Teorema Kelas Monoton — Fondasi Teori Ukuran

Pada bagian terakhir jilid ini, saya menyajikan dua teorema mengenai aljabar-\(\sigma\) beserta beberapa akibat sederhana. Hasil-hasil ini ditempatkan di sini karena saya tidak menemukan tempat alami untuknya dalam Jilid 2. Walaupun keduanya (terutama 136B) merupakan bagian dari teknik dasar teori ukuran dan memiliki banyak penerapan yang tersebar luas, keduanya tidak sentral bagi pendekatan khusus yang saya pilih dan, jika Anda menghendakinya, dapat dikesampingkan sampai diperlukan.

136A Lema

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(X\in\Cal A\), \(B\setminus A\in\Cal A\) kapan pun \(A\), \(B\in\Cal A\) dan \(A\subseteq B\), dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) kapan pun \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Cal A\);

(ii) \(\emptyset\in\Cal A\), \(X\setminus A\in\Cal A\) untuk setiap \(A\in\Cal A\), dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) kapan pun \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\Cal A\).

Bukti

(i)\(\Rightarrow\)(ii) Andaikan (i) benar. Tentu saja \(\emptyset=X\setminus X\) termasuk dalam \(\Cal A\) dan \(X\setminus A\in\Cal A\) untuk setiap \(A\in\Cal A\). Jika \(A\), \(B\in\Cal A\) saling lepas, maka \(A\subseteq X\setminus B\in\Cal A\), sehingga \((X\setminus B)\setminus A\) dan komplemennya \(A\cup B\) termasuk dalam \(\Cal A\). Jadi, jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\Cal A\), \(\bigcup_{i\le n}A_i\in\Cal A\) untuk setiap \(n\), dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\) adalah gabungan suatu barisan tak-menurun dalam \(\Cal A\), sehingga termasuk dalam \(\Cal A\). Dengan demikian (ii) benar.

(ii)\(\Rightarrow\)(i) Jika (ii) benar, maka tentu saja \(X=X\setminus\emptyset\) termasuk dalam \(\Cal A\). Jika \(A\) dan \(B\) adalah anggota \(\Cal A\) sedemikian sehingga \(A\subseteq B\), maka \(X\setminus B\) termasuk dalam \(\Cal A\) dan saling lepas dengan \(A\), sehingga \(A\cup(X\setminus B)\) dan komplemennya \(B\setminus A\) termasuk dalam \(\Cal A\). Dengan demikian klausa kedua (i) terpenuhi. Untuk klausa ketiga, jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Cal A\), maka \(A_0,A_1\setminus A_0,A_2\setminus A_1,\ldots\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\Cal A\), sehingga gabungannya \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\) termasuk dalam \(\Cal A\).

Definisi Jika \(\Cal A\subseteq\Cal PX\) memenuhi syarat-syarat (i) dan/atau (ii) di atas, keluarga tersebut disebut suatu kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

136B Teorema Kelas Monoton

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal A\) suatu kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Andaikan bahwa \(\Cal I\subseteq\Cal A\) sedemikian sehingga \(I\cap J\in\Cal I\) untuk semua \(I\), \(J\in\Cal I\). Maka \(\Cal A\) memuat aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan- subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\).

Bukti

(a) Misalkan \(\frak S\) keluarga kelas-kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang memuat \(\Cal I\). Maka mudah diperiksa, dengan menggunakan (i) atau (ii) dalam 136A, bahwa irisan \(\Sigma=\bigcap\frak S\) juga merupakan suatu kelas Dynkin (bandingkan 111Ga). Karena \(\Cal A\in\frak S\), \(\Sigma\subseteq\Cal A\).

