Transformasi terdiferensialkan dalam R^r

263A Transformasi linear

Saya mulai dengan kasus khusus operator linear, yang bukan saja menjadi dasar pembuktian 263D, melainkan juga salah satu penerapannya yang paling penting, dan bahkan sudah memadai untuk banyak hasil yang sangat mencolok.

Teorema Misalkan \(T\) suatu matriks real \(r\times r\); pandang \(T\) sebagai operator linear dari \(\BbbR^r\) ke dirinya sendiri. Misalkan \(J=|\det T|\) adalah modulus determinannya. Maka

untuk setiap himpunan terukur \(E\subseteq\BbbR^r\). Jika \(T\) merupakan suatu permutasi (yakni, jika \(J\ne 0\)), maka

untuk setiap himpunan terukur \(F\subseteq\BbbR^r\), dan

untuk setiap fungsi terintegralkan \(g\) dan himpunan terukur \(F\).

263B Catatan

Mungkin saya seharusnya telah memperingatkan Anda bahwa saya akan menggunakan hasil-hasil §235. Namun, jika hasil-hasil itu masih segar dalam ingatan Anda, rumus-rumus dalam pernyataan teorema tentu telah mengingatkannya; dan jika tidak, barangkali lebih baik kembali kepada hasil-hasil itu sekarang daripada sebelum membaca teorema, karena hasil-hasil itu hanya digunakan dalam kalimat terakhir pembuktian.

Saya telah menguraikan argumen di atas dengan santai, bahkan mungkin dapat dikatakan sangat perlahan. Intinya ialah bahwa meskipun invariansi ukuran Lebesgue terhadap translasi, dan perilakunya di bawah pembesaran sederhana pada satu koordinat, kurang lebih sudah tertanam dalam definisinya, perilakunya di bawah rotasi umum tidak demikian, karena suatu rotasi membawa interval setengah-terbuka menjadi balok miring. Tentu saja perhitungan ukuran objek semacam itu sebenarnya tidak berkaitan khusus dengan teori Lebesgue, dan jelas bahwa sebagian besar argumen ini akan berlaku sama baiknya bagi setiap pengertian volume berdimensi \(r\) yang wajar secara geometris.

Sekarang kita sampai pada hasil utama bab ini. Sebagian pekerjaan terperincinya telah kita lakukan dalam 262M. Unsur dasar berikutnya adalah lemma di bawah ini.

263C Lemma

Misalkan \(T\) suatu matriks real \(r\times r\); tetapkan \(J=|\det T|\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\zeta=\zeta(T,\epsilon)>0\) sedemikian sehingga

(i) \(|\det S-\det T|\le\epsilon\) kapan pun \(S\) adalah matriks \(r\times r\) dan \(\|S-T\|\le\zeta\);

(ii) kapan pun \(D\subseteq\BbbR^r\) merupakan himpunan terbatas dan \(\phi:D\to\BbbR^r\) adalah fungsi sedemikian sehingga \(\|\phi(x)-\phi(y)-T(x-y)\|\le\zeta\|x-y\|\) untuk semua \(x\), \(y\in D\), maka \(|\mu^*\phi[D]-J\mu^*D|\le\epsilon\mu^*D\).

263D

Kita siap untuk teorema ini.

Teorema Misalkan \(D\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan, dan \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik dalam \(D\). Untuk setiap \(x\in D\) misalkan \(T(x)\) suatu turunan \(\phi\) relatif terhadap \(D\) di \(x\), dan tetapkan \(J(x)=|\det T(x)|\). Maka

(i) \(J:D\to\coint{0,\infty}\) merupakan fungsi terukur,

(ii) \(\mu^*\phi[D]\le\int_DJ\,d\mu\),

dengan membolehkan \(\infty\) sebagai nilai integral. Jika \(D\) terukur, maka

(iii) \(\phi[D]\) terukur.

