Teorema Vitali di ℝ — Fondasi Teori Ukuran

Saya membahas teorema pertama bab ini dalam satu bagian tersendiri. Teorema tersebut menempati posisi di antara teori ukuran dan geometri (bahkan, teorema ini merupakan salah satu hasil dasar dalam ‘teori ukuran geometrik’), dan pembuktiannya melibatkan ukuran maupun geometri garis bilangan real.

221A Teorema Vitali

Misalkan \(A\) suatu subhimpunan berbatas dari \(\Bbb R\) dan \(\Cal I\) suatu keluarga interval tertutup dalam \(\Bbb R\) yang masing-masing terdiri atas lebih dari satu titik, sedemikian sehingga setiap titik dari \(A\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal I\) dengan panjang sekecil apa pun. Maka terdapat suatu himpunan terhitung \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga (i) \(\Cal I_0\) saling lepas, yakni \(I\cap I'=\emptyset\) untuk setiap pasangan berbeda \(I\), \(I'\in\Cal I_0\); (ii) \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\).

Bukti

(a) Jika terdapat suatu himpunan berhingga yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup\Cal I_0\) (termasuk kemungkinan bahwa \(A=\Cal I_0=\emptyset\)), kita selesai. Jadi, mulai sekarang andaikan bahwa tidak ada \(\Cal I_0\) semacam itu.

Misalkan \(\mu\sp*\) adalah ukuran luar Lebesgue pada \(\Bbb R\). Andaikan bahwa \(|x|<M\) untuk setiap \(x\in A\), dan tetapkan

\(\Cal I'=\{I:I\in\Cal I,\,I\subseteq[-M,M]\}\).

(b) Dalam hal ini, jika \(\Cal I_0\) adalah sembarang subhimpunan berhingga dari \(\Cal I'\) yang saling lepas, terdapat suatu \(J\in\Cal I'\) yang tidak beririsan dengan anggota mana pun dari \(\Cal I_0\). Bukti. Ambil \(x\in A\setminus\bigcup\Cal I_0\). Sekarang terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \([x-\delta,x+\delta]\) tidak bertemu dengan anggota mana pun dari \(\Cal I_0\), dan karena \(|x|<M\) kita dapat mengandaikan bahwa \([x-\delta,x+\delta]\subseteq[-M,M]\). Misalkan \(J\) suatu anggota \(\Cal I\) yang memuat \(x\) dan panjangnya paling besar \(\delta\); maka \(J\in\Cal I'\) dan \(J\cap\bigcup\Cal I_0=\emptyset\).\ ∎

(c) Sekarang kita dapat memilih suatu barisan \(\sequencen{\gamma_n}\) dari bilangan real dan suatu barisan saling lepas \(\sequencen{I_n}\) di dalam \(\Cal I'\) secara induktif sebagai berikut. Diberikan \(\langle I_j\rangle_{j<n}\) (jika \(n=0\), ini adalah barisan kosong, tanpa anggota), dengan \(I_j\in\Cal I'\) untuk setiap \(j<n\), dan \(I_j\cap I_k=\emptyset\) untuk \(j<k<n\), tetapkan

\(\Cal J_n=\{I:I\in\Cal I',\,I\cap I_j=\emptyset\) untuk setiap \(j<n\}\).

Kita tahu dari (b) bahwa \(\Cal J_n\ne\emptyset\). Tetapkan

\(\gamma_n=\sup\{\mu I:I\in\Cal J_n\}\);

maka \(0<\gamma_n\le 2M\). Karena itu, kita dapat memilih suatu \(I_n\in\Cal J_n\) sedemikian sehingga \(\mu I_n\ge{1\over 2}\gamma_n\), dan ini melanjutkan induksi.

(e) Karena himpunan-himpunan \(I_n\) saling lepas, terukur Lebesgue, dan termuat dalam \([-M,M]\), kita mempunyai

\(\sum_{n=0}^{\infty}\gamma_n \le 2\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n\le 4M<\infty\),

dan \(\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0\). Sekarang definisikan \(I'_n\) sebagai interval tertutup yang berbagi titik tengah dengan \(I_n\) tetapi panjangnya lima kali panjang interval semula, sehingga interval tersebut menjulur melampaui setiap ujung \(I_n\) setidak-tidaknya sejauh \(\gamma_n\). Saya menyatakan bahwa, untuk setiap \(n\),

\(A\subseteq\bigcup_{j<n}{I}_j\cup\bigcup_{j\ge n}I_j'\).

