Sudah menjadi kebiasaan umum – dan, menurut pandangan saya, kebiasaan yang baik – dalam buku-buku matematika murni, untuk memberikan contoh pembeda; maksud saya, setiap kali kita diberi suatu daftar konsep baru, kita berharap akan diberi contoh-contoh yang menunjukkan bahwa kita memiliki gambaran yang memadai tentang hubungan di antara konsep-konsep tersebut, dan khususnya bahwa tidak ada implikasi mengejutkan yang disembunyikan dari kita. Mengenai konsep-konsep yang didaftar dalam 211A-211K, kita memiliki sepuluh sifat berbeda yang dimiliki oleh sebagian, tetapi tidak semua, ruang ukur, sehingga secara teoretis terdapat total \(2^{10}\) jenis ruang ukur yang berbeda, yang diklasifikasikan menurut sifat mana di antara sepuluh sifat tersebut yang dimilikinya. Daftar hubungan dasar dalam 211L mengurangi 1024 kemungkinan ini menjadi 72. Dengan mengamati bahwa suatu ruang dapat sekaligus tanpa atom dan atomik murni hanya jika ukuran seluruh ruang adalah \(0\), kita memperoleh 56 kemungkinan, yaitu dua kasus sepele dengan \(\mu X=0\) (karena ukuran seperti itu dapat lengkap atau tidak lengkap) bersama dengan \(9\times 2\times 3\) kasus, yang bersesuaian dengan sembilan kelas
ruang peluang,
ruang yang berhingga total, tetapi bukan ruang peluang,
ruang yang \(\sigma\)-hingga, tetapi tidak berhingga total,
ruang yang dapat dilokalkan secara ketat, tetapi tidak \(\sigma\)-hingga,
ruang yang dapat dilokalkan dan ditentukan secara lokal, tetapi tidak dapat dilokalkan secara ketat,
ruang yang dapat dilokalkan, tetapi tidak ditentukan secara lokal,
ruang yang ditentukan secara lokal, tetapi tidak dapat dilokalkan,
ruang yang semihingga, tetapi tidak ditentukan secara lokal maupun dapat dilokalkan,
ruang yang tidak semihingga;
dua kelas
ruang yang lengkap,
ruang yang tidak lengkap;
dan tiga kelas
ruang yang tanpa atom, dengan ukuran bukan \(0\),
ruang yang atomik murni, dengan ukuran bukan \(0\),
ruang yang tidak tanpa atom maupun atomik murni.
Saya tidak bermaksud memberikan seperangkat lengkap lima puluh enam contoh, terutama karena gagasan yang diperlukan sebenarnya jauh lebih sedikit daripada lima puluh enam. Namun, saya sungguh berpendapat bahwa untuk memahami ruang ukur abstrak dengan baik, kita perlu melihat realisasi beberapa kombinasi sifat yang penting. Karena itu, dalam beberapa paragraf saya menjelaskan tiga contoh khusus sebagai tambahan bagi contoh-contoh dalam 211M-211R.
216A Ukuran Lebesgue
Sebelum beralih ke gagasan-gagasan baru, izinkan saya menyebut ukuran Lebesgue sekali lagi. Sebagaimana dicatat dalam 211M, 211P dan 211Qa,
(a) ukuran Lebesgue \(\mu\) pada \(\Bbb R\) lengkap, tanpa atom, dan \(\sigma\)-hingga, sehingga dapat dilokalkan secara ketat, dapat dilokalkan, dan ditentukan secara lokal.
(b) Ukuran subruang \(\mu_{[0,1]}\) pada \([0,1]\) merupakan ukuran peluang yang lengkap dan tanpa atom.
(c) Restriksi \(\mu\restr\Cal B\) dari \(\mu\) pada aljabar-sigma Borel \(\Cal B\) dari \(\Bbb R\) bersifat tanpa atom, \(\sigma\)-hingga, dan tidak lengkap.