(b) Jika \(H\in\Sigma\), maka

\(\Sigma_H=\{E:E\in\Sigma,\,E\cap H\in\Sigma\}\)

merupakan suatu kelas Dynkin. Bukti. (\(\alpha\)) \(X\cap H=H\in\Sigma\) sehingga \(X\in\Sigma_H\). (\(\beta\)) Jika \(A\), \(B\in\Sigma_H\) dan \(A\subseteq B\), maka \(A\cap H\), \(B\cap H\) termasuk dalam \(\Sigma\) dan \(A\cap H\subseteq B\cap H\); akibatnya

\((B\setminus A)\cap H=(B\cap H)\setminus(A\cap H)\in\Sigma\)

dan \(B\setminus A\in\Sigma_H\). (\(\gamma\)) Jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma_H\), maka \(\sequencen{A_n\cap H}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma\), sehingga

\((\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)\cap H =\bigcup_{n\in\Bbb N}(A_n\cap H)\in\Sigma\)

dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Sigma_H\). ∎

Akibatnya, jika \(I\cap H\in\Sigma\) untuk setiap \(I\in\Cal I\), sehingga \(\Sigma_H\supseteq\Cal I\), maka \(\Sigma_H\in\frak S\) dan harus sama dengan \(\Sigma\).

(c) Berikutnya kita dapati bahwa \(G\cap H\in\Sigma\) untuk semua \(G\), \(H\in\Sigma\). Bukti. Ambil \(I\), \(J\in\Cal I\). Kita tahu bahwa \(I\cap J\in\Cal I\). Karena \(I\) sembarang, \(\Sigma_J=\Sigma\) dan \(H\in\Sigma_J\), yakni \(H\cap J\in\Sigma\). Karena \(J\) sembarang, \(\Sigma_H=\Sigma\) dan \(G\in\Sigma_H\), yakni \(G\cap H\in\Sigma\). ∎

(d) Karena \(\Sigma\) merupakan kelas Dynkin, \(\emptyset=X\setminus X\in\Sigma\). Selain itu,

\(G\cup H =X\setminus((X\setminus G)\cap(X\setminus H))\in\Sigma\)

untuk sembarang \(G\), \(H\in\Sigma\) (menggunakan (c)). Jadi, jika \(\sequencen{G_n}\) merupakan sembarang barisan dalam \(\Sigma\), \(G'_n=\bigcup_{i\le n}G_i\in\Sigma\) untuk setiap \(n\) (dengan induksi pada \(n\)). Namun, \(\sequencen{G'_n}\) sekarang merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma\), sehingga

\(\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n =\bigcup_{n\in\Bbb N}G'_n\in\Sigma\).

Ini berarti bahwa \(\Sigma\) memenuhi semua syarat dalam 111A dan merupakan suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Karena \(\Cal I\subseteq\Sigma\), \(\Sigma\) harus memuat aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma'\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\). Jadi \(\Sigma'\subseteq\Sigma\subseteq\Cal A\), sebagaimana diperlukan.

(Sebenarnya, tentu saja, \(\Sigma=\Sigma'\), karena \(\Sigma'\in\frak S\).)

Catatan Saya pernah melihat hasil ini disebut Teorema Kelas Sierpiński dan Teorema \(\pmb{\pi}\)-\(\pmb{\lambda}\).

136C Akibat

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran yang didefinisikan pada \(X\) dengan domain masing-masing \(\Sigma\), \(\Tau\). Andaikan bahwa \(\mu X=\nu X<\infty\), dan bahwa \(\Cal I\subseteq\Sigma\cap\Tau\) merupakan keluarga himpunan sedemikian sehingga \(\mu I=\nu I\) untuk setiap \(I\in\Cal I\) dan \(I\cap J\in\Cal I\) untuk semua \(I\), \(J\in\Cal I\). Maka \(\mu E=\nu E\) untuk setiap \(E\) dalam aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\).

Bukti

Intinya adalah bahwa

\(\Cal A=\{H:H\in\Sigma\cap\Tau,\,\mu H=\nu H\}\)

merupakan suatu kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Bukti. Saya menggunakan (ii) dalam 136A. Tentu saja \(\emptyset\in\Cal A\). Jika \(A\in\Cal A\), maka

\(\mu(X\setminus A)=\mu X-\mu A=\nu X-\nu A =\nu(X\setminus A)\)

(karena \(\mu X=\nu X<\infty\), sehingga pengurangannya aman), dan \(X\setminus A\in\Cal A\). Jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\Cal A\) dan \(A=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\), maka

\(\mu A=\sum_{n=0}^{\infty}\mu A_n=\sum_{n=0}^{\infty}\nu A_n =\nu A\),

dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\). ∎

Karena \(\Cal I\subseteq\Cal A\), 136B memberi tahu kita bahwa aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma'\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\) termuat dalam \(\Cal A\), yakni, \(\mu\) dan \(\nu\) sama pada \(\Sigma'\).

