Ekspektasi bersyarat — Fondasi Teori Ukuran

Saya menyediakan satu bagian untuk tinjauan pertama atas salah satu penerapan utama Teorema Radon-Nikodým. Gagasan ini merupakan salah satu gagasan terpenting dalam teori ukuran, dan akan muncul berulang kali dalam berbagai bentuk. Di sini saya memberikan definisi dan sifat-sifat paling dasar ekspektasi bersyarat sebagaimana muncul dalam teori probabilitas abstrak, disertai catatan tentang fungsi konveks dan suatu versi Ketaksamaan Jensen (233I-233J).

233A Subaljabar-\(\sigma\)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) \(\Tau\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\Tau\subseteq\Sigma\). Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), maka \((X,\Tau,\mu\restrp\Tau)\) juga merupakan ruang ukur; hal ini langsung mengikuti definisi (112A). Sekarang kita mempunyai lema sederhana berikut. Lema ini merupakan kasus khusus 235G di bawah, tetapi saya memberikan bukti tersendiri apabila Anda belum hendak memulai penyelidikan umum yang ditempuh dalam §235.

233B Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Suatu fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\) bersifat \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan jika dan hanya jika (i) fungsi tersebut \(\mu\)-terintegralkan (ii) \(\dom f\) koterabaikan terhadap \(\mu\restrp\Tau\) (iii) \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\restrp\Tau\); dan dalam hal ini \(\int fd(\mu\restrp\Tau)=\int fd\mu\).

Bukti

(a) Pertama-tama perhatikan bahwa jika \(f\) suatu fungsi sederhana terhadap \(\mu\restrp\Tau\), yakni dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\) dengan \(a_i\in\Bbb R\), \(E_i\in\Tau\), dan \((\mu\restrp\Tau)E_i<\infty\) untuk setiap \(i\), maka \(f\) merupakan fungsi sederhana terhadap \(\mu\) dan

\(\int f d\mu=\sum_{i=0}^na_i\mu E_i =\int f d(\mu\restrp\Tau)\).

(b) Misalkan \(U_{\mu}\) himpunan fungsi nonnegatif yang \(\mu\)-terintegralkan dan \(U_{\mu\restrp\Tau}\) himpunan fungsi nonnegatif yang \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan.

Andaikan \(f\in U_{\mu\restrp\Tau}\). Maka terdapat barisan tak menurun \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi-fungsi sederhana terhadap \(\mu\restrp\Tau\) sedemikian sehingga \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana dan

\(\int fd(\mu\restrp\Tau) =\lim_{n\to\infty}\int f_nd(\mu\restrp\Tau)\).

Namun kini setiap \(f_n\) juga sederhana terhadap \(\mu\), dan \(\int f_nd\mu=\int f_nd(\mu\restrp\Tau)\) untuk setiap \(n\), serta \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\,\mu\)-hampir di mana-mana. Jadi \(f\in U_{\mu}\) dan \(\int fd\mu=\int fd(\mu\restrp\Tau)\).

(c) Sekarang andaikan \(f\) bersifat \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan. Maka fungsi tersebut merupakan selisih dua anggota \(U_{\mu\restrp\Tau}\), sehingga \(\mu\)-terintegralkan, dan \(\int fd\mu=\int fd(\mu\restrp\Tau)\). Syarat (ii) dan (iii) juga terpenuhi, sesuai dengan konvensi yang ditetapkan dalam Jilid 1 (122Nc, 122P-122Q).

(d) Andaikan \(f\) memenuhi syarat (i)-(iii). Maka \(|f|\in U_{\mu}\), dan terdapat himpunan koterabaikan \(E\subseteq\dom f\) sedemikian sehingga \(E\in\Tau\) dan \(f\restr E\) terukur terhadap \(\Tau\). Oleh karena itu, \(|f|\restr E\) terukur terhadap \(\Tau\). Sekarang, jika \(\epsilon>0\), maka

\((\mu\restrp\Tau)\{x:x\in E,\,|f|(x)\ge\epsilon\} =\mu\{x:x\in E,\,|f|(x)\ge\epsilon\} \le{1\over\epsilon}\int|f|d\mu<\infty\);

selain itu,

\[\begin{aligned}\sup\{\int g\,d(\mu\restrp\Tau):g&\text{ adalah suatu fungsi } \mu\restrp\Tau\text{-sederhana}, \,g\le |f|\,\mu\restrp\Tau\text{-hampir di mana-mana}\}\\ &=\sup\{\int g\,d\mu:g\text{ adalah suatu fungsi } \mu\restrp\Tau\text{-sederhana}, \,g\le |f|\,\mu\restrp\Tau\text{-hampir di mana-mana}\}\\ &\le\sup\{\int g\,d\mu:g\text{ adalah suatu fungsi } \mu\text{-sederhana},\,g\le |f|\,\mu\text{-hampir di mana-mana}\}\\ &\le\int |f|d\mu<\infty.\\\end{aligned}\]

Menurut kriteria 122Ja, \(|f|\in U_{\mu\restrp\Tau}\). Akibatnya, karena \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\restrp\Tau\) sebagai fungsi yang terukur terhadap \(\Tau\), fungsi tersebut \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan menurut 122P. Ini menuntaskan bukti.

233C Catatan (a)

Argumen tepat di atas saya uraikan dengan sangat terperinci, bahkan hingga terkesan bertele-tele. Namun, walaupun saya dapat dituduh membuang-buang kertas dengan menuliskan semuanya, menurut saya setiap unsur argumen itu diperlukan bagi hasilnya. Memang, sebagian perincian diperlukan hanya karena saya menggunakan pengertian ‘fungsi terintegralkan‘ yang begitu luas; jika Anda membatasi pengertian ‘keterintegralan‘ pada fungsi terukur yang didefinisikan pada seluruh ruang ukur, pada tahap ini terdapat beberapa penyederhanaan, yang kelak harus dibayar ketika Anda mendapati bahwa banyak penerapan utama menyangkut fungsi yang didefinisikan oleh rumus-rumus yang tidak berlaku pada seluruh ruang yang mendasarinya.