216B
Sekarang saya mulai menjelaskan tiga ‘contoh tandingan’; yakni ruang-ruang yang dibangun secara khusus untuk menunjukkan bahwa tidak ada implikasi tak terduga di antara sepuluh sifat yang sedang dipertimbangkan di sini. Bahkan menurut standar bab ini, contoh-contoh tersebut harus dipandang sebagai bagian yang boleh dilewati oleh pelajar yang ingin melanjutkan pekerjaan utama memahami teorema-teorema besar dalam bidang ini. Baik keberadaan contoh-contoh ini maupun teknik yang diperlukan untuk membangunnya tidak mutlak diperlukan bagi hal lain yang akan kita kaji sebelum Jilid 5. Tetapi jika Anda hendak mempelajari teori ukuran abstrak secara serius, cepat atau lambat Anda perlu membentuk suatu gambaran mental tentang hakikat ruang-ruang yang memiliki berbagai sifat di sini, dan syarat minimal bagi gambaran demikian ialah bahwa gambaran itu mencakup perbedaan-perbedaan yang diperlihatkan oleh contoh-contoh ini.
216C Ruang lengkap yang dapat dilokalkan tetapi tidak ditentukan secara lokal
Contoh pertama hampir tidak memerlukan gagasan di luar yang sudah kita miliki, tetapi memang menuntut lebih banyak manipulasi daripada yang layak diberikan sebagai latihan, sehingga mungkin berguna sebagai peragaan teknik.
(a) Misalkan \(I\) sembarang himpunan tak terhitung, dan tetapkan \(X=\{0,1\}\times I\). Untuk \(E\subseteq X\), \(y\in\{0,1\}\) tetapkan \(E[\{y\}]=\{i:(y,i)\in E\}\subseteq I\). Tetapkan
Maka \(\Sigma\) merupakan aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian \(X\). Bukti. (i) \(\emptyset[\{0\}]\symmdiff\emptyset[\{1\}]=\emptyset\) terhitung, jadi \(\emptyset\in\Sigma\). (ii) Jika \(E\in\Sigma\) maka \((X\setminus E)[\{0\}] \symmdiff(X\setminus E)[\{1\}]=E[\{0\}]\symmdiff E[\{1\}]\) terhitung. (iii) Jika \(\sequencen{E_n}\) merupakan suatu barisan dalam \(\Sigma\) dan \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\), maka \(E[\{0\}]\symmdiff E[\{1\}] \subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n[\{0\}]\symmdiff E_n[\{1\}])\) terhitung. ∎
Untuk \(E\in\Sigma\), tetapkan \(\mu E=\#(E[\{0\}])\) jika ini hingga, \(\infty\) jika tidak; maka \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur.
(b) \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap. Bukti. Jika \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu E=0\), maka \((0,i)\notin E\) untuk setiap \(i\). Jadi \(A[\{0\}]\symmdiff A[\{1\}]=A[\{1\}]\subseteq E[\{1\}] =E[\{1\}]\symmdiff E[\{0\}]\) harus terhitung, dan \(A\in\Sigma\). ∎
(c) \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga. Bukti. Jika \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E>0\), terdapat \(i\in I\) sedemikian sehingga \((0,i)\in E\); kini \(F=\{(0,i)\}\subseteq E\) dan \(\mu F=1\). ∎
(d) \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan. Bukti. Misalkan \(\Cal E\) sembarang himpunan bagian dari \(\Sigma\). Tetapkan \(J=\bigcup_{E\in\Cal E}E[\{0\}]\), \(G=\{0,1\}\times J\). Maka \(G\in\Sigma\). Jika \(H\in\Sigma\), maka \[\begin{aligned}\mu(E\setminus H)&=0 \text{ untuk setiap }E\in\Cal E\\ &\iff E[\{0\}]\subseteq H[\{0\}]\text{ untuk setiap }E\in\Cal E\\ &\iff (0,i)\in H\text{ untuk setiap }i\in J\\ &\iff \mu(G\setminus H)=0.\\\end{aligned}\] Jadi \(G\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\); karena \(\Cal E\) sembarang, \(\mu\) dapat dilokalkan. ∎
(e) \((X,\Sigma,\mu)\) tidak ditentukan secara lokal. Bukti.\ Tinjau \(H=\{0\}\times I\). Maka \(H\notin\Sigma\) karena \(H[\{0\}]\symmdiff H[\{1\}]=I\) tak terhitung. Tetapi misalkan \(E\in\Sigma\) sembarang himpunan sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\). Maka \((E\cap H)[\{0\}]\symmdiff (E\cap H)[\{1\}] =(E\cap H)[\{0\}]\subseteq E[\{0\}]\) hingga, sehingga \(E\cap H\in\Sigma\). Karena \(E\) sembarang, \(H\) menjadi saksi bahwa \(\mu\) tidak ditentukan secara lokal. ∎
(f) \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni. Bukti. Misalkan \(E\in\Sigma\) sembarang himpunan dengan ukuran bukan nol. Ambil \(i\in I\) sedemikian sehingga \((0,i)\in E\). Maka \((0,i)\in E\) dan \(F=\{(0,i)\}\) merupakan himpunan berukuran \(1\) yang termuat dalam \(E\); karena \(F\) merupakan himpunan tunggal, ia harus menjadi suatu atom bagi \(\mu\); karena \(E\) sembarang, \(\mu\) atomik murni. ∎
(g) Jadi konstruksi di sini menghasilkan ruang lengkap, dapat dilokalkan, atomik murni, dan tidak ditentukan secara lokal.
