Mendiferensialkan integral tak tentu

Sekarang saya sampai pada pertanyaan pertama dari dua pertanyaan yang disebutkan dalam pengantar bab ini: jika \(f\) merupakan fungsi yang terintegralkan pada \([a,b]\), berapakah \(\bover{d}{dx}\int_a^xf\)? Ternyata turunan ini ada dan sama dengan \(f\) hampir di mana-mana (222E). Argumennya didasarkan pada suatu sifat mencolok dari fungsi monoton: fungsi-fungsi tersebut terdiferensialkan hampir di mana-mana (222A), dan kita dapat membatasi integral turunannya (222C).

222A Teorema

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval dan \(f:I\to\Bbb R\) suatu fungsi monoton. Maka \(f\) terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam \(I\).

Catatan Jika saya tampak membicarakan suatu ukuran pada \(\Bbb R\) tanpa menyebut namanya, seperti di sini, yang saya maksud ialah ukuran Lebesgue.

Bukti

Seperti biasa, tuliskan \(\mu^*\) untuk ukuran luar Lebesgue pada \(\Bbb R\), dan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue.

(a) Sebagai permulaan (sampai akhir (c) di bawah), andaikan bahwa \(f\) tak-menurun dan \(I\) merupakan interval terbuka terbatas tempat \(f\) terbatas; katakanlah \(|f(x)|\le M\) untuk \(x\in I\). Untuk setiap subinterval tertutup \(J=[a,b]\) dari \(I\), tuliskan \(f^*(J)\) untuk interval terbuka \(\ooint{f(a),f(b)}\). Untuk \(x\in I\), tuliskan

\(\DiniD f(x)=\limsup_{h\to 0}{1\over h}(f(x+h)-f(x))\), \(\Dinid f(x)=\liminf_{h\to 0}{1\over h}(f(x+h)-f(x))\),

dengan membolehkan nilai \(\infty\) dalam kedua kasus. Maka \(f\) terdiferensialkan di \(x\) jika dan hanya jika \(\DiniD f(x)=\Dinid f(x)\in\Bbb R\). Karena tentu saja \(\DiniD f(x)\ge \Dinid f(x)\ge 0\), \(f\) akan terdiferensialkan di \(x\) jika dan hanya jika \(\DiniD f(x)\) berhingga dan \(\DiniD f(x)\le \Dinid f(x)\).

Oleh karena itu saya harus menunjukkan bahwa himpunan-himpunan

\(\{x:x\in I,\,\DiniD f(x)=\infty\}\), \(\{x:x\in I,\,\DiniD f(x)>\Dinid f(x)\}\)

terabaikan.

(b) Mula-mula ambil \(A=\{x:x\in I,\,\DiniD f(x)=\infty\}\). Untuk sementara, tetapkan suatu bilangan bulat \(m\ge 1\), dan tetapkan

\(A_m=\{x:x\in I,\,\DiniD f(x)>m\}\supseteq A\).

Misalkan \(\Cal I\) keluarga interval tertutup tak-sepele \([a,b]\subseteq I\) sedemikian sehingga \(f(b)-f(a)\ge m(b-a)\); maka \(\mu f^*(J)\ge m\mu J\) untuk setiap \(J\in\Cal I\). Jika \(x\in A_m\), maka untuk setiap \(\delta>0\) terdapat \(h\) dengan \(0<|h|\le\delta\) dan \({1\over h}(f(x+h)-f(x))>m\), sehingga

\([x,x+h]\in\Cal I\) jika \(h>0\), \([x+h,x]\in\Cal I\) jika \(h<0\);

dengan demikian setiap anggota \(A_m\) termasuk dalam interval-interval yang sekecil apa pun dalam \(\Cal I\). Menurut teorema Vitali (221A), terdapat suatu subkeluarga terhitung dan saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu(A_m\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\). Sekarang, karena \(f\) tak-menurun, \(\langle f^*(J)\rangle_{J\in\Cal I_0}\) saling lepas, dan semua \(f^*(J)\) termasuk dalam \([-M,M]\), sehingga \(\sum_{J\in\Cal I_0}\mu f^*(J)\le 2M\) dan \(\sum_{J\in\Cal I_0}\mu J\le 2M/m\). Karena \(A_m\setminus\bigcup\Cal I_0\) terabaikan,

\(\mu^*A\le\mu^*A_m\le\Bover{2M}{m}\).

Karena \(m\) sembarang, \(\mu^*A=0\) dan \(A\) terabaikan.

(c) Sekarang tinjau \(B=\{x:x\in I,\,\DiniD f(x)>\Dinid f(x)\}\). Untuk \(q\), \(q'\in\Bbb Q\) dengan \(0\le q<q'\), tetapkan

\(B_{qq'}=\{x:x\in I,\,\Dinid f(x)< q,\,\DiniD f(x)>q'\}\).

Untuk sementara tetapkan \(q\), \(q'\) seperti itu, dan tuliskan \(\gamma=\mu^*B_{qq'}\). Ambil sembarang \(\epsilon>0\), dan misalkan \(G\) suatu himpunan terbuka yang memuat \(B_{qq'}\) sedemikian sehingga \(\mu G\le\gamma+\epsilon\) (134Fa). Misalkan \(\Cal J\) keluarga interval tertutup tak-sepele \([a,b]\subseteq I\cap G\) sedemikian sehingga \(f(b)-f(a)\le q(b-a)\); kali ini \(\mu f^*(J)\le q\mu J\) untuk \(J\in\Cal J\). Maka setiap anggota \(B_{qq'}\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal J\) yang sekecil apa pun, sehingga terdapat suatu subkeluarga terhitung dan saling lepas \(\Cal J_0\subseteq\Cal J\) sedemikian sehingga \(B_{qq'}\setminus\bigcup\Cal J_0\) terabaikan. Misalkan \(L\) himpunan titik-titik ujung anggota \(\Cal J_0\); maka \(L\) merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan beranggota dua, jadi terhitung, dan karenanya terabaikan. Tetapkan

\(C=B_{qq'}\cap\bigcup\Cal J_0\setminus L\);

maka \(\mu^*C=\gamma\). Misalkan \(\Cal I\) keluarga interval tertutup tak-sepele \(J=[a,b]\) sedemikian sehingga (i) \(J\) termasuk dalam salah satu anggota \(\Cal J_0\) (ii) \(f(b)-f(a)\ge q'(b-a)\); sekarang \(\mu f^*(J)\ge q'\mu J\) untuk setiap \(J\in\Cal I\). Sekali lagi, karena setiap anggota \(C\) merupakan titik interior dari suatu anggota \(\Cal J_0\), setiap titik \(C\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal I\) yang sekecil apa pun; jadi terdapat suatu subkeluarga terhitung dan saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu(C\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\).

