Definisi integral

122A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

122Aa (a)

Untuk setiap himpunan \(A\subseteq X\), saya menuliskan \(\chi A\) untuk fungsi karakteristik dari \(A\), yaitu fungsi dari \(X\) ke \(\{0,1\}\) yang ditentukan dengan menetapkan \(\chi A(x)=1\) jika \(x\in A\), dan \(0\) jika \(x\in X\setminus A\). (Tentu saja, notasi ini bergantung pada dipahaminya himpunan ‘semesta’ \(X\) mana yang sedang ditinjau; barangkali saya seharusnya menyebutnya ‘fungsi karakteristik dari \(A\) sebagai subhimpunan dari \(X\)’.) Perhatikan bahwa \(\chi A\) bersifat \(\Sigma\)-terukur, dalam pengertian 121C di atas, jika dan hanya jika \(A\in\Sigma\) (karena \(A=\{x:\chi A(x)>0\}\)).

122Ab (b)

Sekarang, sebuah fungsi sederhana pada \(X\) adalah fungsi berbentuk \(\sum_{i=0}^n a_i\chi E_i\), dengan \(E_0,\ldots,E_n\) merupakan himpunan terukur yang mempunyai ukuran berhingga dan \(a_0,\ldots, a_n\) termasuk dalam \(\Bbb R\). Peringatan! Sebagian penulis memperbolehkan sembarang himpunan \(E_i\), sehingga sebuah fungsi sederhana pada \(X\) adalah sembarang fungsi yang hanya mengambil berhingga banyak nilai.

122B Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Setiap fungsi sederhana pada \(X\) bersifat terukur.

(b) Jika \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) adalah fungsi sederhana, maka \(f+g\) juga merupakan fungsi sederhana.

(c) Jika \(f:X\to \Bbb R\) adalah fungsi sederhana dan \(c\in\Bbb R\), maka \(cf:X\to\Bbb R\) merupakan fungsi sederhana.

(d) Fungsi nol konstan merupakan fungsi sederhana.

122C Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(E_0,\ldots,E_n\) merupakan himpunan terukur yang mempunyai ukuran berhingga, terdapat himpunan terukur saling lepas \(G_0,\ldots,G_m\) yang mempunyai ukuran berhingga sedemikian sehingga setiap \(E_i\) dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa \(G_j\).

(b) Jika \(f:X\to\Bbb R\) adalah fungsi sederhana, fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk \(\sum_{j=0}^mb_j\chi G_j\), dengan \(G_0,\ldots,G_m\) merupakan himpunan terukur saling lepas yang mempunyai ukuran berhingga.

(c) Jika \(E_0,\ldots,E_n\) merupakan himpunan terukur yang mempunyai ukuran berhingga, dan \(a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^na_i\chi E_i(x)\ge 0\) untuk setiap \(x\in X\), maka \(\sum_{i=0}^na_i\mu E_i\ge 0\).

122D Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Jika

dengan semua \(E_i\) dan \(F_j\) merupakan himpunan terukur yang mempunyai ukuran berhingga dan semua \( a_i\), \( b_j\) merupakan bilangan real, maka

122E Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan integral \(\int f\) dari \(f\), untuk fungsi sederhana \(f:X\to\Bbb R\), melalui ketentuan bahwa \(\int f=\sum_{i=0}^m a_i\mu E_i\) setiap kali \(f=\sum_{i=0}^m a_i\chi E_i\) dan setiap \(E_i\) merupakan himpunan terukur yang mempunyai ukuran berhingga; 122D menjamin bahwa representasi \(f\) yang kita pilih untuk perhitungan tidak akan memengaruhi hasilnya.

122F Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) adalah fungsi sederhana, maka \(f+g\) merupakan fungsi sederhana dan \(\int f+g=\int f+\int g\).

(b) Jika \(f\) merupakan fungsi sederhana dan \(c\in\Bbb R\), maka \(cf\) merupakan fungsi sederhana dan \(\int cf=c\int f\).

(c) Jika \(f\), \(g\) merupakan fungsi sederhana dan \(f(x)\le g(x)\) untuk setiap \(x\in X\), maka \(\int f\le \int g\).