216D Ruang lengkap yang ditentukan secara lokal tetapi tidak dapat dilokalkan
Konstruksi berikut memerlukan sedikit teori himpunan. Kita memerlukan dua himpunan \(I\), \(J\) sedemikian sehingga \(I\) tak terhitung (lebih tepatnya, \(I\) tidak dapat dinyatakan sebagai gabungan terhitung dari himpunan-himpunan terhitung), \(I\subseteq J\) dan \(J\) tidak dapat dinyatakan sebagai \(\bigcup_{i\in I}K_i\) dengan setiap \(K_i\) terhitung. Cara paling alami untuk melakukan ini, dengan mengasumsikan aksioma pilihan, ialah mengambil \(I=\omega_1\), ordinal tak terhitung pertama, dan \(J\) sebagai \(\omega_2\), ordinal pertama yang darinya tidak ada injeksi ke dalam \(\omega_1\) (lihat 2A1Fc); tetapi jika Anda lebih menyukai formulasi lain (misalnya, \(I=\{\{x\}:x\in\Bbb R\}\) dan \(J=\Cal P\Bbb R\)), saya akan menuliskan argumen berikut dalam istilah \(I\) dan \(J\), dan Anda dapat memilih pasangan Anda sendiri.
(a) Misalkan \(\Tau\) adalah aljabar-sigma terhitung-koterhitung dari \(J\) dan \(\nu\) ukuran terhitung-koterhitung pada \(J\) (211R). Tetapkan \(X=J\times J\) dan untuk \(E\subseteq X\) tetapkan
untuk setiap \(\xi\in J\). Tetapkan
untuk setiap \(E\in\Sigma\). Mudah diperiksa bahwa \(\Sigma\) merupakan aljabar-sigma dan bahwa \(\mu\) merupakan suatu ukuran.
(b) \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap. Bukti. Jika \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu E=0\), maka semua himpunan \(E[\{\xi\}]\) dan \(E^{-1}[\{\xi\}]\) terhitung, sehingga hal yang sama berlaku bagi semua himpunan \(A[\{\xi\}]\) dan \(A^{-1}[\{\xi\}]\), dan \(A\in\Sigma\). ∎
(d) \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga. Bukti. Untuk setiap \(\zeta\in J\), tetapkan \(G_{\zeta}=\{\zeta\}\times J\), \(\tilde G_{\zeta}=J\times\{\zeta\}\). Maka semua penampang \(G_{\zeta}[\{\xi\}]\), \(G_{\zeta}^{-1}[\{\xi\}]\), \(\tilde G_{\zeta}[\{\xi\}]\), dan \(\tilde G_{\zeta}^{-1}[\{\xi\}]\) adalah salah satu dari \(J\), \(\emptyset\), atau \(\{\zeta\}\), sehingga termasuk dalam \(\Tau\), dan semua \(G_{\zeta}\), \(\tilde G_{\zeta}\) termasuk dalam \(\Sigma\), dengan ukuran \(\mu\) sebesar \(1\). Andaikan \(E\in\Sigma\) merupakan himpunan dengan ukuran yang benar-benar positif. Maka harus ada suatu \(\xi\in J\) sedemikian sehingga \(0<\nu E[\{\xi\}]+\nu E^{-1}[\{\xi\}] =\mu(E\cap G_{\xi})+\mu(E\cap \tilde G_{\xi})<\infty\), dan salah satu himpunan \(E\cap G_{\xi}\), \(E\cap\tilde G_{\xi}\) merupakan himpunan berukuran hingga bukan nol yang termuat dalam \(E\). ∎
