Subruang terukur — Fondasi Teori Ukuran

Sangat sering kita ingin mengintegralkan suatu fungsi pada sebuah subhimpunan dari suatu ruang ukur; misalnya, membentuk integral \(\int_a^bf(x)dx\), dengan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Sering kali kita ingin melakukan ini ketika fungsi tersebut tidak didefinisikan pada sebagian atau seluruh bagian di luar subhimpunan itu, seperti dalam ungkapan \(\int_0^1\ln x\,dx\). Kerangka alami untuk melakukan operasi semacam itu adalah ‘ukuran subruang’. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(H\in\Sigma\), terdapat ukuran subruang alami \(\mu_H\) pada \(H\), yang saya uraikan dalam bagian ini. Saya mulai dengan definisi ukuran subruang ini (131A-131C), disertai uraian tentang integrasi terhadapnya (131E-131H); ini memberikan landasan yang kukuh bagi konsep ‘integrasi pada suatu subhimpunan (terukur)’ (131D).

131A Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(H\in\Sigma\). Tetapkan \(\Sigma_H=\{E:E\in\Sigma,\,E\subseteq H\}\) dan misalkan \(\mu_H\) merupakan pembatasan \(\mu\) pada \(\Sigma_H\). Maka \((H,\Sigma_H,\mu_H)\) merupakan suatu ruang ukur.

131B Definisi

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur dan \(H\in\Sigma\), maka \(\mu_H\), sebagaimana didefinisikan dalam 131A, adalah ukuran subruang pada \(H\).

Jika \(X=\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), saya akan menyebut suatu ukuran subruang \(\mu_H\) sebagai ukuran Lebesgue pada \(H\).

Fakta-fakta elementer berikut patut dicatat.

131C Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(H\in\Sigma\), dan \(\mu_H\) ukuran subruang pada \(H\), dengan domain \(\Sigma_H\). Maka

(a) untuk setiap \(A\subseteq H\), \(A\) bersifat \(\mu_H\)-terabaikan jika dan hanya jika bersifat \(\mu\)-terabaikan;

(b) jika \(G\in\Sigma_H\), maka \((\mu_H)_G\), yaitu ukuran subruang pada \(G\) ketika \(G\) dipandang sebagai subhimpunan terukur dari \(H\), identik dengan \(\mu_G\), yaitu ukuran subruang pada \(G\) ketika \(G\) dipandang sebagai subhimpunan terukur dari \(X\).

131D Integrasi pada subhimpunan: Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(H\in\Sigma\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\). Dengan \(\int_H f\) (atau \(\int_H f(x)\mu(dx)\), dan sebagainya) saya akan memaksudkan \(\int(f\restr H)d\mu_H\), jika integral ini ada, sesuai dengan definisi-definisi 131A-131B dan 122M, serta dengan menetapkan \(\dom(f\restr H)=H\cap\dom f\), \((f\restr H)(x)=f(x)\) untuk \(x\in H\cap\dom f\).

131E Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(H\in\Sigma\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\dom f\) dari \(H\). Tetapkan \(\tilde f(x)=f(x)\) jika \(x\in\dom f\), dan \(0\) jika \(x\in X\setminus H\). Maka, jika salah satu ruas dalam \(\int fd\mu_H=\int \tilde fd\mu\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\), ruas lainnya juga demikian, dan persamaan tersebut berlaku.

Bukti

(a) Jika \(f\) merupakan fungsi \(\mu_H\)-sederhana, fungsi itu dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\), dengan \(E_0,\ldots,E_n\in\Sigma_H\), \(a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R\), dan \(\mu_H E_i<\infty\) untuk setiap \(i\). Sekarang \(\tilde f\) juga sama dengan \(\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\) jika ungkapan ini ditafsirkan sebagai fungsi dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Jadi

\(\sum_{i=0}^na_i\mu_HE_i =\sum_{i=0}^na_i\mu E_i=\int\tilde fd\mu\).

(b) Jika \(f\) merupakan fungsi nonnegatif yang \(\mu_H\)-terintegralkan, terdapat barisan tak-menurun \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi-fungsi \(\mu_H\)-sederhana nonnegatif yang konvergen ke \(f\,\,\mu_H\)-hampir di mana-mana; sekarang \(\sequencen{\tilde f_n}\) merupakan barisan tak-menurun dari fungsi-fungsi \(\mu\)-sederhana yang konvergen ke \(\tilde f\,\,\mu\)-hampir di mana-mana (131Ca), dan

\( \sup_{n\in\Bbb N}\int \tilde f_nd\mu =\sup_{n\in\Bbb N}\int f_nd\mu_H =\int fd\mu_H<\infty\),

sehingga \(\int\tilde fd\mu\) ada dan sama dengan \(\int fd\mu_H\).

(c) Jika \(f\) \(\mu_H\)-terintegralkan, fungsi itu dapat dinyatakan sebagai \(f_1-f_2\), dengan \(f_1\) dan \(f_2\) fungsi-fungsi nonnegatif yang \(\mu_H\)-terintegralkan, sehingga \(\tilde f=\tilde f_1-\tilde f_2\) dan

\( \int\tilde fd\mu=\int\tilde f_1d\mu-\int\tilde f_2d\mu=\int f_1d\mu_H-\int f_2d\mu_H=\int fd\mu_H\).

