Pendahuluan Jilid 2 (3.3.03) (halaman 10)
*Bab 21: Taksonomi ruang ukur
Pendahuluan (pembaruan 17.1.15; halaman 12).
211 Definisi (pembaruan 20.11.03; halaman 12). Ruang ukur lengkap, berhingga total, \(\sigma\)-hingga, dapat dilokalkan secara ketat, semihingga, dapat dilokalkan, dan ditentukan secara lokal; atom; hubungan elementer; ukuran terhitung-koterhitung.
212 Ruang lengkap (pembaruan 10.9.04; halaman 17). Fungsi terukur dan terintegralkan pada ruang lengkap; pelengkapan suatu ukuran.
213 Ruang semihingga, ditentukan secara lokal, dan dapat dilokalkan (pembaruan 13.9.13; halaman 23). Integrasi pada ruang semihingga; versi c.l.d.; selubung terukur; karakterisasi sifat dapat dilokalkan dan dapat dilokalkan secara ketat.
214 Subruang (pembaruan 22.5.09; halaman 34). Ukuran subruang pada himpunan bagian sebarang; integrasi; jumlah langsung ruang ukur; *memperluas ukuran ke keluarga himpunan yang terurut baik.
215 Ruang \(\sigma\)-hingga dan prinsip penghabisan (pembaruan 13.11.13; halaman 44). Prinsip penghabisan; karakterisasi sifat \(\sigma\)-hingga; teorema nilai antara untuk ukuran tanpa atom.
*216 Contoh-contoh (pembaruan 25.9.04; halaman 48). Ruang lengkap yang dapat dilokalkan tetapi tidak ditentukan secara lokal; ruang lengkap yang ditentukan secara lokal tetapi tidak dapat dilokalkan; ruang lengkap yang ditentukan secara lokal dan dapat dilokalkan, tetapi tidak dapat dilokalkan secara ketat.
Bab 22: Teorema Dasar Kalkulus
Pendahuluan (pembaruan 24.2.14; halaman 55).
221 Teorema Vitali di \(\Bbb{R}\) (pembaruan 2.6.03; halaman 55). Teorema Vitali untuk selang di \(\Bbb{R}\).
222 Mendiferensialkan integral tak tentu (pembaruan 20.11.03/18.10.04; halaman 58). Fungsi monoton dapat didiferensialkan hampir di mana-mana, dan turunannya terintegralkan; \(\bover{d}{dx}\int_a^xf=f\) hampir di mana-mana; *Teorema Denjoy-Young-Saks.
223 Teorema-teorema kerapatan Lebesgue (pembaruan 9.9.04; halaman 66). \(f(x)=\lim_{h{\downarrow}0}\bover1{2h}\int_{x-h}^{x+h}f\) hampir di mana-mana (\(x\)); titik kerapatan; \(\lim_{h{\downarrow}0}\bover1{2h}\int_{x-h}^{x+h}|f-f(x)|=0\) hampir di mana-mana (\(x\)); himpunan Lebesgue suatu fungsi.
224 Fungsi bervariasi terbatas (pembaruan 29.9.04; halaman 70). Variasi suatu fungsi; selisih fungsi-fungsi monoton; jumlah dan hasil kali, limit, kekontinuan, dan keterdiferensialan bagi fungsi bervariasi terbatas; suatu ketaksamaan bagi \({\int}f{\times}g\).
225 Fungsi kontinu mutlak (pembaruan 16.8.15; halaman 79). Kekontinuan mutlak integral tak tentu; fungsi kontinu mutlak pada \(\Bbb{R}\); integrasi parsial; fungsi semikontinu bawah; *citra langsung himpunan terabaikan; fungsi Cantor.
*226 Dekomposisi Lebesgue suatu fungsi bervariasi terbatas (pembaruan 6.11.13; halaman 89). Jumlah pada himpunan indeks sebarang; fungsi saltus; dekomposisi Lebesgue.
