Operasi pada ukuran — Fondasi Teori Ukuran

Saya menggunakan beberapa halaman untuk menguraikan sejumlah konstruksi baku. Gagasan-gagasannya langsung, tetapi sejumlah perincian perlu dikerjakan agar dapat dipadukan secara kokoh ke dalam kerangka umum yang saya gunakan. Langkah pertama adalah memperkenalkan secara formal fungsi-fungsi pelestari ukuran melalui prapeta (234A-234B), kelas transformasi terpenting di antara ruang-ruang ukur. Untuk membangun ukuran baru, kita memiliki konsep ukuran citra (234C-234E), jumlah ukuran (234G-234H), dan ukuran integral tak tentu (234I-234O). Terakhir, saya menyebutkan suatu cara mengurutkan ukuran-ukuran pada suatu himpunan tertentu (234P-234Q).

234A Fungsi pelestari ukuran melalui prapeta

Sudah tiba waktunya saya memperkenalkan hal yang paling mendekati suatu ‘morfisme’ dalam teori ukuran. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang ukur, suatu fungsi \(\phi:X\to Y\) disebut pelestari ukuran melalui prapeta jika \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) dan \(\mu(\phi^{-1}[F])=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

234B Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta.

(a) Jika \(\hat\mu\), \(\hat\nu\) masing-masing adalah pelengkapan dari \(\mu\), \(\nu\), maka \(\phi\) juga pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\hat\nu\).

(b) \(\mu\) adalah ukuran peluang jika dan hanya jika \(\nu\) adalah ukuran peluang.

(d)(i) Jika \(\nu\) \(\sigma\)-hingga, maka \(\mu\) \(\sigma\)-hingga.

(ii) Jika \(\nu\) semihingga dan \(\mu\) \(\sigma\)-hingga, maka \(\nu\) \(\sigma\)-hingga.

(e)(i) Jika \(\nu\) \(\sigma\)-hingga dan tanpa atom, maka \(\mu\) tanpa atom.

(ii) Jika \(\nu\) semihingga dan \(\mu\) atomik murni, maka \(\nu\) atomik murni.

(f)(i) \(\mu^*\phi^{-1}[B]\le\nu^*B\) untuk setiap \(B\subseteq Y\).

(ii) \(\mu^*A\le\nu^*\phi[A]\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

(g) Jika \((Z,\Lambda,\lambda)\) adalah ruang ukur lain, dan \(\psi:Y\to Z\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta, maka \(\psi\phi:X\to Z\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

Bukti

(a) Jika \(\hat\nu\) mengukur \(F\), terdapat \(F'\), \(F''\in\Tau\) sedemikian sehingga \(F'\subseteq F\subseteq F''\) dan \(\nu(F''\setminus F')=0\). Sekarang

\(\phi^{-1}[F']\subseteq\phi^{-1}[F]\subseteq\phi^{-1}[F'']\), \(\mu(\phi^{-1}[F'']\setminus\phi^{-1}[F'])=\nu(F''\setminus F')=0\),

sehingga \(\hat\mu\) mengukur \(\phi^{-1}[F]\) dan

\(\hat\mu(\phi^{-1}[F])=\mu\phi^{-1}[F']=\nu F'=\hat\nu F\).

Karena \(F\) sembarang, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\hat\nu\).

(b)-(c) tentu saja jelas.

(d)(i) Jika \(\sequencen{F_n}\) adalah penutup \(Y\) oleh himpunan-himpunan berukuran berhingga terhadap \(\nu\), maka \(\sequencen{\phi^{-1}[F_n]}\) adalah penutup \(X\) oleh himpunan-himpunan berukuran berhingga terhadap \(\mu\).

(ii) Misalkan \(\Cal F\subseteq\Tau\) suatu keluarga saling lepas dari himpunan-himpunan yang tidak terabaikan terhadap \(\nu\). Maka \(\family{F}{\Cal F}{\phi^{-1}[F]}\) adalah keluarga saling lepas dari himpunan-himpunan yang tidak terabaikan terhadap \(\mu\). Menurut 215B(iii), \(\Cal F\) terhitung. Dengan menggunakan 215B(iii) dalam arah sebaliknya, \(\nu\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

(e)(i) Andaikan \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E>0\). Misalkan \(\sequencen{F_n}\) suatu penutup \(Y\) oleh himpunan-himpunan berukuran berhingga terhadap \(\nu\). Karena \(\nu\) tanpa atom, untuk setiap \(n\) kita dapat menemukan suatu partisi berhingga \(\family{i}{I_n}{F_{ni}}\) dari \(F_n\) sedemikian sehingga \(\nu F_{ni}<\mu E\) untuk setiap \(i\in I_n\) (gunakan 215D berulang kali). Sekarang \(X=\bigcup_{n\in\Bbb N,i\in I_n}\phi^{-1}[F_{ni}]\), sehingga terdapat \(n\in\Bbb N\) dan \(i\in I_n\) dengan

\(0<\mu(E\cap\phi^{-1}[F_{ni}]) \le\mu\phi^{-1}[F_{ni}]=\nu F_{ni}<\mu E\),

dan \(E\) bukan atom terhadap \(\mu\). Karena \(E\) sembarang, \(\mu\) tanpa atom.

(ii) Andaikan \(F\in\Tau\) dan \(\nu F>0\). Karena \(\nu\) semihingga, terdapat suatu \(F_1\subseteq F\) sedemikian sehingga \(0<\nu F_1<\infty\). Sekarang \(\mu\phi^{-1}[F_1]>0\); karena \(\mu\) atomik murni, terdapat suatu atom terhadap \(\mu\), \(E\subseteq\phi^{-1}[F_1]\).

Misalkan \(\Cal G\) adalah himpunan semua \(G\in\Tau\) sedemikian sehingga \(G\subseteq F_1\) dan \(\mu(E\cap\phi^{-1}[G])=0\). Gabungan setiap barisan di dalam \(\Cal G\) termasuk dalam \(\Cal G\), sehingga menurut 215Ac terdapat suatu \(H\in\Cal G\) sedemikian sehingga \(\nu(G\setminus H)=0\) kapan pun \(G\in\Cal G\). Tinjau \(F_1\setminus H\). Kita mempunyai

\(\nu(F_1\setminus H) =\mu(\phi^{-1}[F_1]\setminus\phi^{-1}[H]) \ge\mu(E\setminus\phi^{-1}[H]) =\mu E>0\).

Jika \(G\in\Tau\) dan \(G\subseteq F_1\setminus H\), maka salah satu dari \(E\cap\phi^{-1}[G]\) dan \(E\setminus\phi^{-1}[G]\) terabaikan terhadap \(\mu\). Dalam kasus pertama, \(G\in\Cal G\) dan \(G=G\setminus H\) terabaikan terhadap \(\nu\). Dalam kasus kedua, \(F_1\setminus G\in\Cal G\) dan \((F_1\setminus H)\setminus G\) terabaikan terhadap \(\nu\). Karena \(G\) sembarang, \(F_1\setminus H\) adalah atom terhadap \(\nu\) yang termuat dalam \(F\); karena \(F\) sembarang, \(\nu\) atomik murni.

(f)(i) Misalkan \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(B\subseteq F\) dan \(\nu^*B=\nu F\) (132Aa); maka \(\phi^{-1}[B]\subseteq\phi^{-1}[F]\), sehingga

\(\mu^*\phi^{-1}[B]\le\mu\phi^{-1}[F]=\nu F=\nu^*B\).

(ii) \(\mu^*A\le\mu^*(\phi^{-1}[\phi[A]])\le\nu^*\phi[A]\) menurut (i).

(g) Untuk sembarang \(W\in\Lambda\),

\(\mu(\psi\phi)^{-1}[W]=\mu\phi^{-1}[\psi^{-1}[W]] =\nu\psi^{-1}[W]=\lambda W\).

234C Ukuran citra

Konstruksi berikut adalah salah satu cara paling umum bagi ruang-ruang ukur baru untuk muncul.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) sembarang himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tetapkan

\(\Tau=\{F:F\subseteq Y,\,\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\), \(\nu F=\mu(\phi^{-1}[F])\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

Maka \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang ukur.

Bukti

(a) \(\emptyset=\phi^{-1}[\emptyset]\in\Sigma\), sehingga \(\emptyset\in\Tau\).

