Teorema Radon-Nikodým — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya sampai pada teorema utama bab ini, salah satu hasil sentral teori ukuran, yang menghubungkan fungsional aditif terhitung dengan integral tak tentu. Tujuannya ialah memberikan deskripsi lengkap mengenai fungsional yang dapat muncul sebagai integral tak tentu dari fungsi terintegralkan (232E). Fungsional tersebut dapat dicirikan sebagai fungsional aditif yang ‘kontinu sejati’ (232Ab). Konsep yang lebih lazim digunakan, dan memadai dalam banyak kasus, ialah fungsional aditif ‘kontinu mutlak’ (232Aa); saya menggunakan beberapa paragraf pertama (232B-232D) untuk membahas fakta-fakta elementer mengenai fungsional kontinu sejati dan kontinu mutlak. Bagian ini saya akhiri dengan pembahasan mengenai penguraian fungsional aditif terhitung umum (232I).

232A Fungsional kontinu mutlak

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif hingga.

232Aa (a)

\(\nu\) bersifat kontinu mutlak terhadap \(\mu\) (kadang-kadang ditulis ‘\(\nu\ll\mu\)’) jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|\nu E|\le\epsilon\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E\le\delta\).

232Ab (b)

\(\nu\) bersifat kontinu sejati terhadap \(\mu\) jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(E\in\Sigma\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\mu E\) berhingga dan \(|\nu F|\le\epsilon\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(E\cap F)\le\delta\).

232Ac (c)

Untuk rujukan, saya tambahkan definisi lain di sini. Jika \(\nu\) aditif terhitung, maka ia bersifat singular terhadap \(\mu\) jika terdapat himpunan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F=0\) dan \(\nu E=0\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(E\subseteq X\setminus F\).

232B Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif hingga.

(a) Jika \(\nu\) aditif terhitung, maka ia kontinu mutlak terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\).

(b) \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika (\(\alpha\)) ia aditif terhitung, (\(\beta\)) ia kontinu mutlak terhadap \(\mu\), dan (\(\gamma\)) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\nu E\ne 0\) terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F<\infty\) dan \(\nu(E\cap F)\ne 0\).

(c) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) \(\sigma\)-hingga, maka \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika ia aditif terhitung dan kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

(d) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) hingga total, maka \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika ia kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

Bukti

(a)(i) Jika \(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\) dan \(\mu E=0\), maka \(\mu E\le\delta\) untuk setiap \(\delta>0\), sehingga \(|\nu E|\le\epsilon\) untuk setiap \(\epsilon>0\) dan \(\nu E=0\).

(ii) Andaikan, jika mungkin, bahwa \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\), tetapi \(\nu\) tidak kontinu mutlak. Maka terdapat \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga untuk setiap \(\delta>0\) terdapat \(E\in\Sigma\) dengan \(\mu E\le\delta\) tetapi \(|\nu E|\ge\epsilon\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat memilih \(F_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F_n\le 2^{-n}\) dan \(|\nu F_n|\ge\epsilon\). Tinjau \(F=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{k\ge n}F_k\). Maka

\(\mu F\le\inf_{n\in\Bbb N}\mu(\bigcup_{k\ge n}F_k) \le\inf_{n\in\Bbb N}\sum_{k=n}^{\infty}2^{-k}=0\),

sehingga \(\mu F=0\).

Sekarang ingat bahwa menurut 231Eb terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nu G\ge 0\) jika \(G\in\Sigma\) dan \(G\subseteq H\), serta \(\nu G\le 0\) jika \(G\in\Sigma\) dan \(G\cap H=\emptyset\). Seperti dalam 231F, tetapkan \(\nu_1 G=\nu(G\cap H)\) dan \(\nu_2G=-\nu(G\setminus H)\) untuk \(G\in\Sigma\), sehingga \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) merupakan ukuran hingga total, dan \(\nu_1F=\nu_2F=0\) karena \(\mu(F\cap H)=\mu(F\setminus H)=0\). Akibatnya

\(0=\nu_iF=\lim_{n\to\infty}\nu_i(\bigcup_{m\ge n}F_m) \ge\limsup_{n\to\infty}\nu_iF_n\)

untuk kedua nilai \(i\), dan

\(0=\lim_{n\to\infty}(\nu_1F_n+\nu_2F_n) \ge\liminf_{n\to\infty}|\nu F_n|\ge\epsilon>0\),

yang mustahil.

(b)(i) Andaikan \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\). Dari definisi-definisi tersebut jelas bahwa \(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\). Jika \(\nu E\ne 0\), mesti terdapat \(F\) yang berukuran hingga sedemikian sehingga \(|\nu G|<|\nu E|\) setiap kali \(G\cap F=\emptyset\), sehingga \(|\nu(E\setminus F)|<|\nu E|\) dan \(\nu(E\cap F)\ne 0\). Ini menangani syarat (\(\beta\)) dan (\(\gamma\)).

Untuk memeriksa bahwa \(\nu\) aditif terhitung, misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Sigma\) dengan gabungan \(E\), dan misalkan \(\epsilon>0\). Ambil \(\delta>0\) dan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F<\infty\) dan \(|\nu G|\le\epsilon\) setiap kali \(G\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap G)\le\delta\). Maka

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu(E_n\cap F)\le\mu F<\infty\),

sehingga terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=n}^{\infty}\mu(E_i\cap F)\le\delta\). Ambil sembarang \(m\ge n\) dan tinjau \(E^*_m=\bigcup_{i\le m}E_i\). Kita mempunyai

\(|\nu E-\sum_{i=0}^m\nu E_i| =|\nu E-\nu E^*_m| =|\nu(E\setminus E^*_m)| \le\epsilon\),

karena

\(\mu(F\cap E\setminus E^*_m) =\sum_{i=m+1}^{\infty}\mu(F\cap E_i) \le\delta\).

Karena \(\epsilon\) sembarang,

\(\nu E=\sum_{i=0}^{\infty}\nu E_i\);

karena \(\sequencen{E_n}\) sembarang, \(\nu\) aditif terhitung.

