Definisi — Fondasi Teori Ukuran

Saya mulai dengan suatu daftar definisi, yang bersesuaian dengan konsep-konsep yang menurut pengalaman saya berguna untuk membedakan berbagai jenis ruang ukur. Tak terelakkan, arti penting banyak gagasan ini mungkin masih belum jelas sampai Anda menjumpai beberapa kendala yang muncul kemudian. Meskipun demikian, saya berharap Anda akan dapat menangani definisi-definisi ini secara formal dan abstrak, serta mengikuti argumen elementer yang digunakan untuk menetapkan hubungan di antara mereka (211L).

Dalam 216C-216E di bawah ini saya akan memberikan tiga contoh substansial untuk memperlihatkan betapa beragamnya objek yang tercakup oleh definisi ‘ruang ukur’. Oleh karena itu, dalam bagian ini saya cukup memberikan uraian yang sangat singkat mengenai sejumlah kasus yang memadai untuk setidaknya menunjukkan bahwa setiap definisi di sini membedakan ruang-ruang yang berlainan (211M-211R).

211A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut (Carathéodory) lengkap jika, setiap kali \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu E=0\), berlaku \(A\in\Sigma\); yaitu, jika setiap subhimpunan terabaikan dari \(X\) terukur.

211B Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang peluang jika \(\mu X=1\). Dalam hal ini \(\mu\) disebut suatu peluang atau ukuran peluang.

211C Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut hingga total jika \(\mu X<\infty\).

211D Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut \(\sigma\)-hingga jika ada suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) yang terdiri atas himpunan-himpunan terukur berukuran hingga sedemikian sehingga \(X=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\).

Catatan Perhatikan bahwa dalam hal ini kita dapat menetapkan

\(F_n=E_n\setminus\bigcup_{i<n}E_i\), \(G_n=\bigcup_{i\le n}E_i\)

untuk setiap \(n\), sehingga diperoleh suatu partisi \(\sequencen{F_n}\) dari \(X\) (yaitu, suatu penutup saling lepas dari \(X\)) menjadi himpunan-himpunan terukur berukuran hingga, dan suatu barisan tak menurun \(\sequencen{G_n}\) dari himpunan-himpunan berukuran hingga yang menutupi \(X\).

211E Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut dapat dilokalkan secara ketat atau dapat didekomposisi jika ada suatu partisi \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) dari \(X\) menjadi himpunan-himpunan terukur berukuran hingga sedemikian sehingga

\(\Sigma =\{E:E\subseteq X,\,E\cap X_i\in\Sigma\Forall i\in I\}\),

\(\mu E=\sum_{i\in I}\mu(E\cap X_i)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Saya akan menyebut keluarga demikian \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu dekomposisi dari \(X\).

Catatan Dalam konteks ini, kita dapat menafsirkan jumlah \(\sum_{i\in I}\mu(E\cap X_i)\) cukup sebagai

\(\sup\{\sum_{i\in J}\mu(E\cap X_i):J\) adalah subhimpunan hingga dari \(I\}\),

dengan mengambil \(\sum_{i\in\emptyset}\mu(E\cap X_i)=0\), karena kita hanya berurusan dengan jumlah suku-suku nonnegatif (bdk. 112Bd).

211F Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut semihingga jika, setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E=\infty\), ada suatu \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(F\in\Sigma\) dan \(0<\mu F<\infty\).

211G Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut dapat dilokalkan jika ia semihingga dan, untuk setiap \(\Cal E\subseteq\Sigma\), ada suatu \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga (i) \(E\setminus H\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) (ii) jika \(G\in\Sigma\) dan \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\), maka \(H\setminus G\) terabaikan. Akan berguna untuk menyebut himpunan demikian \(H\) suatu supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\).

Catatan Definisi di sini agak canggung, karena sebenarnya konsep ini berlaku bagi aljabar ukuran, bukan bagi ruang ukur (lihat 211Ya-211Yb). Namun, definisi yang sekarang dapat dibuat berfungsi (lihat 213N, 241G, 243G di bawah) dan memungkinkan kita melanjutkan tanpa pengantar formal terhadap konsep ‘aljabar ukuran’ sebelum tiba waktunya untuk mengerjakannya dengan semestinya dalam Jilid 3.