Seperti dalam (b) di atas,

\(\gamma q'\le q'\mu(\bigcup\Cal I_0) =\sum_{I\in\Cal I_0}q'\mu I \le\sum_{I\in\Cal I_0}\mu f^*(I) =\mu(\bigcup_{I\in\Cal I_0}f^*(I))\).

Di sisi lain,

\[\begin{aligned}\mu(\bigcup_{J\in\Cal J_0}f^*(J)) &=\sum_{J\in\Cal J_0}\mu f^*(J) \le q\sum_{J\in\Cal J_0}\mu J =q\mu(\bigcup\Cal J_0)\\ &\le q\mu(\bigcup\Cal J) \le q\mu G \le q(\gamma+\epsilon).\\\end{aligned}\]

Tetapi \(\bigcup_{I\in\Cal I_0}f^*(I)\subseteq\bigcup_{J\in\Cal J_0}f^*(J)\), karena setiap anggota \(\Cal I_0\) termasuk dalam suatu anggota \(\Cal J_0\), sehingga \(\gamma q'\le q(\gamma+\epsilon)\) dan \(\gamma\le \epsilon q/(q'-q)\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\gamma=0\).

Jadi setiap \(B_{qq'}\) terabaikan. Akibatnya \(B=\bigcup_{q,q'\in\Bbb Q,0\le q<q'}B_{qq'}\) terabaikan.

(d) Ini menangani kasus interval terbuka terbatas tempat \(f\) terbatas dan tak-menurun. Masih untuk \(f\) yang tak-menurun, tetapi untuk sembarang interval \(I\), perhatikan bahwa \(K=\{(q,q'):q,\,q'\in I\cap\Bbb Q,\,q<q'\}\) terhitung dan bahwa \(I\setminus\bigcup_{(q,q')\in K}\ooint{q,q'}\) mempunyai paling banyak dua titik (titik-titik ujung \(I\), jika ada), sehingga terabaikan. Jika kita menuliskan \(S\) untuk himpunan titik-titik \(I\) tempat \(f\) tidak terdiferensialkan, maka dari (a)-(c) kita melihat bahwa \(S\cap\ooint{q,q'}\) terabaikan untuk setiap \((q,q')\in K\), sehingga \(S\cap\bigcup_{(q,q')\in K}\ooint{q,q'}\) terabaikan dan \(S\) terabaikan.

(e) Jadi kita selesai jika \(f\) tak-menurun. Untuk \(f\) yang tak-menaik, terapkan hasil di atas pada \(-f\), yang terdiferensialkan tepat di titik-titik yang sama seperti \(f\).

222B Catatan-catatan

(a) Saya mencatat bahwa dalam argumen di atas saya menggunakan rumus-rumus seperti \(\sum_{J\in\Cal I_0}\mu f^*(J)\). Ini karena teorema Vitali tidak menentukan apakah keluarga \(\Cal I_0\) akan berhingga atau tak berhingga. Jumlah tersebut harus ditafsirkan menurut cara yang ditetapkan dalam 112Bd di Jilid 1; secara umum, \(\sum_{k\in K}a_k\), dengan \(K\) suatu himpunan sembarang dan setiap \(a_k\ge 0\), dimaksudkan sebagai \(\sup_{L\subseteq K\text{ berhingga}}\sum_{k\in L}a_k\), dengan konvensi bahwa \(\sum_{k\in\emptyset}a_k=0\). Sekarang, dalam konteks ini, jika \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur, \(K\) suatu himpunan terhitung, dan \(\family{k}{K}{E_k}\) suatu keluarga dalam \(\Sigma\),

\(\mu(\bigcup_{k\in K}E_k)\le\sum_{k\in K}\mu E_k\),

dengan kesamaan jika \(\family{k}{K}{E_k}\) saling lepas. Bukti. Jika \(K=\emptyset\), hal ini sepele. Jika tidak, misalkan \(n\mapsto k_n:\Bbb N\to K\) suatu surjeksi, dan tetapkan \(K_n=\{k_i:i\le n\}\), \(G_n=\bigcup_{i\le n}E_{k_i} =\bigcup_{k\in K_n}E_k\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka \(\sequencen{G_n}\) merupakan barisan tak-menurun dengan gabungan \(E=\bigcup_{k\in K}E_k\), sehingga \(\mu E=\lim_{n\to\infty}\mu G_n=\sup_{n\in\Bbb N}\mu G_n\); dan \(\mu G_n\le\sum_{k\in K_n}\mu E_k\le\sum_{k\in K}\mu E_k\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\mu E\le\sum_{k\in K}\mu E_k\). Jika \(E_k\) saling lepas, maka \(\mu G_n\) tepat sama dengan \(\sum_{k\in K_n}\mu E_k\) untuk setiap \(n\); tetapi karena \(\sequencen{K_n}\) merupakan barisan tak-menurun dari himpunan-himpunan dengan gabungan \(K\), setiap subhimpunan berhingga dari \(K\) termasuk dalam suatu \(K_n\), dan \(\sum_{k\in K}\mu E_k=\sup_{n\in\Bbb N}\sum_{k\in K_n} \mu E_k=\sup_{n\in\Bbb N}\mu G_n=\mu E\), sebagaimana diperlukan. ∎