(ii) Sekarang andaikan \(\nu\) memenuhi ketiga syarat tersebut. Menurut 231F, \(\nu\) dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsional aditif terhitung nonnegatif \(\nu_1\), \(\nu_2\); tetapkan \(\nuprime=\nu_1+\nu_2\), sehingga \(\nuprime\) merupakan fungsional aditif terhitung nonnegatif dan \(|\nu F|\le\nuprime F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Tetapkan

\(\gamma=\sup\{\nuprime F:F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\le\nuprime X<\infty\),

dan pilih suatu barisan \(\sequencen{F_n}\) yang terdiri atas himpunan-himpunan berukuran hingga sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\nuprime F_n=\gamma\); tetapkan \(F^*=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\). Jika \(G\in\Sigma\) dan \(G\cap F^*=\emptyset\), maka \(\nu G=0\). Bukti. Jika tidak, menurut syarat (\(\gamma\)), terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F<\infty\) dan \(\nu(G\cap F)\ne 0\). Maka

\(\nuprime(F\setminus F^*)\ge\nuprime(F\cap G)\ge|\nu(F\cap G)|>0\),

dan mesti terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(\gamma<\nuprime F_n+\nuprime(F\setminus F^*)=\nuprime(F_n\cup(F\setminus F^*))\le\nuprime(F\cup F_n)\le\gamma\)

karena \(\mu(F\cup F_n)<\infty\); tetapi ini mustahil. ∎

Dengan menetapkan \(F_n^*=\bigcup_{k\le n}F_k\) untuk setiap \(n\), kita memperoleh \(\lim_{n\to\infty}\nuprime(F^*\setminus F^*_n)=0\). Ambil sembarang \(\epsilon>0\), dan (dengan menggunakan syarat (\(\beta\))) pilih \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|\nu E|\le{1\over 2}\epsilon\) setiap kali \(\mu E\le\delta\). Pilih \(n\) sedemikian sehingga \(\nuprime(F^*\setminus F_n^*)\le\bover12\epsilon\). Sekarang, jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap F^*_n)\le\delta\), maka

\[\begin{aligned}|\nu F| &\le|\nu(F\cap F^*_n)| +|\nu(F\cap F^*\setminus F^*_n)| +|\nu(F\setminus F^*)|\\ &\le\Bover12\epsilon+\nuprime(F\cap F^*\setminus F^*_n)+0\\ &\le\Bover12\epsilon+\nuprime(F^*\setminus F^*_n) \le\Bover12\epsilon+\Bover12\epsilon =\epsilon.\\\end{aligned}\]

Dan \(\mu F^*_n<\infty\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\nu\) kontinu sejati.

(c) Sekarang andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) \(\sigma\)-hingga dan \(\nu\) aditif terhitung serta kontinu mutlak terhadap \(\mu\). Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan tak menurun yang terdiri atas himpunan berukuran hingga dan meliputi \(X\) (211D). Jika \(\nu E\ne 0\), maka \(\lim_{n\to\infty}\nu(E\cap X_n)\ne 0\), sehingga \(\nu(E\cap X_n)\ne 0\) untuk suatu \(n\). Ini menunjukkan bahwa \(\nu\) memenuhi syarat (\(\gamma\)) dalam (b), sehingga kontinu sejati.

Tentu saja, implikasi sebaliknya sudah tercakup dalam (b).

(d) Terakhir, andaikan \(\mu X<\infty\) dan \(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\). Maka ia mesti kontinu sejati, karena kita dapat mengambil \(F=X\) dalam definisi 232Ab.

232C Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\nu\), \(\nuprime\) dua fungsional aditif terhitung pada \(\Sigma\) yang kontinu sejati terhadap \(\mu\). Ambil \(c\in\Bbb R\) dan \(H\in\Sigma\), serta tetapkan \(\nu_HE=\nu(E\cap H)\), seperti dalam 231De. Maka \(\nu+\nuprime\), \(c\nu\), dan \(\nu_H\) semuanya kontinu sejati terhadap \(\mu\), dan \(\nu\) dapat dinyatakan sebagai selisih fungsional-fungsional aditif terhitung nonnegatif yang kontinu sejati terhadap \(\mu\).

Bukti

Misalkan \(\epsilon>0\). Tetapkan \(\eta=\epsilon/(2+|c|)>0\). Maka terdapat \(\delta\), \(\delta'>0\) serta \(E\), \(E'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\), \(\mu E'<\infty\), dan \(|\nu F|\le\eta\) setiap kali \(\mu(F\cap E)\le\delta\), serta \(|\nuprime F|\le\eta\) setiap kali \(\mu(F\cap E')\le\delta'\). Tetapkan \(\delta^*=\min(\delta,\delta')>0\) dan \(E^*=E\cup E'\in\Sigma\); maka

\(\mu E^*\le\mu E+\mu E'<\infty\).

Andaikan \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E^*)\le\delta^*\); maka

\(\mu(F\cap H\cap E)\le\mu(F\cap E)\le\delta^*\le\delta\), \(\mu(F\cap E')\le\delta^*\)

sehingga

\(|(\nu+\nuprime)F|\le|\nu F|+|\nuprime F|\le\eta+\eta\le\epsilon\),

\(|(c\nu)F|=|c||\nu F|\le|c|\eta\le\epsilon\),

\(|\nu_HF|=|\nu(F\cap H)|\le\eta\le\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\nu+\nuprime\), \(c\nu\), dan \(\nu_H\) semuanya kontinu sejati.

Sekarang, dengan mengambil \(H\) dari 231Eb, kita melihat bahwa \(\nu_1=\nu_H\) dan \(\nu_2=-\nu_{X\setminus H}\) kontinu sejati dan tak negatif, serta \(\nu=\nu_1-\nu_2\) merupakan selisih ukuran-ukuran kontinu sejati.

232D Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan. Untuk \(E\in\Sigma\), tetapkan \(\nu E=\int_Ef\). Maka \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) merupakan fungsional aditif terhitung dan kontinu sejati terhadap \(\mu\), sehingga kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

Catatan Fungsional \(E\mapsto\int_Ef\) disebut integral tak tentu dari \(f\).

232E

Kini akhirnya kita siap untuk teorema tersebut.

Teorema Radon-Nikodým Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsi. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) terdapat fungsi \(\mu\)-terintegralkan \(f\) sedemikian sehingga \(\nu E=\int_Ef\) untuk setiap \(E\in\Sigma\);

(ii) \(\nu\) aditif hingga dan kontinu sejati terhadap \(\mu\).

Bukti

(a) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan dan \(\nu E=\int_Ef\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka 232D memberi tahu kita bahwa \(\nu\) aditif hingga dan kontinu sejati.

(b) Untuk arah sebaliknya, andaikan \(\nu\) aditif hingga dan kontinu sejati; perhatikan bahwa (menurut 232B(a-b)) \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\). Pertama-tama, andaikan \(\nu\) nonnegatif dan tak nol.

