Ukuran Lebesgue pada ℝ — Fondasi Teori Ukuran

Sesudah gagasan-gagasan yang sangat abstrak dalam §§111-113, kita sangat memerlukan sebuah contoh ruang ukur yang taktrivial. Contoh yang jauh lebih penting daripada contoh-contoh lain adalah garis real dengan ukuran Lebesgue, dan sekarang saya akan menguraikan ukuran ini (114A-114E), beserta beberapa sifat dasarnya.

Gagasan-gagasan utama dalam bagian ini diulangi dalam §115, dan jika Anda pernah menjumpai ukuran Lebesgue sebelumnya, atau merasa yakin dapat menangani ruang berdimensi dua dan tiga sekaligus melakukan analisis yang cukup sulit, Anda dapat langsung menuju bagian tersebut dan kembali ke bagian ini hanya ketika diberikan rujukan khusus.

114A Definisi (a)

Untuk keperluan bagian ini, sebuah interval setengah terbuka dalam \(\Bbb R\) adalah himpunan berbentuk \(\coint{a,b}=\{x:a\le x<b\}\), dengan \(a\), \(b\in\Bbb R\).

Perhatikan bahwa saya mengizinkan \(b\le a\) dalam rumus ini; dalam hal ini \(\coint{a,b}=\emptyset\) (lihat 1A1A).

114Ab (b)

Jika \(I\subseteq \Bbb R\) adalah interval setengah terbuka, maka \(I=\emptyset\) atau \(I=\coint{\inf I,\sup I}\), sehingga titik-titik ujungnya terdefinisi dengan baik. Kita karena itu dapat mendefinisikan panjang \(\lambda I\) dari interval setengah terbuka \(I\) dengan menetapkan

\(\lambda\emptyset = 0\), \(\lambda\coint{a,b}=b-a\) jika \(a<b\).

114B Lema

Jika \(I\subseteq\Bbb R\) adalah interval setengah terbuka dan \(\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N}\) adalah barisan interval setengah terbuka yang menutupi \(I\), maka \(\lambda I\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j\).

Bukti

(a) Jika \(I=\emptyset\), tentu saja \(\lambda I=0\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j\). Jika tidak, ambil \(I=\coint{a,b}\), dengan \(a<b\). Untuk setiap \(x\in \Bbb R\), misalkan \(H_x\) adalah setengah garis \(\ooint{-\infty,x}\), dan tinjau himpunan

\(A=\{x:a\le x\le b,\, x-a\le\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda(I_j\cap H_x)\}\).

(Perhatikan bahwa jika \(I_j=\coint{c_j,d_j}\), maka \(I_j\cap H_x=\coint{c_j,\min(d_j,x)}\), sehingga \(\lambda(I_j\cap H_x)\) selalu terdefinisi.) Kita mempunyai \(a\in A\) (karena \(a-a=0\le\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda(I_j\cap H_a)\)) dan tentu saja \(A\subseteq[a,b]\), sehingga \(c=\sup A\) terdefinisi dan termasuk dalam \([a,b]\).

(b) Sekarang kita dapati bahwa \(c\in A\).

\[\begin{aligned}\Prf\ c-a&=\sup_{x\in A}x-a\\ &\le\sup_{x\in A}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_x) \le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_c). \quad\square\\\end{aligned}\]

(c) ? Andaikan, jika mungkin, bahwa \(c<b\). Maka \(c\in \coint{a,b}\), sehingga terdapat suatu \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(c\in I_k\). Nyatakan \(I_k\) sebagai \(\coint{c_k,d_k}\); maka \(x=\min(d_k,b)>c\). Untuk setiap \(j\), \(\lambda(I_j\cap H_x)\ge\lambda(I_j\cap H_c)\), sedangkan

\(\lambda(I_k\cap H_x)=\lambda(I_k\cap H_c)+x-c\).

Jadi

\[\begin{aligned}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_x) &\ge\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_c)+x-c\\ &\ge c-a+x-c =x-a,\\\end{aligned}\]

sehingga \(x\in A\); tetapi \(x>c\) dan \(c=\sup A\). X

(d) Kita menyimpulkan bahwa \(c=b\), sehingga \(b\in A\) dan

\(b-a\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_b)\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j\),

sebagaimana diklaim.

