Fungsi terukur — Fondasi Teori Ukuran

Dalam bagian ini, saya mundur sejenak untuk mengembangkan gagasan-gagasan yang berkaitan dengan aljabar-\(\sigma\) himpunan, melanjutkan §111; di sini tidak akan disebutkan ‘ukuran’, kecuali dalam latihan. Tujuannya adalah menetapkan konsep ‘fungsi terukur’ (121C) dan berbagai teknik yang terkait dengannya. Contoh tunggal terbaik tentang aljabar-\(\sigma\) yang patut diingat ketika membaca bab ini barangkali adalah aljabar-\(\sigma\) subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) (111G); aljabar-\(\sigma\) subhimpunan terukur Lebesgue dari \(\Bbb R\) (114E) merupakan contoh kedua yang baik.

Sepanjang uraian di sini (mulai dari 121A), saya berusaha menangani fungsi-fungsi yang tidak didefinisikan pada seluruh ruang \(X\) yang sedang ditinjau. Saya percaya bahwa ada alasan-alasan kuat untuk menghadapi fungsi semacam itu sejak awal (lihat 121G); tetapi tidak dapat disangkal bahwa fungsi-fungsi tersebut menambah kesulitan teknis. Karena itu, wajar saja bila Anda membaca bab ini sekali dengan anggapan sementara bahwa semua fungsi terdefinisi di mana-mana, sebelum kembali untuk menangani kasus umum.

121A Lema

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(D\) sembarang subhimpunan \(X\) dan tuliskan

\(\Sigma_D=\{E\cap D:E\in\Sigma\}\).

Maka \(\Sigma_D\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(D\).

Notasi Saya akan menyebut \(\Sigma_D\) sebagai aljabar-\(\sigma\) subruang atas subhimpunan-subhimpunan \(D\), dan saya akan mengatakan bahwa anggota-anggotanya terukur relatif di \(D\). \(\Sigma_D\) juga kadang-kadang disebut jejak \(\Sigma\) pada \(D\).

121B Proposisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(D\) suatu subhimpunan \(X\). Tuliskan \(\Sigma_D\) untuk aljabar-\(\sigma\) subruang atas subhimpunan-subhimpunan \(D\). Maka, untuk setiap fungsi \(f:D\to\Bbb R\), pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni, jika salah satunya benar maka semuanya benar:

(i) \(\{x:f(x)<a\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\);

(ii) \(\{x:f(x)\le a\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\);

(iii) \(\{x:f(x)>a\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\);

(iv) \(\{x:f(x)\ge a\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

Bukti

(i)\(\Rightarrow\)(ii) Andaikan (i), dan misalkan \(a\in\Bbb R\). Maka

\(\{x:f(x)\le a\} =\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)<a+2^{-n}\}\in\Sigma_D\)

karena \(\{x:f(x)<a+2^{-n}\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(n\) dan \(\Sigma_D\) tertutup terhadap irisan terhitung (111Dd). Karena \(a\) sebarang, (ii) benar.

(ii)\(\Rightarrow\)(iii) Andaikan (ii), dan misalkan \(a\in\Bbb R\). Maka

\(\{x:f(x)>a\}=D\setminus\{x:f(x)\le a\}\in\Sigma_D\)

karena \(\{x:f(x)\le a\}\in\Sigma_D\) dan \(\Sigma_D\) tertutup terhadap pengambilan komplemen. Karena \(a\) sebarang, (iii) benar.

(iii)\(\Rightarrow\)(iv) Andaikan (iii), dan misalkan \(a\in\Bbb R\). Maka

\(\{x:f(x)\ge a\} =\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)>a-2^{-n}\}\in\Sigma_D\)

karena \(\{x:f(x)>a-2^{-n}\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(n\) dan \(\Sigma_D\) tertutup terhadap irisan terhitung. Karena \(a\) sebarang, (iv) benar.

(iv)\(\Rightarrow\)(i) Andaikan (iv), dan misalkan \(a\in\Bbb R\). Maka

\(\{x:f(x)<a\}=D\setminus\{x:f(x)\ge a\}\in\Sigma_D\)

karena \(\{x:f(x)\ge a\}\in\Sigma_D\) dan \(\Sigma_D\) tertutup terhadap pengambilan komplemen. Karena \(a\) sebarang, (i) benar.

121C Definisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(D\) suatu subhimpunan \(X\). Sebuah fungsi \(f:D\to\Bbb R\) disebut terukur (atau \(\Sigma\)-terukur) jika memenuhi salah satu, atau secara ekuivalen semua, syarat (i)-(iv) dalam 121B.

Jika \(X\) adalah \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\), dan \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) Borel-nya (111G), suatu fungsi \(\Sigma\)-terukur disebut terukur Borel. Jika \(X\) adalah \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\), dan \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) himpunan-himpunan terukur Lebesgue (114E, 115E), suatu fungsi \(\Sigma\)-terukur disebut terukur Lebesgue.

Catatan Tentu saja, kasus utama di sini ialah ketika \(D=X\). Namun, fungsi-fungsi yang terdefinisi sebagian begitu umum, dan begitu penting, dalam analisis (tinjau, misalnya, fungsi real \(\ln\sin\)) sehingga tampaknya layak untuk sejak awal menetapkan teknik-teknik yang dapat menanganinya secara efisien.

Banyak penulis mengembangkan teori ‘bilangan real diperluas’ pada titik ini, dengan bekerja pada \([-\infty,\infty]=\Bbb R\cup\{-\infty,\infty\}\), dan mendefinisikan keterukuran bagi fungsi-fungsi yang mengambil nilai dalam himpunan ini. Saya menguraikan garis besar teori semacam itu dalam §135 di bawah.

121D Proposisi

Misalkan \(X\) adalah \(\BbbR^r\) untuk suatu \(r\ge 1\), \(D\) suatu subhimpunan \(X\), dan \(g:D\to\Bbb R\) suatu fungsi.

(a) Jika \(g\) terukur Borel, maka fungsi tersebut terukur Lebesgue.

(b) Jika \(g\) kontinu, maka fungsi tersebut terukur Borel.

Bukti

(a) Hal ini langsung mengikuti definisi dalam 121C, jika kita mengingat bahwa aljabar-\(\sigma\) Borel termuat dalam aljabar-\(\sigma\) Lebesgue (114G, 115G).

(b) Ambil \(a\in\Bbb R\). Tetapkan

\(\Cal G=\{G:G\subseteq\BbbR^r\text{ terbuka}, \,g(x)<a\Forall x\in G\cap D\}\),

\(G_0=\bigcup\Cal G =\{x:\exists\enskip G\in\Cal G,\,x\in G\}\).