211H Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut ditentukan secara lokal jika ia semihingga dan

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\,E\cap F\in\Sigma\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\}\);

dengan kata lain, untuk setiap \(E\in\Cal PX\setminus\Sigma\) ada suatu \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F<\infty\) dan \(E\cap F\notin\Sigma\).

211I Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Suatu himpunan \(E\in\Sigma\) adalah sebuah atom bagi \(\mu\) jika \(\mu E>0\) dan, setiap kali \(F\in\Sigma\), \(F\subseteq E\), salah satu dari \(F\), \(E\setminus F\) terabaikan.

211J Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut tanpa atom atau terdifusi jika tidak ada atom bagi \(\mu\). (Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan mengatakan bahwa semua himpunan hingga terabaikan; lihat 211R di bawah. Sebagian penulis menggunakan kata kontinu dalam konteks ini.)

211K Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(\mu\), atau \((X,\Sigma,\mu)\), disebut atomik murni jika, setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(E\) tidak terabaikan, ada suatu atom bagi \(\mu\) yang termuat dalam \(E\).

Catatan Ingat bahwa suatu ukuran \(\mu\) pada sebuah himpunan \(X\) disebut bertumpu pada titik jika \(\mu\) mengukur setiap subhimpunan dari \(X\) dan \(\mu E=\sum_{x\in E}\mu\{x\}\) untuk setiap \(E\subseteq X\) (112Bd). Setiap ukuran yang bertumpu pada titik bersifat atomik murni, karena \(\{x\}\) mesti merupakan sebuah atom setiap kali \(\mu\{x\}>0\), tetapi tidak setiap ukuran atomik murni bertumpu pada titik (211R).

211L

Hubungan di antara konsep-konsep di atas dalam suatu arti sangat langsung; semua implikasi langsung ketika satu sifat mengakibatkan sifat lain diberikan dalam teorema berikut.

Teorema (a) Suatu ruang peluang bersifat hingga total.

(b) Suatu ruang ukur hingga total bersifat \(\sigma\)-hingga.

(d) Suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat dapat dilokalkan dan ditentukan secara lokal.

(e) Suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan bersifat semihingga.

(f) Suatu ruang ukur yang ditentukan secara lokal bersifat semihingga.

Bukti

(a), (b), (e), dan (f) langsung.

(c) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga; misalkan \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan saling lepas yang terdiri atas himpunan-himpunan terukur berukuran hingga dan menutupi \(X\) (lihat catatan dalam 211D). Jika \(E\in\Sigma\), tentu saja \(E\cap F_n\in\Sigma\) untuk setiap \(n\in \Bbb N\), dan

\(\mu E=\sum_{n=0}^{\infty}\mu(E\cap F_n)=\sum_{n\in \Bbb N}\mu(E\cap F_n)\).

Jika \(E\subseteq X\) dan \(E\cap F_n\in\Sigma\) untuk setiap \(n\in \Bbb N\), maka

\(E=\bigcup_{n\in \Bbb N}E\cap F_n\in \Sigma\).

Jadi \(\sequencen{F_n}\) merupakan suatu dekomposisi dari \(X\) dan \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat.

(d) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat; misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu dekomposisi dari \(X\).

(i) Misalkan \(\Cal E\) suatu keluarga subhimpunan terukur dari \(X\). Misalkan \(\Cal F\) keluarga himpunan terukur \(F\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\mu(F\cap E)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). Perhatikan bahwa \(\emptyset\in\Cal F\) dan, jika \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan sebarang dalam \(\Cal F\), maka \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\in\Cal F\). Untuk setiap \(i\in I\), tetapkan \(\gamma_i=\sup\{\mu(F\cap X_i):F\in\Cal F\}\) dan pilih suatu barisan \(\sequencen{F_{in}}\) dalam \(\Cal F\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\mu(F_{in}\cap X_i)=\gamma_i\); tetapkan

\(F_i=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_{in}\in\Cal F\).

