ℒ⁰ dan L⁰ — Fondasi Teori Ukuran

Tujuan utama bab ini adalah membahas ruang-ruang \(L^1\), \(L^{\infty}\), dan \(L^p\) dalam tiga bagian berikutnya. Namun, akan lebih mudah jika semua ruang tersebut dipandang sebagai subruang dari ruang yang lebih besar, yaitu \(L^0\), yang terdiri atas kelas-kelas ekuivalensi fungsi-fungsi yang (secara maya) terukur; dalam bagian ini saya menghimpun fakta-fakta dasar mengenai ruang linear terurut \(L^0\).

Hampir dapat dikatakan bahwa prinsip pertama teori ukuran adalah bahwa himpunan-himpunan berukuran nol sering kali dapat diabaikan; frasa ‘himpunan terabaikan’ itu sendiri menegaskan prinsip ini. Oleh karena itu, dua fungsi yang sama hampir di mana-mana sering kali (tidak selalu!) dapat diperlakukan sebagai identik. Ungkapan yang sesuai bagi gagasan ini adalah membentuk ruang kelas-kelas ekuivalensi fungsi, dengan menyatakan bahwa dua fungsi ekuivalen jika keduanya sama pada suatu himpunan koterabaikan. Inilah landasan semua konstruksi dalam bab ini. Merupakan fakta yang mengagumkan bahwa ruang-ruang kelas ekuivalensi yang dibangun dengan cara ini justru lebih sesuai untuk masalah-masalah tertentu daripada ruang fungsi asalnya; setelah tekniknya dikuasai, berpikir dalam ruang yang lebih abstrak itu pun menjadi lebih mudah.

241A Ruang \(\eusm L^0\): Definisi

Kini tiba waktunya untuk memberi nama kepada suatu himpunan fungsi yang telah digunakan lebih dari sekali. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Saya menulis \(\eusm L^0\), atau \(\eusm L^0(\mu)\), untuk ruang fungsi-fungsi bernilai riil \(f\) yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan terukur secara maya, artinya, \(f\restr E\) terukur untuk suatu himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\). Ingat bahwa \(f\) terukur secara maya terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika fungsi itu terukur terhadap \(\hat\Sigma\), dengan \(\hat\Sigma\) kelengkapan dari \(\Sigma\) (212Fa).

241B Sifat-sifat dasar

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sebarang, maka kita mempunyai fakta-fakta berikut, yang bersesuaian dengan sifat-sifat dasar fungsi terukur yang tercantum dalam §121 Jilid 1. Saya membahasnya satu demi satu, sehingga jika Jilid 1 ada di tangan Anda, Anda dapat melihat bagian mana yang harus dilewati.

(a) Fungsi konstan bernilai riil yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\) termasuk dalam \(\eusm L^0\) (121Ea).

241Bb (b)

\(f+g\in\eusm L^0\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\) (sebab jika \(f\restr F\) dan \(g\restr G\) terukur, maka \((f+g)\restr(F\cap G)=(f\restr F)+(g\restr G)\) terukur) (121Eb).

241Bc (c)

\(cf\in\eusm L^0\) untuk semua \(f\in\eusm L^0\), \(c\in\Bbb R\) (121Ec).

241Bd (d)

\(f\times g\in\eusm L^0\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\) (121Ed).

241Be (e)

Jika \(f\in\eusm L^0\) dan \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) terukur Borel, maka \(hf\in\eusm L^0\) (121Eg).

241Bf (f)

Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\) dan \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) didefinisikan (sebagai fungsi bernilai riil) hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\in\eusm L^0\) (121Fa).

241Bg (g)

Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\) dan \(f=\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) didefinisikan (sebagai fungsi bernilai riil) hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\in\eusm L^0\) (121Fb).

241Bh (h)

Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\) dan \(f=\inf_{n\in\Bbb N}f_n\) didefinisikan (sebagai fungsi bernilai riil) hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\in\eusm L^0\) (121Fc).

241Bi (i)

Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\) dan \(f=\limsup_{n\to\infty}f_n\) didefinisikan (sebagai fungsi bernilai riil) hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\in\eusm L^0\) (121Fd).

241Bj (j)

Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\) dan \(f=\liminf_{n\to\infty}f_n\) didefinisikan (sebagai fungsi bernilai riil) hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\in\eusm L^0\) (121Fe).

241Bk (k)

\(\eusm L^0\) tepat merupakan himpunan fungsi-fungsi bernilai riil, yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan sama hampir di mana-mana dengan suatu fungsi terukur terhadap \(\Sigma\) dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Bukti. (i) Jika \(g:X\to\Bbb R\) terukur terhadap \(\Sigma\) dan \(f\eae g\), maka \(F=\{x:x\in\dom f,\,f(x)=g(x)\}\) koterabaikan dan \(f\restr F=g\restr F\) terukur (121Eh), sehingga \(f\in\eusm L^0\). (ii) Jika \(f\in\eusm L^0\), ambil himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur. Maka \(D=E\cap\dom f\) koterabaikan dan \(f\restr D\) terukur, sehingga terdapat fungsi terukur \(h:X\to\Bbb R\) yang sama dengan \(f\) pada \(D\) (121I); dan \(h\eae f\). ∎

241C Ruang \(L^0\): Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sebarang. Maka \(\eae\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(\eusm L^0\). Tuliskan \(L^0\), atau \(L^0(\mu)\), untuk himpunan kelas-kelas ekuivalensi dalam \(\eusm L^0\) terhadap \(\eae\). Untuk \(f\in\eusm L^0\), tuliskan \(f^{\ssbullet}\) untuk kelas ekuivalensinya dalam \(L^0\).

241D Struktur linear \(L^0\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sebarang, dan tetapkan \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), \(L^0=L^0(\mu)\).

