Pendahuluan Jilid 2
Untuk jilid kedua ini saya telah memilih tujuh topik untuk menelusuri wawasan dan tantangan yang ditawarkan teori ukuran. Beberapa di antaranya, seperti Teorema Radon-Nikodým (Bab 23), mutlak diperlukan untuk memahami struktur bidang ini; yang lain, seperti analisis Fourier (Bab 28) dan pembahasan ruang fungsi (Bab 24), memperlihatkan kekuatan teori ukuran dalam menyerang persoalan-persoalan umum dalam analisis riil dan analisis fungsional. Namun, semuanya memiliki penerapan di luar teori ukuran, dan semuanya telah memengaruhi perkembangannya. Inilah bagian-bagian teori ukuran yang mungkin digunakan oleh setiap analis.
Setiap topik idealnya sudah pernah dijumpai oleh mahasiswa sarjana, tetapi panjang jilid ini memperjelas bahwa mata kuliah sarjana biasa tidak mungkin mencakup banyak di antaranya. Jilid ini lebih ditujukan pada tingkat pascasarjana, dan saya berharap isinya memadai untuk menunjang semua mata kuliah teori ukuran kecuali yang paling ambisius, walaupun barangkali terlalu padat untuk digunakan langsung sebagai buku ajar, kecuali jika bagian-bagian yang akan dibahas dipilih dengan cermat. Jika Anda menggunakannya untuk mempelajari teori ukuran secara mandiri, saya sangat menganjurkan pendekatan eklektik: carilah pokok bahasan dan teorema tertentu yang terasa mengejutkan atau berguna, lalu telusuri mundur dari sana. Tujuan saya yang lain, tentu saja, adalah menyajikan gagasan-gagasan utama teori ukuran pada tingkat ini secara lebih lengkap daripada yang mudah ditemukan dalam satu jilid di tempat lain. Saya tidak dapat mengklaim bahwa uraian ini ‘definitif’, tetapi saya sungguh merasa bahwa saya mencakup cukup banyak wilayah dengan cara yang memberikan landasan kukuh untuk studi lebih lanjut. Seperti dalam Jilid 1, saya biasanya tidak menghindar dari hasil-hasil ‘terbaik’, seperti syarat Lindeberg untuk Teorema Limit Pusat (§274), atau teori hasil kali ruang ukur sembarang (§251). Jika saya mengajarkan materi ini kepada mahasiswa dalam program doktoral, saya lebih suka menerima keterbatasan dalam keluasan mata kuliah daripada membiarkan mereka tidak mengetahui apa yang dapat dilakukan dalam bidang- bidang yang dibahas.
Topik-topik tersebut berinteraksi dengan cara yang rumit – salah satu tujuan buku ini ialah menampilkan hubungan-hubungan di antara mereka. Tidak ada urutan linear kanonik yang harus diikuti untuk mempelajarinya. Saya pun tidak menganggap bagan organisasi sangat membantu, terutama karena untuk suatu bab di bagian selanjutnya mungkin hanya dua atau tiga paragraf dari sebuah bagian yang diperlukan. Setidaknya saya berusaha menata materi setiap bagian dalam urutan yang membuat bagian awalnya berguna secara mandiri. Namun, urutan mempelajari bab-bab tersebut sebagian besar terserah kepada Anda, mungkin setelah melihat sekilas pendahuluan masing-masing bab. Saya telah berusaha sebaik mungkin untuk mempertahankan tingkat penyajian yang kurang lebih sama di seluruh jilid, dengan kadang- kadang membiarkan tingkat kesulitannya meningkat sepanjang suatu bab atau bagian, tetapi selalu berusaha kembali ke sesuatu yang seharusnya dapat ditangani oleh siapa pun yang telah menguasai Jilid 1. (Walaupun barangkali teorema-teorema utama Bab 26 menuntut kerja lebih keras daripada hasil- hasil pokok di tempat lain, dan §286 hanya diperuntukkan bagi mereka yang paling bertekad.)
Saya mengatakan ada tujuh topik, sedangkan Anda akan melihat delapan bab di hadapan Anda. Hal ini karena Bab 21 agak berbeda dari bab-bab lainnya. Bab ini merupakan teori ukuran yang paling murni, dan ditempatkan di sini hanya karena pada bagian-bagian selanjutnya dalam jilid ini terdapat tempat yang (menurut pandangan saya) teorema-teoremanya hanya masuk akal jika dipahami dalam terang beberapa konsep abstrak yang tidak terlalu sulit, tetapi juga tidak jelas dengan sendirinya. Meskipun demikian, wajar untuk mengatakan bahwa gagasan-gagasan terpenting dalam jilid ini sebenarnya tidak bergantung pada materi Bab 21.