Tetapkan

\(F=\bigcup_{i\in I}F_i\cap X_i\subseteq X\)

dan \(H=X\setminus F\).

Kita melihat bahwa \(F\cap X_i=F_i\cap X_i\) untuk setiap \(i\in I\) (karena \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) saling lepas), sehingga \(F\in\Sigma\) dan \(H\in \Sigma\). Untuk sebarang \(E\in\Cal E\),

\(\mu(E\setminus H)=\mu(E\cap F) =\sum_{i\in I}\mu(E\cap F\cap X_i) =\sum_{i\in I}\mu(E\cap F_i\cap X_i)=0\)

karena setiap \(F_i\) termasuk dalam \(\Cal F\). Jadi \(F\in\Cal F\). Jika \(G\in\Sigma\) dan \(\mu(E\setminus G)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), maka \(X\setminus G\) dan \(F'=F\cup(X\setminus G)\) termasuk dalam \(\Cal F\). Maka \(\mu(F'\cap X_i)\le\gamma_i\) untuk setiap \(i\in I\). Tetapi juga \(\mu(F\cap X_i)\ge\sup_{n\in\Bbb N}\mu(F_{in}\cap X_i)=\gamma_i\), sehingga \(\mu(F\cap X_i)=\mu(F'\cap X_i)\) untuk setiap \(i\). Karena \(\mu X_i\) hingga, diperoleh \(\mu((F'\setminus F)\cap X_i)=0\) untuk setiap \(i\). Dengan menjumlahkan atas \(i\), \(\mu(F'\setminus F)=0\), yaitu, \(\mu(H\setminus G)=0\).

Dengan demikian \(H\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sebarang, \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

(ii) Jika \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E=\infty\), maka ada suatu \(i\in I\) sedemikian sehingga

\(0<\mu(E\cap X_i)\le\mu X_i<\infty\);

sehingga \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat semihingga. Jika \(E\subseteq X\) dan \(E\cap F\in\Sigma\) setiap kali \(\mu F<\infty\), maka, khususnya, \(E\cap X_i\in\Sigma\) untuk setiap \(i\in I\), sehingga \(E\in\Sigma\); jadi \((X,\Sigma,\mu)\) ditentukan secara lokal.

211M Contoh: ukuran Lebesgue

Mari kita meninjau ukuran Lebesgue dari sudut pandang konsep-konsep di atas. Tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan \(\Sigma\) untuk domainnya.

211Ma (a)

\(\mu\) lengkap, karena ia dikonstruksi dengan metode Carathéodory; jika \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=0\), maka \(\mu^*A=\mu^*E=0\) (dengan menuliskan \(\mu^*\) untuk ukuran luar Lebesgue), sehingga, untuk sebarang \(B\subseteq\BbbR^r\), \(\mu^*(B\cap A)+\mu^*(B\setminus A)\le 0+\mu^*B=\mu^*B\), dan \(A\) mesti terukur.

211Mb (b)

\(\mu\) bersifat \(\sigma\)-hingga, karena \(\BbbR^r=\bigcup_{n\in\Bbb N}[-\tbf{n},\tbf{n}]\), dengan \(\tbf{n}\) menyatakan vektor \((n,\ldots,n)\), dan \(\mu[-\tbf{n},\tbf{n}]=(2n)^r<\infty\) untuk setiap \(n\). Tentu saja \(\mu\) bukan hingga total dan juga bukan ukuran peluang.

211Mc (c)

Karena \(\mu\) bersifat \(\sigma\)-hingga, ia dapat dilokalkan secara ketat (211Lc), dapat dilokalkan (211Ld), ditentukan secara lokal (211Ld), dan semihingga (211Le atau 211Lf).