136D Akibat

Misalkan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran pada \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), yang keduanya didefinisikan, dan bernilai sama, pada semua interval berbentuk

\(\ocint{-\infty,a}=\{x:x\le a\}=\{(\xi_1,\ldots,\xi_r): \xi_i\le\alpha_i\) untuk setiap \(i\le r\}\)

untuk \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\in\BbbR^r\). Andaikan pula bahwa \(\mu\BbbR^r<\infty\). Maka \(\mu\) dan \(\nu\) bernilai sama pada semua subhimpunan Borel dari \(\BbbR^r\).

Bukti

Dalam 136C, ambil \(X=\BbbR^r\) dan \(\Cal I\) sebagai himpunan interval-interval \(\ocint{-\infty,a}\). Maka \(I\cap J\in\Cal I\) untuk semua \(I\), \(J\in\Cal I\), karena \(\ocint{-\infty,a}\cap\ocint{-\infty,b}=\ocint{-\infty,a\wedge b}\), dengan menuliskan \(a\wedge b=(\min(\alpha_1,\beta_1),\ldots,\min(\alpha_r,\beta_r))\) jika \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\), \(b=(\beta_1,\ldots,\beta_r)\in\BbbR^r\). Selain itu, dengan menetapkan \(\tbf{n}=(n,\ldots,n)\) untuk \(n\in\Bbb N\),

\(\nu\BbbR^r=\lim_{n\to\infty}\nu\ocint{-\infty,\tbf{n}} =\lim_{n\to\infty}\mu\ocint{-\infty,\tbf{n}}=\mu\BbbR^r\).

Jadi semua syarat 136C terpenuhi dan \(\mu\), \(\nu\) bernilai sama pada aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\). Namun ini tepat merupakan aljabar-\(\sigma\) himpunan-himpunan Borel, menurut 121J.

136E Aljabar himpunan: Definisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Suatu keluarga \(\Cal E\subseteq\Cal PX\) merupakan suatu aljabar atau medan dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) jika

(i) \(\emptyset\in\Cal E\);

(ii) untuk setiap \(E\in\Cal E\), komplemennya \(X\setminus E\) termasuk dalam \(\Cal E\);

(iii) untuk setiap \(E\), \(F\in\Cal E\), \(E\cup F\in\Cal E\).

136F Catatan-catatan

(a) Saya dapat saja memperkenalkan gagasan ini dalam Bab 11, bersama ‘aljabar-\(\sigma\)’. Saya tidak memperkenalkannya di sana, kecuali dalam beberapa latihan, karena tampaknya sudah cukup banyak definisi baru dalam §111, dan karena tidak ada hal substansial yang ingin saya katakan mengenai aljabar himpunan.

136Fb (b)

Jika \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan- subhimpunan \(X\), maka

\(E\cap F\mskip5mu =X\setminus((X\setminus E)\cup(X\setminus F))\), \(E\setminus F\mskip5mu =E\cap(X\setminus F)\),

\(E_0\cup E_1\cup\ldots\cup E_n\), \(E_0\cap E_1\cap\ldots\cap E_n\)

termasuk dalam \(\Cal E\) untuk semua \(E\), \(F\), \(E_0,\ldots,E_n\in\Cal E\). (Gunakan induksi pada \(n\) untuk yang terakhir.)

136Fc (c)

Suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) (tentu saja) merupakan suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

136G Teorema

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Andaikan bahwa \(\Cal A\subseteq\Cal PX\) merupakan keluarga himpunan sedemikian sehingga

(\(\alpha\)) \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan tak-menurun \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\),

(\(\beta\)) \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan tak-menaik \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\),

(\(\gamma\)) \(\Cal E\subseteq\Cal A\).

Maka \(\Cal A\) memuat aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\).

Bukti

Saya menggunakan gagasan yang sama seperti dalam 136B.