122G Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Jika \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) merupakan barisan fungsi sederhana yang tak-menurun (dalam arti bahwa \(f_n(x)\le f_{n+1}(x)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(x\in X\)) dan \(f\) merupakan fungsi sederhana sedemikian sehingga \(f(x)\le\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)\) untuk hampir setiap \(x\in X\) (dengan memperbolehkan \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)=\infty\) dalam rumus ini), maka \(\int f\le\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n\).

122H Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Untuk sisa bagian ini, saya akan menuliskan \(U\) untuk himpunan fungsi \(f\) sedemikian sehingga

(i) domain \(f\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan \(f(x)\in\coint{0,\infty}\) untuk setiap \(x\in\dom f\),

(ii) terdapat barisan tak-menurun \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi sederhana nonnegatif sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n<\infty\) dan \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in X\).

122I Lema

Jika \(f\) dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) seperti dalam 122H, maka

122J Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan definisikan \(U\) seperti dalam 122H.

(a) Jika \(f\) adalah fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan mengambil nilai dalam \(\coint{0,\infty}\), maka \(f\in U\) jika dan hanya jika terdapat himpunan terukur koterabaikan \(E\subseteq\dom f\) sedemikian sehingga

(b) Andaikan bahwa \(f\in U\) dan bahwa \(h\) adalah fungsi yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan mengambil nilai dalam \(\coint{0,\infty}\). Andaikan bahwa \(h\leae f\) dan terdapat himpunan koterabaikan \(F\subseteq X\) sedemikian sehingga \(h\restr F\) terukur. Maka \(h\in U\).

122K Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan definisikan \(U\) seperti dalam 122H. Untuk \(f\in U\), tetapkan

Menurut 122I, kita melihat bahwa \(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n\) setiap kali \(\sequencen{f_n}\) merupakan barisan tak-menurun dari fungsi sederhana yang konvergen ke \(f\) hampir di mana-mana; khususnya, jika \(f\in U\) sendiri merupakan fungsi sederhana, maka \(\int f\), sebagaimana didefinisikan di sini, sesuai dengan definisi semula untuk \(\int f\) dalam 122E, karena kita dapat mengambil \(f_n=f\) untuk setiap \(n\).

122L Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(f\), \(g\in U\), maka \(f+g\in U\) dan \(\int f+g=\int f+\int g\).

(b) Jika \(f\in U\) dan \(c\ge 0\), maka \(cf\in U\) dan \(\int cf=c\int f\).

(c) Jika \(f\), \(g\in U\) dan \(f\leae g\), maka \(\int f\le \int g\).

(d) Jika \(f\in U\) dan \(g\) adalah fungsi dengan domain berupa subhimpunan koterabaikan dari \(X\), mengambil nilai dalam \(\coint{0,\infty}\), dan sama dengan \(f\) hampir di mana-mana, maka \(g\in U\) dan \(\int g=\int f\).

(e) Jika \(f_1\), \(g_1\), \(f_2\), \(g_2\in U\) dan \(f_1-f_2=g_1-g_2\), maka \(\int f_1-\int f_2=\int g_1-\int g_2\).

122M Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Definisikan \(U\) seperti dalam 122H. Fungsi bernilai real \(f\) disebut terintegralkan, atau terintegralkan pada \(X\), atau \(\mu\)-terintegralkan pada \(X\), jika dapat dinyatakan sebagai \(f_1-f_2\) dengan \(f_1\), \(f_2\in U\), dan dalam hal ini integralnya adalah

122N Catatan (a)

Dari 122Le kita melihat bahwa integral \(\int f\) didefinisikan secara tunggal oleh rumus dalam 122M. Kedua, jika \(f\in U\), maka \(f=f-\tbf{0}\) terintegralkan, dan integralnya di sini sama dengan integral yang didefinisikan dalam 122K. Terakhir, jika \(f\) adalah fungsi sederhana, maka fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai \(f_1-f_2\) dengan \(f_1\), \(f_2\) fungsi sederhana nonnegatif (jika \(f=\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\), dengan setiap \(E_i\) terukur dan berukuran berhingga, tetapkan

dengan menuliskan \(a_i^+=\max(a_i,0)\), \(a_i^-=\max(-a_i,0)\)); sehingga

dan definisi dalam 122M selaras dengan definisi dalam 122E.

