Distribusi — Fondasi Teori Ukuran

Saya memulai bab ini dengan pembahasan mengenai ‘distribusi probabilitas’, yaitu ukuran probabilitas pada \(\BbbR^n\) yang didefinisikan oleh keluarga \((X_1,\ldots,X_n)\) dari variabel-variabel acak. Saya memberikan hasil-hasil dasar yang menguraikan keadaan ketika dua distribusi sama (271G), integrasi terhadap suatu distribusi (271E), dan fungsi kerapatan probabilitas (271H-271K).

271A Notasi

Saya baru saja menghabiskan beberapa paragraf untuk mencoba menguraikan perbedaan hakiki antara teori probabilitas dan teori ukuran. Namun ada uji yang lebih cepat untuk mengetahui apakah penulis Anda seorang ahli teori ukuran atau ahli probabilitas: bukalah sembarang halaman, lalu cari frasa ‘fungsi terukur’ dan ‘variabel acak’, serta rumus ‘\(\int fd\mu\)’ dan ‘\(\Expn(X)\)’. Anggota pertama dari setiap pasangan akan memungkinkan Anda mendiagnosis ‘ukuran’, dan anggota kedua ‘probabilitas’, dengan kemungkinan keliru yang kecil. Sejauh ini dalam risalah ini saya dengan teguh menggunakan istilah para ahli teori ukuran, dengan beberapa kekhasan pribadi. Namun dalam sebuah bab tentang teori probabilitas, saya mendapati bahwa notasi teori ukuran, meskipun sepenuhnya memadai dalam arti formal, begitu merusak rumusan-rumusan yang sudah akrab sehingga membuatnya tidak wajar. Lagi pula, pada suatu saat – jika belum – Anda tentu harus mengenal bahasa para ahli probabilitas. Jadi dalam bab ini saya akan mengambil langkah besar ke arah itu. Untungnya, saya pikir hal ini dapat dilakukan tanpa menimbulkan pertentangan langsung, sehingga dalam jilid-jilid selanjutnya saya akan dapat menggunakan pekerjaan ini dalam notasi mana pun yang pada saat itu tampak sesuai, tanpa perlu merumuskannya kembali.

(a) Jadi misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah suatu ruang probabilitas. Saya menggunakan kesempatan yang diberikan oleh suatu frasa baru untuk mengambil langkah teknis. Suatu variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) akan merupakan anggota dari \(\eusm L^0(\mu)\), sebagaimana didefinisikan dalam 241A; yaitu, suatu fungsi bernilai real \(X\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian koterabaikan dari \(\Omega\) sedemikian sehingga \(X\) terukur terhadap pelengkapan \(\hat\mu\) dari \(\mu\), atau, jika Anda lebih suka, sedemikian sehingga \(X\restr E\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk suatu himpunan koterabaikan \(E\subseteq\Omega\). Catatan: Untuk uraian tentang bagaimana istilah ini menjadi baku, lihat http://www.dartmouth.edu/\(\sptilde\)chance/Doob/conversation.html.

271Ab (b)

Jika \(X\) adalah variabel acak bernilai real pada suatu ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), tuliskan \(\Expn(X)=\int X\,d\mu\) jika nilai ini terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) dalam arti Bab 12 dan §133. Dalam hal ini saya akan menyebut \(\Expn(X)\) sebagai rataan atau ekspektasi dari \(X\). Jadi kita boleh mengatakan bahwa ‘\(X\) mempunyai ekspektasi hingga’ sebagai ganti ‘\(X\) terintegralkan’. 133A mengatakan bahwa ‘\(\Expn(X+Y)=\Expn(X)+\Expn(Y)\) setiap kali \(\Expn(X)\) dan \(\Expn(Y)\) beserta jumlahnya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\)’, dan 122P menjadi ‘suatu variabel acak bernilai real \(X\) mempunyai ekspektasi hingga jika dan hanya jika \(\Expn(|X|)<\infty\)’.

271Ac (c)

Jika \(X\) adalah variabel acak bernilai real dengan ekspektasi hingga, varians dari \(X\) adalah

\(\Var(X)=\Expn(X-\Expn(X))^2 =\Expn(X^2-2\Expn(X)X+\Expn(X)^2)=\Expn(X^2)-(\Expn(X))^2\)

(Perhatikan bahwa rumus ini menunjukkan bahwa \(\Expn(X)^2\le\Expn(X^2)\); bandingkan 244Xd(i).) \(\Var(X)\) berhingga jika dan hanya jika \(\Expn(X^2)<\infty\), yaitu, jika dan hanya jika \(X\in\eusm L^2(\mu)\) (244A). Secara khusus, \(X+Y\) dan \(cX\) mempunyai varians hingga setiap kali \(X\) dan \(Y\) demikian dan \(c\in\Bbb R\).

271Ad (d)

Saya akan membolehkan diri menggunakan rumus-rumus seperti

\(\Pr(X>a)\), \(\Pr(X-\epsilon\le Y\le X+\delta)\),

dengan \(X\) dan \(Y\) variabel acak pada ruang probabilitas yang sama \((\Omega,\Sigma,\mu)\), untuk masing-masing berarti

\(\hat\mu\{\omega:\omega\in\dom X,\,X(\omega)>a\}\),

\(\hat\mu\{\omega:\omega\in\dom X\cap\dom Y,\, X(\omega)-\epsilon\le Y(\omega)\le X(\omega)+\delta\}\),

dengan menuliskan \(\hat\mu\) untuk pelengkapan \(\mu\) seperti biasa. Ada dua hal yang perlu diperhatikan di sini. Pertama, \(\Pr\) bergantung pada \(\hat\mu\), bukan pada \(\mu\); pada dasarnya, notasi tersebut secara otomatis mengarahkan kita untuk melengkapi ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Tentu saja, saya dapat pula menulis