Jika \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif, maka

(iv) \(\mu\phi[D]=\int_DJ\,d\mu\),

(v) untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(\phi[D]\),

jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan syarat kita menafsirkan \(J(x)g(\phi(x))\) sebagai nol ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

263E Catatan (a)

Ini adalah suatu versi hasil klasik mengenai perubahan variabel dalam integral berdimensi banyak. Yang di sini saya sebut \(J(x)\) adalah Jacobian dari \(\phi\) di \(x\); ia menggambarkan perubahan volume objek-objek di dekat \(x\), mengikuti kaidah yang telah ditetapkan dalam 263A bagi fungsi-fungsi dengan turunan konstan. Gagasan pembuktiannya juga merupakan gagasan klasik: memecah himpunan \(D\) menjadi bagian-bagian \(D_m\) yang cukup kecil agar kita dapat menghampiri \(\phi\) dengan operator afin \(y\mapsto \phi(x) + T_{m}(y-x)\) pada masing-masing bagian. Potensi ketakteraturan himpunan \(D\), yang dalam teorema ini boleh berupa sebarang himpunan, diimbangi oleh kebebasan yang bersesuaian dalam memilih himpunan-himpunan \(D_m\). Sesungguhnya terdapat dekomposisi lebih lanjut atas himpunan-himpunan \(D_m\) yang tersembunyi dalam bagian (b-ii) pembuktian 263C; setiap \(D_m\) pada hakikatnya ditutupi oleh suatu keluarga bola yang saling lepas, dan ukuran citranya dapat kita taksir dengan ketelitian yang memadai. Selalu ada bahaya munculnya himpunan pengecualian yang terabaikan, dan kita memerlukan pertaksamaan kasar dalam pembuktian 262D untuk menanganinya.

263Eb (b)

Di sepanjang pekerjaan dalam bab ini, dari 261B sampai 263D, saya telah memilih bola-bola \(B(x,\delta)\) sebagai bentuk dasar yang digunakan. Kiranya jelas bahwa sebenarnya sebarang bentuk yang wajar juga akan sama baiknya. Khususnya, bentuk-bentuk yang disebut bola

akan berfungsi dengan sempurna. Ada banyak alternatif. Kita dapat menggunakan himpunan berbentuk \(C(x,k)\), untuk \(x\in\BbbR^r\) dan \(k\in\Bbb N\), yang didefinisikan sebagai kubus setengah-terbuka berbentuk \(\coint{2^{-k}z,2^{-k}(z+\tbf{1})}\) dengan \(z\in\Bbb Z^r\) yang memuat \(x\), sebagai gantinya; atau bahkan \(C'(x,\delta)=\coint{x,x+\delta\tbf{1}}\). Dalam semua kasus semacam ini kita mempunyai versi teorema kepadatan (261Yb-261Yc) yang mendukung teori selanjutnya.

263Ec (c)

Saya telah menyajikan 263D sebagai teorema mengenai fungsi-fungsi terdiferensialkan, karena itulah bentuk normal penggunaannya dalam penerapan elementer. Namun, pembuktiannya pada hakikatnya bergantung pada fakta bahwa fungsi terdiferensialkan merupakan gabungan terhitung dari fungsi-fungsi Lipschitz, dan 263D akan langsung mengikuti dari teorema yang sama yang dibuktikan hanya untuk fungsi-fungsi Lipschitz. Faktanya, teorema ini berlaku bagi sebarang gabungan terhitung dari fungsi-fungsi Lipschitz, karena fungsi Lipschitz terdiferensialkan hampir di mana-mana. Untuk pekerjaan yang lebih lanjut (lihat Federer 69 atau Evans & Gariepy 92, atau Bab 47 dalam Jilid 4), tampaknya jelas bahwa fungsi-fungsi Lipschitz merupakan objek yang penting, sehingga saya nyatakan hasilnya secara lengkap.

263F Akibat

Misalkan \(D\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan dan \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi Lipschitz. Misalkan \(D_1\) adalah himpunan titik-titik tempat \(\phi\) mempunyai turunan relatif terhadap \(D\), dan untuk setiap \(x\in D_1\) misalkan \(T(x)\) turunan semacam itu, dengan \(J(x)=|\det T(x)|\). Maka

(i) \(D\setminus D_1\) terabaikan;

(ii) \(J:D_1\to\coint{0,\infty}\) terukur;

(iii) \(\mu^*\phi[D]\le\int_DJ(x)dx\).

Jika \(D\) terukur, maka

(iv) \(\phi[D]\) terukur.

