Dekomposisi Lebesgue suatu fungsi bervariasi terbatas

Saya menutup bab ini dengan beberapa catatan mengenai suatu metode untuk menganalisis fungsi umum yang bervariasi terbatas. Metode ini dapat membantu memberikan gambaran tentang seperti apa fungsi-fungsi tersebut, walaupun (selain 226A) hampir tidak diperlukan dalam jilid ini.

226A Jumlah atas himpunan indeks sembarang

Untuk memperoleh gambaran lengkap mengenai bagian analisis real ini, sedikit persiapan akan berguna. Persiapan ini menyangkut konsep jumlah atas himpunan indeks sembarang, yang sejauh ini cenderung saya hindari.

226Aa (a)

Jika $I$ sembarang himpunan dan $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ sembarang keluarga dalam $[0,\infty]$, kita tetapkan

$\sum_{i\in I}a_i =\sup\{\sum_{i\in K}a_i:K\text{ suatu subhimpunan berhingga dari }I\}$,

dengan kaidah bahwa $\sum_{i\in\emptyset}a_i=0$. (Lihat 112Bd, 222Ba.) Untuk $a_i\in[-\infty,\infty]$ umum, kita dapat menetapkan

$\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I}a_i^+-\sum_{i\in I}a_i^-$

jika ruas ini terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$, yakni sekurang-kurangnya salah satu dari $\sum_{i\in I}a_i^+$, $\sum_{i\in I}a_i^-$ berhingga, dengan $a^+=\max(a,0)$ dan $a^-=\max(-a,0)$ untuk setiap $a$. Jika $\sum_{i\in I}a_i$ terdefinisi dan berhingga, kita mengatakan bahwa $\familyiI{a_i}$ dapat dijumlahkan.

226Ab (b)

Karena buku ini membahas teori ukuran, saya akan langsung menguraikan hubungan antara dapat dijumlahkannya keluarga semacam ini dan konsep integrasi yang sesuai. Untuk setiap himpunan $I$, kita mempunyai ‘ukuran cacah’ $\mu$ pada $I$ yang bersesuaian (112Bd). Setiap subhimpunan dari $I$ terukur, sehingga setiap keluarga $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ bilangan real merupakan fungsi bernilai real terukur pada $I$. Suatu subhimpunan dari $I$ berukuran berhingga jika dan hanya jika subhimpunan itu berhingga; jadi fungsi bernilai real $f$ pada $I$ disebut ‘sederhana’ jika $K=\{i:f(i)\ne 0\}$ berhingga. Dalam hal ini,

$\int fd\mu=\sum_{i\in K}f(i)=\sum_{i\in I}f(i)$

sebagaimana didefinisikan dalam bagian (a). Ukuran $\mu$ semifinit (211Nc), sehingga fungsi nonnegatif $f$ terintegralkan jika dan hanya jika $\int f=\sup_{\mu K<\infty}\int_Kf$ berhingga (213B); tetapi tentu saja supremum ini tidak lain adalah

$\sup\{\sum_{i\in K}f(i):K\subseteq I\text{ berhingga}\} =\sum_{i\in I}f(i)$.

Sekarang suatu fungsi sembarang $f:I\to\Bbb R$ terintegralkan jika dan hanya jika fungsi itu terukur dan $\int|f|d\mu<\infty$, yakni, jika dan hanya jika $\sum_{i\in I}|f(i)|<\infty$, dan dalam hal ini

$\int fd\mu =\int f^+d\mu-\int f^-d\mu =\sum_{i\in I}f(i)^+-\sum_{i\in I}f(i)^- =\sum_{i\in I}f(i)$,

dengan menuliskan $f^{\pm}(i)=f(i)^{\pm}$ untuk setiap $i$. Jadi kita mempunyai

$\sum_{i\in I}a_i=\int_Ia_i\mu(di)$,

dan aturan baku yang memperbolehkan $\infty$ sebagai nilai suatu integral (133A, 135F) sangat selaras dengan penafsiran dalam (a) di atas.

226Ac (c)

Dengan demikian, dan seperti yang dapat diduga, operasi penjumlahan merupakan operasi linear pada ruang linear keluarga bilangan real yang dapat dijumlahkan.

Saya mencatat di sini bahwa konsep keterjumlahan ini bersifat ‘mutlak’; suatu keluarga $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ dapat dijumlahkan jika dan hanya jika keluarga itu dapat dijumlahkan mutlak. Hal ini diperlukan karena penjumlahannya juga harus ‘tak bersyarat’; kita tidak mempunyai struktur pada himpunan sembarang $I$ yang dapat mengarahkan kita untuk mengambil jumlah dalam suatu urutan tertentu. Lihat 226Xa. Secara khusus, saya membedakan ‘$\sum_{n\in\Bbb N}a_n$’, yang dalam buku ini selalu akan ditafsirkan seperti dalam 226A di atas, dari ‘$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$’, yang (jika pembedaan ini berpengaruh) harus ditafsirkan sebagai $\lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^ma_n$. Jadi, misalnya, $\sum_{n=0}^{\infty}\Bover{(-1)^n}{n+1}=\ln 2$, sedangkan $\sum_{n\in\Bbb N}\Bover{(-1)^n}{n+1}$ tidak terdefinisi. Tentu saja $\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n\in\Bbb N}a_n$ kapan pun jumlah yang terakhir terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$.