Bab 23: Teorema Radon-Nikodým
Pendahuluan (pembaruan 17.11.04; halaman 96).
231 Fungsional aditif terhitung (pembaruan 25.8.15; halaman 96). Fungsional aditif dan aditif terhitung; dekomposisi Jordan dan Hahn.
232 Teorema Radon-Nikodým (pembaruan 5.6.02; halaman 100). Fungsional aditif kontinu mutlak dan kontinu sejati; fungsional kontinu sejati merupakan integral tak tentu; *dekomposisi Lebesgue suatu fungsional aditif terhitung.
233 Ekspektasi bersyarat (pembaruan 16.6.02; halaman 109). Subaljabar-\(\sigma\); ekspektasi bersyarat fungsi terintegralkan; fungsi konveks; ketaksamaan Jensen.
234 Operasi pada ukuran (pembaruan 11.4.09; halaman 117). Fungsi pelestari ukuran invers; ukuran citra; jumlah ukuran; ukuran integral tak tentu; pengurutan ukuran.
235 Transformasi terukur (pembaruan 30.3.03; halaman 127). Rumus \({\int}g(y)\nu(dy)={\int}J(x)g(\phi(x))\mu(dx)\); syarat penerapan secara terperinci; fungsi pelestari ukuran melalui prapeta; malapetaka ukuran citra; penggunaan Teorema Radon-Nikodým.
Bab 24: Ruang fungsi
Pendahuluan (pembaruan 15.11.13; halaman 138).
241 \(\eusm{L}^0\) dan \(L^0\) (pembaruan 6.11.03; halaman 138). Struktur linear, tertib, dan multiplikatif \(L^0\); kelengkapan Dedekind dan sifat dapat dilokalkan; aksi fungsi Borel.
242 \(L^1\) (pembaruan 19.11.03; halaman 146). Kekisi bernorma \(L^1\); integrasi sebagai fungsional linear; kelengkapan dan kelengkapan Dedekind; Teorema Radon-Nikodým dan ekspektasi bersyarat; fungsi konveks; subruang padat.
243 \(L^{\infty}\) (pembaruan 30.4.04; halaman 156). Kekisi bernorma \(L^{\infty}\); kelengkapan norma; dualitas antara \(L^1\) dan \(L^{\infty}\); sifat dapat dilokalkan, kelengkapan Dedekind, dan identifikasi \(L^{\infty}\cong(L^1)^*\).
244 \(L^p\) (pembaruan 6.3.09; halaman 164). Kekisi bernorma \(L^p\), untuk \(1<p<\infty\); ketaksamaan Hölder; kelengkapan dan kelengkapan Dedekind; \((L^p)^*\cong{L^q}\); ekspektasi bersyarat; *kekonveksan seragam.
245 Konvergensi dalam ukuran (pembaruan 25.3.06; halaman 179). Topologi konvergensi (lokal) dalam ukuran pada \(L^0\); konvergensi titik demi titik; sifat dapat dilokalkan dan kelengkapan Dedekind; penanaman \(L^p\) ke dalam \(L^0\); konvergensi \(\|\,\|_1\)- dan konvergensi dalam ukuran; ruang \(\sigma\)-hingga, kemetrikan, dan konvergensi sekuensial.
246 Keterintegralan seragam (pembaruan 17.11.06; halaman 190). Himpunan terintegralkan secara seragam dalam \(\eusm{L}^1\) dan \(L^1\); sifat elementer; karakterisasi melalui barisan saling lepas; \(\|\,\|_1\) dan konvergensi dalam ukuran pada himpunan terintegralkan secara seragam.
247 Kekompakan lemah dalam \(L^1\) (pembaruan 26.8.13; halaman 198). Suatu himpunan bagian \(L^1\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika relatif kompak lemah.
Bab 25: Ukuran produk
Pendahuluan (pembaruan 31.5.03; halaman 204).
