Kebebasan — Fondasi Teori Ukuran

Saya memperkenalkan konsep ’kebebasan’ bagi keluarga kejadian, aljabar-sigma, dan variabel acak. Bagian pertama seksi ini, sampai 272G, merupakan analisis hubungan-hubungan elementer di antara ketiga perwujudan gagasan tersebut. Dalam 272G saya memberikan hasil mendasar bahwa distribusi bersama suatu keluarga (berhingga) variabel acak yang bebas tidak lain adalah produk distribusi masing-masing variabel. Ungkapan lebih lanjut tentang hubungan antara kebebasan dan ukuran produk terdapat dalam 272J, 272M, dan 272N. Saya memberikan suatu versi hukum nol-satu (272O), dan mengakhiri seksi ini dengan sekumpulan hasil dasar dari teori probabilitas mengenai jumlah dan hasil kali variabel-variabel acak yang bebas (272R-272W).

272A Definisi

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas.

272Aa (a)

Suatu keluarga \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) dalam \(\Sigma\) disebut bebas (secara stokastik) jika

\(\mu(E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap\ldots\cap E_{i_n}) =\prod_{j=1}^n\mu E_{i_j}\)

setiap kali \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\).

272Ab (b)

Suatu keluarga \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) dari subaljabar-sigma \(\Sigma\) disebut bebas (secara stokastik) jika

\(\mu(E_{1}\cap E_{2}\cap\ldots\cap E_{n}) =\prod_{j=1}^n\mu E_{j}\)

setiap kali \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(E_j\in\Sigma_{i_j}\) untuk setiap \(j\le n\).

272Ac (c)

Suatu keluarga \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) dari variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) disebut bebas (secara stokastik) jika

\(\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j\text{ untuk setiap }j\le n) =\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\le \alpha_j)\)

setiap kali \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\).

272B Catatan (a)

Barangkali inilah sumbangan utama teori probabilitas kepada teori ukuran, dan karena itu patut dicermati dengan sangat saksama. Gagasan ’kebebasan’ berasal sepenuhnya dari luar matematika, yakni dari gagasan tentang kejadian-kejadian yang mempunyai sebab-sebab bebas. Saya kira 272G dan 272M merupakan hasil-hasil di bawah ini yang paling jelas memperlihatkan aspek teori-ukur dari konsep tersebut. Bukan suatu kebetulan bahwa keduanya melibatkan ukuran produk; salah satu keajaiban teori ukuran ialah bahwa perangkat teknis yang sama digunakan untuk membangun teori probabilitas tentang kebebasan stokastik dan geometri volume multidimensi.

272Bb (b)

Dalam paragraf-paragraf berikut saya akan mencoba menguraikan beberapa hubungan antara ketiga pengertian kebebasan yang baru saja didefinisikan. Namun patut segera diperhatikan bahwa, dalam ketiga kasus, suatu keluarga bebas jika dan hanya jika semua subkeluarga berhingganya bebas. Akibatnya, setiap subkeluarga dari suatu keluarga bebas adalah bebas. Fakta elementer lain yang langsung mengikuti definisi ialah bahwa jika \(\langle \Sigma_i\rangle_{i\in I}\) merupakan keluarga bebas dari aljabar-sigma, dan \(\Sigma'_i\) merupakan subaljabar-sigma dari \(\Sigma_i\) untuk setiap \(i\), maka \(\langle\Sigma'_i\rangle_{i\in I}\) merupakan keluarga bebas.

272Bc (c)

Suatu perumusan ulang 272Ab yang berguna adalah sebagai berikut: Suatu keluarga \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) dari subaljabar-sigma \(\Sigma\) bebas jika dan hanya jika

\(\mu(\bigcap_{i\in I}E_i)=\prod_{i\in I}\mu E_i\)

setiap kali \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\) dan \(\{i:E_i\ne\Omega\}\) berhingga. (Di sini saya mengikuti konvensi 254F, yakni bahwa untuk suatu keluarga \(\langle\alpha_i\rangle_{i\in I}\) dalam \([0,1]\) kita mengambil \(\prod_{i\in I}\alpha_i=1\) jika \(I=\emptyset\), dan jika tidak, nilainya adalah \(\inf_{J\subseteq I,J\text{ berhingga}}\prod_{i\in J}\alpha_i\).)

272Bd (d)

Dalam 272Aa-b saya berbicara tentang himpunan \(E_i\in\Sigma\) dan aljabar \(\Sigma_i\subseteq\Sigma\). Sebenarnya (272Ac sudah memberi petunjuk mengenai hal ini), lebih sering daripada tidak kita akan berurusan dengan \(\hat\Sigma\), bukan \(\Sigma\), jika keduanya berbeda, dengan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapan dari \((\Omega,\Sigma,\mu)\).

272C Subaljabar-sigma yang didefinisikan oleh suatu variabel acak

Untuk menghubungkan 272Ab dengan 272Ac kita memerlukan pengertian berikut. Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(X\) suatu variabel acak bernilai real yang didefinisikan pada \(\Omega\). Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-sigma himpunan-himpunan Borel dalam \(\Bbb R\), dan \(\Sigma_X\) untuk

\(\{X^{-1}[F]:F\in\Cal B\} \cup\{(\Omega\setminus\dom X)\cup X^{-1}[F]:F\in\Cal B\}\).

Maka \(\Sigma_X\) merupakan aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(\Omega\). Bukti. \(\emptyset=X^{-1}[\emptyset]\in\Sigma_X\); jika \(F\in\Cal B\), maka \(\Omega\setminus X^{-1}[F] =(\Omega\setminus\dom X)\cup X^{-1}[\Bbb R\setminus F]\in\Sigma_X\), \(\Omega\setminus((\Omega\setminus\dom X)\cup X^{-1}[F]) =X^{-1}[\Bbb R\setminus F]\in\Sigma_X\); jika \(\sequence{k}{F_k}\) suatu barisan sebarang dalam \(\Cal B\), maka \(\bigcup_{k\in\Bbb N}X^{-1}[F_k]=X^{-1}[\bigcup_{k\in\Bbb N}F_k]\), sehingga \(\bigcup_{k\in\Bbb N}X^{-1}[F_k]\), \((\Omega\setminus\dom X)\cup\bigcup_{k\in\Bbb N}X^{-1}[F_k]\) termasuk dalam \(\Sigma_X\). ∎

Jelas bahwa \(\Sigma_X\) merupakan aljabar-sigma terkecil dari subhimpunan-subhimpunan \(\Omega\), yang memuat \(\dom X\), dan yang terhadapnya \(X\) terukur. Selain itu, \(\Sigma_X\) merupakan subaljabar dari \(\hat\Sigma\), dengan \(\hat\Sigma\) domain pelengkapan \(\mu\) (271Aa).

Sekarang kita memperoleh hasil berikut.

272D Proposisi

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga variabel acak bernilai real pada \(\Omega\). Untuk setiap \(i\in I\), misalkan \(\Sigma_i\) aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_i\), seperti dalam 272C. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) bebas;

(ii) setiap kali \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(F_1,\ldots,F_n\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), maka

\(\Pr(X_{i_j}\in F_j\text{ untuk setiap }j\le n) =\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\in F_j)\);

(iii) setiap kali \(\langle F_i\rangle_{i\in I}\) merupakan keluarga subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\), dan \(\{i:F_i\ne\Bbb R\}\) berhingga, maka

\(\hat\mu\bigl( \bigcap_{i\in I}(X_i^{-1}[F_i]\cup(\Omega\setminus\dom X_i))\bigr) =\prod_{i\in I}\Pr(X_i\in F_i)\),

dengan \(\hat\mu\) pelengkapan \(\mu\);

(iv) \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) bebas terhadap \(\hat\mu\).