Maka \(G_0\) adalah gabungan himpunan-himpunan terbuka, sehingga terbuka (1A2Bd). Selanjutnya,

\(\{x:g(x)<a\}=G_0\cap D\).

Bukti. (i) Jika \(g(x)<a\), maka (karena \(g\) kontinu) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|g(y)-g(x)|<a-g(x)\) setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|<\delta\). Tetapi \(\{y:\|y-x\|<\delta\}\) terbuka (1A2D), sehingga termasuk dalam \(\Cal G\) dan termuat dalam \(G_0\), serta \(x\in G_0\cap D\). (ii) Jika \(x\in G_0\cap D\), terdapat \(G\in\Cal G\) sedemikian sehingga \(x\in G\); sekarang \(g(y)<a\) untuk setiap \(y\in G\cap D\), sehingga, khususnya, \(g(x)<a\). ∎

Akhirnya, \(G_0\), karena terbuka, merupakan himpunan Borel. Karena \(a\) sebarang, \(g\) terukur Borel.

(c) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(g\) tak-menurun. Misalkan \(a\in\Bbb R\) dan tuliskan \(E=\{x:g(x)<a\}\). Jika \(E=D\) atau \(E=\emptyset\), maka tentu saja himpunan tersebut adalah irisan \(D\) dengan suatu himpunan Borel. Jika tidak, \(E\) tak kosong dan berbatas atas dalam \(\Bbb R\), sehingga mempunyai supremum \(c\in\Bbb R\). Sekarang \(E\) haruslah \(D\cap\ocint{-\infty,c}\) atau \(D\cap\ooint{-\infty,c}\); bentuk pertama berlaku jika \(c\in E\), dan bentuk kedua jika tidak. Dalam kedua kasus, himpunan tersebut merupakan irisan \(D\) dengan suatu himpunan Borel (lihat 114G).

Demikian pula, jika \(g\) tak-menaik, \(\{x:g(x)>a\}\) kembali akan menjadi irisan \(D\) dengan salah satu dari \(\emptyset\), \(\Bbb R\), \(\ocint{-\infty,c}\), atau \(\ooint{-\infty,c}\) untuk suatu \(c\). Jadi, dalam kasus ini 121B(iii) akan terpenuhi.

Catatan Saya melihat bahwa dalam bagian (b) dari bukti di atas saya menggunakan beberapa fakta dasar tentang himpunan terbuka dalam \(\BbbR^r\). Fakta-fakta ini dibahas secara terperinci dalam §1A2. Jika fakta-fakta tersebut baru bagi Anda, barangkali bijaksana untuk mengulang argumennya dengan \(r=1\), sehingga \(D\subseteq\Bbb R\), sebelum beralih ke kasus umum.

121E Teorema

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(f\) dan \(g\) fungsi bernilai real yang didefinisikan pada domain \(\dom f\), \(\dom g\subseteq X\).

(a) Jika \(f\) konstan, maka fungsi tersebut terukur.

(b) Jika \(f\) dan \(g\) terukur, maka \(f+g\) juga terukur, dengan \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) untuk \(x\in\dom f\cap\dom g\).

(d) Jika \(f\) dan \(g\) terukur, maka \(f\times g\) juga terukur, dengan \((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\) untuk \(x\in \dom f\cap\dom g\).

(e) Jika \(f\) dan \(g\) terukur, maka \(f/g\) juga terukur, dengan \((f/g)(x)=f(x)/g(x)\) ketika \(x\in \dom f\cap\dom g\) dan \(g(x)\ne 0\).

(f) Jika \(f\) terukur dan \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan Borel, maka terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(f^{-1}[E]=\{x:f(x)\in E\}\) sama dengan \(F\cap\dom f\).

(g) Jika \(f\) terukur dan \(h\) suatu fungsi terukur Borel dari suatu subhimpunan \(\dom h\) dari \(\Bbb R\) ke \(\Bbb R\), maka \(hf\) terukur, dengan \((hf)(x)=h(f(x))\) untuk \(x\in\dom(hf)=\{y:y\in\dom f,\,f(y)\in\dom h\}\).

(h) Jika \(f\) terukur dan \(A\) sembarang himpunan, maka \(f\restr A\) terukur, dengan \(\dom(f\restr A)=A\cap\dom f\) dan \((f\restr A)(x)=f(x)\) untuk \(x\in A\cap\dom f\).

Bukti

Untuk setiap \(D\subseteq X\), tuliskan \(\Sigma_D\) untuk aljabar-\(\sigma\) subruang atas subhimpunan-subhimpunan \(D\).

(a) Jika \(f(x)=c\) untuk setiap \(x\in \dom f\), maka \(\{x:f(x)<a\}=\dom f\) jika \(c<a\), dan \(\emptyset\) jika tidak; dalam kedua kasus himpunan tersebut termasuk dalam \(\Sigma_{\dom f}\).

(b) Tuliskan \(D=\dom(f+g)=\dom f\cap\dom g\). Jika \(a\in\Bbb R\), tetapkan \(K=\{(q,q'):q,\,q'\in\Bbb Q,\,q+q'\le a\}\). Maka \(K\) adalah subhimpunan \(\Bbb Q\times\Bbb Q\), sehingga terhitung (111Fb, 1A1E). Untuk \(q\in\Bbb Q\), pilih himpunan-himpunan \(F_q\), \(G_q\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(\{x:f(x)<q\}=F_q\cap\dom f\), \(\{x:g(x)<q\}=G_q\cap\dom g\).

Untuk setiap \((q,q')\in K\), himpunan

\(E_{qq'} =\{x:f(x)<q,\,g(x)<q'\}=F_q\cap G_{q'}\cap D\)

termasuk dalam \(\Sigma_D\). Akhirnya, jika \((f+g)(x)<a\), kita dapat menemukan \(q\in\ooint{f(x),a-g(x)}\), \(q'\in\ocint{g(x),a-q}\), sehingga \((q,q')\in K\) dan \(x\in E_{qq'}\); sedangkan jika \((q,q')\in K\) dan \(x\in E_{qq'}\), maka \((f+g)(x)<q+q'\le a\). Jadi

\(\{x:(f+g)(x)<a\} =\bigcup_{(q,q')\in K}E_{qq'}\in\Sigma_D\)

menurut 111Fa. Karena \(a\) sebarang, \(f+g\) terukur.

(c) Tuliskan \(D=\dom f\). Misalkan \(a\in\Bbb R\). Jika \(c>0\), maka

\(\{x:cf(x)<a\}=\{x:f(x)<\Bover{a}{c}\}\in\Sigma_D\).

Jika \(c<0\), maka

\(\{x:cf(x)<a\}=\{x:f(x)>\Bover{a}{c}\}\in\Sigma_D\).