122Nb (b)

Notasi-notasi alternatif yang akan saya gunakan untuk \(\int f\) ialah \(\int_Xf\), \(\int fd\mu\), \(\int f(x)\mu(dx)\), \(\int f(x)dx\), \(\int_Xf(x)\mu(dx)\), dan sebagainya, bergantung pada aspek konteks mana yang tampaknya perlu ditekankan.

Jika \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\), kita mengatakan bahwa \(\int f\) adalah integral Lebesgue dari \(f\), dan bahwa \(f\) terintegralkan secara Lebesgue jika integral ini terdefinisi.

122Nc (c)

Perhatikan bahwa ketika saya mengatakan, dalam 122M, bahwa ‘\(f\) dapat dinyatakan sebagai \(f_1-f_2\)’, yang saya maksud ialah menafsirkan \(f_1-f_2\) menurut aturan-aturan yang ditetapkan dalam 121E, sehingga \(\dom f\) harus sama dengan \(\dom(f_1-f_2)=\dom f_1\cap\dom f_2\), dan tentu saja koterabaikan.

122O Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(f\) dan \(g\) terintegralkan pada \(X\), maka \(f+g\) terintegralkan dan \(\int f+g=\int f+\int g\).

(b) Jika \(f\) terintegralkan pada \(X\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(cf\) terintegralkan dan \(\int cf=c\int f\).

(c) Jika \(f\) terintegralkan pada \(X\) dan \(f\ge 0\) a.e. maka \(\int f\ge 0\).

(d) Jika \(f\) dan \(g\) terintegralkan pada \(X\) dan \(f\leae g\), maka \(\int f\le\int g\).

122P Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Maka syarat-syarat berikut ekuivalen:

(i) \(f\) terintegralkan;

(ii) \(|f|\in U\), sebagaimana didefinisikan dalam 122H, dan terdapat himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur;

(iii) terdapat \(g\in U\) dan himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(|f|\leae g\) dan \(f\restr E\) terukur.

122Q Catatan

Syarat ‘terdapat himpunan koterabaikan \(E\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur’ muncul begitu sering sehingga menurut saya patut diberi sebuah istilah; fungsi-fungsi demikian akan saya sebut terukur secara virtual, atau \(\mu\)-terukur secara virtual jika ukuran yang dimaksud tampaknya perlu dinyatakan.

122R Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Suatu fungsi bernilai real nonnegatif, yang didefinisikan pada subhimpunan \(X\), terintegralkan jika dan hanya jika fungsi itu termasuk dalam \(U\), sebagaimana didefinisikan dalam 122H.

(b) Jika \(f\) terintegralkan pada \(X\) dan \(h\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan sama dengan \(f\) hampir di mana-mana, maka \(h\) terintegralkan, dengan \(\int h=\int f\).

(c) Jika \(f\) terintegralkan pada \(X\), \(f\ge 0\) a.e. dan \(\int f\le 0\), maka \(f=0\) a.e.

(d) Jika \(f\) dan \(g\) terintegralkan pada \(X\), \(f\leae g\), dan \(\int g\le\int f\), maka \(f\eae g\).

(e) Jika \(f\) terintegralkan pada \(X\), maka \(|f|\) juga terintegralkan, dan \(|\int f|\le\int|f|\).

122X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. (i) Tunjukkan bahwa jika \(f:X\to\Bbb R\) adalah fungsi sederhana, maka \(|f|\) juga sederhana, dengan menetapkan \(|f|(x)=|f(x)|\) untuk \(x\in\dom f=X\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) adalah fungsi-fungsi sederhana, maka \(f\vee g\) dan \(f\wedge g\), sebagaimana didefinisikan dalam 121Xb, juga sederhana.

122Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi sederhana \(g:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu \(f\) yang nonnegatif.

122Xc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan tuliskan \(\eusm L^1\) untuk himpunan semua fungsi bernilai real yang terintegralkan atas \(X\). Misalkan \(\Phi\subseteq\eusm L^1\) sedemikian sehingga

Tunjukkan bahwa \(\Phi=\eusm L^1\).

