Teorema Fubini — Fondasi Teori Ukuran

Barangkali ciri terpenting dari konsep ‘ukuran produk’ adalah bahwa kita dapat menggunakannya untuk membahas integral berulang. Dalam bagian ini saya memberikan versi teorema Fubini dan teorema Tonelli (252B, 252G) beserta berbagai akibatnya; yang paling berguna adalah versi untuk ruang $\sigma$-hingga (252C, 252H). Sebagai penerapan, saya menguraikan hubungan antara integrasi dan pengukuran himpunan ordinat (252N), serta menghitung volume berdimensi $r$ dari sebuah bola di $\BbbR^r$ (252Q, 252Xi). Saya menyebutkan contoh-contoh tandingan yang menunjukkan kesulitan yang dapat timbul pada ukuran yang tidak $\sigma$-hingga dan fungsi yang tidak terintegralkan (252K-252L, 252Xf-252Xg).

252A Integral berulang

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur, dan $f$ suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu himpunan $\dom f\subseteq X\times Y$. Kita dapat berusaha membentuk integral berulang

$\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int\bigl(\int f(x,y)\nu(dy)\bigr)\mu(dx)$,

yang harus ditafsirkan sebagai berikut: tetapkan

$D=\{x:x\in X,\,\int f(x,y)\nu(dy)$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]\}$,

$g(x)=\int f(x,y)\nu(dy)$ untuk $x\in D$,

lalu tuliskan $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\int g(x)\mu(dx)$ jika integral terakhir ini terdefinisi. Tentu saja, subhimpunan $Y$ tempat $y\mapsto f(x,y)$ didefinisikan dapat berubah menurut $x$, tetapi subhimpunan itu harus selalu koterabaikan, demikian pula $D$.

Dengan cara yang sama, dengan menukar peran $X$ dan $Y$, kita dapat berusaha membentuk integral berulang

$\iint f(x,y)\mu(dx)\nu(dy) =\int\bigl(\int f(x,y)\mu(dx)\bigr)\nu(dy)$.

Intinya ialah bahwa, dengan syarat yang sesuai pada $\mu$ dan $\nu$, kita dapat menghubungkan kedua integral berulang ini satu sama lain dengan menghubungkan keduanya dengan integral $f$ sendiri terhadap ukuran produk pada $X\times Y$.

Sebagaimana akan segera tampak, di sini sangat penting untuk mengizinkan pembahasan integral suatu fungsi yang tidak didefinisikan di setiap titik. Tidak terlalu penting apakah integran dan integral diizinkan bernilai tak hingga, tetapi agar tegas, saya akan mengikuti aturan 135F; yaitu, $\int f=\int f^+-\int f^-$ asalkan $f$ didefinisikan hampir di mana-mana, bernilai dalam $[-\infty,\infty]$, terukur secara virtual, dan paling banyak salah satu dari $\int f^+$, $\int f^-$ bernilai tak hingga.

252B Teorema

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur, dengan produk c.l.d. $(X\times Y,\Lambda,\lambda)$ (251F). Andaikan $\nu$ $\sigma$-hingga dan $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat atau lengkap dan ditentukan secara lokal. Misalkan $f$ suatu fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ sedemikian sehingga $\int fd\lambda$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$. Maka $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama dengan $\int fd\lambda$.

Bukti

Pembuktian hasil ini melibatkan kesulitan teknis yang cukup besar. Jika Anda belum pernah menjumpai gagasan-gagasan ini, hampir pasti Anda tidak sebaiknya langsung menghadapi seluruh keluasan versi yang dinyatakan di atas. Karena itu, saya akan memulai dengan menuliskan pembuktian untuk kasus ketika $\mu$ dan $\nu$ keduanya hingga total; kasus ini saja sudah cukup panjang. Saya akan menyajikannya sedemikian rupa sehingga hanya bagian tengah (bagian (b) di bawah) yang perlu diubah dalam kasus umum. Kemudian, setelah menyelesaikan pembuktian kasus khusus, saya akan memberikan versi alternatif dari (b) yang diperlukan untuk hasil lengkap.

(a) Tuliskan $\eusm L$ untuk keluarga semua fungsi bernilai $[0,\infty]$ yang, bila dilambangkan dengan $f$, membuat $\int fd\lambda$ dan $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama. Tujuan saya mula-mula ialah menunjukkan bahwa $f\in\eusm L$ setiap kali $f$ nonnegatif dan $\int fd\lambda$ terdefinisi, lalu menelaah selisih fungsi-fungsi dalam $\eusm L$. Untuk membuktikan bahwa cukup banyak fungsi termasuk dalam $\eusm L$, strategi saya ialah memulai dengan fungsi ‘elementer’ dan bergerak keluar melalui kelas-kelas yang makin besar. Cara yang paling efisien ialah memulai dengan menguraikan cara membangun anggota baru $\eusm L$ dari anggota lama, sebagai berikut.

(i) $f_1+f_2\in\eusm L$ untuk semua $f_1$, $f_2\in\eusm L$, dan $cf\in\eusm L$ untuk semua $f\in\eusm L$, $c\in\coint{0,\infty}$; ini karena

$\int(f_1+f_2)(x,y)\nu(dy) =\int f_1(x,y)\nu(dy)+\int f_2(x,y)\nu(dy)$,

$\int (cf)(x,y)\nu(dy)=c\int f(x,y)\nu(dy)$

setiap kali ruas-ruas kanan terdefinisi, yang menurut andaian berlaku untuk hampir setiap $x$, sehingga

\[\begin{aligned}\iint(f_1+f_2)(x,y)\nu(dy)\mu(dx) &=\iint f_1(x,y)\nu(dy)\mu(dx)+\iint f_2(x,y)\nu(dy)\mu(dx)\\ &=\int f_1d\lambda+\int f_2d\lambda =\int(f_1+f_2)d\lambda,\\\end{aligned}\]

\[\iint(cf)(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =c\int f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =c\int fd\lambda =\int(cf)d\lambda.\]

(ii) Jika $\sequencen{f_n}$ adalah barisan dalam $\eusm L$ sedemikian sehingga $f_n(x,y)\le f_{n+1}(x,y)$ setiap kali $n\in\Bbb N$ dan $(x,y)\in\dom f_n\cap\dom f_{n+1}$, maka $\sup_{n\in\Bbb N}f_n\in\eusm L$. Bukti. Tetapkan $f=\sup_{n\in\Bbb N}f_n$; untuk $x\in X$, $n\in\Bbb N$, tetapkan $g_n(x)=\int f_n(x,y)\nu(dy)$ apabila integral ini terdefinisi dalam $[0,\infty]$. Karena di sini saya mengizinkan $\infty$ sebagai nilai suatu fungsi, wajar untuk menganggap $f$ didefinisikan pada $\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n$. Menurut teorema B.Levi, $\int fd\lambda=\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\lambda$; tuliskan $u$ untuk nilai bersama ini dalam $[0,\infty]$. Selanjutnya, karena $f_n\le f_{n+1}$ di setiap titik tempat keduanya didefinisikan, $g_n\le g_{n+1}$ di setiap titik tempat keduanya didefinisikan, untuk setiap $n$; menurut andaian $f_n\in\eusm L$, jadi $g_n$ didefinisikan $\mu$-hampir di mana-mana untuk setiap $n$, dan

$\sup_{n\in\Bbb N}\int g_nd\mu =\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\lambda=u$.

Dengan menerapkan teorema B.Levi lagi, $\int g\,d\mu=u$, dengan $g=\sup_{n\in\Bbb N}g_n$. Sekarang ambil sembarang $x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom g_n$, dan tinjau fungsi-fungsi $f_{xn}$ pada $Y$, dengan menetapkan $f_{xn}(y)=f_n(x,y)$ setiap kali ruas kanan ini didefinisikan. Setiap $f_{xn}$ mempunyai integral dalam $[0,\infty]$, dan $f_{xn}(y)\le f_{x,n+1}(y)$ setiap kali keduanya didefinisikan, serta

$\sup_{n\in\Bbb N}\int f_{xn}d\nu=g(x)$;

maka, dengan menggunakan teorema B.Levi untuk ketiga kalinya, $\int(\sup_{n\in\Bbb N}f_{xn})d\nu$ terdefinisi dan sama dengan $g(x)$, yakni

$\int f(x,y)\nu(dy)=g(x)$.

Hal ini berlaku untuk hampir setiap $x$, sehingga

$\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int g\,d\mu=u=\int fd\lambda$.

Jadi $f\in\eusm L$, sebagaimana dinyatakan. ∎

(iii) Pengungkapan gagasan-gagasan pada bagian pembuktian berikutnya akan lebih lancar jika saya memperkenalkan istilah lain. Tuliskan $\Cal W$ untuk $\{W:W\subseteq X\times Y,\,\chi W\in\eusm L\}$. Maka

($\alpha$) jika $W$, $W'\in\Cal W$ dan $W\cap W'=\emptyset$, $W\cup W'\in\Cal W$

menurut (i), karena $\chi(W\cup W')=\chi W+\chi W'$,

($\beta$) $\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\in\Cal W$ setiap kali $\sequencen{W_n}$ merupakan barisan tak-menurun dalam $\Cal W$

karena $\sequencen{\chi W_n}\uparrow\chi W$, dan kita dapat menggunakan (ii).

Perlu dicatat pula bahwa, untuk setiap $W\subseteq X\times Y$ dan setiap $x\in X$, $\int\chi W(x,y)\nu(dy)=\nu W[\{x\}]$, setidaknya apabila $W[\{x\}]=\{y:(x,y)\in W\}$ terukur oleh $\nu$. Selain itu, karena $\lambda$ lengkap, suatu himpunan $W\subseteq X\times Y$ termasuk dalam $\Lambda$ jika dan hanya jika $\chi W$ terukur secara virtual terhadap $\lambda$, jika dan hanya jika $\int\chi W\,d\lambda$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$; dan dalam hal ini $\lambda W=\int\chi W\,d\lambda$.

(iv) Akhirnya, kita perlu mengamati bahwa, dalam keadaan yang sesuai, selisih dua anggota $\Cal W$ akan termasuk dalam $\Cal W$: jika $W$, $W'\in\Cal W$, $W\subseteq W'$, dan $\lambda W'<\infty$, maka $W'\setminus W\in\Cal W$. Bukti. Menurut andaian, $g(x)=\int\chi W(x,y)\nu(dy)$ dan $g'(x)=\int\chi W'(x,y)\nu(dy)$ terdefinisi untuk hampir setiap $x$, serta $\int g\,d\mu=\lambda W$, $\int g'd\mu=\lambda W'$. Karena $\lambda W'$ berhingga, $g'$ harus berhingga hampir di mana-mana, dan $D=\{x:x\in\dom g\cap\dom g',\,g'(x)<\infty\}$ koterabaikan. Sekarang, untuk setiap $x\in D$, $g(x)$ dan $g'(x)$ keduanya berhingga, sehingga

$y\mapsto\chi(W'\setminus W)(x,y)=\chi W'(x,y)-\chi W(x,y)$

adalah selisih dua fungsi terintegralkan, dan

\[\begin{aligned}\int\chi(W'\setminus W)(x,y)\nu(dy) &=\int\chi W'(x,y)-\chi W(x,y)\nu(dy)\\ &=\int\chi W'(x,y)\nu(dy)-\int\chi W(x,y)\nu(dy) =g'(x)-g(x).\\\end{aligned}\]

Dengan demikian

$\iint\chi(W'\setminus W)(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int g'(x)-g(x)\mu(dx) =\lambda W'-\lambda W =\lambda(W'\setminus W)$,

dan $W'\setminus W$ termasuk dalam $\Cal W$. ∎

(Tentu saja, argumen tepat di atas dapat dipersingkat beberapa kata jika kita mengizinkan diri untuk mengandaikan bahwa $\mu$ dan $\nu$ hingga total, sebab dalam hal itu $g(x)$ dan $g'(x)$ akan berhingga setiap kali keduanya didefinisikan; tetapi gagasan kuncinya, bahwa selisih fungsi-fungsi terintegralkan adalah terintegralkan, tidak berubah.)

(b) Sekarang mari kita telaah kelas $\Cal W$, dengan mengandaikan bahwa $\mu$ dan $\nu$ hingga total.