Sedangkan jika \(c=0\), maka \(\{x:cf(x)<a\}\) adalah \(D\) atau \(\emptyset\), seperti dalam (a) di atas, sehingga termasuk dalam \(\Sigma_D\). Karena \(a\) sebarang, \(cf\) terukur.

(d) Tuliskan \(D=\dom(f\times g)=\dom f\cap\dom g\). Misalkan \(a\in\Bbb R\). Misalkan \(K\) adalah

\(\{(q_1,q_2,q_3,q_4):q_1,\ldots,q_4\in\Bbb Q,\,uv<a \text{ setiap kali }u\in\ooint{q_1,q_2},\,v\in\ooint{q_3,q_4}\}\).

Maka \(K\) terhitung. Untuk \(q\in\Bbb Q\), pilih himpunan-himpunan \(F_q\), \(F'_q\), \(G_q\), \(G'_q\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(\{x:f(x)<q\}=F_q\cap\dom f\), \(\{x:f(x)>q\}=F'_q\cap\dom f\),

\(\{x:g(x)<q\}=G_q\cap\dom g\), \(\{x:g(x)>q\}=G'_q\cap\dom g\).

Untuk \((q_1,q_2,q_3,q_4)\in K\), tetapkan

\[\begin{aligned}E_{q_1q_2q_3q_4} &=\{x:f(x)\in\ooint{q_1,q_2},\,g(x)\in\ooint{q_3,q_4}\}\\ &=D\cap F'_{q_1}\cap F_{q_2}\cap G'_{q_3}\cap G_{q_4} \in\Sigma_D;\\\end{aligned}\]

maka \(E=\bigcup_{(q_1,q_2,q_3,q_4)\in K}E_{q_1q_2q_3q_4}\in\Sigma_D\).

Sekarang \(E=\{x:(f\times g)(x)<a\}\). Bukti. (i) Jika \((f\times g)(x)<a\), tetapkan \(u=f(x)\), \(v=g(x)\). Tetapkan

\(\eta=\min(1,\Bover{a-uv}{1+|u|+|v|})>0\).

Ambil \(q_1,\ldots,q_4\in\Bbb Q\) sedemikian sehingga

\(u-\eta\le q_1<u<q_2\le u+\eta\), \(v-\eta\le q_3<v<q_4\le v+\eta\).

Jika \(u'\in\ooint{q_1,q_2}\), \(v'\in\ooint{q_3,q_4}\), maka \(|u'-u|<\eta\) dan \(|v'-v|<\eta\), sehingga

\[\begin{aligned}u'v'-uv &=(u'-u)(v'-v)+(u'-u)v+u(v'-v)\\ &<\eta^2+\eta|v|+|u|\eta \le\eta(1+|u|+|v|) \le a-uv,\\\end{aligned}\]

dan \(u'v'<a\). Dengan demikian \((q_1,q_2,q_3,q_4)\in K\). Selain itu, \(x\in E_{q_1q_2q_3q_4}\), sehingga \(x\in E\). Jadi \(\{x:(f\times g)(x)<a\}\subseteq E\). (ii) Di pihak lain, jika \(x\in E\), terdapat \(q_1,\ldots,q_4\) sedemikian sehingga \((q_1,q_2,q_3,q_4)\in K\) dan \(x\in E_{q_1q_2q_3q_4}\), sehingga \(f(x)\in\ooint{q_1,q_2}\) dan \(g(x)\in\ooint{q_3,q_4}\) serta \(f(x)g(x)<a\). Jadi \(E\subseteq\{x:(f\times g)(x)<a\}\). ∎

Dengan demikian \(\{x:(f\times g)(x)<a\}\in\Sigma_D\). Karena \(a\) sebarang, \(f\times g\) terukur.

(e) Berdasarkan (d), cukup ditunjukkan bahwa \(1/g\) terukur. Sekarang, jika \(a>0\), \(\{x:1/g(x)<a\}=\{x:g(x)>1/a\}\cup\{x:g(x)<0\}\); jika \(a<0\), maka \(\{x:1/g(x)<a\}=\{x:1/a<g(x)<0\}\); dan jika \(a=0\), maka \(\{x:1/g(x)<a\}=\{x:g(x)<0\}\). Semua himpunan ini termasuk dalam \(\Sigma_{\dom 1/g}\).

(f) Tuliskan \(D=\dom f\) dan tinjau himpunan

\(\Tau=\{E:E\subseteq\Bbb R,\,f^{-1}[E]\in\Sigma_D\}\).

Maka \(\Tau\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\). Bukti. (i) \(f^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\Sigma_D\), sehingga \(\emptyset\in\Tau\). (ii) Jika \(E\in\Tau\), maka \(f^{-1}[\Bbb R\setminus E]=D\setminus f^{-1}[E]\in\Sigma_D\), sehingga \(\Bbb R\setminus E\in\Tau\). (iii) Jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah suatu barisan di dalam \(\Tau\), maka \(f^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n] =\bigcup_{n\in\Bbb N}f^{-1}[E_n]\in\Sigma_D\) karena \(\Sigma_D\) adalah aljabar-\(\sigma\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Tau\). ∎

Selanjutnya, \(\Tau\) memuat semua himpunan berbentuk \(H_a=\ooint{-\infty,a}\) untuk \(a\in\Bbb R\), menurut definisi keterukuran \(f\). Hasilnya mengikuti dari argumen yang sudah digunakan dalam 114G di atas. Pertama, semua subhimpunan terbuka dari \(\Bbb R\) termasuk dalam \(\Tau\). Bukti. Misalkan \(G\subseteq\Bbb R\) terbuka. Misalkan \(K\subseteq\Bbb Q\times\Bbb Q\) adalah himpunan pasangan \((q,q')\) bilangan rasional sedemikian sehingga \(\coint{q,q'}\subseteq G\). \(K\) terhitung. Selain itu, setiap \(\coint{q,q'}\) termasuk dalam \(\Tau\), karena merupakan \(H_{q'}\setminus H_q\). Jadi \(G'=\bigcup_{(q,q')\in K}\coint{q,q'}\in\Tau\).

Menurut definisi \(K\), \(G'\subseteq G\). Di pihak lain, jika \(x\in G\), terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\ooint{x-\delta,x+\delta}\subseteq G\). Sekarang terdapat bilangan rasional \(q\in\ocint{x-\delta,x}\) dan \(q'\in\ocint{x,x+\delta}\), sehingga \((q,q')\in K\) dan \(x\in\coint{q,q'}\subseteq G'\). Karena \(x\) sebarang, \(G=G'\) dan \(G\in\Tau\). ∎

Akhirnya, \(\Tau\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\) yang memuat keluarga himpunan terbuka, sehingga harus memuat setiap himpunan Borel, menurut definisi himpunan Borel (111G).

