Bab 23 — Teorema Radon-Nikodým — Fondasi Teori Ukuran

Dalam Bab 22, saya membahas integral tak tentu dari fungsi-fungsi terintegralkan pada \(\Bbb R\), dan memberikan apa yang saya harap Anda anggap sebagai uraian yang memuaskan, baik mengenai fungsi-fungsi yang merupakan integral tak tentu (fungsi-fungsi kontinu mutlak) maupun mengenai cara menemukan fungsi yang diintegralkan untuk menghasilkan integral tak tentu tersebut (dengan mendiferensialkannya). Untuk ruang ukur umum, tidak tersedia struktur yang dapat menghasilkan perumusan sesederhana itu; meskipun demikian, pertanyaan-pertanyaan yang sama tetap dapat diajukan dan, sampai taraf tertentu, dijawab.

Bagian pertama bab ini memperkenalkan perangkat dasar yang diperlukan, yaitu konsep fungsional ‘aditif terhitung’ dan penguraiannya menjadi bagian positif dan negatif. Teorema utama dibahas dalam bagian kedua: integral tak tentu adalah fungsional aditif yang ‘kontinu sejati’; pada ruang \(\sigma\)-hingga, fungsional tersebut adalah fungsional aditif terhitung yang ‘kontinu mutlak’. Dalam §233 saya membahas penerapan tunggal terpenting teorema tersebut, yakni penggunaannya untuk menyediakan konsep ‘ekspektasi bersyarat’. Ini merupakan salah satu konsep utama teori probabilitas – sebagaimana sangat mungkin telah Anda ketahui; tetapi bentuknya di sini merupakan perumuman yang jauh menjangkau dari konsep elementer probabilitas bersyarat suatu kejadian jika kejadian lain diketahui, dan memerlukan seluruh kekuatan teori umum ukuran dan integrasi sebagaimana dikembangkan dalam Jilid 1 dan bab ini. Saya menyertakan beberapa catatan tentang fungsi cembung, hingga dan termasuk versi-versi ketaksamaan Jensen (233I-233J).

Selagi kita berada dalam ranah teori ukuran ‘murni’, saya menggunakan kesempatan ini untuk membahas beberapa topik tambahan. Saya memulai dengan sejumlah konstruksi yang pada dasarnya elementer, yaitu ukuran citra, jumlah ukuran, dan ukuran integral tak tentu; menurut saya perinciannya memerlukan sedikit perhatian, dan saya menguraikannya dalam §234. Gagasan yang agak lebih mendalam diperlukan untuk menangani ‘transformasi terukur’. Dalam §235 saya memaparkan teknik yang diperlukan untuk menyediakan landasan abstrak bagi metode umum integrasi dengan substitusi, disertai uraian terperinci mengenai syarat-syarat cukup agar rumus berbentuk

\(\int g(y)dy=\int g(\phi(x))J(x)dx\)

berlaku.