Fungsi bervariasi terbatas — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya beralih ke masalah kedua dari dua masalah yang dibahas dalam bab ini: mengidentifikasi fungsi-fungsi real yang merupakan integral tak tentu. Saya menggunakan kesempatan ini untuk memberikan pengantar singkat tentang teori fungsi bervariasi terbatas, yang juga menarik sebagai objek kajian tersendiri dan akan penting dalam Bab 28. Saya memberikan pencirian dasar fungsi-fungsi ini sebagai selisih fungsi-fungsi monoton (224D), bersama contoh yang mewakili sifat-sifat elementernya.

224A Definisi

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real dan \(D\) suatu subhimpunan \(\Bbb R\). Saya mendefinisikan \(\Var_D(f)\), yakni variasi (total) dari \(f\) pada \(D\), sebagai berikut. Jika \(D\cap\dom f=\emptyset\), maka \(\Var_D(f)=0\). Jika tidak, \(\Var_D(f)\) ialah

\(\sup\{\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|: a_0,a_1,\ldots,a_n\in D\cap\dom f,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\),

dengan membolehkan \(\Var_{D}(f)=\infty\). Jika \(\Var_{D}(f)\) berhingga, kita mengatakan bahwa \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\). Jika konteksnya tampak jelas, saya dapat menuliskan \(\Var f\) untuk \(\Var_{\dom f}(f)\), dan mengatakan bahwa \(f\) sekadar ‘bervariasi terbatas’ jika nilai ini berhingga.

224B Catatan-catatan

(a) Dalam bab ini, perhatian kita hampir seluruhnya tertuju pada kasus ketika \(D\) suatu interval tertutup terbatas yang termuat dalam \(\dom f\). Rumusan umum tersebut akan berguna untuk beberapa pertanyaan teknis yang muncul dalam Bab 28; tetapi jika itu membuat Anda lebih nyaman, untuk sementara tidak ada yang hilang jika Anda mengandaikan bahwa \(D\) suatu interval.

224Bb (b)

Jelas bahwa

\(\Var_D(f)=\Var_{D\cap\dom f}(f)=\Var(f\restr D)\)

untuk semua \(D\), \(f\).

224C Proposisi

(a) Jika \(f\), \(g\) dua fungsi bernilai real dan \(D\subseteq\Bbb R\), maka

\(\Var_{D}(f+g)\le\Var_{D}(f)+\Var_{D}(g)\).

(b) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real, \(D\subseteq\Bbb R\), dan \(c\in\Bbb R\), maka \(\Var_{D}(cf)=|c|\Var_{D}(f)\).

\(\Var_{D}(f) \ge\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f)+\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f)\),

dengan kesamaan jika \(x\in D\cap\dom f\).

(d) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real dan \(D\subseteq D'\subseteq\Bbb R\), maka \(\Var_D(f)\le\Var_{D'}(f)\).

(e) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real dan \(D\subseteq\Bbb R\), maka \(|f(x)-f(y)|\le\Var_D(f)\) untuk semua \(x\), \(y\in D\cap\dom f\); jadi jika \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\), maka \(f\) terbatas pada \(D\cap\dom f\) dan (jika \(D\cap\dom f\ne\emptyset\))

\(\sup_{y\in D\cap\dom f}|f(y)|\le |f(x)|+\Var_D(f)\)

untuk setiap \(x\in D\cap\dom f\).

(f) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real monoton dan \(D\subseteq\Bbb R\) beririsan dengan \(\dom f\), maka

\(\Var_D(f)=\sup_{x\in D\cap\dom f}f(x)-\inf_{x\in D\cap\dom f}f(x)\).

Bukti

(a) Jika \(D\cap\dom(f+g)=\emptyset\), pernyataan ini sepele, karena \(\Var_D(f)\) dan \(\Var_D(g)\) tentu nonnegatif. Jika tidak, apabila \(a_0\le\ldots\le a_n\) dalam \(D\cap\dom(f+g)\), maka

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n|(f+g)(a_i)-(f+g)(a_{i-1})| &\le \sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})| +\sum_{i=1}^n|g(a_i)-g(a_{i-1})|\\ &\le\Var_{D}(f)+\Var_{D}(g);\\\end{aligned}\]

karena \(a_0,\ldots,a_n\) sebarang, \(\Var_{D}(f+g)\le\Var_{D}(f)+\Var_{D}(g)\).

(b)

\(\sum_{i=1}^n|(cf)(a_i)-(cf)(a_{i-1})| =|c|\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|\)

kapan pun \(a_0\le\ldots\le a_n\) dalam \(D\cap\dom f\).

(c)(i) Jika salah satu dari \(D\cap\ocint{-\infty,x}\cap\dom f\) dan \(D\cap\coint{x,\infty}\cap\dom f\) kosong, pernyataan ini sepele. Jika \(a_0\le\ldots\le a_m\) dalam \(D\cap\ocint{-\infty,x}\cap\dom f\) dan \(b_0\le\ldots\le b_n\) dalam \(D\cap\coint{x,\infty}\cap\dom f\), maka

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^m|f(a_i)-f(a_{i-1})| +\sum_{j=1}^n|f(b_j)-f(b_{j-1})| &\le\sum_{i=1}^{m+n+1}|f(a_i)-f(a_{i-1})|\\ &\le\Var_{D}(f),\\\end{aligned}\]

jika kita menuliskan \(a_i=b_{i-m-1}\) untuk \(m+1\le i\le m+n+1\). Jadi

\(\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f) +\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f) \le\Var_D(f)\).