Bukti

(a)(i)\(\Rightarrow\)(ii) Tuliskan \(\pmb{X}=(X_{i_1},\ldots,X_{i_n})\). Tuliskan \(\nu_{\pmb{X}}\) untuk distribusi bersama \(\pmb{X}\), dan untuk setiap \(j\le n\) tuliskan \(\nu_j\) untuk distribusi \(X_{i_j}\); misalkan \(\nu\) produk \(\nu_1,\ldots,\nu_n\) sebagaimana diuraikan dalam 254A-254C. (Saya menulis §254 untuk produk tak berhingga. Jika Anda hanya berminat pada produk berhingga ruang probabilitas, yang memadai untuk keperluan kita dalam paragraf ini, saya menyarankan membaca §§251-252 dengan ketentuan dalam pikiran bahwa semua ukuran adalah probabilitas, kemudian §254 dengan ketentuan bahwa himpunan \(I\) berhingga.) Berdasarkan 256K, \(\nu\) merupakan ukuran Radon pada \(\BbbR^n\). (Ini merupakan induksi pada \(n\), dengan mengandalkan 254N untuk memastikan bahwa kita dapat memandang \(\nu\) sebagai produk berulang \((\ldots((\nu_1\times\nu_2)\times\nu_3)\times\ldots\nu_{n-1}) \times\nu_n\).) Maka untuk sebarang \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\BbbR^n\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\nu\ocint{-\infty,a} &=\nu\bigl(\prod_{j=1}^n\ocint{-\infty,\alpha_j}\bigr) =\prod_{j=1}^n\nu_{j}\ocint{-\infty,\alpha_j}\\ &\text{(menggunakan 254Fb)}\\ &=\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j) =\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j\text{ untuk setiap }j\le n)\\ &\text{(menggunakan syarat (i))}\\ &=\nu_{\pmb{X}}\ocint{-\infty,a}.\\\end{aligned}\]

Berdasarkan pernyataan ketunggalan dalam 271Ba, \(\nu=\nu_{\pmb{X}}\). Khususnya, jika \(F_1,\ldots,F_n\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\),

\[\begin{aligned}\Pr(X_{i_j}\in F_j\text{ untuk setiap }j\le n) &=\Pr(\pmb{X}\in\prod_{j\le n}F_j) =\nu_{\pmb{X}}(\prod_{j\le n}F_j)\\ &=\nu(\prod_{j\le n}F_j) =\prod_{j=1}^n\nu_{{j}}F_j =\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\in F_j),\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

(b)(ii)\(\Rightarrow\)(i) langsung, jika kita mengingat bahwa semua himpunan \(\ocint{-\infty,\alpha}\) merupakan himpunan Borel, sehingga definisi kebebasan yang diberikan dalam 272Ac hanyalah kasus khusus dari (ii).

(c)(ii)\(\Rightarrow\)(iv) Andaikan (ii), dan misalkan \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(E_j\in\Sigma_{{i_j}}\) untuk setiap \(j\le n\). Untuk setiap \(j\), tetapkan \(E'_j=E_j\cap\dom X_{i_j}\), sehingga \(E'_j\) dapat dinyatakan sebagai \(X_{i_j}^{-1}[F_j]\) untuk suatu himpunan Borel \(F_j\subseteq\Bbb R\). Maka \(\hat\mu(E_j\setminus E'_j)=0\) untuk setiap \(j\), sehingga

\[\begin{aligned}\hat\mu(\bigcap_{1\le j\le n}E_j) &=\hat\mu(\bigcap_{1\le j\le n}E'_j) =\Pr(X_{i_1}\in F_1,\ldots,X_{i_n}\in F_n)\\ &=\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\in F_j)\\ &\text{(menggunakan (ii))}\\ &=\prod_{j=1}^n\hat\mu E_j.\\\end{aligned}\]

Karena \(E_1,\ldots,E_n\) sebarang, \(\langle\Sigma_{i}\rangle_{i\in I}\) bebas.

(d)(iv)\(\Rightarrow\)(ii) Sekarang andaikan \(\langle\Sigma_{i}\rangle_{i\in I}\) bebas. Jika \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(F_1,\ldots,F_n\) merupakan himpunan Borel dalam \(\Bbb R\), maka \(X_{i_j}^{-1}[F_j]\in\Sigma_{i_j}\) untuk setiap \(j\), sehingga

\[\begin{aligned}\Pr(X_{i_1}\in F_1,\ldots,X_{i_n}\in F_n) &=\hat\mu(\bigcap_{1\le j\le n}X_{i_j}^{-1}[F_j])\\ &=\prod_{j=1}^n\hat\mu X_{i_j}^{-1}[F_j] =\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\in F_j)\\.\end{aligned}\]

(e) Akhirnya, perhatikan bahwa (iii) hanyalah perumusan ulang dari (ii), karena jika \(F_i=\Bbb R\), maka \(\Pr(X_i\in F_i)=1\) dan \(X_i^{-1}[F_i]\cup(\Omega\setminus\dom X_i)=\Omega\).

272E Akibat

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga bebas dari variabel acak bernilai real, dan \(\langle h_i\rangle_{i\in I}\) sebarang keluarga fungsi terukur Borel dari \(\Bbb R\) ke \(\Bbb R\). Maka \(\langle h_i(X_i)\rangle_{i\in I}\) bebas.

272F

Dengan cara serupa, kita dapat menghubungkan definisi dalam 272Aa dengan definisi-definisi lainnya.

Proposisi Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga dalam \(\Sigma\). Tetapkan \(\Sigma_i=\{\emptyset,E_i,\Omega\setminus E_i,\Omega\}\), yaitu aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(\Omega\) yang dibangkitkan oleh \(E_i\), dan \(X_i=\chi E_i\), yaitu fungsi indikator dari \(E_i\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) bebas;

(ii) \(\langle \Sigma_i\rangle_{i\in I}\) bebas;

(iii) \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) bebas.

Bukti

(i)\(\Rightarrow\)(iii) Jika \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\), maka untuk setiap \(j\le n\) himpunan \(G_j=\{\omega:X_{i_j}(\omega)\le\alpha_j\}\) sama dengan salah satu dari \(E_{i_j}\), \(\emptyset\), atau \(\Omega\). Jika suatu \(G_j\) kosong, maka

\(\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j\text{ untuk setiap }j\le n\}=0=\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j)\).

Jika tidak, tetapkan \(K=\{j:G_j=E_{i_j}\}\); maka

\[\begin{aligned}\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j\text{ untuk setiap }j\le n\} &=\mu(\bigcap_{j\le n}G_j) =\mu(\bigcap_{j\in K}E_{i_j})\\ &=\prod_{j\in K}\mu E_{i_j} =\prod_{j=1}^n\Pr(X_{i_j}\le\alpha_j).\\\end{aligned}\]

Karena \(i_1,\ldots,i_n\) dan \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) sebarang, \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) bebas.

(iii)\(\Rightarrow\)(ii) mengikuti dari (i)\(\Rightarrow\)(iii) dalam 272D, karena \(\Sigma_i\) merupakan aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_i\).

(ii)\(\Rightarrow\)(i) langsung, karena \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\).

Catatan Saya berharap Anda akan merasa bahwa meskipun teori ukuran produk mungkin sesuai untuk 272D, tentu teori tersebut merupakan perangkat yang terlalu berat untuk digunakan pada sesuatu yang seharusnya merupakan masalah kombinatorial sederhana seperti (iii)\(\Rightarrow\)(ii) dalam proposisi ini. Saya menyarankan agar Anda menyusun bukti ’elementer’, dan memeriksa gagasan-gagasan mana dari teori ukuran produk (serta Teorema Kelas Monoton, 136B) yang sebenarnya diperlukan di sini.

272G Distribusi variabel acak bebas

Saya belum mencoba menguraikan ’distribusi bersama’ suatu keluarga tak berhingga dari variabel acak. (Petunjuk tentang cara menangani keluarga terhitung diberikan dalam 271Ya dan 272Yb. Untuk keluarga tak terhitung saya akan menunggu sampai §454 dalam Jilid 4.) Namun, karena kebebasan suatu keluarga variabel acak ditentukan oleh perilaku subkeluarga-subkeluarga berhingga, kita dapat mendekatinya melalui proposisi berikut.

Teorema Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga berhingga variabel acak bernilai real pada suatu ruang probabilitas. Misalkan \(\nu_{\pmb{X}}\) distribusi yang bersesuaian pada \(\BbbR^n\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(X_1,\ldots,X_n\) bebas;

(ii) \(\nu_{\pmb{X}}\) dapat dinyatakan sebagai produk dari \(n\) ukuran probabilitas \(\nu_1,\ldots,\nu_n\), satu untuk setiap faktor \(\Bbb R\) dari \(\Bbb R^n\);

(iii) \(\nu_{\pmb{X}}\) merupakan ukuran produk dari \(\nu_{X_1},\ldots,\nu_{X_n}\), dengan \(\nu_{X_i}\) menyatakan distribusi variabel acak \(X_i\).