226Ad (d)

Ada pendekatan lain yang sangat penting terhadap jumlah yang diuraikan di sini. Jika $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ merupakan suatu keluarga bilangan real yang (secara mutlak) dapat dijumlahkan, maka untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat suatu $K\subseteq I$ berhingga sedemikian sehingga $\sum_{i\in I\setminus K}|a_i|\le\epsilon$. Bukti. Ini tidak lain daripada kasus khusus 225A; terdapat suatu himpunan $K$ dengan $\mu K<\infty$ sedemikian sehingga $\int_{I\setminus K}|a_i|\mu(di)\le\epsilon$, tetapi $\int_{I\setminus K}|a_i|\mu(di) =\sum_{i\in I\setminus K}|a_i|$. ∎ (Tentu saja ada pembuktian ‘langsung’ atas hasil ini dari definisi dalam (a), tanpa menyebut ukuran atau integral. Namun saya rasa Anda akan melihat bahwa pembuktian tersebut bertumpu pada gagasan yang sama dengan pembuktian 225A.) Akibatnya, untuk sembarang keluarga $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ bilangan real dan sembarang $s\in\Bbb R$, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) $\sum_{i\in I}a_i=s$;

(ii) untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat suatu $K\subseteq I$ berhingga sedemikian sehingga $|s-\sum_{i\in J}a_i|\le\epsilon$ kapan pun $J$ berhingga dan $K\subseteq J\subseteq I$.

Bukti. (i)$\Rightarrow$(ii) Ambil $K$ sedemikian sehingga $\sum_{i\in I\setminus K}|a_i|\le\epsilon$. Jika $K\subseteq J\subseteq I$, maka $|s-\sum_{i\in J}a_i|=|\sum_{i\in I\setminus J}a_i| \le\sum_{i\in I\setminus K}|a_i|\le\epsilon$. (ii)$\Rightarrow$(i) Misalkan $\epsilon>0$, dan misalkan $K\subseteq I$ seperti yang diuraikan dalam (ii). Jika $J\subseteq I\setminus K$ sembarang himpunan berhingga, tetapkan $J_1=\{i:i\in J,\,a_i\ge 0\}$, $J_2=J\setminus J_1$. Kita mempunyai \[\begin{aligned}\sum_{i\in J}|a_i| &=|\sum_{i\in J_1\cup K}a_i-\sum_{i\in J_2\cup K}a_i|\\ &\le|s-\sum_{i\in J_1\cup K}a_i|+|s-\sum_{i\in J_2\cup K}a_i| \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\] Karena $J$ sembarang, $\sum_{i\in I\setminus K}|a_i|\le 2\epsilon$ dan $\sum_{i\in I}|a_i|\le\sum_{i\in K}|a_i|+2\epsilon<\infty$. Oleh karena itu, $\sum_{i\in I}a_i$ terdefinisi dengan baik dalam $\Bbb R$. Selain itu, $|s-\sum_{i\in I}a_i| \le|s-\sum_{i\in K}a_i|+|\sum_{i\in I\setminus K}a_i| \le\epsilon+\sum_{i\in I\setminus K}|a_i| \le 3\epsilon$. Karena $\epsilon$ sembarang, $\sum_{i\in I}a_i=s$, sebagaimana diperlukan. ∎

Dengan cara ini kita menyatakan $\sum_{i\in I}a_i$ secara langsung sebagai suatu limit; kita dapat menuliskannya sebagai

$\sum_{i\in I}a_i=\lim_{K\uparrow I}\sum_{i\in K}a_i$,

dengan pengertian bahwa dalam rumus di ruas kanan kita hanya memperhatikan himpunan berhingga $K$.

226Ae (e)

Pendekatan lain lagi adalah melalui fakta berikut. Jika $\sum_{i\in I}|a_i|<\infty$, maka untuk sembarang $\delta>0$ himpunan $\{i:|a_i|\ge\delta\}$ berhingga, bahkan dapat mempunyai paling banyak ${1\over{\delta}}\sum_{i\in I}|a_i|$ anggota; akibatnya

$J=\{i:a_i\ne 0\} =\bigcup_{n\in\Bbb N}\{i:|a_i|\ge 2^{-n}\}$

terhitung (1A1F). Jika $J$ berhingga, maka tentu saja $\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in J}a_i$ menjadi suatu jumlah berhingga. Jika tidak, kita dapat mengenumerasi $J$ sebagai $\sequencen{j_n}$, dan kita akan mempunyai

$\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in J}a_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_{j_k}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{j_n}$

(menggunakan (d) untuk mereduksi jumlah $\sum_{i\in J}a_i$ menjadi limit jumlah-jumlah berhingga). Sebaliknya, jika $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ sedemikian sehingga terdapat suatu $J=\{i:a_i\ne 0\}$ tak hingga terhitung yang dienumerasi sebagai $\sequencen{j_n}$, dan jika $\sum_{n=0}^{\infty}|a_{j_n}|<\infty$, maka $\sum_{i\in I}a_i$ akan sama dengan $\sum_{n=0}^{\infty}a_{j_n}$.