241Da (a)

Jika \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\), \(g_2\in\eusm L^0\), \(f_1\eae f_2\) dan \(g_1\eae g_2\), maka \(f_1+g_1\eae f_2+g_2\). Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan penjumlahan pada \(L^0\) dengan menetapkan \(f^{\ssbullet}+g^{\ssbullet}=(f+g)^{\ssbullet}\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\).

241Db (b)

Jika \(f_1\), \(f_2\in\eusm L^0\) dan \(f_1\eae f_2\), maka \(cf_1\eae cf_2\) untuk setiap \(c\in\Bbb R\). Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan perkalian skalar pada \(L^0\) dengan menetapkan \(c\cdot f^{\ssbullet}=(cf)^{\ssbullet}\) untuk semua \(f\in\eusm L^0\) dan \(c\in\Bbb R\).

241Dc (c)

Kini \(L^0\) merupakan ruang linear atas \(\Bbb R\), dengan nol \(\tbf{0}^{\ssbullet}\), dengan \(\tbf{0}\) fungsi berdomain \(X\) dan bernilai konstan \(0\), serta negatif \(-(f^{\ssbullet})=(-f)^{\ssbullet}\). Bukti. (i) \(f+(g+h)=(f+g)+h\) untuk semua \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^0\), sehingga \(u+(v+w)=(u+v)+w\) untuk semua \(u\), \(v\), \(w\in L^0\). (ii) \(f+\tbf{0}=\tbf{0}+f=f\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\), sehingga \(u+\tbf{0}^{\ssbullet}=\tbf{0}^{\ssbullet}+u=u\) untuk setiap \(u\in L^0\). (iii) \(f+(-f)\eae\tbf{0}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\), sehingga \(f^{\ssbullet}+(-f)^{\ssbullet}=\tbf{0}^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\). (iv) \(f+g=g+f\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\), sehingga \(u+v=v+u\) untuk semua \(u\), \(v\in L^0\). (v) \(c(f+g)=cf+cg\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(c\in\Bbb R\), sehingga \(c(u+v)=cu+cv\) untuk semua \(u\), \(v\in L^0\) dan \(c\in\Bbb R\). (vi) \((a+b)f=af+bf\) untuk semua \(f\in\eusm L^0\) dan \(a\), \(b\in\Bbb R\), sehingga \((a+b)u=au+bu\) untuk semua \(u\in L^0\) dan \(a\), \(b\in\Bbb R\). (vii) \((ab)f=a(bf)\) untuk semua \(f\in\eusm L^0\) dan \(a\), \(b\in\Bbb R\), sehingga \((ab)u=a(bu)\) untuk semua \(u\in L^0\) dan \(a\), \(b\in\Bbb R\). (viii) \(1f=f\) untuk semua \(f\in\eusm L^0\), sehingga \(1u=u\) untuk semua \(u\in L^0\). ∎

241E Struktur urutan \(L^0\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sebarang dan tetapkan \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), \(L^0=L^0(\mu)\).

241Ea (a)

Jika \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\), \(g_2\in\eusm L^0\), \(f_1\eae f_2\), \(g_1\eae g_2\), dan \(f_1\leae g_1\), maka \(f_2\leae g_2\). Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan relasi \(\le\) pada \(L^0\) dengan mengatakan bahwa \(f^{\ssbullet}\le g^{\ssbullet}\) jika dan hanya jika \(f\leae g\).

241Eb (b)

Kini \(\le\) merupakan urutan parsial pada \(L^0\). Bukti. (i) Jika \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^0\), \(f\leae g\), dan \(g\leae h\), maka \(f\leae h\). Oleh karena itu, \(u\le w\) kapan pun \(u\), \(v\), \(w\in L^0\), \(u\le v\), dan \(v\le w\). (ii) Jika \(f\in\eusm L^0\), maka \(f\leae f\); jadi \(u\le u\) untuk setiap \(u\in L^0\). (iii) Jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\), \(f\leae g\), dan \(g\leae f\), maka \(f\eae g\), sehingga jika \(u\le v\) dan \(v\le u\), maka \(u=v\). ∎

241Ec (c)

Bahkan \(L^0\), dengan \(\le\), merupakan ruang linear terurut parsial, yakni ruang linear (riil) dengan urutan parsial \(\le\) sedemikian sehingga

jika \(u\le v\), maka \(u+w\le v+w\) untuk setiap \(w\),

jika \(0\le u\), maka \(0\le cu\) untuk setiap \(c\ge 0\).

Bukti. (i) Jika \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^0\) dan \(f\leae g\), maka \(f+h\leae g+h\). (ii) Jika \(f\in\eusm L^0\) dan \(f\ge 0\) hampir di mana-mana, maka \(cf\ge 0\) hampir di mana-mana untuk setiap \(c\ge 0\). ∎

241Ed (d)

Lebih jauh lagi: \(L^0\) merupakan ruang Riesz atau kisi vektor, yakni ruang linear terurut parsial sedemikian sehingga \(u\vee v=\sup\{u,v\}\) dan \(u\wedge v=\inf\{u,v\}\) terdefinisi untuk semua \(u\), \(v\in L^0\). Bukti. Ambil \(f\), \(g\in\eusm L^0\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). Maka \(f\vee g\), \(f\wedge g\in\eusm L^0\), dengan menuliskan \((f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\), \((f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\) untuk \(x\in\dom f\cap\dom g\). (Bandingkan 241Bg-h.) Kini, untuk sebarang \(h\in\eusm L^0\), kita mempunyai \(f\vee g\leae h\iff f\leae h\) dan \(g\leae h\), \(h\leae f\wedge g\iff h\leae f\) dan \(h\leae g\), sehingga untuk sebarang \(w\in L^0\) kita mempunyai \((f\vee g)^{\ssbullet}\le w\iff u\le w\) dan \(v\le w\), \(w\le(f\wedge g)^{\ssbullet}\iff w\le u\) dan \(w\le v\). Jadi, kita memperoleh \((f\vee g)^{\ssbullet}=\sup\{u,v\}=u\vee v\), \((f\wedge g)^{\ssbullet}=\inf\{u,v\}=u\wedge v\) dalam \(L^0\). ∎

241Ee (e)

Khususnya, untuk sebarang \(u\in L^0\) kita dapat membicarakan \(|u|=u\vee(-u)\); jika \(f\in\eusm L^0\), maka \(|f^{\ssbullet}|=|f|^{\ssbullet}\).

Jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\), \(c\in\Bbb R\), maka

\(|cf|=|c||f|\), \(f\vee g=\Bover12(f+g+|f-g|)\), \(f\wedge g=\Bover12(f+g-|f-g|)\), \(|f+g|\leae|f|+|g|\), sehingga

\(|cu|=|c||u|\), \(u\vee v=\Bover12(u+v+|u-v|)\),

\(u\wedge v=\Bover12(u+v-|u-v|)\), \(|u+v|\le|u|+|v|\)

untuk semua \(u\), \(v\in L^0\).

241Ef (f)

Suatu notasi khusus sering kali berguna. Jika \(f\) fungsi bernilai riil, tetapkan \(f^+(x)=\max(f(x),0)\), \(f^-(x)=\max(-f(x),0)\) untuk \(x\in\dom f\), sehingga

\(f=f^+-f^-\), \(|f|=f^++f^-=f^+\vee f^-\),

dengan semua fungsi tersebut didefinisikan pada \(\dom f\). Dalam \(L^0\), operasi-operasi yang bersesuaian adalah \(u^+=u\vee 0\), \(u^-=(-u)\vee 0\), dan kita mempunyai

\(u=u^+-u^-\), \(|u|=u^++u^-=u^+\vee u^-\), \(u^+\wedge u^-=0\).

241Eg (g)

Jika \(u\ge 0\) dalam \(L^0\), maka terdapat \(f\ge 0\) dalam \(\eusm L^0\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). Bukti. Ambil sebarang \(g\in\eusm L^0\) sedemikian sehingga \(u=g^{\ssbullet}\), dan tetapkan \(f=g\vee\tbf{0}\). ∎

241F Ruang Riesz

Terdapat teori abstrak yang luas mengenai ruang Riesz, yang menurut saya sebaiknya kita kesampingkan untuk saat ini; uraian umum dapat ditemukan dalam Luxemburg \& Zaanen 71 dan Zaanen 83; buku saya sendiri Fremlin 74 membahas bahan elementernya, dan Bab 35 dalam jilid berikutnya mengulangi gagasan-gagasan yang paling esensial. Untuk keperluan kita di sini, kita hanya memerlukan beberapa definisi dan sejumlah hasil sederhana yang paling mudah dibuktikan untuk kasus-kasus khusus yang kita butuhkan, tanpa mengacu pada teori umum.

(a) Suatu ruang Riesz \(U\) disebut Archimedes jika kapan pun \(u\in U\), \(u>0\) (artinya, \(u\ge 0\) dan \(u\ne 0\)), dan \(v\in U\), terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(nu\not\le v\).

241Fb (b)

Suatu ruang Riesz \(U\) disebut lengkap-\(\sigma\) Dedekind (atau lengkap-\(\sigma\) menurut urutan, atau lengkap-\(\sigma\)) jika setiap himpunan tak kosong terhitung \(A\subseteq U\) yang terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil dalam \(U\).

241Fc (c)

Suatu ruang Riesz \(U\) disebut lengkap Dedekind (atau lengkap menurut urutan, atau lengkap) jika setiap himpunan tak kosong \(A\subseteq U\) yang terbatas di atas dalam \(U\) mempunyai batas atas terkecil dalam \(U\).

241G

Kini kita mempunyai sifat-sifat penting \(L^0\) berikut.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tetapkan \(L^0=L^0(\mu)\).

(a) \(L^0\) bersifat Archimedes dan lengkap-\(\sigma\) Dedekind.

(b) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, maka \(L^0\) lengkap Dedekind jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

Bukti

Tetapkan \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\).

(a)(i) Jika \(u\), \(v\in L^0\) dan \(u>0\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\) dengan \(f\), \(g\in\eusm L^0\). Maka \(E=\{x:x\in\dom f,\,f(x)>0\}\) tidak terabaikan. Jadi, terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(E_n=\{x:x\in\dom f\cap\dom g,\,nf(x)>g(x)\}\)

tidak terabaikan, sebab \(E\cap\dom g\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Tetapi sekarang \(nu\not\le v\). Karena \(u\) dan \(v\) sebarang, \(L^0\) bersifat Archimedes.

(ii) Sekarang misalkan \(A\subseteq L^0\) suatu himpunan tak kosong terhitung dengan batas atas \(w\) dalam \(L^0\). Nyatakan \(A\) sebagai \(\{f_n^{\ssbullet}:n\in\Bbb N\}\) dengan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^0\), dan \(w\) sebagai \(h^{\ssbullet}\) dengan \(h\in\eusm L^0\). Tetapkan \(f=\sup_{n\in\Bbb N}f_n\). Maka \(f(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) di setiap titik \(x\in\dom h\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\) sedemikian sehingga \(f_n(x)\le h(x)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), yakni untuk hampir setiap \(x\in X\); jadi \(f\in\eusm L^0\) (241Bg). Tetapkan \(u=f^{\ssbullet}\in L^0\). Jika \(v\in L^0\), katakanlah \(v=g^{\ssbullet}\) dengan \(g\in\eusm L^0\), maka

\[\begin{aligned}u_n\le v&\text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\\ &\iff\text{ untuk setiap }n\in\Bbb N,\,f_n\leae g\\ &\iff\text{ untuk hampir setiap }x\in X,\,f_n(x)\le g(x) \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\\ &\iff f\leae g \iff u\le v.\\\end{aligned}\]

Jadi, \(u=\sup_{n\in\Bbb N}u_n\) dalam \(L^0\). Karena \(A\) sebarang, \(L^0\) lengkap-\(\sigma\) Dedekind.