(i) $E\times F\in\Cal W$ untuk semua $E\in\Sigma$, $F\in\Tau$. Bukti. $\lambda(E\times F)=\mu E\cdot\nu F$ (251J), dan

$\int\chi(E\times F)(x,y)\nu(dy)=\nu F\,\chi E(x)$

untuk setiap $x$, sehingga

\[\begin{aligned}\iint\chi(E\times F)(x,y)\nu(dy)\mu(dx) &=\int(\nu F\,\chi E(x))\mu(dx) =\mu E\cdot\nu F\\ &=\lambda(E\times F) =\int\chi(E\times F)d\lambda. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

(ii) Misalkan $\Cal C$ adalah $\{E\times F:E\in\Sigma,\,F\in\Tau\}$. Maka $\Cal C$ tertutup terhadap irisan berhingga (karena $(E\times F)\cap(E'\times F')=(E\cap E')\times(F\cap F')$) dan termuat dalam $\Cal W$. Khususnya, $X\times Y\in\Cal W$. Akan tetapi, hal ini, bersama dengan (a-iv) dan (a-iii-$\beta$) di atas, berarti bahwa $\Cal W$ merupakan kelas Dynkin (definisi: 136A), sehingga memuat aljabar-sigma subhimpunan $X\times Y$ yang dibangkitkan oleh $\Cal C$, menurut Teorema Kelas Monoton (136B); yaitu, $\Cal W\supseteq\Sigma\tensorhat\Tau$ (definisi: 251D).

(iii) Selanjutnya, $W\in\Cal W$ setiap kali $W\subseteq X\times Y$ terabaikan terhadap $\lambda$. Bukti. Menurut 251Ib, terdapat $V\in\Sigma\tensorhat\Tau$ sedemikian sehingga $V\subseteq(X\times Y)\setminus W$ dan $\lambda V=\lambda((X\times Y)\setminus W)$. Karena $\lambda(X\times Y)=\mu X\cdot\nu Y$ berhingga, $V'=(X\times Y)\setminus V$ terabaikan terhadap $\lambda$, dan kita mempunyai $W\subseteq V'\in\Sigma\tensorhat\Tau$. Akibatnya

$0=\lambda V'=\iint\chi V'(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$.

Akan tetapi, ini berarti bahwa

$D=\{x:\int\chi V'(x,y)\nu(dy)$ terdefinisi dan sama dengan $0\}$

koterabaikan. Jika $x\in D$, kita harus mempunyai $\chi V'(x,y)=0$ untuk $\nu$-hampir setiap $y$, yaitu $V'[\{x\}]$ terabaikan; dalam hal ini $W[\{x\}]\subseteq V'[\{x\}]$ juga terabaikan, dan $\int\chi W(x,y)\nu(dy)=0$. Hal ini berlaku untuk setiap $x\in D$, jadi $\int\chi W(x,y)\nu(dy)$ terdefinisi dan sama dengan $0$ untuk hampir setiap $x$, dan

$\iint\chi W(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=0=\lambda W$,

sebagaimana diperlukan. ∎

(iv) Maka $\Lambda\subseteq\Cal W$. Bukti. Jika $W\in\Lambda$, maka, sekali lagi menurut 251Ib, terdapat $V\in\Sigma\tensorhat\Tau$ sedemikian sehingga $V\subseteq W$ dan $\lambda V=\lambda W$, sehingga $\lambda(W\setminus V)=0$. Sekarang $V\in\Cal W$ menurut (ii) dan $W\setminus V\in\Cal W$ menurut (iii), jadi $W\in\Cal W$ menurut (a-iii-$\alpha$). ∎

(c) Saya kembali ke kelas $\eusm L$.

(i) Jika $f\in\eusm L$ dan $g$ adalah fungsi bernilai $[0,\infty]$ yang didefinisikan dan sama dengan $f\,\,\lambda$-hampir di mana-mana, maka $g\in\eusm L$. Bukti. Tetapkan

$W=(X\times Y)\setminus\{(x,y):(x,y)\in\dom f\cap\dom g$, $f(x,y)=g(x,y)\}$,

sehingga $\lambda W=0$. (Ingat bahwa $\lambda$ lengkap.) Menurut (b), $\iint\chi W(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=0$, yaitu $W[\{x\}]$ terabaikan terhadap $\nu$ untuk $\mu$-hampir setiap $x$. Misalkan $D$ adalah $\{x:x\in X,\,W[\{x\}]$ terabaikan terhadap $\nu$ itu$\}$. Maka $D$ koterabaikan terhadap $\mu$. Jika $x\in D$, maka

$W[\{x\}]=Y\setminus\{y:(x,y)\in\dom f\cap\dom g$, $f(x,y)=g(x,y)\}$

terabaikan, sehingga $\int f(x,y)\nu(dy)=\int g(x,y)\nu(dy)$ jika salah satunya terdefinisi. Jadi fungsi-fungsi

$x\mapsto\int f(x,y)\nu(dy)$, $x\mapsto\int g(x,y)\nu(dy)$

sama hampir di mana-mana, dan

$\iint g(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int fd\lambda=\int g\,d\lambda$,

sehingga $g\in\eusm L$. ∎

(ii) Sekarang misalkan $f$ sembarang fungsi nonnegatif sedemikian sehingga $\int fd\lambda$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$. Maka $f\in\eusm L$. Bukti. Untuk $k$, $n\in\Bbb N$, tetapkan

$W_{nk}=\{(x,y):(x,y)\in\dom f,\,f(x,y)\ge 2^{-n}k\}$.

Karena $\lambda$ lengkap, $f$ terukur secara virtual terhadap $\lambda$, dan $\dom f$ koterabaikan, setiap $W_{nk}$ termasuk dalam $\Lambda$, jadi $\chi W_{nk}\in\eusm L$ menurut (b). Tetapkan $f_n=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi W_{nk}$, sehingga

\[\begin{aligned}f_n(x,y) &=2^{-n}k\text{ jika }k\le 4^n\text{ dan }2^{-n}k \le f(x,y)<2^{-n}(k+1),\\ &=2^n\text{ jika }f(x,y)\ge 2^n,\\ &=0\text{ jika }(x,y)\in(X\times Y)\setminus\dom f.\\\end{aligned}\]

Menurut (a-i), $f_n\in\eusm L$ untuk setiap $n\in\Bbb N$, sedangkan $\sequencen{f_n}$ tak-menurun, jadi $f'=\sup_{n\in\Bbb N}f_n\in\eusm L$ menurut (a-ii). Namun $f\eae f'$, jadi $f\in\eusm L$ menurut (i) tepat di atas. ∎

(iii) Akhirnya, misalkan $f$ sembarang fungsi bernilai $[-\infty,\infty]$ sedemikian sehingga $\int fd\lambda$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$. Maka $\int f^+d\lambda$ dan $\int f^-d\lambda$ keduanya terdefinisi dan paling banyak salah satunya bernilai tak hingga. Menurut (ii), $f^+$ dan $f^-$ keduanya termasuk dalam $\eusm L$. Tetapkan $g(x)=\int f^+(x,y)\nu(dy)$, $h(x)=\int f^-(x,y)\nu(dy)$ setiap kali ruas-ruas ini terdefinisi; maka $\int g\,d\mu=\int f^+d\lambda$ dan $\int h\,d\mu=\int f^-d\lambda$ keduanya terdefinisi dalam $[0,\infty]$.

Andaikan terlebih dahulu bahwa $\int f^-d\lambda$ berhingga. Maka $\int h\,d\mu$ berhingga, sehingga $h$ harus berhingga $\mu$-hampir di mana-mana; tetapkan

$D=\{x:x\in\dom g\cap\dom h,\,h(x)<\infty\}$.

Untuk setiap $x\in D$, $\int f^+(x,y)\nu(dy)$ dan $\int f^-(x,y)\nu(dy)$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$, dan yang terakhir berhingga; jadi

$\int f(x,y)\nu(dy) =\int f^+(x,y)\nu(dy)-\int f^-(x,y)\nu(dy) =g(x)-h(x)$

terdefinisi dalam $\ocint{-\infty,\infty}$. Karena $D$ koterabaikan,

\[\begin{aligned}\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) &=\int g(x)-h(x)\mu(dx) =\int g\,d\mu-\int h\,d\mu\\ &=\int f^+d\lambda-\int f^-d\lambda =\int fd\lambda,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

Jadi kita telah memperoleh hasilnya apabila $\int f^-d\lambda$ berhingga. Dengan cara yang sama, atau dengan menerapkan argumen di atas pada $-f$, kita melihat bahwa $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\int fd\lambda$ apabila $\int f^+d\lambda$ berhingga.

Dengan demikian teorema ini telah terbukti, setidaknya ketika $\mu$ dan $\nu$ hingga total.

(b*) Satu-satunya titik dalam argumen di atas tempat kita perlu mengetahui sesuatu yang khusus tentang ukuran $\mu$ dan $\nu$ adalah bagian (b), ketika menunjukkan bahwa $\Lambda\subseteq\Cal W$. Sekarang saya kembali ke titik ini di bawah hipotesis teorema sebagaimana dinyatakan, yaitu bahwa $\nu$ $\sigma$-hingga dan $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat, atau lengkap dan ditentukan secara lokal.

(i) Perlu dicatat bahwa pelengkapan $\hat\mu$ dari $\mu$ (212C) identik dengan versi c.l.d. dari ukuran tersebut, yaitu $\tilde\mu$ (213E). Bukti. Jika $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat, maka $\hat\mu=\tilde\mu$ menurut 213Ha. Jika $\mu$ lengkap dan ditentukan secara lokal, maka $\hat\mu=\mu=\tilde\mu$ (212D, 213Hf). ∎

(ii) Tuliskan $\Sigma^f=\{G:G\in\Sigma,\,\mu G<\infty\}$, $\Tau^f=\{H:H\in\Tau,\,\nu H<\infty\}$. Untuk $G\in\Sigma^f$, $H\in\Tau^f$, misalkan $\mu_G$, $\nu_H$, dan $\lambda_{G\times H}$ berturut-turut adalah ukuran subruang pada $G$, $H$, dan $G\times H$; maka $\lambda_{G\times H}$ adalah ukuran produk c.l.d. dari $\mu_G$ dan $\nu_H$ (251Q(ii-$\alpha$)). Sekarang $W\cap(G\times H)\in\Cal W$ untuk setiap $W\in\Lambda$. Bukti. $W\cap(G\times H)$ termasuk dalam domain $\lambda_{G\times H}$, jadi menurut (b) dalam pembuktian ini, yang diterapkan pada ukuran hingga total $\mu_G$ dan $\nu_H$,

\[\begin{aligned}\lambda(W\cap(G\times H)) &=\lambda_{G\times H}(W\cap(G\times H))\\ &=\int_G\int_H\chi(W\cap(G\times H))(x,y)\nu_H(dy)\mu_G(dx)\\ &=\int_G\int_Y\chi(W\cap(G\times H))(x,y)\nu(dy)\mu_G(dx)\\ \displaycause{karena $\chi(W\cap(G\times H))(x,y)=0$ jika $y\in Y\setminus H$, sehingga kita dapat menggunakan 131E} &=\int_X\int_Y\chi(W\cap(G\times H))(x,y)\nu(dy)\mu(dx)\\\end{aligned}\]

menurut 131E lagi, karena $\int_Y\chi(W\cap(G\times H))(x,y)\nu(dy)=0$ jika $x\in X\setminus G$. Jadi $W\cap(G\times H)\in\Cal W$. ∎

(iii) Sesungguhnya, $W\in\Cal W$ untuk setiap $W\in\Lambda$. Bukti. Ingat bahwa kita mengandaikan $\nu$ $\sigma$-hingga. Misalkan $\sequencen{Y_n}$ adalah barisan tak-menurun dalam $\Tau^f$ yang menutupi $Y$, dan untuk setiap $n\in\Bbb N$, tetapkan $W_n=W\cap(X\times Y_n)$, $g_n(x)=\int\chi W_n(x,y)\nu(dy)$ setiap kali integral ini terdefinisi. Untuk setiap $G\in\Sigma^f$,

$\int_Gg_nd\mu =\iint\chi(W\cap(G\times Y_n))(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$

terdefinisi dan sama dengan $\lambda(W\cap(G\times Y_n))$ menurut (ii). Namun ini berarti, pertama, bahwa $G\setminus\dom g_n$ terabaikan, yaitu $\hat\mu(G\setminus\dom g_n)=0$. Karena hal ini berlaku setiap kali $\mu G$ berhingga, $\tilde\mu(X\setminus\dom g_n)=0$, dan $g_n$ didefinisikan $\tilde\mu$-hampir di mana-mana; tetapi $\tilde\mu=\hat\mu$, sehingga $g_n$ didefinisikan $\hat\mu$-hampir di mana-mana, yaitu $\mu$-hampir di mana-mana (212Eb). Selanjutnya, jika kita menetapkan $E_{na}=\{x:x\in\dom g_n,\,g_n(x)\ge a\}$ untuk $a\in\Bbb R$, maka $E_{na}\cap G\in\hat\Sigma$ setiap kali $G\in\Sigma^f$, dengan $\hat\Sigma$ domain $\hat\mu$; menurut definisi dalam 213D, $E_{na}$ terukur oleh $\tilde\mu=\hat\mu$. Karena $a$ sebarang, $g_n$ terukur secara virtual terhadap $\mu$ (212Fa).