(ii) Sekarang andaikan bahwa \(x\in D\cap\dom f\). Jika \(a_0\le\ldots\le a_n\) dalam \(D\cap\dom f\), dan \(a_0\le x\le a_n\), misalkan \(k\) sedemikian sehingga \(x\in [a_{k-1},a_k]\); maka

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})| &\le\sum_{i=1}^{k-1}|f(a_i)-f(a_{i-1})| +|f(x)-f(a_{k-1})|\\ &\mskip150mu +|f(a_k)-f(x)|+\sum_{i=k+1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|\\ &\le\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f) +\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f) \\\end{aligned}\]

(dengan menghitung jumlah kosong \(\sum_{i=1}^0\) dan \(\sum_{i=n+1}^n\) sebagai \(0\)). Jika \(x\le a_0\), maka \(\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|\le\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f)\); jika \(x\ge a_n\), maka \(\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|\le\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f)\). Jadi

\(\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})| \le\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f) +\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f) \)

dalam semua kasus; karena \(a_0,\ldots,a_n\) sebarang,

\(\Var_D(f) \le\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f) +\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f)\).

Jadi kedua ruas sama.

(d) sepele.

(e) Jika \(x\), \(y\in D\cap\dom f\) dan \(x\le y\), maka

\(|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|\le \Var_D(f)\)

menurut definisi \(\Var_D\); dan hal yang sama benar jika \(y\le x\). Jadi tentu saja \(|f(y)|\le|f(x)|+\Var_D(f)\).

(f) Jika \(f\) tak-menurun, maka

\[\begin{aligned}\Var_D(f) &=\sup\{\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|:a_0,a_1,\ldots,a_n\in D\cap\dom f,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\\ &=\sup\{\sum_{i=1}^nf(a_i)-f(a_{i-1}):a_0,a_1,\ldots,a_n\in D\cap\dom f,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\\ &=\sup\{f(b)-f(a):a,\,b\in D\cap\dom f,\,a\le b\}\\ &=\sup_{b\in D\cap\dom f}f(b)-\inf_{a\in D\cap\dom f}f(a).\\\end{aligned}\]

Jika \(f\) tak-menaik, maka

\[\begin{aligned}\Var_D(f) &=\sup\{\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|:a_0,a_1,\ldots,a_n\in D\cap\dom f,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\\ &=\sup\{\sum_{i=1}^nf(a_{i-1})-f(a_i):a_0,a_1,\ldots,a_n\in D\cap\dom f,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\\ &=\sup\{f(a)-f(b):a,\,b\in D\cap\dom f,\,a\le b\}\\ &=\sup_{a\in D\cap\dom f}f(a)-\inf_{b\in D\cap\dom f}f(b).\\\end{aligned}\]

224D Teorema

Untuk setiap fungsi bernilai real \(f\) dan setiap himpunan \(D\subseteq \Bbb R\), pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) terdapat dua fungsi terbatas dan tak-menurun \(f_1\), \(f_2:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2\) pada \(D\cap\dom f\);

(ii) \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\);

(iii) terdapat fungsi terbatas dan tak-menurun \(f_1\), \(f_2:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2\) pada \(D\cap\dom f\) dan \(\Var_D(f)=\Var f_1+\Var f_2\).

Bukti

(i)\(\Rightarrow\)(ii) Jika \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) terbatas dan tak-menurun, maka \(\Var f=\sup_{x\in\Bbb R}f(x)-\inf_{x\in\Bbb R}f(x)\) berhingga. Jadi, jika \(f\) pada \(D\cap\dom f\) berimpit dengan \(f_1-f_2\), dengan \(f_1\) dan \(f_2\) terbatas dan tak-menurun, maka

\[\begin{aligned}\Var_D(f) &=\Var_{D\cap\dom f}(f) \le\Var_{D\cap\dom f}(f_1)+\Var_{D\cap\dom f}(f_2)\\ &\le\Var f_1+\Var f_2 <\infty,\end{aligned}\]

dengan menggunakan (a), (b), dan (d) dari 224C.

(ii)\(\Rightarrow\)(iii) Andaikan bahwa \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\). Tetapkan \(D'=D\cap\dom f\). Jika \(D'=\emptyset\), kita dapat mengambil kedua \(f_j\) sebagai fungsi nol; jadi, mulai sekarang andaikan bahwa \(D'\ne\emptyset\). Tuliskan

\(g(x)=\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f)\)

untuk \(x\in D'\). Maka \(g_1=g+f\) dan \(g_2=g-f\) keduanya tak-menurun. Bukti. Jika \(a\), \(b\in D'\) dan \(a\le b\), maka

\(g(b)=g(a)+\Var_{D\cap[a,b]}(f)\ge g(a)+|f(b)-f(a)|\).

Jadi

\(g_1(b)-g_1(a)=g(b)-g(a)+f(b)-f(a)\), \(g_2(b)-g_2(a)=g(b)-g(a)-f(b)+f(a)\)

keduanya nonnegatif. ∎

Sekarang terdapat fungsi-fungsi tak-menurun \(h_1\), \(h_2:\Bbb R\to\Bbb R\) yang masing-masing memperluas \(g_1\), \(g_2\), sedemikian sehingga \(\Var h_j=\Var g_j\) untuk masing-masing \(j\). Bukti. \(f\) terbatas pada \(D\), menurut 224Ce, dan \(g\) terbatas semata-mata karena \(\Var_D(f)<\infty\), sehingga \(g_j\) terbatas. Tetapkan \(c_j=\inf_{x\in D'}g_j(x)\) dan

\(h_j(x)=\sup(\{c_j\}\cup\{g_j(y):y\in D',\,y\le x\})\)

untuk setiap \(x\in\Bbb R\); definisi ini memenuhi syarat. ∎\ Perhatikan bahwa untuk \(x\in D'\),

\(h_1(x)+h_2(x)=g_1(x)+g_2(x)=g(x)+f(x)+g(x)-f(x)=2g(x)\),

\(h_1(x)-h_2(x)=2f(x)\).

