Transformasi terukur — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya beralih ke suatu topik yang terpisah dari Teorema Radon-Nikodým, tetapi tampaknya lebih cocok ditempatkan di sini daripada di salah satu dari dua bab berikutnya. Saya berusaha memberikan hasil-hasil yang memperumum rumus dasar kalkulus

\(\int g(y)dy=\int g(\phi(x))\phi'(x)dx\)

dalam konteks suatu transformasi umum \(\phi\) di antara ruang-ruang ukur. Hasil-hasil utamanya, menurut saya, adalah 235A/235E, yang merupakan dua ungkapan sangat mirip dari gagasan dasar tersebut, dan 235J, yang memberikan kriteria umum untuk hasil yang lebih kuat. Suatu perumusan dari arah yang berbeda terdapat dalam 235R.

235A

Saya mulai dengan hasil dasar, yang sudah memadai untuk sebagian besar penerapan yang saya bayangkan.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:D_{\phi}\to Y\), \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) fungsi-fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan \(D_{\phi}\) dan \(D_J\) dari \(X\) sedemikian sehingga

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\) ada \(=\nu F\)

setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\). Maka

\(\int_{\phi^{-1}[H]}J\times g\phi\,d\mu\) ada = \(\int_Hg\,d\nu\)

untuk setiap fungsi yang terintegralkan terhadap \(\nu\) dan dinotasikan dengan \(g\), yang bernilai dalam \([-\infty,\infty]\), serta setiap \(H\in\Tau\), dengan ketentuan bahwa kita menafsirkan \((J\times g\phi)(x)\) sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi. Akibatnya, dengan menafsirkan \(J\times f\phi\) dengan cara yang sama,

\(\underline{\intop}fd\nu \le\underline{\intop}J\times f\phi\,d\mu \le\overline{\intop}J\times f\phi\,d\mu\le\overline{\intop}fd\nu\)

untuk setiap fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang dinotasikan dengan \(f\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(Y\).

Bukti

(a) Jika \(g\) suatu fungsi sederhana, katakanlah \(g=\sum_{i=0}^na_i\chi F_i\) dengan \(\nu F_i<\infty\) untuk setiap \(i\), maka

\(\int J\times g\phi\,d\mu =\sum_{i=0}^na_i\int J\times\chi(\phi^{-1}[F_i])\,d\mu =\sum_{i=0}^na_i\nu F_i=\int g\,d\nu\).

(b) Jika \(\nu F=0\), maka \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])=0\), sehingga \(J=0\) hampir di mana-mana pada \(\phi^{-1}[F]\). Jadi, jika \(g\) terdefinisi \(\nu\)-hampir di mana-mana, maka \(J=0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(X\setminus\dom(g\phi)=(X\setminus D_{\phi})\cup\phi^{-1}[Y\setminus\dom g]\), dan menurut konvensi yang diusulkan, \(J\times g\phi\) terdefinisi \(\mu\)-hampir di mana-mana. Selain itu, jika \(\lim_{n\to\infty}g_n=g\,\,\nu\)-hampir di mana-mana, maka \(\lim_{n\to\infty}J\times g_n\phi=J\times g\phi\,\,\mu\)-hampir di mana-mana. Jadi, jika \(\sequencen{g_n}\) suatu barisan tak menurun dari fungsi-fungsi sederhana yang konvergen hampir di mana-mana ke \(g\), maka \(\sequencen{J\times g_n\phi}\) merupakan barisan tak menurun dari fungsi-fungsi terintegralkan yang konvergen hampir di mana-mana ke \(J\times g\phi\); menurut Teorema B.Levi,

\(\int J\times g\phi\,d\mu\) ada \(=\lim_{n\to\infty} \int J\times g_n\phi\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_nd\nu =\int g\,d\nu\).

(c) Jika \(g=g^+-g^-\), dengan \(g^+\) dan \(g^-\) fungsi-fungsi yang \(\nu\)-terintegralkan, maka

\(\int J\times g\phi\,d\mu =\int J\times g^+\phi\,d\mu-\int J\times g^-\phi\,d\mu =\int g^+d\nu-\int g^-d\nu =\int g\,d\nu\).

(d) Ini menangani kasus \(H=Y\). Untuk kasus umum, kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int_Hg\,d\nu &=\int(g\times\chi H)d\nu\\ \displaycause{131Fa} &=\int J\times(g\times\chi H)\phi\,d\mu =\int J\times g\phi\times\chi(\phi^{-1}[H])d\mu =\int_{\phi^{-1}[H]}J\times g\phi\,d\mu\\\end{aligned}\]

menurut 214F.

(e) Untuk integral atas dan bawah, pertama-tama saya perhatikan bahwa jika \(F\) terabaikan terhadap \(\nu\), maka \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=0\), sehingga \(J=0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana pada \(\phi^{-1}[F]\). Akibatnya, jika \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) pada subhimpunan-subhimpunan \(Y\) dan \(f\leae g\), maka \(J\times f\phi\leae J\times g\phi\). Sekarang, jika \(\overline{\int}fd\nu=\infty\), tentu kita mempunyai \(\overline{\int}J\times f\phi\,d\mu\le\overline{\int}fd\nu\). Jika tidak,

\[\begin{aligned}\overline{\int}fd\nu &=\inf\{\int g\,d\nu:g\text{ terintegralkan terhadap }\nu \text{ dan }f\leae g\}\\ &=\inf\{\int J\times g\phi\,d\mu: g\text{ terintegralkan terhadap }\nu\text{ dan }f\leae g\}\\ &\ge\inf\{\int h\,d\mu: h\text{ terintegralkan terhadap }\mu\text{ dan }J\times f\phi\leae h\} =\overline{\intop}J\times f\phi\,d\mu.\\\end{aligned}\]

Demikian pula, atau dengan menerapkan argumen ini pada \(-f\), kita memperoleh \(\underline{\int}J\times f\phi\,d\mu\ge\underline{\int}f\,d\nu\).

235B Catatan (a)

Perhatikan konvensi khusus

\(0\times\text{tidak terdefinisi}=0\)

yang saya terapkan dalam menafsirkan \(J\times g\phi\). Ini merupakan pokok teknis pertama dari sejumlah pokok yang akan kita hadapi dalam bagian ini. Pokoknya ialah bahwa jika \(g\) terdefinisi \(\nu\)-hampir di mana-mana, maka untuk setiap perluasan \(g\) menjadi fungsi \(g_1:Y\to\Bbb R\), berdasarkan konvensi ini kita akan mempunyai \(J\times g\phi=J\times g_1\phi\) kecuali pada \(\{x:J(x)>0,\,\phi(x)\in Y\setminus\dom g\}\), yang terabaikan; sehingga

\(\int J\times g\phi\,d\mu =\int J\times g_1\phi\,d\mu =\int g_1d\nu =\int g\,d\nu\)

jika \(g\) dan \(g_1\) terintegralkan. Dengan demikian, konvensi tersebut sesuai di sini. Meskipun menambahkan satu frasa pada pernyataan banyak hasil dalam bagian ini, konvensi tersebut memperlancar penerapannya. (Tetapi saya harus menegaskan bahwa saya menggunakannya hanya sebagai konvensi lokal, dan kaidah biasa \(0\times\text{tidak terdefinisi}=\text{tidak terdefinisi}\) akan tetap berlaku di tempat lain dalam risalah ini kecuali jika secara eksplisit dikesampingkan.)