114C Definisi

Sekarang, dan untuk seluruh sisa bagian ini, definisikan \(\theta:\Cal P\Bbb R\to[0,\infty]\) dengan menetapkan

\[\begin{aligned}\theta A=\inf\{\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_j:\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N} \text{ adalah barisan }&\text{interval setengah terbuka}\\ &\text{sedemikian sehingga } A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\}.\\\end{aligned}\]

Perhatikan bahwa setiap \(A\) dapat ditutupi oleh suatu barisan interval setengah terbuka — misalnya, \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\coint{-n,n}\); sehingga jika kita menafsirkan jumlah-jumlahnya dalam \([0,\infty]\), seperti dalam 112Bc di atas, kita selalu mempunyai himpunan tak kosong yang infimumnya dapat diambil, dan \(\theta A\) selalu terdefinisi dalam \([0,\infty]\). Fungsi ini \(\theta\) disebut ukuran luar Lebesgue pada \(\Bbb R\); frasa ini dibenarkan oleh (a) dari proposisi berikutnya.

114D Proposisi

(a) \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(\Bbb R\).

(b) \(\theta I=\lambda I\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\subseteq\Bbb R\).

Bukti

(a)(i) \(\theta\) mengambil nilai dalam \([0,\infty]\) karena setiap \(\theta A\) merupakan infimum suatu subhimpunan tak kosong dari \([0,\infty]\).

(ii) \(\theta\emptyset=0\) karena (misalnya) jika kita menetapkan \(I_j=\emptyset\) untuk setiap \(j\), maka setiap \(I_j\) adalah interval setengah terbuka (menurut kesepakatan yang saya gunakan) dan \(\emptyset\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\), \(\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_j=0\).

(iii) Jika \(A\subseteq B\), maka setiap kali \(B\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\) kita mempunyai \(A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\), sehingga \(\theta A\) adalah infimum suatu himpunan yang sekurang-kurangnya sama besar dengan himpunan yang terlibat dalam definisi \(\theta B\), dan \(\theta A\le\theta B\).

(iv) Sekarang andaikan bahwa \(\langle A_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan subhimpunan \(\Bbb R\), dengan gabungan \(A\). Untuk setiap \(\epsilon>0\), kita dapat memilih, bagi setiap \(n\in\Bbb N\), suatu barisan \(\langle I_{nj}\rangle_{j\in\Bbb N}\) yang terdiri atas interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(A_n\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_{nj}\) dan \(\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_{nj}\le\theta A_n+2^{-n}\epsilon\). (Anda mungkin perlu memeriksa bahwa perumusan ini sah, baik ketika \(\theta A_n\) berhingga maupun tak hingga.) Menurut 111F(b-ii), terdapat bijeksi dari \(\Bbb N\) ke \(\Bbb N\times\Bbb N\); nyatakan bijeksi ini dalam bentuk \(m\mapsto(k_m,l_m)\). Maka \(\sequence{m}{I_{k_m,l_m}}\) adalah barisan interval setengah terbuka, dan

\(A\subseteq\bigcup_{m\in\Bbb N}I_{k_m,l_m}\).

Bukti. Jika \(x\in A=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\), harus ada \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(x\in A_n\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_{nj}\), sehingga terdapat \(j\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(x\in I_{nj}\). Karena \(m\mapsto(k_m,l_m)\) surjektif, terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(k_m=n\) dan \(l_m=j\); dalam hal ini \(x\in I_{k_m,l_m}\). ∎

Selanjutnya,

\(\sum_{m=0}\sp{\infty}\lambda I_{k_m,l_m} \le\sum_{n=0}\sp{\infty}\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_{nj}\).

Bukti. Jika \(M\in\Bbb N\), maka \(N=\max(k_0,k_1,\ldots,k_M,l_0,l_1,\ldots,l_M)\) berhingga; karena setiap \(\lambda I_{nj}\) lebih besar daripada atau sama dengan \(0\), dan setiap pasangan \((n,j)\) dapat muncul paling banyak sekali sebagai suatu \((k_m,l_m)\),

\(\sum_{m=0}^M\lambda I_{k_m,l_m} \le\sum_{n=0}^N\sum_{j=0}^N\lambda I_{nj} \le\sum_{n=0}^N\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj} \le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\).

