Ukuran luar dari ukuran — Fondasi Teori Ukuran

Topik berikut yang ingin saya bahas adalah suatu konstruksi sederhana dengan penerapan di mana-mana dalam teori ukuran. Dengan setiap ukuran terkait, secara langsung, suatu ukuran luar baku (132A–132B). Jika kita mulai dengan ukuran Lebesgue, kita kembali memperoleh ukuran luar Lebesgue (132C). Saya memanfaatkan kesempatan ini untuk memperkenalkan gagasan ‘selubung terukur’ (132D–132E).

132A Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Definisikan \(\mu^*: \Cal PX\to[0,\infty]\) dengan menuliskan

\(\mu^*A=\inf\{\mu E:E\in\Sigma,\,A\subseteq E\}\)

untuk setiap \(A\subseteq X\). Maka

(a) untuk setiap \(A\subseteq X\) terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu^*A=\mu E\);

(b) \(\mu^*\) merupakan ukuran luar pada \(X\);

(d) suatu himpunan \(A\subseteq X\) bersifat \(\mu\)-terabaikan jika dan hanya jika \(\mu^*A=0\);

(e) \(\mu^*(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)=\lim_{n\to\infty}\mu^*A_n\) untuk setiap barisan tak-menurun \(\sequencen{A_n}\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\);

(f) \(\mu^*A=\mu^*(A\cap F)+\mu^*(A\setminus F)\) kapan pun \(A\subseteq X\) dan \(F\in\Sigma\).

Bukti

(a) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat memilih \(E_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E_n\) dan \(\mu E_n\le\mu^*A+2^{-n}\); sekarang \(E=\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\), \(A\subseteq E\), dan

\(\mu^*A\le\mu E\le\inf_{n\in\Bbb N}\mu E_n\le\mu^*A\).

(b)(i) \(\mu^*\emptyset=\mu\emptyset=0\). (ii) Jika \(A\subseteq B\subseteq X\), maka \(\{E:A\subseteq E\in\Sigma\}\supseteq \{E:B\subseteq E\in\Sigma\}\) sehingga \(\mu^*A\le\mu^*B\). (iii) Jika \(\sequencen{A_n}\) adalah sembarang barisan dalam \(\Cal PX\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(E_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A_n\subseteq E_n\) dan \(\mu E_n=\mu^*A_n\); sekarang \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\) sehingga

\(\mu^*(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n) \le\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n=\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*A_n\).

(c) Ini benar karena \(\mu E\le\mu F\) setiap kali \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(E\subseteq F\).

(d) Menurut (a), \(\mu^*A=0\) jika dan hanya jika terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=0\); tetapi inilah definisi ‘himpunan terabaikan’.

(e) Tentu saja \(\sequencen{\mu^*A_n}\) merupakan barisan tak-menurun dengan limit paling besar \(\mu^*A\), jika ditulis \(A=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\), hanya karena \(\mu^*B\le\mu^*C\) setiap kali \(B\subseteq C\subseteq X\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), ambil \(E_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A_n\subseteq E_n\) dan \(\mu E_n=\mu^*A_n\). Tetapkan \(F_n=\bigcap_{m\ge n}E_m\) untuk setiap \(n\); maka \(\sequencen{F_n}\) adalah barisan tak-menurun dalam \(\Sigma\), dan \(A_n\subseteq F_n\subseteq E_n\), sehingga \(\mu^*A_n=\mu F_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Tetapkan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\); maka \(A\subseteq F\) sehingga

\(\mu^*A\le\mu F=\lim_{n\to\infty}\mu F_n=\lim_{n\to\infty}\mu^*A_n\).

Jadi \(\mu^*A=\lim_{n\to\infty}\mu^*A_n\), sebagaimana diklaim.

