Jerih payah besar yang telah kita curahkan sejauh ini belum juga mendapat pembenaran dari teorema mana pun yang cukup ampuh untuk membuatnya layak. Kini kita sampai pada jantung teori integrasi modern, ‘teorema-teorema konvergensi’, yang menguraikan syarat-syarat yang memungkinkan kita mengintegralkan limit suatu barisan fungsi terintegralkan.
123A Teorema B. Levi
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi bernilai real, semuanya terintegralkan pada \(X\), sedemikian sehingga (i) \(f_n\leae f_{n+1}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) (ii) \(\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n<\infty\). Maka \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) terintegralkan, dan \(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n\).
Catatan Perlu segera saya ulangi kesepakatan-kesepakatan yang saya gunakan di sini. Setiap fungsi \(f_n\) dianggap didefinisikan pada suatu himpunan koterabaikan \(\dom f_n\subseteq X\), seperti dalam 122Nc, dan fungsi limit \(f\) dianggap mempunyai domain
seperti dalam 121Fa. Anda tidak akan kehilangan gagasan penting apa pun jika mengandaikan bahwa setiap \(f_n\) didefinisikan di seluruh \(X\); tetapi pernyataan ‘\(f\) terintegralkan’ mencakup pernyataan ‘\(f\) didefinisikan, sebagai bilangan real, hampir di mana-mana’, dan ini merupakan bagian hakiki dari teorema tersebut.
123B Lema Fatou
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi bernilai real, semuanya terintegralkan pada \(X\). Andaikan setiap \(f_n\) nonnegatif a.e., dan \(\liminf_{n\to\infty}\int f_n<\infty\). Maka \(\liminf_{n\to\infty} f_n\) terintegralkan, dan \(\int\liminf_{n\to\infty}f_n\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\).
Catatan Sekali lagi, teorema ini mencakup pernyataan bahwa \(\liminf_{n\to\infty}f_n(x)\) ada di \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\).
123C Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi bernilai real, semuanya terintegralkan pada \(X\), sedemikian sehingga \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) ada di \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\). Andaikan pula bahwa terdapat suatu fungsi terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(|f_n|\leae g\) untuk setiap \(n\). Maka \(f\) terintegralkan, dan \(\lim_{n\to\infty}\int f_n\) ada serta sama dengan \(\int f\).
Catatan Akhirnya kita telah sampai pada tahap ketika masalah-masalah teknis yang berkaitan dengan fungsi-fungsi terdefinisi sebagian mulai berkurang, atau lebih tepatnya, tertangani secara efisien oleh kesepakatan-kesepakatan yang saya gunakan mengenai penafsiran rumus-rumus seperti ‘\(\limsup\)’.
123D
Sebagai gambaran tentang kekuatan teorema-teorema ini, saya berikan di sini suatu hasil yang merupakan salah satu penerapan standar teori tersebut.
Korolari Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\ooint{a,b}\) suatu interval terbuka tak kosong di dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(f:X\times\ooint{a,b}\to\Bbb R\) suatu fungsi sedemikian sehingga
(i) integral \(F(t)=\int f(x,t)dx\) terdefinisi untuk setiap \(t\in\ooint{a,b}\);
(ii) turunan parsial \(\pd{f}{t}\) dari \(f\) terhadap variabel kedua terdefinisi di setiap titik dalam \(X\times\ooint{a,b}\);
(iii) terdapat fungsi terintegralkan \(g:X\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(|\pd{f}{t}(x,t)|\le g(x)\) untuk setiap \(x\in X\) dan \(t\in\ooint{a,b}\).
Maka turunan \(F'(t)\) dan integral \(\biggerint\pd{f}{t}(x,t)dx\) ada untuk setiap \(t\in\ooint{a,b}\), dan keduanya sama.
Catatan Dalam jilid berikutnya saya menawarkan suatu variasi teorema ini, dengan hipotesis maupun kesimpulannya diperlemah (252Ye).
Latihan
123X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real, semuanya terintegralkan pada \(X\), sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|\) berhingga. Tunjukkan bahwa \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)\) ada di \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\), dan bahwa \(\int f=\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu kasus ketika setiap \(f_n\) nonnegatif.