(b)(i) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan. Misalkan \(A\subseteq L^0\) sebarang himpunan tak kosong dengan batas atas \(w_0\in L^0\). Tetapkan

\(\Cal A=\{f:f\) fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R,\,f^{\ssbullet}\in A\}\);

maka setiap anggota \(A\) berbentuk \(f^{\ssbullet}\) untuk suatu \(f\in\Cal A\) (241Bk). Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), misalkan \(\Cal E_q\) keluarga subhimpunan \(X\) yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\{x:f(x)\ge q\}\) untuk suatu \(f\in\Cal A\); maka \(\Cal E_q\subseteq\Sigma\). Karena \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, terdapat himpunan \(F_q\in\Sigma\) yang merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E_q\). Untuk \(x\in X\), tetapkan

\(g^*(x)=\sup\{q:q\in\Bbb Q,\,x\in F_q\}\),

dengan mengizinkan \(\infty\) sebagai supremum suatu himpunan yang tidak terbatas di atas, dan \(-\infty\) sebagai \(\sup\emptyset\). Maka

\(\{x:g^*(x)>a\}=\bigcup_{q\in\Bbb Q,q>a}F_q\in\Sigma\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

Jika \(f\in\Cal A\), maka \(f\leae g^*\). Bukti. Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), tetapkan

\(E_q=\{x:f(x)\ge q\}\in\Cal E_q\);

maka \(E_q\setminus F_q\) terabaikan. Tetapkan \(H=\bigcup_{q\in\Bbb Q}(E_q\setminus F_q)\). Jika \(x\in X\setminus H\), maka

\(f(x)\ge q\Longrightarrow g^*(x)\ge q\),

sehingga \(f(x)\le g^*(x)\); jadi \(f\leae g^*\). ∎

Jika \(h:X\to\Bbb R\) terukur dan \(u\le h^{\ssbullet}\) untuk setiap \(u\in A\), maka \(g^*\leae h\). Bukti. Tetapkan \(G_q=\{x:h(x)\ge q\}\) untuk setiap \(q\in\Bbb Q\). Jika \(E\in\Cal E_q\), terdapat \(f\in\Cal A\) sedemikian sehingga \(E=\{x:f(x)\ge q\}\); kini \(f\leae h\), sehingga \(E\setminus G_q\subseteq\{x:f(x)>h(x)\}\) terabaikan. Karena \(F_q\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E_q\), \(F_q\setminus G_q\) terabaikan; dan ini berlaku untuk setiap \(q\in\Bbb Q\). Akibatnya,

\(\{x:h(x)<g^*(x)\} \subseteq\bigcup_{q\in\Bbb Q}F_q\setminus G_q\)

terabaikan, dan \(g^*\leae h\). ∎

Kini ingat bahwa kita mengandaikan \(A\ne\emptyset\) dan bahwa \(A\) mempunyai batas atas \(w_0\in L^0\). Ambil sebarang \(f_0\in\Cal A\) dan fungsi terukur \(h_0:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(h_0^{\ssbullet}=w_0\); maka \(f\leae h_0\) untuk setiap \(f\in\Cal A\), sehingga \(f_0\leae g^*\leae h_0\), dan \(g^*\) harus berhingga hampir di mana-mana. Dengan menetapkan \(g(x)=g^*(x)\) ketika \(g^*(x)\in\Bbb R\), kita memperoleh \(g\in\eusm L^0\) dan \(g\eae g^*\), sehingga

\(f\leae g\leae h\)

kapan pun \(f\), \(h\) merupakan fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\), \(f^{\ssbullet}\in A\), dan \(h^{\ssbullet}\) merupakan batas atas bagi \(A\); yakni,

\(u\le g^{\ssbullet}\le w\)

kapan pun \(u\in A\) dan \(w\) merupakan batas atas bagi \(A\). Tetapi ini berarti \(g^{\ssbullet}\) merupakan batas atas terkecil bagi \(A\) dalam \(L^0\). Karena \(A\) sebarang, \(L^0\) lengkap Dedekind.

(ii) Misalkan \(L^0\) lengkap Dedekind. Kita mengandaikan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga. Misalkan \(\Cal E\) sebarang subhimpunan dari \(\Sigma\). Tetapkan

\(A=\{0\}\cup\{(\chi E)^{\ssbullet}:E\in\Cal E\}\subseteq L^0\).

Maka \(A\) terbatas di atas oleh \((\chi X)^{\ssbullet}\), sehingga mempunyai batas atas terkecil \(w\in L^0\). Nyatakan \(w\) sebagai \(h^{\ssbullet}\) dengan \(h:X\to\Bbb R\) terukur, dan tetapkan \(F=\{x:h(x)>0\}\). Maka \(F\) merupakan supremum esensial bagi \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Bukti. (\({\alpha}\)) Jika \(E\in\Cal E\), maka \((\chi E)^{\ssbullet}\le w\), sehingga \(\chi E\leae h\), yakni \(h(x)\ge 1\) untuk hampir setiap \(x\in E\), dan \(E\setminus F\subseteq\{x:x\in E,\,h(x)<1\}\) terabaikan. (\({\beta}\)) Jika \(G\in\Sigma\) dan \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\), maka \(\chi E\leae\chi G\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), yakni \((\chi E)^{\ssbullet}\le(\chi G)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(E\in\Cal E\); jadi \(w\le(\chi G)^{\ssbullet}\), yakni \(h\leae\chi G\). Oleh karena itu, \(F\setminus G\subseteq\{x:h(x)>(\chi G)(x)\}\) terabaikan. ∎

Karena \(\Cal E\) sebarang, \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

241H Struktur perkalian \(L^0\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sebarang; tuliskan \(L^0=L^0(\mu)\), \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\).

