Ukuran Radon pada R^r

256A Definisi

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran pada \(\BbbR^r\) dan \(\Sigma\) domainnya.

256Aa (a)

\(\nu\) adalah suatu ukuran topologis jika setiap himpunan terbuka termasuk dalam \(\Sigma\). Perhatikan bahwa dalam hal ini setiap himpunan Borel, dan khususnya setiap himpunan tertutup, termasuk dalam \(\Sigma\).

256Ab (b)

\(\nu\) adalah berhingga secara lokal jika setiap himpunan terbatas mempunyai ukuran luar berhingga.

256Ac (c)

Jika \(\nu\) adalah ukuran topologis, ukuran itu regular dalam terhadap himpunan kompak jika

untuk setiap \(E\in\Sigma\). (Karena \(\nu\) adalah ukuran topologis, dan himpunan kompak itu tertutup (2A2Ec), \(\nu K\) terdefinisi untuk setiap himpunan kompak \(K\).)

256Ad (d)

\(\nu\) adalah suatu ukuran Radon jika ukuran itu merupakan ukuran topologis lengkap yang berhingga secara lokal dan regular dalam terhadap himpunan kompak.

256B

Kita akan terbantu jika dapat menggunakan fakta-fakta elementer berikut.

Lema Misalkan \(\nu\) suatu ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(\Sigma\) domainnya.

(a) \(\nu\) adalah \(\sigma\)-hingga.

(b) Untuk setiap \(E\in\Sigma\) dan setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu himpunan tertutup \(F\subseteq E\) dan suatu himpunan terbuka \(G\supseteq E\) sedemikian sehingga \(\nu(G\setminus F)\le\epsilon\).

(c) Untuk setiap \(E\in\Sigma\) terdapat suatu himpunan \(H\subseteq E\), yang dapat dinyatakan sebagai gabungan suatu barisan himpunan kompak, sedemikian sehingga \(\nu(E\setminus H)=0\).

(d) Setiap fungsi kontinu bernilai real pada \(\BbbR^r\) terukur terhadap \(\Sigma\).

(e) Jika \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) kontinu dan mempunyai dukungan terbatas, maka \(h\) terintegralkan terhadap \(\nu\).

256C Teorema

Suatu ukuran \(\nu\) pada \(\BbbR^r\) adalah ukuran Radon jika dan hanya jika ukuran itu merupakan pelengkapan suatu ukuran berhingga secara lokal yang terdefinisi pada aljabar-sigma \(\Cal B\) dari subhimpunan-subhimpunan Borel \(\BbbR^r\).

256D Proposisi

Jika \(\nu\) dan \(\nuprime\) adalah dua ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), pernyataan-pernyataan berikut berekuivalen:

(i) \(\nu=\nuprime\);

(ii) \(\nu K=\nuprime K\) untuk setiap himpunan kompak \(K\subseteq\BbbR^r\);

(iii) \(\nu G=\nuprime G\) untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq\BbbR^r\);

(iv) \(\int h\,d\nu=\int h\,d\nuprime\) untuk setiap fungsi kontinu \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) yang mempunyai dukungan terbatas.

256E

Kiranya sudah waktunya saya memberikan beberapa contoh ukuran Radon. Namun, beberapa baris dapat dihemat jika terlebih dahulu saya menetapkan sejumlah konstruksi dasar. Pada tahap ini Anda mungkin ingin melihat sekilas 256H.

Teorema Misalkan \(\nu\) suatu ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dengan domain \(\Sigma\), dan \(f\) suatu fungsi nonnegatif yang terukur terhadap \(\Sigma\), yang didefinisikan pada suatu subhimpunan yang koterabaikan terhadap \(\nu\) di dalam \(\BbbR^r\). Andaikan bahwa \(f\) terintegralkan secara lokal dalam arti bahwa \(\int_Efd\nu<\infty\) untuk setiap himpunan terbatas \(E\). Maka ukuran integral tak tentu \(\nuprime\) pada \(\BbbR^r\) yang didefinisikan dengan syarat bahwa

merupakan ukuran Radon pada \(\BbbR^r\).

256F Teorema

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(\Sigma\) domainnya. Misalkan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\), dengan \(D\subseteq\BbbR^r\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat himpunan tertutup \(F\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\nu(\BbbR^r\setminus F)\le\epsilon\) dan \(f\restr F\) kontinu.