Sekarang, karena \(g_1\) dan \(g_2\) tak-menurun,

\(\sup_{x\in D'}g_1(x)+\sup_{x\in D'}g_2(x)=\sup_{x\in D'}g_1(x)+g_2(x)=2\sup_{x\in D'}g(x)\),

\(\inf_{x\in D'}g_1(x)+\inf_{x\in D'}g_2(x)=\inf_{x\in D'}g_1(x)+g_2(x)=2\inf_{x\in D'}g(x)\ge 0\).

Namun, ini berarti bahwa

\(\Var h_1+\Var h_2 =\Var g_1+\Var g_2 =2\Var g \le 2\Var_D(f)\),

dengan menggunakan 224Cf tiga kali. Jadi, jika kita menetapkan \(f_j(x)=\bover12h_j(x)\) untuk \(j\in\{1,2\}\) dan \(x\in\Bbb R\), kita akan memperoleh fungsi-fungsi tak-menurun sedemikian sehingga

\(f_1(x)-f_2(x)=f(x)\) untuk \(x\in D'\), \(\Var f_1+\Var f_2=\Bover12\Var h_1+\Bover12\Var h_2\le\Var_D(f)\).

Karena tentu kita juga mempunyai

\(\Var_D(f)\le\Var_D(f_1)+\Var_D(f_2)\le\Var f_1+\Var f_2\),

kita melihat bahwa \(\Var_D(f)=\Var f_1+\Var f_2\), dan (iii) benar.

(iii)\(\Rightarrow\)(i) langsung.

224E Korolari

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real dan \(D\) sembarang subhimpunan dari \(\Bbb R\). Jika \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\), maka

\(\lim_{x\downarrow a}\Var_{D\cap\ocint{a,x}}(f) =\lim_{x\uparrow a}\Var_{D\cap\coint{x,a}}(f)=0\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\), dan

\(\lim_{a\to-\infty}\Var_{D\cap\ocint{-\infty,a}}(f) =\lim_{a\to\infty}\Var_{D\cap\coint{a,\infty}}(f)=0\).

Bukti

(a) Tinjau terlebih dahulu kasus ketika \(D=\dom f=\Bbb R\) dan \(f\) merupakan fungsi terbatas dan tak-menurun. Maka

\(\Var_{D\cap\ocint{a,x}}(f) =\sup_{y\in\ocint{a,x}}f(x)-f(y) =f(x)-\inf_{y>a}f(y) =f(x)-\lim_{y\downarrow a}f(y)\),

sehingga tentu saja

\(\lim_{x\downarrow a}\Var_{D\cap\ocint{a,x}}(f) =\lim_{x\downarrow a}f(x)-\lim_{y\downarrow a}f(y)=0\).

Dengan cara yang sama,

\(\lim_{x\uparrow a}\Var_{D\cap\coint{x,a}}(f) =\lim_{y\uparrow a}f(y)-\lim_{x\uparrow a}f(x)=0\),

\(\lim_{a\to-\infty}\Var_{D\cap\ocint{-\infty,a}}(f) =\lim_{a\to-\infty}f(a)-\lim_{y\to-\infty}f(y)=0\),

\(\lim_{a\to\infty}\Var_{D\cap\coint{a,\infty}}(f) =\lim_{y\to\infty}f(y)-\lim_{a\to\infty}f(a)=0\).

(b) Untuk kasus umum, definisikan \(f_1\), \(f_2\) dari \(f\) dan \(D\) seperti dalam 224D. Maka, untuk setiap interval \(I\), kita mempunyai

\(\Var_{D\cap I}(f)\le\Var_I(f_1)+\Var_I(f_2)\),

sehingga hasil-hasil untuk \(f\) mengikuti hasil-hasil untuk \(f_1\) dan \(f_2\) yang telah dibuktikan dalam bagian (a).

224F Korolari

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang bervariasi terbatas pada \([a,b]\), dengan \(a<b\). Jika \(\dom f\) beririsan dengan setiap interval \(\ocint{a,a+\delta}\) untuk \(\delta>0\), maka

\(\lim_{t\in\dom f,t\downarrow a}f(t)\)

ada dalam \(\Bbb R\). Jika \(\dom f\) beririsan dengan \(\coint{b-\delta,b}\) untuk setiap \(\delta>0\), maka

\(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow b}f(t)\)

ada dalam \(\Bbb R\).

224G Korolari

Misalkan \(f\), \(g\) fungsi-fungsi bernilai real dan \(D\) suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\). Jika \(f\) dan \(g\) bervariasi terbatas pada \(D\), demikian pula \(f\times g\).