(f) Tentu saja \(\mu^*A\le\mu^*(A\cap F)+\mu^*(A\setminus F)\), menurut (b). Di sisi lain, menurut (a) terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=\mu^*A\), dan sekarang \(A\cap F\subseteq E\cap F\in\Sigma\), \(A\setminus F\subseteq E\setminus F\in\Sigma\) sehingga

\(\mu^*(A\cap F)+\mu^*(A\setminus F) \le\mu(E\cap F)+\mu(E\setminus F)=\mu E=\mu^*A\).

132B Definisi

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, saya akan menyebut \(\mu^*\), sebagaimana didefinisikan dalam 132A, sebagai ukuran luar yang diturunkan dari \(\mu\).

Catatan Jika kita mulai dengan suatu ukuran luar \(\theta\) pada suatu himpunan \(X\), membangun ukuran \(\mu\) dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, lalu membangun ukuran luar \(\mu^*\) dari \(\mu\), tidak selalu berlaku bahwa \(\mu^*=\theta\). Bukti. Ambil sembarang himpunan \(X\) dengan sedikitnya tiga anggota, dan tetapkan \(\theta A=0\) jika \(A=\emptyset\), \(1\) jika \(A=X\), dan \(\bover12\) selain itu. Maka \(\dom\mu=\{\emptyset,X\}\) dan \(\mu^*A=1\) untuk setiap \(A\subseteq X\) tak- kosong. ∎

Namun, masalah ini tidak muncul pada ukuran luar Lebesgue. Saya menyatakan proposisi berikut dalam bentuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), tetapi jika Anda melewati §115 saya harap Anda tetap dapat memahaminya, dan hasil-hasil berikutnya, dalam bentuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) dengan menetapkan \(r=1\).

132C Proposisi

Jika \(\theta\) adalah ukuran luar Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue, maka \(\mu^*\), sebagaimana didefinisikan dalam 132A, sama dengan \(\theta\).

Catatan Dengan demikian, selanjutnya tidak perlu membedakan \(\theta\) dari \(\mu^*\) ketika membicarakan ‘ukuran luar Lebesgue’. (Dalam bahasa 132Xa di bawah, ukuran luar Lebesgue adalah ‘reguler’.) Secara khusus (menggunakan 132Aa), jika \(A\subseteq\BbbR^r\) terdapat himpunan terukur \(E\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\mu E=\theta A\) (bandingkan 134Fc).

132D Selubung terukur

Konsep berikut berguna dalam konteks ini. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(A\subseteq X\), sebuah selubung terukur (atau penutup terukur) dari \(A\) adalah himpunan \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu(F\cap E)=\mu^*(F\cap A)\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Secara umum, tidak setiap himpunan dalam ruang ukur memiliki selubung terukur (saya menyarankan contoh-contohnya dalam 216Yc di Jilid 2). Namun kita memiliki hasil berikut.

132E Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(A\subseteq E\in\Sigma\), maka \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\) jika dan hanya jika \(\mu F=0\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\setminus A\).

(b) Jika \(A\subseteq E\in\Sigma\) dan \(\mu E<\infty\), maka \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\) jika dan hanya jika \(\mu E=\mu^*A\).

(c) Jika \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\) dan \(H\in\Sigma\), maka \(E\cap H\) merupakan selubung terukur dari \(A\cap H\).

(d) Misalkan \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan subhimpunan-subhimpunan \(X\). Andaikan setiap \(A_n\) memiliki selubung terukur \(E_n\). Maka \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) merupakan selubung terukur dari \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\).

(e) Jika \(A\subseteq X\) dapat dicakup oleh suatu barisan himpunan-himpunan berukuran berhingga, maka \(A\) memiliki selubung terukur.

(f) Khususnya, jika \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), maka setiap subhimpunan \(\BbbR^r\) memiliki selubung terukur untuk \(\mu\).

Bukti

(a) Jika \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\), \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\setminus A\), maka

\(\mu F=\mu(F\cap E)=\mu^*(F\cap A)=0\).

