Fungsional aditif terhitung — Fondasi Teori Ukuran

Saya mulai dengan suatu uraian abstrak tentang objek-objek yang, dalam keadaan yang sesuai, akan bersesuaian dengan integral tak tentu dari fungsi-fungsi terintegralkan umum. Dalam bagian ini saya menyajikan bagian-bagian teori yang tidak melibatkan ukuran, melainkan hanya suatu himpunan beserta aljabar-sigma subhimpunannya yang dipilih secara khusus. Konsep-konsep dasarnya ialah konsep fungsional ‘aditif hingga’ dan ‘aditif terhitung’, dan terdapat satu teorema penting, yakni ‘dekomposisi Hahn’ (231E).

231A Definisi

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$ (136E). Suatu fungsional $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ disebut aditif hingga, atau cukup disebut aditif, jika $\nu(E\cup F)=\nu E+\nu F$ kapan pun $E$, $F\in\Sigma$ dan $E\cap F=\emptyset$.

231B Fakta elementer

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga.

231Ba (a)

$\nu\emptyset=0$. (Sebab $\nu\emptyset=\nu(\emptyset\cup\emptyset)=\nu\emptyset+\nu\emptyset$.)

231Bb (b)

Jika $E_0,\ldots,E_n$ adalah anggota-anggota $\Sigma$ yang saling lepas, maka $\nu(\bigcup_{i\le n}E_i)=\sum_{i=0}^n\nu E_i$.

231Bc (c)

Jika $E$, $F\in\Sigma$ dan $E\subseteq F$, maka $\nu F=\nu E + \nu(F\setminus E)$. Secara lebih umum, untuk sembarang $E$, $F\in\Sigma$,

$\nu F=\nu(F\cap E)+\nu(F\setminus E)$,

$\nu E+\nu F \prooflet{\mskip5mu=\nu E+\nu(F\setminus E)+\nu(F\cap E)} =\nu(E\cup F)+\nu(E\cap F)$,

$\nu E-\nu F \prooflet{\mskip5mu = \nu(E\setminus F)+\nu(E\cap F) -\nu(E\cap F)-\nu(F\setminus E)} =\nu(E\setminus F)-\nu(F\setminus E)$.

231C Definisi

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. Suatu fungsi $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ disebut aditif terhitung atau $\sigma$-aditif jika $\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n$ ada di $\Bbb R$ dan sama dengan $\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)$ untuk setiap barisan saling lepas $\sequencen{E_n}$ di dalam $\Sigma$ sedemikian sehingga $\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma$.

Catatan Perhatikan bahwa ketika saya menggunakan frasa ‘fungsional aditif terhitung’, saya bermaksud meniadakan kemungkinan $\infty$ sebagai nilai fungsional tersebut. Dengan demikian, suatu ukuran merupakan fungsional aditif terhitung jika dan hanya jika ukuran tersebut berhingga total (211C).

Kadang-kadang Anda akan melihat frasa ‘ukuran bertanda’ digunakan untuk menyatakan apa yang saya sebut fungsional aditif terhitung.

231D Fakta elementer

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif terhitung.

231Da (a)

$\nu$ bersifat aditif hingga. Bukti. (i) Dengan menetapkan $E_n=\emptyset$ untuk setiap $n\in\Bbb N$, $\sum_{n=0}^{\infty}\nu\emptyset$ harus terdefinisi di $\Bbb R$, sehingga $\nu\emptyset$ harus sama dengan $0$. (ii) Sekarang, jika $E$, $F\in\Sigma$ dan $E\cap F=\emptyset$, kita dapat menetapkan $E_0=E$, $E_1=F$, $E_n=\emptyset$ untuk $n\ge 2$ dan memperoleh $\nu(E\cup F)=\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n=\nu E+\nu F$. ∎

231Db (b)

Jika $\sequencen{E_n}$ adalah barisan tak-menurun di dalam $\Sigma$, dengan gabungan $E\in\Sigma$, maka

$\nu E =\nu E_0+\sum_{n=0}^{\infty}\nu(E_{n+1}\setminus E_n) =\lim_{n\to\infty}\nu E_n$.

231Dc (c)

Jika $\sequencen{E_n}$ adalah barisan tak-meningkat di dalam $\Sigma$ dengan irisan $E\in\Sigma$, maka

$\nu E \prooflet{\mskip5mu =\nu E_0-\lim_{n\to\infty}\nu(E_0\setminus E_n)} =\lim_{n\to\infty}\nu E_n$.