Bukti

(a) Pokoknya adalah bahwa terdapat fungsi-fungsi terbatas, tak-menurun, dan nonnegatif \(f_1\), \(f_2:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2\) pada \(D\cap\dom f\). Bukti. Kita tahu bahwa terdapat fungsi terbatas dan tak-menurun \(h_1\), \(h_2\) sedemikian sehingga \(f=h_1-h_2\) pada \(D\cap\dom f\). Tetapkan \(\gamma_i=\inf_{x\in\Bbb R}h_i(x)\) untuk \(i=1\), \(2\),

\(\beta_1=\max(\gamma_1-\gamma_2,0)\), \(\beta_2=\max(\gamma_2-\gamma_1,0)\),

\(f_1=h_1-\gamma_1+\beta_1\), \(f_2=h_2-\gamma_2+\beta_2\);

definisi ini memenuhi syarat. ∎

(b) Sekarang, dengan mengambil fungsi-fungsi serupa \(g_1\), \(g_2\) sedemikian sehingga \(g=g_1-g_2\) pada \(D\cap\dom g\), kita mempunyai

\(f\times g=f_1\times g_1-f_2\times g_1-f_1\times g_2 +f_2\times g_2\)

di setiap titik dalam \(D\cap\dom(f\times g)=D\cap\dom f\cap\dom g\); tetapi semua \(f_i\times g_j\) merupakan fungsi terbatas dan tak-menurun, sehingga bervariasi terbatas, dan \(f\times g\) pasti bervariasi terbatas pada \(D\).

224H Proposisi

Misalkan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas, dengan \(D\subseteq\Bbb R\). Maka \(f\) kontinu pada \(D\), kecuali pada terhitung banyak titik.

Bukti

Untuk \(n\ge 1\), tetapkan

\[\begin{aligned}A_n &=\{x:x\in D,\text{ untuk setiap }\delta>0\text{ terdapat }y\in D\cap[x-\delta,x+\delta]\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ sedemikian sehingga }|f(y)-f(x)| \ge\Bover1n\}.\\\end{aligned}\]

Maka \(\#(A_n)\le n\Var f\). Bukti. Jika tidak, kita dapat menemukan \(x_0,\ldots,x_k\in A_n\) yang berbeda-beda dengan \(k+1>n\Var f\). Urutkan titik-titik ini sedemikian sehingga \(x_0<x_1<\ldots<x_k\). Tetapkan \(\delta=\bover12\min_{1\le i\le k}x_i-x_{i-1}>0\). Untuk setiap \(i\), terdapat \(y_i\in D\cap[x_i-\delta,x_i+\delta]\) sedemikian sehingga \(|f(y_i)-f(x_i)|\ge\bover1n\). Ambil \(x'_i\), \(y'_i\) sebagai \(x_i\), \(y_i\) menurut urutan besarnya, sehingga \(x'_i<y'_i\). Sekarang

\(x'_0\le y'_0\le x'_1\le y'_1\le\ldots\le x'_k\le y'_k\),

dan

\(\Var f \ge\sum_{i=0}^k|f(y'_i)-f(x'_i)| =\sum_{i=0}^k|f(y_i)-f(x_i)| \ge \Bover1n(k+1) >\Var f\),

yang mustahil. ∎

Akibatnya, \(A=\bigcup_{n\ge 1}A_n\) terhitung, karena merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan berhingga. Namun, \(A\) tepat merupakan himpunan titik-titik dalam \(D\) tempat \(f\) tidak kontinu.

224I Teorema

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval, dan \(f:I\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas. Maka \(f\) dapat didiferensialkan hampir di mana-mana dalam \(I\), dan \(f'\) terintegralkan pada \(I\), dengan

\(\int_I|f'|\le\Var_I(f)\).

Bukti

(a) Misalkan \(f_1\) dan \(f_2\) fungsi-fungsi tak-menurun sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2\) di setiap titik dalam \(I\) (224D). Maka \(f_1\) dan \(f_2\) terdiferensialkan hampir di mana-mana (222A). Pada setiap titik dalam \(I\) selain mungkin titik-titik ujungnya, jika ada, \(f\) terdiferensialkan jika \(f_1\) dan \(f_2\) terdiferensialkan, sehingga \(f'(x)\) terdefinisi untuk hampir setiap \(x\in I\).

(b) Tetapkan \(F(x)=\Var_{I\cap\ocint{-\infty,x}}f\) untuk \(x\in\Bbb R\). Jika \(x\), \(y\in I\) dan \(x\le y\), maka

\(F(y)-F(x)=\Var_{[x,y]}f\ge|f(y)-f(x)|\),

menurut 224Cc; sehingga \(F'(x)\ge|f'(x)|\) kapan pun \(x\) merupakan titik interior dari \(I\) dan kedua turunan itu ada, yang berlaku hampir di mana-mana. Jadi \(\int_I|f'|\le\int_IF'\). Namun, jika \(a\), \(b\in I\) dan \(a\le b\),

\(\int_a^bF'\le F(b)-F(a)\le F(b)\le\Var f\).

Sekarang \(I\) dapat dinyatakan sebagai \(\bigcup_{n\in\Bbb N}[a_n,b_n]\), dengan \(a_{n+1}\le a_n\le b_n\le b_{n+1}\) untuk setiap \(n\). Jadi

\[\begin{aligned}\int_I|f'| &\le\int_IF' =\int F'\times\chi I\\ &=\int\sup_{n\in\Bbb N}F'\times\chi[a_n,b_n] =\sup_{n\in\Bbb N}\int F'\times\chi[a_n,b_n]\\ &\text{(menurut teorema B. Levi)}\\ &=\sup_{n\in\Bbb N}\int_{a_n}^{b_n}F' \le\Var_I(f).\\\end{aligned}\]

224J

Hasil berikut tidak diperlukan dalam bab ini, tetapi merupakan salah satu sifat yang paling berguna dari fungsi bervariasi terbatas, dan akan digunakan berulang kali dalam Bab 28.

