Fungsi kontinu mutlak

225A Kontinuitas mutlak integral tak tentu

Saya memulai dengan suatu hasil dasar yang mudah dari teori ukuran umum.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real terintegralkan yang didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu himpunan terukur \(E\) berukuran berhingga dan suatu bilangan real \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\int_F|f|\le\epsilon\) kapan pun \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\).

225B Fungsi kontinu mutlak pada \(\Bbb R\): Definisi

Jika \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi, kita mengatakan bahwa \(f\) kontinu mutlak jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|\le\epsilon\) kapan pun \(a\le a_1\le b_1\le a_2\le b_2\le\ldots\le a_n\le b_n\le b\) dan \(\sum_{i=1}^nb_i-a_i\le\delta\).

Catatan Ungkapan ‘kontinu mutlak’ digunakan dalam berbagai pengertian dalam teori ukuran. Pengertian-pengertian itu berkaitan erat (jika dilihat dengan cara yang tepat), tetapi tidak identik; Anda perlu senantiasa mencermati konteks setiap definisi.

225C Proposisi

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\).

(a) Jika \(f:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, maka fungsi tersebut kontinu seragam.

(b) Jika \(f:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, maka fungsi tersebut bervariasi terbatas pada \([a,b]\), sehingga terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam \([a,b]\), dan turunannya terintegralkan pada \([a,b]\).

(c) Jika \(f\), \(g:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, maka demikian pula \(f+g\) dan \(cf\), untuk setiap \(c\in\Bbb R\).

(d) Jika \(f\), \(g:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, maka demikian pula \(f\times g\).

(e) Jika \(g:[a,b]\to [c,d]\) dan \(f:[c,d]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, serta \(g\) tak-menurun, maka komposisi \(fg:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak.

225D Lemma

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak yang turunannya nol hampir di mana-mana dalam \([a,b]\). Maka \(f\) konstan pada \([a,b]\).

225E Teorema

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(F:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) terdapat suatu fungsi bernilai real terintegralkan \(f\) sedemikian sehingga \(F(x)=F(a)+\int_a^xf\) untuk setiap \(x\in[a,b]\);

(ii) \(\int_a^xF'\) ada dan sama dengan \(F(x)-F(a)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\);

(iii) \(F\) kontinu mutlak.

Catatan Di sini dan dalam bagian selebihnya (kecuali dalam 225Oa), integral diambil terhadap ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\).

225F Integrasi parsial

Sebagai suatu penerapan hasil ini, saya memberikan pembenaran bagi suatu rumus yang sudah dikenal.

Teorema Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada suatu interval \([a,b]\subseteq\Bbb R\), dan \(g:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak. Andaikan \(F\) suatu integral tak tentu dari \(f\), sehingga \(F(x)-F(a)=\int_a^xf\) untuk \(x\in[a,b]\). Maka

225G

Sekarang saya beralih ke sekelompok hasil pada tingkat yang agak lebih dalam daripada sebagian besar pembahasan bab ini, yang lebih dekat dengan gagasan-gagasan Bab 26.

Proposisi Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak.

(a) \(f[A]\) terabaikan untuk setiap himpunan terabaikan \(A\subseteq\Bbb R\).

(b) \(f[E]\) terukur untuk setiap himpunan terukur \(E\subseteq\Bbb R\).

225H Fungsi semikontinu

Sebagai persiapan bagi hasil utama terakhir dalam bagian ini, saya memberikan suatu hasil umum mengenai fungsi bernilai real terukur pada subhimpunan \(\Bbb R\). Untuk sekali ini, akan memudahkan jika kita meninjau fungsi-fungsi yang mengambil nilai dalam \([-\infty,\infty]\). Jika \(D\subseteq\BbbR^r\), suatu fungsi \(g:D\to[-\infty,\infty]\) disebut semikontinu bawah jika \(\{x:g(x)>u\}\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(D\) (untuk topologi subruang, lihat 2A3C) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\). Setiap fungsi semikontinu bawah terukur Borel, dan karenanya terukur Lebesgue (121B-121D). Sekarang kita mempunyai hasil berikut.

225I Proposisi

Andaikan \(r\ge 1\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(D\) dari \(\BbbR^r\) dan terintegralkan pada \(D\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu fungsi semikontinu bawah \(g:\BbbR^r\to[-\infty,\infty]\) sedemikian sehingga \(g(x)\ge f(x)\) untuk setiap \(x\in D\) dan \(\int_Dg\) terdefinisi serta tidak lebih besar daripada \(\epsilon+\int_Df\).