226Af (f)

Kelak akan berguna untuk mempunyai suatu fragmen teori umum. Misalkan $I$ dan $J$ adalah himpunan, dan $\langle a_{ij}\rangle_{i\in I,j\in J}$ suatu keluarga dalam $[0,\infty]$. Maka

$\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij} =\sum_{i\in I}(\sum_{j\in J}a_{ij}) =\sum_{j\in J}(\sum_{i\in I}a_{ij})$.

Bukti. (i) Jika $\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij}>u$, maka terdapat suatu himpunan $M\subseteq I\times J$ berhingga sedemikian sehingga $\sum_{(i,j)\in M}a_{ij}>u$. Sekarang $K=\{i:\exists j\ (i,j)\in M\}$ dan $L=\{j:\exists i\ (i,j)\in M\}$ berhingga, sehingga \[\begin{aligned}\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij} &\ge\sum_{i\in K}\sum_{j\in J}a_{ij} \ge\sum_{i\in K}\sum_{j\in L}a_{ij}\\ \displaycause{karena $\sum_{j\in J}a_{ij}\ge\sum_{j\in L}a_{ij}$ untuk setiap $i$} &=\sum_{(i,j)\in K\times L}a_{ij} \ge\sum_{(i,j)\in M}a_{ij} >u.\\\end{aligned}\] Karena $u$ sembarang, $\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}\ge\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij}$. (ii) Jika $\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}>u\ge 0$, terdapat suatu himpunan $K\subseteq I$ tak kosong dan berhingga sedemikian sehingga $\sum_{i\in K}\sum_{j\in J}a_{ij}>u$. Misalkan $\epsilon\in\ooint{0,1}$ sedemikian sehingga $\sum_{i\in K}\sum_{j\in J}a_{ij}>u+\epsilon$, dan tetapkan $\delta=\Bover{\epsilon}{\#(K)}$. Untuk setiap $i\in K$, tetapkan $\gamma_i=\min(u+1,\sum_{j\in J}a_{ij})-\delta$; maka $\epsilon+\sum_{i\in K}\gamma_i =\sum_{i\in K}\min(u+1,\sum_{j\in J}a_{ij}) \ge\min(u+1,\sum_{i\in K}\sum_{j\in J}a_{ij}) >u+\epsilon$, sehingga $\sum_{i\in K}\gamma_i>u$. Untuk setiap $i\in K$, $\gamma_i<\sum_{j\in J}a_{ij}$, sehingga terdapat suatu $L_i\subseteq J$ berhingga sedemikian sehingga $\sum_{j\in L_i}a_{ij}\ge\gamma_i$. Tetapkan $M=\{(i,j):i\in K$, $j\in L_i\}$, sehingga $M$ merupakan subhimpunan berhingga dari $I\times J$; maka $\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij} \ge\sum_{(i,j)\in M}a_{ij} =\sum_{i\in K}\sum_{j\in L_i}a_{ij} \ge\sum_{i\in K}\gamma_i >u$. Karena $u$ sembarang, $\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij}\ge\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}$ dan kedua jumlah ini sama. (iii) Demikian pula, $\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{ij}=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}a_{ij}$. ∎

226B Fungsi saltus

Sekarang kita siap membahas suatu jenis khusus fungsi bervariasi terbatas pada $\Bbb R$. Misalkan $a<b$ dalam $\Bbb R$.

226Ba (a)

Suatu fungsi saltus (bernilai real) pada $[a,b]$ adalah fungsi $F:[a,b]\to\Bbb R$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk

$F(x)=\sum_{t\in\coint{a,x}}u_t+\sum_{t\in[a,x]}v_t$

untuk $x\in [a,b]$, dengan $\langle u_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$ dan $\langle v_t\rangle_{t\in[a,b]}$ keluarga-keluarga bernilai real sedemikian sehingga $\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|$ dan $\sum_{t\in[a,b]}|v_t|$ berhingga.

226Bb (b)

Untuk setiap fungsi $F:[a,b]\to\Bbb R$, kita dapat menuliskan

$F(x^+)=\lim_{y\downarrow x}F(y)$ jika $x\in\coint{a,b}$ dan limit tersebut ada,

$F(x^-)=\lim_{y\uparrow x}F(y)$ jika $x\in\ocint{a,b}$ dan limit tersebut ada.

