Konvergensi dalam ukuran — Fondasi Teori Ukuran

Kini saya membahas suatu topologi penting dan menarik pada ruang \(\eusm L^0\) dan \(L^0\). Saya mulai dengan definisinya (245A), lalu meninjau sifat-sifat yang serupa dengan sifat ruang \(L^p\) untuk \(p\ge 1\) (245D-245E). Dalam 245G-245J saya menjelaskan hubungan-hubungan yang paling berguna antara topologi ini dan topologi norma pada ruang \(L^p\). Untuk ruang \(\sigma\)-hingga, topologi ini dapat dimetriskan (245Eb), dan konvergensi barisan dapat dicirikan melalui konvergensi titik demi titik suatu barisan fungsi (245K-245L).

245A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur.

245Aa (a)

Untuk setiap himpunan terukur \(F\subseteq X\) yang berukuran berhingga, terdapat fungsional \(\tau_F\) pada \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) yang didefinisikan oleh

\(\tau_F(f)=\int|f|\wedge\chi F\)

untuk setiap \(f\in\eusm L^0\). (Integral ini ada di \(\Bbb R\) karena \(|f|\wedge\chi F\) termasuk dalam \(\eusm L^0\) dan didominasi oleh fungsi terintegralkan \(\chi F\)). Selain itu, \(\tau_F(f+g)\le\tau_F(f)+\tau_F(g)\) setiap kali \(f\), \(g\in\eusm L^0\). Bukti. Cukup perhatikan bahwa \(\min(|(f+g)(x)|,\chi F(x)) \le\min(|f(x)|,\chi F(x))+\min(|g(x)|,\chi F(x))\) untuk setiap \(x\in\dom f\cap\dom g\), yang berlaku untuk hampir setiap \(x\in X\). ∎ Akibatnya, dengan menetapkan \(\rho_F(f,g)=\tau_F(f-g)\), kita mempunyai

\(\rho_F(f,h)=\tau_F((f-g)+(g-h)) \le\tau_F(f-g)+\tau_F(g-h)=\rho_F(f,g)+\rho_F(g,h)\),

\(\rho_F(f,g)=\tau_F(f-g)\ge 0\),

\(\rho_F(f,g)=\tau_F(f-g)=\tau_F(g-f)=\rho_F(g,f)\)

untuk semua \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^0\); dengan kata lain, \(\rho_F\) adalah pseudometrik pada \(\eusm L^0\).

245Ab (b)

Keluarga

\(\{\rho_F:F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\)

mendefinisikan suatu topologi pada \(\eusm L^0\) (2A3F); saya akan menyebutnya topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0\).

245Ac (c)

Jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(f\eae g\), maka \(|f|\wedge\chi F\eae|g|\wedge\chi F\) dan \(\tau_F(f)=\tau_F(g)\), untuk setiap himpunan \(F\) berukuran berhingga. Akibatnya kita mempunyai fungsional \(\bar\tau_F\) pada \(L^0=L^0(\mu)\) yang didefinisikan melalui

\(\bar\tau_F(f^{\ssbullet})=\tau_F(f)\)

setiap kali \(f\in\eusm L^0\), \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\). Fungsional ini menghasilkan pseudometrik \(\bar\rho_F\) yang dapat dinyatakan dengan salah satu rumus

\(\bar\rho_F(u,v)=\bar\tau_F(u-v)\), \(\bar\rho_F(f^{\ssbullet},g^{\ssbullet})=\rho_F(f,g)\)

untuk \(u\), \(v\in L^0\), \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(F\) dengan ukuran berhingga. Keluarga pseudometrik ini mendefinisikan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\).

245Ad (d)

Selanjutnya, suatu barisan (dalam \(\eusm L^0\) atau \(L^0\)) disebut konvergen dalam ukuran jika barisan itu konvergen dalam topologi konvergensi dalam ukuran (dalam arti 2A3M).

245B Catatan (a)

Tentu saja topologi pada \(\eusm L^0\) dan \(L^0\) berkaitan seerat mungkin. Topologi pada \(L^0\) tidak hanya merupakan hasil bagi topologi pada \(\eusm L^0\) (yaitu, himpunan \(G\subseteq L^0\) terbuka jika \(\{f:f^{\ssbullet}\in G\}\) terbuka di \(\eusm L^0\)), tetapi setiap himpunan terbuka di \(\eusm L^0\) juga merupakan prapeta, melalui peta hasil bagi, dari suatu himpunan terbuka di \(L^0\).

245Bb (b)

Perhatikan pula bahwa jika \(F_0,\ldots,F_n\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dengan gabungan \(F\), maka, dalam notasi 245A, \(\tau_{F_i}\le\tau_{F}\) untuk setiap \(i\); ini berarti bahwa himpunan \(G\subseteq \eusm L^0\) terbuka untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika, untuk setiap \(f\in G\), terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(\rho_F(g,f)\le\delta\Longrightarrow g\in G\).

Demikian pula, himpunan \(G\subseteq L^0\) terbuka untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika, untuk setiap \(u\in G\), terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\delta>0\) sehingga

\(\bar\rho_F(v,u)\le\delta\Longrightarrow v\in G\).

245Bc (c)

Istilah ‘topologi konvergensi dalam ukuran’ cukup sesuai dengan penggunaan standar ketika \((X,\Sigma,\mu)\) berhingga total. Namun hati-hati! Istilah ‘topologi konvergensi dalam ukuran’ juga digunakan untuk topologi yang ditentukan oleh metrik 245Ye di bawah, bahkan ketika \(\mu X=\infty\). Saya juga pernah menjumpai istilah konvergensi lokal dalam ukuran untuk topologi 245A. Kebanyakan penulis mengabaikan ruang yang tidak \(\sigma\)-hingga dalam konteks ini. Namun saya berpendapat bahwa 245D-245E di bawah cukup menarik sehingga perlu diperluas ke kasus tersebut.

245C Konvergensi titik demi titik

Topologi konvergensi dalam ukuran hampir dapat didefinisikan melalui ‘konvergensi titik demi titik’, yang merupakan salah satu akar teori ukuran. Kesesuaiannya paling erat pada ruang ukur \(\sigma\)-hingga (lihat 245K), tetapi dalam kasus umum pun masih ada hubungan yang sangat penting, sebagai berikut. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur, dan tulis \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), \(L^0=L^0(\mu)\).

245Ca (a)

Jika \(\sequencen{f_n}\) adalah barisan dalam \(\eusm L^0\) yang konvergen hampir di mana-mana ke \(f\in\eusm L^0\), maka \(\sequencen{f_n}\to f\) dalam ukuran. Bukti. Menurut 2A3Mc, cukup dibuktikan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\rho_F(f_n,f)=0\) setiap kali \(\mu F<\infty\). Tetapi \(\sequencen{|f_n-f|\wedge\chi F}\) konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana dan didominasi oleh fungsi terintegralkan \(\chi F\), sehingga, menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue, \(\lim_{n\to\infty}\rho_F(f_n,f) =\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|\wedge\chi F=0\). ∎

245Cb (b)

Untuk merumuskan hasil terkait yang dapat diterapkan pada \(L^0\), kita memerlukan konsep berikut. Jika \(\sequencen{f_n}\), \(\sequencen{g_n}\) adalah barisan dalam \(\eusm L^0\) sehingga \(f_n^{\ssbullet}=g_n^{\ssbullet}\) untuk setiap \(n\), sedangkan \(f\), \(g\in\eusm L^0\) memenuhi \(f^{\ssbullet}=g^{\ssbullet}\), dan \(\sequencen{f_n}\to f\) hampir di mana-mana, maka \(\sequencen{g_n}\to g\) hampir di mana-mana, karena \[\begin{aligned}\{x:x\in\dom f&\cap\dom g\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}g_n,\\ &g(x)=f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x),\,f_n(x) =g_n(x)\Forall n\in \Bbb N\}\\\end{aligned}\] koterabaikan. Akibatnya diperoleh definisi bagi barisan dalam \(L^0\); untuk Untuk \(f\), \(f_n\in\eusm L^0\), barisan \(\sequencen{f_n^{\ssbullet}}\) dikatakan konvergen secara ordo*, atau ordo*-konvergen, ke \(f^{\ssbullet}\) jika dan hanya jika \(f\eae\lim_{n\to\infty}f_n\). Dalam hal ini, tentu saja, \(\sequencen{f_n}\to f\) dalam ukuran. Jadi, dalam \(L^0\), barisan \(\sequencen{u_n}\) yang ordo*-konvergen ke \(u\in L^0\) juga konvergen dalam ukuran ke \(u\).

Catatan Uraian alternatif tentang konvergensi ordo diberikan dalam 245Xc; kondisi (iii)-(vi) di sana disajikan dalam bentuk yang sesuai dengan struktur yang lebih umum.