Catatan Ini merupakan hasil yang sangat penting secara umum, jadi saya menyatakannya dalam bentuk yang cukup umum; tetapi untuk bab ini kita hanya memerlukan kasus \(r=1\), \(D=[a,b]\), dengan \(a\le b\).

225J

Kita memerlukan beberapa hasil mengenai himpunan dan fungsi terukur Borel yang juga menarik secara tersendiri.

Teorema Misalkan \(D\) suatu subhimpunan \(\Bbb R\) dan \(f:D\to\Bbb R\) sembarang fungsi. Maka

terukur Borel relatif dalam \(D\), dan

terukur Borel dalam \(\Bbb R\); selain itu, \(f':F\to\Bbb R\) terukur Borel.

225K Proposisi

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\), dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tetapkan \(F=\{x:x\in\ooint{a,b},\,f'(x)\) terdefinisi\(\}\). Maka \(f\) kontinu mutlak jika dan hanya jika (i) \(f\) kontinu (ii) \(f'\) terintegralkan pada \(F\) (iii) \(f[\,[a,b]\setminus F]\) terabaikan.

225L Korolari

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu yang terdiferensialkan pada interval terbuka \(\ooint{a,b}\). Jika turunannya \(f'\) terintegralkan pada \([a,b]\), maka \(f\) kontinu mutlak, dan \(f(b)-f(a)=\int_a^bf'\).

225M Korolari

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\), dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu. Maka \(f\) kontinu mutlak jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu dan bervariasi terbatas serta \(f[A]\) terabaikan untuk setiap himpunan terabaikan \(A\subseteq[a,b]\).

225N Fungsi Cantor

Saya perlu menyebutkan contoh baku suatu fungsi kontinu yang bervariasi terbatas tetapi tidak kontinu mutlak. Misalkan \(C\subseteq[0,1]\) himpunan Cantor (134G). Ingat bahwa ‘fungsi Cantor’ adalah suatu fungsi kontinu tak-menurun \(f:[0,1]\to[0,1]\) sedemikian sehingga \(f'(x)\) terdefinisi dan sama dengan nol untuk setiap \(x\in[0,1]\setminus C\), tetapi \(f(0)=0<1=f(1)\) (134H). Tentu saja \(f\) bervariasi terbatas dan tidak kontinu mutlak. \(C\) terabaikan sedangkan \(f[C]=[0,1]\) tidak. Jika \(x\in C\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat suatu interval dengan panjang \(3^{-n}\), yang memuat \(x\), dan yang padanya \(f\) meningkat sebesar \(2^{-n}\); jadi \(f\) tidak mungkin terdiferensialkan di \(x\), dan himpunan \(F=\dom f'\) dari 225K tepat sama dengan \([0,1]\setminus C\), sehingga \(f[\,[0,1]\setminus F]=[0,1]\).

225O Fungsi bernilai kompleks

Seperti biasa, saya jabarkan hasil-hasil di atas dalam bentuk yang berlaku bagi fungsi bernilai kompleks.

(a) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks terintegralkan yang didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu himpunan terukur \(E\) berukuran hingga dan suatu bilangan real \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\int_F|f|\le\epsilon\) kapan pun \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\). (Terapkan 225A pada \(|f|\).)

225Ob (b)

Jika \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(f:[a,b]\to\Bbb C\) suatu fungsi, kita katakan bahwa \(f\) kontinu mutlak jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|\le\epsilon\) kapan pun \(a\le a_1\le b_1\le a_2\le b_2\le\ldots\le a_n\le b_n\le b\) dan \(\sum_{i=1}^nb_i-a_i\le\delta\). Perhatikan bahwa \(f\) kontinu mutlak jika dan hanya jika bagian real dan bagian imajinernya sama-sama kontinu mutlak.

225Oc (c)

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\).

(i) Jika \(f:[a,b]\to\Bbb C\) kontinu mutlak, maka fungsi tersebut bervariasi terbatas pada \([a,b]\), sehingga terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam \([a,b]\), dan turunannya terintegralkan pada \([a,b]\).

(ii) Jika \(f\), \(g:[a,b]\to\Bbb C\) kontinu mutlak, maka demikian pula \(f+g\) dan \(\zeta f\), untuk setiap \(\zeta\in\Bbb C\), serta \(f\times g\).

(iii) Jika \(g:[a,b]\to[c,d]\) monoton dan kontinu mutlak, dan \(f:[c,d]\to\Bbb C\) kontinu mutlak, maka \(fg:[a,b]\to\Bbb C\) kontinu mutlak.

