Ruang sigma-hingga dan prinsip penghabisan

Saya menyisipkan bagian singkat ini untuk membahas beberapa fakta berguna yang mungkin luput jika ditempatkan dalam salah satu bagian yang lebih panjang di bab ini. Hampir semua penerapan teori ukuran melibatkan ruang \(\sigma\)-hingga, sampai-sampai banyak penulis hanya membahas sepintas ruang lainnya. Saya sendiri lebih suka menandai pentingnya konsep-konsep semacam itu dengan menyatakan secara tegas teorema mana yang hanya berlaku bagi kelas ruang yang lebih terbatas tersebut. Namun, beberapa fakta tentang ruang \(\sigma\)-hingga memang perlu dipahami sejak awal. Dalam 215B saya memberikan daftar sifat yang mencirikan ruang \(\sigma\)-hingga. Sebagian di antaranya lebih mudah dipahami melalui prinsip penghabisan (215A). Sekaligus, saya menyertakan sebuah fakta mendasar mengenai ruang ukur tanpa atom (215D).

215A Prinsip penghabisan

Pernyataan berikut merupakan contoh penggunaan salah satu metode terpenting dalam teori ukuran.

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur dan \(\Cal E\subseteq\Sigma\) suatu keluarga tak-kosong sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\mu F_n\) berhingga untuk setiap barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\).

(a) Terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga, untuk setiap \(E\in\Sigma\), salah satu dari dua hal berikut berlaku: terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(E\cup F_n\) tidak termuat dalam satu pun anggota \(\Cal E\); atau, dengan menetapkan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\),

\(\lim_{n\to\infty}\mu(E\setminus F_n) =\mu(E\setminus F)=0\).

Khususnya, jika \(E\in\Cal E\) dan \(E\supseteq F\), maka \(E\setminus F\) terabaikan.

(b) Jika \(\Cal E\) terarah ke atas, maka terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga, dengan menetapkan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\), berlaku \(\mu F=\sup_{E\in\Cal E}\mu E\) dan \(E\setminus F\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\); dengan demikian \(F\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\) dalam pengertian 211G.

(c) Jika gabungan setiap barisan tak-menurun dalam \(\Cal E\) merupakan anggota \(\Cal E\), maka terdapat \(F\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(E\setminus F\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) dengan \(F\subseteq E\).

Bukti

(a) Pilih \(\sequencen{F_n}\), \(\sequencen{\Cal E_n}\), dan \(\sequencen{u_n}\) secara induktif sebagai berikut. Ambil \(F_0\) sebagai sembarang anggota \(\Cal E\). Setelah \(F_n\in\Cal E\) dipilih, tetapkan \(\Cal E_n=\{E:F_n\subseteq E\in\Cal E\}\) dan \(u_n=\sup\{\mu E:E\in\Cal E_n\}\) dalam \([0,\infty]\), lalu pilih \(F_{n+1}\in\Cal E_n\) sedemikian sehingga \(\mu F_{n+1}\ge\min(n,u_n-2^{-n})\); lanjutkan proses ini.

Perhatikan bahwa konstruksi ini menghasilkan suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\). Karena \(\Cal E_{n+1}\subseteq\Cal E_n\) untuk setiap \(n\), barisan \(\sequencen{u_n}\) tak-menaik dan memiliki limit \(u\) dalam \([0,\infty]\). Karena \(\min(n,u-2^{-n})\le\mu F_{n+1}\le u_n\) untuk setiap \(n\), berlaku \(\lim_{n\to\infty}\mu F_n=u\). Hipotesis kita mengenai \(\Cal E\) sekarang menunjukkan bahwa \(u\) berhingga.