Dengan demikian, kita dapat membicarakan $\int g_nd\mu$. Sekarang

\[\begin{aligned}\iint\chi W_n(x,y)\nu(dy)\mu(dx) &=\int g_nd\mu =\sup_{G\in\Sigma^f}\int_Gg_n\\ \displaycause{213B, karena $\mu$ semihingga} &=\sup_{G\in\Sigma^f}\lambda(W\cap(G\times Y_n)) =\lambda(W\cap(X\times Y_n))\\\end{aligned}\]

menurut definisi dalam 251F. Jadi $W\cap(X\times Y_n)\in\Cal W$.

Hal ini berlaku untuk setiap $n\in\Bbb N$. Karena $\sequencen{Y_n}\uparrow Y$, $W\in\Cal W$ menurut (a-iii-$\beta$). ∎

(iv) Karena itu, kita dapat kembali ke bagian (c) dari argumen di atas dan menarik kesimpulan seperti sebelumnya.

252C

Teorema di atas tentu saja asimetris, dalam arti bahwa hipotesis yang berbeda dikenakan pada kedua ukuran faktor $\mu$ dan $\nu$. Jika kita menginginkan teorema ‘simetris’, kita harus mengandaikan bahwa keduanya $\sigma$-hingga, sebagai berikut.

Akibat Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah dua ruang ukur $\sigma$-hingga, dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$. Jika $f$ terintegralkan terhadap $\lambda$, maka $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ dan $\iint f(x,y)\mu(dx)\nu(dy)$ terdefinisi, berhingga, dan sama.

252D

Begitu banyak penerapan teorema Fubini menggunakan fungsi indikator, sehingga saya mengambil beberapa baris untuk menjabarkan bentuk 252B dalam kasus ini, seperti pada bagian (b)-(b*) pembuktiannya.

Akibat Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$. Andaikan $\nu$ $\sigma$-hingga dan $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat, atau lengkap dan ditentukan secara lokal.

(i) Jika $W\in\dom\lambda$, maka $\int\nu^*W[\{x\}]\mu(dx)$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$ dan sama dengan $\lambda W$.

(ii) Jika $\nu$ lengkap, kita dapat menuliskan $\int\nu W[\{x\}]\mu(dx)$ sebagai pengganti $\int\nu^*W[\{x\}]\mu(dx)$.

252E Akibat

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur, dengan produk c.l.d. $(X\times Y,\Lambda,\lambda)$. Andaikan $\nu$ $\sigma$-hingga dan $\mu$ mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal (213I). Maka, jika $f$ adalah fungsi bernilai real yang terukur terhadap $\Lambda$ dan didefinisikan pada suatu subhimpunan $X\times Y$, fungsi $y\mapsto f(x,y)$ terukur secara virtual terhadap $\nu$ untuk $\mu$-hampir setiap $x\in X$.

Bukti

Misalkan $\tilde f$ adalah perluasan yang terukur terhadap $\Lambda$ dari $f$ menjadi fungsi bernilai real yang didefinisikan di seluruh $X\times Y$ (121I), dan tetapkan $\tilde f_x(y)=\tilde f(x,y)$ untuk semua $x\in X$, $y\in Y$,

$D=\{x:x\in X,\,\tilde f_x$ terukur secara virtual terhadap $\nu$ itu$\}$.

Jika $G\in\Sigma$ dan $\mu G<\infty$, maka $G\setminus D$ terabaikan. Bukti. Misalkan $\sequencen{Y_n}$ adalah barisan tak-menurun himpunan berukuran berhingga yang menutupi $Y$, dan tetapkan

\[\begin{aligned}\tilde f_n(x,y) &=\tilde f(x,y)\text{ jika }x\in G,\,y\in Y_n \text{ dan }|\tilde f(x,y)|\le n,\\ &=0\text{ di titik-titik lain }(x,y)\in X\times Y.\\\end{aligned}\]

Maka setiap $\tilde f_n$ terintegralkan terhadap $\lambda$, karena terbatas, terukur terhadap $\Lambda$, dan nol di luar $G\times Y_n$. Akibatnya, dengan menetapkan $\tilde f_{nx}(y)=\tilde f_n(x,y)$,

$\int(\int\tilde f_{nx}d\nu)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama dengan $\int\tilde f_nd\lambda$.

Namun ini tentu berarti bahwa $\tilde f_{nx}$ terintegralkan terhadap $\nu$, sehingga terukur secara virtual terhadap $\nu$, untuk hampir setiap $x\in X$. Tetapkan

$D_n=\{x:x\in X,\,\tilde f_{nx}$ terukur secara virtual terhadap $\nu$ itu$\}$;

maka setiap $D_n$ koterabaikan terhadap $\mu$, sehingga $\bigcap_{n\in\Bbb N}D_n$ koterabaikan. Tetapi untuk setiap $x\in G\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}D_n$, $\tilde f_x=\lim_{n\to\infty}\tilde f_{nx}$ terukur secara virtual terhadap $\nu$. Jadi $G\setminus D\subseteq X\setminus\bigcap_{n\in\Bbb N}D_n$ terabaikan. ∎

Hal ini berlaku setiap kali $\mu G<\infty$. Karena $G$ sebarang dan $\mu$ mempunyai himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal, $D$ koterabaikan. Namun, untuk setiap $x\in D$, $y\mapsto f(x,y)$ merupakan pembatasan dari $\tilde f_x$ dan harus terukur secara virtual terhadap $\nu$.

252F

Sebagai akibat lebih lanjut, kita dapat memperoleh beberapa informasi berguna tentang ukuran produk c.l.d. untuk ruang ukur sebarang.

Akibat Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah dua ruang ukur, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya. Misalkan $W\in\Lambda$ sedemikian sehingga penampang vertikal $W[\{x\}]$ terabaikan terhadap $\nu$ untuk $\mu$-hampir setiap $x\in X$. Maka $\lambda W=0$.

Bukti

Ambil $E\in\Sigma$, $F\in\Tau$ yang berukuran berhingga. Misalkan $\lambda_{E\times F}$ adalah ukuran subruang pada $E\times F$. Sekali lagi menurut 251Q(ii-$\alpha$), ukuran ini tepat merupakan produk dari ukuran-ukuran subruang $\mu_E$ dan $\nu_F$. Kita tahu bahwa $W\cap(E\times F)$ terukur oleh $\lambda_{E\times F}$. Pada saat yang sama, penampang vertikal $(W\cap(E\times F))[\{x\}]=W[\{x\}]\cap F$ terabaikan terhadap $\nu_F$ untuk $\mu_E$-hampir setiap $x\in E$. Dengan menerapkan 252B pada $\mu_E$, $\nu_F$, dan $\chi(W\cap(E\times F))$,

$\lambda(W\cap(E\times F)) =\lambda_{E\times F}(W\cap(E\times F)) =\int_E\nu_F(W[\{x\}]\cap F)\mu_E(dx)=0$.

Namun, dengan melihat definisi dalam 251F, kita melihat bahwa ini berarti $\lambda W=0$, sebagaimana dinyatakan.

252G

Teorema 252B dan akibat-akibatnya bergantung pada ukuran faktor $\mu$ dan $\nu$ yang termasuk dalam kelas-kelas terbatas. Ada suatu hasil parsial yang berlaku bagi semua ukuran produk c.l.d., sebagai berikut.

Teorema Tonelli Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur, dan $(X\times Y,\Lambda,\lambda)$ produk c.l.d. keduanya. Misalkan $f$ suatu fungsi yang terukur terhadap $\Lambda$, bernilai $[-\infty,\infty]$, dan didefinisikan pada suatu anggota $\Lambda$, serta andaikan bahwa salah satu dari $\iint|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$ atau $\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$ ada dalam $\Bbb R$. Maka $f$ terintegralkan terhadap $\lambda$.

Bukti

Karena konstruksi ukuran produk bersifat simetris terhadap kedua faktor, cukup kita tinjau kasus ketika $\iint |f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan berhingga, sebab gagasan yang sama tentu juga menangani kasus lainnya.

(a) Langkah pertama adalah memeriksa bahwa $f$ didefinisikan dan berhingga hampir di mana-mana terhadap $\lambda$. Bukti. Tetapkan $W=\{(x,y):(x,y)\in\dom f,\,f(x,y)$ berhingga$\}$. Maka $W\in\Lambda$. Hipotesis

$\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan berhingga

mencakup pernyataan bahwa

$\int|f(x,y)|\nu(dy)$ terdefinisi dan berhingga untuk $\mu$-hampir setiap $x$,

yang menyiratkan bahwa

untuk $\mu$-hampir setiap $x$, $f(x,y)$ didefinisikan dan berhingga untuk $\nu$-hampir setiap $y$;

yaitu, bahwa

untuk $\mu$-hampir setiap $x$, $W[\{x\}]$ koterabaikan terhadap $\nu$.

Tetapi menurut 252F hal ini menyiratkan bahwa $(X\times Y)\setminus W$ terabaikan terhadap $\lambda$, sebagaimana diperlukan. ∎

(b) Misalkan $h$ sebarang fungsi sederhana-$\lambda$ yang nonnegatif sedemikian sehingga $h\le|f|\,\,\lambda$-hampir di mana-mana. Maka $\int h$ paling besar $\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$. Bukti. Tetapkan

$W=\{(x,y):(x,y)\in\dom f,\,h(x,y)\le|f(x,y)|\}$, $h'=h\times\chi W$;

maka $h'$ suatu fungsi sederhana dan $h'\eae h$. Nyatakan $h'$ sebagai $\sum_{i=0}^na_i\chi W_i$, dengan $a_i\ge 0$ dan $\lambda W_i<\infty$ untuk setiap $i$. Misalkan $\epsilon>0$. Untuk setiap $i\le n$ terdapat $E_i\in\Sigma$, $F_i\in\Tau$ sedemikian sehingga $\mu E_i<\infty$, $\nu F_i<\infty$ dan $\lambda(W_i\cap(E_i\times F_i))\ge\lambda W_i-\epsilon$. Tetapkan $E=\bigcup_{i\le n}E_i$ dan $F=\bigcup_{i\le n}F_i$. Tinjau ukuran-ukuran subruang $\mu_E$ dan $\nu_F$ serta produk keduanya $\lambda_{E\times F}$ pada $E\times F$; maka $\lambda_{E\times F}$ adalah ukuran subruang pada $E\times F$ yang didefinisikan dari $\lambda$ (sekali lagi 251Q(ii-$\alpha$)). Karena itu, dengan menerapkan 252B pada produk $\mu_E\times\nu_F$,

$\int_{E\times F}h'\,d\lambda =\int_{E\times F}h'\,d\lambda_{E\times F} =\int_E\int_Fh'(x,y)\nu_F(dy)\mu_E(dx)$.

Untuk sebarang $x$, kita mengetahui bahwa $h'(x,y)\le|f(x,y)|$ kapan pun $f(x,y)$ didefinisikan. Jadi kita dapat memastikan bahwa

$\int_Fh'(x,y)\nu_F(dy) =\int h'(x,y)\chi F(y)\nu(dy) \le\int|f(x,y)|\nu(dy)$

setidaknya kapan pun $\int_Fh'(x,y)\nu_F(dy)$ dan $\int|f(x,y)|\nu(dy)$ keduanya terdefinisi, dan ini berlaku untuk hampir setiap $x\in E$. Akibatnya

\[\begin{aligned}\int_{E\times F}h'\,d\lambda &=\int_E\int_Fh'(x,y)\nu_F(dy)\mu_E(dx)\\ &\le\int_E\int|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx) \le\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx).\\\end{aligned}\]

Di sisi lain,

\[\begin{aligned}\int h'\,d\lambda-\int_{E\times F}h'\,d\lambda &=\sum_{i=0}^na_i\lambda(W_i\setminus(E\times F))\\ &\le\sum_{i=0}^na_i\lambda(W_i\setminus(E_i\times F_i)) \le\epsilon\sum_{i=0}^na_i.\\\end{aligned}\]

Jadi

$\int h\,d\lambda =\int h'd\lambda \le\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)+\epsilon\sum_{i=0}^na_i$.

Karena $\epsilon$ sebarang, $\int h\,d\lambda \le\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$, sebagaimana dinyatakan. ∎

(c) Hal ini berlaku kapan pun $h$ merupakan fungsi sederhana terhadap $\lambda$ yang kurang dari atau sama dengan $|f|\,\,\lambda$-hampir di mana-mana. Tetapi $|f|$ terukur terhadap $\Lambda$ dan $\lambda$ semihingga (251Ic), sehingga ini cukup untuk memastikan bahwa $|f|$ terintegralkan terhadap $\lambda$ (213B), yang (karena $f$ diandaikan terukur terhadap $\Lambda$) pada gilirannya menyiratkan bahwa $f$ terintegralkan terhadap $\lambda$.

252H Akibat

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur $\sigma$-hingga, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya.