235Bb (b)

Dalam merumuskan teorema ini, saya harus berhati-hati membedakan hipotesis

\(\int J(x)\chi(\phi^{-1}[F])(x)\mu(dx)\) ada \(=\nu F\) setiap kali \(\nu F<\infty\)

dari alternatif yang mungkin lebih elok

\(\int_{\phi^{-1}[F]}J(x)\mu(dx)\) ada \(=\nu F\) setiap kali \(\nu F<\infty\),

yang tidak sepenuhnya memadai bagi teorema tersebut. (Lihat 235Q di bawah.) Ingat bahwa dengan \(\int_Af\) saya maksud \(\int(f\restr A)d\mu_A\), dengan \(\mu_A\) ukuran subruang pada \(A\) (214D). Mungkin saja \(\int_A(f\restr A)d\mu_A\) terdefinisi bahkan ketika \(\int f\times\chi A\,d\mu\) tidak terdefinisi; misalnya, ambil \(\mu\) sebagai ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), \(A\) sembarang subhimpunan tak terukur dari \([0,1]\), dan \(f\) fungsi konstan bernilai \(1\); maka \(\int_Af=\mu^*A\), tetapi \(f\times\chi A=\chi A\) tidak \(\mu\)-terintegralkan. Namun, jika \(\int f\times\chi A\,d\mu\) terdefinisi, maka \(\int_Af\) juga terdefinisi dan keduanya sama; ini merupakan akibat 214F. Walaupun 235P menunjukkan bahwa pada kebanyakan kasus yang relevan bagi jilid ini perbedaan tersebut dapat dilewati, penting untuk tidak mengandaikan bahwa \(\phi^{-1}[F]\) terukur bagi setiap \(F\in\Tau\). Contoh sederhananya adalah sebagai berikut. Tetapkan \(X=Y=[0,1]\). Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \([0,1]\) dan definisikan \(\nu\) dengan menetapkan

\(\Tau=\{F:F\subseteq[0,1],\,F\cap[0,\bover12]\) terukur Lebesgue\(\}\),

\(\nu F=2\mu(F\cap[0,\bover12])\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

Tetapkan \(\phi(x)=x\) untuk setiap \(x\in[0,1]\). Maka kita mempunyai

\(\nu F=\int_FJ\,d\mu =\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\), dengan \(J(x)=2\) untuk \(x\in[0,\bover12]\) dan \(J(x)=0\) untuk \(x\in\ocint{\bover12,1}\). Namun tentu terdapat subhimpunan \(F\) dari \([\bover12,1]\) yang tidak terukur Lebesgue (lihat 134D), dan \(F\) semacam itu mesti termasuk dalam \(\Tau\), walaupun \(\phi^{-1}[F]\) tidak termasuk dalam domain \(\Sigma\) dari \(\mu\).

Pokoknya di sini ialah bahwa jika \(\nu F_0=0\), kita mengharapkan \(J=0\) pada \(\phi^{-1}[F_0]\), dan tidak penting apakah \(\phi^{-1}[F]\) terukur bagi \(F\subseteq F_0\).

235C

Teorema 235A menyangkut integrasi, sehingga hipotesis \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=\nu F\) hanya melihat himpunan \(F\) yang berukuran hingga. Jika kita hendak meninjau keterukuran fungsi yang tidak terintegralkan, kita memerlukan hipotesis yang sedikit lebih kuat. Saya mendekati versi ini secara lebih bertahap, dengan sepasang lema.

Lema Misalkan \(\Sigma\) dan \(\Tau\) aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan \(Y\) berturut-turut. Andaikan \(D\subseteq X\) dan \(\phi:D\to Y\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma_D\), aljabar-\(\sigma\) subruang, untuk setiap \(F\in\Tau\). Maka \(g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\) bagi setiap fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terukur terhadap \(\Tau\) dan dinotasikan dengan \(g\), serta didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\).

235D

Sebagian hasil di bawah lebih mudah bila kita dapat berpindah dengan bebas antara ruang ukur dan pelengkapannya (212C). Lema berikut adalah yang kita perlukan.

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dengan pelengkapan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dan \((Y,\hat\Tau,\hat\nu)\). Misalkan \(\phi:D_{\phi}\to Y\) dan \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) fungsi-fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\).

(a) Jika \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=\nu F\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\), maka \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\hat\mu=\hat\nu F\) setiap kali \(F\in\hat\Tau\) dan \(\hat\nu F<\infty\).

(b) Jika \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=\nu F\) setiap kali \(F\in\Tau\), maka \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\hat\mu=\hat\nu F\) setiap kali \(F\in\hat\Tau\).

Bukti

Keduanya bertumpu pada fakta bahwa salah satu hipotesis cukup untuk memastikan \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=0\) setiap kali \(\nu F=0\). Oleh karena itu, jika \(F\) terabaikan terhadap \(\nu\), sehingga terdapat \(F'\in\Tau\) dengan \(F\subseteq F'\) dan \(\nu F'=0\), kita akan mempunyai

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu =\int J\times\chi(\phi^{-1}[F'])d\mu=0\).

Namun sekarang, diberikan sembarang \(F\in\hat\Tau\), terdapat \(F_0\in\Tau\) sedemikian sehingga \(F_0\subseteq F\) dan \(\hat\nu(F\setminus F_0)=0\), sehingga

\[\begin{aligned}\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\hat\mu &=\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\\ &=\int J\times\chi(\phi^{-1}[F_0])d\mu +\int J\times\chi(\phi^{-1}[F\setminus F_0])d\mu\\ &=\nu F_0=\hat\nu F,\\\end{aligned}\]

dengan ketentuan (untuk bagian (a)) bahwa \(\hat\nu F<\infty\).

Catatan Jadi, jika hipotesis salah satu hasil utama bagian ini berlaku bagi sepasang ruang ukur yang tidak lengkap, kita dapat mengharapkan suatu kesimpulan dengan menerapkan hasil tersebut pada pelengkapan ruang-ruang yang diberikan.

235E

Sekarang saya sampai pada versi alternatif 235A.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, serta \(\phi:D_{\phi}\to Y\) dan \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) dua fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) sedemikian sehingga

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu=\nu F\)

untuk setiap \(F\in\Tau\), dengan memperbolehkan \(\infty\) sebagai nilai integral.

(a) \(J\times g\phi\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\) bagi setiap fungsi yang terukur secara virtual terhadap \(\nu\) dan dinotasikan dengan \(g\), serta didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\).