Pokok penting yang harus dipahami ialah bahwa meskipun himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\restrp\Tau\) selalu terabaikan terhadap \(\mu\), himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) belum tentu terabaikan terhadap \(\mu\restrp\Tau\).

233Cb (b)

Sebagai contoh sesederhana mungkin mengenai masalah yang dapat timbul, saya menawarkan contoh berikut. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah \([0,1]^2\) dengan ukuran Lebesgue. Misalkan \(\Tau\) himpunan anggota \(\Sigma\) yang dapat dinyatakan sebagai \(F\times[0,1]\) untuk suatu \(F\subseteq[0,1]\); mudah dilihat bahwa \(\Tau\) merupakan subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Tinjau \(f\), \(g:X\to[0,1]\) yang didefinisikan dengan

\(f(t,u)=1\) jika \(u>0\), \(0\) selainnya,

\(g(t,u)=1\) jika \(t>0\), \(0\) selainnya.

Maka \(f\) dan \(g\) keduanya \(\mu\)-terintegralkan karena konstan \(\mu\)-hampir di mana-mana. Namun, hanya \(g\) yang \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan, sebab setiap \(E\in\Tau\) yang tidak terabaikan memuat suatu irisan vertikal lengkap \(\{t\}\times[0,1]\), sehingga \(f\) mengambil kedua nilai \(0\) dan \(1\) pada \(E\). Jika kita menetapkan

\(h(t,u)=1\) jika \(u>0\), tidak terdefinisi selainnya,

maka sekali lagi (menurut konvensi yang saya gunakan) \(h\) \(\mu\)-terintegralkan tetapi tidak \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan, karena tidak ada anggota koterabaikan dari \(\Tau\) yang termuat dalam domain \(h\).

233Cc (c)

Jika \(f\) didefinisikan pada seluruh \(X\) dan \(\mu\restrp\Tau\) lengkap, maka tentu saja \(f\) \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan jika dan hanya jika fungsi tersebut \(\mu\)-terintegralkan dan terukur terhadap \(\Tau\). Namun, perhatikan bahwa dalam contoh tepat di atas, yang merupakan salah satu pola dasar topik ini, \(\mu\restrp\Tau\) tidak lengkap, karena himpunan-himpunan satu titik terabaikan tetapi tidak terukur.

233D Ekspektasi bersyarat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, yakni ruang ukur dengan \(\mu X=1\). (Hampir semua gagasan di sini berlaku dengan sempurna bagi sembarang ruang ukur berhingga total, tetapi tampaknya tidak ada manfaat yang diperoleh dari perluasan tersebut, dan ungkapan tradisional ‘ekspektasi bersyarat‘ menuntut ruang probabilitas.) Misalkan \(\Tau\subseteq\Sigma\) suatu subaljabar-\(\sigma\). Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan, terdapat fungsi \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(\int_Fg=\int_Ff\) untuk setiap \(F\in\Tau\); fungsi semacam itu merupakan suatu ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\).

233Da (a)

Untuk setiap fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan, katakanlah \(f\), dan didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\), kita mempunyai integral tak tentu yang bersesuaian, \(\nu_f:\Sigma\to\Bbb R\), yang diberikan oleh rumus \(\nu_fE=\int_Ef\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Kita tahu bahwa \(\nu_f\) aditif terhitung dan kontinu sejati terhadap \(\mu\), yang dalam konteks sekarang sama dengan mengatakan bahwa fungsional itu kontinu mutlak (232Bc-232Bd). Sekarang tinjau pembatasan \(\mu\restrp\Tau\) dan \(\nu_f\restrp\Tau\) dari \(\mu\) dan \(\nu_f\) pada aljabar-\(\sigma\) \(\Tau\). Langsung dari definisi ‘aditif terhitung‘ dan ‘kontinu mutlak‘ diperoleh bahwa \(\nu_f\restrp\Tau\) aditif terhitung dan kontinu mutlak terhadap \(\mu\restrp\Tau\), sehingga kontinu sejati terhadap \(\mu\restrp\Tau\). Akibatnya, Teorema Radon-Nikodým (232E) menyatakan bahwa terdapat fungsi \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \((\nu_f\restrp\Tau)F=\int_Fg\,d(\mu\restrp\Tau)\) untuk setiap \(F\in\Tau\).

233Db (b)

Mari kita definisikan suatu ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\) sebagai fungsi semacam itu; yakni, suatu fungsi \(\mu\restrp\Tau\)-terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(\int_Fg\,d(\mu\restrp\Tau)=\int_Ffd\mu\) untuk setiap \(F\in\Tau\). Dengan menengok kembali 233B, kita melihat bahwa untuk \(g\) semacam itu berlaku

\(\int_Fg\,d(\mu\restrp\Tau) =\int g\times\chi F\,d(\mu\restrp\Tau) =\int g\times\chi F\, d\mu=\int_Fg\,d\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\); selain itu, \(g\) hampir di mana-mana sama dengan suatu fungsi terukur terhadap \(\Tau\) yang didefinisikan pada seluruh \(X\) dan juga merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\) (232He).

233Dc (c)

Saya mencetak tebal kata ‘suatu‘ dalam ungkapan ‘suatu ekspektasi bersyarat‘ untuk menekankan bahwa fungsi \(g\) sama sekali tidak unik. Dalam 242J saya akan kembali ke pokok ini dan menjelaskan suatu objek yang dengan tepat dapat disebut ‘ekspektasi bersyarat‘ dari \(f\) pada \(\Tau\). \(g\) ‘unik secara esensial‘ hanya dalam arti bahwa jika \(g_1\) dan \(g_2\) keduanya merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\), maka \(g_1=g_2\,\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana (131Hb). Tentu saja, hal ini berarti bahwa sangat banyak sifatnya – misalnya fungsi distribusi \(G(a)=\hat\mu\{x:g(x)\le a\}\), dengan \(\hat\mu\) pelengkapan \(\mu\) (212C) – tidak bergantung pada \(g\) mana yang kita pilih.