Jika \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif, maka

(v) \(\mu\phi[D]=\int_DJ\,d\mu\),

(vi) untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(\phi[D]\),

jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan syarat kita menafsirkan \(J(x)g(\phi(x))\) sebagai nol ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

263G Koordinat polar pada bidang

Saya berikan suatu contoh elementer dengan akibat yang berguna. Definisikan \(\phi:\BbbR^2\to\BbbR^2\) dengan menetapkan \(\phi(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\) untuk \(\rho\), \(\theta\in\BbbR\). Maka \(\phi'(\rho,\theta) =\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\ \sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}\), sehingga \(J(\rho,\theta)=|\rho|\) untuk semua \(\rho\), \(\theta\). Tentu saja \(\phi\) tidak injektif, tetapi jika kita membatasinya pada domain \(D=\{(0,0)\}\cup\{(\rho,\theta):\rho>0,\,-\pi<\theta\le\pi\}\) maka \(\phi\restr D\) adalah bijeksi antara \(D\) dan \(\BbbR^2\), dan

untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang terintegralkan pada \(\BbbR^2\).

Andaikan, khususnya, bahwa kita menetapkan

untuk \(x=(\xi_1,\xi_2)\in\Bbb R^2\). Maka

seperti dalam 253D. Dengan menetapkan \(I=\int e^{-t^2/2}dt\), kita mempunyai \(\int g=I^2\). (Untuk melihat bahwa \(I\) terdefinisi dengan baik dalam \(\Bbb R\), perhatikan bahwa integrannya kontinu, sehingga terukur, dan bahwa

keduanya berhingga.) Sekarang, dengan memperhatikan bentuk alternatif, kita memperoleh

\[\begin{aligned}I^2 &=\int g(x)dx =\int_Dg(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\,d(\rho,\theta)\\ &=\int_De^{-\rho^2/2}\rho\,d(\rho,\theta) =\int_0^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\rho e^{-\rho^2/2}d\theta d\rho\\ &\text{(dengan mengabaikan titik }(0,0)\text{, yang berukuran nol)}\\ &=\int_0^{\infty}2\pi\rho e^{-\rho^2/2}d\rho =2\pi\lim_{a\to\infty}\int_0^a\rho e^{-\rho^2/2}d\rho\\ &=2\pi\lim_{a\to\infty}(-e^{-a^2/2}+1) =2\pi.\\\end{aligned}\]

Akibatnya

yang merupakan salah satu dari banyak fakta yang seharusnya diketahui setiap matematikawan, dan khususnya sangat penting bagi Bab 27 di bawah.

263H Akibat

Jika \(k\in\Bbb N\) ganjil,

jika \(k=2l\in\Bbb N\) genap, maka

263I

Berikut ini adalah versi 263D untuk transformasi yang tidak injektif.

Teorema Misalkan \(D\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terukur, dan \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik dalam \(D\). Untuk setiap \(x\in D\) misalkan \(T(x)\) suatu turunan \(\phi\) relatif terhadap \(D\) di \(x\), dan tetapkan \(J(x)=|\det T(x)|\).

(a) Misalkan \(\nu\) adalah ukuran cacah pada \(\BbbR^r\). Maka \(\int_{\BbbR^r}\nu(\phi^{-1}[\{y\}])dy\) dan \(\int_DJ\,d\mu\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\) dan bernilai sama.

(b) Misalkan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(\phi[D]\) sedemikian sehingga \(\int_Dg(\phi(x))\det T(x)dx\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\), dengan menafsirkan \(g(\phi(x))\det T(x)\) sebagai nol ketika \(\det T(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi. Tetapkan

untuk \(y\in C\), dengan \(\sgn(0)=0\) dan \(\sgn(\alpha)=\Bover{\alpha}{|\alpha|}\) untuk \(\alpha\) tak nol. Jika kita menafsirkan \(g(y)R(y)\) sebagai nol ketika \(g(y)=0\) dan \(R(y)\) tidak terdefinisi, maka \(\int_{\phi[D]}g\times R\,d\mu\) terdefinisi dan sama dengan \(\int_Dg(\phi(x))\det T(x)dx\).

