Subruang — Fondasi Teori Ukuran

Dalam §131 saya menjelaskan suatu konstruksi ukuran subruang pada himpunan bagian terukur. Kini tiba waktunya memberikan generalisasi ukuran subruang pada sembarang himpunan bagian dari suatu ruang ukur. Hubungan antara konstruksi ini dan sifat-sifat yang didaftar dalam §211 tidaklah selangsung yang mungkin dibayangkan, dan dalam bagian ini saya berusaha memberikan uraian lengkap tentang apa yang secara umum dapat diharapkan dari subruang. Menurut saya, untuk jilid ini hanya (i) subruang umum dari ruang $\sigma$-hingga dan (ii) subruang terukur dari ruang ukur umum yang akan benar-benar diperlukan, dan keduanya tidak menimbulkan kesulitan; tetapi dalam jilid-jilid selanjutnya kita akan memerlukan teori lengkapnya.

Saya mulai dengan suatu konstruksi umum untuk ‘ukuran subruang’ (214A-214C), beserta uraian tentang integrasi terhadap suatu ukuran subruang (214E-214G); hasil-hasil ini (bersama 131E-131H) memberikan landasan yang kukuh bagi konsep ‘integrasi pada suatu himpunan bagian’ (214D). Saya menyajikan pekerjaan ini dalam keumuman alaminya yang penuh, yang kelak akan mutlak diperlukan, tetapi bahkan untuk ukuran Lebesgue saja penting untuk menyadari gagasan-gagasan di sini. Saya lanjutkan dengan jawaban atas beberapa pertanyaan yang jelas mengenai ukuran subruang dan sifat-sifat ruang ukur yang sejauh ini telah dipertimbangkan, baik untuk subruang umum (214I) maupun subruang terukur (214K), dan saya menyebut suatu konstruksi dasar untuk menyusun ruang-ruang ukur berdampingan, yakni ‘jumlah langsung’ dalam 214L-214M. Pada akhir bagian saya membahas suatu masalah perluasan ukuran (214O-214P).

214A Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $Y$ sembarang himpunan bagian dari $X$. Misalkan $\mu^*$ ukuran luar yang didefinisikan dari $\mu$ (132A-132B), dan tetapkan $\Sigma_Y=\{E\cap Y:E\in\Sigma\}$; misalkan $\mu_Y$ restriksi dari $\mu^*$ pada $\Sigma_Y$. Maka $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ merupakan ruang ukur.

Bukti

(a) Telah saya catat dalam 121A bahwa $\Sigma_Y$ merupakan aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian $Y$.

(b) Tentu saja $\mu_YF\in[0,\infty]$ untuk setiap $F\in\Sigma_Y$.

(c) $\mu_Y\emptyset=\mu^*\emptyset=0$.

(d) Jika $\sequencen{F_n}$ suatu barisan saling lepas dalam $\Sigma_Y$ dengan gabungan $F$, pilih $E_n$, $E'_n$, $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F_n=Y\cap E_n$, $F_n\subseteq E'_n$ dan $\mu_YF_n=\mu E'_n$ untuk setiap $n$, $F\subseteq E$ dan $\mu_YF=\mu E$ (dengan menggunakan 132Aa berulang kali). Tetapkan $G_n=E_n\cap E'_n\cap E\setminus\bigcup_{m<n}E_m$ untuk setiap $n\in\Bbb N$; maka $\sequencen{G_n}$ saling lepas dan $F_n\subseteq G_n\subseteq E'_n$ untuk setiap $n$, sehingga $\mu_YF_n=\mu G_n$. Selain itu $F\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n\subseteq E$, sehingga

$\mu_YF=\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\mu G_n=\sum_{n=0}^{\infty}\mu_YF_n$.

Karena $\sequencen{F_n}$ sembarang, $\mu_Y$ merupakan suatu ukuran.

214B Definisi

Jika $(X,\Sigma,\mu)$ sembarang ruang ukur dan $Y$ sembarang himpunan bagian dari $X$, maka $\mu_Y$, yang didefinisikan seperti dalam 214A, adalah ukuran subruang pada $Y$.

Patut dicatat hal berikut.

214C Lema

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, $\mu_Y$ ukuran subruang pada $Y$, dan $\Sigma_Y$ domainnya. Maka

(a) untuk setiap $F\in\Sigma_Y$, terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F=E\cap Y$ dan $\mu E=\mu_YF$;

(b) untuk setiap $A\subseteq Y$, $A$ terabaikan terhadap $\mu_Y$ jika dan hanya jika ia terabaikan terhadap $\mu$;

(c)(i) jika $A\subseteq X$ koterabaikan terhadap $\mu$, maka $A\cap Y$ koterabaikan terhadap $\mu_Y$;

(ii) jika $A\subseteq Y$ koterabaikan terhadap $\mu_Y$, maka $A\cup(X\setminus Y)$ koterabaikan terhadap $\mu$;

(d) $(\mu_Y)^*$, ukuran luar pada $Y$ yang didefinisikan dari $\mu_Y$, berimpit dengan $\mu^*$ pada $\Cal PY$;

(e) jika $Z\subseteq Y\subseteq X$, maka $\Sigma_Z=(\Sigma_Y)_Z$, yakni aljabar-sigma subruang dari himpunan-himpunan bagian $Z$ yang dipandang sebagai subruang dari $(Y,\Sigma_Y)$, dan $\mu_Z=(\mu_Y)_Z$ adalah ukuran subruang pada $Z$ yang dipandang sebagai subruang dari $(Y,\mu_Y)$;

(f) jika $Y\in\Sigma$, maka $\mu_Y$, sebagaimana didefinisikan di sini, tepat merupakan ukuran subruang pada $Y$ yang didefinisikan dalam 131A-131B; yaitu, $\Sigma_Y=\Sigma\cap\Cal PY$ dan $\mu_Y=\mu\restr\Sigma_Y$.

Bukti

(a) Berdasarkan definisi $\Sigma_Y$, terdapat $E_0\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F=E_0\cap Y$. Berdasarkan 132Aa, terdapat $E_1\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F\subseteq E_1$ dan $\mu^*F=\mu E_1$. Tetapkan $E=E_0\cap E_1$; himpunan ini memenuhi keperluan.

(b)(i) Jika $A$ terabaikan terhadap $\mu_Y$, terdapat suatu himpunan $F\in\Sigma_Y$ sedemikian sehingga $A\subseteq F$ dan $\mu_YF=0$; kini $\mu^*A\le\mu^*F=0$ sehingga $A$ terabaikan terhadap $\mu$, berdasarkan 132Ad. (ii) Jika $A$ terabaikan terhadap $\mu$, terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $A\subseteq E$ dan $\mu E=0$; kini $A\subseteq E\cap Y\in\Sigma_Y$ dan $\mu_Y(E\cap Y)=0$, sehingga $A$ terabaikan terhadap $\mu_Y$.

(c) Jika $A\subseteq X$ koterabaikan terhadap $\mu$, maka $A\cap Y$ koterabaikan terhadap $\mu_Y$, karena $Y\setminus A=Y\cap(X\setminus A)$ terabaikan terhadap $\mu$, dan karena itu terabaikan terhadap $\mu_Y$. Jika $A\subseteq Y$ koterabaikan terhadap $\mu_Y$, maka $A\cup(X\setminus Y)$ koterabaikan terhadap $\mu$ karena $X\setminus(A\cup(X\setminus Y))=Y\setminus A$ terabaikan terhadap $\mu_Y$, dan karena itu terabaikan terhadap $\mu$.

(d) Misalkan $A\subseteq Y$. (i) Jika $A\subseteq E\in\Sigma$, maka $A\subseteq E\cap Y\in\Sigma_Y$, sehingga $\mu_Y^*A\le\mu_Y(E\cap Y)\le\mu E$; karena $E$ sembarang, $\mu_Y^*A\le\mu^*A$. (ii) Jika $A\subseteq F\in\Sigma_Y$, terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F\subseteq E$ dan $\mu_YF=\mu^*F=\mu E$; kini $A\subseteq E$ sehingga $\mu^*A\le\mu E=\mu_YF$. Karena $F$ sembarang, $\mu^*A\le\mu_Y^*A$.

(e) Kesamaan $\Sigma_Z=(\Sigma_Y)_Z$ langsung diperoleh dari definisi $\Sigma_Y$, dan seterusnya; kini

$(\mu_Y)_Z= \mu_Y^*\restr\Sigma_Z=\mu^*\restr\Sigma_Z=\mu_Z$

berdasarkan (d).

(f) Ini elementer, karena $E\cap Y\in\Sigma$ dan $\mu^*(E\cap Y)=\mu(E\cap Y)$ untuk setiap $E\in\Sigma$.