233Dd (d)

Ungkapan ‘ekspektasi bersyarat‘ perlu dijelaskan. Ungkapan ini berasal dari identifikasi baku probabilitas dengan ukuran, berkat Kolmogorov, yang akan saya bahas lebih lengkap dalam Bab 27. Suatu peubah acak bernilai real dapat dipandang sebagai fungsi terukur, atau terukur secara virtual, \(f\) pada ruang probabilitas \((X,\Sigma,\mu)\); ‘ekspektasinya‘ diidentifikasi dengan \(\int f d\mu\), dengan mengandaikan integral ini ada. Jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F>0\), maka ‘ekspektasi bersyarat dari \(f\) apabila \(F\) diketahui‘ adalah \({1\over{\mu F}}\int_Ff\). Jika \(F_0,\ldots,F_n\) merupakan partisi \(X\) menjadi himpunan-himpunan terukur yang berukuran tak nol, maka fungsi \(g\) yang diberikan oleh

\(g(x)=\Bover1{\mu F_i}\int_{F_i}f\) jika \(x\in F_i\)

merupakan semacam ekspektasi bersyarat yang telah diantisipasi; jika kelak kita diberi tahu bahwa \(x\in F_i\), maka \(g(x)\) akan menjadi taksiran kita selanjutnya atas ekspektasi \(f\). Menurut definisi di atas, \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada aljabar hingga \(\Tau\) yang dibangkitkan oleh \(\{F_0,\ldots,F_n\}\). Intuisi yang sesuai bagi aljabar-\(\sigma\) umum \(\Tau\) ialah bahwa aljabar tersebut terdiri atas kejadian-kejadian yang akan dapat kita amati pada suatu waktu mendatang \(t_0\) yang ditetapkan, sedangkan seluruh aljabar \(\Sigma\) terdiri atas semua kejadian, termasuk yang baru dapat diamati setelah \(t_0\), jika memang pernah dapat diamati.

233E

Saya mencantumkan beberapa fakta elementer mengenai ekspektasi bersyarat.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan, dan untuk setiap \(n\) misalkan \(g_n\) suatu ekspektasi bersyarat dari \(f_n\) pada \(\Tau\). Maka

(a) \(g_1+g_2\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_1+f_2\) pada \(\Tau\);

(b) untuk setiap \(c\in\Bbb R\), \(cg_0\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(cf_0\) pada \(\Tau\);

(d) jika \(\sequencen{f_n}\) tak menurun hampir di mana-mana dan \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) bersifat \(\mu\)-terintegralkan, maka \(\lim_{n\to\infty}g_n\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\);

(e) jika \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) terdefinisi hampir di mana-mana dan terdapat fungsi \(\mu\)-terintegralkan \(h\) sedemikian sehingga \(|f_n|\leae h\) untuk setiap \(n\), maka \(\lim_{n\to\infty}g_n\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\);

(f) jika \(F\in\Tau\), maka \(g_0\times \chi F\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_0\times\chi F\) pada \(\Tau\);

(g) jika \(h\) suatu fungsi bernilai real berbatas yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\restrp\Tau\) dan didefinisikan \(\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(g_0\times h\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_0\times h\) pada \(\Tau\);

(h) jika \(\Upsilon\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Tau\), maka suatu fungsi \(h_0\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_0\) pada \(\Upsilon\) jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan ekspektasi bersyarat dari \(g_0\) pada \(\Upsilon\).

Bukti

(a)-(b) Kita hanya perlu mengamati bahwa

\(\int_Fg_1+g_2d(\mu\restrp\Tau) =\int_Fg_1d(\mu\restrp\Tau)+\int_Fg_2d(\mu\restrp\Tau) =\int_Ff_1d\mu+\int_Ff_2d\mu=\int_Ff_1+f_2d\mu\),

\(\int_Fcg_0d(\mu\restrp\Tau) =c\int_Fg_0d(\mu\restrp\Tau)=c\int_Ff_0d\mu=\int_Fcf_0d\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\).

(c) Jika \(F\in\Tau\), maka

\(\int_Fg_1d(\mu\restrp\Tau)=\int_Ff_1d\mu\le\int_Ff_2d \mu =\int_Fg_2d(\mu\restrp\Tau)\)

untuk setiap \(F\in\Tau\); akibatnya \(g_1\le g_2\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana (131Ha).

(d) Menurut (c), \(\sequencen{g_n}\) tak menurun \(\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana; selain itu,

\(\sup_{n\in\Bbb N}\int g_nd(\mu\restrp\Tau) =\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\mu =\int fd\mu<\infty\).

Menurut Teorema B.Levi, \(g=\lim_{n\to\infty}g_n\) terdefinisi \(\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana, dan

\(\int_Fg\,d(\mu\restrp\Tau) =\lim_{n\to\infty}\int_Fg_nd(\mu\restrp\Tau) =\lim_{n\to\infty}\int_Ff_nd\mu =\int_Ffd\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\), sehingga \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\).

(e) Tetapkan \(f'_n=\inf_{m\ge n}f_m\) dan \(f''_n=\sup_{m\ge n}f_m\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka kita mempunyai

\(-h\leae f'_n\le f_n\le f''_n\leae h\),

dan \(\sequencen{f'_n}\) serta \(\sequencen{f''_n}\) merupakan barisan fungsi yang monoton hampir di mana-mana dan keduanya konvergen hampir di mana-mana ke \(f\). Untuk setiap \(n\), misalkan \(g'_n\) dan \(g''_n\) ekspektasi bersyarat dari \(f'_n\) dan \(f''_n\) pada \(\Tau\). Menurut (c) dan (d), \(\sequencen{g'_n}\) dan \(\sequencen{g''_n}\) merupakan barisan yang monoton hampir di mana-mana dan konvergen hampir di mana-mana ke ekspektasi bersyarat \(g'\) dan \(g''\) dari \(f\). Tentu saja \(g'=g''\,\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana (233Dc). Selain itu, untuk setiap \(n\), \(g'_n\leae g_n\leae g''_n\), sehingga \(\sequencen{g_n}\) konvergen ke \(g'\,\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana, dan \(g=\lim_{n\to\infty}g_n\) terdefinisi hampir di mana-mana serta merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\).

(f) Untuk setiap \(H\in\Tau\),

\(\int_Hg_0\times\chi F\,d(\mu\restrp\Tau) =\int_{H\cap F}g_0d(\mu\restrp\Tau) =\int_{H\cap F}f_0d\mu =\int_Hf_0\times\chi F\,d\mu\).