(b) Jika \(F\in\Tau\), maka \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\), sehingga \(X\setminus\phi^{-1}[F]\in\Sigma\); tetapi \(X\setminus\phi^{-1}[F]=\phi^{-1}[Y\setminus F]\), sehingga \(Y\setminus F\in\Tau\).

(c) Jika \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan di dalam \(\Tau\), maka \(\phi^{-1}[F_n]\in\Sigma\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi^{-1}[F_n]\in\Sigma\); tetapi \(\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]=\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi^{-1}[F_n]\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\in\Tau\).

Dengan demikian, \(\Tau\) adalah aljabar-sigma.

(d) \(\nu\emptyset=\mu\phi^{-1}[\emptyset]=\mu\emptyset=0\).

(e) Jika \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan saling lepas di dalam \(\Tau\), maka \(\sequencen{\phi^{-1}[F_n]}\) suatu barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\), sehingga

\(\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n) =\mu\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n] =\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi^{-1}[F_n]) =\sum_{n=0}^{\infty}\mu\phi^{-1}[F_n] =\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n\).

Jadi, \(\nu\) adalah ukuran.

234D Definisi

Dalam konteks 234C, \(\nu\) disebut ukuran citra atau ukuran dorong-maju; saya akan menuliskannya sebagai \(\mu\phi^{-1}\).

Catatan Barangkali perlu saya katakan bahwa konstruksi ini tidak selalu menghasilkan secara persis ukuran yang ‘tepat’ pada \(Y\); terdapat keadaan ketika suatu modifikasi dari ukuran \(\mu\phi^{-1}\) yang diuraikan di sini lebih berguna. Namun, saya akan mencatat keadaan tersebut secara eksplisit saat muncul; ketika saya menggunakan frasa tanpa hiasan ‘ukuran citra’, yang saya maksud adalah ukuran yang dibangun di atas.

234E Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) suatu himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi; misalkan \(\mu\phi^{-1}\) ukuran citra pada \(Y\).

(a) \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\mu\) dan \(\mu\phi^{-1}\).

(b) Jika \(\mu\) lengkap, maka demikian pula \(\mu\phi^{-1}\).

(c) Jika \(Z\) suatu himpunan lain, dan \(\psi:Y\to Z\) suatu fungsi, maka ukuran-ukuran citra \(\mu(\psi\phi)^{-1}\) dan \((\mu\phi^{-1})\psi^{-1}\) pada \(Z\) adalah sama.

234F

Dalam arah sebaliknya, konstruksi ukuran tarik-balik berikut kadang-kadang berguna.

Proposisi Misalkan \(X\) suatu himpunan, \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\phi [X]\) mempunyai ukuran luar penuh dalam \(Y\). Maka terdapat suatu ukuran \(\mu\) pada \(X\), dengan domain \(\Sigma=\{\phi^{-1}[F]:F\in\Tau\}\), sedemikian sehingga \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\mu\) dan \(\nu\).

Bukti

Pemeriksaan bahwa \(\Sigma\) adalah aljabar-sigma subhimpunan dari \(X\) bersifat langsung; yang perlu kita ketahui hanyalah bahwa \(\phi^{-1}[\emptyset]=\emptyset\), \(X\setminus\phi^{-1}[F]=\phi^{-1}[Y\setminus F]\) untuk setiap \(F\subseteq Y\), dan bahwa \(\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]=\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi^{-1}[F_n]\) untuk setiap barisan \(\sequencen{F_n}\) dari subhimpunan-subhimpunan \(Y\). Fakta kuncinya ialah bahwa jika \(F_1\), \(F_2\in\Tau\) dan \(\phi^{-1}[F_1]=\phi^{-1}[F_2]\), maka \(\phi[X]\) tidak bertemu dengan \(F_1\symmdiff F_2\); karena \(\phi[X]\) mempunyai ukuran luar penuh, \(F_1\symmdiff F_2\) terabaikan terhadap \(\nu\) dan \(\nu F_1=\nu F_2\). Dengan demikian, rumus \(\mu\phi^{-1}[F]=\nu F\) memang mendefinisikan suatu fungsi \(\mu:\Sigma\to[0,\infty]\). Sekarang

\(\mu\emptyset=\mu\phi^{-1}[\emptyset]=\nu\emptyset=0\).

Selanjutnya, jika \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\), pilih \(F_n\in\Tau\) sedemikian sehingga \(E_n=\phi^{-1}[F_n]\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Barisan \(\sequencen{F_n}\) belum tentu saling lepas, tetapi jika kita menetapkan \(F'_n=F_n\setminus\bigcup_{i<n}F_i\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), maka \(\sequencen{F'_n}\) saling lepas dan

\(E_n=E_n\setminus\bigcup_{i<n}E_i=\phi^{-1}[F'_n]\)

untuk setiap \(n\); sehingga

\(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n) =\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}F'_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\nu F'_n =\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

Karena \(\sequencen{E_n}\) sembarang, \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\), sebagaimana diperlukan.

234G Jumlah ukuran

Sekarang saya beralih ke cara yang sangat berbeda untuk membangun ukuran. Gagasannya jelas, tetapi perincian teknisnya, dalam kasus umum yang ingin saya kaji, perlu diperhatikan.

Proposisi Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga ukuran pada \(X\). Untuk setiap \(i\in I\), misalkan \(\Sigma_i\) domain dari \(\mu_i\). Tetapkan \(\Sigma=\Cal PX\cap\bigcap_{i\in I}\Sigma_i\) dan definisikan \(\mu:\Sigma\to[0,\infty]\) dengan menetapkan \(\mu E=\sum_{i\in I}\mu_iE\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Maka \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\).

Catatan Dalam konteks ini, saya akan menyebut \(\mu\) jumlah dari keluarga \(\familyiI{\mu_i}\).

234H Proposisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga ukuran lengkap pada \(X\) dengan jumlah \(\mu\).

(a) \(\mu\) lengkap.

(b)(i) Suatu subhimpunan dari \(X\) terabaikan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika subhimpunan tersebut terabaikan terhadap \(\mu_i\) untuk setiap \(i\in I\).

(ii) Suatu subhimpunan dari \(X\) koterabaikan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika subhimpunan tersebut koterabaikan terhadap \(\mu_i\) untuk setiap \(i\in I\).

(c) Misalkan \(f\) suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\) dan bernilai dalam \([-\infty,\infty]\). Maka \(\int fd\mu\) terdefinisi di \([-\infty,\infty]\) jika dan hanya jika \(\int fd\mu_i\) terdefinisi di \([-\infty,\infty]\) untuk setiap \(i\), dan salah satu dari \(\sum_{i\in I}\int f^+d\mu_i\), \(\sum_{i\in I}\int f^-d\mu_i\) berhingga; dalam hal ini \(\int fd\mu=\sum_{i\in I}\int fd\mu_i\).

Bukti

Tuliskan \(\Sigma_i=\dom\mu_i\) untuk \(i\in I\), \(\Sigma=\Cal PX\cap\bigcap_{i\in I}\Sigma_i=\dom\mu\).

(a) Jika \(E\subseteq F\in\Sigma\) dan \(\mu F=0\), maka \(\mu_iF=0\) untuk setiap \(i\in I\); karena \(\mu_i\) lengkap, \(E\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\), dan \(E\in\Sigma\).

(b) Sekarang ini langsung mengikuti, karena suatu himpunan \(A\subseteq X\) terabaikan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika \(\mu A=0\).

(c)(i) Pertama-tama perhatikan bahwa (b-ii) memberi tahu kita bahwa, di bawah salah satu hipotesis, \(\dom f\) koterabaikan baik terhadap \(\mu\) maupun terhadap setiap \(\mu_i\). Jadi, jika kita memperluas \(f\) ke \(X\) dengan memberinya nilai \(0\) pada \(X\setminus\dom f\), baik \(\int fd\mu\) maupun \(\sum_{i\in I}\int fd\mu_i\) tidak terpengaruh. Karena itu, mulai sekarang andaikan bahwa \(f\) didefinisikan di seluruh \(X\). Sekarang jelas bahwa salah satu hipotesis memastikan \(f\) terukur terhadap \(\Sigma\), yakni terukur terhadap \(\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\).