214D Integrasi pada himpunan bagian: Definisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, dan $f$ suatu fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari $X$. Dengan $\int_Y f$ (atau $\int_Y f(x)\mu(dx)$, dan seterusnya) saya maksudkan $\int(f\restrp Y)d\mu_Y$, jika ini ada dalam $[-\infty,\infty]$, dengan mengikuti definisi 214A-214B, 133A, dan 135F, serta mengambil $\dom(f\restrp Y)=Y\cap\dom f$, $(f\restrp Y)(x)=f(x)$ untuk $x\in Y\cap\dom f$. (Bandingkan 131D.)

214E Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y\subseteq X$, dan $f$ suatu fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian $\dom f$ dari $X$.

(a) Jika $f$ dapat diintegralkan terhadap $\mu$ maka $f\restrp Y$ dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$, dan $\int_Y f\le\int f$ jika $f$ nonnegatif.

(b) Jika $\dom f\subseteq Y$ dan $f$ dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$, maka terdapat suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap $\mu$, yakni $\tilde f$ pada $X$, memperluas $f$, sedemikian sehingga $\int_F\tilde f=\int_{F\cap Y}f$ untuk setiap $F\in\Sigma$.

Bukti

(a)(i) Jika $f$ sederhana terhadap $\mu$, ia dapat dinyatakan sebagai $\sum_{i=0}^na_i\chi E_i$, dengan $E_0,\ldots,E_n\in\Sigma$, $a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R$ dan $\mu E_i<\infty$ untuk setiap $i$. Kini $f\restrp Y=\sum_{i=0}^na_i\chi_Y(E_i\cap Y)$, dengan $\chi_Y(E_i\cap Y)=(\chi E_i)\restrp Y$ adalah fungsi indikator dari $E_i\cap Y$ yang dipandang sebagai himpunan bagian dari $Y$; dan setiap $E_i\cap Y$ termasuk dalam $\Sigma_Y$, dengan $\mu_Y(E_i\cap Y)\le\mu E_i<\infty$, sehingga $f\restr Y:Y\to\Bbb R$ sederhana terhadap $\mu_Y$.

Jika $f:X\to \Bbb R$ suatu fungsi sederhana nonnegatif, ia dapat dinyatakan sebagai $\sum_{i=0}^na_i\chi E_i$ dengan $E_0,\ldots,E_n$ himpunan-himpunan saling lepas berukuran hingga (122Cb). Kini $f\restrp Y=\sum_{i=0}^na_i\chi_Y(E_i\cap Y)$ dan

$\int (f\restrp Y)d\mu_Y =\sum_{i=0}^na_i\mu_Y(E_i\cap Y)\le\sum_{i=0}^na_i\mu E_i=\int fd\mu$

karena $a_i\ge 0$ setiap kali $E_i\ne\emptyset$, sehingga $a_i\mu_Y(E_i\cap Y)\le a_i\mu E_i$ untuk setiap $i$.

(ii) Jika $f$ suatu fungsi nonnegatif yang dapat diintegralkan terhadap $\mu$, terdapat suatu barisan tak-menurun $\sequencen{f_n}$ dari fungsi-fungsi sederhana terhadap $\mu$ nonnegatif yang konvergen menuju $f\,\,\mu$-hampir di mana-mana; kini $\sequencen{f_n\restrp Y}$ merupakan suatu barisan tak-menurun dari fungsi-fungsi sederhana terhadap $\mu_Y$ yang meningkat menuju $f\restrp Y\,\,\mu_Y$-hampir di mana-mana (berdasarkan 214Cb), dan

$\sup_{n\in\Bbb N}\int(f_n\restrp Y)d\mu_Y \le\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\mu =\int fd\mu<\infty$,

sehingga $\int(f\restrp Y)d\mu_Y$ ada dan tidak lebih dari $\int fd\mu$.

(iii) Akhirnya, jika $f$ sembarang fungsi bernilai real yang dapat diintegralkan terhadap $\mu$, ia dapat dinyatakan sebagai $f_1-f_2$ dengan $f_1$ dan $f_2$ fungsi-fungsi nonnegatif yang dapat diintegralkan terhadap $\mu$, sehingga $f\restrp Y=(f_1\restrp Y)-(f_2\restrp Y)$ dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$.

(b) Kita katakan bahwa jika $f$ suatu fungsi dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$, maka suatu ‘perluasan penyelubung’ dari $f$ adalah fungsi dapat diintegralkan terhadap $\mu$, $\tilde f$, yang memperluas $f$, bernilai real pada $X\setminus Y$, sedemikian sehingga $\int_F\tilde f=\int_{F\cap Y}f$ untuk setiap $F\in\Sigma$.

(i) Jika $f$ berbentuk $\chi H$, dengan $H\in\Sigma_Y$ dan $\mu_YH<\infty$, ambil $E_0\in\Sigma$ sedemikian sehingga $H=Y\cap E_0$ dan $E_1\in\Sigma$ suatu selubung terukur bagi $H$ (132Ee); maka $E=E_0\cap E_1$ merupakan selubung terukur bagi $H$ dan $H=E\cap Y$. Tetapkan $\tilde f=\chi E$, yang dipandang sebagai fungsi dari $X$ ke $\{0,1\}$. Maka $\tilde f\restrp Y=f$, dan untuk setiap $F\in\Sigma$ kita mempunyai

$\int_F\tilde f=\mu_F(E\cap F)=\mu(E\cap F) =\mu^*(H\cap F)=\mu_{Y\cap F}(H\cap F)=\int_{Y\cap F}f$.

Jadi $\tilde f$ merupakan perluasan penyelubung dari $f$.

(ii) Jika $f$, $g$ fungsi-fungsi dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$ dengan perluasan penyelubung $\tilde f$, $\tilde g$, dan $a$, $b\in\Bbb R$, maka $a\tilde f+b\tilde g$ memperluas $af+bg$ dan

\[\begin{aligned}\int_Fa\tilde f+b\tilde g &=a\int_F\tilde f+b\int_F\tilde g\\ &=a\int_{F\cap Y}f+b\int_{F\cap Y}g =\int_{F\cap Y}af+bg\\\end{aligned}\]

untuk setiap $F\in\Sigma$, sehingga $a\tilde f+b\tilde g$ merupakan perluasan penyelubung dari $af+bg$.

(iii) Dengan menggabungkan (i) dan (ii), kita melihat bahwa setiap fungsi sederhana terhadap $\mu_Y$, $f$, mempunyai suatu perluasan penyelubung.

(iv) Sekarang andaikan $\sequencen{f_n}$ suatu barisan tak-menurun dari fungsi-fungsi sederhana terhadap $\mu_Y$ nonnegatif yang konvergen $\mu_Y$-hampir di mana-mana menuju suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$, yakni $f$. Untuk setiap $n\in\Bbb N$ misalkan $\tilde f_n$ suatu perluasan penyelubung dari $f_n$. Maka $\tilde f_n\leae\tilde f_{n+1}$. Bukti. Jika $F\in\Sigma$ maka

$\int_F\tilde f_n=\int_{F\cap Y}f_n \le\int_{F\cap Y}f_{n+1}=\int_F\tilde f_{n+1}$.

Jadi $\tilde f_n\leae\tilde f_{n+1}$, berdasarkan 131Ha.\ ∎ Selain itu

$\lim_{n\to\infty}\int_F\tilde f_n =\lim_{n\to\infty}\int_{F\cap Y}f_n =\int_{F\cap Y}f$

untuk setiap $F\in\Sigma$. Dengan terlebih dahulu mengambil $F=X$, teorema B. Levi memberi tahu kita bahwa $h=\lim_{n\to\infty}\tilde f_n$ terdefinisi (sebagai fungsi bernilai real) $\mu$-hampir di mana-mana; kini dengan membiarkan $F$ bervariasi, kita mempunyai $\int_Fh=\int_{F\cap Y}f$ untuk setiap $F\in\Sigma$, karena $h\restr F=\lim_{n\to\infty}\tilde f_n\restr F\,\,\mu_F$-hampir di mana-mana. (Tampaknya saya menggunakan 214Cb di sini.) Kini $h\restrp Y=f\,\,\mu_Y$-hampir di mana-mana, sekali lagi berdasarkan 214Cb. Jika kita mendefinisikan $\tilde f$ dengan menetapkan

$\tilde f(x)=f(x)$ untuk $x\in\dom f$, $h(x)$ untuk $x\in\dom h\setminus\dom f$, $0$ untuk $x\in X$ lainnya,

maka $\tilde f$ terdefinisi di seluruh $X$ dan sama dengan $h\,\,\mu$-hampir di mana-mana; sehingga jika $F\in\Sigma$, $\tilde f\restr F$ akan sama dengan $h\restr F\,\,\mu_F$-hampir di mana-mana, dan

$\int_F\tilde f=\int_Fh=\int_{F\cap Y}f$.

Karena $F$ sembarang, $\tilde f$ merupakan perluasan penyelubung dari $f$.