222Bb (b)

Sebagian pembaca akan lebih menyukai pengindeksan ulang himpunan-himpunan secara teratur, sehingga semua jumlah yang perlu mereka perhatikan berbentuk \(\sum_{i=0}^n\) atau \(\sum_{i=0}^{\infty}\). Pada hakikatnya, itulah yang saya lakukan dalam Jilid 1, dalam bukti 114Da/115Da, ketika menunjukkan bahwa ukuran luar Lebesgue memang merupakan ukuran luar. Kerugian prosedur ini dalam konteks 222A ialah bahwa kita harus terus-menerus memeriksa bahwa tidak menjadi soal apakah pada suatu saat tertentu kita mempunyai jumlah berhingga atau tak berhingga. Saya percaya bahwa teknik yang diuraikan di sini layak dipelajari dengan sungguh-sungguh, karena sangat sering kita hendak meninjau gabungan himpunan-himpunan yang diindeks oleh himpunan selain \(\Bbb N\) dan \(\{0,\ldots,n\}\).

222Bc (c)

Tentu saja argumen di atas dapat dipersingkat jika Anda mengetahui sedikit lebih banyak tentang himpunan terhitung daripada yang telah saya nyatakan secara eksplisit sejauh ini. Tetapi perhatikan bahwa nilai yang diberikan kepada \(\sum_{k\in K}a_k\) tidak boleh bergantung pada enumerasi \(\sequencen{k_n}\) yang kita pilih.

222C Lema

Andaikan bahwa \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\), dan bahwa \(F:[a,b]\to\Bbb R\) merupakan fungsi tak-menurun. Maka \(\int_a^bF'\) ada dan paling besar \(F(b)-F(a)\).

Catatan Saya membahas integrasi atas subhimpunan secara panjang lebar dalam §131 dan §214. Untuk subhimpunan terukur, yang sudah cukup bagi keperluan kita dalam bab ini, kita mempunyai deskripsi sederhana: jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(E\in\Sigma\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai real, maka \(\int_Ef=\int\tilde f\) jika integral yang terakhir ada, dengan \(\dom\tilde f=(E\cap\dom f)\cup(X\setminus E)\) dan \(\tilde f(x)=f(x)\) jika \(x\in E\cap\dom f\), serta \(0\) jika \(x\in X\setminus E\) (terapkan 131Fa pada \(\tilde f\)). Segera diperoleh bahwa jika sekarang \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\), maka \(\int_Ff=\int_Ef\times\chi F\).

Saya menuliskan \(\int_a^xf\) untuk mengartikan \(\int_{\coint{a,x}}f\), yang (karena \(\coint{a,x}\) terukur) dapat ditangani sebagaimana diuraikan di atas. Perhatikan bahwa selama kita menangani ukuran Lebesgue, sehingga \([a,x]\setminus\ooint{a,x}=\{a,x\}\) terabaikan, kita tidak perlu membedakan \(\int_{[a,x]}\), \(\int_{\ooint{a,x}}\), \(\int_{\coint{a,x}}\), dan \(\int_{\ocint{a,x}}\); untuk ukuran lain pada \(\Bbb R\) kita mungkin harus lebih berhati-hati. Saya menggunakan interval setengah terbuka agar jelas bahwa \(\int_a^xf+\int_x^yf=\int_a^yf\) jika \(a\le x\le y\), karena

\(f\times\chi\coint{a,y} =f\times\chi\coint{a,x}\,+\,f\times\chi\coint{x,y}\).

Bukti

(a) Hasil ini sepele jika \(a=b\); andaikan bahwa \(a<b\). Menurut 222A, \(F'\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

(b) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), definisikan fungsi sederhana \(g_n:\coint{a,b}\to\Bbb R\) sebagai berikut. Untuk \(0\le k<2^n\), tetapkan \(a_{nk}=a+2^{-n}k(b-a)\), \(b_{nk}=a+2^{-n}(k+1)(b-a)\), \(I_{nk}=\coint{a_{nk},b_{nk}}\). Untuk setiap \(x\in\coint{a,b}\), ambil \(k<2^n\) sedemikian sehingga \(x\in I_{nk}\), dan tetapkan

\(g_n(x)=\Bover{2^n}{b-a}(F(b_{nk})-F(a_{nk}))\)

untuk \(x\in I_{nk}\), sehingga \(g_n\) memberikan kemiringan tali busur grafik \(F\) yang ditentukan oleh titik-titik ujung \(I_{nk}\). Maka

\(\int_a^b g_n=\sum_{k=0}^{2^n-1}F(b_{nk})-F(a_{nk}) =F(b)-F(a)\).

(c) Di sisi lain, jika kita tetapkan

\(C=\{x:x\in\ooint{a,b},\,F'(x)\) ada\(\}\),

maka \([a,b]\setminus C\) terabaikan, menurut 222A, dan \(F'(x)=\lim_{n\to\infty}g_n(x)\) untuk setiap \(x\in C\). Bukti. Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(x+h\in[a,b]\) dan \(|F(x+h)-F(x)-hF'(x)|\le\epsilon|h|\) kapan pun \(|h|\le\delta\). Misalkan \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(2^{-n}(b-a)\le\delta\). Misalkan \(k<2^n\) sedemikian sehingga \(x\in I_{nk}\). Maka

\(x-\delta\le a_{nk}\le x<b_{nk}\le x+\delta\), \(g_n(x)=\Bover{2^n}{b-a}(F(b_{nk})-F(a_{nk}))\).