(Saya harap hal ini tidak menimbulkan kebingungan dengan penafsiran lain atas $x^+$ sebagai $\max(x,0)$.) Perhatikan bahwa jika $F$ suatu fungsi saltus, sebagaimana didefinisikan dalam (a), dengan keluarga-keluarga terkait $\langle u_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$ dan $\langle v_t\rangle_{t\in[a,b]}$, maka $v_a=F(a)$, $v_x=F(x)-F(x^-)$ untuk $x\in\ocint{a,b}$ dan $u_x=F(x^+)-F(x)$ untuk $x\in\coint{a,b}$. Bukti. Misalkan $\epsilon>0$. Sebagaimana dicatat dalam 226Ad, terdapat suatu $K\subseteq[a,b]$ berhingga sedemikian sehingga $\sum_{t\in\coint{a,b}\setminus K}|u_t|+\sum_{t\in[a,b]\setminus K}|v_t|\le\epsilon$. Untuk $x\in[a,b]$ yang diberikan, misalkan $\delta>0$ sedemikian sehingga $[x-\delta,x+\delta]$ tidak memuat titik $K$ selain mungkin $x$. Dalam hal ini, jika $\max(a,x-\delta)\le y<x$, kita pasti mempunyai \[\begin{aligned}|F(y)-(F(x)-v_x)| &=|\sum_{t\in\coint{y,x}}u_t+\sum_{t\in\ooint{y,x}}v_t|\\ &\le\sum_{t\in\coint{a,b}\setminus K}|u_t| +\sum_{t\in[a,b]\setminus K}|v_t| \le\epsilon,\\\end{aligned}\] sedangkan jika $x<y\le\min(b,x+\delta)$, kita akan mempunyai \[\begin{aligned}|F(y)-(F(x)+u_x)| &=|\sum_{t\in\ooint{x,y}}u_t+\sum_{t\in\ocint{x,y}}v_t|\\ &\le\sum_{t\in\coint{a,b}\setminus K}|u_t| +\sum_{t\in[a,b]\setminus K}|v_t| \le\epsilon.\\\end{aligned}\] Karena $\epsilon$ sembarang, kita memperoleh $F(x^-)=F(x)-v_x$ (jika $x>a$) dan $F(x^+)=F(x)+u_x$ (jika $x<b$). ∎

Akibatnya, $F$ kontinu di $x\in\ooint{a,b}$ jika dan hanya jika $u_x=v_x=0$, sedangkan $F$ kontinu di $a$ jika dan hanya jika $u_a=0$, dan $F$ kontinu di $b$ jika dan hanya jika $v_b=0$. Secara khusus, $\{x:x\in[a,b],\,F\text{ tidak kontinu di }x\}$ terhitung (lihat 226Ae).

226Bc (c)

Jika $F$ suatu fungsi saltus yang didefinisikan pada $[a,b]$, dengan keluarga-keluarga terkait $\langle u_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$ dan $\langle v_t\rangle_{t\in[a,b]}$, maka $F$ bervariasi terbatas pada $[a,b]$, dan

$\Var_{[a,b]}(F) \le\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{a,b}}|v_t|$.

Bukti. Jika $a\le x<y\le b$, maka $F(y)-F(x)=u_x+\sum_{t\in\ooint{x,y}}(u_t+v_t)+v_y$, sehingga $|F(y)-F(x)| \le\sum_{t\in\coint{x,y}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{x,y}}|v_t|$. Jika $a\le a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\le b$, maka \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n|F(a_i)-F(a_{i-1})| &\le\sum_{i=1}^n\bigl(\sum_{t\in\coint{a_{i-1},a_i}}|u_t| +\sum_{t\in\ocint{a_{i-1},a_i}}|v_t|\bigr)\\ &\le\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{a,b}}|v_t|.\\\end{aligned}\] Akibatnya, $\Var_{[a,b]}(F) \le\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{a,b}}|v_t|<\infty$. ∎

226Bd (d)

Ketaksamaan dalam (c) sebenarnya merupakan kesamaan. Untuk melihatnya, perhatikan terlebih dahulu bahwa jika $a\le x<y\le b$, maka $\Var_{[x,y]}(F)\ge|u_x|+|v_y|$. Bukti. Saya mencatat dalam (b) bahwa $u_x=\lim_{t\downarrow x}F(t)-F(x)$ dan $v_y=F(y)-\lim_{t\uparrow y}F(t)$. Jadi, untuk $\epsilon>0$ yang diberikan, kita dapat menemukan $t_1$, $t_2$ sedemikian sehingga $x<t_1\le t_2<y$ dan $|F(t_1)-F(x)|\ge|u_x|-\epsilon$, $|F(y)-F(t_2)|\ge|v_y|-\epsilon$. Sekarang $\Var_{[x,y]}(F) \ge|F(t_1)-F(x)|+|F(t_2)-F(t_1)|+|F(y)-F(t_2)| \ge|u_x|+|v_y|-2\epsilon$. Karena $\epsilon$ sembarang, kita memperoleh hasil tersebut. ∎ Sekarang, untuk $a\le t_0<t_1<\ldots<t_n\le b$ yang diberikan, kita pasti mempunyai \[\begin{aligned}\Var_{[a,b]}(F) &\ge\sum_{i=1}^n\Var_{[t_{i-1},t_i]}(F)\\ &\text{(menggunakan 224Cc)}\\ &\ge\sum_{i=1}^n|u_{t_{i-1}}|+|v_{t_i}|.\\\end{aligned}\] Karena $t_0,\ldots,t_n$ sembarang, $\Var_{[a,b]}(F) \ge\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{a,b}}|v_t|$, sebagaimana diperlukan.