(v) Jadi setiap fungsi dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$ nonnegatif mempunyai suatu perluasan penyelubung. Dengan kembali menggunakan (ii), setiap fungsi dapat diintegralkan terhadap $\mu_Y$ mempunyai suatu perluasan penyelubung, sebagaimana dinyatakan.

214F Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, dan $f$ suatu fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ sedemikian sehingga $\int_Xf$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$. Jika salah satu dari hal berikut berlaku: $Y$ mempunyai ukuran luar penuh dalam $X$ atau $f$ bernilai nol hampir di mana-mana pada $X\setminus Y$, maka $\int_Yf$ terdefinisi dan sama dengan $\int_Xf$.

Bukti

(a) Mula-mula andaikan $f$ nonnegatif, terukur terhadap $\Sigma$, dan terdefinisi di seluruh $X$. Dalam hal ini $f\restrp Y$ terukur terhadap $\Sigma_Y$. Tetapkan $F_{nk}=\{x:x\in X,\,f(x)\ge 2^{-n}k\}$ untuk $k$, $n\in\Bbb N$, $f_n=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi F_{nk}$ untuk $n\in\Bbb N$, sehingga $\sequencen{f_n}$ merupakan barisan tak-menurun dari fungsi-fungsi terukur bernilai real yang konvergen di setiap titik menuju $f$, dan $\int_Xf=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n$. Untuk setiap $n\in\Bbb N$ dan $k\ge 1$,

$\mu_Y(F_{nk}\cap Y)=\mu^*(F_{nk}\cap Y)=\mu F_{nk}$

entah karena $F_{nk}\setminus Y$ terabaikan atau karena $X$ merupakan selubung terukur bagi $Y$. Jadi

\[\begin{aligned}\int_Yf &=\lim_{n\to\infty}\int_Yf_n =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu_Y(F_{nk}\cap Y)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu F_{nk} =\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n =\int_Xf.\\\end{aligned}\]

(b) Sekarang andaikan $f$ nonnegatif, terdefinisi hampir di mana-mana dalam $X$, dan terukur secara virtual terhadap $\mu$. Dalam hal ini terdapat suatu himpunan terukur $E\subseteq\dom f$ yang koterabaikan terhadap $\mu$ sedemikian sehingga $f\restr E$ terukur. Tetapkan $\tilde f(x)=f(x)$ untuk $x\in E$, $0$ untuk $x\in X\setminus E$; maka $\tilde f$ memenuhi syarat-syarat (a) dan $f=\tilde f\,\,\mu$-hampir di mana-mana. Oleh karena itu $f\restrp Y=\tilde f\restrp Y\,\,\mu_Y$-hampir di mana-mana (214Cc), dan

$\int_Yf=\int_Y\tilde f=\int_X\tilde f=\int_Xf$.

(c) Akhirnya, untuk kasus umum, kita dapat menerapkan (b) pada bagian positif dan negatif $f^+$, $f^-$ dari $f$ untuk memperoleh

$\int_Yf=\int_Yf^+-\int_Yf^-=\int_Xf^+-\int_Xf^-=\int_Xf$.

214G Korolari

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, dan $E\in\Sigma$ suatu selubung terukur bagi $Y$. Jika $f$ suatu fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ sedemikian sehingga $\int_Ef$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$, maka $\int_Yf$ terdefinisi dan sama dengan $\int_Ef$.

214H Subruang dan metode Carathéodory

Hasil-hasil teknis mudah berikut kadang-kadang akan berguna.

Lema Misalkan $X$ suatu himpunan, $Y\subseteq X$ suatu himpunan bagian, dan $\theta$ suatu ukuran luar pada $X$.

(a) $\theta_Y=\theta\restrp\Cal PY$ merupakan suatu ukuran luar pada $Y$.

(b) Misalkan $\mu$, $\nu$ berturut-turut merupakan ukuran pada $X$, $Y$ yang didefinisikan dengan metode Carathéodory dari ukuran-ukuran luar $\theta$, $\theta_Y$, dan $\Sigma$, $\Tau$ domainnya; misalkan $\mu_Y$ ukuran subruang pada $Y$ yang diinduksi oleh $\mu$, dan $\Sigma_Y$ domainnya. Maka

(i) $\Sigma_Y\subseteq\Tau$ dan $\nu F\le\mu_YF$ untuk setiap $F\in\Sigma_Y$;

(ii) jika $Y\in\Sigma$ maka $\nu=\mu_Y$;

(iii) jika $\theta=\mu^*$ (yakni, $\theta$ bersifat ‘reguler’) maka $\nu$ memperluas $\mu_Y$;

(iv) jika $\theta=\mu^*$ dan $\theta Y<\infty$ maka $\nu=\mu_Y$.

Bukti

(a) Anda hanya perlu membaca definisi ‘ukuran luar’ (113A).

(b)(i) Andaikan $F\in\Sigma_Y$. Maka himpunan ini berbentuk $E\cap Y$ dengan $E\in\Sigma$. Jika $A\subseteq Y$, maka

$\theta_Y(A\cap F)+\theta_Y(A\setminus F) =\theta(A\cap F)+\theta(A\setminus F) =\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E) =\theta A=\theta_YA$,

sehingga $F\in\Tau$. Kini

$\nu F=\theta_YF=\theta F\le\mu^*F=\mu_YF$.

(ii) Andaikan $F\in\Tau$. Jika $A\subseteq X$, maka

\[\begin{aligned}\theta A &=\theta(A\cap Y)+\theta(A\setminus Y) =\theta_Y(A\cap Y)+\theta(A\setminus Y)\\ &=\theta_Y(A\cap Y\cap F)+\theta_Y(A\cap Y\setminus F) +\theta(A\setminus Y)\\ &=\theta(A\cap F)+\theta(A\cap Y\setminus F)+\theta(A\setminus Y)\\ &=\theta(A\cap F)+\theta((A\setminus F)\cap Y) +\theta((A\setminus F)\setminus Y) =\theta(A\cap F)+\theta(A\setminus F);\\\end{aligned}\]

karena $A$ sembarang, $F\in\Sigma$ dan karena itu $F\in\Sigma_Y$. Selain itu

$\mu_YF=\mu F=\theta F=\theta_YF=\nu F$.

Dengan menggabungkan hal ini dengan (i), kita melihat bahwa $\mu_Y$ dan $\nu$ identik.

(iii) Misalkan $F\in\Sigma_Y$. Maka $F\in\Tau$, berdasarkan (i). Kini $\nu F=\theta F=\mu^*F=\mu_YF$. Karena $F$ sembarang, $\nu$ memperluas $\mu_Y$.

(iv) Sekarang andaikan $F\in\Tau$. Karena $\mu^*Y=\theta Y<\infty$, terdapat selubung-selubung terukur $E_1$, $E_2$ bagi $F$ dan $Y\setminus F$ terhadap $\mu$ (132Ee). Maka

\[\begin{aligned}\theta Y &=\theta_YY =\theta_YF+\theta_Y(Y\setminus F) =\theta F+\theta(Y\setminus F)\\ &=\mu^*F+\mu^*(Y\setminus F) =\mu E_1+\mu E_2\ge\mu(E_1\cup E_2) =\theta(E_1\cup E_2)\ge\theta Y,\\\end{aligned}\]

sehingga $\mu E_1+\mu E_2=\mu(E_1\cup E_2)$ dan

$\mu(E_1\cap E_2)=\mu E_1+\mu E_2-\mu(E_1\cup E_2)=0$.

Karena $\mu$ lengkap (212A) dan $E_1\cap Y\setminus F\subseteq E_1\cap E_2$ terabaikan terhadap $\mu$, himpunan tersebut termasuk dalam $\Sigma$; maka $F=Y\cap(E_1\setminus(E_1\cap Y\setminus F))$ termasuk dalam $\Sigma_Y$. Jadi $\Tau\subseteq\Sigma_Y$; dengan menggabungkan hal ini dengan (iii), kita melihat bahwa $\nu=\mu_Y$.

214I

Sekarang saya beralih ke hubungan antara ukuran subruang dan klasifikasi ruang ukur yang dikembangkan dalam bab ini.

Teorema Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$. Misalkan $\mu_Y$ ukuran subruang pada $Y$ dan $\Sigma_Y$ domainnya.

(a) Jika $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap, atau berhingga total, atau $\sigma$-hingga, atau dapat dilokalkan secara ketat, maka $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ juga demikian. Jika $\langle X_i\rangle_{i\in I}$ suatu dekomposisi $X$ untuk $\mu$, maka $\langle X_i\cap Y\rangle_{i\in I}$ suatu dekomposisi $Y$ untuk $\mu_Y$.

(b) Dengan menuliskan $\hat\mu$ untuk pelengkapan $\mu$, ukuran subruang $\hat\mu_Y=(\hat\mu)_Y$ merupakan pelengkapan $\mu_Y$.