231Dd (d)

Jika $\nuprime:\Sigma\to\Bbb R$ adalah fungsional aditif terhitung lainnya, dan $c\in\Bbb R$, maka $\nu+\nuprime:\Sigma\to\Bbb R$ dan $c\nu:\Sigma\to\Bbb R$ bersifat aditif terhitung.

231De (e)

Jika $H\in\Sigma$, maka $\nu_H:\Sigma\to\Bbb R$ bersifat aditif terhitung, dengan $\nu_HE=\nu(E\cap H)$ untuk setiap $E\in\Sigma$. Bukti. Jika $\sequencen{E_n}$ adalah barisan saling lepas di dalam $\Sigma$ dengan gabungan $E\in\Sigma$, maka $\sequencen{E_n\cap H}$ juga saling lepas, dengan gabungan $E\cap H$, sehingga $\nu_HE =\nu(H\cap E) =\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}(H\cap E_n)) =\sum_{n=0}^{\infty}\nu(H\cap E_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\nu_HE_n$. ∎

Catatan Untuk sementara, kita akan menggunakan konsep ‘fungsional aditif terhitung’ hanya pada aljabar-sigma $\Sigma$, sehingga kita dapat menganggap bahwa gabungan dan irisan di atas termasuk dalam $\Sigma$.

231E

Semua gagasan di atas hanyalah modifikasi kecil dari gagasan-gagasan yang sudah diperlukan pada awal sekali teori ruang ukur. Sekarang kita sampai pada sesuatu yang lebih berbobot.

Teorema Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif terhitung. Maka

(a) $\nu$ terbatas;

(b) terdapat suatu himpunan $H\in\Sigma$ sedemikian sehingga

$\nu F\ge 0$ kapan pun $F\in\Sigma$ dan $F\subseteq H$,

$\nu F\le 0$ kapan pun $F\in\Sigma$ dan $F\cap H=\emptyset$.

Bukti

(a) Andaikan, jika mungkin, sebaliknya. Untuk $E\in\Sigma$, tetapkan $M(E)=\sup\{|\nu F|:F\in\Sigma,\,F\subseteq E\}$; maka $M(X)=\infty$. Selain itu, kapan pun $E_1$, $E_2$, $F\in\Sigma$ dan $F\subseteq E_1\cup E_2$, kita mempunyai

$|\nu F|=|\nu(F\cap E_1)+\nu(F\setminus E_1)| \le|\nu(F\cap E_1)|+|\nu(F\setminus E_1)|\le M(E_1)+M(E_2)$,

sehingga $M(E_1\cup E_2)\le M(E_1)+M(E_2)$. Pilih suatu barisan $\sequencen{E_n}$ di dalam $\Sigma$ sebagai berikut. Tetapkan $E_0=X$. Jika $M(E_n)=\infty$, dengan $n\in\Bbb N$, maka tentu terdapat suatu $F_n\subseteq E_n$ sedemikian sehingga $|\nu F_n|\ge 1+|\nu E_n|$, sehingga $|\nu(E_n\setminus F_n)|\ge 1$. Sekarang sekurang-kurangnya salah satu dari $M(F_n)$ dan $M(E_n\setminus F_n)$ tak berhingga; jika $M(F_n)=\infty$, tetapkan $E_{n+1}=F_n$; jika tidak, tetapkan $E_{n+1}=E_n\setminus F_n$; dalam kedua kasus, perhatikan bahwa $|\nu(E_n\setminus E_{n+1})|\ge 1$ dan $M(E_{n+1})=\infty$, sehingga induksi dapat dilanjutkan.

Setelah menyelesaikan induksi ini, tetapkan $G_n=E_n\setminus E_{n+1}$ untuk $n\in\Bbb N$. Maka $\sequencen{G_n}$ adalah barisan saling lepas di dalam $\Sigma$, sehingga $\sum_{n=0}^{\infty}\nu G_n$ terdefinisi di $\Bbb R$ dan $\lim_{n\to\infty}\nu G_n=0$; tetapi $|\nu G_n|\ge 1$ untuk setiap $n$.