Sekarang kita mempunyai

\[\begin{aligned}|g_n(x)-F'(x)| &=|\Bover{2^n}{b-a}(F(b_{nk})-F(a_{nk}))-F'(x)|\\ &=\Bover{2^n}{b-a}|F(b_{nk})-F(a_{nk})-(b_{nk}-a_{nk})F'(x)|\\ &\le\Bover{2^n}{b-a}\bigl(|F(b_{nk})-F(x)-(b_{nk}-x)F'(x)|\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad +|F(x)-F(a_{nk})-(x-a_{nk})F'(x)|\bigr)\\ &\le \Bover{2^n}{b-a}(\epsilon|b_{nk}-x|+\epsilon|x-a_{nk}|) =\epsilon.\\\end{aligned}\]

Dan ini benar kapan pun \(2^{-n}(b-a)\le\delta\), yakni untuk semua \(n\) yang cukup besar. Karena \(\epsilon\) sembarang, \(F'(x)=\lim_{n\to\infty}g_n(x)\). ∎

(d) Jadi \(g_n\to F'\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\). Menurut Lema Fatou,

\(\int_a^bF' =\int_a^b\liminf_{n\to\infty}g_n \le\liminf_{n\to\infty}\int_a^bg_n =\lim_{n\to\infty}\int_a^b g_n =F(b)-F(a)\),

sebagaimana diperlukan.

Catatan Terdapat suatu generalisasi hasil ini dalam 224I.

222D Lema

Andaikan bahwa \(a<b\) dalam \(\Bbb R\), dan bahwa \(f\), \(g\) merupakan fungsi bernilai real, keduanya terintegralkan pada \([a,b]\), sedemikian sehingga \(\int_a^xf=\int_a^xg\) untuk setiap \(x\in[a,b]\). Maka \(f=g\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

Bukti

Intinya ialah bahwa

\(\int_Ef=\int_a^bf\times\chi E =\int_a^bg\times\chi E=\int_Eg\)

untuk setiap himpunan terukur \(E\subseteq\coint{a,b}\).

Bukti. (i) Jika \(E=\coint{c,d}\) dengan \(a\le c\le d\le b\), maka

\(\int_Ef=\int_a^df-\int_a^cf =\int_a^dg-\int_a^cg=\int_Eg\).

(ii) Jika \(E=\coint{a,b}\cap G\) untuk suatu himpunan terbuka \(G\subseteq\Bbb R\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) tetapkan

\(K_n =\{k:k\in\Bbb Z,\,|k|\le 4^n,\,\coint{2^{-n}k,2^{-n}(k+1)}\subseteq G\}\),

\(H_n =\bigcup_{k\in K_n}\coint{2^{-n}k,2^{-n}(k+1)}\cap\coint{a,b}\);

maka \(\sequencen{H_n}\) merupakan barisan tak-menurun dari himpunan-himpunan terukur dengan gabungan \(E\), sehingga \(f\times\chi E=\lim_{n\to\infty}f\times\chi H_n\), dan (menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue, karena \(|f\times\chi H_n|\le|f|\) hampir di mana-mana untuk setiap \(n\), dan \(|f|\) terintegralkan)

\(\int_Ef=\lim_{n\to\infty}\int_{H_n}f\).

Pada saat yang sama, setiap \(H_n\) merupakan gabungan berhingga yang saling lepas dari interval-interval setengah terbuka dalam \(\coint{a,b}\), sehingga

\(\int_{H_n}f =\sum_{k\in K_n}\int_{\coint{2^{-n}k,2^{-n}(k+1)}\cap\coint{a,b}}f =\sum_{k\in K_n}\int_{\coint{2^{-n}k,2^{-n}(k+1)}\cap\coint{a,b}}g =\int_{H_n}g\),

dan

\(\int_Eg=\lim_{n\to\infty}\int_{H_n}g =\lim_{n\to\infty}\int_{H_n}f=\int_Ef\).

(iii) Untuk himpunan terukur umum \(E\subseteq\coint{a,b}\), kita dapat memilih untuk setiap \(n\in\Bbb N\) suatu himpunan terbuka \(G_n\supseteq E\) sedemikian sehingga \(\mu G_n\le\mu E+2^{-n}\) (134Fa). Tetapkan \(G_n'=\bigcap_{m\le n}G_m\), \(E_n=\coint{a,b}\cap G'_n\) untuk setiap \(n\),

\(F=\coint{a,b}\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n =\bigcap_{n\in\Bbb N}\coint{a,b}\cap G_n'=\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n\).

Maka \(E\subseteq F\) dan

\(\mu F\le\inf_{n\in\Bbb N}\mu G_n=\mu E\),

sehingga \(F\setminus E\) terabaikan dan \(f\times\chi(F\setminus E)\) bernilai nol hampir di mana-mana; akibatnya \(\int_{F\setminus E}f=0\) dan \(\int_Ff=\int_Ef\). Di sisi lain,

\(f\times\chi F=\lim_{n\to\infty}f\times\chi E_n\),

sehingga, sekali lagi menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue,

\(\int_Ef=\int_Ff=\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}f\).

Demikian pula,

\(\int_Eg=\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}g\).

Tetapi menurut bagian (ii) kita mempunyai \(\int_{E_n}g=\int_{E_n}f\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\int_Eg=\int_Ef\), sebagaimana diperlukan. ∎

Menurut 131Hb, \(f=g\) hampir di mana-mana dalam \(\coint{a,b}\), dan karena itu hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

222E Teorema

Andaikan bahwa \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\) merupakan fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \([a,b]\). Maka \(F(x)=\int_a^xf\) ada dalam \(\Bbb R\) untuk setiap \(x\in[a,b]\), dan turunan \(F'(x)\) ada serta sama dengan \(f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in[a,b]\).

Bukti

(a) Dalam sebagian besar bukti ini (sampai akhir (c) di bawah) saya mengandaikan bahwa \(f\) nonnegatif. Dalam hal ini,

\(F(y)=F(x)+\int_x^yf\ge F(x)\)

kapan pun \(a\le x\le y\le b\); jadi \(F\) tak-menurun dan karena itu terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam \([a,b]\), menurut 222A.

Menurut 222C kita juga mengetahui bahwa \(\int_a^xF'\) ada dan kurang dari atau sama dengan \(F(x)-F(a)=F(x)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\).