(g)(i) Jika \(h\) benar-benar sederhana terhadap \((\mu\restrp\Tau)\), katakanlah \(h=\sum_{i=0}^na_i\chi F_i\) dengan \(F_i\in\Tau\) untuk setiap \(i\), maka

\(\int_Fg_0\times h\,d(\mu\restrp\Tau) =\sum_{i=0}^na_i\int_Fg_0\times\chi F_id(\mu\restrp\Tau) =\sum_{i=0}^na_i\int_Ff_0\times\chi F_i\,d\mu =\int_Ff_0\times h\,d\mu\)

untuk setiap \(F\in\Tau\). (ii) Untuk kasus umum, jika \(h\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\restrp\Tau\) dan \(|h(x)|\le M\,\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana, maka terdapat barisan \(\sequencen{h_n}\) dari fungsi-fungsi sederhana terhadap \(\mu\restrp\Tau\) yang konvergen ke \(h\) hampir di mana-mana, dengan \(|h_n(x)|\le M\) untuk setiap \(x\) dan \(n\). Sekarang \(f_0\times h_n\to f_0\times h\) hampir di mana-mana dan \(|f_0\times h_n|\leae M|f_0|\) untuk setiap \(n\), sedangkan \(g_0\times h_n\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_0\times h_n\) untuk setiap \(n\). Jadi, menurut (e), \(\lim_{n\to\infty}g_0\times h_n\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_0\times h\); tetapi fungsi ini sama hampir di mana-mana dengan \(g_0\times h\).

(h) Kita hanya perlu memperhatikan bahwa \(\int_Hg_0d(\mu\restrp\Tau)=\int_Hf_0d\mu\) untuk setiap \(H\in\Upsilon\), sehingga

\[\begin{aligned}\int_Hh_0&d(\mu\restrp\Upsilon)=\int_Hg_0d(\mu\restrp\Tau) \text{ untuk setiap }H\in\Upsilon\\ &\iff\int_Hh_0d(\mu\restrp\Upsilon)=\int_Hf_0d\mu \text{ untuk setiap }H\in\Upsilon.\\\end{aligned}\]

233F Catatan

Tentu saja, masing-masing hasil di atas hampir sepele (meskipun saya kira (e) dan (g) dapat membuat Anda berhenti sejenak untuk berpikir jika diberikan tanpa persiapan sebelumnya). Secara keseluruhan, hasil-hasil tersebut memberi sejumlah sifat yang cukup kuat. Dalam §242 saya akan menyatakannya kembali dengan bahasa yang secara sintaksis lebih langsung, tetapi bertumpu pada tingkat abstraksi yang lebih dalam.

Sebagai ilustrasi tentang daya ekspektasi bersyarat untuk mengejutkan kita, saya menawarkan proposisi berikut, yang bergantung pada konsep fungsi ‘konveks‘.

233G Fungsi konveks

Ingat bahwa suatu fungsi bernilai real \(\phi\) yang didefinisikan pada selang \(I\subseteq\Bbb R\) disebut konveks jika

\(\phi(tb+(1-t)c)\le t\phi(b)+(1-t)\phi(c)\)

setiap kali \(b\), \(c\in I\), dan \(t\in[0,1]\).

Contoh Rumus-rumus \(|x|\), \(x^2\), dan \(e^{\pm x}\pm x\) mendefinisikan fungsi konveks pada \(\Bbb R\); pada \(\ooint{-1,1}\) kita mempunyai \(1/(1-x^2)\); pada \(\ooint{0,\infty}\) kita mempunyai \(1/x\) dan \(x\ln x\); pada \([0,1]\) kita mempunyai fungsi yang bernilai nol pada \(\ooint{0,1}\) dan \(1\) pada \(\{0,1\}\).

233H

Teori umum fungsi konveks bersifat luas sekaligus penting; beberapa sifatnya yang lebih menonjol saya cantumkan dalam 233Xe. Untuk saat ini, lema berikut mencakup apa yang kita perlukan.

Lema Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang terbuka tak kosong (berbatas atau tak berbatas) dan \(\phi:I\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks.

(a) Untuk setiap \(a\in I\) terdapat \(b\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\phi(x)\ge\phi(a)+b(x-a)\) untuk setiap \(x\in I\).

(b) Jika untuk setiap \(q\in I\cap\Bbb Q\) kita mengambil \(b_q\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\phi(x)\ge\phi(q)+b_q(x-q)\) untuk setiap \(x\in I\), maka

\(\phi(x)=\sup_{q\in I\cap\Bbb Q}\phi(q)+b_q(x-q)\)

untuk setiap \(x\in I\).

Bukti

(a) Jika \(c\), \(c'\in I\), dan \(c<a<c'\), maka \(a\) dapat dinyatakan sebagai \(dc+(1-d)c'\) untuk suatu \(d\in\ooint{0,1}\), sehingga \(\phi(a)\le d\phi(c)+(1-d)\phi(c')\) dan

\[\begin{aligned}{\Bover{\phi(a)-\phi(c)}{a-c}} &\le{\Bover{d\phi(c)+(1-d)\phi(c')-\phi(c)}{dc+(1-d)c'-c}} ={\Bover{(1-d)(\phi(c')-\phi(c))}{(1-d)(c'-c)}}\\ &={\Bover{d(\phi(c')-\phi(c))}{d(c'-c)}} ={\Bover{\phi(c')-d\phi(c)-(1-d)\phi(c')}{c'-dc-(1-d)c'}} \le{\Bover{\phi(c')-\phi(a)}{c'-a}}.\\\end{aligned}\]

Ini berarti bahwa

\(b=\sup_{c<a,c\in I}\Bover{\phi(a)-\phi(c)}{a-c}\)

berhingga, dan \(b\le\Bover{\phi(c')-\phi(a)}{c'-a}\) setiap kali \(a<c'\in I\); oleh karena itu, \(\phi(x)\ge\phi(a)+b(x-a)\) untuk setiap \(x\in I\).

