow\) (3) が証明された。

(1) \(\Rightarrow\) (2)、(2) \(\Rightarrow\) (4)、(3) \(\Rightarrow\) (1) は直ちに従う。

定義

\(\mathcal{P}\) を、滑らか位相で局所的なスキームの芽の性質とする。 \(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) とする。 Lemma 04YI の同値な条件のいずれかが成り立つとき、\(\mathcal{X}\) は\(x\) において性質 \(\mathcal{P}\) をもつ という。

代数スタックのモノ射

代数スタックのモノ射を次のように定義する。Lemma 04ZZ で、これが対応する \(2\)-圏論的概念と両立することを見る。

定義

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。\(f\) が代数空間によって表現可能で、Section 04XB の意味でモノ射であるとき、この射をモノ射という。

まず基本的な補題をいくつか示す。

補題

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とし、 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) をモノ射とする。このとき \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) はモノ射である。

証明

Section 04XB の一般的な議論から従う。

補題

代数スタックのモノ射の合成はモノ射である。

証明

Section 04XB の一般的な議論と Morphisms of Spaces, Lemma 042O から従う。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。次は同値である。

\(f\) はモノ射である。

\(f\) は充満忠実である。

対角射 \(\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は同値である。

代数空間 \(W\) と全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(W \to \mathcal{Y}\) が存在し、\(V = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W\) は代数空間で、射 \(V \to W\) は代数空間のモノ射である。

証明

(1) と (4) の同値性は Section 04XB の一般的な議論、特に Lemmas 04ZP および 04XD から従う。

(2) と (3) の同値性は Categories, Lemma 04Z7 である。

同値な条件 (2) と (3) を仮定する。このとき Algebraic Stacks, Lemma 04Y5 により、 \(f\) は代数空間によって表現可能である。さらに \(2\)-Yoneda 補題と充満忠実性を合わせると、任意のスキーム \(T\) に対して関手 \[\Mor(T, \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(T, \mathcal{Y})\] は充満忠実である。したがって射 \(y : T \to \mathcal{Y}\) が与えられると、 \(y \cong f \circ x\) を満たす射 \(x : T \to \mathcal{X}\) は、一意的な \(2\)-同型を除いて高々一つ存在する。特にスキームの射 \(h : T' \to T\) に対し、 \(h\) の持ち上げ \(\tilde h : T' \to T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は高々一つ存在する。ゆえに \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) は代数空間のモノ射であり、(1) が成り立つ。

最後に (1) を仮定する。このとき任意のスキーム \(T\) と射 \(y : T \to \mathcal{Y}\) に対し、ファイバー積 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は代数空間で、 \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) はモノ射である。したがって、 \(x : T \to \mathcal{X}\) が射で \(\alpha : f \circ x \to y\) が \(2\)-射であるような対 \((x, \alpha)\) は、一意的な同型を除いてちょうど一つ存在する。 \(2\)-Yoneda 補題を適用すれば、これはちょうど \(f\) が充満忠実であること、すなわち (2) が成り立つことをいう。

補題

代数スタックのモノ射が点集合上に誘導する写像は単射である。

証明

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックのモノ射とする。 \(x_i : \Spec(K_i) \to \mathcal{X}\) を、\(f \circ x_1\) と \(f \circ x_2\) が \(|\mathcal{Y}|\) の同じ元を定めるような射とする。定義を適用すると、共通拡大 \(\Omega\) と対応する射 \(c_i : \Spec(\Omega) \to \Spec(K_i)\)、および \(2\)-同型 \(\beta : f \circ x_1 \circ c_1 \to f \circ x_1 \circ c_2\) を得る。 Lemma 04ZZ により \(f\) は充満忠実なので、\(\beta\) を同型 \(\alpha : x_1 \circ c_1 \to x_1 \circ c_2\) に持ち上げることができる。したがって所望のとおり、\(x_1\) と \(x_2\) は \(|\mathcal{X}|\) の同じ点を定める。

補題

\(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) がモノ射ならば、標準図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}' }\] はファイバー積正方形である。

証明

Lemma 04ZZ により \(\mathcal{X} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} \mathcal{X}\) である。したがって Categories, Lemma 04Z1 を適用すれば結果を得る。

代数スタックの埋入

代数スタックの埋入を次のように定義する。

定義

埋入。

代数スタックの射が表現可能で、Section 04XB の意味で開埋入であるとき、その射を 開埋入という。

代数スタックの射が表現可能で、Section 04XB の意味で閉埋入であるとき、その射を 閉埋入という。

代数スタックの射が表現可能で、Section 04XB の意味で埋入であるとき、その射を埋入という。

これは、ここで埋入を考えるには最も便利な方法ではない。埋入を、代数空間によって表現可能で Section 04XB の意味で埋入である代数スタックの射と考える方が少し便利である。閉埋入と開埋入についても同様である。これは今定義した概念と明らかに同値なので、以下では断りなくこの特徴付けを用いる。この概念についていくつかの簡単な補題を証明する。

補題

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とし、 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) を（それぞれ閉、開）埋入とする。このとき \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は（それぞれ閉、開）埋入である。

証明

Section 04XB の一般的な議論から従う。

補題

代数スタックの埋入の合成は埋入である。閉埋入と開埋入についても同様である。

証明

Section 04XB の一般的な議論と Spaces, Lemma 02YV から従う。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。\(W\) を代数空間とし、\(W \to \mathcal{Y}\) を全射、平坦かつ局所有限表示な射とする。次は同値である。

\(f\) は（それぞれ開、閉）埋入である。

\(V = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は代数空間で、\(V \to W\) は（それぞれ開、閉）埋入である。

証明

Section 04XB の一般的な議論、特に Lemmas 04ZP および 04XD から従う。

補題

埋入はモノ射である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 042R を参照せよ。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が埋入ならば、 \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) は局所閉部分集合の上への同相写像である。\(f\) がそれぞれ閉埋入、開埋入ならば、\(|f|\) はそれぞれ閉、開である。

証明

省略する。

次の二つの補題は、表示を用いて埋入をどのように考えるかを説明する。

補題

\((U, R, s, t, c)\) を代数空間における滑らかなグルーポイドとし、 \(i : \mathcal{Z} \to [U/R]\) を埋入とする。このとき、\(R\)-不変な局所閉部分空間 \(Z \subset U\) と表示 \([Z/R_Z] \to \mathcal{Z}\) が存在する。ただし \(R_Z\) は \(R\) の \(Z\) への制限であり、図式 \[\xymatrix{ [Z/R_Z] \ar[dr] \ar[rr] & & \mathcal{Z} \ar[ld]^i \\ & [U/R] }\] は \(2\)-可換である。\(i\) が閉埋入（それぞれ開埋入）ならば、\(Z\) は \(U\) の閉部分空間（それぞれ開部分空間）である。

証明

Lemma 04Y6 により可換図式 \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[dr] \ar[rr] & & \mathcal{Z} \ar[ld] \\ & [U/R] }\] を得る。ここで \(U' = \mathcal{Z} \times_{[U/R]} U\) かつ \(R' = \mathcal{Z} \times_{[U/R]} R\) である。 \(\mathcal{Z} \to [U/R]\) は埋入なので、\(U' \to U\) は代数空間の埋入である。 \(U' \to U\) が局所閉部分空間 \(Z \subset U\) を経由し、同型 \(U' \to Z\) を誘導するように \(Z\) を取る。\(R'\) の構成から \(R' = U' \times_{U, t} R = R \times_{s, U} U'\) は明らかである。これより \(Z \cong U'\) は \(R\)-不変であり、\(R' \to R\) の像は \(R'\) を \(R\) の \(Z\) への制限 \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\) と同一視する。よって補題が成り立つ。