(b) Sekarang andaikan, sebagai tambahan, bahwa \(f\) terbatas; katakanlah \(0\le f(t)\le M\) untuk setiap \(t\in\dom f\). Maka \(M-f\) terintegralkan pada \([a,b]\); misalkan \(G\) integral tak tentunya, sehingga \(G(x)=M(x-a)-F(x)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\). Dengan menerapkan (a) pada \(M-f\) dan \(G\), kita memperoleh \(\int_a^xG'\le G(x)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\); tetapi tentu saja \(G'=M-F'\), sehingga \(M(x-a)-\int_a^xF'\le M(x-a)-F(x)\), yakni \(\int_a^xF'\ge F(x)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\). Jadi \(\int_a^xF'=\int_a^xf\) untuk setiap \(x\in[a,b]\). Sekarang 222D memberi tahu kita bahwa \(F'=f\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

(c) Jadi kita selesai untuk \(f\) yang terbatas dan nonnegatif. Untuk \(f\) yang tak terbatas, misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan tak-menurun dari fungsi sederhana nonnegatif yang konvergen ke \(f\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\), dan misalkan \(\sequencen{F_n}\) integral-integral tak tentu yang bersesuaian. Maka untuk setiap \(n\) dan setiap \(x\), \(y\) dengan \(a\le x\le y\le b\), kita mempunyai

\(F(y)-F(x)=\int_x^yf\ge\int_x^yf_n=F_n(y)-F_n(x)\),

sehingga \(F'(x)\ge F_n'(x)\) untuk setiap \(x\in\ooint{a,b}\) tempat keduanya terdefinisi, dan \(F'(x)\ge f_n(x)\) untuk hampir setiap \(x\in[a,b]\). Ini benar untuk setiap \(n\), sehingga \(F'\ge f\) hampir di mana-mana, dan \(F'-f\ge 0\) hampir di mana-mana. Di sisi lain, sebagaimana dicatat dalam (a),

\(\int_a^bF'\le F(b)-F(a)=\int_a^bf\),

sehingga \(\int_a^bF'-f\le 0\). Akibatnya \(F'\eae f\) (yakni, \(F'=f\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\))(122Rd).

(d) Ini menyelesaikan bukti untuk \(f\) nonnegatif. Untuk \(f\) umum, kita dapat menyatakan \(f\) sebagai \(f_1-f_2\) dengan \(f_1\), \(f_2\) fungsi terintegralkan nonnegatif; sekarang \(F=F_1-F_2\) dengan \(F_1\), \(F_2\) integral-integral tak tentu yang bersesuaian, sehingga \(F'\eae F_1'-F_2'\eae f_1-f_2\), dan \(F'\eae f\).

222F Korolari

Andaikan bahwa \(f\) sembarang fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(\Bbb R\), dan tetapkan \(F(x)=\int_{-\infty}^xf\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\). Maka \(F'(x)\) ada dan sama dengan \(f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\).

222G Korolari

Andaikan bahwa \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(E\). Tetapkan \(F(x)=\int_{E\cap\ooint{-\infty,x}}f\) untuk \(x\in\Bbb R\). Maka \(F'(x)=f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in E\), dan \(F'(x)=0\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\setminus E\).

222H

Hasil bahwa \(\bover{d}{dx}\int_a^xf=f(x)\) untuk hampir setiap \(x\) memang memuaskan, tetapi tidak menggantikan hasil yang lebih elementer bahwa kesamaan ini berlaku di setiap titik tempat \(f\) kontinu.

Proposisi Andaikan bahwa \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\) merupakan fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \([a,b]\). Tetapkan \(F(x)=\int_a^xf\) untuk \(x\in[a,b]\). Maka \(F'(x)\) ada dan sama dengan \(f(x)\) di setiap titik \(x\in\dom(f)\cap\ooint{a,b}\) tempat \(f\) kontinu.

222I Fungsi bernilai kompleks

Sejauh ini dalam bagian ini, saya mengambil setiap \(f\) bernilai real. Perluasannya ke \(f\) bernilai kompleks cukup dilakukan dengan menerapkan hasil-hasil di atas pada bagian real dan bagian imajiner \(f\). Secara khusus, kita memperoleh yang berikut.

(a) Jika \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \([a,b]\), maka \(F(x)=\int_a^xf\) terdefinisi dalam \(\Bbb C\) untuk setiap \(x\in[a,b]\), dan turunannya \(F'(x)\) ada serta sama dengan \(f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in[a,b]\); selain itu, \(F'(x)=f(x)\) kapan pun \(x\in\dom(f)\cap\ooint{a,b}\) dan \(f\) kontinu di \(x\).

222Ib (b)

Jika \(f\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(F(x)=\int_{-\infty}^xf\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\), maka \(F'\) ada dan sama dengan \(f\) hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\).

222Ic (c)

Jika \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terukur dan \(f\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(E\), dan \(F(x)=\int_{E\cap\ooint{-\infty,x}}f\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\), maka \(F'(x)=f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in E\) dan \(F'(x)=0\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\setminus E\).

222J Teorema Denjoy-Young-Saks

Hasil berikutnya, menurut rencana saat ini, tidak akan digunakan di bagian mana pun dalam risalah ini. Namun hasil ini bersifat sentral bagi bagian-bagian analisis real yang hendak diberi fondasi oleh jilid ini, dan meskipun argumennya memerlukan kecanggihan tertentu, sebenarnya argumen itu tidak jauh melampaui teorema Lebesgue 222A. Saya harus memulai dengan beberapa notasi.

Definisi Misalkan \(f\) sembarang fungsi bernilai real, dan \(A\subseteq\Bbb R\) domainnya. Tuliskan

\(\tilde A^+ =\{x:x\in A\), \(\ocint{x,x+\delta}\cap A\ne\emptyset\) untuk setiap \(\delta>0\}\),

\(\tilde A^- =\{x:x\in A\), \(\coint{x-\delta,x}\cap A\ne\emptyset\) untuk setiap \(\delta>0\}\).