\(\Pr(X^2+Y^2>1) =\mu^*\{\omega:\omega\in\dom X\cap\dom Y,\, X(\omega)^2+Y(\omega)^2>1\}\),

dengan mengambil \(\mu^*\) sebagai ukuran luar pada \(\Omega\) yang berkaitan dengan \(\mu\) (132B). Kedua, saya akan menggunakan notasi ini hanya untuk predikat yang bersesuaian dengan himpunan terukur Borel; artinya, saya akan menulis

\(\Pr(\psi(X_1,\ldots,X_n)) =\hat\mu\{\omega:\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i,\, \psi(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\}\)

hanya ketika himpunan

\(\{(\alpha_1,\ldots,\alpha_n): \psi(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\}\)

merupakan himpunan Borel dalam \(\BbbR^n\). Sebagian alasan bagi pembatasan ini akan tampak dalam beberapa paragraf berikutnya; \(\Pr(\psi(X_1,\ldots,X_n))\) harus merupakan sesuatu yang dapat dihitung dari pengetahuan mengenai distribusi gabungan \(X_1,\ldots,X_n\), sebagaimana didefinisikan dalam 271C. Sebenarnya kita dapat dengan aman memperluas gagasan ini ke predikat \(\psi\) yang ‘terukur universal’, yang akan dibahas dalam Jilid 4. Namun dapat saja terjadi bahwa \(\mu\) memberi ukuran kepada himpunan berbentuk \(\{\omega:X(\omega)\in A\}\) untuk suatu himpunan \(A\) yang luar biasa tak beraturan, dan dalam kasus semacam itu akan lebih bijaksana memandang hal ini sebagai patologi kebetulan dari ruang probabilitas, lalu menanganinya dengan cara yang agak berbeda.

(Saya melihat bahwa saya telah agak gegabah menganggap bahwa rumus di atas mendefinisikan \(\Pr(\psi(X_1,\ldots,X_n))\) untuk setiap predikat Borel \(\psi\). Ini merupakan konsekuensi dari 271Bb di bawah.)

271B Teorema

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(X_1,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real pada \(\Omega\). Tetapkan \(\pmb{X}(\omega)=(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\) untuk \(\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i\).

(a) Terdapat tepat satu ukuran Radon \(\nu\) pada \(\BbbR^n\) sedemikian sehingga

\(\nu\ocint{-\infty,a}=\Pr(X_i\le\alpha_i\) untuk setiap \(i\le n)\)

setiap kali \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in\BbbR^n\), dengan menuliskan \(\ocint{-\infty,a}\) untuk \(\prod_{i\le n}\ocint{-\infty,\alpha_i}\);

(b) \(\nu\BbbR^n=1\) dan \(\nu E=\hat\mu(\pmb{X}^{-1}[E])\) setiap kali \(\nu E\) terdefinisi, dengan \(\hat\mu\) pelengkapan dari \(\mu\); khususnya, \(\nu E=\Pr((X_1,\ldots,X_n)\in E)\) untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^n\).

Bukti

Misalkan \(\hat\Sigma\) domain dari \(\hat\mu\), dan tetapkan \(D=\bigcap_{i\le n}\dom X_i=\dom\pmb{X}\); maka \(D\) koterabaikan, sehingga termasuk dalam \(\hat\Sigma\). Misalkan \(\hat\mu_D=\hat\mu\restrp\Cal PD\) ukuran subruang pada \(D\) (131B, 214B), dan \(\nu_0\) ukuran citra \(\hat\mu_D\pmb{X}^{-1}\) (234D); misalkan \(\Tau\) domain dari \(\nu_0\).

Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar himpunan Borel dalam \(\BbbR^n\). Maka \(\Cal B\subseteq\Tau\). Bukti. Untuk \(i\le n\), \(\alpha\in\Bbb R\) tetapkan \(F_{i\alpha}=\{x:x\in\BbbR^n,\,\xi_i\le\alpha\}\), \(H_{i\alpha}=\{\omega:\omega\in\dom X_i,\,X_i(\omega)\le\alpha\}\). \(X_i\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\) dan domainnya berada dalam \(\hat\Sigma\), sehingga \(H_{i\alpha}\in\hat\Sigma\), dan \(\pmb{X}^{-1}[F_{i\alpha}]=D\cap H_{i\alpha}\) terukur terhadap \(\hat\mu_D\). Jadi \(F_{i\alpha}\in\Tau\). Karena \(\Tau\) adalah aljabar-sigma bagian-bagian dari \(\BbbR^n\), \(\Cal B\subseteq\Tau\) (121J). ∎

Dengan demikian \(\nu_0\restr\Cal B\) adalah ukuran pada \(\BbbR^n\) dengan domain \(\Cal B\); tentu saja \(\nu_0\BbbR^n=\hat\mu D=1\). Berdasarkan 256C, pelengkapan \(\nu\) dari \(\nu_0\restr\Cal B\) adalah ukuran Radon pada \(\BbbR^n\), dan \(\nu\BbbR^n=\nu_0\BbbR^n=1\).

Untuk \(E\in\Cal B\),

\(\nu E=\nu_0E=\hat\mu_D\pmb{X}^{-1}[E] =\hat\mu\pmb{X}^{-1}[E] =\Pr((X_1,\ldots,X_n)\in E)\).

Secara lebih umum, jika \(E\in\dom\nu\), maka terdapat himpunan Borel \(E'\), \(E''\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\nu(E''\setminus E')=0\), sehingga \(\pmb{X}^{-1}[E']\subseteq\pmb{X}^{-1}[E]\subseteq\pmb{X}^{-1}[E'']\) dan \(\hat\mu(\pmb{X}^{-1}[E'']\setminus\pmb{X}^{-1}[E'])=0\). Ini berarti bahwa \(\pmb{X}^{-1}[E]\in\hat\Sigma\) dan

\(\hat\mu\pmb{X}^{-1}[E]=\hat\mu\pmb{X}^{-1}[E']=\nu E'=\nu E\).