補題

\((U, R, s, t, c)\) を代数空間における滑らかなグルーポイドとする。 \(\mathcal{X} = [U/R]\) を付随する代数スタックとする。Algebraic Stacks, Theorem 04TK を参照せよ。\(Z \subset U\) を \(R\)-不変な局所閉部分空間とする。このとき \[[Z/R_Z] \longrightarrow [U/R]\] は代数スタックの埋入である。ただし \(R_Z\) は \(R\) の \(Z\) への制限である。 \(Z \subset U\) が開（それぞれ閉）ならば、この射は代数スタックの開埋入（それぞれ閉埋入）である。

証明

Groupoids in Spaces, Definition 044F（定義に続く議論も参照）により、 \(R\) の局所閉部分空間として \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\) であることを思い出す。したがって二つの射 \(R_Z \to Z\) は \(s\) と \(t\) の基底変換として滑らかである。よって \((Z, R_Z, s|_{R_Z}, t|_{R_Z}, c|_{R_Z \times_{s, Z, t} R_Z})\) は代数空間における滑らかなグルーポイドであり、\([Z/R_Z]\) は代数スタックである。Algebraic Stacks, Theorem 04TK を参照せよ。 Groupoids in Spaces, Lemma 04ZN の仮定はすべて満たされ、 \(2\)-ファイバー積正方形 \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] & [Z/R_Z] \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] }\] を得る。これと Lemma 04ZP から \([Z/R_Z] \to [U/R]\) は代数空間によって表現可能である。さらに Lemma 04XD から、右の垂直射が埋入（それぞれ閉埋入、開埋入）であることと、左の垂直射がそうであることは同値である。

開、閉、および局所閉部分スタックを次のように定義できる。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。

\(\mathcal{X}\) の開部分スタックとは、\(\mathcal{X}'\) が代数スタックで \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) が開埋入であるような厳密充満部分圏 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) をいう。

\(\mathcal{X}\) の閉部分スタックとは、\(\mathcal{X}'\) が代数スタックで \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) が閉埋入であるような厳密充満部分圏 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) をいう。

\(\mathcal{X}\) の局所閉部分スタックとは、\(\mathcal{X}'\) が代数スタックで \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) が埋入であるような厳密充満部分圏 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) をいう。

この定義は注意して用いる必要がある。実際、 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が代数スタックの同値で、 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) が開部分スタックであっても、部分圏 \(f(\mathcal{X}')\) が \(\mathcal{Y}\) の開部分スタックであるとは限らない。問題は、それが厳密充満部分圏でない可能性があることだが、問題はそれだけでもある。形式的な主張は次のとおりである。

補題

任意の埋入 \(i : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) に対し、一意的な局所閉部分スタック \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) が存在し、\(i\) は同値 \(i' : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}'\) と包含射 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) の合成として分解する。\(i\) が閉埋入（それぞれ開埋入）ならば、\(\mathcal{X}'\) は \(\mathcal{X}\) の閉部分スタック（それぞれ開部分スタック）である。

証明

省略する。

補題

\([U/R] \to \mathcal{X}\) を代数スタックの表示とする。標準全単射 \[\text{局所閉部分スタック }\mathcal{Z}\text{（}\mathcal{X}\text{ 内）} \longrightarrow R\text{-不変な局所閉部分空間 }Z\text{（}U\text{ 内）}\] があり、\(\mathcal{Z}\) を \(U \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}\) に写す。さらに、代数スタックの射 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) が \(\mathcal{Z}\) を経由することと、\(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) が \(Z\) を経由することは同値である。閉部分スタックと開部分スタックについても同様である。

証明

Lemmas 0505 および 04YN により、この写像は全単射である。 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) が \(\mathcal{Z}\) を経由するならば、もちろん基底変換 \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) は \(Z\) を経由する。逆に、 \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) が \(Z\) を経由するような射 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) があると仮定する。任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\)、すなわち \(T\) 上の \(\mathcal{Y}\) のファイバー圏の対象 \(y\) に対し、\(y\) が実際に \(T\) 上の \(\mathcal{Z}\) のファイバー圏に属することを示す。ファイバー積 \(T \times_\mathcal{X} U\) は代数空間で、 \(T \times_\mathcal{X} U \to T\) は全射で滑らかな射である。したがって、各 \(i\) に対して \(T_i \to T\) が \(T \times_\mathcal{X} U \to T\) を経由するような fppf 被覆 \(\{T_i \to T\}\) がある。このとき \(T_i \to \mathcal{X}\) は \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U\) を経由し、したがって \(Z \subset U\) を経由する。ゆえに \(y|_{T_i}\) は \(\mathcal{Z}\) の対象である（\(Z\) は \(\mathcal{X}\) 上で \(U\) と \(\mathcal{Z}\) のファイバー積だからである）。 \(\mathcal{Z}\) は厳密充満部分スタックなので、所望のとおり \(y\) は \(\mathcal{Z}\) の対象である。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。規則 \(\mathcal{U} \mapsto |\mathcal{U}|\) は、\(\mathcal{X}\) の開部分スタックと \(|\mathcal{X}|\) の開部分集合との間に、包含関係を保つ全単射を定める。

証明

表示 \([U/R] \to \mathcal{X}\) を選ぶ。Algebraic Stacks, Lemma 04T5 を参照せよ。Lemma 0507 により、開部分スタックは \(U\) の \(R\)-不変な開部分スキームに対応する。一方、Lemmas 04XJ および 04XL により、後者は \(|\mathcal{X}|\) の開部分集合に全単射で対応する。

補題

\(\mathcal X\) を代数スタックとし、\(U\) を代数空間、\(U \to \mathcal X\) を全射で滑らかな射とする。開埋入 \(V \hookrightarrow U\) に対し、代数スタック \(\mathcal Y\)、開埋入 \(\mathcal Y \to \mathcal X\) および全射で滑らかな射 \(V \to \mathcal Y\) が存在する。

証明

\((\Sch/S)_{fppf}\) の対象 \(T\) 上のファイバー圏 \(\mathcal{Y}_T\) を、射影 \(V \times_{\mathcal X, y} T \to T\) が全射であるようなすべての \(y \in \Ob(\mathcal{X}_T)\) からなる \(\mathcal{X}_T\) の充満部分圏として、グルーポイドにファイバー化された圏 \(\mathcal Y\) を定義する。任意の射 \(x : T \to \mathcal X\) に対し、\(2\)-ファイバー積 \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) の \(T'\) 上のファイバー圏は、 \(V \times_{\mathcal X, y} T' \to T'\) が全射であるような三つ組 \((f : T' \to T, y \in \mathcal{X}_{T'}, f^*x \simeq y)\) からなる。 \(\mathcal Y \to \mathcal X\) は忠実なので、 \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) はセトイドにファイバー化されていることに注意する（Stacks, Lemma 05UI を参照）。同型 \(f^*x \simeq y\) は図式 \[\xymatrix{ V \times_{\mathcal X, y} T' \ar[d] \ar[r] & V \times_{\mathcal X, x} T \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ T' \ar[r]^f & T \ar[r]^x & \mathcal X }\] を与え、両正方形はデカルト的である。射 \(V \times_{\mathcal X, x} T \to T\) は基底変換により滑らかで、したがって開である。その像を \(T_0 \subset T\) とする。デカルト正方形から、 \(V \times_{\mathcal X, y} T' \to T'\) が全射であることと \(f\) が \(T_0\) に値を取ることは同値だとわかる。したがって \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) は \(T_0\) によって表現可能であり、包含 \(\mathcal Y \to \mathcal X\) は開埋入である。Algebraic Stacks, Lemma 05UN により、\(\mathcal{Y}\) は代数スタックである。最後に射 \(V \to \mathcal X\) を \(g\) と書くと、 \(V \times_{\mathcal X} V \to V\) は全射である（対角射が切断を与える）。したがって \(g\) は \(\mathcal{Y}_V \to \mathcal{X}_V\) の像に属する。すなわち、可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d]^{g'} & U \ar[d] \\ \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{X} }\] に収まる射 \(g' : V \to \mathcal{Y}\) を得る。 \(V \times_{g, \mathcal X} \mathcal Y \to V\) はモノ射であり、\((1, g')\) が切断を定めるので、実際には同型である。したがって \(g' : V \to \mathcal Y\) は滑らかな射である。実際、滑らかな射 \(g : V \to \mathcal{X}\) の基底変換だからである。\(\mathcal{Y}\) の構成により全射でもあり、補題の証明が完了する。