251 Produk berhingga (pembaruan 10.11.06; halaman 204). Produk primitif dan c.l.d.; sifat-sifat dasar; ukuran Lebesgue pada \(\Bbb{R}^{r+s}\) sebagai ukuran produk; produk jumlah langsung dan subruang; versi c.l.d.
252 Teorema Fubini (pembaruan 6.12.07; halaman 212). Kapan \({\iint}f(x,y)dxdy\) dan \({\int}f(x,y)d(x,y)\) sama; ukuran himpunan ordinat; *volume bola di \(\Bbb{R}^r\).
253 Produk tensor (pembaruan 18.4.08; halaman 237). Operator bilinear; operator bilinear \(L^1(\mu){\times}L^1(\nu){\to}W\) dan operator linear \(L^1(\mu\times\nu){\to}W\); operator bilinear positif dan pengurutan pada \(L^1(\mu\times\nu)\); ekspektasi bersyarat; integral atas.
254 Produk tak hingga (pembaruan 23.2.16; halaman 248). Produk keluarga sebarang ruang probabilitas; sifat-sifat dasar; fungsi pelestari ukuran melalui prapeta; ukuran biasa pada \(\{0,1\}^I\); \(\{0,1\}^{\Bbb{N}}\) isomorfik, sebagai ruang ukur, dengan \([0,1]\); subruang berukuran luar penuh; himpunan yang ditentukan oleh koordinat dalam suatu himpunan bagian dari himpunan indeks; hukum asosiatif tergeneralisasi untuk produk ukuran; subproduk sebagai ukuran citra; pemfaktoran fungsi melalui subproduk; ekspektasi bersyarat pada subaljabar yang bersesuaian dengan subproduk; produk ruang yang dapat dilokalkan; produk ruang tanpa atom.
255 Konvolusi fungsi (pembaruan 3.7.08; halaman 266). Geseran di \(\Bbb{R}^2\) sebagai automorfisme ruang ukur; konvolusi fungsi pada \(\Bbb{R}\); \({\int}h\times(f*g)={\int}h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)\); \(f*(g*h)=(f*g)*h\); \(\|f*g\|_1\le \|f\|_1\|g\|_1\); grup \(\Bbb{R}^r\) dan \(\ocint{-\pi,\pi}\).
256 Ukuran Radon pada \(\Bbb{R}^r\) (pembaruan 6.8.15; halaman 277). Definisi ukuran Radon pada \(\Bbb{R}^r\); pelengkapan ukuran Borel; keterukuran Lusin; ukuran citra; produk dua ukuran Radon; fungsi semikontinu.
257 Konvolusi ukuran (pembaruan 14.8.13; halaman 285). Konvolusi ukuran Radon berhingga total pada \(\Bbb{R}^r\); \({\int}h\,d(\nu_1*\nu_2)={\iint}h(x+y)\nu_1(dx)\nu_2(dy)\); \(\nu_1*(\nu_2*\nu_3)=(\nu_1*\nu_2)*\nu_3\); konvolusi dan turunan Radon-Nikodým.
Bab 26: Perubahan variabel dalam integral
Pendahuluan (pembaruan 5.9.03; halaman 288).
261 Teorema Vitali di \(\BbbR^r\) (pembaruan 11.12.12; halaman 288). Teorema Vitali untuk bola di \(\BbbR^r\); Teorema Kerapatan Lebesgue; himpunan Lebesgue.
262 Fungsi Lipschitz dan terdiferensialkan (pembaruan 11.8.15; halaman 296). Fungsi Lipschitz; sifat-sifat elementer; fungsi terdiferensialkan dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\); keterdiferensialan dan turunan parsial; menghampiri fungsi terdiferensialkan dengan fungsi afin sesepenggal; *Teorema Rademacher.