(b) Berdasarkan pemilihan \(b_q\), \(\phi(x)\ge\sup_{q\in I\cap\Bbb Q}\phi_q(x)\). Di pihak lain, untuk \(x\in I\) yang diberikan, pilih \(y\in I\) sedemikian sehingga \(x<y\), lalu ambil \(b\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\phi(z)\ge\phi(x)+b(z-x)\) untuk setiap \(z\in I\). Jika \(q\in\Bbb Q\) dan \(x<q<y\), kita mempunyai \(\phi(y)\ge\phi(q)+b_q(y-q)\), sehingga \(b_q\le\bover{\phi(y)-\phi(q)}{y-q}\) dan

\[\begin{aligned}\phi(q)+b_q(x-q) &=\phi(q)-b_q(q-x) \ge\phi(q)-\Bover{\phi(y)-\phi(q)}{y-q}(q-x)\\ &=\Bover{y-x}{y-q}\phi(q)-\Bover{q-x}{y-q}\phi(y) \ge\Bover{y-x}{y-q}(\phi(x)+b(q-x))-\Bover{q-x}{y-q}\phi(y).\\\end{aligned}\]

Sekarang

\[\begin{aligned}\phi(x) &=\lim_{q\downarrow x} \Bover{y-x}{y-q}(\phi(x)+b(q-x))-\Bover{q-x}{y-q}\phi(y)\\ &\le\sup_{q\in\Bbb Q\cap\ooint{x,y}} \Bover{y-x}{y-q}(\phi(x)+b(q-x))-\Bover{q-x}{y-q}\phi(y)\\ &\le\sup_{q\in\Bbb Q\cap\ooint{x,y}}\phi(q)+b_q(x-q) \le\sup_{q\in\Bbb Q\cap I}\phi(q)+b_q(x-q).\\\end{aligned}\]

(c) Dengan menuliskan \(\phi_q(x)=\phi(q)+b_q(x-q)\) untuk setiap \(q\in\Bbb Q\cap I\), setiap \(\phi_q\) merupakan fungsi terukur Borel, dan \(\phi=\sup_{q\in I\cap\Bbb Q}\phi_q\) adalah supremum suatu keluarga terhitung dari fungsi-fungsi terukur Borel, sehingga terukur Borel.

233I Ketaksamaan Jensen

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks.

(a) Andaikan \(f\) dan \(g\) fungsi bernilai real yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\), serta \(g\ge 0\) hampir di mana-mana, \(\int g=1\), dan \(g\times f\) terintegralkan. Maka \(\phi(\int g\times f)\le\int g\times\phi f\), dengan integral di ruas kanan mungkin perlu ditafsirkan sebagai \(\infty\).

(b) Khususnya, jika \(\mu X=1\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\), maka \(\phi(\int f)\le\int\phi f\).

Bukti

(a) Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), ambil \(b_q\) sedemikian sehingga \(\phi(t)\ge\phi_q(t)=\phi(q)+b_q(t-q)\) untuk setiap \(t\in\Bbb R\) (233Ha). Karena \(\phi\) terukur Borel (233Hc), \(\phi f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\) (121H), sehingga \(g\times\phi f\) juga demikian; karena \(g\times\phi f\) terdefinisi hampir di mana-mana dan hampir di mana-mana lebih besar daripada atau sama dengan fungsi terintegralkan \(g\times\phi_0f\), \(\int g\times\phi f\) terdefinisi dalam \(\ocint{-\infty,\infty}\). Sekarang

\[\begin{aligned}\phi_q\bigl(\intop g\times f\bigr) &=\phi(q)+b_q\int g\times f-b_qq\\ &=\int g\times(b_qf+(\phi(q)-b_qq)\chi X) =\int g\times\phi_qf \le\int g\times\phi f,\\\end{aligned}\]

karena \(\int g=1\) dan \(g\ge 0\) hampir di mana-mana. Menurut 233Hb,

\(\phi(\intop g\times f) =\sup_{q\in\Bbb Q}\phi_q(\intop g\times f) \le\int g\times\phi f\).

(b) Ambil \(g\) sebagai fungsi konstan bernilai \(1\).

233J

Bahkan kasus khusus 233Ib dari Ketaksamaan Jensen sudah sangat berguna. Kasus tersebut dapat diperluas sebagai berikut.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan, didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\), sedemikian sehingga komposisi \(\phi f\) juga terintegralkan. Jika \(g\) dan \(h\) masing-masing merupakan ekspektasi bersyarat pada \(\Tau\) dari \(f\) dan \(\phi f\), maka \(\phi g\leae h\). Akibatnya, \(\int\phi g\le\int\phi f\).

233K

Saya memberikan proposisi berikut, suatu pengembangan 233Eg, dalam bentuk yang sangat umum, sebab penerapannya dapat muncul di mana saja.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Andaikan \(f\) suatu fungsi yang \(\mu\)-terintegralkan dan \(h\) suatu fungsi bernilai real yang terukur secara virtual terhadap \((\mu\restrp\Tau)\) dan didefinisikan \((\mu\restrp\Tau)\)-hampir di mana-mana dalam \(X\). Misalkan \(g\) dan \(g_0\) ekspektasi bersyarat dari \(f\) dan \(|f|\) pada \(\Tau\). Maka \(f\times h\) terintegralkan jika dan hanya jika \(g_0\times h\) terintegralkan, dan dalam hal ini \(g\times h\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\times h\) pada \(\Tau\).

Bukti

(a) Andaikan \(h\) suatu fungsi sederhana terhadap \(\mu\restrp\Tau\). Maka tentu \(f\times h\) dan \(g_0\times h\) terintegralkan, dan \(g\times h\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\times h\) seperti dalam 233Eg.