226Be (e)

Karena suatu fungsi saltus bervariasi terbatas ((c) di atas), fungsi itu terdiferensialkan hampir di mana-mana (224I). Sebenarnya turunannya nol hampir di mana-mana. Bukti. Misalkan $F:[a,b]\to\Bbb R$ suatu fungsi saltus, dengan keluarga-keluarga terkait $\langle u_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$ dan $\langle v_t\rangle_{t\in[a,b]}$. Misalkan $\epsilon>0$. Misalkan $K\subseteq[a,b]$ suatu himpunan berhingga sedemikian sehingga $\sum_{t\in\coint{a,b}\setminus K}|u_t|+\sum_{t\in[a,b]\setminus K}|v_t|\le\epsilon$. Tetapkan \[\begin{aligned}u'_t &=u_t\text{ jika }t\in\coint{a,b}\cap K,\\ &=0\text{ jika }t\in\coint{a,b}\setminus K,\\ v'_t&=v_t\text{ jika }t\in K,\\ &=0\text{ jika }t\in[a,b]\setminus K,\\ u''_t&=u_t-u'_t\text{ untuk }t\in\coint{a,b},\\ v''_t&=v_t-v'_t\text{ untuk }t\in[a,b].\\\end{aligned}\] Misalkan $G$ dan $H$ adalah fungsi-fungsi saltus yang bersesuaian dengan $\langle u'_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$, $\langle v'_t\rangle_{t\in[a,b]}$, $\langle u''_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$ dan $\langle v''_t\rangle_{t\in[a,b]}$, sehingga $F=G+H$. Maka $G'(t)=0$ untuk setiap $t\in\ooint{a,b}\setminus K$, karena $\ooint{a,b}\setminus K$ merupakan gabungan berhingga interval-interval terbuka, dan $G$ konstan pada setiap interval tersebut. Jadi $G'=0$ hampir di mana-mana dan $F'\eae H'$. Di sisi lain, $\int_a^b|H'|\le\Var_{[a,b]}(H) =\sum_{t\in\coint{a,b}\setminus K}|u_t| +\sum_{t\in\ocint{a,b}\setminus K}|v_t| \le\epsilon$, dengan menggunakan 224I dan (d) di atas. Jadi $\int_a^b|F'|=\int_a^b|H'|\le\epsilon$. Karena $\epsilon$ sembarang, $\int_a^b|F'|=0$ dan $F'=0$ hampir di mana-mana, sebagaimana diklaim. ∎

226C Dekomposisi Lebesgue bagi fungsi bervariasi terbatas

Ambil $a$, $b\in\Bbb R$ dengan $a<b$.

226Ca (a)

Jika $F:[a,b]\to\Bbb R$ tak-menurun, tetapkan $v_a=0$, $v_t=F(t)-F(t^-)$ untuk $t\in\ocint{a,b}$, $u_t=F(t^+)-F(t)$ untuk $t\in\coint{a,b}$, dengan mendefinisikan $F(t^+)$, $F(t^-)$ seperti dalam 226Bb. Maka semua $v_t$, $u_t$ nonnegatif, dan jika $a<t_0<t_1<\ldots<t_n< b$, maka

$\sum_{i=0}^n(u_{t_i}+v_{t_i}) =\sum_{i=0}^n(F(t_i^+)-F(t_i^-))\le F(b)-F(a)$.

Oleh karena itu, $\sum_{t\in\coint{a,b}}u_t$ dan $\sum_{t\in[a,b]}v_t$ keduanya berhingga. Misalkan $F_p$ adalah fungsi saltus yang bersesuaian, sebagaimana didefinisikan dalam 226Ba, sehingga

$F_p(x) =F(a^+)-F(a)+\sum_{t\in\ooint{a,x}}(F(t^+)-F(t^-))+F(x) -F(x^-)$

jika $a<x\le b$. Jika $a\le x<y\le b$, maka

\[\begin{aligned}F_p(y)-F_p(x) &=F(x^+)-F(x)+\sum_{t\in\ooint{x,y}}(F(t^+)-F(t^-))+F(y)-F(y^-) \\ &\le F(y)-F(x)\\\end{aligned}\]

sebab jika $x=t_0<t_1<\ldots<t_n<t_{n+1}=y$, maka

\[\begin{aligned}F(x^+)-F(x) &+\sum_{i=1}^{n}(F(t_i^+)-F(t_i^-))+F(y)-F(y^-)\\ &=F(y)-F(x)-\sum_{i=1}^{n+1}(F(t_i^-)-F(t_{i-1}^+)) \le F(y)-F(x).\\\end{aligned}\]

Oleh karena itu, baik $F_p$ maupun $F_c=F-F_p$ tak-menurun. Selain itu, karena

$F_p(a)=0=v_a$,

$F_p(t)-F_p(t^-)=v_t=F(t)-F(t^-)$ untuk $t\in\ocint{a,b}$,

$F_p(t^+)-F_p(t)=u_t=F(t^+)-F(t)$ untuk $t\in\coint{a,b}$,

kita akan mempunyai

$F_c(a)=F(a)$,

$F_c(t)=F_c(t^-)$ untuk $t\in\ocint{a,b}$,

$F_c(t)=F_c(t^+)$ untuk $t\in\coint{a,b}$,

dan $F_c$ kontinu.