(c) Jika $(X,\Sigma,\mu)$ mempunyai himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, maka $\mu_Y$ semihingga.

(d) Jika $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap dan ditentukan secara lokal, maka $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ lengkap dan semihingga.

(e) Jika $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap, ditentukan secara lokal, dan dapat dapat dilokalkan, maka $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ juga demikian.

Bukti

(a)(i) Andaikan $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap. Jika $A\subseteq U\in\Sigma_Y$ dan $\mu_YU=0$, terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $U=E\cap Y$ dan $\mu E=\mu_YU=0$; kini $A\subseteq E$, sehingga $A\in\Sigma$ dan $A=A\cap Y\in\Sigma_Y$.

(ii) $\mu_YY=\mu^*Y\le\mu X$, sehingga $\mu_Y$ berhingga total jika $\mu$ berhingga total.

(iii) Jika $\sequencen{X_n}$ suatu barisan himpunan berukuran hingga terhadap $\mu$ yang menutupi $X$, maka $\sequencen{X_n\cap Y}$ suatu barisan himpunan berukuran hingga terhadap $\mu_Y$ yang menutupi $Y$. Jadi $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ bersifat $\sigma$-hingga jika $(X,\Sigma,\mu)$ bersifat demikian.

(iv) Andaikan $\langle X_i\rangle_{i\in I}$ suatu dekomposisi $X$ untuk $\mu$. Maka $\langle X_i\cap Y\rangle_{i\in I}$ merupakan dekomposisi $Y$ untuk $\mu_Y$. Bukti.\ Karena $\mu_Y(X_i\cap Y)\le\mu X_i<\infty$ untuk setiap $i$, $\langle X_i\cap Y\rangle_{i\in I}$ merupakan partisi $Y$ menjadi himpunan-himpunan berukuran hingga. Andaikan $U\subseteq Y$ sedemikian sehingga $U_i=U\cap X_i\cap Y\in\Sigma_Y$ untuk setiap $i$. Untuk setiap $i\in I$, pilih $E_i\in\Sigma$ sedemikian sehingga $U_i=E_i\cap Y$ dan $\mu E_i=\mu_YU_i$; tentu saja kita dapat mengandaikan $E_i\subseteq X_i$. Tetapkan $E=\bigcup_{i\in I}E_i$. Maka $E\cap X_i=E_i\in\Sigma$ untuk setiap $i$, sehingga $E\in\Sigma$ dan $\mu E=\sum_{i\in I}\mu E_i$. Kini $U=E\cap Y$, sehingga $U\in\Sigma_Y$ dan

$\mu_YU\le\mu E=\sum_{i\in I}\mu E_i =\sum_{i\in I}\mu_YU_i$.

Di pihak lain, $\mu_YU$ tentu lebih besar dari atau sama dengan $\sum_{i\in I}\mu_YU_i =\sup_{J\subseteq I\text{ berhingga}}\sum_{i\in J}\mu_YU_i$, sehingga keduanya sama. Karena $U$ sembarang, $\langle X_i\cap Y\rangle_{i\in I}$ merupakan dekomposisi $Y$ untuk $\mu_Y$. ∎

Akibatnya $(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ dapat dilokalkan secara ketat jika $(X,\Sigma,\mu)$ dapat dilokalkan secara ketat.

(b) Domain pelengkapan $(\mu_Y)\sphat\mskip5mu$ adalah

\[\begin{aligned}\hat\Sigma_Y &=\{F\symmdiff A:F\in\Sigma_Y,\,A\subseteq Y \text{ bersifat }\mu_Y\text{-terabaikan}\}\\ &=\{(E\cap Y)\symmdiff(A\cap Y):E\in\Sigma,\, A\subseteq X\text{ bersifat }\mu\text{-terabaikan}\}\\ \displaycause{214Cb} &=\{(E\symmdiff A)\cap Y:E\in\Sigma,\, A\text{ bersifat }\mu\text{-terabaikan}\} =\dom\hat\mu_Y.\\\end{aligned}\]

Jika $H\in\hat\Sigma_Y$, maka

$(\mu_Y)\sphat\mskip3mu(H) =\mu_Y^*H=\mu^*H=(\hat\mu)^*H=\hat\mu_YH$,

dengan menggunakan 214Cd untuk langkah kedua dan 212Ea untuk langkah ketiga.

(c) Ambil $U\in\Sigma_Y$ sedemikian sehingga $\mu_YU>0$. Maka terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $\mu E<\infty$ dan $\mu^*(E\cap U)>0$. Bukti. Jika tidak, $E\cap U$ terabaikan terhadap $\mu$ setiap kali $\mu E<\infty$; karena $\mu$ mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, $U$ terabaikan terhadap $\mu$ dan $\mu_YU=\mu^*U=0$. ∎ Kini $E\cap U\in\Sigma_Y$ dan

$0<\mu^*(E\cap U)=\mu_Y(E\cap U)\le\mu E<\infty$.

(d) Berdasarkan (a), $\mu_Y$ lengkap; berdasarkan 213J dan (c) di sini, ukuran tersebut semihingga.

(e) Berdasarkan (d), $\mu_Y$ lengkap dan semihingga. Untuk melihat bahwa ukuran tersebut ditentukan secara lokal, ambil sembarang $U\subseteq Y$ sedemikian sehingga $U\cap V\in\Sigma_Y$ setiap kali $V\in\Sigma_Y$ dan $\mu_YV<\infty$. Berdasarkan 213J dan 213L, terdapat selubung terukur $E$ bagi $U$ terhadap $\mu$; tentu saja $E\cap Y\in\Sigma_Y$.

Saya menyatakan bahwa $\mu(E\cap Y\setminus U)=0$. Bukti. Ambil sembarang $F\in\Sigma$ dengan $\mu F<\infty$. Maka $F\cap U\in\Sigma_Y$, sehingga

$\mu_Y(F\cap E\cap Y)\le\mu(F\cap E)=\mu^*(F\cap U)=\mu_Y(F\cap U)\le\mu_Y(F\cap E\cap Y)$;

dengan demikian $\mu_Y(F\cap E\cap Y)=\mu_Y(F\cap U)$ dan

$\mu^*(F\cap E\cap Y\setminus U) =\mu_Y(F\cap E\cap Y\setminus U)=0$.

Karena $\mu$ lengkap, $\mu(F\cap E\cap Y\setminus U)=0$; karena $\mu$ ditentukan secara lokal dan $F$ sembarang, $\mu(E\cap Y\setminus U)=0$. ∎ Tetapi ini berarti $E\cap Y\setminus U\in\Sigma_Y$ dan $U\in\Sigma_Y$. Karena $U$ sembarang, $\mu_Y$ ditentukan secara lokal.

Untuk melihat bahwa $\mu_Y$ dapat dilokalkan, misalkan $\Cal U$ sembarang keluarga dalam $\Sigma_Y$. Tetapkan

$\Cal E=\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty,\, \mu E=\mu^*(E\cap U)$ untuk suatu $U\in\Cal U\}$,

dan misalkan $G\in\Sigma$ suatu supremum esensial bagi $\Cal E$ dalam $\Sigma$. Saya menyatakan bahwa $G\cap Y$ merupakan supremum esensial bagi $\Cal U$ dalam $\Sigma_Y$. Bukti. (i) \ Jika $U\in\Cal U$ dan $U\setminus(G\cap Y)$ tidak terabaikan, maka (karena $\mu_Y$ semihingga) terdapat $V\in\Sigma_Y$ sedemikian sehingga $V\subseteq U\setminus G$ dan $0<\mu_YV<\infty$. Kini terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $V\subseteq E$ dan $\mu E=\mu^*V$. Kita mempunyai $\mu^*(E\cap U)\ge\mu^*V=\mu E$, sehingga $E\in\Cal E$ dan $E\setminus G$ harus terabaikan; tetapi $V\subseteq E\setminus G$ tidak terabaikan. Jadi $U\setminus(G\cap Y)$ terabaikan untuk setiap $U\in\Cal U$. (ii) Jika $W\in\Sigma_Y$ sedemikian sehingga $U\setminus W$ terabaikan untuk setiap $U\in\Cal U$, nyatakan $W$ sebagai $H\cap Y$ dengan $H\in\Sigma$. Jika $E\in\Cal E$, terdapat $U\in\Cal U$ sedemikian sehingga $\mu E=\mu^*(E\cap U)$; kini $\mu^*(E\cap U\setminus W)=0$, sehingga $\mu E=\mu^*(E\cap U\cap W)\le\mu(E\cap H)$ dan $E\setminus H$ terabaikan. Karena $E$ sembarang, $H$ merupakan batas atas esensial bagi $\Cal E$ dan $G\setminus H$ terabaikan; tetapi ini berarti $G\cap Y\setminus W$ terabaikan. Karena $W$ sembarang, $G\cap Y$ merupakan supremum esensial bagi $\Cal U$. ∎

Karena $\Cal U$ sembarang, $\mu_Y$ dapat dilokalkan.