(a) Misalkan \(\frak S\) keluarga semua himpunan \(\Cal S\subseteq\Cal PX\) yang memenuhi (\(\alpha\))-(\(\gamma\)). Maka irisannya \(\Sigma=\bigcap\frak S\) juga memenuhi syarat-syarat tersebut. Karena \(\Cal A\in\frak S\), \(\Sigma\subseteq\Cal A\).

(b) Jika \(H\in\Sigma\), maka

\(\Sigma_H=\{E:E\in\Sigma,\,E\cap H\in\Sigma\}\)

memenuhi syarat-syarat (\(\alpha\))-(\(\beta\)). Bukti. (\(\alpha\)) Jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma_H\), maka \(\sequencen{A_n\cap H}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma\), sehingga

\((\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)\cap H =\bigcup_{n\in\Bbb N}(A_n\cap H)\in\Sigma\)

dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Sigma_H\). (\(\beta\)) Demikian pula, jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menaik dalam \(\Sigma_H\), maka \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\cap H\in\Sigma\) sehingga \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Sigma_H\). ∎

Akibatnya, jika \(E\cap H\in\Sigma\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), sehingga \(\Sigma_H\) juga memenuhi (\(\gamma\)), maka \(\Sigma_H\in\frak S\) dan harus sama dengan \(\Sigma\).

(c) Akibatnya \(G\cap H\in\Sigma\) untuk semua \(G\), \(H\in\Sigma\). Bukti. Ambil \(E\), \(F\in\Cal E\). Kita tahu bahwa \(E\cap F\in\Cal E\). Karena \(E\) sembarang, \(\Sigma_F=\Sigma\) dan \(H\in\Sigma_F\), yakni \(H\cap F\in\Sigma\). Karena \(F\) sembarang, \(\Sigma_H=\Sigma\) dan \(G\in\Sigma_H\), yakni \(G\cap H\in\Sigma\). ∎

(d) Selanjutnya, \(\Sigma^*=\{X\setminus H:H\in\Sigma\}\in\frak S\). Bukti. (\(\alpha\)) Jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Sigma^*\), maka \(\sequencen{X\setminus A_n}\) merupakan barisan tak-menaik dalam \(\Sigma\), sehingga

\(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n=X \setminus\bigcap_{n\in\Bbb N}(X\setminus A_n)\in\Sigma^*\).

(\(\beta\)) Demikian pula, jika \(\sequencen{A_n}\) merupakan barisan tak-menaik dalam \(\Sigma^*\), maka

\(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n =X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}(X\setminus A_n)\in\Sigma^*\).

(\(\gamma\)) Jika \(E\in\Cal E\), maka \(X\setminus E\in\Cal E\) sehingga \(X\setminus E\in\Sigma\) dan \(E\in\Sigma^*\). ∎ Akibatnya \(\Sigma\subseteq\Sigma^*\), yakni \(X\setminus H\in\Sigma\) untuk setiap \(H\in\Sigma\).

(e) Dengan menggabungkan (c) dan (d) dengan fakta bahwa \(X\in\Sigma\) (karena \(X\in\Cal E\)) dan bahwa gabungan suatu barisan tak-menurun dalam \(\Sigma\) termasuk dalam \(\Sigma\) (menurut syarat (\(\alpha\))), kita melihat bahwa argumen yang sama seperti dalam bagian (d) bukti 136B menunjukkan bahwa \(\Sigma\) merupakan suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Jadi, seperti dalam 136B, kita menyimpulkan bahwa aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\) termuat dalam \(\Sigma\) dan karena itu dalam \(\Cal A\).

136H Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sedemikian sehingga \(\mu X<\infty\), dan \(\Cal E\) suatu subaljabar dari \(\Sigma\); misalkan \(\Sigma'\) merupakan aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan- subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\). Jika \(F\in\Sigma'\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(E\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F\symmdiff E)\le\epsilon\).

Bukti

Misalkan \(\Cal A\) keluarga himpunan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga

untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(E\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F\symmdiff E)\le\epsilon\).