Adapun mengenai ketunggalan \(\nu\), jika \(\nuprime\) adalah suatu ukuran Radon pada \(\Bbb R^n\) sedemikian sehingga \(\nuprime\ocint{-\infty,a}=\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n)\) untuk setiap \(a\in\BbbR^n\), maka tentu

\(\nuprime\BbbR^n =\lim_{k\to\infty}\nuprime\ocint{-\infty,k\tbf{1}} =\lim_{k\to\infty}\nu\ocint{-\infty,k\tbf{1}}=1=\nu\BbbR^n\).

Selain itu, \(\Cal I=\{\ocint{-\infty,a}:a\in\BbbR^n\}\) tertutup terhadap irisan berhingga, dan \(\nu\) serta \(\nuprime\) bersepakat pada \(\Cal I\). Berdasarkan Teorema Kelas Monoton (atau lebih tepatnya, akibatnya 136C), \(\nu\) dan \(\nuprime\) bersepakat pada aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\), yaitu \(\Cal B\) (121J), dan keduanya identik (256D).

271C Definisi

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(X_1,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real pada \(\Omega\). Yang saya maksud dengan distribusi (gabungan) atau hukum \(\nu_{\pmb{X}}\) dari keluarga \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) ialah ukuran probabilitas Radon \(\nu\) dalam 271B. Jika kita memandang \(\pmb{X}\) sebagai fungsi dari \(\bigcap_{i\le n}\dom X_i\) ke \(\BbbR^n\), maka \(\nu_{\pmb{X}}E=\Pr(\pmb{X}\in E)\) untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^n\).

271D Catatan

(a) Pemilihan ukuran probabilitas Radon \(\nu_{\pmb{X}}\) sebagai ‘distribusi’ dari \(\pmb{X}\), dengan tuntutan agar ‘ukuran Radon’ lengkap, tentu agak sebarang. Selain prinsip umum bahwa ukuran selalu sebaiknya dilengkapi, konvensi-konvensi ini lebih sesuai dengan sebagian pekerjaan dalam Jilid 4 dan dengan hasil-hasil seperti 272G di bawah.

271Db (b)

Perhatikan bahwa agar dapat berbicara tentang distribusi suatu keluarga \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) dari variabel acak, semua \(X_i\) harus didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama.

271Dc (c)

Saya melihat bahwa bahasa yang telah saya pilih memungkinkan \(X_i\) mempunyai domain yang berbeda-beda, sehingga keluarga \((X_1,\ldots,X_n)\) mungkin tidak dapat diidentifikasi secara tepat dengan fungsi yang bersesuaian dari \(\bigcap_{i\le n}\dom X_i\) ke \(\BbbR^n\). Namun saya berharap penggunaan lambang yang sama \(\pmb{X}\) untuk keduanya tidak menimbulkan kebingungan.

271Dd (d)

Tidaklah berguna memandang seluruh ukuran citra \(\nu_0=\hat\mu_D\pmb{X}^{-1}\) dalam bukti 271B sebagai distribusi dari \(\pmb{X}\), kecuali jika kebetulan ukuran itu sama dengan \(\nu=\nu_{\pmb{X}}\). ‘Distribusi’ suatu variabel acak adalah tepat aspek variabel tersebut yang dapat dipisahkan dari segala pertimbangan mengenai ruang yang mendasari \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan pokok hasil seperti 271K dan 272G ialah bahwa distribusi dapat dihitung dari satu sama lain, tanpa kembali ke model variabel acak yang relatif mudah berubah dan tak pasti sebagai suatu fungsi pada ruang probabilitas.

(e) Jika \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) dan \(\pmb{Y}=(Y_1,\ldots,Y_n)\) sedemikian sehingga \(X_i\eae Y_i\) untuk setiap \(i\), maka

\(\{\omega:\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i, \,X_i(\omega)\le\alpha_i\Forall i\le n\} \symmdiff\{\omega:\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom Y_i, \,Y_i(\omega)\le\alpha_i\Forall i\le n\}\)

terabaikan, sehingga

\[\begin{aligned}\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n) &=\hat\mu\{\omega:\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i, \,X_i(\omega)\le\alpha_i\Forall i\le n\}\\ &=\Pr(Y_i\le\alpha_i\Forall i\le n)\\\end{aligned}\]

untuk semua \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\), dan \(\nu_{\pmb{X}}=\nu_{\pmb{Y}}\). Ini berarti bahwa, jika kita mau, kita dapat memandang suatu distribusi sebagai ukuran \(\nu_{\pmb{u}}\) dengan \(\pmb{u}=(u_0,\ldots,u_n)\) barisan berhingga dalam \(L^0(\mu)\). Dalam bab ini saya tidak akan menekankan pendekatan tersebut, tetapi pendekatan itu akan selalu ada di benak saya.

271E Fungsi terukur dari variabel acak: Proposisi

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga variabel acak (seperti biasa dalam konteks semacam itu, yang saya maksud ialah bahwa semuanya berada pada ruang probabilitas yang sama \((\Omega,\Sigma,\mu)\)); tuliskan \(\Tau_{\pmb{X}}\) untuk domain distribusi \(\nu_{\pmb{X}}\), dan misalkan \(h\) suatu fungsi bernilai real yang terukur terhadap \(\Tau_{\pmb{X}}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana terhadap \(\nu_{\pmb{X}}\) pada \(\BbbR^n\). Maka kita mempunyai variabel acak \(Y=h(X_1,\ldots,X_n)\) yang didefinisikan dengan menetapkan

\(h(X_1,\ldots,X_n)(\omega) =h(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\) untuk setiap \(\omega\in\pmb{X}^{-1}[\dom h]\).