(e) \((X,\Sigma,\mu)\) ditentukan secara lokal. Bukti. Andaikan \(H\subseteq X\) sedemikian sehingga \(H\cap E\in\Sigma\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E<\infty\). Maka, khususnya, \(H\cap G_{\zeta}\) dan \(H\cap \tilde G_{\zeta}\) termasuk dalam \(\Sigma\), sehingga \(H[\{\zeta\}] =(H\cap \tilde G_{\zeta})[\{\zeta\}]\in\Tau\), \(H^{-1}[\{\zeta\}] =(H\cap G_{\zeta})^{-1}[\{\zeta\}]\in\Tau\), untuk setiap \(\zeta\in J\). Ini menunjukkan bahwa \(H\in\Sigma\). Karena \(H\) sembarang, \(\mu\) ditentukan secara lokal. ∎
(f) \((X,\Sigma,\mu)\) tidak dapat dilokalkan. Bukti. Tetapkan \(\Cal E=\{G_{\zeta}:\zeta\in J\}\). Andaikan, jika mungkin, bahwa \(G\in\Sigma\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\). Maka \(\nu(J\setminus G[\{\xi\}]) =\mu(G_{\xi}\setminus G)=0\) dan \(J\setminus G[\{\xi\}]\) terhitung, untuk setiap \(\xi\in J\). Akibatnya \(J\ne\bigcup_{\xi\in I}(J\setminus G[\{\xi\}])\), dan terdapat suatu \(\eta\) yang termasuk dalam \(J\setminus\bigcup_{\xi\in I}(J\setminus G[\{\xi\}])=\bigcap_{\xi\in I}G[\{\xi\}]\). Ini berarti tepat bahwa \((\xi,\eta)\in G\) untuk setiap \(\xi\in I\), yaitu \(I\subseteq G^{-1}[\{\eta\}]\). Dengan demikian \(G^{-1}[\{\eta\}]\) tak terhitung, sehingga \(\nu G^{-1}[\{\eta\}]=\mu(G\cap\tilde G_{\eta})=1\). Tetapi perhatikan bahwa \(\mu(G_{\xi}\cap \tilde G_{\eta})=\mu\{(\xi,\eta)\}=0\) untuk setiap \(\xi\in J\). Ini berarti bahwa, dengan menetapkan \(H=X\setminus \tilde G_{\eta}\), \(E\setminus H\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\); sehingga kita harus mempunyai \(0=\mu(G\setminus H)=\mu(G\cap\tilde G_{\eta})=1\), yang mustahil. Jadi \(\Cal E\) tidak memiliki supremum esensial dalam \(\Sigma\), dan \(\mu\) tidak dapat dilokalkan. ∎
(g) \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni. Bukti. Jika \(E\in\Sigma\) berukuran bukan nol, harus ada suatu \(\xi\in J\) sedemikian sehingga salah satu dari \(E[\{\xi\}]\), \(E^{-1}[\{\xi\}]\) tak terhitung; yakni, sedemikian sehingga salah satu dari \(E\cap G_{\xi}\), \(E\cap \tilde G_{\xi}\) tidak terabaikan. Tetapi jika sekarang \(H\in\Sigma\) dan \(H\subseteq E\cap G_{\xi}\), maka \(H[\{\xi\}]\) terhitung dan \(\mu H=0\), atau \(J\setminus H[\{\xi\}]\) terhitung dan \(\mu(G_{\xi}\setminus H)=0\); demikian pula, jika \(H\subseteq E\cap\tilde G_{\xi}\), salah satu dari \(\mu H\), \(\mu (\tilde G_{\xi}\setminus H)\) harus bernilai \(0\), menurut apakah \(H^{-1}[\{\xi\}]\) terhitung atau tidak. Jadi \(E\cap G_{\xi}\) dan \(E\cap\tilde G_{\xi}\), jika tidak terabaikan, harus merupakan atom, dan \(E\) harus memuat suatu atom. Karena \(E\) sembarang, \(\mu\) atomik murni. ∎
(h) Jadi \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap, ditentukan secara lokal, dan atomik murni, tetapi tidak dapat dilokalkan.
