©date1994
Dalam bab ini saya menguraikan konsep dasar ‘ruang ukur’, yaitu suatu himpunan yang sebagian (biasanya bukan semua) himpunan bagiannya dapat diberi suatu ‘ukuran’. Anda dapat menafsirkan ukuran itu sebagai luas, massa, volume, kapasitas termal, atau hampir apa saja yang Anda harapkan bersifat aditif – maksud saya, ukuran gabungan dua himpunan yang saling lepas harus sama dengan jumlah ukuran keduanya. Definisi sebenarnya (dalam 112A) tidaklah langsung terlihat dan pada hakikatnya bergantung pada sejumlah ciri teknis yang membuat sebuah bagian persiapan (§111) layak disajikan. Selain itu, sekalipun definisinya sudah dipahami dengan baik, contoh ukuran yang paling awal dan paling penting, yakni ukuran Lebesgue pada ruang Euklides, tetap tidak mudah ditangkap. Karena itu, sebelum beralih ke perincian argumen yang diperlukan untuk ukuran Lebesgue dalam §§114-115, saya mencurahkan satu bagian (§113) untuk suatu metode membangun ukuran. Jadi, struktur bab ini terdiri atas tiga bagian teori umum, disusul dua bagian (yang sangat mirip) mengenai contoh-contoh khusus. Perlu saya katakan bahwa teori umumnya pada dasarnya lebih mudah; namun teori itu memang mengandalkan kelancaran dalam melakukan manipulasi tertentu terhadap keluarga himpunan yang mungkin masih baru bagi Anda.
Pada suatu saat saya perlu menjelaskan penataan materi ini, dan mungkin akan membantu jika saya melakukannya sebelum Anda mulai mempelajari bab ini. Salah satu dari banyak pertanyaan mendasar yang harus diputuskan oleh setiap penulis mengenai pokok ini ialah apakah akan memulai dengan teori ukur ‘umum’ atau dengan ukuran dan integrasi Lebesgue. Masalahnya, ukuran Lebesgue bukan sekadar contoh ruang ukur yang paling penting. Ukuran itu begitu dekat dengan inti pokok bahasan sehingga sebagian besar gagasan dalam teori elementer dapat diwujudkan sepenuhnya dalam teorema-teorema tentang ukuran Lebesgue. Jika menengok ke Jilid 2, saya mendapati bahwa, selain Bab 21 – yang secara khusus dimaksudkan untuk memperluas gagasan Anda mengenai apa saja yang dapat menjadi ruang ukur – hanya Bab 27 dan paruh kedua Bab 25 yang benar-benar memerlukan teori umum agar dapat dipahami, sedangkan Bab 22, 26, dan 28 secara khusus membahas ukuran Lebesgue. Jilid 3 lain lagi persoalannya, tetapi bahkan di sana lebih dari separuh kandungan matematisnya dapat dinyatakan dengan ukuran Lebesgue. Jika Anda berpandangan, sebagaimana tentu saya lakukan ketika pandangan itu sesuai dengan argumen saya, bahwa tugas matematika murni ialah mengungkapkan dan memperluas kemampuan logis pikiran manusia, sedangkan teorema-teorema yang kita pelajari hanyalah wahana bagi gagasan-gagasan itu, maka Anda dapat dengan tepat menunjukkan bahwa semua hal yang sungguh penting dalam jilid ini dapat dilakukan tanpa repot-repot merumuskan teori umum ruang ukur abstrak; dan bahwa dengan mempelajari contoh yang relatif konkret berupa ukuran Lebesgue pada ruang Euklides berdimensi \(r\), Anda dapat menghindari berbagai gangguan yang tidak relevan.
Jika, sebagai pengajar, Anda benar-benar yakin bahwa tidak seorang pun dari peserta didik Anda ingin melampaui teori elementer, pandangan ini patut dipertimbangkan. Namun, saya percaya bahwa pandangan itu tidak dapat dipertahankan jika Anda ingin mempersiapkan seorang pun di antara peserta didik Anda untuk gagasan-gagasan yang lebih maju. Kesulitannya ialah bahwa, betapapun baik niatnya, orang yang telah mempelajari teori lengkap ukuran Lebesgue lalu beralih ke teori ruang ukur abstrak cenderung melaluinya terlalu cepat, dan pada akhirnya tidak lagi yakin persis fakta-fakta mana—yang jumlahnya sembilan puluh persen dari semua fakta yang diketahuinya—yang berlaku secara umum. Saya percaya akan lebih aman jika sifat-sifat khusus ukuran Lebesgue sejak awal diberi label yang jelas sebagai sifat khusus.
Tentu saja, kekeliruan yang terus menghantui pengajar matematika pada tingkat ini ialah mengajar kelas berisi dua puluh orang dengan cara yang mungkin hanya cocok bagi dua orang di antaranya. Namun, dalam hal ini penilaian saya sendiri ialah bahwa sangat sedikit mahasiswa yang memang siap mengikuti mata kuliah ini akan mengalami kesulitan dengan tingkat abstraksi tambahan dalam ‘Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(\ldots\)’. Saya memang mengandaikan pengetahuan tentang aljabar linear elementer, dan setidaknya tata bahasa ruang ukur sembarang tidak lebih buruk daripada tata bahasa ruang linear sembarang. Lagi pula, teori Lebesgue sudah melibatkan pernyataan berbentuk ‘jika \(E\) merupakan himpunan terukur Lebesgue, \(\ldots\)’, dan menurut pengalaman saya, mahasiswa yang mampu menangani kuantifikasi atas himpunan bagian bilangan real tidak gentar menghadapi kuantifikasi atas himpunan yang unsur-unsurnya juga himpunan (yang bagaimanapun diperlukan dalam setiap uraian elementer tentang aljabar-\(\sigma\) himpunan Borel). Jadi saya percaya bahwa, setidaknya di sini, keumuman tambahan dari pendekatan ‘profesional’ bukanlah penghalang bagi peminat nonprofesional.
Saya menuliskan semua ini di sini, bukan nanti di dalam bab, karena saya memang ingin memberi Anda pilihan. Jika Anda memilih mempelajari teori Lebesgue terlebih dahulu dan menunda teori umum, lakukanlah sebagai berikut. Anda perlu membaca
114D, bersama 113A-113B dan 112Ba, 112Bc
114E, bersama 113C-113D, 111A, 112A, 112Bb
114G, bersama 111G dan 111C-111F,
lalu lanjutkan dengan Bab 12. Pada suatu saat, tentu saja, Anda perlu melihat latihan-latihan untuk §§112-113; tetapi, seperti dalam Bab 12-13, lakukanlah dengan menerjemahkan ‘Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur’ menjadi ‘Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), dan \(\Sigma\) aljabar-\(\sigma\) himpunan terukur Lebesgue’. Demikian pula, ketika melihat 111X-111Y, ambillah \(\Sigma\) sebagai entah aljabar-\(\sigma\) himpunan terukur Lebesgue atau aljabar-\(\sigma\) himpunan bagian Borel dari \(\Bbb R\).