(a) Misalkan $f$ suatu fungsi yang terukur terhadap $\Lambda$, bernilai $[-\infty,\infty]$, dan didefinisikan pada suatu anggota $\Lambda$. Maka jika salah satu dari

$\int_{X\times Y}|f(x,y)|\lambda(d(x,y))$, $\int_Y\int_X|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$, $\int_X\int_Y|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$

ada dalam $\Bbb R$, demikian pula dua lainnya, dan dalam hal ini

$\int_{X\times Y}f(x,y)\lambda(d(x,y)) =\int_Y\int_Xf(x,y)\mu(dx)\nu(dy) =\int_X\int_Yf(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$.

(b) Misalkan $f$ suatu fungsi yang terukur terhadap $\Lambda$, bernilai $[0,\infty]$, dan didefinisikan pada suatu anggota $\Lambda$. Maka

$\int_{X\times Y}f(x,y)\lambda(d(x,y)) =\int_Y\int_Xf(x,y)\mu(dx)\nu(dy) =\int_X\int_Yf(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$

dalam arti bahwa jika salah satu integral terdefinisi dalam $[0,\infty]$, demikian pula dua lainnya, dan ketiganya kemudian sama.

Bukti

(a)(i) Andaikan bahwa $\int|f|d\lambda$ berhingga. Karena $\mu$ dan $\nu$ keduanya $\sigma$-hingga, 252B memberi tahu kita bahwa

$\iint|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$, $\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$

keduanya ada dan sama dengan $\int|f|d\lambda$, sedangkan

$\iint f(x,y)\mu(dx)\nu(dy)$, $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$

keduanya ada dan sama dengan $\int fd\lambda$.

(ii) Sekarang andaikan bahwa $\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$ ada dalam $\Bbb R$. Maka 252G memberi tahu kita bahwa $|f|$ terintegralkan terhadap $\lambda$, sehingga kita dapat menggunakan (i) untuk menyelesaikan argumen. Dengan menukar koordinat, argumen yang sama berlaku jika $\iint|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$ ada dalam $\Bbb R$.

(b)(i) Jika $\int fd\lambda$ terdefinisi, hasilnya langsung mengikuti dari 252B.

(ii) Andaikan bahwa $\iint_Xf(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi. Seperti dalam bagian (a) bukti 252G, tetapi kali ini dengan menetapkan $W=\dom f$, kita melihat bahwa $W\in\Lambda$ dan $W[\{x\}]$ koterabaikan terhadap $\nu$ untuk $\mu$-hampir setiap $x$, sehingga $W$ koterabaikan terhadap $\lambda$. Karena $f$ nonnegatif, terukur terhadap $\Lambda$, dan didefinisikan hampir di mana-mana, $\int fd\lambda$ terdefinisi dalam $[0,\infty]$ dan kita berada dalam kasus (i).

252I Akibat

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya. Ambil $W\in\Lambda$. Jika salah satu dari integral

$\int\mu^*W^{-1}[\{y\}]\nu(dy)$, $\int\nu^*W[\{x\}]\mu(dx)$

ada dan berhingga, maka $\lambda W<\infty$.

252J Catatan

252H merupakan bentuk dasar teorema Fubini; bukan suatu kebetulan bahwa kebanyakan penulis menghindari ruang yang tidak $\sigma$-hingga dalam konteks ini. Dua contoh berikut memperlihatkan beberapa kesulitan yang dapat timbul jika kita meninggalkan wilayah yang lazim berupa fungsi-fungsi yang kurang lebih terukur Borel pada ruang $\sigma$-hingga. Contoh pertama bersifat klasik.

252K Contoh

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ adalah $[0,1]$ dengan ukuran Lebesgue, dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah $[0,1]$ dengan ukuran cacah.

252Ka (a)

Tinjau himpunan

$W=\{(t,t):t\in[0,1]\}\subseteq X\times Y$.

Kita mengamati bahwa $W$ dapat dinyatakan sebagai

$\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{k=0}^n [\Bover{k}{n+1},\Bover{k+1}{n+1}]\times[\Bover{k}{n+1}, \Bover{k+1}{n+1}]\in\Sigma\tensorhat\Tau$.

Jika kita meninjau penampang-penampang

$W^{-1}[\{t\}]=W[\{t\}]=\{t\}$

untuk $t\in [0,1]$, kita memperoleh

$\iint\chi W(x,y)\mu(dx)\nu(dy) =\int\mu W^{-1}[\{y\}]\nu(dy)=\int 0\,\nu(dy)=0$,

$\iint\chi W(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int\nu W[\{x\}]\mu(dx)=\int 1\,\mu(dx)=1$,

sehingga kedua integral berulang tersebut berbeda. Oleh karena itu, secara umum urutan integrasi berulang tidak dapat dibalik, bahkan untuk suatu fungsi terukur nonnegatif ketika kedua integral berulang ada dan berhingga.

252Kb (b)

Karena himpunan $W$ pada bagian (a) sebenarnya termasuk dalam $\Sigma\tensorhat\Tau$, kita mengetahui bahwa himpunan itu diukur oleh ukuran produk c.l.d. $\lambda$, dan 252F (yang diterapkan dengan koordinat dibalik) memberi tahu kita bahwa $\lambda W=0$.

252Kc (c)

Sebenarnya mudah untuk memberikan uraian lengkap tentang $\lambda$.

(i) Pokoknya adalah bahwa suatu himpunan $W\subseteq[0,1]\times[0,1]$ termasuk dalam domain $\Lambda$ dari $\lambda$ jika dan hanya jika setiap penampang mendatar $W^{-1}[\{y\}]$ terukur Lebesgue. Bukti. ($\alpha$) Jika $W\in\Lambda$, maka, untuk setiap $b\in[0,1]$, $\lambda([0,1]\times\{b\})$ berhingga, sehingga $W\cap([0,1]\times\{b\})$ merupakan himpunan berukuran hingga, dan $\lambda(W\cap([0,1]\times\{b\})) =\int\mu(W\cap([0,1]\times\{b\}))^{-1}[\{y\}]\nu(dy) =\mu W^{-1}[\{b\}]$ menurut 252D, karena $\mu$ bersifat $\sigma$-hingga, $\nu$ bersifat dapat dilokalkan secara ketat, lengkap, dan ditentukan secara lokal, serta \[\begin{aligned}(W\cap([0,1]\times\{b\}))^{-1}[\{y\}] &=W^{-1}[\{b\}]\text{ jika }y=b,\\ &=\emptyset\text{ selain itu.}\\\end{aligned}\] Karena $b$ sebarang, setiap penampang mendatar dari $W$ terukur. ($\beta$) Jika setiap penampang mendatar dari $W$ terukur, misalkan $F\subseteq[0,1]$ sebarang himpunan berukuran hingga terhadap $\nu$; maka $F$ berhingga, sehingga $W\cap([0,1]\times F) =\bigcup_{y\in F}W^{-1}[\{y\}]\times\{y\} \in\Sigma\tensorhat\Tau\subseteq\Lambda$. Tetapi dari sini mengikuti bahwa $W$ sendiri termasuk dalam $\Lambda$, menurut 251H. ∎

(ii) Sekarang beberapa perhitungan yang sama menunjukkan bahwa untuk setiap $W\in\Lambda$,

$\lambda W=\sum_{y\in [0,1]}\mu W^{-1}[\{y\}]$.

Bukti. Untuk sebarang himpunan berhingga $F\subseteq[0,1]$, \[\begin{aligned}\lambda(W\cap([0,1]\times F)) &=\int\mu(W\cap([0,1]\times F))^{-1}[\{y\}]\nu(dy)\\ &=\int_F\mu W^{-1}[\{y\}]\nu(dy) =\sum_{y\in F}\mu W^{-1}[\{y\}].\\\end{aligned}\] Jadi $\lambda W=\sup_{F\subseteq[0,1]\text{ berhingga}} \sum_{y\in F}\mu W^{-1}[\{y\}]=\sum_{y\in [0,1]}\mu W^{-1}[\{y\}]$. ∎

252L Contoh

Untuk contoh kedua, saya beralih kepada suatu masalah yang dapat timbul jika kita lalai memeriksa bahwa suatu fungsi terukur sebagai fungsi dari dua variabel.

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)=(Y,\Tau,\nu)$ adalah $\omega_1$, ordinal tak terhitung pertama (2A1Fc), dengan ukuran terhitung-koterhitung (211R). Tetapkan

$W=\{(\xi,\eta):\xi\le\eta<\omega_1\}\subseteq X\times Y$.

Maka semua penampang mendatar $W^{-1}[\{\eta\}]=\{\xi:\xi\le\eta\}$ terhitung, sehingga

$\int\mu W^{-1}[\{\eta\}]\nu(d\eta) =\int 0\,\nu(d\eta) =0$,

sedangkan semua penampang tegak $W[\{\xi\}]=\{\eta:\xi\le\eta<\omega_1\}$ koterhitung, sehingga

$\int\nu W[\{\xi\}]\mu(d\xi) =\int 1\,\mu(d\xi) =1$.

Karena kedua integral berulang tersebut berbeda, keduanya tidak mungkin sama dengan ukuran $W$, dan satu-satunya penyelesaian adalah mengatakan bahwa $W$ tidak diukur oleh ukuran produk.

252M Catatan

Jenis kesulitan ketiga dalam rumus

$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(x,y)dydx$

dapat timbul bahkan pada ruang probabilitas dengan fungsi bernilai real yang terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$ dan didefinisikan di mana-mana jika kita lalai memeriksa bahwa $f$ terintegralkan terhadap ukuran produk. Dalam 252H, kita memang memerlukan hipotesis bahwa salah satu dari

$\int_{X\times Y}|f(x,y)|\lambda(d(x,y))$, $\int_Y\int_X|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$, $\int_X\int_Y|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$

berhingga. Untuk contoh-contoh yang menunjukkan hal ini, lihat 252Xf dan 252Xg.

252N Integrasi melalui himpunan ordinat I: Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times\Bbb R$, dengan $\Bbb R$ diberi ukuran Lebesgue; tuliskan $\Lambda$ untuk domain $\lambda$. Untuk sebarang fungsi bernilai $[0,\infty]$ $f$ yang didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari $X$, tuliskan $\Omega_f$, $\Omega'_f$ untuk himpunan ordinat

$\Omega_f=\{(x,a):x\in\dom f,\,0\le a\le f(x)\} \subseteq X\times\Bbb R$,

$\Omega'_f=\{(x,a):x\in\dom f,\,0\le a<f(x)\} \subseteq X\times\Bbb R$.

Maka

$\lambda\Omega_f=\lambda\Omega'_f=\int fd\mu$

dalam arti bahwa jika salah satu di antaranya terdefinisi dalam $[0,\infty]$, demikian pula dua lainnya, dan ketiganya sama.

Bukti

(a) Jika $\Omega_f\in\Lambda$, maka

$\int f(x)\mu(dx) =\int\nu\{y:(x,y)\in\Omega_f\}\mu(dx) =\lambda\Omega_f$

menurut 252D, dengan menuliskan $\nu$ untuk ukuran Lebesgue, karena $f$ didefinisikan hampir di mana-mana. Demikian pula, jika $\Omega'_f\in\Lambda$,

$\int f(x)\mu(dx) =\int\nu\{y:(x,y)\in\Omega'_f\}\mu(dx) =\lambda\Omega'_f$.

(b) Jika $\int fd\mu$ terdefinisi, maka $f$ terukur secara virtual terhadap $\mu$, dan karenanya terukur (karena $\mu$ lengkap); sekali lagi karena $\mu$ lengkap, $\dom f\in\Sigma$. Jadi

$\Omega'_f =\bigcup_{q\in\Bbb Q,q>0}\{x:x\in\dom f,\,f(x)>q\}\times[0,q]$,

$\Omega_f =\bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{q\in\Bbb Q,q>0} \{x:x\in\dom f,\,f(x)\ge q-\Bover1n\}\times[0,q]$

termasuk dalam $\Lambda$, sehingga $\lambda\Omega_f$ dan $\lambda\Omega'_f$ terdefinisi. Sekarang keduanya sama dengan $\int fd\mu$, menurut (a).

252O Integrasi melalui himpunan ordinat II: Proposisi

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $f$ suatu fungsi nonnegatif yang terukur secara virtual terhadap $\mu$ dan didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari $X$. Maka

$\int fd\mu =\int_0^{\infty}\mu^*\{x:x\in\dom f,\,f(x)\ge t\}dt =\int_0^{\infty}\mu^*\{x:x\in\dom f,\,f(x)>t\}dt$

dalam $[0,\infty]$, dengan integral-integral $\int\ldots dt$ diambil terhadap ukuran Lebesgue.