Dalam hal ini, terdapat fungsi sederhana nonnegatif \(f\) sedemikian sehingga \(\int f>0\) dan \(\int_Ef\le\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Bukti. Misalkan \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nu H>0\); tetapkan \(\epsilon={1\over 3}\nu H>0\). Ambil \(E\in\Sigma\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\nu F\le\epsilon\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\); maka \(\nu(H\setminus E)\le\epsilon\), sehingga \(\nu E\ge\nu(H\cap E)\ge2\epsilon\) dan \(\mu E\ge\mu(H\cap E)>0\). Tetapkan \(\mu_EF=\mu(F\cap E)\) untuk setiap \(F\in\Sigma\); maka \(\mu_E\) merupakan fungsional aditif terhitung pada \(\Sigma\). Tetapkan \(\nuprime=\nu-\alpha\mu_E\), dengan \(\alpha=\epsilon/\mu E\); maka \(\nuprime\) merupakan fungsional aditif terhitung dan \(\nuprime E>0\). Seperti biasa, menurut 231Eb terdapat himpunan \(G\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nuprime F\ge 0\) jika \(F\in\Sigma\), \(F\subseteq G\), tetapi \(\nuprime F\le 0\) jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\cap G=\emptyset\). Karena \(\nuprime(E\setminus G)\le 0\),

\(0<\nuprime E\le\nuprime(E\cap G)\le\nu(E\cap G)\)

dan \(\mu(E\cap G)>0\). Tetapkan \(f={\alpha}\chi(E\cap G)\); maka \(f\) merupakan fungsi sederhana tak negatif dan \(\int f={\alpha}\mu(E\cap G)>0\).

Jika \(F\in\Sigma\), maka \(\nuprime(F\cap G)\ge 0\), yakni

\(\nu(F\cap G)\ge\alpha\mu_E(F\cap G) =\alpha\mu(F\cap E\cap G)=\int_Ff\).

Jadi

\(\nu F\ge\nu(F\cap G)\ge\int_Ff\),

sebagaimana diperlukan. ∎

(c) Dengan tetap mengandaikan bahwa \(\nu\) merupakan fungsional aditif nonnegatif yang kontinu sejati, misalkan \(\Phi\) himpunan fungsi-fungsi sederhana nonnegatif \(f:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int_Ef\le\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\); fungsi konstan \(\tbf{0}\) termasuk dalam \(\Phi\), sehingga \(\Phi\) tidak kosong.

Jika \(f\), \(g\in\Phi\), maka \(f\vee g\in\Phi\), dengan \((f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\) untuk \(x\in X\). Bukti. Tetapkan \(H=\{x:(f-g)(x)\ge 0\}\in\Sigma\); maka \(f\vee g=(f\times\chi H)+(g\times\chi(X\setminus H))\) merupakan fungsi sederhana nonnegatif, dan untuk setiap \(E\in\Sigma\),

\(\int_Ef\vee g=\int_{E\cap H}f+\int_{E\setminus H}g \le\nu(E\cap H)+\nu(E\setminus H)=\nu E\). ∎

Tetapkan

\(\gamma=\sup\{\int f:f\in\Phi\}\le\nu X<\infty\).

Pilih suatu barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\Phi\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int f_n=\gamma\). Untuk setiap \(n\), tetapkan \(g_n=f_0\vee f_1\vee\ldots\vee f_n\); maka \(g_n\in\Phi\) dan \(\int f_n\le\int g_n\le\gamma\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int g_n=\gamma\). Menurut Teorema B.Levi, \(f=\lim_{n\to\infty}g_n\) terintegralkan dan \(\int f=\gamma\). Perhatikan bahwa jika \(E\in\Sigma\), maka

\(\int_Ef=\lim_{n\to\infty}\int_Eg_n\le\nu E\).

Andaikan, jika mungkin, terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\int_Hf\ne\nu H\). Tetapkan

\(\nu_1F=\nu F-\int_Ff\ge 0\)

untuk setiap \(F\in\Sigma\); maka menurut bagian (a) dari bukti ini dan 232C, \(\nu_1\) merupakan fungsional aditif hingga yang kontinu sejati, dan kita mengandaikan bahwa \(\nu_1\ne 0\). Menurut bagian (b) dari bukti ini, terdapat fungsi sederhana nonnegatif \(g\) sedemikian sehingga \(\int_Fg\le\nu_1F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\) dan \(\int g>0\). Ambil \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\int f_n+\int g>\gamma\). Maka \(f_n+g\) merupakan fungsi sederhana nonnegatif dan

\(\int_F(f_n+g)=\int_Ff_n+\int_Fg\le\int_Ff+\int_Fg =\nu F-\nu_1F+\int_Fg\le\nu F\)

untuk setiap \(F\in\Sigma\), sehingga \(f_n+g\in\Phi\), dan

\(\gamma<\int f_n+\int g=\int f_n+g\le\gamma\),

yang mustahil. Jadi \(\int_Hf=\nu H\) untuk setiap \(H\in\Sigma\).

(d) Ini membuktikan teorema untuk \(\nu\) nonnegatif. Untuk \(\nu\) umum, kita hanya perlu mengamati bahwa \(\nu\) dapat dinyatakan sebagai \(\nu_1-\nu_2\), dengan \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) fungsional aditif terhitung nonnegatif yang kontinu sejati, menurut 232C; dengan demikian, terdapat fungsi terintegralkan \(f_1\), \(f_2\) sedemikian sehingga \(\nu_iF=\int_Ff_i\) untuk kedua nilai \(i\) dan setiap \(F\in\Sigma\). Tentu saja, \(f=f_1-f_2\) terintegralkan dan \(\nu F=\int_Ff\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Ini menuntaskan bukti.

232F Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsi. Maka terdapat fungsi \(\mu\)-terintegralkan \(f\) sedemikian sehingga \(\nu E=\int_Ef\) untuk setiap \(E\in\Sigma\) jika dan hanya jika \(\nu\) aditif terhitung dan kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

232G Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur hingga total dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsi. Maka terdapat fungsi \(\mu\)-terintegralkan \(f\) pada \(X\) sedemikian sehingga \(\nu E=\int_Ef\) untuk setiap \(E\in\Sigma\) jika dan hanya jika \(\nu\) aditif hingga dan kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

232H Catatan

(a) Kebanyakan penulis menganggap 232F sudah memadai sebagai ‘Teorema Radon-Nikodým’. Menurut pandangan saya, persoalan mengidentifikasi integral tak tentu cukup penting untuk membenarkan suatu analisis yang berlaku pada semua ruang ukur, sekalipun analisis itu memerlukan konsep baru (konsep fungsional ‘kontinu sejati’).