263 Transformasi terdiferensialkan di \(\BbbR^r\) (pembaruan 4.4.13; halaman 308). Dalam rumus \({\int}g(y)dy={\int}J(x)g(\phi(x))dx\), tentukan \(J\) ketika \(\phi\) (i) linear (ii) terdiferensialkan; syarat penerapan secara terperinci; koordinat polar; kasus \(\phi\) tidak injektif; kasus satu dimensi.
264 Ukuran Hausdorff (pembaruan 12.5.03; halaman 320). Ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\); himpunan Borel bersifat terukur; fungsi Lipschitz; jika \(s=r\), diperoleh suatu kelipatan ukuran Lebesgue; *ukuran Cantor sebagai ukuran Hausdorff.
265 Ukuran permukaan (pembaruan 3.9.13; halaman 330). Ukuran Hausdorff ternormalisasi; aksi operator linear dan fungsi terdiferensialkan; ukuran permukaan pada bola.
*266 Ketaksamaan Brunn-Minkowski (pembaruan 28.1.09; halaman 338). Rataan aritmetika dan geometri; tutupan esensial; ketaksamaan Brunn-Minkowski.
Bab 27: Teori probabilitas
Pendahuluan (pembaruan 26.8.13; halaman 343).
271 Distribusi (pembaruan 11.12.08; halaman 344). Terminologi; distribusi sebagai ukuran Radon; fungsi distribusi; kerapatan; transformasi peubah acak; *fungsi distribusi dan konvergensi dalam ukuran.
272 Kebebasan (pembaruan 3.4.09; halaman 351). Keluarga peubah acak yang saling bebas; karakterisasi kebebasan; distribusi gabungan keluarga bebas (berhingga), dan ukuran produk; hukum nol-satu; \(\Expn(X{\times}Y)\), \(\Var(X+Y)\); distribusi suatu jumlah sebagai konvolusi distribusi; ketaksamaan Etemadi; *ketaksamaan Hoeffding.
273 Hukum kuat bilangan besar (pembaruan 2.12.09; halaman 364). \(\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i{\to}0\) hampir di mana-mana jika \(X_n\) saling bebas dengan ekspektasi nol dan salah satu dari (i) \(\sum_{n=0}^{\infty}\bover1{(n+1)^2}\) \(\Var(X_n)<\infty\) atau (ii) \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(|X_n|^{1+\delta})<\infty\) untuk suatu \(\delta>0\) atau (iii) \(X_n\) berdistribusi identik.
274 Teorema Limit Pusat (pembaruan 13.4.10; halaman 376). Peubah acak berdistribusi normal; syarat Lindeberg untuk Teorema Limit Pusat; akibat-akibat; menaksir \(\int_{\alpha}^{\infty}e^{-x^2/2}dx\).
275 Martingal (pembaruan 3.12.12; halaman 388). Barisan aljabar-\(\sigma\), dan martingal yang teradaptasi padanya; persilangan naik; Teorema Konvergensi Martingal Doob; keterintegralan seragam, konvergensi \(\|\,\|_1\)- dan martingal sebagai barisan ekspektasi bersyarat; martingal balik; waktu henti.
276 Barisan selisih martingal (pembaruan 16.4.13; halaman 399). Barisan selisih martingal; hukum kuat bilangan besar untuk barisan selisih martingal; Teorema Komlós.
Bab 28: Analisis Fourier
Pendahuluan (pembaruan 17.1.15; halaman 408).
281 Teorema Stone-Weierstrass (pembaruan 4.12.12; halaman 408). Menghampiri suatu fungsi pada himpunan kompak dengan anggota suatu kekisi atau aljabar fungsi yang diberikan; kasus riil dan kompleks; hampiran dengan polinomial dan fungsi trigonometri; Teorema Ekuistribusi Weyl di \([0,1]^r\).