263J Kasus berdimensi satu

Pembatasan pada fungsi injektif \(\phi\) dalam 263D(v) tidak dapat dihindari dalam konteks hasil tersebut. Namun, dalam substitusi kalkulus elementer, pembatasan ini tidak selalu perlu. Dengan harapan memperjelas keadaan, di sini saya berikan suatu hasil yang mencakup banyak kiat standar.

Proposisi Misalkan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval dengan lebih dari satu titik, dan \(\phi:I\to\Bbb R\) suatu fungsi yang kontinu mutlak pada setiap subinterval tertutup terbatas dari \(I\). Tuliskan \(u=\inf I\), \(u'=\sup I\) dalam \([-\infty,\infty]\), dan andaikan bahwa \(v=\lim_{x\downarrow u}\phi(x)\) dan \(v'=\lim_{x\uparrow u'}\phi(x)\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\). Misalkan \(g\) suatu fungsi real sedemikian sehingga \(\int_Ig(\phi(x))\phi'(x)dx\) terdefinisi, dengan ketentuan bahwa kita menafsirkan \(g(\phi(x))\phi'(x)\) sebagai \(0\) ketika \(\phi'(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi. Maka \(\int_v^{v'}g\) terdefinisi dan sama dengan \(\int_Ig(\phi(x))\phi'(x)dx\), dengan di sini \(\int_v^{v'}g\) ditafsirkan sebagai \(-\int_{v'}^vg\) jika \(v'<v\).

263X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, \(f\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa \(f\in\eusm L^p(\mu)\) jika dan hanya jika

berhingga, dan dalam hal ini \(\|f\|_p=\gamma^{1/p}\). Petunjuk: \(\int|f|^p=\int_0^{\infty}\mu^*\{x:|f(x)|^p>\beta\}d\beta\), berdasarkan 252O; sekarang substitusikan \(\beta=\alpha^p\).

263Xb (b)

Misalkan \(f\) suatu fungsi terintegralkan yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa jika \(\alpha<r-1\) maka \(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha}|f(nx)|\) berhingga untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\). Petunjuk: Taksirlah \(\sum_{n=0}^{\infty}n^{\alpha}\int_B|f(nx)|dx\) untuk bola-bola \(B\) yang berpusat di titik asal.

263Xc (c)

Misalkan \(A\subseteq\ooint{0,1}\) suatu himpunan sedemikian sehingga \(\mu^*A=\mu^*([0,1]\setminus A)=1\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tetapkan \(D=A\cup\{-x:x\in\ooint{0,1}\setminus A\} \subseteq[-1,1]\), dan tetapkan \(\phi(x)=|x|\) untuk \(x\in D\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) injektif, bahwa \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya pada setiap titik dalam \(D\), dan bahwa \(\mu^*\phi[D]<\int_D|\phi'(x)|dx\).

263Xd (d)

Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap \(D\) di setiap titik dari \(D\subseteq\BbbR^r\), dan andaikan bahwa untuk setiap \(x\in D\) terdapat turunan nonsingular \(T(x)\) dari \(\phi\) di \(x\). Tunjukkan bahwa \(D\) dapat dinyatakan sebagai \(\bigcup_{k\in\Bbb N}D_k\) dengan \(D_k=D\cap\overline{D}_k\) dan \(\phi\restr D_k\) injektif untuk setiap \(k\).

263Xe (e) penting

(i) Tunjukkan bahwa untuk setiap himpunan terukur Lebesgue \(E\subseteq\Bbb R\) dan \(t\in\Bbb R\setminus\{0\}\), \(\int_{tE}\bover1{|u|}du=\int_E\bover1{|u|}du\). (ii) Untuk \(t\in\Bbb R\), \(u\in\Bbb R\setminus\{0\}\) tetapkan \(\phi(t,u)=(\bover{t}{u},u)\). Tunjukkan bahwa \(\int_{\phi[E]}\bover1{|tu|}d(t,u)=\int_E\bover1{|tu|}d(t,u)\) untuk setiap himpunan terukur Lebesgue \(E\subseteq\BbbR^2\).

263Xf (f) penting

Definisikan \(\phi:\BbbR^3\to\BbbR^3\) dengan menetapkan

Tunjukkan bahwa \(\det\phi'(\rho,\theta,\alpha)=\rho^2\sin\alpha\).