Jelaslah bahwa penyajian $F=F_p+F_c$ ini sebagai jumlah suatu fungsi saltus dan suatu fungsi kontinu adalah unik, kecuali bahwa kita bebas menambahkan suatu konstanta pada salah satunya jika konstanta itu dikurangkan dari yang lain.

226Cb (b)

Dengan tetap menganggap $F:[a,b]\to\Bbb R$ tak-menurun, kita tahu bahwa $F'$ terintegralkan (222C); terlebih lagi, $F'\eae F'_c$, menurut 226Be. Tetapkan $F_{ac}(x)=F(a)+\int_a^xF'$ untuk setiap $x\in[a,b]$. Kita mempunyai

$F_{ac}(y)-F_{ac}(x)=\int_x^yF_c'\le F_c(y)-F_c(x)$

untuk $a\le x\le y\le b$ (sekali lagi menurut 222C), sehingga $F_{cs}=F_c-F_{ac}$ masih tak-menurun; $F_{ac}$ kontinu (225A), sehingga $F_{cs}$ kontinu; $F_{ac}'\eae F'\eae F_c'$ (222E), sehingga $F_{cs}'=0$ hampir di mana-mana.

Sekali lagi, penyajian $F_c=F_{ac}+F_{cs}$ sebagai jumlah suatu fungsi kontinu mutlak dan suatu fungsi dengan turunan nol hampir di mana-mana adalah unik, kecuali untuk kemungkinan memindahkan suatu konstanta dari yang satu ke yang lain, karena dua fungsi kontinu mutlak yang turunannya sama hampir di mana-mana hanya dapat berbeda dengan suatu konstanta (225D).

226Cc (c)

Dengan merangkum semua hal ini: jika $F:[a,b]\to\Bbb R$ adalah sembarang fungsi tak-menurun, fungsi tersebut dapat diuraikan sebagai $F_p+F_{ac}+F_{cs}$, dengan $F_p$ fungsi saltus, $F_{ac}$ kontinu mutlak, dan $F_{cs}$ kontinu dan turunannya ada serta bernilai nol hampir di mana-mana; ketiga komponennya tak-menurun; dan penguraian itu unik jika kita menetapkan bahwa $F_{ac}(a)=F(a)$ dan $F_p(a)=F_{cs}(a)=0$.

Fungsi Cantor $f:[0,1]\to[0,1]$ (134H) kontinu dan $f'=0$ hampir di mana-mana (134Hb), sehingga $f_p=f_{ac}=0$ dan $f=f_{cs}$. Dengan menetapkan $g(x)=\bover12(x+f(x))$ untuk $x\in[0,1]$, seperti dalam 134I, kita memperoleh $g_p(x)=0$, $g_{ac}(x)={x\over 2}$ dan $g_{cs}(x)={1\over 2}f(x)$.

226Cd (d)

Sekarang andaikan bahwa $F:[a,b]\to\Bbb R$ bervariasi terbatas. Maka fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai selisih $G-H$ antara fungsi-fungsi tak-menurun (224D). Jadi, dengan menuliskan $F_p=G_p-H_p$, dan seterusnya, kita dapat menyatakan $F$ sebagai jumlah $F_p+F_{cs}+F_{ac}$, dengan $F_p$ fungsi saltus, $F_{ac}$ kontinu mutlak, $F_{cs}$ kontinu, $F_{cs}'=0$ hampir di mana-mana, $F_{ac}(a)=F(a)$ dan $F_{cs}(a)=F_{p}(a)=0$. Di bawah syarat-syarat ini penyajian tersebut unik, karena (sebagai contoh) $F_p(t^+)-F_p(t)=F(t^+)-F(t)$ untuk $t\in\coint{a,b}$, sedangkan $F_{ac}'\eae(F-F_p)'\eae F'$.

Ini adalah suatu dekomposisi Lebesgue dari fungsi $F$. (Saya harus mengatakan ‘suatu’ dekomposisi Lebesgue karena tentu saja penetapan $F_{ac}(a)=F(a)$, $F_{p}(a)=F_{cs}(a)=0$ bersifat sebarang.) Saya akan menyebut $F_p$ sebagai bagian saltus dari $F$.

226D Fungsi kompleks

Modifikasi yang diperlukan untuk menangani fungsi kompleks bersifat elementer.

