Ruang semihingga, ditentukan secara lokal, dan dapat dilokalkan

Pada bagian ini saya menghimpun berbagai fakta berguna tentang jenis-jenis ruang ukur tersebut. Saya mulai dengan sifat-sifat khas ruang semihingga (213A-213B), lalu beralih ke ruang lengkap yang ditentukan secara lokal (213C) dan konsep ‘versi c.l.d.’ (213D-213H),

yakni metode paling ampuh di antara metode yang selalu tersedia untuk memodifikasi suatu ruang ukur agar sifat-sifatnya lebih baik. Saya kemudian membahas secara singkat ‘himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal’ (213I-213L),

dan selubung terukur (213L-213M), lalu menutup bagian ini dengan hasil-hasil tentang ruang yang dapat dilokalkan (213N) dan ruang yang dapat dilokalkan secara ketat (213O).

213A Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga. Maka

\(\mu E =\sup\{\mu F:F\in\Sigma,\,F\subseteq E,\,\mu F<\infty\}\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Bukti

Tetapkan \(c=\sup\{\mu F:F\in\Sigma,\,F\subseteq E,\,\mu F<\infty\}\). Jelas \(c\le\mu E\), sehingga jika \(c=\infty\) tidak ada lagi yang perlu dibuktikan. Jika \(c<\infty\), ambil barisan \(\sequencen{F_n}\) yang terdiri atas subhimpunan terukur dari \(E\) dengan ukuran berhingga, sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\mu F_n=c\); tetapkan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(\bigcup_{k\le n}F_k\) merupakan himpunan terukur berukuran berhingga yang termuat dalam \(E\), sehingga \(\mu(\bigcup_{k\le n}F_k)\le c\), dan

\(\mu F=\lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_{k\le n}F_k)\le c\).

Di pihak lain,

\(\mu F\ge\sup_{n\in\Bbb N}\mu F_n\ge c\),

jadi \(\mu F=c\).

Jika \(F'\) merupakan subhimpunan terukur dari \(E\setminus F\) dan \(\mu F'<\infty\), maka \(F\cup F'\) berukuran berhingga dan termuat dalam \(E\), sehingga ukurannya paling besar \(c=\mu F\); akibatnya \(\mu F'=0\). Ini berarti bahwa \(\mu(E\setminus F)\) tidak mungkin tak berhingga, sebab jika demikian, kesemihinggaan \((X,\Sigma,\mu)\) mengharuskan adanya suatu himpunan terukur dengan ukuran berhingga tak nol di dalamnya. Jadi \(E\setminus F\) berukuran berhingga, dan dengan demikian sebenarnya terabaikan; maka \(\mu E=c\), sebagaimana dinyatakan.

213B Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga. Misalkan \(f\) suatu fungsi terukur secara virtual terhadap \(\mu\), bernilai \([0,\infty]\), dan terdefinisi hampir di mana-mana pada \(X\). Maka

\[\begin{aligned}\int f &=\sup\{\int g:g\text{ adalah fungsi sederhana},\,g\leae f\}\\ &=\sup_{F\in\Sigma,\mu F<\infty}\int_Ff\end{aligned}\]

di \([0,\infty]\).

Bukti

(a) Pada sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), suatu fungsi bernilai \([0,\infty]\) yang terdefinisi pada subhimpunan \(X\) dapat diintegralkan jika dan hanya jika terdapat himpunan koterabaikan \(E\) sehingga

(\(\alpha\)) \(E\subseteq\dom f\) dan \(f\restr E\) adalah terukur,

(\(\beta\)) \(\sup\{\int g:g\) adalah fungsi sederhana, \(g\leae f\}\) berhingga,

(\(\gamma\)) untuk setiap \(\epsilon>0\), \(\{x:x\in E,\,f(x)\ge\epsilon\}\) berukuran berhingga,

(\(\delta\)) \(f\) bernilai berhingga hampir di mana-mana

(lihat 122Ja, 133B). Namun, jika \(\mu\) semihingga, (\(\gamma\)) dan (\(\delta\)) mengikuti dari syarat-syarat lainnya. Bukti. Ambil \(\epsilon>0\). Tetapkan

\(E_{\epsilon}=\{x:x\in E,\,f(x)\ge\epsilon\}\),

\(c =\sup\{\int g:g\) adalah fungsi sederhana, \(g\leae f\}\);

menurut asumsi, \(c\) berhingga. Jika \(F\subseteq E_{\epsilon}\) adalah terukur dan \(\mu F<\infty\), maka \(\epsilon\chi F\) adalah fungsi sederhana dan \(\epsilon\chi F\leae f\), jadi

\(\epsilon\mu F=\int\epsilon\chi F\le c\), \(\mu F\le\Bover{c}{\epsilon}\).

Karena \(F\) sebarang, 213A menunjukkan bahwa \(\mu E_{\epsilon}\le\bover{c}{\epsilon}\) berhingga. Karena \(\epsilon\) sebarang, (\(\gamma\)) terpenuhi.

Untuk (\(\delta\)), jika \(F=\{x:x\in E,\,f(x)=\infty\}\), maka \(\mu F\) berhingga (oleh (\(\gamma\))) dan \(n\chi F\leae f\), sehingga \(n\mu F\le c\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\); jadi \(\mu F=0\). ∎

(b) Sekarang misalkan \(f:D\to[0,\infty]\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\), dengan \(D\subseteq X\) koterabaikan, sehingga \(\int f\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\) (135F). Menurut (a),

\[\begin{aligned}\int f &=\sup_{g\text{ sederhana},g\le f\text{ hampir di mana-mana}}\int g\\ \displaycause{jika salah satunya berhingga, dan dengan demikian juga jika salah satunya tak berhingga} &=\sup_{g\text{ sederhana},g\le f\text{ hampir di mana-mana},\mu F<\infty}\int_Fg \le\sup_{\mu F<\infty}\int_Ff \le\int f,\\\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\int f &=\sup_{\Atop{g\text{ sederhana}}{g\le f\text{ hampir di mana-mana}}}\int g\\ \displaycause{jika salah satunya berhingga, dan dengan demikian juga jika salah satunya tak berhingga} &=\sup_{\Atop{g\text{ sederhana}}{\Atop{g\le f\text{ hampir di mana-mana}} {\mu F<\infty}}}\int_Fg \le\sup_{\mu F<\infty}\int_Ff \le\int f,\\\end{aligned}\]

sehingga kita memperoleh kesamaan yang dicari.

213C Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dan misalkan \(\mu^*\) ukuran luar yang diturunkan dari \(\mu\) (132A-132B). Maka ukuran yang diperoleh dari \(\mu^*\) dengan metode Carathéodory adalah \(\mu\) sendiri.

Bukti

Nyatakan \(\check\mu\) sebagai ukuran yang diperoleh dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\), dan domainnya sebagai \(\check\Sigma\).

(a) Jika \(E\in\Sigma\) dan \(A\subseteq X\) maka \(\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)=\mu^*A\) (132Af), jadi \(E\in\check\Sigma\). Sekarang \(\check\mu E=\mu^*E=\mu E\) (132Ac). Jadi \(\Sigma\subseteq\check\Sigma\) dan \(\mu=\check\mu\restr\Sigma\).

(b) Sekarang misalkan \(H\in\check\Sigma\). Ambil \(E\in\Sigma\) dengan \(\mu E<\infty\). Maka \(H\cap E\in\Sigma\). Bukti. Misalkan \(E_1\), \(E_2\in\Sigma\) berturut-turut merupakan selubung terukur bagi \(E\cap H\) dan \(E\setminus H\), keduanya termuat dalam \(E\) (132Ee). Karena \(H\in\check\Sigma\),

\(\mu E_1+\mu E_2=\mu^*(E\cap H)+\mu^*(E\setminus H) =\mu^*E=\mu E\).

Karena \(E_1\cup E_2=E\),

\(\mu(E_1\cap E_2)=\mu E_1+\mu E_2-\mu E=0\).