Jika \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(E_n\in\Cal E\) dengan \(E\cup F_n\subseteq E_n\), maka \(E_n\in\Cal E_n\), sehingga

\(\mu F_n\le\mu(E\cup F_n)\le\mu E_n\le u_n\)

untuk setiap \(n\), dan \(\lim_{n\to\infty}\mu(E\cup F_n)=u\). Ini berarti bahwa

\(\mu(E\setminus F) \le\lim_{n\to\infty}\mu(E\setminus F_n) =\lim_{n\to\infty}\mu(E\cup F_n)-\mu F_n =0\),

sebagaimana dinyatakan. Khususnya, kesimpulan ini berlaku jika \(E\in\Cal E\) dan \(E\supseteq F\).

(b) Ambil \(\sequencen{F_n}\) dari (a). Jika \(E\in\Cal E\), maka (karena \(\Cal E\) terarah ke atas) \(E\cup F_n\) termuat dalam suatu anggota \(\Cal E\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\); oleh sebab itu alternatif kedua dalam (a) harus berlaku, dan \(E\setminus F\) terabaikan. Akibatnya,

\(\sup_{E\in\Cal E}\mu E \le\mu F =\lim_{n\to\infty}\mu F_n \le\sup_{E\in\Cal E}\mu E\),

sehingga \(\mu F=\sup_{E\in\Cal E}\mu E\).

Jika \(G\) sembarang himpunan terukur sedemikian sehingga \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\), maka \(F_n\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(n\), sehingga \(F\setminus G\) terabaikan; jadi \(F\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\).

(c) Ambil kembali \(\sequencen{F_n}\) dari (a), dan tetapkan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\). Hipotesis kita sekarang menyatakan bahwa \(F\in\Cal E\), sehingga kedua sifat yang dinyatakan terpenuhi.

215B

Ruang \(\sigma\)-hingga begitu penting sehingga fakta-fakta berikut layak dinyatakan secara terperinci.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga. Tuliskan \(\Cal N\) untuk keluarga himpunan \(\mu\)-terabaikan dan \(\Sigma^f\) untuk keluarga himpunan terukur berukuran berhingga. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga;

(ii) setiap keluarga saling lepas dalam \(\Sigma^f\setminus\Cal N\) terhitung;

(iii) setiap keluarga saling lepas dalam \(\Sigma\setminus\Cal N\) terhitung;

(iv) untuk setiap \(\Cal E\subseteq\Sigma\) terdapat himpunan terhitung \(\Cal E_0\subseteq\Cal E\) sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup\Cal E_0\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\);

(v) untuk setiap \(\Cal E\subseteq\Sigma\) yang tak-kosong dan terarah ke atas, terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\);

(vi) untuk setiap \(\Cal E\subseteq\Sigma\) yang tak-kosong, terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) yang memenuhi \(E\supseteq F_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\);

(vii) \(\mu X=0\), atau terdapat suatu ukuran peluang \(\nu\) pada \(X\) dengan domain dan himpunan-himpunan terabaikan yang sama dengan \(\mu\);

(viii) terdapat suatu fungsi terukur dan terintegralkan \(f:X\to\ocint{0,1}\);

(ix) \(\mu X=0\), atau terdapat suatu fungsi terukur \(f:X\to\ooint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(\int fd\mu=1\).

Bukti

(i)\(\Rightarrow\)(vii) dan (viii) Jika \(\mu X=0\), maka (vii) langsung berlaku dan kita dapat mengambil \(f=\chi X\) dalam (viii). Jika tidak, misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Sigma^f\) yang menutupi \(X\). Mudah dilihat bahwa terdapat suatu barisan \(\sequencen{\alpha_n}\) bilangan real yang semuanya positif sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\mu E_n=1\). Tetapkan \(\nu E=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\mu(E\cap E_n)\) untuk \(E\in\Sigma\); maka \(\nu\) merupakan ukuran peluang dengan domain \(\Sigma\) dan himpunan-himpunan terabaikan yang sama dengan \(\mu\). Selain itu, \(f=\sum_{n=0}^{\infty}\min(1,\alpha_n)\chi E_n\) merupakan fungsi terukur dan terintegralkan yang bernilai positif di setiap titik.

