Lᵖ — Fondasi Teori Ukuran

Melanjutkan peninjauan kita atas ruang-ruang Banach klasik, kita sampai pada ruang-ruang \(L^p\) untuk \(1<p<\infty\). Kasus \(p=2\) lebih penting daripada gabungan semua kasus lainnya, dan masuk akal, bahkan mungkin dianjurkan, untuk pertama-tama membaca bagian ini hanya dengan memikirkan kasus tersebut. Namun ruang-ruang lainnya memberikan contoh yang mendidik dan tetap menjadi bagian dasar pendidikan setiap analis fungsional.

244A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tuliskan \(\eusm L^p=\eusm L^p(\mu)\) untuk himpunan fungsi \(f\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) sedemikian sehingga \(|f|^p\) terintegralkan, dan \(L^p=L^p(\mu)\) untuk \(\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^p\}\subseteq L^0=L^0(\mu)\).

Perhatikan bahwa jika \(f\in\eusm L^p\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(f\eae g\), maka \(|f|^p\eae|g|^p\), sehingga \(|g|^p\) terintegralkan dan \(g\in\eusm L^p\); dengan demikian \(\eusm L^p=\{f:f\in\eusm L^0,\,f^{\ssbullet}\in L^p\}\).

Sebagai alternatif, kita dapat mendefinisikan \(u^p\) setiap kali \(u\in L^0\), \(u\ge 0\) dengan menuliskan \((f^{\ssbullet})^p=(f^p)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\) sedemikian sehingga \(f(x)\ge 0\) untuk setiap \(x\in\dom f\) (bandingkan 241I), dan mengatakan bahwa \(L^p=\{u:u\in L^0,\,|u|^p\in L^1(\mu)\}\).

244B Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in[1,\infty]\).

(a) \(L^p=L^p(\mu)\) merupakan subruang linear dari \(L^0=L^0(\mu)\).

(b) Jika \(u\in L^p\), \(v\in L^0\) dan \(|v|\le |u|\), maka \(v\in L^p\). Akibatnya \(|u|\), \(u\vee v\) dan \(u\wedge v\) termasuk dalam \(L^p\) untuk semua \(u\), \(v\in L^p\).

Bukti

Kasus \(p=1\), \(p=\infty\) tercakup oleh 242B, 242C dan 243B; jadi saya andaikan bahwa \(1<p<\infty\).

(a)(i) Andaikan \(f\), \(g\in\eusm L^p=\eusm L^p(\mu)\). Jika \(a\), \(b\in\Bbb R\), maka \(|a+b|^p\le 2^p\max(|a|^p,|b|^p)\), sehingga \(|f+g|^p\leae 2^p(|f|^p\vee|g|^p)\); sekarang \(|f+g|^p\in\eusm L^0\) dan \(2^p(|f|^p\vee|g|^p)\in\eusm L^1\), sehingga \(|f+g|^p\in\eusm L^1\). Jadi \(f+g\in\eusm L^p\) untuk semua \(f\), \(g\in \eusm L^p\); segera diperoleh bahwa \(u+v\in L^p\) untuk semua \(u\), \(v\in L^p\).

(ii) Jika \(f\in \eusm L^p\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(|cf|^p=|c|^p|f|^p\in\eusm L^1\), sehingga \(cf\in\eusm L^p\). Dengan demikian \(cu\in L^p\) setiap kali \(u\in L^p\) dan \(c\in\Bbb R\).

(b)(i) Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\), dengan \(f\in\eusm L^p\) dan \(g\in\eusm L^0\). Maka \(|g|\leae|f|\), sehingga \(|g|^p\leae|f|^p\) dan \(|g|^p\) terintegralkan; dengan demikian \(g\in\eusm L^p\) dan \(v\in L^p\).

(ii) Sekarang \(|\,|u|\,|=|u|\), sehingga \(|u|\in L^p\) setiap kali \(u\in L^p\). Akhirnya, \(u\vee v=\bover12(u+v+|u-v|)\) dan \(u\wedge v=\bover12(u+v-|u-v|)\) termasuk dalam \(L^p\) untuk semua \(u\), \(v\in L^p\).

244C Struktur terurut \(L^p\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in[1,\infty]\). Maka 244B cukup untuk menjamin bahwa urutan parsial yang diwarisi dari \(L^0(\mu)\) menjadikan \(L^p(\mu)\) suatu ruang Riesz (bandingkan 242C, 243C).

244D Norma \(L^p\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(p\in\ooint{1,\infty}\).

244Da (a)

Untuk \(f\in\eusm L^p=\eusm L^p(\mu)\), tetapkan \(\|f\|_p=(\int|f|^p)^{1/p}\). Jika \(f\), \(g\in\eusm L^p\) dan \(f\eae g\), maka \(|f|^p\eae|g|^p\), sehingga \(\|f\|_p=\|g\|_p\). Dengan demikian kita dapat mendefinisikan \(\|\,\|_p:L^p=L^p(\mu)\to\coint{0,\infty}\) dengan menuliskan \(\|f^{\ssbullet}\|_p=\|f\|_p\) untuk setiap \(f\in\eusm L^p\).

Sebagai alternatif, kita dapat mengatakan saja bahwa \(\|u\|_p=(\int|u|^p)^{1/p}\) untuk setiap \(u\in L^p=L^p(\mu)\).

244Db (b)

Notasi \(\|\,\|_p\) membawa janji bahwa ia merupakan norma pada \(L^p\); ini memang benar, tetapi saya menunda buktinya hingga 244F di bawah. Namun untuk sementara, mari kita perhatikan saja bahwa \(\|cu\|_p=|c|\|u\|_p\) untuk semua \(u\in L^p\) dan \(c\in\Bbb R\), dan bahwa jika \(\|u\|_p=0\), maka \(\int|u|^p=0\), sehingga \(|u|^p=0\) dan \(u=0\).

244Dc (c)

Jika \(|u|\le |v|\) dalam \(L^p\), maka \(\|u\|_p\le\|v\|_p\); ini karena \(|u|^p\le|v|^p\).

244E

Sekarang saya mengerjakan lema-lema yang diperlukan untuk menunjukkan bahwa \(\|\,\|_p\) merupakan norma pada \(L^p\) dan, pada akhirnya, bahwa dual ruang bernorma dari \(L^p\) dapat diidentifikasi dengan \(L^q\) yang sesuai.

Lema Andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(p\), \(q\in\ooint{1,\infty}\) sedemikian sehingga \({1\over p}+{1\over q}=1\).

(a) \(ab\le{1\over p}a^p+{1\over q}b^q\) untuk semua bilangan real \(a\), \(b\ge 0\).

(b)(i) \(f\times g\) terintegralkan dan

\(|\int f\times g|\le\int|f\times g|\le\|f\|_p\|g\|_q\)

untuk semua \(f\in \eusm L^p=\eusm L^p(\mu)\), \(g\in\eusm L^q=\eusm L^q(\mu)\);

(ii) \(u\times v\in L^1=L^1(\mu)\) dan

\(|\int u\times v|\le\|u\times v\|_1\le\|u\|_p\|v\|_q\)

untuk semua \(u\in L^p=L^p(\mu)\), \(v\in L^q=L^q(\mu)\).

Bukti

(a) Jika \(a\) atau \(b\) bernilai \(0\), pernyataan ini sepele. Jika keduanya tak nol, kita dapat berargumen sebagai berikut. Fungsi \(x\mapsto x^{1/p}:\coint{0,\infty}\to\Bbb R\) cekung, dengan turunan kedua yang secara ketat kurang dari \(0\), sehingga seluruhnya terletak di bawah setiap garis singgungnya; khususnya, di bawah garis singgungnya pada titik \((1,1)\), yang mempunyai persamaan \(y=1+{1\over p}(x-1)\). Jadi kita mempunyai

\(x^{1/p}\le\Bover1px+1-\Bover1p=\Bover1px+\Bover1q\)

untuk setiap \(x\in\coint{0,\infty}\). Jadi jika \(c\), \(d>0\), maka

\((\Bover{c}{d})^{1/p}\le \Bover1p\Bover{c}{d}+\Bover1q\);

dengan mengalikan kedua ruas dengan \(d\),

\(c^{1/p}d^{1/q}\le\Bover1pc+\Bover1qd\);

dengan menetapkan \(c=a^p\) dan \(d=b^q\), kita memperoleh

\(ab\le\Bover1pa^p+\Bover1qb^q\),

sebagaimana dinyatakan.

(b)(i)(\(\alpha\)) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(\|f\|_p=\|g\|_q=1\). Untuk setiap \(x\in\dom f\cap\dom g\), kita mempunyai

\(|f(x)g(x)|\le\Bover1p|f(x)|^p+\Bover1q|g(x)|^q\)

menurut (a). Jadi

\(|f\times g|\leae \Bover1p|f|^p+\Bover1q|g|^q\in\eusm L^1(\mu)\)

dan \(f\times g\) terintegralkan; selain itu,

\(\int|f\times g|\le\Bover1p\int|f|^p+\Bover1q\int|g|^q =\Bover1p\|f\|_p^p+\Bover1q\|g\|_q^q =\Bover1p+\Bover1q=1\).

(\(\beta\)) Jika \(\|f\|_p=0\), maka \(\int|f|^p=0\), sehingga \(|f|^p\eae\tbf{0}\), \(f\eae\tbf{0}\), \(f\times g\eae\tbf{0}\) dan

\(\int|f\times g|=0=\|f\|_p\|g\|_q\).

Demikian pula, jika \(\|g\|_q=0\), maka \(g\eae\tbf{0}\) dan sekali lagi

\(\int|f\times g|=0=\|f\|_p\|g\|_q\).

\(f\times g=cd(\Bover1cf\times\Bover1dg)\)

terintegralkan, dan

\(\int|f\times g| =cd\int|\Bover1cf\times\Bover1dg|\le cd\),

sebagaimana diperlukan.

(ii) Sekarang jika \(u\in L^p\), \(v\in L^q\), ambil \(f\in\eusm L^p\), \(g\in \eusm L^q\) sedemikian sehingga \(u=f^{\ssbullet}\) dan \(v=g^{\ssbullet}\); \(f\times g\) terintegralkan, sehingga \(u\times v\in L^1\), dan

\(|\int u\times v|\le\|u\times v\|_1 =\int|f\times g|\le\|f\|_p\|g\|_q=\|u\|_p\|v\|_q\).

Catatan Bagian (b) adalah ‘pertidaksamaan Hölder’. Dalam kasus \(p=q=2\), ini adalah ‘pertidaksamaan Cauchy’.

244F Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tetapkan \(q=p/(p-1)\), sehingga \({1\over p}+{1\over q}=1\).

(a) Untuk setiap \(u\in L^p=L^p(\mu)\), \(\|u\|_p=\max\{\int u\times v:v\in L^q(\mu),\,\|v\|_q\le 1\}\).

(b) \(\|\,\|_p\) merupakan norma pada \(L^p\).

Bukti

(a) Untuk \(u\in L^p\), tetapkan

\(\tau(u) =\sup\{\int u\times v:v\in L^q(\mu),\,\|v\|_q\le 1\}\).

Menurut 244E(b-ii), \(\|u\|_p\ge\tau(u)\). Jika \(\|u\|_p=0\), maka tentu

\(0=\|u\|_p=\tau(u) =\max\{\int u\times v:v\in L^q(\mu),\,\|v\|_q\le 1\}\).