263Xg (g)

Tunjukkan bahwa jika \(k=2l+1\) ganjil, maka \(\int_0^{\infty}x^ke^{-x^2/2}dx=2^ll!\). (Bandingkan 252Xi.)

263Y Latihan lanjutan (a)

Definisikan ukuran \(\nu\) pada \(\Bbb R\) dengan menetapkan \(\nu E=\int_E\bover1{|x|}dx\) untuk himpunan-himpunan terukur Lebesgue \(E\subseteq\Bbb R\). Untuk \(f\), \(g\in\eusm L^1(\nu)\) tetapkan \((f*g)(x)=\int f(\bover{x}{t})g(t)\nu(dt)\) kapan pun ini terdefinisi dalam \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa \(f*g=g*f\in\eusm L^1(\nu)\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\int h(x)(f*g)(x)\nu(dx)=\int h(xy)f(x)g(y)\nu(dx)\nu(dy)\) untuk setiap \(h\in\eusm L^{\infty}(\nu)\). (iii) Tunjukkan bahwa \(f*(g*h)=(f*g)*h\) untuk setiap \(h\in\eusm L^1(\nu)\). Petunjuk: 263Xe.

263Yb (b)

Misalkan \(E\subseteq\BbbR^2\) suatu himpunan terukur sedemikian sehingga \(\limsup_{\alpha\to\infty} \bover1{\alpha^2}\mu_2(E\cap B(\tbf{0},\alpha))>0\), dengan \(\mu_2\) menyatakan ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\). Tunjukkan bahwa terdapat \(\theta\in\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga \(\mu_1E_{\theta}=\infty\), dengan \(E_{\theta}=\{\rho:\rho\ge 0,\,(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\in E\}\). Petunjuk: Tunjukkan bahwa \(\mu_2(E\cap B(\tbf{0},\alpha)) \le\alpha\int_{-\pi}^{\pi}\mu_1E_{\theta}d\theta\). Generalisasikan ke dimensi yang lebih tinggi dan ke fungsi-fungsi selain \(\chi E\).

263Yc (c)

Misalkan \(E\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terukur, dan \(\phi:E\to\BbbR^r\) suatu fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap domainnya, dengan turunan \(T(x)\) di setiap titik \(x\) dari \(E\); tetapkan \(J(x)=|\det T(x)|\). Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi terintegralkan \(g\) yang didefinisikan pada \(\phi[E]\),

263Yd (d)

Temukan pembuktian 263J berdasarkan gagasan-gagasan §225. Petunjuk: 225Xe.

263Ye (e)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi bervariasi terbatas, dengan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\), dengan dekomposisi Lebesgue \(f=f_p+f_{cs}+f_{ac}\) seperti dalam 226Cd; misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(f_{cs}\) konstan; (ii) \(\mu f[\,[c,d]\,]\le\int_c^d|f'|d\mu\) kapan pun \(a\le c\le d\le b\); (iii) \(\mu^*f[A]\le\int_A|f'|d\mu\) untuk setiap \(A\subseteq[a,b]\); (iv) \(f[A]\) terabaikan untuk setiap himpunan terabaikan \(A\subseteq[a,b]\). Petunjuk: Untuk (iv)\(\Rightarrow\)(i), gabungkan 226Yd dan 263D(ii) untuk menunjukkan bahwa \(|f(d)-f(c)|\le\int_c^d|f'|d\mu+\Var_{[c,d]}f_p\) kapan pun \(a\le c\le d\le b\), dan karena itu \(\Var_{[a,b]}f\le\Var_{[a,b]}f_p+\Var_{[a,b]}f_{ac}\).

263Yf (f)

Andaikan \(r=2\) dan \(\phi:\BbbR^2\to\BbbR^2\) terdiferensialkan secara kontinu dengan turunan nonsingular \(T\) di \(\tbf{0}\). (i) Tunjukkan bahwa terdapat \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga kapan pun \(\Gamma\) suatu lingkaran kecil berpusat di \(\tbf{0}\) dengan jari-jari paling besar \(\epsilon\), maka \(\phi\restr\Gamma\) adalah homeomorfisme antara \(\Gamma\) dan suatu kurva tertutup sederhana yang mengelilingi \(\tbf{0}\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\det T>0\), maka untuk lingkaran-lingkaran semacam itu \(\phi(x)\) bergerak berlawanan arah jarum jam mengelilingi \(\phi[\Gamma]\) ketika \(x\) bergerak berlawanan arah jarum jam mengelilingi \(\Gamma\). (iii) Apa yang terjadi jika \(\det T<0\)?