Bukti

(a)(i)\(\Rightarrow\)(iii) Dalam bukti (i)\(\Rightarrow\)(ii) dari 272D di atas saya menunjukkan bahwa \(\nu_{\pmb{X}}\) merupakan produk \(\nu\) dari \(\nu_{X_1},\ldots,\nu_{X_n}\).

(b)(iii)\(\Rightarrow\)(ii) langsung.

(c)(ii)\(\Rightarrow\)(i) Andaikan \(\nu_{\pmb{X}}\) dapat dinyatakan sebagai produk \(\nu_1\times\ldots\times\nu_n\). Ambil \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) dalam \(\BbbR^n\). Maka

\(\Pr(X_i\le\alpha_i\Forall i\le n) =\Pr(\pmb{X}\in\ocint{-\infty,a}) =\nu_{\pmb{X}}(\ocint{-\infty,a}) =\prod_{i=1}^n\nu_i\ocint{-\infty,\alpha_i}\).

Di sisi lain, dengan menetapkan \(F_i=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n):\xi_i\le\alpha_i\}\), kita harus mempunyai

\(\nu_i\ocint{-\infty,\alpha_i} =\nu_{\pmb{X}}F_i=\Pr(\pmb{X}\in F_i) =\Pr(X_i\le\alpha_i)\)

untuk setiap \(i\). Jadi kita memperoleh

\(\Pr(X_i\le\alpha_i\text{ untuk setiap }i\le n) =\prod_{i=1}^n\Pr(X_i\le\alpha_i)\),

sebagaimana diperlukan.

272H Akibat

Andaikan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga bebas variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan untuk setiap \(i\in I\) diberikan suatu variabel acak bernilai real lain \(Y_i\) pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(Y_i\eae X_i\). Maka \(\langle Y_i\rangle_{i\in I}\) bebas.

Catatan Akibatnya kita dapat berbicara tentang keluarga bebas dalam ruang \(L^0(\mu)\) dari kelas-kelas ekuivalensi variabel acak (241C), dengan mengatakan bahwa \(\langle X^{\ssbullet}_i\rangle_{i\in I}\) bebas jika dan hanya jika \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) bebas.

272I Akibat

Andaikan \(X_1,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas dengan fungsi-fungsi kepadatan \(f_1,\ldots,f_n\) (271H). Maka \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) mempunyai fungsi kepadatan \(f\) yang diberikan dengan menetapkan \(f(x)=\prod_{i=1}^nf_i(\xi_i)\) setiap kali \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\prod_{i\le n}\dom(f_i)\subseteq\BbbR^n\).

272J

Teorema-teorema terpenting dalam pokok bahasan ini mengacu kepada keluarga bebas variabel acak, bukan keluarga bebas aljabar-sigma. Nilai konsep aljabar-sigma bebas terletak pada hasil-hasil seperti yang berikut.

Proposisi Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas lengkap, dan \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga subaljabar-sigma dari \(\Sigma\). Untuk setiap \(i\in I\) misalkan \(\mu_i\) pembatasan \(\mu\) pada \(\Sigma_i\), dan misalkan \((\Omega^I,\Lambda,\lambda)\) ruang probabilitas produk dari keluarga \(\langle(\Omega,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\). Definisikan \(\phi:\Omega\to\Omega^I\) dengan menetapkan \(\phi(\omega)(i)=\omega\) setiap kali \(\omega\in\Omega\) dan \(i\in I\). Maka \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta jika dan hanya jika \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) bebas.

272K Proposisi

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga bebas dari subaljabar-sigma \(\Sigma\). Misalkan \(\langle J(s)\rangle_{s\in S}\) suatu keluarga saling lepas dari subhimpunan-subhimpunan \(I\), dan untuk setiap \(s\in S\) misalkan \(\tilde\Sigma_s\) aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(\Omega\) yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{i\in J(s)}\Sigma_i\). Maka \(\langle\tilde\Sigma_s\rangle_{s\in S}\) bebas.

Bukti

Misalkan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapan dari \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Pada \(\Omega^I\) misalkan \(\lambda\) produk dari ukuran-ukuran \(\mu\restr\Sigma_i\), dan misalkan \(\phi:\Omega\to\Omega^I\) peta diagonal, seperti dalam 272J. Berdasarkan 272J, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\lambda\).

Kita dapat mengidentifikasi \(\lambda\) dengan produk \(\langle\lambda_s\rangle_{s\in S}\), dengan setiap \(\lambda_s\ (s\in S)\) merupakan produk dari \(\langle\mu\restr\Sigma_i\rangle_{i\in J(s)}\) (254N). Untuk \(s\in S\), misalkan \(\Lambda_s\) domain \(\lambda_s\), dan tetapkan \(\pi_s(x)=x\restr J(s)\) untuk \(x\in\Omega^I\), sehingga \(\pi_s\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\lambda\) dan \(\lambda_s\) (254Oa), dan \(\phi_s=\pi_s\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\lambda_s\); tentu saja \(\phi_s\) merupakan peta diagonal dari \(\Omega\) ke \(\Omega^{J(s)}\). Tetapkan \(\Sigma_s^*=\{\phi_s^{-1}[H]:H\in\Lambda_s\}\). Maka \(\Sigma_s^*\) merupakan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\), dan \(\Sigma_s^*\supseteq\tilde\Sigma_s\), karena

\(E=\phi_s^{-1}[\{x:x(i)\in E\}]\in\Sigma^*_s\)

setiap kali \(i\in J(s)\) dan \(E\in\Sigma_i\).

Sekarang andaikan \(s_1,\ldots,s_n\in S\) berbeda dan \(E_j\in\tilde\Sigma_{s_j}\) untuk setiap \(j\). Maka \(E_j\in\Sigma_{s_j}^*\), sehingga terdapat \(H_j\in\Lambda_{s_j}\) sedemikian sehingga \(E_j=\phi_{s_j}^{-1}[H_j]\) untuk setiap \(j\). Tetapkan

\(W=\{x:x\in\Omega^I,\,x\restr J(s_j)\in H_j\) untuk setiap \(j\le n\}\).

Karena kita dapat mengidentifikasi \(\lambda\) dengan produk dari \(\lambda_s\), kita mempunyai

\(\lambda W=\prod_{j=1}^n\lambda_{s_j}H_j =\prod_{j=1}^n\hat\mu(\phi_{s_j}^{-1}[H_j]) =\prod_{j=1}^n\hat\mu E_j=\prod_{j=1}^n\mu E_j\).

Di sisi lain, \(\phi^{-1}[W]=\bigcap_{j\le n}E_j\), sehingga, karena \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta,

\(\mu(\bigcap_{j\le n}E_j)=\hat\mu(\bigcap_{j\le n}E_j) =\lambda W=\prod_{j=1}^n\mu E_j\).

Karena \(E_1,\ldots,E_n\) sebarang, \(\langle\tilde\Sigma_s\rangle_{s\in S}\) bebas.

272L

Saya memberikan suatu penerapan khas dari hasil ini sebagai contoh.

Akibat Misalkan \(X,X_1,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas dan \(h:\BbbR^n\to\Bbb R\) suatu fungsi terukur Borel. Maka \(X\) dan \(h(X_1,\ldots,X_n)\) bebas.

Catatan Hampir semua dari kita, ketika mengajar teori probabilitas elementer, akan mengajak mahasiswa memperlakukan akibat ini (tentu saja dengan fungsi \(h\) yang eksplisit) sebagai sesuatu yang ’jelas’. Pada hakikatnya, bukti di sini merupakan penegasan bahwa definisi formal ’kebebasan’ yang diberikan merupakan representasi setia dari intuisi kita bahwa kejadian-kejadian bebas mempunyai sebab-sebab bebas.

272M

Produk ruang probabilitas dan keluarga bebas variabel acak Kita telah melihat bahwa konsep ’variabel acak bebas’ berhubungan erat dengan konsep ’ukuran produk’. Sekarang saya memberikan beberapa perwujudan lebih lanjut dari hubungan tersebut.

Proposisi Misalkan \(\langle(\Omega_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) produknya.

(a) Untuk setiap \(i\in I\) tuliskan \(\tilde\Sigma_i=\{\pi_i^{-1}[E]:E\in\Sigma_i\}\), dengan \(\pi_i:\Omega\to\Omega_i\) peta koordinat. Maka \(\langle\tilde\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) merupakan keluarga bebas dari subaljabar-sigma \(\Sigma\).