Jika \(\|u\|_p=c>0\), tinjau

\(v=c^{-p/q}\sgn u\times|u|^{p/q}\),

dengan, untuk \(a\in\Bbb R\), saya menuliskan \(\sgn a=|a|/a\) jika \(a\ne 0\), dan \(0\) jika \(a=0\), sehingga \(\sgn:\Bbb R\to\Bbb R\) merupakan fungsi terukur Borel; untuk \(f\in\eusm L^0\), saya menuliskan \((\sgn f)(x)=\sgn(f(x))\) untuk \(x\in\dom f\), sehingga \(\sgn f\in\eusm L^0\); dan untuk \(f\in\eusm L^0\), saya menuliskan \(\sgn(f^{\ssbullet})=(\sgn f)^{\ssbullet}\) untuk mendefinisikan suatu fungsi \(\sgn:L^0\to L^0\) (bandingkan 241I). Maka \(v\in L^q=L^q(\mu)\) dan

\(\|v\|_q=(\int|v|^q)^{1/q}=c^{-p/q}(\int|u|^p)^{1/q} =c^{-p/q}c^{p/q}=1\).

Jadi

\[\begin{aligned}\tau(u)\ge\int u\times v &=c^{-p/q}\int\sgn u\times|u|\times\sgn u\times|u|^{p/q}\\ &=c^{-p/q}\int|u|^{1+{p\over q}} =c^{-p/q}\int|u|^p =c^{p-{p\over q}} =c,\\\end{aligned}\]

dengan mengingat bahwa \(1+{p\over q}=p\), \(p-{p\over q}=1\). Jadi \(\tau(u)\ge\|u\|_p\) dan

\(\tau(u)=\|u\|_p=\int u\times v\).

(b) Mengingat catatan dalam 244Db, saya hanya perlu memeriksa bahwa \(\|u+v\|_p\le\|u\|_p+\|v\|_p\) untuk semua \(u\), \(v\in L^p\). Namun, untuk \(u\) dan \(v\) yang diberikan, misalkan \(w\in L^q\) sedemikian sehingga \(\|w\|_q=1\) dan \(\int (u+v)\times w=\|u+v\|_p\). Maka

\(\|u+v\|_p=\int(u+v)\times w =\int u\times w+\int v\times w\le\|u\|_p+\|v\|_p\),

sebagaimana diperlukan.

Catatan Pertidaksamaan segitiga ‘\(\|u+v\|_p\le\|u\|_p+\|v\|_p\)’ adalah pertidaksamaan Minkowski.

244G Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in[1,\infty]\). Maka \(L^p=L^p(\mu)\) merupakan kisi Banach di bawah normanya \(\|\,\|_p\).

Bukti

Kasus \(p=1\), \(p=\infty\) tercakup oleh 242F dan 243E, jadi mari kita andaikan bahwa \(1<p<\infty\). Kita telah mengetahui bahwa \(\|u\|_p\le\|v\|_p\) setiap kali \(|u|\le|v|\), sehingga hanya tersisa untuk menunjukkan bahwa \(L^p\) lengkap.

Misalkan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^p\) sedemikian sehingga \(\|u_{n+1}-u_n\|_p\le 4^{-n}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Perhatikan bahwa

\(\|u_n\|_p\le\|u_0\|_p+\sum_{k=0}^{n-1}\|u_{k+1}-u_k\|_p \le\|u_0\|_p+\sum_{k=0}^{\infty}4^{-k}\le\|u_0\|_p+2\)

untuk setiap \(n\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(f_n\in\eusm L^p\) sedemikian sehingga \(f_0^{\ssbullet}=u_{0}\), \(f_n^{\ssbullet}=u_{n}-u_{n-1}\) untuk \(n\ge 1\); lakukan ini sedemikian sehingga \(\dom f_n=X\) dan \(f_n\) terukur terhadap \(\Sigma\) (241Bk). Maka \(\|f_n\|_p\le 4^{-n+1}\) untuk \(n\ge 1\).

Untuk \(m\), \(n\in\Bbb N\), tetapkan

\(E_{mn}=\{x:|f_m(x)|\ge 2^{-n}\}\in\Sigma\).

Maka \(|f_m(x)|^p\ge 2^{-np}\) untuk \(x\in E_{mn}\), sehingga

\(2^{-np}\mu E_{mn}\le\int|f_m|^p<\infty\)

dan \(\mu E_{mn}<\infty\). Jadi \(\chi E_{mn}\in\eusm L^q=\eusm L^q(\mu)\) dan

\(\int_{E_{mn}}|f_k|=\int|f_k|\times\chi E_{mn} \le\|f_k\|_p\|\chi E_{mn}\|_q\)

untuk setiap \(k\), menurut 244E(b-i). Dengan demikian

\(\sum_{k=0}^{\infty}\int_{E_{mn}}|f_k| \le\|\chi E_{mn}\|_q\sum_{k=0}^{\infty}\|f_k\|_p<\infty\),

dan \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)\) ada untuk hampir setiap \(x\in E_{mn}\), menurut 242E. Ini benar untuk semua \(m\), \(n\in\Bbb N\). Namun jika \(x\in X\setminus\bigcup_{m,n\in\Bbb N}E_{mn}\), \(f_n(x)=0\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)\) tentu ada. Jadi \(g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\).

Tetapkan \(g_n=\sum_{k=0}^nf_k\); maka \(g_n^{\ssbullet}=u_{n}\in L^p\) untuk setiap \(n\), dan \(g(x)=\lim_{n\to\infty}g_n(x)\) terdefinisi untuk hampir setiap \(x\). Sekarang tinjau \(|g|^p\eae\lim_{n\to\infty}|g_n|^p\). Kita mengetahui bahwa

\(\liminf_{n\to\infty}\int|g_n|^p =\liminf_{n\to\infty}\|u_{n}\|_p^p\le(2+\|u_{0}\|_p)^p<\infty\),

sehingga menurut Lema Fatou

\(\int|g|^p\le\liminf_{k\to\infty}\int|g_k|^p<\infty\).

Jadi \(u=g^{\ssbullet}\in L^p\). Selain itu, untuk sebarang \(m\in\Bbb N\),

\[\begin{aligned}\int|g-g_m|^p &\le\liminf_{n\to\infty}\int|g_n-g_m|^p =\liminf_{n\to\infty}\|u_{n}-u_{m}\|_p^p\\ &\le\liminf_{n\to\infty}\sum_{k=m}^{n-1}4^{-kp} =\sum_{k=m}^{\infty}4^{-kp} =4^{-mp}/(1-4^{-p}).\\\end{aligned}\]

Jadi

\(\|u-u_{m}\|_p=(\int|g-g_m|^p)^{1/p} \le 4^{-m}/(1-4^{-p})^{1/p}\to 0\)

ketika \(m\to\infty\). Jadi \(u=\lim_{m\to\infty}u_m\) dalam \(L^p\). Karena \(\sequencen{u_n}\) sembarang, \(L^p\) lengkap.

244H

Mengikuti 242M dan 242O, saya perhatikan bahwa \(L^p\) berperilaku seperti \(L^1\) sehubungan dengan subruang-subruang padat tertentu.

Proposisi (a) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Maka ruang \(S\) dari kelas-kelas ekuivalensi fungsi sederhana-\(\mu\) merupakan subruang linear padat dari \(L^p=L^p(\mu)\).

(b) Misalkan \(X\) sebarang subhimpunan dari \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan misalkan \(\mu\) ukuran subruang pada \(X\) yang diinduksi oleh ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Tuliskan \(C_k\) untuk himpunan fungsi kontinu (terbatas) \(g:\BbbR^r\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\{x:g(x)\ne 0\}\) terbatas, dan \(S_0\) untuk ruang kombinasi linear fungsi berbentuk \(\chi I\), dengan \(I\subseteq\BbbR^r\) suatu interval setengah terbuka yang terbatas. Maka \(\{(g\restr X)^{\ssbullet}:g\in C_k\}\) dan \(\{(h\restr X)^{\ssbullet}:h\in S_0\}\) padat dalam \(L^p(\mu)\).

Bukti

(a) Saya mengulangi argumen 242M dengan sedikit perubahan.

(i) Andaikan \(u\in L^p(\mu)\), \(u\ge 0\) dan \(\epsilon>0\). Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dengan \(f:X\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi terukur. Misalkan \(g:X\to\Bbb R\) suatu fungsi sederhana sedemikian sehingga \(0\le g\le f^p\) dan \(\int g\ge\int f^p-\epsilon^p\). Tetapkan \(h=g^{1/p}\). Maka \(h\) suatu fungsi sederhana dan \(h\le f\). Karena \(p>1\), \((f-h)^p+h^p\le f^p\) dan

\(\int(f-h)^p\le \int f^p-g\le\epsilon^p\),

sehingga

\(\|u-h^{\ssbullet}\|_p =(\int|f-h|^p)^{1/p}\le\epsilon\),

sedangkan \(h^{\ssbullet}\in S\).

(ii) Untuk \(u\in L^p\) umum dan \(\epsilon>0\), \(u\) dapat dinyatakan sebagai \(u^+-u^-\), dengan \(u^+=u\vee 0\), \(u^-=(-u)\vee 0\) termasuk dalam \(L^p\) dan nonnegatif. Menurut (i), kita dapat menemukan \(v_1\), \(v_2\in S\) sedemikian sehingga \(\|u^+-v_1\|_p\le\bover12\epsilon\) dan \(\|u^--v_2\|_p\le\bover12\epsilon\), sehingga \(v=v_1-v_2\in S\) dan \(\|u-v\|_p\le\epsilon\). Karena \(u\) dan \(\epsilon\) sembarang, \(S\) padat.

(b) Sekali lagi, semua gagasan terdapat dalam 242O; perubahan yang diperlukan ada pada rumus, bukan pada metode. Perubahan itu akan lebih mudah jika sejak awal saya mencatat bahwa setiap kali \(f_1\), \(f_2\in\eusm L^p(\mu)\) dan \(\int|f_1|^p\le\epsilon^p\), \(\int|f_2|^p\le\delta^p\) (dengan \(\epsilon\), \(\delta\ge 0\)), maka \(\int|f_1+f_2|^p\le(\epsilon+\delta)^p\); ini hanyalah pertidaksamaan segitiga untuk \(\|\,\|_p\) (244Fb). Saya juga akan secara teratur menyatakan hubungan yang dituju dalam bentuk ‘\(\int_X|f-g|^p\le\epsilon^p\)’, ‘\(\int_X|f-h|^p\le\epsilon^p\)’. Sekarang mari kita jalankan argumen 242Oa, dengan lebih ringkas daripada sebelumnya.

(i) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(f=\chi I\restr X\) dengan \(I\subseteq\BbbR^r\) suatu interval setengah terbuka yang terbatas. Seperti sebelumnya, kita dapat menetapkan \(h=\chi I\) dan memperoleh \(\int_X|f-h|^p=0\). Kali ini, gunakan konstruksi yang sama untuk menemukan suatu interval \(J\) dan suatu fungsi \(g\in C_k\) sedemikian sehingga \(\chi I\le g\le \chi J\) dan \(\mu_r(J\setminus I)\le\epsilon^p\); ini akan menjamin bahwa \(\int_X|f-g|^p\le\epsilon^p\).

(ii) Sekarang andaikan \(f=\chi(X\cap E)\) dengan \(E\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan berukuran hingga. Maka, dengan alasan yang sama seperti sebelumnya, terdapat keluarga saling lepas \(I_0,\ldots,I_n\) dari interval-interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(\mu_r(E\symmdiff\bigcup_{j\le n}I_j)\le(\bover12\epsilon)^p\). Dengan demikian \(h=\sum_{j=0}^n\chi I_j\in S_0\) dan \(\int_X|f-h|^p\le(\bover12\epsilon)^p\). Dan (i) memberi tahu kita bahwa untuk setiap \(j\le n\) terdapat \(g_j\in C_k\) sedemikian sehingga \(\int_X|g_j-\chi I_j|^p\le(\epsilon/2(n+1))^p\), sehingga \(g=\sum_{j=0}^ng_j\in C_k\) dan \(\int_X|f-g|^p\le\epsilon^p\).