(ii) Andaikan \(f\) nonnegatif. Untuk \(n\in\Bbb N\), tetapkan \(f_n(x)=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\}\), sehingga \(\sequencen{f_n}\) adalah barisan tak-menurun dengan supremum \(f\). Kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int f_nd\mu &=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\} =\sum_{k=1}^{4^n}\sum_{i\in I}2^{-n}\mu_i\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\}\\ &=\sum_{i\in I}\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu_i\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\} =\sum_{i\in I}\int f_nd\mu_i\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(n\), sehingga

\[\begin{aligned}\int fd\mu &=\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\mu =\sup_{n\in\Bbb N}\sup_{J\subseteq I\text{ berhingga}} \sum_{i\in J}\int f_nd\mu_i =\sup_{J\subseteq I\text{ berhingga}}\sup_{n\in\Bbb N} \sum_{i\in J}\int f_nd\mu_i\\ &=\sup_{J\subseteq I\text{ berhingga}} \lim_{n\to\infty}\sum_{i\in J}\int f_nd\mu_i =\sup_{J\subseteq I\text{ berhingga}} \sum_{i\in J}\lim_{n\to\infty}\int f_nd\mu_i =\sum_{i\in I}\int fd\mu_i.\\\end{aligned}\]

(iii) Secara umum,

\[\begin{aligned}\int fd\mu&\text{ terdefinisi di }[-\infty,\infty]\\ &\iff\int f^+d\mu\text{ dan }\int f^-d\mu \text{ terdefinisi dan paling banyak salah satunya tak berhingga}\\ &\iff\sum_{i\in I}\int f^+d\mu_i\text{ dan }\sum_{i\in I}\int f^-d\mu_i \text{ terdefinisi dan paling banyak salah satunya tak berhingga}\\ &\iff\int fd\mu_i\text{ terdefinisi untuk setiap }i \text{ dan paling banyak salah satu dari }\sum_{i\in I}\int f^+d\mu_i,\\ &\mskip400mu \sum_{i\in I}\int f^-d\mu_i\text{ tak berhingga},\\\end{aligned}\]

dan dalam hal ini

\(\int fd\mu =\int f^+d\mu-\int f^-d\mu =\sum_{i\in I}\int f^+d\mu_i-\sum_{i\in I}\int f^-d\mu_i =\sum_{i\in I}\int fd\mu_i\).

234I Ukuran integral tak tentu

Dengan memperluas gagasan yang telah digunakan dalam 232D, kita sampai pada konstruksi berikut; sekali lagi, kita perlu berhati-hati terhadap perincian formal jika ingin memperoleh manfaat sepenuhnya.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f\) suatu fungsi bernilai real nonnegatif yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Tuliskan \(\nu F=\int f\times\chi F\,d\mu\) kapan pun \(F\subseteq X\) sedemikian sehingga integral tersebut terdefinisi di \([0,\infty]\) menurut konvensi 133A. Maka \(\nu\) adalah ukuran lengkap pada \(X\), dan domainnya mencakup \(\Sigma\).

Bukti

(a) Tuliskan \(\Tau\) untuk domain \(\nu\), yakni keluarga himpunan \(F\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\int f\times\chi F\,d\mu\) terdefinisi di \([0,\infty]\), yakni \(f\times\chi F\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\) (133A). Maka \(\Tau\) adalah aljabar-sigma subhimpunan dari \(X\). Bukti. Untuk setiap \(F\in\Tau\), misalkan \(H_F\subseteq X\) suatu himpunan koterabaikan terhadap \(\mu\) sedemikian sehingga \(f\times\chi F\restr H_F\) terukur terhadap \(\Sigma\). Karena \(f\) sendiri terukur secara virtual terhadap \(\mu\), \(X\in\Tau\). Jika \(F\in\Tau\), maka

\(f\times\chi(X\setminus F)\restr(H_X\cap H_F) =f\restr(H_X\cap H_F)-(f\times\chi F)\restr(H_X\cap H_F)\)

terukur terhadap \(\Sigma\), sedangkan \(H_X\cap H_F\) koterabaikan terhadap \(\mu\), sehingga \(X\setminus F\in\Tau\). Jika \(\sequencen{F_n}\) adalah barisan di dalam \(\Tau\) dengan gabungan \(F\), tetapkan \(H=\bigcap_{n\in\Bbb N}H_{F_n}\); maka \(H\) koterabaikan, \(f\times\chi F_n\restr H\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dan \(f\times\chi F=\sup_{n\in\Bbb N}f\times\chi F_n\), sehingga \(f\times\chi F\restr H\) terukur terhadap \(\Sigma\), dan \(F\in\Tau\). Dengan demikian, \(\Tau\) adalah aljabar-sigma. Jika \(F\in\Sigma\), maka \(f\times\chi F\restr H_X\) terukur terhadap \(\Sigma\), sehingga \(F\in\Tau\). ∎

(b) Selanjutnya, \(\nu\) adalah ukuran. Bukti. Tentu saja \(\nu F\in[0,\infty]\) untuk setiap \(F\in\Tau\). \(f\times\chi\emptyset=0\) di mana pun fungsi tersebut didefinisikan, sehingga \(\nu\emptyset=0\). Jika \(\sequencen{F_n}\) adalah barisan saling lepas di dalam \(\Tau\) dengan gabungan \(F\), maka \(f\times\chi F=\sum_{n=0}^{\infty}f\times\chi F_n\). Jika \(\nu F_m=\infty\) untuk suatu \(m\), maka tentu saja \(\nu F=\infty=\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n\). Jika \(\nu F_m<\infty\) untuk setiap \(m\), tetapi \(\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n=\infty\), maka

\(\int f\times\chi(\bigcup_{n\le m}F_n) =\sum_{n=0}^m\int f\times\chi F_n\to\infty\)

ketika \(m\to\infty\), sehingga sekali lagi \(\nu F=\infty=\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n\). Jika \(\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n<\infty\), maka menurut teorema B.Levi

\(\nu F=\int\sum_{n=0}^{\infty}f\times\chi F_n =\sum_{n=0}^{\infty}\int f\times\chi F_n =\sum_{n=0}^{\infty}\nu F_n\). ∎

(c) Terakhir, \(\nu\) lengkap. Bukti. Jika \(A\subseteq F\in\Tau\) dan \(\nu F=0\), maka \(f\times\chi F=0\) hampir di mana-mana, sehingga \(f\times\chi A=0\) hampir di mana-mana dan \(\nu A\) terdefinisi serta sama dengan nol. ∎

234J Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\nu\) ukuran lain pada \(X\) dengan domain \(\Tau\). Saya akan menyebut \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), atau kadang-kadang suatu ukuran integral tak tentu yang dilengkapi, jika ukuran tersebut dapat diperoleh dengan metode 234I dari suatu fungsi nonnegatif \(f\) yang terukur secara virtual dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Dalam hal ini, \(f\) adalah suatu turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\) terhadap \(\mu\) dalam pengertian 232Hf. Seperti dalam 232Hf, frasa fungsi kerapatan juga digunakan dalam konteks ini.

234K Catatan-catatan

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f\) suatu fungsi bernilai real nonnegatif yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\); misalkan \(\nu\) ukuran integral tak tentu yang bersesuaian.

234Ka (a)

Terdapat suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), \(g:X\to\coint{0,\infty}\), sedemikian sehingga \(f=g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana. Bukti. Misalkan \(H\subseteq\dom f\) suatu himpunan terukur yang koterabaikan sedemikian sehingga \(f\restr H\) terukur, dan tetapkan \(g(x)=f(x)\) untuk \(x\in H\), \(g(x)=0\) untuk \(x\in X\setminus H\). ∎ Dalam hal ini, \(\int f\times\chi E\,d\mu=\int g\times\chi E\,d\mu\) jika salah satunya terdefinisi. Jadi, \(g\) adalah suatu turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\), dan \(\nu\) mempunyai suatu turunan Radon-Nikodým yang terukur terhadap \(\Sigma\) dan didefinisikan di mana-mana.

234Kb (b)

Jika \(E\) terabaikan terhadap \(\mu\), maka \(f\times\chi E=0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana, sehingga \(\nu E=0\). Banyak penulis bersedia mengatakan ‘\(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\)’ dalam konteks ini. Namun, jika \(\nu\) tidak berhingga total, ia belum tentu kontinu mutlak dalam pengertian \(\epsilon\)-\(\delta\) pada 232Aa (234Xh), dan kesulitan lebih lanjut dapat muncul jika \(\mu\) atau \(\nu\) tidak \(\sigma\)-hingga (lihat 234Yk, 234Ym).