(b) Sekarang andaikan \(f\), \(h\ge 0\). Maka \(g=g_0\ge 0\) hampir di mana-mana (233Ec). Misalkan \(\tilde h\) suatu fungsi nonnegatif yang terukur terhadap \(\Tau\) dan didefinisikan pada seluruh \(X\) sedemikian sehingga \(h\eae\tilde h\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), tetapkan

\[\begin{aligned}h_n(x) &=2^{-n}k\text{ jika }0\le k<4^n \text{ dan }2^{-n}k\le\tilde h(x)<2^{-n}(k+1),\\ &=2^n\text{ jika }\tilde h(x)\ge 2^n.\\\end{aligned}\]

Maka \(h_n\) suatu fungsi sederhana terhadap \((\mu\restrp\Tau)\), sehingga \(g\times h_n\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\times h_n\). Barisan \(\sequencen{f\times h_n}\) dan \(\sequencen{g\times h_n}\) keduanya merupakan barisan tak menurun hampir di mana-mana dari fungsi-fungsi terintegralkan, dengan limit masing-masing \(f\times h\) dan \(g\times h\). Menurut Teorema B.Levi,

\[\begin{aligned}f\times h\text{ terintegralkan} &\iff\,f\times\tilde h\text{ terintegralkan}\\ &\iff\,\sup_{n\in\Bbb N}\int f\times h_n<\infty \iff\,\sup_{n\in\Bbb N}\int g\times h_n<\infty\\ &\text{(karena }\int g\times h_n=\int f\times h_n\text{ untuk setiap }n\text{)}\\ &\iff\,g\times h\text{ terintegralkan} \iff\,g_0\times h\text{ terintegralkan}.\\\end{aligned}\]

Selain itu, dalam hal ini

\[\begin{aligned}\int_Ef\times h &=\int_Ef\times\tilde h =\lim_{n\to\infty}\int_Ef\times h_n\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_Eg\times h_n =\int_Eg\times\tilde h =\int_Eg\times h\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(E\in\Tau\), sedangkan \(g\times h\) terukur secara virtual terhadap \((\mu\restrp\Tau)\), sehingga \(g\times h\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\times h\).

(c) Terakhir, tinjau kasus umum dengan \(f\) terintegralkan dan \(h\) terukur secara virtual. Tetapkan \(f^+=f\vee 0\) dan \(f^-=(-f)\vee 0\), sehingga \(f=f^+-f^-\) dan \(0\le f^+,\,f^-\le|f|\); serupa dengan itu, tetapkan \(h^+=h\vee 0\) dan \(h^-=(-h)\vee 0\). Misalkan \(g_1\) dan \(g_2\) ekspektasi bersyarat dari \(f^+\) dan \(f^-\) pada \(\Tau\). Karena \(0\le f^+\), \(f^-\le|f|\), maka \(0\le g_1\), \(g_2\leae g_0\), sedangkan \(g\eae g_1-g_2\).

Kita melihat bahwa

\[\begin{aligned}f\times h\text{ terintegralkan} &\iff\,|f|\times|h|=|f\times h|\text{ terintegralkan}\\ &\iff\,g_0\times |h|\text{ terintegralkan}\\ &\iff\,g_0\times h\text{ terintegralkan}.\\\end{aligned}\]

Dan dalam hal ini keempat fungsi \(f^+\times h^+,\ldots,f^-\times h^-\) terintegralkan, sehingga

\((g_1-g_2)\times h =g_1\times h^+-g_2\times h^+-g_1\times h^-+g_2\times h^-\)

merupakan ekspektasi bersyarat dari

\(f^+\times h^+-f^-\times h^+-f^+\times h^-+f^-\times h^- =f\times h\).

Karena \(g\times h\eae(g_1-g_2)\times h\), fungsi ini juga merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\times h\), dan selesailah bukti.

Latihan

233X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi nonnegatif yang \(\mu\)-terintegralkan, dan andaikan \(g_n\) suatu ekspektasi bersyarat dari \(f_n\) pada \(\Tau\) untuk setiap \(n\). Andaikan \(f=\liminf_{n\to\infty}f_n\) terintegralkan dan mempunyai ekspektasi bersyarat \(g\). Tunjukkan bahwa \(g\leae\liminf_{n\to\infty}g_n\).

233Xb (b)

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang dan \(\phi:I\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\phi\) konveks jika dan hanya jika \(\{x:x\in I,\,\phi(x)+bx\le c\}\) merupakan selang untuk setiap \(b\), \(c\in\Bbb R\).

233Xc (>c) penting

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang terbuka dan \(\phi:I\to\Bbb R\) suatu fungsi. (i) Tunjukkan bahwa jika \(\phi\) dapat didiferensialkan, maka fungsi tersebut konveks jika dan hanya jika \(\phi'\) tak menurun. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\phi\) kontinu mutlak pada setiap subselang tertutup berbatas dari \(I\), maka \(\phi\) konveks jika dan hanya jika \(\phi'\) tak menurun pada domainnya.

233Xd (d)

Untuk setiap \(r\ge 1\), suatu subhimpunan \(C\) dari \(\BbbR^r\) disebut konveks jika \(tx + (1-t)y\in C\) untuk semua \(x\), \(y\in C\), dan \(t\in[0,1]\). Jika \(C\subseteq\BbbR^r\) konveks, maka suatu fungsi \(\phi:C\to\Bbb R\) disebut konveks jika \(\phi(tx+(1-t)y)\le t\phi(x)+(1-t)\phi(y)\) untuk semua \(x\), \(y\in C\), dan \(t\in[0,1]\).

Misalkan \(C\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan konveks dan \(\phi:C\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) fungsi \(\phi\) konveks; (ii) himpunan \(\{(x,t):x\in C,\,t\in\Bbb R,\,t\ge\phi(x)\}\) konveks dalam \(\BbbR^{r+1}\); (iii) himpunan \(\{x:x\in C,\,\phi(x)+b\dotproduct x\le c\}\) konveks dalam \(\BbbR^r\) untuk setiap \(b\in\BbbR^r\) dan \(c\in\Bbb R\), dengan menuliskan \(b\dotproduct x=\sum_{i=1}^r\beta_i\xi_i\) jika \(b=(\beta_1,\ldots,\beta_r)\) dan \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\).

233Xe (e)

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang dan \(\phi:I\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks.

(i) Tunjukkan bahwa jika \(a\), \(d\in I\), dan \(a<b\le c<d\), maka

\(\Bover{\phi(b)-\phi(a)}{b-a} \le\Bover{\phi(d)-\phi(c)}{d-c}\).

(ii) Tunjukkan bahwa \(\phi\) kontinu pada setiap titik interior \(I\).