(iii) Peralihan ke fungsi sederhana, lalu ke anggota sembarang \(\eusm L^p(\mu)\), persis seperti sebelumnya, tetapi menggunakan \(\|f\|_p\) sebagai pengganti \(\int_X|f|\). Akhirnya, penerjemahan dari \(\eusm L^p\) ke \(L^p\) kembali langsung – dengan mengingat, seperti sebelumnya, untuk memeriksa bahwa \(g\restr X\), \(h\restr X\) termasuk dalam \(\eusm L^p(\mu)\) setiap kali \(g\in C_k\) dan \(h\in S_0\).

244I Korolari

Dalam konteks 244Hb, \(L^p(\mu)\) separabel.

244J Dualitas dalam ruang \(L^p\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tetapkan \(q=p/(p-1)\); perhatikan bahwa \({1\over p}+{1\over q}=1\) dan \(p=q/(q-1)\); hubungan antara \(p\) dan \(q\) simetris. Sekarang \(u\times v\in L^1(\mu)\) dan \(\|u\times v\|_1\le\|u\|_p\|v\|_q\) setiap kali \(u\in L^p=L^p(\mu)\) dan \(v\in L^q=L^q(\mu)\) (244E). Akibatnya kita mempunyai suatu operator linear terbatas \(T\) dari \(L^q\) ke dual ruang bernorma \((L^p)^*\) dari \(L^p\), yang diberikan dengan menuliskan

\((Tv)(u)=\int u\times v\)

untuk semua \(u\in L^p\) dan \(v\in L^q\), persis seperti dalam 243F.

244K Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(p\in\ooint{1,\infty}\); tetapkan \(q=p/(p-1)\). Maka peta kanonik \(T:L^q(\mu)\to L^p(\mu)^*\), yang diuraikan dalam 244J, merupakan isomorfisme ruang bernorma.

Catatan Mungkin saya perlu mengingatkan siapa pun yang membaca bagian ini untuk mempelajari \(L^2\) bahwa teori dasar ruang Hilbert memberikan teorema ini dalam kasus \(p=q=2\) tanpa memerlukan argumen yang lebih umum yang diberikan di bawah (lihat 244N, 244Yk).

Bukti

Kita mengetahui bahwa \(T\) merupakan operator linear terbatas dengan norma paling besar \(1\); saya perlu menunjukkan (i) bahwa \(T\) sebenarnya suatu isometri (yakni, bahwa \(\|Tv\|=\|v\|_q\) untuk setiap \(v\in L^q\)), yang sekaligus akan menunjukkan bahwa \(T\) injektif (ii) bahwa \(T\) surjektif, yang merupakan bagian yang benar-benar substansial dari teorema tersebut.

(a) Jika \(v\in L^q\), maka menurut 244Fa (dengan mengingat bahwa \(p=q/(q-1)\)) terdapat \(u\in L^p\) sedemikian sehingga \(\|u\|_p\le 1\) dan \(\int u\times v=\|v\|_q\); jadi \(\|Tv\|\ge (Tv)(u)=\|v\|_q\). Karena kita telah mengetahui bahwa \(\|Tv\|\le\|v\|_q\), kita mempunyai \(\|Tv\|=\|v\|_q\) untuk setiap \(v\), dan \(T\) merupakan isometri.

(b) Karena itu, sisa bukti akan dikhususkan untuk menunjukkan bahwa \(T:L^q\to(L^p)^*\) surjektif. Tetapkan \(h\in (L^p)^*\) dengan \(\|h\|=1\).

Saya perlu menunjukkan bahwa \(h\) ‘hidup pada’ suatu gabungan terhitung dari himpunan-himpunan berukuran hingga dalam \(X\), dalam arti berikut: terdapat suatu barisan tak menurun \(\sequencen{E_n}\) dari himpunan berukuran hingga sedemikian sehingga \(h(f^{\ssbullet})=0\) setiap kali \(f\in\eusm L^p\) dan \(f(x)=0\) untuk \(x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Bukti. Pilih suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^p\) sedemikian sehingga \(\|u_n\|_p\le 1\) untuk setiap \(n\) dan \(\lim_{n\to\infty}h(u_n)=\|h\|=1\). Untuk setiap \(n\), nyatakan \(u_n\) sebagai \(f_n^{\ssbullet}\), dengan \(f_n:X\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur. Tetapkan

\(E_n=\{x:\sum_{k=0}^n|f_k(x)|^p\ge 2^{-n}\}\)

untuk \(n\in \Bbb N\); karena \(|f_k|^p\) terukur dan terintegralkan serta berdomain \(X\) untuk setiap \(k\), \(E_n\in \Sigma\) dan \(\mu E_n<\infty\) untuk setiap \(n\).

Sekarang andaikan \(f\in\eusm L^p(X)\) dan \(f(x)=0\) untuk \(x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\); tetapkan \(u=f^{\ssbullet}\in L^p\). Andaikan, jika mungkin, bahwa \(h(u)\ne 0\), dan tinjau \(h(cu)\), dengan

\(\sgn c=\sgn h(u)\), \(0<|c|<(p\,|h(u)|\,\|u\|_p^{-p})^{1/(p-1)}\).

(Tentu saja \(\|u\|_p\ne 0\) jika \(h(u)\ne 0\).) Untuk setiap \(n\), kita mempunyai

\(\{x:f_n(x)\ne 0\}\subseteq\bigcup_{m\in\Bbb N}E_m\subseteq\{x:f(x)=0\}\),

sehingga \(|f_n+cf|^p=|f_n|^p+|cf|^p\) dan

\(h(u_n+cu)\le\|u_n+cu\|_p=(\|u_n\|_p^p+\|cu\|_p^p)^{1/p} \le(1+|c|^p\|u\|_p^p)^{1/p}\).

Dengan mengambil \(n\to\infty\),

\(1+ch(u)\le(1+|c|^p\|u\|_p^p)^{1/p}\).

Karena \(\sgn c=\sgn h(u)\), \(ch(u)=|c||h(u)|\) dan kita mempunyai

\(1+p|c||h(u)|\le(1+ch(u))^p\le 1+|c|^p\|u\|_p^p\),

sehingga

\(p|h(u)|\le |c|^{p-1}\|u\|_p^p<p|h(u)|\)

menurut pemilihan \(c\); ini mustahil.

Ini berarti bahwa \(h(f^{\ssbullet})=0\) setiap kali \(f:X\to\Bbb R\) terukur, termasuk dalam \(\eusm L^p\), dan nol pada \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). ∎

(c) Tetapkan \(H_n=E_n\setminus\bigcup_{k<n}E_k\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\); maka \(\sequencen{H_n}\) merupakan barisan saling lepas dari himpunan-himpunan berukuran hingga. Sekarang \(h(u)=\sum_{n=0}^{\infty}h(u\times(\chi H_n)^{\ssbullet})\) untuk setiap \(u\in L^p\). Bukti. Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\), dengan \(f:X\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur. Tetapkan \(f_n=f\times\chi H_n\) untuk setiap \(n\), \(g=f\times\chi(X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n)\); maka \(h(g^{\ssbullet})=0\), menurut (a), karena \(\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Tinjau

\(g_n=g+\sum_{k=0}^nf_k\in \eusm L^p\)

untuk setiap \(n\). Maka \(\lim_{n\to\infty}f-g_n=\tbf{0}\), dan

\(|f-g_n|^p\le|f|^p\in\eusm L^1\)

untuk setiap \(n\), sehingga menurut Lema Fatou atau Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue,

\(\lim_{n\to\infty}\int|f-g_n|^p=0\),

dan

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\|u-g^{\ssbullet}-\sum_{k=0}^nu\times(\chi H_k)^{\ssbullet}\|_p &=\lim_{n\to\infty}\|u-g_n^{\ssbullet}\|_p\\ &=\lim_{n\to\infty}\bigl(\int|f-g_n|^p\bigr)^{1/p} =0,\\\end{aligned}\]

yaitu,

\(u =g^{\ssbullet}+\sum_{k=0}^{\infty}u\times\chi H_k^{\ssbullet}\)

dalam \(L^p\). Karena \(h:L^p\to\Bbb R\) linear dan kontinu, diperoleh

\(h(u) =h(g^{\ssbullet})+\sum_{k=0}^{\infty}h(u\times\chi H_k^{\ssbullet}) =\sum_{k=0}^{\infty}h(u\times\chi H_k^{\ssbullet})\),

sebagaimana dinyatakan. ∎

(d) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), definisikan \(\nu_n:\Sigma\to\Bbb R\) dengan menetapkan

\(\nu_nF=h(\chi(F\cap H_n)^{\ssbullet})\)

untuk setiap \(F\in\Sigma\). (Perhatikan bahwa \(\nu_nF\) selalu terdefinisi karena \(\mu(F\cap H_n)<\infty\), sehingga

\(\|\chi(F\cap H_n)\|_p=\mu(F\cap H_n)^{1/p}<\infty\).)

Maka \(\nu_n\emptyset=h(0)=0\), dan jika \(\sequence{k}{F_k}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Sigma\),

\(\|\chi(\bigcup_{k\in\Bbb N}H_n\cap F_k) -\sum_{k=0}^m\chi(H_n\cap F_k)\|_p =\mu(H_n\cap\bigcup_{k=m+1}^{\infty}F_k)^{1/p}\to 0\)

ketika \(m\to\infty\), sehingga

\(\nu_n(\bigcup_{k\in\Bbb N}F_k) =\sum_{k=0}^{\infty}\nu_nF_k\).

Jadi \(\nu_n\) aditif terhitung. Lebih lanjut, \(|\nu_nF|\le\mu(H_n\cap F)^{1/p}\) untuk setiap \(F\in\Sigma\), sehingga \(\nu_n\) benar-benar kontinu dalam arti 232Ab.

Karena itu terdapat suatu fungsi terintegralkan \(g_n\) sedemikian sehingga \(\nu_nF=\int_Fg_n\) untuk setiap \(F\in\Sigma\); mari kita andaikan bahwa \(g_n\) terukur dan terdefinisi pada seluruh \(X\). Tetapkan \(g(x)=g_n(x)\) setiap kali \(n\in\Bbb N\) dan \(x\in H_n\), serta \(g(x)=0\) untuk \(x\in X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}H_n\).

(e) \(g=\sum_{n=0}^{\infty}g_n\times\chi H_n\) terukur dan mempunyai sifat bahwa \(\int_Fg=h(\chi F^{\ssbullet})\) setiap kali \(n\in\Bbb N\) dan \(F\) suatu subhimpunan terukur dari \(H_n\); akibatnya \(\int_Fg=h(\chi F^{\ssbullet})\) setiap kali \(n\in\Bbb N\) dan \(F\) suatu subhimpunan terukur dari \(E_n=\bigcup_{k\le n}H_k\). Tetapkan \(G=\{x:g(x)>0\}\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Jika \(F\subseteq G\) dan \(\mu F<\infty\), maka

\(\lim_{n\to\infty}\int g\times\chi(F\cap E_n) \le\sup_{n\in\Bbb N}h(\chi(F\cap E_n)^{\ssbullet}) \le\sup_{n\in\Bbb N}\|\chi(F\cap E_n)\|_p =(\mu F)^{1/p}\),

sehingga menurut teorema B.Levi,

\(\int_Fg=\int g\times\chi F =\lim_{n\to\infty}\int g\times\chi(F\cap E_n)\)

ada. Demikian pula, \(\int_Fg\) ada jika \(F\subseteq\{x:g(x)<0\}\) mempunyai ukuran hingga; sedangkan tentu \(\int_Fg\) ada jika \(F\subseteq\{x:g(x)=0\}\). Dengan demikian \(\int_Fg\) ada untuk setiap himpunan \(F\) berukuran hingga. Selain itu, menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue,

\(\int_Fg=\lim_{n\to\infty}\int_{F\cap E_n}g =\lim_{n\to\infty}h(\chi(F\cap E_n)^{\ssbullet}) =\sum_{n=0}^{\infty}h(\chi(F\cap H_n)^{\ssbullet}) =h(\chi F^{\ssbullet})\)

untuk \(F\) demikian, menurut (c) di atas. Segera diperoleh bahwa

\(\int g\times f=h(f^{\ssbullet})\)

untuk setiap fungsi sederhana \(f:X\to\Bbb R\).