(b) Untuk setiap \(i\in I\) misalkan \(\langle X_{ij}\rangle_{j\in J(i)}\) suatu keluarga bebas variabel acak bernilai real pada \(\Omega_i\), dan untuk \(i\in I\), \(j\in J(i)\) tuliskan \(\tilde X_{ij}(\omega)=X_{ij}(\omega(i))\) bagi semua \(\omega\in\Omega\) sedemikian sehingga \(\omega(i)\in\dom X_{ij}\). Maka \(\langle \tilde X_{ij}\rangle_{i\in I,j\in J(i)}\) merupakan keluarga bebas variabel acak, dan setiap \(\tilde X_{ij}\) mempunyai distribusi yang sama dengan \(X_{ij}\) yang bersesuaian.

Bukti

(a) Mudah diperiksa bahwa setiap \(\tilde\Sigma_i\) merupakan aljabar-sigma dari himpunan-himpunan. Selebihnya hanya mengingat kembali dari 254Fb bahwa jika \(J\subseteq I\) berhingga dan \(E_i\in\Sigma_{i}\) untuk \(i\in J\), maka

\(\mu(\bigcap_{i\in J}\pi_i^{-1}[E_i]) =\mu\{\omega:\omega(i)\in E_i\text{ untuk setiap }i\in I\} =\prod_{i\in I}\mu_{i}E_i\)

jika kita menetapkan \(E_i=\Omega_i\) untuk \(i\in I\setminus J\).

(b) Kita juga mengetahui bahwa \((\Omega,\Sigma,\mu)\) merupakan produk dari pelengkapan-pelengkapan \((\Omega_i,\hat\Sigma_i,\hat\mu_i)\) (254I). Dari sini kita melihat bahwa setiap \(\tilde X_{ij}\) terdefinisi \(\mu\)-hampir di mana-mana, dan terukur terhadap \(\Sigma\), dengan distribusi yang sama dengan \(X_{ij}\). Sekarang terapkan syarat (iii) dari 272D. Andaikan \(\langle F_{ij}\rangle_{i\in I,j\in J(i)}\) suatu keluarga himpunan Borel dalam \(\Bbb R\), dan \(\{(i,j):F_{ij}\ne\Bbb R\}\) berhingga. Tinjau

\(E_i =\bigcap_{j\in J(i)} (X_{ij}^{-1}[F_{ij}]\cup(\Omega_i\setminus\dom X_{ij}))\),

\(E=\prod_{i\in I}E_i =\bigcap_{i\in I,j\in J(i)} (\tilde X_{ij}^{-1}[F_{ij}]\cup(\Omega\setminus\dom \tilde X_{ij}))\).

Karena setiap keluarga \(\langle X_{ij}\rangle_{j\in J(i)}\) bebas, dan \(\{j:F_{ij}\ne\Bbb R\}\) berhingga,

\(\hat\mu_iE_i=\prod_{j\in J(i)}\Pr(X_{ij}\in F_{ij})\)

untuk setiap \(i\in I\). Karena

\(\{i:E_i\ne \Omega_i\}\subseteq\{i:\exists\,j\in J(i),\,F_{ij}\ne\Bbb R\}\)

berhingga,

\(\mu E=\prod_{i\in I}\hat\mu_iE_i =\prod_{i\in I,j\in J(i)}\Pr(\tilde X_{ij}\in F_{ij})\);

karena \(\langle F_{ij}\rangle_{i\in I,j\in J(i)}\) sebarang, \(\langle \tilde X_{ij}\rangle_{i\in I,j\in J(i)}\) bebas.

Catatan Perumusan dalam (b) lebih rumit daripada yang diperlukan untuk menyatakan gagasannya, tetapi itulah yang diperlukan untuk suatu penerapan di bawah.

272N

Suatu kasus khusus 272J sangat penting dalam teori ukuran umum, dan paling berguna dalam bentuk yang disesuaikan.

Proposisi Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas lengkap, dan \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga bebas dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E_i=\bover12\) untuk setiap \(i\in I\). Definisikan \(\phi:\Omega\to\{0,1\}^I\) dengan menetapkan \(\phi(\omega)(i)=1\) jika \(\omega\in E_i\), dan \(0\) jika \(\omega\in\Omega\setminus E_i\). Maka \(\phi\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta untuk ukuran biasa \(\lambda\) pada \(\{0,1\}^I\) (254J).

Bukti

Saya menggunakan 254G sekali lagi. Untuk setiap \(i\in I\) misalkan \(\Sigma_i\) aljabar \(\{\emptyset,E_i,\Omega\setminus E_i,\Omega\}\); maka \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) bebas (272F). Untuk \(i\in I\) tetapkan \(\phi_i(\omega)=\phi(\omega)(i)\). Misalkan \(\nu\) ukuran biasa dari \(\{0,1\}\). Maka mudah diperiksa bahwa

\(\mu\phi_i^{-1}[H]=\Bover12\#(H)=\nu H\)

untuk setiap \(H\subseteq\{0,1\}\). Jika \(\langle H_i\rangle_{i\in I}\) merupakan keluarga subhimpunan \(\{0,1\}\), dan \(\{i:H_i\ne\{0,1\}\}\) berhingga, maka

\[\begin{aligned}\mu\phi^{-1}[\prod_{i\in I}H_i] &=\mu(\bigcap_{i\in I}\phi_i^{-1}[H_i]) =\prod_{i\in I}\mu\phi_i^{-1}[H_i]\\ &\text{(karena }\phi_i^{-1}[H_i]\in\Sigma_i\text{ untuk setiap }i\text{, dan }\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\text{ bebas)}\\ &=\prod_{i\in I}\nu H_i =\lambda(\prod_{i\in I}H_i).\\\end{aligned}\]

Karena \(\langle H_i\rangle_{i\in I}\) sebarang, 254G memberikan hasilnya.

272O Aljabar-sigma ekor dan hukum nol-satu

Saya tidak pernah dapat memutuskan apakah hasil berikut ’mendalam’ atau tidak. Saya rasa ini merupakan salah satu dari banyak kasus dalam matematika ketika suatu teorema mengejutkan dan menggairahkan jika ditemukan tanpa persiapan, tetapi alamiah dan langsung jika didekati dari sudut yang tepat.

Proposisi Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) suatu barisan bebas dari subaljabar-sigma \(\Sigma\). Misalkan \(\Sigma_n^*\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{m\ge n}\Sigma_m\) untuk setiap \(n\), dan tetapkan \(\Sigma_{\infty}^*=\bigcap_{n\in\Bbb N}\Sigma_n^*\). Maka \(\mu E\) sama dengan \(0\) atau \(1\) untuk setiap \(E\in\Sigma_{\infty}^*\).

272P

Untuk mendukung klaim bahwa di suatu tempat kita telah memperoleh wawasan yang tak trivial, saya memberikan suatu akibat, yang akan menjadi dasar bagi pemahaman teorema-teorema limit dalam seksi berikut, dan yang tampaknya tidak jelas.

Akibat Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\langle X_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real pada \(\Omega\). Maka

\(\limsup_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\)

hampir di mana-mana konstan – yaitu, terdapat suatu \(u\in[-\infty,\infty]\) sedemikian sehingga

\(\limsup_{n\to\infty} \Bover{1}{n+1}(X_0+\ldots+X_n)=u\)

hampir di mana-mana.

Bukti

Kita boleh mengandaikan bahwa setiap \(X_n\) terukur terhadap \(\Sigma\) dan didefinisikan di setiap titik dalam \(\Omega\), karena (sebagaimana dicatat dalam 272H) mengubah \(X_n\) pada suatu himpunan terabaikan tidak memengaruhi kebebasannya, dan memengaruhi \(\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\) hanya pada suatu himpunan terabaikan. Untuk setiap \(n\), misalkan \(\Sigma_n\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(X_n\) (272C), dan \(\Sigma_n^*\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{m\ge n}\Sigma_m\); tetapkan \(\Sigma_{\infty}^*=\bigcap_{n\in\Bbb N}\Sigma_n^*\). Berdasarkan 272D, \(\sequencen{\Sigma_n}\) bebas, sehingga \(\mu E\in\{0,1\}\) untuk setiap \(E\in\Sigma_{\infty}^*\) (272O).

Sekarang ambil sebarang \(a\in\Bbb R\) dan tetapkan

\(E_a=\{\omega: \limsup_{m\to\infty}\Bover1{m+1}(X_0(\omega)+\ldots+X_m(\omega)) \le a\}\).