122Xd (>d) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran cacah pada \(\Bbb N\) (112Bd). Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(f:\Bbb N\to\Bbb R\) (yakni, suatu barisan \(\sequencen{f(n)}\)) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika barisan itu dapat dijumlahkan secara absolut, dan dalam hal ini

122Xe (>e) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\), \(g\) dua fungsi bernilai real yang terukur secara virtual dan didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\). (i) Tunjukkan bahwa \(f+g\), \(f\times g\) dan \(f/g\), yang didefinisikan sebagaimana dalam 121E, semuanya terukur secara virtual. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(h\) suatu fungsi bernilai real terukur Borel yang didefinisikan pada sembarang subhimpunan \(\Bbb R\), maka komposisi \(hf\) terukur secara virtual.

122Xf (>f) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang terukur secara virtual dan didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}f_n\), \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\inf_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\limsup_{n\to\infty}f_n\) dan \(\liminf_{n\to\infty}f_n\), yang didefinisikan sebagaimana dalam 121F, terukur secara virtual.

122Xg (>g) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\), \(g\) fungsi-fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\). Tunjukkan bahwa \(f\wedge g\) dan \(f\vee g\), yang didefinisikan sebagaimana dalam 121Xb, terintegralkan.

122Xh (>h) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\), dan \(g\) suatu fungsi bernilai real terbatas yang terukur secara virtual serta didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\). Tunjukkan bahwa \(f\times g\), yang didefinisikan sebagaimana dalam 121Ed, terintegralkan.

122Xi (i)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\mu_1\), \(\mu_2\) dua ukuran dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan \(\mu E=\mu_1E+\mu_2E\) untuk \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\), \(\int fd\mu=\int fd\mu_1+\int fd\mu_2\) dalam arti bahwa jika salah satu ruas terdefinisi sebagai bilangan real, maka ruas lainnya juga demikian, dan keduanya kemudian sama. Petunjuk: (\(\alpha\)) Periksa bahwa suatu subhimpunan \(X\) bersifat \(\mu\)-koterabaikan jika dan hanya jika ia bersifat \(\mu_i\)-koterabaikan untuk kedua nilai \(i\). (\(\beta\)) Periksa hasil tersebut untuk fungsi sederhana \(f\). (\(\gamma\)) Sekarang tinjau \(f\) nonnegatif yang umum.

122Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur ‘lengkap’, yakni ruang yang semua himpunan terabaikannya terukur (lihat, misalnya, 113Xa). Tunjukkan bahwa jika \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terukur secara virtual dan didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\), maka \(f\) terukur. Gunakan fakta ini untuk menemukan penyederhanaan yang sesuai bagi 122J dan 122P untuk ruang-ruang \((X,\Sigma,\mu)\) semacam itu.

122Yb (b)

Tuliskan \(\eusm L^1\) untuk himpunan semua fungsi bernilai real yang terintegralkan secara Lebesgue pada \(\Bbb R\). Misalkan \(\Phi\subseteq\eusm L^1\) sedemikian sehingga

Tunjukkan bahwa \(\Phi=\eusm L^1\). Petunjuk: tunjukkan bahwa (\(\alpha\)) \(\chi E\in\Phi\) setiap kali \(E\) dapat dinyatakan sebagai gabungan sejumlah berhingga interval setengah terbuka (\(\beta\)) \(\chi E\in\Phi\) setiap kali \(E\) mempunyai ukuran hingga dan dapat dinyatakan sebagai gabungan suatu barisan interval setengah terbuka (\(\gamma\)) \(\chi E\in\Phi\) setiap kali \(E\) terukur dan mempunyai ukuran hingga.