(f) Sekarang \(g\in L^q\). Bukti. (i) Kita telah mengetahui bahwa \(|g|^q:X\to\Bbb R\) terukur, karena \(g\) terukur dan \(a\mapsto|a|^q\) kontinu. (ii) Andaikan \(f\) suatu fungsi sederhana nonnegatif dan \(f\leae|g|^q\). Maka \(f^{1/p}\) suatu fungsi sederhana, dan \(\sgn g\) terukur serta hanya mengambil nilai \(0\), \(1\) dan \(-1\), sehingga \(f_1=f^{1/p}\times\sgn g\) sederhana. Kita melihat bahwa \(\int|f_1|^p=\int f\), sehingga \(\|f_1\|_p=(\int f)^{1/p}\). Dengan demikian

\[\begin{aligned}(\int f)^{1/p}&\ge h(f_1^{\ssbullet}) =\int g\times f_1=\int|g\times f^{1/p}|\\ &\ge\int f^{1/q}\times f^{1/p}\\ &\text{(karena }0\le f^{1/q}\leae|g|\text{)}\\ &=\int f,\\\end{aligned}\]

dan kita harus mempunyai \(\int f\le 1\). (iii) Jadi

\(\sup\{\int f: f\) suatu fungsi sederhana nonnegatif, \(f\leae |g|^q\}\le 1<\infty\).

Namun sekarang perhatikan bahwa jika \(\epsilon>0\), maka

\(\{x:|g(x)|^q\ge\epsilon\} =\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x:x\in E_n,\,|g(x)|^q\ge\epsilon\}\),

dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(\mu\{x:x\in E_n,\,|g(x)|^q\ge\epsilon\} \le{1\over{\epsilon}}\),

karena \(f=\epsilon\chi\{x:x\in E_n,\,|g(x)|^q\ge\epsilon\}\) merupakan fungsi sederhana yang kurang dari atau sama dengan \(|g|^q\), sehingga integralnya paling besar \(1\). Dengan demikian

\(\mu\{x:|g(x)|^q\ge\epsilon\} =\sup_{n\in\Bbb N}\mu\{x:x\in E_n,\,|g(x)|^q\ge\epsilon\} \le{1\over{\epsilon}}<\infty\).

Jadi \(|g|^q\) terintegralkan, menurut kriteria dalam 122Ja. ∎

(g) Karena itu kita dapat berbicara tentang \(h_1=T(g^{\ssbullet})\in (L^p)^*\), dan kita mengetahui bahwa ia sama dengan \(h\) pada anggota-anggota \(L^p\) berbentuk \(f^{\ssbullet}\), dengan \(f\) suatu fungsi sederhana. Namun anggota-anggota ini membentuk subhimpunan padat dari \(L^p\), menurut 244Ha, dan baik \(h\) maupun \(h_1\) kontinu, sehingga \(h=h_1\), menurut 2A3Uc, dan \(h\) merupakan suatu nilai \(T\). Argumen sejauh ini mengandaikan bahwa \(\|h\|=1\). Namun tentu saja setiap anggota tak nol dari \((L^p)^*\) merupakan kelipatan skalar dari suatu unsur bernorma \(1\), sehingga merupakan suatu nilai \(T\). Jadi \(T:L^q\to(L^p)^*\) memang surjektif, dan karena itu merupakan isomorfisme isometrik, sebagaimana dinyatakan.

244L

Melanjutkan topik-topik yang sama seperti dalam §§242 dan 243, saya beralih ke kelengkapan urutan \(L^p\).

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Maka \(L^p=L^p(\mu)\) lengkap Dedekind.

Bukti

Saya menggunakan 242H. Misalkan \(A\subseteq L^p\) suatu himpunan tak kosong yang terbatas di atas dalam \(L^p\). Tetapkan \(u_0\in A\) dan tetapkan

\(A'=\{u_0\vee u:u\in A\}\),

sehingga \(A'\) mempunyai batas-batas atas yang sama dengan \(A\) dan terbatas di bawah oleh \(u_0\). Dengan menetapkan suatu batas atas \(w_0\) dari \(A\) dalam \(L^p\), maka \(u_0\le u\le w_0\) untuk setiap \(u\in A'\). Tetapkan

\(B=\{(u-u_0)^p:u\in A'\}\).

Maka

\(0\le v\le(w_0-u_0)^p\in L^1=L^1(\mu)\)

untuk setiap \(v\in B\), sehingga \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari \(L^1\) yang terbatas di atas dalam \(L^1\), dan karena itu mempunyai batas atas terkecil \(v_1\) dalam \(L^1\). Sekarang \(v_1^{1/p}\in L^p\); tinjau \(w_1=u_0+v_1^{1/p}\). Jika \(u\in A'\), maka \((u-u_0)^p\le v_1\), sehingga \(u-u_0\le v_1^{1/p}\) dan \(u\le w_1\); jadi \(w_1\) suatu batas atas untuk \(A'\). Jika \(w\in L^p\) suatu batas atas untuk \(A'\), maka \(u-u_0\le w-u_0\) dan \((u-u_0)^p\le(w-u_0)^p\) untuk setiap \(u\in A'\), sehingga \((w-u_0)^p\) suatu batas atas untuk \(B\) dan \(v_1\le(w-u_0)^p\), \(v_1^{1/p}\le w-u_0\), serta \(w_1\le w\). Jadi \(w_1=\sup A'=\sup A\) dalam \(L^p\). Karena \(A\) sembarang, \(L^p\) lengkap Dedekind.

244M

Seperti dalam dua bagian terakhir, teori ekspektasi bersyarat patut ditinjau kembali.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Ambil \(p\in[1,\infty]\). Pandang \(L^0(\mu\restrp\Tau)\) sebagai subruang dari \(L^0=L^0(\mu)\), seperti dalam 242Jh, sehingga \(L^p(\mu\restrp\Tau)\) menjadi \(L^p(\mu)\cap L^0(\mu\restrp\Tau)\). Misalkan \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) operator ekspektasi bersyarat, seperti diuraikan dalam 242Jd. Maka setiap kali \(u\in L^p=L^p(\mu)\), \(|Pu|^p\le P(|u|^p)\), sehingga \(Pu\in L^p(\mu\restrp\Tau)\) dan \(\|Pu\|_p\le\|u\|_p\). Selain itu, \(P[L^p]=L^p(\mu\restrp\Tau)\).

Bukti

Untuk \(p=\infty\), ini adalah 243Jb, jadi selanjutnya saya andaikan bahwa \(p<\infty\). Mengenai identifikasi \(L^p(\mu\restrp\Tau)\) dengan \(L^p\cap L^0(\mu\restrp\Tau)\), jika \(S:L^0(\mu\restrp\Tau)\to L^0\) merupakan pembenaman kanonik yang diuraikan dalam 242J, kita mempunyai \(|Su|^p=S(|u|^p)\) untuk setiap \(u\in L^0(\mu\restrp\Tau)\), sehingga \(Su\in L^p\) jika dan hanya jika \(|u|^p\in L^1(\mu\restrp\Tau)\) jika dan hanya jika \(u\in L^p(\mu\restrp\Tau)\).

Tetapkan \(\phi(t)=|t|^p\) untuk \(t\in\Bbb R\); maka \(\phi\) suatu fungsi konveks (karena kontinu mutlak pada sebarang interval terbatas, dan turunannya tak menurun), dan \(|u|^p=\bar\phi(u)\) untuk setiap \(u\in L^0=L^0(\mu)\), dengan \(\bar\phi\) didefinisikan seperti dalam 241I. Sekarang jika \(u\in L^p=L^p(\mu)\), tentu kita mempunyai \(u\in L^1\) (karena \(|u|\le|u|^p\vee(\chi X)^{\ssbullet}\), atau dengan cara lain); jadi 242K memberi tahu kita bahwa \(|Pu|^p\le P|u|^p\). Namun ini berarti bahwa \(Pu\in L^p\cap L^1(\mu\restrp\Tau)=L^p(\mu\restrp\Tau)\), dan

\(\|Pu\|_p=(\int|Pu|^p)^{1/p}\le(\int P|u|^p)^{1/p} =(\int|u|^p)^{1/p}=\|u\|_p\),

sebagaimana dinyatakan. Jika \(u\in L^p(\mu\restrp\Tau)\), maka \(Pu=u\), sehingga \(P[L^p]\) adalah seluruh \(L^p(\mu\restrp\Tau)\).

244N Ruang \(L^2\) (a)

Seperti telah saya nyatakan, ruang fungsi yang benar-benar penting ialah \(L^0\), \(L^1\), \(L^2\) dan \(L^{\infty}\). \(L^2\) mempunyai sifat khusus sebagai ruang hasil kali dalam; jika \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur dan \(u\), \(v\in L^2=L^2(\mu)\), maka \(u\times v\in L^1(\mu)\), menurut 244Eb, dan kita dapat menuliskan \(\innerprod{u}{v}=\int u\times v\). Ini menjadikan \(L^2\) suatu ruang hasil kali dalam real (karena \(\innerprod{u_1+u_2}{v} =\innerprod{u_1}{v}+\innerprod{u_2}{v}\), \(\innerprod{cu}{v}=c\innerprod{u}{v}\), \(\innerprod{u}{v}=\innerprod{v}{u}\), \(\innerprod{u}{u}\ge 0\), \(u=0\) setiap kali \(\innerprod{u}{u}=0\) untuk semua \(u\), \(u_1\), \(u_2\), \(v\in L^2\) dan \(c\in\Bbb R\)) dan normanya \(\|\,\|_2\) merupakan norma yang terkait (karena \(\|u\|_2=\sqrt{\innerprod{u}{u}}\) setiap kali \(u\in L^2\)). Karena \(L^2\) lengkap (244G), ruang ini merupakan ruang Hilbert real. Fakta bahwa ruang ini dapat diidentifikasi dengan dualnya sendiri (244K) tentu dapat diturunkan dari sini.

Saya akan menggunakan frasa ‘terintegralkan-kuadrat’ untuk menyebut fungsi-fungsi dalam \(\eusm L^2(\mu)\).