Jika \(E\) bukan selubung terukur dari \(A\), terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu^*(A\cap H)<\mu(E\cap H)\). Ambil \(G\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\cap H\subseteq G\) dan \(\mu G=\mu^*(A\cap H)\), dan tetapkan \(F=E\cap H\setminus G\). Karena \(\mu G<\mu(E\cap H)\), maka \(\mu F>0\); tetapi juga \(F\subseteq E\) dan \(F\cap A\subseteq H\cap A \setminus G\) adalah kosong.

(b) Jika \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\), kita harus memiliki

\(\mu^*A=\mu^*(A\cap E)=\mu(E\cap E)=\mu E\).

Jika \(\mu E=\mu^*A\) dan \(F\in\Sigma\) merupakan subhimpunan \(E\setminus A\), maka \(A\subseteq E\setminus F\), sehingga \(\mu(E\setminus F)=\mu E\); karena \(\mu E\) berhingga, diperoleh \(\mu F=0\), sehingga syarat (a) terpenuhi dan \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\).

(c) Jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\cap H\setminus A\), maka \(F\subseteq E\setminus A\), sehingga menurut (a), \(\mu F=0\); karena \(F\) sembarang, menurut (a) lagi, \(E\cap H\) merupakan selubung terukur dari \(A\cap H\).

(d) Tuliskan \(A\) untuk \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\) dan \(E\) untuk \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Maka \(A\subseteq E\). Jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq E\setminus A\), maka, untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(F\cap E_n\subseteq E_n\setminus A_n\), sehingga menurut (a), \(\mu(F\cap E_n)=0\). Akibatnya \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F\cap E_n\) adalah terabaikan; karena \(F\) sembarang, \(E\) merupakan selubung terukur dari \(A\).

(e) Ambil barisan \(\sequencen{F_n}\) himpunan-himpunan berukuran berhingga yang mencakup \(A\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), ambil \(E_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\cap F_n\subseteq E_n\) dan \(\mu E_n=\mu^*(A\cap F_n)\) (menggunakan 132Aa); menurut (b), \(E_n\) adalah selubung terukur dari \(A\cap F_n\). Menurut (d), \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) merupakan selubung terukur dari \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A\cap F_n=A\).

(f) Dalam kasus ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), tentu saja barisan \(\sequencen{B_n}\) yang sama dapat digunakan untuk setiap \(A\), jika kita mengambil \(B_n\) sebagai interval setengah terbuka \(\coint{-\tbf{n},\tbf{n}}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dengan menuliskan \(\tbf{n}=(n,\ldots,n)\) seperti dalam §115.

132F Ukuran luar penuh

Ini saat yang tepat untuk memperkenalkan istilah berikut. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, suatu himpunan \(A\subseteq X\) disebut berukuran luar penuh atau tebal jika \(X\) merupakan selubung terukur dari \(A\); yaitu, jika \(\mu^*(F\cap A)=\mu F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\); secara ekuivalen, jika \(\mu F=0\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(F\subseteq X\setminus A\). Jika \(\mu X<\infty\), \(A\subseteq X\) berukuran luar penuh jika dan hanya jika \(\mu^*A=\mu X\).

Latihan

132X Latihan dasar \(\pmb{>}\) (a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\); misalkan \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\) yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, dan \(\mu^*\) adalah ukuran luar yang diturunkan dari \(\mu\) melalui konstruksi 132A. (i) Tunjukkan bahwa \(\mu^*A\ge\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq X\). (ii) \(\theta\) disebut sebagai ukuran luar reguler jika \(\theta=\mu^*\). Tunjukkan bahwa jika terdapat ukuran \(\nu\) pada \(X\) sedemikian sehingga \(\theta=\nu^*\), maka \(\theta\) reguler. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\theta\) reguler dan \(\sequencen{A_n}\) adalah barisan tak-menurun dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), maka \(\theta(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)=\lim_{n\to\infty}\theta A_n\).

132Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(H\) sembarang anggota \(\Sigma\). Misalkan \(\mu_H\) adalah ukuran subruang pada \(H\) (131B) dan \(\mu^*\), \(\mu_H^*\) adalah ukuran-ukuran luar yang diturunkan masing-masing dari \(\mu\), \(\mu_H\). Tunjukkan bahwa \(\mu_H^*=\mu^*\restrp\Cal PH\).