241Ha (a)

Jika \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\), \(g_2\in\eusm L^0\), \(f_1\eae f_2\), dan \(g_1\eae g_2\), maka \(f_1\times g_1\eae f_2\times g_2\). Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan perkalian pada \(L^0\) dengan menetapkan \(f^{\ssbullet}\times g^{\ssbullet}=(f\times g)^{\ssbullet}\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\).

241Hb (b)

Untuk semua \(u\), \(v\), \(w\in L^0\) dan \(c\in\Bbb R\),

\(u\times(v\times w)=(u\times v)\times w\),

\(u\times e=e\times u=u\),

dengan \(e=\chi X^{\ssbullet}\) kelas ekuivalensi fungsi yang bernilai konstan \(1\),

\(c(u\times v)=cu\times v=u\times cv\),

\(u\times(v+w)=(u\times v)+(u\times w)\),

\((u+v)\times w=(u\times w)+(v\times w)\),

\(u\times v=v\times u\),

\(|u\times v|=|u|\times |v|\),

\(u\times v=0\) jika dan hanya jika \(|u|\wedge|v|=0\),

\(|u|\le|v|\) jika dan hanya jika terdapat \(w\) sedemikian sehingga \(|w|\le e\) dan \(u=v\times w\).

241I Aksi fungsi Borel pada \(L^0\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur Borel. Maka \(hf\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\) (241Be) dan \(hf\eae hg\) kapan pun \(f\eae g\). Jadi kita mempunyai fungsi \(\bar h:L^0\to L^0\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\bar h(f^{\ssbullet})=(hf)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\). Sebagai contoh, jika \(u\in L^0\) dan \(p\ge 1\), kita dapat meninjau \(|u|^p=\bar h(u)\) dengan \(h(x)=|x|^p\) untuk \(x\in\Bbb R\).

241J \(L^0\) kompleks

Gagasan-gagasan dalam bab ini, seperti halnya dalam Bab 22-23, sering diterapkan pada ruang-ruang yang berdasarkan fungsi bernilai kompleks, bukan fungsi bernilai riil. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

241Ja (a)

Kita dapat menuliskan \(\eusm L^0_{\Bbb C}=\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\) untuk ruang fungsi-fungsi bernilai kompleks \(f\) sedemikian sehingga \(\dom f\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan terdapat subhimpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur; yakni, sedemikian sehingga bagian riil dan bagian imajiner \(f\) keduanya termasuk dalam \(\eusm L^0(\mu)\). Selanjutnya, \(L^0_{\Bbb C}=L^0_{\Bbb C}(\mu)\) merupakan ruang kelas-kelas ekuivalensi dalam \(\eusm L^0_{\Bbb C}\) terhadap relasi ekuivalensi \(\eae\).

241Jb (b)

Dengan menggunakan rumus yang sama seperti dalam 241D, mudah untuk mendeskripsikan penjumlahan dan perkalian skalar yang menjadikan \(L^0_{\Bbb C}\) ruang linear atas \(\Bbb C\). Kita tidak lagi mempunyai struktur urutan yang persis sama, tetapi kita dapat mengidentifikasi suatu ‘bagian riil’, yaitu

\(\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^0_{\Bbb C}\) bernilai riil hampir di mana-mana\(\}\),

yang jelas dapat diidentifikasi dengan ruang linear riil \(L^0\), serta peta-peta yang bersesuaian \(u\mapsto\Real(u)\), \(u\mapsto\Imag(u):L^0_{\Bbb C}\to L^0\) sedemikian sehingga \(u=\Real(u)+i\Imag(u)\) untuk setiap \(u\). Selain itu, kita mempunyai pengertian ‘modulus’, dengan menuliskan

\(|f^{\ssbullet}|=|f|^{\ssbullet}\in L^0\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0_{\Bbb C}\),

yang memenuhi relasi dasar \(|cu|=|c||u|\), \(|u+v|\le|u|+|v|\) untuk \(u\), \(v\in L^0_{\Bbb C}\) dan \(c\in\Bbb C\), seperti dalam 241Ef. Kita tentu saja masih mempunyai perkalian pada \(L^0_{\Bbb C}\), dan semua rumus dalam 241H tetap berlaku untuknya.

241Jc (c)

Fakta berikut berguna. Untuk sebarang \(u\in L^0_{\Bbb C}\), \(|u|\) merupakan supremum dalam \(L^0\) dari \(\{\Real(\zeta u):\zeta\in\Bbb C,\,|\zeta|=1\}\). Bukti. (i) Jika \(|\zeta|=1\), maka \(\Real(\zeta u)\le|\zeta u|=|u|\). Jadi, \(|u|\) merupakan batas atas dari \(\{\Real(\zeta u):|\zeta|=1\}\). (ii) Jika \(v\in L^0\) dan \(\Real(\zeta u)\le v\) kapan pun \(|\zeta|=1\), nyatakan \(u\), \(v\) sebagai \(f^{\ssbullet}\), \(g^{\ssbullet}\) dengan \(f:X\to\Bbb C\) dan \(g:X\to\Bbb R\) terukur. Untuk sebarang \(q\in\Bbb Q\), \(x\in X\), tetapkan \(f_q(x)=\Real(e^{iq}f(x))\). Maka \(f_q\leae g\). Oleh karena itu, \(H=\{x:f_q(x)\le g(x)\) untuk setiap \(q\in\Bbb Q\}\) koterabaikan. Tetapi tentu saja \(H=\{x:|f(x)|\le g(x)\}\), sehingga \(|f|\leae g\) dan \(|u|\le v\). Karena \(v\) sebarang, \(|u|\) merupakan batas atas terkecil dari \(\{\Real(\zeta u):|\zeta|=1\}\). ∎

Latihan

241X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan misalkan \(\mu\) ukuran cacah pada \(X\) (112Bd). Tunjukkan bahwa \(L^0(\mu)\) dapat diidentifikasi dengan \(\eusm L^0(\mu)=\Bbb R^X\).

241Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\hat\mu\) kelengkapan dari \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\eusm L^0(\mu)=\eusm L^0(\hat\mu)\) dan \(L^0(\mu)=L^0(\hat\mu)\).

241Xc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. (i) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(u\in L^0(\mu)\) kita dapat mendefinisikan suatu ukuran luar \(\theta_u:\Cal P\Bbb R\to[0,\infty]\) dengan menuliskan \(\theta_u(A)=\mu^*f^{-1}[A]\) kapan pun \(A\subseteq\Bbb R\) dan \(f\in\eusm L^0(\mu)\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). (ii) Tunjukkan bahwa ukuran yang didefinisikan dari \(\theta_u\) dengan metode Carathéodory mengukur setiap subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\).

241Xd (d)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang ukur, dengan jumlah langsung \((X,\Sigma,\mu)\) (214L). (i) Dengan menuliskan \(\phi_i:X_i\to X\) untuk peta kanonik (dalam konstruksi 214L, \(\phi_i(x)=(x,i)\) untuk \(x\in X_i\)), tunjukkan bahwa \(f\mapsto\langle f\phi_i\rangle_{i\in I}\) merupakan bijeksi antara \(\eusm L^0(\mu)\) dan \(\prod_{i\in I}\eusm L^0(\mu_i)\). (ii) Tunjukkan bahwa ini bersesuaian dengan suatu bijeksi antara \(L^0(\mu)\) dan \(\prod_{i\in I}L^0(\mu_i)\).

241Xe (e)

Misalkan \(U\) suatu ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind dan \(A\subseteq U\) suatu himpunan tak kosong terhitung yang terbatas di bawah dalam \(U\). Tunjukkan bahwa \(\inf A\) terdefinisi dalam \(U\).

241Xf (f)

Misalkan \(U\) suatu ruang Riesz lengkap Dedekind dan \(A\subseteq U\) suatu himpunan tak kosong yang terbatas di bawah dalam \(U\). Tunjukkan bahwa \(\inf A\) terdefinisi dalam \(U\).

241Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu pelestari ukuran melalui prapeta fungsi. (i) Tunjukkan bahwa kita mempunyai peta \(T:L^0(\nu)\to L^0(\mu)\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(Tg^{\ssbullet}=(g\phi)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(g\in\eusm L^0(\nu)\). (ii) Tunjukkan bahwa \(T\) linear, bahwa \(T(v\times w)=Tv\times Tw\) untuk semua \(v\), \(w\in L^0(\nu)\), dan bahwa \(T(\sup_{n\in\Bbb N}v_n)=\sup_{n\in\Bbb N}Tv_n\) kapan pun \(\sequencen{v_n}\) suatu barisan dalam \(L^0(\nu)\) dengan batas atas dalam \(L^0(\nu)\).

241Xh (>h) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Andaikan \(r\ge 1\) dan \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur Borel. Tunjukkan bahwa terdapat fungsi \(\bar h:L^0(\mu)^r\to L^0(\mu)\) yang didefinisikan dengan menuliskan

\(\bar h(f_1^{\ssbullet},\ldots,f_r^{\ssbullet}) =(h(f_1,\ldots,f_r))^{\ssbullet}\)

untuk \(f_1,\ldots,f_r\in{\eusm L}^0(\mu)\).

241Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(g\), \(h\), \(\sequencen{g_n}\) fungsi-fungsi terukur Borel dari \(\Bbb R\) ke dirinya sendiri; tuliskan \(\bar g\), \(\bar h\), \(\bar g_n\) untuk fungsi-fungsi yang bersesuaian dari \(L^0=L^0(\mu)\) ke dirinya sendiri (241I). (i) Tunjukkan bahwa

\(\bar g(u)+\bar h(u)=\overline{g+h}(u)\), \(\bar g(u)\times\bar h(u)=\overline{g\times h}(u)\), \(\bar g(\bar h(u))=\overline{gh}(u)\)

untuk setiap \(u\in L^0\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(g(t)\le h(t)\) untuk setiap \(t\in\Bbb R\), maka \(\bar g(u)\le\bar h(u)\) untuk setiap \(u\in L^0\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(g\) tak menurun, maka \(\bar g(u)\le\bar g(v)\) kapan pun \(u\le v\) dalam \(L^0\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(h(t)=\sup_{n\in\Bbb N}g_n(t)\) untuk setiap \(t\in\Bbb R\), maka \(\bar h(u)=\sup_{n\in\Bbb N}\bar g_n(u)\) dalam \(L^0\) untuk setiap \(u\in L^0\).

241Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(U\) sebarang ruang Riesz. Untuk \(u\in U\), tuliskan \(|u|=u\vee(-u)\), \(u^+=u\vee 0\), \(u^-=(-u)\vee 0\). Tunjukkan bahwa, untuk sebarang \(u\), \(v\in U\),

\(u=u^+-u^-\), \(|u|=u^++u^-=u^+\vee u^-\), \(u^+\wedge u^-=0\),

\(u\vee v=\Bover12(u+v+|u-v|)=u+(v-u)^+\),

\(u\wedge v=\Bover12(u+v-|u-v|)=u-(u-v)^+\),

\(|u+v|\le|u|+|v|\).

241Yb (b)

Misalkan \(U\) suatu ruang linear terurut parsial dan \(N\) suatu subruang linear dari \(U\) sedemikian sehingga kapan pun \(u\), \(u'\in N\) dan \(u'\le v\le u\), maka \(v\in N\). (i) Tunjukkan bahwa ruang linear hasil bagi \(U/N\) merupakan ruang linear terurut parsial jika kita mengatakan bahwa \(u^{\ssbullet}\le v^{\ssbullet}\) dalam \(U/N\) jika dan hanya jika terdapat \(w\in N\) sedemikian sehingga \(u\le v+w\) dalam \(U\). (ii) Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(U/N\) merupakan ruang Riesz jika \(U\) merupakan ruang Riesz dan \(|u|\in N\) untuk setiap \(u\in N\).

241Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tuliskan \(\eusm L^0_{\Sigma}\) untuk ruang semua fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\), dan \(\eusm N\) untuk subruang dari \(\eusm L^0_{\Sigma}\) yang terdiri atas fungsi-fungsi terukur yang bernilai nol hampir di mana-mana. (i) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^0_{\Sigma}\) merupakan ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind. (ii) Tunjukkan bahwa \(L^0(\mu)\) dapat diidentifikasi, sebagai ruang linear terurut, dengan hasil bagi \(\eusm L^0_{\Sigma}/\eusm N\) sebagaimana didefinisikan dalam 241Yb di atas.

241Yd (d)

Tunjukkan bahwa setiap ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind bersifat Archimedes.

241Ye (e)

Suatu ruang Riesz \(U\) dikatakan memiliki sifat supremum terhitung jika untuk setiap \(A\subseteq U\) yang mempunyai batas atas terkecil dalam \(U\), terdapat \(B\subseteq A\) terhitung sedemikian sehingga \(\sup B=\sup A\). Tunjukkan bahwa jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga, maka ruang itu \(\sigma\)-hingga jika dan hanya jika \(L^0(\mu)\) memiliki sifat supremum terhitung.

241Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\tilde\mu\) versi c.l.d. dari \(\mu\) (213E). (i) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^0(\mu)\subseteq\eusm L^0(\tilde\mu)\). (ii) Tunjukkan bahwa inklusi ini mendefinisikan operator linear \(T:L^0(\mu)\to L^0(\tilde\mu)\) sedemikian sehingga \(T(u\times v)=Tu\times Tv\) untuk semua \(u\), \(v\in L^0(\mu)\). (iii) Tunjukkan bahwa kapan pun \(v>0\) dalam \(L^0(\tilde\mu)\), terdapat \(u\ge 0\) dalam \(L^0(\mu)\) sedemikian sehingga \(0<Tu\le v\). (iv) Tunjukkan bahwa \(T(\sup A)=\sup T[A]\) kapan pun \(A\subseteq L^0(\mu)\) suatu himpunan tak kosong dengan batas atas terkecil dalam \(L^0(\mu)\). (v) Tunjukkan bahwa \(T\) injektif jika dan hanya jika \(\mu\) semihingga. (vi) Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) dapat dilokalkan, maka \(T\) merupakan isomorfisme untuk struktur linear dan urutan dari \(L^0(\mu)\) dan \(L^0(\tilde\mu)\). Petunjuk: 213Hb.

241Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(Y\) sebarang subhimpunan dari \(X\); misalkan \(\mu_Y\) ukuran subruang pada \(Y\). (i) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^0(\mu_Y)=\{f\restrp Y:f\in\eusm L^0(\mu)\}\). (ii) Tunjukkan bahwa terdapat surjeksi kanonik \(T:L^0(\mu)\to L^0(\mu_Y)\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(T(f^{\ssbullet})=(f\restrp Y)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0(\mu)\), yang linear dan multiplikatif serta mempertahankan supremum dan infimum hingga, sehingga (khususnya) \(T(|u|)=|Tu|\) untuk setiap \(u\in L^0(\mu)\). (iii) Tunjukkan bahwa \(T\) injektif jika dan hanya jika \(Y\) mempunyai ukuran luar penuh.

241Yh (h)

Andaikan, dalam 241Yg, bahwa \(Y\in\Sigma\). Jelaskan bagaimana \(L^0(\mu_Y)\) dapat diidentifikasi (sebagai ruang linear terurut) dengan subruang \(\{u:u\times\chi(X\setminus Y)^{\ssbullet}=0\}\) dari \(L^0(\mu)\).

241Yi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak menurun yang kontinu dari kiri. Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq L^0=L^0(\mu)\) suatu himpunan tak kosong dengan supremum \(v\in L^0\), maka \(\bar h(v)=\sup_{u\in A}\bar h(u)\), dengan \(\bar h:L^0\to L^0\) fungsi yang dideskripsikan dalam 241I.

Catatan dan komentar

241-notes Catatan penutup untuk Bagian 241

Sebagaimana disiratkan dalam 241Ya dan 241Yd, sifat-sifat elementer ruang \(L^0\) yang mengisi sebagian besar bagian ini saling bergantung dengan kuat; tidaklah sulit untuk mengembangkan teori ‘aljabar Riesz’ guna memadukan gagasan-gagasan dalam 241H dengan gagasan-gagasan lainnya. (Sesungguhnya, saya menguraikan teori semacam itu dalam §352 di jilid berikutnya, dengan nama ‘aljabar-\(f\)’.)

Jika kita menuliskan \(\eusm L^0_{\Sigma}\) untuk ruang fungsi-fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\), maka \(\eusm L^0_{\Sigma}\) juga merupakan ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind, dan \(L^0\) dapat diidentifikasi dengan hasil bagi \(\eusm L^0_{\Sigma}/\eusm N\), dengan \(\eusm N\) menyatakan himpunan fungsi-fungsi dalam \(\eusm L^0_{\Sigma}\) yang bernilai nol hampir di mana-mana. (Untuk melakukannya dengan tepat, kita memerlukan teori hasil bagi ruang linear terurut; lihat 241Yb-241Yc di atas.) Tentu saja \(\eusm L^0\), sebagaimana saya mendefinisikannya, tidak sepenuhnya merupakan ruang linear. Saya memilih deskripsi \(L^0\) yang sedikit lebih rumit sebagai ruang kelas ekuivalensi dalam \(\eusm L^0\), bukan dalam \(\eusm L^0_{\Sigma}\), sebab dalam praktik sering terjadi bahwa suatu anggota \(L^0\) berasal dari anggota \(\eusm L^0\) yang entah tidak didefinisikan di setiap titik ruang dasarnya, atau tidak sepenuhnya terukur; dan menyesuaikan fungsi semacam itu supaya menjadi anggota \(\eusm L^0_{\Sigma}\), sekalipun sepele, merupakan proses sewenang-wenang yang menurut saya dapat menyimpangkan sifat sejati konstruksi tersebut. Tentu saja argumen yang sama dapat digunakan untuk mendukung ruang yang sedikit lebih besar, yaitu ruang \(\eusm L^0_{\infty}\) dari fungsi yang terukur secara maya terhadap \(\mu\), bernilai \([-\infty,\infty]\), serta didefinisikan dan berhingga hampir di mana-mana, dengan mengandalkan 135E, bukan 121E-121F. Akan tetapi, saya berpendapat bahwa operasi membatasi suatu fungsi dalam \(\eusm L^0_{\infty}\) pada himpunan tempat fungsi itu berhingga bukan sewenang-wenang, melainkan kanonik dan sepenuhnya alami.