補題

\(\mathcal X\) を代数スタックとし、\(\mathcal{X}_i \subset \mathcal X\) を \(i \in I\) で添字付けられた開部分スタックの族とする。このとき、 \(\mathcal{X}_i\) が開部分スタックとして被覆する開部分スタックが存在し、これを \(\bigcup_{i\in I} \mathcal{X}_i \subset \mathcal X\) と書く。

証明

\((\Sch/S)_{fppf}\) の対象 \(T\) 上のファイバー圏を、射 \(\coprod_{i \in I} (\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T) \to T\) が全射となるすべての \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\) からなる \(\mathcal{X}_T\) の充満部分圏として、ファイバー部分圏 \(\mathcal{X}' = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\) を定義する。\(x_i \in \Ob((\mathcal{X}_i)_T)\) とする。このとき \((x_i, 1)\) は \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T \to T\) の切断を与えるので、同型を得る。したがって \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal{X}'\) は充満部分圏である。次に \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\) とする。このとき \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T\) は開部分スキーム \(T_i \subset T\) により表現可能である。\(2\)-ファイバー積 \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal X} T\) の \(T'\) 上のファイバーは、 \(\coprod (\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X, y} T') \to T'\) が全射となる \((y \in \mathcal{X}_{T'}, f : T' \to T, f^*x \simeq y)\) からなる。同型 \(f^*x \simeq y\) は同型 \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X, y} T' \simeq T_i \times_T T'\) を誘導する。このとき \(T_i \times_T T'\) が \(T'\) を被覆することと、\(f\) が \(\bigcup T_i\) に値を取ることは同値である。したがって図式 \[\xymatrix{ T_i \ar[r] \ar[d] & \bigcup T_i \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ \mathcal{X}_i \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X} }\] を得て、両正方形はデカルト的である。Algebraic Stacks, Lemma 05UN により、 \(\mathcal{X'} \subset \mathcal{X}\) は代数的で、開部分スタックである。また、上のデカルト正方形から射 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}'\) についても明らかであり、これで補題の証明が完了する。

補題

\(\mathcal X\) を代数スタックとし、\(\mathcal X' \subset \mathcal X\) を準コンパクトな開部分スタックとする。\(i \in I\) で添字付けられた開部分スタック \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal X\) の族があり、 \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\) と仮定する。ただし和は Lemma 05UQ のように定義する。このとき、 \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\) を満たす有限部分集合 \(I' \subset I\) が存在する。

証明

\(\mathcal X\) は代数的なので、スキーム \(U\) と全射で滑らかな射 \(U \to \mathcal X\) が存在する。\(U_i \subset U\) を \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} U\) を表現する開部分スキーム、 \(U' \subset U\) を \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal X} U\) を表現する開部分スキームとする。仮定により \(U'\subset \bigcup_{i\in I} U_i\) である。Lemma 04YC の証明から、\(V \to \mathcal{X}'\) が全射で滑らかとなるような準コンパクト開集合 \(V \subset U'\) がある。したがって \(V \subset \bigcup_{i \in I'} U_i\) を満たす有限部分集合 \(I' \subset I\) が存在する。\(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\) を主張する。 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) に対し \(x \in \Ob(\mathcal{X}'_T)\) を取る。 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) はモノ射なので、デカルト正方形 \[\xymatrix{ V \times_\mathcal{X} T \ar[r] \ar[d] & T \ar[d]^x \ar@{=}[r] & T \ar[d]^x \\ V \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal X }\] を得る。基底変換により \(V \times_{\mathcal X} T \to T\) は全射である。したがって \(\bigcup_{i \in I'} U_i \times_{\mathcal X} T \to T\) も全射である。 \(T_i \subset T\) を \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T\) を表現する開部分スキームとする。形式的な議論により、デカルト正方形 \[\xymatrix{ U_i \times_{\mathcal{X}_i} T_i \ar[r] \ar[d] & U \times_{\mathcal X} T \ar[d] \\ T_i \ar[r] & T }\] を得て、垂直射は基底変換により全射である。 \(U_i \times_{\mathcal{X}_i} T_i \simeq U_i \times_{\mathcal X} T\) なので、 \(\bigcup_{i \in I'} T_i = T\) が従う。したがって和の定義により \(x\) は \((\bigcup_{i\in I'} \mathcal{X}_i)_T\) の対象である。包含 \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\) は自動的に開部分スタックであることに注意する。

補題

\(\mathcal X\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X}_i\)、\(i \in I\) を \(\mathcal{X}\) の開部分スタックの集合とする。次を仮定する。

\(\mathcal{X} = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\)。

各 \(\mathcal{X}_i\) は代数空間である。

このとき \(\mathcal{X}\) は代数空間である。

証明

射 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) と射 \(\text{id} : \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) に Stacks, Lemma 05W9 を適用すると、\(\mathcal{X}\) はセトイドのスタックである。したがって \(\mathcal{X}\) は代数空間である。 Algebraic Stacks, Proposition 04SZ を参照せよ。

補題

\(\mathcal X\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X}_i\)、\(i \in I\) を \(\mathcal{X}\) の開部分スタックの集合とする。次を仮定する。

\(\mathcal{X} = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\)。

各 \(\mathcal{X}_i\) はスキームである。

このとき \(\mathcal{X}\) はスキームである。

証明

Lemma 05WE により \(\mathcal{X}\) は代数空間である。任意の代数空間は、スキームである最大の開部分空間をもつ。 Properties of Spaces, Lemma 03JH を参照せよ。したがって \(\mathcal{X}\) はスキームである。

次の補題は More on Groupoids, Lemma 04LH の類似である。

補題

\(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) を代数空間の射の性質とする。次を仮定する。

\(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) は標的上 fppf 局所的で、任意の基底変換によって保たれる。

\(\text{smooth} \Rightarrow \mathcal{R}\) である。

\(\mathcal{Q}\) をもつ任意の射 \(f : X \to Y\) に対し、 \(f|_{W(\mathcal{P}, f)}\) が \(\mathcal{P}\) をもつような最大の開部分空間 \(W(\mathcal{P}, f) \subset X\) が存在する。

\(\mathcal{Q}\) をもつ任意の射 \(f : X \to Y\) と、\(\mathcal{R}\) をもつ任意の射 \(Y' \to Y\) に対し、 \(Y' \times_Y W(\mathcal{P}, f) = W(\mathcal{P}, f')\) が成り立つ。ただし \(f' : X_{Y'} \to Y'\) は \(f\) の基底変換である。

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を、代数空間によって表現可能な代数スタックの射とし、\(f\) は \(\mathcal{Q}\) をもつと仮定する。このとき