245Cc (c)

Untuk contoh tipikal barisan yang konvergen dalam ukuran tanpa konvergen secara ordo, pertimbangkan contoh berikut. Ambil \(\mu\) sebagai ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan tetapkan \(f_n(x)=2^m\) jika \(x\in[2^{-m}k,2^{-m}(k+1)]\), \(0\) sebaliknya, di mana \(k=k(n)\in\Bbb N\), \(m=m(n)\in\Bbb N\) ditentukan oleh syarat \(n+1=2^{m}+k\) dan \(0\le k<2^m\). Maka \(\sequencen{f_n}\to 0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran (karena \(\rho_F(f_n,0)\le 2^{-m}\) jika \(F\subseteq[0,1]\) terukur dan \(2^m-1\le n\)), meskipun \(\sequencen{f_n}\) tidak konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana (memang, \(\limsup_{n\to\infty}f_n=\infty\) di mana-mana).

245D Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah sebarang ruang ukur.

(a) Topologi konvergensi dalam ukuran merupakan topologi ruang linier pada \(L^0=L^0(\mu)\).

(b) Peta \(\vee\), \(\wedge:L^0\times L^0\to L^0\), dan \(u\mapsto|u|\), \(u\mapsto u^+\), \(u\mapsto u^-:L^0\to L^0\) semuanya kontinu.

(d) Untuk setiap fungsi kontinu \(h:\Bbb R\to\Bbb R\), fungsi terkait \(\bar h:L^0\to L^0\) (241I) adalah kontinu.

Bukti

(a) Kuncinya ialah bahwa fungsional \(\bar\tau_F\), sebagaimana didefinisikan dalam 245Ac, merupakan F-seminorma dalam arti 2A5B. Bukti. Ambil himpunan \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga. Dalam 245Aa telah dicatat bahwa

\(\tau_F(f+g)\le\tau_F(f)+\tau_F(g)\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^0\),

jadi

\(\bar\tau_F(u+v)\le\bar\tau_F(u)+\bar\tau_F(v)\) untuk semua \(u\), \(v\in L^0\).

Selanjutnya,

\[\begin{aligned}\bar\tau_F(cu)&\le\bar\tau_F(u)\text{ setiap kali }u\in L^0 \text{ dan }|c|\le 1&\text{(*)}\\\end{aligned}\]

karena \(|cf|\wedge\chi F\leae|f|\wedge\chi F\) setiap kali \(f\in\eusm L^0\) dan \(|c|\le 1\). Terakhir, jika diberikan \(u\in L^0\) dan \(\epsilon>0\), ambil \(f\in\eusm L^0\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}|2^{-n}f|\wedge\chi F=0\) hampir di mana-mana,

sehingga, menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue,

\(\lim_{n\to\infty}\bar\tau_F(2^{-n}u) =\lim_{n\to\infty}\int|2^{-n}f|\wedge\chi F=0\),

dan terdapat \(n\) sehingga \(\bar\tau_F(2^{-n}u)\le\epsilon\). Dari (*) di atas diperoleh bahwa \(\bar\tau_F(cu)\le\epsilon\) setiap kali \(|c|\le 2^{-n}\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\lim_{c\to 0}\bar\tau_F(cu)=0\) untuk setiap \(u\in L^0\); yang merupakan kondisi ketiga di 2A5B. ∎

Menurut 2A5B, topologi yang ditentukan oleh \(\bar\tau_F\) merupakan topologi ruang linier.

(b) Untuk \(u\), \(v\in L^0\), \(||u|-|v||\le|u-v|\), jadi \(\bar\rho_F(|u|,|v|)\le\bar\rho_F(u,v)\) untuk setiap himpunan \(F\) berukuran berhingga. Menurut 2A3H, \(|\,\,|:L^0\to L^0\) kontinu. Selanjutnya,

\(u\vee v=\Bover12(u+v+|u-v|)\), \(u\wedge v=\Bover12(u+v-|u-v|)\),

\(u^+=u\vee 0\), \(u^-=(-u)\vee 0\).

Karena penjumlahan dan pengurangan adalah kontinu, maka \(\vee\), \(\wedge\), \(^+\) dan \(^-\) adalah kontinu.

(c) Ambil \(u_0\), \(v_0\in L^0\), \(F\in\Sigma\) suatu himpunan berukuran berhingga, dan \(\epsilon>0\). Nyatakan \(u_0\) dan \(v_0\) masing-masing sebagai \(f_0^{\ssbullet}\) dan \(g_0^{\ssbullet}\), dengan \(f_0\), \(g_0:X\to\Bbb R\) terukur terhadap \(\Sigma\) (241Bk). Jika kita menetapkan

\(F_m=\{x:x\in F,\,|f_0(x)|+|g_0(x)|\le m\}\),

maka \(\sequence{m}{F_m}\) merupakan barisan himpunan tak menurun dengan gabungan \(F\); karena itu terdapat \(m\in\Bbb N\) dengan \(\mu(F\setminus F_m)\le\bover12\epsilon\). Pilih \(\delta>0\) sedemikian sehingga \((2m+\mu F)\delta^2+2\delta\le\bover12\epsilon\).

Sekarang andaikan \(u\), \(v\in L^0\) memenuhi \(\bar\rho_F(u,u_0)\le\delta^2\) dan \(\bar\rho_F(v,v_0)\le\delta^2\). Pilih \(f\), \(g:X\to\Bbb R\) yang terukur dan memenuhi \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). Maka

\(\mu\{x:x\in F,\,|f(x)-f_0(x)|\ge\delta\}\le\delta\), \(\mu\{x:x\in F,\,|g(x)-g_0(x)|\ge\delta\}\le\delta\),

sehingga

\(\mu\{x:x\in F,\,|f(x)-f_0(x)||g(x)-g_0(x)|\ge\delta^2\} \le 2\delta\)

dan

\(\int_F\min(1,|f-f_0|\times|g-g_0|) \le\delta^2\mu F+2\delta\).

Selain itu,

\(|f\times g-f_0\times g_0| \le|f-f_0|\times|g-g_0| + |f_0|\times|g-g_0| + |f-f_0|\times|g_0|\),

sehingga

\[\begin{aligned}\bar\rho_F(u\times v,u_0\times v_0) &=\int_F\min(1,|f\times g-f_0\times g_0|)\\ &\le\Bover12\epsilon+\int_{F_m}\min(1,|f\times g-f_0\times g_0|)\\ &\le\Bover12\epsilon+\int_{F_m}\min(1,|f-f_0|\times|g-g_0| +m|g-g_0|+m|f-f_0|)\\ &\le\Bover12\epsilon+\int_F\min(1,|f-f_0|\times|g-g_0|)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+m\int_F\min(1,|g-g_0|) +m\int_F\min(1,|f-f_0|)\\ &\le\Bover12\epsilon+\delta^2\mu F+2\delta+2m\delta^2 \le\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(F\) dan \(\epsilon\) sembarang, \(\times\) kontinu di \((u_0,v_0)\); karena \(u_0\) dan \(v_0\) sembarang, \(\times\) kontinu.

(d) Ambil \(u\in L^0\), \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga, dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(\delta>0\) sehingga \(\bar\rho_F(\bar h(v),\bar h(u))\le\epsilon\) setiap kali \(\bar\rho_F(v,u)\le\delta\). Bukti. Jika tidak, kita dapat menemukan, untuk setiap \(n\in\Bbb N\), suatu \(v_n\) sehingga \(\bar\rho_F(v_n,u)\le 4^{-n}\) tetapi \(\bar\rho_F(\bar h(v_n),\bar h(u))>\epsilon\). Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(v_n\) sebagai \(g_n^{\ssbullet}\) dengan \(f\), \(g_n:X\to\Bbb R\) terukur. Tetapkan

\(E_n=\{x:x\in F,\,|g_n(x)-f(x)|\ge 2^{-n}\}\)

untuk setiap \(n\). Maka \(\bar\rho_F(v_n,u)\ge 2^{-n}\mu E_n\), jadi \(\mu E_n\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n\), dan \(E=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}E_m\) terabaikan. Tetapi \(\lim_{n\to\infty}g_n(x)=f(x)\) untuk setiap \(x\in F\setminus E\), jadi (karena \(h\) kontinu) \(\lim_{n\to\infty}h(g_n(x))=h(f(x))\) untuk setiap \(x\in F\setminus E\). Akibatnya (seperti biasa, menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue)

\(\lim_{n\to\infty}\bar\rho_F(\bar h(v_n),\bar h(u)) =\lim_{n\to\infty}\int_F\min(1,|h(g_n(x))-h(f(x))|)\mu(dx)=0\),

yang tidak mungkin. ∎

Menurut 2A3H, \(\bar h\) kontinu.

Catatan Saya tidak dapat mengatakan bahwa topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0\) merupakan topologi ruang linier semata-mata karena (pada definisi yang saya pilih) \(\eusm L^0\) pada umumnya bukan ruang linier.

245E

Kini saya beralih ke teorema utama yang menghubungkan sifat-sifat ruang linier topologis \(L^0(\mu)\) dengan klasifikasi ruang ukur dalam Bab 21.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur. Misalkan \(\frak T\) adalah topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0=L^0(\mu)\), seperti yang dijelaskan dalam 245A.

(a) \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga jika dan hanya jika \(\frak T\) Hausdorff.