Bukti. Andaikan, jika mungkin, bahwa pernyataan ini salah. Ambil sembarang \(x\) yang termasuk dalam \(A\setminus(\bigcup_{j<n}{I}_j\cup\bigcup_{j\ge n}I'_j)\). Misalkan \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\([x-\delta,x+\delta] \subseteq[-M,M]\setminus\bigcup_{j<n}I_j\),

dan misalkan \(J\in\Cal I\) sedemikian sehingga

\(x\in J\subseteq[x-\delta,x+\delta]\).

Maka

\(\mu J>0=\lim_{m\to\infty}\gamma_m\);

misalkan \(m\) bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan \(n\) sedemikian sehingga \(\gamma_m<\mu J\). Dalam hal ini, \(J\) tidak mungkin termasuk dalam \(\Cal J_m\), sehingga pasti terdapat suatu \(k<m\) sedemikian sehingga \(J\cap I_k\ne\emptyset\), sebab tentu saja \(J\in\Cal I'\). Berdasarkan pemilihan \(\delta\), \(k\) tidak mungkin lebih kecil daripada \(n\), sehingga \(n\le k<m\), dan \(\gamma_k\ge\mu J\). Dalam hal ini, jarak dari \(x\) ke titik ujung \(I_k\) yang terdekat paling besar \(\mu J\le \gamma_k\). Namun, ujung-ujung \(I'_k\) menjulur melampaui ujung-ujung \(I_k\) setidak-tidaknya sejauh \(\gamma_k\), sehingga \(x\in I'_k\); ini bertentangan dengan pemilihan \(x\). ∎

(f) Akibatnya,

\(\mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j<n}I_j) \le\mu(\bigcup_{j\ge n}I'_j)\le\sum_{j=n}^{\infty}\mu I'_j \le 5\sum_{j=n}^{\infty}\mu I_j\).

Karena

\(\sum_{j=0}^{\infty}\mu I_j\le 2M<\infty\),

kita harus mempunyai

\(\lim_{n\to\infty}\mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j<n}I_j)=0,\)

dan

\(\mu(A\setminus\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j) =\mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j) \le\inf_{n\in\Bbb N}\mu^*(A\setminus\bigcup_{j<n}I_j) =0\).

Jadi, dalam hal ini kita dapat menetapkan \(\Cal I_0=\{I_n:n\in\Bbb N\}\) untuk memperoleh suatu keluarga terhitung yang saling lepas di dalam \(\Cal I\) dengan \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\).

221B Catatan (a)

Saya telah menyatakan teorema ini dalam bentuk ‘terdapat suatu himpunan terhitung \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(\ldots\)’ dalam upaya menemukan cara ringkas untuk menyatakan tiga kemungkinan

(i) \(A=\Cal I=\emptyset\), sehingga kita harus mengambil \(\Cal I_0=\emptyset\);

(ii) terdapat \(I_0,\ldots,I_n\in\Cal I\) yang saling lepas sedemikian sehingga \(A\subseteq I_0\cup\ldots\cup I_n\), sehingga kita dapat mengambil \(\Cal I_0=\{I_0,\ldots,I_n\}\);

(iii) terdapat suatu barisan saling lepas \(\sequencen{I_n}\) di dalam \(\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu(A\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n)=0\), sehingga kita dapat mengambil \(\Cal I_0=\{I_n:n\in\Bbb N\}\).

Tentu saja banyak penerapan, seperti pembuktian 221A sendiri, akan menggunakan bentuk-bentuk dari ketiga alternatif ini.

221Bb (b)

Teorema sebagaimana dinyatakan di sini akan digunakan dalam bagian berikutnya. Namun, prinsip pembuktiannya sama pentingnya dengan pernyataan teorema tersebut. Interval \(I_n\) dipilih ‘secara serakah’, yakni ketika tiba saatnya memilih \(I_n\), kita melihat keluarga \(\Cal J_n\) dari interval-interval yang mungkin, dengan memperhitungkan pilihan \(I_0,\ldots,I_{n-1}\) yang telah dibuat, dan memilih suatu \(I_n\in\Cal J_n\) yang ‘kira-kira’ sebesar mungkin. Supremum dari kemungkinan-kemungkinan untuk \(\mu I_n\) adalah \(\gamma_n\); tetapi karena kita tidak tahu apakah terdapat suatu \(I\in\Cal J_n\) sedemikian sehingga \(\mu I=\gamma_n\), kita harus puas dengan sesuatu yang sedikit lebih kecil. Saya mengikuti rumus baku dengan mengambil \(\mu I_n\ge\bover12\gamma_n\), tetapi tentu saja saya dapat mengambil \(\mu I_n\ge\bover{99}{100}\gamma_n\), atau \(\mu I_n\ge(1-2^{-n})\gamma_n\), jika hal itu membantu nantinya. Hal yang luar biasa ialah bahwa cara ini berhasil; kita dapat memilih \(I_n\) tanpa melihat ke depan dan tanpa meninjau hubungan timbal balik di antara interval-interval tersebut (bahkan, tanpa memeriksa himpunan \(A\)) selain persyaratan minimum bahwa \(I_n\cap I_j=\emptyset\) untuk \(j<n\), dan bahkan prosedur yang sembarang dan sambil lalu ini menghasilkan barisan yang sesuai.