(g) Jika \(a\in\Bbb R\), maka \(\{y:h(y)<a\}\) berbentuk \(E\cap\dom h\), dengan \(E\) suatu subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\). Selanjutnya, \(f^{-1}[E]\) berbentuk \(F\cap\dom f\), dengan \(F\in\Sigma\), menurut (f) di atas. Jadi

\(\{x:(hf)(x)<a\}=F\cap\dom hf\in\Sigma_{\dom hf}\).

Karena \(a\) sebarang, \(hf\) terukur.

(h) Intinya ialah bahwa \(\Sigma_{A\cap\dom f}=\{E\cap A:E\in\Sigma_{\dom f}\}\). Jadi, jika \(a\in\Bbb R\),

\(\{x:(f\restr A)(x)<a\}=A\cap\{x:f(x)<a\}\in\Sigma_{\dom(f\restr A)}\).

Catatan Tentu saja, bagian (c) dari teorema ini hanya merupakan hasil menggabungkan (a) dan (d), sedangkan (e) merupakan akibat dari (d), (g), dan fakta bahwa fungsi kontinu terukur Borel (121Db).

Saya harap Anda mengenali teknik dalam bukti bagian (d) sebagai suatu versi argumen yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa limit hasil kali adalah hasil kali limit, atau bahwa hasil kali fungsi-fungsi kontinu bersifat kontinu. Sebenarnya, (b) dan (d) di sini, bersama dengan teorema-teorema tentang jumlah dan hasil kali limit, merupakan akibat dari fakta bahwa penjumlahan dan perkalian adalah fungsi kontinu. Dalam 121K saya memberikan suatu hasil umum yang dapat digunakan untuk memanfaatkan fakta-fakta semacam itu.

Sesungguhnya, bagian (f) di sini merupakan inti konsep fungsi bernilai real yang ‘terukur’. Inti definisi dalam 121B-121C ialah bahwa aljabar-\(\sigma\) Borel pada \(\Bbb R\) dapat dibangkitkan oleh salah satu di antara keluarga-keluarga \(\{\ooint{-\infty,a}:a\in\Bbb R\}\), \(\{\ocint{-\infty,a}:a\in\Bbb R\},\ldots\). (Lihat 121Yc(ii).) Ada banyak cara membahas pokok ini dengan jauh lebih ringkas daripada yang saya lakukan, dengan konsekuensi tingkat abstraksi yang sedikit lebih tinggi.

121F Teorema

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang \(\Sigma\)-terukur, dengan domain-domain yang termuat dalam \(X\).

(a) Definisikan suatu fungsi \(\lim_{n\to\infty}f_n\) dengan menuliskan

\((\lim_{n\to\infty}f_n)(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\)

untuk semua \(x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}\dom f_m\) yang limitnya ada dalam \(\Bbb R\). Maka \(\lim_{n\to\infty}f_n\) merupakan fungsi \(\Sigma\)-terukur.

(b) Definisikan suatu fungsi \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) dengan menuliskan

\((\sup_{n\in\Bbb N}f_n)(x)=\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)\)

untuk semua \(x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\) yang supremumnya ada dalam \(\Bbb R\). Maka \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) merupakan fungsi \(\Sigma\)-terukur.

\((\inf_{n\in\Bbb N}f_n)(x)=\inf_{n\in\Bbb N}f_n(x)\)

untuk semua \(x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\) yang infimumnya ada dalam \(\Bbb R\). Maka \(\inf_{n\in\Bbb N}f_n\) merupakan fungsi \(\Sigma\)-terukur.

(d) Definisikan suatu fungsi \(\limsup_{n\to\infty}f_n\) dengan menuliskan

\((\limsup_{n\to\infty}f_n)(x) =\limsup_{n\to\infty}f_n(x)\)

untuk semua \(x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}\dom f_m\) yang \(\limsup\)-nya ada dalam \(\Bbb R\). Maka \(\limsup_{n\to\infty}f_n\) merupakan fungsi \(\Sigma\)-terukur.

(e) Definisikan suatu fungsi \(\liminf_{n\to\infty}f_n\) dengan menuliskan

\((\liminf_{n\to\infty}f_n)(x) =\liminf_{n\to\infty}f_n(x)\)

untuk semua \(x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}\dom f_m\) yang \(\liminf\)-nya ada dalam \(\Bbb R\). Maka \(\liminf_{n\to\infty}f_n\) merupakan fungsi \(\Sigma\)-terukur.

121G Catatan

Pada titik inilah kita untuk pertama kalinya berhadapan secara nyata dengan persoalan fungsi yang tidak terdefinisi di seluruh ruang. (Hasil bagi \(f/g\) dalam 121Ee juga tidak harus terdefinisi di seluruh domain bersama \(f\) dan \(g\), tetapi hal ini kurang penting dan lebih mudah ditangani.) Sejak Lebesgue, inti teori ukuran dan integrasi ialah bahwa kita dapat menangani limit barisan fungsi; dan himpunan tempat \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) ada dapat sangat tidak teratur, bahkan bagi fungsi-fungsi \(f_n\) yang tampaknya berperilaku baik. (Jika Anda pernah menjumpai teori deret Fourier, contoh yang tepat untuk dipikirkan ialah barisan jumlah parsial \(f_n(x)={1\over 2}a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\) dari suatu deret Fourier dengan \(\sum_{k=1}^{\infty}(|a_k|+|b_k|)=\infty\), sehingga deret tersebut tidak dapat dijumlahkan mutlak secara seragam, tetapi mungkin dapat dijumlahkan secara bersyarat pada titik-titik tertentu.)

Saya telah berusaha menjelaskan domain mana yang saya maksud bagi fungsi-fungsi \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\lim_{n\to\infty}f_n\), dan seterusnya. Asas penuntunnya ialah bahwa domain-domain itu harus menjadi himpunan semua \(x\in X\) yang untuknya rumus pendefinisi \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)\), \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) dapat ditafsirkan sebagai bilangan real. (Seperti saya catat dalam 121C, untuk sementara saya menghindari ‘\(\infty\)’ sebagai nilai fungsi, walaupun hal itu hanya menimbulkan sedikit kesulitan dan beberapa rumus lebih alami ditafsirkan dengan mengizinkannya.) Namun, dalam kasus \(\lim\), \(\limsup\), \(\liminf\), perlu dicatat bahwa saya menggunakan definisi yang membatasi, yakni \(\lim_{n\to\infty}a_n\) dapat dianggap ada hanya jika terdapat suatu \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(a_m\) terdefinisi untuk setiap \(m\ge n\). Ada kalanya lebih alami untuk menerima limit ketika kita hanya tahu bahwa \(a_m\) terdefinisi untuk tak hingga banyak nilai \(m\); tetapi kesepakatan semacam itu dapat membuat 121Fa salah, kecuali jika diterapkan dengan hati-hati.