Maka \(\Cal A\) merupakan suatu kelas Dynkin. Bukti. Saya memeriksa ketiga syarat dalam 136A(i). (\(\alpha\)) \(X\in\Cal A\) karena \(X\in\Cal E\). (\(\beta\)) Jika \(F_1\), \(F_2\in\Cal A\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(E_1\), \(E_2\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F_i\symmdiff E_i)\le\bover12\epsilon\) untuk kedua \(i\); sekarang \(E_1\setminus E_2\in\Cal E\) dan

\((F_1\setminus F_2)\symmdiff(E_1\setminus E_2) \subseteq(F_1\symmdiff E_1)\cup(F_2\symmdiff E_2)\),

sehingga

\(\mu((F_1\setminus F_2)\symmdiff(E_1\setminus E_2)) \le\mu(F_1\symmdiff E_1)+\mu(F_2\symmdiff E_2)\le\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(F_1\setminus F_2\in\Cal A\). (\(\gamma\)) Jika \(\sequencen{F_n}\) merupakan barisan tak-menurun dalam \(\Cal A\), dengan gabungan \(F\), dan \(\epsilon>0\), maka

\(\lim_{n\to\infty}\mu F_n=\mu F\le\mu X<\infty\),

sehingga terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\mu(F\setminus F_n)\le\bover12\epsilon\). Sekarang terdapat \(E\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\mu(F_n\symmdiff E)\le\bover12\epsilon\); karena \(F\symmdiff E\subseteq(F\setminus F_n)\cup(F_n\symmdiff E)\), \(\mu(F\symmdiff E)\le\epsilon\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(F\in\Cal A\). ∎

Karena \(\Cal E\subseteq\Cal A\) dan \(\Cal E\) tertutup terhadap \(\cap\), \(\Cal A\) memuat aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma'\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\), sebagaimana diklaim.

Latihan

136X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(X\in\Cal A\) dan \(B\setminus A\in\Cal A\) kapan pun \(A\), \(B\in\Cal A\) dan \(A\subseteq B\);

(ii) \(\emptyset\in\Cal A\), \(X\setminus A\in\Cal A\) untuk setiap \(A\in\Cal A\) dan \(A\cup B\in\Cal A\) kapan pun \(A\), \(B\in\Cal A\) saling lepas.

136Xb (b)

Andaikan bahwa \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal A\subseteq\Cal PX\). Tunjukkan bahwa \(\Cal A\) merupakan suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) jika dan hanya jika keluarga itu merupakan suatu kelas Dynkin dan \(A\cap B\in\Cal A\) kapan pun \(A\), \(B\in\Cal A\).

136Xc (c)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal I\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(I\cap J\in\Cal I\) untuk semua \(I\), \(J\in\Cal I\); misalkan \(\Sigma\) merupakan aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\). Misalkan pula \(\mu\) dan \(\nu\) dua ukuran pada \(X\), keduanya berdomain \(\Sigma\), sedemikian sehingga \(\mu I=\nu I<\infty\) untuk setiap \(I\in\Cal I\). Tunjukkan bahwa \(\mu E=\nu E\) kapan pun \(E\in\Sigma\) ditutupi oleh suatu barisan dalam \(\Cal I\). (Petunjuk\/: Untuk \(J\in\Cal I\), tetapkan \(\mu_JE=\mu(E\cap J)\), \(\nu_JE=\nu(E\cap J)\) untuk \(E\in\Sigma\). Gunakan 136C untuk menunjukkan bahwa \(\mu_J=\nu_J\) untuk setiap \(J\).)

136Xd (>d) penting

Tetapkan \(X=\{0,1,2,3\}\), \(\Cal I=\{X,\{0,1\},\{0,2\}\}\). Temukan dua ukuran berbeda \(\mu\), \(\nu\) pada \(X\), keduanya didefinisikan pada aljabar-\(\sigma\) \(\Cal PX\) dan dengan \(\mu I=\nu I<\infty\) untuk setiap \(I\in\Cal I\).

136Xe (e)

Misalkan \(\Sigma\) keluarga subhimpunan \(\coint{0,1}\) yang dapat dinyatakan sebagai gabungan berhingga interval- interval setengah terbuka \(\coint{a,b}\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma\) merupakan suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(\coint{0,1}\).