Bukti

Melengkapi $\mu$ tidak mengubah integral $f$ ataupun ukuran luar $\mu^*$ (212Fb, 212Ea), sehingga kita boleh mengandaikan bahwa $\mu$ lengkap; dalam hal ini $\dom f$ dan $f$ akan terukur. Untuk $n$, $k\in\Bbb N$ tetapkan $E_{nk}=\{x:x\in\dom f,\,f(x)>2^{-n}k\}$, $g_n(x)=2^{-n}\sum_{k=1}^{4^n}\chi E_{nk}$. Maka $\sequencen{g_n}$ adalah barisan tak menurun dari fungsi-fungsi terukur yang konvergen ke $f$ pada setiap titik $\dom f$, sehingga $\int fd\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_nd\mu$ dan $\mu\{x:f(x)>t\}=\lim_{n\to\infty}\mu\{x:g_n(x)>t\}$ untuk setiap $t\ge 0$; akibatnya

$\int_0^{\infty}\mu\{x:f(x)>t\}dt =\lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}\mu\{x:g_n(x)>t\}dt$.

Di sisi lain, $\mu\{x:g_n(x)>t\}=\mu E_{nk}$ jika $1\le k\le 4^n$ dan $2^{-n}(k-1)\le t<2^{-n}k$, dan $0$ jika $t\ge 2^n$, sehingga

$\int_0^{\infty}\mu\{x:g_n(x)>t\}dt$ $=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\mu E_{nk}$ $=\int g_n\,d\mu$,

untuk setiap $n\in\Bbb N$. Jadi $\int_0^{\infty}\mu\{x:f(x)>t\}dt=\int fd\mu$.

Sekarang $\mu\{x:f(x)\ge t\}=\mu\{x:f(x)>t\}$ untuk hampir setiap $t$. Bukti. Tetapkan $C=\{t:\mu\{x:f(x)>t\}<\infty\}$, $h(t)=\mu\{x:f(x)>t\}$ untuk $t\in C$. Jika $C$ tidak kosong, $h:C\to\coint{0,\infty}$ monoton, sehingga kontinu hampir di mana-mana dalam $C$ (222A). Tetapi pada setiap titik $C\setminus\{\inf C\}$ tempat $h$ kontinu,

$\mu\{x:f(x)\ge t\}=\lim_{s\uparrow t}\mu\{x:f(x)>s\} =\mu\{x:f(x)>t\}$.

Jadi kita memperoleh hasilnya, karena $\mu\{x:f(x)\ge t\}=\mu\{x:f(x)>t\}=\infty$ untuk sebarang $t\in\coint{0,\infty}\setminus C$. ∎

Dengan demikian $\int_0^{\infty}\mu\{x:f(x)\ge t\}dt$ juga sama dengan $\int fd\mu$.

252P

Jika kita menerapkan gagasan-gagasan 252B secara lengkap pada fungsi-fungsi yang terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$, kita memperoleh hasil berikut, yang kadang-kadang berguna.

Proposisi Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ suatu ruang ukur, dan $(Y,\Tau,\nu)$ suatu ruang ukur $\sigma$-hingga. Maka untuk sebarang fungsi yang terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$ dengan bentuk $f:X\times Y\to[0,\infty]$, $x\mapsto\int f(x,y)\nu(dy):X\to[0,\infty]$ terukur terhadap $\Sigma$. Jika $\mu$ semihingga, $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\int fd\lambda$, dengan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$.

Bukti

(a) Misalkan $\sequencen{Y_n}$ suatu barisan tak menurun dari subhimpunan-subhimpunan $Y$ yang berukuran hingga dan gabungannya adalah $Y$. Tetapkan

\[\begin{aligned}\Cal A &=\{W:W\subseteq X\times Y,\,W[\{x\}]\in\Tau\text{ untuk setiap }x\in X,\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad x\mapsto\nu(Y_n\cap W[\{x\}])\text{ terukur terhadap }\Sigma\text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}.\\\end{aligned}\]

Maka $\Cal A$ merupakan suatu kelas Dynkin dari subhimpunan $X\times Y$ yang mencakup $\{E\times F:E\in\Sigma,\,F\in\Tau\}$, sehingga mencakup $\Sigma\tensorhat\Tau$, sekali lagi menurut Teorema Kelas Monoton (136B).

Ini berarti bahwa jika $W\in\Sigma\tensorhat\Tau$, maka

$\nu W[\{x\}]=\sup_{n\in\Bbb N}\nu(Y_n\cap W[\{x\}])$

terdefinisi untuk setiap $x\in X$ dan terukur terhadap $\Sigma$ sebagai fungsi dari $x$.

(b) Sekarang, untuk $n$, $k\in\Bbb N$, tetapkan

$W_{nk}=\{(x,y):f(x,y)\ge 2^{-n}k\}$, $g_n=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\chi W_{nk}$.

Lalu jika kita menetapkan

$h_n(x) =\int g_n(x,y)\nu(dy)=\sum_{k=1}^{4^n}2^{-n}\nu W_{nk}[\{x\}]$

untuk $n\in\Bbb N$ dan $x\in X$, $h_n:X\to[0,\infty]$ terukur terhadap $\Sigma$, dan

$\lim_{n\to\infty}h_n(x) =\int(\lim_{n\to\infty}g_n(x,y))\nu(dy)=\int f(x,y)\nu(dy)$

untuk setiap $x$, karena $\sequencen{g_n(x,y)}$ adalah suatu barisan tak menurun dengan limit $f(x,y)$ untuk semua $x\in X$, $y\in Y$. Jadi $x\mapsto\int f(x,y)\nu(dy)$ didefinisikan di seluruh $X$ dan terukur terhadap $\Sigma$.

(c) Jika $E\subseteq X$ terukur dan berukuran hingga, maka $\int_E\int f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\int_{E\times Y}fd\lambda$, dengan menerapkan 252B pada produk ukuran subruang $\mu_E$ dan $\nu$ (dan menggunakan 251Q untuk memeriksa bahwa produk $\mu_E$ dan $\nu$ adalah ukuran subruang pada $E\times Y$). Sekarang jika $\lambda W$ terdefinisi dan berhingga, harus ada suatu barisan tak menurun $\sequencen{E_n}$ dari subhimpunan-subhimpunan $X$ yang berukuran hingga sedemikian sehingga $\lambda W=\sup_{n\in\Bbb N}\lambda(W\cap(E_n\times Y))$, sehingga $W\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n\times Y)$ terabaikan, dan

\[\begin{aligned}\int_Wfd\lambda &=\lim_{n\to\infty}\int_{W\cap(E_n\times Y)}fd\lambda\\ \displaycause{menurut teorema B.Levi yang diterapkan pada $\sequencen{f\times\chi(W\cap(E_n\times Y))}$} &\le\lim_{n\to\infty}\int_{E_n\times Y}fd\lambda =\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}\int f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)\\ &\le\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx).\\\end{aligned}\]

Sekali lagi menurut 213B,

$\int fd\lambda =\sup_{\lambda W<\infty}\int_Wfd\lambda \le\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$.

Tetapi juga, jika $\mu$ semihingga,

$\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\sup_{\mu E<\infty}\int_E\int f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) \le\int fd\lambda$,

sehingga $\int fd\lambda=\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$, sebagaimana dinyatakan.

252Q Volume bola

Sekarang kita telah memiliki semua perangkat pokok untuk melakukan sebuah perhitungan kecil yang, saya kira, layak diketahui sekadar sebagai pengetahuan umum: volume bola satuan $\{x:\|x\|\le 1\}=\{(\xi_1,\ldots,\xi_r):\sum_{i=1}^r\xi_i^2\le 1\}$ di $\BbbR^r$. Sebenarnya, dari sudut pandang teoretis, saya rasa kita hampir dapat menamainya saja $\beta_r$ dan berhenti sampai di situ; tetapi karena terdapat rumus umum yang dinyatakan dengan $\beta_2=\pi$ dan faktorial, rasanya memalukan jika tidak disajikan. Perhitungan ini sama sekali tidak berkaitan dengan integrasi Lebesgue, dan saya dapat menyingkirkannya sebagai sekadar kalkulus lanjut; tetapi karena kini hanya sebagian kecil matematikawan diajari kalkulus sampai taraf ini dengan ketelitian yang memadai sebelum diperkenalkan kepada integral Lebesgue, saya tidak ragu bahwa banyak pembaca, seperti saya sendiri, melewatkan beberapa seluk-beluk yang terlibat. Karena itu saya menyediakan ruang untuk menguraikan rinciannya dengan gaya yang digunakan di bagian lain jilid ini, seraya menyadari bahwa perangkat yang dipakai jauh lebih rumit daripada yang sungguh diperlukan untuk hasil ini.

252Qa (a)

Fakta dasar pertama yang kita perlukan ialah bahwa, untuk setiap $n\ge 1$,

\[\begin{aligned}I_n=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^nt\,dt &=\Bover{(2k)!}{(2^kk!)^2}\pi\text{ jika }n=2k\text{ genap},\\ &=2\Bover{(2^kk!)^2}{(2k+1)!}\text{ jika }n=2k+1\text{ ganjil}.\\\end{aligned}\]

Bukti. Untuk $n=0$, tentu saja, $I_0=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,dt=\pi =\Bover{0!}{(2^00!)^2}\pi$, sedangkan untuk $n=1$ kita memperoleh $I_1=\sin\bover{\pi}2-\sin(-\bover{\pi}2)=2 =2\Bover{(2^00!)^2}{1!}$, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus (225L) dan fakta bahwa $\sin'=\cos$ terbatas. Untuk langkah induksi menuju $n+1\ge 2$, kita dapat menggunakan integrasi parsial (225F): \[\begin{aligned}I_{n+1} &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos t\cos^nt\,dt\\ &=\sin\Bover{\pi}2\cos^n\Bover{\pi}2 -\sin(-\Bover{\pi}2)\cos^n(-\Bover{\pi}2) +\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin t\cdot n\cos^{n-1}t\cdot\sin t\,dt\\ &=n\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos^2t)\cos^{n-1}t\,dt =n(I_{n-1}-I_{n+1}),\\\end{aligned}\] sehingga $I_{n+1}=\Bover{n}{n+1}I_{n-1}$. Sekarang rumus-rumus yang diberikan mengikuti melalui induksi sederhana. ∎

252Qb (b)

Hasil berikutnya ialah bahwa, untuk setiap $n\in\Bbb N$ dan setiap $a\ge 0$,

$\int_{-a}^a(a^2-s^2)^{n/2}ds=I_{n+1}a^{n+1}$.

Bukti. Tentu saja ini merupakan integrasi dengan substitusi; tetapi singularitas integran di $s=\pm a$ sedikit memperumit persoalan. Saya kemukakan argumen berikut. Jika $a=0$, hasilnya sepele; ambil $a>0$. Untuk $-a\le b\le a$, tetapkan $F(b)=\int_{-a}^b(a^2-s^2)^{n/2}ds$. Karena integrannya kontinu, $F'(b)$ ada dan sama dengan $(a^2-b^2)^{n/2}$ untuk $-a<b<a$ (222H). Tetapkan $G(t)=F(a\sin t)$; maka $G$ kontinu dan $G'(t)=aF'(a\sin t)\cos t=a^{n+1}\cos^{n+1}t$ untuk $-\bover{\pi}2<t<\bover{\pi}2$. Akibatnya \[\begin{aligned}\int_{-a}^a(a^2-s^2)^{n/2}ds &=F(a)-F(-a) =G(\Bover{\pi}2)-G(-\Bover{\pi}2) =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}G'(t)dt\\ &\text{(menurut 225L, seperti sebelumnya)}\\ &=a^{n+1}I_{n+1},\\\end{aligned}\] sebagaimana diperlukan. ∎

252Qc (c)

Akhirnya sekarang kita siap membahas bola-bola $B_r=\{x:x\in\BbbR^r,\,\|x\|\le 1\}$. Misalkan $\mu_r$ ukuran Lebesgue pada $\BbbR^r$, dan tetapkan $\beta_r=I_1I_2\ldots I_r$ untuk $r\ge 1$. Saya nyatakan bahwa, dengan menuliskan

$B_r(a)=\{x:x\in\BbbR^r,\,\|x\|\le a\}$,

kita memperoleh $\mu_r(B_r(a))=\beta_ra^r$ untuk setiap $a\ge 0$. Bukti. Lakukan induksi pada $r$. Untuk $r=1$ kita mempunyai $\beta_1=2$, $B_1(a)=[-a,a]$, sehingga hasilnya sepele. Untuk langkah induksi menuju $r+1$, kita memperoleh \[\begin{aligned}\mu_{r+1}B_{r+1}(a) &=\int\mu_r\{x:(x,t)\in B_{r+1}(a)\}dt \\ &\text{(dengan menggabungkan 251N dan 252D, serta menggunakan fakta bahwa }B_{r+1}(a)\text{ tertutup, sehingga terukur)}\\ &=\int_{-a}^a\mu_rB_r(\sqrt{a^2-t^2})dt\\ &\text{(karena }(x,t)\in B_{r+1}(a)\text{ jika dan hanya jika }|t|\le a\text{ dan }\|x\|\le\sqrt{a^2-t^2}\text{)}\\ &=\int_{-a}^a\beta_r(a^2-t^2)^{r/2}dt\\ &\text{(menurut hipotesis induksi)}\\ &=\beta_ra^{r+1}I_{r+1}\\ &\text{(menurut (b) di atas)}\\ &=\beta_{r+1}a^{r+1}\\\end{aligned}\] (menurut definisi $\beta_{r+1}$). Dengan demikian induksi berlanjut. ∎

252Qd (d)

Khususnya, ukuran Lebesgue berdimensi $r$ dari bola berdimensi $r$, $B_r=B_r(1)$, hanyalah $\beta_r=I_1\ldots I_r$. Sekarang induksi sederhana pada $k$ menunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\beta_r &=\Bover{1}{k!}\pi^k\text{ jika }r=2k\text{ genap},\\ &=\Bover{2^{2k+1}k!}{(2k+1)!}\pi^k\text{ jika }r=2k+1\text{ ganjil}.\\\end{aligned}\]

252Qe (e)

Perhatikan bahwa pada bagian (c) dari pembuktian kita melihat bahwa $\{x:x\in\BbbR^r,\,\|x\|\le a\}$ mempunyai ukuran $\beta_ra^r$ untuk setiap $a\ge 0$.