234Kc (c)

Saya telah mendefinisikan ‘ukuran integral tak tentu’ sedemikian rupa sehingga menghasilkan ukuran lengkap. Menurut saya, inilah yang paling masuk akal dalam kebanyakan penerapan. Ada kesempatan ketika tampaknya lebih tepat menggunakan ukuran \(\nu_0:\Sigma\to[0,\infty]\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\nu_0 E=\int_Efd\mu=\int f\times\chi E\,d\mu\) untuk \(E\in\Sigma\). Saya kira saya akan menyebut ini ukuran integral tak tentu yang belum dilengkapi terhadap \(\mu\) yang didefinisikan oleh \(f\). (\(\nu\) selalu merupakan pelengkapan dari \(\nu_0\); lihat 234Lb.)

234Kd (d)

Perhatikan cara saya merumuskan definisi \(\nu\): ‘\(\nu E=\int f\times\chi E\,d\mu\) jika integralnya terdefinisi’, alih-alih ‘\(\nu E=\int_Efd\mu\)’. Pokoknya ialah bahwa rumus yang lebih panjang memberikan kaidah untuk menentukan domain \(\nu\). Tentu saja memang benar bahwa \(\nu E=\int_Efd\mu\) untuk setiap \(E\in\dom\nu\) (terapkan 214F pada \(f\times\chi E\)).

234Ke (e)

Karena \(\mu\) dan pelengkapannya mendefinisikan fungsi-fungsi terukur secara virtual yang sama, ideal nol yang sama, dan integral-integral yang sama (212Eb, 212F), keduanya mendefinisikan ukuran-ukuran integral tak tentu yang sama.

234L Domain suatu ukuran integral tak tentu

Kadang-kadang berguna untuk memiliki uraian eksplisit mengenai domain suatu ukuran yang dibangun dengan cara ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(f\) suatu fungsi nonnegatif yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\), dan \(\nu\) ukuran integral tak tentu yang bersesuaian. Tetapkan \(G=\{x:x\in\dom f\), \(f(x)>0\}\), dan misalkan \(\hat\Sigma\) domain pelengkapan \(\hat\mu\) dari \(\mu\).

(a) Domain \(\Tau\) dari \(\nu\) adalah \(\{E:E\subseteq X,\,E\cap G\in\hat\Sigma\}\); khususnya, \(\Tau\supseteq\hat\Sigma\supseteq\Sigma\).

(b) \(\nu\) adalah pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\).

(c) Suatu himpunan \(A\subseteq X\) terabaikan terhadap \(\nu\) jika dan hanya jika \(A\cap G\) terabaikan terhadap \(\mu\).

(d) Khususnya, jika \(\mu\) sendiri lengkap, maka \(\Tau=\{E:E\subseteq X,\,E\cap G\in\Sigma\}\) dan \(\nu A=0\) jika dan hanya jika \(\mu(A\cap G)=0\).

Bukti

(a)(i) Jika \(E\in\Tau\), maka \(f\times\chi E\) terukur secara virtual, sehingga terdapat suatu himpunan terukur koterabaikan \(H\subseteq\dom f\) sedemikian sehingga \(f\times\chi E\restr H\) terukur. Sekarang \(E\cap G\cap H=\{x:x\in H,\,(f\times\chi E)(x)>0\}\) harus termasuk dalam \(\Sigma\), sedangkan \(E\cap G\setminus H\) terabaikan, sehingga termasuk dalam \(\hat\Sigma\), dan \(E\cap G\in\hat\Sigma\).

(ii) Jika \(E\cap G\in\hat\Sigma\), misalkan \(F_1\), \(F_2\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F_1\subseteq E\cap G\subseteq F_2\) dan \(F_2\setminus F_1\) terabaikan. Misalkan \(H\subseteq\dom f\) suatu himpunan koterabaikan sedemikian sehingga \(f\restr H\) terukur. Maka \(H'=H\setminus(F_2\setminus F_1)\) koterabaikan dan \(f\times\chi E\restr H'=f\times\chi F_1\restr H'\) terukur, sehingga \(f\times\chi E\) terukur secara virtual dan \(E\in\Tau\).

(b) Jadi, rumus yang diberikan memang menguraikan \(\Tau\). Jika \(E\in\Tau\), misalkan \(F_1\), \(F_2\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F_1\subseteq E\cap G\subseteq F_2\) dan \(\mu(F_2\setminus F_1)=0\). Karena \(G\) sendiri juga termasuk dalam \(\hat\Sigma\), terdapat \(G_1\), \(G_2\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(G_1\subseteq G\subseteq G_2\) dan \(\mu(G_2\setminus G_1)=0\). Tetapkan \(F_2'=F_2\cup(X\setminus G_1)\). Maka \(F_2'\in\Sigma\) dan \(F_1\subseteq E\subseteq F'_2\). Tetapi \((F'_2\setminus F_1)\cap G \subseteq(G_2\setminus G_1)\cup(F_2\setminus F_1)\) terabaikan terhadap \(\mu\), sehingga \(\nu(F'_2\setminus F_1)=0\).

Ini menunjukkan bahwa jika \(\nuprime\) adalah pelengkapan dari \(\nu\restr\Sigma\) dan \(\Tau'\) domainnya, maka \(\Tau\subseteq\Tau'\). Namun, karena \(\nu\) lengkap, tentu saja ia memperluas \(\nuprime\), sehingga \(\nu=\nuprime\), sebagaimana dinyatakan.

(c) Sekarang ambil sembarang \(A\subseteq X\). Karena \(\nu\) lengkap,

\[\begin{aligned}A\text{ terabaikan terhadap }\nu\text{} &\iff\nu A=0\\ &\iff\int f\times\chi A\,d\mu=0\\ &\iff f\times\chi A=0\,\,\mu\text{-hampir di mana-mana}\\ &\iff A\cap G\text{ terabaikan terhadap }\mu\text{.}\\\end{aligned}\]

(d) Ini hanyalah pernyataan ulang dari (a) dan (c) ketika \(\mu=\hat\mu\).

234M Akibat

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap dan \(G\in\Sigma\), maka ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\) yang didefinisikan oleh \(\chi G\) hanyalah ukuran \(\mu\LLcorner G\) yang didefinisikan dengan menetapkan

\((\mu\LLcorner G)(F)=\mu(F\cap G)\) kapan pun \(F\subseteq X\) dan \(F\cap G\in\Sigma\).

234N

Dua hasil berikut tidak akan diandalkan dalam jilid ini, tetapi saya menyertakannya sebagai acuan di masa depan dan untuk memberikan gambaran mengenai jangkauan gagasan-gagasan ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\).

(a) Jika \(\mu\) semihingga, maka demikian pula \(\nu\).

(b) Jika \(\mu\) lengkap dan ditentukan secara lokal, maka demikian pula \(\nu\).

(d) Jika \(\mu\) dapat dilokalkan secara ketat, maka demikian pula \(\nu\).

(e) Jika \(\mu\) \(\sigma\)-hingga, maka demikian pula \(\nu\).

(f) Jika \(\mu\) tanpa atom, maka demikian pula \(\nu\).

Bukti

Menurut 234Ka, kita dapat menyatakan \(\nu\) sebagai integral tak tentu dari suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), \(f:X\to\coint{0,\infty}\). Misalkan \(\Tau\) domain \(\nu\), dan \(\hat\Sigma\) domain pelengkapan \(\hat\mu\) dari \(\mu\); tetapkan \(G=\{x:x\in X,\,f(x)>0\}\in\Sigma\).

(a) Andaikan \(E\in\Tau\) dan \(\nu E=\infty\). Maka \(E\cap G\) tidak mungkin terabaikan terhadap \(\mu\). Karena \(\mu\) semihingga, terdapat suatu \(F\in\Sigma\) yang tidak terabaikan sedemikian sehingga \(F\subseteq E\cap G\) dan \(\mu F<\infty\). Sekarang \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x:x\in F\), \(2^{-n}\le f(x)\le n\}\), sehingga terdapat suatu \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(F'=\{x:x\in F\), \(2^{-n}\le f(x)\le n\}\) tidak terabaikan. Karena \(f\) terukur, \(F'\in\Sigma\subseteq\Tau\) dan \(2^{-n}\mu F'\le\nu F'\le n\mu F'\). Dengan demikian, kita telah menemukan suatu \(F'\subseteq E\) sedemikian sehingga \(0<\nu F'<\infty\). Karena \(E\) sembarang, \(\nu\) semihingga.