(b) \((X,\Sigma,\mu)\) \(\sigma\)-hingga jika dan hanya jika \(\frak T\) dapat dimetriskan.

(c) \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan jika dan hanya jika \(\frak T\) Hausdorff dan \(L^0\) lengkap terhadap \(\frak T\).

Bukti

Gunakan pseudometrik \(\rho_F\) pada \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) dan \(\bar\rho_F\) pada \(L^0\) yang diuraikan dalam 245A.

(a)(i) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga dan \(u\), \(v\) dua anggota berbeda dari \(L^0\). Nyatakan keduanya sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(g^{\ssbullet}\), dengan \(f\) dan \(g\) fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Maka \(\mu\{x:f(x)\ne g(x)\}>0\); karena \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, terdapat himpunan \(F\in\Sigma\) yang berukuran berhingga sehingga \(\mu\{x:x\in F,\,f(x)\ne g(x)\}>0\). Dengan demikian,

\(\bar\rho_F(u,v)=\int_F\min(|f(x)-g(x)|,1)dx>0\)

(lihat 122Rc). Karena \(u\) dan \(v\) sembarang, \(\frak T\) adalah Hausdorff (2A3L).

(ii) Misalkan \(\frak T\) Hausdorff dan \(E\in\Sigma\), \(\mu E>0\). Maka \(u=\chi E^{\ssbullet}\ne 0\), sehingga terdapat \(F\in\Sigma\) dengan \(\mu F<\infty\) dan \(\bar\rho_F(u,0)\ne 0\), yakni \(\mu(E\cap F)>0\). Dengan demikian \(E\cap F\) adalah himpunan berukuran berhingga yang tidak terabaikan dan termuat dalam \(E\). Karena \(E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga.

(b)(i) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) \(\sigma\)-hingga. Misalkan \(\sequencen{E_n}\) barisan tak menurun dari himpunan-himpunan berukuran berhingga yang gabungannya adalah \(X\). Tetapkan

\[\bar\rho(u,v) =\sum_{n=0}^{\infty}\bover{\bar\rho_{E_n}(u,v)}{1+2^n\mu E_n}\]

untuk \(u\), \(v\in L^0\). Maka \(\bar\rho\) adalah metrik pada \(L^0\). Bukti. Karena setiap \(\bar\rho_{E_n}\) merupakan pseudometrik, demikian pula \(\bar\rho\). Jika \(\bar\rho(u,v)=0\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\), dengan \(f\), \(g\in\eusm L^0(\mu)\); maka

\(\int|f-g|\wedge\chi E_n=\bar\rho_{E_n}(u,v)=0\),

jadi \(f=g\) hampir di mana-mana di \(E_n\), untuk setiap \(n\). Karena \(X=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\), \(f\eae g\) dan \(u=v\). ∎

Jika \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\), dan \(\epsilon>0\), ambil \(n\) sehingga \(\mu(F\setminus E_n)\le\bover12\epsilon\). Jika \(u\), \(v\in L^0\) dan \(\bar\rho(u,v)\le\epsilon/2(1+2^n\mu E_n)\), maka \(\bar\rho_F(u,v)\le\epsilon\). Bukti. Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(v=g^{\ssbullet}\), dengan \(f\), \(g\in\eusm L^0\). Maka

\(\int|u-v|\wedge \chi E_n =\bar\rho_{E_n}(u,v)\le(1+2^n\mu E_n)\bar\rho(u,v) \le\Bover{\epsilon}2\),

sementara

\(\int|f-g|\wedge \chi(F\setminus E_n) \le\mu(F\setminus E_n)\le\Bover{\epsilon}2\),

jadi

\(\bar\rho_F(u,v)=\int|f-g|\wedge\chi F \le\int|f-g|\wedge\chi E_n+\int|f-g|\wedge\chi(F\setminus E_n) \le\Bover{\epsilon}2+\Bover{\epsilon}2 =\epsilon\). ∎

Sebaliknya, jika \(\epsilon>0\), ambil \(n\in\Bbb N\) sehingga \(2^{-n}\le\bover12\epsilon\); lalu \(\bar\rho(u,v)\le\epsilon\) setiap kali \(\bar\rho_{E_n}(u,v)\le\epsilon/2(n+1)\).

Hal ini menunjukkan bahwa \(\bar\rho\) mendefinisikan topologi yang sama dengan \(\bar\rho_F\) (2A3Ib), sehingga \(\frak T\), topologi yang ditentukan oleh \(\bar\rho_F\), dapat dimetriskan.

(ii) Misalkan \(\frak T\) dapat dimetriskan. Misalkan \(\bar\rho\) suatu metrik yang menentukan \(\frak T\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) harus terdapat himpunan terukur \(F_n\) berukuran berhingga dan \(\delta_n>0\) sedemikian rupa sehingga

\(\bar\rho_{F_n}(u,0)\le \delta_n\Longrightarrow\bar\rho(u,0) \le 2^{-n}\).

Tetapkan \(E=X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\). Andaikan \(E\) tidak terabaikan, maka \(u=\chi E^{\ssbullet}\ne 0\); karena \(\bar\rho\) adalah metrik, terdapat \(n\in\Bbb N\) sehingga \(\bar\rho(u,0)>2^{-n}\). Tetapi

\(\mu(E\cap F_n)=\bar\rho_{F_n}(u,0)>\delta_n\).

ini bertentangan dengan \(E\cap F_n=\emptyset\).

Jadi \(\mu E=0<\infty\). Karena \(X=E\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan berukuran berhingga, \(\mu\) pun \(\sigma\)-hingga.

(c) Menurut (a), masing-masing hipotesis menjamin bahwa \(\mu\) semihingga dan \(\frak T\) Hausdorff.

(i) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, dan misalkan \(\Cal F\) suatu filter Cauchy pada \(L^0\) (2A5F). Untuk setiap himpunan terukur \(F\) berukuran berhingga, pilih barisan \(\sequencen{A_n(F)}\) dalam \(\Cal F\) sehingga \(\bar\rho_F(u,v)\le 4^{-n}\) untuk setiap \(u\), \(v\in A_n(F)\), dan setiap \(n\) (2A5G). Pilih \(u_{Fn}\in\bigcap_{k\le n}A_k(F)\) untuk setiap \(n\); lalu \(\bar\rho_F(u_{F,n+1},u_{Fn})\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n\). Nyatakan setiap \(u_{Fn}\) sebagai \(f_{Fn}^{\ssbullet}\), dengan \(f_{Fn}\) fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Maka

\(\mu\{x:x\in F,\,|f_{F,n+1}(x)-f_{Fn}(x)|\ge 2^{-n}\} \le 2^n\bar\rho_F(u_{F,n+1},u_{Fn})\le 2^{-n}\)

untuk setiap \(n\). Oleh karena itu, \(\sequencen{f_{Fn}}\) harus konvergen hampir di mana-mana pada \(F\). Bukti. Tetapkan

\(H_n=\{x:x\in F,\,|f_{F,n+1}(x)-f_{Fn}(x)|\ge 2^{-n}\}\).

Lalu \(\mu H_n\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n\), jadi

\(\mu(\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}H_m) \le\inf_{n\in\Bbb N}\sum_{m=n}^{\infty}2^{-m} =0\).

Jika \(x\in F\setminus\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}H_m\), maka terdapat \(k\) sehingga \(x\in F\setminus\bigcup_{m\ge k}H_m\), sehingga \(|f_{F,m+1}(x)-f_{Fm}(x)|\le 2^{-m}\) untuk setiap \(m\ge k\), dan \(\sequencen{f_{Fn}(x)}\) adalah Cauchy, oleh karena itu konvergen. ∎

Tetapkan \(f_F(x)=\lim_{n\to\infty}f_{Fn}(x)\) untuk setiap \(x\in F\) yang batasnya ada di \(\Bbb R\); dengan demikian \(f_F\) terukur dan terdefinisi hampir di mana-mana di \(F\).

Jika \(E\), \(F\) adalah dua himpunan berukuran berhingga dan \(E\subseteq F\), maka \(\bar\rho_E(u_{En},u_{Fn})\le 2\cdot 4^{-n}\) untuk setiap \(n\). Bukti. \(A_n(E)\) dan \(A_n(F)\) keduanya milik \(\Cal F\), sehingga keduanya beririsan; ambil titik \(w\) dalam irisan tersebut. Maka

\[\begin{aligned}\bar\rho_E(u_{En},u_{Fn}) &\le\bar\rho_E(u_{En},w)+\bar\rho_E(w,u_{Fn})\\ &\le\bar\rho_E(u_{En},w)+\bar\rho_F(w,u_{Fn}) \le 4^{-n}+4^{-n}. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

Akibatnya

\(\mu\{x:x\in E,\,|f_{Fn}(x)-f_{En}(x)|\ge 2^{-n}\} \le 2^n\bar\rho_E(u_{Fn},u_{En})\le 2^{-n+1}\)

untuk setiap \(n\), dan \(\lim_{n\to\infty}f_{Fn}-f_{En}=0\) hampir di mana-mana pada \(E\); sehingga \(f_E=f_F\) hampir di mana-mana pada \(E\).