\(f|_{\mathcal{X}'}\) が \(\mathcal{P}\) をもつような最大の開部分スタック \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) が存在する。

\(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) が、代数空間によって表現可能で \(\mathcal{R}\) をもつ代数スタックの射ならば、 \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}'\) は、基底変換 \(\text{id}_\mathcal{Z} \times f\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつような \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) の最大の開部分スタックである。

証明

スキーム \(V\) と全射で滑らかな射 \(V \to \mathcal{Y}\) を選ぶ。 \(U = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) と置き、\(f' : U \to V\) を \(f\) の基底変換とする。代数空間の射 \(f' : U \to V\) は性質 \(\mathcal{Q}\) をもつ。したがって仮定 (3) により開集合 \(W(\mathcal{P}, f') \subset U\) を得る。ここで \(U \times_\mathcal{X} U = (V \times_\mathcal{Y} V) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) であるから、射 \(f'' : U \times_\mathcal{X} U \to V \times_\mathcal{Y} V\) はいずれの射影 \(V \times_\mathcal{Y} V \to V\) によっても \(f\) の基底変換である。 \(V\) の選び方により、これらの射影は滑らかであり、したがって (2) により性質 \(\mathcal{R}\) をもつ。よって (4) により、二つの射影 \(\text{pr}_i : U \times_\mathcal{X} U \to U\) による \(W(\mathcal{P}, f')\) の逆像は一致する。言い換えれば、 \(W(\mathcal{P}, f')\) は \(U\) の \(R\)-不変な部分空間である（ここで \(R = U \times_\mathcal{X} U\)）。Lemma 0505 を通して \(W(\mathcal{P}, f)\) に対応する \(\mathcal{X}\) の開部分スタックを \(\mathcal{X}'\) とする。構成により \(W(\mathcal{P}, f') = \mathcal{X}' \times_\mathcal{Y} V\) なので、Lemma 04XD により \(f|_{\mathcal{X}'}\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。また、\(W(\mathcal{P}, f)\) に同じ最大性が成り立つので、 \(\mathcal{X}'\) は \(f|_{\mathcal{X}'}\) が \(\mathcal{P}\) をもつような最大の開部分スタックである。これで (A) が証明された。

最後に、\(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) が代数空間によって表現可能で性質 \(\mathcal{R}\) をもつ代数スタックの射ならば、 \(T = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) と置く。このとき \(T \to V\) は性質 \(\mathcal{R}\) をもつ代数空間の射である。\(f'_T : T \times_V U \to T\) を \(f'\) の基底変換とする。再び (4) により、\(W(\mathcal{P}, f'_T)\) は \(T \times_V U\) における \(W(\mathcal{P}, f)\) の逆像である。これから (B) が従う。いくつかの詳細は省略する。

注意

警告：Lemma 06M3 は注意して用いなければならない。例えば、 \(\mathcal{P}=\)「平坦」、\(\mathcal{Q}=\)「空」、 \(\mathcal{R}=\)「平坦かつ局所有限表示」に適用できる。しかし代数空間の射 \(f : X \to Y\) が与えられたとき、\(f|_W\) が平坦となる最大の開部分空間 \(W \subset X\) は、\(f\) が平坦である点の集合ではない！

注意

Remark 06M4 の警告にもかかわらず、Lemma 06M3 を曖昧さなく用いられる場合がある。それらを列挙する。各場合に仮定 (1) と (2) の確認は省略し、(3) と (4) を含意する文献を示す。

\(\mathcal{Q} =\)「局所有限型」、\(\mathcal{R} = \emptyset\)、 \(\mathcal{P} =\)「相対次元 \(\leq d\)」。Morphisms of Spaces, Definition 06LR および Lemmas 04NT および 04NS を参照せよ。

\(\mathcal{Q} =\)「局所有限型」、\(\mathcal{R} = \emptyset\)、 \(\mathcal{P} =\)「局所準有限」。これは前項の \(d = 0\) の場合である。Morphisms of Spaces, Lemma 04NV を参照せよ。一方、性質 (3) と (4) は Morphisms of Spaces, Lemma 04NW に明記されている。

\(\mathcal{Q} =\)「局所有限型」、\(\mathcal{R} = \emptyset\)、 \(\mathcal{P} =\)「不分岐」。これは Morphisms of Spaces, Lemma 05W2 である。

\(\mathcal{Q} =\)「局所有限表示」、 \(\mathcal{R} =\)「平坦かつ局所有限表示」、\(\mathcal{P} =\)「平坦」。More on Morphisms of Spaces, Theorem 05WV および Lemma 05WW を参照せよ。ここでは、 \(f\) が \(\mathcal{Q}\) をもつときに限ってこの開集合を考えるため、 \(W(\mathcal{P}, f)\) は常に射 \(f\) が平坦である点の集合にちょうど等しいことに注意する（同所を参照）。

\(\mathcal{Q} =\)「局所有限表示」、 \(\mathcal{R} =\)「平坦かつ局所有限表示」、\(\mathcal{P}=\)「エタール」。不分岐で平坦かつ局所有限表示な射はエタールなので、(06M8) と (06M9) を組み合わせれば従う。Morphisms of Spaces, Lemma 06LU を参照せよ。

必要に応じてここに追加する（More on Groupoids, Remark 047W のより長い一覧と比較せよ）。

被約代数スタック

被約代数スタックは Section 04YE ですでに定義した。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(T \subset |\mathcal{X}|\) を閉部分集合とする。次の性質をもつ閉部分スタック \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) が一意に存在する。 (a) \(|\mathcal{Z}| = T\) であり、(b) \(\mathcal{Z}\) は被約である。

証明

\(U\) を代数空間とし、\(U \to \mathcal{X}\) を全射で滑らかな射とする。 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) と置けば、表示 \([U/R] \to \mathcal{X}\) がある。 Algebraic Stacks, Lemma 04T5 を参照せよ。通常どおり二つの滑らかな射影を \(s, t : R \to U\) と書く。Lemma 04XJ により、\(T\) は \(|s|^{-1}(T') = |t|^{-1}(T')\) を満たす閉部分集合 \(T' \subset |U|\) に対応する。 \(Z \subset U\) を \(T'\) 上の誘導被約代数空間構造とする。Properties of Spaces, Definition 047X を参照せよ。ファイバー積 \(Z \times_{U, t} R\) と \(R \times_{s, U} Z\) は \(R\) の閉部分空間である（Spaces, Lemma 02YW）。射影 \(Z \times_{U, t} R \to Z\) と \(R \times_{s, U} Z \to Z\) は Morphisms of Spaces, Lemma 03ZE により滑らかである。 \(Z\) は被約なので、Remark 04YH により \(Z \times_{U, t} R\) と \(R \times_{s, U} Z\) は被約である。また \[|Z \times_{U, t} R| = |t|^{-1}(T') = |s|^{-1}(T') = R \times_{s, U} Z\] なので、Properties of Spaces, Lemma 03IQ の一意性から \(Z \times_{U, t} R = R \times_{s, U} Z\) が従う。したがって \(Z\) は \(U\) の \(R\)-不変な閉部分空間である。Lemma 0507 の対応により、\(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\) を満たす閉部分スタック \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) を得る。このとき \([Z/R_Z] \to \mathcal{Z}\) は表示である（Lemma 0505）。さらに \(|\mathcal{Z}| = |Z|/|R_Z| = |T'|/\sim\) は与えられた閉部分集合 \(T\) である。一意性の証明は省略する。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする。\(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) が閉部分スタックで、\(\mathcal{X}\) が被約かつ \(|\mathcal{X}'| = |\mathcal{X}|\) ならば、\(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\) である。