Distribusi \(\nu_Y\) dari \(Y\) adalah ukuran pada \(\Bbb R\) yang didefinisikan oleh rumus

\(\nu_YF=\nu_{\pmb{X}}h^{-1}[F]\)

untuk dan hanya untuk himpunan-himpunan \(F\subseteq\Bbb R\) sedemikian sehingga \(h^{-1}[F]\in\Tau_{\pmb{X}}\). Selain itu

\(\Expn(Y)=\int h\,d\nu_{\pmb{X}}\)

dalam arti bahwa jika salah satu dari keduanya ada dalam \([-\infty,\infty]\), maka yang lain juga ada dan keduanya sama.

Bukti

(a)(i) Sekali lagi, tuliskan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\) untuk pelengkapan \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Karena

\(\Omega\setminus\dom Y \subseteq\bigcup_{i\le n}(\Omega\setminus\dom X_i) \cup\pmb{X}^{-1}[\BbbR^n\setminus\dom h]\)

terabaikan (dengan menggunakan 271Bb), \(\dom Y\) koterabaikan. Jika \(a\in\Bbb R\), maka

\(E=\{x:x\in\dom h,\,h(x)\le a\}\in\Tau_{\pmb{X}},\)

sehingga

\(\{\omega:\omega\in\Omega,\,Y(\omega)\le a\} =\pmb{X}^{-1}[E]\in\hat\Sigma\).

Karena \(a\) sebarang, \(Y\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), dan merupakan variabel acak.

(ii) Misalkan \(\tilde h:\BbbR^n\to\Bbb R\) suatu perluasan dari \(h\) ke seluruh \(\BbbR^n\). Maka \(\tilde h\) terukur terhadap \(\Tau_{\pmb{X}}\), sehingga ukuran citra biasa \(\nu_{\pmb{X}}\tilde h^{-1}\), yang didefinisikan pada \(\{F:\tilde h^{-1}[F]\in\dom\nu_{\pmb{X}}\}\), merupakan ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\) (256G). Namun untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\),

\(\tilde h^{-1}[A]\symmdiff h^{-1}[A] \subseteq\BbbR^n\setminus\dom h\)

terabaikan terhadap \(\nu_{\pmb{X}}\), sehingga \(\nu_{\pmb{X}}h^{-1}[F]=\nu_{\pmb{X}}\tilde h^{-1}[F]\) jika salah satunya terdefinisi.

Jika \(F\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan Borel, maka

\(\nu_YF=\hat\mu\{\omega:Y(\omega)\in F\} =\hat\mu(\pmb{X}^{-1}[h^{-1}[F]])=\nu_{\pmb{X}}(h^{-1}[F])\).

Jadi \(\nu_Y\) dan \(\nu_{\pmb{X}}\tilde h^{-1}\) bersepakat pada himpunan-himpunan Borel dan sama (256D lagi).

(b) Sekarang terapkan Teorema 235E pada ukuran \(\hat\mu\) dan \(\nu_{\pmb{X}}\) serta fungsi \(\phi=\pmb{X}\). Kita mempunyai

\(\int\chi(\pmb{X}^{-1}[F])d\hat\mu =\hat\mu(\pmb{X}^{-1}[F])=\nu_{\pmb{X}}F\)

untuk setiap \(F\in\Tau_{\pmb{X}}\), berdasarkan 271Bb. Karena \(h\) terukur secara virtual terhadap \(\nu_{\pmb{X}}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana terhadap \(\nu_{\pmb{X}}\), 235Eb memberi tahu kita bahwa

\(\int h(\pmb{X})d\mu=\int h(\pmb{X})d\hat\mu =\int h\,d\nu_{\pmb{X}}\)

setiap kali salah satu ruas terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dan inilah tepat hasil yang kita perlukan.

271F Akibat

Jika \(X\) suatu variabel acak tunggal dengan distribusi \(\nu_{X}\), maka

\(\Expn(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,\nu_X(dx)\)

jika salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\). Demikian pula

\(\Expn(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,\nu_X(dx)\)

(apa pun \(X\)). Jika \(X\), \(Y\) dua variabel acak (pada ruang probabilitas yang sama!) maka kita mempunyai

\(\Expn(X\times Y)=\int xy\,\nu_{(X,Y)}d(x,y)\)

jika salah satu ruas terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

Catatan Jika \(\nu\) distribusi suatu variabel acak bernilai real, yaitu suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), saya akan mengatakan bahwa ekspektasi \(\Expn(\nu)\) dari \(\nu\) adalah \(\int_{-\infty}^{\infty}x\,\nu(dx)\) jika nilai ini terdefinisi; jika \(\nu\) mempunyai ekspektasi hingga, maka varians \(\Var(\nu)\) adalah \(\int x^2\,\nu(dx)-(\Expn(\nu))^2\). Jadi jika \(X\) suatu variabel acak bernilai real dengan distribusi \(\nu_X\), \(\Expn(X)=\Expn(\nu_X)\) dan \(\Var(X)=\Var(\nu_X)\) setiap kali nilai-nilai ini terdefinisi.

271G Fungsi distribusi (a)

Jika \(X\) suatu variabel acak bernilai real, fungsi distribusi-nya adalah fungsi \(F_X:\Bbb R\to[0,1]\) yang didefinisikan dengan menetapkan

\(F_X(a)=\Pr(X\le a)=\nu_X\ocint{-\infty,a}\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\). (Peringatan! beberapa penulis lebih menyukai \(F_X(a)=\Pr(X<a)\).) Perhatikan bahwa \(F_X\) tak menurun, bahwa \(\lim_{a\to-\infty}F_X(a)=0\), bahwa \(\lim_{a\to\infty}F_X(a)=1\) dan bahwa \(\lim_{x\downarrow a}F_X(x)=F_X(a)\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\). Berdasarkan 271Ba, \(X\) dan \(Y\) mempunyai distribusi yang sama jika dan hanya jika \(F_X=F_Y\).