Akibatnya, jika \(E\) dan \(F\) adalah dua himpunan berukuran berhingga, \(f_E=f_F\) hampir di mana-mana pada \(E\cap F\), karena pada \(E\cap F\) keduanya sama hampir di mana-mana dengan \(f_{E\cup F}\).

Karena \(\mu\) dapat dilokalkan, terdapat \(f\in\eusm L^0\) sehingga \(f=f_E\) hampir di mana-mana pada \(E\) untuk setiap himpunan terukur \(E\) berukuran berhingga (213N). Pertimbangkan \(u=f^{\ssbullet}\in L^0\). Untuk setiap himpunan \(E\) berukuran berhingga,

\(\bar\rho_E(u,u_{En}) =\int_E\min(1,|f(x)-f_{En}(x)|)dx =\int_E\min(1,|f_E(x)-f_{En}(x)|)dx\to 0\)

ketika \(n\to\infty\), menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. Selanjutnya,

\[\begin{aligned}\inf_{A\in\Cal F}\sup_{v\in A}\bar\rho_E(v,u) &\le\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{v\in A_{En}}\bar\rho_E(v,u)\\ &\le\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{v\in A_{En}} (\bar\rho_E(v,u_{En})+\bar\rho_E(u,u_{En}))\\ &\le\inf_{n\in\Bbb N}(4^{-n}+\bar\rho_E(u,u_{En})) =0.\\\end{aligned}\]

Karena \(E\) sembarang, \(\Cal F\to u\). Karena \(\Cal F\) sembarang, \(L^0\) lengkap terhadap \(\frak T\).

(ii) Misalkan \(L^0\) lengkap terhadap \(\frak T\), dan ambil sebarang keluarga himpunan \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Misalkan \(\Cal E'\) adalah

\(\{\bigcup\Cal E_0:\Cal E_0\) adalah subhimpunan hingga dari \(\Cal E\}\).

Maka gabungan setiap dua anggota \(\Cal E'\) termasuk dalam \(\Cal E'\). Misalkan \(\Cal F\) adalah himpunan

\(\{A:A\subseteq L^0\), \(A\supseteq A_E\) untuk beberapa \(E\in\Cal E'\}\),

di mana untuk \(E\in\Cal E'\) saya tulis

\(A_E=\{\chi F^{\ssbullet}:F\in\Cal E'\), \(F\supseteq E\}\).

Maka \(\Cal F\) merupakan filter pada \(L^0\), karena \(A_E\cap A_F=A_{E\cup F}\) untuk semua \(E\), \(F\in\Cal E'\).

Sesungguhnya \(\Cal F\) merupakan filter Cauchy. Bukti. Misalkan \(H\) suatu himpunan berukuran berhingga dan \(\epsilon>0\). Tetapkan \(\gamma=\sup_{E\in\Cal E'}\mu(H\cap E)\) dan ambil \(E\in\Cal E'\) sehingga \(\mu(H\cap E)\ge \gamma-\epsilon\). Pertimbangkan \(A_E\in \Cal F\). Jika \(F\), \(G\in\Cal E'\) dan \(F\supseteq E\), \(G\supseteq E\) maka

\[\begin{aligned}\bar\rho_H(\chi F^{\ssbullet},\chi G^{\ssbullet}) &=\mu(H\cap(F\symmdiff G)) =\mu(H\cap(F\cup G))-\mu(H\cap F\cap G)\\ &\le\gamma-\mu(H\cap E) \le\epsilon.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\bar\rho_H(u,v)\le\epsilon\) untuk semua \(u\), \(v\in A_E\). Karena \(H\) dan \(\epsilon\) sembarang, \(\Cal F\) adalah Cauchy. ∎

Karena \(L^0\) lengkap terhadap \(\frak T\), filter \(\Cal F\) mempunyai limit \(w\). Nyatakan \(w\) sebagai \(h^{\ssbullet}\), dengan \(h:X\to\Bbb R\) terukur, dan pertimbangkan \(G=\{x:h(x)>\bover12\}\).

Jika \(E\in \Cal E\) dan \(\mu(E\setminus G)>0\), misalkan \(F\subseteq E\setminus G\) suatu himpunan berukuran positif dan berhingga. Maka \(\{u:\bar\rho_F(u,w)<\bover12\mu F\}\) termasuk dalam \(\Cal F\), sehingga beririsan dengan \(A_E\); pilih \(H\in\Cal E'\) sedemikian sehingga \(E\subseteq H\) dan \(\bar\rho_F(\chi H^{\ssbullet},w)<\bover12\mu F\). Maka

\(\int_F\min(1,|1-h(x)|) =\bar\rho_F(\chi H^{\ssbullet},w)<\Bover12\mu F\);

tetapi karena \(F\cap G=\emptyset\), \(1-h(x)\ge\bover12\) untuk setiap \(x\in F\), jadi ini tidak mungkin.

Jadi \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\).

Selanjutnya, misalkan \(H\in\Sigma\) dan \(\mu(G\setminus H)>0\). Maka terdapat \(E\in\Cal E\) sehingga \(\mu(E\setminus H)>0\). Bukti. Misalkan \(F\subseteq G\setminus H\) suatu himpunan berukuran positif dan berhingga. Pilih \(u\in A_{\emptyset}\) sedemikian sehingga \(\bar\rho_F(u,w)<\bover12\mu F\). Maka \(u\) berbentuk \(\chi C^{\ssbullet}\) untuk beberapa \(C\in\Cal E'\), dan

\(\int_F\min(1,|\chi C(x) - h(x)|)<\Bover12\mu F\).

Karena \(h(x)\ge\bover12\) untuk setiap \(x\in F\), \(\mu(C\cap F)>0\). Tetapi \(C\) merupakan gabungan hingga dari anggota \(\Cal E\), jadi terdapat \(E\in\Cal E\) sehingga \(\mu(E\cap F)>0\), dan sekarang \(\mu(E\setminus H)>0\). ∎

Karena \(H\) sembarang, \(G\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

245F Deskripsi alternatif topologi konvergensi dalam ukuran

Mari kita kembali ke sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\).

245Fa (a)

Untuk setiap \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga dan \(\epsilon>0\), definisikan \(\tau_{F\epsilon}:\eusm L^0\to\coint{0,\infty}\) melalui rumus

\(\tau_{F\epsilon}(f) =\mu^*\{x:x\in F\cap\dom f,\,|f(x)|>\epsilon\}\)

untuk \(f\in\eusm L^0\), dengan \(\mu^*\) menyatakan ukuran luar yang ditentukan dari \(\mu\) (132B). Jika \(f\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(f\eae g\), maka

\(\{x:x\in F\cap\dom f,\,|f(x)|>\epsilon\} \symmdiff\{x:x\in F\cap\dom g,\,|g(x)|>\epsilon\}\)

terabaikan, jadi \(\tau_{F\epsilon}(f)=\tau_{F\epsilon}(g)\); oleh karena itu diperoleh fungsional dari \(L^0\) ke \(\coint{0,\infty}\) yang diberikan oleh

\(\bar\tau_{F\epsilon}(u)=\tau_{F\epsilon}(f)\)

setiap kali \(f\in\eusm L^0\) dan \(u=f^{\ssbullet}\in L^0\).

245Fb (b)

Fungsional \(\tau_{F\epsilon}\) tidak subaditif (kecuali dalam kasus-kasus sepele), sehingga tidak menentukan pseudometrik pada \(\eusm L^0\) maupun \(L^0\). Namun kita dapat mengatakan bahwa, untuk \(f\in\eusm L^0\),

\(\tau_F(f)\le\epsilon\min(1,\epsilon) \Longrightarrow\tau_{F\epsilon}(f)\le\epsilon \Longrightarrow\tau_F(f)\le\epsilon(1+\mu F)\).

(Alasannya, jika \(E\subseteq\dom f\) adalah himpunan terukur yang koterabaikan dan \(f\restr E\) terukur, maka \(\tau_F(f)=\int_{E\cap F}\min(|f(x)|,1)dx\), \(\tau_{F\epsilon}(f)=\mu\{x:x\in E\cap F,\,|f(x)|>\epsilon\}\).)

Ini berarti bahwa himpunan \(G\subseteq\eusm L^0\) terbuka untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika, untuk setiap \(f\in G\), terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\epsilon\), \(\delta>0\) sedemikian rupa sehingga

\(\tau_{F\epsilon}(g-f)\le\delta\Longrightarrow g\in G\).

Tentu saja \(\tau_{F\delta}(f)\ge\tau_{F\epsilon}(f)\) setiap kali \(\delta\le\epsilon\), sehingga pernyataan itu dapat pula dirumuskan sebagai berikut: \(G\subseteq\eusm L^0\) terbuka untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika, untuk setiap \(f\in G\), terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\epsilon>0\) sedemikian rupa sehingga

\(\tau_{F\epsilon}(g-f)\le\epsilon\Longrightarrow g\in G\).

Demikian pula, \(G\subseteq L^0\) terbuka untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\) jika dan hanya jika, untuk setiap \(u\in G\), terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\epsilon>0\) sedemikian rupa sehingga

\(\bar\tau_{F\epsilon}(v-u)\le\epsilon \Longrightarrow v\in G\).