244Nb (b)

Ekspektasi bersyarat mengambil bentuk khusus dalam kasus \(L^2\). Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), dan \(P:L^1=L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\subseteq L^1\) operator ekspektasi bersyarat yang sesuai. Maka \(P[L^2]\subseteq L^2\), dengan \(L^2=L^2(\mu)\) (244M), sehingga kita mempunyai suatu operator \(P_2=P\restr L^2\) dari \(L^2\) ke dirinya sendiri. Sekarang \(P_2\) merupakan proyeksi ortogonal dan kernelnya ialah \(\{u:u\in L^2,\,\int_Fu=0\) untuk setiap \(F\in\Tau\}\). Bukti. (i) Jika \(u\in L^1\), maka \(Pu=0\) jika dan hanya jika \(\int_Fu=0\) untuk setiap \(F\in\Tau\) (bandingkan 242Je); jadi tentu kernel \(P_2\) adalah himpunan yang diuraikan. (ii) Karena \(P^2=P\), \(P_2\) juga merupakan suatu proyeksi; karena \(P_2\) mempunyai norma paling besar \(1\) (244M), dan karena itu kontinu, \(U=P_2[L^2]=L^2(\mu\restrp\Tau) =\{u:u\in L^2,\,P_2u=u\}\), \(V=\{u:P_2u=0\}\) merupakan subruang-subruang linear tertutup dari \(L^2\) sedemikian sehingga \(U\oplus V=L^2\). (iii) Sekarang andaikan \(u\in U\) dan \(v\in V\). Maka \(P|v|\in L^2\), sehingga \(u\times P|v|\in L^1\) dan \(P(u\times v)=u\times Pv\), menurut 242L. Dengan demikian \(\innerprod{u}{v}=\int u\times v =\int P(u\times v)=\int u\times Pv=0\). Jadi \(U\) dan \(V\) merupakan subruang ortogonal dari \(L^2\), yang kita maksud dengan mengatakan bahwa \(P_2\) merupakan proyeksi ortogonal. (Sebagian pembaca akan mengetahui bahwa setiap proyeksi bernorma paling besar \(1\) pada ruang hasil kali dalam bersifat ortogonal.) ∎

244O

Ini bukan tempat untuk pembahasan terperinci tentang geometri ruang-ruang \(L^p\). Namun terdapat suatu fakta yang sangat penting mengenai bentuk bola satuan yang dapat dijangkau dengan metode-metode yang tersedia bagi kita di sini.

Teorema (Clarkson 36) Andaikan \(p\in\ooint{1,\infty}\) dan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka \(L^p=L^p(\mu)\) konveks seragam (definisi: 2A4K).

Bukti

(Hanner 56, Naor 04)

(a)(i) Untuk \(0<t\le 1\) dan \(a\), \(b\in\Bbb R\), tetapkan

\(\phi_0(t)=(1+t)^{p-1}+(1-t)^{p-1}\),

\(\phi_1(t)=\Bover{(1+t)^{p-1}-(1-t)^{p-1}}{t^{p-1}} =(\Bover1t+1)^{p-1}-(\Bover1t-1)^{p-1}\),

\(\psi_{ab}(t)=|a|^p\phi_0(t)+|b|^p\phi_1(t)\),

\(\phi_2(b)=(1+b)^p+|1-b|^p\).

(ii) Kita mempunyai

\[\begin{aligned}\phi_0'(t) &=(p-1)((1+t)^{p-2}-(1-t)^{p-2}),\text{ yang bertanda sama dengan }p-2,\\ &\text{(tentu saja nilainya nol jika }p=2\text{),}\\ \phi_1'(t) &=-\Bover{p-1}{t^2}((\Bover1t+1)^{p-2}-(\Bover1t-1)^{p-2})\\ &=-\Bover{p-1}{t^p}((1+t)^{p-2}-(1-t)^{p-2}) =-\Bover1{t^p}\phi_0'(t)\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(t\in\ooint{0,1}\). Dengan demikian \(\phi_0'-\phi_1'\) mempunyai tanda yang sama dengan \(p-2\) di mana-mana pada \(\ooint{0,1}\). Selain itu,

\(\phi_0(1)=2^{p-1}=\phi_1(1)\),

sehingga \(\phi_0-\phi_1\) mempunyai tanda yang sama dengan \(2-p\) di mana-mana pada \(\ocint{0,1}\).

(iii) \(\phi_2\) naik secara ketat pada \(\coint{0,\infty}\). Bukti. Untuk \(b>0\),

\[\begin{aligned}\phi_2'(b) &=p((1+b)^{p-1}-(1-b)^{p-1})>0\text{ jika }b\le 1,\\ &=p((1+b)^{p-1}+(b-1)^{p-1})>0\text{ jika }b\ge 1. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

(iv) Jika \(0<b\le a\), maka

\[\begin{aligned}\psi_{ab}(\Bover{b}{a}) &=a^p\phi_0(\Bover{b}{a})+b^p\phi_1(\Bover{b}{a})\\ &=a^p(1+\Bover{b}{a})^{p-1}+a^p(1-\Bover{b}{a})^{p-1} +b^p(\Bover{a}{b}+1)^{p-1}-b^p(\Bover{a}{b}-1)^{p-1}\\ &=a(a+b)^{p-1}+a(a-b)^{p-1}+b(a+b)^{p-1}-b(a-b)^{p-1}\\ &=(a+b)^p+(a-b)^p =(a+b)^p+|a-b|^p.&(\dagger)\\\end{aligned}\]

Selain itu, \(\psi_{ab}'(t)=(a^p-\Bover{b^p}{t^p})\phi_0'(t)\) bertanda sama dengan \(2-p\) jika \(0<t<\Bover{b}{a}\) dan bertanda sama dengan \(p-2\) jika \(\Bover{b}{a}<t<1\). Dengan demikian

—– jika \(1<p\le 2\), \(\psi_{ab}(t)\le\psi_{ab}(\Bover{b}{a})=(a+b)^p+|a-b|^p\) untuk setiap \(t\in\ocint{0,1}\),

—– jika \(p\ge 2\), \(\psi_{ab}(t)\ge\psi_{ab}(\Bover{b}{a})=(a+b)^p+|a-b|^p\) untuk setiap \(t\in\ocint{0,1}\).

(v) Sekarang tinjau kasus \(0<a\le b\). Jika \(1<p\le 2\),

\[\begin{aligned}\psi_{ab}(t) &=a^p\phi_0(t)+b^p\phi_1(t) \le a^p\phi_0(t)+b^p\phi_1(t)+(b^p-a^p)(\phi_0(t)-\phi_1(t))\\ \displaycause{menurut (ii)} &=b^p\phi_0(t)+a^p\phi_1(t) \le(b+a)^p+(b-a)^p =(a+b)^p+|a-b|^p\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(t\in\ocint{0,1}\). Sebaliknya, jika \(p\ge 2\),

\[\begin{aligned}\psi_{ab}(t) &=a^p\phi_0(t)+b^p\phi_1(t) \ge a^p\phi_0(t)+b^p\phi_1(t)+(b^p-a^p)(\phi_0(t)-\phi_1(t))\\ &=b^p\phi_0(t)+a^p\phi_1(t) \ge(a+b)^p+|a-b|^p\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(t\).

(vi) Jadi kita mempunyai pertidaksamaan

\[\begin{aligned}\psi_{ab}(t) &\le|a+b|^p+|a-b|^p\text{ jika }p\in\ocint{1,2},\\ &\ge|a+b|^p+|a-b|^p\text{ jika }p\in\coint{2,\infty}\\\end{aligned}\eqno{(*)}\]

setiap kali \(t\in\ocint{0,1}\) dan \(a\), \(b\in\ooint{0,\infty}\). Karena \((a,b)\mapsto\psi_{ab}(t)\) kontinu untuk setiap \(t\), pertidaksamaan yang sama berlaku untuk semua \(a\), \(b\in\coint{0,\infty}\). Dan karena

\(\psi_{ab}(t)=\psi_{|a|,|b|}(t)\), \(|a+b|^p+|a-b|^p=\big||a|+|b|\bigr|^p+\bigl||a|-|b|\bigr|^p\)

untuk semua \(a\), \(b\in\Bbb R\) dan \(t\in\ocint{0,1}\), pertidaksamaan (*) berlaku untuk semua \(a\), \(b\in\Bbb R\) dan \(t\in\ocint{0,1}\).

(b) Andaikan \(p\ge 2\).

(i)

\(\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p \le(\|u\|_p+\|v\|_p)^p+|\|u\|_p-\|v\|_p|^p\)

untuk semua \(u\), \(v\in L^p\). Bukti. Pertama tinjau kasus \(0<\|v\|_p\le\|u\|_p\). Misalkan \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) fungsi-fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). Maka untuk sebarang \(t\in\ocint{0,1}\),

\[\begin{aligned}\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p &=\int|f(x)+g(x)|^p+|f(x)-g(x)|^p\mu(dx)\\ &\le\int\psi_{f(x),g(x)}(t)\mu(dx)\\ \displaycause{menurut pertidaksamaan kedua dalam (*)} &=\int|f(x)|^p\phi_0(t)+|g(x)|^p\phi_1(t)\mu(dx) =\|u\|_p^p\phi_0(t)+\|v\|_p^p\phi_1(t).\\\end{aligned}\]

Secara khusus, dengan mengambil \(t=\|v\|_p/\|u\|_p\), dan menerapkan (\(\dagger\)) dari (a-iv),

\(\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p \le(\|u\|_p+\|v\|_p)^p+|\|u\|_p-\|v\|_p|^p\).

Tentu saja hasil tersebut juga benar jika \(0<\|u\|_p\le\|v\|_p\), dan kasus ketika \(u\) atau \(v\) bernilai nol bersifat sepele. ∎

(ii) Misalkan \(\epsilon\in\ocint{0,2}\). Tetapkan \(\delta=2-(2^p-\epsilon^p)^{1/p}>0\). Jika \(u\), \(v\in L^p\), \(\|u\|_p=\|v\|_p=1\) dan \(\|u-v\|_p\ge\epsilon\), maka

\(\|u+v\|_p^p+\epsilon^p \le\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p \le(\|u\|_p+\|v\|_p)^p+|\|u\|_p-\|v\|_p|^p =2^p\),

sehingga \(\|u+v\|_p\le(2^p-\epsilon^p)^{1/p}=2-\delta\). Karena \(u\), \(v\) dan \(\epsilon\) sembarang, \(L^p\) konveks seragam.

(c) Selanjutnya andaikan \(p\in\ocint{1,2}\).

(i)

\((\|u\|_p+\|v\|_p)^p+|\|u\|_p-\|v\|_p|^p \le\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p\)

untuk semua \(u\), \(v\in L^p\). Bukti. Kita dapat mengulangi semua gagasan, dan sebagian besar rumus, dari (b-i). Seperti sebelumnya, mulailah dengan kasus \(0<\|v\|_p\le\|u\|_p\). Misalkan \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) fungsi-fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). Dengan mengambil \(t=\|v\|_p/\|u\|_p\),

\[\begin{aligned}\|u+v\|_p^p+\|u-v\|_p^p &=\int|f(x)+g(x)|^p+|f(x)-g(x)|^p\mu(dx)\\ &\ge\int\psi_{f(x),g(x)}(t)\mu(dx)\\ \displaycause{menurut pertidaksamaan pertama dalam (*)} &=\|u\|_p^p\phi_0(t)+\|v\|_p^p\phi_1(t) =(\|u\|_p+\|v\|_p)^p+|\|u\|_p-\|v\|_p|^p.\\\end{aligned}\]

Demikian pula jika \(0<\|u\|_p\le\|v\|_p\), dan kasus ketika \(u\) atau \(v\) bernilai nol bersifat sepele. ∎

(ii) Misalkan \(\epsilon>0\). Tetapkan \(\gamma=\phi_2(\bover{\epsilon}2)>2\) (lihat (a-iii) di atas) dan \(\delta=2\bigl(1-(\Bover{2}{\gamma})^{1/p}\bigr)>0\). Sekarang andaikan bahwa \(\|u\|_p=\|v\|_p=1\) dan \(\|u-v\|_p\ge\epsilon\). Maka \(\|u+v\|_p\le 2-\delta\). Bukti. Jika \(u+v=0\), pernyataan ini sepele. Jika tidak, tetapkan \(a=\|u+v\|_p\) dan \(b=\|u-v\|_p\). Maka \(a\le 2\) dan \(b\ge\epsilon\), sehingga

\[\begin{aligned}a^p\gamma &=a^p\phi_2(\Bover{\epsilon}2) \le a^p\phi_2(\Bover{b}{a})\\ \displaycause{sekali lagi menurut (a-iii)} &=(a+b)^p+|a-b|^p =(\|u+v\|_p+\|u-v\|_p)^p+|\|u+v\|_p-\|u-v\|_p|^p\\ &\le\|2u\|_p^p+\|2v\|_p^p\\ \displaycause{menurut (i) di sini} &=2^{p+1}\\\end{aligned}\]

dan \(a\le 2\bigl(\Bover{2}{\gamma}\bigr)^{1/p}=2-\delta\). ∎ Karena \(u\), \(v\) dan \(\epsilon\) sembarang, \(L^p\) konveks seragam.