271Gb (b)

Jika \(X_1,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas yang sama, fungsi distribusi (gabungan) mereka adalah fungsi \(F_{\pmb{X}}:\BbbR^n\to[0,1]\) yang didefinisikan dengan menuliskan

\(F_{\pmb{X}}(a)=\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n)\)

setiap kali \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\BbbR^n\). Jika \(\pmb{X}\) dan \(\pmb{Y}\) mempunyai fungsi distribusi yang sama, keduanya mempunyai distribusi yang sama, berdasarkan versi berdimensi \(n\) dari 271B.

271H Kerapatan

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga variabel acak, semuanya didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Suatu fungsi kerapatan untuk \((X_1,\ldots,X_n)\) adalah turunan Radon-Nikodým, terhadap ukuran Lebesgue, bagi distribusi \(\nu_{\pmb{X}}\); yaitu, suatu fungsi nonnegatif \(f\), yang terintegralkan terhadap ukuran Lebesgue \(\mu_L\) pada \(\BbbR^n\), sedemikian sehingga

\(\int_Efd\mu_L=\nu_{\pmb{X}}E=\Pr(\pmb{X}\in E)\)

untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^n\) (256J) – tentu saja jika fungsi semacam itu ada.

271I Proposisi

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga variabel acak, semuanya didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Tuliskan \(\mu_L\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^n\).

(a) Terdapat fungsi kerapatan untuk \(\pmb{X}\) jika dan hanya jika \(\Pr(\pmb{X}\in E)=0\) untuk setiap himpunan Borel \(E\) sedemikian sehingga \(\mu_LE=0\).

(b) Suatu fungsi nonnegatif \(f\) yang terintegralkan secara Lebesgue adalah fungsi kerapatan untuk \(\pmb{X}\) jika dan hanya jika \(\int_{\ocint{-\infty,a}}fd\mu_L=\Pr(\pmb{X}\in\ocint{-\infty,a})\) untuk setiap \(a\in\BbbR^n\).

(c) Misalkan \(f\) suatu fungsi kerapatan untuk \(\pmb{X}\), dan \(G=\{x:f(x)>0\}\). Maka jika \(h\) suatu fungsi bernilai real terukur Lebesgue yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(G\),

\(\Expn(h(\pmb{X}))=\int h\,d\nu_{\pmb{X}} =\int h\times fd\mu_L\)

jika salah satu dari ketiga integral itu terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan menafsirkan \((h\times f)(x)\) sebagai \(0\) jika \(f(x)=0\) dan \(x\notin\dom h\).

Bukti

(a) Terapkan 256J pada ukuran probabilitas Radon \(\nu_{\pmb{X}}\).

(b) Tentu saja syarat tersebut perlu. Jika syarat itu dipenuhi, maka (berdasarkan teorema B.Levi)

\(\int fd\mu_L =\lim_{k\to\infty}\int_{\ocint{-\infty,k\pmb{1}}}fd\mu_L =\lim_{k\to\infty}\nu_{\pmb{X}}\ocint{-\infty,k\pmb{1}} =1\).

Jadi kita mempunyai ukuran probabilitas Radon \(\nu\) yang didefinisikan dengan menuliskan

\(\nu E=\int_Efd\mu_L\)

setiap kali \(E\cap\{x:f(x)>0\}\) terukur Lebesgue (256E). Kita mengandaikan bahwa \(\nu\ocint{-\infty,a}=\nu_{\pmb{X}}\ocint{-\infty,a}\) untuk setiap \(a\in\BbbR^n\); berdasarkan 271Ba, seperti biasa, \(\nu=\nu_{\pmb{X}}\), sehingga

\(\int_Efd\mu_L=\nu E=\nu_{\pmb{X}}E =\Pr(\pmb{X}\in E)\)

untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^n\), dan \(f\) adalah fungsi kerapatan untuk \(\pmb{X}\).

(c) Berdasarkan 256E, \(\nu_{\pmb{X}}\) adalah ukuran integral tak tentu di atas \(\mu_L\) yang berkaitan dengan \(f\). Jadi, dengan menuliskan \(G=\{x:f(x)>0\}\), kita mempunyai

\(\int h\,d\nu_{\pmb{X}}=\int h\times fd\mu_L\)

setiap kali salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) (235K). Berdasarkan 234La, \(h\) terukur terhadap \(\Tau_{\pmb{X}}\) dan didefinisikan hampir di mana-mana terhadap \(\nu_{\pmb{X}}\), dengan \(\Tau_{\pmb{X}}=\dom\nu_{\pmb{X}}\), sehingga \(\Expn(h(\pmb{X}))=\int h\,d\nu_{\pmb{X}}\) berdasarkan 271E.

271J

Perangkat yang dikembangkan dalam §263 memadai untuk memberikan hasil yang sangat umum mengenai kerapatan variabel acak berbentuk \(\phi(\pmb{X})\), sebagai berikut.

Teorema Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga variabel acak, dan \(D\subseteq\BbbR^n\) suatu himpunan Borel sedemikian sehingga \(\Pr(\pmb{X}\in D)=1\). Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^n\) suatu fungsi yang dapat didiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik dalam \(D\); untuk \(x\in D\), misalkan \(T(x)\) suatu turunan dari \(\phi\) pada \(x\), dan tetapkan \(J(x)=|\det T(x)|\). Andaikan bahwa \(J(x)\ne 0\) untuk setiap \(x\in D\), bahwa \(\pmb{X}\) mempunyai fungsi kerapatan \(f\); dan andaikan pula bahwa \(\sequence{k}{D_k}\) suatu barisan himpunan Borel yang saling lepas, yang gabungannya \(D\), sedemikian sehingga \(\phi_k=\phi\restr D_k\) injektif untuk setiap \(k\). Maka \(\phi(\pmb{X})\) mempunyai fungsi kerapatan \(g=\sum_{k=0}^{\infty}g_k\) dengan

\[\begin{aligned}g_k(y)&=\Bover{f(\phi_k^{-1}(y))}{J(\phi_k^{-1}(y))} \text{ untuk }y\in\phi[D_k\cap\dom f],\\ &=0\text{ untuk }y\in\BbbR^n\setminus\phi[D_k].\\\end{aligned}\]

Bukti

Berdasarkan 262Ia, \(\phi\) kontinu, sehingga terukur Borel, dan karena itu \(\phi(\pmb{X})\) merupakan variabel acak.

