Teorema-teorema kerapatan Lebesgue

223A Teorema Kerapatan Lebesgue: bentuk integral

Misalkan \(I\) suatu interval dalam \(\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(I\). Maka

\[\begin{aligned}f(x) &=\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{h}\int_{x}^{x+h}f =\lim_{h\downarrow 0}\Bover1h\int_{x-h}^xf =\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\int_{x-h}^{x+h}f\\\end{aligned}\]

untuk hampir setiap \(x\in I\).

223B Korolari

Misalkan \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terukur. Maka

Catatan Untuk suatu himpunan terukur \(E\subseteq\Bbb R\), suatu titik \(x\) sedemikian sehingga \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\mu(E\cap[x-h,x+h])=1\) kadang-kadang disebut suatu titik kerapatan dari \(E\).

223C Korolari

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terukur yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Maka, untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\),

untuk setiap \(\epsilon>0\).

223D Teorema

Misalkan \(I\) suatu interval dalam \(\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(I\). Maka

untuk hampir setiap \(x\in I\).

Catatan Himpunan

kadang-kadang disebut himpunan Lebesgue dari \(f\).

223E Fungsi bernilai kompleks

Hasil-hasil di atas telah saya nyatakan dalam bahasa fungsi bernilai real, karena itulah wahana yang paling alami bagi gagasan-gagasannya. Namun terdapat penerapan yang sangat penting dengan fungsi-fungsi bernilai kompleks, jadi saya tuliskan secara eksplisit pernyataan-pernyataan yang bersangkutan di sini. Dalam setiap kasus, buktinya elementer: cukup menerapkan hasil yang bersesuaian (223A, 223C, atau 223D) pada bagian real dan bagian imajiner fungsi \(f\).

223Ea (a)

Misalkan \(I\) suatu interval dalam \(\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(I\). Maka

\[\begin{aligned}f(x) =\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{h}\int_{x}^{x+h}f =\lim_{h\downarrow 0}\Bover1h\int_{x-h}^xf =\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\int_{x-h}^{x+h}f\\\end{aligned}\]

untuk hampir setiap \(x\in I\).

223Eb (b)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks terukur yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Maka, untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\),

untuk setiap \(\epsilon>0\).

223Ec (c)

Misalkan \(I\) suatu interval dalam \(\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(I\). Maka

untuk hampir setiap \(x\in I\).

223X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(E\subseteq[0,1]\) suatu himpunan terukur sedemikian sehingga terdapat \(\alpha>0\) dengan \(\mu(E\cap[a,b])\ge\alpha(b-a)\) kapan pun \(0\le a\le b\le 1\). Tunjukkan bahwa \(\mu E=1\).

223Xb (b)

Misalkan \(A\subseteq\Bbb R\) sembarang himpunan. Tunjukkan bahwa \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\mu^*(A\cap[x-h,x+h])=1\) untuk hampir setiap \(x\in A\). Petunjuk: terapkan 223B pada suatu selubung terukur \(E\) dari \(A\).

223Xc (c)

Misalkan \(E\), \(F\subseteq\Bbb R\) himpunan-himpunan terukur, dan misalkan \(x\in\Bbb R\) merupakan titik kerapatan dari keduanya. Tunjukkan bahwa \(x\) merupakan titik kerapatan dari \(E\cap F\).

223Xd (d)

Misalkan \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terukur tak terabaikan. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\bigcap_{i\le n}E+x_i\) tak kosong kapan pun \(x_0,\ldots,x_n\in\Bbb R\) memenuhi \(|x_i-x_j|\le\delta\) untuk semua \(i\), \(j\le n\). Petunjuk: carilah suatu interval tak-sepele \(I\) sedemikian sehingga \(\mu(E\cap I)>\bover{n}{n+1}\mu I\).

223Xe (e)

Misalkan \(f\) sembarang fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\mu^*\{y:y\in\dom f,\,|y-x|\le h,\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon\}=1\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\). Petunjuk: gunakan argumen 223C, tetapi dengan 223Xb sebagai pengganti 223B.

223Xf (>f) penting

Misalkan \(I\) suatu interval dalam \(\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(I\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{h\downarrow 0}\bover1{h} \int_{x}^{x+h}|f(y)-f(x)|dy=0\) untuk hampir setiap \(x\in I\).

223Xg (g)

Misalkan \(E\), \(F\subseteq\Bbb R\) himpunan-himpunan terukur, dan andaikan bahwa \(F\) terbatas serta berukuran tak nol. Misalkan \(x\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\mu(E\cap[x-h,x+h])=1\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover{\mu(E\cap(x+hF))}{h\,\mu F}=1\). (Petunjuk:\/ berguna untuk mengetahui bahwa \(\mu(hF)=h\mu F\) (134Ya, 263A). Tunjukkan bahwa jika \(F\subseteq[-M,M]\), maka

(Bandingkan 223Ya.)

223Xh (h)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(E\) himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{h\downarrow 0}\bover1{2h}\int_{x-h}^{x+h}|f(t)-c|dt=|f(x)-c|\) untuk setiap \(x\in E\) dan \(c\in\Bbb R\).

223Xi (i)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terintegralkan yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(x\in\dom f\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\Bover{n}2\int^{x+1/n}_{x-1/n}|f(y)-f(x)|=0\). Tunjukkan bahwa \(x\) termasuk dalam himpunan Lebesgue dari \(f\).

223Xj (j)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terintegralkan yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), dan \(x\) sembarang titik dari himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga, kapan pun \(I\) suatu interval tak-sepele dan \(x\in I\subseteq[x-\delta,x+\delta]\), berlaku \(|f(x)-\Bover1{\mu I}\int_If|\le\epsilon\).

223Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(E\), \(F\subseteq\Bbb R\) himpunan-himpunan terukur, dan andaikan bahwa \(0<\mu F<\infty\). Misalkan \(x\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\lim_{h\downarrow 0}\Bover1{2h}\mu(E\cap[x-h,x+h])=1\). Tunjukkan bahwa

Petunjuk: terapkan 223Xg pada himpunan-himpunan berbentuk \(F\cap[-M,M]\).

223Yb (b)

Misalkan \(\frak T\) keluarga himpunan-himpunan terukur \(G\subseteq\Bbb R\) sedemikian sehingga setiap titik dari \(G\) merupakan titik kerapatan dari \(G\). (i) Tunjukkan bahwa \(\frak T\) suatu topologi pada \(\Bbb R\). (Petunjuk\/: ambil \(\Cal G\subseteq\frak T\). Menurut 215B(iv), terdapat suatu \(\Cal G_0\subseteq\Cal G\) yang terhitung sedemikian sehingga \(\mu(G\setminus\bigcup\Cal G_0)=0\) untuk setiap \(G\in\Cal G\). Tunjukkan bahwa

sehingga \(\mu(\bigcup\Cal G\setminus\bigcup\Cal G_0)=0\).) (ii) Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) terukur jika dan hanya jika fungsi itu \(\frak T\)-kontinu pada hampir setiap \(x\in\Bbb R\). (\(\frak T\) adalah topologi kerapatan pada \(\Bbb R\). Lihat 414P dalam Jilid 4.)

223Yc (c)

Tunjukkan bahwa jika \(f:[a,b]\to\Bbb R\) terbatas dan kontinu terhadap topologi kerapatan pada \(\Bbb R\), maka \(f(x)=\bover{d}{dx}\int_a^xf\) untuk setiap \(x\in\ooint{a,b}\).

223Yd (d)

Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) kontinu terhadap topologi kerapatan di \(x\in\Bbb R\) jika dan hanya jika \(\lim_{h\downarrow 0}\bover1{2h} \mu^*\{y:y\in[x-h,x+h],\,|f(y)-f(x)|\ge\epsilon\}=0\) untuk setiap \(\epsilon>0\).

223Ye (e)

Suatu himpunan \(A\subseteq\Bbb R\) disebut berpori di suatu titik \(x\in\Bbb R\) jika \(\limsup_{y\to x}\Bover{\rho(y,A)}{|y-x|}>0\), dengan \(\rho(y,A)=\inf_{a\in A}|y-a|\). (Ambil \(\rho(y,\emptyset)=\infty\).) Tunjukkan bahwa jika \(A\) berpori di setiap \(x\in A\), maka \(A\) terabaikan.

223Yf (f)

Untuk suatu himpunan terukur \(E\subseteq\Bbb R\), tuliskan \(\intstar E\) untuk himpunan titik-titik kerapatannya. Tunjukkan bahwa jika \(E\), \(F\subseteq\Bbb R\) terukur, maka (i) \(\intstar(E\cap F)=\intstar E\cap\intstar F\) (ii) \(\intstar E\subseteq\intstar F\) jika dan hanya jika \(\mu(E\setminus F)=0\) (iii) \(\mu(E\symmdiff\intstar E)=0\) (iv) \(\intstar(\intstar E)=\intstar E\) (v) untuk setiap himpunan kompak \(K\subseteq\intstar E\), terdapat suatu himpunan kompak \(L\subseteq K\cup E\) sedemikian sehingga \(K\subseteq\intstar L\).

223Yg (g)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terintegralkan yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), dan \(x\) sembarang titik dari himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|f(x)\int g-\int f\times g|\le\epsilon\int g\) kapan pun \(g:\Bbb R\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(g\) tak-menurun pada \(\ocint{-\infty,x}\), tak-menaik pada \(\coint{x,\infty}\), dan nol di luar \([x-\delta,x+\delta]\). Petunjuk: nyatakan \(g\) sebagai limit hampir di mana-mana dari fungsi-fungsi berbentuk \(\Bover{g(x)}{n+1}\sum_{i=0}^n\chi\ooint{a_i,b_i}\), dengan \(x-\delta\le a_0\le\ldots\le a_n\le x\le b_n\le\ldots\le b_0 \le x+\delta\).

223Yh (h)

Untuk setiap fungsi bernilai real terintegralkan \(f\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), misalkan \(E_f\) adalah himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa \(E_f\cap E_g\subseteq E_{f+g}\) dan \(E_f\subseteq E_{|f|}\) untuk semua fungsi terintegralkan \(f\), \(g\).

223Yi (i)

Misalkan \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terukur tak terabaikan. Tunjukkan bahwa \(0\) termasuk dalam interior \(E-E=\{x-y:x\), \(y\in E\}\).

223-notes Catatan penutup untuk Bagian 223

Hasil-hasil dalam bagian ini dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa suatu fungsi terukur, dalam arti tertentu, ‘hampir kontinu’; bahkan 223Yb merupakan suatu upaya untuk memperjelas gagasan ini. Untuk fungsi terintegralkan, kita mempunyai hasil-hasil yang lebih kuat, dan yang tampaknya menjangkau paling jauh ialah 223D/223Ec.

Terdapat versi berdimensi \(r\) dari semua teorema ini, dengan bola yang berpusat di \(x\) menggantikan interval \([x-h,x+h]\); saya memberikannya dalam 261C-261E.

Suatu gagasan baru diperlukan untuk versi berdimensi \(r\) Teorema Kerapatan Lebesgue (261C), tetapi selebihnya dapat digeneralisasi secara langsung. Suatu perluasan yang kurang alami dan kurang penting, juga dalam §261, melibatkan fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan tak-terukur (bandingkan 223Xb-223Xe).