122Yc (c)

Misalkan \(X\) sembarang himpunan, dan misalkan \(\mu\) ukuran cacah pada \(X\). Misalkan \(f:X\to\Bbb R\) suatu fungsi; tetapkan \(f^+(x)=\max(0,f(x))\), \(f^-(x)=\max(0,-f(x))\) untuk \(x\in X\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\int fd\mu\) ada di \(\Bbb R\), dan sama dengan \(s\); (ii) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(K\subseteq X\) yang berhingga sedemikian sehingga \(|s-\sum_{i\in I}f(i)|\le\epsilon\) setiap kali \(I\subseteq X\) adalah himpunan berhingga yang memuat \(K\); (iii) \(\sum_{x\in X}f^+(x)\) dan \(\sum_{x\in X}f^-(x)\), yang didefinisikan sebagaimana dalam 112Bd, berhingga, dan \(s=\sum_{x\in X}f^+(x)-\sum_{x\in X}f^-(x)\).

122Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Kita katakan bahwa suatu fungsi \(g:X\to\Bbb R\) bersifat kuasi-sederhana jika dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{i=0}^{\infty}a_i\chi G_i\), dengan \(\sequence{i}{G_i}\) suatu partisi \(X\) menjadi himpunan-himpunan terukur, \(\sequence{i}{a_i}\) suatu barisan di \(\Bbb R\), dan \(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|\mu G_i<\infty\), dengan menetapkan \(0\cdot\infty\) sebagai \(0\), sehingga boleh terdapat \(G_i\) berukuran tak hingga asalkan \(a_i\) yang bersesuaian bernilai nol.

(i) Tunjukkan bahwa jika \(g\) dan \(h\) adalah fungsi-fungsi kuasi-sederhana, maka \(g+h\), \(|g|\) dan \(cg\), untuk sembarang \(c\in \Bbb R\), juga kuasi-sederhana. Petunjuk: untuk \(g+h\) Anda akan memerlukan 111F(b-ii) atau suatu pernyataan yang ekuivalen.

(ii) Tunjukkan dari prinsip-prinsip pertama (maksud saya, tanpa menggunakan apa pun yang muncul sesudah 122F dalam bab ini) bahwa jika \(g=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\chi G_i\) dan \(h=\sum_{i=0}^{\infty}b_i\chi H_i\) adalah fungsi-fungsi kuasi-sederhana, dan \(g\leae h\), maka \(\sum_{i=0}^{\infty}a_i\mu G_i\le\sum_{i=0}^{\infty}b_i\mu H_i\).

(iii) Selanjutnya tunjukkan bahwa kita mempunyai suatu fungsional \(I\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(I(g)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\mu G_i\) setiap kali \(g\) suatu fungsi kuasi-sederhana yang direpresentasikan sebagai \(\sum_{i=0}^{\infty}a_i\chi G_i\).

(iv) Tunjukkan bahwa jika \(g\) dan \(h\) adalah fungsi-fungsi kuasi-sederhana dan \(c\in\Bbb R\), maka \(I(g+h)=I(g)+I(h)\) dan \(I(cg)=cI(g)\), serta \(I(g)\le I(h)\) jika \(g\leae h\).

(v) Tunjukkan bahwa jika \(g\) suatu fungsi kuasi-sederhana, maka \(g\) terintegralkan dan \(\int g=I(g)\). (Sekarang saya mengizinkan Anda menggunakan 122G-122R.)

(vi) Tunjukkan bahwa suatu fungsi bernilai real \(f\), yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), terintegralkan jika dan hanya jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi-fungsi kuasi-sederhana \(g\), \(h\) sedemikian sehingga \(g\leae f\leae h\) dan \(I(h)-I(g)\le\epsilon\).

122Ye (e)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Kita katakan (hanya untuk latihan ini) bahwa suatu fungsi bernilai real \(g\) dengan \(\dom g\subseteq\Bbb R\) bersifat ‘pseudo-sederhana’ jika dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{i=0}^{\infty}a_i\chi J_i\), dengan \(\sequence{i}{J_i}\) suatu barisan interval setengah terbuka terbatas (tidak harus saling lepas) dan \(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|\mu J_i<\infty\). (Tafsirkan jumlah tak hingga \(\sum_{i=0}^{\infty}a_i\chi J_i\) sebagaimana dalam 121F, sehingga

(i) Tunjukkan bahwa jika \(g\), \(h\) adalah fungsi-fungsi pseudo-sederhana, maka \(g+h\) dan \(cg\), untuk sembarang \(c\in \Bbb R\), juga pseudo-sederhana.