225Od (d)

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak kosong dalam \(\Bbb R\) dan \(F:[a,b]\to\Bbb C\) suatu fungsi. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) terdapat suatu fungsi bernilai kompleks terintegralkan \(f\) sedemikian sehingga \(F(x)=F(a)+\int_a^xf\) untuk setiap \(x\in[a,b]\);

(ii) \(\int_a^xF'\) ada dan sama dengan \(F(x)-F(a)\) untuk setiap \(x\in[a,b]\);

(iii) \(F\) kontinu mutlak.

(Terapkan 225E pada bagian real dan bagian imajiner dari \(F\).)

225Oe (e)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks terintegralkan pada suatu interval \([a,b]\subseteq\Bbb R\), dan \(g:[a,b]\to\Bbb C\) suatu fungsi kontinu mutlak. Tetapkan \(F(x)=\int_a^xf\) untuk \(x\in[a,b]\). Maka

(Terapkan 225F pada bagian real dan bagian imajiner dari \(f\) dan \(g\).)

225Of (f)

Misalkan \(f\) suatu fungsi kontinu bernilai kompleks pada suatu interval tertutup \([a,b]\subseteq\Bbb R\), dan andaikan \(f\) terdiferensialkan di setiap titik dari interval terbuka \(\ooint{a,b}\), dengan \(f'\) terintegralkan pada \([a,b]\). Maka \(f\) kontinu mutlak. (Terapkan 225L pada bagian real dan bagian imajiner dari \(f\).)

225Og (g)

Untuk hasil yang bersesuaian dengan 225M, lihat 264Yp.

225X Latihan dasar (a)

Tunjukkan langsung dari definisi dalam 225B (tanpa menggunakan 225E) bahwa setiap fungsi bernilai real yang kontinu mutlak pada suatu interval tertutup \([a,b]\) dapat dinyatakan sebagai selisih fungsi-fungsi kontinu mutlak yang tak-menurun.

225Xb (b)

Tunjukkan langsung dari definisi dalam 225B dan Teorema Nilai Rata-Rata (tanpa menggunakan 225K) bahwa jika suatu fungsi \(f\) kontinu pada interval tertutup \([a,b]\), terdiferensialkan pada interval terbuka \(\ooint{a,b}\), dan turunannya terbatas pada \(\ooint{a,b}\), maka \(f\) kontinu mutlak, sehingga \(f(x)=f(a)+\int_a^xf'\) untuk setiap \(x\in[a,b]\).

225Xc (c)

Tunjukkan bahwa jika \(f:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak, maka \(\Var f=\int_a^b|f'|\). Petunjuk: gabungkan 224I dan 225E.

225Xd (d)

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak-menurun yang kontinu mutlak pada setiap interval terbatas; misalkan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian (114Xa), dan \(\Sigma_g\) domainnya. Tunjukkan bahwa \(\int_Eg'=\mu_gE\) untuk setiap \(E\in\Sigma_g\), jika kita mengizinkan \(\infty\) sebagai nilai integral. Petunjuk: mulailah dengan interval \(E\).

225Xe (e)

Misalkan \(g:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak yang tak-menurun, dan \(f:[g(a),g(b)]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa \(\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt= \int_a^bf(g(t))g'(t)dt\). Petunjuk: tetapkan \(F(x)=\int_{g(a)}^xf\), \(G=Fg\) dan tinjau \(\int_a^bG'(t)dt\). Lihat juga 263J.

225Xf (f)

Andaikan bahwa \(I\subseteq\Bbb R\) sembarang interval tak-sepele (terbatas atau tak terbatas, terbuka, tertutup, atau setengah terbuka, tetapi bukan himpunan kosong ataupun himpunan satu anggota), dan \(f:I\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(f\) kontinu mutlak pada setiap subinterval tertutup dan terbatas dari \(I\) jika dan hanya jika terdapat fungsi \(g\) sedemikian sehingga \(\int_a^bg=f(b)-f(a)\) setiap kali \(a\le b\) dalam \(I\), dan dalam hal ini \(g\) terintegralkan jika dan hanya jika \(f\) mempunyai variasi terbatas pada \(I\).

225Xg (g)

Tunjukkan bahwa \(\biggerint_0^1\Bover{\ln x}{x-1}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\Bover1{n^2}\). Petunjuk: gunakan 225F untuk menentukan \(\int_0^1x^n\ln x\,dx\), dan ingat bahwa \(\bover1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) untuk \(0\le x<1\).

