Ruang lengkap — Fondasi Teori Ukuran

Dalam dua bagian berikutnya dari bab ini saya memberikan uraian singkat mengenai teori ruang ukur yang memiliki beberapa sifat yang dijelaskan dalam §211. Saya mulai dengan ‘kelengkapan’. Saya memberikan fakta-fakta elementer mengenai ruang ukur lengkap dalam 212A-212B; kemudian saya beralih ke gagasan ‘pelengkapan’ suatu ukuran (212C) dan hubungannya dengan konsep-konsep teori ukuran lainnya yang telah diperkenalkan sejauh ini (212D-212G).

212A Proposisi

Setiap ruang ukur yang dikonstruksi dengan metode Carathéodory adalah lengkap.

212B Proposisi

(a) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur lengkap, maka setiap subhimpunan koterabaikan dari \(X\) adalah terukur.

(b) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap, dan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\). Jika \(f\) terukur secara virtual (yaitu, terdapat suatu himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur), maka \(f\) terukur.

(c) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap, dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni, jika salah satunya benar maka yang lainnya juga benar:

(i) \(f\) terintegralkan;

(ii) \(f\) terukur dan \(|f|\) terintegralkan;

(iii) \(f\) terukur dan terdapat fungsi terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(|f|\leae g\).

Bukti

(a) Jika \(E\) koterabaikan, maka \(X\setminus E\) terabaikan, sehingga terukur, dan \(E\) terukur.

(b) Misalkan \(a\in\Bbb R\). Maka terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(\{x:(f\restr E)(x)\le a\}=H\cap\dom(f\restr E) =H\cap E\cap\dom f\).

Sekarang \(F=\{x:x\in\dom f\setminus E,\,f(x)\le a\}\) adalah subhimpunan dari himpunan terabaikan \(X\setminus E\), sehingga terukur, dan

\(\{x:f(x)\le a\}=(F\cup H)\cap\dom f\in\Sigma_{\dom f}\),

dengan menuliskan \(\Sigma_D=\{D\cap E:E\in\Sigma\}\), seperti dalam 121A. Karena \(a\) sembarang, \(f\) terukur (135E).

(c)(i)\(\Rightarrow\)(ii) Jika \(f\) terintegralkan, maka menurut 122P, \(f\) terukur secara virtual dan menurut 122Re, \(|f|\) terintegralkan. Menurut (b) di sini, \(f\) terukur, sehingga (ii) benar.

(ii)\(\Rightarrow\)(iii) adalah langsung.

(iii)\(\Rightarrow\)(i) Jika \(f\) terukur dan \(g\) terintegralkan serta \(|f|\leae g\), maka \(f\) terukur secara virtual, \(|g|\) terintegralkan, dan \(|f|\leae|g|\), sehingga 122P memberi tahu kita bahwa \(f\) terintegralkan.

212C Pelengkapan suatu ukuran

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur.

212Ca (a)

Misalkan \(\hat\Sigma\) adalah keluarga semua himpunan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga terdapat \(E'\), \(E''\in\Sigma\) dengan \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu(E''\setminus E')=0\). Maka \(\hat\Sigma\) adalah aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Bukti.\ (i) Tentu saja \(\emptyset\) termasuk dalam \(\hat\Sigma\), karena kita dapat mengambil \(E'=E''=\emptyset\). (ii) Jika \(E\in\hat\Sigma\), ambil \(E'\), \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu(E''\setminus E')=0\). Maka \(X\setminus E''\subseteq X\setminus E \subseteq X\setminus E'\), \(\mu((X\setminus E')\setminus(X\setminus E'')) =\mu(E''\setminus E')=0\), sehingga \(X\setminus E\in\hat\Sigma\). (iii) Jika \(\sequencen{E_n}\) adalah suatu barisan dalam \(\hat\Sigma\), maka untuk setiap \(n\) pilih \(E'_n\), \(E_n''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'_n\subseteq E_n\subseteq E_n''\) dan \(\mu(E_n''\setminus E'_n)=0\). Tetapkan \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\), \(E'=\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\), \(E''=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n''\); maka \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(E''\setminus E'\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n''\setminus E'_n)\) terabaikan, sehingga \(E\in\hat\Sigma\). ∎

212Cb (b)