Catatan Pertidaksamaan dalam (b-i) dan (c-i) dari bukti tersebut disebut pertidaksamaan Hanner.

244P \(L^p\) kompleks

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

244Pa (a)

Untuk sebarang \(p\in\ooint{1,\infty}\), tetapkan

\(\eusm L^p_{\Bbb C}=\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu) =\{f:f\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu),\,|f|^p\) terintegralkan\(\}\),

\[\begin{aligned}L^p_{\Bbb C}=L^p_{\Bbb C}(\mu) &=\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^p_{\Bbb C}\}\\ &=\{u:u\in L^0_{\Bbb C}(\mu),\,\Real(u)\in L^p(\mu)\text{ dan } \Imag(u)\in L^p(\mu)\}\\ &=\{u:u\in L^0_{\Bbb C}(\mu),\,|u|\in L^p(\mu)\}.\\\end{aligned}\]

Maka \(L^p_{\Bbb C}\) merupakan subruang linear dari \(L^0_{\Bbb C}(\mu)\). Tetapkan \(\|u\|_p=\||u|\|_p=(\int|u|^p)^{1/p}\) untuk \(u\in L^p_{\Bbb C}\).

244Pb (b)

Bukti 244E(b-i) berlaku tanpa perubahan untuk fungsi bernilai kompleks, sehingga dengan mengambil \(q=p/(p-1)\) kita memperoleh

\(\|u\times v\|_1\le\|u\|_p\|v\|_q\)

untuk semua \(u\in L^p_{\Bbb C}\), \(v\in L^q_{\Bbb C}\). 244Fa menjadi

untuk setiap \(u\in L^p_{\Bbb C}\) terdapat \(v\in L^q_{\Bbb C}\) sedemikian sehingga \(\|v\|_q\le 1\) dan

\(\int u\times v=|\int u\times v|=\|u\|_p\).

bukti yang sama berlaku, jika Anda menghilangkan semua penyebutan fungsional \(\tau\), dan mengizinkan saya menuliskan \(\sgn a=|a|/a\) untuk semua bilangan kompleks tak nol – mungkin lebih wajar menuliskan \(\overline{\sgn}a\) sebagai pengganti \(\sgn a\). Jadi, seperti sebelumnya, kita mendapati bahwa \(\|\,\|_p\) merupakan suatu norma. Kita dapat menggunakan argumen 244G untuk menunjukkan bahwa \(L^p_{\Bbb C}\) lengkap. (Sebagai alternatif, perhatikan bahwa suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^0_{\Bbb C}\) bersifat Cauchy, atau konvergen, jika dan hanya jika bagian real dan imajinernya demikian.) Ruang \(S_{\Bbb C}\) dari kelas-kelas ekuivalensi ‘fungsi sederhana bernilai kompleks’ padat dalam \(L^p_{\Bbb C}\). Jika \(X\) subhimpunan dari \(\BbbR^r\) dan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(X\), maka ruang kelas-kelas ekuivalensi fungsi bernilai kompleks kontinu pada \(X\) dengan dukungan terbatas padat dalam \(L^p_{\Bbb C}\).

244Pc (c)

Peta kanonik \(T:L^q_{\Bbb C}\to (L^p_{\Bbb C})^*\), yang didefinisikan dengan menuliskan \((Tv)(u)=\int u\times v\), bersifat surjektif karena \(T\restr L^q:L^q\to (L^p)^*\) surjektif; dan peta itu merupakan isometri menurut catatan dalam (b) tepat di atas. Jadi kita masih dapat mengidentifikasi \(L^q_{\Bbb C}\) dengan \((L^p_{\Bbb C})^*\).

244Pd (d)

Ketika kita sampai pada bentuk kompleks pertidaksamaan Jensen, tampaknya diperlukan suatu gagasan baru. Saya menempatkan ini dalam 242Yk-242Yl. Namun, untuk bentuk kompleks 244M, argumen yang lebih sederhana sudah memadai. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\) dan \(P:L^1_{\Bbb C}(\mu)\to L^1_{\Bbb C}(\mu\restrp\Tau)\) operator ekspektasi bersyarat yang sesuai, maka untuk sebarang \(u\in L^p_{\Bbb C}\) kita akan mempunyai

\(|Pu|^p\le(P|u|)^p\le P(|u|^p)\),

dengan menerapkan 242Pc dan 244M. Jadi \(\|Pu\|_p\le\|u\|_p\), seperti sebelumnya.

244Pe (e)

Terdapat satu hal khusus yang muncul pada \(L^2_{\Bbb C}\). Sekarang kita harus mendefinisikan

\(\innerprod{u}{v}=\int u\times\bar v\)

untuk \(u\), \(v\in L^2_{\Bbb C}\), sehingga \(\innerprod{u}{u}=\int|u|^2=\|u\|_2^2\) untuk setiap \(u\); ini berarti bahwa \(\innerprod{v}{u}\) merupakan konjugat kompleks dari \(\innerprod{u}{v}\).

Latihan

244X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya. Tunjukkan bahwa \(\eusm L^p(\hat\mu)=\eusm L^p(\mu)\) dan \(L^p(\hat\mu)=L^p(\mu)\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\).

244Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(1\le p\le q\le r\le\infty\). Tunjukkan bahwa \(L^p(\mu)\cap L^r(\mu)\subseteq L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu)+L^r(\mu)\subseteq L^0(\mu)\). (Lihat pula 244Yh.)

244Xc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Andaikan \(p\), \(q\), \(r\in[1,\infty]\) dan \(\bover1p+\bover1q=\bover1r\), dengan menetapkan \(\bover1{\infty}=0\) seperti biasa. Tunjukkan bahwa \(u\times v\in L^r(\mu)\) dan \(\|u\times v\|_r\le\|u\|_p\|v\|_q\) setiap kali \(u\in L^p(\mu)\) dan \(v\in L^q(\mu)\). Petunjuk: jika \(r<\infty\), terapkan pertidaksamaan Hölder pada \(|u|^r\in L^{p/r}\), \(|v|^r\in L^{q/r}\).

244Xd (>d) penting

(i) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas. Tunjukkan bahwa jika \(1\le p\le r\le\infty\), maka \(\|f\|_p\le\|f\|_r\) untuk setiap \(f\in{\eusm L}^r(\mu)\). Petunjuk: gunakan pertidaksamaan Hölder untuk menunjukkan bahwa \(\int|f|^p\le\||f|^p\|_{r/p}\). Secara khusus, \({\eusm L}^p(\mu)\supseteq {\eusm L}^r(\mu)\). (ii) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur sedemikian sehingga \(\mu E\ge 1\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E>0\). (Ini terjadi, misalnya, ketika \(\mu\) merupakan ‘ukuran pencacahan’ pada \(X\).) Tunjukkan bahwa jika \(1\le p\le r\le\infty\), maka \(L^p(\mu)\subseteq L^r(\mu)\) dan \(\|u\|_p\ge\|u\|_r\) untuk setiap \(u\in L^p(\mu)\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu kasus \(\|u\|_p=1\).

244Xe (>e) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga, dan \(p\), \(q\in[1,\infty]\) sedemikian sehingga \(\bover1p+\bover1q=1\). Tunjukkan bahwa jika \(u\in L^0(\mu)\setminus L^p(\mu)\), maka terdapat \(v\in L^q(\mu)\) sedemikian sehingga \(u\times v\notin L^1(\mu)\). Petunjuk: reduksikan ke kasus \(u\ge 0\). Tunjukkan bahwa dalam kasus ini, untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(u_n\le u\) sedemikian sehingga \(4^n\le\|u_n\|_p<\infty\); ambil \(v_n\in L^q\) sedemikian sehingga \(\|v_n\|_q\le 2^{-n}\) dan \(\int u_n\times v_n\ge 2^n\), lalu tetapkan \(v=\sum_{n=0}^{\infty}v_n\).

244Xf (f)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang ukur, dan \((X,\Sigma,\mu)\) jumlah langsungnya (214L). Ambil sebarang \(p\in\coint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa isomorfisme kanonik antara \(L^0(\mu)\) dan \(\prod_{i\in I}L^0(\mu_i)\) (241Xd) menginduksi suatu isomorfisme antara \(L^p(\mu)\) dan subruang

\(\{u:u\in\prod_{i\in I}L^p(\mu_i),\, \|u\|=\bigl(\sum_{i\in I}\|u(i)\|_p^p)^{1/p}<\infty\}\)

dari \(\prod_{i\in I}L^p(\mu_i)\).

244Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tetapkan \(M^{\infty,1}=L^1(\mu)\cap L^{\infty}(\mu)\). Tunjukkan bahwa untuk \(u\in M^{\infty,1}\), fungsi \(p\mapsto\|u\|_p:\coint{1,\infty}\to\coint{0,\infty}\) kontinu, dan bahwa \(\|u\|_{\infty}=\lim_{p\to\infty}\|u\|_p\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu kasus ketika \(u\) merupakan kelas ekuivalensi dari suatu fungsi sederhana.

244Xh (h)

Misalkan \(\mu\) ukuran pencacahan pada \(X=\{1,2\}\), sehingga \(\eusm L^0(\mu)=\BbbR^2\) dan \(L^p(\mu)=L^0(\mu)\) dapat diidentifikasi dengan \(\BbbR^2\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\). Buat sketsa bola satuan \(\{u:\|u\|_p\le 1\}\) dalam \(\BbbR^2\) untuk \(p=1\), \(\bover32\), \(2\), \(3\) dan \(\infty\).

244Xi (i)

Misalkan \(\mu\) ukuran pencacahan pada \(X=\{1,2,3\}\), sehingga \(\eusm L^0(\mu)=\BbbR^3\) dan \(L^p(\mu)=L^0(\mu)\) dapat diidentifikasi dengan \(\BbbR^3\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\). Uraikan bola satuan \(\{u:\|u\|_p\le 1\}\) dalam \(\BbbR^3\) untuk \(p=1\), \(2\) dan \(\infty\).

244Xj (j)

Pada titik mana sajakah argumen 244Hb gagal jika kita mencoba menerapkannya pada \(L^{\infty}\) dengan \(\|\,\|_{\infty}\)?

244Xk (k)

Misalkan \(p\in\coint{1,\infty}\). (i) Tunjukkan bahwa \(|a^p-b^p|\ge|a-b|^p\) untuk semua \(a\), \(b\ge 0\). Petunjuk: untuk \(a>b\), diferensiasikan kedua ruas terhadap \(a\). (ii) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(U\) suatu subruang linear dari \(L^0(\mu)\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(|u|\in U\) untuk setiap \(u\in U\) (\(\beta\)) \(u^{1/p}\in U\) untuk setiap \(u\in U\) (\(\gamma\)) \(U\cap L^1\) padat dalam \(L^1=L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(U\cap L^p\) padat dalam \(L^p=L^p(\mu)\). Petunjuk: periksa terlebih dahulu bahwa \(\{u:u\in U\cap L^1\), \(u\ge 0\}\) padat dalam \(\{u:u\in L^1\), \(u\ge 0\}\). (iii) Gunakan ini untuk membuktikan 244H dari 242M dan 242O.