Seperti dalam 111E-111F, kita dapat menggunakan gagasan pada bagian (b), (c) di sini untuk membahas fungsi berbentuk \(\sup_{k\in K}f_k\), \(\inf_{k\in K}f_k\) bagi sembarang keluarga \(\langle f_k\rangle_{k\in K}\) fungsi terukur yang diindeks oleh himpunan terhitung tak kosong \(K\).

Dalam teorema ini dan teorema sebelumnya, fungsi-fungsi \(f\), \(g\), \(f_n\) diizinkan mempunyai domain sembarang, sehingga tidak ada yang dapat dikatakan tentang domain fungsi-fungsi yang dikonstruksi. Namun, tentu saja, jika fungsi-fungsi semula mempunyai domain terukur, maka demikian pula fungsi-fungsi yang dikonstruksi darinya menurut aturan yang saya usulkan. Saya menjabarkan rinciannya dalam proposisi berikut.

121H Proposisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\); misalkan \(f\), \(g\), dan \(f_n\), untuk \(n\in\Bbb N\), adalah fungsi-fungsi bernilai real yang \(\Sigma\)-terukur dan domainnya termasuk dalam \(\Sigma\). Maka semua fungsi

\(f+g\), \(f\times g\), \(f/g\),

\(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\inf_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\lim_{n\to\infty}f_n\), \(\limsup_{n\to\infty}f_n\), \(\liminf_{n\to\infty}f_n\)

mempunyai domain yang termasuk dalam \(\Sigma\). Selain itu, jika \(h\) adalah fungsi bernilai real terukur Borel yang didefinisikan pada suatu subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), maka \(\dom hf\in\Sigma\).

Bukti

Untuk dua fungsi pertama, kita mempunyai \(\dom(f+g)=\dom(f\times g)=\dom f\cap \dom g\). Selanjutnya, jika \(E\) adalah suatu subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), terdapat \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(f^{-1}[E]=H\cap\dom f\); jadi \(f^{-1}[E]\in\Sigma\). Dengan demikian

\(\dom hf=f^{-1}[\dom h]\in\Sigma\).

Dengan menetapkan \(h(a)=1/a\) untuk \(a\in\Bbb R\setminus\{0\}\), kita melihat bahwa \(\dom(1/f)\in\Sigma\). (\(\dom h=\Bbb R\setminus\{0\}\) adalah himpunan Borel karena terbuka.) Demikian pula, \(\dom(1/g)\) dan \(\dom(f/g)=\dom f\cap\dom(1/g)\) termasuk dalam \(\Sigma\).

Sekarang tinjau kombinasi-kombinasi tak hingga. Tetapkan \(H_n(a)=\{x:x\in\dom f_n,\,f_n(x)<a\}\) untuk \(n\in\Bbb N\), \(a\in\Bbb R\); seperti baru saja dijelaskan, setiap \(H_n(a)\) termasuk dalam \(\Sigma\). Sekarang

\(\dom(\sup_{n\in\Bbb N}f_n) =\bigcup_{m\in\Bbb N}\bigcap_{n\in\Bbb N}H_n(m)\in\Sigma\).

\(G_{mnk} =\{x:x\in\dom f_m\cap\dom f_n,\,|f_m(x)-f_n(x)|\le 2^{-k}\}\in\Sigma\)

untuk semua \(m\), \(n\), \(k\in\Bbb N\). Dengan demikian

\(\dom(\lim_{n\to\infty}f_n) =\{x:\Exists n,\,\langle f_m(x)\rangle_{m\ge n}\) merupakan barisan Cauchy\(\} =\bigcap_{k\in\Bbb N}\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}G_{mnk} \in\Sigma\).

Dengan memanipulasi hasil-hasil di atas seperti dalam (c), (d), dan (e) dari bukti 121F, kita dengan mudah menyelesaikan bukti.

Catatan Perhatikan penggunaan Asas Umum Konvergensi dalam bukti di atas. Saya tidak yakin apakah hal ini akan terasa ‘alami’ bagi Anda, dan ada metode-metode alternatif; tetapi rumus

\(\{x:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) ada dalam \(\Bbb R\} =\{x:\sequencen{f_n(x)}\) merupakan barisan Cauchy\(\}\)

patut disimpan dalam ingatan jangka panjang Anda.

121I Hasil tambahan

Saya mengakhiri bagian ini dengan dua hasil yang dapat dilewati dengan aman pada pembacaan pertama, tetapi yang pada suatu saat perlu Anda kuasai jika ingin melangkah lebih jauh dalam teori ukuran daripada bab ini, karena keduanya merupakan bagian-bagian hakiki dari konsep ‘fungsi terukur’.

Proposisi Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(D\) suatu subhimpunan \(X\) dan \(f:D\to\Bbb R\) suatu fungsi. Maka \(f\) terukur jika dan hanya jika terdapat fungsi terukur \(h:X\to\Bbb R\) yang memperluas \(f\).

Bukti

(a) Jika \(h:X\to\Bbb R\) terukur dan \(f=h\restr D\), maka \(f\) terukur menurut 121Eh.

(b) Sekarang andaikan bahwa \(f\) terukur.

(i) Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), himpunan \(D_q=\{x:x\in D,\,f(x)\le q\}\) termasuk dalam aljabar-\(\sigma\) subruang \(\Sigma_D\), yakni, terdapat \(E_q\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(D_q=E_q\cap D\). Tetapkan

\(F=X\setminus\bigcup_{q\in\Bbb Q}E_q\),

\(G=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{q\in\Bbb Q,q\le -n}E_q\);

maka \(F\) dan \(G\) keduanya termasuk dalam \(\Sigma\) dan saling lepas dari \(D\). Bukti. Jika \(x\in D\), terdapat \(q\in\Bbb Q\) sedemikian sehingga \(f(x)\le q\), sehingga \(x\in E_q\) dan \(x\notin F\). Selain itu, terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(f(x)>-n\), sehingga \(x\notin E_{q'}\) untuk \(q'\le-n\) dan \(x\notin G\). ∎

Tetapkan \(H=X\setminus(F\cup G)\in\Sigma\). Untuk \(x\in H\),

\(\{q:q\in\Bbb Q,\,x\in E_q\}\)

tak kosong dan berbatas bawah, sehingga kita dapat menetapkan

\(h(x)=\inf\{q:x\in E_q\}\);

untuk \(x\in F\cup G\), tetapkan \(h(x)=0\). Ini mendefinisikan \(h:X\to\Bbb R\).