Jadi

\(\sum_{m=0}^{\infty}\lambda I_{k_m,l_m} =\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M\lambda I_{k_m,l_m} \le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\). ∎

Dengan demikian

\[\begin{aligned}\theta A &\le\sum_{m=0}\sp{\infty}\lambda I_{k_m,l_m}\\ &\le\sum_{n=0}\sp{\infty}\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_{nj}\\ &\le\sum_{n=0}\sp{\infty}(\theta A_n+2^{-n}\epsilon)\\ &=\sum_{n=0}\sp{\infty}\theta A_n+\sum_{n=0}\sp{\infty}2^{-n}\epsilon\\ &=\sum_{n=0}\sp{\infty}\theta A_n+2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta A\le\sum_{n=0}\sp{\infty}\theta A_n\) (sekali lagi, Anda sebaiknya memeriksa bahwa ini sah, baik \(\sum_{n=0}\sp{\infty}\theta A_n\) berhingga maupun tidak). Karena \(\langle A_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sebarang, \(\theta\) adalah ukuran luar.

(b) Karena kita selalu dapat mengambil \(I_0=I\) dan \(I_j=\emptyset\) untuk \(j\ge 1\), untuk memperoleh barisan interval setengah terbuka yang menutupi \(I\) dengan \(\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_j=\lambda I\), kita tentu mempunyai \(\theta I\le\lambda I\). Untuk ketaksamaan sebaliknya, gunakan 114B: jika \(I\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\), maka \(\lambda I\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j\); karena \(\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N}\) sebarang, \(\theta I\ge\lambda I\) dan \(\theta I=\lambda I\), sebagaimana diperlukan.

Catatan Terdapat suatu peralihan yang kurang luwes dalam argumen (a-iv) di atas, pada tahap

‘\(\theta A\le\sum_{m=0}^{\infty}\lambda I_{k_m,l_m}\le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\)’.

Saya kira Anda akan memercayai saya seandainya saya menghilangkan \(k_m\), \(l_m\) sama sekali dan sekadar menulis ‘karena \(A\subseteq\bigcup_{n,j\in\Bbb N}I_{nj}\), maka \(\theta A\le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\)’. Saya harap Anda tidak terlalu berkecil hati jika saya mengatakan bahwa lompatan semacam itu tidak sepenuhnya aman. Alasan saya menyisipkan nama untuk suatu bijeksi antara \(\Bbb N\) dan \(\Bbb N\times\Bbb N\), serta mengambil beberapa baris untuk menyatakan secara eksplisit bahwa \(\sum_{m=0}^{\infty}\lambda I_{k_m,l_m}\le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\), adalah sebagai berikut. Pertama-tama, ada persoalan formal bahwa definisi 114C menuntut suatu barisan tunggal, bukan barisan ganda. Benarkah jelas bahwa hal itu tidak berpengaruh di sini? Jika demikian, mengapa? Tidak mungkin ada cara untuk membenarkan peralihan itu tanpa bergantung pada fakta bahwa \(\Bbb N\times\Bbb N\) terhitung dan setiap \(\lambda I_{nj}\) nonnegatif. Jika salah satu fakta tersebut tidak benar, metode ini akan sangat berisiko gagal.

Pada suatu saat kita tentu perlu membahas jumlah atas himpunan indeks tak hingga selain \(\Bbb N\), termasuk himpunan indeks tak terhitung. Saya telah menyinggungnya dalam 112Bd, dan akan kembali membahasnya dalam 226A di Jilid 2. Untuk saat ini, saya merasa kita sudah mempunyai cukup banyak gagasan baru untuk ditangani, dan yang kita perlukan di sini adalah siasat yang cukup jujur untuk menangani persoalan yang langsung berada di hadapan kita.

Anda mungkin telah memperhatikan, atau menduga, bahwa beberapa ketaksamaan ‘\(\le\)’ di sini sebenarnya harus merupakan kesamaan; jika demikian, periksa dugaan Anda dalam 114Ya.

114E Definisi

Karena ukuran luar Lebesgue (114C) adalah memang ukuran luar (114Da), kita dapat menggunakannya untuk mengonstruksi suatu ukuran \(\mu\), dengan metode Carathéodory (113C). Ukuran ini adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Himpunan-himpunan \(E\) yang diukur oleh \(\mu\) (yakni, yang memenuhi \(\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)=\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\)) disebut terukur Lebesgue.