Untuk \(E\in\hat\Sigma\), tetapkan

\(\hat\mu E=\mu^*E =\min\{\mu F:E\subseteq F\in\Sigma\}\)

(132A). Patut segera dikemukakan bahwa jika \(E\in\hat\Sigma\), \(E'\), \(E''\in\Sigma\), \(E'\subseteq E\subseteq E''\), dan \(\mu(E''\setminus E')=0\), maka \(\mu E'=\hat\mu E=\mu E''\); hal ini karena

\(\mu E'=\mu^*E'\le\mu^*E\le\mu^*E''=\mu E'' =\mu E'+\mu(E''\setminus E')=\mu E'\)

(dengan mengingat kembali dari 132A, atau mengamati sekarang, bahwa \(\mu^*A\le\mu^*B\) bilamana \(A\subseteq B\subseteq X\), dan bahwa \(\mu^*\) sama dengan \(\mu\) pada \(\Sigma\)).

212Cc (c)

Sekarang kita mendapati bahwa \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) adalah suatu ruang ukur. Bukti. (i) Tentu saja \(\hat\mu\), seperti \(\mu\), mengambil nilai dalam \([0,\infty]\). (ii) \(\hat\mu\emptyset=\mu\emptyset=0\). (iii) Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\hat\Sigma\), dengan gabungan \(E\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) pilih \(E_n'\), \(E_n''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E_n'\subseteq E_n\subseteq E_n''\) dan \(\mu(E_n''\setminus E_n')=0\). Tetapkan \(E'=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n'\), \(E''=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n''\). Maka (seperti dalam (a-iii) di atas) \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu(E''\setminus E')=0\), sehingga \(\hat\mu E=\mu E'=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n' =\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu E_n\) karena \(\sequencen{E_n'}\), seperti \(\sequencen{E_n}\), adalah saling lepas. ∎

212Cd (d)

Ruang ukur \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) disebut pelengkapan dari ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\); demikian pula, saya akan menyebut \(\hat\mu\) sebagai pelengkapan dari \(\mu\), dan kadang-kadang (jika tampak jelas ideal nol mana yang sedang dibicarakan) saya akan menyebut \(\hat\Sigma\) sebagai pelengkapan dari \(\Sigma\). Anggota-anggota \(\hat\Sigma\) kadang-kadang disebut terukur terhadap \(\mu\).

212D

Ada sesuatu yang sebaiknya segera saya periksa.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur. Maka \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\), sebagaimana didefinisikan dalam 212C, adalah ruang ukur lengkap dan \(\hat\mu\) merupakan perluasan dari \(\mu\); serta \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)=(X,\Sigma,\mu)\) jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap.

Bukti

(a) Misalkan \(A\subseteq E\in\hat\Sigma\) dan \(\hat\mu E=0\). Maka (menurut 212Cb) terdapat \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\subseteq E''\) dan \(\mu E''=0\). Dengan demikian kita mempunyai

\(\emptyset\subseteq A\subseteq E''\), \(\mu(E''\setminus\emptyset)=0\),

sehingga \(A\in\hat\Sigma\). Karena \(A\) sembarang, \(\hat\mu\) lengkap.

(b) Jika \(E\in\Sigma\), maka tentu saja \(E\in\hat\Sigma\), karena \(E\subseteq E\subseteq E\) dan \(\mu(E\setminus E)=0\); serta \(\hat\mu E=\mu^*E=\mu E\). Jadi \(\Sigma\subseteq\hat\Sigma\) dan \(\hat\mu\) memperluas \(\mu\).

(c) Jika \(\mu=\hat\mu\), maka tentu saja \(\mu\) harus lengkap. Jika \(\mu\) lengkap dan \(E\in\hat\Sigma\), maka terdapat \(E'\), \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu(E''\setminus E')=0\). Tetapi sekarang \(E\setminus E'\subseteq E''\setminus E'\), sehingga (karena \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap) \(E\setminus E'\in\Sigma\) dan \(E=E'\cup(E\setminus E')\in\Sigma\). Karena \(E\) sembarang, \(\hat\Sigma\subseteq\Sigma\), maka \(\hat\Sigma=\Sigma\) dan \(\mu=\hat\mu\).

212E

Pentingnya konstruksi ini sedemikian rupa sehingga ada gunanya untuk menguraikan beberapa sifat elementer lebih lanjut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya.