(iii) Tunjukkan bahwa salah satu \(\phi\) monoton pada \(I\) atau terdapat \(c\in I\) sedemikian sehingga \(\phi(c)=\min_{x\in I}\phi(x)\), dan \(\phi\) tak menaik pada \(I\cap\ocint{-\infty,c}\) serta monoton tak menurun pada \(I\cap\coint{c,\infty}\).

(iv) Tunjukkan bahwa \(\phi\) dapat didiferensialkan di semua titik \(I\) kecuali pada suatu himpunan titik yang paling banyak terhitung, dan turunannya tak menurun dalam arti bahwa \(\phi'(x)\le\phi'(y)\) setiap kali \(x\), \(y\in\dom\phi'\) dan \(x\le y\).

(v) Tunjukkan bahwa jika \(I\) tertutup dan berbatas serta \(\phi\) kontinu, maka \(\phi\) kontinu mutlak.

(vi) Tunjukkan bahwa jika \(I\) tertutup dan berbatas serta \(\psi:I\to\Bbb R\) kontinu mutlak dengan turunan tak menurun, maka \(\psi\) konveks.

233Xf (f)

Tunjukkan bahwa jika \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang dan \(\phi\), \(\psi:I\to\Bbb R\) fungsi-fungsi konveks, maka \(a\phi+b\psi\) juga konveks untuk setiap \(a\), \(b\ge 0\).

233Xg (g)

Dalam konteks 233K, berikan contoh ketika \(g\times h\) terintegralkan tetapi \(f\times h\) tidak terintegralkan. Petunjuk: ambil \(X\), \(\mu\), dan \(\Tau\) seperti dalam 233Cb, lalu atur agar \(g\) bernilai \(0\).

233Xh (h)

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang dan \(\Phi\) suatu keluarga tak kosong dari fungsi-fungsi konveks bernilai real pada \(I\) sedemikian sehingga \(\psi(x)=\sup_{\phi\in\Phi}\phi(x)\) berhingga untuk setiap \(x\in I\). Tunjukkan bahwa \(\psi\) konveks.

233Y Latihan lanjutan (a)

Jika \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang, suatu fungsi \(\phi:I\to\Bbb R\) disebut konveks-tengah jika \(\phi(\bover{x+y}2)\le\bover12(\phi(x)+\phi(y))\) untuk semua \(x\), \(y\in I\). Tunjukkan bahwa fungsi konveks-tengah yang berbatas pada suatu subselang tak trivial dari \(I\) adalah konveks.

233Yb (b)

Perumum 233Xd ke ruang bernorma sembarang sebagai pengganti \(\BbbR^r\).

233Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\phi\) suatu fungsi konveks bernilai real dengan domain suatu selang \(I\subseteq\Bbb R\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\) sedemikian sehingga \(f(x)\in I\) untuk hampir setiap \(x\in X\) dan \(\phi f\) terintegralkan. Misalkan \(g\) dan \(h\) masing-masing ekspektasi bersyarat pada \(\Tau\) dari \(f\) dan \(\phi f\). Tunjukkan bahwa \(g(x)\in I\) untuk hampir setiap \(x\) dan \(\phi g\leae h\).

233Yd (d)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang berbatas, \(E\subseteq I\) terukur Lebesgue, dan \(\mu E>\bover23\mu I\) dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue, maka untuk setiap \(x\in I\) terdapat \(y\), \(z\in E\) sedemikian sehingga \(z=\bover{x+y}2\). Petunjuk: menurut 134Ya/263A, \(\mu(x+E)+\mu(2E)>\mu(2I)\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f:[0,1]\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks-tengah terukur Lebesgue (definisi: 233Ya), \(a>0\), dan \(E=\{x:x\in[0,1]\), \(a\le f(x)<2a\}\) tidak terabaikan, maka terdapat selang tak trivial \(I\subseteq[0,1]\) sedemikian sehingga \(f(x)>0\) untuk setiap \(x\in I\). Petunjuk: 223B. (iii) Andaikan \(f:[0,1]\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks-tengah sedemikian sehingga \(f\le 0\) hampir di mana-mana dalam \([0,1]\). Tunjukkan bahwa \(f\le 0\) di setiap titik \(\ooint{0,1}\). Petunjuk: untuk setiap \(x\in\ooint{0,1}\), \(\max(f(x-t),f(x+t))\le 0\) untuk hampir setiap \(t\in[0,\min(x,1-x)]\). (iv) Andaikan \(f:[0,1]\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks-tengah terukur Lebesgue sedemikian sehingga \(f(0)=f(1)=0\). Tunjukkan bahwa \(f(x)\le 0\) untuk setiap \(x\in[0,1]\). Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\{x:f(x)\le 0\}\) padat dalam \([0,1]\), gunakan (ii) untuk menunjukkan bahwa himpunan tersebut koterabaikan dalam \([0,1]\), lalu terapkan (iii). (v) Tunjukkan bahwa jika \(I\subseteq\Bbb R\) suatu selang dan \(f:I\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks-tengah terukur Lebesgue, maka fungsi tersebut konveks.

233Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(f:X\to[0,\infty]\) suatu fungsi terukur terhadap \(\Sigma\). Tunjukkan bahwa (i) terdapat suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Tau\), yaitu \(g:X\to[0,\infty]\), sedemikian sehingga \(\int_Fg=\int_Ff\) untuk setiap \(F\in\Tau\) (ii) setiap dua fungsi semacam itu sama hampir di mana-mana.

233Yf (f)

Andaikan \(r\ge 1\) dan \(C\subseteq\BbbR^r\setminus\{0\}\) suatu himpunan konveks. Tunjukkan bahwa terdapat \(b\in\BbbR^r\) tak nol sedemikian sehingga \(\varinnerprod{b}{z}\ge 0\) untuk setiap \(z\in C\). Petunjuk: jika \(r=2\), identifikasikan \(\BbbR^2\) dengan \(\Bbb C\); reduksikan ke kasus ketika \(C\) tidak memuat titik yang real dan negatif; tetapkan \(\theta=\sup\{\arg z:z\in C\}\) dan \(b=-ie^{i\theta}\). Lalu gunakan induksi pada \(r\).