282 Deret Fourier (pembaruan 24.9.09; halaman 419). Jumlah Fourier dan Fejér; kernel Dirichlet dan Fejér; Lema Riemann-Lebesgue; konvergensi seragam jumlah Fejér dari fungsi kontinu; konvergensi hampir di mana-mana dan \(\|\,\|_1\) dari jumlah Fejér suatu fungsi terintegralkan; konvergensi \(\|\,\|_2\) dari jumlah Fourier suatu fungsi terintegralkan-kuadrat; konvergensi jumlah Fourier suatu fungsi terdiferensialkan atau bervariasi terbatas; konvolusi dan koefisien Fourier.
283 Transformasi Fourier I (pembaruan 31.3.13; halaman 438). Transformasi Fourier dan transformasi Fourier invers; sifat-sifat elementer; \(\int_0^{\infty}\bover1x\sin{x}\,dx \ifdim\pagewidth>467pt\penalty-100\fi =\bover12\pi\); rumus \(\varhatf\varcheck{\phantom{h}}=f\) untuk \(f\) yang terdiferensialkan dan bervariasi terbatas; konvolusi; \(e^{-x^2/2}\); \({\int}f\times\varhat{g}=\int\varhatf{\times}g\).
284 Transformasi Fourier II (pembaruan 30.8.13; halaman 453). Fungsi uji; \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}=h\); fungsi tempered; fungsi tempered yang merepresentasikan transformasi satu sama lain; konvolusi; fungsi terintegralkan-kuadrat; fungsi delta Dirac.
285 Fungsi karakteristik (pembaruan 18.9.14; halaman 470). Fungsi karakteristik suatu distribusi; peubah acak yang saling bebas; distribusi normal; topologi samar pada ruang distribusi, dan konvergensi sekuensial fungsi karakteristik; Teorema Poisson; konvolusi distribusi.
*286 Teorema Carleson (pembaruan 30.3.16; halaman 485). Teorema Maksimal Hardy-Littlewood; bukti Lacey-Thiele untuk Teorema Carleson bagi fungsi terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb{R}\) dan \(\ocint{-\pi,\pi}\).
Lampiran Jilid 2
Pendahuluan (pembaruan 3.8.15; halaman 518).
2A1 Teori himpunan (pembaruan 20.1.13; halaman 518). Himpunan terurut; rekursi transfinit; ordinal; ordinal awal; Teorema Schröder- Bernstein; filter; Aksioma Pilihan; Teorema Pengurutan Baik Zermelo; Lema Zorn; ultrafilter; suatu teorema dalam kombinatorika.
2A2 Topologi ruang Euklides (pembaruan 30.11.09; halaman 524). Tutupan; fungsi kontinu; himpunan kompak; himpunan terbuka di \(\Bbb{R}\).
2A3 Topologi umum (pembaruan 25.7.07; halaman 527). Topologi; fungsi kontinu; topologi subruang; tutupan dan interior; topologi Hausdorff; pseudometrik; konvergensi barisan; ruang kompak; titik gugus barisan; konvergensi filter; limit superior dan limit inferior; topologi produk; himpunan padat.
2A4 Ruang bernorma (pembaruan 4.3.14; halaman 536). Ruang bernorma; subruang linear; ruang Banach; operator linear berbatas; ruang dual; memperluas suatu operator linear dari subruang padat; aljabar bernorma.
2A5 Ruang topologis linear (pembaruan 13.11.07; halaman 539). Ruang topologis linear; topologi yang didefinisikan oleh fungsional; himpunan konveks; kelengkapan; topologi lemah.
2A6 Faktorisasi matriks (pembaruan 10.11.14; halaman 543). Determinan; keluarga ortonormal; \(T=PDQ\) dengan \(D\) diagonal serta \(P\), \(Q\) ortogonal.
Konkordansi (halaman 545)
Referensi untuk Jilid 2 (17.12.12) (halaman 547)
Indeks Jilid 1 dan 2
Topik dan hasil utama (halaman 549)
Indeks umum (halaman 553)