Maka

\(\limsup_{m\to\infty}\Bover1{m+1}(X_0+\ldots+X_m) =\limsup_{m\to\infty}\Bover1{m+1}(X_n+\ldots+X_{m+n})\),

sehingga

\(E_a =\{\omega:\limsup_{m\to\infty} \Bover1{m+1}(X_n(\omega)+\ldots+X_{n+m}(\omega))\le a\}\)

termasuk dalam \(\Sigma^*_n\) untuk setiap \(n\), karena \(X_i\) terukur terhadap \(\Sigma_n^*\) untuk setiap \(i\ge n\). Jadi \(E_a\in\Sigma_{\infty}^*\) dan

\(\Pr(\limsup_{m\to\infty} \Bover1{m+1}(X_0+\ldots+X_m)\le a) =\mu E_a\)

harus sama dengan \(0\) atau \(1\). Dengan menetapkan

\(u=\sup\{a:a\in\Bbb R,\,\mu E_a=0\}\)

(dengan mengizinkan \(\sup\emptyset=-\infty\) dan \(\sup\Bbb R=\infty\), seperti biasa dalam konteks semacam ini), kita melihat bahwa

\(\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)=u\)

hampir di mana-mana.

272Q

Saya menambahkan di sini suatu hasil yang akan berguna dalam Jilid 5 dan yang memberikan wawasan lebih lanjut mengenai sifat keluarga-keluarga bebas yang besar.

Teorema Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\familyiI{\Sigma_i}\) suatu keluarga bebas dari subaljabar-sigma \(\Sigma\). Misalkan \(\Cal E\subseteq\Sigma\) suatu keluarga himpunan terukur, dan \(\Tau\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\). Maka terdapat suatu himpunan \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(\#(I\setminus J)\le\max(\omega,\#(\Cal E))\) dan \(\Tau\), \(\family{j}{J}{\Sigma_j}\) bebas, dalam arti bahwa \(\mu(F\cap\bigcap_{r\le n}E_r)=\mu F\cdot\prod_{r=1}^n\mu E_r\) setiap kali \(F\in\Tau\), \(j_1,\ldots,j_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(J\) dan \(E_r\in\Sigma_{j_r}\) untuk setiap \(r\le n\).

Bukti

(a) Seperti dalam 272J, lengkapi \(\Omega^I\) dengan ukuran probabilitas \(\lambda\) yang merupakan produk dari ukuran-ukuran \(\mu\restr\Sigma_i\), dan misalkan \(\phi:\Omega\to \Omega^I\) peta diagonal, sehingga \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\hat\mu\) dan \(\lambda\), dengan \(\hat\mu\) pelengkapan \(\mu\). Tuliskan \(\Lambda\) untuk domain \(\lambda\). Tetapkan \(\kappa=\max(\omega,\#(\Cal E))\), dan misalkan \(\Cal E^*\) himpunan \(\{\bigcap_{r\le n}F_r:n\in\Bbb N\), \(F_r\in\Cal E\) untuk setiap \(r\le n\}\). Karena \(\#(\Cal E^n)\le\kappa\) untuk setiap \(n\) (2A1Lc), \(\#(\Cal E^*)\le\kappa\) (2A1Ld). Untuk setiap \(F\in\Cal E^*\), definisikan \(\nu_F:\Lambda\to[0,1]\) dengan menetapkan \(\nu_FW=\hat\mu(F\cap\phi^{-1}[W])\); maka \(\nu_F\) aditif terhitung dan didominasi oleh \(\lambda\). Karena itu fungsional tersebut mempunyai turunan Radon–Nikodým \(h_F\) terhadap \(\lambda\), sehingga \(\hat\mu(F\cap\phi^{-1}[W])=\int_Wh_Fd\lambda\) untuk setiap \(W\in\Lambda\) (232F). Berdasarkan 254Qc atau 254Rb, kita dapat menemukan suatu fungsi \(h'_F\) yang sama \(\lambda\)-hampir di mana-mana dengan \(h_F\) dan ditentukan oleh koordinat-koordinat dalam suatu himpunan terhitung \(J_F\), dalam arti bahwa \(h'_F(w)=h'_F(w')\) setiap kali \(w\), \(w'\in \Omega^I\) dan \(w\restr J_F=w'\restr J_F\). (Saya menerima begitu saja bahwa kita memilih \(h'_F\) agar didefinisikan di setiap titik pada \(\Omega^I\).)

(b) Tetapkan \(J=I\setminus\bigcup_{F\in\Cal E^*}J_F\); berdasarkan 2A1Ld, \(I\setminus J=\bigcup_{F\in\Cal E^*}J_F\) mempunyai kardinalitas paling besar \(\kappa\). Jika \(F\in\Cal E^*\), \(j_1,\ldots,j_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(J\) dan \(E_r\in\Sigma_{j_r}\) untuk setiap \(r\le n\), maka \(\mu(F\cap\bigcap_{r\le n}E_r)=\mu F\cdot\prod_{r=1}^n\mu E_r\). Bukti. Tetapkan \(W=\{w:w\in \Omega^I\), \(w(j_r)\in E_r\) untuk setiap \(r\le n\}\). Maka

\(\mu(F\cap\bigcap_{r\le n}E_r) =\hat\mu(F\cap\phi^{-1}[W]) =\int_Wh'_Fd\lambda =\int h'_F\times\chi W\,d\lambda\).

Namun perhatikan bahwa \(W\) ditentukan oleh koordinat-koordinat dalam \(J\), sedangkan \(h'_F\) ditentukan oleh koordinat-koordinat dalam \(J_F\subseteq I\setminus J\); dengan menggabungkan 272Ma, 272K, dan 272R (atau dengan cara lain), kita mempunyai

\(\mu(F\cap\bigcap_{r\le n}E_r) =\int h'_F\times\chi W\,d\lambda =\int h'_Fd\lambda\cdot\lambda W =\mu F\cdot\prod_{r=1}^n\mu E_r\). ∎

(c) Sekarang tinjau keluarga \(\Cal A\) dari semua himpunan \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu(F\cap\bigcap_{r\le n}E_r) =\mu F\cdot\prod_{r=1}^n\mu E_r\) setiap kali \(j_1,\ldots,j_n\in J\) berbeda dan \(E_r\in\Sigma_{j_r}\) untuk setiap \(r\le n\). Mudah diperiksa bahwa \(\Cal A\) merupakan kelas Dynkin, dan kita baru saja melihat bahwa \(\Cal A\) memuat \(\Cal E^*\); karena \(\Cal E^*\) tertutup terhadap \(\cap\), \(\Cal A\) memuat aljabar-sigma \(\Tau\) dari himpunan-himpunan yang dibangkitkan oleh \(\Cal E^*\) (136B). Dan inilah persis yang dinyatakan oleh teorema tersebut.

272R

Sekarang saya harus mengejar beberapa fakta dasar dari teori probabilitas elementer.

Proposisi Misalkan \(X\), \(Y\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas dengan ekspektasi berhingga (271Ab). Maka \(\Expn(X\times Y)\) ada dan sama dengan \(\Expn(X)\Expn(Y)\).

272S Kesamaan Bienaymé

Misalkan \(X_1,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas. Maka \(\Var(X_1+\ldots+X_n)=\Var(X_1)+\ldots+\Var(X_n)\).

Bukti

(a) Pertama-tama andaikan semua \(X_i\) mempunyai varians berhingga. Tetapkan \(a_i=\Expn(X_i)\), \(Y_i=X_i-a_i\), \(X=X_1+\ldots+X_n\), dan \(Y=Y_1+\ldots+Y_n\); maka \(\Expn(X)=a_1+\ldots+a_n\), sehingga \(Y=X-\Expn(X)\) dan

\[\begin{aligned}\Var(X) &=\Expn(Y^2) =\Expn(\sum_{i=1}^n Y_i)^2\\ &=\Expn(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n Y_i\times Y_j) =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\Expn(Y_i\times Y_j).\\\end{aligned}\]

Sekarang perhatikan bahwa jika \(i\ne j\), maka \(\Expn(Y_i\times Y_j)=\Expn(Y_i)\Expn(Y_j)=0\), karena \(Y_i\) dan \(Y_j\) bebas (berdasarkan 272E) dan kita dapat menggunakan 272R, sedangkan jika \(i=j\), maka

\(\Expn(Y_i\times Y_j)=\Expn(Y_i^2)=\Expn(X_i-\Expn(X_i))^2 =\Var(X_i)\).