(a) Jika $I$ sembarang himpunan dan $\langle a_j\rangle_{j\in I}$ suatu keluarga bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) $\sum_{j\in I}|a_j|<\infty$;

(ii) terdapat $s\in\Bbb C$ sedemikian sehingga untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat suatu himpunan berhingga $K\subseteq I$ sedemikian sehingga $|s-\sum_{j\in J}a_j|\le\epsilon$ kapan pun $J$ berhingga dan $K\subseteq J\subseteq I$.

Dalam hal ini

$s=\sum_{j\in I}\Real(a_j)+i\sum_{j\in I}\Imag(a_j)=\int_Ia_j\mu(dj)$,

dengan $\mu$ ukuran cacah pada $I$, dan kita menulis $s=\sum_{j\in I}a_j$.

226Db (b)

Jika $a<b$ dalam $\Bbb R$, suatu fungsi saltus kompleks pada $[a,b]$ adalah fungsi $F:[a,b]\to\Bbb C$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk

$F(x)=\sum_{t\in\coint{a,x}}u_t+\sum_{t\in[a,x]}v_t$

untuk $x\in [a,b]$, dengan $\langle u_t\rangle_{t\in\coint{a,b}}$, $\langle v_t\rangle_{t\in[a,b]}$ keluarga-keluarga bernilai kompleks sedemikian sehingga $\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|$ dan $\sum_{t\in[a,b]}|v_t|$ berhingga; yakni, jika bagian real dan bagian imajiner dari $F$ adalah fungsi saltus. Dalam hal ini $F$ kontinu kecuali pada terhitung banyak titik, dan turunannya ada serta bernilai nol hampir di mana-mana dalam $[a,b]$, serta

$u_x=\lim_{t\downarrow x}F(t)-F(x)$ untuk setiap $x\in\coint{a,b}$,

$v_x=\lim_{t\uparrow x}F(x)-F(t)$ untuk setiap $x\in\ocint{a,b}$

(terapkan hasil-hasil 226B pada bagian real dan imajiner dari $F$). $F$ bervariasi terbatas, dan variasinya adalah

$\Var_{[a,b]}(F) =\sum_{t\in\coint{a,b}}|u_t|+\sum_{t\in\ocint{a,b}}|v_t|$

(ulangi argumen-argumen 226Bc-d).

226Dc (c)

Jika $F:[a,b]\to\Bbb C$ adalah fungsi bervariasi terbatas, dengan $a<b$ dalam $\Bbb R$, maka fungsi tersebut secara unik dapat dinyatakan sebagai $F=F_p+F_{cs}+F_{ac}$, dengan $F_p$ fungsi saltus, $F_{ac}$ kontinu mutlak, $F_{cs}$ kontinu dan turunannya bernilai nol hampir di mana-mana, serta $F_{ac}(a)=F(a)$, $F_p(a)=F_{cs}(a)=0$. (Terapkan 226C pada bagian real dan imajiner dari $F$.)

226E

Sebagai suatu latihan elementer dalam bahasa 226A, saya sisipkan sebuah versi dari suatu teorema B. Levi

yang kadang-kadang berguna.

Proposisi Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $I$ suatu himpunan terhitung, dan $\familyiI{f_i}$ suatu keluarga fungsi bernilai real atau kompleks yang $\mu$-terintegralkan sedemikian sehingga $\sum_{i\in I}\int|f_i|d\mu$ berhingga. Maka $f(x)=\sum_{i\in I}f_i(x)$ terdefinisi hampir di mana-mana dan $\int fd\mu=\sum_{i\in I}\int f_id\mu$.

Bukti

Jika $I$ berhingga, hal ini elementer. Jika tidak, karena harus terdapat suatu bijeksi antara $I$ dan $\Bbb N$, kita boleh menganggap $I=\Bbb N$. Dengan menetapkan $g_n=\sum_{i=0}^n|f_i|$ untuk setiap $n$, kita mempunyai suatu barisan tak-menurun $\sequencen{g_n}$ dari fungsi-fungsi terintegralkan sedemikian sehingga $\int g_n\le\sum_{i\in\Bbb N}\int|f_i|$ untuk setiap $n$, sehingga $g=\sup_{n\in\Bbb N}g_n$ terintegralkan, menurut teorema B. Levi sebagaimana dinyatakan dalam 123A. Khususnya, $g$ berhingga hampir di mana-mana. Sekarang, jika $x\in X$ sedemikian sehingga $g(x)$ terdefinisi dan berhingga, $\sum_{i\in J}|f_i(x)|\le g(x)$ untuk setiap $J\subseteq\Bbb N$ yang berhingga, sehingga $\sum_{i\in\Bbb N}|f_i(x)|$ dan $\sum_{i\in\Bbb N}f_i(x)$ terdefinisi. Dalam hal ini, tentu saja, $\sum_{i\in\Bbb N}f_i(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nf_i(x)$. Tetapi $|\sum_{i=0}^nf_i|\leae g$ untuk setiap $n$, sehingga Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue menunjukkan bahwa

$\int\sum_{i\in\Bbb N}f_i =\lim_{n\to\infty}\int\sum_{i=0}^nf_i =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int f_i =\sum_{i\in\Bbb N}\int f_i$.