263 Catatan penutup untuk Bagian 263

Sekali lagi, ketika mendekati 263D, saya harus memilih antara memberikan hasil yang mudah dipahami tetapi relatif lemah, dan mencurahkan upaya tambahan untuk menyajikan teorema yang mendekati batas alamiah dari apa yang dapat dicapai dengan konsep-konsep yang sedang dikembangkan dalam jilid ini; dan, seperti biasa, saya memilih bentuk yang lebih kuat. Ada tiga sumber kesulitan utama: (i) fakta bahwa kita menangani lebih dari satu dimensi; (ii) fakta bahwa kita menangani domain yang tidak teratur; (iii) fakta bahwa kita menangani fungsi terintegralkan yang sebarang. Saya rasa saya tidak perlu meminta maaf atas (iii) dalam buku mengenai teori ukuran. Mengenai (ii), memang benar bahwa penerapan utama hasil-hasil ini adalah pada kasus-kasus ketika transformasi \(\phi\) terdiferensialkan di mana-mana, dengan turunan kontinu, dan himpunan \(D\) mempunyai batas yang terabaikan; dan dalam kasus-kasus ini tersedia penyederhanaan yang berarti – terutama karena himpunan-himpunan \(D_m\) dalam pembuktian 263D dapat diambil sebagai kubus. Meskipun demikian, menurut saya setiap bentuk hasil yang menggunakan asumsi semacam itu sangat tidak memuaskan pada tingkat ini, karena merupakan kompromi canggung antara gagasan yang alamiah bagi integral Riemann dan gagasan yang alamiah bagi integral Lebesgue. Mengenai (i), mungkin bahkan tepat untuk menguraikan seluruh argumen untuk kasus \(r=1\) sebelum beralih ke kasus umum, seperti yang saya lakukan dalam §§114-115, karena kasus berdimensi satu sudah penting dan menarik; dan jika Anda merasa pekerjaan di atas sulit – dan memang sulit – sementara minat langsung Anda adalah integrasi berdimensi satu melalui substitusi, maka saya kira bermanfaat bagi Anda untuk menyusun sendiri argumen \(r=1\), sampai pada pembuktian 263J. Sesungguhnya perbedaan terbesar terdapat dalam 263A, yang menjadi hampir sepele; pekerjaan dalam 262M dan 263C menjadi lebih mudah dibaca, karena semua matriks berubah menjadi skalar dan kita dapat menghilangkan kata "determinan", tetapi menurut saya kita tidak dapat meninggalkan satu pun gagasannya, setidaknya jika kita ingin memperoleh 263D seperti yang dinyatakan. (Namun lihat 263Yd.)

Dalam paragraf terakhir saya bersikeras bahwa suatu pembedaan dapat dibuat antara "gagasan yang alamiah bagi integral Riemann dan gagasan yang alamiah bagi integral Lebesgue". Di sini kita mendekati pertanyaan yang mendalam, seperti "untuk apa buku teori ukuran dibuat?", yang menurut saya tidak dapat dijawab tanpa suatu acuan – mungkin secara tidak sadar – kepada pertanyaan "untuk apa matematika dibuat?". Tentu saja saya ingin menyajikan di sini beberapa teorema umum yang mengagumkan yang muncul dalam teori Lebesgue. Namun yang lebih penting daripada teorema tertentu mana pun adalah gambaran umum tentang apa yang dapat dibuktikan dengan metode-metode ini. Hakikat teori ukuran modern adalah bahwa kontinuitas tidak penting, atau, jika Anda lebih suka, bahwa fungsi-fungsi terukur dalam arti tertentu begitu mendekati kontinu sehingga kita tidak perlu menambahkan hipotesis kontinuitas dalam teorema-teorema kita. Dalam suatu arti, ini merupakan pembebasan besar, dan integral Lebesgue kini menjadi integral standar. Namun Anda tidak boleh menganggap integral Riemann sudah usang. Intuisi yang melandasinya – misalnya, bahwa permukaan suatu benda pejal mempunyai volume nol – tetap sangat bernilai dalam konteks yang tepat, yang tentu mencakup kajian fungsi terdiferensialkan dengan turunan kontinu. Yang saya katakan di sini ialah bahwa menurut saya kita dapat menggunakan intuisi tersebut sebaik-baiknya jika kita mempertahankan pembagian, tentu saja yang lentur dan dapat ditembus, antara gagasan kedua teori itu; dan bahwa ketika memindahkan suatu teorema dari satu sisi batas ke sisi lainnya, kita seharusnya melakukannya secara sungguh-sungguh, dengan berusaha mengungkapkan seluruh kekuatan metode yang kita gunakan.