Sekarang \(E_1\setminus(E\cap H)\subseteq E_1\cap E_2\); karena \(\mu\) lengkap, \(E_1\setminus(E\cap H)\) dan \(E\cap H\) termasuk dalam \(\Sigma\). ∎

Karena \(E\) sebarang dan \(\mu\) ditentukan secara lokal, \(H\in\Sigma\). Karena \(H\) sebarang, \(\check\Sigma=\Sigma\) dan \(\check\mu=\mu\).

213D Versi c.l.d.: Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Nyatakan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) sebagai kelengkapannya (212C) dan nyatakan \(\Sigma^f\) sebagai \(\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\). Tetapkan

\(\tilde\Sigma=\{H:H\subseteq X,\,H\cap E\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\}\),

dan, untuk \(H\in\tilde\Sigma\), tetapkan

\(\tilde\mu H=\sup\{\hat\mu(H\cap E):E\in\Sigma^f\}\).

Maka \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) merupakan ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal.

Bukti

(a) Pertama-tama kita periksa bahwa \(\tilde\Sigma\) merupakan aljabar-sigma. Bukti. (i) \(\emptyset\cap E=\emptyset\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\), jadi \(\emptyset\in\tilde\Sigma\). (ii) Jika \(H\in\tilde\Sigma\), maka

\((X\setminus H)\cap E =E\setminus(E\cap H)\in\hat\Sigma\)

untuk setiap \(E\in\Sigma^f\), jadi \(X\setminus H\in\tilde\Sigma\). (iii) Jika \(\sequencen{H_n}\) merupakan barisan dalam \(\tilde\Sigma\) dengan gabungan \(H\), maka

\(H\cap E=\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n\cap E\in\hat\Sigma\)

untuk setiap \(E\in\Sigma^f\), jadi \(H\in\tilde\Sigma\). ∎

(b) Jelas bahwa \(\tilde\mu \emptyset=0\). Jika \(\sequencen{H_n}\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\tilde\Sigma\) dengan gabungan \(H\), maka

\[\begin{aligned}\tilde\mu H &=\sup\{\hat\mu(H\cap E):E\in\Sigma^f\}\\ &=\sup\{\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu(H_n\cap E):E\in\Sigma^f\} \le\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu H_n.\\\end{aligned}\]

Sebaliknya, diberikan \(a<\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu H_n\), terdapat \(m\in\Bbb N\) sehingga \(a<\sum_{n=0}^m\tilde\mu H_n\); selanjutnya dapat dipilih \(E_0,\ldots,E_m\in\Sigma^f\) sedemikian sehingga \(a\le\sum_{n=0}^m\hat\mu(H_n\cap E_n)\). Tetapkan \(E=\bigcup_{n\le m}E_n\in\Sigma^f\); maka

\(\tilde\mu H\ge\hat\mu(H\cap E) =\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu(H_n\cap E) \ge\sum_{n=0}^m\hat\mu(H_n\cap E_n) \ge a\).

Karena \(a\) sebarang, \(\tilde\mu H\ge\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu H_n\) dan \(\tilde\mu H=\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu H_n\).

(c) Dengan demikian \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) merupakan ruang ukur. Untuk membuktikan bahwa ruang ini semihingga, pertama perhatikan bahwa \(\hat\Sigma\subseteq\tilde\Sigma\) (karena jika \(H\in\hat\Sigma\) maka pasti \(H\cap E\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\)), dan bahwa \(\tilde\mu H=\hat\mu H\) setiap kali \(\hat\mu H<\infty\) (sebab menurut definisi dalam 212Ca terdapat \(E\in\Sigma^f\) sehingga \(H\subseteq E\), sehingga \(\tilde\mu H=\hat\mu(H\cap E)=\hat\mu H\)). Sekarang misalkan \(H\in\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu H=\infty\). Tentu terdapat \(E\in\Sigma^f\) sehingga \(\hat\mu(H\cap E)>0\); maka \(0<\hat\mu(H\cap E)<\infty\), jadi \(0<\tilde\mu(H\cap E)<\infty\).

(d) Jadi \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) merupakan ruang ukur semihingga. Untuk membuktikan bahwa ruang ini ditentukan secara lokal, misalkan \(H\subseteq X\) sedemikian sehingga \(H\cap G\in\tilde\Sigma\) setiap kali \(G\in\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu G<\infty\). Secara khusus, harus berlaku \(H\cap E\in\tilde\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\). Namun, ini justru berarti bahwa \(H\cap E\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\), sehingga \(H\in\tilde\Sigma\). Karena \(H\) sebarang, \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) ditentukan secara lokal.

(e) Untuk membuktikan bahwa \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) lengkap, misalkan \(A\subseteq H\in\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu H=0\). Untuk setiap \(E\in\Sigma^f\) berlaku \(\hat\mu(H\cap E)=0\). Karena \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) lengkap dan \(A\cap E\subseteq H\cap E\), maka \(A\cap E\in\hat\Sigma\). Karena \(E\) sebarang, \(A\in\tilde\Sigma\).

213E Definisi

Untuk sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) yang dikonstruksi dalam 213D akan disebut versi c.l.d. (‘versi lengkap yang ditentukan secara lokal’) dari \((X,\Sigma,\mu)\); dan \(\tilde\mu\) disebut versi c.l.d. dari \(\mu\).

213F

Dengan mengikuti pola yang sama seperti dalam 212E-212G, saya mulai dengan beberapa catatan elementer yang memudahkan penggunaan konstruksi ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) versi c.l.d. yang bersesuaian.

(a) \(\Sigma\subseteq\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu E=\mu E\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E<\infty\) – sebenarnya, jika \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) adalah kelengkapan \((X,\Sigma,\mu)\), \(\hat\Sigma\subseteq\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu E=\hat\mu E\) setiap kali \(\hat\mu E<\infty\).

(b) Jika \(\tilde\mu^*\) dan \(\mu^*\) berturut-turut menyatakan ukuran luar yang ditentukan oleh \(\tilde\mu\) dan \(\mu\), maka \(\tilde\mu^*A\le\mu^*A\) untuk setiap \(A\subseteq X\), dengan kesamaan jika \(\mu^*A\) berhingga. Secara khusus, setiap himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) juga terabaikan terhadap \(\tilde\mu\); akibatnya, setiap himpunan yang koterabaikan terhadap \(\mu\) juga koterabaikan terhadap \(\tilde\mu\).

(i) \(\tilde\mu H=\sup\{\mu F:F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), \(F\subseteq H\}\);

(ii) terdapat \(E\in\Sigma\) sehingga \(E\subseteq H\) dan \(\mu E=\tilde\mu H\), sehingga jika \(\tilde\mu H<\infty\) maka \(\tilde\mu(H\setminus E)=0\).

Bukti

(a) Pernyataan ini sudah tercakup dalam catatan pada bukti 213D.

(b) Jika \(\mu^*A=\infty\) maka pasti \(\tilde\mu^*A\le\mu^*A\). Jika \(\mu^*A<\infty\), ambil \(E\in\Sigma\) sedemikian rupa sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=\mu^*A\) (132Aa). Kemudian

\(\tilde\mu^*A\le\tilde\mu E=\mu E=\mu^*A\).

Sebaliknya, jika \(A\subseteq H\in\tilde\Sigma\), maka

\(\tilde\mu H\ge\hat\mu(H\cap E)\ge\hat\mu^*A=\mu^*A\),

dengan menggunakan 212Ea. Jadi \(\mu^*A\le\tilde\mu^*A\) dan \(\mu^*A=\tilde\mu^*A\).