214J Integral atas dan bawah

Fakta-fakta elementer berikut kadang-kadang berguna.

Proposisi Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $A$ suatu himpunan bagian dari $X$, dan $f$ suatu fungsi bernilai real yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam $X$. Maka

(a) jika salah satu dari hal berikut berlaku: $f$ nonnegatif atau $A$ mempunyai ukuran luar penuh dalam $X$, $\overline{\intop}(f\restr A)d\mu_A\le\overline{\intop}fd\mu$;

(b) jika $A$ mempunyai ukuran luar penuh dalam $X$, $\underline{\int}fd\mu\le\underline{\int}(f\restr A)d\mu_A$.

Bukti

(a)(i) Andaikan $f$ nonnegatif. Jika $\overline{\intop}fd\mu=\infty$, hasilnya sepele. Jika tidak, berdasarkan 133J(a-i) terdapat suatu fungsi yang terintegralkan terhadap $\mu$, yakni $g$, sedemikian sehingga $f\le g\,\,\mu$-hampir di mana-mana dan $\overline{\intop}fd\mu=\int g\,d\mu$. Kini $f\restr A\le g\restr A\,\,\mu_A$-hampir di mana-mana, berdasarkan 214Cb, dan $\int(g\restr A)\,d\mu_A$ terdefinisi serta tidak lebih dari $\int g\,d\mu$, berdasarkan 214Ea; jadi

$\overlineint(f\restr A)d\mu_A\le\int(g\restr A)d\mu_A \le\int g\,d\mu=\overlineint fd\mu$.

(ii) Sekarang andaikan $A$ mempunyai ukuran luar penuh dalam $X$. Jika $g$ sedemikian sehingga $f\le g\,\,\mu$-hampir di mana-mana dan $\int g\,d\mu$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$, maka $f\restr A\le g\restr A\,\,\mu_A$-hampir di mana-mana dan $\int(g\restr A)d\mu_A=\int g\,d\mu$, berdasarkan 214F. Jadi $\overline{\int}(f\restr A)d\mu_A\le\int g\,d\mu$. Karena $g$ sembarang, $\overline{\int}(f\restr A)d\mu_A\le\overline{\int}f\,d\mu$.

(b) Terapkan (a) pada $-f$, dan gunakan 133J(b-iv).

214K Subruang terukur: Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur.

(a) Misalkan $E\in\Sigma$ dan $\mu_E$ ukuran subruang, dengan $\Sigma_E$ sebagai domainnya. Jika $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap, atau berhingga total, atau $\sigma$-hingga, atau dapat dilokalkan secara ketat, atau semihingga, atau dapat dilokalkan, atau ditentukan secara lokal, atau tanpa atom, atau atomik murni, maka $(E,\Sigma_E,\mu_E)$ juga demikian.

(b) Andaikan $\langle X_i\rangle_{i\in I}$ suatu partisi $X$ menjadi himpunan-himpunan terukur (yang tidak harus berukuran hingga) sedemikian sehingga

$\Sigma=\{E:E\subseteq X,\, E\cap X_i\in\Sigma$ untuk setiap $i\in I\}$,

$\mu E=\sum_{i\in I}\mu(E\cap X_i)$ untuk setiap $E\in\Sigma$.

Maka $(X,\Sigma,\mu)$ lengkap, atau dapat dilokalkan secara ketat, atau semihingga, atau dapat dilokalkan, atau ditentukan secara lokal, atau tanpa atom, atau atomik murni, jika dan hanya jika $(X_i,\Sigma_{X_i},\mu_{X_i})$ mempunyai sifat tersebut untuk setiap $i\in I$.

214L Jumlah langsung

Misalkan $\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}$ sembarang keluarga berindeks dari ruang-ruang ukur. Tetapkan $X=\bigcup_{i\in I}(X_i\times\{i\})$; untuk $E\subseteq X$, $i\in I$ tetapkan $E_i=\{x:(x,i)\in E\}$. Tuliskan

$\Sigma =\{E:E\subseteq X,\,E_i\in\Sigma_i$ untuk setiap $i \in I\}$,

$\mu E=\sum_{i\in I}\mu_iE_i$ untuk setiap $E\in\Sigma$.

Maka mudah diperiksa bahwa $(X,\Sigma,\mu)$ merupakan ruang ukur; saya akan menyebutnya jumlah langsung dari keluarga $\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}$. Perhatikan bahwa jika $(X,\Sigma,\mu)$ sembarang ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat, dengan dekomposisi $\familyiI{X_i}$, maka kita mempunyai isomorfisme alami antara $(X,\Sigma,\mu)$ dan jumlah langsung $(X',\Sigma',\mu')=\bigoplus_{i\in I}(X_i,\Sigma_{X_i},\mu_{X_i})$ dari ukuran-ukuran subruang, jika kita memasangkan $(x,i)\in X'$ dengan $x\in X$ untuk setiap $i\in I$ dan $x\in X_i$.

Untuk beberapa sifat elementer (terus terang, saya tidak mengetahui sifat apa pun yang tidak elementer) dari jumlah langsung, lihat 214M dan 214Xh-214Xk.

214M Proposisi

Misalkan $\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}$ suatu keluarga ruang ukur, dengan jumlah langsung $(X,\Sigma,\mu)$. Misalkan $f$ suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari $X$. Untuk setiap $i\in I$, tetapkan $f_i(x)=f(x,i)$ kapan pun $(x,i)\in\dom f$.

(a) $f$ terukur jika dan hanya jika $f_i$ terukur untuk setiap $i\in I$.

(b) Jika $f$ nonnegatif, maka $\int fd\mu=\sum_{i\in I}\int f_id\mu_i$ apabila salah satu ruas terdefinisi dalam $[0,\infty]$.

Bukti

(a) Untuk $a\in\Bbb R$, tetapkan $F_a=\{(x,i):(x,i)\in\dom f,\,f(x,i)\ge a\}$. (i) Jika $f$ terukur, $i\in I$ dan $a\in\Bbb R$, maka terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F_a=E\cap\dom f$; kini

$\{x:f_i(x)\ge a\} =\dom f_i\cap\{x:(x,i)\in E\}$

termasuk dalam aljabar-sigma subruang pada $\dom f_i$ yang diinduksi oleh $\Sigma_i$. Karena $a$ sembarang, $f_i$ terukur. (ii) Jika setiap $f_i$ terukur dan $a\in\Bbb R$, maka untuk setiap $i\in I$ terdapat $E_i\in\Sigma_i$ sedemikian sehingga $\{x:(x,i)\in F_a\}=E_i\cap\dom f_i$; dengan menetapkan $E=\{(x,i):i\in I,\,x\in E_i\}$, himpunan $F_a=\dom f\cap E$ termasuk dalam aljabar-sigma subruang pada $\dom f$. Karena $a$ sembarang, $f$ terukur.

(b)(i) Mula-mula andaikan $f$ terukur dan terdefinisi di seluruh ruang. Tetapkan $F_{nk}=\{(x,i):(x,i)\in X,\,f(x,i)\ge 2^{-n}k\}$ untuk $k$, $n\in\Bbb N$, $g_n=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi F_{nk}$ untuk $n\in\Bbb N$, $F_{nki}=\{x:(x,i)\in F_{nk}\}$ untuk $k$, $n\in\Bbb N$ dan $i\in I$, serta $g_{ni}(x)=g_n(x,i)$ untuk $i\in I$, $x\in X_i$. Maka

\[\begin{aligned}\int fd\mu &=\lim_{n\to\infty}\int g_nd\mu =\sup_{n\in\Bbb N}\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu F_{nk}\\ &=\sup_{n\in\Bbb N}\sum_{k=1}^{4^n}\sum_{i\in I}2^{-n}\mu_i F_{nki} =\sum_{i\in I}\sup_{n\in\Bbb N}\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu_i F_{nki}\\ &=\sum_{i\in I}\sup_{n\in\Bbb N}\int g_{ni}d\mu_i =\sum_{i\in I}\int f_id\mu_i.\\\end{aligned}\]

(ii) Secara umum, jika $\int fd\mu$ terdefinisi, terdapat suatu fungsi terukur $g:X\to\coint{0,\infty}$ dan suatu himpunan terukur koterabaikan $E\subseteq\dom f$ sedemikian sehingga $g=f$ pada $E$. Kini $E_i=\{x:(x,i)\in E\}$ termasuk dalam $\Sigma_i$ untuk setiap $i$, dan $\sum_{i\in I}\mu_i(X_i\setminus E_i)=\mu(X\setminus E)=0$, sehingga $E_i$ koterabaikan terhadap $\mu_i$ untuk setiap $i$. Dengan menetapkan $g_i(x)=g(x,i)$ untuk $x\in X_i$, (i) memberi tahu kita bahwa

$\sum_{i\in I}\int f_id\mu_i =\sum_{i\in I}\int g_id\mu_i=\int g\,d\mu=\int fd\mu$.