Saya telah mengatakan bahwa perbedaan hakiki antara kasus berdimensi satu dan berdimensi banyak terletak dalam 263A, tempat Jacobian \(J=|\det T|\) masuk ke dalam argumen. Jika perangkat teknis yang diperlukan untuk menangani sebarang himpunan terukur Lebesgue disisihkan, hal ini merupakan perhitungan volume paralelipipedum \(T[I]\) dengan \(I\) interval \(\coint{\tbf{0},\tbf{1}}\). Saya menangani hal ini dengan sedikit aljabar, dengan mengatakan bahwa hasilnya pada hakikatnya jelas jika \(T\) diagonal, sedangkan jika \(T\) suatu isometri hasilnya mengikuti dari fakta bahwa bola satuan tetap invarian; dan aljabar digunakan untuk menyatakan sebarang matriks sebagai produk matriks diagonal dan ortogonal. Dari 261F juga jelas bahwa ukuran Lebesgue harus invarian terhadap rotasi maupun terhadap translasi; dengan kata lain, ia invarian di bawah semua isometri. Cara lain memandang hal ini akan muncul dalam bagian berikutnya.

Menurut saya pusat argumen untuk 263D terletak dalam lemma 263C. Di sinilah kita mengubah hasil eksak untuk operator linear menjadi hasil hampiran untuk fungsi yang hampir linear; dan inti keterdiferensialan ialah bahwa fungsi terdiferensialkan dihampiri dengan baik, di dekat setiap titik domainnya, oleh operator linear. Lemma ini melibatkan dua gagasan yang agak berbeda. Untuk menunjukkan bahwa \(\mu^*\phi[D]\le(J+\epsilon)\mu^*D\), pertama-tama kita memperhatikan bola-bola dan kemudian menggunakan teorema Vitali untuk melihat bahwa \(D\) ditutupi secara hemat oleh bola-bola, sehingga batas atas bagi \(\mu^*\phi[D]\) dalam bentuk jumlah \(\sum_{B\in\Cal I_0}\mu^*\phi[D\cap B]\) sudah memadai. Untuk memperoleh batas bawah, kita perlu membalik argumen dengan memperhatikan \(\psi=\phi^{-1}\), yang mengharuskan kita terlebih dahulu memeriksa bahwa \(\phi\) dapat dibalik, lalu bahwa \(\psi\) terhubung secara tepat dengan \(T^{-1}\). Saya telah menuliskan rumus eksak untuk \(\epsilon'\), \(\zeta_2'\) dan seterusnya, tetapi ini hanya untuk berjaga-jaga jika Anda tidak mempercayai intuisi Anda; fakta bahwa \(\|\phi^{-1}(u)-\phi^{-1}(v)-T^{-1}(u-v)\|\) kecil dibandingkan dengan \(\|u-v\|\) jelas merupakan akibat hipotesis bahwa \(\|\phi(x)-\phi(y)-T(x-y)\|\) kecil dibandingkan dengan \(\|x-y\|\).

Argumen 263D sendiri sekarang tinggal memecah himpunan \(D\) menjadi bagian-bagian yang tepat, yang pada masing-masing bagiannya \(\phi\) cukup mendekati linear agar 263C dapat diterapkan, sehingga

Dengan sedikit kehati-hatian (yang dilakukan dalam 263C, dengan syarat (i)), kita juga dapat memastikan bahwa Jacobian \(J\) dihampiri dengan baik oleh \(J_m\) hampir di mana-mana dalam \(D_m\), sehingga \(\sum_{m=0}^{\infty}J_m\mu^*D_m\bumpeq\int_DJ(x)dx\).