証明

\(U\) がスキームである表示 \([U/R] \to \mathcal{X}\) を選ぶ。\(\mathcal{X}\) は被約なので、被約代数スタックの定義により \(U\) は被約である。Lemma 0507 により、\(\mathcal{X}'\) は \(R\)-不変な閉部分スキーム \(Z \subset U\) に対応する。一方 \(|Z| \subset |U|\) は \(|\mathcal{X}'|\) の逆像であるから、\(|Z| = |U|\) である。よって \(Z\) は \(U\) と同じ台点集合をもつ閉部分スキームである。Schemes, Lemma 0356 により、写像 \(\text{id}_U : U \to U\) は \(Z \to U\) を経由する。したがって \(Z = U\)、すなわち \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\) である。

補題

\(\mathcal{X}\)、\(\mathcal{Y}\) を代数スタックとする。 \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) を閉部分スタックとし、\(\mathcal{Y}\) は被約と仮定する。射 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) が \(\mathcal{Z}\) を経由することと \(f(|\mathcal{Y}|) \subset |\mathcal{Z}|\) は同値である。

証明

\(f(|\mathcal{Y}|) \subset |\mathcal{Z}|\) と仮定し、 \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) を考える。 \(\mathcal{Y}'\) を \(\mathcal{Y}\) の閉部分スタックとして、同値 \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}'\) がある。Lemmas 0501 および 0506 を参照せよ。 Lemmas 04XH、 0500 および 0504 を用いると \(|\mathcal{Y}'| = |\mathcal{Y}|\) がわかる。したがって補題は Lemma 050A に帰着された。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(Z \subset |\mathcal{X}|\) を閉部分集合とする。 \(Z\) 上の代数スタック構造とは、\(|\mathcal{Z}|\) が \(Z\) に等しい \(\mathcal{X}\) の閉部分スタック \(\mathcal{Z}\) によって与えられる構造をいう。 \(Z\) 上の誘導被約代数スタック構造とは、Lemma 0509 で構成したものをいう。 \(\mathcal{X}\) の被約化 \(\mathcal{X}_{red}\)とは、\(|\mathcal{X}|\) 上の誘導被約代数スタック構造をいう。

実際、これを用いて局所閉部分集合上の誘導被約代数スタック構造を定義できる。

注意

\(X\) を代数スタックとする。\(T \subset |\mathcal{X}|\) を局所閉部分集合とする。 \(\partial T\) を位相空間 \(|\mathcal{X}|\) における \(T\) の境界とする。式では \[\partial T = \overline{T} \setminus T.\] \(|\mathcal{U}| = |\mathcal{X}| \setminus \partial T\) を満たす \(X\) の開部分スタック \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) を取る。Lemma 06FJ を参照せよ。誘導被約閉部分空間構造を取ることで得られる、 \(|\mathcal{Z}| = T\) を満たす \(\mathcal{U}\) の被約閉部分スタックを \(\mathcal{Z}\) とする。Definition 050C を参照せよ。構成により \(\mathcal{Z} \to \mathcal{U}\) は代数スタックの閉埋入、 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) は開埋入である。したがって Lemma 0502 により \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) は代数スタックの埋入である。\(\mathcal{Z}\) は被約代数スタックであり、\(|X|\) の部分集合として \(|\mathcal{Z}| = T\) であることに注意する。\(\mathcal{Z}\) を \(T\) 上の誘導被約部分スタック構造ということもある。

剰余ガーベ

Stacks project では、点 \(x \in |\mathcal{X}|\) における代数スタック \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベを、代数スタックのモノ射 \(m_x : \mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) として定義したい。ここで \(\mathcal{Z}_x\) は一点だけをもち、その点が \(m_x\) によって \(x\) に写る被約代数スタックである。しかし、この概念には多くの問題があることがわかる。一般には存在も一意性も明らかではない。代数スタック \(\mathcal{Z}_x\) に少し強い条件を課すことで、一意性の問題を解決する。一点だけをもつ被約代数スタックに関するいくつかの簡単な補題を通して、これをより詳しく論じる。

補題

\(\mathcal{Z}\) を代数スタック、\(k\) を体とし、 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) は全射かつ平坦とする。このとき、\(k'\) が体である任意の射 \(\Spec(k') \to \mathcal{Z}\) は全射かつ平坦である。

証明

ファイバー積正方形 \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & \Spec(k) \ar[d] \\ \Spec(k') \ar[r] & \mathcal{Z} }\] を考える。\(T \to \Spec(k')\) は平坦かつ全射なので \(T\) は空でない。一方、 \(k\) は体だから \(T \to \Spec(k)\) は平坦である。したがって \(T \to \mathcal{Z}\) は平坦かつ全射である。Morphisms of Spaces, Lemma 05VY（Section 04XB の議論を介する）から \(\Spec(k') \to \mathcal{Z}\) は平坦である。また、仮定により \(|\mathcal{Z}|\) は一点集合なので、全射であることは明らかである。

補題

\(\mathcal{Z}\) を代数スタックとする。次は同値である。

\(\mathcal{Z}\) は被約で、\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合である。

\(k\) を体として全射で平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が存在する。

\(k\) を体として局所有限型、全射かつ平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が存在する。

証明

(1) を仮定する。\(W\) をスキームとし、\(W \to \mathcal{Z}\) を全射で滑らかな射とする。このとき \(W\) は被約スキームである。\(\eta \in W\) を \(W\) の既約成分の生成点とする。\(W\) は被約なので \(\mathcal{O}_{W, \eta} = \kappa(\eta)\) である。したがって標準射 \(\eta = \Spec(\kappa(\eta)) \to W\) は平坦であり、合成 \(\eta \to \mathcal{Z}\) も平坦である（Morphisms of Spaces, Lemma 03MN を参照）。\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合なので全射でもある。すなわち (2) が成り立つ。

(2) を仮定する。\(W\) をスキームとし、\(W \to \mathcal{Z}\) を全射で滑らかな射とする。体 \(k\) と全射で平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。このとき \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) は \(k\) 上滑らかな代数空間なので正則であり（Spaces over Fields, Lemma 06M1 を参照）、特に被約である。 \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\) は全射かつ平坦なので、\(W\) は被約である（Descent on Spaces, Lemma 06MI）。すなわち (1) が成り立つ。

(3) から (2) が従うことは明らかである。最後に (2) を仮定する。空でないアフィンスキーム \(W\) と滑らかな射 \(W \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。閉点 \(w \in W\) を選び、\(k = \kappa(w)\) と置く。合成 \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow \mathcal{Z}\] は Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG および 06MH により局所有限型である。 Lemma 06MM により平坦かつ全射でもある。したがって (3) が成り立つ。

次の補題は、前の補題より少し良い一点代数スタックの類を取り出す。

補題

\(\mathcal{Z}\) を代数スタックとする。次は同値である。

\(\mathcal{Z}\) は被約かつ局所ネーターで、\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合である。

\(k\) を体として局所有限表示、全射かつ平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が存在する。

証明

(2) が成り立つと仮定する。Lemma 06MN により \(\mathcal{Z}\) は被約で、\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合である。\(W\) をスキームとし、 \(W \to \mathcal{Z}\) を全射で滑らかな射とする。体 \(k\) と局所有限表示、全射かつ平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。このとき \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) は \(k\) 上滑らかな代数空間なので局所ネーターである（Morphisms of Spaces, Lemma 04ZK）。 \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\) は平坦、全射かつ局所有限表示なので、 \(\{W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\}\) は fppf 被覆である。したがって \(W\) は局所ネーターである（Descent on Spaces, Lemma 06MJ）。すなわち (1) が成り立つ。