245Fc (c)

Langsung diperoleh bahwa barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) konvergen dalam ukuran ke \(f\in\eusm L^0\) jika dan hanya jika

\(\lim_{n\to\infty} \mu^*\{x:x\in F\cap\dom f\cap\dom f_n,\,|f_n(x)-f(x)|>\epsilon\} =0\)

setiap kali \(F\in\Sigma\), \(\mu F<\infty\) dan \(\epsilon>0\). Demikian pula, barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^0\) konvergen dalam ukuran ke \(u\) jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\bar\tau_{F\epsilon}(u-u_n)=0\) setiap kali \(\mu F<\infty\) dan \(\epsilon>0\).

245Fd (d)

Secara khusus, jika \((X,\Sigma,\mu)\) berhingga total, \(\sequencen{f_n}\to f\) dalam \(\eusm L^0\) jika dan hanya jika

\(\lim_{n\to\infty} \mu^*\{x:x\in \dom f\cap\dom f_n,\,|f(x)-f_n(x)|>\epsilon\} =0\)

untuk setiap \(\epsilon>0\), dan \(\sequencen{u_n}\to u\) dalam \(L^0\) jika dan hanya jika

\(\lim_{n\to\infty}\bar\tau_{X\epsilon}(u-u_n)=0\)

untuk setiap \(\epsilon>0\).

245G Penyematan \(L^p\) dalam \(L^0\): Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Maka, untuk setiap \(p\in[1,\infty]\), penyematan \(L^p=L^p(\mu)\) dalam \(L^0=L^0(\mu)\) kontinu untuk topologi norma \(L^p\) dan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\).

245H

Kasus \(L^1\) begitu penting sehingga saya membahasnya lebih terperinci.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur.

(a)(i) Jika \(f\in\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(\delta>0\) dan himpunan \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\) setiap kali \(g\in\eusm L^1\), \(\int|g|\le\int|f|+\delta\) dan \(\rho_F(f,g)\le\delta\).

(ii) Untuk setiap barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\eusm L^1\) dan \(f\in\eusm L^1\), \(\lim_{n\to\infty}\int|f-f_n|=0\) jika dan hanya jika \(\sequencen{f_n}\to f\) dalam ukuran dan \(\limsup_{n\to\infty}\int|f_n|\le\int|f|\).

(b)(i) Jika \(u\in L^1=L^1(\mu)\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(\delta>0\) dan himpunan \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga sehingga \(\|u-v\|_1\le\epsilon\) setiap kali \(v\in L^1\), \(\|v\|_1\le\|u\|_1+\delta\) dan \(\bar\rho_F(u,v)\le\delta\).

(ii) Untuk setiap barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^1\) dan setiap \(u\in L^1\), \(\sequencen{u_n}\to u\) untuk \(\|\,\|_1\) jika dan hanya jika \(\sequencen{u_n}\to u\) dalam ukuran dan \(\limsup_{n\to\infty}\|u_n\|_1\le\|u\|_1\).

Bukti

(a)(i) Menurut 225A, terdapat himpunan \(F\) berukuran berhingga dan \(\eta>0\) sehingga \(\int_E|f|\le\bover15\epsilon\) setiap kali \(\mu(E\cap F)\le\eta\). Ambil \(\delta>0\) sehingga \(\delta(\epsilon+5\mu F)\le\epsilon\eta\) dan \(\delta\le\bover15\epsilon\). Lalu jika \(\int|g|\le\int|f|+\delta\) dan \(\rho_F(f,g)\le\delta\), misalkan \(G\subseteq\dom f\cap\dom g\) adalah himpunan terukur yang koterabaikan sehingga \(f\restr G\) dan \(g\restr G\) keduanya terukur. Tetapkan

\(E=\{x:x\in F\cap G,\, |f(x)-g(x)|\ge\Bover{\epsilon}{\epsilon+5\mu F}\}\);

lalu

\(\delta\ge\rho_F(f,g) \ge\Bover{\epsilon}{\epsilon+5\mu F}\mu E\),

jadi \(\mu E\le\eta\). Tetapkan \(H=F\setminus E\), sehingga \(\mu(F\setminus H)\le\eta\) dan \(\int_{X\setminus H}|f|\le\bover15{\epsilon}\). Di sisi lain, untuk hampir setiap \(x\in H\), \(|f(x)-g(x)|\le\bover{\epsilon}{\epsilon+5\mu F}\), jadi \(\int_H|f-g|\le\bover15\epsilon\) dan

\(\int_{H}|g|\ge\int_{H}|f|-\Bover15\epsilon \ge\int|f|-\int_{X\setminus H}|f|-\Bover15\epsilon \ge\int|f|-\Bover25\epsilon\).

Karena \(\int|g|\le\int|f|+\bover15\epsilon\), \(\int_{X\setminus H}|g|\le\bover35{\epsilon}\). Dengan demikian,

\(\int|g-f| \le\int_{X\setminus H}|g|+\int_{X\setminus H}|f|+\int_H|g-f| \le\Bover35\epsilon+\Bover15\epsilon+\Bover15\epsilon =\epsilon\),

sesuai kebutuhan.

(ii) Jika \(\lim_{n\to\infty}\int|f-f_n|=0\), yakni \(\lim_{n\to\infty}f_n^{\ssbullet}=f^{\ssbullet}\) di \(L^1\), maka menurut 245G diperoleh \(\sequencen{f_n^{\ssbullet}}\to f^{\ssbullet}\) dalam \(L^0\), yaitu, \(\sequencen{f_n}\to f\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran. Selain itu, tentu saja, \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n|=\int|f|\).

Sebaliknya, jika \(\limsup_{n\to\infty}\int|f_n|\le\int|f|\) dan \(\sequencen{f_n}\to f\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran, maka untuk setiap \(\delta>0\) dan \(\mu F<\infty\) terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\int|f_n|\le\int|f|+\delta\), \(\rho_F(f,f_n)\le\delta\) untuk setiap \(n\ge m\); jadi (i) menunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|=0\).

(b) Bagian ini langsung mengikuti jika kita menyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\), \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\) dan \(u_n\) sebagai \(f_n^{\ssbullet}\).

245I Catatan (a)

Fenomena ini begitu penting sehingga layak ditinjau melalui beberapa contoh dasar.

(i) Jika \(\mu\) adalah ukuran hitung pada \(\Bbb N\), dan kita menetapkan \(f_n(n)=1\), \(f_n(i)=0\) untuk \(i\ne n\), maka \(\sequencen{f_n}\to 0\) dalam ukuran, sementara \(\int|f_n|=1\) untuk setiap \(n\).

(ii) Jika \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan kita menetapkan \(f_n(x)=2^n\) untuk \(0<x\le 2^{-n}\), \(0\) untuk \(x\) lainnya, maka sekali lagi \(\sequencen{f_n}\to 0\) dalam ukuran, sementara \(\int|f_n|=1\) untuk setiap \(n\).

(iii) Dalam 245Cc kita mempunyai barisan lain \(\sequencen{f_n}\) yang konvergen ke \(0\) dalam ukuran, sementara \(\int|f_n|=1\) untuk setiap \(n\). Dalam semua kasus ini (seperti yang disyaratkan oleh Lemma Fatou, setidaknya pada (i) dan (ii)) kita mempunyai \(\int|f|\le\liminf_{n\to\infty}\int|f_n|\). (Proposisi berikut menunjukkan bahwa ini berlaku untuk setiap barisan yang konvergen dalam ukuran.)

Kesamaan ketiga contoh ini ialah bahwa \(f_n\) seolah-olah lolos menuju tak hingga, baik secara lateral (dalam (i)) maupun secara vertikal (dalam (iii)) atau keduanya (dalam (ii)). Perlu dicatat bahwa dalam ketiga contoh tersebut kita dapat menetapkan \(f'_n=2^nf_n\) untuk memperoleh sebuah barisan yang masih konvergen ke \(0\) dalam ukuran, tetapi dengan \(\lim_{n\to\infty}\int|f'_n|=\infty\).

245Ib (b)

Dalam 245H, saya telah menggunakan rumusan eksplisit ‘\(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|=0\)’ (untuk barisan fungsi), ‘\(\sequencen{u_n}\to u\) untuk \(\|\,\|_1\)’ (untuk barisan dalam \(L^1\)). Hal ini sering dirumuskan dengan menyebut \(\sequencen{f_n}\) dan \(\sequencen{u_n}\) masing-masing konvergen dalam rata-rata ke \(f\) dan \(u\).

245J

Untuk ruang semihingga kita mempunyai hubungan lebih lanjut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur semihingga. Tulis \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), dan seterusnya.

(a)(i) Untuk setiap \(a\ge 0\), himpunan \(\{f:f\in\eusm L^1,\,\int|f|\le a\}\) tertutup di \(\eusm L^0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

(ii) Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^1\) yang konvergen dalam ukuran ke \(f\in\eusm L^0\), dan \(\liminf_{n\to\infty}\int|f_n|<\infty\), maka \(f\) terintegralkan dan \(\int|f|\le\liminf_{n\to\infty}\int|f_n|\).