(a) Ukuran luar \(\hat\mu^*\) dan \(\mu^*\) yang didefinisikan dari \(\hat\mu\) dan \(\mu\) adalah sama.

(b) \(\mu\) dan \(\hat\mu\) menghasilkan himpunan-himpunan terabaikan dan koterabaikan yang sama, serta himpunan-himpunan berukuran luar penuh yang sama.

(d) Suatu subhimpunan dari \(X\) termasuk dalam \(\hat\Sigma\) jika dan hanya jika dapat dinyatakan sebagai \(F\symmdiff A\), dengan \(F\in\Sigma\) dan \(A\) terabaikan terhadap \(\mu\).

Bukti

(a) Ambil sembarang \(A\subseteq X\). (i) Jika \(A\subseteq F\in\Sigma\), maka \(F\in\hat\Sigma\) dan \(\mu F=\hat\mu F\), sehingga

\(\hat\mu^*A\le\hat\mu F=\mu F\);

karena \(F\) sembarang, \(\hat\mu^*A\le\mu^*A\). (ii) Jika \(A\subseteq E\in\hat\Sigma\), terdapat \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\subseteq E''\) dan \(\mu E''=\hat\mu E\), sehingga

\(\mu^*A\le\mu E''=\hat\mu E\);

karena \(E\) sembarang, \(\mu^*A\le\hat\mu^*A\).

(b) Sekarang, untuk \(A\subseteq X\),

\(A\) terabaikan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika \(\mu^*A=0\iff\hat\mu^*A=0\iff A\) terabaikan terhadap \(\hat\mu\).

\[\begin{aligned}A\text{ koterabaikan terhadap }\mu &\iff\mu^*(X\setminus A)=0\\ &\iff\,\hat\mu^*(X\setminus A)=0 \iff A\text{ koterabaikan terhadap }\hat\mu.\\\end{aligned}\]

Jika \(A\) berukuran luar penuh untuk \(\mu\), \(F\in\hat\Sigma\), dan \(F\cap A=\emptyset\), maka terdapat \(F'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F'\subseteq F\) dan \(\mu F'=\hat\mu F\); karena \(F'\cap A=\emptyset\), \(F'\) terabaikan terhadap \(\mu\) dan \(F\) terabaikan terhadap \(\hat\mu\); karena \(F\) sembarang, \(A\) berukuran luar penuh untuk \(\hat\mu\). Dalam arah sebaliknya, tentu saja, jika \(A\) berukuran luar penuh untuk \(\hat\mu\), maka

\(\mu^*(F\cap A)=\hat\mu^*(F\cap A)=\hat\mu F=\mu F\)

untuk setiap \(F\in\Sigma\), sehingga \(A\) berukuran luar penuh untuk \(\mu\).

(c) Jika \(\tilde\mu\) adalah sembarang ukuran berdomain \(\hat\Sigma\) yang memperluas \(\mu\), kita harus mempunyai

\(\mu E'\le\tilde\mu E\le\mu E''\), \(\mu E'=\hat\mu E=\mu E''\),

sehingga \(\tilde\mu E=\hat\mu E\), bilamana \(E'\), \(E''\in\Sigma\), \(E'\subseteq E\subseteq E''\), dan \(\mu(E''\setminus E')=0\).

(d)(i) Jika \(E\in\hat\Sigma\), ambil \(E'\), \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu(E''\setminus E')=0\). Maka \(E\setminus E'\subseteq E''\setminus E'\), sehingga \(E\setminus E'\) terabaikan terhadap \(\mu\), dan \(E=E'\symmdiff(E\setminus E')\) merupakan selisih simetris antara suatu anggota \(\Sigma\) dan suatu himpunan terabaikan.

(ii) Jika \(E=F\symmdiff A\), dengan \(F\in\Sigma\) dan \(A\) terabaikan terhadap \(\mu\), ambil \(G\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu G=0\) dan \(A\subseteq G\); maka \(F\setminus G\subseteq E\subseteq F\cup G\) dan \(\mu((F\cup G)\setminus(F\setminus G))=\mu G=0\), sehingga \(E\in\hat\Sigma\).

212F

Sekarang mari kita tinjau pengintegralan terhadap pelengkapan suatu ukuran.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya.

(a) Suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\), \(f\), yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\) bersifat terukur terhadap \(\hat\Sigma\) jika dan hanya jika terukur secara virtual terhadap \(\mu\).