(1) を仮定する。空でないアフィンスキーム \(W\) と滑らかな射 \(W \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。閉点 \(w \in W\) を選び、\(k = \kappa(w)\) と置く。 \(W\) は局所ネーターなので、射 \(w : \Spec(k) \to W\) は有限表示である。 Morphisms, Lemma 01TV を参照せよ。したがって合成 \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow \mathcal{Z}\] は Morphisms of Spaces, Lemmas 03XQ および 04AJ により局所有限表示である。Lemma 06MM により平坦かつ全射でもある。したがって (2) が成り立つ。

補題

\(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) を代数スタックのモノ射とする。体 \(k\) と局所有限表示、全射かつ平坦な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が存在すると仮定する。このとき \(\mathcal{Z}'\) は空であるか、または \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) は同値である。

証明

\(\mathcal{Z}'\) は空でないと仮定してよい。この場合、ファイバー積 \(T = \mathcal{Z}' \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) は空でない。Lemma 04XH を参照せよ。\(T\) は代数空間で、射影 \(T \to \Spec(k)\) はモノ射である。したがって \(T = \Spec(k)\) である。 Morphisms of Spaces, Lemma 06MG を参照せよ。これより \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) は \(\mathcal{Z}'\) を経由する。射 \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が \(\Spec(k)\) 上の対象 \(\xi\) によって与えられるとする。今見たことから、\(\xi\) は \(\Spec(k)\) 上の \(\mathcal{Z}'\) の対象 \(\xi'\) と同型である。\(z\) は全射、平坦かつ局所有限表示なので、任意のスキーム上の \(\mathcal{Z}\) の任意の対象は fppf 局所的に \(\xi\) の引き戻しと同型であり、したがって \(\xi'\) の引き戻しとも同型である。グルーポイドのスタックにおける対象の降下により、\(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) は本質的全射である（Lemma 04ZZ により充満忠実でもある）。よって証明された。

補題

\(\mathcal{Z}\) を代数スタックとし、\(\mathcal{Z}\) は Lemma 06MN の同値な条件を満たすと仮定する。このとき、代数スタック \(\mathcal{Z}'\) が Lemma 06MP の同値な条件を満たすような厳密充満部分圏 \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Z}\) が一意に存在する。包含射 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) は代数スタックのモノ射である。

証明

最後の主張は最初の主張と Lemma 04ZZ から直ちに従う。体 \(k\) と全射、平坦かつ局所有限型な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) を選ぶ。\(U = \Spec(k)\) および \(R = U \times_\mathcal{Z} U\) と置く。射影 \(s, t : R \to U\) は局所有限型である。\(U\) は体のスペクトルなので、\(s, t\) は平坦かつ局所有限表示である（Morphisms of Spaces, Lemma 06G4）。 Criteria for Representability, Theorem 06FI により \(\mathcal{Z}' = [U/R]\) は代数スタックである。 Algebraic Stacks, Lemma 04T4 により標準射 \[f : \mathcal{Z}' \longrightarrow \mathcal{Z}\] を得て、これは充満忠実である。したがってこの射は代数空間によって表現可能である。Algebraic Stacks, Lemma 04Y5 を参照せよ。またモノ射である。Lemma 04ZZ を参照せよ。Criteria for Representability, Lemma 06FH により、射 \(U \to \mathcal{Z}'\) は全射、平坦かつ局所有限表示である。したがって \(\mathcal{Z}'\) は Lemma 06MP の同値な条件を満たす代数スタックである。Algebraic Stacks, Lemma 03YQ により、\(\mathcal{Z}'\) を \(\mathcal{Z}\) におけるその本質像で置き換えてよい。よって \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Z}\) の一意性を除き、補題の主張をすべて証明した。 \(\mathcal{Z}'' \subset \mathcal{Z}\) を二つ目のそのような代数スタックとする。このとき射影 \[\mathcal{Z}' \longleftarrow \mathcal{Z}' \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z}'' \longrightarrow \mathcal{Z}''\] はモノ射である。Lemma 04XH により中央の代数スタックは空でない。したがって Lemma 06MQ により二つの射影は同型であり、証明された。

例

Lemma 06MR で構成した射が同型でない例を示す。この例は、Definition 06MU で剰余ガーベに局所ネーター性を課す必要があることを示す。実際、この例は代数空間ですらある！ \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) を副有限位相をもつ \(\mathbf{Q}\) の絶対 Galois 群とする。 \[U = \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \times_{\Spec(\mathbf{Q})} \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) = \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}) \times \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\] とする（最後の等号の意味の厳密な説明は省略する）。\(G\) を、離散位相をもつ絶対 Galois 群 \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) を \(\Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) 上の定数群スキームとみなしたものとする。 Groupoids, Example 03YW を参照せよ。このとき \(G\) は \(U\) に自由かつ推移的に作用する。\(X = U/G\) と置く。Spaces, Definition 02Z3 を参照せよ。このとき \(X\) はちょうど一点をもつ非ネーター被約代数空間である。さらに \(X\) は（局所）有限型な点をもつ： \[x : \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \longrightarrow U \longrightarrow X\] 実際、\(U\) のすべての点は閉点である！ \(X\) は \(\overline{\mathbf{Q}}\) 上の代数空間なので、\(x\) はモノ射である。したがって \(x\) は Lemma 06MR で構成した射だが、\(x\) は同型ではない。実際、\(\Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \to X\) は \(x\) における \(X\) の剰余ガーベである。

後に、代数スタック \(\mathcal{X}\) に穏やかな仮定を課せば、すべての点 \(x \in |\mathcal{X}|\) に対して次の補題の同値な条件が満たされることがわかる（Morphisms of Stacks, Section 06UH を参照）。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) を点とする。次は同値である。

代数スタック \(\mathcal{Z}\) とモノ射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) が存在し、\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合で、 \(|\mathcal{X}|\) における \(|\mathcal{Z}|\) の像は \(x\) である。

被約代数スタック \(\mathcal{Z}\) とモノ射 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) が存在し、\(|\mathcal{Z}|\) は一点集合で、 \(|\mathcal{X}|\) における \(|\mathcal{Z}|\) の像は \(x\) である。

代数スタック \(\mathcal{Z}\)、モノ射 \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) および全射で平坦な射 \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}\) が存在し、\(k\) は体で \(x = f(z)\) である。

さらに、これらの条件が成り立つならば、\(\mathcal{Z}_x\) が被約で局所ネーターな代数スタックで、\(|\mathcal{Z}_x|\) が一点集合かつ写像 \(|\mathcal{Z}_x| \to |\mathcal{X}|\) によって \(x\) に写るような厳密充満部分圏 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) が一意に存在する。

証明

\(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) が (1) のとおりならば、 \(\mathcal{Z}_{red} \to \mathcal{X}\) は (2) のとおりである（代数スタックの被約化の概念については Section 0508 を参照）。したがって (1) から (2) が従う。(2) から (1) は直ちに従い、(2) と (3) の同値性は Lemma 06MN から直ちに従う。

ここまでで (1) – (3) の同値性を示した。(2) のとおりのモノ射 \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) を選ぶ。Lemma 04ZZ により \(f\) は充満忠実である。この関手 \(f\) の本質像を \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{X}\) と書く。このとき \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}'\) は同値なので、\(\mathcal{Z}'\) は代数スタックである。Algebraic Stacks, Lemma 03YQ を参照せよ。 Lemma 06MR を適用し、補題の主張のとおりの厳密充満部分圏 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{Z}'\) を得る。これで一意性を除くすべての主張が証明された。