233Yg (g)

Andaikan \(r\ge 1\), \(C\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan konveks, dan \(\phi:C\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks. Tunjukkan bahwa terdapat fungsi \(h:\BbbR^r\to\coint{-\infty,\infty}\) sedemikian sehingga \(\phi(z)=\sup\{h(y)+\varinnerprod{z}{y}:y\in\BbbR^r\}\) untuk setiap \(z\in C\). Petunjuk: coba \(h(y)=\inf\{\phi(z)-\varinnerprod{z}{y}:z\in C\}\), lalu terapkan 233Yf pada suatu translasi dari \(\{(z,t):\phi(z)\le t\}\).

233Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(C\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan konveks. Misalkan \(f_1,\ldots,f_r\) fungsi-fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan dan andaikan \(\{x:x\in\bigcap_{j\le r}\dom f_j\), \((f_1(x),\ldots,f_r(x))\in C\}\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Tunjukkan bahwa \((\int f_1,\ldots,\int f_r)\in C\). Petunjuk: gunakan induksi pada \(r\).

233Yi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, \(C\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan konveks, dan \(\phi:C\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks. Misalkan \(f_1,\ldots,f_r\) fungsi-fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan dan andaikan \(\{x:x\in\bigcap_{j\le r}\dom f_j\), \((f_1(x),\ldots,f_r(x))\in C\}\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Tunjukkan bahwa \(\phi(\int f_1,\ldots,\int f_r)\le\int\phi(f_1,\ldots,f_r)\).

233Yj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dengan \(\mu X>0\), \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, \(C\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan konveks sedemikian sehingga \(tz\in C\) setiap kali \(z\in C\) dan \(t>0\), dan \(\phi:C\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks. Misalkan \(f_1,\ldots,f_r\) fungsi-fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan dan andaikan \(\{x:x\in\bigcap_{j\le r}\dom f_j\), \((f_1(x),\ldots,f_r(x))\in C\}\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Tunjukkan bahwa \((\int f_1,\ldots,\int f_r)\in C\) dan \(\phi(\int f_1,\ldots,\int f_r)\le\int\phi(f_1,\ldots,f_r)\). Petunjuk: dengan menggabungkan 215B(viii) dan 235K di bawah, tunjukkan bahwa terdapat suatu ukuran probabilitas \(\nu\) pada \(X\) dan suatu fungsi \(h:X\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(\int f_jd\mu=\int f_j\times h\,d\nu\) untuk setiap \(j\).

Catatan dan komentar

233-notes Catatan penutup untuk Bagian 233

Konsep ‘ekspektasi bersyarat‘ bersifat fundamental dalam teori probabilitas dan akan muncul kembali dalam konteks alamiahnya pada Bab 27. Namun, bahkan sebagai latihan teknik, saya berharap konsep tersebut akan terasa patut diperhatikan.

Saya memperkenalkan 233E sebagai ‘daftar fakta elementer‘, dan fakta-fakta tersebut memang langsung. Namun, di bawah permukaan terdapat sejumlah gagasan luar biasa yang menunggu untuk diungkapkan. Jika Anda mengambil \(\Tau\) sebagai aljabar trivial \(\{\emptyset,X\}\), sehingga ekspektasi bersyarat (yang unik) dari suatu fungsi terintegralkan \(f\) adalah fungsi konstan \((\int f)\chi X\), maka 233Ed dan 233Ee menjadi versi-versi Teorema B.Levi dan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. (Lema Fatou terdapat dalam 233Xa.) Bahkan 233Eg dapat dipandang sebagai perumuman hasil \(\int cf=c\int f\), dengan konstanta \(c\) diganti oleh fungsi berbatas yang terukur terhadap \(\Tau\). Tema berulang dalam bagian-bagian selanjutnya risalah ini ialah pencarian versi ‘bersyarat‘ dari teorema-teorema. Bukti 233Ee merupakan contoh khas argumen yang diterjemahkan dari bukti hasil ‘tak bersyarat‘ semula.

Saya mengemukakan bahwa 233I-233J mengejutkan, dan menurut saya sebagian besar dari kita memang merasakannya demikian, bahkan ketika hasil-hasil itu diterapkan pada daftar fungsi konveks yang diberikan dalam 233G. Namun, perlu saya nyatakan bahwa dalam satu segi 233J hanya sedikit berkaitan dengan ekspektasi bersyarat. Satu-satunya sifat ekspektasi bersyarat yang digunakan dalam bukti ialah (i) jika \(g\) suatu ekspektasi bersyarat dari \(f\), maka \(a\chi X+bg\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(a\chi X+bf\) untuk semua \(a\), \(b\) real (ii) jika \(g_1\), \(g_2\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_1\), \(f_2\) dan \(f_1\leae f_2\), maka \(g_1\leae g_2\). Lihat 244Xm di bawah. Ketaksamaan Jensen mempunyai perluasan menarik ke kasus multidimensi, yang ditelaah dalam 233Yf-233Yj. Jika Anda pernah menjumpai bentuk ‘geometris‘ Teorema Hahn-Banach (lihat 3A5C dalam Jilid 3), Anda akan mendapati 233Yf dan 233Yg sangat alami, dan mungkin memperhatikan bahwa kasus berdimensi hingga agak berbeda dari kasus berdimensi tak hingga yang mungkin pernah diajarkan kepada Anda. Menurut saya, langkah yang sebenarnya paling pelik terdapat dalam 233Yh.

Perhatikan bahwa 233Ib dapat dipandang sebagai kasus khusus 233J ketika \(\Tau=\{\emptyset,X\}\). Bahkan 233Ia dapat diturunkan dari 233Ib yang diterapkan pada ukuran \(\nu\) dengan \(\nu E=\int_Eg\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Seperti 233B, argumen dalam 233K tampaknya memiliki cukup banyak perincian teknis. Pokok hasil ini ialah bahwa kita dapat menyimpulkan keterintegralan \(f\times h\) dari keterintegralan \(g_0\times h\) (tetapi tidak dari keterintegralan \(g\times h\); lihat 233Xg). Selebihnya seharusnya rutin.