(iii) Sebaliknya, jika $\int f_id\mu_i$ terdefinisi untuk setiap $i\in I$, maka untuk setiap $i\in I$ kita dapat menemukan fungsi terukur $g_i:X_i\to\coint{0,\infty}$ dan himpunan terukur koterabaikan terhadap $\mu_i$, $E_i\subseteq\dom f_i$, sedemikian sehingga $g_i=f_i$ pada $E_i$. Dengan menetapkan $g(x,i)=g_i(x)$ untuk $i\in I$, $x\in X_i$, (a) memberi tahu kita bahwa $g$ terukur, sedangkan $g=f$ pada $\{(x,i):i\in I,\,x\in E_i\}$, yang koterabaikan (berdasarkan perhitungan dalam (ii) tepat di atas); jadi

$\int fd\mu=\int g\,d\mu =\sum_{i\in I}\int g_id\mu_i=\sum_{i\in I}\int f_id\mu_i$,

dengan kembali menggunakan (i) untuk langkah tengah.

214N Korolari

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dengan dekomposisi $\familyiI{X_i}$. Jika $f$ suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari $X$, maka

(a) $f$ terukur jika dan hanya jika $f\restr X_i$ terukur untuk setiap $i\in I$,

(b) jika $f\ge 0$, maka $\int f=\sum_{i\in I}\int_{X_i}f$ apabila salah satu ruas terdefinisi dalam $[0,\infty]$.

214O

Saya menyediakan ruang di sini untuk suatu teorema umum yang menuntut cukup banyak dari pembaca. Karena itu, saya perlu mengatakan bahwa saya menyarankan agar teorema ini dilewati pada pembacaan pertama. Teorema ini tidak akan dikutip dalam jilid ini; dalam bentuk lengkapnya di sini, saya tidak memperkirakan akan menggunakannya di bagian mana pun dalam risalah ini; hanya kasus khusus 214Xm yang cukup sering diterapkan; dan buktinya bergantung pada suatu konsep (‘ideal himpunan’) serta suatu teknik (‘induksi transfinit’, bagian (d) dari bukti 214P) yang tidak digunakan di tempat lain dalam jilid ini. Meskipun demikian, ‘perluasan ukuran’ merupakan salah satu tema utama Jilid 4, dan hasil ini dapat membantu memperjelas beberapa pola yang akan muncul di sana.

Lema Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $\Cal I$ suatu ideal dari himpunan-himpunan bagian $X$, yakni suatu keluarga himpunan bagian $X$ sedemikian sehingga $\emptyset\in\Cal I$, $I\cup J\in\Cal I$ untuk semua $I$, $J\in\Cal I$, dan $I\in\Cal I$ setiap kali $I\subseteq J\in\Cal I$. Maka terdapat suatu ukuran $\lambda$ pada $X$ sedemikian sehingga $\Sigma\cup\Cal I\subseteq\dom\lambda$, $\mu E=\lambda E+\sup_{I\in\Cal I}\mu^*(E\cap I)$ untuk setiap $E\in\Sigma$, dan $\lambda I=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$.

Bukti

(a) Misalkan $\Lambda$ himpunan semua $F\subseteq X$ sedemikian sehingga terdapat $E\in\Sigma$ dan suatu $\Cal J\subseteq\Cal I$ terhitung dengan $E\symmdiff F\subseteq\bigcup\Cal J$. Maka $\Lambda$ merupakan suatu aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian $X$ yang memuat $\Sigma\cup\Cal I$. Bukti. $\Sigma\subseteq\Lambda$ karena $E\symmdiff E\subseteq\bigcup\emptyset$ untuk setiap $E\in\Sigma$. $\Cal I\subseteq\Lambda$ karena $\emptyset\symmdiff I\subseteq\bigcup\{I\}$ untuk setiap $I\in\Cal I$. Khususnya, $\emptyset\in\Lambda$. Jika $F\in\Lambda$, misalkan $E\in\Sigma$ dan $\Cal J\subseteq\Cal I$ sedemikian sehingga $\Cal J$ terhitung dan $F\symmdiff E\subseteq\bigcup\Cal J$; maka $(X\setminus F)\symmdiff(X\setminus E)\subseteq\bigcup\Cal J$, sehingga $X\setminus F\in\Lambda$. Jika $\sequencen{F_n}$ suatu barisan dalam $\Lambda$ dengan gabungan $F$, maka untuk setiap $n\in\Bbb N$ pilih $E_n\in\Sigma$, $\Cal J_n\subseteq\Cal I$ sedemikian sehingga $\Cal J_n$ terhitung dan $E_n\symmdiff F_n\subseteq\bigcup\Cal J_n$; maka $E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n$ termasuk dalam $\Sigma$, $\Cal J=\bigcup_{n\in\Bbb N}\Cal J_n$ merupakan himpunan bagian terhitung dari $\Cal I$, dan $E\symmdiff F\subseteq\bigcup\Cal J$, sehingga $F\in\Lambda$. Jadi $\Lambda$ suatu aljabar-sigma. ∎

(b) Untuk $F\in\Lambda$ tetapkan

$\lambda F=\sup\{\mu E:E\in\Sigma$, $E\subseteq F$, $\mu^*(E\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I\}$.

Maka $\lambda$ suatu ukuran. Bukti. Satu-satunya himpunan bagian dari $\emptyset$ adalah $\emptyset$, sehingga $\lambda\emptyset=0$. Misalkan $\sequencen{F_n}$ suatu barisan saling lepas dalam $\Lambda$ dengan gabungan $F$; tetapkan $u=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda F_n$. (i) Jika $E\in\Sigma$, $E\subseteq F$, dan $\mu^*(E\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$, maka untuk setiap $n$ tetapkan $E_n=E\cap F_n$. Karena $\mu^*(E_n\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$, $\mu E_n\le\lambda F_n$ untuk setiap $n$. Kini $\sequencen{E_n}$ saling lepas dan mempunyai gabungan $E$, sehingga

$\mu E =\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda F_n=u$.

Karena $E$ sembarang, $\lambda F\le u$. (ii) Ambil sembarang $\gamma<u$. Untuk $n\in\Bbb N$, tetapkan $\gamma_n=\lambda F_n-2^{-n-1}\min(1,u-\gamma)$ jika $\lambda F_n$ berhingga, dan $\gamma$ jika tidak. Untuk setiap $n$, kita dapat menemukan $E_n\in\Sigma$ sedemikian sehingga $E_n\subseteq F_n$, $\mu^*(E_n\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$, dan $\mu E_n\ge\gamma_n$. Tetapkan $E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n$; maka $E\subseteq F$ dan $E\cap I=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\cap I$ terabaikan terhadap $\mu$ untuk setiap $I\in\Cal I$, sehingga $\lambda F\ge\mu E=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\ge\gamma$. Karena $\gamma$ sembarang, $\lambda F\ge u$. (iii) Karena $\sequencen{F_n}$ sembarang, $\lambda$ suatu ukuran. ∎

(c) Sekarang ambil sembarang $E\in\Sigma$ dan tetapkan $u=\sup_{I\in\Cal I}\mu^*(E\cap I)$. Jika $u=\infty$, tentu saja kita mempunyai $\mu E=\infty=\lambda E+u$. Jika tidak, misalkan $\sequencen{I_n}$ suatu barisan dalam $\Cal I$ sedemikian sehingga $\lim_{n\to\infty}\mu^*(E\cap I_n)=u$; dengan mengganti $I_n$ oleh $\bigcup_{m\le n}I_m$ untuk setiap $n$ jika perlu, kita dapat mengandaikan $\sequencen{I_n}$ tak-menurun. Tetapkan $A=E\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n$; karena $E\cap I_n$ mempunyai ukuran luar berhingga untuk setiap $n$, $A$ dapat ditutupi oleh suatu barisan himpunan berukuran hingga dan mempunyai selubung terukur $H$ terhadap $\mu$ yang termuat dalam $E$ (132Ee). Perhatikan bahwa

$\mu H=\mu^*A=\sup_{n\in\Bbb N}\mu^*(E\cap I_n)=u$

berdasarkan 132Ae.

Tetapkan $G=E\setminus H$. Maka $\mu^*(G\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$. Bukti. Untuk sembarang $n\in\Bbb N$ terdapat $F\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F\supseteq E\cap(I_n\cup I)$ dan $\mu F\le u$; dalam hal ini

$\mu^*(G\cap I)+\mu^*(E\cap I_n) \le\mu(F\setminus H)+\mu(F\cap H)\le u$.

Karena $n$ sembarang, $\mu^*(G\cap I)=0$. ∎ Oleh karena itu

$u+\lambda E\ge\mu H+\mu G=\mu E$.