Rumus-rumus di sini konsisten dengan penetapan $\beta_0=1$; yang bersesuaian dengan pernyataan bahwa $\BbbR^0=\{\emptyset\}$, bahwa $\mu_0\BbbR^0=1$ dan bahwa $B_0=\{\emptyset\}$. Menetapkan $\mu_0\BbbR^0$ sebagai $1$ juga konsisten dengan gagasan bahwa, mengikuti 251N, ukuran produk $\mu_0\times\mu_r$ semestinya sesuai dengan $\mu_{0+r}$ pada $\BbbR^{0+r}$.

252R Fungsi bernilai kompleks

Hasil-hasil 252B–252I di atas mudah diterapkan pada fungsi bernilai kompleks, dengan mempertimbangkan bagian riil dan bagian imajinernya. Secara khusus:

(a) Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur, dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$. Andaikan bahwa $\nu$ $\sigma$-hingga dan bahwa $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat atau lengkap dan ditentukan secara lokal. Misalkan $f$ fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan terhadap $\lambda$. Maka $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama dengan $\int fd\lambda$.

252Rb (b)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya. Misalkan $f$ fungsi bernilai kompleks terukur terhadap $\Lambda$ yang didefinisikan pada suatu anggota $\Lambda$, dan andaikan bahwa $\iint|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$ atau $\iint|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan berhingga. Maka $f$ dapat diintegralkan terhadap $\lambda$.

252Rc (c)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur $\sigma$-hingga, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya. Misalkan $f$ fungsi bernilai kompleks terukur terhadap $\Lambda$ yang didefinisikan pada suatu anggota $\Lambda$. Maka jika salah satu dari

$\int_{X\times Y}|f(x,y)|\lambda(d(x,y))$, $\int_Y\int_X|f(x,y)|\mu(dx)\nu(dy)$, $\int_X\int_Y|f(x,y)|\nu(dy)\mu(dx)$

ada dalam $\Bbb R$, demikian pula dua yang lain, dan dalam hal ini

$\int_{X\times Y}f(x,y)\lambda(d(x,y)) =\int_Y\int_Xf(x,y)\mu(dx)\nu(dy) =\int_X\int_Yf(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$.

Latihan

252X Latihan dasar (a)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur, dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$. Misalkan $f$ fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap $\lambda$ sedemikian sehingga $\int_{E\times F}f=0$ bilamana $E\in\Sigma$, $F\in\Tau$, $\mu E<\infty$ dan $\nu F<\infty$. Tunjukkan bahwa $f=0\,\,\lambda$-hampir di mana-mana. Petunjuk: gunakan 251Ie untuk menunjukkan bahwa $\int_Wf=0$ bilamana $\lambda W<\infty$.

252Xb (b)

Misalkan $f$, $g:\Bbb R\to\Bbb R$ adalah dua fungsi tak-menurun, dan $\mu_f$, $\mu_g$ ukuran-ukuran Lebesgue–Stieltjes yang bersesuaian (lihat 114Xa). Tetapkan

$f(x^+)=\lim_{t\downarrow x}f(t)$, $f(x^-)=\lim_{t\uparrow x}f(t)$

untuk setiap $x\in\Bbb R$, dan definisikan $g(x^+)$, $g(x^-)$ dengan cara serupa. Tunjukkan bahwa bilamana $a\le b$ dalam $\Bbb R$,

\[\begin{aligned}\int_{[a,b]}f(x^-)\mu_g(dx)&+\int_{[a,b]}g(x^+)\mu_f(dx) =g(b^+)f(b^+)-g(a^-)f(a^-)\\ &=\int_{[a,b]}\Bover12(f(x^-)+f(x^+))\mu_g(dx) +\int_{[a,b]}\Bover12(g(x^-)+g(x^+))\mu_f(dx).\\\end{aligned}\]

Petunjuk: temukan dua ungkapan untuk $(\mu_f\times\mu_g)\{(x,y):a\le x<y\le b\}$.

252Xc (>c) penting

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal, $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, dan $\Lambda$ domainnya. Andaikan bahwa $A\subseteq X$ dan $B\subseteq Y$. Tunjukkan bahwa $A\times B\in\Lambda$ jika dan hanya jika $\mu A=0$ atau $\nu B=0$ atau $A\in\Sigma$ dan $B\in\Tau$. Petunjuk: jika $B$ tidak terabaikan dan $A\times B\in\Lambda$, ambil $H$ sedemikian sehingga $\nu H<\infty$ dan $B\cap H$ tidak terabaikan. Maka $W=A\times(B\cap H)$ diukur oleh $\mu\times\nu_H$, dengan $\nu_H$ merupakan ukuran subruang pada $H$. Sekarang terapkan 252D pada $\mu$, $\nu_H$ dan $W$ untuk melihat bahwa $A\in\Sigma$.

252Xd (>d) penting

Misalkan $(X_1,\Sigma_1,\mu_1)$, $(X_2,\Sigma_2,\mu_2)$, $(X_3,\Sigma_3,\mu_3)$ adalah tiga ruang ukur $\sigma$-hingga, dan $f$ fungsi bernilai riil yang didefinisikan hampir di mana-mana pada $X_1\times X_2\times X_3$ dan terukur terhadap $\Lambda$, dengan $\Lambda$ merupakan domain ukuran produk yang dideskripsikan dalam 251W atau 251Xg. Tunjukkan bahwa jika $\iiint |f(x_1,x_2,x_3)|dx_1dx_2dx_3$ terdefinisi dalam $\Bbb R$, maka $\iiint f(x_1,x_2,x_3)dx_2dx_3dx_1$ dan $\iiint f(x_1,x_2,x_3)dx_3dx_1dx_2$ ada dan sama.

252Xe (e)

Berikan contoh ruang-ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat $(X,\Sigma,\mu)$, $(Y,\Tau,\nu)$ dan suatu $W\in\Sigma\tensorhat\Tau$ sedemikian sehingga $x\mapsto\nu W[\{x\}]$ tidak terukur terhadap $\Sigma$. Petunjuk: dalam 252Kb, coba ambil $Y$ sebagai subhimpunan sejati dari $[0,1]$.

252Xf (>f) penting

Tetapkan $f(x,y)=\sin(x-y)$ jika $0\le y\le x\le y+2\pi$, dan $0$ di titik $(x,y)\in\BbbR^2$ lainnya. Tunjukkan bahwa $\iint f(x,y)dx\,dy=0$ dan $\iint f(x,y)dy\,dx=2\pi$, dengan semua integral diambil terhadap ukuran Lebesgue.

252Xg (>g) penting

Tetapkan $f(x,y)=\Bover{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ untuk $x$, $y\in\ocint{0,1}$. Tunjukkan bahwa $\int_0^1\int_0^1f(x,y)dydx=\Bover{\pi}4$, $\int_0^1\int_0^1f(x,y)dxdy=-\Bover{\pi}4$.

252Xh (>h) penting

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur, dan $f$ fungsi terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$ yang didefinisikan pada suatu subhimpunan $X\times Y$. Tunjukkan bahwa $y\mapsto f(x,y)$ terukur terhadap $\Tau$ untuk setiap $x\in X$.

252Xi (i)

Misalkan $r\ge 1$ bilangan bulat, dan tuliskan $\beta_r$ untuk ukuran Lebesgue bola satuan di $\BbbR^r$. Tetapkan $g_r(t)=r\beta_rt^{r-1}$ untuk $t\ge 0$, $\phi(x)=\|x\|$ untuk $x\in\BbbR^r$. (i) Dengan menuliskan $\mu_r$ untuk ukuran Lebesgue pada $\Bbb R^r$, tunjukkan bahwa $\mu_r\phi^{-1}[E]=\int_Er\beta_rt^{r-1}\mu_1(dt)$ untuk setiap himpunan terukur Lebesgue $E\subseteq\coint{0,\infty}$. (Petunjuk\/: mulailah dengan interval $E$, dengan memperhatikan dari 115Xe bahwa $\mu_r\{x:\|x\|\le a\}=\beta_ra^r$ untuk $a\ge 0$, lalu lanjutkan ke himpunan terbuka, himpunan terabaikan, dan himpunan terukur umum.) (ii) Dengan menggunakan 235R, tunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\int e^{-\|x\|^2/2}\mu_r(dx) &=r\beta_r\int_0^{\infty}t^{r-1}e^{-t^2/2}\mu_1(dt) =2^{(r-2)/2}r\beta_r\Gamma(\Bover{r}2)\\ &=2^{r/2}\beta_r\Gamma(1+\Bover{r}2) =(\sqrt{2}\Gamma(\Bover12))^r\\\end{aligned}\]

dengan $\Gamma$ merupakan fungsi-$\Gamma$ (225Xh). (iii) Tunjukkan bahwa

$2\Gamma(\bover12)^2=2\beta_2\Gamma(2) =2\beta_2\int_0^{\infty}te^{-t^2/2}dt=2\pi$,

dan karena itu $\beta_r=\Bover{\pi^{r/2}}{\Gamma(1+\bover{r}2)}$ dan $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi}$.

252Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) pelengkapan $\mu$ ditentukan secara lokal; (ii) pelengkapan $\mu$ sama dengan versi c.l.d. dari $\mu$; (iii) bilamana $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur $\sigma$-hingga dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, serta $f$ fungsi sedemikian sehingga $\int fd\lambda$ terdefinisi dalam $[-\infty,\infty]$, maka $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama dengan $\int fd\lambda$.

252Yb (b)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) $\mu$ memiliki himpunan-himpunan terabaikan yang ditentukan secara lokal; (ii) bilamana $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur $\sigma$-hingga dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$, maka $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)$ terdefinisi dan sama dengan $\int fd\lambda$ untuk sebarang fungsi yang dapat diintegralkan terhadap $\lambda$, katakanlah $f$.

252Yc (c)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur, dan $\lambda_0$ ukuran produk primitif pada $X\times Y$ (251C). Misalkan $f$ sebarang fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap $\lambda_0$. Tunjukkan bahwa $\iint f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)=\int fd\lambda_0$. Petunjuk: tunjukkan bahwa terdapat barisan-barisan $\sequencen{G_n}$, $\sequencen{H_n}$ dari himpunan-himpunan berukuran hingga sedemikian sehingga $f(x,y)$ terdefinisi dan sama dengan $0$ untuk setiap $(x,y)\in(X\times Y)\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n\times H_n$.

252Yd (d)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur; misalkan $\lambda_0$ ukuran produk primitif pada $X\times Y$, dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. Tunjukkan bahwa jika $f$ fungsi bernilai riil yang dapat diintegralkan terhadap $\lambda_0$, maka fungsi tersebut dapat diintegralkan terhadap $\lambda$, dan $\int fd\lambda=\int fd\lambda_0$.

252Ye (e)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal, serta $a<b$ dalam $\Bbb R$, yang diperlengkapi dengan ukuran Lebesgue; misalkan $\Lambda$ domain ukuran produk c.l.d. $\lambda$ pada $X\times[a,b]$. Misalkan $f:X\times\ooint{a,b}\to\Bbb R$ fungsi terukur terhadap $\Lambda$ sedemikian sehingga $t\mapsto f(x,t):[a,b]\to\Bbb R$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensialkan pada $\ooint{a,b}$ untuk setiap $x\in X$. (i) Tunjukkan bahwa turunan parsial $\Pd{f}{t}$ terhadap variabel kedua terukur terhadap $\Lambda$. (ii) Sekarang andaikan bahwa $\Pd{f}{t}$ dapat diintegralkan terhadap $\lambda$ dan bahwa $\int f(x,t_0)\mu(dx)$ terdefinisi dan berhingga untuk suatu $t_0\in\ooint{a,b}$. Tunjukkan bahwa $F(t)=\int f(x,t)\mu(dx)$ terdefinisi dalam $\Bbb R$ untuk setiap $t\in[a,b]$, bahwa $F$ kontinu mutlak, dan bahwa $F'(t)=\int\Pd{f}{t}(x,t)\mu(dx)$ untuk hampir setiap $t\in\ooint{a,b}$. (Petunjuk\/: $F(c)=F(a)+\int_{X\times[a,c]}\Pd{f}{t}d\lambda$ untuk setiap $c\in[a,b]$.)