(b)(i) Menurut (a), $\gamma=\sup\{\nu E:E\in\Sigma\}<\infty$. Pilih suatu barisan $\sequencen{E_n}$ di dalam $\Sigma$ sedemikian sehingga $\nu E_n\ge\gamma-2^{-n}$ untuk setiap $n\in\Bbb N$. Untuk $m\le n\in\Bbb N$, tetapkan $F_{mn}=\bigcap_{m\le i\le n}E_i$. Maka $\nu F_{mn}\ge\gamma-2\cdot 2^{-m}+2^{-n}$ untuk setiap $n\ge m$. Bukti. Lakukan induksi pada $n$. Untuk $n=m$, pernyataan ini langsung diperoleh dari pemilihan $E_m=F_{mm}$. Untuk langkah induksi, kita mempunyai $F_{m,n+1}=F_{mn}\cap E_{n+1}$, sedangkan tentu saja $\gamma\ge\nu(E_{n+1}\cup F_{mn})$, sehingga

\[\begin{aligned}\gamma+\nu F_{m,n+1} &\ge\nu(E_{n+1}\cup F_{mn})+\nu(E_{n+1}\cap F_{mn})\\& =\nu E_{n+1}+\nu F_{mn} \Displaycause{231Bc} \ge\gamma-2^{-n-1}+\gamma-2\cdot 2^{-m}+2^{-n} \Displaycause{berdasarkan pemilihan $E_{n+1}$ dan hipotesis induksi} =2\gamma-2\cdot 2^{-m}+2^{-n-1}. \\\end{aligned}\]

Dengan mengurangkan $\gamma$ dari kedua ruas, $\nu F_{m,n+1}\ge\gamma-2\cdot 2^{-m}+2^{-n-1}$ dan induksi berlanjut. ∎

(ii) Untuk $m\in\Bbb N$, tetapkan

$F_m=\bigcap_{n\ge m}F_{mn}=\bigcap_{n\ge m}E_n$.

Maka

$\nu F_m =\lim_{n\to\infty}\nu F_{mn}\ge\gamma-2\cdot 2^{-m}$,

menurut 231Dc. Selanjutnya, $\sequence{m}{F_m}$ tak-menurun, sehingga dengan menetapkan $H=\bigcup_{m\in\Bbb N}F_m$ kita mempunyai

$\nu H=\lim_{m\to\infty}\nu F_m\ge\gamma$;

karena $\nu H$ tentu lebih kecil daripada atau sama dengan $\gamma$, maka $\nu H=\gamma$.

(iii) Jika $F\in\Sigma$ dan $F\subseteq H$, maka

$\nu H-\nu F=\nu(H\setminus F)\le\gamma=\nu H$,

sehingga $\nu F\ge 0$. Jika $F\in\Sigma$ dan $F\cap H=\emptyset$, maka

$\nu H+\nu F=\nu(H\cup F)\le\gamma=\nu H$

sehingga $\nu F\le 0$. Ini menyelesaikan pembuktian.

231F Akibat

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif terhitung. Maka $\nu$ dapat dinyatakan sebagai selisih dua ukuran berhingga total dengan domain $\Sigma$.

Catatan Ini disebut ‘dekomposisi Jordan’ dari $\nu$. Pernyataan dalam 231Eb adalah suatu ‘dekomposisi Hahn’.

Latihan

231X Latihan dasar (a)

Misalkan $\Sigma$ adalah keluarga subhimpunan $A$ dari $\Bbb N$ sedemikian sehingga salah satu dari $A$ dan $\Bbb N\setminus A$ berhingga. Tunjukkan bahwa $\Sigma$ adalah aljabar subhimpunan dari $\Bbb N$. (Ini adalah aljabar berhingga-koberhingga dari subhimpunan $\Bbb N$; bandingkan dengan 211Ra.)

231Xb (b)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga. Tunjukkan bahwa $\nu(E\cup F\cup G)+\nu(E\cap F)+\nu(E\cap G)+\nu(F\cap G) =\nu E+\nu F+\nu G+\nu(E\cap F\cap G)$ untuk semua $E$, $F$, $G\in\Sigma$. Perumumkan hasil ini untuk barisan himpunan yang lebih panjang.

231Xc (>c) penting

Misalkan $\Sigma$ adalah aljabar berhingga-koberhingga dari subhimpunan $\Bbb N$, seperti dalam 231Xa. Definisikan $\nu:\Sigma\to\Bbb Z$ dengan menetapkan

$\nu E =\lim_{n\to\infty}\bigl(\#(\{i:i\le n,\,2i\in E\}) -\#(\{i:i\le n,\,2i+1\in E\})\bigr)$

untuk setiap $E\in\Sigma$. Tunjukkan bahwa $\nu$ terdefinisi dengan baik, aditif hingga, dan tak terbatas.