(b) Misalkan \(g\) suatu fungsi yang terukur secara virtual terhadap \(\nu\), bernilai \([-\infty,\infty]\), dan didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(Y\). Maka \(\int J\times g\phi\,d\mu=\int g\,d\nu\) setiap kali salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), jika kita menafsirkan \((J\times g\phi)(x)\) sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

Bukti

Misalkan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dan \((Y,\hat\Tau,\hat\nu)\) pelengkapan dari \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\). Menurut 235D,

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\hat\mu=\hat\nu F\)

untuk setiap \(F\in\hat\Tau\). Dengan mengingat bahwa suatu fungsi bernilai real terukur secara virtual terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika terukur terhadap \(\hat\Sigma\) (212Fa), dan bahwa \(\int fd\mu=\int fd\hat\mu\) jika salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) (212Fb), kesimpulan yang kita cari adalah

(a)\('\,\,J\times g\phi\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\) bagi setiap fungsi yang terukur terhadap \(\hat\Tau\) dan dinotasikan dengan \(g\), serta didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\);

(b)\('\,\,\int J\times g\phi\,d\hat\mu=\int g\,d\hat\nu\) setiap kali \(g\) suatu fungsi terukur terhadap \(\hat\Tau\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(Y\) dan salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(a) Ketika saya menulis

\(\int J\times\chi D_{\phi}d\mu =\int J\times\chi(\phi^{-1}[Y])d\mu=\nu Y\),

yang merupakan bagian dari hipotesis teorema ini, saya bermaksud menyiratkan bahwa \(J\times\chi D_{\phi}\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\), yakni terukur terhadap \(\hat\Sigma\). Karena \(D_{\phi}\) koterabaikan, diperoleh bahwa \(J\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), dan domainnya \(D_J\), karena koterabaikan, juga termasuk dalam \(\hat\Sigma\). Tetapkan \(G=\{x:x\in D_J,\,J(x)>0\}\in\hat\Sigma\). Maka untuk setiap \(A\subseteq X\), \(J\times\chi A\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\) jika dan hanya jika \(A\cap G\in\hat\Sigma\). Jadi, hipotesis tersebut tepat berarti bahwa \(G\cap\phi^{-1}[F]\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(F\in\hat\Tau\).

Sekarang misalkan \(g\) fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\), yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(C\) dari \(Y\) dan terukur terhadap \(\hat\Tau\). Dengan menerapkan 235C pada \(\phi\restr G\), kita melihat bahwa \(g\phi\restr G\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), sehingga \((J\times g\phi)\restr G\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\). Di pihak lain, \(J\times g\phi\) bernilai nol hampir di mana-mana dalam \(X\setminus G\), sehingga (karena \(G\in\hat\Sigma\)) \(J\times g\phi\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), sebagaimana diperlukan.

(b)(i) Pertama-tama andaikan \(g\ge 0\). Maka \(J\times g\phi\ge 0\), sehingga (a) menyatakan bahwa \(\int J\times g\phi\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\).

Jika \(\int g\,d\hat\nu<\infty\), maka \(\int J\times g\phi\,d\hat\mu=\int g \,d\hat\nu\) menurut 235A.

Jika terdapat suatu \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga \(\hat\nu H=\infty\), dengan \(H=\{y:g(y)\ge\epsilon\}\), maka

\(\int J\times g\phi\,d\hat\mu \ge\epsilon\int J\times\chi(\phi^{-1}[H])d\hat\mu =\epsilon\hat\nu H=\infty\),

sehingga

\(\int J\times g\phi\,d\hat\mu=\infty=\int g\,d\hat\nu\).

Jika tidak,

\[\begin{aligned}\int J\times g\phi\,d\hat\mu &\ge\sup\{\int J\times h\phi\,d\hat\mu: h\text{ adalah }\hat\nu\text{-terintegralkan}, \,0\le h\le g\}\\ &=\sup\{\int h\,d\hat\nu:h\text{ adalah }\hat\nu\text{-terintegralkan}, \,0\le h\le g\} =\int g\,d\hat\nu =\infty,\\\end{aligned}\]

sehingga sekali lagi \(\int J\times g\phi\,d\hat\mu=\int g\,d\hat\nu\).

(ii) Untuk \(g\) bernilai real umum, terapkan (i) pada \(g^+\) dan \(g^-\), dengan \(g^+=\bover12(|g|+g)\), \(g^-=\bover12(|g|-g)\); pokoknya ialah bahwa \((J\times g\phi)^+=J\times g^+\phi\) dan \((J\times g\phi)^-=J\times g^-\phi\), sehingga

\(\int J\times g\phi =\int J\times g^+\phi-\int J\times g^-\phi =\int g^+-\int g^- =\int g\)

jika salah satu ruas terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

235F Catatan (a)

Tentu terdapat dua kasus khusus teorema ini yang bersama-sama memuat seluruh isinya: kasus \(J=1\) hampir di mana-mana dan kasus ketika \(X=Y\) serta \(\phi\) merupakan fungsi identitas. Jika \(J=\chi X\), kita sangat dekat dengan 235G di bawah, dan jika \(\phi\) merupakan fungsi identitas, kita dekat dengan ukuran-ukuran integral tak tentu dalam §234.

235Fb (b)

Seperti dalam 235A, kita dapat memperkuat kesimpulan (b) dalam 235E menjadi

\(\int_{\phi^{-1}[F]}J\times g\phi\,d\mu=\int_Fg\,d\nu\)

setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\int_Fg\,d\nu\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

235G Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Maka

(a) jika \(g\) suatu fungsi yang terukur secara virtual terhadap \(\nu\), bernilai \([-\infty,\infty]\), dan didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\), maka \(g\phi\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\);

(b) jika \(g\) suatu fungsi yang terukur secara virtual terhadap \(\nu\), bernilai \([-\infty,\infty]\), dan didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(Y\), maka \(\int g\phi\,d\mu=\int g\,d\nu\) jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\);

(c) jika \(g\) suatu fungsi yang terukur secara virtual terhadap \(\nu\), bernilai \([-\infty,\infty]\), dan didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(Y\), serta \(F\in\Tau\), maka \(\int_{\phi^{-1}[F]}g\phi\,d\mu=\int_Fg\,d\nu\) jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

235H Malapetaka ukuran citra

Penerapan 235A akan berlangsung jauh lebih lancar jika kita dapat mengatakan

‘\(\int g\,d\nu\) ada dan sama dengan \(\int J\times g\phi\,d\mu\) untuk setiap \(g:Y\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(J\times g\phi\) \(\mu\)-terintegralkan’.

Sayangnya, tidak ada harapan bagi suatu hasil yang dapat diterapkan secara universal ke arah ini. Misalkan, misalnya, \(\nu\) ukuran Lebesgue pada \(Y=[0,1]\), \(X\subseteq[0,1]\) suatu himpunan yang tidak terukur Lebesgue dan berukuran luar \(1\) (134D), \(\mu\) ukuran subruang \(\nu_X\) pada \(X\), dan \(\phi(x)=x\) untuk \(x\in X\). Maka

\(\mu\phi^{-1}F=\nu^*(X\cap F)=\nu F\)

untuk setiap himpunan terukur Lebesgue \(F\subseteq Y\), sehingga kita dapat mengambil \(J=\chi X\) dan hipotesis 235A serta 235E akan terpenuhi. Namun, jika kita menuliskan \(g=\chi X:[0,1]\to\{0,1\}\), maka \(\int g\phi\,d\mu\) terdefinisi meskipun \(\int g\,d\nu\) tidak terdefinisi.

Pokoknya di sini ialah bahwa terdapat himpunan \(A\subseteq Y\) sedemikian sehingga (dalam bahasa 235A/235E) \(\phi^{-1}[A]\in\Sigma\), tetapi \(A\notin\hat\Tau\). Inilah malapetaka ukuran citra. Pencarian konteks yang memungkinkan kita memastikan bahwa malapetaka ini tidak terjadi akan menjadi salah satu tema penggerak Jilid 4. Untuk saat ini, saya akan menawarkan beberapa catatan umum (235I-235J), lalu menjelaskan salah satu kasus penting yang bebas dari masalah ini (235K).

235I Lema

Misalkan \(\Sigma\) dan \(\Tau\) aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan \(Y\) berturut-turut, serta \(\phi\) suatu fungsi dari suatu subhimpunan \(D\) dari \(X\) ke \(Y\). Andaikan \(G\subseteq X\) dan

\(\Tau=\{F:F\subseteq Y,\,G\cap\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\).