Gagasan-gagasan ini, jika digabungkan dengan hasil-hasil §262, membawa kita pada

ketika \(\phi\) injektif dan \(E\subseteq D\) terukur. Kita memerlukan satu kiat terakhir, yang melibatkan himpunan Borel, untuk mengubah ini menjadi

kapan pun \(F\subseteq\phi[D]\) terukur, yang merupakan hal yang diperlukan untuk penerapan 235J.

Saya berharap Anda sudah lama melihat, dan merasa senang oleh, cara dalam 263G. Sekali lagi, ini sebenarnya bukan integrasi Lebesgue; tetapi saya memasukkannya untuk menunjukkan bahwa perangkat bab ini dapat digunakan menangani hasil-hasil klasik, dan bahwa sesungguhnya kita memperoleh sedikit keuntungan dari jerih payah kita, karena tidak perlu meminta maaf atas batas himpunan \(D\) yang menjadi sasaran sistem koordinat polar dalam pemetaan bidang. Hasil yang sebenarnya telah saya berikan sebagai latihan dalam 252Xi. Latihan itu melibatkan (jika Anda mengikuti semua acuannya) substitusi berdimensi satu (yang dilakukan dalam 225Xh), teorema Fubini, dan penerapan rumus-rumus §235; yakni, unsur-unsur yang hampir sama dengan yang digunakan di atas, meskipun dalam urutan yang berbeda. Saya dapat menyajikan ini tanpa menyinggung diferensiasi dalam dimensi yang lebih tinggi karena perubahan variabel pertama berdimensi satu, dan yang kedua (yang melibatkan fungsi \(x\mapsto\|x\|\), dalam 252Xi(i)) merupakan jenis yang sangat sederhana, sehingga metode lain dapat digunakan untuk menemukan fungsi \(J\).

Fungsi \(R(y)=\sum_{x\in\phi^{-1}[\{y\}]}\sgn\det T(x)\) dalam 263Ib termasuk dalam gagasan geometri diferensial yang lebih mendalam daripada yang ingin saya uraikan di sini. Dalam konteks berdimensi satu, fungsi itu hanya menghitung perlintasan naik dan turun pada \(y\) (lihat bagian (c) pembuktian 263J), karena kita dapat memandang setiap \(T(x)\) sebagai skalar yang positif atau negatif. (Relevan di sini bahwa dalam kasus ini kita dapat mengandaikan bahwa \(T(x)\) nonsingular kapan pun \(\phi(x)=y\).) Dalam dimensi yang lebih tinggi, saya kira hal pertama yang perlu dicari adalah tafsiran geometris bagi \(\sgn\det T(x)\). (Lihat 263Ye.) Tafsiran geometris untuk jumlahnya merupakan perkara lain lagi. Namun patut diperhatikan bahwa (dengan tafsiran yang wajar bagi "0\(\times\)tidak terdefinisi") kita dapat menghubungkan \(\int_Dg\phi\times\det\phi'\) dengan \(\int_{\phi[D]}g\times R\), dengan \(R\) dapat didefinisikan dari \(\phi\) tanpa mengacu pada \(g\); fungsi itu menghitung lipatan dalam grafik \(\phi\).

Gagasan abstrak yang menjadi pokok risalah ini memang tidak membawa kita kepada banyak contoh khusus untuk melatih gagasan-gagasan dalam bagian ini. Contoh-contoh yang muncul cenderung sangat langsung, seperti dalam 263G, 263Xa-263Xb, dan 263Xe. Saya menyebut yang terakhir karena contoh itu memberikan rumus yang diperlukan untuk membahas jenis baru konvolusi (263Ya). Pada hakikatnya, hal ini bergantung pada grup perkalian \(\Bbb R\setminus\{0\}\) sebagai pengganti grup penjumlahan \(\Bbb R\) yang dibahas dalam §255. Rumus \(\bover1x\) dalam definisi \(\nu\) tentu saja merupakan turunan \(\ln x\), dan \(\ln\) merupakan isomorfisme antara \((\ooint{0,\infty},\cdot,\nu)\) dan \((\Bbb R,+,\text{ukuran Lebesgue})\).