Jadi

\(\Var(X)=\sum_{i=1}^n\Expn(Y_i^2)=\sum_{i=1}^n\Var(X_i)\).

(b)(i) Selanjutnya saya menunjukkan bahwa jika \(\Var(X_1+X_2)<\infty\), maka \(\Var(X_1)<\infty\). Bukti. Kita mempunyai

\[\begin{aligned}\iint(x+y)^2\nu_{X_1}(dx)\nu_{X_2}(dy) &=\int (x+y)^2\nu_{(X_1,X_2)}(d(x,y))\\ &\text{(berdasarkan 272G dan teorema Fubini)}\\ &=\Expn((X_1+X_2)^2)\\ &\text{(berdasarkan 271E)}\\ &<\infty.\\\end{aligned}\]

Jadi harus ada suatu \(a\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int(x+a)^2\nu_{X_1}(dx)\) berhingga, yaitu, \(\Expn((X_1+a)^2)<\infty\); akibatnya \(\Expn(X_1^2)\) dan \(\Var(X_1)\) berhingga. ∎

(ii) Sekarang suatu induksi mudah (yang mengandalkan 272L!) menunjukkan bahwa jika \(\Var(X_1+\ldots+X_n)\) berhingga, maka \(\Var X_j\) juga berhingga untuk setiap \(j\). Dengan membalikkan hal ini, jika \(\sum_{j=1}^n\Var(X_j)=\infty\), maka \(\Var(X_1+\ldots+X_n)=\infty\), dan sekali lagi keduanya sama.

272T Distribusi jumlah variabel acak bebas: Teorema

Misalkan \(X\), \(Y\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas pada ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dengan distribusi \(\nu_X\), \(\nu_Y\). Maka distribusi \(X+Y\) adalah konvolusi \(\nu_X*\nu_Y\) (257A).

272U Akibat

Andaikan \(X\) dan \(Y\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas, dan keduanya mempunyai kepadatan \(f\) dan \(g\). Maka konvolusi \(f*g\) merupakan fungsi kepadatan untuk \(X+Y\).

272V

Hasil sederhana berikut akan sangat berguna ketika kita sampai pada proses stokastik dalam Jilid 4, dan juga dalam seksi berikut.

Lemma Etemadi (Etemadi 96) Misalkan \(X_0,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas. Untuk \(m\le n\), tetapkan \(S_m=\sum_{i=0}^mX_i\). Maka

\(\Pr(\sup_{m\le n}|S_m|\ge 3\gamma) \le 3\max_{m\le n}\Pr(|S_m|\ge\gamma)\)

untuk setiap \(\gamma>0\).

Bukti

Seperti dalam 272P, kita boleh mengandaikan bahwa setiap \(X_i\) merupakan fungsi terukur yang didefinisikan di setiap titik pada suatu ruang ukur \(\Omega\). Tetapkan \(\alpha=\max_{m\le n}\Pr(|S_m|\ge\gamma)\). Untuk setiap \(r\le n\), tetapkan

\(E_r=\{\omega:|S_m(\omega)|<3\gamma\) untuk setiap \(m<r\), \(|S_r(\omega)|\ge 3\gamma\}\).

Maka \(E_0,\ldots,E_n\) merupakan partisi dari \(\{\omega:\max_{m\le n}|S_m(\omega)|\ge 3\gamma\}\). Tetapkan \(E'_r=\{\omega:\omega\in E_r\), \(|S_n(\omega)|<\gamma\}\). Maka \(E'_r\subseteq\{\omega:\omega\in E_r\), \(|(S_n-S_r)(\omega)|>2\gamma\}\). Namun \(E_r\) bergantung pada \(X_0,\ldots,X_r\), sehingga bebas dari \(\{\omega:|(S_n-S_r)(\omega)|>2\gamma\}\), yang dapat dihitung dari \(X_{r+1},\ldots,X_n\) (272K). Jadi

\[\begin{aligned}\mu E'_r &\le\mu\{\omega:\omega\in E_r,\,|(S_n-S_r)(\omega)|>2\gamma\} =\mu E_r\cdot\Pr(|S_n-S_r|>2\gamma)\\ &\le\mu E_r(\Pr(|S_n|>\gamma)+\Pr(|S_r|>\gamma)) \le 2\alpha\mu E_r,\\\end{aligned}\]

dan \(\mu(E_r\setminus E'_r)\ge(1-2\alpha)\mu E_r\). Di sisi lain, \(\langle E_r\setminus E'_r\rangle_{r\le n}\) merupakan keluarga saling lepas dari himpunan-himpunan yang semuanya termuat dalam \(\{\omega:|S_n(\omega)|\ge\gamma\}\). Jadi

\(\alpha \ge\mu\{\omega:|S_n(\omega)|\ge\gamma\} \ge\sum_{r=0}^n\mu(E_r\setminus E'_r) \ge(1-2\alpha)\sum_{r=0}^n\mu E_r\),

dan

\(\Pr(\sup_{r\le n}|S_r|\ge 3\gamma) =\sum_{r=0}^n\mu E_r \le\min(1,\Bover{\alpha}{1-2\alpha}) \le 3\alpha\),

(dengan mempertimbangkan \(\alpha\le\bover13\) dan \(\alpha\ge\bover13\) secara terpisah), sebagaimana diperlukan.

272W

Hasil berikut merupakan penerapan langsung yang serupa dari gagasan-gagasan seksi ini. Walaupun tidak akan digunakan dalam jilid ini, hasil tersebut merupakan wakil yang mudah dipahami dan berguna dari sangat banyak hasil mengenai ekor jumlah variabel acak bebas.

Teorema (Hoeffding 63) Misalkan \(X_0,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas sedemikian sehingga \(0\le X_i\le 1\) hampir di mana-mana untuk setiap \(i\). Tetapkan \(S=\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\) dan \(a=\Expn(S)\). Maka

\(\Pr(S-a\ge c)\le\exp(-2(n+1)c^2)\)

untuk setiap \(c\ge 0\).

Bukti

(a) Tetapkan \(a_i=\Expn(X_i)\) untuk setiap \(i\). Jika \(b\ge 0\) dan \(i\le n\), maka

\(\Expn(e^{bX_i})\le\exp(ba_i+\Bover18b^2)\).

Bukti. Tetapkan \(\phi(x)=e^{bx}\) untuk \(x\in\Bbb R\). Maka \(\phi\) konveks, sehingga

\(\phi(x) \le 1+x(e^b-1)\)

setiap kali \(x\in[0,1]\),

\(\phi(X_i) \leae 1+(e^b-1)X_i\)

dan

\(\Expn(e^{bX_i}) =\Expn(\phi(X_i)) \le 1+(e^b-1)a_i =e^{h(b)}\)

dengan \(h(t)=\ln(1-a_i+a_ie^t)\) untuk \(t\in\Bbb R\). Sekarang \(h(0)=0\),

\(h'(t)=\Bover{a_ie^t}{1-a_i+a_ie^t} =1-\Bover{1-a_i}{1-a_i+a_ie^t}\), \(h'(0)=a_i\),

\(h''(t) =\Bover{1-a_i}{1-a_i+a_ie^t}\cdot\Bover{a_ie^t}{1-a_i+a_ie^t} \le\Bover14\)

karena \(a_ie^t\) dan \(1-a_i\) keduanya lebih besar daripada atau sama dengan \(0\). Berdasarkan teorema Taylor dengan sisa, terdapat suatu \(t\in[0,b]\) sedemikian sehingga

\(h(b) =h(0)+bh'(0)+\Bover12b^2h''(t) \le ba_i+\Bover18b^2\),

dan

\(\Expn(e^{bX_i})\le\exp(ba_i+\Bover18b^2)\). ∎

(b) Ambil sebarang \(b\ge 0\). Maka

\[\begin{aligned}\Pr(S-a\ge c) &=\Pr(\sum_{i=0}^n(X_i-a_i-c)\ge 0) \le\Expn(\exp(b\sum_{i=0}^n(X_i-a_i-c)))\\ &\text{(karena }\exp(b\sum_{i=0}^n(X_i-a_i-c))\ge 1\text{ setiap kali }\sum_{i=0}^n(X_i-a_i-c)\ge 0\text{)}\\ &=e^{-(n+1)bc}\prod_{i=0}^ne^{-ba_i}\Expn(\prod_{i=0}^n\exp(bX_i))\\ &=e^{-(n+1)bc}\prod_{i=0}^ne^{-ba_i} \prod_{i=0}^n\Expn(\exp(bX_i))\\ &\text{(karena variabel-variabel acak }\exp(bX_i)\text{ bebas, berdasarkan 272E, sehingga ekspektasi hasil kali sama dengan hasil kali ekspektasi-ekspektasinya, berdasarkan 272R)}\\ &\le e^{-(n+1)bc}\prod_{i=0}^ne^{-ba_i}\exp(ba_i+\Bover18b^2)\\ &\text{((a) di atas)}\\ &=\exp(-(n+1)bc+\Bover{n+1}8b^2).\\\end{aligned}\]

Sekarang nilai minimum dari fungsi kuadrat \(\Bover{n+1}8b^2-(n+1)cb\) adalah \(-2(n+1)c^2\) ketika \(b=4c\), sehingga \(\Pr(S-a\ge c)\le\exp(-2(n+1)c^2)\), sebagaimana dinyatakan.