136Xf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal I\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(I\cap J\in\Cal I\) kapan pun \(I\), \(J\in\Cal I\). Misalkan \(\Sigma\) keluarga himpunan terkecil sedemikian sehingga \(X\in\Sigma\), \(F\setminus E\in\Sigma\) kapan pun \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(E\subseteq F\), dan \(\Cal I\subseteq\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma\) merupakan suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

136Xg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Suatu fungsional \(\nu:\Cal E\to\Bbb R\) disebut aditif (berhingga) jika \(\nu(E\cup F)=\nu E+\nu F\) kapan pun \(E\), \(F\in\Cal E\) dan \(E\cap F=\emptyset\). (i) Tunjukkan bahwa dalam kasus ini \(\nu(E\cup F)+\nu(E\cap F)=\nu E+\nu F\) untuk semua \(E\), \(F\in\Cal E\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\nu E\ge 0\) untuk setiap \(E\in\Cal E\), maka \(\nu(\bigcup_{i\le n}E_i)\le\sum_{i=0}^n\nu E_i\) untuk semua \(E_0,\ldots,E_n\in\Cal E\).

136Xh (>h) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\emptyset\), \(X\) termasuk dalam \(\Cal A\) (\(\beta\)) \(A\cap B\in\Cal A\) untuk semua \(A\), \(B\in\Cal A\) (\(\gamma\)) \(A\cup B\in\Cal A\) kapan pun \(A\), \(B\in\Cal A\) dan \(A\cap B=\emptyset\). Tunjukkan bahwa \(\{A:A\in\Cal A,\,X\setminus A\in\Cal A\}\) merupakan suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

136Xi (>i) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\emptyset\), \(X\) termasuk dalam \(\Cal A\) (\(\beta\)) \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\) (\(\gamma\)) \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\). Tunjukkan bahwa \(\{A:A\in\Cal A,\,X\setminus A\in\Cal A\}\) merupakan suatu aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

136Xj (>j) penting

Misalkan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(\Bbb R\) sedemikian sehingga (i) \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\) (ii) \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\) (iii) setiap interval terbuka \(\ooint{a,b}\) termasuk dalam \(\Cal A\). Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) termasuk dalam \(\Cal A\). (Petunjuk\/: tunjukkan bahwa setiap interval setengah terbuka \(\coint{a,b}\), \(\ocint{a,b}\) termasuk dalam \(\Cal A\), dan karena itu semua interval \(\ocint{-\infty,a}\), \(\coint{a,\infty}\); sekarang gunakan 136Xi.)

136Xk (>k) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan tak-menaik \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\) (\(\beta\)) \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan saling lepas dalam \(\Cal A\) (\(\gamma\)) \(\Cal E\subseteq\Cal A\). Tunjukkan bahwa aljabar-\(\sigma\) himpunan yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\) termuat dalam \(\Cal A\). Petunjuk: gunakan metode 136B untuk mereduksi ke kasus ketika \(A\cap B\in\Cal A\) untuk setiap \(A\), \(B\in\Cal A\); sekarang gunakan 136Xi.

136Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\nu:\Cal E\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsional nonnegatif yang aditif dalam pengertian 136Xg. Definisikan \(\theta:\Cal PX\to\coint{0,\infty}\) dengan menetapkan

\(\theta A=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n:\sequencen{E_n}\) merupakan barisan dalam \(\Cal E\) yang menutupi \(A\}\)

untuk setiap \(A\subseteq X\). (i) Tunjukkan bahwa \(\theta\) merupakan suatu ukuran luar pada \(X\) dan bahwa \(\theta E\le\nu E\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). (ii) Misalkan \(\mu\) ukuran pada \(X\) yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, dan \(\Sigma\) domainnya. Tunjukkan bahwa \(\Cal E\subseteq\Sigma\) dan bahwa \(\mu E\le\nu E\) untuk setiap \(E\in\Cal E\). (iii) Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (\(\alpha\)) \(\mu E=\nu E\) untuk setiap \(E\in\Cal E\) (\(\beta\)) \(\theta X=\nu X\) (\(\gamma\)) kapan pun \(\sequencen{E_n}\) merupakan barisan tak-menaik dalam \(\Cal E\) dengan irisan kosong, \(\lim_{n\to\infty}\nu E_n=0\).