一意性を証明するため、\(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) と \(\mathcal{Z}'_x \subset \mathcal{X}\) を補題の主張のとおりの二つの厳密充満部分圏とする。このとき射影 \[\mathcal{Z}'_x \longleftarrow \mathcal{Z}'_x \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}_x \longrightarrow \mathcal{Z}_x\] はモノ射である。Lemma 04XH により中央の代数スタックは空でない。したがって Lemma 06MQ により二つの射影は同型であり、証明された。

以上を説明したので、次の定義を置くことができる。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) とする。

Lemma 06MT の同値な条件 (1)、(2)、(3) が成り立つとき、\(x\) における \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベが存在するという。

\(x\) における \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベが存在するとき、 \(x\) における \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベ¹ とは、Lemma 06MT で構成した厳密充満部分圏 \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) をいう。

特に、\(\mathcal{Z}_x\) が存在するならば、それは局所ネーターな被約代数スタックであり、ある体と全射、平坦かつ局所有限表示な射 \[\Spec(k) \longrightarrow \mathcal{Z}_x.\] が存在する。Morphisms of Stacks, Lemma 06QK で \(\mathcal{Z}_x\) がガーベであることを見る。剰余ガーベの存在は Morphisms of Stacks, Section 06UH で論じる。

例

\(X\) をスキームとし、\(x \in X\) を点とする。このときモノ射 \(x \to X\) は \(x\) における \(X\) の剰余ガーベである。ここで通常どおり、\(x\) をスキーム \(x = \Spec(\kappa(x))\) と同一視する。\(X\) が代数空間で \(x \in |X|\) ならば、 \(x\) における剰余ガーベ（剰余空間と呼ばれる）は常に存在する。Decent Spaces, Section 06QU を参照せよ。

剰余ガーベは、存在すれば次の補題により正則な代数スタックである。

補題

\(|\mathcal{Z}|\) が一点集合である被約かつ局所ネーターな代数スタック \(\mathcal{Z}\) は正則である。

証明

\(W\) をスキームとし、\(W \to \mathcal{Z}\) を全射で滑らかな射とする。\(k\) を体とし、\(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) を全射、平坦かつ局所有限表示とする（Lemma 06MP を参照）。代数空間 \(T = W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) は \(k\) 上滑らかなので、特に正則である。 Spaces over Fields, Lemma 06M1 を参照せよ。\(T \to W\) は局所有限表示、平坦かつ全射なので、\(W\) は正則である。 Descent on Spaces, Lemma 06MK を参照せよ。定義により、これは \(\mathcal{Z}\) が正則であることを意味する。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) とする。 \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベ \(\mathcal{Z}_x\) が存在すると仮定する。\(K\) を体とし、 \(f : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) を \(x\) の同値類に属する射とする。このとき \(f\) は包含射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) を経由する。

証明

体 \(k\) と全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\) を選ぶ。 \(T = \Spec(K) \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}_x\) と置く。Lemma 04XH により \(T\) は空でない。 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) はモノ射なので \(T \to \Spec(K)\) はモノ射である。したがって Morphisms of Spaces, Lemma 06MG により \(T = \Spec(K)\) であり、補題が証明された。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) とする。 \(\mathcal{Z}\) を Lemma 06MP の同値な条件を満たす代数スタックとし、\(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) を、 \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) の像が \(x\) であるようなモノ射とする。このとき \(x\) における \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベ \(\mathcal{Z}_x\) は存在し、 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) は \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) と分解する。ここで最初の射は同値である。

証明

\(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) を、関手 \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) の本質像に対応する充満部分圏とする。このとき \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x\) は同値なので、\(\mathcal{Z}_x\) は代数スタックである。Algebraic Stacks, Lemma 03YQ を参照せよ。この同値により \(\mathcal{Z}_x\) は \(\mathcal{Z}\) のすべての性質を受け継ぐので、 Lemma 06MT の一意性から \(\mathcal{Z}_x\) は \(x\) における \(\mathcal{X}\) の剰余ガーベであることが明らかである。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする。 \(x \in |\mathcal{X}|\) の像を \(y \in |\mathcal{Y}|\) とする。\(x\) と \(y\) の剰余ガーベ \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) および \(\mathcal{Z}_y \subset \mathcal{Y}\) が存在するならば、\(f\) は可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_f & \mathcal{Z}_x \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{Y} & \mathcal{Z}_y \ar[l] }\] を誘導する。

証明

体 \(k\) と全射、平坦かつ局所有限表示な射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\) を選ぶ。Lemma 06MW により、射 \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) は \(\mathcal{Z}_y\) を経由する。したがって \(\mathcal{Z}_x \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}_y\) は \(\mathcal{Z}_x\) の空でない部分スタックであり、Lemma 06MQ により \(\mathcal{Z}_x\) に等しい。

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とし、 \(x \in |\mathcal{X}|\) の像を \(y \in |\mathcal{Y}|\) とする。\(x\) と \(y\) の剰余ガーベ \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) および \(\mathcal{Z}_y \subset \mathcal{Y}\) が存在すると仮定する。また \(x\) の同値類に属する射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) が存在し、 \[\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\] が同型であると仮定する。このとき \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{Z}_y\) は同型である。

証明

\(k'/k\) を体の拡大とする。このとき \[\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \longrightarrow \Spec(k') \times_\mathcal{Y} \Spec(k')\] は補題の射を忠実平坦な射 \(\Spec(k' \otimes k') \to \Spec(k \otimes k)\) で基底変換したものである。したがって補題に記した性質は、\(x\) の同値類に属する射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) の選択に依存しない。よって \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\) は全射、平坦かつ局所有限表示であると仮定してよい。この場合 \[\mathcal{Z}_x = [\Spec(k)/R]\] であり、\(R = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k)\) である。Lemma 06MR の証明を参照せよ。また \(R = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\) でもあるので、Lemma 0DTH の射 \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{Z}_y\) は Algebraic Stacks, Lemma 04T4 により充満忠実である。例えば Lemma 06MX から結論を得る。

スタックの次元

点における代数空間の次元という概念（Properties of Spaces, Definition 04N5）を用いて、点 \(x\) における代数スタック \(\mathcal{X}\) の次元を定義できる。次の補題では、 \(\mathcal{X}\) が準コンパクトでないため、または Examples, Section 02JC に述べた現象に遭遇するため、値が \(\infty\) となることがある。

補題

\(\mathcal{X}\) をスキーム \(S\) 上の局所ネーター代数スタックとし、 \(x \in |\mathcal{X}|\) を \(\mathcal{X}\) の点とする。\(U\) がスキームである表示 \([U/R] \to \mathcal{X}\)（Algebraic Stacks, Definition 04TI）を取り、\(u \in U\) を \(x\) に写る点とする。\(e : U \to R\) を「恒等」写像、\(s : R \to U\) を「始点」写像とする。後者は代数空間の滑らかな射である。\(R_u\) を \(u\) 上の \(s : R \to U\) のファイバーとする。元 \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_{e(u)}(R_u) \in \mathbf{Z} \cup \infty\] は表示および \(x\) 上の点 \(u\) の選択に依存しない。

証明

\(R \to U\) は滑らかなので、スキーム \(R_u\) は \(\kappa(u)\) 上滑らかであり、したがって有限次元である。一方、スキーム \(U\) は局所ネーターだが、これは \(\dim_u(U)\) が有限であることを保証しない。よって差は \(\mathbf{Z} \cup \{\infty\}\) の元である。