Proposisi Misalkan \(f\), \(g\) fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\), dan andaikan bahwa \(g\) terintegralkan pada interval \([a,b]\), dengan \(a<b\), sedangkan \(f\) bervariasi terbatas pada \(\ooint{a,b}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ooint{a,b}\). Maka \(f\times g\) terintegralkan pada \([a,b]\), dan

\[\bigl|\int_a^bf\times g\bigr| \le\bigl(\lim_{x\in\dom f,x\uparrow b}|f(x)|+\Var_{\ooint{a,b}}(f)\bigr) \sup_{c\in[a,b]}\bigl|\int_a^cg\bigr|.\]

Bukti

(a) Menurut 224F, \(l=\lim_{x\in\dom f,x\uparrow b}f(x)\) terdefinisi. Tuliskan \(M=|l|+\Var_{\ooint{a,b}}(f)\). Perhatikan bahwa jika \(y\) adalah sembarang titik dari \(\dom f\cap\ooint{a,b}\),

\(|f(y)|\le|f(x)|+|f(x)-f(y)| \le|f(x)|+\Var_{\ooint{a,b}}(f)\to M\)

ketika \(x\uparrow b\) di dalam \(\dom f\), sehingga \(|f(y)|\le M\). Selain itu, \(f\) terukur pada \(\ooint{a,b}\), karena terdapat fungsi-fungsi monoton terbatas \(f_1\), \(f_2:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2\) di setiap titik dalam \(\ooint{a,b}\cap\dom f\). Jadi \(f\times g\) terukur, didominasi oleh \(M|g|\), dan terintegralkan pada \(\ooint{a,b}\) maupun \([a,b]\).

(b) Untuk \(n\in\Bbb N\), \(k\le 2^n\), tetapkan \(a_{nk}=a+2^{-n}k(b-a)\), dan untuk \(1\le k\le 2^n\), pilih \(x_{nk}\in\dom f\cap\ooint{a_{n,k-1},a_{nk}}\). Definisikan \(f_n:\ocint{a,b}\to\Bbb R\) dengan menetapkan \(f_n(x)=f(x_{nk})\) jika \(1\le k\le 2^n\) dan \(x\in\ocint{a_{n,k-1},a_{nk}}\). Maka \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) kapan pun \(x\in\ooint{a,b}\cap\dom f\) dan \(f\) kontinu di \(x\), yang pasti berlaku hampir di mana-mana (224H). Selanjutnya, perhatikan bahwa semua \(f_n\) terukur, dan nilai mutlaknya dibatasi secara seragam oleh \(M\). Jadi \(\{f_n\times g:n\in\Bbb N\}\) didominasi oleh fungsi terintegralkan \(M|g|\), dan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue menyatakan bahwa

\(\int_a^bf\times g=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n\times g\).

(c) Untuk sementara, tetapkan \(n\in\Bbb N\). Tetapkan \(K=\sup_{c\in[a,b]}|\int_a^cg|\). (Perhatikan bahwa \(K\) berhingga karena \(c\mapsto\int_a^cg\) kontinu.) Maka

\[\begin{aligned}\bigl|\int_a^bf_n\times g\bigr| &=\bigl|\sum_{k=1}^{2^n}\int_{a_{n,k-1}}^{a_{nk}}f_n\times g\bigr|\\ &=\bigl|\sum_{k=1}^{2^n} f(x_{nk})(\int_a^{a_{nk}}g-\int_a^{a_{n,k-1}}g)\bigr|\\ &=\bigl|\sum_{k=1}^{2^n-1} (f(x_{nk})-f(x_{n,k+1}))\int_a^{a_{nk}}g +f(x_{n,2^n})\int_a^bg\bigr|\\ &\le\bigl|f(x_{n,2^n})\bigr|\bigl|\int_a^bg\bigr|+\sum_{k=1}^{2^n-1} \bigl|f(x_{n,k+1})-f(x_{nk})\bigr|\bigl|\int_a^{a_{nk}}g\bigr|\\ &\le(|f(x_{n,2^n})|+\Var_{\ooint{a,b}}(f))K \to MK\\\end{aligned}\]

ketika \(n\to\infty\).

(d) Sekarang

\(|\int_a^bf\times g| =\lim_{n\to\infty}|\int_a^bf_n\times g|\le MK\),

sebagaimana diperlukan.

224K Fungsi bernilai kompleks

Sejauh ini saya telah menganggap semua fungsi bernilai real. Ini memadai bagi keperluan bab ini, tetapi dalam Bab 28 kita perlu meninjau fungsi bernilai kompleks yang bervariasi terbatas, dan barangkali saya perlu menguraikan penyesuaian (elementer) yang terlibat dalam perluasan ke kasus kompleks.

224Ka (a)

Misalkan \(D\) suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks. Variasi \(f\) pada \(D\), \(\Var_D(f)\), adalah nol jika \(D\cap\dom f=\emptyset\), dan jika tidak, variasi tersebut adalah

\(\sup\{\sum_{j=1}^n|f(a_j)-f(a_{j-1})|: a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\) dalam \(D\cap\dom f\}\),

dengan mengizinkan nilai \(\infty\). Jika \(\Var_{D}(f)\) berhingga, kita mengatakan bahwa \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\).

224Kb (b)

Seperti dalam kasus real, suatu fungsi bernilai kompleks yang bervariasi terbatas pasti terbatas, dan

\(\Var_{D}(f+g)\le\Var_{D}(f)+\Var_{D}(g)\),

\(\Var_{D}(cf)=|c|\Var_{D}(f)\),

\(\Var_{D}(f)\ge\Var_{D\cap\ocint{-\infty,x}}(f) +\Var_{D\cap\coint{x,\infty}}(f)\)

untuk setiap \(x\in\Bbb R\), dengan kesamaan jika \(x\in D\cap\dom f\),

\(\Var_D(f)\le\Var_{D'}(f)\) kapan pun \(D\subseteq D'\);

argumen-argumen 224C berlaku tanpa perubahan.