232Hb (b)

Saya patut memberikan contoh suatu fungsional kontinu mutlak yang tidak kontinu sejati. Berikut ini sebuah contoh sederhana. Misalkan \(X\) sembarang himpunan tak terhitung. Misalkan \(\Sigma\) aljabar-\(\sigma\) terhitung-koterhitung pada \(X\), dan \(\nu\) ukuran terhitung-koterhitung pada \(X\) (211R). Misalkan \(\mu\) pembatasan ke \(\Sigma\) dari ukuran pencacahan pada \(X\). Jika \(\mu E=0\), maka \(E=\emptyset\) dan \(\nu E=0\), sehingga \(\nu\) kontinu mutlak. Namun, untuk setiap \(E\) berukuran hingga kita mempunyai \(\nu(X\setminus E)=1\), sehingga \(\nu\) tidak kontinu sejati. Lihat juga 232Xf(i).

232Hc *(c)

Dalam klasifikasi yang dikembangkan dalam Bab 21, ruang \((X,\Sigma,\mu)\) dari contoh ini agak tidak teratur; misalnya, ruang ini tidak ditentukan secara lokal dan juga tidak dapat dilokalkan, sehingga tidak dapat dilokalkan secara ketat, walaupun lengkap dan semihingga. Dapatkah gejala ini terjadi dalam ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat? Di sini kita berhadapan dengan pertanyaan yang memikat. Andaikan, dalam (b), saya menggunakan gagasan yang sama tetapi dengan \(\Sigma=\Cal PX\). Tidak ada kesulitan dalam mengonstruksi \(\mu\); tetapi dapatkah sekarang terdapat \(\nu\) dengan sifat-sifat yang diperlukan, yakni suatu fungsional aditif terhitung tak nol dari \(\Cal PX\) ke \(\Bbb R\) yang bernilai nol pada semua himpunan hingga? Inilah ‘masalah Banach-Ulam’, yang telah saya bahas secara luas di tempat lain (Fremlin 93), dan yang akan saya tinjau kembali dalam Jilid 5. Pertanyaan ini disinggung lagi dalam 363S di Jilid 3.

232Hd (d)

Seusai Teorema Radon-Nikodým, pertanyaan berikut langsung muncul: untuk \(\nu\) tertentu, seberapa besar variasi yang mungkin terdapat dalam \(f\) yang bersesuaian? Jawabannya cukup langsung: dua fungsi terintegralkan \(f\) dan \(g\) menghasilkan integral tak tentu yang sama jika dan hanya jika keduanya sama hampir di mana-mana (131Hb).

232He (e)

Saya telah menyatakan Teorema Radon-Nikodým dengan fungsi terintegralkan sembarang, dengan maksud menafsirkan ‘keterintegralan’ dalam arti luas, sesuai dengan konvensi Jilid 1. Namun, untuk suatu fungsional aditif terhitung kontinu sejati \(\nu\), kita dapat bertanya apakah dalam suatu pengertian terdapat fungsi terintegralkan kanonik yang mewakilinya. Jawabannya tidak. Tetapi kita tentu tidak perlu mengambil fungsi terintegralkan sembarang dari jenis yang dibahas dalam Bab 12. Jika \(f\) sembarang fungsi terintegralkan, terdapat himpunan koterabaikan \(E\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur, dan kini kita dapat menemukan himpunan terukur koterabaikan \(G\subseteq E\cap\dom f\); jika kita menetapkan \(g(x)=f(x)\) untuk \(x\in G\) dan \(0\) untuk \(x\in X\setminus G\), maka \(f\eae g\), sehingga \(g\) mempunyai integral tak tentu yang sama dengan \(f\) (sebagaimana dicatat dalam (d) tepat di atas), sedangkan \(g\) terukur dan berdomain \(X\). Dengan demikian, kita dapat membuat penghalusan yang sepele tetapi kadang-kadang berguna pada teorema tersebut: jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) aditif hingga serta kontinu sejati terhadap \(\mu\), maka terdapat fungsi \(\Sigma\)-terukur dan \(\mu\)-terintegralkan \(g:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int_Eg=\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

232Hf (f)

Sekarang ada gunanya memperkenalkan suatu definisi umum. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu\) suatu fungsional bernilai \([-\infty,\infty]\) yang didefinisikan pada suatu keluarga subhimpunan \(X\), saya akan mengatakan bahwa suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang dilambangkan dengan \(f\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\) merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\) terhadap \(\mu\) jika \(\int_Efd\mu\) terdefinisi (dalam pengertian 214D) dan sama dengan \(\nu E\) untuk setiap \(E\in\dom\nu\). Dengan demikian, fungsi-fungsi terintegralkan yang disebut \(f\) dalam 232E-232G semuanya merupakan ‘turunan Radon-Nikodým’; kelak kita akan menjumpai contoh-contoh yang kurang teratur.

Jika \(\nu\) suatu ukuran dan \(f\) nonnegatif, \(f\) dapat disebut fungsi kerapatan.

232Hg (g)

Dalam seluruh pembahasan di atas, saya mengandaikan bahwa \(\nu\) didefinisikan pada seluruh domain \(\Sigma\) dari \(\mu\). Namun, dalam beberapa penerapan terpenting, \(\nu\) hanya didefinisikan pada suatu aljabar-\(\sigma\) yang lebih kecil, \(\Tau\). Dalam hal ini kita lazimnya berusaha menerapkan hasil-hasil yang sama dengan \(\mu\restrp\Tau\) sebagai pengganti \(\mu\).

232I

Dekomposisi Lebesgue suatu fungsional aditif terhitung: Proposisi (a) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif terhitung. Maka \(\nu\) mempunyai representasi unik

\(\nu=\nu_s+\nu_{ac}=\nu_s+\nu_{tc}+\nu_e\),

dengan \(\nu_s\) singular terhadap \(\mu\), \(\nu_{ac}\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\), \(\nu_{tc}\) kontinu sejati terhadap \(\mu\), dan \(\nu_e\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\) serta bernilai nol pada setiap himpunan berukuran hingga.