(d) Sekarang andaikan bahwa \(\tilde f\) \(\mu\)-terintegralkan. Dalam hal ini terdapat himpunan \(\mu\)-koterabaikan \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\subseteq\dom\tilde f\) dan \(\tilde f\restr E\) bersifat \(\Sigma\)-terukur (122P). Tentu saja \(\mu(H\setminus E)=0\), sehingga \(E\cap H\) bersifat \(\mu_H\)-koterabaikan; selain itu, untuk setiap \(a\in\Bbb R\),

\(\{x:x\in E\cap H,\,f(x)\ge a\} =H\cap\{x:x\in E,\,\tilde f(x)\ge a\}\in\Sigma_H\),

sehingga \(f\restr(E\cap H)\) bersifat \(\Sigma_H\)-terukur, dan \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu_H\) serta didefinisikan \(\mu_H\)-hampir di mana-mana. Selanjutnya, untuk \(\epsilon>0\),

\(\mu_H\{x:x\in E\cap H,\,|f(x)|\ge\epsilon\} =\mu\{x:x\in E,\,|\tilde f(x)|\ge\epsilon\}<\infty\),

sedangkan jika \(g\) suatu fungsi \(\mu_H\)-sederhana dan \(g\le|f|\,\,\mu_H\)-hampir di mana-mana, maka \(\tilde g\le|\tilde f|\,\,\mu\)-hampir di mana-mana dan

\(\int g\,d\mu_H=\int\tilde g\,d\mu \le\int|\tilde f|d\mu<\infty\).

Menurut kriteria dalam 122J dan 122P, \(f\) \(\mu_H\)-terintegralkan, sehingga sekali lagi kita memperoleh \(\int fd\mu_H=\int\tilde fd\mu\).

131F Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\dom f\) dari \(X\).

(a) Jika \(H\in\Sigma\) dan \(f\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\), maka \(f\restr H\) \(\mu_H\)-terintegralkan jika dan hanya jika \(f\times\chi H\) \(\mu\)-terintegralkan, dan dalam hal ini \(\int_Hf=\int f\times\chi H\).

(b) Jika \(f\) \(\mu\)-terintegralkan, maka \(f\ge 0\) a.e. jika dan hanya jika \(\int_Hf\ge 0\) untuk setiap \(H\in\Sigma\).

Bukti

(a) Karena \(\dom f\) bersifat \(\mu\)-koterabaikan, \((f\restr H)\ssptilde\), sebagaimana didefinisikan dalam 131E, sama dengan \(f\times\chi H\,\,\mu\)-hampir di mana-mana, sehingga, menurut 131E,

\( \int_Hfd\mu =\int(f\restr H)\ssptilde d\mu =\int(f\times\chi H)d\mu\)

jika salah satu integral itu ada; dalam hal ini integral lainnya juga ada.

(b)(i) Jika \(f\ge 0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana, maka untuk setiap \(H\in\Sigma\) kita harus mempunyai \(f\restr H\ge 0\,\,\mu_H\)-hampir di mana-mana, sehingga \(\int_Hf=\int(f\restr H)d\mu_H\ge 0\).

(ii) Jika \(\int_Hf\ge 0\) untuk setiap \(H\in\Sigma\), misalkan \(E\in\Sigma\) suatu subhimpunan koterabaikan dari \(\dom f\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur. Tetapkan \(F=\{x:x\in E,\,f(x)<0\}\). Maka \(\int_Ff\ge 0\); menurut 122Rc, diperoleh \(f\restr F=0\,\,\mu_F\)-hampir di mana-mana, dan ini hanya mungkin jika \(\mu F=0\); dalam hal itu \(f\ge 0\,\,\mu\)-hampir di mana-mana.

(c) Terapkan (b) pada \(f\) dan pada \(-f\) untuk melihat bahwa \(f\le 0\le f\) hampir di mana-mana.

131G Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(H\in\Sigma\) suatu himpunan koterabaikan. Jika \(f\) sembarang fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(X\), maka, jika salah satu ruas dalam \(\int_Hf=\int f\) terdefinisi, ruas lainnya juga demikian dan persamaan tersebut berlaku.

131H Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\), \(g\) dua fungsi bernilai real yang \(\mu\)-terintegralkan.

(a) Jika \(\int_Hf\ge\int_Hg\) untuk setiap \(H\in\Sigma\), maka \(f\ge g\) a.e.

(b) Jika \(\int_Hf=\int_Hg\) untuk setiap \(H\in\Sigma\), maka \(f=g\) a.e.

Latihan

131X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\). Untuk \(E\in\Sigma\) tetapkan \(\nu E=\int_Ef\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(E\), \(F\) merupakan anggota-anggota saling lepas dari \(\Sigma\), maka \(\nu(E\cup F)=\nu E+\nu F\). Petunjuk: 131E. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\), maka \(\nu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\nu E_n\). Petunjuk: 123C. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) nonnegatif, maka \((X,\Sigma,\nu)\) merupakan suatu ruang ukur.