Latihan

272X Latihan dasar (a)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas tanpa atom, dan \(\sequencen{\epsilon_n}\) sebarang barisan dalam \([0,1]\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu barisan bebas \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E_n=\epsilon_n\) untuk setiap \(n\). Petunjuk: 215D.

272Xb (b) penting

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga variabel acak bernilai real. Tunjukkan bahwa keluarga tersebut bebas jika dan hanya jika

\(\Expn(h_1(X_{i_1})\times\ldots\times h_n(X_{i_n})) =\prod_{j=1}^n\Expn(h_j(X_{i_j}))\)

setiap kali \(i_1,\ldots,i_n\) adalah anggota-anggota berbeda dari \(I\) dan \(h_1,\ldots,h_n\) merupakan fungsi terukur Borel dari \(\Bbb R\) ke \(\Bbb R\) sedemikian sehingga semua \(\Expn(h_j(X_{i_j}))\) berhingga.

272Xc (c)

Tuliskan bukti 272F yang tidak menggunakan teori ukuran produk.

272Xd (d)

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_n)\) suatu keluarga variabel acak bernilai real yang semuanya didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama, dan andaikan \(\pmb{X}\) mempunyai fungsi kepadatan \(f\) yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(f(\xi_1,\ldots,\xi_n)=f_1(\xi_1)f_2(\xi_2)\ldots f_n(\xi_n)\) untuk fungsi-fungsi yang sesuai \(f_1,\ldots,f_n\) dari satu variabel real. Tunjukkan bahwa \(X_1,\ldots,X_n\) bebas.

272Xe (e)

Misalkan \(X_1\), \(X_2\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas, keduanya dengan distribusi \(\nu\) dan fungsi distribusi \(F\). Tetapkan \(Y=\max(X_1,X_2)\). Tunjukkan bahwa distribusi \(Y\) kontinu mutlak terhadap \(\nu\), dengan turunan Radon–Nikodým \(F+F^{-}\), dengan \(F^{-}(x)=\lim_{t\uparrow x}F(t)\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\).

272Xf (f)

Gunakan 254Sa dan gagasan 272J untuk memberikan bukti lain bagi 272O.

272Xg (g)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) suatu barisan tak menurun dari subaljabar-sigma \(\Sigma\). Misalkan \(\Sigma_{\infty}\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\). Misalkan \(\Tau\) subaljabar-sigma lain dari \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\Sigma_n\) dan \(\Tau\) bebas untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma_{\infty}\) dan \(\Tau\) bebas. Petunjuk: terapkan Teorema Kelas Monoton pada \(\{E:\mu(E\cap F)=\mu E\cdot\mu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\}\). Gunakan hal ini untuk membuktikan 272O.

272Xh (h)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak bernilai real dan \(Y\) suatu variabel acak bernilai real sedemikian sehingga \(Y\) dan \(X_n\) bebas untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Andaikan \(\Pr(Y\in\Bbb N)=1\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Pr(Y\ge n)\Expn(|X_n|)\) berhingga. Tetapkan \(Z=\sum_{n=0}^YX_n\) (yaitu, \(Z(\omega)=\sum_{n=0}^{Y(\omega)}X_n(\omega)\) setiap kali \(\omega\in\dom Y\) sedemikian sehingga \(Y(\omega)\in\Bbb N\) dan \(\omega\in\dom X_n\) untuk setiap \(n\le Y(\omega)\)). (i) Tunjukkan bahwa \(\Expn(Z)=\sum_{n=0}^{\infty}\Pr(Y\ge n)\Expn(X_n)\). Petunjuk: tetapkan \(X'_n(\omega)=X_n(\omega)\) jika \(Y(\omega)\ge n\), dan \(0\) jika tidak. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\Expn(X_n)=\gamma\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), maka \(\Expn(Z)=\gamma(\Expn(Y)+1)\). (Ini adalah persamaan Wald untuk konvensi jumlah yang dimulai dari indeks nol.)

272Xi (i) penting

Misalkan \(X_1,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas. Tunjukkan bahwa jika \(X_1+\ldots+X_n\) mempunyai ekspektasi berhingga, maka demikian pula setiap \(X_j\). Petunjuk: bagian (b) dari bukti 272S.

272Xj (j) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas dengan kepadatan \(f\) dan \(g\). Tunjukkan bahwa \(X\times Y\) mempunyai fungsi kepadatan \(h\), dengan \(h(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\bover1{|y|}g(y)f(\bover{x}{y})dy\) untuk hampir setiap \(x\). Petunjuk: 271K.

272Xk (k)

Misalkan \(X_0,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas sedemikian sehingga \(d_i\le X_i\le d'_i\) hampir di mana-mana untuk setiap \(i\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(b\ge 0\), maka \(\Expn(e^{bX_i})\le\exp(ba_i+\Bover18b^2(d'_i-d_i)^2)\) untuk setiap \(i\), dengan \(a_i=\Expn(X_i)\). (ii) Tetapkan \(S=\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\) dan \(a=\Expn(S)\). Tunjukkan bahwa

\(\Pr(S-a\ge c)\le\exp(-\Bover{2(n+1)^2c^2}{d})\)

untuk setiap \(c\ge 0\), dengan \(d=\sum_{i=0}^n(d'_i-d_i)^2\).

272Xl (l)

Andaikan \(X_0,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas, semuanya dengan ekspektasi \(0\), sedemikian sehingga \(\Pr(|X_i|\le 1)=1\) untuk setiap \(i\). Tetapkan \(S=\Bover1{\sqrt{n+1}}\sum_{i=0}^nX_i\). Tunjukkan bahwa \(\Pr(S\ge c)\le\exp(-c^2/2)\) untuk setiap \(c\ge 0\).

272Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X_0,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real yang bebas dengan distribusi \(\nu_0,\ldots,\nu_n\) dan fungsi distribusi \(F_0,\ldots,F_n\). Tunjukkan bahwa, untuk sebarang himpunan Borel \(E\subseteq\Bbb R\),

\(\Pr(\sup_{i\le n}X_i\in E) =\sum_{i=0}^n\int_E\prod_{j=0}^{i-1}F_j^{-}(x) \prod_{j=i+1}^nF_j(x)\nu_i(dx)\),

dengan \(F_j^{-}(x)=\lim_{t\uparrow x}F_j(t)\) untuk setiap \(j\), dan kita menafsirkan hasil kali kosong \(\prod_{j=0}^{-1}F_j^{-}(x)\), \(\prod_{j=n+1}^nF_j(x)\) sebagai \(1\).

272Yb (b)

Misalkan \(\pmb{X}=\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas lengkap \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Misalkan \(\Cal B\) aljabar-sigma Borel dari \(\BbbR^{\Bbb N}\) (271Ya). Misalkan \(\nu_{\pmb{X}}^{(\Cal B)}\) ukuran probabilitas dengan domain \(\Cal B\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\nu_{\pmb{X}}^{(\Cal B)}E=\mu\pmb{X}^{-1}[E]\) untuk setiap \(E\in\Cal B\), dan tuliskan \(\nu_{\pmb{X}}\) untuk pelengkapan dari \(\nu_{\pmb{X}}^{(\Cal B)}\). Tunjukkan bahwa \(\nu_{\pmb{X}}\) tidak lain adalah produk distribusi-distribusi \(\nu_{X_n}\).