216E
Ruang lengkap, ditentukan secara lokal, dan dapat dilokalkan yang tidak dapat dilokalkan secara ketat Untuk konstruksi terakhir dan yang paling menarik, kita memerlukan suatu hasil tak sepele dalam kombinatorika infinit, yang telah saya tuliskan dalam 2A1P: jika \(I\) sembarang himpunan, dan \(\langle f_{\alpha}\rangle_{\alpha\in A}\) suatu keluarga dalam \(\{0,1\}^I\), himpunan fungsi dari \(I\) ke \(\{0,1\}\), dengan \(\#(A)\) lebih besar secara ketat daripada \(\frak c\), kardinalitas kontinuum, dan jika \(\langle K_{\alpha}\rangle_{\alpha\in A}\) sembarang keluarga himpunan bagian terhitung dari \(I\), maka harus ada \(\alpha\), \(\beta\in A\) yang berbeda sedemikian sehingga \(f_{\alpha}\) dan \(f_{\beta}\) bersepakat pada \(K_{\alpha}\cap K_{\beta}\).
Dengan berbekal fakta ini, saya melanjutkan sebagai berikut.
(a) Misalkan \(C\) sembarang himpunan dengan kardinalitas lebih besar daripada \(\frak c\). Tetapkan \(I=\Cal PC\) dan \(X=\{0,1\}^I\). Untuk \(\gamma\in C\), definisikan \(x_{\gamma}\in X\) dengan menetapkan bahwa \(x_{\gamma}(\Gamma)=1\) jika \(\gamma\in\Gamma\subseteq C\) dan \(x_{\gamma}(\Gamma)=0\) jika \(\gamma\notin\Gamma\subseteq C\). Misalkan \(\Cal K\) keluarga himpunan bagian terhitung dari \(I\), dan untuk \(K\in\Cal K\), \(\gamma\in C\) tetapkan
Misalkan
\[\begin{aligned}\Sigma_{\gamma}=\{E:E\subseteq X, &\text{ terdapat }K\in\Cal K\text{ sedemikian sehingga }F_{\gamma K}\subseteq E\\ &\text{ atau terdapat }K\in\Cal K\text{ sedemikian sehingga }F_{\gamma K}\subseteq X\setminus E\}.\\\end{aligned}\]
Maka \(\Sigma_{\gamma}\) merupakan aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian \(X\). Bukti. (i) \(F_{\gamma\emptyset}\subseteq X\setminus\emptyset\) sehingga \(\emptyset\in\Sigma_{\gamma}\). (ii) Definisi \(\Sigma_{\gamma}\) simetris antara \(E\) dan \(X\setminus E\), sehingga \(X\setminus E\in\Sigma_{\gamma}\) setiap kali \(E\in\Sigma_{\gamma}\). (iii) Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan dalam \(\Sigma_{\gamma}\), dengan gabungan \(E\). (\(\alpha\)) Jika terdapat \(n\in\Bbb N\), \(K\in\Cal K\) sedemikian sehingga \(F_{\gamma K}\subseteq E_n\), maka \(F_{\gamma K}\subseteq E\), sehingga \(E\in\Sigma_{\gamma}\). (\(\beta\)) Jika tidak, untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(K_n\in\Cal K\) sedemikian sehingga \(F_{\gamma,K_n}\subseteq X\setminus E_n\). Tetapkan \(K=\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n\in\Cal K\). Maka \[\begin{aligned}F_{\gamma K} &=\{x:x\restr K=x_{\gamma}\restr K\} =\{x:x\restr K_n=x_{\gamma}\restr K_n\text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}\\ &=\bigcap_{n\in\Bbb N}F_{\gamma,K_n} \subseteq\bigcap_{n\in\Bbb N}X\setminus E_n =X\setminus E,\\\end{aligned}\] sehingga kembali \(E\in\Sigma_{\gamma}\). Karena \(\sequencen{E_n}\) sembarang, \(\Sigma_{\gamma}\) merupakan aljabar-sigma. ∎
(b) Tetapkan
maka \(\Sigma\), sebagai irisan aljabar-aljabar-sigma, merupakan aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian \(X\) (lihat 111Ga). Definisikan \(\mu:\Sigma\to[0,\infty]\) dengan menetapkan
\[\begin{aligned}\mu E&=\#(\{\gamma:x_{\gamma}\in E\}) \text{ jika himpunan ini hingga},\\ &=\infty\text{ jika tidak};\\\end{aligned}\]
maka \(\mu\) merupakan suatu ukuran.