132Xc (c)

Berikan contoh ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) sedemikian sehingga ukuran \(\check\mu\) yang didefinisikan dengan metode Carathéodory dari ukuran luar \(\mu^*\) merupakan perluasan sejati dari \(\mu\). Petunjuk: ambil \(\mu X=0\).

132Xd (>d) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(A\) suatu subhimpunan \(X\). Andaikan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\sequencen{A\cap E_n}\) saling lepas. Tunjukkan bahwa \(\mu^*(A\cap\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*(A\cap E_n)\). Petunjuk: gantikan \(E_n\) dengan \(E_n'=E_n\setminus\bigcup_{i<n}E_i\), lalu gunakan 132Ae–132Af.

132Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{A_n}\) sembarang barisan subhimpunan-subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa ukuran luar dari \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{i\ge n}A_i\) paling besar \(\liminf_{n\to\infty}\mu^*A_n\).

132Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan anggap \(A\subseteq B\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\mu^*A=\mu^*B<\infty\). Tunjukkan bahwa \(\mu^*(A\cap E)=\mu^*(B\cap E)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Petunjuk: selubung terukur dari \(B\) merupakan selubung terukur dari \(A\).

132Xg (>g) penting

Misalkan \(\nu_g\) ukuran Lebesgue–Stieltjes pada \(\Bbb R\), yang dibangun seperti dalam 114Xa dari fungsi tak-menurun \(g:\Bbb R\to\Bbb R\). Tunjukkan bahwa (i) ukuran luar \(\nu_g^*\) yang diturunkan dari \(\nu_g\) (132A) berimpit dengan ukuran luar \(\theta_g\) dari 114Xa; (ii) jika \(A\subseteq\Bbb R\) sembarang himpunan, maka \(A\) memiliki selubung terukur untuk ukuran \(\nu_g\).

132Xh (>h) penting

Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan yang tidak terukur menurut ukuran Lebesgue \(\mu\). Tunjukkan bahwa terdapat himpunan terukur berbatas \(E\) sedemikian sehingga \(\mu^*(E\cap A)=\mu^*(E\setminus A)=\mu E>0\). Petunjuk: ambil \(E=E'\cap E''\cap B\), dengan \(E'\) selubung terukur untuk \(A\), \(E''\) selubung terukur untuk \(\BbbR^r\setminus A\), dan \(B\) suatu himpunan berbatas yang sesuai.

132Xi (i)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan \(\Sigma\) domainnya, serta \(f\) fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\BbbR^r\) tetapi tidak \(\Sigma\)-terukur. Tunjukkan bahwa terdapat \(q<q'\) dalam \(\Bbb Q\) dan suatu himpunan terukur berbatas \(E\) sedemikian sehingga

\(\mu^*\{x:x\in E\cap\dom f,\,f(x)\le q\} =\mu^*\{x:x\in E\cap\dom f,\,f(x)\ge q'\}=\mu E>0\).

Petunjuk: ambil \(E_q\), \(E'_q\) sebagai selubung-selubung terukur untuk \(\{x:f(x)\le q\}\), \(\{x:f(x)>q\}\) untuk setiap \(q\). Temukan \(q\) sehingga \(\mu(E_q\cap E'_q)>0\) dan \(q'\) sehingga \(\mu(E_q\cap E'_{q'})>0\).

132Xj (j)

Periksa bahwa Anda dapat mengerjakan latihan 113Yc.

132Xk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\mu^*\) ukuran luar yang diturunkan dari \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\mu^*(A\cup B)+\mu^*(A\cap B)\le\mu^*A+\mu^*B\) untuk semua \(A\), \(B\subseteq X\).

132Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana pada \(X\). Andaikan \(\sequencen{\epsilon_n}\) suatu barisan bilangan real nonnegatif sedemikian sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}\epsilon_n<\infty\), \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*\{x:|f_{n+1}(x)-f_n(x)|\ge\epsilon_n\}<\infty\).

Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}f_n\) terdefinisi (sebagai fungsi bernilai real) hampir di mana-mana.

132Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) suatu himpunan, dan \(f:X\to Y\) suatu fungsi. Misalkan \(\nu\) adalah ukuran citra \(\mu f^{-1}\) (112Xf). Tunjukkan bahwa \(\nu^*f[A]\ge\mu^*A\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

132Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dengan \(\mu X<\infty\). Misalkan \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan subhimpunan-subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\) berukuran luar penuh di \(X\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu partisi \(\sequencen{E_n}\) atas \(X\) ke dalam himpunan-himpunan terukur sedemikian sehingga \(\mu E_n=\mu^*(A_n\cap E_n)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

132Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan-subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\) berukuran luar penuh untuk setiap barisan \(\sequencen{A_n}\) dalam \(\Cal A\). Tunjukkan bahwa terdapat ukuran \(\nu\) pada \(X\) yang memperluas \(\mu\), sedemikian sehingga setiap anggota \(\Cal A\) bersifat \(\nu\)-koterabaikan.

132Ye (e)

Periksa bahwa Anda dapat mengerjakan latihan 113Yg–113Yh.

132Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa \(\mu^*: \Cal PX\to[0,\infty]\) alternating (selang-seling) untuk semua orde, yaitu,

\(\sum_{J\subseteq I,\#(J)\text{ genap}} \mu^*(A\cup\bigcup_{i\in J}A_i) \le\sum_{J\subseteq I,\#(J)\text{ ganjil}} \mu^*(A\cup\bigcup_{i\in J}A_i)\)

kapan pun \(I\) adalah himpunan berhingga tak-kosong, \(\familyiI{A_i}\) suatu keluarga subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(A\) suatu subhimpunan lain dari \(X\).

Catatan dan komentar

132 Catatan penutup untuk Bagian 132

Salah satu fakta yang hampir paling mendasar dalam teori ukuran adalah bahwa di semua ruang ukur penting terdapat himpunan-himpunan tak-terukur. (Untuk ukuran Lebesgue, lihat 134B di bawah.) Kita dapat menanggapi fakta ini dengan berbagai cara. Pendekatan yang cukup berhasil adalah mengabaikannya. Pokoknya, karena alasan yang sangat mendalam, himpunan-himpunan dan fungsi-fungsi yang muncul dalam penerapan biasa hampir selalu terukur, atau dapat dibuat terukur melalui manipulasi elementer; satu- satunya pengecualian dalam matematika terapan yang saya ketahui muncul dalam teori kendali tergeneralisasi. Sebagai matematikawan murni saya tidak nyaman dengan pendekatan ini, dan sebagai ahli teori ukuran saya pikir pendekatan ini menutup pintu pada beberapa gagasan paling halus dalam teori. Oleh karena itu, dalam risalah ini himpunan-himpunan tak-terukur akan selalu hadir, meskipun hanya secara tersirat. Dalam bagian ini saya menguraikan dua metode dasar untuk menghadapinya: berpindah dari ukuran ke ukuran luar, yang setidaknya memberikan semacam ukuran pada himpunan sembarang, dan gagasan ‘selubung terukur’, yang (ketika terdefinisi) menggambarkan wilayah tempat himpunan tak-terukur itu harus diperhitungkan. Dalam kedua kasus kita berusaha menguraikan himpunan tak-terukur dari luar, boleh dikatakan demikian. Tidak ada kesulitan nyata, dan hal-hal yang perlu diperhatikan hanyalah bahwa (i) di luar batas yang ditandai oleh 132Ee selubung terukur mungkin tidak ada selubung terukur; (ii) konstruksi Carathéodory atas suatu ukuran dari ukuran luar, dan konstruksi ukuran luar dari ukuran yang dijelaskan di sini, berkaitan erat (132C, 132Xg, 113Yc, 132Xa(i)), tetapi secara umum bukan invers satu sama lain (132B, 132Xc).