252Yf (f)

Tunjukkan bahwa $\Bover{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$ untuk semua $a$, $b>0$. (Petunjuk\/: tunjukkan bahwa

$\int_0^{\infty}t^{a-1}\int_t^{\infty} e^{-x}(x-t)^{b-1}dxdt =\int_0^{\infty}e^{-x}\int_0^xt^{a-1}(x-t)^{b-1}dtdx$.)

252Yg (g)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang-ruang ukur $\sigma$-hingga dan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$. Andaikan bahwa $f\in\eusm L^0(\lambda)$ dan bahwa $1<p<\infty$. Tunjukkan bahwa $(\int|\int f(x,y)dx|^pdy)^{1/p}\le\int(\int|f(x,y)|^pdy)^{1/p}dx$. (Petunjuk\/: tetapkan $q=\bover{p}{p-1}$ dan pertimbangkan integral $\int|f(x,y)g(y)|\lambda(d(x,y))$ untuk $g\in\eusm L^q(\nu)$, dengan menggunakan 244K.)

252Yh (h)

Misalkan $\nu$ ukuran Lebesgue pada $\coint{0,\infty}$; andaikan bahwa $f\in\eusm L^p(\nu)$ dengan $1<p<\infty$. Tetapkan $F(y)=\Bover1y\int_0^yf$ untuk $y>0$. Tunjukkan bahwa $\|F\|_p\le\Bover{p}{p-1}\|f\|_p$. (Petunjuk\/: $F(y)=\int_0^1f(xy)dx$; gunakan 252Yg dengan $X=[0,1]$, $Y=\coint{0,\infty}$.)

252Yi (i)

Tunjukkan bahwa jika $p$ adalah sebarang polinom (riil) tak nol dalam $r$ variabel, maka $\{x:x\in\BbbR^r,\,p(x)=0\}$ terabaikan terhadap ukuran Lebesgue.

252Yj (j)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ dan $(Y,\Tau,\nu)$ adalah ruang ukur, dengan produk c.l.d. $(X\times Y,\Lambda,\lambda)$. Misalkan $f$ fungsi bernilai riil nonnegatif yang terukur terhadap $\Lambda$ dan didefinisikan pada suatu himpunan koterabaikan terhadap $\lambda$, serta andaikan bahwa

$ \overline{\intop}\bigl(\overline{\intop}f(x,y)\mu(dx)\bigr) \nu(dy)$

berhingga. Tunjukkan bahwa $f$ dapat diintegralkan terhadap $\lambda$.

252Yk (k)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ adalah interval satuan $[0,1]$ dengan ukuran Lebesgue, dan $(Y,\Tau,\nu)$ interval tersebut dengan ukuran cacah, sebagaimana dalam 252K; misalkan $\lambda_0$ ukuran produk primitif pada $[0,1]^2$. (i) Dengan menetapkan $\Delta=\{(t,t):t\in[0,1]\}$, tunjukkan bahwa $\lambda_0\Delta=\infty$. (ii) Tunjukkan bahwa $\lambda_0$ tidak semihingga. (iii) Tunjukkan bahwa jika $W\in\dom\lambda_0$, maka $\lambda_0W=\sum_{y\in[0,1]}\mu W^{-1}[\{y\}]$ jika terdapat himpunan terhitung $A\subseteq[0,1]$ dan himpunan terabaikan Lebesgue $E\subseteq[0,1]$ sedemikian sehingga $W\subseteq([0,1]\times A)\cup(E\times[0,1])$, dan bernilai $\infty$ jika tidak.

252Yl (l)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur, dan $\lambda_0$ ukuran produk primitif pada $X\times\Bbb R$, dengan $\Bbb R$ diberi ukuran Lebesgue; tuliskan $\Lambda$ untuk domainnya. Untuk sebarang fungsi bernilai $[0,\infty]$, katakanlah $f$, yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari $X$, tuliskan $\Omega_f$, $\Omega'_f$ untuk himpunan-himpunan ordinat yang bersesuaian, sebagaimana dalam 252N. Tunjukkan bahwa jika salah satu dari $\lambda_0\Omega_f$, $\lambda_0\Omega'_f$, $\int fd\mu$ terdefinisi dan berhingga, demikian pula yang lainnya, dan ketiganya sama.

252Ym (m)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal, dan $f$ fungsi nonnegatif yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari $X$. Tuliskan $\Omega_f$, $\Omega'_f$ untuk himpunan-himpunan ordinat yang bersesuaian, sebagaimana dalam 252N. Misalkan $\lambda$ ukuran produk c.l.d. pada $X\times\Bbb R$, dengan $\Bbb R$ diberi ukuran Lebesgue. Tunjukkan bahwa $\overline{\int}f\,d\mu=\lambda^*\Omega_f=\lambda^*\Omega'_f$.

252Yn (n)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur dan $f:X\to\coint{0,\infty}$ fungsi. Tunjukkan bahwa $\overline{\int}fd\mu=\int_0^{\infty}\mu^*\{x:f(x)\ge t\}dt$.

252Yo (o)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur lengkap dan tuliskan $\eusm M^{0,\infty}$ untuk himpunan $\{f:f\in\eusm L^0(\mu),\,\mu\{x:|f(x)|\ge a\}$ berhingga untuk suatu $a\in\coint{0,\infty}\}$. (i) Tunjukkan bahwa untuk setiap $f\in\eusm M^{0,\infty}$ terdapat fungsi tak-naik $f^*:\ooint{0,\infty}\to\Bbb R$ sedemikian sehingga $\mu_L\{t:f^*(t)\ge\alpha\}=\mu\{x:|f(x)|\ge\alpha\}$ untuk setiap $\alpha>0$, dengan menuliskan $\mu_L$ untuk ukuran Lebesgue. (ii) Tunjukkan bahwa $\int_E|f|d\mu\le\int_0^{\mu E}f^*d\mu_L$ untuk setiap $E\in\Sigma$ (dengan mengizinkan $\infty$). (Petunjuk\/: $(f\times\chi E)^*\le f^*$.) (iii) Tunjukkan bahwa $\|f^*\|_p=\|f\|_p$ untuk setiap $p\in[1,\infty]$, $f\in\eusm M^{0,\infty}$. (Petunjuk\/: $(|f|^p)^*=(f^*)^p$.) (iv) Tunjukkan bahwa jika $f$, $g\in\eusm M^{0,\infty}$ maka $\int|f\times g|d\mu\le\int f^*\times g^*d\mu_L$. (Petunjuk\/: tinjau fungsi-fungsi sederhana terlebih dahulu.) (v) Tunjukkan bahwa jika $\mu$ tanpa atom maka $\int_0^af^*d\mu_L=\sup_{E\in\Sigma,\mu E\le a}\int_E|f|$ untuk setiap $a\ge 0$. (Petunjuk\/: 215D.) (vi) Tunjukkan bahwa $A\subseteq\eusm L^1(\mu)$ terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika $\{f^*:f\in A\}$ terintegralkan secara seragam dalam $\eusm L^1(\mu_L)$. ($f^*$ disebut penyusunan ulang menurun dari $f$.)

252Yp (p)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal, dan tuliskan $\nu$ untuk ukuran Lebesgue pada $[0,1]$. Tunjukkan bahwa ukuran produk c.l.d. $\lambda$ pada $X\times[0,1]$ dapat dilokalkan jika dan hanya jika $\mu$ dapat dilokalkan. (Petunjuk-petunjuk\/: (i) jika $\Cal E\subseteq\Sigma$, tunjukkan bahwa $F\in\Sigma$ merupakan supremum esensial untuk $\Cal E$ dalam $\Sigma$ jika dan hanya jika $F\times[0,1]$ merupakan supremum esensial untuk $\{E\times[0,1]:E\in\Cal E\}$ dalam $\Lambda=\dom\lambda$. (ii) Untuk $W\in\Lambda$, $n\in\Bbb N$, $k<2^n$ tetapkan

$W_{nk} =\{x:x\in X,\,\nu^*\{t:(x,t)\in W,\,2^{-n}k\le t\le 2^{-n}(k+1)\} \ge 2^{-n-1}\}$.

Tunjukkan bahwa jika $\Cal W\subseteq\Lambda$ dan $F_{nk}$ merupakan supremum esensial untuk $\{W_{nk}:W\in\Cal W\}$ dalam $\Sigma$ untuk semua $n$, $k$, maka

$\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n} \bigcup_{k<2^{m}}F_{mk}\times[2^{-m}k,2^{-m}(k+1)]$

merupakan supremum esensial untuk $\Cal W$ dalam $\Lambda$.)

252Yq (q)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ adalah ruang dari Contoh 216D, dan berikan ukuran Lebesgue pada $[0,1]$. Tunjukkan bahwa ukuran produk c.l.d. pada $X\times [0,1]$ lengkap, ditentukan secara lokal, tanpa atom, dan tidak dapat dilokalkan.

252Yr (r)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal dan $(Y,\Tau,\nu)$ ruang ukur semihingga dengan $\nu Y>0$. Tunjukkan bahwa jika ukuran produk c.l.d. pada $X\times Y$ dapat dilokalkan secara ketat, maka $\mu$ dapat dilokalkan secara ketat. (Petunjuk\/: ambil $F\in\Tau$, $0<\nu F<\infty$. Misalkan $\langle W_i\rangle_{i\in I}$ dekomposisi dari $X\times Y$. Untuk $i\in I$, $n\in\Bbb N$ tetapkan $E_{in}=\{x:\nu^*\{y:y\in F,\,(x,y)\in W_i\}\ge 2^{-n}\}$. Terapkan 213Yf pada $\{E_{in}:i\in I,\,n\in\Bbb N\}$.)

252Ys (s)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ adalah ruang dari Contoh 216E, dan berikan ukuran Lebesgue pada $[0,1]$. Tunjukkan bahwa ukuran produk c.l.d. pada $X\times[0,1]$ lengkap, ditentukan secara lokal, tanpa atom dan dapat dilokalkan, tetapi tidak dapat dilokalkan secara ketat.

252Yt (t)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur dan $f$ fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan terhadap $\mu$. Untuk $\alpha\in\ocint{-\pi,\pi}$ tetapkan $H_{\alpha}=\{x:x\in\dom f,\,\Real(e^{-i\alpha}f(x))>0\}$. Tunjukkan bahwa $\int_{-\pi}^{\pi}\Real(e^{-i\alpha}\int_{H_{\alpha}}f)d\alpha =2\int|f|$, dan karena itu terdapat suatu $\alpha$ sedemikian sehingga $|\int_{H_{\alpha}}f|\ge\Bover1{\pi}\int|f|$. (Bandingkan 246F.)

252Yu (u)

Tetapkan $f(t)=t-\ln(t+1)$ untuk $t>-1$. (i) Tunjukkan bahwa $\Gamma(a+1)=a^{a+1}e^{-a}\int_{-1}^{\infty}e^{-af(u)}du$ untuk setiap $a>0$. Petunjuk: substitusikan $u=\bover{t}{a}-1$ dalam 225Xh(iii). (ii) Tunjukkan bahwa terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga $f(t)\ge\bover13t^2$ untuk $-1\le t\le\delta$. (iii) Dengan menetapkan $\alpha=\bover12f(\delta)$, tunjukkan bahwa (untuk $a\ge 1$)

$\sqrt{a}\int_{\delta}^{\infty}e^{-af(t)}dt \le\sqrt{a}e^{-a\alpha}\int_0^{\infty}e^{-f(t)/2}dt\to 0$

ketika $a\to\infty$. (iv) Tetapkan $g_a(t)=e^{-af(t/\sqrt{a})}$ jika $-\sqrt{a}<t\le\delta\sqrt{a}$, dan $0$ jika tidak. Tunjukkan bahwa $g_a(t)\le e^{-t^2/3}$ untuk semua $a$, $t$ dan bahwa $\lim_{a\to\infty}g_a(t)=e^{-t^2/2}$ untuk semua $t$, sehingga

\[\begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\Bover{e^a\Gamma(a+1)}{a^{a+\bover12}} &=\lim_{a\to\infty}\sqrt{a}\int_{-1}^{\infty}e^{-af(t)}dt =\lim_{a\to\infty}\sqrt{a}\int_{-1}^{\delta}e^{-af(t)}dt\\ &=\lim_{a\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g_a(t)dt =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi}.\\\end{aligned}\]

(v) Tunjukkan bahwa $\lim_{n\to\infty}\Bover{n!}{e^{-n}n^n\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}$. (Ini adalah rumus Stirling.)