224Kc (c)

Suatu fungsi bernilai kompleks bervariasi terbatas jika dan hanya jika bagian real dan bagian imajinernya sama-sama bervariasi terbatas (karena

\(\max(\Var_{D}(\Real f),\Var_{D}(\Imag f)) \le\Var_{D}(f)\le\Var_{D}(\Real f)+\Var_{D}(\Imag f)\).)

Jadi, suatu fungsi bernilai kompleks \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\) jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi terbatas dan tak-menurun \(f_1,\ldots,f_4:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=f_1-f_2+if_3-if_4\) pada \(D\cap\dom f\) (224D).

224Kd (d)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks dan \(D\) sembarang subhimpunan dari \(\Bbb R\). Jika \(f\) bervariasi terbatas pada \(D\), maka

\(\lim_{x\downarrow a}\Var_{D\cap\ocint{a,x}}(f) =\lim_{x\uparrow a}\Var_{D\cap\coint{x,a}}(f)=0\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\), dan

\(\lim_{a\to-\infty}\Var_{D\cap\ocint{-\infty,a}}(f) =\lim_{a\to\infty}\Var_{D\cap\coint{a,\infty}}(f)=0\).

(Terapkan 224E pada bagian real dan bagian imajiner dari \(f\).)

224Ke (e)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang bervariasi terbatas pada \([a,b]\), dengan \(a<b\). Jika \(\dom f\) beririsan dengan setiap interval \(\ocint{a,a+\delta}\) untuk \(\delta>0\), maka \(\lim_{t\in\dom f,t\downarrow a}f(t)\) ada dalam \(\Bbb C\). Jika \(\dom f\) beririsan dengan \(\coint{b-\delta,b}\) untuk setiap \(\delta>0\), maka \(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow b}f(t)\) ada dalam \(\Bbb C\). (Terapkan 224F pada bagian real dan bagian imajiner dari \(f\).)

224Kf (f)

Misalkan \(f\), \(g\) fungsi-fungsi bernilai kompleks dan \(D\) suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\). Jika \(f\) dan \(g\) bervariasi terbatas pada \(D\), demikian pula \(f\times g\). (Sebab \(f\times g\) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari keempat hasil kali \(\Real f\times\Real g,\ldots,\Imag f\times\Imag g\), dan 224G dapat diterapkan pada masing-masing hasil kali tersebut.)

224Kg (g)

Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval, dan \(f:I\to\Bbb C\) suatu fungsi bervariasi terbatas. Maka \(f\) dapat didiferensialkan hampir di mana-mana dalam \(I\), dan \(\int_I|f'|\le\Var_I(f)\). (Seperti 224I.)

224Kh (h)

Misalkan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\), dan andaikan bahwa \(g\) terintegralkan pada interval \([a,b]\), dengan \(a<b\), sedangkan \(f\) bervariasi terbatas pada \(\ooint{a,b}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ooint{a,b}\). Maka \(f\times g\) terintegralkan pada \([a,b]\), dan

\[\bigl|\int_a^bf\times g\bigr| \le\bigl(\lim_{x\in\dom f,x\uparrow b}|f(x)|+\Var_{\ooint{a,b}}(f)\bigr) \sup_{c\in[a,b]}\bigl|\int_a^cg\bigr|.\]

(Argumen 224J berlaku nyaris tanpa perubahan.)

Latihan

224X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Tetapkan \(f(x)=x^2\sin\Bover1{x^2}\) untuk \(x\ne 0\), \(f(0)=0\). Tunjukkan bahwa \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) terdiferensialkan di setiap titik dan kontinu seragam, tetapi tidak bervariasi terbatas pada interval tak-sepele mana pun yang memuat \(0\).

224Xb (b)

Berikan contoh suatu fungsi nonnegatif \(g:[0,1]\to[0,1]\) yang bervariasi terbatas, tetapi \(\sqrt{g}\) tidak bervariasi terbatas.

224Xc (c)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) sembarang fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\), terdapat fungsi \(\tilde f:\Bbb R\to\Bbb R\) yang memperluas \(f\) sedemikian sehingga \(\Var\tilde f=\Var f\). Dalam keadaan apa \(\tilde f\) tunggal?

224Xd (d)

Misalkan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas, dengan \(D\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan tak kosong. Tunjukkan bahwa jika \(\inf_{x\in D}|f(x)|>0\), maka \(1/f\) bervariasi terbatas.

224Xe (e)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu, dengan \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa jika \(c<\Var f\), terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|\ge c\) kapan pun \(a=a_0\le a_1\le\ldots\le a_n=b\) dan \(\max_{1\le i\le n}a_i-a_{i-1}\le\delta\).

224Xf (f)

Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real, dan tetapkan \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) kapan pun limit tersebut terdefinisi. Tunjukkan bahwa \(\Var f\le\liminf_{n\to\infty}\Var f_n\).

224Xg (g)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada interval \([a,b]\subseteq\Bbb R\). Tetapkan \(F(x)=\int_a^xf\) untuk \(x\in[a,b]\). Tunjukkan bahwa \(\Var F=\int_a^b|f|\). (Petunjuk\/: mulailah dengan memeriksa bahwa \(\Var F\le\int|f|\); untuk ketaksamaan sebaliknya, tinjau terlebih dahulu kasus \(f\ge 0\).)