(vii)\(\Rightarrow\)(vi) dan (v) Andaikan (vii), dan misalkan \(\Cal E\) suatu keluarga tak-kosong yang terdiri atas himpunan terukur. Jika \(\mu X=0\), maka (vi) dan (v) jelas benar. Jika tidak, misalkan \(\nu\) suatu ukuran peluang dengan domain \(\Sigma\) dan himpunan-himpunan terabaikan yang sama dengan \(\mu\). Karena \(\sup_{E\in\Cal E}\nu E\le 1\) berhingga, kita dapat menerapkan 215Aa untuk memperoleh suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) yang memuat \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\); dan jika \(\Cal E\) terarah ke atas, \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\), sebagaimana dalam 215Ab.

(vi)\(\Rightarrow\)(iv) Andaikan (vi), dan misalkan \(\Cal E\) sembarang subhimpunan dari \(\Sigma\). Tetapkan

\(\Cal H=\{\bigcup\Cal E_0:\Cal E_0\subseteq\Cal E\) terhitung\(\}\).

Menurut (vi), terdapat suatu barisan \(\sequencen{H_n}\) dalam \(\Cal H\) sedemikian sehingga \(H\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n\) terabaikan untuk setiap \(H\in\Cal H\) yang memenuhi \(H\supseteq H_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Sekarang setiap \(H_n\) dapat dinyatakan sebagai \(\bigcup\Cal E'_n\), dengan \(\Cal E'_n\subseteq\Cal E\) terhitung; dengan menetapkan \(\Cal E_0=\bigcup_{n\in\Bbb N}\Cal E'_n\), himpunan \(\Cal E_0\) terhitung. Jika \(E\in\Cal E\), maka \(E\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n=\bigcup(\{E\}\cup\Cal E_0)\) termasuk dalam \(\Cal H\) dan memuat setiap \(H_n\), sehingga \(E\setminus\bigcup\Cal E_0=E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n\) terabaikan. Jadi \(\Cal E_0\) mempunyai sifat yang diperlukan, dan (iv) benar.

(iv)\(\Rightarrow\)(iii) Andaikan (iv). Jika \(\Cal E\) suatu keluarga saling lepas dalam \(\Sigma\setminus\Cal N\), ambil suatu \(\Cal E_0\subseteq\Cal E\) terhitung sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup\Cal E_0\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\). Maka \(E=E\setminus\bigcup\Cal E_0\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\setminus\Cal E_0\); tetapi ini berarti \(\Cal E\setminus\Cal E_0\) kosong, sehingga \(\Cal E=\Cal E_0\) terhitung.

(iii)\(\Rightarrow\)(ii) langsung.

(ii)\(\Rightarrow\)(i) Andaikan (ii). Misalkan \(\frak P\) himpunan semua keluarga saling lepas yang merupakan subhimpunan \(\Sigma^f\setminus\Cal N\), dengan urutan \(\subseteq\). Maka \(\frak P\) merupakan himpunan terurut sebagian yang tak-kosong (karena \(\emptyset\in \frak P\)); dan setiap \(\frak Q\subseteq \frak P\) yang tak-kosong dan terurut total mempunyai suatu batas atas dalam \(\frak P\). Bukti. Tetapkan \(\Cal E=\bigcup \frak Q\), yakni gabungan semua keluarga saling lepas yang merupakan anggota \(\frak Q\). Jika \(E\in\Cal E\), maka \(E\in\Cal C\) untuk suatu \(\Cal C\in \frak Q\), sehingga \(E\in\Sigma^f\setminus\Cal N\). Jika \(E\), \(F\in\Cal E\) dan \(E\ne F\), maka terdapat \(\Cal C\), \(\Cal D\in \frak Q\) sedemikian sehingga \(E\in\Cal C\) dan \(F\in\Cal D\); karena \(\frak Q\) terurut total, salah satu dari \(\Cal C\), \(\Cal D\) memuat yang lain, dan dalam kedua kasus \(\Cal C\cup\Cal D\) merupakan anggota \(\frak Q\) yang memuat \(E\) dan \(F\). Karena setiap anggota \(\frak Q\) merupakan keluarga himpunan saling lepas, \(E\cap F=\emptyset\). Karena \(E\) dan \(F\) sembarang, \(\Cal E\) merupakan keluarga himpunan saling lepas, sehingga merupakan anggota \(\frak P\). Tentu saja \(\Cal C\subseteq\Cal E\) untuk setiap \(\Cal C\in \frak Q\), sehingga \(\Cal E\) merupakan batas atas bagi \(\frak Q\) dalam \(\frak P\). ∎