Untuk sementara, tetapkan \(k\in\Bbb N\) dan suatu himpunan Borel \(F\subseteq\BbbR^n\). Berdasarkan 263D(iii), \(\phi[D_k]\) terukur, dan berdasarkan 263D(ii) \(\phi[D_k\setminus\dom f]\) terabaikan. Fungsi \(g_k\) sedemikian sehingga \(f(x)=J(x)g_k(\phi(x))\) untuk setiap \(x\in D_k\cap\dom f\), sehingga berdasarkan 263D(v) kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int_Fg_k\,d\mu &=\int_{\phi[D_k]} g_k\times\chi F\,d\mu =\int_{D_k} J(x)g_k(\phi(x))\chi F(\phi(x))\mu(dx)\\ &=\int_{D_k\cap\phi^{-1}[F]}fd\mu =\Pr(\pmb{X}\in D_k\cap\phi^{-1}[F]).\\\end{aligned}\]

(Integral \(\int_{\phi[D_k]} g_k\times\chi F\) terdefinisi karena \(\int_{D_k}J\times(g_k\times\chi F)\phi\) terdefinisi, dan integral \(\int g_k\times\chi F\) terdefinisi karena \(\phi[D_k]\) terukur dan \(g_k\) nol di luar \(\phi[D_k]\).)

Sekarang jumlahkan atas \(k\). Setiap \(g_k\) nonnegatif, sehingga berdasarkan teorema B.Levi (123A, 123Xa)

\[\begin{aligned}\int_Fg\,d\mu &=\sum_{k=0}^{\infty}\int_Fg_k\,d\mu =\sum_{k=0}^{\infty}\Pr(\pmb{X}\in D_k\cap\phi^{-1}[F])\\ &=\Pr(\pmb{X}\in\phi^{-1}[F]) =\Pr(\phi(\pmb{X})\in F).\\\end{aligned}\]

Karena \(F\) sebarang, \(g\) adalah fungsi kerapatan untuk \(\phi(\pmb{X})\), sebagaimana diklaim.

271K

Penerapan teorema terakhir pada transformasi biasa kadang-kadang tidak langsung, sehingga saya memberikan sebuah contoh.

Proposisi Misalkan \(X\), \(Y\) dua variabel acak dengan suatu fungsi kerapatan gabungan \(f\). Maka \(X\times Y\) mempunyai fungsi kerapatan \(h\), dengan

\(h(u) =\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{|v|}f(\bover{u}{v},v)dv\)

setiap kali nilai ini terdefinisi dalam \(\Bbb R\).

Bukti

Tetapkan \(\phi(x,y)=(xy,y)\) untuk \(x\), \(y\in\BbbR^2\). Maka \(\phi\) dapat didiferensialkan, dengan turunan \(T(x,y)=\begin{pmatrix}y&x\\0&1\end{pmatrix}\), sehingga \(J(x,y)=|\det T(x,y)|=|y|\). Tetapkan \(D=\{(x,y):y\ne 0\}\); maka \(D\) adalah himpunan Borel koterabaikan dalam \(\BbbR^2\) dan \(\phi\restr D\) injektif. Sekarang \(\phi[D]=D\) dan \(\phi^{-1}(u,v)=(\bover{u}{v},v)\) untuk \(v\ne 0\). Jadi \(\phi(X,Y)=(X\times Y,Y)\) mempunyai fungsi kerapatan \(g\), dengan

\(g(u,v)=\Bover{f(u/v,v)}{|v|}\) jika \(v\ne 0\).

Untuk menemukan fungsi kerapatan bagi \(X\times Y\), kita menghitung

\(\Pr(X\times Y\le a) =\int_{\ocint{-\infty,a}\times\Bbb R}g =\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^{\infty}g(u,v)dv\,du =\int_{-\infty}^ah\)

berdasarkan teorema Fubini (252B, 252C). Khususnya, \(h\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana; dan berdasarkan 271Ib, fungsi tersebut adalah fungsi kerapatan untuk \(X\times Y\).

271L

Ketika suatu variabel acak disajikan sebagai limit suatu barisan variabel acak, hasil berikut dapat sangat berguna.

Proposisi Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak bernilai real yang konvergen dalam ukuran menuju suatu variabel acak \(X\) (definisi: 245A). Dengan menuliskan \(F_{X_n}\), \(F_X\) untuk fungsi distribusi masing-masing \(X_n\), \(X\),

\(F_X(a)=\inf_{b>a}\liminf_{n\to\infty}F_{X_n}(b) =\inf_{b>a}\limsup_{n\to\infty}F_{X_n}(b)\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

Bukti

Tetapkan \(\gamma=\inf_{b>a}\liminf_{n\to\infty}F_{X_n}(b)\), \(\gamma'=\inf_{b>a}\limsup_{n\to\infty}F_{X_n}(b)\).

(a) \(F_X(a)\le\gamma\). Bukti. Ambil sembarang \(b>a\) dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\Pr(|X_n-X|\ge b-a)\le\epsilon\) untuk setiap \(n\ge n_0\) (245F). Sekarang, untuk \(n\ge n_0\),

\(F_X(a) =\Pr(X\le a) \le\Pr(X_n\le b)+\Pr(X_n-X\ge b-a) \le F_{X_n}(b)+\epsilon\).