272Yc (c)

Misalkan \(X_1,\ldots,X_n\) merupakan variabel acak bernilai real sedemikian sehingga untuk setiap \(j<n\) keluarga

\((X_1,\ldots,X_j,-X_{j+1},\ldots,-X_n)\)

mempunyai distribusi bersama yang sama dengan keluarga semula \((X_1,\ldots,X_n)\). Tetapkan \(S_j=X_1+\ldots+X_j\) untuk setiap \(j\le n\). (i) Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(a\ge 0\)

\(\Pr(\sup_{1\le j\le n}|S_j|\ge a) \le 2\Pr(|S_n|\ge a)\).

Petunjuk: tunjukkan bahwa jika \(E_j=\{\omega:\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i,\,|S_i(\omega)|<a\) untuk \(i<j,\,|S_j(\omega)|\ge a\}\), maka \(\mu\{\omega:\omega\in E_j,\, |S_n(\omega)|\ge|S_j(\omega)|\}\ge\bover12\mu E_j\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\Expn(\sup_{j\le n}|S_j|)\le 2\Expn(|S_n|)\). (iii) Tunjukkan bahwa \(\Expn(\sup_{i\le n}S_i^2)\le 2\Expn(S_n^2)\).

272Yd (d)

Misalkan \(\sequence{i}{X_i}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real, dan tetapkan \(S_n=\sum_{i=0}^nX_i\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{S_n}\) konvergen ke \(S\) dalam \(\eusm L^0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran, maka \(\sequencen{S_n}\) konvergen ke \(S\) hampir di mana-mana.

272Ye (e)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas.

(i) Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan bebas dalam \(\Sigma\). Tunjukkan bahwa untuk sebarang variabel acak bernilai real \(X\) dengan ekspektasi berhingga,

\(\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}X\,d\mu-\mu E_n\Expn(X)=0\).

Petunjuk: misalkan \(\Tau_0\) subaljabar \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\{E_n:n\in\Bbb N\}\) dan \(\Tau\) subaljabar-sigma \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\{E_n:n\in\Bbb N\}\). Mulailah dengan meninjau \(X=\chi E\) untuk \(E\in\Tau_0\), kemudian \(X=\chi E\) untuk \(E\in\Tau\). Berpindahlah dari \(\eusm L^1(\mu\restrp\Tau)\) ke \(\eusm L^1(\mu)\) dengan menggunakan ekspektasi bersyarat.

(ii) Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real yang terintegralkan secara seragam pada \(\Omega\). Tunjukkan bahwa untuk sebarang variabel acak bernilai real terbatas \(Y\),

\(\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n\times Y)-\Expn(X_n)\Expn(Y)=0\).

(iii) Andaikan \(1<p\le\infty\) dan tetapkan \(q=p/(p-1)\) (dengan mengambil \(q=1\) jika \(p=\infty\)). Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real dengan \(\sup_{n\in\Bbb N}\|X_n\|_p<\infty\), dan \(Y\) suatu variabel acak bernilai real dengan \(\|Y\|_q<\infty\). Tunjukkan bahwa

\(\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n\times Y)-\Expn(X_n)\Expn(Y)=0\).

272Yf (f)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{Z_n}\) suatu barisan variabel acak pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\Pr(Z_n\in\Bbb N)=1\) untuk setiap \(n\), dan \(\Pr(Z_m=Z_n)=0\) untuk semua \(m\ne n\). Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak bernilai real pada \(\Omega\), semuanya dengan distribusi yang sama \(\nu\), dan bebas satu sama lain serta dari \(Z_n\), dalam arti bahwa jika \(\Sigma_n\) aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_n\), dan \(\Tau_n\) aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(Z_n\), dan \(\Tau\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Tau_n\), maka \((\Tau,\Sigma_0,\Sigma_1,\ldots)\) bebas. Tetapkan \(Y_n(\omega)=X_{Z_n(\omega)}(\omega)\) setiap kali ini terdefinisi, yaitu, \(\omega\in\dom Z_n\), \(Z_n(\omega)\in\Bbb N\), dan \(\omega\in\dom X_{Z_n(\omega)}\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{Y_n}\) merupakan barisan bebas variabel acak dan bahwa setiap \(Y_n\) mempunyai distribusi \(\nu\).

272Yg (g)

Tunjukkan bahwa semua gagasan seksi ini berlaku dengan cara yang sama bagi variabel acak bernilai kompleks, dengan penyesuaian yang sesuai (yang harus dirancang).

272Yh (h)

Kembangkan teori kebebasan untuk variabel acak yang mengambil nilai dalam \(\BbbR^r\), dengan menelusuri sebanyak mungkin gagasan seksi ini.

Catatan dan komentar

272 Catatan penutup untuk Bagian 272

Seksi ini panjang karena dua alasan: saya mencoba memuat hasil-hasil dasar yang terkait dengan salah satu konsep matematika yang paling subur, dan sulit mengetahui kapan harus berhenti; serta saya mencoba melakukannya dalam bahasa yang sesuai bagi teori ukuran abstrak, dengan menekankan berbagai pembedaan yang berada di pinggiran gagasan-gagasan esensial. Walaupun saya bersedia bersikap luwes mengenai pertanyaan apakah huruf \(X\) seharusnya menyatakan suatu ruang atau suatu fungsi, beberapa penerapan hasil-hasil ini yang terpenting bagi saya berada dalam konteks yang menuntut kejelasan mutlak mengenai domain fungsi-fungsi kita. Karena itu perlu dibentuk suatu pendapat mengenai hal-hal seperti apa sebenarnya aljabar-sigma yang didefinisikan oleh suatu variabel acak (272C).

Pokok 272Q ialah bahwa keluarga \(\Cal E\) tidak harus berkaitan dengan keluarga \(\familyiI{\Sigma_i}\) dengan cara apa pun, kecuali, tentu saja, bahwa kita berurusan dengan himpunan-himpunan terukur. Yang perlu kita ketahui hanyalah bahwa \(I\) cukup besar dibandingkan dengan \(\Cal E\); misalnya, bahwa \(\Cal E\) terhitung dan \(I\) tak terhitung. Keluarga \(\family{j}{J}{\Sigma_j}\) sekarang merupakan sejenis ’ekor’ dari \(\familyiI{\Sigma_i}\), yang dengan aman bebas dari aljabar-sigma ’kepala’ yang dibangkitkan oleh \(\Cal E\).

Tentu saja saya harus menekankan sekali lagi bahwa bukti-bukti seperti dalam 272R-272S harus dipandang sebagai penegasan bahwa kita mempunyai model teori probabilitas yang sesuai, bukan sebagai alasan untuk memercayai bahwa hasil-hasil tersebut sahih dalam konteks statistik. Demikian pula, 272T-272U dapat didekati melalui berbagai intuisi mengenai variabel acak diskret dan variabel acak dengan kepadatan kontinu, dan walaupun hasil-hasil umum yang anggun itu menyenangkan, hasil-hasil tersebut lebih penting bagi matematikawan murni daripada bagi ahli statistik. Namun saya menemui hambatan aneh dalam bukti 272S, ketika menunjukkan bahwa jika \(X_1+\ldots+X_n\) mempunyai varians berhingga, maka setiap \(X_j\) juga demikian. Kita telah mempelajari teori ukuran yang cukup untuk menangani hal ini dengan mudah, tetapi hubungannya dengan intuisi probabilistik biasa, baik di sini maupun dalam 272Xi, tetap tidak jelas bagi saya.

Ada empat gagasan dalam 272W yang patut disimpan untuk penggunaan nanti. Yang pertama adalah taksiran

\(\Expn(e^{bX_i})\le 1-a_i+e^ba_i\)

dalam bagian (a), suatu cara kasar tetapi efektif untuk menggunakan hipotesis bahwa \(X_i\) terbatas. Yang kedua adalah penggunaan teorema Taylor untuk menunjukkan bahwa \(1-a_i+e^ba_i\le\exp(ba_i+\bover18b^2)\). Yang ketiga adalah taksiran

\(\Pr(Y\ge 0)\le\Expn(e^{bY})\) jika \(b\ge 0\)

yang digunakan dalam bagian (b); dan yang keempat adalah 272R. Setelah itu kita hanya perlu cukup bertekad untuk mencapai 272Xk. Namun bahkan kasus khusus 272W pun mencolok sekaligus berguna.