256G Teorema

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dengan domain \(\Sigma\), dan andaikan bahwa \(\phi:\BbbR^r\to\BbbR^s\) terukur dalam arti bahwa semua koordinatnya terukur terhadap \(\Sigma\). Jika ukuran citra \(\nuprime=\nu\phi^{-1}\) (234D) berhingga secara lokal, maka ukuran itu merupakan ukuran Radon.

256H Contoh-contoh

Akhirnya saya sampai pada contoh-contoh yang dijanjikan.

(a) Ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) merupakan ukuran Radon. (Ukuran itu merupakan ukuran topologis menurut 115G, dan regular dalam terhadap himpunan kompak menurut 134Fb.)

256Hb (b)

Suatu ukuran yang bertumpu pada titik di \(\BbbR^r\) merupakan ukuran Radon jika dan hanya jika ukuran itu berhingga secara lokal. Bukti. Misalkan \(\mu\) suatu ukuran yang bertumpu pada titik pada \(\BbbR^r\). Jika ukuran itu merupakan ukuran Radon, tentu saja ukuran itu berhingga secara lokal. Jika ukuran itu berhingga secara lokal, maka ukuran itu jelas merupakan ukuran topologis lengkap, karena ukuran itu mengukur setiap subhimpunan \(\BbbR^r\). Misalkan \(h:\BbbR^r\to[0,\infty]\) sedemikian sehingga \(\mu E=\sum_{x\in E}h(x)\) untuk setiap \(E\subseteq\BbbR^r\). Ambil sebarang \(E\subseteq\BbbR^r\). Maka \[\begin{aligned}\mu E &=\sum_{x\in E}h(x) =\sup_{I\subseteq E\text{ berhingga}}\sum_{x\in I}h(x)\\& =\sup_{I\subseteq E\text{ berhingga}}\mu I \le\sup_{K\subseteq E\text{ kompak}}\mu K \le\mu E \\\end{aligned}\] sehingga \(\mu E=\sup_{K\subseteq E\text{ kompak}}\mu K\); dengan demikian \(\mu\) regular dalam terhadap himpunan kompak dan merupakan ukuran Radon. ∎

256Hc (c)

Sekarang kita sampai pada suatu gagasan baru. Ingat bahwa himpunan Cantor \(C\) (134G) merupakan subhimpunan tertutup dari \([0,1]\) yang terabaikan terhadap ukuran Lebesgue, dan bahwa fungsi Cantor (134H) merupakan fungsi tak menurun kontinu \(f:[0,1]\to[0,1]\) sedemikian sehingga \(f(0)=0\), \(f(1)=1\) dan \(f\) konstan pada setiap interval yang menyusun \([0,1]\setminus C\). Akibatnya, jika kita menetapkan \(g(x)=\bover12(x+f(x))\) untuk \(x\in[0,1]\), maka \(g:[0,1]\to[0,1]\) merupakan permutasi kontinu sedemikian sehingga ukuran Lebesgue dari \(g[C]\) adalah \(\bover12\) (134I); akibatnya \(g^{-1}:[0,1]\to[0,1]\) kontinu. Sekarang perluas \(g\) menjadi permutasi \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) dengan menetapkan \(h(x)=x\) untuk \(x\in\Bbb R\setminus[0,1]\). Maka \(h\) dan \(h^{-1}\) kontinu. Perhatikan bahwa \(h[C]=g[C]\) mempunyai ukuran Lebesgue \(\bover12\).

Misalkan \(\nu_1\) ukuran integral tak tentu yang didefinisikan dari ukuran Lebesgue \(\mu\) pada \(\Bbb R\) dan fungsi \(2\chi(h[C])\); yaitu, \(\nu_1E=2\mu(E\cap h[C])\) kapan pun ungkapan ini terdefinisi. Menurut 256E, \(\nu_1\) merupakan ukuran Radon, dan \(\nu_1h[C]=\nu_1\Bbb R=1\). Misalkan \(\nu\) ukuran \(\nu_1(h^{-1})^{-1}\), yaitu, \(\nu E=\nu_1h[E]\) tepat bagi himpunan-himpunan \(E\subseteq\Bbb R\) sedemikian sehingga \(h[E]\in\dom\nu_1\). Maka \(\nu\) merupakan ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), menurut 256G, dan \(\nu C=1\), \(\nu(\Bbb R\setminus C)=\mu C=0\).