(b) Jika \(X=\BbbR^r\), \(\Sigma\) aljabar himpunan-himpunan Borel dalam \(\BbbR^r\), dan \(\mu\) pembatasan ukuran Lebesgue ke \(\Sigma\), maka \(\nu\) dapat dinyatakan secara unik sebagai \(\nu_p+\nu_{cs}+\nu_{ac}\), dengan \(\nu_{ac}\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\), \(\nu_{cs}\) singular terhadap \(\mu\) dan bernilai nol pada himpunan-himpunan satu titik, serta \(\nu_pE=\sum_{x\in E}\nu_p\{x\}\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Bukti

(a)(i) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(\nu\) nonnegatif. Dalam hal ini, tetapkan

\(\nu_sE=\sup\{\nu(E\cap F):F\in\Sigma,\,\mu F=0\}\),

\(\nu_tE=\sup\{\nu(E\cap F):F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\).

Maka \(\nu_s\) dan \(\nu_t\) keduanya aditif terhitung. Bukti. Jelas bahwa \(\nu_s\emptyset=\nu_t\emptyset=0\). Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Sigma\) dengan gabungan \(E\). Jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F=0\), maka \(\nu(E\cap F)=\sum_{n=0}^{\infty}\nu(E_n\cap F) \le\sum_{n=0}^{\infty}\nu_s(E_n)\); karena \(F\) sembarang, \(\nu_sE\le\sum_{n=0}^{\infty}\nu_sE_n\). Jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\), maka \(\nu(E\cap F)=\sum_{n=0}^{\infty}\nu(E_n\cap F) \le\sum_{n=0}^{\infty}\nu_t(E_n)\); karena \(F\) sembarang, \(\nu_tE\le\sum_{n=0}^{\infty}\nu_tE_n\). Jika \(\epsilon>0\), maka (karena \(\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n=\nu E<\infty\)) terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\sum_{k=n+1}^{\infty}\nu E_k\le\epsilon\). Sekarang, untuk setiap \(k\le n\), terdapat \(F_k\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F_k=0\) dan \(\nu(E_k\cap F_k)\ge\nu_sE_k-{{\epsilon}\over{n+1}}\). Dalam hal ini, \(F=\bigcup_{k\le n}F_k\in\Sigma\), \(\mu F=0\), dan \(\nu_sE\ge\nu(E\cap F) \ge\sum_{k=0}^n\nu(E_k\cap F_k)\ge\sum_{k=0}^n\nu_sE_k-\epsilon \ge\sum_{k=0}^{\infty}\nu_sE_k-2\epsilon\), karena \(\sum_{k=n+1}^{\infty}\nu_sE_k \le\sum_{k=n+1}^{\infty}\nu E_k\le\epsilon\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\nu_sE\ge\sum_{k=0}^{\infty}\nu_sE_k\). Demikian pula, untuk setiap \(k\le n\), terdapat \(F'_k\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F'_k<\infty\) dan \(\nu(E_k\cap F'_k)\ge\nu_tE_k-{{\epsilon}\over{n+1}}\). Dalam hal ini, \(F'=\bigcup_{k\le n}F'_k\in\Sigma\), \(\mu F'<\infty\), dan \(\nu_tE\ge\nu(E\cap F')\ge\sum_{k=0}^n\nu(E_k\cap F'_k) \ge\sum_{k=0}^n\nu_tE_k-\epsilon \ge\sum_{k=0}^{\infty}\nu_tE_k-2\epsilon\), karena \(\sum_{k=n+1}^{\infty}\nu_tE_k \le\sum_{k=n+1}^{\infty}\nu E_k\le\epsilon\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\nu_tE\ge\sum_{k=0}^{\infty}\nu_tE_k\). Dengan menggabungkan hasil-hasil ini, \(\nu_sE=\sum_{n=0}^{\infty}\nu_sE_n\) dan \(\nu_tE=\sum_{n=0}^{\infty}\nu_tE_n\). Karena \(\sequencen{E_n}\) sembarang, \(\nu_s\) dan \(\nu_t\) aditif terhitung. ∎

(ii) Dengan tetap mengandaikan bahwa \(\nu\) nonnegatif, jika kita memilih suatu barisan \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu F_n=0\) untuk setiap \(n\) dan \(\lim_{n\to\infty}\nu F_n=\nu_sX\), maka \(F^*=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) memenuhi \(\mu F^*=0\) dan \(\nu F^*=\nu_sX\); dengan demikian \(\nu_s(X\setminus F^*)=0\), dan \(\nu_s\) singular terhadap \(\mu\) dalam pengertian 232Ac.

Perhatikan bahwa \(\nu_sF=\nu F\) setiap kali \(\mu F=0\). Jadi, jika kita menuliskan \(\nu_{ac}=\nu-\nu_s\), maka \(\nu_{ac}\) merupakan fungsional aditif terhitung dan \(\nu_{ac}F=0\) setiap kali \(\mu F=0\); yakni, \(\nu_{ac}\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\).

Jika kita menuliskan \(\nu_{tc}=\nu_t-\nu_s\), maka \(\nu_{tc}\) merupakan fungsional aditif terhitung nonnegatif; \(\nu_{tc}F=0\) setiap kali \(\mu F=0\), dan jika \(\nu_{tc}E>0\), terdapat himpunan \(F\) dengan \(\mu F<\infty\) dan \(\nu_{tc}(E\cap F)>0\). Jadi, menurut 232Bb, \(\nu_{tc}\) kontinu sejati terhadap \(\mu\). Tetapkan \(\nu_e=\nu-\nu_t=\nu_{ac}-\nu_{tc}\).

Dengan demikian, untuk setiap fungsional aditif terhitung nonnegatif \(\nu\), kita mempunyai representasi

\(\nu=\nu_s+\nu_{ac}\), \(\nu_{ac}=\nu_{tc}+\nu_e\)

dengan \(\nu_s\), \(\nu_{ac}\), \(\nu_{tc}\), dan \(\nu_e\) semuanya fungsional aditif terhitung nonnegatif, \(\nu_s\) singular terhadap \(\mu\), \(\nu_{ac}\) dan \(\nu_e\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\), \(\nu_{tc}\) kontinu sejati terhadap \(\mu\), dan \(\nu_eF=0\) setiap kali \(\mu F<\infty\).