Latihan

226X Latihan dasar $\pmb{>}$(a) penting

Andaikan $I$ dan $J$ himpunan-himpunan dan $\familyiI{a_i}$ suatu keluarga bilangan real yang dapat dijumlahkan. (i) Tunjukkan bahwa jika $f:J\to I$ injektif, maka $\family{j}{J}{a_{f(j)}}$ dapat dijumlahkan. (ii) Tunjukkan bahwa jika $g:I\to J$ sembarang fungsi, maka $\sum_{j\in J}\sum_{i\in g^{-1}[\{j\}]}a_i$ terdefinisi dan sama dengan $\sum_{i\in I}a_i$.

226Xb (>b) penting

Suatu fungsi tangga pada interval $[a,b]$ adalah fungsi $F$ sedemikian sehingga, untuk suatu pilihan $t_0,\ldots,t_n$ dengan $a=t_0\le\ldots\le t_n=b$, $F$ konstan pada setiap interval $\ooint{t_{i-1},t_i}$. Tunjukkan bahwa $F:[a,b]\to\Bbb R$ merupakan fungsi saltus jika dan hanya jika untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat fungsi tangga $G:[a,b]\to\Bbb R$ sedemikian sehingga $\Var_{[a,b]}(F-G)\le\epsilon$.

226Xc (c)

Misalkan $F$, $G$ fungsi-fungsi bernilai real yang bervariasi terbatas dan didefinisikan pada interval $[a,b]\subseteq\Bbb R$. Tunjukkan bahwa, dalam bahasa 226C,

$(F+G)_p=F_p+G_p$, $(F+G)_c=F_c+G_c$,

$(F+G)_{cs}=F_{cs}+G_{cs}$, $(F+G)_{ac}=F_{ac}+G_{ac}$.

226Xd (>d) penting

Misalkan $F$ suatu fungsi bernilai real yang bervariasi terbatas pada interval $[a,b]\subseteq\Bbb R$. Tunjukkan bahwa, dalam bahasa 226C,

$\Var_{[a,b]}(F) =\Var_{[a,b]}(F_p)+\Var_{[a,b]}(F_c) =\Var_{[a,b]}(F_p)+\Var_{[a,b]}(F_{cs})+\Var_{[a,b]}(F_{ac})$.

226Xe (e)

Misalkan $F$ suatu fungsi bernilai real yang bervariasi terbatas pada interval $[a,b]\subseteq\Bbb R$. Tunjukkan bahwa $F$ kontinu mutlak jika dan hanya jika $\Var_{[a,b]}(F)=\int_a^b|F'|$.

226Xf (f)

Tinjau fungsi $g$ dari 134I/226Cc. Tunjukkan bahwa $g^{-1}:[0,1]\to[0,1]$ terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam $[0,1]$, dan tentukan $\mu\{x:(g^{-1})'(x)\le a\}$ untuk setiap $a\in\Bbb R$.

226Y Latihan lanjutan (a)

Tunjukkan bahwa suatu himpunan $I$ terhitung jika dan hanya jika terdapat suatu keluarga $\familyiI{a_i}$ dari bilangan-bilangan real tak nol yang dapat dijumlahkan.

226Yb (b)

Jelaskan modifikasi yang mungkin sesuai dalam deskripsi dekomposisi Lebesgue dari suatu fungsi bervariasi terbatas jika kita ingin meninjau fungsi pada interval terbuka atau setengah terbuka, termasuk interval tak terbatas.

226Yc (c)

Andaikan $F:[a,b]\to\Bbb R$ suatu fungsi bervariasi terbatas, dan tetapkan $h(y)=\#(F^{-1}[\{y\}])$ untuk $y\in\Bbb R$. Tunjukkan bahwa $\int h=\Var_{[a,b]}(F_c)$, dengan $F_c$ ‘bagian kontinu’ dari $F$ sebagaimana didefinisikan dalam 226Ca/226Cd.

226Yd (d)

Andaikan $a<b$ dalam $\Bbb R$, dan $F:[a,b]\to\Bbb R$ suatu fungsi bervariasi terbatas; misalkan $F_p$ bagian saltusnya. Tunjukkan bahwa $|F(b)-F(a)|\le\mu F[\,[a,b]\,]+\Var_{[a,b]}F_p$, dengan $\mu$ ukuran Lebesgue pada $\Bbb R$.

Catatan dan komentar

226-notes Catatan penutup untuk Bagian 226

Dalam 232I dan 232Yb di bawah ini saya akan meninjau kembali gagasan-gagasan ini, dengan mengaitkannya dengan suatu dekomposisi ukuran Lebesgue–Stieltjes yang bersesuaian dengan suatu fungsi real tak-menurun, dan selanjutnya dengan ukuran-ukuran yang lebih umum. Seluruh pembahasan ini bersifat sampingan terhadap pokok perhatian volume ini, tetapi menurut saya pembahasan tersebut mencerahkan, dan tentu saja merupakan bagian dari pengetahuan dasar yang dianggap dimiliki oleh siapa pun yang bekerja dalam analisis real.