244Xl (l)

Untuk sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), tuliskan \(M^{1,\infty}=M^{1,\infty}(\mu)\) untuk \(\{v+w:v\in L^1(\mu),\,w\in L^{\infty}(\mu)\}\subseteq L^0(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(M^{1,\infty}\) merupakan subruang linear dari \(L^0\) yang memuat \(L^p\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\), dan bahwa jika \(u\in L^0\), \(v\in M^{1,\infty}\) dan \(|u|\le |v|\), maka \(u\in M^{1,\infty}\). Petunjuk: \(u=v\times w\) dengan \(|w|\le\chi X^{\ssbullet}\).

244Xm (m)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) dua ruang ukur, dan misalkan \(\Cal T^+\) himpunan operator linear \(T:M^{1,\infty}(\mu)\to M^{1,\infty}(\nu)\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(Tu\ge 0\) setiap kali \(u\ge 0\) dalam \(M^{1,\infty}(\mu)\) (\(\beta\)) \(Tu\in L^1(\nu)\) dan \(\|Tu\|_1\le\|u\|_1\) setiap kali \(u\in L^1(\mu)\) (\(\gamma\)) \(Tu\in L^{\infty}(\nu)\) dan \(\|Tu\|_{\infty}\le\|u\|_{\infty}\) setiap kali \(u\in L^{\infty}(\mu)\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi konveks sedemikian sehingga \(\phi(0)=0\), dan \(u\in M^{1,\infty}(\mu)\) sedemikian sehingga \(\bar\phi(u)\in M^{1,\infty}(\mu)\) (dengan menafsirkan \(\bar\phi:L^0(\mu)\to L^0(\mu)\) seperti dalam 241I), maka \(\bar\phi(Tu)\in M^{1,\infty}(\nu)\) dan \(\bar\phi(Tu)\le T(\bar\phi(u))\) untuk setiap \(T\in\Cal T^+\). (ii) Oleh karena itu, tunjukkan bahwa jika \(p\in[1,\infty]\) dan \(u\in L^p(\mu)\), maka \(Tu\in L^p(\nu)\) dan \(\|Tu\|_p\le\|u\|_p\) untuk setiap \(T\in\Cal T^+\).

244Xn (>n) penting

Misalkan \(X\) sebarang himpunan, dan misalkan \(\mu\) ukuran pencacahan pada \(X\). Dalam kasus ini lazim dituliskan \(\ell^p(X)\) untuk \({\eusm L}^p(\mu)\), dan ruang itu diidentifikasi dengan \(L^p(\mu)\). Secara khusus, \(L^2(\mu)\) menjadi diidentifikasi dengan \(\ell^2(X)\), ruang fungsi yang dapat dijumlahkan-kuadrat pada \(X\). Tuliskan pernyataan dan bukti hasil-hasil bagian ini yang disesuaikan dengan kasus khusus ini.

244Xo (o)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Tunjukkan bahwa peta \(g\mapsto g\phi:\eusm L^0(\nu)\to\eusm L^0(\mu)\) (241Xg) menginduksi suatu peta yang mempertahankan norma dari \(L^p(\nu)\) ke \(L^p(\mu)\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\), dan juga suatu peta dari \(M^{1,\infty}(\nu)\) ke \(M^{1,\infty}(\mu)\) yang termasuk dalam kelas \(\Cal T^+\) dari 244Xm.

244Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) versi c.l.d.-nya. Tunjukkan bahwa \(\eusm L^p(\mu)\subseteq\eusm L^p(\tilde\mu)\) dan bahwa pembenaman ini menginduksi suatu isomorfisme kisi Banach antara \(L^p(\mu)\) dan \(L^p(\tilde\mu)\), untuk setiap \(p\in\coint{1,\infty}\).

244Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa \(L^p(\mu)\) mempunyai sifat supremum terhitung dalam arti 241Ye. Petunjuk: 242Yh.

244Yc (c)

Andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan bahwa \(p\in\ooint{0,1}\), \(q<0\) sedemikian sehingga \(\bover1p+\bover1q=1\). (i) Tunjukkan bahwa \(ab\ge\bover1pa^p+\bover1qb^q\) untuk semua bilangan real \(a\ge 0\), \(b>0\). Petunjuk: tetapkan \(p'=\bover1p\), \(q'=\bover{p'}{p'-1}\), \(c=(ab)^p\), \(d=b^{-p}\) dan terapkan 244Ea. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\in\eusm L^0(\mu)\) nonnegatif dan \(E=\{x:x\in\dom g\), \(g(x)>0\}\), maka

\((\int_Ef^p)^{1/p}(\int_Eg^q)^{1/q} \le\int f\times g\).

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\in\eusm L^0(\mu)\) nonnegatif, maka

\((\int f^p)^{1/p}+(\int g^p)^{1/p} \le(\int(f+g)^p)^{1/p}\).

244Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(Y\) subhimpunan dari \(X\); tuliskan \(\mu_Y\) untuk ukuran subruang pada \(Y\). Tunjukkan bahwa peta kanonik \(T\) dari \(L^0(\mu)\) pada \(L^0(\mu_Y)\) (241Yg) memuat suatu surjeksi dari \(L^p(\mu)\) pada \(L^p(\mu_Y)\) untuk setiap \(p\in[1,\infty]\), dan juga suatu peta dari \(M^{1,\infty}(\mu)\) ke \(M^{1,\infty}(\mu_Y)\) yang termasuk dalam kelas \(\Cal T^+\) dari 244Xm. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) terdapat suatu \(p\in\coint{1,\infty}\) sedemikian sehingga \(T\restr L^p(\mu)\) injektif; (ii) \(T:L^p(\mu)\to L^p(\mu_Y)\) mempertahankan norma untuk setiap \(p\in\coint{1,\infty}\); (iii) \(F\cap Y\ne\emptyset\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(0<\mu F<\infty\).

244Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa norma \(\|\,\|_p\) pada \(L^p(\mu)\) kontinu-urutan dalam arti 242Yg.

244Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in[1,\infty]\). Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq L^p(\mu)\) terarah ke atas dan terbatas norma, maka himpunan itu terbatas di atas. Petunjuk: 242Yf.

244Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(p\in[1,\infty]\). Tunjukkan bahwa jika suatu himpunan tak kosong \(A\subseteq L^p(\mu)\) terarah ke atas dan mempunyai supremum dalam \(L^p(\mu)\), maka \(\|\sup A\|_p\le\sup_{u\in A}\|u\|_p\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu kasus \(0\in A\).

244Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(u\in L^0(\mu)\). (i) Tunjukkan bahwa \(I=\{p:p\in\coint{1,\infty},\,u\in L^p(\mu)\}\) merupakan suatu interval. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa interval itu dapat terbuka, tertutup, atau setengah terbuka. (ii) Tunjukkan bahwa \(p\mapsto p\ln\|u\|_p:I\to\Bbb R\) konveks. Petunjuk: jika \(p<q\) dan \(t\in\ooint{0,1}\), perhatikan bahwa \(\int|u|^{tp+(1-t)q}\le\||u|^{pt}\|_{1/t}\||u|^{q(1-t)}\|_{1/(1-t)}\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(p\le q\le r\) dalam \(I\), maka \(\|u\|_q\le\max(\|u\|_p,\|u\|_r)\).

244Yi (i)

Misalkan \([a,b]\) suatu interval tertutup tak trivial dalam \(\Bbb R\) dan \(F:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi; ambil \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(F\) kontinu mutlak dan turunannya \(F'\) termasuk dalam \(\eusm L^p(\mu)\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \([a,b]\) (ii)

\(c=\sup\{\sum_{i=1}^n\Bover{|F(a_i)-F(a_{i-1})|^p} {(a_i-a_{i-1})^{p-1}}:a\le a_0<a_1<\ldots<a_n\le b\}\)

berhingga, dan bahwa dalam hal ini \(c=\|F'\|_p\). Petunjuk: (i) jika \(F\) kontinu mutlak dan \(F'\in\eusm L^p\), gunakan pertidaksamaan Hölder untuk menunjukkan bahwa \(|F(b')-F(a')|^p\le(b'-a')^{p-1}\int_{a'}^{b'}|F'|^p\) setiap kali \(a\le a'\le b'\le b\). (ii) Jika \(F\) memenuhi syarat tersebut, tunjukkan bahwa \((\sum_{i=0}^n|F(b_i)-F(a_i)|)^p\le c(\sum_{i=0}^n(b_i-a_i))^{p-1}\) setiap kali \(a\le a_0\le b_0\le a_1\le\ldots\le b_n\le b\), sehingga \(F\) kontinu mutlak. Ambil suatu barisan \(\sequencen{F_n}\) dari fungsi poligonal yang menghampiri \(F\); gunakan 223Xj untuk menunjukkan bahwa \(F'_n\to F'\) hampir di mana-mana, sehingga \(\int|F'|^p\le\sup_{n\in\Bbb N}\int|F'_n|^p\le c^p\).

244Yj (j)

Misalkan \(G\) suatu himpunan terbuka dalam \(\BbbR^r\) dan tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(G\). Misalkan \(C_k(G)\) himpunan fungsi kontinu \(f:G\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\inf\{\|x-y\|:x\in G,\,f(x)\ne 0,\,y\in\BbbR^r\setminus G\}>0\) (dengan menghitung \(\inf\emptyset\) sebagai \(\infty\)). Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(p\in\coint{1,\infty}\), himpunan \(\{f^{\ssbullet}:f\in C_k(G)\}\) merupakan subruang linear padat dari \(L^p(\mu)\).

244Yk (k)

Misalkan \(U\) sebarang ruang Hilbert. (i) Tunjukkan bahwa jika \(C\subseteq U\) konveks (yakni, \(tu+(1-t)v\in C\) setiap kali \(u\), \(v\in C\) dan \(t\in[0,1]\); lihat 233Xd), tertutup dan tak kosong, serta \(u\in U\), maka terdapat tepat satu \(v\in C\) sedemikian sehingga \(\|u-v\|=\inf_{w\in C}\|u-w\|\), dan \(\innerprod{u-v}{v-w}\ge 0\) untuk setiap \(w\in C\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(h\in U^*\), terdapat tepat satu \(v\in U\) sedemikian sehingga \(h(w)=\innerprod{w}{v}\) untuk setiap \(w\in U\). Petunjuk: terapkan (i) dengan \(C=\{w:h(w)=1\}\), \(u=0\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(V\subseteq U\) suatu subruang linear tertutup, maka terdapat tepat satu proyeksi linear \(P\) pada \(U\) sedemikian sehingga \(P[U]=V\) dan \(\innerprod{u-Pu}{v}=0\) untuk semua \(u\in U\), \(v\in V\) (\(P\) bersifat ‘ortogonal’). Petunjuk: ambil \(Pu\) sebagai titik \(V\) yang terdekat dengan \(u\).

244Yl (l)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Gunakan bagian (iii) dari 244Yk untuk menunjukkan bahwa terdapat suatu proyeksi ortogonal \(P:L^2(\mu)\to L^2(\mu\restrp\Tau)\) sedemikian sehingga \(\int_FPu=\int_Fu\) untuk setiap \(u\in L^2(\mu)\) dan \(F\in\Tau\). Tunjukkan bahwa \(Pu\ge 0\) setiap kali \(u\ge 0\) dan bahwa \(\int Pu=\int u\) untuk setiap \(u\), sehingga \(P\) mempunyai perluasan unik menjadi suatu operator kontinu dari \(L^1(\mu)\) pada \(L^1(\mu\restrp\Tau)\). Gunakan ini untuk mengembangkan teori ekspektasi bersyarat tanpa menggunakan teorema Radon-Nikodým.