(c) Kelak akan berguna untuk mengetahui sesuatu tentang himpunan-himpunan
untuk \(D\subseteq C\). Khususnya, setiap \(G_D\) termasuk dalam \(\Sigma\). Bukti. Jika \(\gamma\in D\), maka \(x_{\gamma}(D)=1\) sehingga \(G_D=F_{\gamma,\{D\}}\in\Sigma_{\gamma}\). Jika \(\gamma\in C\setminus D\), maka \(x_{\gamma}(D)=0\) sehingga \(G_D=X\setminus F_{\gamma,\{D\}}\in\Sigma_{\gamma}\). ∎ Selain itu, tentu saja, \(\{\gamma:x_{\gamma}\in G_D\}=D\).
(d) \((X,\Sigma,\mu)\) lengkap. Bukti. Andaikan \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu E=0\). Untuk setiap \(\gamma\in C\), \(E\in\Sigma_{\gamma}\) dan \(x_{\gamma}\notin E\), sehingga \(F_{\gamma K}\not\subseteq E\) untuk setiap \(K\in\Cal K\) dan terdapat \(K\in\Cal K\) sedemikian sehingga \(F_{\gamma K}\subseteq X\setminus E\subseteq X\setminus A\). Jadi \(A\in\Sigma_{\gamma}\); karena \(\gamma\) sembarang, \(A\in\Sigma\). Karena \(A\) sembarang, \(\mu\) lengkap. ∎
(e) \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga. Bukti. Misalkan \(E\in\Sigma\) suatu himpunan berukuran positif. Maka harus ada suatu \(\gamma\in C\) sedemikian sehingga \(x_{\gamma}\in E\). Tinjau \(E'=E\cap G_{\{\gamma\}}\). Karena \(x_{\gamma}\in E'\), maka \(\mu E'\ge 1>0\). Di lain pihak, \(\mu G_{\{\gamma\}}=\#(\{\delta:\delta\in\{\gamma\}\})=1\), sehingga \(\mu E'=1\). Karena \(E\) sembarang, \(\mu\) semihingga. ∎
(f) \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan. Bukti. Misalkan \(\Cal E\) sembarang subhimpunan dari \(\Sigma\). Tetapkan \(D=\{\delta:\delta\in C,\,x_{\delta}\in\bigcup\Cal E\}\). Tinjau \(G_D\). Untuk \(H\in\Sigma\), \[\begin{aligned}\mu(E\setminus H)&=0\text{ untuk setiap }E\in\Cal E\\ &\iff x_{\gamma}\notin E\setminus H\text{ untuk setiap }E\in\Cal E, \gamma\in C\\ &\iff x_{\gamma}\in H\text{ untuk setiap }\gamma\in D\\ &\iff x_{\gamma}\notin G_D\setminus H\text{ untuk setiap }\gamma\in C\\ &\iff \mu(G_D\setminus H)=0.\\\end{aligned}\] Jadi \(G_D\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sembarang, \(\mu\) dapat dilokalkan. ∎
(g) \((X,\Sigma,\mu)\) tidak dapat dilokalkan secara ketat. Bukti.\ Andaikan, jika mungkin, bahwa \(\langle X_j\rangle_{j\in J}\) merupakan suatu dekomposisi dari \((X,\Sigma,\mu)\). Tetapkan \(J'=\{j:j\in J,\,\mu X_j>0\}\). Untuk setiap \(j\in J'\), himpunan \(C_j=\{\gamma:x_{\gamma}\in X_j\}\) harus hingga dan tak kosong. Selain itu, untuk setiap \(\gamma\in C\), harus ada suatu \(j\in J\) sedemikian sehingga \(\mu(G_{\{\gamma\}}\cap X_j)>0\), dan dalam kasus ini \(j\in J'\) serta \(\gamma\in C_j\). Jadi \(C=\bigcup_{j\in J'}C_j\). Karena \(\#(C)>\frak c\), \(\#(J')>\frak