Himpunan-himpunan yang terabaikan untuk \(\mu\) disebut terabaikan Lebesgue; perhatikan bahwa himpunan-himpunan ini tepatlah himpunan \(A\) yang memenuhi \(\theta A=0\), dan semuanya terukur Lebesgue (113Xa).

114F Lema

Misalkan \(x\in\Bbb R\). Maka \(H_x=\ooint{-\infty,x}\) terukur Lebesgue untuk setiap \(x\in\Bbb R\).

Bukti

(a) Intinya adalah bahwa \(\lambda I=\lambda(I\cap H_x)+\lambda(I\setminus H_x)\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\subseteq\Bbb R\). Bukti. Jika \(I\subseteq H_x\) atau \(I\cap H_x=\emptyset\), hal ini langsung jelas. Jika tidak, \(I\) harus berbentuk \(\coint{a,b}\), dengan \(a<x<b\). Sekarang \(I\cap H_x=\coint{a,x}\) dan \(I\setminus H_x=\coint{x,b}\) keduanya merupakan interval setengah terbuka, dan

\(\lambda(I\cap H_x)+\lambda(I\setminus H_x)=(x-a)+(b-x) =b-a=\lambda I\). ∎

(b) Sekarang andaikan bahwa \(A\) adalah sembarang subhimpunan \(\Bbb R\), dan \(\epsilon>0\). Maka kita dapat menemukan barisan \(\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N}\) yang terdiri atas interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\) dan \(\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j\le\theta A+\epsilon\). Sekarang \(\langle I_j\cap H_x\rangle_{j\in\Bbb N}\) dan \(\langle I_j\setminus H_x\rangle_{j\in\Bbb N}\) adalah barisan interval setengah terbuka, serta \(A\cap H_x\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}(I_j\cap H_x)\), \(A\setminus H_x\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}(I_j\setminus H_x)\). Jadi

\[\begin{aligned}\theta(A\cap H_x)+\theta(A\setminus H_x) &\le\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\cap H_x)+\sum_{j=0}^{\infty}\lambda(I_j\setminus H_x) \\ &=\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_j \le\theta A+\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta(A\cap H_x)+\theta(A\setminus H_x)\le\theta A\); karena \(A\) sebarang, \(H_x\) terukur, sebagaimana dicatat dalam 113D.

114G Proposisi

Semua subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) terukur Lebesgue; khususnya, semua himpunan terbuka dan semua himpunan dari kelas-kelas berikut, beserta gabungan terhitung dari himpunan-himpunan tersebut:

(i) interval terbuka \(\left]a,b\right[\), \(\left]-\infty,b\right[\), \(\left]a,\infty\right[\), \(\left]-\infty,\infty\right[\), dengan \(a<b\in\Bbb R\);

(ii) interval tertutup \([a,b]\), dengan \(a\le b\in\Bbb R\);

(iii) interval setengah terbuka \(\left[a,b\right[\), \(\left]a,b\right]\), \(\left]-\infty,b\right]\), \(\left[a,\infty\right[\), dengan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\).

Kita juga mempunyai rumus berikut untuk ukuran himpunan-himpunan tersebut, dengan \(\mu\) menyatakan ukuran Lebesgue:

\(\mu\left]a,b\right[=\mu[a,b] =\mu\left[a,b\right[=\mu\left]a,b\right]=b-a\)

setiap kali \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\), sedangkan semua interval tak berbatas mempunyai ukuran tak hingga. Akibatnya, setiap subhimpunan terhitung dari \(\Bbb R\) terukur dan berukuran nol.

Bukti

(a) Pertama-tama saya tunjukkan bahwa semua subhimpunan terbuka dari \(\Bbb R\) terukur. Bukti. Misalkan \(G\subseteq\Bbb R\) terbuka. Misalkan \(K\subseteq\Bbb Q\times\Bbb Q\) adalah himpunan pasangan \((q,q')\) bilangan rasional sedemikian sehingga \(\coint{q,q'}\subseteq G\). Sekarang, menurut catatan dalam 111E-111F — khususnya, 111Eb, yang menunjukkan bahwa \(\Bbb Q\) terhitung, 111F(b-iii), yang menunjukkan bahwa produk himpunan-himpunan terhitung adalah terhitung, dan 111F(b-i), yang menunjukkan bahwa subhimpunan dari himpunan terhitung adalah terhitung — kita melihat bahwa \(K\) terhitung. Selain itu, setiap \(\coint{q,q'}\) terukur, karena merupakan \(H_{q'}\setminus H_q\) dalam notasi 114F. Jadi, menurut 111Fa, \(G'=\bigcup_{(q,q')\in K}\coint{q,q'}\) terukur.