Maka suatu fungsi bernilai real \(g\), yang didefinisikan pada suatu anggota \(\Tau\), terukur terhadap \(\Tau\) jika dan hanya jika \(\chi G\times g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\).

Bukti

Karena tentu \(Y\in\Tau\), hipotesis tersebut menyiratkan bahwa \(G\cap D=G\cap\phi^{-1}[Y]\) termasuk dalam \(\Sigma\).

Misalkan \(g:C\to\Bbb R\) suatu fungsi, dengan \(C\in\Tau\). Tetapkan \(B=\dom(g\phi)=\phi^{-1}[C]\), dan untuk \(a\in\Bbb R\) tetapkan \(F_a=\{y:g(y)\ge a\}\),

\(E_a=G\cap\phi^{-1}[F_a] =\{x:x\in G\cap B,\,g\phi(x)\ge a\}\).

Perhatikan bahwa \(G\cap B\in\Sigma\) karena \(C\in\Tau\).

(i) Jika \(g\) terukur terhadap \(\Tau\), maka \(F_a\in\Tau\) dan \(E_a\in\Sigma\) untuk setiap \(a\). Sekarang

\(G\cap\{x:x\in B,\,g\phi(x)\ge a\}=G\cap\phi^{-1}[F_a] =E_a\),

sehingga \(\{x:x\in B,\,(\chi G\times g\phi)(x)\ge a\}\) sama dengan \(E_a\) atau \(E_a\cup(B\setminus G)\), dan dalam kedua kasus terukur relatif terhadap \(\Sigma\) dalam \(B\). Karena \(a\) sembarang, \(\chi G\times g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\).

(ii) Jika \(\chi G\times g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\), maka untuk setiap \(a\in\Bbb R\),

\(E_a=\{x:x\in G\cap B,\,(\chi G\times g\phi)(x)\ge a\}\in\Sigma\)

karena \(G\cap B\in\Sigma\) dan \(\chi G\times g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\). Jadi \(F_a\in\Tau\). Karena \(a\) sembarang, \(g\) terukur terhadap \(\Tau\).

235J Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur lengkap. Misalkan \(\phi:D_{\phi}\to Y\) dan \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) fungsi-fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), lalu tetapkan \(G=\{x:x\in D_J,\,J(x)>0\}\). Andaikan

\(\Tau =\{F:F\subseteq Y,\,G\cap\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\),

\(\nu F=\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

Maka, untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\), \(\int J\times g\phi\,d\mu=\int g\,d\nu\) setiap kali salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan ketentuan bahwa kita menafsirkan \((J\times g\phi)(x)\) sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

Bukti

Jika \(g\) terukur terhadap \(\Tau\) dan didefinisikan hampir di mana-mana, ini merupakan akibat 235E. Jadi, saya harus menunjukkan bahwa jika \(J\times g\phi\) terukur dan didefinisikan hampir di mana-mana, maka \(g\) juga demikian. Tetapkan \(W=Y\setminus\dom g\). Maka \(J\times g\phi\) tidak terdefinisi pada \(G\cap\phi^{-1}[W]\), sebab \(g\phi\) tidak terdefinisi di sana dan kita tidak dapat memanfaatkan klausul pelepasan yang tersedia ketika \(J=0\); jadi \(G\cap\phi^{-1}[W]\) mesti terabaikan, sehingga terukur, dan \(W\in\Tau\). Selanjutnya,

\(\nu W=\int J\times\chi(\phi^{-1}[W])=0\)

karena \(J\times\chi(\phi^{-1}[W])\) hanya dapat bernilai tak nol pada himpunan terabaikan \(G\cap\phi^{-1}[W]\). Jadi \(g\) terdefinisi hampir di mana-mana.

Perhatikan bahwa hipotesis tentu menyiratkan bahwa \(J\times\chi D_{\phi}=J\times\chi(\phi^{-1}[Y])\) terukur, sehingga \(J\) terukur (karena \(D_{\phi}\) koterabaikan) dan \(G\in\Sigma\). Dengan menuliskan \(K(x)=1/J(x)\) untuk \(x\in G\) dan \(0\) untuk \(x\in X\setminus G\), fungsi \(K:X\to\Bbb R\) terukur, dan

\(\chi G\times g\phi=K\times J\times g\phi\)

terukur. Jadi, 235I menyatakan bahwa \(g\) mesti terukur, dan selesailah bukti.

Catatan Ketika \(J=\chi X\), hipotesis teorema ini menjadi

\(\Tau=\{F:F\subseteq Y,\,\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\), \(\nu F=\mu\phi^{-1}[F]\) untuk setiap \(F\in\Tau\);

yakni, \(\nu\) merupakan ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\) sebagaimana didefinisikan dalam 234D.

235K Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap, dan \(J\) suatu fungsi terukur nonnegatif yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian koterabaikan dari \(X\). Misalkan \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terkait, dan \(\Tau\) domainnya. Maka untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(X\), \(g\) terukur terhadap \(\Tau\) jika dan hanya jika \(J\times g\) terukur terhadap \(\Sigma\), dan \(\int g\,d\nu=\int J\times g\,d\mu\) jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), asalkan \((J\times g)(x)\) kita tafsirkan sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(x)\) tidak terdefinisi.

235L Menerapkan Teorema Radon-Nikodým

Agar dapat menggunakan 235A–235J secara efektif, kita perlu dapat menemukan fungsi \(J\) yang sesuai. Hal ini dapat sulit dilakukan – beberapa contoh yang sangat khusus akan mengisi sebagian besar Bab 26 di bawah. Namun terdapat banyak keadaan yang menjamin keberadaan \(J\) demikian, sekalipun kita tidak mengetahui bentuknya. Syarat minimalnya ialah bahwa jika \(\nu F<\infty\) dan \(\mu^*\phi^{-1}[F]=0\) maka \(\nu F=0\), karena \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\) akan bernilai nol untuk setiap \(J\). Suatu syarat cukup, dalam kasus khusus ukuran integral tak tentu, diberikan dalam 234O. Syarat cukup lainnya adalah yang berikut.

235M Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga, \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur semihingga, dan \(\phi:D\to Y\) suatu fungsi sedemikian sehingga

(i) \(D\) merupakan himpunan bagian koterabaikan dari \(X\),

(ii) \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) untuk setiap \(F\in\Tau\);

(iii) \(\mu\phi^{-1}[F]>0\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F>0\).

Maka terdapat fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), yaitu \(J:X\to\coint{0,\infty}\), sedemikian sehingga \(\int J\times\chi\phi^{-1}[F]\,d\mu=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

Bukti

(a) Sebagai permulaan (hingga akhir bagian (c) di bawah), anggaplah bahwa \(D=X\) dan bahwa \(\nu\) berhingga total.

Tetapkan \(\tildeTau=\{\phi^{-1}[F]:F\in\Tau\}\subseteq\Sigma\). Maka \(\tildeTau\) merupakan aljabar-\(\sigma\) dari himpunan-himpunan bagian \(X\). Bukti. (i)

\(\emptyset=\phi^{-1}[\emptyset]\in\tildeTau\).

(ii) Jika \(E\in\tildeTau\), ambil \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(E=\phi^{-1}[F]\), sehingga

\(X\setminus E=\phi^{-1}[Y\setminus F]\in\tildeTau\).