(b) Kita telah mengetahui bahwa \(\nu\) lengkap (234Lb) dan semihingga. Sekarang andaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(E\cap F\in\Tau\), yakni \(E\cap F\cap G\in\Sigma\) (234Ld), kapan pun \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\). Maka \(E\cap G\cap F\in\Sigma\) kapan pun \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\). Bukti. Tetapkan \(F_n=\{x:x\in F\cap G,\,f(x)\le n\}\). Maka \(\nu F_n\le n\mu F<\infty\), sehingga \(E\cap G\cap F_n\in\Sigma\) untuk setiap \(n\). Namun, ini berarti \(E\cap G\cap F=\bigcup_{n\in\Bbb N}E\cap G\cap F_n\in\Sigma\). ∎ Karena \(\mu\) ditentukan secara lokal, \(E\cap G\in\Sigma\) dan \(E\in\Tau\). Karena \(E\) sembarang, \(\nu\) ditentukan secara lokal.

(c) Misalkan \(\Cal F\subseteq\Tau\) sembarang himpunan. Tetapkan \(\Cal E=\{F\cap G:F\in\Cal F\}\), sehingga \(\Cal E\subseteq\hat\Sigma\). Menurut 212Ga, \(\hat\mu\) dapat dilokalkan, sehingga \(\Cal E\) mempunyai suatu supremum esensial \(H\in\hat\Sigma\). Namun sekarang, untuk sembarang \(H'\in\Tau\), \(H'\cup(X\setminus G)=(H'\cap G)\cup(X\setminus G)\) termasuk dalam \(\hat\Sigma\), sehingga

\[\begin{aligned}\nu(F\setminus H')&=0\text{ untuk setiap }F\in\Cal F\\ &\iff\hat\mu(F\cap G\setminus H')=0\text{ untuk setiap }F\in\Cal F\\ &\iff\hat\mu(E\setminus H')=0\text{ untuk setiap }E\in\Cal E\\ &\iff\hat\mu(E\setminus(H'\cup(X\setminus G)))=0 \text{ untuk setiap }E\in\Cal E\\ &\iff\hat\mu(H\setminus(H'\cup(X\setminus G)))=0\\ &\iff\hat\mu(H\cap G\setminus H')=0\\ &\iff\nu(H\setminus H')=0.\\\end{aligned}\]

Jadi, \(H\) juga merupakan supremum esensial dari \(\Cal F\) di dalam \(\Tau\). Karena \(\Cal F\) sembarang, \(\nu\) dapat dilokalkan.

(d) Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu dekomposisi \(X\) untuk \(\mu\); maka keluarga tersebut juga merupakan dekomposisi untuk \(\hat\mu\) (212Gb). Tetapkan \(F_0=X\setminus G\), \(F_n=\{x:x\in G,\,n-1<f(x)\le n\}\) untuk \(n\ge 1\). Maka \(\langle X_i\cap F_n\rangle_{i\in I,n\in\Bbb N}\) adalah dekomposisi untuk \(\nu\). Bukti. (i) \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) dan \(\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah partisi \(X\) menjadi anggota-anggota \(\Sigma\subseteq\Tau\), sehingga \(\langle X_i\cap F_n\rangle_{i\in I,n\in\Bbb N}\) juga demikian. (ii) \(\nu(X_i\cap F_0)=0\), \(\nu(X_i\cap F_n)\le n\mu X_i<\infty\) untuk \(i\in I\), \(n\ge 1\). (iii) Jika \(E\subseteq X\) dan \(E\cap X_i\cap F_n\in\Tau\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(n\in\Bbb N\), maka \(E\cap X_i\cap G=\bigcup_{n\in\Bbb N}E\cap X_i\cap F_n\cap G\) termasuk dalam \(\hat\Sigma\) untuk setiap \(i\), sehingga \(E\cap G\in\hat\Sigma\) dan \(E\in\Tau\). (iv) Jika \(E\in\Tau\), maka tentu saja

\(\sum_{i\in I,n\in\Bbb N}\nu(E\cap X_i\cap F_n) =\sup_{J\subseteq I\times\Bbb N\text{ berhingga}} \sum_{(i,n)\in J}\nu(E\cap X_i\cap F_n)\le\nu E\).

Jadi, jika \(\sum_{i\in I,n\in\Bbb N}\nu(E\cap X_i\cap F_n)=\infty\), jumlah tersebut tentu sama dengan \(\nu E\). Jika jumlahnya berhingga, maka \(K=\{i:i\in I,\,\nu(E\cap X_i)>0\}\) harus terhitung. Namun, untuk \(i\in I\setminus K\), \(\int_{E\cap X_i}fd\mu=0\), sehingga \(f=0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(E\cap X_i\), yakni \(\hat\mu(E\cap G\cap X_i)=0\). Karena \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) merupakan dekomposisi untuk \(\hat\mu\), \(\hat\mu(E\cap G\cap\bigcup_{i\in I\setminus K}X_i)=0\) dan \(\nu(E\cap\bigcup_{i\in I\setminus K}X_i)=0\). Namun, ini berarti bahwa

\(\nu E=\sum_{i\in K}\nu(E\cap X_i) =\sum_{i\in K,n\in\Bbb N}\nu(E\cap X_i\cap F_n) =\sum_{i\in I,n\in\Bbb N}\nu(E\cap X_i\cap F_n)\).

Karena \(E\) sembarang, \(\langle X_i\cap F_n\rangle_{i\in I,n\in\Bbb N}\) adalah dekomposisi untuk \(\nu\). ∎ Jadi, \(\nu\) dapat dilokalkan secara ketat.

(e) Jika \(\mu\) \(\sigma\)-hingga, maka dalam (d) kita dapat mengambil \(I\) terhitung, sehingga \(I\times\Bbb N\) juga terhitung, dan \(\nu\) akan \(\sigma\)-hingga.

(f) Jika \(\mu\) tanpa atom, demikian pula \(\hat\mu\) (212Gd). Jika \(E\in\Tau\) dan \(\nu E>0\), maka \(\hat\mu(E\cap G)>0\), sehingga terdapat suatu \(F\in\hat\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\cap G\) dan baik \(F\) maupun \(E\cap G\setminus F\) tidak terabaikan terhadap \(\hat\mu\). Namun, dalam hal ini, baik \(\nu F=\int_Ffd\mu\) maupun \(\nu(E\setminus F)=\int_{E\setminus F}fd\mu\) pasti lebih besar daripada \(0\) (122Rc). Karena \(E\) sembarang, \(\nu\) tanpa atom.

234O

Untuk ukuran yang dapat dilokalkan, terdapat uraian langsung mengenai ukuran integral tak tentu yang bersesuaian.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan. Maka suatu ukuran \(\nu\), dengan domain \(\Tau\supseteq\Sigma\), adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika (\(\alpha\)) \(\nu\) semihingga dan nol pada himpunan-himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) (\(\beta\)) \(\nu\) adalah pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\) (\(\gamma\)) kapan pun \(\nu E>0\), terdapat suatu \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), dan \(\nu F>0\).

Bukti

(a) Jika \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), maka menurut 234Na, 234Kb, dan 234Lb, ukuran tersebut semihingga, nol pada himpunan-himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\), dan merupakan pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\). Sekarang andaikan \(E\in\Tau\) dan \(\nu E>0\). Maka terdapat suatu \(E_0\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E_0\subseteq E\) dan \(\nu E_0=\nu E\), menurut 234Lb. Jika \(f:X\to\Bbb R\) adalah suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\) dan merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\) (234Ka), dan \(G=\{x:f(x)>0\}\), maka \(\mu(G\cap E_0)>0\); karena \(\mu\) semihingga, terdapat suatu \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq G\cap E_0\) dan \(0<\mu F<\infty\), dan dalam hal ini \(\nu F>0\).

(b) Jadi, sekarang andaikan \(\nu\) memenuhi syarat-syarat tersebut.