(iii) Untuk fungsional aditif terhitung umum \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\), kita dapat menyatakan \(\nu\) sebagai \(\nuprime-\nu\mskip0.5mu''\), dengan \(\nuprime\) dan \(\nu\mskip0.5mu''\) fungsional aditif terhitung nonnegatif. Jika kita mendefinisikan \(\nuprime_s\), \(\nu_s'',\ldots,\nu_e''\) seperti dalam (i)-(ii), kita memperoleh fungsional-fungsional aditif terhitung

\(\nu_s=\nu_s'-\nu_s''\), \(\nu_{ac}=\nu_{ac}'-\nu_{ac}''\), \(\nu_{tc}=\nu_{tc}'-\nu_{tc}''\), \(\nu_e=\nu_e'-\nu_e''\)

sedemikian sehingga \(\nu_s\) singular terhadap \(\mu\) (jika \(F'\), \(F''\) dipilih sedemikian sehingga

\(\mu F'=\mu F''=\nu_s'(X\setminus F')=\nu_s''(X\setminus F'')=0\),

maka \(\mu(F'\cup F'')=0\) dan \(\nu_sE=0\) setiap kali \(E\subseteq X\setminus(F'\cup F'')\)), \(\nu_{ac}\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\), \(\nu_{tc}\) kontinu sejati terhadap \(\mu\), dan \(\nu_eF=0\) setiap kali \(\mu F<\infty\), sedangkan

\(\nu=\nu_s+\nu_{ac}=\nu_s+\nu_{tc}+\nu_e\).

(iv) Selain itu, dekomposisi-dekomposisi ini unik. Bukti. Jika, misalnya, \(\nu=\tilde\nu_s+\tilde\nu_{ac}\), dengan \(\tilde\nu_s\) singular dan \(\tilde\nu_{ac}\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\), misalkan \(F\), \(\tilde F\) sedemikian sehingga \(\mu F=\mu\tilde F=0\) dan \(\tilde\nu_sE=0\) setiap kali \(E\cap \tilde F=\emptyset\), serta \(\nu_sE=0\) setiap kali \(E\cap F=\emptyset\); maka kita mesti mempunyai \(\nu_{ac}(E\cap(F\cup\tilde F))=\tilde\nu_{ac}(E\cap(F\cup\tilde F))=0\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), sehingga \(\nu_sE=\nu(E\cap(F\cup\tilde F))=\tilde\nu_sE\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Dengan demikian, \(\tilde\nu_s=\nu_s\) dan \(\tilde\nu_{ac}=\nu_{ac}\). Demikian pula, jika \(\nu_{ac}=\tilde\nu_{tc}+\tilde\nu_e\), dengan \(\tilde\nu_{tc}\) kontinu sejati terhadap \(\mu\) dan \(\tilde\nu_eF=0\) setiap kali \(\mu F<\infty\), maka terdapat barisan-barisan \(\sequencen{F_n}\) dan \(\sequencen{\tilde F_n}\) yang terdiri atas himpunan-himpunan berukuran hingga sedemikian sehingga \(\nu_{tc}F=0\) setiap kali \(F\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n=\emptyset\) dan \(\tilde\nu_{tc}F=0\) setiap kali \(F\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}\tilde F_n=\emptyset\). Tuliskan \(F^*=\bigcup_{n\in\Bbb N}(F_n\cup\tilde F_n)\); maka \(\tilde\nu_eE=\nu_eE=0\) setiap kali \(E\subseteq F^*\) dan \(\tilde\nu_{tc}E=\nu_{tc}E=0\) setiap kali \(E\cap F^*=\emptyset\), sehingga \(\nu_eE=\nu_{ac}(E\setminus F^*)=\tilde\nu_eE\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), serta \(\nu_e=\tilde\nu_e\) dan \(\nu_{tc}=\tilde\nu_{tc}\). ∎

(b) Dalam hal ini, \(\mu\) \(\sigma\)-hingga (bdk. 211P), sehingga setiap fungsional aditif terhitung yang kontinu mutlak bersifat kontinu sejati (232Bc), dan kita selalu mempunyai \(\nu_e=0\) serta \(\nu_{ac}=\nu_{tc}\). Di sisi lain, kita mengetahui bahwa semua himpunan satu titik, dan karena itu semua himpunan terhitung, terukur. Dengan demikian, kita mempunyai dekomposisi lebih lanjut \(\nu_s=\nu_p+\nu_{cs}\), dengan suatu himpunan terhitung \(K\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\nu_pE=0\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(E\cap K=\emptyset\), sedangkan \(\nu_{cs}\) singular terhadap \(\mu\) dan bernilai nol pada himpunan-himpunan terhitung. Bukti. (i) Jika \(\nu\ge 0\), tetapkan \(\nu_pE=\sup\{\nu(E\cap K):K\subseteq\BbbR^r\) terhitung\(\}\); persis seperti untuk \(\nu_s\) yang ditangani dalam (a) di atas, \(\nu_p\) aditif terhitung dan terdapat himpunan terhitung \(K\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\nu_pE=\nu(E\cap K)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). (ii) Untuk \(\nu\) umum, kita dapat menyatakan \(\nu\) sebagai \(\nuprime-\nu\mskip0.5mu''\), dengan \(\nuprime\) dan \(\nu\mskip0.5mu''\) nonnegatif, serta menuliskan \(\nu_p=\nu_p'-\nu_p''\). (iii) \(\nu_p\) dicirikan dengan mengatakan bahwa terdapat himpunan terhitung \(K\) sedemikian sehingga \(\nu_pE=\nu(E\cap K)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\) dan \(\nu\{x\}=0\) untuk setiap \(x\in \BbbR^r\setminus K\). (iv) Jadi, jika kita menetapkan \(\nu_{cs}=\nu_s-\nu_p\), maka \(\nu_{cs}\) singular terhadap \(\mu\) dan bernilai nol pada himpunan-himpunan terhitung. ∎

Sekarang, untuk setiap \(E\in\Sigma\),

\(\nu_pE=\nu(E\cap K)=\sum_{x\in K\cap E}\nu\{x\} =\sum_{x\in E}\nu\{x\}\).

Catatan Representasi \(\nu=\nu_p+\nu_{cs}+\nu_{ac}\) dalam (b) adalah dekomposisi Lebesgue dari \(\nu\).

Latihan

232X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif terhitung yang kontinu mutlak terhadap \(\mu\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\); (ii) terdapat suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E_n<\infty\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) dan \(\nu F=0\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(F\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n=\emptyset\).

232Xb (>b) penting

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi terbatas tak menurun dan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian (114Xa). Tunjukkan bahwa \(\mu_g\) kontinu mutlak (secara ekuivalen, kontinu sejati) terhadap ukuran Lebesgue jika dan hanya jika pembatasan \(g\) pada setiap interval tertutup terbatas bersifat kontinu mutlak dalam pengertian 225B.