Menurut Lema Zorn (2A1M), \(\frak P\) mempunyai suatu elemen maksimal, sebut \(\Cal E\). Menurut (ii), \(\Cal E\) harus terhitung, sehingga \(\bigcup\Cal E\in\Sigma\). Sekarang \(H=X\setminus\bigcup\Cal E\) terabaikan. Bukti. Andaikan sebaliknya. Karena \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, terdapat suatu himpunan \(G\) berukuran berhingga sedemikian sehingga \(G\subseteq H\) dan \(\mu G>0\), yakni \(G\in\Sigma^f\setminus\Cal N\) dan \(G\cap E=\emptyset\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). Namun ini berarti bahwa \(\{G\}\cup\Cal E\) merupakan anggota \(\frak P\) yang lebih besar daripada \(\Cal E\), padahal hal itu mustahil. ∎

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan yang mencakup semua anggota \(\Cal E\cup\{H\}\). Maka \(\sequencen{X_n}\) merupakan penutup \(X\) oleh suatu barisan himpunan terukur berukuran berhingga, sehingga \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

(v)\(\Rightarrow\)(i) Jika (v) benar, maka terdapat suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma^f\) sedemikian sehingga \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Sigma^f\). Karena \(\mu\) semihingga, \(X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) harus terabaikan; jadi \(X\) ditutupi oleh suatu keluarga terhitung yang terdiri atas himpunan berukuran berhingga dan \(\mu\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

(viii)\(\Rightarrow\)(ix) Jika \(\mu X=0\), pernyataan ini langsung. Jika tidak, apabila \(f\) suatu fungsi terukur dan terintegralkan yang bernilai positif di setiap titik, maka \(c=\int f>0\) (122Rc), sehingga \(\Bover1cf\) merupakan fungsi terukur yang bernilai positif di setiap titik dan berintegral \(1\).

(ix)\(\Rightarrow\)(i) Jika \(f:X\to\ooint{0,\infty}\) terukur dan terintegralkan, maka \(\sequencen{\{x:f(x)\ge 2^{-n}\}}\) merupakan barisan himpunan berukuran berhingga yang menutupi \(X\).

215C Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga, dan andaikan \(\Cal E\subseteq\Sigma\) sembarang keluarga tak-kosong.

(b) Jika \(\Cal E\) terarah ke atas, maka terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\).

215D

Sebagai contoh lain penggunaan prinsip penghabisan, saya memberikan sebuah fakta mendasar mengenai ruang ukur tanpa atom.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur tanpa atom. Jika \(E\in\Sigma\) dan \(0\le\alpha\le\mu E<\infty\), maka terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\) dan \(\mu F=\alpha\).

Bukti

(a) Kita perlu mengetahui bahwa jika \(G\in\Sigma\) tak-terabaikan dan \(n\in\Bbb N\), maka terdapat \(H\subseteq G\) sedemikian sehingga \(0<\mu H\le 2^{-n}\mu G\). Bukti. Kita buktikan dengan induksi terhadap \(n\). Untuk \(n=0\) pernyataan ini langsung. Untuk langkah induksi ke \(n+1\), gunakan hipotesis induksi untuk memperoleh \(H\subseteq G\) sedemikian sehingga \(0<\mu H\le 2^{-n}\mu G\). Karena \(\mu\) tanpa atom, terdapat \(H'\subseteq H\) sedemikian sehingga \(\mu H'\) dan \(\mu(H\setminus H')\) keduanya terdefinisi dan bukan nol. Setidaknya salah satu di antaranya berukuran kurang dari atau sama dengan \(\bover12\mu H\), sehingga memberikan suatu subhimpunan dari \(G\) yang berukuran positif dan tidak lebih dari \(2^{-n-1}\mu G\). ∎