Seperti biasa, menentukan seberapa banyak pengetahuan awal yang harus diandaikan dalam jilid ini merupakan sebuah teka-teki. Tentu saja saya menggunakan hasil-hasil Jilid 1 dari risalah ini setiap kali hasil-hasil tersebut tampak relevan. Namun, saya tidak meragukan bahwa akan ada pembaca yang telah mempelajari teori elementer dari sumber lain. Asalkan Anda dapat mengonstruksi ukuran Lebesgue dari prinsip-prinsip pertama dan membuktikan teorema-teorema konvergensi dasar untuk integral pada ruang ukur sembarang, Anda semestinya dapat mulai mempelajari jilid ini. Barangkali akan membantu jika Anda memiliki versi Jilid 1 yang hanya memuat hasil-hasil, karena versi itu mencakup definisi-definisi terpenting maupun pernyataan teorema- teoremanya.
Ada pula pertanyaan mengenai seberapa banyak materi dari luar teori ukuran yang diperlukan. Bab 21 menuntut sejumlah teori himpunan yang tidak sepele (diberikan dalam §2A1), tetapi gagasan-gagasan yang lebih lanjut hanya diperlukan untuk contoh-contoh tandingan dalam §216 dan dapat dilewati pada awalnya. Persoalannya menjadi lebih pelik dalam Bab 24. Di sini kita memerlukan beragam hasil dari analisis fungsional, beberapa di antaranya bergantung pada gagasan-gagasan yang tidak sepele dalam topologi umum. Untuk memahami materi ini sepenuhnya, tidak ada pengganti bagi mata kuliah tentang ruang bernorma hingga dan termasuk kajian kekompakan lemah. Namun, saya tidak suka mensyaratkan persiapan semacam itu, karena kemungkinan besar persiapan tersebut sekaligus terlalu banyak dan terlalu sedikit. Terlalu banyak, karena pada tahap ini saya nyaris tidak menyebut operator linear; terlalu sedikit, karena saya memang meminta sebagian teori ruang yang tidak konveks lokal, yang sering ditiadakan dalam mata kuliah pertama mengenai analisis fungsional. Oleh karena itu, dengan risiko memboroskan kertas, saya telah menuliskan uraian ringkas mengenai fakta-fakta esensial (§§2A3-2A5).
Catatan untuk cetakan kedua, April 2003
Untuk cetakan kedua jilid ini, saya telah membuat dua koreksi substansial atas pembuktian-pembuktian yang tidak memadai serta sejumlah besar perubahan kecil; saya sangat berterima kasih kepada T.D.Austin atas pembacaannya yang cermat terhadap cetakan pertama. Selain itu, saya telah menambahkan selusin latihan dan beberapa hasil sederhana yang ternyata relevan bagi materi dalam jilid-jilid selanjutnya dan secara alami cocok ditempatkan di sini.
Proses revisi berkala atas karya ini telah mendorong saya membuat beberapa inovasi notasi yang tidak dijelaskan secara eksplisit dalam cetakan-cetakan awal Jilid 1. Saya percaya sebagian besar pembaca akan segera memahaminya. Namun, jika Anda menemukan rujukan silang yang membingungkan dan tidak dapat mencocokkannya dengan apa pun dalam versi Jilid 1 yang Anda gunakan, barangkali ada baiknya memeriksa halaman-halaman erata di http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mterr.htm.
Catatan untuk edisi sampul keras, Januari 2010
Untuk edisi baru (‘Lulu’) jilid ini, saya telah menyingkirkan sejumlah kesalahan lain; tidak diragukan lagi masih banyak yang tersisa. Terdapat banyak latihan baru, beberapa teorema baru
dan beberapa penataan ulang materi yang bersesuaian.
Hasil-hasil baru tersebut sebagian besar merupakan tambahan yang hanya sedikit memengaruhi struktur karya ini, tetapi terdapat sebuah bagian baru yang singkat (§266) mengenai ketaksamaan Brunn-Minkowski.
Catatan untuk cetakan kedua edisi sampul keras, April 2016
Seperti biasa, ada sekumpulan kesalahan kecil yang harus diperbaiki serta berbagai perubahan dan tambahan kecil. Namun, alasan utama saya menerbitkan versi cetak baru adalah suatu cacat besar dalam pembuktian Teorema Carleson; di sana, langkah gegabah untuk menyederhanakan argumen Lacey \& Thiele 00 didasarkan pada kesalahan tingkat sarjana Catatan: Saya sangat berterima kasih kepada A.Derighetti karena telah menarik perhatian saya pada hal ini. Walaupun kekeliruan tersebut cukup kentara, penyelesaiannya tampaknya memerlukan penyesuaian pada suatu definisi, dan bukanlah tuntutan yang wajar bagi suatu seminar pascasarjana, yakni khalayak sasaran materi ini. Lebih jauh lagi, pembuktian tersebut dimaksudkan sebagai ciri pembeda bukan hanya jilid ini, melainkan juga risalah ini secara keseluruhan. Maka, dengan permintaan maaf kepada siapa pun yang terpaksa mundur setelah berhadapan dengan versi asli, saya menyajikan sebuah revisi yang saya harap pada dasarnya sahih.