(i) Tetapkan \(\Cal E=\{E:E\in\Sigma,\,\nu E<\infty\}\). Untuk setiap \(E\in\Cal E\), tinjau \(\nu_E:\Sigma\to\Bbb R\), dengan menetapkan \(\nu_EG=\nu(G\cap E)\) untuk setiap \(G\in\Sigma\). Maka \(\nu_E\) aditif terhitung dan kontinu sejati terhadap \(\mu\). Bukti. \(\nu_E\) aditif terhitung, persis seperti dalam 231De. Karena \(\nu\) nol pada himpunan-himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\), \(\nu_E\) harus kontinu mutlak terhadap \(\mu\), menurut 232Ba. Karena \(\nu_E\) jelas memenuhi syarat (\(\gamma\)) dari 232Bb, ia harus kontinu sejati. ∎

Menurut 232E, terdapat suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\), \(f_E\), sedemikian sehingga \(\nu_EG=\int_Gf_Ed\mu\) untuk setiap \(G\in\Sigma\), dan kita dapat mengandaikan bahwa \(f_E\) terukur terhadap \(\Sigma\) (232He). Karena \(\nu_E\) nonnegatif, \(f_E\ge 0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana.

(ii) Jika \(E\), \(F\in\Cal E\), maka \(f_E=f_F\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(E\cap F\), karena

\(\int_Gf_Ed\mu=\nu G=\int_Gf_Fd\mu\)

kapan pun \(G\in\Sigma\) dan \(G\subseteq E\cap F\). Karena \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, terdapat suatu fungsi terukur \(f:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f_E=f\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(E\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) (213N). Karena setiap \(f_E\) nonnegatif hampir di mana-mana, kita dapat mengandaikan bahwa \(f\) nonnegatif, sebab tentu saja \(f_E=f\vee\tbf{0}\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(E\) untuk setiap \(E\in\Cal E\).

(iii) Misalkan \(\nuprime\) ukuran integral tak tentu yang didefinisikan oleh \(f\). Jika \(E\in\Cal E\), maka

\(\nu E=\int_Ef_Ed\mu=\int_Efd\mu=\nuprime E\).

Untuk \(E\in\Sigma\setminus\Cal E\), kita mempunyai

\(\nuprime E \ge\sup\{\nuprime F:F\in\Cal E,\,F\subseteq E\} =\sup\{\nu F:F\in\Cal E,\,F\subseteq E\}=\nu E=\infty\)

karena \(\nu\) semihingga. Jadi, \(\nuprime\) dan \(\nu\) berimpit pada \(\Sigma\). Namun, karena masing-masing merupakan pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\), keduanya harus sama.

234P Pengurutan ukuran

Terdapat banyak cara suatu ukuran dapat mendominasi ukuran lain. Di sini saya akan menguraikan salah satu cara yang paling sederhana.

Definisi Misalkan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran pada suatu himpunan \(X\). Saya akan mengatakan bahwa \(\mu\le\nu\) jika \(\mu E\) terdefinisi dan \(\mu E\le\nu E\) kapan pun \(\nu\) mengukur \(E\).

234Q Proposisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan tuliskan \(\Mu\) untuk himpunan semua ukuran pada \(X\).

(a) Dengan mendefinisikan \(\le\) seperti dalam 234P, \((\Mu,\le)\) adalah suatu himpunan terurut parsial.

(b) Jika \(\mu\), \(\nu\in\Mu\), maka \(\mu\le\nu\) jika dan hanya jika terdapat suatu \(\lambda\in\Mu\) sedemikian sehingga \(\mu+\lambda=\nu\).

(c) Jika \(\mu\le\nu\) dalam \(\Mu\) dan \(f\) adalah suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\), sedemikian sehingga \(\int fd\nu\) terdefinisi di \([-\infty,\infty]\), maka \(\int fd\mu\) terdefinisi; jika \(f\) nonnegatif, \(\int fd\mu\le\int fd\nu\).

Bukti

(a) Tentu saja \(\mu\le\mu\) untuk setiap \(\mu\in\Mu\). Jika \(\mu\le\nu\) dan \(\nu\le\lambda\) dalam \(\Mu\), maka \(\dom\lambda\subseteq\dom\nu\subseteq\dom\mu\), dan \(\mu E\le\nu E\le\lambda E\) kapan pun \(\lambda\) mengukur \(E\). Jika \(\mu\le\nu\) dan \(\nu\le\mu\), maka \(\dom\mu\subseteq\dom\nu\subseteq\dom\mu\) dan \(\mu E\le\nu E\le\mu E\) untuk setiap \(E\) dalam domain bersama keduanya, sehingga \(\mu=\nu\).

(b)(i) Jika \(\mu+\lambda=\nu\), maka definisi-definisi dalam 234G dan 234P langsung menunjukkan bahwa \(\mu\le\nu\).

(ii) Dalam arah sebaliknya, jika \(\mu\le\nu\), tuliskan \(\Tau\) untuk domain \(\nu\). Definisikan \(\lambda:\Tau\to[0,\infty]\) dengan menetapkan

\(\lambda G =\sup\{\nu F-\mu F:F\in\Tau,\,F\subseteq G,\,\mu F<\infty\}\)

untuk \(G\in\Tau\). Maka \(\lambda\in\Mu\). Bukti. Tentu saja \(\dom\lambda=\Tau\) adalah aljabar-sigma, dan \(\lambda\emptyset=0\). Andaikan \(\sequencen{G_n}\) adalah suatu barisan saling lepas di dalam \(\Tau\) dengan gabungan \(G\). Jika \(F\in\Tau\), \(F\subseteq G\), dan \(\mu F<\infty\), maka

\[\begin{aligned}\nu F-\mu F &=\sum_{n=0}^{\infty}\nu(F\cap G_n)-\sum_{n=0}^{\infty}\mu(F\cap G_n)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(\nu(F\cap G_n)-\mu(F\cap G_n)) \le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda G_n;\\\end{aligned}\]

karena \(F\) sembarang, \(\lambda G\le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda G_n\). Jika \(\gamma<\sum_{n=0}^{\infty}\lambda G_n\), terdapat suatu \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\gamma<\sum_{n=0}^m\lambda G_n\), dan terdapat \(F_0,\ldots,F_m\) sedemikian sehingga \(F_n\in\Tau\), \(F_n\subseteq G_n\), dan \(\mu F_n<\infty\) untuk setiap \(n\le m\), sedangkan \(\sum_{n=0}^m(\nu F_n-\mu F_n)\ge\gamma\). Tetapkan \(F=\bigcup_{n\le m}F_n\); maka \(F\in\Tau\), \(F\subseteq G\), dan \(\mu F<\infty\), sehingga

\(\lambda G\ge\nu F-\mu F =\sum_{n=0}^m(\nu F_n-\mu F_n)\ge\gamma\).

Karena \(\gamma\) sembarang, \(\lambda G\ge\sum_{n=0}^{\infty}\lambda G_n\); karena \(\sequencen{G_n}\) sembarang, \(\lambda\) aditif terhitung. ∎

Sekarang \(\mu+\lambda=\nu\). Bukti. Domain dari \(\mu+\lambda\) adalah \(\dom\mu\cap\dom\lambda=\Tau=\dom\nu\). Ambil \(G\in\Tau\). Jika \(\mu G=\infty\), maka \(\nu G=\infty=(\mu+\lambda)G\). Jika tidak,

\((\mu+\lambda)G\ge\mu G+\nu G-\mu G=\nu G\).

Jadi, jika \(\nu G=\infty\), kita tentu akan mempunyai \(\nu G=(\mu+\lambda)G\). Terakhir, jika \(\nu G<\infty\), maka

\[\begin{aligned}(\mu+\lambda)G &=\mu G+\sup\{\nu F-\mu F:F\in\Tau,\,F\subseteq G\}\\ &=\sup\{\nu F+\mu(G\setminus F):F\in\Tau,\,F\subseteq G\}\\ &\le\sup\{\nu F+\nu(G\setminus F):F\in\Tau,\,F\subseteq G\} =\nu G,\\\end{aligned}\]

sehingga sekali lagi kita memperoleh kesamaan. ∎

Dengan demikian, kita memperoleh penguraian \(\nu\) yang diinginkan sebagai suatu jumlah ukuran.

(c)(i) Jika \(f\) nonnegatif, gabungkan (b) dan 234Hc.

(ii) Secara umum, jika \(\int fd\nu\) terdefinisi, demikian pula \(\int f^+d\nu\) dan \(\int f^-d\nu\), dan paling banyak salah satunya tak berhingga; sehingga \(\int f^+d\mu\) dan \(\int f^-d\mu\) terdefinisi dan paling banyak salah satunya tak berhingga.

Latihan

234X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Misalkan \(A\subseteq X\) suatu himpunan dengan ukuran luar penuh dalam \(X\). Tunjukkan bahwa \(\phi[A]\) mempunyai ukuran luar penuh dalam \(Y\), dan bahwa \(\phi\restr A\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk ukuran-ukuran subruang pada \(A\) dan \(\phi[A]\).

234Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) suatu himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) bertumpu pada titik, maka demikian pula ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\).

234Xc (c)

Berikan suatu contoh ruang peluang \((X,\Sigma,\mu)\), suatu himpunan \(Y\), dan suatu fungsi \(\phi:X\to Y\) sedemikian sehingga pelengkapan ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\) bukan citra dari pelengkapan \(\mu\). Petunjuk: \(\#(X)=3\).

234Xd (d)

Misalkan \(X\), \(Y\) himpunan-himpunan, \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi, dan \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga ukuran pada \(X\) dengan jumlah \(\mu\). Dengan menuliskan \(\mu_i\phi^{-1}\), \(\mu\phi^{-1}\) untuk ukuran-ukuran citra pada \(Y\), tunjukkan bahwa \(\mu\phi^{-1}=\sum_{i\in I}\mu_i\phi^{-1}\).

234Xe (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan. (i) Tunjukkan bahwa jika \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga terhitung dari ukuran-ukuran \(\sigma\)-hingga pada \(X\), dan \(\mu=\sum_{i\in I}\mu_i\) semihingga, maka \(\mu\) \(\sigma\)-hingga. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga ukuran atomik murni pada \(X\), dan \(\mu=\sum_{i\in I}\mu_i\) semihingga, maka \(\mu\) atomik murni. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\familyiI{\mu_i}\) sembarang keluarga ukuran yang bertumpu pada titik pada \(X\), maka \(\sum_{i\in I}\mu_i\) bertumpu pada titik.

234Xf (>f) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan tuliskan \(\Mu\) untuk himpunan semua ukuran pada \(X\). Untuk \(\mu\in\Mu\) dan \(\alpha\in\coint{0,\infty}\), definisikan \(\alpha\mu\) dengan mengatakan bahwa jika \(\alpha>0\), maka \((\alpha\mu)(E)=\alpha\mu E\) untuk \(E\in\dom\mu\), sedangkan jika \(\alpha=0\), maka \((\alpha\mu)(E)=0\) untuk setiap \(E\subseteq X\). (i) Tunjukkan bahwa \(\alpha\mu\in\Mu\) untuk semua \(\alpha\in\coint{0,\infty}\) dan \(\mu\in\Mu\). (ii) Tunjukkan bahwa \((\alpha+\beta)\mu=\alpha\mu+\beta\mu\), \(\alpha(\beta\mu)=(\alpha\beta)\mu\), \(\alpha(\mu+\nu)=\alpha\mu+\alpha\nu\) untuk semua \(\alpha\), \(\beta\in\coint{0,\infty}\) dan \(\mu\), \(\nu\in\Mu\).

234Xg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\familyiI{\mu_i}\) suatu keluarga ukuran lengkap pada \(X\) dengan jumlah \(\mu\). Tunjukkan bahwa suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang dinotasikan dengan \(f\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika fungsi tersebut terintegralkan terhadap \(\mu_i\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(\sum_{i\in I}\int|f|d\mu_i\) berhingga.

234Xh (h)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan tetapkan \(f(x)=\bover1x\) untuk \(x>0\). Misalkan \(\nu\) ukuran integral tak tentu yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa domain \(\nu\) sama dengan domain \(\mu\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\delta\in\ocint{0,\bover12}\) terdapat suatu himpunan terukur \(E\) sedemikian sehingga \(\mu E=\delta\), tetapi \(\nu E=\bover1{\delta}\).

234Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. (i) Tunjukkan bahwa jika \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), maka demikian pula \(\nu_1+\nu_2\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\familyiI{\nu_i}\) suatu keluarga terhitung dari ukuran-ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), dan \(\nu=\sum_{i\in I}\nu_i\) semihingga, maka \(\nu\) adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\).

234Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\). Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) atomik murni, maka demikian pula \(\nu\).

234Xk (k)

Misalkan \(\mu\) suatu ukuran yang bertumpu pada titik. Tunjukkan bahwa setiap ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\) bertumpu pada titik.

234Xl (l)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Mu\) himpunan ukuran pada \(X\), dengan urutan parsial yang didefinisikan dalam 234P. Tunjukkan bahwa (i) \(\Mu\) mempunyai anggota terbesar dan terkecil (yang harus diuraikan); (ii) jika \(\familyiI{\mu_i}\) dan \(\familyiI{\nu_i}\) adalah keluarga dalam \(\Mu\) sedemikian sehingga \(\mu_i\le\nu_i\) untuk setiap \(i\), maka \(\sum_{i\in I}\mu_i\le\sum_{i\in I}\nu_i\); (iii) jika kita mendefinisikan perkalian skalar seperti dalam 234Xf, maka \(\alpha\mu\le\mu\) kapan pun \(\mu\in\Mu\) dan \(\alpha\in[0,1]\); (iv) dengan menuliskan \(\hat\mu\) untuk pelengkapan \(\mu\), \(\hat\mu\le\mu\) dan \(\hat\mu\le\hat\nu\) kapan pun \(\mu\), \(\nu\in\Mu\) dan \(\mu\le\nu\); (v) dengan menuliskan \(\tilde\mu\) untuk versi c.l.d. dari \(\mu\), \(\tilde\mu\le\mu\) untuk setiap \(\mu\in\Mu\); (vi) kapan pun \(A\subseteq\Mu\) terarah ke atas, himpunan tersebut mempunyai batas atas terkecil dalam \(\Mu\).

234Xm (m)

Tuliskan pembuktian langsung elementer dari 234Qc yang tidak bergantung pada 234Qb.

234Xn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) \(\sigma\)-hingga dan atomik murni, maka \(\nu\) atomik murni.

234Y Latihan lanjutan (a)

Tuliskan \(\nu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(Y=[0,1]\), dan \(\Tau\) untuk domainnya. Misalkan \(A\subseteq[0,1]\) suatu himpunan sedemikian sehingga \(\nu^*A=\nu^*([0,1]\setminus A)=1\), dan tetapkan \(X=[0,1]\cup\{x+1:x\in A\}\cup\{x+2:x\in[0,1]\setminus A\}\). Misalkan \(\mu_{LX}\) ukuran subruang yang diinduksi pada \(X\) oleh ukuran Lebesgue, dan tetapkan \(\mu E=\bover13\mu_{LX}E\) untuk \(E\in\Sigma=\dom\mu_{LX}\). Definisikan \(\phi:X\to Y\) dengan menuliskan \(\phi(x)=x\) jika \(x\in[0,1]\), \(\phi(x)=x-1\) jika \(x\in X\cap\ocint{1,2}\), dan \(\phi(x)=x-2\) jika \(x\in X\cap\ocint{2,3}\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) adalah ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\), tetapi \(\nu^*A>\mu^*\phi^{-1}[A]\).

234Yb (b)

Carilah contoh-contoh menarik ruang peluang \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) yang mempunyai fungsi-fungsi \(\phi:X\to Y\) sedemikian sehingga \(\phi[E]\in\Tau\) dan \(\nu\phi[E]=\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Petunjuk: 254K, 343J.

234Yc (c)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue dua dimensi pada persegi satuan \([0,1]^2\), dan misalkan \(\phi:[0,1]^2\to[0,1]\) proyeksi pada koordinat pertama, sehingga \(\phi(\xi_1,\xi_2)=\xi_1\) untuk \(\xi_1\), \(\xi_2\in[0,1]\). Tunjukkan bahwa ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\) adalah ukuran Lebesgue satu dimensi pada \([0,1]\).

234Yd (d)

Dalam 234F, tunjukkan bahwa ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\) memperluas \(\nu\), dan sama dengan \(\nu\) jika dan hanya jika \(F\in\Tau\) untuk setiap \(F\subseteq Y\setminus\phi[X]\).

234Ye (e)

Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur lengkap, \(X\) suatu himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu surjeksi. Tetapkan

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X\), \(\phi[E]\in\Tau\), \(\nu(\phi[E]\cap\phi[X\setminus E])=0\}\), \(\mu E=\nu\phi[E]\) untuk \(E\in\Sigma\).

Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah pelengkapan dari ukuran yang dibangun melalui proses 234F.

234Yf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Mu\) himpunan ukuran pada \(X\). Tunjukkan bahwa \(\Mu\), dengan penjumlahan sebagaimana didefinisikan untuk dua ukuran oleh rumus-rumus 234G, adalah semigrup komutatif dengan identitas; uraikan identitas tersebut.