(ii) \(h(x)=f(x)\) untuk \(x\in D\). Bukti. Seperti telah dicatat di atas, \(x\in H\). Jika \(q\in\Bbb Q\) dan \(x\in E_q\), maka \(f(x)\le q\); akibatnya \(h(x)\ge f(x)\). Di pihak lain, untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(q\in\Bbb Q\cap[f(x),f(x)+\epsilon]\), dan sekarang \(x\in E_q\), sehingga \(h(x)\le q\le f(x)+\epsilon\); karena \(\epsilon\) sebarang, \(h(x)\le f(x)\). ∎

(iii) \(h\) terukur. Bukti. Jika \(a>0\), maka

\(\{x:h(x)<a\}=(H\cap\bigcup_{q<a}E_q)\cup(F\cup G)\in\Sigma\),

sedangkan jika \(a\le 0\),

\(\{x:h(x)<a\}=H\cap\bigcup_{q<a}E_q\in\Sigma\). ∎

Ini menyelesaikan bukti.

121J Hasil tambahan

Proposisi berikut dapat memperjelas 121E, sekaligus sangat diperlukan bagi pekerjaan dalam Jilid 2. Saya mulai dengan suatu deskripsi berguna tentang himpunan-himpunan Borel dalam \(\BbbR^r\).

Lema Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan tuliskan \(\Cal J\) untuk keluarga subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^r\) yang berbentuk \(\{x:\xi_i\le\alpha\}\), dengan \(i\le r\), \(\alpha\in\Bbb R\), serta \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\), seperti dalam §115. Maka aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^r\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal J\) tepat sama dengan aljabar-\(\sigma\) \(\Cal B\) dari subhimpunan-subhimpunan Borel \(\BbbR^r\).

Bukti

(a) Semua himpunan dalam \(\Cal J\) tertutup, sehingga harus termasuk dalam \(\Cal B\); dengan menuliskan \(\Sigma\) untuk aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal J\), kita harus mempunyai \(\Sigma\subseteq\Cal B\).

(b) Langkah berikutnya ialah mengamati bahwa semua interval setengah terbuka berbentuk

\(\ocint{a,b} =\{x:\alpha_i<\xi_i\le\beta_i\Forall i\le r\}\)

termasuk dalam \(\Sigma\); hal ini karena

\(\ocint{a,b}=\bigcap_{i\le r}(\{x:\xi_i\le\beta_i\}\setminus\{x:\xi_i\le\alpha_i\})\).

Akibatnya, semua himpunan terbuka termasuk dalam \(\Sigma\). Bukti. (Bandingkan bukti 121Ef.) Misalkan \(G\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terbuka. Misalkan \(\Cal I\) adalah himpunan semua interval berbentuk \(\ocint{q,q'}\) yang termuat dalam \(G\), dengan \(q\), \(q'\in\BbbQ^r\). Maka \(\Cal I\) adalah subhimpunan terhitung dari \(\Sigma\), sehingga (karena \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\)) \(\bigcup\Cal I\in\Sigma\). Menurut definisi \(\Cal I\), \(\bigcup\Cal I\subseteq G\). Namun, jika \(x\in G\), terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga bola terbuka \(U(x,\delta)\) yang berpusat di \(x\) dan berjari-jari \(\delta\) termuat dalam \(G\) (1A2A). Sekarang, untuk setiap \(i\le r\), kita dapat menemukan bilangan-bilangan rasional \(\alpha_i\), \(\beta_i\) sedemikian sehingga

\(\xi_i-\Bover{\delta}r \le\alpha_i<\xi_i\le\beta_i<\xi_i+\Bover{\delta}r\),

sehingga

\(x\in\ocint{a,b}\subseteq U(x,\delta)\subseteq G\)

dan \(x\in\ocint{a,b}\in\Cal I\). Jadi \(x\in\bigcup\Cal I\). Karena \(x\) sebarang, \(G\subseteq\bigcup\Cal I\) dan \(G=\bigcup\Cal I\in\Sigma\). ∎

(c) Dengan demikian, \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) himpunan yang memuat setiap himpunan terbuka, dan harus memuat \(\Cal B\), aljabar-\(\sigma\) terkecil semacam itu.

Catatan Bandingkan bukti 115G.

121K Proposisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(f_1,\ldots,f_r\) fungsi-fungsi terukur yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\). Tetapkan \(D=\bigcap_{i\le r}\dom f_i\), dan untuk \(x\in D\) tetapkan \(f(x)=(f_1(x),\ldots,f_r(x))\in\BbbR^r\). Maka

(a) untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^r\), \(f^{-1}[E]\) termasuk dalam aljabar-\(\sigma\) subruang \(\Sigma_D\);

(b) jika \(h\) adalah suatu fungsi terukur Borel dari suatu subhimpunan \(\dom h\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\Bbb R\), maka komposisi \(hf\) terukur.

Bukti

(a)(i) Tinjau himpunan

\(\Tau=\{E:E\subseteq\BbbR^r,\,f^{-1}[E]\in\Sigma_D\}\).

Maka \(\Tau\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^r\). Bukti. (Bandingkan 121Ef.) (\(\pmb{\alpha}\)) \(f^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\Sigma_D\), sehingga \(\emptyset\in\Tau\). (\(\pmb{\beta}\)) Jika \(E\in\Tau\), maka \(f^{-1}[\BbbR^r\setminus E]=D\setminus f^{-1}[E]\in\Sigma_D\), sehingga \(\BbbR^r\setminus E\in\Tau\). (\(\pmb{\gamma}\)) Jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah suatu barisan di dalam \(\Tau\), maka \(f^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n] =\bigcup_{n\in\Bbb N}f^{-1}[E_n]\in\Sigma_D\) karena \(\Sigma_D\) adalah aljabar-\(\sigma\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Tau\). ∎

(ii) Selanjutnya, untuk setiap \(i\le r\) dan \(\alpha\in\Bbb R\), \(J=\{x:\xi_i\le\alpha\}\) termasuk dalam \(\Tau\), karena

\(f^{-1}[J] =\{x:x\in D,\, f_i(x)\le \alpha\}\in\Sigma_D\).

Jadi \(\Tau\) memuat keluarga \(\Cal J\) dari 121J, dan karena itu memuat aljabar-\(\sigma\) \(\Cal B\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal J\), yakni, memuat setiap subhimpunan Borel dari \(\BbbR^r\).

(b) Sekarang sisanya mengikuti dari argumen 121Eg. Jika \(a\in\Bbb R\), maka \(\{y:y\in\dom h,\,h(y)<a\}\) berbentuk \(E\cap\dom h\), dengan \(E\) suatu subhimpunan Borel dari \(\BbbR^r\), sehingga \(\{x:x\in\dom(hf),\,(hf)(x)<a\} =f^{-1}[E]\cap\dom(hf)\) termasuk dalam \(\Sigma_{\dom hf}\).