256I Catatan (a)

Ukuran \(\nu\) dalam 256Hc, yang kadang-kadang disebut ukuran Cantor, merupakan contoh klasik, dan karena itu mempunyai banyak konstruksi, beberapa di antaranya jauh lebih alami daripada yang saya gunakan di sini (lihat 256Xk, dan juga 264Ym di bawah). Tetapi saya memilih metode di atas karena metode itu secara langsung, tanpa penyelidikan lebih lanjut atau mengacu pada teori umum yang lebih lanjut, menghasilkan fakta bahwa \(\nu\) merupakan ukuran Radon.

256Ib (b)

Contoh-contoh di atas dipilih untuk mewakili kasus-kasus ekstrem dalam ‘dekomposisi Lebesgue’ yang diuraikan dalam 232I. Jika \(\nu\) merupakan ukuran Radon (berhingga total) pada \(\BbbR^r\), kita dapat menggunakan 232Ib untuk menyatakan pembatasannya \(\nu\restr\Cal B\) pada aljabar-sigma Borel sebagai \(\nu_p+\nu_{ac}+\nu_{cs}\), dengan \(\nu_p\) sebagai bagian ‘massa-titik’ atau ‘atomik’ dari \(\nu\restr\Cal B\), \(\nu_{ac}\) sebagai bagian ‘kontinu mutlak’ (terhadap ukuran Lebesgue), dan \(\nu_{cs}\) sebagai ‘bagian singular tanpa atom’. Dalam contoh 256Hb, kita mempunyai \(\nu\restr\Cal B=\nu_p\); dalam 256E, jika kita mulai dari ukuran Lebesgue, kita mempunyai \(\nu\restr\Cal B=\nu_{ac}\); dan dalam 256Hc kita mempunyai \(\nu\restr\Cal B=\nu_{cs}\).

256J Ukuran Radon yang kontinu mutlak

Ada baiknya berhenti sejenak untuk menelaah ukuran-ukuran integral tak tentu yang diuraikan dalam 256E.

Proposisi Misalkan \(\nu\) suatu ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\);

(ii) \(\nu E=0\) kapan pun \(E\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\BbbR^r\) dan \(\mu E=0\).

Dalam hal ini, jika \(g\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(\int_Eg\,d\mu=\nu E\) untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^r\), maka \(g\) merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\) terhadap \(\mu\) dalam arti 232Hf.

256K Produk

Kelas ukuran Radon pada ruang Euklides stabil terhadap beragam operasi, sebagaimana telah kita lihat; khususnya, kita memperoleh hasil berikut.

Teorema Misalkan \(\nu_1\), \(\nu_2\) masing-masing ukuran Radon pada \(\BbbR^r\) dan \(\BbbR^s\). Misalkan \(\lambda\) ukuran produk lengkap yang ditentukan secara lokal (c.l.d.) dari keduanya pada \(\BbbR^r\times\BbbR^s\). Maka \(\lambda\) merupakan ukuran Radon.

Catatan Ketika saya mengatakan bahwa \(\lambda\) bersifat ‘Radon’ menurut definisi dalam 256A, tentu saja saya mengidentifikasi \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) dengan \(\BbbR^{r+s}\), seperti dalam 251M-251N.

256L Catatan

Kita melihat dari 253I bahwa jika \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) masing-masing merupakan ukuran Radon pada \(\BbbR^r\) dan \(\BbbR^s\), dan keduanya merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue, maka ukuran produk keduanya pada \(\BbbR^{r+s}\) juga merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue.

256M

Demi penerapan dalam §286 di bawah, saya menyertakan satu hasil lagi, yang sebenarnya merupakan salah satu sifat mendasar ukuran Radon, sebagaimana akan tampak dalam §414.

Proposisi Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\Bbb R^r\), dan \(D\) sebarang subhimpunan \(\Bbb R^r\). Misalkan \(\Phi\) keluarga tak kosong yang terarah ke atas dari fungsi-fungsi kontinu nonnegatif dari \(D\) ke \(\Bbb R\). Untuk \(x\in D\) tetapkan \(g(x)=\sup_{f\in\Phi}f(x)\) dalam \([0,\infty]\). Maka

(a) \(g:D\to[0,\infty]\) semikontinu bawah, dan karena itu terukur Borel;

(b) \(\int_Dg\,d\nu=\sup_{f\in\Phi}\int_Dfd\nu\).