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(g\) suatu fungsi pseudo-sederhana, maka \(g\) terintegralkan.

(iii) Tunjukkan bahwa suatu fungsi bernilai real \(f\), yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(\Bbb R\), terintegralkan jika dan hanya jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi-fungsi pseudo-sederhana \(g\), \(h\) sedemikian sehingga \(g\leae f\leae h\) dan \(\int h-g\,d\mu\le\epsilon\). Petunjuk: Ambil \(\Phi\) sebagai himpunan fungsi-fungsi terintegralkan yang mempunyai sifat ini, dan tunjukkan bahwa himpunan tersebut memenuhi syarat-syarat 122Yb.

122Yf (f)

Ulangi 122Yb dan 122Ye untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), dengan \(r>1\).

122Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan andaikan bahwa terdapat sekurang-kurangnya satu partisi \(X\) menjadi tak hingga banyak himpunan terukur tak-kosong. Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), dan \(a\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(f\) terintegralkan, dengan \(\int f=a\);

(ii) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu partisi \(\sequencen{E_n}\) dari \(X\) menjadi himpunan-himpunan terukur tak-kosong sedemikian sehingga

setiap kali \(\sequencen{t_n}\) suatu barisan sedemikian sehingga \(t_n\in E_n\cap\dom f\) untuk setiap \(n\). (Seperti biasa, tetapkan \(0\cdot\infty=0\) dalam rumus-rumus ini.) Petunjuk: gunakan 122Yd.

122Yh (h)

Temukan suatu rumusan kembali (g) yang mencakup kasus ruang-ruang ukur yang tidak dapat dipartisi menjadi barisan himpunan terukur tak-kosong.

122Yi (i)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\sequencen{\mu_n}\) suatu barisan ukuran dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan \(\mu E=\sum_{n=0}^{\infty}\mu_nE\) untuk \(E\in\Sigma\). (i) Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah suatu ukuran. (ii) Tunjukkan bahwa untuk sembarang fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\), \(f\) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika ia terintegralkan terhadap \(\mu_n\) untuk setiap \(n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f|d\mu_n\) berhingga, serta bahwa dalam hal itu \(\int fd\mu=\sum_{n=0}^{\infty}\int fd\mu_n\).

122Yj (j)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\langle\mu_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ukuran dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan \(\mu E=\sum_{i\in I}\mu_iE\) untuk \(E\in\Sigma\). (i) Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah suatu ukuran. (ii) Tunjukkan bahwa untuk sembarang fungsi \(\Sigma\)-terukur \(f:X\to\Bbb R\), \(f\) terintegralkan terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika ia terintegralkan terhadap \(\mu_i\) untuk setiap \(i\) dan \(\sum_{i\in I}\int|f|d\mu_i\) berhingga.

122-notes Catatan penutup untuk Bagian 122

Seperti dalam §121, beberapa masalah teknis tambahan timbul karena saya bersikeras mencoba mengintegralkan (i) fungsi-fungsi yang tidak didefinisikan pada seluruh ruang ukur yang sedang ditinjau; (ii) fungsi-fungsi yang, dalam arti formal, tidak terukur, tetapi hanya terukur pada suatu himpunan koterabaikan. Tidak ada sesuatu pun dalam bagian ini yang membenarkan salah satu dari kedua perluasan tersebut. Namun, dalam bagian berikutnya kita akan meninjau limit barisan fungsi, dan limit-limit ini tidak harus terdefinisi di setiap titik; contoh yang limitnya tidak terdefinisi pada semua titik sama sekali tidak bersifat patologis, melainkan justru sentral bagi penerapan-penerapan teori yang paling penting.

Persoalan mengintegralkan fungsi yang tidak sepenuhnya terukur lebih terbuka untuk diperdebatkan. Saya akan membahas hal ini lebih lanjut setelah memperkenalkan secara formal ruang ukur ‘lengkap’ dalam Bab 21. Untuk saat ini, saya hanya akan mengatakan bahwa menurut saya upaya menyusun formalisasi yang, sejauh wajar, mengintegralkan sebanyak mungkin fungsi memang layak dilakukan; salah satu tujuan semula integral Lebesgue adalah memungkinkan kita mengintegralkan lebih banyak fungsi daripada pendahulu-pendahulunya.