(b) Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\). Maka \(\int fd\mu=\int fd\hat\mu\) jika salah satunya didefinisikan dalam \([-\infty,\infty]\); khususnya, \(f\) dapat diintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika dapat diintegralkan terhadap \(\hat\mu\).

Bukti

(a)(i) Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terukur terhadap \(\hat\Sigma\). Untuk \(q\in\Bbb Q\), misalkan \(E_q\in\hat\Sigma\) sedemikian sehingga \(\{x:f(x)\le q\}=\dom f\cap E_q\), dan pilih \(E_q'\), \(E_q''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E_q'\subseteq E_q\subseteq E_q''\) dan \(\mu(E_q''\setminus E_q')=0\). Tetapkan \(H=X\setminus\bigcup_{q\in\Bbb Q}(E_q''\setminus E_q')\); maka \(H\) koterabaikan terhadap \(\mu\). Untuk \(a\in\Bbb R\), tetapkan

\(G_a=\bigcup_{q\in\Bbb Q,q<a}E_q'\in\Sigma\);

maka

\(\{x:x\in\dom(f\restr H),\,(f\restr H)(x)<a\} =G_a\cap\dom(f\restr H)\).

Hal ini menunjukkan bahwa \(f\restr H\) terukur terhadap \(\Sigma\), sehingga \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\).

(ii) Jika \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\), maka terdapat himpunan \(H\subseteq X\) yang koterabaikan terhadap \(\mu\) sedemikian sehingga \(f\restr H\) terukur terhadap \(\Sigma\). Karena \(\Sigma\subseteq\hat\Sigma\), \(f\restr H\) juga terukur terhadap \(\hat\Sigma\). Dan \(H\) koterabaikan terhadap \(\hat\mu\), menurut 212Eb. Namun ini berarti bahwa \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\hat\mu\), sehingga terukur terhadap \(\hat\Sigma\), menurut 212Bb.

(b)(i) Misalkan \(f:D\to[-\infty,\infty]\) suatu fungsi, dengan \(D\subseteq X\). Jika salah satu dari \(\int fd\mu\) dan \(\int fd\hat\mu\) didefinisikan dalam \([-\infty,\infty]\), maka \(f\) terukur secara virtual dan didefinisikan hampir di mana-mana untuk salah satu ukuran yang bersangkutan, dan karenanya untuk keduanya (dengan menggabungkan (a) di atas dengan 212Bb).

(ii) Sekarang misalkan \(f\) nonnegatif dan terintegralkan terhadap \(\mu\) atau terhadap \(\hat\mu\). Misalkan \(E\in\Sigma\) suatu himpunan koterabaikan yang termuat dalam \(\dom f\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur terhadap \(\Sigma\). Untuk \(n\in\Bbb N\), \(k\ge 1\), tetapkan

\(E_{nk}=\{x:x\in E\), \(f(x)\ge 2^{-n}k\}\);

maka setiap \(E_{nk}\) termasuk dalam \(\Sigma\) dan berukuran hingga untuk \(\mu\) maupun \(\hat\mu\). (Jika \(f\) dapat diintegralkan terhadap \(\mu\),

\(\hat\mu E_{nk}=\mu E_{nk}\le 2^n\int fd\mu\);

jika \(f\) dapat diintegralkan terhadap \(\hat\mu\),

\(\mu E_{nk}=\hat\mu E_{nk}\le 2^n\int fd\hat\mu\).)

Jadi

\(f_n=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi E_{nk}\)

adalah sederhana terhadap \(\mu\) sekaligus sederhana terhadap \(\hat\mu\), dan \(\int f_nd\mu=\int f_nd\hat\mu\). Perhatikan bahwa, untuk \(x\in E\),

\[\begin{aligned}f_n(x) &=2^{-n}k\text{ jika }k<4^n\text{ dan }2^{-n}k\le f(x)<2^{-n}(k+1),\\ &=2^n\text{ jika }f(x)\ge 2^n.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\sequencen{f_n}\) merupakan barisan fungsi tak menurun yang konvergen ke \(f\) di setiap titik \(E\), yakni, hampir di mana-mana terhadap \(\mu\) maupun terhadap \(\hat\mu\). Karena itu, untuk setiap \(c\in\Bbb R\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int fd\mu=c &\iff\lim_{n\to\infty}\int f_nd\mu=c\\ &\iff\lim_{n\to\infty}\int f_nd\hat\mu=c \iff\int fd\hat\mu=c.\\\end{aligned}\]