Tetapkan

\(\DiniD^+(x) =\limsup_{y\in A,y\downarrow x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x} =\inf_{\delta>0}\sup_{y\in A,x<y\le x+\delta}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\),

\(\Dinid^+(x) =\liminf_{y\in A,y\downarrow x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x} =\sup_{\delta>0}\inf_{y\in A,x<y\le x+\delta}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\)

untuk \(x\in\tilde A^+\), dan

\(\DiniD^-(x) =\limsup_{y\in A,y\uparrow x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x} =\inf_{\delta>0}\sup_{y\in A,x-\delta\le y<x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\),

\(\Dinid^-(x) =\liminf_{y\in A,y\uparrow x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x} =\sup_{\delta>0}\inf_{y\in A,x-\delta\le y<x}\Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\)

untuk \(x\in\tilde A^-\), semuanya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\). (Inilah keempat turunan Dini dari \(f\). Anda juga akan menjumpai \(D^+\), \(d^+\), \(D^-\), \(d^-\) yang digunakan sebagai pengganti \(\DiniD^+\), \(\Dinid^+\), \(\DiniD^-\), dan \(\Dinid^-\).)

Perhatikan bahwa tentu saja kita mempunyai \((\Dinid^+f)(x)\le(\DiniD^+f)(x)\) untuk setiap \(x\in\tilde A^+\), sedangkan \((\Dinid^-f)(x)\le(\DiniD^-f)(x)\) untuk setiap \(x\in\tilde A^-\). Turunan biasa \(f'(x)\) terdefinisi dan sama dengan \(c\in\Bbb R\) jika dan hanya jika (\(\alpha\)) \(x\) termasuk dalam suatu interval terbuka yang termuat dalam \(A\) (\(\beta\)) \((\DiniD^+f)(x)=(\Dinid^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x) =(\Dinid^-f)(x)=c\).

222K Lema

Misalkan \(A\) sembarang subhimpunan \(\Bbb R\), dan definisikan \(\tilde A^+\) dan \(\tilde A^-\) seperti dalam 222J. Maka \(A\setminus\tilde A^+\) dan \(A\setminus\tilde A^-\) terhitung, dan karena itu terabaikan.

222L Teorema

Misalkan \(f\) sembarang fungsi bernilai real, dan \(A\) domainnya. Maka untuk hampir setiap \(x\in A\)

entah keempat turunan Dini dari \(f\) di \(x\) terdefinisi, berhingga, dan sama

atau \((\DiniD^+f)(x)=(\Dinid^-f)(x)\) berhingga, \((\Dinid^+f)(x)=-\infty\) dan \((\DiniD^-f)(x)=\infty\)

atau \((\Dinid^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x)\) berhingga, \((\DiniD^+f)(x)=\infty\) dan \((\Dinid^-f)(x)=-\infty\)

atau \((\DiniD^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x)=\infty\) dan \((\Dinid^+f)(x)=(\Dinid^-f)(x)=-\infty\).

Bukti

(a) Tetapkan \(\tilde A=\tilde A^+\cap\tilde A^-\), dengan mendefinisikan \(\tilde A^+\) dan \(\tilde A^-\) seperti dalam 222J, sehingga komplemen \(\tilde A\) dalam \(A\) terhitung dan keempat turunan Dini terdefinisi pada \(\tilde A\). Untuk \(n\in\Bbb N\), \(q\in\Bbb Q\) tetapkan

\(E_{qn}=\{x:x\in\tilde A\), \(x<q\), \(f(y)\ge f(x)-n(y-x)\}\) untuk setiap \(y\in A\cap[x,q]\}\).

Perhatikan bahwa

\(\bigcup_{n\in\Bbb N,q\in\Bbb Q}E_{qn}=\{x:x\in\tilde A\), \((\Dinid^+f)(x)>-\infty\}\).

Untuk \(q\in\Bbb Q\), \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(E_{qn}\) tidak kosong, tetapkan \(\beta_{qn}=\sup E_{qn}\in\ocint{-\infty,q}\), \(\alpha_{qn}=\inf E_{qn}\in[-\infty,\beta_{qn}]\), dan untuk \(x\in\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\) tetapkan \(g_{qn}(x)=\inf\{f(y)+ny:y\in A\cap[x,q]\}\). Perhatikan bahwa jika \(x\in E_{qn}\setminus\{\alpha_{qn},\beta_{qn}\}\), maka \(g_{qn}(x)=f(x)+nx\) berhingga; juga \(g_{qn}\) monoton, sehingga berhingga di setiap titik dalam \(\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\), dan tentu saja \(g_{qn}(x)\le f(x)+nx\) untuk setiap \(x\in A\cap\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\).

Menurut 222A, hampir setiap titik \(\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\) termasuk dalam \(F_{qn}=\dom g'_{qn}\); khususnya, \(E_{qn}\setminus F_{qn}\) terabaikan. Tetapkan \(h_{qn}(x)=g_{qn}(x)-nx\) untuk \(x\in\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\); maka \(h_{qn}\) terdiferensialkan di setiap titik \(F_{qn}\). Sekarang jika \(x\in E_{qn}\cap F_{qn}\), kita mempunyai \(h_{qn}(x)=f(x)\), sedangkan \(h_{qn}(x)\le f(x)\) untuk \(x\in A\cap\ooint{\alpha_{qn},\beta_{qn}}\); akibatnya

\[\begin{aligned}(\Dinid^+f)(x) &=\sup_{\delta>0}\inf_{y\in A\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\\ &\ge\sup_{\delta>0}\inf_{y\in A\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{h_{qn}(y)-h_{qn}(x)}{y-x}\\ &\ge\sup_{0<\delta<\beta_{qn}-x}\inf_{y\in\ocint{x,x+\delta}} \Bover{h_{qn}(y)-h_{qn}(x)}{y-x} =h_{qn}'(x),\\\end{aligned}\]