225Xh (h)

(i) Tunjukkan bahwa \(\int_0^1t^adt\) berhingga untuk setiap \(a>-1\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\int_1^{\infty}t^ae^{-t}dt\) berhingga untuk setiap \(a\in\Bbb R\). Petunjuk: tunjukkan bahwa terdapat \(M\) sedemikian sehingga \(t^a\le Me^{t/2}\) untuk \(t\ge 1\). (iii) Tunjukkan bahwa \(\Gamma(a)=\int_0^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\) terdefinisi untuk setiap \(a>0\). (iv) Tunjukkan bahwa \(\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)\) untuk setiap \(a>0\). (v) Tunjukkan bahwa \(\Gamma(n+1)=n!\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

(\(\Gamma\) tentu saja merupakan fungsi gama.)

225Xi (i)

Tunjukkan bahwa jika \(b>0\), maka \(\int_0^{\infty}u^{b-1}e^{-u^2/2}du=2^{(b-2)/2}\Gamma(\bover{b}2)\). Petunjuk: tinjau \(f(t)=t^{(b-2)/2}e^{-t}\), \(g(u)=u^2/2\) dalam 225Xe.

225Xj (j)

Andaikan bahwa \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi semikontinu bawah yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^r\), dan bernilai dalam \(\ocint{-\infty,\infty}\). (i) Tunjukkan bahwa \(f+g\), \(f\wedge g\) dan \(f\vee g\) semikontinu bawah, dan bahwa \(\alpha f\) semikontinu bawah untuk setiap \(\alpha\ge 0\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) dan \(g\) nonnegatif, maka \(f\times g\) semikontinu bawah. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) nonnegatif dan \(g\) kontinu, maka \(f\times g\) semikontinu bawah. (iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\) tak-menurun, maka komposisi \(fg\) semikontinu bawah.

225Xk (k)

Misalkan \(A\) suatu keluarga tak kosong dari fungsi-fungsi semikontinu bawah yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^r\) dan bernilai dalam \([-\infty,\infty]\). Tetapkan \(g(x)=\sup\{f(x):f\in A,\,x\in\dom f\}\) untuk \(x\in D=\bigcup_{f\in A}\dom f\). Tunjukkan bahwa \(g\) semikontinu bawah.

225Xl (l)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak, dengan \(a\le b\). (i) Tunjukkan bahwa \(|f|:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak. (ii) Tunjukkan bahwa \(gf\) kontinu mutlak setiap kali \(g:f[\,[a,b]\,]\to\Bbb R\) kontinu mutlak dan \(g'\) terbatas. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(g:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak dan \(\inf_{x\in[a,b]}|g(x)|>0\), maka \(f/g\) kontinu mutlak.

225Xm (m)

Andaikan bahwa \(f:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu, dan terdiferensialkan pada semua kecuali terhitung banyak titik dari \([a,b]\). Tunjukkan bahwa \(f\) kontinu mutlak jika dan hanya jika fungsi tersebut mempunyai variasi terbatas.

225Xn (n)

Misalkan \(f:\coint{0,\infty}\to\Bbb C\) suatu fungsi yang kontinu mutlak pada \([0,a]\) untuk setiap \(a\in\coint{0,\infty}\) dan mempunyai transformasi Laplace \(F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}f(x)dx\) yang terdefinisi pada \(\{s:\Real s>S\}\). Andaikan pula bahwa \(\lim_{x\to\infty}e^{-Sx}f(x)=0\). Tunjukkan bahwa \(f'\) mempunyai transformasi Laplace \(sF(s)-f(0)\) yang terdefinisi setiap kali \(\Real s>S\). (Petunjuk\/: tunjukkan bahwa

untuk setiap \(x\ge 0\).)

225Y Latihan lanjutan (a)

Tunjukkan bahwa komposisi dua fungsi kontinu mutlak tidak harus kontinu mutlak. Petunjuk: 224Xb.

225Yb (b)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu, dengan \(a<b\). Tetapkan \(G=\{x:x\in\ooint{a,b},\,\exists\,y\in\ocint{x,b}\) sedemikian sehingga \(f(x)<f(y)\}\). Tunjukkan bahwa \(G\) terbuka dan dapat dinyatakan sebagai gabungan saling lepas dari interval-interval \(\ooint{c,d}\) dengan \(f(c)\le f(d)\). Gunakan hal ini untuk membuktikan 225D tanpa menggunakan Teorema Vitali.

225Yc (c)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi dengan variasi terbatas dan \(\gamma>0\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi kontinu mutlak \(g:[a,b]\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(|g'(x)|\le\gamma\) di setiap titik tempat turunannya ada dan \(\{x:x\in[a,b],\,f(x)\ne g(x)\}\) mempunyai ukuran paling besar \(\bover1{\gamma}\Var f\). Petunjuk: cukup buktikan kasus \(f\) tak-menurun. Terapkan 225Yb pada fungsi \(x\mapsto f(x)-\gamma x\) dan tunjukkan bahwa \(\gamma\mu G\le\Var f\). Tetapkan \(g(x)=f(x)\) untuk \(x\in\ooint{a,b}\setminus G\).