232Xc (c)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\); misalkan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif terhitung. Misalkan \(\Cal I\) suatu ideal dari \(\Sigma\), yakni suatu subhimpunan dari \(\Sigma\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\emptyset\in\Cal I\), (\(\beta\)) \(E\cup F\in\Cal I\) untuk semua \(E\), \(F\in\Cal I\), dan (\(\gamma\)) jika \(E\in\Sigma\), \(F\in\Cal I\), serta \(E\subseteq F\), maka \(E\in\Cal I\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) mempunyai dekomposisi unik \(\nu=\nu_{\Cal I}+\nuprime_{\Cal I}\), dengan \(\nu_{\Cal I}\) dan \(\nuprime_{\Cal I}\) fungsional aditif terhitung, \(\nuprime_{\Cal I}E=0\) untuk setiap \(E\in\Cal I\), dan setiap kali \(E\in\Sigma\), \(\nu_{\Cal I}E\ne 0\), terdapat \(F\in\Cal I\) sedemikian sehingga \(\nu_{\Cal I}(E\cap F)\ne 0\).

232Xd (>d) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan tak kosong dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa untuk setiap barisan \(\sequencen{\nu_n}\) yang terdiri atas fungsional-fungsional aditif terhitung pada \(\Sigma\), terdapat suatu ukuran peluang \(\mu\) pada \(X\) dengan domain \(\Sigma\) sedemikian sehingga setiap \(\nu_n\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\). Petunjuk: mulailah dengan kasus \(\nu_n\ge 0\).

232Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya (212C). Misalkan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif sedemikian sehingga \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) mempunyai perluasan unik menjadi fungsional aditif \(\hat\nu:\hat\Sigma\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\hat\nu E=0\) setiap kali \(\hat\mu E=0\).

232Xf (f)

Misalkan \(\Cal F\) suatu ultrafilter pada \(\Bbb N\) yang memuat filter \(\{\Bbb N\setminus I:I\subseteq\Bbb N\) berhingga\(\}\) (2A1O). Definisikan \(\nu:\Cal P\Bbb N\to\{0,1\}\) dengan menetapkan \(\nu E=1\) jika \(E\in\Cal F\), dan \(0\) jika \(E\in\Cal P\Bbb N\setminus\Cal F\). (i) Misalkan \(\mu_1\) ukuran pencacahan pada \(\Cal P\Bbb N\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) aditif dan kontinu mutlak terhadap \(\mu_1\), tetapi tidak kontinu sejati. (ii) Definisikan \(\mu_2:\Cal P\Bbb N\to[0,1]\) dengan menetapkan \(\mu_2E=\sum_{n\in E}2^{-n-1}\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) bernilai nol pada himpunan-himpunan yang \(\mu_2\)-terabaikan, tetapi tidak kontinu mutlak terhadap \(\mu_2\).

232Xg (g)

Tuliskan kembali bagian ini dalam konteks fungsional aditif bernilai kompleks.

232Xh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\nu\) serta \(\lambda\) fungsional aditif pada \(\Sigma\), dengan \(\nu\) positif dan aditif terhitung, sehingga \((X,\Sigma,\nu)\) juga suatu ruang ukur. (i) Tunjukkan bahwa jika \(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\) dan \(\lambda\) kontinu mutlak terhadap \(\nu\), maka \(\lambda\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\nu\) kontinu sejati terhadap \(\mu\) dan \(\lambda\) kontinu mutlak terhadap \(\nu\), maka \(\lambda\) kontinu sejati terhadap \(\mu\).

232Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif hingga. Jika \(E\), \(F\), \(H\in\Sigma\) dan \(\mu H<\infty\), tetapkan \(\rho_H(E,F)=\mu(H\cap(E\symmdiff F))\). (i) Tunjukkan bahwa \(\rho_H\) merupakan pseudometrik pada \(\Sigma\) (2A3Fa). (ii) Misalkan \(\frak T\) topologi pada \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\{\rho_H:H\in\Sigma,\,\mu H<\infty\}\) (2A3Fc). Tunjukkan bahwa \(\nu\) kontinu terhadap \(\frak T\) jika dan hanya jika ia kontinu sejati dalam pengertian 232Ab. (\(\frak T\) adalah topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\Sigma\).)

232Yb (b)

Untuk fungsi tak menurun \(F:[a,b]\to\Bbb R\), dengan \(a<b\), misalkan \(\nu_F\) ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa jika kita mendefinisikan \((\nu_F)_{ac}\), dan seterusnya, terhadap ukuran Lebesgue pada \([a,b]\), seperti dalam 232I, maka

\((\nu_F)_p=\nu_{F_p}\), \((\nu_F)_{ac}=\nu_{F_{ac}}\), \((\nu_F)_{cs}=\nu_{F_{cs}}\),

dengan \(F_p\), \(F_{cs}\), dan \(F_{ac}\) didefinisikan seperti dalam 226C.

232Yc (c)

Perluas gagasan dalam (b) ke fungsi umum \(F\) yang bervariasi terbatas.

232Yd (d)

Perluas gagasan-gagasan dalam (b) dan (c) ke interval terbuka, setengah terbuka, dan tak berbatas (bdk. 226Yb).

232Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) versi c.l.d. yang bersesuaian (213E). Misalkan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif yang kontinu sejati terhadap \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) mempunyai perluasan unik menjadi fungsional \(\tilde\nu:\tilde\Sigma\to\Bbb R\) yang kontinu sejati terhadap \(\tilde\mu\).

232Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan. Tunjukkan bahwa integral tak tentu dari \(f\) merupakan satu-satunya fungsional aditif terhitung \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) sedemikian sehingga setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(f(x)\in[a,b]\) untuk hampir setiap \(x\in E\), berlaku \(a\mu E\le\nu E\le b\mu E\).

232Yg (g)

Katakan bahwa dua fungsional aditif terbatas \(\nu_1\), \(\nu_2\) pada suatu aljabar himpunan \(\Sigma\) bersifat saling singular jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(\sup\{|\nu_1F|:F\in\Sigma,\,F\subseteq H\}\le\epsilon\),

\(\sup\{|\nu_2F|:F\in\Sigma,\,F\cap H=\emptyset\} \le\epsilon\).

(i) Tunjukkan bahwa \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) saling singular jika dan hanya jika, dalam bahasa 231Ya-231Yb, \(|\nu_1|\wedge|\nu_2|=0\).

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) dan \(\nu_1\), \(\nu_2\) aditif terhitung, maka keduanya saling singular jika dan hanya jika terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nu_1F=0\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq H\), sedangkan \(\nu_2F=0\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(F\cap H=\emptyset\).