256X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(\nu\) ukuran pada \(\BbbR^r\). (i) Tunjukkan bahwa ukuran itu berhingga secara lokal, dalam arti 256Ab, jika dan hanya jika untuk setiap \(x\in\BbbR^r\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\nu^*B(x,\delta)<\infty\). Petunjuk: himpunan-himpunan \(B(\tbf{0},n)\) kompak. (ii) Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(\nu\) \(\sigma\)-hingga.

256Xb (b) penting

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\) dan \(\Cal G\) keluarga tak kosong yang terarah ke atas dari himpunan-himpunan terbuka dalam \(\BbbR^r\). (i) Tunjukkan bahwa \(\nu(\bigcup\Cal G)=\sup_{G\in\Cal G}\nu G\). Petunjuk: perhatikan bahwa jika \(K\subseteq\bigcup\Cal G\) kompak, maka \(K\subseteq G\) untuk suatu \(G\in\Cal G\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\nu(E\cap\bigcup\Cal G)=\sup_{G\in\Cal G}\nu(E\cap G)\) untuk setiap himpunan \(E\) yang terukur terhadap \(\nu\).

256Xc (c) penting

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\) dan \(\Cal F\) keluarga tak kosong yang terarah ke bawah dari himpunan-himpunan tertutup dalam \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\inf_{F\in\Cal F}\nu F<\infty\). (i) Tunjukkan bahwa \(\nu(\bigcap\Cal F)=\inf_{F\in\Cal F}\nu F\). Petunjuk: terapkan 256Xb(ii) pada \(\Cal G=\{\BbbR^r\setminus F:F\in\Cal F\}\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\nu(E\cap\bigcap\Cal F)=\inf_{F\in\Cal F}\nu(E\cap F)\) untuk setiap \(E\) dalam domain \(\nu\).

256Xd (d) penting

Tunjukkan bahwa ukuran Radon \(\nu\) pada \(\BbbR^r\) tanpa atom jika dan hanya jika \(\nu\{x\}=0\) untuk setiap \(x\in\BbbR^r\). Petunjuk: terapkan 256Xc dengan \(\Cal F=\{F:F\subseteq E\) tertutup, tidak terabaikan\(\}\).

256Xe (e)

Misalkan \(\nu_1\), \(\nu_2\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(\alpha_1\), \(\alpha_2\in\ooint{0,\infty}\). Tetapkan \(\Sigma=\dom\nu_1\cap\dom\nu_2\), dan untuk \(E\in\Sigma\) tetapkan \(\nu E=\alpha_1\nu_1E+\alpha_2\nu_2E\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) merupakan ukuran Radon pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue jika dan hanya jika \(\nu_1\), \(\nu_2\) demikian, dan bahwa dalam hal ini suatu kombinasi linear dari turunan-turunan Radon-Nikodým dari \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\).

256Xf (f) penting

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\). (i) Tunjukkan bahwa terdapat tepat satu himpunan tertutup \(F\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga, untuk himpunan terbuka \(G\subseteq\BbbR^r\), \(\nu G>0\) jika dan hanya jika \(G\cap F\ne\emptyset\). (\(F\) disebut dukungan dari \(\nu\).) (ii) Secara umum, suatu himpunan \(A\subseteq\BbbR^r\) disebut menopang dirinya sendiri jika \(\nu^*(A\cap G)>0\) kapan pun \(G\subseteq\BbbR^r\) merupakan himpunan terbuka yang bertemu dengan \(A\). Tunjukkan bahwa untuk setiap himpunan tertutup \(F\subseteq\BbbR^r\) terdapat tepat satu himpunan tertutup yang menopang dirinya sendiri \(F'\subseteq F\) sedemikian sehingga \(\nu(F\setminus F')=0\).

256Xg (g) penting

Tunjukkan bahwa ukuran \(\nu\) pada \(\Bbb R\) merupakan ukuran Radon jika dan hanya jika ukuran itu merupakan ukuran Lebesgue–Stieltjes sebagaimana diuraikan dalam 114Xa. Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue jika dan hanya jika fungsi \(x\mapsto\nu[a,x]:[a,b]\to\Bbb R\) kontinu mutlak kapan pun \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\).