(iii) Mengenai integral tak hingga, ingat bahwa untuk fungsi nonnegatif saya menuliskan ‘\(\int f=\infty\)’ tepat ketika \(f\) didefinisikan hampir di mana-mana, terukur secara virtual, dan tidak terintegralkan. Jadi (i) dan (ii) bersama-sama menunjukkan bahwa \(\int fd\mu=\int fd\hat\mu\) bilamana \(f\) nonnegatif dan salah satu integral didefinisikan dalam \([0,\infty]\).

(iv) Karena \(\mu\) maupun \(\hat\mu\) sama-sama menetapkan bahwa \(\int f\) harus ditafsirkan sebagai \(\int f^+-\int f^-\) tepat ketika ungkapan ini dapat didefinisikan dalam \([-\infty,\infty]\), dengan menuliskan \(f^+(x)=\max(f(x),0)\) dan \(f^-(x)=\max(-f(x),0)\) untuk \(x\in\dom f\), hasil untuk \(f\) bernilai real umum segera diperoleh.

212G

Sekarang saya beralih ke persoalan tentang pengaruh konstruksi ini terhadap sifat-sifat yang tercantum dalam 211B-211K.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya.

(a) Untuk masing-masing sifat berikut – ruang peluang, berhingga total, \(\sigma\)-hingga, semihingga, dan dapat dilokalkan – \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) memiliki sifat tersebut jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) memilikinya.

(b) \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat jika \((X,\Sigma,\mu)\) demikian, dan setiap dekomposisi \(X\) untuk \(\mu\) merupakan dekomposisi untuk \(\hat\mu\).

(c) Suatu himpunan \(H\in\hat\Sigma\) merupakan atom untuk \(\hat\mu\) jika dan hanya jika terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\) merupakan atom untuk \(\mu\) dan \(\hat\mu(H\symmdiff E)=0\).

(d) \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) tanpa atom atau atomik murni jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) demikian.

Bukti

(a)(i) Karena \(\hat\mu X=\mu X\), \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) merupakan ruang peluang, atau hingga total, jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) demikian.

(ii) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga, terdapat suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) yang menutupi \(X\), dengan \(\mu E_n<\infty\) untuk setiap \(n\). Sekarang \(\hat\mu E_n<\infty\) untuk setiap \(n\), sehingga \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

Jika \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga, terdapat suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) yang menutupi \(X\), dengan \(\hat\mu E_n<\infty\) untuk setiap \(n\). Sekarang untuk setiap \(n\) kita dapat menemukan \(E_n''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E_n''<\infty\) dan \(E_n\subseteq E_n''\); jadi \(\sequencen{E_n''}\) menyaksikan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

(iii) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga dan \(\hat\mu E=\infty\), maka terdapat \(E'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\) dan \(\mu E'=\infty\). Selanjutnya, terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E'\) dan \(0<\mu F<\infty\). Tentu saja sekarang kita mempunyai \(F\in\hat\Sigma\), \(F\subseteq E\), dan \(0<\hat\mu F<\infty\). Karena \(E\) sembarang, \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) semihingga.

Jika \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) semihingga dan \(\mu E=\infty\), maka \(\hat\mu E=\infty\), sehingga terdapat \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(0<\hat\mu F<\infty\). Selanjutnya, terdapat \(F'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F'\subseteq F\) dan \(\mu F'=\hat\mu F\). Tentu saja sekarang kita mempunyai \(F'\subseteq E\) dan \(0<\mu F'<\infty\). Karena \(E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga.

(iv) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan dan \(\Cal E\subseteq \hat\Sigma\), maka tetapkan

\(\Cal F=\{F:F\in\Sigma,\,\exists\enskip E\in\Cal E,\, F\subseteq E\}\).

Misalkan \(H\) suatu supremum esensial dari \(\Cal F\) dalam \(\Sigma\), seperti dalam 211G.

Jika \(E\in\Cal E\), terdapat \(E'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\) dan \(E\setminus E'\) terabaikan; sekarang \(E'\in\Cal F\), sehingga

\(\hat\mu(E\setminus H) \le\hat\mu(E\setminus E')+\mu(E'\setminus H)=0\).