211Md (d)

\(\mu\) tanpa atom. Bukti. Misalkan \(E\in\Sigma,\ \mu E>0\). Tinjau fungsi \(a\mapsto f(a) =\mu(E\cap[-\tbf{a},\tbf{a}]):\coint{0,\infty}\to\Bbb R\) Kita mempunyai \(f(a) \le f(b)\le f(a)+\mu[-\tbf{b},\tbf{b}]-\mu[-\tbf{a},\tbf{a}] =f(a)+(2b)^r-(2a)^r\) setiap kali \(a\le b\) dalam \(\coint{0,\infty}\), sehingga \(f\) kontinu. Sekarang \(f(0)=0\) dan \(\lim_{n\to\infty}f(n)=\mu E>0\). Berdasarkan Teorema Nilai Antara ada suatu \(a\in\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(0<f(a)<\mu E\). Jadi kita mempunyai \(0<\mu(E\cap[-\tbf{a},\tbf{a}])<\mu E\). Karena \(E\) sebarang, \(\mu\) tanpa atom. ∎

211Me (e)

Sekarang merupakan pengamatan langsung bahwa \(\mu\) tidak mungkin atomik murni, karena \(\BbbR^r\) sendiri merupakan suatu himpunan berukuran positif yang tidak memuat atom apa pun.

211N Ukuran pencacahan

Ambil \(X\) sebagai sebarang himpunan tak terhitung (misalnya, \(X=\Bbb R\)), dan \(\mu\) sebagai ukuran pencacahan pada \(X\) (112Bd).

211Na (a)

\(\mu\) lengkap, karena jika \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=0\) maka

\(A=E=\emptyset\in\Sigma\).

211Nb (b)

\(\mu\) tidak \(\sigma\)-hingga, karena jika \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan sebarang dari himpunan-himpunan berukuran hingga, maka setiap \(E_n\) hingga, dan karena itu terhitung, sedangkan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) terhitung (1A1F), sehingga tidak mungkin sama dengan \(X\). Terlebih lagi, \(\mu\) bukan ukuran peluang dan juga bukan hingga total.

211Nc (c)

\(\mu\) dapat dilokalkan secara ketat. Bukti. Tetapkan \(X_x=\{x\}\) untuk setiap \(x\in X\). Maka \(\langle X_x\rangle_{x\in X}\) merupakan suatu partisi dari \(X\), dan untuk sebarang \(E\subseteq X\) \(\mu(E\cap X_x)=1\) jika \(x\in E\), \(0\) jika tidak. Berdasarkan definisi \(\mu\), \(\mu E=\sum_{x\in X}\mu(E\cap X_x)\) untuk setiap \(E\subseteq X\), dan \(\langle X_x\rangle_{x\in X}\) merupakan suatu dekomposisi dari \(X\). ∎ Akibatnya \(\mu\) dapat dilokalkan, ditentukan secara lokal, dan semihingga.

211Nd (d)

\(\mu\) atomik murni. Bukti. \(\{x\}\) merupakan suatu atom untuk setiap \(x\in X\), dan jika \(\mu E>0\), maka tentu \(E\) memuat \(\{x\}\) untuk suatu \(x\). ∎ Jelas bahwa \(\mu\) tidak tanpa atom.

211O Ruang yang tidak semihingga

Tetapkan \(X=\{0\}\), \(\Sigma=\{\emptyset,X\}\), \(\mu\emptyset=0\), dan \(\mu X=\infty\). Maka \(\mu\) tidak semihingga, karena \(\mu X=\infty\) tetapi \(X\) tidak memiliki subhimpunan dengan ukuran hingga yang tak nol. Akibatnya \(\mu\) tidak mungkin dapat dilokalkan, ditentukan secara lokal, \(\sigma\)-hingga, hingga total, ataupun merupakan ukuran peluang. Karena \(\Sigma=\Cal PX\), \(\mu\) lengkap. \(X\) merupakan suatu atom bagi \(\mu\), sehingga \(\mu\) atomik murni (bahkan, ia bertumpu pada titik).

211P Ruang yang tidak lengkap

Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan Borel dalam \(\Bbb R\) (111G), dan \(\mu\) untuk pembatasan ukuran Lebesgue pada \(\Cal B\) (ingat bahwa berdasarkan 114G setiap subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) terukur Lebesgue). Maka \((\Bbb R,\Cal B,\mu)\) tanpa atom, \(\sigma\)-hingga, dan tidak lengkap.