(iii) Jika \(\sequencen{E_n}\) sembarang barisan dalam \(\tildeTau\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) pilih \(F_n\in\Tau\) sedemikian sehingga \(E_n=\phi^{-1}[F_n]\); maka

\(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n=\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]\in\tildeTau\). ∎

Selanjutnya, kita mempunyai ukuran berhingga total \(\tilde\nu:\tildeTau\to[0,\nu Y]\) yang diberikan dengan menetapkan

\(\tilde\nu(\phi^{-1}[F])=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

Bukti. (i) Jika \(F\), \(F'\in\Tau\) dan \(\phi^{-1}[F]=\phi^{-1}[F']\), maka \(\phi^{-1}[F\symmdiff F']=\emptyset\), sehingga \(\mu(\phi^{-1}[F\symmdiff F'])=0\) dan \(\nu(F\symmdiff F')=0\); akibatnya \(\nu F=\nu F'\). Ini menunjukkan bahwa \(\tilde\nu\) terdefinisi dengan baik. (ii) Sekarang

\(\tilde\nu\emptyset =\tilde\nu(\phi^{-1}[\emptyset]) =\nu\emptyset=0\).

(iii) Jika \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\tildeTau\), ambil barisan \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(E_n=\phi^{-1}[F_n]\) untuk setiap \(n\); tetapkan \(F'_n=F_n\setminus\bigcup_{m<n}F_m\) untuk setiap \(n\); maka \(E_n=\phi^{-1}[F'_n]\) untuk setiap \(n\), sehingga

\(\tilde\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n) =\tilde\nu(\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F'_n]) =\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}F'_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\nu F'_n =\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\nu E_n\). ∎

Terakhir, perhatikan bahwa jika \(\tilde\nu E>0\) maka \(\mu E>0\), karena \(E=\phi^{-1}[F]\) dengan \(\nu F>0\).

(b) Menurut 215B(ix), terdapat fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), yaitu \(h:X\to\ooint{0,\infty}\), sedemikian sehingga \(\int h\,d\mu\) berhingga. Definisikan \(\tilde\mu:\tildeTau\to\coint{0,\infty}\) dengan menetapkan \(\tilde\mu E=\int_Eh\,d\mu\) untuk setiap \(E\in\tildeTau\); maka \(\tilde\mu\) merupakan ukuran berhingga total. Jika \(E\in\tildeTau\) dan \(\tilde\mu E=0\), maka (karena \(h\) positif ketat) \(\mu E=0\) dan \(\tilde\nu E=0\). Dengan demikian, kita dapat menerapkan Teorema Radon-Nikodým pada \(\tilde\mu\) dan \(\tilde\nu\) untuk melihat bahwa terdapat fungsi yang terukur terhadap \(\tildeTau\), yaitu \(g:X\to\Bbb R\), sedemikian sehingga \(\int_Eg\,d\tilde\mu=\tilde\nu E\) untuk setiap \(E\in\tildeTau\). Karena \(\tilde\nu\) nonnegatif, kita boleh menganggap bahwa \(g\ge 0\).

(c) Dengan menerapkan 235A pada \(\mu\), \(\tilde\mu\), \(h\), dan fungsi identitas dari \(X\) ke dirinya sendiri, kita memperoleh

\(\int_Eg\times h\,d\mu=\int_Eg\,d\tilde\mu =\tilde\nu E\)

untuk setiap \(E\in\tildeTau\), yakni

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu = \nu F\)

untuk setiap \(F\in\Tau\), dengan menuliskan \(J=g\times h\).

(d) Ini menyelesaikan bukti ketika \(\nu\) berhingga total dan \(D=X\). Untuk kasus umum, jika \(Y=\emptyset\) maka \(\mu X=0\) dan hasilnya langsung. Jika tidak, misalkan \(\hat\phi\) sembarang perluasan \(\phi\) menjadi fungsi dari \(X\) ke \(Y\) yang konstan pada \(X\setminus D\); maka \(\hat\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) untuk setiap \(F\in\Tau\), karena \(D=\phi^{-1}[Y]\in\Sigma\) dan \(\hat\phi^{-1}[F]\) selalu salah satu dari \(\phi^{-1}[F]\) atau \((X\setminus D)\cup\phi^{-1}[F]\). Sekarang \(\nu\) harus \(\sigma\)-hingga. Bukti. Gunakan kriteria 215B(ii). Jika \(\Cal F\) suatu keluarga saling lepas dalam \(\{F:F\in\Tau,\,0<\nu F<\infty\}\), maka \(\Cal E=\{\hat\phi^{-1}[F]:F\in\Cal F\}\) merupakan keluarga saling lepas dalam \(\{E:\mu E>0\}\), sehingga \(\Cal E\) dan \(\Cal F\) terhitung. ∎

Misalkan \(\sequencen{Y_n}\) suatu partisi \(Y\) menjadi himpunan-himpunan dengan ukuran \(\nu\) berhingga, dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) tetapkan \(\nu_nF=\nu(F\cap Y_n)\) untuk setiap \(F\in\Tau\). Maka \(\nu_n\) merupakan ukuran berhingga total pada \(Y\), dan jika \(\nu_nF>0\) maka \(\nu F>0\) sehingga

\(\mu\hat\phi^{-1}[F]=\mu\phi^{-1}[F]>0\).

Dengan demikian \(\mu\), \(\hat\phi\), dan \(\nu_n\) memenuhi asumsi teorema bersama asumsi-asumsi bagian (a) di atas, dan terdapat fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), yaitu \(J_n:X\to\coint{0,\infty}\), sedemikian sehingga

\(\nu_nF=\int J_n\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\). Sekarang tetapkan \(J=\sum_{n=0}^{\infty}J_n\times\chi(\phi^{-1}[Y_n])\), sehingga \(J:X\to\coint{0,\infty}\) terukur terhadap \(\Sigma\). Jika \(F\in\Tau\), maka

\[\begin{aligned}\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu &=\sum_{n=0}^{\infty} \int J_n\times\chi(\phi^{-1}[Y_n])\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\int J_n\times\chi(\phi^{-1}[F\cap Y_n])d\mu =\sum_{n=0}^{\infty}\nu(F\cap Y_n) =\nu F,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

235N Catatan

Teorema 235M dapat gagal jika \(\mu\) hanya dapat dilokalkan secara ketat alih-alih \(\sigma\)-hingga. Bukti. Misalkan \(X=Y\) suatu himpunan tak terhitung, \(\Sigma=\Cal PX\), \(\mu\) ukuran pencacahan pada \(X\) (112Bd), \(\Tau\) aljabar-\(\sigma\) terhitung-koterhitung dari \(Y\), \(\nu\) ukuran terhitung-koterhitung pada \(Y\) (211R), dan \(\phi:X\to Y\) peta identitas. Maka \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) dan \(\mu\phi^{-1}[F]>0\) setiap kali \(\nu F>0\). Namun, jika \(J\) sembarang fungsi terintegralkan terhadap \(\mu\) pada \(X\), maka \(F=\{x:J(x)\ne 0\}\) terhitung dan \(\nu(Y\setminus F)=1\ne 0 =\int_{\phi^{-1}[Y\setminus F]}J\,d\mu\). ∎

235O

Terdapat beberapa penyederhanaan dalam kasus ruang \(\sigma\)-hingga; khususnya, 235A dan 235E menjadi menyatu. Saya akan memberikan suatu adaptasi hipotesis 235A yang dapat digunakan dalam kasus \(\sigma\)-hingga. Pertama-tama sebuah lema.

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi terintegralkan nonnegatif pada \(X\). Jika \(A\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\int_Af+\int_{X\setminus A}f=\int f\), maka \(f\times\chi A\) terintegralkan.