Latihan

121X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(D\subseteq X\). Misalkan \(\sequencen{D_n}\) suatu partisi \(D\) menjadi himpunan-himpunan yang terukur relatif, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real terukur sedemikian sehingga \(D_n\subseteq\dom f_n\) untuk setiap \(n\). Definisikan \(f:D\to\Bbb R\) dengan menetapkan \(f(x)=f_n(x)\) setiap kali \(n\in\Bbb N\), \(x\in D_n\). Tunjukkan bahwa \(f\) terukur.

121Xb (b)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi bernilai real terukur yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\), tunjukkan bahwa \(f^+\), \(f^-\), \(f\wedge g\), dan \(f\vee g\) terukur, dengan

\(f^+(x)=\max(f(x),0)\) untuk \(x\in\dom f\),

\(f^-(x)=\max(-f(x),0)\) untuk \(x\in\dom f\),

\((f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\) untuk \(x\in\dom f\cap\dom g\),

\((f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\) untuk \(x\in\dom f\cap\dom g\).

121Xc (>c) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tuliskan \(\eusm L^0\) untuk himpunan fungsi bernilai real \(f\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\dom f\) adalah subhimpunan koterabaikan dari \(X\) (\(\beta\)) terdapat himpunan koterabaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur. (i) Tunjukkan bahwa himpunan \(E\) pada klausa (\(\beta\)) dalam kalimat terakhir dapat diambil termasuk dalam \(\Sigma\) dan termuat dalam \(\dom f\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(f+g\), \(cf\), \(f\times g\), \(|f|\), \(f^+\), \(f^-\), \(f\wedge g\), \(f\vee g\) semuanya termasuk dalam \(\eusm L^0\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(g\ne 0\) a.e., maka \(f/g\in\eusm L^0\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{f_n}\) adalah suatu barisan di dalam \(\eusm L^0\), maka fungsi-fungsi

\(\lim_{n\to\infty}f_n\), \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\inf_{n\in\Bbb N}f_n\), \(\limsup_{n\to\infty}f_n\), \(\liminf_{n\to\infty}f_n\)

termasuk dalam \(\eusm L^0\) setiap kali fungsi-fungsi itu terdefinisi hampir di mana-mana sebagai fungsi bernilai real. (v) Tunjukkan bahwa jika \(f\in\eusm L^0\) dan \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) terukur Borel, maka \(hf\in\eusm L^0\).

121Xd (>d) penting

Tinjau empat keluarga subhimpunan \(\Bbb R\) berikut:

\(\Cal A_1=\{\ooint{-\infty,a}:a\in\Bbb R\}\), \(\Cal A_2=\{\ocint{-\infty,a}:a\in\Bbb R\}\),

\(\Cal A_3=\{\ooint{a,\infty}:a\in\Bbb R\}\), \(\Cal A_4=\{\coint{a,\infty}:a\in\Bbb R\}\).

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(j\), aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A_j\) adalah aljabar-\(\sigma\) himpunan-himpunan Borel.

121Xe (e)

Misalkan \(D\) sembarang subhimpunan \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\). Tuliskan \(\frak T_D\) untuk himpunan \(\{G\cap D:G\subseteq\BbbR^r\) merupakan himpunan terbuka\(\}\). (i) Tunjukkan bahwa \(\frak T_D\) memenuhi sifat-sifat himpunan terbuka yang tercantum dalam 1A2B. (ii) Misalkan \(\Cal B\) aljabar-\(\sigma\) himpunan-himpunan Borel dalam \(\BbbR^r\), dan \(\Cal B(D)\) aljabar-\(\sigma\) subruang pada \(D\). Tunjukkan bahwa \(\Cal B(D)\) tepat sama dengan aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(D\) yang dibangkitkan oleh \(\frak T_D\). Petunjuk: (\(\alpha\)) amati bahwa \(\frak T_D\subseteq\Cal B(D)\) (\(\beta\)) tinjau \(\{E:E\subseteq\BbbR^r,\,E\cap D\) termasuk dalam aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\frak T_D\}\).

121Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan definisikan \(\eusm L^0\) seperti dalam 121Xc. Tunjukkan bahwa jika \(f_1,\ldots,f_r\) termasuk dalam \(\eusm L^0\) dan \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) terukur Borel, maka \(h(f_1,\ldots,f_r)\) termasuk dalam \(\eusm L^0\).

121Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan-himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi, dan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\). Tetapkan \(\Tau=\{F:F\subseteq Y,\,\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\); maka \(\Tau\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(Y\) (lihat 111Xc). (i) Tunjukkan bahwa jika \(g\) \(\Tau\)-terukur, maka \(g\phi\) \(\Sigma\)-terukur. (ii) Berikan suatu contoh ketika \(g\phi\) \(\Sigma\)-terukur, tetapi \(g\) tidak \(\Tau\)-terukur. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(g\phi\) \(\Sigma\)-terukur dan salah satu dari syarat berikut berlaku: \(\phi\) injektif, atau \(\dom(g\phi)\in\Sigma\), atau \(\phi[X]\subseteq\dom g\), maka \(g\) \(\Tau\)-terukur.¹

121Yb (b)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan-himpunan, \(\Tau\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(Y\), dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tetapkan \(\Sigma=\{\phi^{-1}[F]:F\in\Tau\}\), seperti dalam 111Xd. Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(f:X\to\Bbb R\) \(\Sigma\)-terukur jika dan hanya jika terdapat fungsi \(\Tau\)-terukur \(g:Y\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f=g\phi\).

121Yc (c)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan-himpunan, dan \(\Sigma\), \(\Tau\) masing-masing aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), \(Y\). Suatu fungsi \(\phi:X\to Y\) disebut \((\Sigma,\Tau)\)-terukur jika \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) untuk setiap \(F\in\Tau\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(\Sigma\), \(\Tau\), \(\Upsilon\) masing-masing adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), \(Y\), \(Z\), dan \(\phi:X\to Y\) \((\Sigma,\Tau)\)-terukur, \(\psi:Y\to Z\) \((\Tau,\Upsilon)\)-terukur, maka \(\psi\phi:X\to Z\) \((\Sigma,\Upsilon)\)-terukur. (ii) Andaikan \(\Cal A\subseteq\Tau\) sedemikian sehingga \(\Tau\) merupakan aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(Y\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A\) (111Gb). Tunjukkan bahwa \(\phi:X\to Y\) \((\Sigma,\Tau)\)-terukur jika dan hanya jika \(\phi^{-1}[A]\in\Sigma\) untuk setiap \(A\in\Cal A\). (iii) Untuk \(r\ge 1\), tuliskan \(\Cal B_r\) untuk aljabar-\(\sigma\) subhimpunan-subhimpunan Borel dari \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa jika \(X\) sembarang himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), maka suatu fungsi \(f:X\to\BbbR^r\) \((\Sigma,\Cal B_r)\)-terukur jika dan hanya jika \(\pi_if:X\to\Bbb R\) \((\Sigma,\Cal B_1)\)-terukur untuk setiap \(i\le r\), dengan \(\pi_i(x)=\xi_i\) untuk \(i\le r\), \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\). (iv) Rumuskan kembali gagasan-gagasan ini untuk fungsi-fungsi yang terdefinisi sebagian.

