Dalam bab ini saya membahas salah satu sifat terpenting integral Lebesgue. Diberikan suatu fungsi terintegralkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\), kita dapat membentuk integral tak tentunya \(F(x)=\int_a^xf(t)dt\) untuk \(x\in[a,b]\). Dua pertanyaan segera muncul. (i) Dapatkah kita mengharapkan turunan \(F'\) dari \(F\) sama dengan \(f\)? (ii) Dapatkah kita mengenali fungsi \(F\) mana yang muncul sebagai integral tak tentu? Jawaban yang cukup memuaskan dapat ditemukan untuk kedua pertanyaan ini: \(F'=f\) hampir di mana-mana (222E) dan integral-integral tak tentu adalah fungsi-fungsi kontinu mutlak (225E). Dalam menangani kedua pertanyaan tersebut, kita perlu mengembangkan berbagai teknik yang menghasilkan banyak hasil mengagumkan, baik dalam teori ukuran Lebesgue maupun dalam topik-topik analisis real lain yang tampaknya tidak berkaitan.
Langkah pertama adalah ‘Teorema Vitali’ (§221), suatu argumen yang luar biasa – argumen ini lebih merupakan metode daripada teorema – yang memanfaatkan sifat geometris garis bilangan real untuk mengambil subkeluarga-subkeluarga saling lepas dari koleksi interval. Teorema ini merupakan landasan utama bukan hanya bagi hasil-hasil dalam §222, melainkan juga bagi seluruh teori ukuran geometrik, yakni teori ukuran pada ruang-ruang yang memiliki struktur geometris. Di sini saya menggunakannya untuk menunjukkan bahwa fungsi-fungsi monoton dapat didiferensialkan hampir di mana-mana (222A). Setelah itu, Lema Fatou dan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue sudah cukup untuk menunjukkan bahwa turunan suatu integral tak tentu hampir di mana-mana sama dengan integrannya. Kita mendapati bahwa beberapa manipulasi yang tampak tidak berbahaya terhadap fakta ini ternyata membawa kita sangat jauh; saya menyajikannya dalam §223.
Saya mengawali paruh kedua bab ini dengan pembahasan mengenai fungsi ‘bervariasi terbatas’, yakni fungsi yang dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsi monoton berbatas (§224). Bagian ini termasuk salah satu bagian yang paling sedikit melibatkan teori ukuran dalam jilid ini; hanya dalam 224I dan 224J ukuran dan integrasi bahkan disebut. Namun, materi ini diperlukan untuk Bab 28 maupun untuk bagian berikutnya, dan juga merupakan salah satu topik dasar analisis real abad kedua puluh. §225 membahas karakterisasi integral-integral tak tentu sebagai fungsi-fungsi ‘kontinu mutlak’. Sebenarnya hal ini sekarang cukup mudah; menggunakan kembali Teorema Vitali cukup membantu, tetapi selebihnya merupakan penerapan langsung metode-metode yang telah digunakan sebelumnya. Paruh kedua bagian tersebut memperkenalkan beberapa gagasan baru dalam upaya memberikan intuisi yang lebih mendalam mengenai hakikat fungsi kontinu mutlak. §226 kembali kepada fungsi bervariasi terbatas dan penguraiannya menjadi bagian ‘saltus’, ‘kontinu mutlak’, dan ‘singular’; dua bagian pertama relatif mudah ditangani, sedangkan yang terakhir agak menyerupai fungsi Cantor.