Jadi \(F_X(a)\le\liminf_{n\to\infty}F_{X_n}(b)+\epsilon\); karena \(\epsilon\) sebarang, \(F_X(a)\le\liminf_{n\to\infty}F_{X_n}(b)\); karena \(b\) sebarang, \(F_X(a)\le\gamma\). ∎

(b) \(\gamma'\le F_X(a)\). Bukti. Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(F_X(a+2\delta)\le F_X(a)+\epsilon\) (271Ga). Selanjutnya, terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\Pr(|X_n-X|\ge\delta)\le\epsilon\) untuk setiap \(n\ge n_0\). Dalam hal ini, untuk \(n\ge n_0\),

\[\begin{aligned}F_{X_n}(a+\delta) &=\Pr(X_n\le a+\delta) \le\Pr(X\le a+2\delta)+\Pr(X-X_n\ge\delta)\\ &\le F_X(a+2\delta)+\epsilon \le F_X(a)+2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Dengan demikian

\(\gamma'\le\limsup_{n\to\infty}F_{X_n}(a+\delta) \le F_X(a)+2\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\gamma'\le F_X(a)\). ∎

(c) Karena tentu saja \(\gamma\le\gamma'\), haruslah \(F_X(a)=\gamma=\gamma'\), sebagaimana diklaim.

Latihan

271X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu variabel acak bernilai real dengan ekspektasi hingga, dan \(\epsilon>0\). Tunjukkan bahwa \(\Pr(|X-\Expn(X)|\ge\epsilon)\le\Bover1{\epsilon^2}\Var(X)\). (Ini adalah ketaksamaan Chebyshev.)

271Xb (b) penting

Misalkan \(F:\Bbb R\to[0,1]\) suatu fungsi tak menurun sedemikian sehingga (i) \(\lim_{a\to-\infty}F(a)=0\) (ii) \(\lim_{a\to\infty}F(a)=1\) (iii) \(\lim_{x\downarrow a}F(x)=F(a)\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa terdapat tepat satu ukuran probabilitas Radon \(\nu\) pada \(\Bbb R\) sedemikian sehingga \(F(a)=\nu\ocint{-\infty,a}\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\). Petunjuk: 114Xa. Selanjutnya tunjukkan bahwa \(F\) adalah fungsi distribusi dari suatu variabel acak.

271Xc (c) penting

Misalkan \(X\) suatu variabel acak bernilai real dengan fungsi kerapatan \(f\). (i) Tunjukkan bahwa \(|X|\) mempunyai fungsi kerapatan \(g_1\) dengan \(g_1(x)=f(x)+f(-x)\) setiap kali \(x\ge 0\) dan \(f(x)\), \(f(-x)\) keduanya terdefinisi, dan \(0\) jika tidak. (ii) Tunjukkan bahwa \(X^2\) mempunyai fungsi kerapatan \(g_2\) dengan \(g_2(x)=(f(\sqrt{x})+f(-\sqrt{x}))/2\sqrt{x}\) setiap kali \(x>0\) dan nilai ini terdefinisi, serta \(0\) untuk \(x\) lainnya. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\Pr(X=0)=0\) maka \(1/X\) mempunyai fungsi kerapatan \(g_3\) dengan \(g_3(x)=\bover1{x^2}f(\bover1x)\) setiap kali nilai ini terdefinisi. (iv) Tunjukkan bahwa jika \(\Pr(X<0)=0\) maka \(\sqrt{X}\) mempunyai fungsi kerapatan \(g_4\) dengan \(g_4(x)=2xf(x^2)\) jika \(x\ge 0\) dan \(f(x^2)\) terdefinisi, serta \(0\) jika tidak.

271Xd (d) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) variabel-variabel acak dengan fungsi kerapatan gabungan \(f:\BbbR^2\to\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(X+Y\) mempunyai fungsi kerapatan \(h\) dengan \(h(u)=\int f(u-v,v)dv\) untuk hampir setiap \(u\).

271Xe (e)

Misalkan \(X\), \(Y\) variabel-variabel acak dengan fungsi kerapatan gabungan \(f:\BbbR^2\to\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(X/Y\) mempunyai fungsi kerapatan \(h\) dengan \(h(u)=\int|v|f(uv,v)dv\) untuk hampir setiap \(u\).

271Xf (f)

Rancang suatu bukti alternatif untuk 271K dengan menggunakan teorema Fubini dan substitusi satu dimensi untuk menunjukkan bahwa

\(\int_a^b\int_{-\infty}^{\infty} \Bover1{|v|}f(\bover{u}{v},v)dv\,du =\int_{\{(u,v):a\le uv\le b\}}f\)

setiap kali \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\).

271Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\frak T\) topologi dari \(\BbbR^{\Bbb N}\) dan \(\Cal B\) aljabar-sigma himpunan Borel (256Yf). (i) Misalkan \(\Cal I\) keluarga himpunan berbentuk

\(\{x:x\in\BbbR^{\Bbb N},\, x(i)\le \alpha_i\Forall i\le n\}\),

dengan \(n\in\Bbb N\) dan \(\alpha_i\in\Bbb R\) untuk setiap \(i\le n\). Tunjukkan bahwa \(\Cal B\) adalah keluarga terkecil dari bagian-bagian \(\BbbR^{\Bbb N}\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\Cal I\subseteq\Cal B\) (\(\beta\)) \(B\setminus A\in\Cal B\) setiap kali \(A\), \(B\in\Cal B\) dan \(A\subseteq B\) (\(\gamma\)) \(\bigcup_{k\in\Bbb N}A_k\in\Cal B\) untuk setiap barisan tak menurun \(\sequence{k}{A_k}\) dalam \(\Cal B\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\mu\), \(\mu'\) dua ukuran berhingga total yang didefinisikan pada \(\BbbR^{\Bbb N}\), dan \(\mu F\) serta \(\mu' F\) terdefinisi dan sama untuk setiap \(F\in\Cal I\), maka \(\mu E\) dan \(\mu' E\) terdefinisi dan sama untuk setiap \(E\in\Cal B\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\Omega\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-sigma bagian-bagian dari \(\Omega\) dan \(X:\Omega\to\BbbR^{\Bbb N}\) suatu fungsi, maka \(X^{-1}[E]\in\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Cal B\) jika dan hanya jika \(\pi_iX\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk setiap \(i\in \Bbb N\), dengan \(\pi_i(x)=x(i)\) untuk setiap \(x\in\BbbR^{\Bbb N}\), \(i\in \Bbb N\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(\pmb{X}=\sequence{i}{X_i}\) suatu barisan variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), maka terdapat tepat satu ukuran probabilitas \(\nu_{\pmb{X}}^{\Cal B}\), dengan domain \(\Cal B\), sedemikian sehingga \(\nu_{\pmb{X}}^{\Cal B}\{x:x(i)\le\alpha_i\Forall i\le n\} =\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n)\) untuk setiap \(\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\). (v) Di bawah syarat-syarat (iv), tunjukkan bahwa terdapat tepat satu ukuran Radon \(\nu_{\pmb{X}}\) pada \(\BbbR^{\Bbb N}\) (dalam arti 256Yf) sedemikian sehingga \(\nu_{\pmb{X}}\{x:x(i)\le\alpha_i\Forall i\le n\} =\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n)\) untuk setiap \(\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\).