231Xd (d)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. (i) Tunjukkan bahwa jika $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ dan $\nuprime:\Sigma\to\Bbb R$ bersifat aditif hingga, maka demikian pula $\nu+\nuprime$ dan $c\nu$ untuk sembarang $c\in\Bbb R$. (ii) Tunjukkan bahwa jika $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ bersifat aditif hingga dan $H\in\Sigma$, maka $\nu_H$ bersifat aditif hingga, dengan $\nu_H(E)=\nu(H\cap E)$ untuk setiap $E\in\Sigma$.

231Xe (e)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga. Misalkan $S$ adalah ruang linear dari fungsi-fungsi bernilai real pada $X$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\sum_{i=0}^na_i\chi E_i$, dengan $E_i\in\Sigma$ untuk setiap $i$. (i) Tunjukkan bahwa kita mempunyai suatu fungsional linear $\dashint:S\to\Bbb R$ yang diberikan dengan menuliskan

$\dashint\sum_{i=0}^na_i\chi E_i =\sum_{i=0}^na_i\nu E_i$

kapan pun $a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R$ dan $E_0,\ldots,E_n\in\Sigma$. (ii) Tunjukkan bahwa jika $\nu E\ge 0$ untuk setiap $E\in\Sigma$, maka $\dashint f\ge 0$ kapan pun $f\in S$ dan $f(x)\ge 0$ untuk setiap $x\in X$. (iii) Tunjukkan bahwa jika $\nu$ terbatas dan $X\ne\emptyset$, maka

$\sup\{|\dashint f|:f\in S,\,\|f\|_{\infty}\le 1\} =\sup_{E,F\in\Sigma}|\nu E-\nu F|$,

dengan menuliskan $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in X}|f(x)|$.

231Xf (>f) penting

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to \Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) $\nu$ bersifat aditif terhitung;

(ii) $\lim_{n\to\infty}\nu E_n=0$ kapan pun $\sequencen{E_n}$ adalah barisan tak-meningkat di dalam $\Sigma$ dan $\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n=\emptyset$;

(iii) $\lim_{n\to\infty}\nu E_n=0$ kapan pun $\sequencen{E_n}$ adalah suatu barisan di dalam $\Sigma$ dan $\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}E_m=\emptyset$;

(iv) $\lim_{n\to\infty}\nu E_n=\nu E$ kapan pun $\sequencen{E_n}$ adalah suatu barisan di dalam $\Sigma$ dan

$E=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}E_m =\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}E_m$.

(Petunjuk: untuk (i)$\Rightarrow$(iv), mula-mula tinjau $\nu$ yang nonnegatif.)

231Xg (g)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$, dan misalkan $\nu:\Sigma\to\coint{-\infty,\infty}$ suatu fungsi yang aditif terhitung dalam arti bahwa $\nu\emptyset=0$ dan, kapan pun $\sequencen{E_n}$ adalah barisan saling lepas di dalam $\Sigma$, $\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\nu E_i$ terdefinisi di dalam $\coint{-\infty,\infty}$ dan sama dengan $\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)$. Tunjukkan bahwa $\nu$ terbatas di atas dan mencapai batas atasnya (yakni, terdapat suatu $H\in\Sigma$ sedemikian sehingga $\nu H=\sup_{F\in\Sigma}\nu F$). Selanjutnya, atau dengan cara lain, tunjukkan bahwa $\nu$ dapat dinyatakan sebagai selisih suatu ukuran berhingga total dan suatu ukuran, keduanya dengan domain $\Sigma$.

231Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga yang terbatas. Tetapkan

$\nu^+E=\sup\{\nu F:F\in\Sigma,\,F\subseteq E\}$,

$\nu^-E=-\inf\{\nu F:F\in\Sigma,\,F\subseteq E\}$,

$|\nu|E=\sup\{\nu F_1-\nu F_2:F_1,\,F_2\in\Sigma,\,F_1,\,F_2\subseteq E\}$.

Tunjukkan bahwa $\nu^+$, $\nu^-$, dan $|\nu|$ semuanya merupakan fungsional aditif hingga yang terbatas pada $\Sigma$, serta bahwa $\nu=\nu^+-\nu^-$, $|\nu|=\nu^++\nu^-$. Tunjukkan bahwa jika $\nu$ bersifat aditif terhitung, demikian pula $\nu^+$, $\nu^-$, dan $|\nu|$. ($|\nu|$ kadang-kadang disebut variasi dari $\nu$.)