Akibatnya, jika \(G\in\Sigma\) berukuran positif dan berhingga serta \(\epsilon>0\), maka terdapat suatu himpunan terukur \(H\subseteq G\) sedemikian sehingga \(0<\mu H\le\epsilon\).

(b) Misalkan \(\Cal H\) adalah keluarga semua \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(H\subseteq E\) dan \(\mu H\le\alpha\). Jika \(\sequencen{H_n}\) sembarang barisan tak-menurun dalam \(\Cal H\), maka \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n)=\lim_{n\to\infty}\mu H_n\le\alpha\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n\in\Cal H\). Jadi 215Ac menunjukkan bahwa terdapat \(F\in\Cal H\) sedemikian sehingga \(H\setminus F\) terabaikan untuk setiap \(H\in\Cal H\) dengan \(F\subseteq H\). Andaikan sebaliknya bahwa \(\mu F<\alpha\). Menurut (a), terdapat \(H\subseteq E\setminus F\) sedemikian sehingga \(0<\mu H\le\alpha-\mu F\). Namun dalam hal ini \(H\cup F\in\Cal H\) dan \(\mu((H\cup F)\setminus F)>0\), suatu kemustahilan.

Dengan demikian kita telah menemukan himpunan \(F\) yang sesuai.

215E

Salah satu sifat dasar ukuran Lebesgue ialah bahwa himpunan bagian beranggota tunggal (dan karenanya himpunan bagian terhitung) terabaikan. Hal ini tentu berkaitan dengan kenyataan bahwa ukuran Lebesgue bersifat tanpa atom (211Md). Mudah mengonstruksi ukuran yang membuat setiap himpunan beranggota tunggal terabaikan tetapi tetap memiliki atom (misalnya ukuran terhitung-koterhitung dalam 211R). Perlu sedikit siasat tambahan untuk mengonstruksi ukuran tanpa atom yang di dalamnya tidak semua himpunan beranggota tunggal terabaikan (216Ye). Hasil berikut memberikan syarat-syarat yang mencegah hal tersebut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur tanpa atom dan \(x\in X\).

(a) Jika \(\mu^*\{x\}\) berhingga, maka \(\{x\}\) terabaikan.

(b) Jika \(\mu\) memiliki himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, maka \(\{x\}\) terabaikan.

Bukti

(a) Andaikan sebaliknya; maka \(0<\mu^*\{x\}<\infty\). Misalkan \(E\) suatu himpunan yang memuat \(x\) sedemikian sehingga \(\mu E<2\mu^*\{x\}\). Menurut 215D, terdapat \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga

\(\mu F=\bover12\mu E=\mu(E\setminus F)<\mu^*\{x\}\).

Jadi baik \(F\) maupun \(E\setminus F\) tidak mungkin memuat \(x\); padahal \(x\in E\).

(b) Untuk setiap himpunan \(E\) berukuran berhingga, \(E\cap\{x\}\) terabaikan; sebab, jika himpunan ini tidak kosong, maka \(x\in E\) dan kita dapat menerapkan (a). Karena \(\mu\) memiliki himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, \(\{x\}\) terabaikan.