Menurut definisi \(K\), \(G'\subseteq G\). Di pihak lain, jika \(x\in G\), terdapat \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga \(\ooint{x-\epsilon,x+\epsilon}\subseteq G\). Sekarang terdapat bilangan-bilangan rasional \(q\in\ocint{x-\epsilon,x}\) dan \(q'\in\ocint{x,x+\epsilon}\), sehingga \((q,q')\in K\) dan \(x\in\coint{q,q'}\subseteq G'\). Karena \(x\) sebarang, \(G=G'\) dan \(G\) terukur. ∎

(b) Sekarang keluarga \(\Sigma\) dari himpunan-himpunan terukur Lebesgue adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(\Bbb R\) yang memuat keluarga himpunan terbuka, sehingga harus memuat setiap himpunan Borel, menurut definisi himpunan Borel (111G).

(c) Di antara jenis-jenis interval yang ditinjau, semua interval terbuka memang merupakan himpunan terbuka, sehingga tentu merupakan himpunan Borel. Komplemen suatu interval tertutup dapat dinyatakan sebagai gabungan paling banyak dua interval terbuka, sehingga merupakan himpunan Borel, dan interval tertutup itu sendiri, sebagai komplemen suatu himpunan Borel, juga merupakan himpunan Borel. Interval setengah terbuka yang berbatas dapat dinyatakan sebagai irisan suatu interval terbuka dengan suatu interval tertutup, sehingga merupakan himpunan Borel; akhirnya, interval tak berbatas yang berbentuk \(\left]-\infty,b\right]\) atau \(\left[a,\infty\right[\) adalah komplemen suatu interval terbuka, sehingga juga merupakan himpunan Borel.

(d) Untuk menghitung ukurannya, dari 114Db kita sudah mengetahui bahwa

\(\mu\coint{a,b}=\theta\coint{a,b}=b-a\)

jika \(a\le b\). Untuk jenis-jenis interval berbatas lainnya, cukup diperhatikan bahwa \(\mu\{a\}=0\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\), sebab interval-interval tersebut hanya berbeda pada satu atau dua titik; dan ini benar karena \(\{a\}\subseteq\coint{a,a+\epsilon}\), sehingga \(\mu\{a\}\le\epsilon\), untuk setiap \(\epsilon>0\).

Adapun interval-interval tak berbatas, interval-interval itu memuat interval setengah terbuka yang panjangnya sebesar apa pun, sehingga harus mempunyai ukuran tak hingga.

(e) Sebagaimana baru saja dicatat, \(\mu\{a\}=0\) untuk setiap \(a\). Jika \(A\subseteq\Bbb R\) terhitung, maka himpunan tersebut kosong atau dapat dinyatakan sebagai \(\{a_n:n\in\Bbb N\}\). Dalam kasus pertama, \(\mu A=\mu\emptyset=0\); dalam kasus kedua, \(A=\bigcup_{n\in\Bbb N}\{a_n\}\) adalah himpunan Borel dan \(\mu A\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu\{a_n\}=0\).

Latihan

114X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) sembarang fungsi tak-menurun. Untuk interval setengah terbuka \(I\subseteq\Bbb R\), definisikan \(\lambda_gI\) dengan menetapkan

\(\lambda_g\emptyset=0\), \(\lambda_g\coint{a,b} =\lim_{x\uparrow b}g(x)-\lim_{x\uparrow a}g(x)\)

jika \(a<b\). Untuk setiap himpunan \(A\subseteq\Bbb R\), tetapkan

\[\begin{aligned}\theta_gA=\inf\{\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda_gI_j:\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N} \text{ adalah barisan }&\text{interval setengah terbuka}\\ &\text{sedemikian sehingga } A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\}.\\\end{aligned}\]

Tunjukkan bahwa \(\theta_g\) adalah ukuran luar pada \(\Bbb R\). Misalkan \(\mu_g\) ukuran yang didefinisikan dari \(\theta_g\) dengan metode Carathéodory; tunjukkan bahwa \(\mu_gI\) terdefinisi dan sama dengan \(\lambda_gI\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\subseteq\Bbb R\), dan bahwa setiap subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) termasuk dalam domain \(\mu_g\).