(b)(i) Untuk setiap \(a\ge 0\), himpunan \(\{u:u\in L^1,\,\|u\|_1\le a\}\) tertutup dalam \(L^0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

(ii) Jika \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^1\) yang konvergen dalam ukuran ke \(u\in L^0\), dan \(\liminf_{n\to\infty}\|u_n\|_1<\infty\), maka \(u\in L^1\) dan \(\|u\|_1\le\liminf_{n\to\infty}\|u_n\|_1\).

Bukti

(a)(i) Tetapkan \(A=\{f:f\in\eusm L^1,\,\int|f|\le a\}\), dan ambil \(g\) sebarang anggota penutupan \(A\) dalam \(\eusm L^0\). Misalkan \(h\) fungsi sederhana sedemikian sehingga \(0\le h\leae|g|\), dan \(\epsilon>0\). Jika \(h=0\) maka tentu saja \(\int h\le a\). Jika tidak, dengan menetapkan \(F=\{x:h(x)>0\}\) dan \(M=\sup_{x\in X}h(x)\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(\mu^*\{x:x\in F\cap\dom f\cap\dom g,\, |f(x)-g(x)|\ge\epsilon\}\le\epsilon\) (245F); pilih himpunan terukur \(E\supseteq\{x:x\in F\cap\dom f\cap\dom g,\,|f(x)-g(x)|\ge\epsilon\}\) yang berukuran paling besar \(\epsilon\). Maka \(h\leae|f|+\epsilon\chi F+M\chi E\), sehingga \(\int h\le a+\epsilon(M+\mu F)\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\int h\le a\). Karena \(\mu\) semihingga, hal ini cukup untuk memastikan bahwa \(g\) terintegralkan dan bahwa \(\int|g|\le a\) (213B), yakni \(g\in A\). Karena \(g\) dipilih sembarang, \(A\) tertutup.

(ii) Jika \(\sequencen{f_n}\) konvergen dalam ukuran ke \(f\), dan \(\liminf_{n\to\infty}\int|f_n|=a\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat subbarisan \(\sequence{k}{f_{n(k)}}\) sedemikian rupa sehingga \(\int|f_{n(k)}|\le a+\epsilon\) untuk setiap \(k\); karena \(\sequence{k}{f_{n(k)}}\) masih konvergen dalam ukuran ke \(f\), \(\int|f|\le a+\epsilon\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\int|f|\le a\).

(b) Seperti pada 245H, ini hanyalah terjemahan dari bagian (a) ke dalam bahasa \(L^1\) dan \(L^0\).

245K

Untuk ruang ukur \(\sigma\)-hingga, topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\) dapat dimetriskan, sehingga dapat dijelaskan secara efektif melalui barisan konvergen; karena itu, dalam kasus ini penting untuk mempunyai karakterisasi yang tepat bagi konvergensi barisan dalam ukuran.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur \(\sigma\)-hingga. Maka

(a) suatu barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(\eusm L^0\) konvergen dalam ukuran ke \(f\in\eusm L^0\) jika dan hanya jika setiap subbarisan dari \(\sequencen{f_n}\) mempunyai subsubbarisan yang konvergen ke \(f\) hampir di mana-mana;

(b) suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^0\) konvergen dalam ukuran ke \(u\in L^0\) jika dan hanya jika setiap subbarisan dari \(\sequencen{u_n}\) mempunyai subsubbarisan yang ordo*-konvergen ke \(u\).

Bukti

(a)(i) Andaikan \(\sequencen{f_n}\to f\), yaitu \(\lim_{n\to\infty}\int|f-f_n|\wedge \chi F=0\) untuk setiap himpunan \(F\) dengan ukuran berhingga. Misalkan \(\sequencen{E_k}\) barisan tak menurun dari himpunan berukuran berhingga yang menutupi \(X\), dan misalkan \(\sequence{k}{n(k)}\) barisan naik tegas dalam \(\Bbb N\) sedemikian rupa sehingga \(\int|f-f_{n(k)}|\wedge\chi E_k\le 4^{-k}\) untuk setiap \(k\in\Bbb N\). Maka \(\sum_{k=0}^{\infty}|f-f_{n(k)}|\wedge\chi E_k\) adalah hingga hampir di mana-mana (242E); tetapi \(\lim_{k\to\infty}f_{n(k)}(x)=f(x)\) setiap kali \(\sum_{k=0}^{\infty}\min(1,|f(x)-f_{n(k)}(x)|)<\infty\), jadi \(\sequence{k}{f_{n(k)}}\to f\) hampir di mana-mana.

(ii) Hal yang sama berlaku bagi setiap subbarisan dari \(\sequencen{f_n}\), sehingga setiap subbarisan dari \(\sequencen{f_n}\) mempunyai subsubbarisan yang konvergen ke \(f\) hampir di mana-mana.

(iii) Misalkan sekarang bahwa \(\sequencen{f_n}\) tidak konvergen ke \(f\). Maka ada himpunan terbuka \(U\) yang memuat \(f\) sehingga \(\{n:f_n\notin U\}\) tak hingga, yaitu, \(\sequencen{f_n}\) mempunyai subbarisan \(\sequencen{f'_n}\) dengan \(f'_n\notin U\) untuk setiap \(n\). Namun tidak ada subsubbarisan dari \(\sequencen{f'_n}\) yang konvergen ke \(f\) dalam ukuran, sehingga tidak ada subsubbarisan seperti itu yang dapat konvergen hampir di mana-mana, menurut 245Ca.

(b) Ini langsung mengikuti (a) jika \(u\) dinyatakan sebagai \(f^{\ssbullet}\) dan \(u_n\) sebagai \(f_n^{\ssbullet}\).

245L Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur \(\sigma\)-hingga.

(a) Suatu subhimpunan \(A\) dari \(\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) tertutup untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika \(f\in A\) setiap kali \(f\in\eusm L^0\) dan terdapat barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(f\eae\lim_{n\to\infty}f_n\).

(b) Suatu subhimpunan \(A\) dari \(L^0=L^0(\mu)\) tertutup untuk topologi konvergensi dalam ukuran jika dan hanya jika \(u\in A\) setiap kali \(u\in L^0\) dan terdapat suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\) yang ordo*-konvergen ke \(u\).

Bukti

(a)(i) Jika \(A\) tertutup untuk topologi konvergensi dalam ukuran, dan \(\sequencen{f_n}\) merupakan barisan dalam \(A\) yang konvergen ke \(f\) hampir di mana-mana, maka \(\sequencen{f_n}\) konvergen ke \(f\) dalam ukuran, jadi tentu saja \(f\in A\) (karena jika tidak, maka hampir semua \(f_n\) harus termasuk dalam himpunan terbuka \(\eusm L^0\setminus A\)).

(ii) Jika \(A\) tidak tertutup, ada \(f\in\overline{A}\setminus A\). Topologi dapat ditentukan oleh metrik \(\rho\) (245Eb), dan kita dapat memilih barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(\rho(f_n,f)\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\sequencen{f_n}\to f\) dalam ukuran. Menurut 245K, \(\sequencen{f_n}\) mempunyai subbarisan \(\sequencen{f'_n}\) yang konvergen hampir di mana-mana ke \(f\), dan ini membuktikan bahwa \(A\) gagal memenuhi kondisi.

(b) Ini langsung mengikuti fakta bahwa \(A\subseteq L^0\) tertutup jika dan hanya jika \(\{f:f^{\ssbullet}\in A\}\) tertutup di \(\eusm L^0\).

245M \(L^0\) kompleks

Dalam 241J saya secara singkat membahas adaptasi yang diperlukan untuk membangun ruang linier kompleks \(L^0_{\Bbb C}\). Rumus-rumus dari 245A dapat digunakan tanpa perubahan untuk mendefinisikan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0_{\Bbb C}\) dan \(L^0_{\Bbb C}\). Tampaknya setiap pernyataan dalam 245B-245L tetap berlaku jika kita mengganti setiap \(L^0\) atau \(\eusm L^0\) dengan \(L^0_{\Bbb C}\) atau \(\eusm L^0_{\Bbb C}\). Sebagai alternatif, untuk menghubungkan bentuk ‘riil’ dan ‘kompleks’ dari 245E, misalnya, perhatikan bahwa

\[\begin{aligned}\max(\rho_F(\Real(u),\Real(v)),\rho_F(\Imag(u),\Imag(v))) &\le\rho_F(u,v)\\ &\le\rho_F(\Real(u),\Real(v))+\rho_F(\Imag(u),\Imag(v))\\\end{aligned}\]

untuk semua \(u\), \(v\in L^0\) dan semua himpunan \(F\) berukuran berhingga, \(L^0_{\Bbb C}\) dapat diidentifikasi, sebagai ruang seragam, dengan \(L^0\times L^0\), sehingga bersifat Hausdorff, dapat dimetriskan, atau lengkap jika dan hanya jika \(L^0\) demikian.