Bukti

(a) Untuk melihat bahwa \(\mu\) tidak lengkap, ingat bahwa ada suatu permutasi kontinu dan naik ketat \(g:[0,1]\to[0,1]\) sedemikian sehingga \(\mu g[C]>0\), dengan \(C\) menyatakan himpunan Cantor, sehingga ada suatu himpunan \(A\subseteq g[C]\) yang tidak terukur Lebesgue (134Ib). Sekarang \(g^{-1}[A]\subseteq C\) tidak mungkin merupakan himpunan Borel, sebab \(\chi A=\chi(g^{-1}[A])\smallcirc g^{-1}\) tidak terukur Lebesgue, dan karena itu tidak terukur Borel, sedangkan komposisi dua fungsi terukur Borel adalah terukur Borel (121Eg); jadi \(g^{-1}[A]\) merupakan subhimpunan tak terukur dari himpunan terabaikan \(C\).

(b) Argumen selebihnya dalam 211M berlaku bagi \(\mu\) sama baiknya seperti bagi ukuran Lebesgue yang sebenarnya, sehingga \(\mu\) \(\sigma\)-hingga dan tanpa atom.

*Catatan Argumen yang diberikan dalam (a) dapat menimbulkan kesan yang sangat keliru. Himpunan \(A\) yang disebut di sana hanya dapat dikonstruksi dengan menggunakan suatu bentuk kuat aksioma pilihan. Perangkat demikian tidak diperlukan untuk hasil di sini. Ada banyak metode untuk mengonstruksi subhimpunan non-Borel dari himpunan Cantor, dan semuanya menerangi persoalan dengan cara yang berbeda. Tanpa bentuk apa pun dari aksioma pilihan, ada kesulitan dengan konsep ‘himpunan Borel’, serta kesulitan lain dengan konsep ‘ukuran Lebesgue’, yang akan saya bahas dalam Bab 56; tetapi pilihan terhitung sudah cukup untuk menjamin keberadaan suatu subhimpunan non-Borel dari \(\Bbb R\). Untuk perincian mengenai salah satu pendekatan yang mungkin, lihat 423L dalam Jilid 4.

211Q Beberapa ruang peluang

Dua konstruksi ruang peluang yang jelas, dengan membatasi diri pada metode-metode yang diuraikan dalam Jilid 1, adalah

(a) ukuran subruang yang diinduksi oleh ukuran Lebesgue pada \([0,1]\) (131B);

(b) ukuran yang bertumpu pada titik, yang diinduksi pada suatu himpunan \(X\) oleh suatu fungsi \(h:X\to[0,1]\) sedemikian sehingga \(\sum_{x\in X}h(x)=1\), dengan menuliskan \(\mu E=\sum_{x\in E}h(x)\) untuk setiap \(E\subseteq X\); misalnya, jika \(X\) suatu himpunan tunggal \(\{x\}\) dan \(h(x)=1\), atau jika \(X=\Bbb N\) dan \(h(n)=2^{-n-1}\).

Dari kedua konstruksi ini, (a) memberikan ukuran peluang tanpa atom dan (b) memberikan ukuran peluang atomik murni.

211R Ukuran terhitung-koterhitung

Konstruksi berikut adalah salah satu konstruksi dasar yang patut diingat ketika meninjau ruang ukur abstrak.

(a) Misalkan \(X\) sebarang himpunan. Misalkan \(\Sigma\) keluarga himpunan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(E\) atau \(X\setminus E\) terhitung. Maka \(\Sigma\) merupakan suatu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Bukti. (i) \(\emptyset\) terhitung, sehingga termasuk dalam \(\Sigma\). (ii) Syarat agar \(E\) termasuk dalam \(\Sigma\) simetris antara \(E\) dan \(X\setminus E\), sehingga \(X\setminus E\in\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). (iii) Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan sebarang dalam \(\Sigma\), dan tetapkan \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Jika setiap \(E_n\) terhitung, maka \(E\) terhitung, sehingga termasuk dalam \(\Sigma\). Jika tidak, ada suatu \(n\) sedemikian sehingga \(X\setminus E_n\) terhitung; dalam hal ini \(X\setminus E\subseteq X\setminus E_n\) terhitung, sehingga sekali lagi \(E\in\Sigma\). ∎ \(\Sigma\) disebut aljabar-sigma terhitung-koterhitung dari \(X\).