Definisi ‘integrasi’ di sini berjalan melalui tiga tahap yang dapat dibedakan: (i) integrasi fungsi sederhana (122A-122G); (ii) integrasi fungsi nonnegatif (122H-122L); (iii) integrasi fungsi bernilai real yang umum (122M-122R). Saya menempuh setiap tahap secara perlahan; misalnya, saya baru beralih ke fungsi nonnegatif yang terintegralkan setelah mempunyai perangkat lengkap lema yang diperlukan mengenai fungsi sederhana. Tentu saja ada banyak sekali rute alternatif; lihat, misalnya, 122Yd, yang menawarkan definisi dengan dua langkah alih-alih tiga. Saya memilih pendakian yang lebih panjang dan landai ini sebagian karena (menurut pandangan saya) ia memberi gambaran gagasan yang lebih jelas, dan sebagian karena ia bersesuaian dengan metode yang hampir kanonis untuk membuktikan sifat-sifat fungsi terintegralkan: kita membuktikannya terlebih dahulu untuk fungsi sederhana, kemudian untuk fungsi nonnegatif yang terintegralkan, lalu untuk fungsi terintegralkan yang umum. (Petunjuk yang saya berikan untuk 122Yb mengikuti filosofi ini. Lihat juga 122Xc; tetapi saya tidak menyatakannya sebagai teorema formal, karena urutan pembuktiannya yang tepat berbeda dari satu kasus ke kasus lain, dan menurut saya sebaiknya hal itu diingat sebagai metode pendekatan, bukan sebagai suatu hasil khusus untuk diterapkan.)

Anda berhak merasa bahwa bagian ini sangat abstrak dan hampir tidak memberi gambaran tentang fungsi-fungsi favorit Anda mana yang kemungkinan terintegralkan, apalagi tentang nilai integralnya. Saya berharap Bab 13 akan sedikit membantu dalam hal ini, meskipun harus saya katakan bahwa untuk metode yang benar-benar berguna dalam menghitung integral, kita harus menunggu Bab 22, 25, dan 26 dalam jilid berikutnya. Jika Anda ingin mengetahui pusat sejati argumen-argumen bagian ini, saya sendiri akan menempatkannya pada 122G, 122H, dan 122K. Intinya, gagasan-gagasan 122A-122F berlaku bagi kelas struktur \((X,\Sigma,\mu)\) yang jauh lebih luas, karena hanya melibatkan operasi pada sejumlah berhingga anggota \(\Sigma\) sekaligus; barisan himpunan sama sekali tidak muncul. Kunci yang memungkinkan segala sesuatu sesudahnya adalah 122G, yang bertumpu pada 112Cf. Dan setelah 122G-122K, bagian selebihnya, meskipun sama sekali tidak elementer, sesungguhnya hanyalah serangkaian pemeriksaan cermat untuk memastikan bahwa fungsional yang didefinisikan dalam 122K berperilaku seperti yang kita harapkan.

Banyak hasil dalam bagian ini (termasuk hasil kunci, 122G) akan digantikan oleh hasil yang lebih kuat dalam bagian berikutnya. Namun, saya perlu menyebut Lema 122Ja, yang dari waktu ke waktu akan muncul kembali sebagai kriteria yang sangat berguna bagi keterintegralan fungsi nonnegatif (lihat 122Ra).