256Xh (h)

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\). Misalkan \(C_k\) ruang fungsi kontinu bernilai real pada \(\BbbR^r\) dengan dukungan terbatas. Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\nu\), sebutlah \(f\), dan setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(g\in C_k\) sedemikian sehingga \(\int|f-g|d\nu\le\epsilon\). Petunjuk: gunakan argumen dari 242O, tetapi dalam (a-i) dari buktinya mulailah dengan interval-interval tertutup \(I\).

256Xi (i)

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(\nu^*\) ukuran luar yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa \(\nu^*A=\inf\{\nu G:G\supseteq A\) terbuka\(\}\) untuk setiap himpunan \(A\subseteq\BbbR^r\).

256Xj (j)

Misalkan \(\nu\), \(\nuprime\) dua ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan andaikan bahwa \(\nu I=\nuprime I\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\subseteq\BbbR^r\) (definisi: 115Ab). Tunjukkan bahwa \(\nu=\nuprime\).

256Xk (k)

Misalkan \(\nu\) ukuran Cantor (256Hc). (i) Tunjukkan bahwa jika \(C_n\) adalah himpunan ke-\(n\) yang digunakan dalam konstruksi himpunan Cantor, sehingga \(C_n\) terdiri atas \(2^n\) interval dengan panjang \(3^{-n}\), maka \(\nu I=2^{-n}\) untuk setiap interval \(I\) yang menyusun \(C_n\). (ii) Misalkan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) (254J). Definisikan \(\phi:\{0,1\}^{\Bbb N}\to \Bbb R\) dengan menetapkan \(\phi(x)=\bover23\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}x(n)\) untuk setiap \(x\in\{0,1\}^{\Bbb N}\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan bijeksi antara \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) dan \(C\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\Cal B\) merupakan aljabar-sigma Borel dari \(\Bbb R\), maka \(\{\phi^{-1}[E]:E\in\Cal B\}\) tepat merupakan aljabar-sigma subhimpunan \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) yang dibangkitkan oleh himpunan-himpunan \(\{x:x(n)=i\}\) untuk \(n\in\Bbb N\), \(i\in\{0,1\}\). (iv) Tunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan isomorfisme antara \((\{0,1\}^{\Bbb N},\lambda)\) dan \((C,\nu_C)\), dengan \(\nu_C\) ukuran subruang pada \(C\) yang diinduksi oleh \(\nu\).

256Xl (l)

Misalkan \(\nu\) dan \(\nuprime\) dua ukuran Radon pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\nuprime\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap \(\nu\) jika dan hanya jika \(\nuprime E=0\) kapan pun \(\nu E=0\), dan dalam hal ini fungsi \(f\) merupakan turunan Radon-Nikodým dari \(\nuprime\) terhadap \(\nu\) jika dan hanya jika \(\int_Efd\nu=\nuprime E\) untuk setiap himpunan Borel \(E\).

256Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(X\) sebarang subhimpunan \(\Bbb R^r\); misalkan \(\nu_X\) ukuran subruang pada \(X\) dan \(\Sigma_X\) domainnya, dan lengkapi \(X\) dengan topologi subruangnya. Tunjukkan bahwa \(\nu_X\) mempunyai sifat-sifat berikut: (i) \(\nu_X\) lengkap dan ditentukan secara lokal; (ii) setiap subhimpunan terbuka dari \(X\) termasuk dalam \(\Sigma_X\); (iii) \(\nu_XE=\sup\{\nu_XF:F\subseteq E\) tertutup dalam \(X\}\) untuk setiap \(E\in\Sigma_X\); (iv) kapan pun \(\Cal G\) merupakan keluarga tak kosong subhimpunan terbuka dari \(X\) yang terarah ke atas, \(\nu_X(\bigcup\Cal G)=\sup_{G\in\Cal G}\nu_XG\); (v) setiap titik di \(X\) termasuk dalam suatu himpunan terbuka yang ukurannya berhingga.

256Yb (b)

Misalkan \(\nu\) ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), dengan domain \(\Sigma\), dan \(f:\Bbb R^r\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(f\) terukur terhadap \(\Sigma\); (ii) untuk setiap himpunan tak terabaikan \(E\in\Sigma\) terdapat himpunan tak terabaikan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\) dan \(f\restr F\) kontinu; (iii) untuk setiap himpunan \(E\in\Sigma\), \(\nu E=\sup_{K\in\Cal K_f,K\subseteq E}\nu K\), dengan \(\Cal K_f=\{K:K\subseteq\BbbR^r\) kompak, \(f\restr K\) kontinu\(\}\). Petunjuk: untuk (ii)\(\Rightarrow\)(i), terapkan 215B(iv) pada \(\Cal K_f\).