Jika \(G\in\hat\Sigma\) dan \(\hat\mu(E\setminus G)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), misalkan \(G''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(G\subseteq G''\) dan \(\hat\mu(G''\setminus G)=0\); kemudian, untuk setiap \(F\in\Cal F\), terdapat \(E\in\Cal E\) yang memuat \(F\), sehingga

\(\mu(F\setminus G'')\le\hat\mu(E\setminus G)=0.\)

Karena \(F\) sembarang, \(\mu(H\setminus G'')=0\) dan \(\hat\mu(H\setminus G)=0\). Hal ini menunjukkan bahwa \(H\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\hat\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sembarang, \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dapat dilokalkan.

Misalkan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dapat dilokalkan dan \(\Cal E\subseteq\Sigma\). Dengan bekerja dalam \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\), misalkan \(H\) suatu supremum esensial untuk \(\Cal E\) dalam \(\hat\Sigma\). Misalkan \(H'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(H'\subseteq H\) dan \(\hat\mu(H\setminus H')=0\). Maka

\(\mu(E\setminus H') \le\hat\mu(E\setminus H)+\hat\mu(H\setminus H')=0\)

untuk setiap \(E\in\Cal E\); sedangkan jika \(G\in\Sigma\) dan \(\mu(E\setminus G)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), kita harus mempunyai

\(\mu(H'\setminus G)\le\hat\mu(H\setminus G)=0\).

Jadi \(H'\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

(b) Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu dekomposisi \(X\) untuk \(\mu\), seperti dalam 211E. Tentu saja ini merupakan partisi \(X\) menjadi himpunan-himpunan berukuran hingga menurut \(\hat\mu\). Jika \(H\subseteq X\) dan \(H\cap X_i\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(i\), untuk setiap \(i\in I\) pilih himpunan \(E_i'\), \(E_i''\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(E_i'\subseteq H\cap X_i\subseteq E_i''\), \(\mu(E_i''\setminus E_i')=0\).

Tetapkan \(E'=\bigcup_{i\in I}E_i'\), \(E''=\bigcup_{i\in I}(E_i''\cap X_i)\). Maka \(E'\cap X_i=E_i'\), \(E''\cap X_i=E_i''\cap X_i\) untuk setiap \(i\), sehingga \(E'\) dan \(E''\) termasuk dalam \(\Sigma\). Juga

\(\mu(E''\setminus E') =\sum_{i\in I}\mu(E_i''\cap X_i\setminus E_i')=0\).

Karena \(E'\subseteq H\subseteq E''\), \(H\in\hat\Sigma\) dan

\(\hat\mu H=\mu E' =\sum_{i\in I}\mu E'_i=\sum_{i\in I}\hat\mu(H\cap X_i)\).

Karena \(H\) sembarang, \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) merupakan dekomposisi \(X\) untuk \(\hat\mu\).

Dengan demikian, \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat jika dekomposisi semacam itu ada, dan hal ini berlaku jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat.

(c)-(d)(i) Misalkan \(E\in\hat\Sigma\) suatu atom untuk \(\hat\mu\). Misalkan \(E'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\) dan \(\hat\mu(E\setminus E')=0\). Maka \(\mu E'=\hat\mu E>0\). Jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E'\), maka \(F\subseteq E\), sehingga \(\mu F=\hat\mu F=0\) atau \(\mu(E'\setminus F)=\hat\mu(E\setminus F)=0\). Karena \(F\) sembarang, \(E'\) merupakan atom untuk \(\mu\), dan \(\hat\mu(E\symmdiff E')=\hat\mu(E\setminus E')=0\).

(ii) Misalkan \(E\in\Sigma\) suatu atom untuk \(\mu\), dan \(H\in\hat\Sigma\) sedemikian sehingga \(\hat\mu(H\symmdiff E)=0\). Maka \(\hat\mu H=\mu E>0\). Jika \(F\in\hat\Sigma\) dan \(F\subseteq H\), misalkan \(F'\subseteq F\) sedemikian sehingga \(F'\in\Sigma\) dan \(\hat\mu(F\setminus F')=0\). Maka \(E\cap F'\subseteq E\) dan \(\hat\mu(F\symmdiff(E\cap F'))=0\), sehingga \(\hat\mu F=\mu(E\cap F')=0\) atau \(\hat\mu(H\setminus F)=\mu(E\setminus F')=0\). Karena \(F\) sembarang, \(H\) merupakan atom untuk \(\hat\mu\).