(\(\mu_g\) adalah ukuran Lebesgue-Stieltjes yang terkait dengan \(g\).)

114Xb (b)

Pada titik mana argumen 114Xa akan gagal jika kita menuliskan \(\lambda_g\coint{a,b}=g(b)-g(a)\) alih-alih menggunakan rumus yang diberikan?

114Xc (>c) penting

Tuliskan \(\theta\) untuk ukuran luar Lebesgue dan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\theta A=\inf\{\mu E:E\) terukur Lebesgue, \(A\subseteq E\}\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\). Petunjuk: Tinjau himpunan-himpunan \(E\) berbentuk \(\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\), dengan \(\sequence{j}{I_j}\) suatu barisan interval setengah terbuka.

114Xd (d)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Cal I\) suatu keluarga subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\emptyset\in\Cal I\), dan \(\lambda:\Cal I\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\lambda\emptyset=0\). Definisikan \(\theta:\Cal PX\to[0,\infty]\) dengan menetapkan

\(\theta A=\inf\{\sum_{j=0}\sp{\infty}\lambda I_j:\langle I_j\rangle_{j\in\Bbb N} \text{ adalah barisan di dalam }\Cal I\text{ sedemikian sehingga } A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j\}\),

dengan menafsirkan \(\inf\emptyset\) sebagai \(\infty\), sehingga \(\theta A=\infty\) jika \(A\) tidak ditutupi oleh barisan mana pun di dalam \(\Cal I\). Tunjukkan bahwa \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(X\).

114Xe (e)

Misalkan \(E\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan yang mempunyai ukuran berhingga menurut ukuran Lebesgue \(\mu\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat keluarga saling lepas \(I_0,\ldots,I_n\) yang terdiri atas interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(\mu(E\symmdiff\bigcup_{j\le n}I_j)\le\epsilon\). Petunjuk: misalkan \(\langle J_j\rangle_{j\in\Bbb N}\) suatu barisan interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(E\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}J_j\) dan \(\sum_{j=0}^{\infty}\mu J_j\le\mu E+\bover{1}{2}\epsilon\). Sekarang ambil \(m\) yang cukup besar dan nyatakan \(\bigcup_{j\le m}J_j\) sebagai gabungan saling lepas interval-interval setengah terbuka.

114Xf (>f) penting

Tuliskan \(\theta\) untuk ukuran luar Lebesgue dan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Andaikan \(c\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\theta(A+c)=\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\), dengan \(A+c=\{x+c:x\in A\}\). Tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq \Bbb R\) terukur, maka \(E+c\) juga terukur, dan dalam hal ini \(\mu(E+c)=\mu E\).

114Xg (g)

Tuliskan \(\theta\) untuk ukuran luar Lebesgue dan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Andaikan \(c>0\). Tunjukkan bahwa \(\theta(cA)=c\theta(A)\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\), dengan \(cA=\{cx:x\in A\}\). Tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq \Bbb R\) terukur, maka \(cE\) juga terukur, dan dalam hal ini \(\mu(cE)=c\mu E\).

114Y Latihan lanjutan (a)

Dalam (a-iv) dari bukti 114D, tunjukkan bahwa \(\sum_{m=0}^{\infty}\lambda I_{k_m,l_m}\) sebenarnya sama dengan \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\lambda I_{nj}\).

114Yb (b)

Misalkan \(g\), \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) dua fungsi tak-menurun, dengan jumlah \(g+h\); misalkan \(\mu_g\), \(\mu_h\), \(\mu_{g+h}\) ukuran-ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian (114Xa). Tunjukkan bahwa

\(\dom\mu_{g+h}=\dom\mu_g\cap\dom\mu_h\), \(\mu_{g+h}E=\mu_gE+\mu_hE\) untuk setiap \(E\in\dom\mu_{g+h}\).