256Yc (c)

Ambil \(\nu\), \(X\), \(\nu_X\) dan \(\Sigma_X\) seperti dalam 256Ya. Andaikan bahwa \(f:X\to\Bbb R\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(f\) terukur terhadap \(\Sigma_X\) jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terukur tak terabaikan \(E\subseteq X\) terdapat himpunan terukur tak terabaikan \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(f\restr F\) kontinu.

256Yd (d)

(i) Misalkan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\{0,1\}^{\Bbb N}\). Definisikan \(\psi:\{0,1\}^{\Bbb N}\to\{0,1\}^{\Bbb N}\) dengan menetapkan \(\psi(x)(i)=x(i+1)\) untuk \(x\in\{0,1\}^{\Bbb N}\) dan \(i\in\Bbb N\). Tunjukkan bahwa \(\psi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. (ii) Definisikan \(\theta:\Bbb R\to\Bbb R\) dengan menetapkan \(\theta(t)=\fraction{3t}=3t-\lfloor 3t\rfloor\) untuk \(t\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\theta\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk ukuran Cantor sebagaimana didefinisikan dalam 256Hc.

256Ye (e)

Misalkan \(\sequencen{\nu_n}\) barisan ukuran Radon pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa terdapat ukuran Radon \(\nu\) pada \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga setiap \(\nu_n\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap \(\nu\). Petunjuk: carilah barisan \(\sequencen{\alpha_n}\) dari bilangan-bilangan positif ketat sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\nu_n B(\tbf{0},k)<\infty\) untuk setiap \(k\), dan tetapkan \(\nu=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\nu_n\), dengan menggunakan gagasan 256Xe.

256Yf (f)

Suatu himpunan \(G\subseteq\BbbR^{\Bbb N}\) disebut terbuka jika untuk setiap \(x\in G\) terdapat \(n\in\Bbb N\), \(\delta>0\) sedemikian sehingga

Aljabar-sigma Borel dari \(\BbbR^{\Bbb N}\) adalah aljabar-sigma \(\Cal B\) dari subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^{\Bbb N}\) yang dibangkitkan, dalam arti 111Gb, oleh keluarga \(\frak T\) dari himpunan-himpunan terbuka. (i) Tunjukkan bahwa \(\frak T\) merupakan topologi (2A3A). (ii) Tunjukkan bahwa filter \(\Cal F\) pada \(\BbbR^{\Bbb N}\) konvergen ke \(x\in\BbbR^{\Bbb N}\) jika dan hanya jika \(\pi_i[[\Cal F]]\to x(i)\) untuk setiap \(i\in\Bbb N\), dengan \(\pi_i(y)=y(i)\) untuk \(i\in\Bbb N\), \(y\in\BbbR^{\Bbb N}\). (iii) Tunjukkan bahwa \(\Cal B\) merupakan aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh himpunan-himpunan berbentuk \(\{x:x\in \BbbR^{\Bbb N},\,x(i)\le a\}\), dengan \(i\) menjangkau \(\Bbb N\) dan \(a\) menjangkau \(\Bbb R\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(\alpha_i\ge 0\) untuk setiap \(i\in\Bbb N\), maka \(\{x:|x(i)|\le\alpha_i\Forall i\in\Bbb N\}\) kompak.

(v) Tunjukkan bahwa setiap himpunan terbuka dalam \(\BbbR^{\Bbb N}\) merupakan gabungan suatu barisan himpunan tertutup. Petunjuk: perhatikan himpunan-himpunan berbentuk \(\{x:q_i\le x(i)\le q'_i\Forall i\le n\}\), dengan \(q_i\), \(q'_i\in\Bbb Q\) untuk \(i\le n\). (vi) Tunjukkan bahwa jika \(\nu_0\) sebarang ukuran probabilitas dengan domain \(\Cal B\), maka pelengkapannya, \(\nu\), regular dalam terhadap himpunan-himpunan kompak, dan karena itu dapat disebut ‘ukuran Radon pada \(\BbbR^{\Bbb N}\)’. Petunjuk: tunjukkan bahwa terdapat himpunan-himpunan kompak yang ukurannya sedekat yang diinginkan dengan \(1\), dan karena itu setiap himpunan terbuka, dan setiap himpunan tertutup, memuat suatu himpunan K\(_{\sigma}\) dengan ukuran yang sama.