c\) (2A1Ld). Untuk setiap \(j\in J'\), pilih \(\gamma_j\in C_j\). Maka \(x_{\gamma_j}\in X_j\in\Sigma\subseteq\Sigma_{\gamma_j}\), sehingga harus ada suatu \(K_j\in\Cal K\) sedemikian sehingga \(F_{\gamma_j,K_j}\subseteq X_j\). Pada titik ini saya akhirnya menggunakan hasil yang dikutip pada awal contoh ini. Karena \(\#(J')>\frak c\), harus ada \(j\), \(k\in J'\) yang berbeda sedemikian sehingga \(x_{\gamma_j}\) dan \(x_{\gamma_k}\) bersepakat pada \(K_j\cap K_k\). Karena itu kita dapat mendefinisikan \(x\in X\) dengan menetapkan bahwa \[\begin{aligned}x(\delta)&=x_{\gamma_j}(\delta)\text{ jika }\delta\in K_j,\\ &=x_{\gamma_k}(\delta)\text{ jika }\delta \in K_k,\\ &=0\text{ jika }\delta\in I\setminus(K_j\cup K_k).\\\end{aligned}\] Sekarang \(x\in F_{\gamma_j,K_j}\cap F_{\gamma_k,K_k} \subseteq X_j\cap X_k\), dan \(X_j\cap X_k\ne\emptyset\); ini bertentangan dengan asumsi bahwa \(X_j\) membentuk suatu dekomposisi dari \(X\). ∎
(h) \((X,\Sigma,\mu)\) atomik murni. Bukti. Jika \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E>0\), maka (sebagaimana dicatat dalam (e) di atas) terdapat \(\gamma\in C\) sedemikian sehingga \(\mu(E\cap G_{\{\gamma\}})=1\); kini \(E\cap G_{\{\gamma\}}\) harus merupakan suatu atom. ∎
(i) Dengan demikian \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur lengkap, ditentukan secara lokal, dapat dilokalkan, dan atomik murni yang tidak dapat dilokalkan secara ketat.
Latihan
216X Latihan dasar (a)
Dalam konstruksi 216C, tunjukkan bahwa ukuran subruang pada \(\{1\}\times I\) tidak semihingga.
216Xb (b)
Andaikan, dalam 216D, bahwa \(I=\omega_1\). (i) Tunjukkan bahwa himpunan \(\{(\xi,\eta):\xi\le\eta<\omega_1\}\) terukur oleh ukuran yang dikonstruksi dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\restrp\Cal P(I\times I)\), tetapi tidak oleh ukuran subruang pada \(I\times I\). (ii) Dari sini, atau dengan cara lain, tunjukkan bahwa ukuran subruang pada \(I\times I\) tidak ditentukan secara lokal.
216Xc (c)
Dalam 216Ya, 252Yq, dan 252Ys di bawah, saya menunjukkan cara mengonstruksi versi tanpa atom dari 216C, 216D, dan 216E, yakni ruang ukur lengkap tanpa atom yang pertama dapat dilokalkan tetapi tidak ditentukan secara lokal, yang kedua ditentukan secara lokal tetapi tidak dapat dilokalkan, dan yang ketiga ditentukan secara lokal dan dapat dilokalkan tetapi tidak dapat dilokalkan secara ketat. Tunjukkan bagaimana jumlah langsung dari ruang-ruang ini, bersama dengan ukuran pencacahan dan contoh-contoh yang dijelaskan dalam bab ini, dapat disusun untuk memberikan semua 56 contoh yang dituntut oleh pembahasan dalam pengantar bagian ini.