Latihan

245X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) sebarang himpunan, dan \(\mu\) ukuran hitung pada \(X\). Tunjukkan bahwa topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0(\mu)=\Bbb R^X\) hanyalah topologi produk pada \(\Bbb R^X\) jika dianggap sebagai produk dari salinan \(\Bbb R\).

245Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur sembarang, dan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) adalah kelengkapannya. Tunjukkan bahwa topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0(\mu)=\eusm L^0(\hat\mu)\) (241Xb), yang sesuai dengan keluarga \(\{\rho_F:F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\), \(\{\rho_F:F\in\hat\Sigma,\,\hat\mu F<\infty\}\) adalah sama.

245Xc (>c) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah sebarang ruang ukur; tetapkan \(L^0=L^0(\mu)\). Misalkan \(u\), \(u_n\in L^0\) untuk \(n\in\Bbb N\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\sequencen{u_n}\) ordo*-konvergen ke \(u\) dalam pengertian 245C;

(ii) terdapat fungsi terukur \(f\), \(f_n:X\to\Bbb R\) sehingga \(f^{\ssbullet}=u\), \(f_n^{\ssbullet}=u_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dan \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) untuk setiap \(x\in X\);

(iii) \(u=\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}u_m=\sup_{n\in\Bbb N}\inf_{m\ge n}u_m\), infima dan suprema diambil dalam \(L^0\);

(iv) \(\inf_{n\in\Bbb N}\sup_{m\ge n}|u-u_m|=0\) dalam \(L^0\);

(v) terdapat barisan tak meningkat \(\sequencen{v_n}\) dalam \(L^0\) sehingga \(\inf_{n\in\Bbb N}v_n=0\) dalam \(L^0\) dan \(u-v_n\le u_n\le u+v_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\);

(vi) terdapat barisan \(\sequencen{v_n}\), \(\sequencen{w_n}\) dalam \(L^0\) sehingga \(\sequencen{v_n}\) tak menurun, \(\sequencen{w_n}\) tak meningkat, \(\sup_{n\in\Bbb N}v_n=u=\inf_{n\in\Bbb N}w_n\) dan \(v_n\le u_n\le w_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

245Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur semihingga. Tunjukkan bahwa barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^0=L^0(\mu)\) ordo*-konvergen ke \(u\in L^0\) jika dan hanya jika \(\{|u_n|:n\in\Bbb N\}\) dibatasi di atas dalam \(L^0\) dan \(\sequencen{\sup_{m\ge n}|u_m-u|}\to 0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

245Xe (e)

Tuliskan bukti bahwa \(L^0(\mu)\) lengkap (sebagai ruang linier topologis), yang disesuaikan dengan kasus-kasus khusus (i) \(\mu X=1\) (ii) \(\mu\) \(\sigma\)-hingga, dengan memanfaatkan setiap penyederhanaan yang dapat Anda temukan.

245Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(r\ge 1\); misalkan \(h:\Bbb R^r\to\Bbb R\) fungsi kontinu. (i) Andaikan untuk \(1\le k\le r\) kita diberikan barisan \(\sequencen{f_{kn}}\) dalam \(\eusm L^0={\eusm L}^0(\mu)\) yang konvergen dalam ukuran ke \(f_k\in{\eusm L}^0\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{h(f_{1n},\ldots,f_{rn})}\) konvergen dalam ukuran ke \(h(f_1,\ldots,f_r)\). (ii) Secara umum, tunjukkan bahwa \((f_1,\ldots,f_r)\mapsto h(f_1,\ldots,f_r):(\eusm L^0)^r\to\eusm L^0\) adalah kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran. (iii) Tunjukkan bahwa fungsi yang bersesuaian \(\bar h:(L^0)^r\to L^0\) (241Xh) adalah kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

245Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(u\in L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(v\mapsto\int u\times v:L^{\infty}\to\Bbb R\) adalah kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada bola satuan \(L^{\infty}\), tetapi pada umumnya tidak kontinu pada seluruh \(L^{\infty}\).

245Xh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) merupakan ruang ukur dan \(v\) adalah anggota nonnegatif dari \(L^1=L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa pada himpunan \(A=\{u:u\in L^1,\,|u|\le v\}\), topologi subruang (2A3C) yang diturunkan oleh topologi norma pada \(L^1\) dan topologi konvergensi dalam ukuran adalah sama. Petunjuk: Jika diberikan \(\epsilon>0\), ambil \(F\in\Sigma\) berukuran berhingga dan \(M\ge 0\) sehingga \(\int(|v|-M\chi F^{\ssbullet})^+\le\epsilon\). Tunjukkan bahwa \(\|u-u'\|_1\le\epsilon+M\bar\rho_F(u,u')\) untuk setiap \(u\), \(u'\in A\).

245Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(\Cal F\) adalah filter pada \(L^1=L^1(\mu)\) yang konvergen, untuk topologi konvergensi dalam ukuran, ke \(u\in L^1\). Tunjukkan bahwa \(\Cal F\to u\) untuk topologi norma \(L^1\) jika dan hanya jika \(\inf_{A\in\Cal F}\sup_{v\in A}\|v\|_1\le\|u\|_1\).

245Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Misalkan \(\sequencen{u_n}\) barisan dalam \(L^p(\mu)\) yang konvergen untuk \(\|\,\|_p\) ke \(u\in L^p(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{|u_n|^p}\to|u|^p\) untuk \(\|\,\|_1\). Petunjuk: 245G, 245Dd, 245H.

245Xk (>k) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur semihingga dan \(p\in[1,\infty]\), \(a\ge 0\). Tunjukkan bahwa \(\{u:u\in L^p(\mu),\,\|u\|_p\le a\}\) tertutup di \(L^0(\mu)\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

245Xl (l)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur, dan \(\sequencen{u_n}\) barisan dalam \(L^p=L^p(\mu)\), di mana \(1\le p<\infty\). Misalkan \(u\in L^p\). Tunjukkan bahwa hal-hal berikut ini adalah ekuivalen: (i) \(u=\lim_{n\to\infty}u_n\) untuk topologi norma \(L^p\) (ii) \(\sequencen{u_n}\to u\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran dan \(\lim_{n\to\infty}\|u_n\|_p=\|u\|_p\) (iii) \(\sequencen{u_n}\to u\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran dan \(\limsup_{n\to\infty}\|u_n\|_p\le\|u\|_p\).

245Xm (m)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran pada \(X\) dengan himpunan-himpunan terukur dan himpunan-himpunan terabaikan yang sama. (i) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^0(\mu)=\eusm L^0(\nu)\) dan \(L^0(\mu)=L^0(\nu)\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) dan \(\nu\) sama-sama semihingga, maka keduanya menentukan topologi yang sama bagi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0\) dan \(L^0\). Petunjuk: Gunakan 215A untuk menunjukkan bahwa jika \(\mu E<\infty\) maka \(\mu E=\sup\{\mu F:F\subseteq E,\,\nu F<\infty\}\).

245Y Latihan lebih lanjut (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan lengkapi \(\Sigma\) dengan topologi yang dijelaskan dalam 232Ya. Tunjukkan bahwa \(\chi:\Sigma\to\eusm L^0(\mu)\) adalah homeomorfisme antara \(\Sigma\) dan citranya \(\chi[\Sigma]\) di \(\eusm L^0\), jika \(\eusm L^0\) diberi topologi konvergensi dalam ukuran dan \(\chi[\Sigma]\) diberi topologi subruang.

245Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur dan \(Y\) sembarang subhimpunan \(X\); misalkan \(\mu_Y\) ukuran subruang pada \(Y\). Misalkan \(T:L^0(\mu)\to L^0(\mu_Y)\) peta kanonik yang didefinisikan dengan menetapkan \(T(f^{\ssbullet})=(f\restrp Y)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0(\mu)\) (241Yg). Tunjukkan bahwa \(T\) bersifat kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0(\mu)\) dan \(L^0(\mu_Y)\).

245Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur, dan \(\tilde\mu\) adalah versi c.l.d. dari \(\mu\). Tunjukkan bahwa peta \(T:L^0(\mu)\to L^0(\tilde\mu)\) yang diinduksi oleh inklusi \(\eusm L^0(\mu)\subseteq\eusm L^0(\tilde\mu)\) (241Yf) bersifat kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran.

245Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur, dan berikan \(L^0=L^0(\mu)\) topologi konvergensi dalam ukuran. Misalkan \(A\subseteq L^0\) adalah himpunan tak kosong yang terarah ke bawah, dan andaikan bahwa \(\inf A=0\) dalam \(L^0\). (i) Misalkan \(F\in\Sigma\) himpunan berukuran berhingga, dan definisikan \(\bar\tau_F\) seperti dalam 245A; tunjukkan bahwa \(\inf_{u\in A}\bar\tau_F(u)=0\). Petunjuk: Tetapkan \(\gamma=\inf_{u\in A}\bar\tau_F(u)\); temukan barisan menurun \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\) sehingga \(\lim_{n\to\infty}\bar\tau_F(u_n)=\gamma\); tetapkan \(v=(\chi F)^{\ssbullet}\wedge\inf_{n\in\Bbb N}u_n\) dan tunjukkan bahwa \(u\wedge v=v\) untuk setiap \(u\in A\), sehingga \(v=0\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(U\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(0\), terdapat \(u\in A\) sehingga \(v\in U\) setiap kali \(0\le v\le u\).

245Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur. (i) Tunjukkan bahwa untuk \(u\in L^0=L^0(\mu)\) kita dapat mendefinisikan \(\psi_a(u)\), untuk \(a\ge 0\), dengan menetapkan \(\psi_a(u)=\mu\{x:|f(x)|>a\}\) setiap kali \(f:X\to\Bbb R\) adalah fungsi terukur dan \(f^{\ssbullet}=u\). (ii) Definisikan \(\rho:L^0\times L^0\to[0,1]\) dengan menetapkan \(\rho(u,v)=\min(\{1\}\cup\{a:a\ge 0,\,\psi_a(u-v)\le a\})\). Tunjukkan bahwa \(\rho\) adalah metrik pada \(L^0\), bahwa \(L^0\) lengkap terhadap \(\rho\), dan bahwa \(+\), \(-\), \(\wedge\), \(\vee:L^0\times L^0\to L^0\) kontinu terhadap \(\rho\). (iii) Tunjukkan bahwa \(c\mapsto cu:\Bbb R\to L^0\) kontinu untuk setiap \(u\in L^0\) jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) berhingga total, dan bahwa dalam kasus ini \(\rho\) mendefinisikan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\).

245Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur yang dapat dilokalkan dan \(A\subseteq L^0=L^0(\mu)\) himpunan tak kosong, terarah ke atas, dan terbatas dalam arti ruang linier topologis (yakni, sedemikian sehingga untuk setiap lingkungan \(U\) dari \(0\) di \(L^0\) terdapat \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(A\subseteq kU\)). Tunjukkan bahwa \(A\) terbatas di atas di \(L^0\), dan bahwa supremumnya termasuk dalam penutupannya.

245Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur, \(p\in\coint{1,\infty}\) dan \(v\) anggota nonnegatif dari \(L^p=L^p(\mu)\). Tunjukkan bahwa pada himpunan \(A=\{u:u\in L^p,\,|u|\le v\}\) topologi subruang yang diinduksi oleh topologi norma \(L^p\) dan topologi konvergensi dalam ukuran adalah sama.

245Yh (h)

Misalkan \(S\) adalah himpunan semua barisan \(s:\Bbb N\to\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}s(n)=\infty\). Untuk setiap \(s\in S\), misalkan \((X_s,\Sigma_s,\mu_s)\) adalah \([0,1]\) dengan ukuran Lebesgue, dan misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) jumlah langsung dari \(\family{s}{S}{(X_s,\Sigma_s,\mu_s)}\) (214L). Untuk \(s\in S\), \(t\in[0,1]\), \(n\in\Bbb N\) tetapkan \(h_n(s,t)=f_{s(n)}(t)\), di mana \(\sequencen{f_n}\) adalah barisan dari 245Cc. Tunjukkan bahwa \(\sequencen{h_n}\to 0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada \(\eusm L^0(\mu)\), tetapi bahwa \(\sequencen{h_n}\) tidak memiliki subbarisan yang konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana.

245Yi (i)

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Andaikan diberikan suatu relasi \(\rightharpoonup\) antara barisan dalam \(X\) dan anggota \(X\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) jika \(x_n=x\) untuk setiap \(n\) maka \(\sequencen{x_n}\rightharpoonup x\) (\(\beta\)) \(\sequencen{x'_n}\rightharpoonup x\) setiap kali \(\sequencen{x_n}\rightharpoonup x\) dan \(\sequencen{x'_n}\) adalah subbarisan dari \(\sequencen{x_n}\). Tunjukkan bahwa terdapat topologi \(\frak T\) pada \(X\) yang ditentukan sebagai berikut: suatu himpunan bagian \(G\) dari \(X\) termasuk dalam \(\frak T\) jika dan hanya jika, setiap kali \(\sequencen{x_n}\) barisan dalam \(X\) dan \(\sequencen{x_n}\rightharpoonup x\in G\), setidaknya satu \(x_n\) termasuk dalam \(G\). Tunjukkan bahwa suatu barisan \(\sequencen{x_n}\) dalam \(X\) \(\frak T\)-konvergen ke \(x\) jika dan hanya jika setiap subbarisan dari \(\sequencen{x_n}\) mempunyai subsubbarisan \(\sequencen{x''_n}\) sedemikian rupa sehingga \(\sequencen{x''_n}\halfarrow x\).

245Yj (j)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(L^0(\mu)\) separabel untuk topologi konvergensi dalam ukuran. Petunjuk: 244I.

Catatan dan komentar

245-notes Catatan penutup untuk Bagian 245

Dalam bagian ini saya mengundang Anda untuk menganggap topologi konvergensi (lokal) dalam ukuran sebagai topologi standar pada \(L^0\), sebagaimana norma menentukan topologi standar pada ruang \(L^p\) untuk \(p\ge 1\). Definisi yang saya pilih dirancang agar penjumlahan dan perkalian skalar serta operasi \(\vee\), \(\wedge\), dan \(\times\) bersifat kontinu (245D); lihat juga 245Xf. Dari sudut pandang analisis fungsional, sifat-sifat ini lebih penting daripada metrizabilitas atau bahkan kelengkapan.

Seperti halnya struktur aljabar dan struktur orde pada \(L^0\) dapat diuraikan dalam teori umum ruang Riesz, hasil-hasil yang lebih mendalam 241G dan 245E juga memiliki interpretasi dalam teori umum. Bukan kebetulan bahwa (untuk ruang ukur semihingga) \(L^0\) lengkap Dedekind jika dan hanya jika lengkap sebagai ruang seragam; Anda dapat menemukan generalisasi yang relevan dalam 23K dan 24E dari Fremlin 74. Tentu saja, justru karena kedua jenis kelengkapan ini saling terkait, saya merasa perlu menggunakan frasa ‘kelengkapan Dedekind’ untuk membedakan jenis kelengkapan orde khusus ini dari kelengkapan seragam yang lebih lazim dan diuraikan dalam 2A5F.

Manfaat dari topologi konvergensi dalam ukuran sebagian besar berasal dari 245G-245J dan versi \(L^p\) 245Xk dan 245Xl. Beberapa ide di sini dapat dikaitkan dengan pertanyaan yang muncul dari teorema konvergensi dasar. Jika \(\sequencen{f_n}\) adalah suatu barisan fungsi terintegralkan yang konvergen titik demi titik ke suatu fungsi \(f\), dengan cara apa \(\int f\) dapat gagal menjadi \(\lim_{n\to\infty}\int f_n\)? Dalam bahasa bagian ini, hal ini diterjemahkan menjadi: jika kita mempunyai suatu barisan (atau filter) dalam \(L^1\) yang konvergen untuk topologi konvergensi dalam ukuran, dengan cara apa barisan ini dapat gagal konvergen dalam topologi norma pada \(L^1\)? Jawaban pertama adalah Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue: hal ini tidak dapat terjadi jika barisan tersebut didominasi, yaitu, terletak dalam suatu himpunan dari bentuk \(\{u:|u|\le v\}\) di mana \(v\in L^1\). (Lihat 245Xh dan 245Yg.) Saya akan kembali ke hal ini di bagian berikutnya. Namun untuk saat ini, 245H menunjukkan bahwa jika \(\sequencen{u_n}\) konvergen dalam ukuran ke \(u\in L^1\), tetapi tidak untuk topologi norma pada \(L^1\), hal itu terjadi karena \(\limsup_{n\to\infty}\|u_n\|_1\) terlalu besar; sebagian bobotnya hilang di tak hingga, seperti dalam contoh-contoh 245I. Jika \(\sequencen{u_n}\) benar-benar ordo*-konvergen ke \(u\), maka Lemma Fatou menunjukkan bahwa \(\liminf_{n\to\infty}\|u_n\|_1\ge\|u\|_1\), yaitu, bahwa fungsi limit tidak dapat memiliki bobot lebih besar (yang diukur oleh \(\|\,\|_1\)) daripada bobot yang dibawa oleh barisan. 245J dan 245Xk merupakan generalisasi fakta ini ke konvergensi dalam ukuran. Jika Anda menginginkan generalisasi dari teorema B. Levi, 242Yf tetap merupakan ungkapan terbaik dalam bahasa bab ini; tetapi 245Yf adalah versi dalam istilah konsep-konsep bagian ini.

Dalam kasus ruang \(\sigma\)-hingga, kita mempunyai deskripsi alternatif dari topologi konvergensi dalam ukuran (245L) yang tidak menggunakan fungsional atau pseudometrik yang tampil dalam 245A. Hal ini dapat diungkapkan, setidaknya dalam konteks \(L^0\), dalam istilah hasil standar dari topologi umum (245Yi). Hasil tersebut memberikan cara membentuk topologi pada \(L^0\) yang berlaku pada ruang ukur mana pun. Hal yang menarik ialah bahwa untuk ruang \(\sigma\)-hingga kita mendapatkan topologi ruang linier.