224Xh (h)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan tak kosong \(D\subseteq\Bbb R\), maka

\(\Var f=\sup\{|\sum_{i=1}^n(-1)^i(f(a_i)-f(a_{i-1}))|: a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\) dalam \(D\}\).

224Xi (i)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada interval terbatas \([a,b]\subseteq\Bbb R\). Tunjukkan bahwa

\(\int_a^b|f| =\)\(\sup\{|\sum_{i=1}^n(-1)^i\int_{a_{i-1}}^{a_i}f|: a=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots\le a_n=b\}\).

(Petunjuk\/: gabungkan 224Xg dan 224Xh.)

224Xj (j)

Misalkan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\), dan andaikan bahwa \(g\) terintegralkan pada interval \([a,b]\), dengan \(a<b\), sedangkan \(f\) bervariasi terbatas pada \(\ooint{a,b}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ooint{a,b}\). Tunjukkan bahwa

\(|\int_a^bf\times g| \le(\lim_{x\in\dom f,x\downarrow a}|f(x)| +\Var_{\ooint{a,b}}(f))\sup_{c\in[a,b]}|\int_c^bg|\).

224Xk (k)

Andaikan bahwa \(D\subseteq\Bbb R\) dan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(f\) dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsi tak-menurun jika dan hanya jika \(\Var_{D\cap[a,b]}(f)\) berhingga kapan pun \(a\le b\) dalam \(D\).

224Xl (l)

Andaikan bahwa \(D\subseteq\Bbb R\) dan bahwa \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu yang bervariasi terbatas. Tunjukkan bahwa \(f\) dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsi kontinu dan tak-menurun.

224Xm (m)

Andaikan bahwa \(D\subseteq\Bbb R\) dan bahwa \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas yang kontinu dari kanan, yakni kapan pun \(x\in D\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|f(t)-f(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(t\in D\cap[x,x+\delta]\). Tunjukkan bahwa \(f\) dapat dinyatakan sebagai selisih dua fungsi tak-menurun yang kontinu dari kanan.

224Y Latihan lanjutan (a)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) sembarang fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(\Bbb R\), terdapat fungsi \(\tilde f:\Bbb R\to\Bbb C\) yang memperluas \(f\) sedemikian sehingga \(\Var\tilde f=\Var f\). Dalam keadaan apa \(\tilde f\) tunggal?

224Yb (b)

Misalkan \(D\) sembarang subhimpunan tak kosong dari \(\Bbb R\), dan misalkan \(\eusm V\) suatu ruang fungsi-fungsi \(f:D\to\Bbb R\) yang bervariasi terbatas. Untuk \(f\in\eusm V\), tetapkan

\(\|f\|=\sup\{|f(t_0)|+\sum_{i=1}^n|f(t_i)-f(t_{i-1})|: t_0\le\ldots\le t_n\in D\}\).

Tunjukkan bahwa (i) \(\|\,\|\) merupakan norma pada \(\eusm V\) (ii) \(\eusm V\) lengkap terhadap \(\|\,\|\) (iii) \(\|f\times g\|\le\|f\|\|g\|\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm V\), sehingga \(\eusm V\) merupakan suatu aljabar Banach.

224Yc (c)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas. Tunjukkan bahwa terdapat suatu barisan \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi-fungsi yang terdiferensialkan sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\), \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|=0\), dan \(\Var(f_n)\le\Var(f)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Petunjuk: mulailah dengan \(f\) yang tak-menurun.

224Yd (d)

Untuk setiap himpunan terurut parsial \(X\) dan setiap fungsi \(f:X\to\Bbb R\), katakan bahwa \(\Var_X(f)=0\) jika \(X=\emptyset\), dan jika tidak,

\(\Var_X(f) =\sup\{\sum_{i=1}^n|f(a_i)-f(a_{i-1})|:a_0,a_1,\ldots,a_n\in X,\,a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\}\).

Nyatakan dan buktikan hasil-hasil dalam kerangka ini yang memperumum 224D dan 224Yb. (Petunjuk-petunjuk\/: \(f\) disebut ‘tak-menurun’ jika \(f(x)\le f(y)\) kapan pun \(x\le y\); tafsirkan \(\ocint{-\infty,x}\) sebagai \(\{y:y\le x\}\).)

224Ye (e)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(f:[a,b]\to X\) suatu fungsi, dengan \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\). Tetapkan

\(\Var_{[a,b]}(f) =\sup\{\sum_{i=1}^n\rho(f(a_i),f(a_{i-1})): a\le a_0\le\ldots\le a_n\le b\}\).

(i) Tunjukkan bahwa \(\Var_{[a,b]}(f)=\Var_{[a,c]}(f)+\Var_{[c,b]}(f)\) untuk setiap \(c\in[a,b]\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\Var_{[a,b]}(f)\) berhingga, maka \(f\) kontinu pada \([a,b]\), kecuali pada terhitung banyak titik. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(X\) lengkap dan \(\Var_{[a,b]}(f)<\infty\), maka \(\lim_{t\uparrow x}f(t)\) ada untuk setiap \(x\in\ocint{a,b}\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(X\) lengkap, maka \(\Var_{[a,b]}(f)\) berhingga jika dan hanya jika \(f\) dapat dinyatakan sebagai komposisi \(gh\), dengan \(h:[a,b]\to\Bbb R\) tak-menurun dan \(g:\Bbb R\to X\) bersifat \(1\)-Lipschitz, yakni \(\rho(g(c),g(d))\le|c-d|\) untuk semua \(c\), \(d\in\Bbb R\).