Di pihak lain, jika $F\in\Sigma$ sedemikian sehingga $F\subseteq E$ dan $\mu^*(F\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$, maka

$\mu^*(E\cap I_n) \le\mu(E\setminus F)+\mu^*(F\cap I_n)=\mu(E\setminus F)$

untuk setiap $n$, sehingga

$u+\mu F\le\mu(E\setminus F)+\mu F=\mu E$;

karena $F$ sembarang, $u+\lambda E\le\mu E$.

(d) Jika $J\in\Cal I$, $F\in\Sigma$, $F\subseteq J$, dan $\mu^*(F\cap I)=0$ untuk setiap $I\in\Cal I$, maka $F\cap J=F$ terabaikan terhadap $\mu$; karena $F$ sembarang, $\lambda J=0$. Jadi $\lambda$ mempunyai semua sifat yang diperlukan.

214P Teorema

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $\Cal A$ suatu keluarga himpunan bagian dari $X$ yang terurut baik oleh relasi $\subseteq$. Maka terdapat suatu perluasan $\mu$ menjadi suatu ukuran $\lambda$ pada $X$ sedemikian sehingga $\lambda(E\cap A)$ terdefinisi dan sama dengan $\mu^*(E\cap A)$ setiap kali $E\in\Sigma$ dan $A\in\Cal A$.

Bukti

(a) Dengan menambahkan $\emptyset$ dan $X$ ke $\Cal A$ jika perlu, kita dapat mengandaikan bahwa $\Cal A$ mempunyai $\emptyset$ sebagai anggota terkecil dan $X$ sebagai anggota terbesar. Berdasarkan 2A1Dg, $\Cal A$ isomorfik, sebagai himpunan terurut, dengan suatu ordinal; karena $\Cal A$ mempunyai anggota terbesar, ordinal ini merupakan ordinal penerus, yang dapat dinyatakan sebagai $\zeta+1$; misalkan $\xi\mapsto A_{\xi}:\zeta+1\to\Cal A$ isomorfisme urutannya, sehingga $\langle A_{\xi}\rangle_{\xi\le\zeta}$ merupakan keluarga himpunan bagian $X$ yang tak-menurun, $A_0=\emptyset$ dan $A_{\zeta}=X$.

(b) Untuk setiap ordinal $\xi\le\zeta$, tuliskan $\mu_{\xi}$ untuk ukuran subruang pada $A_{\xi}$, $\Sigma_{\xi}$ untuk domainnya, dan $\Cal I_{\xi}$ untuk $\bigcup_{\eta<\xi}\Cal PA_{\eta}$. Karena $A_{\eta}\cup A_{\eta'}=A_{\max(\eta,\eta')}$ untuk $\eta$, $\eta'<\xi$, $\Cal I_{\xi}$ merupakan ideal dari himpunan-himpunan bagian $A_{\xi}$. Berdasarkan 214O, kita mempunyai suatu ukuran $\lambda_{\xi}$ pada $A_{\xi}$, dengan domain $\Lambda_{\xi}\supseteq\Sigma_{\xi}\cup\Cal I_{\xi}$, sedemikian sehingga $\mu_{\xi}E=\lambda_{\xi}E+\sup_{I\in\Cal I_{\xi}}\mu_{\xi}^*(E\cap I)$ untuk setiap $E\in\Sigma_{\xi}$ dan $\lambda_{\xi}I=0$ untuk setiap $I\in\Cal I_{\xi}$. Karena setiap anggota $\Cal I_{\xi}$ termuat dalam $A_{\eta}$ untuk suatu $\eta<\xi$, kita mempunyai

$\mu^*(E\cap A_{\xi}) =\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi})+\sup_{\eta<\xi}\mu_{\xi}^*(E\cap A_{\eta}) =\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi})+\sup_{\eta<\xi}\mu^*(E\cap A_{\eta})$

(214Cd) untuk setiap $E\in\Sigma$. Selain itu, tentu saja, $\lambda_{\xi}A_{\eta}=0$ untuk setiap $\eta<\xi$.

(c) Sekarang tetapkan

$\Lambda=\{F:F\subseteq X$, $F\cap A_{\xi}\in\Lambda_{\xi}$ untuk setiap $\xi\le\zeta\}$,

$\lambda F=\sum_{\xi\le\zeta}\lambda_{\xi}(F\cap A_{\xi})$

untuk setiap $F\in\Lambda$. Karena $\Lambda_{\xi}$ suatu aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian $A_{\xi}$ untuk setiap $\xi$, $\Lambda$ suatu aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian $X$; karena setiap $\lambda_{\xi}$ suatu ukuran, $\lambda$ juga demikian. Jika $E\in\Sigma$, maka

$E\cap A_{\xi}\in\Sigma_{\xi}\subseteq\Lambda_{\xi}$

untuk setiap $\xi$, sehingga $E\in\Lambda$. Jika $\eta\le\zeta$, maka untuk setiap $\xi\le\zeta$, berlaku salah satu dari dua hal: $\eta<\xi$ dan

$A_{\eta}\cap A_{\xi}=A_{\eta} \in\Cal I_{\xi}\subseteq\Lambda_{\xi}$

atau $\eta\ge\xi$ dan $A_{\eta}\cap A_{\xi}=A_{\xi}$ termasuk dalam $\Lambda_{\xi}$. Jadi $A_{\eta}\in\Lambda$ untuk setiap $\eta\le\zeta$.

(d) Akhirnya, $\lambda(E\cap A_{\xi})=\mu^*(E\cap A_{\xi})$ setiap kali $E\in\Sigma$ dan $\xi\le\zeta$. Bukti. Jika tidak, karena ordinal $\zeta+1$ terurut baik, terdapat $\xi$ terkecil sedemikian sehingga $\lambda(E\cap A_{\xi})\ne\mu^*(E\cap A_{\xi})$. Karena $A_0=\emptyset$, tentu kita mempunyai $\lambda(E\cap A_0)=\mu^*(E\cap A_0)$ dan $\xi>0$. Perhatikan bahwa jika $\eta>\xi$, maka $\lambda_{\eta}(E\cap A_{\xi})=0$; sehingga

$\lambda(E\cap A_{\xi}) =\sum_{\eta\le\xi}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\xi}\cap A_{\eta}) =\sum_{\eta\le\xi}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta})$.

Kini

\[\begin{aligned}\mu^*(E\cap A_{\xi}) &=\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi})+\sup_{\xi'<\xi}\mu^*(E\cap A_{\xi'})\\ \displaycause{(b) di atas} &=\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi}) +\sup_{\xi'<\xi}\sum_{\eta\le\xi'}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta})\\ \displaycause{karena $\xi$ merupakan ordinal bermasalah pertama} &=\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi}) +\sup_{\xi'<\xi}\sup_{K\subseteq\xi'+1\text{ berhingga}} \sum_{\eta\in K}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta})\\ \displaycause{lihat definisi `jumlah' dalam 112Bd, atau 226A di bawah} &=\lambda_{\xi}(E\cap A_{\xi}) +\sup_{K\subseteq\xi\text{ berhingga}} \sum_{\eta\in K}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta})\\ &=\sup_{K\subseteq\xi+1\text{ berhingga}} \sum_{\eta\in K}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta}) =\sum_{\eta\le\xi}\lambda_{\eta}(E\cap A_{\eta}) \ne\mu^*(E\cap A_{\xi})\\\end{aligned}\]

menurut pemilihan $\xi$; tetapi ini mustahil. ∎

Khususnya,

$\lambda E=\lambda(E\cap A_{\zeta})=\mu^*(E\cap A_{\zeta}) =\mu E$

untuk setiap $E\in\Sigma$. Ini menyelesaikan bukti teorema.

214Q Proposisi

Andaikan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur tanpa atom dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$ sedemikian sehingga ukuran subruang $\mu_Y$ semihingga. Maka $\mu_Y$ tanpa atom.

Latihan

214X Latihan dasar (a)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan. Tunjukkan bahwa terdapat $E\in\Sigma$ sedemikian sehingga ukuran subruang $\mu_E$ atomik murni dan $\mu_{X\setminus E}$ tanpa atom.

214Xb (b)

Misalkan $X$ suatu himpunan, $\theta$ suatu ukuran luar reguler pada $X$, dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$. Misalkan $\mu$ ukuran pada $X$ yang didefinisikan dengan metode Carathéodory\ dari $\theta$, $\mu_Y$ ukuran subruang pada $Y$, dan $\nu$ ukuran pada $Y$ yang didefinisikan dengan metode Carathéodory dari $\theta\restrp\Cal PY$. Tunjukkan bahwa jika $\mu_Y$ ditentukan secara lokal (khususnya, jika $\mu$ ditentukan secara lokal dan dapat dapat dilokalkan), maka $\nu=\mu_Y$.