211Rb (b)

Sekarang tinjau fungsi \(\mu:\Sigma\to\{0,1\}\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\mu E=0\) jika \(E\) terhitung, dan \(\mu E=1\) jika \(E\in\Sigma\) dan \(E\) tidak terhitung. Maka \(\mu\) adalah suatu ukuran. Bukti. (i) \(\emptyset\) terhitung, sehingga \(\mu\emptyset=0\). (ii) Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Sigma\), dan \(E\) gabungannya. (\({\alpha}\)) Jika setiap \(E_m\) terhitung, maka \(E\) juga terhitung, sehingga \(\mu E=0=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\). (\({\beta}\)) Jika suatu \(E_m\) tak terhitung, maka \(E\supseteq E_m\) juga tak terhitung, dan \(\mu E=\mu E_m=1\). Tetapi dalam hal ini, karena \(E_m\in\Sigma\), \(X\setminus E_m\) terhitung, sehingga \(E_n\), sebagai suatu subhimpunan dari \(X\setminus E_m\), terhitung untuk setiap \(n\ne m\); jadi \(\mu E_n=0\) untuk setiap \(n\ne m\), dan \(\mu E=1=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\). Karena \(\sequencen{E_n}\) sebarang, \(\mu\) merupakan suatu ukuran. ∎ Ini adalah ukuran terhitung-koterhitung pada \(X\).

211Rc (c)

Jika \(X\) sebarang himpunan tak terhitung dan \(\mu\) ukuran terhitung-koterhitung pada \(X\), maka \(\mu\) merupakan ukuran peluang lengkap dan atomik murni, tetapi tidak bertumpu pada titik. Bukti. (i) Jika \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=0\), maka \(E\) terhitung, sehingga \(A\) juga terhitung dan termasuk dalam \(\Sigma\). Jadi \(\mu\) lengkap. (ii) Karena \(X\) tak terhitung, \(\mu X=1\) dan \(\mu\) merupakan ukuran peluang. (iii) Jika \(\mu E>0\), maka \(\mu F=\mu E=1\) setiap kali \(F\) merupakan subhimpunan terukur yang tidak terabaikan dari \(E\), sehingga \(E\) sendiri merupakan suatu atom; jadi \(\mu\) atomik murni. (iv) \(\mu X=1>0=\sum_{x\in X}\mu\{x\}\), sehingga \(\mu\) tidak bertumpu pada titik. ∎

Latihan

211X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa \(\mu\) \(\sigma\)-hingga jika dan hanya jika ada suatu ukuran hingga total \(\nu\) pada \(X\) yang memiliki himpunan-himpunan terukur dan himpunan-himpunan terabaikan yang sama dengan \(\mu\).

211Xb (>b) penting

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak menurun dan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian (114Xa). Tunjukkan bahwa \(\mu_g\) lengkap dan \(\sigma\)-hingga. Tunjukkan bahwa

(i) \(\mu_g\) hingga total jika dan hanya jika \(g\) terbatas;

(ii) \(\mu_g\) merupakan ukuran peluang jika dan hanya jika \(\lim_{x\to\infty}g(x) -\lim_{x\to-\infty}g(x)=1\);

(iii) \(\mu_g\) tanpa atom jika dan hanya jika \(g\) kontinu;

(iv) jika \(E\) sebarang atom bagi \(\mu_g\), ada suatu titik \(x\in E\) sedemikian sehingga \(\mu_gE=\mu_g\{x\}\);

(v) \(\mu_g\) atomik murni jika dan hanya jika ia bertumpu pada titik.