221Bc (c)

Saya telah menyatakan teorema ini untuk himpunan berbatas \(A\) dan interval tertutup, yang memadai bagi keperluan kita, tetapi perubahan sangat kecil pada pembuktiannya cukup untuk menangani interval sembarang (yang terdiri atas lebih dari satu titik), dan penyempurnaan lain menangani himpunan tak-berbatas \(A\). (Lihat 221Ya.)

Latihan

221X Latihan dasar (a)

Misalkan \(\alpha\in\ooint{0,1}\). Andaikan, dalam bagian (c) dari pembuktian 221A, kita mengambil \(\mu I_n\ge\alpha\gamma_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), alih-alih \(\mu I_n\ge\bover12\gamma_n\). Konstanta berapakah yang tepat untuk menggantikan \(5\) ketika mendefinisikan himpunan-himpunan \(I_j'\) dalam bagian (e)?

221Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\) dan \(\Cal I\) suatu keluarga interval dalam \(\Bbb R\) yang masing-masing terdiri atas lebih dari satu titik, sedemikian sehingga setiap titik dari \(A\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal I\) dengan panjang sekecil apa pun. Tunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan terhitung yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(A\setminus\bigcup\Cal I_0\) terabaikan Lebesgue. Petunjuk: terapkan 221A pada himpunan \(A\cap\ooint{n,n+1}\) dan keluarga \(\{\overline{I}:I\in\Cal I,\,\overline{I}\subseteq\ooint{n,n+1}\}\), dengan menuliskan \(\overline{I}\) untuk interval tertutup yang memiliki titik-titik ujung yang sama dengan \(I\).

221Yb (b)

Misalkan \(\Cal J\) sembarang keluarga interval dalam \(\Bbb R\) yang masing-masing terdiri atas lebih dari satu titik. Tunjukkan bahwa \(\bigcup\Cal J\) terukur Lebesgue. Petunjuk: terapkan (a) pada \(A=\bigcup\Cal J\) dan keluarga \(\Cal I\) yang terdiri atas subinterval-subinterval dari anggota-anggota \(\Cal J\), dengan setiap subinterval tersebut memuat lebih dari satu titik.

221Yc (c)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik, \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\), dan \(\Cal I\) suatu keluarga bola tertutup berjari-jari positif dalam \(X\) sedemikian sehingga setiap titik dari \(A\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal I\) yang sekecil apa pun. (Di sini saya mengatakan bahwa suatu himpunan adalah ‘bola tertutup berjari-jari positif’ jika himpunan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk \(B(x,\delta)=\{y:\rho(y,x)\le\delta\}\) dengan \(x\in X\) dan \(\delta>0\). Tentu saja, bola semacam itu mungkin saja merupakan himpunan satu titik \(\{x\}\).) Tunjukkan bahwa entah \(A\) dapat ditutupi oleh suatu keluarga berhingga yang saling lepas di dalam \(\Cal I\), atau terdapat suatu barisan saling lepas \(\sequencen{B(x_n,\delta_n)}\) di dalam \(\Cal I\) sedemikian sehingga

\(A\subseteq\bigcup_{m\le n}B(x_m,\delta_m) \cup\bigcup_{m>n}B(x_m,5\delta_m)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\)

atau terdapat suatu barisan saling lepas \(\sequencen{B(x_n,\delta_n)}\) di dalam \(\Cal I\) sedemikian sehingga \(\inf_{n\in\Bbb N}\delta_n>0\).