121Yd (d)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Untuk \(r\ge 1\), \(D\subseteq X\), katakan bahwa suatu fungsi \(\phi:D\to\BbbR^r\) terukur jika \(\phi^{-1}[G]\) terukur relatif dalam \(D\) untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq\BbbR^r\). Jika \(X=\BbbR^s\) dan \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) \(\Cal B_s\) dari subhimpunan-subhimpunan Borel \(\BbbR^s\), katakan bahwa \(\phi\) terukur Borel. (i) Tunjukkan bahwa \(\phi\) terukur dalam pengertian ini jika dan hanya jika semua fungsi koordinatnya \(\phi_i:D\to\Bbb R\) terukur dalam pengertian 121C, dengan \(\phi(x)=(\phi_1(x),\ldots,\phi_r(x))\) untuk \(x\in D\). (Khususnya, definisi ini sesuai dengan 121C ketika \(r=1\).) (ii) Tunjukkan bahwa \(\phi:D\to\BbbR^r\) terukur jika dan hanya jika \((\Sigma,\Cal B_r)\)-terukur dalam pengertian 121Yc. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\phi:D\to\BbbR^r\) terukur dan \(\psi:E\to\BbbR^s\) terukur Borel, dengan \(E\subseteq\BbbR^r\), maka \(\psi\phi:\phi^{-1}[E]\to\BbbR^s\) terukur. (iv) Tunjukkan bahwa setiap fungsi kontinu dari suatu subhimpunan \(\BbbR^s\) ke \(\BbbR^r\) terukur Borel.

121Ye (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\); misalkan \(\mu\) ukuran yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, dan \(\Sigma\) domainnya. Andaikan bahwa \(f:X\to\Bbb R\) adalah suatu fungsi sedemikian sehingga

\(\theta\{x:x\in A,\,f(x)\le a\} +\theta\{x:x\in A,\,f(x)\ge b\}\le\theta A\)

setiap kali \(A\subseteq X\) dan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(f\) \(\Sigma\)-terukur. (Petunjuk\/: andaikan \(a\in\Bbb R\) dan \(\theta A<\infty\). Tetapkan

\(B_k=\{x:x\in A,\, a+\Bover1{2k+2}\le f(x)\le a+\Bover1{2k+1}\}\),

\(B'_k=\{x:x\in A,\, a+\Bover1{2k+3}\le f(x)\le a+\Bover1{2k+2}\}\)

untuk \(k\in\Bbb N\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{k=0}^{\infty}\theta B_k\le\theta A\), dan periksa hasil serupa untuk \(B'_k\). Dari sini, tunjukkan bahwa

\(\theta\{x:x\in A,\,f(x)>a\} =\lim_{k\to\infty}\theta\{x:x\in A,\,f(x)\ge a+\Bover1k\}\).)

Catatan dan komentar

121-notes Catatan penutup untuk Bagian 121

Dalam bagian ini saya telah memberikan tidak kurang dari tiga definisi ‘fungsi terukur’, dalam 121C, 121Yc, dan 121Yd. Sebenarnya, definisi terakhir barangkali yang terpenting dan menjadi panduan terbaik menuju gagasan-gagasan selanjutnya. Meskipun demikian, sebagian besar penerapan merujuk pada fungsi bernilai real, dan empat syarat ekuivalen dalam 121B adalah yang paling alami dan paling mudah digunakan. Fakta bahwa semuanya berimpit dengan syarat dalam 121Yd bersesuaian dengan fakta bahwa semuanya berbentuk

\(f^{-1}[E]\in\Sigma_D\) untuk setiap \(E\in\Cal A\)

dengan \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(\Bbb R\) yang membangkitkan aljabar-\(\sigma\) Borel (121Xd, 121Yc(ii)).

Kelas fungsi terukur mungkin merupakan kelas terluas yang sejauh ini pernah Anda lihat, jika kita tidak menghitung keluarga semua fungsi bernilai real; semua fungsi yang mudah dideskripsikan antara subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\) bersifat terukur. Ruang fungsi terukur bukan hanya tertutup terhadap penjumlahan, perkalian, dan komposisi dengan fungsi kontinu (121E), tetapi setiap operasi alami yang bekerja pada suatu barisan fungsi terukur akan menghasilkan fungsi terukur (121F, 121Xb, 121Xa). Namun, tidak selalu benar bahwa komposisi dua fungsi terukur Lebesgue dari \(\Bbb R\) ke dirinya sendiri terukur Lebesgue; saya memberikan contoh tandingan dalam 134Ib. Intinya di sini ialah bahwa suatu fungsi disebut ‘terukur’ jika fungsi tersebut \((\Sigma,\Cal B)\)-terukur, dalam bahasa 121Yc, dengan \(\Cal B\) aljabar-\(\sigma\) himpunan-himpunan Borel. Fungsi semacam itu dapat saja gagal menjadi \((\Sigma,\Sigma)\)-terukur jika \(\Sigma\) memuat \(\Cal B\) secara sejati, sehingga argumen alami untuk komposisi (121Yc(i)) gagal. Meskipun demikian, karena alasan-alasan yang akan saya singgung dalam §134, fungsi yang tidak terukur Lebesgue sulit ditemukan, dan hanya muncul secara alami dalam jenis-jenis analisis real yang sangat terspesialisasi. Karena itu, Anda dapat mendekati pertanyaan apakah suatu fungsi tertentu terukur Lebesgue dengan keyakinan yang wajar bahwa fungsi tersebut memang terukur, dan bahwa buktinya sekadar menjadi tantangan bagi teknik Anda.

Anda akan mengamati bahwa hasil-hasil 121E sebagian besar tercakup oleh 121I-121K, yang juga mencakup sebagian besar 114G dan 115G; dan bahwa 121Kb tercakup oleh 121Yd(iii). Anda dapat menganggap diri telah menguasai bagian pokok bahasan ini ketika pemaparan saya terasa membosankan karena berulang-ulang. Tentu saja, untuk menurunkan 121Ed dari 121K, misalnya, Anda harus mengetahui bahwa perkalian, dipandang sebagai fungsi dari \(\BbbR^2\) ke \(\Bbb R\), bersifat kontinu, sehingga terukur Borel; buktinya tertanam dalam bukti yang saya berikan untuk 121Ed (lihat rumus untuk \(\eta\) di pertengahan bukti).