211Xc (>c) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran pencacahan pada suatu himpunan \(X\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) selalu lengkap, dapat dilokalkan secara ketat, dan atomik murni, serta bahwa ia \(\sigma\)-hingga jika dan hanya jika \(X\) terhitung, hingga total jika dan hanya jika \(X\) hingga, merupakan ukuran peluang jika dan hanya jika \(X\) suatu himpunan tunggal, dan tanpa atom jika dan hanya jika \(X\) kosong.

211Xd (d)

Tunjukkan bahwa suatu ukuran yang bertumpu pada titik selalu lengkap, dan dapat dilokalkan secara ketat jika dan hanya jika ia semihingga.

211Xe (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Tunjukkan bahwa untuk sebarang ideal-\(\sigma\) \(\Cal I\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) (definisi: 112Db), himpunan

\(\Sigma=\Cal I\cup\{X\setminus A:A\in\Cal I\}\)

merupakan suatu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan bahwa ada suatu ukuran \(\mu:\Sigma\to\{0,1\}\) yang diberikan dengan menetapkan

\(\mu E=0\) jika \(E\in\Cal I\), \(\mu E=1\) jika \(E\in\Sigma\setminus\Cal I\).

Tunjukkan bahwa \(\Cal I\) tepat merupakan ideal nol dari \(\mu\), bahwa \(\mu\) lengkap, hingga total, dan atomik murni, serta merupakan ukuran peluang jika dan hanya jika \(X\notin\Cal I\).

211Xf (f)

Tunjukkan bahwa suatu ukuran yang bertumpu pada titik dapat dilokalkan secara ketat jika dan hanya jika ia semihingga.

211Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sedemikian sehingga \(\mu X>0\). Tunjukkan bahwa himpunan semua subhimpunan koterabaikan dari \(X\) merupakan suatu filter pada \(X\).

211Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan untuk \(E\), \(F\in\Sigma\) tuliskan \(E\sim F\) jika \(\mu(E\symmdiff F)=0\). Tunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan suatu relasi ekuivalensi pada \(\Sigma\). Misalkan \(\frak A\) himpunan kelas-kelas ekuivalensi dalam \(\Sigma\) untuk \(\sim\); untuk \(E\in\Sigma\), tuliskan \(E^{\ssbullet}\in\frak A\) untuk kelas ekuivalensinya. Tunjukkan bahwa ada suatu relasi urutan parsial \(\Bsubseteq\) pada \(\frak A\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa, untuk \(E\), \(F\in\Sigma\),

\(E^{\ssbullet}\Bsubseteq F^{\ssbullet} \,\iff\,\mu(E\setminus F)=0\).

Tunjukkan bahwa \(\mu\) dapat dilokalkan jika dan hanya jika, untuk setiap \(A\subseteq\frak A\), ada suatu \(h\in\frak A\) sedemikian sehingga (i) \(a\Bsubseteq h\) untuk setiap \(a\in A\) (ii) setiap kali \(g\in\frak A\) sedemikian sehingga \(a\Bsubseteq g\) untuk setiap \(a\in A\), maka \(h\Bsubseteq g\).

211Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan konstruksikan \(\frak A\) seperti dalam 211Ya. Tunjukkan bahwa ada operasi-operasi \(\Bcup\), \(\Bcap\), \(\Bsetminus\) pada \(\frak A\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa

\(E^{\ssbullet}\Bcap F^{\ssbullet}=(E\cap F)^{\ssbullet}\), \(E^{\ssbullet}\Bcup F^{\ssbullet}=(E\cup F)^{\ssbullet}\), \(E^{\ssbullet}\Bsetminus F^{\ssbullet}=(E\setminus F)^{\ssbullet}\)

untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq\frak A\) sebarang himpunan terhitung, maka ada suatu \(h\in\frak A\) sedemikian sehingga (i) \(a\Bsubseteq h\) untuk setiap \(a\in A\) (ii) setiap kali \(g\in\frak A\) sedemikian sehingga \(a\Bsubseteq g\) untuk setiap \(a\in A\), maka \(h\Bsubseteq g\). Tunjukkan bahwa ada suatu fungsional \(\bar\mu:\frak A\to[0,\infty]\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa \(\bar\mu(E^{\ssbullet})=\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). (\((\frak A,\bar\mu)\) disebut aljabar ukuran dari \((X,\Sigma,\mu)\).)

211Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga. Tunjukkan bahwa ruang ini tanpa atom jika dan hanya jika, setiap kali \(\epsilon>0\), \(E\in\Sigma\), dan \(\mu E<\infty\), ada suatu partisi hingga dari \(E\) menjadi himpunan-himpunan terukur yang masing-masing berukuran paling besar \(\epsilon\).

211Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat. Tunjukkan bahwa ruang ini tanpa atom jika dan hanya jika, untuk setiap \(\epsilon>0\), ada suatu dekomposisi dari \(X\) yang terdiri atas himpunan-himpunan berukuran paling besar \(\epsilon\).

211Ye (e)

Misalkan \(\Sigma\) aljabar-sigma terhitung-koterhitung dari \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\coint{0,\infty}\notin\Sigma\). Misalkan \(\mu\) pembatasan ukuran pencacahan pada \(\Sigma\). Tunjukkan bahwa \((\Bbb R,\Sigma,\mu)\) lengkap, semihingga, dan atomik murni, tetapi tidak dapat dilokalkan dan tidak ditentukan secara lokal.

Catatan dan komentar

211-notes Catatan penutup untuk Bagian 211

Daftar definisi dalam 211A-211K mungkin terasa sudah cukup panjang bagi Anda, sekalipun saya telah menghilangkan banyak gagasan yang kadang-kadang berguna. Konsep-konsep di sini sangat beragam dalam hal kepentingannya, dan kepentingan masing-masing juga sangat bergantung pada konteks. Pandangan saya sendiri adalah bahwa, ketika mempelajari sebarang ruang ukur, kita mutlak perlu mengetahui klasifikasinya menurut sebelas ciri pembeda yang dicantumkan di sini, dan mampu menguraikan setiap atom yang ada. Untungnya, untuk kebanyakan ruang ukur ‘biasa’, klasifikasi itu cukup cepat, karena jika (misalnya) ruang tersebut \(\sigma\)-hingga dan Anda mengetahui ukuran seluruh ruang, satu-satunya pertanyaan yang tersisa menyangkut kelengkapan dan atom. Perbedaan antara ruang-ruang yang dapat atau tidak dapat dilokalkan secara ketat, semihingga, dapat dilokalkan, dan ditentukan secara lokal hanya relevan bagi ruang-ruang yang tidak \(\sigma\)-hingga, dan tidak muncul dalam penerapan elementer.

Menurut saya, wajar pula untuk mengatakan bahwa gagasan ruang ukur ‘lengkap’ dan ‘ditentukan secara lokal’ bersifat teknis; maksud saya, gagasan-gagasan itu tidak bersesuaian dengan ciri penting dalam struktur esensial suatu ruang, walaupun ada beberapa masalah menarik mengenai ukuran yang tidak lengkap. Salah satu perwujudannya adalah adanya konstruksi kanonik untuk membuat ruang menjadi lengkap, atau lengkap sekaligus ditentukan secara lokal (212C, 213D-213E). Selain itu, ruang ukur yang tidak semihingga sesungguhnya tidak termasuk dalam teori ukuran, melainkan dalam kajian yang lebih umum mengenai aljabar-sigma dan ideal-\(\sigma\). Klasifikasi yang paling penting, ditinjau dari perilaku suatu ruang ukur, menurut saya adalah ‘\(\sigma\)-hingga’, ‘dapat dilokalkan’, dan ‘dapat dilokalkan secara ketat’; inilah ciri-ciri kritis yang tidak dapat dipaksakan melalui konstruksi elementer.

Jika Anda mengetahui sesuatu tentang subhimpunan Borel dari garis real, argumen dalam bagian (a) dari bukti 211P pasti tampak sangat canggung. Namun, bukti yang ‘lebih baik’ bergantung pada gagasan yang baru akan kita perlukan dalam Jilid 4, sedangkan bukti di sini didasarkan pada suatu konstruksi yang harus kita pahami untuk alasan-alasan lain.