123Xb (b)
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Andaikan \(T\) sembarang subhimpunan \(\Bbb R\), dan \(\langle f_t\rangle_{t\in T}\) suatu keluarga fungsi, semuanya terintegralkan pada \(X\), sedemikian sehingga, untuk setiap \(t\in T\),
untuk hampir setiap \(x\in X\). Andaikan pula bahwa terdapat suatu fungsi terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(|f_t|\leae g\) untuk setiap \(t\in T\). Tunjukkan bahwa \(t\mapsto\int f_t:T\to\Bbb R\) kontinu.
123Xc (>c) penting
Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan di setiap titik pada \(\coint{0,\infty}\), dan lengkapi interval ini dengan ukuran Lebesgue. Transformasi Laplace (real) darinya ialah fungsi \(F\) yang didefinisikan oleh
untuk semua bilangan real \(s\) yang membuat integral tersebut terdefinisi.
(i) Tunjukkan bahwa jika \(s\in\dom F\) dan \(s'\ge s\), maka \(s'\in\dom F\) (karena \(e^{-s'x}e^{sx}\le 1\) untuk setiap \(x\)). (Bagaimana Anda mengetahui bahwa \(x\mapsto e^{-s'x}e^{sx}\) terukur?)
(ii) Tunjukkan bahwa \(F\) dapat didiferensialkan pada bagian dalam domainnya. Petunjuk: perhatikan bahwa jika \(a_0\in\dom F\) dan \(a_0<a<b\), maka terdapat suatu \(M\) sedemikian sehingga \(xe^{-sx}|f(x)|\le Me^{-a_0x}|f(x)|\) setiap kali \(x\in\coint{0,\infty}\), \(s\in[a,b]\).
(iii) Tunjukkan bahwa jika \(F\) terdefinisi untuk setidaknya satu nilai, maka \(\lim_{s\to\infty}F(s)=0\). Petunjuk: gunakan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue untuk menunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}F(s_n)=0\) setiap kali \(\lim_{n\to\infty}s_n=\infty\).
(iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) mempunyai transformasi Laplace \(F\), \(G\), maka transformasi Laplace dari \(f+g\) adalah \(F+G\), setidaknya pada \(\dom F\cap \dom G\).
123Xd (d)
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi bernilai real, semuanya terintegralkan pada \(X\), sedemikian sehingga terdapat suatu fungsi terintegralkan \(g\) dengan \(|f_n|\leae g\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\limsup_{n\to\infty}f_n\) terintegralkan dan bahwa \(\int\limsup_{n\to\infty}f_n\ge\limsup_{n\to\infty}\int f_n\).
123Y Latihan lanjutan (a)
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) sembarang himpunan dan \(\phi:X\to Y\) sembarang fungsi; misalkan \(\mu\phi^{-1}\) ukuran citra pada \(Y\) (112Xf). Tunjukkan bahwa jika \(h:Y\to\Bbb R\) sembarang fungsi, maka \(h\) terintegralkan terhadap \(\mu\phi^{-1}\) jika dan hanya jika \(h\phi\) terintegralkan terhadap \(\mu\); dalam hal itu kedua integral tersebut sama.
123Yb (b)
Jelaskan cara menyesuaikan 123Xc dengan kasus ketika \(f\) tidak didefinisikan pada suatu subhimpunan terabaikan dari \(\Bbb R\).
123Yc (c)
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(f:X\times\ooint{a,b}\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\int f(x,t)dx\) terdefinisi untuk setiap \(t\in\ooint{a,b}\) dan \(t\mapsto f(x,t)\) kontinu untuk setiap \(x\in X\). Andaikan bahwa \(c\in\ooint{a,b}\) sedemikian sehingga \(\liminf_{t\to c}\int f(x,t)dx<\infty\). Tunjukkan bahwa \(\int\liminf_{t\to c}f(x,t)dx\) terdefinisi dan kurang dari atau sama dengan \(\liminf_{t\to c}\int f(x,t)dx\).
123Yd (d)
Tunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi \(f:\BbbR^2\to\{0,1\}\) sedemikian sehingga (i) integral Lebesgue \(\int f(x,t)dx\) terdefinisi dan sama dengan \(1\) untuk setiap \(t\ne 0\) (ii) fungsi \(x\mapsto\liminf_{t\to 0}f(x,t)\) tidak terukur Lebesgue. (Catatan\/: tentu saja Anda harus memulai konstruksi dari suatu subhimpunan tak-terukur dari \(\Bbb R\); lihat 134B untuk himpunan semacam itu.)