231Yb (b)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. Misalkan $\nu_1$, $\nu_2$ adalah dua fungsional aditif hingga yang terbatas dan didefinisikan pada $\Sigma$. Tetapkan

$(\nu_1\vee\nu_2)(E) =\sup\{\nu_1 F+\nu_2(E\setminus F):F\in\Sigma,\,F\subseteq E\}$,

$(\nu_1\wedge\nu_2)(E) =\inf\{\nu_1 F+\nu_2(E\setminus F):F\in\Sigma,\,F\subseteq E\}$.

Tunjukkan bahwa $\nu_1\vee\nu_2$ dan $\nu_1\wedge\nu_2$ merupakan fungsional aditif hingga, dan bahwa $\nu_1+\nu_2=\nu_1\vee\nu_2+\nu_1\wedge\nu_2$. Tunjukkan bahwa, dalam bahasa 231Ya,

$\nu^+=\nu\vee 0$, $\nu^-=(-\nu)\vee 0=-(\nu\wedge 0)$, $|\nu|=\nu\vee(-\nu)=\nu^+\vee\nu^-=\nu^++\nu^-$,

$\nu_1\vee\nu_2=\nu_1+(\nu_2-\nu_1)^+$, $\nu_1\wedge\nu_2=\nu_1-(\nu_1-\nu_2)^+$,

sehingga $\nu_1\vee\nu_2$ dan $\nu_1\wedge\nu_2$ bersifat aditif terhitung jika $\nu_1$ dan $\nu_2$ juga demikian.

231Yc (c)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. Misalkan $M$ adalah himpunan semua fungsional aditif hingga yang terbatas dari $\Sigma$ ke $\Bbb R$. Tunjukkan bahwa $M$ adalah ruang linear menurut definisi alami penjumlahan dan perkalian skalar. Tunjukkan bahwa $M$ memiliki suatu urutan parsial $\le$ yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa

$\nu\le\nuprime$ jika dan hanya jika $\nu E\le\nuprime E$ untuk setiap $E\in\Sigma$,

dan bahwa untuk urutan parsial ini $\nu_1\vee\nu_2$, $\nu_1\wedge\nu_2$, sebagaimana didefinisikan dalam 231Yb, masing-masing adalah $\sup\{\nu_1,\nu_2\}$ dan $\inf\{\nu_1,\nu_2\}$.

231Yd (d)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. Misalkan $\nu_0,\ldots,\nu_n$ adalah fungsional-fungsional aditif hingga yang terbatas pada $\Sigma$, dan tetapkan

$\check\nu E=\sup\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:F_0,\ldots,F_n\in\Sigma,\,\bigcup_{i\le n}F_i=E,\,F_i\cap F_j=\emptyset$ untuk $i\ne j\}$,

$\hat\nu E=\inf\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:F_0,\ldots,F_n\in\Sigma,\,\bigcup_{i\le n}F_i=E,\,F_i\cap F_j=\emptyset$ untuk $i\ne j\}$

untuk $E\in\Sigma$. Tunjukkan bahwa $\check\nu$ dan $\hat\nu$ bersifat aditif hingga dan masing-masing merupakan $\sup\{\nu_0,\ldots,\nu_n\}$ dan $\inf\{\nu_0,\ldots,\nu_n\}$ di dalam himpunan terurut parsial dari fungsional-fungsional aditif hingga pada $\Sigma$.

231Ye (e)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar-sigma subhimpunan dari $X$; misalkan $M$ adalah himpunan terurut parsial dari semua fungsional aditif hingga yang terbatas dari $\Sigma$ ke $\Bbb R$. (i) Tunjukkan bahwa jika $A\subseteq M$ tak kosong dan terbatas di atas dalam $M$, maka $A$ memiliki supremum $\check\nu$ di dalam $M$, yang diberikan oleh rumus

\[\begin{aligned}\check\nu E =\sup\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:\nu_0,\ldots,\nu_n\in A,\,F_0,&\ldots,F_n\in\Sigma,\,\bigcup_{i\le n}F_i=E,\\ &\qquad\quad F_i\cap F_j=\emptyset\text{ untuk }i\ne j\}.\\\end{aligned}\]