271Yb (b)

Misalkan \(F:\BbbR^2\to[0,1]\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(F\) adalah fungsi distribusi dari suatu pasangan \((X_1,X_2)\) variabel acak (ii) terdapat suatu ukuran probabilitas \(\nu\) pada \(\BbbR^2\) sedemikian sehingga \(\nu\ocint{-\infty,a}=F(a)\) untuk setiap \(a\in\BbbR^2\) (iii)(\(\alpha\)) \(F(\alpha_1,\alpha_2)+F(\beta_1,\beta_2) \ge F(\alpha_1,\beta_2)+F(\beta_1,\alpha_2)\) setiap kali \(\alpha_1\le\beta_1\) dan \(\alpha_2\le\beta_2\) (\(\beta\)) \(F(\alpha_1,\alpha_2) =\lim_{\xi_1\downarrow\alpha_1,\xi_2\downarrow\alpha_2}F(\xi_1,\xi_2)\) untuk setiap \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) (\(\gamma\)) \(\lim_{\alpha\to-\infty}F(\alpha,\beta) =\lim_{\alpha\to-\infty}F(\beta,\alpha)=0\) untuk semua \(\beta\) (\(\delta\)) \(\lim_{\alpha\to\infty}F(\alpha,\alpha)=1\). Petunjuk: untuk interval setengah terbuka tak kosong \(\ocint{a,b}\), tetapkan \(\lambda\ocint{a,b}=F(\alpha_1,\alpha_2)+F(\beta_1,\beta_2) -F(\alpha_1,\beta_2)-F(\beta_1,\alpha_2)\), dan lanjutkan seperti dalam 115B-115F.

271Yc (c)

Perumum (b) ke dimensi yang lebih tinggi, dengan mencari rumus yang sesuai untuk menggantikan rumus dalam (iii-\(\alpha\)) dari (b).

271Yd (d)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Cal F\) suatu filter pada \(\eusm L^0(\mu)\) yang konvergen menuju \(X_0\in\eusm L^0(\mu)\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran. Tunjukkan bahwa, dengan menuliskan \(F_X\) untuk fungsi distribusi dari \(X\in\eusm L^0(\mu)\),

\(F_{X_0}(a)=\inf_{b>a}\liminf_{X\to\Cal F}F_X(b) =\inf_{b>a}\limsup_{X\to\Cal F}F_X(b)\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

271Ye (e)

Misalkan \(X\), \(Y\) variabel-variabel acak nonnegatif dengan distribusi yang sama, dan \(h:\coint{0,\infty}\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi tak menurun. Tunjukkan bahwa \(\Expn(X\times hY)\le\Expn(Y\times hY)\). Petunjuk: dalam bahasa 252Yo, \((Y\times hY)^*=Y^*\times(hY)^*\).

Catatan dan komentar

271 Catatan penutup untuk Bagian 271

Sebagian besar bagian ini tampaknya telah dipenuhi oleh hal-hal teknis. Ini mungkin tidak mengherankan mengingat bagian ini membahas hubungan antara suatu variabel acak vektor \(\pmb{X}\) dan distribusi terkait \(\nu_{\pmb{X}}\), dan hal ini dengan sendirinya membawa kita ke ladang ranjau yang telah saya coba petakan dalam §235. Sesungguhnya, saya menggunakan hasil dari §235 dua kali; sekali dalam 271E, dengan \(\phi(\omega)=\pmb{X}(\omega)\) dan \(J(\omega)=1\), dan sekali dalam 271I, dengan \(\phi(x)=x\) dan \(J(x)=f(x)\).

Fungsi distribusi variabel acak satu dimensi mudah dicirikan (271Xb); dalam dimensi yang lebih tinggi kita harus bekerja lebih keras (271Yb-271Yc). Distribusi, alih-alih fungsi distribusi, dapat diuraikan untuk barisan tak hingga variabel acak (271Ya); bahkan, gagasan ini dapat diperluas ke keluarga tak terhitung, tetapi hal ini memerlukan teori ukuran topologis yang sesungguhnya dan termasuk dalam Jilid 4.

Pernyataan 271J rumit, bahkan dapat dikatakan berbelit-belit. Pokoknya ialah bahwa banyak transformasi \(\phi\) yang paling penting tidak dengan sendirinya injektif, tetapi dapat dengan mudah diuraikan menjadi fragmen-fragmen injektif (lihat, misalnya, 271Xc dan 263Xd). Pokok 271K ialah bahwa kita sering ingin menerapkan gagasan di sini pada transformasi yang singular, dan bahkan mengubah dimensi variabel acak. Saya belum memberikan teorema yang membuat penerapan semacam itu rutin, dan lebih menyarankan agar Anda mencari siasat seperti yang digunakan dalam bukti 271K, yang bagaimanapun diperlukan jika Anda menginginkan rumus-rumus yang mudah ditangani. Tentu saja metode lain tersedia (271Xf).