Karya lain oleh penulis yang sama:
Topological Riesz Spaces and Measure Theory, Cambridge University Press, 1974.
Consequences of Martin’s Axiom, Cambridge University Press, 1982.
Jilid pendamping untuk jilid ini:
Measure Theory, vol. 1, Torres Fremlin, 2000;
Measure Theory, vol. 3, Torres Fremlin, 2002;
Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin, 2003;
Measure Theory, vol. 5, Torres Fremlin, 2008.
Pertama kali diterbitkan pada tahun 2001
oleh Torres Fremlin, 25 Ireton Road, Colchester CO3 3AT, England
© D.H.Fremlin 2001
Hak D.H.Fremlin untuk diakui sebagai penulis karya ini telah ditegaskan sesuai dengan Copyright, Designs and Patents Act 1988. Karya ini diterbitkan berdasarkan ketentuan Design Science License sebagaimana dipublikasikan di http://www.gnu.org/licenses/dsl.html. Untuk berkas sumber, lihat http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt2.2016/index.htm.
Klasifikasi Library of Congress QA312.F72
Klasifikasi AMS 2010 28-01
ISBN 978-0-9538129-7-4
Ditata huruf dengan AMS-TeX
Dicetak oleh Lulu.com
Pendahuluan Umum (halaman 9)
Pendahuluan Umum Dalam risalah ini saya bermaksud memberikan uraian menyeluruh tentang teori ukuran abstrak modern, beserta beberapa gambaran mengenai penerapan utamanya. Dua jilid pertama disusun pada tingkat pengantar; keduanya ditujukan bagi mahasiswa yang memiliki landasan kokoh dalam konsep-konsep analisis riil, tetapi mungkin memiliki pengetahuan terperinci yang agak terbatas. Seiring berjalannya buku ini, tingkat kecanggihan dan keahlian yang dituntut akan meningkat; dengan demikian, untuk jilid tentang ruang ukur topologis, penguasaan topologi umum akan dianggap sudah ada. Penekanan di seluruh karya ini terletak pada gagasan-gagasan matematika yang terlibat, yang dalam bidang ini sebagian besar terdapat dalam rincian pembuktian.
Niat saya adalah agar buku ini dapat digunakan baik sebagai pengantar awal tentang bidang ini maupun sebagai karya acuan. Demi tujuan pertama, saya berusaha membatasi gagasan dalam jilid-jilid awal pada hal-hal yang benar-benar esensial bagi pengembangan teorema-teorema dasar. Demi tujuan kedua, saya berusaha mengungkapkan gagasan-gagasan ini dalam keumuman alaminya secara utuh, dan khususnya saya berhati-hati untuk tidak menyiratkan pembatasan yang tidak perlu pada cakupan penerapannya. Tentu saja, sampai taraf tertentu prinsip-prinsip ini saling bertentangan. Meskipun demikian, saya mendapati bahwa hampir sepanjang waktu keduanya hampir dapat diselaraskan, asalkan saya membiarkan adanya sejumlah pengulangan. Misalnya, tepat pada awal pembahasan muncul pertanyaan: haruskah ukuran Lebesgue dikembangkan terlebih dahulu pada garis bilangan riil, lalu pada ruang berdimensi lebih tinggi, ataukah sebaiknya langsung membahas kasus multidimensi? Saya percaya tidak ada satu jawaban yang benar untuk pertanyaan ini. Kebanyakan mahasiswa akan menganggap kasus satu dimensi lebih mudah, sehingga kasus itu tampak lebih sesuai untuk pengantar pertama, sebab bahkan dalam kasus tersebut masalah teknisnya dapat terasa berat. Namun, setiap mahasiswa teori ukuran tentu harus pada tahap yang cukup awal memahami luas dan volume Lebesgue serta panjang; dan dengan perumusan yang tepat, kasus multidimensi berbeda dari kasus satu dimensi hanya dalam satu definisi dan satu lema (yang cukup berbobot). Karena itu, yang saya lakukan adalah menuliskan keduanya (§§114-115). Dengan semangat yang sama, saat menyusun latihan saya tidak menahan diri hanya karena banyak hasil yang saya minta mahasiswa cari akan muncul dalam bab-bab berikutnya; saya percaya bahwa di seluruh matematika, seseorang lebih berpeluang memahami suatu teorema jika sebelumnya ia telah mencoba sendiri sesuatu yang serupa.
Rencana karya ini adalah sebagai berikut:
Jilid 1: Minimum yang Tak Tereduksi
Jilid 2: Landasan yang Luas
Jilid 3: Aljabar Ukuran
Jilid 4: Ruang Ukur Topologis
Jilid 5: Teori Ukuran dalam Kerangka Teori Himpunan.
Jilid 1 ditujukan bagi mereka yang belum memiliki pengetahuan sebelumnya tentang teori ukuran, tetapi menguasai teknik-teknik elementer analisis riil. Saya berharap jilid ini berguna bagi mahasiswa program sarjana yang untuk pertama kalinya mempelajari ukuran Lebesgue. Jilid 2 bertujuan memaparkan beberapa hasil fundamental teori ukuran murni (teorema Radon-Nikodým, teorema Fubini), tetapi juga memberikan pengantar singkat ke beberapa penerapan teori ukuran yang terpenting (teori probabilitas, analisis Fourier). Walaupun saya ingin percaya bahwa sebagian besar isinya ditulis pada tingkat yang dapat dijangkau oleh siapa pun yang telah menguasai isi Jilid 1, saya sendiri tidak akan cukup berani untuk mencoba membahas seluruhnya dalam mata kuliah tingkat sarjana, meskipun saya tentu akan berusaha memasukkan beberapa bagiannya. Jilid 3 dan 4 disusun pada tingkat yang agak lebih tinggi, sesuai untuk mata kuliah pascasarjana; sedangkan Jilid 5 mengandaikan penguasaan luas atas banyak bagian analisis dan teori himpunan.