Bukti

Menurut 214Eb, terdapat fungsi-fungsi terintegralkan terhadap \(\mu\), \(f_1\) dan \(f_2\), sedemikian sehingga \(f_1\) memperluas \(f\restr A\), \(f_2\) memperluas \(f\restr X\setminus A\), dan

\(\int_Ef_1=\int_{E\cap A}f\), \(\int_Ef_2=\int_{E\setminus A}f\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\). Karena \(f\) nonnegatif, \(\int_Ef_1\) dan \(\int_Ef_2\) nonnegatif untuk setiap \(E\in\Sigma\), dan \(f_1\), \(f_2\) nonnegatif hampir di mana-mana. Dengan demikian kita mempunyai \(f\times\chi A\leae f_1\) dan \(f\times\chi(X\setminus A)\leae f_2\), sehingga \(f\leae f_1+f_2\). Tetapi juga

\(\int f_1+f_2 =\int_Xf_1+\int_Xf_2=\int_Af+\int_{X\setminus A}f=\int f\),

sehingga \(f\eae f_1+f_2\). Dengan demikian

\(f_1\eae f-f_2\leae f-f\times\chi(X\setminus A) =f\times\chi A\leae f_1\)

dan \(f\times\chi A\eae f_1\) terintegralkan.

235P Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap dan \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga lengkap. Andaikan bahwa \(\phi:D_{\phi}\to Y\), \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) merupakan fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan-himpunan bagian koterabaikan \(D_{\phi}\), \(D_J\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu\) ada dan sama dengan \(\nu F\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\).

(a) \(J\times g\phi\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk setiap fungsi yang terukur terhadap \(\Tau\), bernilai real, dan dinotasikan dengan \(g\), serta didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(Y\).

(b) Jika \(g\) suatu fungsi bernilai real terukur terhadap \(\Tau\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(Y\), maka \(\int J\times g\phi\,d\mu=\int g\,d\nu\) setiap kali salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan menafsirkan \((J\times g\phi)(x)\) sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

Bukti

Intinya adalah bahwa hipotesis-hipotesis 235E terpenuhi. Untuk melihat ini, tuliskan \(\Sigma_C=\{E\cap C:E\in\Sigma\}\) dan \(\mu_C=\mu^*\restr \Sigma_C\) bagi ukuran subruang pada \(C\), untuk setiap \(C\subseteq X\). Misalkan \(\sequencen{Y_n}\) suatu barisan tak menurun dari himpunan-himpunan dengan gabungan \(Y\) dan dengan \(\nu Y_n<\infty\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dimulai dari \(Y_0=\emptyset\).

(i) Ambil sembarang \(F\in\Tau\) dengan \(\nu F<\infty\), dan tetapkan \(F_n=F\cup Y_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\); tuliskan \(C_n=\phi^{-1}[F_n]\).

Untuk sementara, tetapkan \(n\). Hipotesis kita menyiratkan bahwa

\(\int_{C_0} J\,d\mu+\int_{C_n\setminus C_0} J\,d\mu =\nu F+\nu(F_n\setminus F)=\nu F_n=\int_{C_n}J\,d\mu\).

Jika ukuran subruang pada \(C_0\) dan \(C_n\setminus C_0\) kita pandang sebagai turunan dari ukuran \(\mu_{C_n}\) pada \(C_n\) (214Ce), maka 235O memberi tahu kita bahwa \(J\times\chi C_0\) terintegralkan terhadap \(\mu_{C_n}\), dan terdapat fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\), yaitu \(h_n\), sedemikian sehingga \(h_n\) memperluas \((J\times\chi C_0)\restr C_n\).

Misalkan \(E\) suatu himpunan koterabaikan terhadap \(\mu\), yang termuat dalam domain \(D_{\phi}\) dari \(\phi\), sedemikian sehingga \(h_n\restr E\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk setiap \(n\). Karena \(\sequencen{C_n}\) merupakan barisan tak menurun dengan gabungan \(\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n] =D_{\phi}\),

\((J\times\chi C_0)(x)=\lim_{n\to\infty}h_n(x)\)

untuk setiap \(x\in E\), dan \((J\times\chi C_0)\restr E\) terukur. Pada saat yang sama, kita mengetahui bahwa terdapat fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\), yaitu \(h\), yang memperluas \(J\restr C_0\), dan \(0\leae J\times\chi C_0\leae|h|\). Dengan demikian \(J\times \chi C_0\) terintegralkan, dan (dengan menggunakan 214F)

\(\int J\times\chi\phi^{-1}[F]\,d\mu =\int J\times\chi C_0\,d\mu =\int_{C_0}J\restr C_0\,d\mu_{C_0} =\nu F\).

(ii) Ini menangani \(F\) berukuran berhingga. Untuk \(F\in\Tau\) umum,

\(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])\,d\mu =\lim_{n\to\infty}\int J\times\chi(\phi^{-1}[F\cap Y_n])\,d\mu =\lim_{n\to\infty}\nu(F\cap Y_n) =\nu F\).

Jadi hipotesis-hipotesis 235E terpenuhi, dan hasilnya segera mengikuti.

235Q

Dalam 235Bb saya menyatakan bahwa suatu kesulitan dapat muncul dalam 235A, untuk ruang ukur umum, jika kita menuliskan \(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu\) dalam hipotesis sebagai pengganti \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\). Berikut sebuah contoh.

Contoh Tetapkan \(X=Y=[0,2]\). Tuliskan \(\Sigma_L\) untuk aljabar himpunan bagian terukur Lebesgue dari \(\Bbb R\), dan \(\mu_L\) untuk ukuran Lebesgue; tuliskan \(\mu_c\) untuk ukuran pencacahan pada \(\Bbb R\). Tetapkan

\(\Sigma=\Tau =\{E:E\subseteq[0,2],\,E\cap\coint{0,1}\in\Sigma_L\}\).

tentu saja ini merupakan aljabar-\(\sigma\) dari himpunan- himpunan bagian \([0,2]\). Untuk \(E\in\Sigma=\Tau\), tetapkan

\(\mu E=\nu E=\mu_L(E\cap\coint{0,1})+\mu_c(E\cap[1,2])\).

maka \(\mu\) merupakan ukuran lengkap – pada dasarnya, ia adalah jumlah langsung ukuran Lebesgue pada \(\coint{0,1}\) dan ukuran pencacahan pada \([1,2]\) (lihat 214L). Mudah dilihat bahwa

\(\mu^*B=\mu_L^*(B\cap\coint{0,1})+\mu_c(B\cap[1,2])\)

untuk setiap \(B\subseteq[0,2]\). Misalkan \(A\subseteq\coint{0,1}\) suatu himpunan tak terukur Lebesgue sedemikian sehingga \(\mu_L^*(E\setminus A)=\mu_LE\) untuk setiap himpunan terukur Lebesgue \(E\subseteq\coint{0,1}\) (lihat 134D). Definisikan \(\phi:[0,2]\to[0,2]\) dengan menetapkan \(\phi(x)=x+1\) jika \(x\in A\), dan \(\phi(x)=x\) jika \(x\in[0,2]\setminus A\).