Ada satu hal lain mengenai integral standar sebagaimana didefinisikan di sini. Integral ini merupakan integral ‘absolut’, dalam arti bahwa jika \(f\) terintegralkan, maka \(|f|\) juga terintegralkan (122P). Ini berarti bahwa walaupun integral Lebesgue memperluas integral Riemann ‘wajar’ (lihat 134K di bawah), terdapat fungsi-fungsi dengan integral Riemann ‘tak wajar’ berhingga yang tidak terintegralkan secara Lebesgue; contoh lazimnya ialah \(f(x)=\bover{\sin x}x\), dengan \(\lim_{a\to\infty}\int_0^af\) ada di \(\Bbb R\), sedangkan \(\lim_{a\to\infty}\int_0^a|f|=\infty\), sehingga \(f\) tidak terintegralkan, dalam arti yang didefinisikan di sini, pada seluruh interval \(\ooint{0,\infty}\). (Untuk pembuktian lengkap atas pernyataan-pernyataan ini, lihat 283D dan 282Xm dalam Jilid 2.) Jika Anda pernah menjumpai teori deret yang dapat dijumlahkan secara ‘absolut’ dan ‘bersyarat’, Anda tentu mengetahui bahwa jenis yang kedua dapat memperlihatkan perilaku yang sangat membingungkan, dan akan memahami bahwa membatasi pengertian ‘terintegralkan’ sehingga berarti ‘terintegralkan secara absolut’ sangat memudahkan.

Sesungguhnya, ini lebih dari sekadar kemudahan; pembatasan tersebut perlu agar definisi dapat bekerja pada tingkat abstraksi yang digunakan dalam bab ini. Tinjau contoh ukuran cacah \(\mu\) pada \(\Bbb N\) (112Bd, 122Xd). Struktur \((\Bbb N,\Cal P\Bbb N,\mu)\) invarian terhadap permutasi; yakni, \(\mu(\pi[A])=\mu A\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb N\) dan setiap permutasi \(\pi:\Bbb N\to\Bbb N\). Akibatnya, setiap definisi integrasi yang hanya bergantung pada struktur \((\Bbb N,\Cal P\Bbb N,\mu)\) juga harus invarian terhadap permutasi, yakni,

untuk setiap fungsi terintegralkan \(f\) dan setiap permutasi \(\pi\). Tetapi tentu saja (sebagaimana saya harap telah diberitahukan kepada Anda) suatu deret \(\sequencen{f(n)}\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}f(\pi(n))=\sum_{n=0}^{\infty}f(n)\in\Bbb R\) untuk setiap permutasi \(\pi\) harus dapat dijumlahkan secara absolut. Jadi, jika kita hendak mendefinisikan integral pada ruang ukur abstrak \((X,\Sigma,\mu)\) dengan cara yang hanya bergantung pada \(\Sigma\) dan \(\mu\), kita hampir tak terelakkan dipaksa mendefinisikan integral absolut.

Tentu saja ada konteks-konteks penting tempat pembatasan ini mengganggu, dan tempat suatu bentuk integral ‘tak wajar’ tampak tepat. Contoh lazimnya adalah teori transformasi Fourier, tempat kita meninjau \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^af\) sebagai pengganti \(\int_{-\infty}^{\infty}f\) (lihat §283). Sangat banyak bentuk integral tak wajar yang lebih atau kurang abstrak telah diajukan; banyak yang menarik dan beberapa penting; tetapi tidak satu pun menandingi integral ‘standar’ sebagaimana diuraikan dalam bab ini. (Untuk suatu upaya pemeriksaan sistematis atas kelas tertentu integral tak wajar semacam itu, lihat Bab 48 dalam Jilid 4.)

Jauh lebih sedikit kajian yang telah dilakukan tentang integrasi fungsi tak-terukur – atau, lebih tepatnya, fungsi yang tidak sama hampir di mana-mana dengan suatu fungsi terukur yang terintegralkan. Saya yakin hal ini semata-mata karena terlalu sedikit masalah penting yang dapat menunjukkan arah yang harus ditempuh. Dalam 134C di bawah, saya menyebut pertanyaan apakah ada suatu fungsi bernilai real tak-terukur pada \(\Bbb R\). Jawaban standarnya adalah ‘ya’, tetapi fungsi semacam itu mustahil muncul sebagai hasil konstruksi biasa. Akibatnya, sebagian besar pertanyaan mengenai fungsi tak-terukur muncul dalam konteks-konteks yang sangat khusus, dan sejauh ini saya belum melihat satu pun yang memberi petunjuk berguna tentang seperti apa perluasan yang secara umum sesuai bagi pengertian ‘keterintegralan’.