224Yf (f)

Misalkan \(U\) suatu ruang bernorma dan \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\). Untuk fungsi-fungsi \(f:[a,b]\to U\), definisikan \(\Var_{[a,b]}(f)\) seperti dalam 224Ye, dengan menggunakan metrik baku \(\rho(x,y)=\|x-y\|\) untuk \(x\), \(y\in U\). (i) Tunjukkan bahwa \(\Var_{[a,b]}(f+g)\le\Var_{[a,b]}(f)+\Var_{[a,b]}(g)\), \(\Var_{[a,b]}(cf)=|c|\Var_{[a,b]}(f)\) untuk semua \(f\), \(g:[a,b]\to U\) dan semua \(c\in\Bbb R\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(V\) ruang bernorma lain dan \(T:U\to V\) suatu operator linear terbatas, maka \(\Var_{[a,b]}(Tf)\le\|T\|\Var_{[a,b]}(f)\) untuk setiap \(f:[a,b]\to U\).

224Yg (g)

Misalkan \(f:[0,1]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu. Untuk \(y\in\Bbb R\), tetapkan \(h(y)=\#(f^{-1}[\{y\}])\) jika nilai ini berhingga, dan \(\infty\) jika tidak. Tunjukkan bahwa (jika kita mengizinkan \(\infty\) sebagai nilai integral) \(\Var_{[0,1]}(f)=\int h\). (Petunjuk\/: untuk \(n\in\Bbb N\), \(i<2^n\), tetapkan \(c_{ni}=\sup\{f(x)-f(y):x,y\in[2^{-n}i,2^{-n}(i+1)]\}\), \(h_{ni}(y)=1\) jika \(y\in f[\,\coint{2^{-n}i,2^{-n}(i+1)}\,]\), dan \(0\) jika tidak. Tunjukkan bahwa \(c_{ni}=\int h_{ni}\), \(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{2^n-1}c_{ni}=\Var f\), \(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{2^n-1}h_{ni}=h\).) (Lihat juga 226Yc.)

224Yh (h)

Misalkan \(\nu\) sembarang ukuran Lebesgue-Stieltjes pada \(\Bbb R\), \(I\subseteq \Bbb R\) suatu interval (yang dapat terbuka atau tertutup, terbatas atau tak terbatas), dan \(D\subseteq I\) suatu himpunan tak kosong. Misalkan \(\eusm V\) ruang fungsi-fungsi bervariasi terbatas dari \(D\) ke \(\Bbb R\), dan \(\|\,\|\) norma 224Yb pada \(\eusm V\). Misalkan \(g:D\to\Bbb R\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\int_{[a,b]\cap D}g\,d\nu\) ada kapan pun \(a\le b\) dalam \(I\), dan \(K=\sup_{a,b\in I,a\le b}|\int_{[a,b]\cap D}g\,d\nu|\). Tunjukkan bahwa \(|\int_Df\times g\,d\nu|\le K\|f\|\) untuk setiap \(f\in\eusm V\).

224Yi (i)

Jelaskan cara menerapkan 224Yh dengan \(D=\Bbb N\) untuk memperoleh Teorema Abel bahwa jika suatu barisan monoton konvergen ke \(0\) dan suatu deret mempunyai barisan jumlah parsial yang terbatas, maka deret hasil kali suku demi suku keduanya dapat dijumlahkan.

224Yj (j)

Andaikan bahwa \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval, dan bahwa \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan himpunan yang menutupi \(I\). Misalkan \(f:I\to\Bbb R\) kontinu. Tunjukkan bahwa \(\Var f\le\sum_{n=0}^{\infty}\Var_{A_n}f\). Petunjuk: cukup buktikan untuk kasus himpunan-himpunan tertutup \(A_n\); gunakan Teorema Baire (4A2Ma).

Catatan dan komentar

224-notes Catatan penutup untuk Bagian 224

Saya telah mengembangkan gagasan-gagasan di atas agak lebih jauh daripada yang segera kita perlukan; untuk bab ini, cukup meninjau kasus ketika \(D=\dom f=[a,b]\) untuk suatu interval \([a,b]\subseteq\Bbb R\). Perluasan ke fungsi-fungsi dengan domain tak beraturan akan berguna dalam Bab 28, dan perluasan ke himpunan tak beraturan \(D\), meskipun tidak penting bagi kita di sini, cukup menarik – misalnya, dengan mengambil \(D=\Bbb N\), kita memperoleh konsep ‘barisan bervariasi terbatas’, yang tentu relevan bagi persoalan konvergensi dan keterjumlahan.

Hasil utama bagian ini tentu saja adalah fakta bahwa suatu fungsi bervariasi terbatas dapat dinyatakan sebagai selisih fungsi-fungsi monoton (224D); bahkan, salah satu tujuan konsep ini adalah mencirikan rentang linear fungsi-fungsi monoton. Hampir semua hasil lain di sini dapat diperoleh sebagai konsekuensi mudah dari fakta tersebut, seperti dalam 224E-224G. Dalam 224I dan 224Xg kita melangkah sedikit lebih dalam, dan bahkan mulai muncul unsur-unsur teori ukuran; di sinilah gagasan-gagasan ini mulai terhubung dengan pokok sesungguhnya dari bab ini, yang akan dilanjutkan dalam bagian berikutnya. Hasil lain yang pada dasarnya cukup mudah, tetapi mengandung benih gagasan-gagasan penting, adalah 224Yg.

Dalam 224Yb saya menyebutkan suatu pengembangan alami dalam analisis fungsional, dan dalam 224Yd-224Yf saya mengusulkan generalisasi lebih lanjut yang berjangkauan luas.