252Yv (v)

Misalkan $(X,\Sigma,\mu)$ ruang ukur yang lengkap dan ditentukan secara lokal, serta $f$, $g$ dua fungsi bernilai riil yang terukur secara virtual terhadap $\mu$ dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam $X$. (i) Misalkan $\lambda$ produk c.l.d. dari $\mu$ dan ukuran Lebesgue pada $\Bbb R$. Dengan menetapkan $\Omega^*_f=\{(x,a):x\in\dom f$, $a\in\Bbb R$, $a\le f(x)\}$ dan $\Omega^*_g=\{(x,a):x\in\dom g$, $a\in\Bbb R$, $a\le g(x)\}$, tunjukkan bahwa $\lambda(\Omega^*_f\setminus\Omega^*_g)=\int(f-g)^+d\mu$ dan $\lambda(\Omega^*_f\symmdiff\Omega^*_g)=\int|f-g|d\mu$. (ii) Andaikan bahwa $\mu$ $\sigma$-hingga. Tunjukkan bahwa

$\int|f-g|d\mu =\int_{-\infty}^{\infty} \mu(\{x:x\in\dom f\cap\dom g,\, (f(x)-a)(g(x)-a)<0\})\,da$.

(iii) Andaikan bahwa $\mu$ $\sigma$-hingga, bahwa $\Tau$ merupakan subaljabar-sigma dari $\Sigma$, bahwa $E\in\Sigma$ dan bahwa $g:X\to[0,1]$ terukur terhadap $\Tau$. Tunjukkan bahwa terdapat $F\in\Tau$ sedemikian sehingga $\mu(E\symmdiff F)\le\int|\chi E-g|d\mu$.

Catatan dan komentar

252-notes Catatan penutup untuk Bagian 252

Selama satu setengah jilid ini saya telah meminta Anda menerima gagasan mengintegralkan fungsi yang terdefinisi sebagian, dengan bersikeras bahwa cepat atau lambat fungsi-fungsi tersebut akan muncul di inti pokok bahasan ini. Saat itu kini telah tiba. Jika kita hendak menerapkan teorema Fubini dan Tonelli dalam kasus yang paling mendasar, dengan kedua faktor sama dengan ukuran Lebesgue pada interval satuan, tentulah wajar untuk meninjau semua fungsi yang dapat diintegralkan pada persegi terhadap ukuran Lebesgue berdimensi dua. Ukuran Lebesgue berdimensi dua adalah ukuran lengkap, sehingga, khususnya, memberikan ukuran nol kepada setiap himpunan berbentuk $\{(x,b):x\in A\}$ atau $\{(a,y):y\in A\}$, terlepas dari apakah himpunan $A$ diukur oleh ukuran berdimensi satu. Oleh sebab itu, jika $f$ merupakan fungsi dua variabel yang dapat diintegralkan terhadap ukuran Lebesgue berdimensi dua, tidak ada alasan mengapa sebarang penampang tertentu $x\mapsto f(x,b)$ atau $y\mapsto f(a,y)$ harus terukur, apalagi dapat diintegralkan. Akibatnya, sekalipun $f$ sendiri didefinisikan di mana-mana, integral luar dari $\iint f(x,y)dxdy$ mungkin diterapkan kepada suatu fungsi yang tidak didefinisikan untuk setiap $y$. Perlu saya tegaskan bahwa persoalannya bukanlah ‘$\infty$’; fungsi-fungsi yang menyulitkan ialah yang penampangnya begitu tak teratur sehingga integral sama sekali tidak dapat diberikan kepadanya.

Saya telah melihat banyak pendekatan terhadap persoalan pelik khusus ini, yang pada umumnya kurang sepenuh hati daripada pendekatan yang saya tetapkan untuk risalah ini. Sebagian kesulitannya ialah bahwa teorema Fubini sungguh berada di pusat teori ukuran. Pada bagian-bagian luas dari pokok bahasan ini, dapat dikatakan bahwa suatu hasil tidak sepele jika dan hanya jika hasil itu bergantung pada teorema Fubini. Karena itu saya enggan memasukkan tambalan lokal apa pun dengan mengatakan bahwa ‘dalam bab ini, kita akan mengintegralkan fungsi yang tidak didefinisikan di mana-mana’; tak lama kemudian, ketentuan semacam itu harus disisipkan ke dalam pembukaan separuh teorema terbaik, atau harus diberikan penjelasan mengapa ketentuan itu tidak diperlukan dalam konteks masing-masing. Saya kira salah satu tanggapan yang paling umum ialah (seperti Halmos 50) membatasi perhatian pada fungsi yang terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$, yang untuk sementara menghilangkan masalah keterukuran (252Xh, 252P); tetapi sayangnya (atau, menurut saya, justru untungnya) terdapat penerapan-penerapan penting yang fungsinya sebenarnya tidak terukur terhadap $\Sigma\tensorhat\Tau$, melainkan termasuk dalam suatu kelas yang lebih luas, dan cepat atau lambat pembatasan ini menimbulkan akrobat yang tidak elok ketika kita terpaksa menyesuaikan hasil terbatas dengan konteks yang tidak terduga. Selain itu, pembatasan tersebut tidak menyatakan informasi yang sesungguhnya cukup penting, yakni bahwa jika $f$ fungsi terukur dari dua variabel, maka (di bawah syarat-syarat yang sesuai) hampir semua penampangnya terukur (252E).

Dalam 252B dan akibat-akibatnya terdapat pembatasan yang canggung: kita mengandaikan bahwa salah satu ukuran $\sigma$-hingga dan ukuran yang lain dapat dilokalkan secara ketat atau lengkap dan ditentukan secara lokal. Pertanyaan yang jelas ialah apakah hipotesis-hipotesis ini diperlukan. Dari 252K kita melihat bahwa hipotesis ‘$\sigma$-hingga’ pada faktor kedua tentu tidak dapat ditinggalkan, bahkan ketika faktor pertama merupakan ukuran probabilitas lengkap. Persyaratan ‘$\mu$ dapat dilokalkan secara ketat atau lengkap dan ditentukan secara lokal’ sebenarnya sedikit lebih kuat daripada yang diperlukan, dan juga terlampau rumit. Hipotesis yang ‘tepat’ ialah bahwa pelengkapan $\mu$ harus ditentukan secara lokal (lihat 252Ya). Intinya ialah bahwa, karena produk dua ukuran sama dengan produk versi c.l.d. masing-masing (251T), tidak ada teorema yang beranjak dari ukuran produk ke ukuran faktor yang dapat membedakan suatu ukuran dari versi c.l.d.-nya; sehingga, dalam 252B, kita harus menduga bahwa $\mu$ dan versi c.l.d.-nya perlu menghasilkan integral yang sama. Pembuktian 252B akan lebih terarah jika hipotesisnya disederhanakan menjadi ‘$\nu$ $\sigma$-hingga dan $\mu$ lengkap serta ditentukan secara lokal’. Tetapi ini hanya akan memindahkan sebagian argumen ke dalam pembuktian 252C.

Kita juga harus bekerja sedikit lebih keras dalam 252B agar mencakup fungsi dan integral yang mengambil nilai $\pm\infty$. Teorema Fubini begitu sentral bagi teori ukuran sehingga saya yakin sedikit upaya tambahan layak dilakukan untuk menyatakan hasil-hasilnya dengan keumuman maksimum. Hal ini terutama penting karena kita sering menerapkannya pada integral berulang majemuk, seperti dalam 252Xd, ketika kendali kita terhadap fungsi-fungsi antara yang harus diintegralkan bahkan lebih kecil daripada biasanya.

Saya telah mengungkapkan semua hasil utama bagian ini dalam istilah ukuran produk ‘c.l.d.’. Dalam kasus ruang-ruang $\sigma$-hingga, tentu saja, tempat teorinya bekerja paling baik, kita dapat pula menggunakan ukuran produk ‘primitif’. Bahkan teorema Fubini sendiri mempunyai versi dalam istilah ukuran produk primitif yang agak lebih anggun daripada 252B sebagaimana dinyatakan (252Yc), dan mencakup sebagian besar penerapan. (Integral terhadap ukuran produk primitif dan c.l.d. tentu saja sangat erat hubungannya; lihat 252Yd.) Namun kadang-kadang kita memang perlu meninjau ruang yang tidak $\sigma$-hingga, dan dalam kasus-kasus ini bentuk tak simetris dalam 252B mendekati bentuk terbaik yang dapat kita peroleh. Menggunakan ukuran produk primitif sama sekali tidak membantu mengatasi hambatan paling besar, yaitu fenomena dalam 252K (lihat 252Yk).

Konsep prakalkulus tentang integral sebagai ‘luas di bawah kurva’ diwujudkan dalam 252N: integral fungsi nonnegatif merupakan ukuran himpunan ordinatnya. Ini tidak memuaskan sebagai definisi integral, bukan hanya karena persyaratan bahwa ruang dasar harus lengkap dan ditentukan secara lokal (yang dapat ditangani dengan menggunakan ukuran produk primitif, seperti dalam 252Yl), melainkan juga karena konstruksi ukuran produk melibatkan integrasi (bagian (c) dari pembuktian 251E). Gagasan 252N ialah menghubungkan ukuran suatu himpunan ordinat dengan integral ukuran penampang-penampang vertikalnya. Anehnya, jika sebagai gantinya kita mengintegralkan ukuran penampang-penampang horizontal, seperti dalam 252O, kita memperoleh hasil yang lebih luwes. (Memang hasil ini tidak melibatkan konsep ‘ukuran produk’, dan dapat muncul pada sebarang titik setelah §123.) Perhatikan bahwa integral $\int_0^{\infty}\ldots dt$ di sini diterapkan kepada fungsi monoton, sehingga dapat ditafsirkan sebagai integral Riemann tak wajar. Jika Anda merasa cukup memahami integral Riemann sehingga hal ini menjadi alternatif yang menggoda bagi konstruksi dalam §122, bagian yang sulit sekarang ialah pembuktian bahwa integral tersebut aditif.

Jalur argumen yang berbeda ialah menggunakan integrasi atas penampang untuk mendefinisikan ukuran produk. Kesulitan pendekatan ini ialah bahwa, kecuali kita sangat berhati-hati, kita mungkin mendapati konstruksi yang tak simetris. Menurut pandangan saya, ketaksimetrian semacam itu dapat diterima hanya jika tidak ada alternatif. Namun dalam Bab 43 Jilid 4 saya akan mendeskripsikan sepasang contoh.

Dari dua contoh yang saya berikan di sini, 252K dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa ketika saya mensyaratkan ruang-ruang $\sigma$-hingga, ruang-ruang itu memang benar-benar diperlukan, sedangkan 252L dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa keterukuran bersama bersifat esensial dalam teorema Tonelli dan akibat-akibatnya. Ruang-ruang faktor dalam 252K, yaitu ukuran Lebesgue dan ukuran cacah, dipilih untuk menunjukkan bahwa hanya ketiadaan sifat $\sigma$-hingga yang dapat menjadi masalah; selain itu, keduanya seteratur yang secara wajar dapat diminta. Dalam 252L saya menggunakan ukuran terhitung-koterhitung pada $\omega_1$, yang mungkin Anda anggap hanya pantas untuk contoh tandingan; dan memang timbul pertanyaan apakah fenomena yang sama terjadi pada ukuran Lebesgue. Ini membawa kita ke persoalan yang mendalam, dan saya akan kembali kepadanya dalam Bab 53 Jilid 5.

Barangkali perlu saya catat secara eksplisit bahwa dalam teorema Fubini, kita benar-benar memerlukan fungsi yang dapat diintegralkan terhadap ukuran produk. Saya menyertakan 252Xf dan 252Xg untuk mengingatkan Anda bahwa bahkan dalam keadaan yang paling teratur, integral berulang $\iint f\,dxdy$, $\iint f\,dydx$ dapat tidak sama jika $f$ tidak dapat diintegralkan sebagai fungsi dua variabel.

Ada banyak cara untuk menghitung volume $\beta_r$ dari bola berdimensi $r$; cara yang saya gunakan dalam 252Q mengikuti jalur yang sudah terasa alami bagi saya sebelum pernah mendengar teori ukuran. Dalam 252Xi saya mengusulkan metode lain. Gagasan integrasi dengan substitusi, yang digunakan dalam bagian (b) dari argumen untuk 252Q, di sana ditopang oleh argumen ad hoc; saya akan menyajikan pendekatan lain yang dapat diterapkan lebih umum dalam Bab 26. Di tempat lain (252Xi, 252Yf, 252Yh, 252Yu) saya mendapati diri saya menerima begitu saja substitusi berbentuk $t\mapsto at$, $t\mapsto a+t$, $t\mapsto t^2$; untuk pembenaran sistematis, lihat §263. Tentu saja sangat banyak rumus kalkulus lanjut lainnya juga didasarkan pada integrasi berulang dari satu jenis atau jenis lainnya, dan saya memberikan segelintir contoh hasil semacam itu (252Xb, 252Ye-252Yh, 252Yu).