(ii) Tunjukkan bahwa jika $A\subseteq M$ tak kosong dan terbatas di bawah dalam $M$, maka himpunan tersebut memiliki infimum $\hat\nu\in M$, yang diberikan oleh rumus

\[\begin{aligned}\hat\nu E =\inf\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:\nu_0,\ldots,\nu_n\in A,\,F_0,&\ldots,F_n\in\Sigma,\,\bigcup_{i\le n}F_i=E,\\ &\qquad\quad F_i\cap F_j=\emptyset\text{ untuk }i\ne j\}.\\\end{aligned}\]

231Yf (f)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga yang nonnegatif. Untuk $E\in\Sigma$, tetapkan

$\nu_{ca}(E)=\inf\{\sup_{n\in\Bbb N}\nu F_n:\sequencen{F_n}$ adalah barisan tak-menurun di dalam $\Sigma$ dengan gabungan $E\}$.

Tunjukkan bahwa $\nu_{ca}$ adalah fungsional aditif terhitung pada $\Sigma$, dan bahwa jika $\nuprime$ adalah sembarang fungsional aditif terhitung dengan $\nuprime\le\nu$, maka $\nuprime\le\nu_{ca}$. Tunjukkan bahwa $\nu_{ca}\wedge(\nu-\nu_{ca})=0$.

231Yg (g)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$, dan $\nu:\Sigma\to\Bbb R$ suatu fungsional aditif hingga yang terbatas. Tunjukkan bahwa $\nu$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai $\nu_{ca}+\nu_{pfa}$, dengan $\nu_{ca}$ aditif terhitung, $\nu_{pfa}$ aditif hingga, dan jika $0\le\nuprime\le|\nu_{pfa}|$ serta $\nuprime$ aditif terhitung, maka $\nuprime=0$.

231Yh (h)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ suatu aljabar subhimpunan dari $X$. Misalkan $M$ adalah ruang linear dari fungsional-fungsional aditif hingga yang terbatas pada $\Sigma$, dan untuk $\nu\in M$, tetapkan $\|\nu\|=|\nu|(X)$, dengan mendefinisikan $|\nu|$ seperti dalam 231Ya. ($\|\nu\|$ adalah variasi total dari $\nu$.) Tunjukkan bahwa $\|\,\|$ adalah suatu norma pada $M$ yang menjadikan $M$ suatu ruang Banach. Tunjukkan bahwa ruang fungsional-fungsional aditif terhitung yang terbatas pada $\Sigma$ adalah subruang linear tertutup dari $M$.

231Yi (i)

Ulangi sebanyak mungkin hasil dalam bagian ini untuk fungsional bernilai kompleks.

Catatan dan komentar

231-notes Catatan penutup untuk Bagian 231

Tujuan sebenarnya dari bagian ini adalah menguraikan dekomposisi Hahn dari suatu fungsional aditif terhitung (231E). Uraian yang tidak tergesa-gesa dalam 231A-231D dimaksudkan sebagai tinjauan atas sifat-sifat paling elementer dari ukuran, dalam konteks ‘ukuran bertanda’ yang sedikit lebih umum, dengan sifat-sifat yang hanya bersesuaian dengan ‘keaditifan’ dipisahkan dari sifat-sifat yang bergantung pada ‘keaditifan terhitung’. Dalam 231Xf saya menguraikan syarat perlu dan cukup bagi suatu fungsional aditif hingga pada aljabar-sigma untuk bersifat aditif terhitung. Syarat-syarat itu dimaksudkan untuk mengisyaratkan bahwa suatu fungsional aditif hingga bersifat aditif terhitung jika dan hanya jika, dalam suatu arti, fungsional tersebut ‘kontinu secara sekuensial terhadap urutan’. Fakta bahwa suatu fungsional aditif terhitung dapat dinyatakan sebagai selisih fungsional-fungsional aditif terhitung yang nonnegatif (231F) memiliki padanan penting dalam teori fungsional aditif hingga: suatu fungsional aditif hingga dapat dinyatakan sebagai selisih fungsional-fungsional aditif hingga yang nonnegatif jika (dan hanya jika) fungsional tersebut terbatas (231Ya). Namun, menurut saya hal ini, ataupun sifat-sifat lebih lanjut dari fungsional aditif hingga yang terbatas sebagaimana diuraikan dalam 231Xe dan 231Y, belum akan penting bagi kita sebelum Jilid 3.