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(\nu_s\), \(\nu_{tc}\), dan \(\nu_e\) didefinisikan dari \(\nu\) dan \(\mu\) seperti dalam 232I, maka setiap pasangan dari ketiganya saling singular.

232Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real nonnegatif yang terintegralkan pada \(X\); misalkan \(\nu\) integral tak tentu dari fungsi tersebut. Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi \(g:X\to\Bbb R\), \(\int g\,d\nu=\int f\times g\,d\mu\), dalam arti bahwa jika salah satu integral ini terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), maka yang lain pun demikian, dan keduanya sama. Petunjuk: mulailah dengan fungsi sederhana \(g\).

232Yi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(f\) suatu fungsi terintegralkan, dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) integral tak tentu dari \(f\). Tunjukkan bahwa \(|\nu|\), sebagaimana didefinisikan dalam 231Ya, merupakan integral tak tentu dari \(|f|\).

232Yj (j)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional aditif terhitung. Tunjukkan bahwa \(\nu\) mempunyai turunan Radon-Nikodým terhadap \(|\nu|\) sebagaimana didefinisikan dalam 231Ya, dan bahwa setiap turunan demikian mempunyai modulus sama dengan \(1\,\,|\nu|\)-hampir di mana-mana.

232Yk (k)

(H.König) Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran pada \(X\) dengan domain yang sama, \(\Sigma\). Untuk \(\alpha\ge 0\) dan \(E\in\Sigma\), tetapkan \((\alpha\mu\wedge\nu)(E) =\inf\{\alpha\mu(E\cap F)+\nu(E\setminus F):F\in\Sigma\}\) (bdk. 112Ya (dahulu 112Yb)). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\); (ii) \(\sup_{\alpha\ge 0}(\alpha\mu\wedge\nu)(E)=\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Catatan dan komentar

232-notes Catatan penutup untuk Bagian 232

Teorema Radon-Nikodým harus termasuk dalam setiap daftar enam teorema terpenting teori ukuran; bukan hanya teoremanya sendiri, melainkan juga teknik-teknik yang diperlukan untuk membuktikannya, merupakan inti bidang ini. Dalam buku saya Fremlin 74, saya membahas berbagai versi yang kurang lebih abstrak dari teorema dan metode tersebut; sebagian di antaranya akan saya tinjau kembali dalam §§327 dan 365 di jilid berikutnya.

Sebagaimana saya menyajikannya di sini, inti pembuktian terbagi antara 231E dan 232E. Saya pikir kita dapat membedakan unsur-unsur berikut. Misalkan \(\nu\) suatu fungsional aditif terhitung.

(i) \(\nu\) terbatas (231Ea).

(ii) \(\nu\) dapat dinyatakan sebagai selisih fungsional-fungsional nonnegatif (231F).

(Saya memberikannya sebagai suatu akibat dari 231Eb, tetapi hasil ini juga dapat dibuktikan dengan metode yang lebih sederhana, seperti dalam 231Ya.)

(iii) Jika \(\nu>0\), terdapat fungsi terintegralkan \(f\) sedemikian sehingga \(0<\nu_f\le\nu\),

dengan menuliskan \(\nu_f\) untuk integral tak tentu dari \(f\). (Pada titik inilah kita benar-benar memerlukan dekomposisi Hahn 231Eb.)

(iv) Himpunan \(\Psi=\{f:\nu_f\le\nu\}\) tertutup terhadap supremum terhitung, sehingga terdapat \(f\in\Psi\) yang memaksimumkan \(\int f\).

(Dalam bagian (b) dari pembuktian 232E, saya berbicara tentang fungsi sederhana; tetapi ini semata-mata untuk menyederhanakan perincian teknis, dan argumen yang sama berlaku jika kita menerapkannya pada \(\Psi\) alih-alih \(\Phi\). Perhatikan penggunaan Teorema B.Levi di sini.)

(v) Ambil \(f\) dari (iv) dan gunakan (iii) untuk menunjukkan bahwa \(\nu-\nu_f=0\).

Setiap langkah (i)-(iv) memerlukan suatu gagasan yang tidak sepele, dan pentingnya teorema ini tidak hanya terletak pada konsekuensi langsungnya yang mengagumkan dalam sisa bab ini dan di tempat lain, melainkan juga pada keserbagunaan dan kekuatan gagasan-gagasan tersebut.

Saya memperkenalkan gagasan fungsional ‘kontinu sejati’ untuk memberikan uraian yang cukup langsung mengenai kedudukan Teorema Radon-Nikodým dalam ruang ukur yang tidak \(\sigma\)-hingga. Tentu saja, pokok utamanya ialah bahwa suatu fungsional kontinu sejati, seperti integral tak tentu, harus terpusat pada bagian ruang yang \(\sigma\)-hingga (232Xa), sehingga 232E, sebagaimana dinyatakan, dapat dengan mudah diturunkan dari bentuk baku 232F. Saya memberanikan diri menggunakan kata ‘sejati’ dalam konteks ini karena jenis kekontinuan ini memang bersesuaian dengan suatu konsep topologis (232Ya).

Ada kemungkinan jebakan dalam definisi fungsional ‘kontinu mutlak’ yang saya berikan. Banyak penulis menggunakan syarat 232Ba sebagai definisi, dengan mengatakan bahwa \(\nu\) kontinu mutlak terhadap \(\mu\) jika \(\nu E=0\) setiap kali \(\mu E=0\). Untuk fungsional aditif terhitung, syarat ini sama dengan perumusan \(\epsilon\)-\(\delta\) dalam 232Aa; tetapi untuk fungsional aditif lain, hal itu tidak harus demikian (232Xf(ii)). Pada umumnya perbedaan tersebut tidak penting, tetapi saya mencatat bahwa dalam 232Bd perbedaan itu sangat penting, karena di sana \(\nu\) tidak diandaikan aditif terhitung.

Dalam 232I saya menguraikan salah satu dari banyak cara untuk menguraikan suatu fungsional aditif terhitung menjadi bagian-bagian saling singular dengan sifat-sifat khusus. Dalam 231Yf-231Yg saya telah menyarankan suatu metode untuk menguraikan fungsional aditif menjadi jumlah suatu bagian aditif terhitung dan suatu bagian ‘aditif hingga murni’. Semua hasil ini mempunyai ungkapan alami dalam kerangka ruang linear terurut dari fungsional-fungsional aditif terbatas pada suatu aljabar (231Yc).