136Yb (b)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Cal E\) suatu aljabar dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\nu\) suatu fungsional aditif nonnegatif pada \(\Cal E\). Misalkan \(\Sigma\) merupakan aljabar-\(\sigma\) dari subhimpunan- subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\). Tunjukkan bahwa terdapat paling banyak satu ukuran \(\mu\) pada \(X\) dengan domain \(\Sigma\) yang memperluas \(\nu\), dan bahwa ukuran demikian ada jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\nu E_n=0\) untuk setiap barisan tak-menaik \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Cal E\) dengan irisan kosong.

136Yc (c)

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Misalkan \(\Cal G\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga (i) \(G\cap H\in\Cal G\) untuk semua \(G\), \(H\in\Cal G\) (ii) untuk setiap \(G\in\Cal G\) terdapat suatu barisan \(\sequencen{G_n}\) dalam \(\Cal G\) sedemikian sehingga \(X\setminus G=\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n\). Misalkan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\emptyset\), \(X\in\Cal A\) (\(\beta\)) \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan tak-menaik \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\) (\(\gamma\)) \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal A\) untuk setiap barisan saling lepas dalam \(\Cal A\) (\(\delta\)) \(\Cal G\subseteq\Cal A\). Tunjukkan bahwa aljabar-\(\sigma\) himpunan yang dibangkitkan oleh \(\Cal G\) termuat dalam \(\Cal A\).

Catatan dan komentar

136 Catatan penutup untuk Bagian 136

Hasil paling berguna di sini adalah 136B; hasil ini akan diperlukan dalam Bab 27, dan berguna pada berbagai bagian lain dalam Jilid 2, sering kali melalui akibat-akibatnya 136C dan 136Xc. Tentu saja 136C, seperti akibatnya 136D dan kasus khususnya 136Yb, hanya dapat digunakan secara langsung pada ukuran yang tidak mengambil nilai \(\infty\), karena kita harus mengetahui bahwa \(\mu(F\setminus E)=\mu F-\mu E\) untuk himpunan terukur \(E\subseteq F\); itulah sebabnya hasil ini menjadi menonjol hanya ketika kita mengkhususkan diri pada ukuran probabilitas (yang seluruh ruangnya berukuran \(1\)). Karena itu saya menyertakan 136Xc untuk menunjukkan teknik yang dapat membawa kita selangkah lebih jauh. Saya rasa kita belum benar-benar siap untuk ukuran umum pada himpunan-himpunan Borel dari \(\BbbR^r\), tetapi saya menyebutkan 136D untuk menunjukkan jenis kelas \(\Cal I\) yang dapat muncul dalam 136B.

Kedua teorema di sini (136B, 136G) menjawab pertanyaan: jika diberikan suatu keluarga himpunan \(\Cal I\), operasi apa yang harus kita lakukan untuk membangun aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal I\)? Untuk \(\Cal I\) sembarang, tentu saja kita mengharapkan perlunya komplemen dan gabungan barisan. Inti teorema-teorema di sini adalah bahwa jika \(\Cal I\) mempunyai sejumlah struktur tertentu, kita dapat mencapai \(\Sigma\) dengan operasi yang lebih terbatas; jadi, jika \(\Cal I\) merupakan suatu aljabar himpunan, maka gabungan dan irisan monoton sudah cukup (136G). Tentu saja terdapat tak terhitung banyaknya variasi atas tema ini. Saya menawarkan 136Xh–136Xj sebagai hasil khas yang benar-benar akan digunakan dalam Jilid 4, dan 136Xk serta 136Yc sebagai contoh modifikasi yang mungkin. Terdapat versi abstrak 136B dalam 313G di Jilid 3.

Setelah mulai mempertimbangkan perluasan suatu aljabar himpunan menjadi suatu aljabar-\(\sigma\), wajar untuk menanyakan syarat-syarat yang memungkinkan suatu fungsional pada aljabar himpunan diperluas menjadi suatu ukuran. Syarat aditivitas (136Xg) jelas diperlukan, dan hampir sama jelasnya bahwa syarat itu tidak mencukupi. Saya menyertakan 136Ya–136Yb sebagai syarat perlu dan cukup yang paling penting di antara banyak syarat agar suatu fungsional aditif dapat diperluas menjadi suatu ukuran. Kita harus kembali ke hal ini dalam Jilid 4.