131Xb (>b) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa setiap kali \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f\) suatu fungsi bernilai real dengan \(\dom f\subseteq\Bbb R\), maka

\(\int_{\ooint{a,b}}fd\mu=\int_{\coint{a,b}}fd\mu =\int_{\ocint{a,b}}fd\mu=\int_{[a,b]}fd\mu\)

jika salah satunya terdefinisi. Petunjuk: terapkan 131E pada empat versi berbeda dari \(\tilde f\). Tuliskan \(\int_a^bfd\mu\) untuk nilai bersama ini. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(a\le b\le c\) dalam \(\Bbb R\), maka, untuk setiap fungsi bernilai real \(f\), \(\int_a^cfd\mu=\int_a^bfd\mu+\int_b^cfd\mu\) jika salah satu ruas terdefinisi; dalam hal ini ruas lainnya juga terdefinisi. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan pada \(\Bbb R\), maka \((a,b)\mapsto\int_a^bfd\mu\) kontinu. Petunjuk: Salah satu\/: tinjau terlebih dahulu fungsi-fungsi sederhana \(f\), atau\/ tinjau \(\lim_{n\to\infty}\int_{a_n}^bfd\mu\) untuk barisan-barisan monoton \(\sequencen{a_n}\).

131Xc (c)

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi tak-menurun dan \(\mu_g\) ukuran Lebesgue-Stieltjes yang terkait (114Xa). (i) Tunjukkan bahwa jika \(a\le b\le c\) dalam \(\Bbb R\), maka, untuk setiap fungsi bernilai real \(f\), \(\int_{\coint{a,c}}fd\mu_g =\int_{\coint{a,b}}fd\mu_g+\int_{\coint{b,c}}fd\mu_g\) jika salah satu ruas terdefinisi; dalam hal ini ruas lainnya juga terdefinisi. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) \(\mu_g\)-terintegralkan pada \(\Bbb R\), maka \((a,b)\mapsto\int_{\coint{a,b}}fd\mu_g\) kontinu pada \(\{(a,b):a\le b,\,g\) kontinu di \(a\) maupun \(b\}\).

131Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(E\in\Sigma\) suatu himpunan terukur dengan ukuran berhingga. Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang terukur, dengan domain-domain terukur¹, sedemikian sehingga \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(E\) (sesuai dengan kesepakatan-kesepakatan 121Fa). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat himpunan terukur \(F\subseteq E\) sedemikian sehingga \(\mu(E\setminus F)\le\epsilon\) dan \(\sequencen{f_n}\) konvergen seragam ke \(f\) pada \(F\). (Ini adalah teorema Egorov.)

Catatan dan komentar

131 Catatan penutup untuk Bagian 131

Jika Anda menginginkan definisi singkat bagi \(\int_Hf\) untuk \(H\) terukur, definisi dalam 131E tampaknya yang paling sederhana, karena memungkinkan Anda menghindari konsep ‘ukuran subruang’ sepenuhnya. Namun, menurut saya kita sungguh perlu dapat berbicara, misalnya, tentang ‘ukuran Lebesgue pada \([0,1]\)’, dengan memaksudkan ukuran subruang \(\mu_{[0,1]}\) ketika \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\).

Bagian ini memuat cukup banyak analisis teknis yang terperinci. Masalahnya ialah bahwa mulai dari 131A, pada umumnya terdapat sekurang-kurangnya dua ukuran yang berperan, dan bahasa biasa dalam teori ukuran—kata-kata seperti ‘terukur’ dan ‘terintegralkan’— menjadi tidak dapat dipercaya dalam konteks semacam itu, karena bahasa tersebut menghilangkan keterangan penting mengenai aljabar-\(\sigma\) atau ukuran mana yang sedang ditinjau. Karena itu saya harus menggunakan istilah yang kurang anggun tetapi lebih eksplisit. Namun, saya berharap bahwa setelah Anda menelaah dengan saksama hasil-hasil seperti 131F, Anda akan merasa bahwa pola yang terbentuk cukup koheren. Aturan umumnya ialah bahwa untuk subruang-subruang terukur tidak ada kejutan yang serius (131Cb, 131Fa).

Perlu saya catat bahwa terdapat pula definisi standar bagi ukuran subruang pada subhimpunan-subhimpunan tak-terukur dari suatu ruang ukur. Definisi itu telah saya berikan dalam 113Yb; untuk teori integrasi yang memperluas hasil-hasil di atas, saya akan menunggu hingga §214. Terdapat kesulitan-kesulitan tambahan yang berarti, dan keumuman tambahan tersebut tidak sering diperlukan dalam penerapan elementer.

Saya hendak menarik perhatian Anda pada 131Fb-131Fc dan 131Xa-131Xc; semuanya merupakan langkah awal untuk memahami ‘integral tak tentu’, yaitu fungsional-fungsional \(E\mapsto\int_Ef:\Sigma\to\Bbb R\) ketika \(f\) suatu fungsi terintegralkan. Saya akan kembali membahasnya dalam Bab 22 dan 23.