スキーム \(U'\) をもつ二つ目の表示 \([U'/R'] \to \mathcal{X}\) と、 \(u' \in U'\) を取り、この \(u'\) は \(x\) に写るものとする。代数空間 \(P = U \times_\mathcal{X} U'\) を考える。 Lemma 04XH により、\(u\) と \(u'\) に写る \(p \in |P|\) が存在する。\(P \to U\) と \(P \to U'\) は滑らかなので、 \(\dim_p(P) = \dim_u(U) + \dim_p(P_u)\) および \(\dim_p(P) = \dim_{u'}(U') + \dim_p(P_{u'})\) である。Morphisms of Spaces, Lemma 0AFI を参照せよ。ここで \[R'_{u'} = \Spec(\kappa(u')) \times_\mathcal{X} U' \quad\text{かつ}\quad P_u = \Spec(\kappa(u)) \times_\mathcal{X} U'\] \(p \in |P|\) を射 \(\Spec(\Omega) \to P\) で表す。\(p\) は \(u\) と \(u'\) の両方に写るので、合成 \(\Spec(\Omega) \to \Spec(\kappa(u')) \to \mathcal{X}\) と \(\Spec(\Omega) \to \Spec(\kappa(u)) \to \mathcal{X}\) の間の \(2\)-射を誘導し、これはさらに同型 \[\Spec(\Omega) \times_{\Spec(\kappa(u'))} R'_{u'} \cong \Spec(\Omega) \times_{\Spec(\kappa(u))} P_u\] を、\(\Omega\)-有理点 \((1, e'(u'))\) を \((1, p)\) に写す \(\Spec(\Omega)\) 上の代数空間の同型として定める（いくつかの詳細は省略する）。したがって \[\dim_{e'(u')}(R'_{u'}) = \dim_p(P_u)\] が Morphisms of Spaces の補題 04NS により成り立つ。対称性により \(\dim_{e(u)}(R_u) = \dim_p(P_{u'})\) でもある。すべてを合わせると、選択からの独立性を得る。

上の補題を用いて次の定義を置くことができる。

定義

\(\mathcal{X}\) をスキーム \(S\) 上の局所ネーター代数スタックとし、 \(x \in |\mathcal{X}|\) を \(\mathcal{X}\) の点とする。\(U\) がスキームである表示 \([U/R] \to \mathcal{X}\)（Algebraic Stacks, Definition 04TI）を取り、\(u \in U\) を \(x\) に写る点とする。\(x\) における \(\mathcal{X}\) の次元を、 \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U)-\dim_{e(u)}(R_u).\] を満たす元 \(\dim_x(\mathcal{X}) \in \mathbf{Z} \cup \infty\) と定義する。記法は Lemma 0AFM のとおりである。

\(\mathcal{X}\) がスキームの場合（Topology, Definition 0055）、またはより一般に \(\mathcal{X}\) が局所ネーター代数空間の場合（Properties of Spaces, Definition 04N5）、点におけるスタックの次元は通常の概念と一致する。

定義

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{X}\) を \(S\) 上の局所ネーター代数スタックとする。 \(\mathcal{X}\) の次元 \(\dim(\mathcal{X})\) を \[\dim(\mathcal{X}) = \sup\nolimits_{x \in |\mathcal{X}|} \dim_x(\mathcal{X})\] と定義する。

\(\mathcal{X}\) がスキームの場合（Properties, Lemma 04MU）または代数空間の場合（Properties of Spaces, Definition 04N6）、この次元の定義は通常の概念と一致する。

注意

\(\mathcal{X}\) が体上有限型な空でないスタックならば、\(\dim(\mathcal{X})\) は整数である。任意の局所ネーター代数スタック \(\mathcal{X}\) に対し、 \(\dim(\mathcal{X})\) は \(Z\cup \{\pm \infty\}\) に属し、 \(\dim(\mathcal{X}) = -\infty\) であることと \(\mathcal{X}\) が空であることは同値である。

例

\(X\) を体 \(k\) 上有限型なスキームとし、\(G\) を \(X\) に作用する \(k\) 上有限型な群スキームとする。このとき商スタック \([X/G]\) の次元は \(\dim(X)-\dim(G)\) に等しい。特に分類スタック \(BG=[\Spec(k)/G]\) の次元は \(-\dim(G)\) である。したがって、スキームや代数空間の場合とは対照的に、代数スタックの次元は負の整数となりうる。

局所既約性

点におけるスキームの幾何的枝数は Properties, Section 0BQ1 で、点における代数空間の幾何的枝数は Properties of Spaces, Section 06DJ で定義した。 \(n \in \mathbf{N}\) とする。局所環 \(A\) に対し \[P_n(A) = \text{その幾何的枝数は所与の自然数である}\] と置く。滑らかな環準同型 \(A \to B\) と、\(A\) の素イデアル \(\mathfrak p\) の上にある \(B\) の素イデアル \(\mathfrak q\) に対して \[P_n(A_\mathfrak p) \Leftrightarrow P_n(B_\mathfrak q)\] が More on Algebra, Lemma 0DQ1 により成り立つ。 Properties of Spaces, Remark 0BBL と同様に、\(P_n\) を用い、 \(\mathcal{P}_n(U, u) = P_n(\mathcal{O}_{U, u})\) と置くことで、スキームの芽 \((U, u)\) のエタール位相で局所的な性質 \(\mathcal{P}_n\) を定義できる。点 \(x\) における代数空間 \(X\) の対応する性質 \(\mathcal{P}_n\)（Properties of Spaces, Definition 04RC を参照）は、ちょうど「\(x\) における \(X\) の幾何的枝数は \(n\) である」という性質である。 Properties of Spaces, Definition 0DQ4 を参照せよ。さらに性質 \(\mathcal{P}_n\) は滑らか位相で局所的である。Descent, Definition 04N1 を参照せよ。これは上に表示した同値、または More on Morphisms, Lemma 0DQ2 のいずれからも従う。したがって Definition 04YJ が適用でき、点における代数スタックについての概念を得る。

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) とする。

上で定義した \(\mathcal{P}_n\) に対し Lemma 04YI の同値な条件が成り立つならば、 \(x\) における \(\mathcal{X}\) の幾何的枝数は \(n \in \mathbf{N}\) であり、そうでなければ \(\infty\) である。

\(x\) における \(\mathcal{X}\) の幾何的枝数が \(1\) ならば、 \(\mathcal{X}\) は\(x\) において幾何的単枝であるという。

有限性条件と点

この節は、代数スタックの点に対する Decent Spaces, Section 03JR の類似である。

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし、\(x \in |\mathcal{X}|\) を点とする。次は同値である。

\(x\) の同値類に属するある射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) は準コンパクトである。

\(x\) の同値類に属する任意の射 \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) は準コンパクトである。

証明

\(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) を \(x\) の同値類に属する射とし、\(k'/k\) を体の拡大とする。\(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) が準コンパクトであることと \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\) が準コンパクトであることが同値だと示せばよい。これは Morphisms of Spaces, Lemma 040W と Algebraic Stacks, Lemma 045F の原理から従う。

Lemma 0DTK の同値な条件を満たす点 \(x \in |\mathcal{X}|\) を「準コンパクト点」ということがある。

これは精神的には [LM-B] と衝突するが、実際には衝突しない。すなわち同書 Chapter 11 では、任意の準分離代数スタック上の任意の点に、剰余ガーベと呼ぶガーベ（必ずしも代数的ではない）を対応させる。Morphisms of Stacks, Lemma 06RD で、準分離代数スタックのすべての点はここでの意味の剰余ガーベをもち、それが同書のものと同値であることを見る。この話題の詳細は [rydh_etale_devissage, Appendix B] を参照。↩︎