(c) Misalkan \(\Cal E\subseteq\Sigma^f\) suatu keluarga maksimal sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan \(\mu(E\cap F)=0\) setiap kali \(E\), \(F\in\Cal E\) berbeda. Untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan \(n\in\Bbb N\), terapkan 215D sebanyak \(n\) kali untuk memperoleh suatu partisi \(E_{n0}\), \(E_{n1},\ldots,E_{nn}\) dari \(E\) sedemikian sehingga \(\mu E_{ni}=\bover1{n+1}\mu E\) untuk setiap \(i\le n\). Selanjutnya, untuk \(i\le n\in\Bbb N\), misalkan \(H_{ni}\) suatu supremum esensial dari \(\{E_{ni}:E\in\Cal E\}\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) dan \(E\in\Cal E\),

\(\mu(E\setminus\bigcup_{i\le n}H_{ni}) \le\sum_{i=0}^n\mu(E_{ni}\setminus H_{ni})=0\).

Jadi, jika \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), dan \(F\cap\bigcup_{i\le n}H_{ni}=\emptyset\), maka \(\mu(E\cap F)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\); karena \(\Cal E\) maksimal, \(F\) harus terabaikan. Kita mengandaikan bahwa \(\mu\) semihingga, sehingga \(X\setminus\bigcup_{i\le n}H_{ni}\) terabaikan.

Akibatnya, jika terdapat \(n\) sedemikian sehingga \(x\notin\bigcup_{i\le n}H_{ni}\), maka \(\{x\}\) terabaikan dan pembuktian selesai. Tinjau \(H=\bigcap\{H_{ni}:i\le n\in\Bbb N\), \(x\in H_{ni}\}\). Jika \(\mu H>0\), terdapat \(F\subseteq H\) sedemikian sehingga \(0<\mu F<\infty\). Karena kemaksimalan \(\Cal E\), terdapat \(E^*\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F\cap E^*)>0\). Pilih \(n\) sedemikian sehingga \(\mu(F\cap E^*)>\bover1{n+1}\mu E^*\). Terdapat \(i\le n\) sedemikian sehingga \(x\in H_{ni}\); dengan demikian \(F\subseteq H_{ni}\), sedangkan \(\mu(F\cap E^*_{ni})\le\bover1{n+1}\mu E^*\), sehingga \(F'=F\cap E^*\setminus E^*_{ni}\) berukuran positif. Tinjau \(G=H_{ni}\setminus F'\). Jika \(E\in\Cal E\), maka salah satu dari dua hal berikut berlaku: \(E=E^*\) dan

\(E_{ni}\setminus G=E^*_{ni}\setminus G =E^*_{ni}\setminus H_{ni}\)

terabaikan; atau \(E\ne E^*\) dan

\(E_{ni}\setminus G \subseteq(E_{ni}\setminus H_{ni})\cup(E\cap E^*)\)

terabaikan. Karena \(H_{ni}\) merupakan supremum esensial dari \(\{E_{ni}:E\in\Cal E\}\), maka \(H_{ni}\setminus G\) harus terabaikan dan \(F'\) terabaikan; ini mustahil. ∎

Jadi \(H\) merupakan himpunan terabaikan yang memuat \(x\), dan dalam kasus ini pun \(\{x\}\) terabaikan.

Latihan

215X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\Phi\) suatu himpunan tak-kosong yang terdiri atas fungsi-fungsi bernilai real yang terintegralkan terhadap \(\mu\), yang masing-masing memetakan \(X\) ke \(\Bbb R\). Andaikan \(\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n\) berhingga untuk setiap barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\Phi\) sedemikian sehingga \(f_n\leae f_{n+1}\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\Phi\) sedemikian sehingga \(f_n\leae f_{n+1}\) untuk setiap \(n\) dan, untuk setiap fungsi bernilai real yang terintegralkan \(f\) pada \(X\), salah satu: \(f\leae\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) atau terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga tidak ada anggota \(\Phi\) yang lebih besar atau sama dengan \(\max(f,f_n)\) hampir di mana-mana.

215Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. (i) Andaikan \(\Cal E\) suatu subhimpunan \(\Sigma\) yang tak-kosong dan terarah ke atas sedemikian sehingga \(c=\sup_{E\in\Cal E}\mu E\) berhingga. Tunjukkan bahwa \(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan setiap barisan \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Cal E\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\mu F_n=c\). (ii) Misalkan \(\Phi\) suatu himpunan tak-kosong yang terdiri atas fungsi-fungsi terintegralkan pada \(X\) yang terarah ke atas dalam arti bahwa untuk setiap \(f\), \(g\in\Phi\) terdapat \(h\in\Phi\) sedemikian sehingga \(\max(f,g)\leae h\), serta andaikan \(c=\sup_{f\in\Phi}\int f\) berhingga. Tunjukkan bahwa \(f\leae\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) untuk setiap \(f\in\Phi\) dan setiap barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\Phi\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int f_n=c\).

215Xc (c)

Gunakan 215A untuk mempersingkat bukti 211Ld.

215Xd (d)

Berikan contoh suatu ruang ukur (yang tidak semihingga) \((X,\Sigma,\mu)\) yang memenuhi syarat (ii)-(iv) dalam 215B, tetapi tidak memenuhi (i).

215Xe (>e) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga tanpa atom. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu barisan saling lepas \(\sequencen{E_n}\) dari himpunan-himpunan terukur yang masing-masing berukuran paling besar \(\epsilon\) dan sedemikian sehingga \(X=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\).

215Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur tanpa atom yang dapat dilokalkan secara ketat. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu dekomposisi \(\familyiI{X_i}\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(\mu X_i\le\epsilon\) untuk setiap \(i\in I\).

215Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga dan \(\langle f_{mn}\rangle_{m,n\in\Bbb N}\), \(\sequence{m}{f_m}\), \(f\) fungsi-fungsi terukur bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\) serta sedemikian sehingga \(\sequencen{f_{mn}}\to f_m\) hampir di mana-mana untuk setiap \(m\) dan \(\sequence{m}{f_m}\to f\) hampir di mana-mana. Tunjukkan bahwa terdapat suatu barisan naik ketat \(\sequence{m}{n_m}\) dalam \(\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\sequence{m}{f_{m,n_m}}\to f\) hampir di mana-mana. (Bandingkan 134Yb.)

215Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur \(\sigma\)-hingga. Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi terukur bernilai real sedemikian sehingga \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu barisan tak-menurun \(\sequence{k}{X_k}\) yang terdiri atas subhimpunan terukur dari \(X\) sedemikian sehingga \(\bigcup_{k\in\Bbb N}X_k\) koterabaikan dalam \(X\) dan \(\sequencen{f_n}\to f\) seragam pada setiap \(X_k\), dalam arti bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(|f_j(x)-f(x)|\) terdefinisi dan kurang dari atau sama dengan \(\epsilon\) untuk setiap \(j\ge m\) dan \(x\in X_k\).

(Ini merupakan suatu versi Teorema Egorov.)

215Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur berhingga total dan \(\sequencen{f_n}\), \(f\) fungsi-fungsi terukur bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{f_n}\to f\) hampir di mana-mana jika dan hanya jika terdapat suatu barisan \(\sequencen{\epsilon_n}\) dari bilangan real yang semuanya positif dan konvergen ke \(0\), sedemikian sehingga

\(\lim_{n\to\infty}\mu^*(\bigcup_{k\ge n}\{x:x\in\dom f_k\cap\dom f,\,|f_k(x)-f(x)|\ge\epsilon_n\})=0\).

215Yd (d)

Temukan bukti langsung untuk (v)\(\Rightarrow\)(vi) dalam 215B. Petunjuk: untuk \(\Cal E\subseteq\Sigma\), gunakan Lema Zorn untuk memperoleh suatu \(\Cal E'\subseteq\Cal E\) yang maksimal dan terurut total sedemikian sehingga \(E\symmdiff F\notin\Cal N\) untuk setiap \(E\), \(F\in\Cal E'\) yang berbeda, lalu terapkan (v) pada \(\Cal E'\).