Jika \(F\in\Sigma\), maka \(\mu^*(\phi^{-1}[F])=\mu F\). Bukti. (i) Jika \(F\cap[1,2]\) berhingga, maka \(\mu F=\mu_L(F\cap[0,1])+\#(F\cap[1,2])\). Sekarang \(\phi^{-1}[F]=(F\cap\coint{0,1}\setminus A)\cup(F\cap[1,2])\cup\{x:x\in A,\,x+1\in F\}\); karena himpunan terakhir berhingga, dan karena itu terabaikan terhadap \(\mu\), \(\mu^*(\phi^{-1}[F]) =\mu_L^*(F\cap\coint{0,1}\setminus A)+\#(F\cap[1,2]) =\mu_L(F\cap\coint{0,1})+\#(F\cap[1,2]) =\mu F\). (ii) Jika \(F\cap[1,2]\) tak berhingga, maka \(\phi^{-1}[F]\cap[1,2]\) juga demikian, sehingga \(\mu^*(\phi^{-1}[F])=\infty=\mu F\). ∎

Ini berarti bahwa jika kita menetapkan \(J(x)=1\) untuk setiap \(x\in[0,2]\),

\(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu =\mu_{\phi^{-1}[F]}(\phi^{-1}[F]) =\mu^*(\phi^{-1}[F]) =\mu F\)

untuk setiap \(F\in\Sigma\), dan \(\phi\), \(J\) memenuhi hipotesis 235A yang diubah. Namun, jika kita menetapkan \(g=\chi\coint{0,1}\), maka \(g\) terintegralkan terhadap \(\mu\), dengan \(\int g\,d\mu=1\), sedangkan

\(J(x)g(\phi(x))=1\) jika \(x\in[0,1]\setminus A\), \(0\) jika tidak,

sehingga, karena \(A\notin\Sigma\), \(J\times g\phi\) tidak terukur, dan karena itu (karena \(\mu\) lengkap) tidak terintegralkan terhadap \(\mu\).

235R Membalik beban

Di sepanjang pembahasan di atas, saya telah menggunakan rumus

\(\int J\times g\phi=\int g\),

sebagai perluasan alami dari rumus

\(\int g=\int g\phi\times \phi'\)

dalam kalkulus lanjut biasa. Namun kita juga dapat memindahkan ‘turunan’ \(J\) ke sisi lain persamaan, sebagai berikut.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(\phi:X\to Y\), \(J:Y\to\coint{0,\infty}\) fungsi-fungsi sedemikian sehingga \(\int_FJ\,d\nu\) dan \(\mu\phi^{-1}[F]\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\) dan sama untuk setiap \(F\in\Tau\). Maka \(\int g\phi\,d\mu=\int J\times g\,d\nu\) setiap kali \(g\) terukur secara virtual terhadap \(\nu\) dan terdefinisi \(\nu\)-hampir di mana-mana, serta salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

Bukti

Misalkan \(\nu_1\) ukuran integral tak tentu atas \(\nu\) yang didefinisikan oleh \(J\), dan \(\hat\mu\) pelengkapan \(\mu\). Maka \(\phi\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\nu_1\). Bukti. Jika \(F\in\Tau\), maka \(\nu_1F=\int_FJ\,d\nu=\mu\phi^{-1}[F]\); yakni, \(\phi\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\mu\) dan \(\nu_1\restr\Tau\). Karena \(\nu_1\) merupakan pelengkapan \(\nu_1\restr\Tau\) (234Lb), \(\phi\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\mu\) dan \(\nu_1\) (234Ba). ∎

Tentu saja \(\nu_1\) juga dapat kita pandang sebagai ukuran integral tak tentu atas pelengkapan \(\hat\nu\) dari \(\nu\) (212Fb). Jadi, jika \(g\) terukur secara virtual terhadap \(\nu\) dan terdefinisi \(\nu\)-hampir di mana-mana,

\(\int J\times g\,d\nu =\int J\times g\,d\hat\nu =\int g\,d\nu_1 =\int g\phi\,d\hat\mu =\int g\phi\,d\mu\)

jika salah satu dari kelima integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), menurut 235K, 235Gb, dan sekali lagi 212Fb.

Latihan

235X Latihan dasar (a)

Jelaskan apa yang disampaikan 235A ketika \(X=Y\), \(\Tau=\Sigma\), \(\phi\) merupakan fungsi identitas, dan \(\nu E=\alpha\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

235Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(J\) suatu fungsi bernilai real nonnegatif yang terintegralkan pada \(X\), dan \(\phi:D_{\phi}\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur, dengan \(D_{\phi}\) merupakan himpunan bagian koterabaikan dari \(X\). Tetapkan

\(g(a)=\int_{\{x:\phi(x)\le a\}}J\)

untuk \(a\in\Bbb R\), dan misalkan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue–Stieltjes yang terkait dengan \(g\). Tunjukkan bahwa \(\int J\times f\phi\,d\mu=\int fd\mu_g\) untuk setiap fungsi bernilai real yang terintegralkan terhadap \(\mu_g\) dan dinotasikan dengan \(f\).

235Xc (c)

Misalkan \(\Sigma\), \(\Tau\), dan \(\Lambda\) masing-masing merupakan aljabar-\(\sigma\) dari himpunan-himpunan bagian \(X\), \(Y\), dan \(Z\). Kita katakan bahwa suatu fungsi \(\phi:A\to Y\), dengan \(A\subseteq X\), terukur terhadap \((\Sigma,\Tau)\) jika \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma_A\), yaitu aljabar-\(\sigma\) subruang dari \(A\), untuk setiap \(F\in\Tau\). Andaikan bahwa \(A\subseteq X\), \(B\subseteq Y\), \(\phi:A\to Y\) terukur terhadap \((\Sigma,\Tau)\) dan \(\psi:B\to Z\) terukur terhadap \((\Tau,\Lambda)\). Tunjukkan bahwa \(\psi\phi\) terukur terhadap \((\Sigma,\Lambda)\). Turunkan 235C.

235Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur semihingga. Misalkan \(\phi:D_{\phi}\to Y\) dan \(J:D_J\to\coint{0,\infty}\) merupakan fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan-himpunan bagian koterabaikan \(D_{\phi}\), \(D_J\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[F])d\mu\) ada \(=\nu F\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\). Misalkan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang terukur terhadap \(\Tau\), dan didefinisikan pada suatu himpunan bagian koterabaikan dari \(Y\). Tunjukkan bahwa \(J\times g\phi\) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika \(g\) terintegralkan terhadap \(\nu\), dan kedua integralnya kemudian sama, asalkan \((J\times g\phi)(x)\) kita tafsirkan sebagai \(0\) ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

235Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(E\in\Sigma\). Definisikan ukuran \(\mu\LLcorner E\) pada \(X\) dengan menetapkan \((\mu\LLcorner E)(F)=\mu(E\cap F)\) setiap kali \(F\subseteq X\) sedemikian sehingga \(F\cap E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa, untuk setiap fungsi \(f\) dari suatu himpunan bagian \(X\) ke \([-\infty,\infty]\), \(\int fd(\mu\LLcorner E)=\int_Efd\mu\) jika salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

235Xf (>f) penting

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak menurun yang kontinu mutlak pada setiap interval tertutup terbatas, dan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue–Stieltjes terkait (114Xa, 225Xd). Tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), dan misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\int f\times g'\,d\mu=\int f\,d\mu_g\) dalam arti bahwa jika salah satu integral ada, berhingga atau tak berhingga, maka yang lain juga ada, dan keduanya kemudian sama.