221Yd (d)

Berikan contoh suatu keluarga \(\Cal I\) dari interval terbuka sedemikian sehingga setiap titik dari \(\Bbb R\) termasuk dalam anggota-anggota \(\Cal I\) yang sekecil apa pun, tetapi jika \(\sequencen{I_n}\) adalah sembarang barisan saling lepas di dalam \(\Cal I\), dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita menuliskan \(I'_n\) untuk interval tertutup yang berbagi titik tengah dengan \(I_n\) dan panjangnya sepuluh kali panjang interval semula, maka terdapat suatu \(n\) sedemikian sehingga \(\ooint{0,1}\not\subseteq\bigcup_{m<n}I_m\cup\bigcup_{m\ge n}I'_m\).

221Ye (e)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(\Cal I\) adalah suatu keluarga berhingga dari interval-interval dalam \(\Bbb R\), terdapat \(\Cal I_0\), \(\Cal I_1\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(\bigcup(\Cal I_0\cup\Cal I_1)=\bigcup\Cal I\) dan \(\Cal I_0\) maupun \(\Cal I_1\) merupakan keluarga yang saling lepas. Petunjuk: lakukan induksi pada \(\#(\Cal I)\). (ii) Andaikan \(\Cal I\) adalah suatu keluarga interval yang masing-masing terdiri atas lebih dari satu titik dan memiliki panjang paling besar \(1\), yang menutupi suatu himpunan berbatas \(A\subseteq\Bbb R\), dan bahwa \(\epsilon>0\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu subkeluarga saling lepas \(\Cal I_0\) dari \(\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu^*(A\setminus\bigcup\Cal I_0)\le\bover12\mu^*A+\epsilon\). Petunjuk: dengan mengganti setiap anggota \(\Cal I\) dengan interval yang sedikit lebih panjang dan bertitik ujung rasional, reduksikan ke kasus ketika \(\Cal I\) terhitung dan kemudian ke kasus ketika \(\Cal I\) berhingga; sekarang gunakan (i). (iii) Gunakan (ii) untuk membuktikan Teorema Vitali. (Saya mempelajari argumen ini dari J.Aldaz.)

Catatan dan komentar

221-notes Catatan penutup untuk Bagian 221

Saya memberi bagian ini judul ‘Teorema Vitali di \(\Bbb R\)’ karena terdapat versi berdimensi \(r\), yang akan muncul dalam Bab 26 di bawah. Terdapat suatu anomali pada posisi teorema ini. Teorema ini merupakan unsur yang sangat diperlukan dalam pembuktian beberapa teorema terpenting dalam teori ukuran; di sisi lain, gagasan-gagasan yang terlibat dalam pembuktiannya sendiri tidak digunakan di tempat lain dalam teori elementer. Karena itu, ketika mengajarkan materi ini saya sendiri kadang melewatkan pembuktiannya, dan saya tidak akan menyalahkan mahasiswa mana pun yang untuk sementara mengesampingkannya. Tentu saja, pada suatu tahap setiap ahli teori ukuran harus menguasai metodenya, bukan sekadar demi kelengkapan, melainkan juga untuk memperoleh intuisi mengenai variasi-variasi yang mungkin. Saya harus menekankan bahwa prinsip pembuktiannya, bukan perinciannya, yang penting, sebab terdapat tak terbilang banyak bentuk ‘Teorema Vitali’. (Saya menawarkan beberapa variasi dalam latihan-latihan di sini dan dalam §261 di bawah, dan terdapat banyak variasi lain yang penting dalam kajian lebih lanjut; salah satunya akan muncul dalam §472 di Jilid 4.) Saya kira prinsip ini adalah bahwa

(i) kita memilih \(I_n\) secara serakah, menurut suatu kriteria yang kurang lebih alami dan berlaku untuk setiap \(I_n\) ketika tiba saatnya memilih interval tersebut, tanpa berusaha melihat ke depan;

(ii) kita membuktikan bahwa ukuran interval-interval tersebut menuju nol, meskipun kita tampaknya tidak melakukan apa pun untuk memastikan bahwa hal itu akan terjadi (tetapi perhatikan peralihan dari \(\Cal I\) ke \(\Cal I'\) dalam bagian (a) dari pembuktian 221A, yang persis diperlukan agar langkah ini berhasil);

(iii) kita memeriksa bahwa untuk definisi \(I_n'\) yang sesuai, dengan memperbesar \(I_n\), kita akan mempunyai \(A\subseteq\bigcup_{m<n}I_m\cup\bigcup_{m\ge n}I'_m\) untuk setiap \(n\), sedangkan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu I'_n<\infty\).

Dalam arti tertentu, kita harus menganggap diri kita beruntung setiap kali cara ini berhasil. Alasan mempelajari sebanyak mungkin variasi dari teknik semacam ini adalah agar kita belajar menebak kapan kita mungkin beruntung.