(c) Nyatakan \(\Sigma^f\) sebagai \(\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\); maka menurut definisi dalam 213D, \(\tilde\mu H=\sup\{\hat\mu(H\cap E):E\in\Sigma^f\}\). Ambil barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma^f\) sedemikian sehingga \(\tilde\mu H=\sup_{n\in\Bbb N}\hat\mu(H\cap E_n)\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) ada \(F_n\in\Sigma\) sehingga \(F_n\subseteq H\cap E_n\) dan \(\mu F_n=\hat\mu(H\cap E_n)\) (212C). Tetapkan \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\). Maka \(E\in\Sigma\), \(E\subseteq H\) dan

\(\tilde\mu H =\sup_{n\in\Bbb N}\mu F_n \le\lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_{i\le n}F_i) =\mu E =\lim_{n\to\infty}\tilde\mu(\bigcup_{i\le n}F_i) \le\tilde\mu H,\)

jadi \(\mu E=\tilde\mu H\), dan jika \(\tilde\mu H<\infty\) maka \(\tilde\mu(H\setminus E)=0\). Pada saat yang sama,

\[\begin{aligned}\tilde\mu H &=\sup_{n\in\Bbb N}\mu F_n \le\sup_{F\in\Sigma^f,F\subseteq H}\mu F =\sup_{F\in\Sigma^f,F\subseteq H}\tilde\mu F\\ \displaycause{sekali lagi menurut (a)} &\le\tilde\mu H,\\\end{aligned}\]

sehingga di sini pun berlaku kesamaan.

213G

Langkah berikutnya ialah menelaah fungsi-fungsi yang terukur atau terintegralkan terhadap \(\tilde\mu\).

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) versi c.l.d. yang bersesuaian.

(a) Jika fungsi bernilai riil \(f\) yang terdefinisi pada suatu subhimpunan \(X\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\), maka fungsi tersebut terukur terhadap \(\tilde\Sigma\).

(b) Jika suatu fungsi bernilai riil dapat diintegralkan terhadap \(\mu\), maka ia \(\tilde\mu\)-terintegralkan dengan integral yang sama.

(c) Jika \(f\) merupakan fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\), maka terdapat fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\) dan sama dengan \(f\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana.

Bukti

Nyatakan \(\Sigma^f\) sebagai \(\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\). Menurut 213Fa, \(\tilde\mu\) dan \(\mu\) berimpit pada \(\Sigma^f\).

(a) Menurut 212Fa, \(f\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), dengan \(\hat\Sigma\) domain kelengkapan \(\mu\); karena \(\hat\Sigma\subseteq\tilde\Sigma\), \(f\) adalah \(\tilde\Sigma\)-terukur.

(b)(i) Jika \(f\) fungsi sederhana terhadap \(\mu\), maka fungsi itu juga fungsi sederhana terhadap \(\tilde\mu\), dan \(\int fd\mu=\int fd\tilde\mu\), karena \(\tilde\mu E=\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma^f\).

(ii) Jika \(f\) nonnegatif dan dapat diintegralkan terhadap \(\mu\), terdapat barisan tak menurun \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi sederhana terhadap \(\mu\) yang konvergen ke \(f\,\,\mu\)-hampir di mana-mana; menurut 213Fb, setiap himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) juga terabaikan terhadap \(\tilde\mu\), sehingga \(\sequencen{f_n}\) konvergen ke \(f\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana. Berdasarkan teorema B.Levi (123A), \(f\) dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\), dengan

\(\int fd\tilde\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_nd\tilde\mu =\lim_{n\to\infty}\int f_nd\mu=\int fd\mu\).

(iii) Secara umum, jika \(\int fd\mu\) didefinisikan dalam \(\Bbb R\), kita punya

\(\int fd\tilde\mu =\int f^+d\tilde\mu-\int f^-d\tilde\mu =\int f^+d\mu-\int f^-d\mu=\int fd\mu\),

dengan \(f^+\) menyatakan \(f\vee 0\) dan \(f^-\) menyatakan \((-f)\vee 0\).

(c)(i) Misalkan \(f\) fungsi sederhana terhadap \(\tilde\mu\). Nyatakan fungsi ini sebagai \(\sum_{i=0}^na_i\chi H_i\) dengan \(\tilde\mu H_i<\infty\) untuk setiap \(i\). Pilih \(E_0,\ldots,E_n\in\Sigma\) sehingga \(E_i\subseteq H_i\) dan \(\tilde\mu(H_i\setminus E_i)=0\) untuk setiap \(i\) (menggunakan 213Fc di atas). Maka \(g=\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\) merupakan fungsi sederhana terhadap \(\mu\), \(g=f\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana, dan \(\int g\,d\mu=\int fd\tilde\mu\).

(ii) Misalkan \(f\) fungsi nonnegatif yang dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\). Ambil barisan tak menurun \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi-fungsi sederhana terhadap \(\tilde\mu\) yang konvergen \(\tilde\mu\)-hampir di mana-mana ke \(f\). Untuk setiap \(n\), pilih fungsi sederhana terhadap \(\mu\), katakanlah \(g_n\), yang sama \(\tilde\mu\)-hampir di mana-mana dengan \(f_n\). Maka \(\{x:g_{n+1}(x)<g_n(x)\}\) termasuk dalam \(\Sigma^f\) dan terabaikan terhadap \(\tilde\mu\), sehingga juga terabaikan terhadap \(\mu\). Jadi \(\sequencen{g_n}\) tak menurun hampir di mana-mana terhadap \(\mu\). Karena

\(\lim_{n\to\infty}\int g_nd\mu =\lim_{n\to\infty}\int f_nd\tilde\mu=\int fd\tilde\mu\),

teorema B.Levi menunjukkan bahwa \(\sequencen{g_n}\) konvergen \(\mu\)-hampir di mana-mana ke suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\), katakanlah \(g\); karena setiap himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) juga terabaikan terhadap \(\tilde\mu\),

\[\begin{aligned}(X\setminus\dom f) &\cup(X\setminus\dom g)\\ &\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x:f_n(x)\ne g_n(x)\}\\ &\cup\{x:x\in\dom f,\,f(x)\ne\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)\}\\ &\cup\{x:x\in\dom g,\,g(x)\ne\sup_{n\in\Bbb N}g_n(x)\}\\\end{aligned}\]

terabaikan terhadap \(\tilde\mu\), dan \(f=g\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana.

(iii) Jika \(f\) dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\), nyatakan fungsi ini sebagai \(f_1-f_2\), dengan \(f_1\) dan \(f_2\) nonnegatif serta dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\). Terdapat fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\), yaitu \(g_1\), \(g_2\), sedemikian sehingga \(f_1=g_1\) dan \(f_2=g_2\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana; jadi \(g=g_1-g_2\) dapat diintegralkan terhadap \(\mu\) dan sama dengan \(f\,\,\tilde\mu\)-hampir di mana-mana.

213H

Ketiga, saya beralih ke pengaruh konstruksi ini terhadap sifat-sifat lain yang dibahas dalam bab ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) kelengkapannya, dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) versi c.l.d. yang bersesuaian.

(a) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang probabilitas, berhingga total, \(\sigma\)-hingga, atau dapat dilokalkan secara ketat, maka demikian pula \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\), dan dalam semua kasus ini \(\tilde\mu=\hat\mu\);

(b) jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, maka demikian pula \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\), dan untuk setiap \(H\in\tilde\Sigma\) ada suatu \(E\in\Sigma\) sehingga \(\tilde\mu(E\symmdiff H)=0\);

(c) \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga jika dan hanya jika \(\tilde\mu F=\mu F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\); dalam hal ini \(\int fd\tilde\mu=\int fd\mu\) setiap kali integral yang terakhir terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\);

(d) suatu himpunan \(H\in\tilde\Sigma\) merupakan atom bagi \(\tilde\mu\) jika dan hanya jika terdapat atom \(E\) bagi \(\mu\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\tilde\mu(H\symmdiff E)=0\);

(e) jika \((X,\Sigma,\mu)\) tanpa atom atau atomik murni, maka demikian pula \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\);

(f) \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap dan ditentukan secara lokal jika dan hanya jika \(\tilde\mu=\mu\).