Ada sebuah catatan penafian yang patut saya sampaikan di tempat yang dapat Anda lihat sebelum terlanjur membayar buku ini. Saya tidak berusaha memaparkan sejarah bidang ini. Ini bukan karena saya menganggap sejarahnya tidak menarik atau tidak penting; alasannya justru karena saya tidak yakin dapat mengatakan sesuatu yang tidak akan sangat menyesatkan. Bahkan, saya sangat meragukan segala sesuatu yang pernah saya baca mengenai sejarah gagasan. Jadi, sementara saya dengan senang hati menghormati nama Lebesgue, Kolmogorov, dan Maharam di tempat-tempat yang kurang lebih sesuai, dan saya berusaha memasukkan ke dalam bibliografi karya-karya yang saya sendiri gunakan, pembahasan rinci saya serahkan kepada mereka yang lebih berani dan lebih memenuhi syarat daripada saya.
Untuk sementara, setidaknya, pencetakan akan dilakukan dalam tiras kecil. Saya berharap para pembaca akan giat menyampaikan komentar mengenai kesalahan dan kekurangan, karena keduanya seharusnya dapat diperbaiki dengan relatif cepat. Salah satu konsekuensi yang tak terelakkan ialah bahwa rujukan paragraf dapat lekas kedaluwarsa. Saya akan sangat tersanjung jika ada yang memilih mengandalkan buku ini sebagai sumber materi dasar; dan saya bersedia mencoba mempertahankan konkordansi untuk rujukan semacam itu, dengan menunjukkan di mana hasil-hasil yang berpindah untuk sementara berlabuh, jika para penulis memberi saya salinan makalah yang menggunakannya. Dalam konkordansi untuk jilid ini, Anda akan menemukan catatan mengenai butir-butir yang telah dirujuk dalam jilid lain karya ini yang sudah diterbitkan.
Saya menyebutkan beberapa hal kecil mengenai tata letak materi. Kebanyakan bagian ditutup dengan daftar ‘latihan dasar’ dan ‘latihan lanjutan’, yang saya harap pada umumnya bersifat mendidik dan sesekali menghibur. Anda dan pengajar Anda, jika ada, harus memutuskan berapa banyak yang perlu Anda coba, karena tidak ada dua mahasiswa yang memiliki kebutuhan persis sama. Saya menandai latihan yang menurut saya sangat penting dengan \(\pmb{>}\). Namun, meskipun Anda mungkin tidak perlu menuliskan penyelesaian untuk semua ‘latihan dasar’, jika Anda meragukan kemampuan Anda untuk melakukannya, anggaplah ini sebagai peringatan untuk sedikit memperlambat langkah. ‘Latihan lanjutan’ memiliki tingkat kesulitan yang tak berbatas, dan satu-satunya kesamaan di antaranya adalah anggapan bahwa masing-masing memiliki sekurang-kurangnya satu penyelesaian berdasarkan gagasan yang sudah diperkenalkan. Sesekali saya menambahkan sebuah ‘masalah’ terakhir, suatu pertanyaan yang jawabannya tidak saya ketahui dan yang tampaknya muncul secara alami dalam perkembangan karya ini.
Dorongan untuk menulis risalah ini sebagian besar berasal dari keinginan untuk menyajikan uraian terpadu mengenai bidang ini. Karena itu, rujuk silang berlimpah dan menjangkau banyak bagian. Agar dapat merujuk dengan bebas ke seluruh teks, saya telah memilih sistem rujukan yang memberikan kode yang sama kepada sebuah paragraf dari mana pun paragraf itu dirujuk. Dengan demikian, 132E adalah paragraf kelima dalam bagian kedua bab ketiga Jilid 1, dan dirujuk dengan nama itu di seluruh karya. Perlu saya tekankan bahwa rujuk silang dimaksudkan untuk membantu pembaca, bukan mengalihkan perhatiannya. Jangan menganggap sisipan ‘(121A)’ sebagai perintah, atau bahkan anjuran, untuk mengambil Jilid 1 dari rak lalu mencari §121. Jika Anda merasa puas dengan argumen sebagaimana adanya, terlepas dari rujukannya, lanjutkanlah. Namun, jika saya tampak melakukan lompatan yang agak besar, atau notasinya tiba-tiba menjadi tidak jelas, rujuk silang setempat dapat membantu Anda mengisi celahnya.
Setiap jilid akan memiliki lampiran ‘fakta-fakta berguna’, tempat saya memaparkan materi yang digunakan di suatu bagian jilid tersebut dan yang menurut saya tidak dapat dianggap sudah diketahui. Biasanya penataan materi dalam lampiran ini diarahkan secara sangat khusus pada penerapan tertentu yang saya maksudkan, dan agaknya tidak dapat menjadi pengganti yang memadai bagi pembahasan konvensional mengenai topik-topik yang disinggung. Selain itu, gagasan-gagasan tersebut mungkin hanya diperlukan pada kesempatan yang jarang dan terpisah-pisah. Karena itu, sebagai aturan umum saya menyarankan Anda mengabaikan lampiran sampai Anda mempunyai alasan langsung untuk menduga bahwa suatu bagiannya mungkin berguna bagi Anda.
Selama proses panjang pematangan proyek ini saya telah dibantu oleh banyak orang, dan saya berharap teman serta kolega saya akan senang ketika mereka mengenali gagasan mereka yang tersebar di halaman-halaman berikut. Namun, saya terutama berterima kasih kepada mereka yang telah bersusah payah membaca draf-draf terdahulu dan mengomentari bagian yang tidak jelas serta kesalahan.