216Y Latihan lanjutan (a)
Misalkan \(\lambda\) ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan \(\Lambda\) domainnya. Tetapkan \(Y=[0,1]\times\{0,1\}\) dan tuliskan
Tetapkan
Misalkan \(I\) suatu himpunan tak terhitung. Tetapkan \(X=Y\times I\),
(i) Tunjukkan bahwa \((Y,\Tau,\nu)\) dan \((Y,\Tau_0,\nu\restrp\Tau_0)\) merupakan ruang peluang lengkap, dan bahwa untuk setiap \(F\in\Tau\) terdapat \(F'\in\Tau_0\) sedemikian sehingga \(\nu(F\symmdiff F')=0\). (ii) Tunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur lengkap tanpa atom yang dapat dilokalkan tetapi tidak ditentukan secara lokal.
216Yb (b)
Definisikan suatu ukuran \(\mu\) pada \(X=\omega_2\times\omega_2\) sebagai berikut. Ambil \(\Sigma\) sebagai aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian \(X\) yang dibangkitkan oleh
Untuk \(E\in\Sigma\) tetapkan
dan tetapkan \(\mu E=\#(W(E))\) jika ini hingga, \(\infty\) jika tidak. Tunjukkan bahwa \(\mu\) merupakan ukuran pada \(X\), dapat dilokalkan, dan ditentukan secara lokal, tetapi tidak memiliki himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal. Carilah suatu subruang \(Y\) dari \(X\) sedemikian sehingga ukuran subruang pada \(Y\) tidak semihingga.
216Yc (c)
Tunjukkan bahwa dalam ruang yang dijelaskan dalam 216E, setiap himpunan memiliki selubung terukur, tetapi hal ini tidak benar dalam ruang-ruang 216C dan 216D.
216Yd (d)
Tetapkan \(X=\omega_1\times\omega_2\). Untuk \(E\subseteq X\) tetapkan
Misalkan \(\Sigma\) adalah himpunan dari himpunan-himpunan bagian \(E\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(A(E)\) terhitung dan \(\#(B(E))\le\omega_1\). Untuk \(E\in\Sigma\), tetapkan \(\mu E=\#(W(E))\) jika ini hingga, \(\infty\) jika tidak. (i) Tunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\hat\mu\) adalah pelengkapan dari \(\mu\), maka domainnya adalah himpunan dari himpunan-himpunan bagian \(E\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(A(E)\) terhitung, dan \(\hat\mu\) dapat dilokalkan secara ketat. (iii) Tunjukkan bahwa \(\mu\) tidak dapat dilokalkan secara ketat.
216Ye (e)
Tunjukkan bahwa terdapat suatu ruang ukur lengkap, tanpa atom, dan semihingga dengan suatu subhimpunan satu anggota yang tidak terabaikan. Petunjuk: tetapkan \(X=(\omega_1\times[0,1])\cup\{\omega_1\}\) dan misalkan \(\Sigma\) aljabar-sigma dari himpunan-himpunan bagian \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\{\{\xi\}\times E:\xi<\omega_1\), \(E\subseteq[0,1]\) terukur Lebesgue\(\}\).
Catatan dan komentar
216-notes Catatan penutup untuk Bagian 216
Contoh-contoh 216C-216E dirancang untuk, bersama dengan ukuran Lebesgue, membentuk suatu landasan bagi konstruksi seperangkat contoh lengkap untuk konsep-konsep yang didaftar dalam 211A-211K. Kita tidak benar-benar mengharapkan untuk menjumpai fenomena-fenomena ini dalam penerapan, tetapi pemahaman yang jelas tentang kemungkinan yang diperlihatkan oleh contoh-contoh ini merupakan bagian dari penilaian yang tepat terhadap kelangkaannya. Tentu saja, jika kita menambahkan sifat lain pada daftar kita – misalnya, sifat mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal (213I), atau sifat bahwa setiap himpunan bagian harus mempunyai selubung terukur (213Xl) – maka terdapat hasil positif lebih lanjut untuk melengkapi 211L, dan lebih banyak contoh untuk dicari, seperti 216Yb. Tetapi sudah waktunya, bahkan mungkin sudah lewat waktunya, bagi kita untuk kembali kepada teorema-teorema klasik yang berlaku pada ruang-ruang ukur di pusat bidang ini.