Bukti

(a)(i) Pertama kita tunjukkan bahwa jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat, maka \(\tilde\mu=\hat\mu\). Bukti. Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu dekomposisi \(X\) bagi \(\mu\); maka keluarga ini juga merupakan dekomposisi bagi \(\hat\mu\) (212Gb). Jika \(H\in\tilde\Sigma\), berlaku \(H\cap X_i\in\hat\Sigma\) untuk setiap \(i\), dan karenanya \(H\in\hat\Sigma\); lebih-lebih lagi,

\[\begin{aligned}\hat\mu H &=\sum_{i\in I}\hat\mu(H\cap X_i) =\sup\{\sum_{i\in J}\hat\mu(H\cap X_i):J\subseteq I \text{ berhingga}\}\\ &\le\sup\{\hat\mu(H\cap E):E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\} =\tilde\mu H \le\hat\mu H.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\hat\mu H=\tilde\mu H\) untuk setiap \(H\in\tilde\Sigma\) dan \(\hat\mu=\tilde\mu\). ∎

(ii) Akibatnya, jika \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang probabilitas, berhingga total, \(\sigma\)-hingga, atau dapat dilokalkan secara ketat, maka demikian pula \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\); gunakan 212Ga-212Gb untuk melihat bahwa \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) mempunyai sifat yang dimaksud.

(b) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, ambil sebarang subhimpunan \(\Cal H\) dari \(\tilde\Sigma\). Tetapkan

\(\Cal E=\{E:E\in\Sigma^f,\,\exists\enskip H\in\Cal H,\,E\subseteq H\}\)

dengan \(\Sigma^f=\{E:\mu E<\infty\}\) seperti biasa. Di dalam \((X,\Sigma,\mu)\), pilih \(F\in\Sigma\) sebagai supremum esensial bagi \(\Cal E\).

(i) Andaikan, jika mungkin, terdapat \(H\in\Cal H\) sehingga \(\tilde\mu(H\setminus F)>0\). Oleh 213F(c-i), ada \(E\in\Sigma^f\) sehingga \(E\subseteq H\setminus F\) dan \(\mu E>0\). \(E\) ini termasuk dalam \(\Cal E\) dan \(\mu(E\setminus F)=\mu E>0\); hal ini mustahil karena \(F\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\).

(ii) Jadi \(\tilde\mu(H\setminus F)=0\) untuk setiap \(H\in\Cal H\). Sekarang ambil sebarang \(G\in\tilde\Sigma\) sedemikian sehingga \(\tilde\mu(H\setminus G)=0\) untuk setiap \(H\in\Cal H\). Jika \(\tilde\mu(F\setminus G)>0\), terdapat \(E_0\in\Sigma^f\) sehingga \(E_0\subseteq F\setminus G\) dan \(\mu E_0>0\). Jika \(E\in\Cal E\), terdapat \(H\in\Cal H\) sehingga \(E\subseteq H\), sehingga \(E\setminus(F\setminus E_0)\subseteq H\setminus(F\cap G)\), sedangkan \(\mu(E\setminus(F\setminus E_0))<\infty\); jadi

\(\mu(E\setminus(F\setminus E_0)) \le\tilde\mu(H\setminus(F\cap G)) \le\tilde\mu(H\setminus F)+\tilde\mu(H\setminus G) =0\).

Karena \(F\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\),

\(0 =\mu(F\setminus(F\setminus E_0)) =\mu E_0\).

Ini menunjukkan bahwa \(F\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal H\) dalam \(\tilde\Sigma\). Karena \(\Cal H\) sebarang, \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) dapat dilokalkan.

(iii) Argumen dalam (i)-(ii) sebenarnya menunjukkan bahwa jika \(\Cal H\subseteq\tilde\Sigma\), maka \(\Cal H\) memiliki supremum esensial \(F\) dalam \(\tilde\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\) bahkan termasuk dalam \(\Sigma\). Dengan mengambil \(\Cal H=\{H\}\), kita melihat bahwa jika \(H\in\tilde\Sigma\) terdapat \(F\in\Sigma\) sehingga \(\tilde\mu(H\symmdiff F)=0\).

(c) Dari 213Fa kita telah mengetahui bahwa \(\tilde\mu E\le\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), dengan kesamaan jika \(\mu E<\infty\).

(i) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, maka 213A dan 213F(c-i) menunjukkan bahwa untuk sebarang \(F\in\Sigma\) berlaku

\(\mu F =\sup\{\mu E:E\in\Sigma,\,E\subseteq F,\,\mu E<\infty\} =\tilde\mu F\).

(ii) Misalkan \(\tilde\mu F=\mu F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Jika \(\mu F=\infty\), maka \(\tilde\mu F=\infty\), sehingga (sekali lagi oleh 213F(c-i)) terdapat \(E\in\Sigma^f\) dengan \(E\subseteq F\) dan \(\mu E>0\); karena \(F\) sebarang, \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga.

(iii) Jika \(f\) nonnegatif dan \(\int fd\mu=\infty\), maka \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\), sehingga terukur terhadap \(\tilde\Sigma\) (213Ga), dan terdefinisi hampir di mana-mana terhadap \(\mu\), sehingga juga terhadap \(\tilde\mu\). Sekarang

\[\begin{aligned}\int fd\tilde\mu &=\sup\{\int g\,d\tilde\mu:g\text{ merupakan fungsi }\tilde\mu\text{-sederhana},\, 0\le g\le f\,\,\tilde\mu\text{-hampir di mana-mana}\}\\ &\ge\sup\{\int g\,d\mu:g\text{ merupakan fungsi }\mu\text{-sederhana},\, 0\le g\le f\,\,\mu\text{-hampir di mana-mana}\}=\infty\\\end{aligned}\]

menurut 213B. Bersama 213Gb, ini menunjukkan bahwa \(\int fd\tilde\mu=\int fd\mu\) setiap kali \(f\) nonnegatif dan \(\int fd\mu\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\). Dengan menerapkannya pada bagian positif dan negatif \(f\), kita memperoleh \(\int fd\tilde\mu=\int fd\mu\) setiap kali integral yang terakhir terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(d)(i) Jika \(H\in\tilde\Sigma\) merupakan atom bagi \(\tilde\mu\), maka ada \(E\in\Sigma^f\) sehingga \(E\subseteq H\) dan \(0<\mu E<\infty\). Dalam hal ini, \(\tilde\mu E>0\), sehingga \(\tilde\mu(H\setminus E)\) harus nol. Jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\), maka \(\mu F=\tilde\mu F=0\) atau \(\mu(E\setminus F)=\tilde\mu(H\setminus F)=0\). Jadi \(E\in\Sigma\) adalah atom untuk \(\mu\) dengan \(\tilde\mu(H\symmdiff E)=0\) dan \(\mu E<\infty\).

(ii) Jika \(H\in\tilde\Sigma\) dan terdapat atom \(E\) bagi \(\mu\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\tilde\mu(H\symmdiff E)=0\), ambil \(G\in\tilde\Sigma\) sebagai subhimpunan \(H\) dengan \(\tilde\mu G>0\). Kita mempunyai \(\tilde\mu(E\cap G)=\tilde\mu(H\cap G)>0\), sehingga terdapat \(F\in\Sigma\) sehingga \(F\subseteq E\cap G\) dan \(\mu F>0\). Sekarang \(\mu(E\setminus F)\) harus nol, jadi

\(\tilde\mu(H\setminus G)\le\tilde\mu(H\setminus F) =\tilde\mu(E\setminus F)=\mu(E\setminus F)=0\).

Karena \(G\) sebarang, \(H\) merupakan atom bagi \(\tilde\mu\).

(e) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) tanpa atom, maka \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) juga tanpa atom, menurut (d).

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni, \(H\in\tilde\Sigma\) dan \(\tilde\mu H>0\), maka terdapat \(E\in\Sigma^f\) sehingga \(E\subseteq H\) dan \(\mu E>0\). Terdapat atom \(F\) bagi \(\mu\) dengan \(F\subseteq E\); karena \(\mu F<\infty\), menurut (d), \(F\) merupakan atom bagi \(\tilde\mu\). Selain itu \(F\subseteq H\). Karena \(H\) sebarang, \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) atomik murni.