114Yc (c)

Misalkan \(\sequencen{g_n}\) suatu barisan fungsi tak-menurun dari \(\Bbb R\) ke \(\Bbb R\), dan andaikan bahwa \(g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n(x)\) terdefinisi dan berhingga untuk setiap \(x\in\Bbb R\). Misalkan \(\mu_{g_n}\), \(\mu_g\) ukuran-ukuran Lebesgue-Stieltjes yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa

\(\dom\mu_g=\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom\mu_{g_n}\), \(\mu_gE=\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{g_n}E\) untuk setiap \(E\in\dom\mu_g\).

114Yd (d)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq\Bbb R\) dan \(\epsilon>0\), terdapat himpunan terbuka \(G\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\theta G\le\theta A+\epsilon\), dengan \(\theta\) ukuran luar Lebesgue. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq\Bbb R\) terukur Lebesgue dan \(\epsilon>0\), terdapat himpunan terbuka \(G\supseteq E\) sedemikian sehingga \(\mu(G\setminus E)\le\epsilon\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue. Petunjuk: tinjau terlebih dahulu kasus \(E\) berbatas. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq\Bbb R\) terukur Lebesgue, terdapat himpunan-himpunan Borel \(H_1\), \(H_2\) sedemikian sehingga \(H_1\subseteq E\subseteq H_2\) dan \(\mu(H_2\setminus E)=\mu(E\setminus H_1)=0\). Petunjuk: gunakan (ii) untuk menemukan \(H_2\), lalu tinjau komplemen \(E\).

114Ye (e)

Tuliskan \(\theta\) untuk ukuran luar Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa suatu himpunan \(E\subseteq\Bbb R\) terukur Lebesgue jika dan hanya jika \(\theta([-n,n]\cap E)+\theta([-n,n]\setminus E)=2n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Petunjuk: Gunakan 114Yd untuk menunjukkan bahwa bagi setiap \(n\) terdapat himpunan-himpunan terukur \(F_n\), \(H_n\) sedemikian sehingga \(F_n\subseteq[-n,n]\cap E\subseteq H_n\) dan \(H_n\setminus F_n\) terabaikan.

114Yf (f)

Ulangi 114Xc dan 114Yd-114Ye untuk ukuran-ukuran Lebesgue-Stieltjes dari 114Xa.

114Yg (g)

Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-\(\sigma\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), dan misalkan \(\nu:\Cal B\to[0,\infty]\) suatu ukuran. Misalkan \(g\), \(\lambda_g\), \(\theta_g\), dan \(\mu_g\) seperti dalam 114Xa. Tunjukkan bahwa jika \(\nu I=\lambda_gI\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\), maka \(\nu E=\mu_gE\) untuk setiap \(E\in\Cal B\). Petunjuk: tinjau terlebih dahulu himpunan-himpunan terbuka \(E\), kemudian gunakan 114Yd(i) sebagaimana diperluas dalam 114Yf.

114Yh (h)

Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-\(\sigma\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), dan misalkan \(\nu:\Cal B\to[0,\infty]\) suatu ukuran sedemikian sehingga \(\nu[-n,n]<\infty\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) yang tak-menurun, kontinu dari kiri, dan sedemikian sehingga \(\nu E=\mu_gE\) untuk setiap \(E\in\Cal B\), dengan \(\mu_g\) didefinisikan seperti dalam 114Xa. Apakah \(g\) unik?

114Yi (i)

Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-\(\sigma\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), dan misalkan \(\nu_1\), \(\nu_2\) ukuran-ukuran dengan domain \(\Cal B\) sedemikian sehingga \(\nu_1 I=\nu_2I<\infty\) untuk setiap interval setengah terbuka \(I\subseteq\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\nu_1E=\nu_2E\) untuk setiap \(E\in\Cal B\).

114Yj (j)

Misalkan \(\Cal E\) sembarang keluarga interval setengah terbuka dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa (i) terdapat \(\Cal C\subseteq\Cal E\) yang terhitung sedemikian sehingga \(\bigcup\Cal E=\bigcup\Cal C\) (definisi: 1A1F) (ii) bahwa \(\bigcup\Cal E\) adalah himpunan Borel, sehingga terukur Lebesgue (iii) bahwa terdapat barisan saling lepas \(\sequencen{I_n}\) yang terdiri atas interval setengah terbuka dalam \(\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\bigcup\Cal E=\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n\).