Ketika membaca uraian di atas – atau, dalam hal ini, menelusuri bagian lain bab ini – Anda pasti akan memperhatikan berlimpahnya tanda \(^{\ssbullet}\), yang memberi halaman-halaman ini watak khas yang, saya duga, akan terasa tidak sedap dipandang dan menakutkan, atau setidaknya melelahkan, bagi batin. Banyak pengarang, mungkin sebagian besar, lebih suka menyederhanakan tipografi dengan menggunakan simbol yang sama untuk fungsi dalam \(\eusm L^0\) atau \(\eusm L^0_{\Sigma}\) dan untuk kelas ekuivalensinya dalam \(L^0\); bahkan, lazim pula digunakan sintaksis yang tidak membedakan keduanya, sehingga suatu objek yang telah didefinisikan sebagai anggota \(L^0\) tiba-tiba menjadi fungsi dengan nilai-nilai aktual pada titik-titik ruang ukur dasarnya. Saya lebih suka mempertahankan pembedaan yang tegas; Anda harus memutuskan sendiri apakah hendak mengikuti saya. Karena saya telah memilih bentuk yang lebih panjang, saya kira beban pembuktiannya ada pada saya untuk membenarkan keputusan tersebut. (i) Semua orang akan setuju bahwa setidaknya terdapat perbedaan formal antara sebuah fungsi dan sebuah himpunan fungsi. Hal ini sendiri tidak membenarkan keharusan mempertahankan perbedaan tersebut dalam setiap kalimat; uraian matematika akan mustahil jika kita selalu menuntut konsistensi dalam pertanyaan semacam apakah (misalnya) bilangan \(3\) yang termasuk dalam himpunan \(\Bbb N\) bilangan asli merupakan objek yang persis sama dengan bilangan \(3\) yang termasuk dalam himpunan \(\Bbb C\) bilangan kompleks, atau dengan ordinal \(3\). Namun, perbedaan antara sebuah objek dan sebuah himpunan yang memuatnya merupakan perbedaan jenis yang cukup besar untuk membuat setiap kerancuan sangat berbahaya; dan meskipun saya setuju bahwa Anda dapat mempelajari topik ini tanpa menggunakan simbol berbeda untuk \(f\) dan \(f^{\ssbullet}\), saya tidak berpendapat bahwa Anda dapat dengan aman menghindari pembedaan mental itu lebih dari beberapa baris argumen. (ii) Sebagai pengajar, saya harus mengatakan bahwa cukup banyak mahasiswa yang baru pertama kali menjumpai bahan ini tersesat oleh kegagalan apa pun untuk membedakan \(f\) dan \(f^{\ssbullet}\) hingga percaya bahwa pembedaan memang tidak perlu dibuat; dan – sebagai pengajar – saya selalu meminta seorang mahasiswa meyakinkan saya, dengan menuliskan bentuk argumen yang lebih teliti secara benar selama beberapa minggu, bahwa ia memahami manipulasi yang diperlukan, sebelum saya membiarkannya menempuh jalannya sendiri. (iii) Alasan mengapa pembedaan itu dapat dihindari dalam jenis argumen tertentu ialah bahwa ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind \(\eusm L^0_{\Sigma}\) sejajar sedemikian erat dengan ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind \(L^0\) sehingga setiap proposisi yang melibatkan hanya terhitung banyaknya anggota ruang-ruang ini kemungkinan besar berlaku dalam yang satu jika dan hanya jika berlaku dalam yang lain. Menurut pandangan saya, implikasi korespondensi ini berada tepat di jantung teori ukuran. Karena itu, saya lebih suka membuatnya terus-menerus tampak jelas, mengingatkan diri melalui simbolisme bahwa setiap teorema mempunyai kembaran Siam, dan menyambut setiap tantangan untuk mengungkapkan teorema kembar tersebut dalam bahasa yang sesuai. (iv) Ada cara-cara tertentu yang membuat \(\eusm L^0_{\Sigma}\) dan \(L^0\) sungguh-sungguh sangat berbeda, dan banyak gagasan menarik hanya dapat diungkapkan dalam bahasa yang memisahkan keduanya dengan jelas.

Selama lebih dari separuh hidup saya hingga sekarang, saya merasa bahwa butir-butir tersebut secara bersama-sama merupakan alasan yang cukup untuk secara konsisten mempertahankan pembedaan formal antara \(f\) dan \(f^{\ssbullet}\). Anda mungkin merasa bahwa dalam butir (iii) dan (iv) pada paragraf terakhir saya mencoba mempertahankan dua posisi sekaligus; saya berargumen bahwa baik kemiripan maupun perbedaan antara \(L^0\) dan \(\eusm L^0\) mendukung pendirian saya. Memang, itulah persis pendirian saya. Jika keduanya sama sekali berbeda, penggunaan bahasa yang sama untuk keduanya tidak akan menimbulkan kerancuan; jika keduanya pada dasarnya sama, tidak akan menjadi masalah jika kadang-kadang tidak jelas yang mana yang sedang kita bicarakan.