dan demikian pula \((\DiniD^-f)(x)\le h'_{qn}(x)\). Di sisi lain, jika \(x\in\tilde E_{qn}^+\), maka

\[\begin{aligned}(\Dinid^+f)(x) &=\sup_{\delta>0}\inf_{y\in A\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\\ &\le\sup_{\delta>0}\inf_{y\in E_{qn}\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{f(y)-f(x)}{y-x}\\ &=\sup_{\delta>0}\inf_{y\in E_{qn}\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{h_{qn}(y)-h_{qn}(x)}{y-x}\\ &\le\inf_{\delta>0}\sup_{y\in E_{qn}\cap\ocint{x,x+\delta}} \Bover{h_{qn}(y)-h_{qn}(x)}{y-x}\\ &\le\inf_{0<\delta<\beta_{qn}-x}\sup_{y\in\ocint{x,x+\delta}} \Bover{h_{qn}(y)-h_{qn}(x)}{y-x} =h'_{qn}(x).\\\end{aligned}\]

Dengan menggabungkan semua ini, kita melihat bahwa jika \(x\in F_{qn}\cap\tilde E_{qn}^+\), maka \((\Dinid^+f)(x)=h'_{qn}(x)\ge(\DiniD^-f)(x)\).

Dengan konvensi \(F_{qn}=\emptyset\) jika \(E_{qn}\) kosong, kalimat terakhir benar untuk semua \(q\in\Bbb Q\) dan \(n\in\Bbb N\), sedangkan \(A\setminus\tilde A\) dan \(\bigcup_{q\in\Bbb Q,n\in\Bbb N}E_{qn}\setminus(F_{qn}\cap\tilde E_{qn}^+)\) terabaikan, dan \((\Dinid^+f)(x)=-\infty\) untuk setiap \(x\in\tilde A\setminus\bigcup_{q\in\Bbb Q,n\in\Bbb N}E_{qn}\). Jadi kita melihat bahwa, untuk hampir setiap \(x\in A\), entah \((\Dinid^+f)(x)=-\infty\) atau \(\infty>(\Dinid^+f)(x)\ge(\DiniD^-f)(x)\).

(b) Dengan mencerminkan argumen di atas dari kiri ke kanan atau dari atas ke bawah, kita melihat bahwa, untuk hampir setiap \(x\in A\),

entah \((\Dinid^-f)(x)=-\infty\) atau \(\infty>(\Dinid^-f)(x)\ge(\DiniD^+f)(x)\),

entah \((\DiniD^+f)(x)=\infty\) atau \(-\infty<(\DiniD^+f)(x)\le(\Dinid^-f)(x)\),

entah \((\DiniD^-f)(x)=\infty\) atau \(-\infty<(\DiniD^-f)(x)\le(\Dinid^+f)(x)\),

dan juga

\((\Dinid^+f)(x)\le(\DiniD^+f)(x)\), \((\Dinid^-f)(x)\le(\DiniD^-f)(x)\).

Oleh karena itu, untuk \(x\) seperti itu,

\((\Dinid^+f)(x)>-\infty \Longrightarrow (\DiniD^-f)(x)\le(\Dinid^+f)(x)<\infty \Longrightarrow (\Dinid^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x)\in\Bbb R\),

dan demikian pula

\((\Dinid^-f)(x)>-\infty \Longrightarrow(\Dinid^-f)(x)=(\DiniD^+f)(x)\in\Bbb R\),

\((\DiniD^+f)(x)<\infty \Longrightarrow(\DiniD^+f)(x)=(\Dinid^-f)(x)\in\Bbb R\),

\((\DiniD^-f)(x)<\infty \Longrightarrow(\DiniD^-f)(x)=(\Dinid^+f)(x)\in\Bbb R\).

Jadi kita mempunyai

entah \((\Dinid^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x)\) berhingga atau \((\Dinid^+f)(x)=-\infty\) dan \((\DiniD^-f)(x)=\infty\),

entah \((\Dinid^-f)(x)=(\DiniD^+f)(x)\) berhingga atau \((\Dinid^-f)(x)=-\infty\) dan \((\DiniD^+f)(x)=\infty\).

Kedua dikotomi ini menghasilkan empat kemungkinan; dan karena

\((\Dinid^+f)(x)=(\DiniD^-f)(x)\) berhingga, \((\Dinid^-f)(x)=(\DiniD^+f)(x)\) berhingga

dapat benar bersamaan hanya ketika keempat turunan Dini sama dan berhingga, kita memperoleh empat kasus yang dicantumkan dalam pernyataan teorema.

Latihan

222X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(F:[0,1]\to[0,1]\) fungsi Cantor (134H). Tunjukkan bahwa \(\int_0^1F'=0<F(1)-F(0)\).

222Xb (>b) penting

Andaikan bahwa \(a<b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(h\) suatu fungsi bernilai real sedemikian sehingga \(\int_x^yh\) ada dan nonnegatif kapan pun \(a\le x\le y\le b\). Tunjukkan bahwa \(h\ge 0\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

222Xc (>c) penting

Andaikan bahwa \(a<b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\), \(g\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \([a,b]\) sedemikian sehingga \(\int_a^xf=\int_a^xg\) untuk setiap \(x\in[a,b]\). Tunjukkan bahwa \(f=g\) hampir di mana-mana dalam \([a,b]\).

222Xd (>d) penting

Andaikan bahwa \(a<b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \([a,b]\). Tunjukkan bahwa integral tak tentu \(x\mapsto\int_a^xf\) kontinu.

222Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan fungsi nonnegatif dan tak-menurun pada \([0,1]\) sedemikian sehingga \(F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_n(x)\) berhingga untuk setiap \(x\in[0,1]\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}F'_n(x)=F'(x)\) untuk hampir setiap \(x\in[0,1]\). (Petunjuk\/: ambil \(\sequence{k}{n_k}\) sedemikian sehingga \(\sum_{k=0}^{\infty}F(1)-G_k(1)<\infty\), dengan \(G_k=\sum_{j=0}^{n_k}F_j\), dan tetapkan \(H(x)=\sum_{k=0}^{\infty}F(x)-G_k(x)\). Perhatikan bahwa \(\sum_{k=0}^{\infty}F'(x)-G'_k(x)\le H'(x)\) kapan pun semua turunannya terdefinisi, sehingga \(F'=\lim_{k\to\infty}G'_k\) hampir di mana-mana.)

222Yb (b)

Misalkan \(F:[0,1]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu tak-menurun. (i) Tunjukkan bahwa jika \(c\in\Bbb R\), maka \(C=\{(x,y):x,\,y\in[0,1],\,F(y)-F(x)=c\}\) terhubung. (Petunjuk\/: Suatu himpunan \(A\subseteq\BbbR^r\) disebut terhubung jika tidak ada surjeksi kontinu \(h:A\to\{0,1\}\). Tunjukkan bahwa jika \(h:C\to\{0,1\}\) kontinu, maka fungsi itu berbentuk \((x,y)\mapsto h_1(x)\) untuk suatu fungsi kontinu \(h_1\).) (ii) Sekarang andaikan bahwa \(F(0)=0\), \(F(1)=1\) dan bahwa \(G:[0,1]\to[0,1]\) merupakan fungsi kontinu tak-menurun kedua dengan \(G(0)=0\), \(G(1)=1\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(n\ge 1\) terdapat \(x\), \(y\in[0,1]\) sedemikian sehingga \(F(y)-F(x)=G(y)-G(x)=\bover1n\).

222Yc (c)

Misalkan \(f\), \(g\) fungsi terintegralkan nonnegatif pada \(\Bbb R\), dan \(n\ge 1\). Tunjukkan bahwa terdapat \(u<v\) dalam \([-\infty,\infty]\) sedemikian sehingga \(\int_u^vf=\bover1n\int f\) dan \(\int_u^vg=\bover1n\int g\).

222Yd (d)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) terukur. Tunjukkan bahwa \(H=\dom f'\) merupakan himpunan terukur dan bahwa \(f'\) merupakan fungsi terukur.

222Ye (e)

Bangun suatu fungsi terukur Borel \(f:[0,1]\to\{-1,0,1\}\) sedemikian sehingga masing-masing dari empat kemungkinan yang diuraikan dalam Teorema 222L terjadi pada suatu himpunan berukuran \(\bover14\).

Catatan dan komentar

222-notes Catatan penutup untuk Bagian 222

Saya menyerahkan fakta mendasar bahwa suatu integral tak tentu \(x\mapsto\int_a^xf\) selalu kontinu sebagai latihan (222Xd); sebenarnya fakta ini tidak diperlukan dalam bagian ini, dan suatu hasil yang jauh lebih kuat diberikan dalam 225E. Masih banyak pula yang harus dikatakan tentang fungsi monoton, yang akan saya bahas kembali dalam §224. Yang kita perlukan di sini ialah fakta bahwa fungsi-fungsi itu terdiferensialkan hampir di mana-mana (222A), yang saya buktikan dengan menerapkan teorema Vitali tiga kali, satu kali dalam bagian (b) dari bukti dan dua kali dalam bagian (c). Setelah ini, argumen-argumen 222C-222E membentuk suatu rangkaian latihan yang bagus tentang gagasan sentral Jilid 1, dengan menggunakan konsep integrasi atas suatu subhimpunan (terukur), Lema Fatou (bagian (d) dari bukti 222C), Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue (bagian (ii) dan (iii) dari bukti 222D), dan hampiran himpunan terukur Lebesgue oleh himpunan terbuka (bagian (iii) dari bukti 222D). Tentu saja, mengetahui bahwa \(\bover{d}{dx}\int_a^xf=f(x)\) hampir di mana-mana sama sekali tidak sama dengan mengetahui bahwa hal ini berlaku untuk suatu \(x\) tertentu, dan ketika hendak mendiferensialkan suatu integral tak tentu tertentu kita biasanya terlebih dahulu menggunakan 222H; inti 222E ialah bahwa hasil itu berlaku pada fungsi yang sangat tidak kontinu, yang sama sekali tidak dapat ditangani oleh metode yang lebih elementer.

Teorema Denjoy-Young-Saks (222L) merupakan salah satu titik awal suatu teori subur tentang fenomena ‘tipikal’ dalam analisis real. Mudah untuk membangun suatu fungsi \(f\) dengan sembarang himpunan nilai yang ditentukan sebelumnya untuk \((\DiniD^+f)(0)\), \((\Dinid^+f)(0)\), \((\DiniD^-f)(0)\), dan \((\Dinid^-f)(0)\) (tentu saja dengan tunduk pada syarat \((\Dinid^+f)(0)\le(\DiniD^+f)(0)\) dan \((\Dinid^-f)(0)\le(\DiniD^-f)(0)\)). Tetapi 222L memberi tahu kita bahwa kombinasi seperti \((\Dinid^-f)(x)=(\Dinid^+f)(x)=\infty\) (yang dapat kita sebut ‘\(f'(x)=\infty\)’) hanya dapat terjadi pada himpunan terabaikan. Empat kemungkinan dalam 222L yang mudah diwujudkan (lihat 222Ye) merupakan satu-satunya yang dapat muncul di titik-titik yang ‘tipikal’ bagi fungsi yang diberikan, dari sudut pandang ukuran Lebesgue. Untuk fungsi monoton, 222A memberi tahu kita lebih banyak: pada titik-titik yang ‘tipikal’ bagi suatu fungsi monoton, fungsi tersebut benar-benar terdiferensialkan. Dalam bagian berikutnya kita akan melihat beberapa cara lain untuk menghasilkan himpunan terabaikan dan koterabaikan dari suatu himpunan atau fungsi yang diberikan, yang membawa pada penyempurnaan lebih lanjut atas gagasan ini.