(f) Jika \(\mu=\tilde\mu\), tentu \((X,\Sigma,\mu)\) harus lengkap dan ditentukan secara lokal, karena \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) lengkap dan ditentukan secara lokal. Sebaliknya, jika \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap dan ditentukan secara lokal, maka \(\hat\mu=\mu\), sehingga (dengan definisi dalam 213D) \(\tilde\Sigma\subseteq\Sigma\) dan \(\tilde\mu=\mu\), menurut (c) di atas.

213I Himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal

Gagasan sederhana berikut kadang-kadang berguna.

Definisi Suatu ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) dikatakan mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal jika untuk setiap \(A\subseteq X\) yang tidak terabaikan terdapat \(E\in\Sigma\) dengan \(\mu E<\infty\) sedemikian sehingga \(A\cap E\) tidak terabaikan.

213J Proposisi

Jika suatu ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) entah dapat dilokalkan secara ketat atau lengkap dan ditentukan secara lokal, maka ruang tersebut mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal.

213K Lema

Jika suatu ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, dan \(\Cal E\subseteq\Sigma\) mempunyai supremum esensial \(H\in\Sigma\) dalam arti 211G, maka \(H\setminus\bigcup\Cal E\) terabaikan.

213L Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan dan mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal. Maka setiap subhimpunan \(A\) dari \(X\) mempunyai selubung terukur.

Bukti

Tetapkan

\(\Cal E=\{E:E\in\Sigma,\,\mu^*(A\cap E)=\mu E<\infty\}\).

Misalkan \(G\) suatu supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\).

(i) \(A\setminus G\) terabaikan. Bukti. Ambil sebarang himpunan \(F\) berukuran berhingga terhadap \(\mu\). Misalkan \(E\) suatu selubung terukur bagi \(A\cap F\). Maka \(E\in\Cal E\), sehingga \(E\setminus G\) terabaikan. Karena \(F\cap A\setminus G\subseteq E\setminus G\), maka \(F\cap A\setminus G\) terabaikan. Karena \(\mu\) mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, ini cukup untuk menunjukkan bahwa \(A\setminus G\) terabaikan. ∎

(ii) Ambil himpunan terukur terabaikan \(E_0\) yang memuat \(A\setminus G\), dan tetapkan \(\tilde G=E_0\cup G\), sehingga \(\tilde G\in\Sigma\), \(A\subseteq\tilde G\) dan \(\mu(\tilde G\setminus G)=0\). \ Andaikan, jika mungkin, terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu^*(A\cap F)<\mu(\tilde G\cap F)\). Misalkan \(F_1\subseteq F\) suatu selubung terukur bagi \(A\cap F\). Tetapkan \(H=X\setminus(F\setminus F_1)\); maka \(A\subseteq H\). Jika \(E\in\Cal E\), maka

\(\mu E=\mu^*(A\cap E)\le\mu(H\cap E)\),

sehingga \(E\setminus H\) terabaikan; karena \(E\) sebarang, \(G\setminus H\) dan \(\tilde G\setminus H\) terabaikan. Namun \(\tilde G\cap F\setminus F_1\subseteq\tilde G\setminus H\) dan

\(\mu(\tilde G\cap F\setminus F_1) =\mu(\tilde G\cap F)-\mu^*(A\cap F)>0\).

Ini menunjukkan bahwa \(\tilde G\) merupakan selubung terukur bagi \(A\), sebagaimana diperlukan.

213M Akibat

(a) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) \(\sigma\)-hingga, maka setiap subhimpunan dari \(X\) mempunyai selubung terukur terhadap \(\mu\).

(b) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, maka setiap subhimpunan dari \(X\) mempunyai selubung terukur terhadap versi c.l.d. dari \(\mu\).

213N

Ketika kelak kita menggunakan konsep ‘keterlokalan’, konsep itu sering muncul melalui sifat berikut, yang sesungguhnya mencirikan ruang yang dapat dilokalkan (213Xm).

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan. Misalkan \(\Phi\) keluarga fungsi terukur bernilai riil, yang semuanya terdefinisi pada subhimpunan terukur dari \(X\), sedemikian sehingga untuk setiap \(f\), \(g\in\Phi\), berlaku \(f=g\) hampir di mana-mana pada \(\dom f\cap\dom g\). Maka terdapat fungsi terukur \(h:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga setiap \(f\in\Phi\) sama dengan \(h\) hampir di mana-mana pada \(\dom f\).

Bukti

Untuk \(q\in\Bbb Q\), \(f\in\Phi\), tetapkan

\(E_{fq}=\{x:x\in\dom f,\,f(x)\ge q\}\in\Sigma\).

Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), misalkan \(E_q\) suatu supremum esensial bagi \(\{E_{fq}:f\in\Phi\}\) dalam \(\Sigma\). Tetapkan

\(h^*(x)=\sup\{q:q\in\Bbb Q,\,x\in E_q\}\in[-\infty,\infty]\)

untuk \(x\in X\), dengan mengambil \(\sup\emptyset=-\infty\) bila perlu.

Jika \(f\), \(g\in\Phi\) dan \(q\in\Bbb Q\), maka

\[\begin{aligned}E_{fq}\setminus(X\setminus(\dom g\setminus E_{gq})) &=E_{fq}\cap\dom g\setminus E_{gq}\\ &\subseteq\{x:x\in\dom f\cap\dom g,\,f(x)\ne g(x)\}\\\end{aligned}\]

terabaikan; karena \(f\) sebarang,

\(E_q\cap\dom g\setminus E_{gq}=E_q\setminus(X\setminus(\dom g\setminus E_{gq}))\)

terabaikan. Selain itu \(E_{gq}\setminus E_q\) terabaikan, sehingga \(E_{gq}\symmdiff(E_q\cap\dom g)\) terabaikan. Tetapkan \(H_g=\bigcup_{q\in\Bbb Q}E_{gq}\symmdiff(E_q\cap\dom g)\); maka \(H_g\) terabaikan. Jika \(x\in\dom g\setminus H_g\), maka untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), \(x\in E_q\iff x\in E_{gq}\); akibatnya, untuk \(x\) demikian, \(h^*(x)=g(x)\). Jadi \(h^*=g\) hampir di mana-mana pada \(\dom g\); dan ini berlaku untuk setiap \(g\in\Phi\).

Fungsi \(h^*\) belum tentu bernilai riil. Namun fungsi ini terukur, sebab

\(\{x:h^*(x)>a\}=\bigcup\{E_q:q\in\Bbb Q,\,q>a\}\in\Sigma\)

untuk setiap bilangan riil \(a\). Jadi, jika kita memodifikasinya dengan menetapkan

\[\begin{aligned}h(x)&=h^*(x)\text{ jika }h^*(x)\in\Bbb R,\\ &=0\text{ jika }h^*(x)\in\{-\infty,\infty\},\\\end{aligned}\]

kita memperoleh fungsi terukur bernilai riil \(h:X\to\Bbb R\). Untuk sebarang \(g\in\Phi\), \(h(x)\) sama dengan \(g(x)\) setidaknya setiap kali \(h^*(x)=g(x)\), dan hal ini berlaku untuk hampir setiap \(x\in\dom g\). Jadi \(h\) merupakan fungsi yang diminta.

213O

Berikut adalah suatu kriteria menarik dan berguna agar sebuah ruang dapat dilokalkan secara ketat; saya memperkenalkannya di sini, walaupun kriteria ini jarang digunakan dalam jilid ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang lengkap yang ditentukan secara lokal.

(a) Misalkan terdapat keluarga saling lepas \(\Cal E\subseteq\Sigma\) sedemikian rupa sehingga (\(\alpha\)) \(\mu E<\infty\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) (\(\beta\)) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F>0\), terdapat \(E\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(E\cap F)>0\). Maka \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat, \(\bigcup\Cal E\) koterabaikan, dan \(\Cal E\cup\{X\setminus\bigcup\Cal E\}\) adalah dekomposisi \(X\).