235Xg (g)

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak menurun dan \(J\) suatu fungsi bernilai real nonnegatif yang terintegralkan terhadap \(\mu_g\), dengan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue–Stieltjes yang didefinisikan dari \(g\). Tetapkan \(h(x)=\int_{\ocint{-\infty,x}}J\,d\mu_g\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\), dan misalkan \(\mu_h\) ukuran Lebesgue–Stieltjes yang terkait dengan \(h\). Tunjukkan bahwa, untuk setiap \(f:\Bbb R\to\Bbb R\), \(\int f\times J\,d\mu_g=\int fd\mu_h\), dalam arti bahwa jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) maka yang lain juga demikian, dan keduanya kemudian sama.

235Xh (>h) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) tiga ukuran pada \(X\) sedemikian sehingga \(\mu\) merupakan ukuran integral tak tentu atas \(\lambda\), dengan turunan Radon-Nikodým \(f\), dan \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu atas \(\mu\), dengan turunan Radon-Nikodým \(g\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu atas \(\lambda\), dan bahwa \(f\times g\) merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\) terhadap \(\lambda\), asalkan \((f\times g)(x)\) kita tafsirkan sebagai \(0\) ketika \(f(x)=0\) dan \(g(x)\) tidak terdefinisi.

235Xi (i)

Dalam 235M, jika \(\nu\) tidak semihingga, tunjukkan bahwa kita masih dapat menemukan \(J\) sedemikian sehingga \(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu=\nu F\) untuk setiap himpunan \(F\) berukuran berhingga. Petunjuk: gunakan ‘versi semihingga’ dari \(\nu\), sebagaimana diuraikan dalam 213Xc.

235Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\nu:\Tau\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif terhitung sedemikian sehingga \(\nu F=0\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\mu F=0\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\), yaitu \(f\), sedemikian sehingga \(\int_Ffd\mu=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\). Petunjuk: gunakan metode 235M, yang diterapkan pada bagian positif dan negatif dari \(\nu\).

235Xk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dengan pelengkapan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dan \((Y,\hat\Tau,\hat\nu)\). Misalkan \(\phi:D_{\phi}\to Y\), \(J:D_J\to \coint{0,\infty}\) merupakan fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan-himpunan bagian koterabaikan dari \(X\). Tunjukkan bahwa jika \(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu=\nu F\) setiap kali \(F\in\Tau\) dan \(\nu F<\infty\), maka \(\int_{\phi^{-1}[F]}J\,d\mu=\nu F\) setiap kali \(F\in\hat\Tau\) dan \(\hat\nu F<\infty\). Karena itu, atau dengan cara lain, tunjukkan bahwa 235Pb berlaku untuk ruang-ruang tak lengkap \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\).

235Xl (l)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap, \(Y\) suatu himpunan, \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi, dan \(\nu=\mu\phi^{-1}\) ukuran citra terkait pada \(Y\). Misalkan \(\nu_1\) suatu ukuran integral tak tentu atas \(\nu\). Tunjukkan bahwa terdapat ukuran integral tak tentu \(\mu_1\) atas \(\mu\) sedemikian sehingga \(\nu_1\) merupakan ukuran citra \(\mu_1\phi^{-1}\).

235Xm (m)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Misalkan \(\nu_1\) suatu ukuran integral tak tentu atas \(\nu\). Tunjukkan bahwa terdapat ukuran integral tak tentu \(\mu_1\) atas \(\mu\) sedemikian sehingga \(\phi\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\mu_1\) dan \(\nu_1\).

235Xn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Tunjukkan bahwa \(\overline{\int}h\phi\,d\mu\le\overline{\int}h\,d\nu\) untuk setiap fungsi bernilai real \(h\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(Y\). (Bandingkan 234Bf.)

235Y Latihan lanjutan (a)

Tuliskan \(\Tau\) untuk aljabar himpunan bagian Borel dari \(Y=[0,1]\), dan \(\nu\) untuk pembatasan ukuran Lebesgue pada \(\Tau\). Misalkan \(A\subseteq[0,1]\) suatu himpunan sedemikian sehingga \(A\) dan \([0,1]\setminus A\) keduanya memiliki ukuran luar Lebesgue \(1\), dan tetapkan \(X=A\cup[1,2]\). Misalkan \(\Sigma\) aljabar himpunan bagian Borel relatif dari \(X\), dan tetapkan \(\mu E=\mu_A(A\cap E)\) untuk \(E\in\Sigma\), dengan \(\mu_A\) ukuran subruang yang diinduksi pada \(A\) oleh ukuran Lebesgue. Definisikan \(\phi:X\to Y\) dengan menetapkan \(\phi(x)=x\) jika \(x\in A\), dan \(x-1\) jika \(x\in X\setminus A\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) merupakan ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\), tetapi, dengan menetapkan \(g=\chi([0,1]\setminus A)\), \(g\phi\) terintegralkan terhadap \(\mu\) sedangkan \(g\) tidak terintegralkan terhadap \(\nu\).

235Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(f\) suatu fungsi nonnegatif yang terintegralkan terhadap \(\mu\) dengan \(\int fd\mu=1\), sehingga ukuran integral tak tentunya \(\nu\) merupakan ukuran probabilitas. Misalkan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan terhadap \(\nu\) dan tetapkan \(h=f\times g\), dengan menafsirkan \(h(x)\) sebagai \(0\) jika \(f(x)=0\) dan \(g(x)\) tidak terdefinisi. Misalkan \(f_1\), \(h_1\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\), \(h\) pada \(\Tau\) terhadap ukuran \(\mu\), dan tetapkan \(g_1=h_1/f_1\), dengan menafsirkan \(g_1(x)\) sebagai \(0\) jika \(h_1(x)=0\) dan \(f_1(x)\) bernilai \(0\) atau tidak terdefinisi. Tunjukkan bahwa \(g_1\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(g\) pada \(\Tau\) terhadap ukuran \(\nu\).

Catatan dan komentar

235-notes Catatan penutup untuk Bagian 235

Saya melihat bahwa saya telah menggunakan banyak ruang dalam bagian ini untuk perkara teknis; hipotesis teorema-teoremanya berubah-ubah secara tak menentu, khususnya dengan kelengkapan yang dipakai pada selang-selang yang tampaknya sembarang, dan gagasan-gagasan berulang dalam pola yang tidak teratur. Tidak ada sesuatu yang mendalam, dan sebagian besar pekerjaan terdiri atas verifikasi perincian dengan susah payah. Masalah pada topik ini adalah kegunaannya. Hasil-hasil di sini merupakan ungkapan abstrak integrasi dengan substitusi; penerapannya terdapat di seluruh teori ukuran. Karena itu, saya tidak dapat merasa cukup dengan teorema-teorema yang mengungkapkan gagasan dasarnya secara elegan, tetapi harus mencari rumusan-rumusan yang dapat saya kutip dalam argumen selanjutnya.

Saya berharap contoh-contoh dalam 235Bb, 235H, 235N, 235Q, 234Ya, dan 235Ya sedikit banyak akan meyakinkan Anda bahwa terdapat jebakan nyata bagi orang yang lengah, dan bahwa verifikasi cermat yang dituliskan begitu panjang memang diperlukan. Di sisi lain, untungnya dalam konteks sederhana, ketika ukuran \(\mu\), \(\nu\) bersifat \(\sigma\)-hingga dan transformasi \(\phi\) merupakan isomorfisme Borel, tidak muncul kesulitan yang tak teratasi, dan khususnya malapetaka ukuran citra tidak menyusahkan kita. Namun untuk pembahasan lebih lanjut ke arah ini, saya merujuk Anda pada penerapan dalam §263, §265, dan §271, serta Volume 4.