(iii) Segera diperoleh bahwa \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) tanpa atom jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) tanpa atom.

(iv) Di pihak lain, jika \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni dan \(\hat\mu H>0\), terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\subseteq H\) dan \(\mu E>0\), serta suatu atom \(F\) untuk \(\mu\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\); tetapi \(F\) juga merupakan atom untuk \(\hat\mu\). Karena \(H\) sembarang, \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) atomik murni.

Dan jika \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) atomik murni dan \(\mu E>0\), maka terdapat \(H\subseteq E\) yang merupakan atom untuk \(\hat\mu\); sekarang misalkan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq H\) dan \(\hat\mu(H\setminus F)=0\), sehingga \(F\) merupakan atom untuk \(\mu\) dan \(F\subseteq E\). Karena \(E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni.

Latihan

212X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap. Andaikan \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu^*A+\mu^*(E\setminus A)=\mu E<\infty\). Tunjukkan bahwa \(A\in\Sigma\).

212Xb (>b) penting

Misalkan \(\mu\) dan \(\nu\) dua ukuran pada suatu himpunan \(X\), dengan pelengkapan \(\hat\mu\) dan \(\hat\nu\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) ukuran luar \(\mu^*\) dan \(\nu^*\) yang didefinisikan dari \(\mu\) dan \(\nu\) adalah sama; (ii) \(\hat\mu E=\hat\nu E\) bilamana salah satunya didefinisikan dan hingga; (iii) \(\int fd\mu=\int fd\nu\) bilamana \(f\) suatu fungsi bernilai real sedemikian sehingga salah satu integral didefinisikan dan hingga. Petunjuk: untuk (i)\(\Rightarrow\)(ii), jika \(\hat\mu E<\infty\), ambil suatu selubung terukur \(F\) dari \(E\) untuk \(\nu\) dan hitung \(\nu^*E+\nu^*(F\setminus E)\).

212Xc (c)

Misalkan \(\mu\) adalah pembatasan ukuran Lebesgue pada aljabar-sigma Borel dari \(\Bbb R\), seperti dalam 211P. Tunjukkan bahwa pelengkapannya adalah ukuran Lebesgue itu sendiri. Petunjuk: 134F.

212Xd (d)

Ulangi 212Xc untuk (i) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) (ii) ukuran Lebesgue–Stieltjes pada \(\Bbb R\) (114Xa).

212Xe (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\Cal I\) suatu ideal-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) (112Db). (i) Tunjukkan bahwa \(\Sigma_1=\{E\symmdiff A:E\in\Sigma,\,A\in\Cal I\}\) adalah suatu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). (ii) Misalkan \(\Sigma_2\) keluarga himpunan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga terdapat \(E'\), \(E''\in\Sigma\) dengan \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(E''\setminus E'\in\Cal I\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma_2\) merupakan suatu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan bahwa \(\Sigma_2\subseteq\Sigma_1\). (iii) Tunjukkan bahwa \(\Sigma_2=\Sigma_1\) jika dan hanya jika setiap anggota \(\Cal I\) termuat dalam suatu anggota \(\Sigma\cap\Cal I\).

212Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) sembarang himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tetapkan \(\theta B=\mu^*\phi^{-1}[B]\) untuk setiap \(B\subseteq Y\). (i) Tunjukkan bahwa \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(Y\). (ii) Misalkan \(\nu\) ukuran yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, dan \(\Tau\) domainnya. Tunjukkan bahwa jika \(C\subseteq Y\) dan \(\phi^{-1}[C]\in\Sigma\), maka \(C\in\Tau\). (iii) Andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap dan hingga total. Tunjukkan bahwa \(\nu\) adalah ukuran citra \(\mu\phi^{-1}\).

212Xg (g)

Misalkan \(g\) dan \(h\) dua fungsi tak menurun dari \(\Bbb R\) ke dirinya sendiri, dan \(\mu_g\), \(\mu_h\) ukuran Lebesgue–Stieltjes yang terkait. Tunjukkan bahwa suatu fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\) dapat diintegralkan terhadap \(\mu_{g+h}\) jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat diintegralkan terhadap \(\mu_g\) sekaligus dapat diintegralkan terhadap \(\mu_h\), dan bahwa dalam hal itu \(\int fd\mu_{g+h}=\int fd\mu_g+\int fd\mu_h\). Petunjuk: 114Yb.