(b) Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu partisi \(X\) menjadi himpunan-himpunan terukur berukuran berhingga sedemikian sehingga setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E>0\) terdapat \(i\in I\) sehingga \(\mu(E\cap X_i)>0\). Lalu \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat, dan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) merupakan dekomposisi \(X\).

Bukti

(a)(i) Pertama, jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\), terdapat subkeluarga terhitung \(\Cal E'\subseteq\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F\setminus\bigcup\Cal E')=0\). Bukti. Tetapkan

\(\Cal E'_n=\{E:E\in\Cal E,\,\mu(F\cap E)\ge 2^{-n}\}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(\Cal E'=\bigcup_{n\in\Bbb N}\Cal E'_n=\{E:E\in\Cal E,\,\mu(F\cap E)>0\}\).

Karena \(\Cal E\) saling lepas, harus berlaku

\(\#(\Cal E'_n)\le 2^n\mu F\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\), sehingga setiap \(\Cal E'_n\) berhingga, dan \(\Cal E'\), sebagai gabungan suatu barisan himpunan terhitung, juga terhitung. Tetapkan \(E'=\bigcup\Cal E'\) dan \(F'=F\setminus E'\), sehingga \(E'\) dan \(F'\) termasuk dalam \(\Sigma\). Jika \(E\in\Cal E'\), maka \(E\subseteq E'\), sehingga \(\mu(E\cap F')=\mu\emptyset=0\); jika \(E\in\Cal E\setminus\Cal E'\), maka \(\mu(E\cap F')=\mu(E\cap F)=0\). Jadi \(\mu(E\cap F')=0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). Berdasarkan hipotesis (\(\beta\)) pada \(\Cal E\), \(\mu F'=0\), sehingga \(\mu(F\setminus\bigcup\Cal E')=0\), sebagaimana diperlukan. ∎

(ii) Sekarang misalkan \(H\subseteq X\) sedemikian sehingga \(H\cap E\in\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). Dalam hal ini \(H\in\Sigma\). Bukti. Ambil \(F\in\Sigma\) dengan \(\mu F<\infty\). Misalkan \(\Cal E'\subseteq\Cal E\) suatu subkeluarga terhitung sedemikian sehingga \(\mu(F\setminus E')=0\), dengan \(E'=\bigcup\Cal E'\). Kemudian \(H\cap(F\setminus E')\in\Sigma\), karena \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap. Selain itu, \(H\cap E'=\bigcup_{E\in\Cal E'}H\cap E\in\Sigma\). Jadi

\(H\cap F=(H\cap(F\setminus E'))\cup(F\cap(H\cap E'))\in\Sigma\).

Karena \(F\) sebarang dan \((X,\Sigma,\mu)\) ditentukan secara lokal, \(H\in\Sigma\). ∎

(iii) Kita juga memperoleh bahwa \(\mu H=\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E)\) untuk setiap \(H\in\Sigma\). Bukti. (\(\alpha\)) Karena \(\Cal E\) saling lepas, \(\sum_{E\in\Cal E'}\mu(H\cap E)\le\mu H\) untuk setiap subkeluarga berhingga \(\Cal E'\subseteq\Cal E\), jadi

\(\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E) =\sup\{\sum_{E\in\Cal E'} \mu(H\cap E):\Cal E'\subseteq\Cal E\) berhingga\(\}\le\mu H\).

(\(\beta\)) Untuk ketaksamaan sebaliknya, pertama tinjau kasus \(\mu H<\infty\). Dengan (i), terdapat subkeluarga terhitung \(\Cal E'\subseteq\Cal E\) sedemikian rupa sehingga \(\mu(H\setminus\bigcup\Cal E')=0\), sehingga

\(\mu H=\mu(H\cap\bigcup\Cal E') =\sum_{E\in\Cal E'}\mu(H\cap E)\le\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E)\).

(\(\gamma\)) Secara umum, karena \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga,

\[\begin{aligned}\mu H &=\sup\{\mu F:F\subseteq H,\,\mu F<\infty\}\\ &\le\sup\{\sum_{E\in\Cal E}\mu(F\cap E):F\subseteq H,\,\mu F<\infty\} \le\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E).\\\end{aligned}\]

Jadi, dalam semua kasus, \(\mu H\le\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E)\), dan kedua ruas sama. ∎

(iv) Secara khusus, dengan menetapkan \(E_0=X\setminus\bigcup\Cal E\), \(E_0\in\Sigma\) dan \(\mu E_0=0\); yaitu, \(\bigcup\Cal E\) adalah koterabaikan. Pertimbangkan \(\Cal E^*=\Cal E\cup\{E_0\}\). Keluarga ini merupakan partisi \(X\) menjadi himpunan berukuran berhingga (kini menggunakan hipotesis (\(\alpha\)) pada \(\Cal E\)). Jika \(H\subseteq X\) sedemikian rupa sehingga \(H\cap E\in\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Cal E^*\), maka \(H\in\Sigma\) dan

\(\mu H=\sum_{E\in\Cal E}\mu(H\cap E) =\sum_{E\in\Cal E^*}\mu(H\cap E)\).

Jadi \(\Cal E^*\) (atau, jika dikehendaki, keluarga berindeks \(\langle E\rangle_{E\in\Cal E^*}\)) merupakan dekomposisi yang membuktikan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat.

(b) Terapkan (a) dengan \(\Cal E=\{X_i:i\in I\}\), sambil memperhatikan bahwa \(E_0\) dalam (iv) kosong sehingga dapat dihilangkan.

Latihan

213X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, \(\mu^*\) ukuran luar yang ditentukan oleh \(\mu\), dan \(\check\mu\) ukuran yang ditentukan dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\); nyatakan \(\check\Sigma\) sebagai domain \(\check\mu\). Tunjukkan bahwa (i) \(\check\mu\) memperluas kelengkapan \(\hat\mu\) dari \(\mu\); (ii) jika \(H\subseteq X\) sedemikian rupa sehingga \(H\cap F\in\check\Sigma\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\), maka \(H\in\check\Sigma\); (iii) \((\check\mu)^*=\mu^*\), sehingga fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\check\mu\) dan \(\mu\) sama (212Xb); (iv) jika \(\mu\) dapat dilokalkan secara ketat, maka \(\check\mu=\hat\mu\); (v) jika \(\mu\) ditentukan dengan metode Carathéodory dari suatu ukuran luar lain, maka \(\mu=\check\mu\) (lih. 132Xa).

213Xb (>b) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran cacah yang dibatasi pada aljabar-sigma terhitung-koterhitung dari suatu himpunan \(X\) (211R, 211Ye). (i) Tunjukkan bahwa versi c.l.d. \(\tilde\mu\) dari \(\mu\) tidak lain adalah ukuran cacah pada \(X\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\check\mu\), sebagaimana didefinisikan dalam 213Xa, sama dengan \(\tilde\mu\), dan khususnya memperluas kelengkapan \(\mu\) secara ketat jika \(X\) tak terhitung.

213Xc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Untuk \(E\in\Sigma\), tetapkan

\(\mu_{\text{sf}}E =\sup\{\mu(E\cap F):F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\).

(i) Tunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\mu_{\text{sf}})\) merupakan ruang ukur semihingga, dan sama dengan \((X,\Sigma,\mu)\) jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga.

(ii) Tunjukkan bahwa fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\), katakanlah \(f\), juga dapat diintegralkan terhadap \(\mu_{\text{sf}}\), dengan integral yang sama.

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(E\in\Sigma\) maka \(E\) dapat dinyatakan sebagai \(E_1\cup E_2\) dengan \(E_1\), \(E_2\in\Sigma\), \(\mu E_1=\mu_{\text{sf}}E_1\) dan \(\mu_{\text{sf}}E_2=0\).

(iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\) fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu_{\text{sf}}\) pada \(X\), maka fungsi ini sama hampir di mana-mana terhadap \(\mu_{\text{sf}}\) dengan suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\).

(v) Tunjukkan bahwa jika \((X,\Sigma,\mu_{\text{sf}})\) lengkap, maka \((X,\Sigma,\mu)\) juga lengkap.

(vi) Tunjukkan bahwa \(\mu\) dan \(\mu_{\text{sf}}\) mempunyai versi c.l.d. yang sama.

213Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Definisikan \(\check\mu\) seperti dalam 213Xa. Tunjukkan bahwa \((\check\mu)_{\text{sf}}\), sebagaimana dikonstruksi dalam 213Xc, tepat merupakan versi c.l.d. \(\tilde\mu\) dari \(\mu\), sehingga \(\check\mu=\tilde\mu\) jika dan hanya jika \(\check\mu\) semihingga.

213Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Untuk \(A\subseteq X\), tetapkan \(\mu_* A=\sup\{\mu E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty,\,E\subseteq A\}\), seperti pada 113Yh. (i) Tunjukkan bahwa ukuran yang dikonstruksi dari \(\mu_*\) dengan metode 113Yg/212Ya tidak lain adalah versi c.l.d. \(\tilde\mu\) dari \(\mu\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\tilde\mu_*=\mu_*\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\nu\) suatu ukuran lain pada \(X\), dengan domain \(\Tau\), maka \(\tilde\mu=\tilde\nu\) jika dan hanya jika \(\mu_*=\nu_*\).

213Xf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\). Tunjukkan bahwa \(\theta_{\text{sf}}\), yang didefinisikan dengan

\(\theta_{\text{sf}}A=\sup\{\theta B:B\subseteq A,\,\theta B<\infty\}\)

juga merupakan ukuran luar pada \(X\). Tunjukkan bahwa ukuran yang ditentukan dengan metode Carathéodory dari \(\theta\) dan \(\theta_{\text{sf}}\) mempunyai domain yang sama.

213Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Tetapkan

\(\mu^*_{\text{sf}}A =\sup\{\mu^*(A\cap E):E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\)

untuk setiap \(A\subseteq X\).

(i) Tunjukkan bahwa

\(\mu^*_{\text{sf}}A=\sup\{\mu^*B:B\subseteq A,\,\mu^*B<\infty\}\)

untuk setiap \(A\).

(ii) Tunjukkan bahwa \(\mu^*_{\text{sf}}\) adalah ukuran luar.

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq X\) dan \(\mu^*_{\text{sf}}A<\infty\), terdapat \(E\in\Sigma\) sehingga \(\mu^*_{\text{sf}}A=\mu^*(A\cap E)=\mu E\) dan \(\mu^*_{\text{sf}}(A\setminus E)=0\). Petunjuk: ambil barisan tak menurun \(\sequencen{E_n}\) dari himpunan terukur berukuran berhingga sedemikian sehingga \(\mu^*_{\text{sf}}A=\lim_{n\to\infty}\mu^*(A\cap E_n)\), lalu ambil \(E\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) sebagai selubung terukur bagi \(A\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\).

(iv) Tunjukkan bahwa ukuran yang ditentukan dari \(\mu^*_{\text{sf}}\) dengan metode Carathéodory tepat merupakan versi c.l.d. \(\tilde\mu\) dari \(\mu\).

(v) Tunjukkan bahwa \(\mu^*_{\text{sf}}=\tilde\mu^*\), sehingga jika \(\mu\) lengkap dan ditentukan secara lokal, maka \(\mu^*_{\text{sf}}=\mu^*\).

213Xh (>h) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dengan himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal. Tunjukkan bahwa ruang ini semihingga.

213Xi (>i) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(\hat\mu\) kelengkapan \(\mu\), \(\tilde\mu\) versi c.l.d. dari \(\mu\), dan \(\check\mu\) ukuran yang ditentukan dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\mu\) mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal; (ii) \(\mu\) dan \(\tilde\mu\) memiliki himpunan-himpunan terabaikan yang sama; (iii) \(\check\mu=\tilde\mu\); (iv) \(\hat\mu\) dan \(\tilde\mu\) mempunyai himpunan berukuran berhingga yang sama; (v) \(\mu\) dan \(\tilde\mu\) mempunyai fungsi yang dapat diintegralkan yang sama; (vi) \(\tilde\mu^*=\mu^*\); (vii) ukuran luar \(\mu^*_{\text{sf}}\) dari 213Xg sama dengan \(\mu^*\).

213Xj (>j) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat, dengan dekomposisi \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\). Tunjukkan bahwa \(\mu^*A=\sum_{i\in I}\mu^*(A\cap X_i)\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

213Xk (>k) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dan misalkan \(A\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\min(\mu^*(E\cap A),\mu^*(E\setminus A))<\mu E\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(0<\mu E<\infty\). Tunjukkan bahwa \(A\in\Sigma\). Petunjuk: diberikan \(\mu F<\infty\), tinjau irisan \(E\) dari selubung terukur bagi \(F\cap A\) dan \(F\setminus A\) untuk memperoleh \(\mu^*(F\cap A)+\mu^*(F\setminus A)=\mu F\).

213Xl (l)

Kita katakan bahwa suatu ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) mempunyai sifat selubung terukur jika setiap subhimpunan dari \(X\) mempunyai selubung terukur. (i) Tunjukkan bahwa ruang semihingga yang mempunyai sifat selubung terukur juga mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal. (ii) Tunjukkan bahwa ruang semihingga lengkap yang mempunyai sifat selubung terukur ditentukan secara lokal.

213Xm (m)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga, dan andaikan ruang ini memenuhi kesimpulan Teorema 213N. Tunjukkan bahwa ruang tersebut dapat dilokalkan. Petunjuk: diberikan \(\Cal E\subseteq\Sigma\), tetapkan \(\Cal F=\{F:F\in\Sigma,\,E\cap F\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\}\). Misalkan \(\Phi\) himpunan fungsi \(f\) dari subhimpunan \(X\) ke \(\{0,1\}\) sedemikian sehingga \(f^{-1}[\{1\}]\in \Cal E\) dan \(f^{-1}[\{0\}]\in\Cal F\).

213Xn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa versi c.l.d. tersebut dapat dilokalkan secara ketat jika dan hanya jika terdapat keluarga saling lepas \(\Cal E\subseteq\Sigma\) sehingga \(\mu E<\infty\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(0<\mu F<\infty\) terdapat \(E\in\Cal E\) sedemikian rupa sehingga \(\mu(E\cap F)>0\).

213Xo (o)

Tunjukkan bahwa versi c.l.d. dari sebarang ukuran bertumpu titik juga bertumpu titik.

213Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa \(\mu\) semihingga jika dan hanya jika terdapat keluarga \(\Cal E\subseteq\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan \(\mu F=\sum_{E\in\Cal E}\mu(F\cap E)\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Petunjuk: ambil \(\Cal E\) maksimal dengan syarat bahwa irisan sebarang dua anggotanya terabaikan.

213Yb (b)

Tetapkan \(X=\Bbb N\), dan untuk \(A\subseteq X\) tetapkan

\(\theta A=\sqrt{\#(A)}\) jika \(A\) berhingga, \(\infty\) jika \(A\) tak berhingga.

Tunjukkan bahwa \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(X\), bahwa \(\theta A=\sup\{\theta B:B\subseteq A,\,\theta B<\infty\}\) untuk setiap \(A\subseteq X\), tetapi ukuran \(\mu\) yang ditentukan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory tidak semihingga. Tunjukkan bahwa jika \(\check\mu\) merupakan ukuran yang ditentukan dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\) (213Xa), maka \(\check\mu\ne\mu\).