234Yg (g)

Berikan suatu contoh himpunan \(X\), ukuran-ukuran peluang \(\mu_1\), \(\mu_2\) pada \(X\), dan suatu himpunan \(A\subseteq X\) sedemikian sehingga \(A\) terabaikan terhadap \(\mu_1\) maupun \(\mu_2\), tetapi tidak terabaikan terhadap \(\mu\), dengan \(\mu=\mu_1+\mu_2\).

234Yh (h)

Dalam 214O, tunjukkan bahwa jika kita menetapkan \(\nu E=\sup_{I\in\Cal I}\mu^*(E\cap I)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka \(\nu\) adalah ukuran, sedangkan \(\mu=\nu+\lambda\).

234Yi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga tanpa atom dan \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\nu E\le\epsilon\) kapan pun \(\mu E\le\delta\) (ii) \(\nu\) mempunyai suatu turunan Radon-Nikodým yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu fungsi terbatas dan suatu fungsi terintegralkan.

234Yj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu\) suatu ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), dengan turunan Radon-Nikodým \(f\). Tunjukkan bahwa versi c.l.d. dari \(\nu\) adalah ukuran integral tak tentu yang didefinisikan oleh \(f\) terhadap versi c.l.d. dari \(\mu\).

234Yk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga yang tidak dapat dilokalkan. Tunjukkan bahwa terdapat suatu ukuran \(\nu:\Sigma\to[0,\infty]\) sedemikian sehingga \(\nu E\le\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), tetapi tidak terdapat fungsi terukur \(f\) sedemikian sehingga \(\nu E=\int_Efd\mu\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

234Yl (l)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan dengan himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal. Tunjukkan bahwa suatu ukuran \(\nu\), dengan domain \(\Tau\supseteq\Sigma\), adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika (\(\alpha\)) \(\nu\) lengkap dan semihingga serta nol pada himpunan-himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) (\(\beta\)) kapan pun \(\nu E>0\), terdapat suatu \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), dan \(\nu F>0\).

234Ym (m)

Berikan suatu contoh ruang ukur yang dapat dilokalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan suatu ukuran lengkap semihingga \(\nu\) pada \(X\), yang didefinisikan pada suatu aljabar-sigma \(\Tau\supseteq\Sigma\), nol pada himpunan-himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\), dan sedemikian sehingga kapan pun \(\nu E>0\), terdapat suatu \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), dan \(\nu F>0\), tetapi \(\nu\) bukan ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\). Petunjuk: 216Yb.

234Yn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan, dan \(\nu\) suatu ukuran lengkap yang dapat dilokalkan pada \(X\), dengan domain \(\Tau\supseteq\Sigma\), yang merupakan pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\). Tunjukkan bahwa jika kita menetapkan \(\nu_1F=\sup\{\nu(F\cap E):E\in\Sigma\), \(\mu E<\infty\}\) untuk setiap \(F\in\Tau\), maka \(\nu_1\) adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), dan terdapat suatu \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nu_1F=\nu(F\cap H)\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

234Yo (o)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Mu_{\text{sf}}\) himpunan ukuran semihingga pada \(X\). Untuk \(\mu\), \(\nu\in\Mu_{\text{sf}}\), katakan bahwa \(\mu\preccurlyeq\nu\) jika \(\dom\nu\subseteq\dom\mu\), \(\mu F\le\nu F\) untuk setiap \(F\in\dom\nu\), dan kapan pun \(E\in\dom\mu\) dan \(\mu E>0\), terdapat suatu \(F\in\dom\nu\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\) dan \(0<\mu F<\infty\). (i) Tunjukkan bahwa \((\Mu_{\text{sf}},\preccurlyeq)\) adalah suatu himpunan terurut parsial. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq\Mu_{\text{sf}}\) suatu himpunan tak kosong dengan batas atas dalam \(\Mu_{\text{sf}}\), maka himpunan itu mempunyai batas atas terkecil \(\lambda\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa \(\dom\lambda=\bigcap_{\mu\in A}\dom\mu\) dan, untuk \(E\in\dom\lambda\),

\[\begin{aligned}\lambda E &=\sup\{\sum_{i=0}^n\mu_iF_i:\mu_0,\ldots,\mu_n\in A,\, \langle F_i\rangle_{i\le n}\text{ adalah partisi dari }E,\\ &\mskip200mu F_i\in\dom\lambda\text{ untuk setiap }i\le n\}\\ &=\sup\{\sum_{i=0}^n\mu_iF_i:\mu_0,\ldots,\mu_n\in A,\, F_0,\ldots,F_n\text{ saling lepas},\\ &\mskip200mu F_i\in\dom\mu_i\text{ dan }F_i\subseteq E\text{ untuk setiap }i\le n\}. \\\end{aligned}\]

(iii) Andaikan \(\mu\), \(\nu\in\Mu_{\text{sf}}\) mempunyai pelengkapan \(\hat\mu\), \(\hat\nu\) dan versi-versi c.l.d. \(\tilde\mu\), \(\tilde\nu\). Tunjukkan bahwa \(\tilde\mu\preccurlyeq\hat\mu\preccurlyeq\mu\). Tunjukkan bahwa jika \(\mu\preccurlyeq\nu\), maka \(\hat\mu\preccurlyeq\hat\nu\) dan \(\tilde\mu\preccurlyeq\tilde\nu\).

Catatan dan komentar

234-notes Catatan penutup untuk Bagian 234

Salah satu ciri mencolok teori ukuran, dibandingkan dengan cabang-cabang matematika murni lain yang tingkat keabstrakannya sebanding, ialah relatif tidak pentingnya konsep ‘morfisme’ apa pun. Teori grup, misalnya, didominasi oleh konsep ‘homomorfisme’, dan topologi umum memberikan tempat serupa kepada ‘fungsi kontinu’. Menurut saya, padanan yang paling dekat dalam teori ukuran adalah gagasan ‘fungsi pelestari ukuran melalui prapeta’ (234A). Dalam Jilid 3 dan 4 saya bermaksud mengkaji konsep ini secara lebih mendalam. Dalam jilid ini saya akan berpuas diri dengan menandai fungsi-fungsi semacam itu ketika muncul dan dengan fakta-fakta dasar yang tercantum dalam 234B.

Konstruksi ‘ukuran citra’ (234C) secara alami terkait dengan gagasan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Ukuran semacam ini muncul di mana-mana dalam bidang ini, dimulai dengan 234Yc yang tidak sepenuhnya elementer. Ukuran-ukuran ini begitu penting sehingga wajar untuk mengkaji variasi-variasinya, seperti dalam 234F dan 234Yb, tetapi menurut saya tidak satu pun memiliki arti penting yang sebanding.

Hampir separuh bagian ini digunakan untuk ‘ukuran integral tak tentu’. Saya menangani bagian ini dengan sangat hati-hati karena gagasan-gagasan yang ingin saya nyatakan di sini, sejauh memperluas pekerjaan dalam §232, sangat bergantung pada perincian perumusan dalam 234I, dan mudah sekali mengambil langkah keliru setelah kita meninggalkan konteks ukuran lengkap \(\sigma\)-hingga yang relatif terlindung. Saya percaya bahwa jika kita bersedia mencurahkan sedikit usaha pada titik ini, kita dapat mengembangkan suatu teori (234K-234N) yang akan menyediakan jalan mulus menuju penerapan-penerapan berikutnya; untuk melihat maksud saya, Anda dapat merujuk pada entri-entri di bawah ‘ukuran integral tak tentu’ dalam indeks. Untuk saat ini saya hanya menyebutkan suatu jenis teorema Radon-Nikodým untuk ukuran-ukuran yang dapat dilokalkan (234O).

Urutan parsial yang diuraikan dalam 234P-234Q hanyalah salah satu dari banyak urutan yang dapat dipertimbangkan, dan untuk beberapa tujuan tampaknya tidak memuaskan. Contoh-contoh terpenting akan muncul dalam Bab 41 Jilid 4, dan mempunyai beragam ciri khusus yang mungkin patut digunakan sebagai dasar bagi abstraksi lebih lanjut. Namun, versi di sini memiliki keunggulan berupa kesederhanaan dan mendukung setidak-tidaknya sebagian gagasan yang relevan (234Xl). Untuk konsep alternatif, lihat 234Yo.