225Yd (d)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi yang kontinu mutlak pada setiap interval terbatas. Tunjukkan bahwa \(\Var f\le\bover12\Var f'+\int|f|\).

225Ye (e)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terukur dan nonnegatif yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(D\) dari \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi semikontinu bawah \(g:\BbbR^r\to[-\infty,\infty]\) sedemikian sehingga \(g(x)\ge f(x)\) untuk setiap \(x\in D\) dan \(\int_Dg-f\le\epsilon\).

225Yf (f)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real terukur yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(D\) dari \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi semikontinu bawah \(g:\BbbR^r\to[-\infty,\infty]\) sedemikian sehingga \(g(x)\ge f(x)\) untuk setiap \(x\in D\) dan \(\mu^*\{x:x\in D,\,g(x)>f(x)\}\le\epsilon\). Petunjuk: 134Yd, 134Fb.

225Yg (g)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(f\) suatu fungsi real terukur Lebesgue, maka semua turunan Dini-nya terukur Lebesgue. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) suatu fungsi real terukur Borel, maka semua turunan Dini-nya terukur Borel.

225-notes Catatan penutup untuk Bagian 225

Masih banyak yang dapat dikatakan tentang fungsi-fungsi kontinu mutlak; saya akan kembali ke topik ini dalam bagian berikutnya dan dalam Bab 26. Saya jarang akan menggunakan secara langsung hasil-hasil mulai 225H dalam bentuknya yang paling kuat, tetapi menurut saya penyelidikan semacam ini diperlukan untuk memperoleh gambaran yang jelas mengenai hubungan antara konsep-konsep seperti kontinuitas mutlak dan variasi terbatas. Tentu saja, untuk menerapkan hasil-hasil ini, kita memang memerlukan bekal kelas-kelas sederhana fungsi kontinu mutlak; fungsi-fungsi terdiferensialkan dengan turunan terbatas membentuk kelas terpenting (225Xb). Keluarga yang lebih besar dari jenis yang sama adalah kelas fungsi ‘Lipschitz’ (262Bc).

Definisi ‘fungsi kontinu mutlak’ biasanya diberikan untuk interval tertutup dan terbatas, seperti dalam 225B. Pokoknya ialah bahwa untuk interval lain, generalisasi paling sederhana dari perumusan ini tidak tampak sepenuhnya tepat. Dalam 225Xf saya mencoba menunjukkan jenis persyaratan yang mungkin dikenakan pada fungsi-fungsi yang didefinisikan pada jenis interval lain.

Perlu saya katakan bahwa sasaran sesungguhnya masih belum sepenuhnya dalam jangkauan kita. Saya telah dapat memberikan perumusan yang cukup memuaskan mengenai integrasi parsial sederhana (225F), setidaknya untuk interval terbatas – suatu proses limit lebih lanjut diperlukan untuk menangani interval tak terbatas. Namun suatu metode pendamping dari kalkulus lanjut, integrasi dengan substitusi, masih sukar dicapai. Hasil terbaik yang menurut saya dapat kita peroleh pada tahap ini adalah 225Xe, yang mensyaratkan integran \(f\) kontinu. Memang benar bahwa hasil tersebut berlaku untuk setiap \(f\) yang terintegralkan, tetapi masih ada beberapa kehalusan lebih lanjut yang harus dikuasai dalam prosesnya; gagasan-gagasan yang diperlukan diberikan dalam hasil-hasil yang jauh lebih umum 235A dan 263D di bawah, dan diterapkan pada kasus satu dimensi dalam 263J.

Dalam perjalanan menuju karakterisasi fungsi-fungsi kontinu mutlak dalam 225K, saya mendapati diri saya menggunakan salah satu hubungan mendasar antara ukuran Lebesgue dan topologi \(\BbbR^r\) (225I). Teknik di sini dapat diadaptasi untuk memberikan banyak variasi hasil tersebut; lihat 225Ye-225Yf. Jika Anda belum pernah menjumpai fungsi-fungsi semikontinu sebelumnya, 225Xj-225Xk memberikan sebagian gambaran tentang sifat-sifatnya. Dalam 225J saya memberikan sebuah fragmen ‘teori himpunan deskriptif’, yakni kajian tentang jenis-jenis himpunan yang dapat muncul dari rumus-rumus analisis. Gagasan-gagasan ini juga akan muncul kembali di tempat lain (bandingkan 225Yg dan juga pembuktian 262M di bawah) dan akan sangat penting dalam Jilid 4 dan 5.