213Yc (c)

Tetapkan \(X=[0,1]\times\{0,1\}\), dan misalkan \(\Sigma\) keluarga subhimpunan \(E\) dari \(X\) sedemikian sehingga

\(\{x:x\in[0,1],\,E[\{x\}]\ne\emptyset,\,E[\{x\}]\ne\{0,1\}\} \)

terhitung, dengan \(E[\{x\}]=\{y:(x,y)\in E\}\) untuk setiap \(x\in[0,1]\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma\) merupakan aljabar-sigma subhimpunan \(X\). Untuk \(E\in\Sigma\), tetapkan \(\mu E=\#(\{x:(x,1)\in E\})\) jika bilangan ini berhingga, dan \(\infty\) jika tidak. Tunjukkan bahwa \(\mu\) merupakan ukuran lengkap semihingga. Tunjukkan bahwa ukuran \(\check\mu\) yang ditentukan dari \(\mu^*\) dengan metode Carathéodory (213Xa) tidak semihingga. Tunjukkan bahwa domain versi c.l.d.\ dari \(\mu\) adalah seluruh \(\Cal PX\).

213Yd (d)

Tetapkan \(X=\Bbb N\), dan untuk \(A\subseteq X\) tetapkan

\(\phi A=\#(A)^2\) jika \(A\) berhingga, \(\infty\) jika \(A\) tak berhingga.

Tunjukkan bahwa \(\phi\) memenuhi syarat-syarat 212Ya, tetapi ukuran yang ditentukan dari \(\phi\) dengan metode tersebut tidak semihingga.

213Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal. Misalkan \(D\subseteq X\) dan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(f\) adalah terukur; (ii)

\(\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)\le a\}+\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)\ge b\}\le\mu E\)

setiap kali \(a<b\) dalam \(\Bbb R\), \(E\in\Sigma\), dan \(\mu E<\infty\); (iii)

\(\min(\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)\le a\},\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)\ge b\})<\mu E\)

setiap kali \(a<b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(0<\mu E<\infty\). (Petunjuk\/: untuk (iii)\(\Rightarrow\)(i), tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq X\) maka

\(\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)>a\} =\sup_{b>a}\mu^*\{x:x\in D\cap E,\,f(x)\ge b\}\),

dan gunakan 213Xk di atas.)

213Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dan misalkan \(\Cal E\subseteq\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) dan setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\), terdapat subkeluarga terhitung \(\Cal E_0\subseteq\Cal E\) sedemikian sehingga \(F\setminus\bigcup\Cal E_0\) dan \(F\cap\bigcup(\Cal E\setminus\Cal E_0)\) keduanya terabaikan. Tunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan secara ketat.

Catatan dan komentar

213-notes Catatan penutup untuk Bagian 213

Menurut saya, dapat dikatakan bahwa apabila definisi ‘ruang ukur’ ditulis ulang untuk mengecualikan semua ruang yang tidak semihingga, teori ini tidak akan kehilangan sesuatu yang berarti. Akan tetapi, ada alasan kuat untuk tidak mengambil langkah sedrastis itu. Salah satunya ialah bahwa langkah tersebut akan membingungkan semua orang (jika Anda berkata kepada khalayak yang belum dipersiapkan, ‘misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur’, ada bahaya bahwa sebagian orang mengira yang Anda maksud ialah ‘ruang ukur \(\sigma\)-hingga’, tetapi sangat sedikit yang akan mengira bahwa yang dimaksud ialah ‘ruang ukur semihingga’). Bagaimanapun, inti teori ukuran ialah membedakan himpunan berdasarkan ukurannya. Jika setiap subhimpunan dari \(E\) tidak terukur, terabaikan, atau berukuran tak berhingga, klasifikasi tersebut terlalu kasar untuk menopang sebagian besar gagasan lazim, terutama integrasi biasa.

Kita katakan bahwa suatu himpunan terukur \(E\) murni tak berhingga jika \(E\) sendiri dan setiap subhimpunan terukurnya yang tak terabaikan berukuran tak berhingga. Menurut definisi integral yang saya pilih dalam Jilid 1, setiap fungsi sederhana, dan karena itu setiap fungsi yang dapat diintegralkan, harus nol hampir di mana-mana pada \(E\). Ini berarti bahwa seluruh teori integrasi sama sekali mengabaikan \(E\). Dari definisi ‘versi c.l.d.’ (213D-213E), terlihat bahwa versi c.l.d. dari ukuran tersebut menjadikan \(E\) terabaikan; demikian pula ‘versi semihingga’ yang diuraikan dalam 213Xc. Namun, perubahan-perubahan ini tidak memengaruhi himpunan berukuran berhingga, dan akibatnya mempertahankan keterintegralan fungsi beserta nilai integralnya.

Alasan terkuat yang sejauh ini kita jumpai untuk ikut mempertimbangkan ruang yang tidak semihingga ialah bahwa metode Carathéodory tidak selalu menghasilkan ruang semihingga. (Saya memberikan contoh dalam 213Yb-213Yc; contoh yang lebih penting adalah ukuran Hausdorff dalam §§264-265 di bawah.) Dalam praktik, langkah yang tepat sering kali ialah mengambil versi c.l.d.\ dari ukuran yang dihasilkan oleh konstruksi Carathéodory.

Filosofi umum yang masuk akal dalam teori ukuran ialah bahwa kita hendak mengukur sebanyak mungkin himpunan dan mengintegralkan sebanyak mungkin fungsi secara kanonik – maksudnya, tanpa membuat pilihan yang terang-terangan sewenang-wenang tentang nilai ukuran atau integral. Penggantian ukuran \(\mu\) dengan versi c.l.d. yang bersesuaian, \(\tilde\mu\), kurang lebih merupakan batas terjauh yang dapat kita capai pada ruang ukur sebarang apabila tidak ada struktur lain yang membimbing pilihan kita.

Perhatikan bahwa \(\tilde\mu\) tidak sedekat \(\mu\) sebagaimana kelengkapan \(\hat\mu\) dari \(\mu\); hal ini wajar, sebab jika \(E\in\Sigma\) murni tak berhingga terhadap \(\mu\), kita harus memilih antara menetapkan \(\tilde\mu E=0\ne\mu E\) dan mencari suatu cara untuk memasukkan banyak himpunan berukuran berhingga ke dalam \(E\). Jika \(E\) himpunan satu anggota, pilihan kedua bahkan mustahil; dan dalam keadaan apa pun proses itu akan bersifat sewenang-wenang. Meskipun fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\) tidak selalu sama dengan yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\) (karena \(\tilde\mu\) menjadikan himpunan murni tak berhingga terabaikan, sehingga fungsi indikatornya dapat diintegralkan), keduanya ‘hampir’ sama. Tepatnya, setiap fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\tilde\mu\) dapat diubah menjadi fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\mu\) dengan menyesuaikan nilainya pada suatu himpunan yang terabaikan terhadap \(\tilde\mu\). Ini tentu bersesuaian dengan fakta bahwa setiap himpunan berukuran berhingga terhadap \(\tilde\mu\) merupakan beda simetris antara suatu himpunan berukuran berhingga terhadap \(\mu\) dan suatu himpunan yang terabaikan terhadap \(\tilde\mu\). Untuk himpunan berukuran tak berhingga, hal ini dapat gagal kecuali \(\mu\) dapat dilokalkan (213Hb, 213Xb).

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, dapat dilokalkan, atau dapat dilokalkan secara ketat, maka tentu ruang tersebut lebih dekat, dalam arti yang bersesuaian, dengan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\), sebagaimana dirinci dalam 213Ha-c.

Patut dicatat bahwa ukuran \(\check\mu\) yang diperoleh dengan metode Carathéodory langsung dari ukuran luar \(\mu^*\) yang ditentukan oleh \(\mu\) dapat tidak semihingga, sekalipun \(\mu\) semihingga (213Yc). Namun, modifikasi sederhana atas \(\mu^*\) (213Xg) menghasilkan versi c.l.d. \(\tilde\mu\) dari \(\mu\), yang juga dapat diperoleh dari suatu ukuran dalam yang sesuai (213Xe). Tentu saja \(\check\mu\) juga berkaitan dengan \(\tilde\mu\) melalui cara-cara lain; lihat 213Xd.