123Ye (e)
Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang ukur. Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\langle\mu_y\rangle_{y\in Y}\) suatu keluarga ukuran pada \(X\) sedemikian sehingga \(\mu_yX\) berhingga untuk setiap \(y\) dan \(\mu E=\int\mu_yE\,\nu(dy)\) terdefinisi untuk setiap \(E\in\Sigma\). (i) Tunjukkan bahwa \(\mu:\Sigma\to\coint{0,\infty}\) merupakan suatu ukuran. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f:X\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi \(\Sigma\)-terukur, maka \(f\) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika fungsi itu terintegralkan terhadap \(\mu_y\) untuk hampir setiap \(y\in Y\) dan \(\int\bigl(\int fd\mu_y\bigr)\nu(dy)\) terdefinisi, serta bahwa nilai ini dalam hal itu sama dengan \(\int fd\mu\).
123Yf (f)
Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang terukur secara virtual dan semuanya didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Andaikan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n(x)-1|\mu(dx)<\infty\). Tunjukkan bahwa \(\prod_{n=0}^{\infty}f_n(x)\) ada di \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\).
Catatan dan komentar
123 Catatan penutup untuk Bagian 123
Saya berharap 123D dan kasus khususnya, 123Xc, akan membantu meyakinkan Anda bahwa teori di sini mempunyai penerapan yang berguna.
Semua teorema dalam bagian ini dapat dipandang sebagai teorema ‘pertukaran limit’, yang menetapkan syarat-syarat yang memungkinkan
\[\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int\lim_{n\to\infty}f_n,\]
atau
\[\Bover{\partial}{\partial t}{\int}f\,dx=\int\Bover{\partial f}{\partial t}dx.\]
Bahkan untuk fungsi-fungsi yang dapat ditangani dengan metode integrasi yang jauh lebih elementer (misalnya, integral Riemann), teorema-teorema jenis ini dapat menuntut verifikasi pertidaksamaan-pertidaksamaan yang melelahkan. Kekuatan integral Lebesgue terletak pada teorema-teorema umum yang diberikannya, yang mencakup bagian yang cukup besar dari kasus-kasus penting yang muncul dalam praktik. (Namun harus saya akui bahwa tidak ada yang lebih khas dalam analisis terapan daripada kebutuhannya akan hasil-hasil khusus yang berkaitan dengan, tetapi tidak dapat diturunkan dari, teorema-teorema umum yang standar.) Sebagai contoh, dalam 123Xc, fakta bahwa daerah integrasinya merupakan interval tak terbatas \(\coint{0,\infty}\) tidak menambah kesulitan. Tentu saja, ini berkaitan dengan fakta bahwa kita hanya meninjau integral fungsi-fungsi yang nilai mutlaknya terintegralkan.
Limit-limit yang digunakan dalam 123A-123C semuanya merupakan limit barisan; tentu saja, bagian dari hakikat teori ukur ialah bahwa kita berharap dapat menangani keluarga terhitung dari himpunan atau fungsi, tetapi keluarga yang lebih besar dari itu menimbulkan kekhawatiran. Meskipun demikian, terdapat banyak konteks yang memungkinkan kita mengambil jenis limit lain. Saya menguraikan beberapa di antaranya dalam 123D, 123Xb, dan 123Xc(iii). Intinya ialah bahwa dalam limit seperti \(\lim_{t\to u}\phi(t)\), dengan \(u\in[-\infty,\infty]\), kita akan mempunyai \(\lim_{t\to u}\phi(t)=a\) jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\phi(t_n)=a\) setiap kali \(\sequencen{t_n}\) konvergen ke \(u\); sehingga ketika mencari suatu limit \(\lim_{t\to u}\int f_t\), untuk suatu keluarga fungsi \(\langle f_t\rangle_{t\in T}\), cukuplah jika kita dapat menentukan \(\lim_{n\to\infty}\int f_{t_n}\) untuk cukup banyak barisan \(\sequencen{t_n}\). Argumen jenis ini akan efektif bagi setiap limit standar \(\lim_{t\uparrow a}\), \(\lim_{t\downarrow a}\), \(\lim_{t\to a}\), \(\lim_{t\to\infty}\), \(\lim_{t\to-\infty}\) dari kalkulus dasar, dan dapat digunakan bersama dengan teorema B. Levi ataupun teorema Lebesgue. Barangkali perlu saya catat bahwa suatu kesulitan muncul dalam perluasan serupa dari lema Fatou (123Yc-123Yd).