212Xh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\Cal I\) suatu ideal-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\); tetapkan \(\Sigma_1=\{E\symmdiff A:E\in\Sigma,\,A\in\Cal I\}\), seperti dalam 212Xe. Tunjukkan bahwa jika setiap anggota \(\Sigma\cap\Cal I\) terabaikan terhadap \(\mu\), maka terdapat perluasan unik dari \(\mu\) menjadi suatu ukuran \(\mu_1\) berdomain \(\Sigma_1\) sedemikian sehingga \(\mu_1A=0\) untuk setiap \(A\in\Cal I\).

212Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap sedemikian sehingga \(\mu X>0\), \(Y\) suatu himpunan, \(f:X\to Y\) suatu fungsi, dan \(\mu f^{-1}\) ukuran citra pada \(Y\). Tunjukkan bahwa jika \(\Cal F\) adalah filter subhimpunan-subhimpunan koterabaikan terhadap \(\mu\) dari \(X\), maka filter citra \(f[[\Cal F]]\) (2A1Ib) adalah filter subhimpunan-subhimpunan koterabaikan terhadap \(\mu f^{-1}\) dari \(Y\).

212Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap dan \(f:X\to\Bbb R\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\overline{\int}fd\mu<\infty\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi terukur \(g:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f(x)\le g(x)\) untuk setiap \(x\in X\) dan \(\int g\,d\mu=\overline{\int}fd\mu\).

212Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\phi\) suatu ukuran dalam pada \(X\), yakni, suatu fungsional dari \(\Cal PX\) ke \([0,\infty]\) sedemikian sehingga

\(\phi\emptyset=0\),

\(\phi(A\cup B)\ge\phi A+\phi B\) jika \(A\cap B=\emptyset\),

\(\phi(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n)=\lim_{n\to\infty}\phi A_n\) bilamana \(\sequencen{A_n}\) adalah suatu barisan tak menaik dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan \(\phi A_0<\infty\),

jika \(\phi A=\infty\), \(a\in\Bbb R\), terdapat \(B\subseteq A\) sedemikian sehingga \(a\le\phi B<\infty\).

Misalkan \(\mu\) ukuran yang didefinisikan dari \(\phi\), yakni, \(\mu=\phi\restr\Sigma\), dengan

\(\Sigma=\{E:\phi(A) =\phi(A\cap E)+\phi(A\setminus E)\Forall A\subseteq X\}\)

(113Yg). Tunjukkan bahwa \(\mu\) harus lengkap.

Catatan dan komentar

212-notes Catatan penutup untuk Bagian 212

Proses pelengkapan sedemikian alami, dapat diterapkan secara universal, dan praktis, sehingga dalam bagian-bagian besar teori ukuran adalah wajar untuk hanya menggunakan ruang ukur lengkap. Bahkan, banyak penulis merumuskan definisi mereka sedemikian rupa sehingga, secara eksplisit ataupun implisit, hanya ruang ukur lengkap yang dipertimbangkan. Dalam risalah ini saya menghindari mengambil langkah sebesar itu, meskipun langkah tersebut akan menyederhanakan pernyataan banyak teorema dalam jilid ini (misalnya). Dalam Jilid 1 saya memang bersusah payah memberikan definisi ‘fungsi terintegralkan’ yang, pada hakikatnya, menelaah keterintegralan terhadap pelengkapan suatu ukuran (212Fb). Terdapat ruang ukur tidak lengkap yang layak dikaji (misalnya, pembatasan ukuran Lebesgue pada aljabar-sigma Borel dari \(\Bbb R\) – lihat 211P), dan beberapa persoalan menarik yang akan dibahas dalam Jilid 3 dan 5 berlaku bagi ruang-ruang tersebut. Oleh karena itu, dengan menanggung cukup banyak manuver verbal, saya lebih suka menuliskan teorema dalam bentuk yang dapat diterapkan pada ruang ukur sembarang, tanpa mengasumsikan kelengkapan. Namun, akan wajar, dan memang akan mempertajam teknik Anda, jika Anda secara teratur mencari perumusan alternatif yang menjadi alami apabila Anda hanya berminat pada ruang lengkap.