Catatan dan komentar

215-notes Catatan penutup untuk Bagian 215

Gagasan bersama yang mendasari 215A, 215B(vi), 215C, dan 215Xa sebenarnya merupakan salah satu gagasan paling mendasar dalam teori ukuran. Gagasan ini muncul dalam begitu banyak bentuk sehingga sering kali lebih mudah membuktikan suatu penerapan langsung berdasarkan asas-asas dasar daripada menjelaskan bagaimana penerapan tersebut dapat direduksi ke versi-versi di sini. Namun, mulai sekarang saya akan berusaha menandai penerapan semacam itu setiap kali muncul, dengan menyebut metode tersebut (bukti 215Aa atau 215Xa) sebagai "prinsip penghabisan". Salah satu hal yang mungkin patut dicatat di sini ialah konstruksi induktif barisan \(\sequencen{F_n}\) dalam bukti 215Aa. Setiap \(F_{n+1}\) dipilih setelah suku sebelumnya. Inilah yang memungkinkan kita, dalam bukti 215B(vii)\(\Rightarrow\)(vi), memperoleh langsung suatu barisan yang sesuai \(\sequencen{F_n}\). Dalam banyak penerapan (mulai dari penerapan yang tentu paling penting dalam teori elementer, yakni Teorema Radon-Nikodým dalam §232, ataupun bagian (i) dari bukti 211Ld), penghalusan ini tidak diperlukan; kita berhadapan dengan suatu himpunan yang terarah ke atas, seperti dalam 215B(v), dan dapat memilih seluruh barisan \(\sequencen{F_n}\) sekaligus, tanpa interaksi antarsuku, seperti dalam 215Xb. Aksioma "pilihan bergantung", yang menyatakan bahwa kita dapat mengonstruksi barisan suku demi suku, diketahui lebih kuat daripada aksioma "pilihan terhitung", yang hanya menyatakan bahwa kita dapat memilih objek dalam jumlah terhitung secara serentak.

Dalam 215B saya berusaha menunjukkan ciri-ciri utama sifat \(\sigma\)-hingga; khususnya, sifat-sifat yang membedakan ukuran \(\sigma\)-hingga dari ukuran lain yang dapat dilokalkan secara ketat. Hasil ini, dalam arti tertentu, lebih abstrak daripada uraian lain dalam bagian ini. Perhatikan bahwa hasil ini menggunakan aksioma pilihan secara esensial dalam bentuk Lema Zorn. Dalam 134C saya menulis satu paragraf untuk mengomentari perbedaan antara "pilihan terhitung", yang diperlukan untuk segala sesuatu yang menyerupai teori standar ukuran Lebesgue, dan aksioma pilihan penuh, yang relatif jarang digunakan dalam teori elementer. Implikasi (ii)\(\Rightarrow\)(i) dalam 215B merupakan salah satu tempat kita benar-benar memerlukan sesuatu yang melampaui pilihan terhitung. (Perlu kiranya saya catat bahwa seluruh teori ruang ukur yang bukan \(\sigma\)-hingga tampak sangat ganjil tanpa aksioma pilihan umum.) Perhatikan pula bahwa dalam 215B, bukti (i)\(\Rightarrow\)(vii) dan (vii)\(\Rightarrow\)(vi) merupakan satu-satunya bagian yang memunculkan sesuatu yang seremeh bilangan. Syarat (iii), (iv), (v), dan (vi) saling terhubung dengan cara yang sama sekali tidak berkaitan dengan teori ukuran, dan hanya melibatkan struktur \((X,\Sigma,\Cal N)\). (Lihat 215Yd di sini, dan 316D-316E dalam Volume 3.) Terdapat syarat-syarat serupa yang berkaitan dengan fungsi terukur, bukan himpunan terukur; untuk suatu contoh yang cukup abstrak, lihat 241Ye.

Dalam 215Ya-215Yc terdapat tiga teorema standar lain mengenai barisan yang konvergen hampir di mana-mana dan bergantung pada sifat \(\sigma\)-hingga atau keberhinggaan total.