214Xc (c)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur yang dapat dapat dilokalkan, dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$ sedemikian sehingga ukuran subruang $\mu_Y$ semihingga. Tunjukkan bahwa $\mu_Y$ dapat dapat dilokalkan.

214Xd (>d) penting

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$ sedemikian sehingga ukuran subruang $\mu_Y$ semihingga. (i) Tunjukkan bahwa suatu himpunan $F\subseteq Y$ merupakan atom bagi $\mu_Y$ jika dan hanya jika berbentuk $E\cap Y$ dengan $E$ suatu atom bagi $\mu$. (ii) Tunjukkan bahwa jika $\mu$ murni atomik, maka $\mu_Y$ juga demikian.

214Xe (e)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur yang dapat dapat dilokalkan, dan $Y$ sembarang himpunan bagian dari $X$. Tunjukkan bahwa versi c.l.d. dari ukuran subruang pada $Y$ dapat dilokalkan.

214Xf (f)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dengan himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, dan $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, dengan ukuran subruangnya $\mu_Y$. Tunjukkan bahwa $\mu_Y$ mempunyai himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal.

214Xg (>g) penting

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa $(X,\Sigma,\mu)$ mempunyai himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal jika dan hanya jika ukuran subruang $\mu_Y$ semihingga untuk setiap $Y\subseteq X$.

214Xh (>h) penting

Misalkan $\langle (X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}$ suatu keluarga ruang ukur, dengan jumlah langsung $(X,\Sigma,\mu)$ (214L). Tetapkan $X'_i=X_i\times\{i\}\subseteq X$ untuk setiap $i\in I$. Tunjukkan bahwa $X'_i$, dengan ukuran subruangnya, isomorfik dengan $(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$. Dalam keadaan apa $\langle X'_i\rangle_{i\in I}$ merupakan dekomposisi $X$? Tunjukkan bahwa $\mu$ lengkap, atau dapat dilokalkan secara ketat, atau dapat dilokalkan, atau ditentukan secara lokal, atau semihingga, atau tanpa atom, atau atomik murni, jika dan hanya jika setiap $\mu_i$ demikian. Tunjukkan bahwa suatu ruang ukur dapat dilokalkan secara ketat jika dan hanya jika ruang tersebut isomorfik dengan suatu jumlah langsung dari ruang-ruang berhingga total.

214Xi (>i) penting

Misalkan $\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}$ suatu keluarga ruang ukur, dan $(X,\Sigma,\mu)$ jumlah langsungnya. Tunjukkan bahwa pelengkapan $(X,\Sigma,\mu)$ dapat diidentifikasi dengan jumlah langsung dari pelengkapan ruang-ruang $(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$, dan bahwa versi c.l.d.\ dari $(X,\Sigma,\mu)$ dapat diidentifikasi dengan jumlah langsung dari versi-versi c.l.d. ruang $(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$.

214Xj (j)

Misalkan $\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}$ suatu keluarga ruang ukur. Tunjukkan bahwa jumlah langsungnya mempunyai himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal jika dan hanya jika setiap $\mu_i$ mempunyainya.

214Xk (k)

Misalkan $\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}$ suatu keluarga ruang ukur, dan $(X,\Sigma,\mu)$ jumlah langsungnya. Tunjukkan bahwa $(X,\Sigma,\mu)$ mempunyai sifat selubung terukur (213Xl) jika dan hanya jika setiap $(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$ mempunyainya.

214Xl (l)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, $Y$ suatu himpunan bagian dari $X$, dan $f:X\to[0,\infty]$ suatu fungsi sedemikian sehingga $\int_Yf$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$. Tunjukkan bahwa $\int_Yf=\overline{\int}f\times\chi Y\,d\mu$.

214Xm (>m) penting

Tuliskan bukti langsung untuk 214P dalam kasus khusus ketika $\Cal A=\{A\}$. (Petunjuk\/: untuk $E$, $F\in\Sigma$,

$\lambda((E\cap A)\cup(F\setminus A)) =\mu^*(E\cap A)+\sup\{\mu G:G\in\Sigma$, $G\subseteq F\setminus A\}$.)

214Xn (>n) penting

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dan $\Cal A$ suatu keluarga berhingga dari himpunan-himpunan bagian $X$. Tunjukkan bahwa terdapat suatu ukuran pada $X$, yang memperluas $\mu$, dan mengukur setiap anggota $\Cal A$.

214Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dan $A$ suatu himpunan bagian dari $X$ sedemikian sehingga ukuran subruang pada $A$ semihingga. Tetapkan $\alpha=\sup\{\mu E:E\in\Sigma$, $E\subseteq A\}$. Tunjukkan bahwa jika $\alpha\le\gamma\le\mu^*A$, maka terdapat suatu ukuran $\lambda$ pada $X$, yang memperluas $\mu$, sedemikian sehingga $\lambda A=\gamma$.

214Yb (b)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur dan $\family{n}{\Bbb Z}{A_n}$ suatu barisan dua-arah dari himpunan-himpunan bagian $X$ sedemikian sehingga $A_m\subseteq A_n$ setiap kali $m\le n$ dalam $\Bbb Z$. Tunjukkan bahwa terdapat suatu ukuran pada $X$, yang memperluas $\mu$, dan mengukur setiap $A_n$. Petunjuk: gunakan 214P dua kali.

214Yc (c)

Misalkan $X$ suatu himpunan dan $\Cal A$ suatu keluarga himpunan bagian dari $X$. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) untuk setiap ukuran $\mu$ pada $X$, terdapat suatu ukuran pada $X$ yang memperluas $\mu$ dan mengukur setiap anggota $\Cal A$; (ii) untuk setiap ukuran berhingga total $\mu$ pada $X$, terdapat suatu ukuran pada $X$ yang memperluas $\mu$ dan mengukur setiap anggota $\Cal A$. Petunjuk: 213Xa.

214Yd (d)

Untuk latihan ini saja, saya akan mengatakan bahwa suatu ukuran $\mu$ pada suatu himpunan $X$ bersifat tak pernah mengukur semua jika, setiap kali $A\subseteq X$ tidak terabaikan terhadap $\mu$, terdapat suatu himpunan bagian dari $A$ yang tidak diukur oleh ukuran subruang pada $A$. Tunjukkan bahwa jika $X$ suatu himpunan dan $\mu_0,\ldots,\mu_n$ merupakan ukuran lengkap berhingga total yang tak pernah mengukur semua pada $X$, maka terdapat himpunan-himpunan saling lepas $A_0,\ldots,A_n\subseteq X$ sedemikian sehingga $\mu_i^*A_i=\mu_iX$ untuk setiap $i\le n$. Petunjuk: mulailah dengan kasus $n=1$, $\mu_0=\mu_1$.

Catatan dan komentar

214-notes Catatan penutup untuk Bagian 214

Saya menguraikan bagian pertama dari bagian ini, hingga 214H, secara perlahan dan cermat, karena meskipun tidak satu pun argumennya mendalam (214Eb merupakan yang terpanjang), pola yang dibentuk oleh hasil-hasil tersebut tidak selalu mudah diperkirakan. Terdapat contoh tandingan terhadap perluasan 214H/214Xb yang tampak menggiurkan dalam 216Xb.

Pesan dari bagian kedua dari bagian ini (214I-214L, 214Q) adalah bahwa subruang mewarisi banyak, tetapi tidak semua, sifat suatu ruang ukur; dan khususnya dapat timbul kesulitan dengan sifat semihingga, kecuali jika kita mempunyai himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal (214Xg). (Saya memberikan contoh dalam 216Xa.) Tentu saja 213Hb menunjukkan bahwa jika kita mulai dengan suatu ruang yang dapat dapat dilokalkan, kita dapat mengubahnya menjadi ruang yang lengkap, ditentukan secara lokal, dan dapat dilokalkan tanpa terlalu merusak struktur ruang tersebut, sehingga kesulitannya biasanya dapat diatasi.

Kasus 214P yang paling penting adalah ketika $\Cal A=\{A\}$ suatu himpunan tunggal, sehingga argumennya menjadi jauh lebih sederhana (214Xm). Dalam §439 dari Jilid 4 saya akan kembali pada masalah memperluas suatu ukuran ke aljabar-sigma lebih besar yang diberikan, tanpa adanya struktur bantu yang berguna. Bagian tersebut terutama akan menawarkan contoh-contoh tandingan, khususnya menunjukkan bahwa tidak ada teorema umum yang memperluas 214Xn dari keluarga berhingga ke keluarga terhitung, dan bahwa syarat-syarat khusus dalam 214P dan 214Yb ada dengan alasan yang baik. Namun, dalam Bab 54 dan §552 dari Jilid 5 saya akan membahas sistem-sistem matematika yang memungkinkan teorema perluasan jauh lebih kuat, setidaknya jika kita mulai dari ukuran Lebesgue.