114Yk (k)

Tunjukkan bahwa untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\) (menurut ukuran Lebesgue), himpunan

\(\{(m,n):m\in\Bbb Z,\,n\in\Bbb N\setminus\{0\}, \,|x-\Bover{m}{n}|\le\Bover{1}{n^3}\}\)

berhingga. Petunjuk: taksir ukuran luar dari \(\bigcup_{n\ge n_0}\bigcup_{|m|\le kn} [\bover{m}{n}-\bover1{n^3},\bover{m}{n}+\bover1{n^3}]\) untuk \(n_0\), \(k\ge 1\). Ulangi dengan \(2+\epsilon\) menggantikan \(3\).

114Yl (l)

Tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa terdapat keluarga terhitung \(\Cal F\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan terukur Lebesgue dari \(\Bbb R\) sedemikian sehingga setiap kali \(\mu E\) terdefinisi dan berhingga, serta \(\epsilon>0\), terdapat \(F\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(\mu(E\symmdiff F)\le\epsilon\). Petunjuk: dalam 114Xe, tunjukkan bahwa kita dapat mengambil \(I_j\) yang titik-titik ujungnya rasional.

Catatan dan komentar

114-notes Catatan penutup untuk Bagian 114

Minat saya sendiri terletak pada teori ukuran ‘ abstrak’, dan dari sudut pandang struktur karya ini, tujuan utama bagian ini adalah menguraikan suatu ruang ukur taktrivial untuk menjadi titik pusat bagi teorema-teorema umum yang menyusul. Izinkan saya merinci metode-metode untuk mengonstruksi ruang ukur yang sudah tersedia bagi kita. (a) Kita mempunyai ukuran bertumpu pada titik dari 112Bd; dalam beberapa hal, ukuran-ukuran ini trivial; tetapi ukuran tersebut memang muncul dalam penerapan, dan justru karena pada umumnya mudah ditangani, sering kali tepat untuk menguji gagasan baru apa pun pada ukuran-ukuran tersebut. (b) Kita mempunyai ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\); perumuman langsung dari konstruksi ini menghasilkan ukuran-ukuran Lebesgue-Stieltjes (114Xa). (c) Selanjutnya, kita mempunyai cara-cara membangun ukuran baru dari ukuran lama, dimulai dengan ukuran subruang (113Yb), ukuran citra (112Xf), dan jumlah ukuran (112Yf). Barangkali yang terpenting di antaranya ialah ‘ukuran Lebesgue pada \([0,1]\)’, yang untuk sementara saya sebut \(\mu_1\), dengan domain \(\mu_1\) berupa \(\{E:E\subseteq[0,1]\) terukur Lebesgue\(\} =\{E\cap[0,1]:E\subseteq\Bbb R\) terukur Lebesgue\(\}\), dan \(\mu_1E\) tidak lain adalah ukuran Lebesgue dari \(E\) untuk setiap \(E\in\dom\mu_1\). Sebenarnya, ukuran-ukuran citra dari ukuran Lebesgue pada \([0,1]\) mencakup proporsi yang sangat besar dari ukuran-ukuran peluang (yakni, ukuran yang memberi ukuran \(1\) kepada seluruh ruang) yang penting dalam penerapan biasa.

Tentu saja ukuran Lebesgue bukan hanya contoh penuntun yang dominan bagi teori ukuran umum, tetapi juga merupakan ukuran individual yang paling penting bagi penerapan. Karena alasan ini, kita mungkin saja — meski menurut saya berpandangan sempit — membaca Bab 12-13 dalam jilid ini dan sebagian besar Jilid 2 seolah-olah semuanya hanya berlaku bagi ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Sesungguhnya, dalam konteks inilah sebagian besar hasil tersebut pertama kali dikembangkan. Namun, saya percaya bahwa dalam matematika sering kali pemahaman seseorang atas suatu konstruksi tertentu diperdalam dan diperkuat oleh pengenalan terhadap objek-objek terkait, dan bahwa salah satu jalan untuk menghayati hakikat ukuran Lebesgue adalah melalui kajian sifat-sifatnya dalam konteks teori ukuran umum yang lebih abstrak.

Untuk setiap penyelidikan yang layak mengenai penerapan teori ukuran Lebesgue, kita harus menunggu hingga Jilid 2. Namun, saya menyertakan 114Yk sebagai petunjuk mengenai salah satu cara teori ini dapat digunakan.