244Ym (m)

(Roselli \& Willem 02) (i) Tetapkan \(C=\coint{0,\infty}^2\subseteq\BbbR^2\). Misalkan \(\phi:C\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu sedemikian sehingga \(\phi(tz)=t\phi(z)\) untuk semua \(z\in C\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) konveks (definisi: 233Xd) jika dan hanya jika \(t\mapsto\phi(1,t):\coint{0,\infty}\to\Bbb R\) konveks. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(p\in\ooint{1,\infty}\) dan \(q=\bover{p}{p-1}\), maka \((s,t)\mapsto -s^{1/p}t^{1/q}\), \((s,t)\mapsto -(s^{1/p}+t^{1/p})^p:C\to\Bbb R\) konveks. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(p\in[1,2]\), maka \((s,t)\mapsto|s^{1/p}+t^{1/p}|^p+|s^{1/p}-t^{1/p}|^p\) konveks. (iv) Tunjukkan bahwa jika \(p\in\coint{2,\infty}\), maka \((s,t)\mapsto -|s^{1/p}+t^{1/p}|^p-|s^{1/p}-t^{1/p}|^p\) konveks. (v) Gunakan (ii) dan 233Yj untuk membuktikan pertidaksamaan Hölder dan Minkowski. (vi) Gunakan (iii) dan (iv) untuk membuktikan pertidaksamaan Hanner. (vii) Sesuaikan metode tersebut untuk menjawab (ii) dan (iii) dari 244Yc.

244Yn (n)

(i) Tunjukkan bahwa setiap ruang hasil kali dalam bersifat konveks seragam. (ii) Misalkan \(U\) suatu ruang Banach konveks seragam, \(C\subseteq U\) suatu himpunan konveks tertutup tak kosong, dan \(u\in U\). Tunjukkan bahwa terdapat tepat satu \(v_0\in C\) sedemikian sehingga \(\|u-v_0\|=\inf_{v\in C}\|u-v\|\). (iii) Misalkan \(U\) suatu ruang Banach konveks seragam, dan \(A\subseteq U\) suatu himpunan terbatas tak kosong. Tetapkan \(\delta_0=\inf\{\delta:\) terdapat \(u\in U\) sedemikian sehingga \(A\subseteq B(u,\delta)=\{v:\|v-u\|\le\delta\}\}\). Tunjukkan bahwa terdapat tepat satu \(u_0\in U\) sedemikian sehingga \(A\subseteq B(u_0,\delta_0)\).

244Yo (o)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(u\in L^0(\mu)\). Andaikan \(\sequencen{p_n}\) suatu barisan dalam \([1,\infty]\) dengan limit \(p\in[1,\infty]\). Tunjukkan bahwa jika \(\limsup_{n\to\infty}\|u\|_{p_n}\) berhingga, maka \(\lim_{n\to\infty}\|u\|_{p_n}\) terdefinisi dan sama dengan \(\|u\|_p\).

Catatan dan komentar

244-notes Catatan penutup untuk Bagian 244

Pada titik ini saya merasa kita harus meninggalkan penyelidikan ruang fungsi lebih lanjut. Tahap berikutnya harus berupa analisis abstrak yang sistematis atas kisi Banach umum. Ruang-ruang \(L^p\) memberikan landasan kukuh bagi analisis semacam itu, karena ruang-ruang tersebut memperkenalkan tema dasar kelengkapan norma, kelengkapan urutan, dan identifikasi ruang dual. Dalam latihan-latihan saya telah mencoba menunjukkan pentingnya lapisan konsep berikutnya: kekontinuan-urutan norma dan hubungan antara keterbatasan norma dan keterbatasan urutan. Hal yang belum sempat saya bahas adalah operator linear yang mempertahankan urutan di antara ruang-ruang Riesz, yang menjadi kunci untuk memahami struktur urutan ruang-ruang dual di sini. (Namun Anda dapat memulai dengan membaca ulang teori operator ekspektasi bersyarat dalam 242J-242L,

243J dan 244M.) Semua topik ini dibahas dalam Fremlin 74 dan dalam Bab 35 dan 36 pada jilid berikutnya.

Saya ingat salah seorang guru analisis saya dahulu mengatakan bahwa ruang-ruang \(L^p\) (untuk \(p\ne 1\), \(2\), \(\infty\)) entah bagaimana telah masuk ke silabus dan tidak pernah dikeluarkan lagi. Saya sendiri akan menyebutnya klasik, dalam arti bahwa ruang-ruang tersebut telah menjadi bagian dari pengalaman bersama semua analis fungsional sejak analisis fungsional dimulai; dan walaupun Anda bebas tidak menyukainya, Anda tidak dapat mengabaikannya sebagaimana Anda tidak dapat mengabaikan Milton jika mempelajari puisi Inggris. Pertidaksamaan Hölder, khususnya, mempunyai banyak sekali penerapan; bukan hanya 244F dan 244K, melainkan juga, misalnya, 244Xc-244Xd dan 244Yh-244Yi.

Ruang-ruang \(L^p\), untuk \(1\le p\le \infty\), membentuk semacam kontinum. Ditinjau dari konsep-konsep yang dibahas di sini, tidak ada perbedaan yang dapat ditarik di antara berbagai ruang \(L^p\) untuk \(1<p<\infty\), kecuali pengamatan bahwa norma \(L^2\) merupakan norma hasil kali dalam, yang bersesuaian dengan geometri Euklides pada subruang-subruang berdimensi hingganya. Untuk membedakan ruang-ruang \(L^p\) yang lain, kita memerlukan konsep-konsep yang jauh lebih halus dalam geometri ruang bernorma.

Ditinjau dari teorema-teorema yang diberikan di sini, \(L^1\) tampaknya lebih dekat dengan rentang tengah \(L^p\) untuk \(1<p<\infty\) daripada \(L^{\infty}\); jadi, untuk semua \(1\le p<\infty\), \(L^p\) lengkap Dedekind (tidak bergantung pada ruang ukur yang terlibat), ruang \(S\) dari kelas ekuivalensi fungsi sederhana padat dalam \(L^p\) (sekali lagi, untuk setiap ruang ukur), dan dual \((L^p)^*\) (hampir) dapat diidentifikasi sebagai ruang fungsi yang lain. Semua ini patut dipandang, dengan satu atau lain cara, sebagai akibat kekontinuan-urutan norma \(L^p\) untuk \(p<\infty\). Hambatan utama terhadap identifikasi universal \((L^1)^*\) dengan \(L^{\infty}\) adalah bahwa untuk ruang ukur yang bukan \(\sigma\)-hingga, ruang \(L^{\infty}\) dapat tidak memadai, dan bukan karena adanya patologi dalam ruang \(L^1\) itu sendiri. (Setidaknya pokok ini hendak saya bahas kembali dalam Volume 3.) Ada pula pokok bahwa untuk ruang ukur yang tidak semihingga, himpunan yang murni tak hingga dapat menyumbang pada \(L^{\infty}\) tanpa sumbangan yang bersesuaian pada \(L^1\). Untuk \(1<p<\infty\), kedua masalah ini tidak dapat timbul. Setiap anggota dari setiap \(L^p\) demikian didukung sepenuhnya oleh bagian \(\sigma\)-hingga dari ruang ukur, dan hal yang sama berlaku bagi dualnya – lihat bagian (c) dari bukti 244K.

Tentu saja \(L^1\) memang mempunyai geometri yang nyata berbeda dari ruang-ruang \(L^p\) lainnya. Tanda pertama ialah bahwa ia tidak refleksif sebagai ruang Banach (kecuali ketika berdimensi hingga), sedangkan untuk \(1<p<\infty\) identifikasi \((L^p)^*\) dengan \(L^q\) dan \((L^q)^*\) dengan \(L^p\), dengan \(q=p/(p-1)\), menunjukkan bahwa pembenaman kanonik \(L^p\) ke dalam \((L^p)^{**}\) surjektif, yaitu bahwa \(L^p\) refleksif. Namun bahkan ketika \(L^1\) berdimensi hingga, bola satuan \(L^1\) dan \(L^{\infty}\) jelas berbeda jenis dari bola satuan \(L^p\) untuk \(1<p<\infty\); bola-bola itu mempunyai sudut, alih-alih membulat dengan mulus (244Xh-244Xi). Ungkapan langsung dari perbedaan tersebut terdapat dalam 244O. Seperti biasa, kasus \(p=2\) jauh lebih penting daripada kasus umum dan luar biasa lebih mudah (244Yn(i)); dan perhatikan bagaimana pertidaksamaan Hanner berbalik pada \(p=2\). (Lihat 244Yc untuk pembalikan pertidaksamaan Hölder dan Minkowski pada \(p=1\).) Ada keadaan ketika berguna untuk mengetahui bahwa \(\|\,\|_1\) dan \(\|\,\|_{\infty}\) dapat dihampiri, dengan cara yang dapat diuraikan secara tepat, oleh norma konveks seragam (244Yo). Saya telah menuliskan bukti 244O berdasarkan kecerdikan dan kalkulus lanjut, seperti bukti 244E. Dengan sedikit lebih banyak tentang himpunan dan fungsi konveks, yang digambarkan dalam 233Yf-233Yj,

terdapat bukti alternatif yang mencolok (244Ym). Tentu saja bukti 244Ea juga menggunakan kekonveksan, dalam arah yang terbalik.

Bukti 244K, yang mengidentifikasi \((L^p)^*\), merupakan perjalanan yang cukup panjang, dan wajar untuk bertanya apakah kita benar-benar harus bekerja sekeras itu, khususnya karena dalam kasus \(L^2\) kita mempunyai argumen yang jauh lebih mudah (244Yk). Tentu saja kita dapat bergerak lebih cepat jika mengetahui sedikit lebih banyak tentang kisi Banach (§369 dalam Volume 3 memuat fakta-fakta yang relevan), meskipun rute ini menggunakan beberapa teorema yang sama sulitnya dengan 244K sebagaimana diberikan. Terdapat rute alternatif yang menggunakan geometri ruang \(L^p\), mengikuti gagasan 244Yk, tetapi saya tidak menganggapnya lebih mudah, dan argumen yang saya sajikan di sini setidaknya mempunyai keutamaan menggunakan sebagian gagasan yang sama dengan identifikasi \((L^1)^*\) dalam 243G. Perbedaannya ialah bahwa sementara dalam 243G kita mungkin harus merangkai suatu keluarga besar fungsi \(g_F\) (bagian (b-v) dari bukti), dalam 244K hanya terdapat fungsi-fungsi \(g_n\) yang terhitung; akibatnya kita dapat membuat argumen ini berlaku untuk ruang ukur sembarang, bukan hanya ruang yang dapat dilokalkan.

Geometri ruang Hilbert memberi kita suatu pendekatan terhadap ekspektasi bersyarat yang tidak bergantung pada teorema Radon-Nikodým (244Yl). Namun, untuk mengubah gagasan-gagasan ini menjadi bukti teorema Radon-Nikodým itu sendiri diperlukan daya penentuan dan kecerdikan yang dapat digunakan dengan lebih baik di tempat lain.

Argumen kekonveksan 233J/242K dapat digunakan pada banyak operator selain ekspektasi bersyarat (lihat 244Xm). Kelas ‘\(\Cal T^+\)’ yang diuraikan di sana sebenarnya bukan kelas terbesar yang membuat argumen ini berlaku; saya membawa gagasan-gagasan tersebut lebih jauh dalam Bab 37. Masih ada jauh lebih banyak yang dapat dikatakan jika Anda menempatkan sebarang pasangan ruang \(L^p\) sebagai pengganti \(L^1\) dan \(L^{\infty}\) dalam 244Xl. 244Yh merupakan permulaan, tetapi untuk hasil sesungguhnya (‘teorema kekonveksan Riesz’) saya merujuk Anda ke Zygmund 59, XII.1.11 atau Dunford \& Schwartz 57, VI.10.11.