256 Catatan penutup untuk Bagian 256

Ukuran Radon pada ruang Euklides sangat khusus, dan hasil-hasil bagian ini tidak memberikan petunjuk yang jelas mengenai arah perkembangan teori ketika diterapkan pada jenis ruang topologis lain. Dengan bahan di sini Anda dapat mencoba mengembangkan teori ukuran Radon pada ruang metrik lengkap separabel, asalkan Anda menggunakan 256Xa sebagai dasar definisi ‘berhingga secara lokal’. Pada ruang-ruang inilah suatu versi 256C berlaku. (Lihat 256Yf.) Namun, untuk perumuman ke jenis ruang topologis lain, dan untuk bagian-bagian teori yang lebih menarik pada \(\BbbR^r\), saya harus meminta Anda menunggu hingga Jilid 4. Tujuan saya memperkenalkan ukuran Radon di sini sangat terbatas; saya hanya ingin memberikan landasan bagi §257 dan §271 yang cukup kokoh sehingga tidak memerlukan revisi kemudian. Sebenarnya saya kira yang sungguh-sungguh kita perlukan hanyalah ukuran probabilitas Radon.

Kesulitan teknis utama dalam definisi ‘ukuran Radon’ di sini terletak pada tuntutan kelengkapan. Sangat mungkin bahwa untuk segala hal yang dikaji dalam jilid ini, akan lebih sederhana jika kita melihat ukuran berhingga secara lokal dengan domain aljabar himpunan-himpunan Borel. Hal ini akan memaksa kita menggunakan sejumlah uraian tak langsung ketika menangani ukuran Lebesgue itu sendiri dan turunannya, karena ukuran Lebesgue didefinisikan pada aljabar-sigma yang lebih besar; tetapi keberatan yang serius muncul dalam teori yang lebih lanjut, ketika himpunan-himpunan non-Borel dari berbagai jenis menjadi pusat perhatian. Karena tujuan saya dalam buku ini adalah memberikan landasan yang kokoh bagi kajian semua segi teori ukuran, saya meminta Anda bersusah payah sedikit lebih banyak sekarang agar terhindar dari kemungkinan harus menyusun kembali seluruh gagasan Anda nanti. Kesulitan tambahan ini muncul, misalnya, dalam 256D, 256Xe dan 256Xj; karena ukuran Radon yang berbeda didefinisikan pada aljabar-sigma yang berbeda, kita harus memeriksa bahwa dua ukuran Radon yang bersepakat pada himpunan-himpunan kompak, atau pada himpunan-himpunan terbuka, memiliki domain yang sama. Sebagai keuntungannya, sebagian kekuatan 256G timbul dari kenyataan bahwa ukuran citra Radon \(\nu\phi^{-1}\) didefinisikan pada seluruh aljabar-sigma \(\{F:\phi^{-1}[F]\in\dom(\nu)\}\), bukan hanya pada himpunan Borel.

Butir teknis selanjutnya, bahwa ukuran Radon diharapkan berhingga secara lokal, menimbulkan lebih sedikit kesulitan; akibatnya ialah bahwa dari kebanyakan sudut pandang hanya terdapat sedikit perbedaan antara ukuran Radon umum dan ukuran Radon berhingga total. Syarat tambahan yang dengan jelas harus dimasukkan ke dalam hipotesis hasil-hasil seperti 256E dan 256G tidak membebani intuisi maupun ingatan.

Pada dasarnya, kita mempunyai dua definisi ukuran Radon pada ruang Euklides: ukuran Radon adalah ukuran topologis berhingga secara lokal yang regular dalam, dan juga merupakan pelengkapan ukuran Borel berhingga secara lokal. Ekuivalensi kedua definisi ini adalah Teorema 256C. Definisi yang terakhir lebih sesuai untuk 256K, dan yang pertama untuk 256G. ‘Regularitas dalam’ dalam definisi dasar merujuk pada himpunan kompak; kita juga mempunyai bentuk regularitas dalam terhadap himpunan tertutup (256Bb) dan himpunan K\(_{\sigma}\) (256Bc), serta gagasan pelengkap berupa ‘regularitas luar’ terhadap himpunan terbuka (256Xi).